O Código de Pascal Série Matemática na Escola
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O Código de Pascal Série Matemática na Escola
O Código de Pascal Série Matemática na Escola Objetivos 1. Introduzir sequência de números naturais; 2. Mostrar os coeficientes do Binômio de Newton; 3. Motivar algumas propriedades aritméticas dos números naturais; 4. Apresentar o famoso Triângulo de Pascal. O Código de Pascal Série Matemática na Escola Conteúdos Conjuntos dos números naturais, Sequências numéricas. Duração Aprox. 10 minutos. Objetivos 1. Introduzir sequência de números naturais; 2. Mostrar os coeficientes do binômio de Newton; 3. Motivar algumas propriedades aritméticas dos números naturais; 4. Apresentar o famoso Triângulo de Pascal. Sinopse Um jovem encontra um manuscrito com vários números quem parece código. Ao tentar decifrar o código, o grande matemático Pascal aparece para ajudá-lo. A ajuda é mútua em algum sentido. Material relacionado Áudios: Triângulo Ímpar; Experimentos: Geometria do Taxi; Quadrado de Koch; Softwares: Corrida ao cem; Vídeos: Uma dinâmica de grupos; Naturalmente. VÍDEO O Código de Pascal 2/10 Introdução Sobre a série A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do ensino médio através de situações, ficções e contextualizações. Os programas desta série usualmente usualmente são informativos e introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula pelo professor. Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte sup ao conteúdo mais matemático e pequenos documentários trazem informações interdisciplinares. interdisciplinares Sobre o programa O programa vai abordar o triângulo conhecido como sendo de Pascal. Na ficção, um surfista descobre um velho manuscrito com muitos números naturais urais distribuídos em uma forma triangular. O surfista fica curioso e, com o auxílio da imaginação, conversa com o próprio Pascal, que fica satisfeito com alguém que finalmente tenha encontrado o seu código. Os números que aparecem no triângulo aritmético têm muitas propriedades interessantes. O vídeo apresenta de maneira gráfica VÍDEO O Código de Pascal 3/10 algumas destas propriedades. É bem provável que a disposição dos números no Triângulo de Pascal tenha sido apenas para facilitar a consulta para o cálculo da expressão expandida de potências de binômios. Isto é ሺ ݔ+ ݕሻ = ୀ ݊! ݔି ݕ !ሺ݊ − ሻ! Os números que aparecem nas linhas do Triângulo são os coeficientes binomiais, a saber: ݊! !ሺ݊ − ሻ! Onde n estará associado à linha e p varia de 1 a n em cada linha. Por exemplo: Tabela 1 Triângulo de Pascal até n=6 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 1 1 4 10 20 1 5 15 1 6 1 O famoso divulgador de matemática Martin Gardner cita o também famoso pesquisador em algoritmos computacionais Donald Knuth com a seguinte frase: VÍDEO O Código de Pascal 4/10 Existem tantas relações [matemáticas] no Triângulo de Pascal que ninguém mais se admira quando alguém descobre uma nova relação, exceto o próprio descobridor. Pascal tinha um encanto especial e religioso pela matemática. O programa mostra um pouco desta característica de Pascal. O professor pode enfatizar o aspecto algorítmico associado à construção do triângulo aritmético e sequência de Fibonacci. Nem tudo que parece um fractal é um fractal O vídeo menciona a conexão entre o Triângulo de Pascal e o fractal de Sierpinski. Os fractais, do ponto de vista matemático, têm várias propriedades e uma delas é chamada de autossimilaridade - a forma (ou aparência, ou outra característica) do todo é semelhante à de uma parte do fractal. Em simples palavras, se você olhar de perto, com alguma lupa ou de longe vai ver a mesma forma. Todos estes conceitos têm definições precisas e são bem elaborados, mas não é propósito deste vídeo nem desse guia o aprofundamento no assunto. No entanto, vale ressalvar os exemplos que o vídeo mostra como fractais da natureza: Ondas do mar, flocos de neves e esqueleto de moluscos (Figura 1). Estes exemplos exibem estruturas autossimilares em algumas escalas, mas não são matematicamente fractais. Figura 1 Este exemplo dado no vídeo não é um fractal, mas tem algumasVÍDEO características em comum. O Código de Pascal 5/10 Apesar de não serem rigorosamente fractais, os exemplos da natureza dados no vídeo e outros que os alunos podem pesquisar revelam Figura 2 Imagem fractal criada por KaCey97007 disponível sob licença CC (2008). estruturas que lembram algumas propriedades dos fractais. Os computadores modernos conseguem gerar fractais belíssimos a partir de algoritmos de fórmulas matemáticas recursivas, como da Figura 2. Sugestões de atividades Antes da execução Desenvolver explicitamente algumas as seguintes expressões: VÍDEO O Código de Pascal 6/10 ሺ ݔ+ ݕሻଶ = ሺ ݔ+ ݕሻሺ ݔ+ ݕሻ = ݔଶ + 2 ݕݔ+ ݕଶ ሺ ݔ+ ݕሻଷ = ሺ ݔ+ ݕሻଶ ሺ ݔ+ ݕሻ = ݔଷ + 3 ݔଶ ݕ+ 3 ݕݔଶ + ݕଷ ሺ ݔ+ ݕሻସ = ሺ ݔ+ ݕሻଷ ሺ ݔ+ ݕሻ =? E chamar a atenção para os coeficientes numéricos que multiplicam os vários termos. Depois da execução Desafiar os alunos a apresentarem a expansão explícita dos seguintes binômios: ሺ ݔ+ ݕሻସ =?, ሺ ݔ+ ݕሻହ =? , ሺ ݔ+ ݕሻ =? Calcular com a ajuda de uma calculadora, ou não, os seguintes números: 112, 113, 114 Mostre aos alunos a correspondência com as linhas do Triângulo de Pascal. A expansão do binômio: ሺ1 + 10 ሻ = ୀ ݊! 10 !ሺ݊ − ሻ! Isto é, os números do Triângulo de Pascal correspondem aos valores da unidade, dezena, centena, milhar e dezena de milhar. Por que o número 115 não é associado à linha n=5 do triângulo de Pascal como são os casos de 110, 111, 112, 113, 114? Desafios Algébricos O vídeo menciona também os números de Fibonacci que formam uma sequência recursiva. Definição A sequência de Fibonacci {un , n=0,1,2,3...}, é tal que u0=0, u1 =1 e VÍDEO O Código de Pascal 7/10 ݑାଵ = ݑ + ݑିଵ para ݊ ≥ 1. O professor pode propor o seguinte teorema. Teorema. Considerando a sequência de Fibonacci para ݊ ≥ 1 temos que ݑଶ − ݑିଵ ݑାଵ = ሺ−1ሻାଵ Isto é, a diferença entre o quadrado de um número da sequência de Fibonacci e o produto de seus dois vizinhos é um, se n for ímpar e menos um se n for par. Professor. Desafie os alunos com qualquer número de Fibonacci e verifique com eles a veracidade do teorema. A demonstração é simples e deve-se enfatizar a metodologia que empregamos, isto é, usamos apenas as definições, as hipóteses, a lógica e a álgebra, para demonstrarmos a tese do teorema. Demonstração. Os principais passos para a demonstração são os seguintes. Vamos definir a função auxiliar ݂ሺ݊ሻ ≡ ݑଶ − ݑିଵ ݑାଵ Pela definição da sequência de Fibonacci calculamos imediatamente f(1)=1 e f(2)=-1. Vamos usar então a indução, assumindo que vale para n qualquer, então mostrar que vale para n+1. ݂ሺ݊ሻ = ሺ−1ሻାଵ ଶ − ݑ ݑାଶ ݂ ሺ݊ + 1ሻ ≡ ݑାଵ ଶ = ݑାଵ − ݑ ሺݑାଵ + ݑ ሻ ଶ = ݑାଵ − ݑ ݑାଵ − ݑଶ = ݑାଵ ሺݑାଵ − ݑ ሻ − ݑଶ VÍDEO O Código de Pascal 8/10 = ݑାଵ ሺݑିଵ ሻ − ݑଶ = −݂ሺ݊ሻ Nos passos do desenvolvimento acima, a relação de recorrência foi usada duas vezes ݑାଶ = ሺݑାଵ + ݑ ሻ e ሺݑାଵ − ݑ ሻ = ሺݑିଵ ሻ. Concluímos então que ݂ ሺ݊ + 1ሻ = ሺ−1ሻାଶ como era de se esperar pela hipótese de indução. CQD. Combinatória O professor pode usar este vídeo quando tratar de combinatória, mais especificamente de combinação. Os números do triângulo aritmético são exatamente a quantidade de combinações que podemos fazer considerando n objetos em grupos de p objetos, que é o número ܥ = ! . !ሺିሻ! Sugestões de leitura J.F. Porto da Silveira, O triângulo de Pascal é de Pascal? http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/histo2.html (2001). Página visualizada em 11/Abril/2010. AZEVEDO, A.. Sequencias de Fibonacci. Revista do Professor de Matematica, 45, p. 44-47, (2001). Élvia Mureb Sallum, Fractais no ensino médio. Revista do Professor de Matematica 57, p. 1-8, (2005). KaCey97007, Fractal for Kaleidospheres & Kaleifractals http://www.flickr.com/photos/kacey/2569739192/ (2008) . Página visualizada em 21/Abril/2010. Ficha técnica Autor: Samuel Rocha de Oliveira Revisora: Laura L.R. Rifo Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva Coordenador acadêmico: Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa VÍDEO O Código de Pascal 9/10 Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira VÍDEO O Código de Pascal 10/10