Controladores

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Controladores

FUNDAMENTOS DE
CONTROLE E AUTOMAÇÃO
Aula 10 – Controladores P, PI, PD e PID
Prof. Marcio Kimpara
Universidade Federal de
Mato Grosso do Sul
Sistema de controle
Na aula anterior foi visto que o método do Lugar das raízes (root-locus) é uma
representação gráfica da localização das raízes da equação característica (polos de
malha fechada) para diferentes valores do ganho k.
Importante, pois
É a localização dos pólos à malha fechada que nos indica o tipo e as características da
resposta: subamortecida, superamortecida, etc... Setando um valor particular para K, a
resposta transiente produzida será ditada pela localização dos pólos daquele ponto do
lugar das raízes.
Porém...
Através do lugar das raízes, estamos limitados a respostas que existam nele. Ou seja,
alterando o valor de K, alteramos a localização dos pólos seguindo uma trajetória prédefinida.
Alternativa
É possível alterar/melhorar a resposta no transiente projetando-a para fora do lugar das
raízes. Para isto temos que alterar o lugar das raízes.
2
Vejamos...
Considere o sistema em malha fechada:
K=1

Imaginary Axis

K s 2  4s  20
s  2s  4
Setando o valor de K em 1 e plotando o lugar das
raízes no Matlab, encontramos:
Root Locus
5
K apenas modifica a localização
dos polos, que, necessariamente
estarão nesta trajetória.
0
-5
-4
-2
0
Real Axis
2
K=25
Imaginary Axis
Setando o valor de K em 25 e
plotando o lugar das raízes
no Matlab, encontramos:
Root Locus
5
0
-5
-4
-2
0
Real Axis
2
Observe que o
valor de K não
altera o lugar
das
raízes
(trajetória)
3
Melhorando a Resposta
Transitória
Assuma que a resposta desejada, com um determinado overshoot e
tempo de assentamento seja definido pelo ponto B. Contudo, com o lugar
das raízes atual, só é possível atingir o ponto A, com o referido percentual
de overshoot. Não temos como ir de A para B porque B está fora do lugar
das raízes, ou seja, não pode ser alcançado apenas com mudanças de
ganho (K).
4
Possibilidade
1) Modificação da dinâmica da planta, ou seja, alterar o sistema
de modo que o lugar das raízes passe por B
– Pode ser simples, de alto custo, ou ainda as vezes não seja possível em
situações práticas (a planta pode ser fixa e não permitir modificações)
2) Ao invés de mudar o sistema atual, podemos compensá-lo com
polos ou zeros adicionais. Assim, o sistema compensado tem
um lugar das raízes que passa pelo polo desejado.
– A compensação fica reduzida à inserção um controlador contendo polos
e/ou zeros, cujas características tendem a compensar os efeitos
indesejáveis/inalteráveis da planta.
Método do Lugar das Raízes
(LR)
• O gráfico do LR pode indicar não ser possível alcançar o
desempenho desejado apenas pelo ajuste do ganho.
• Para alcançar as especificações de desempenho pode ser
necessário redesenhar o LR a partir da inserção de um
compensador apropriado.
• Após o estudo do efeito da adição de pólos e/ou zeros no
LR, pode-se determinar a localização dos pólos e/ou zeros
do compensador que vão remodelar o LR conforme
desejado.
Melhorando o Regime
Permanente
Compensadores não são utilizados apenas para melhorar a resposta
transitória; eles também são utilizados, inclusive de maneira
independente, para melhoria no erro de regime permanente.
Em geral:
• Quanto maior o ganho, menor o erro de estado estacionário, por outro
lado, maior a porcentagem de overshoot;
• Reduzindo o ganho, o erro aumenta;
• O uso de compensadores dinâmicos podem criar redes de
compensação que conseguem estabelecer a resposta em transiente e o
erro esperados.
7
Efeitos da Adição de Pólos
• A adição de um pólo à função de transferência de malha
aberta, tem o efeito de deslocar o LR para direita.
– Diminuição da estabilidade relativa
– Acomodação da resposta fica mais lenta
Efeitos da Adição de Pólos
EXEMPLO: Utilizando o Matlab, plote o lugar das raízes para o sistema
1
S  10
Utilizando o comando rltool, vamos realizar algumas modificações e observar em
tempo real o efeito na resposta ao degrau.
• Alteração no ganho
• Inserção de um pólo em -4
• Inserção de outro pólo em -2
No comand window do Matlab:
>> G = tf( {[1]} , {[1 10]})
Transfer function:
1
-----s + 10
>> rltool(G)
Efeitos da Adição de Zeros
• Desloca o LR para a esquerda
– Sistema fica mais estável
– Acomodação da resposta mais rápida
Compensadores
• O erro de estado estacionário pode ser levado a zero acrescentando
um polo na origem. Esse polo adicional na origem exige o uso de um
integrador;
• A resposta transitória pode ser melhorada com a adição de um
diferenciador puro na malha direta de controle;
• Compensadores que usam integração ou derivação puras são
chamados de compensadores ideais
• Compensadores ideais requerem componentes ativos para sua
implementação prática (amplificadores operacionais e fontes auxiliares)
11
Compensadores
Compensadores são nomeados de acordo com o método que os
implementa ou com suas características
 Sistemas de Controle Proporcionais
Sistemas que encaminham o erro à frente para a planta
 Sistemas de Controle Integrais
Sistemas que encaminham a integral do erro à frente para a planta
 Sistemas de Controle Derivativos
Sistemas que encaminham a derivada do erro à frente para a planta
 Combinações entre eles: PI, PD, PID
12
Compensadores
 Controlador PI
A principal função da ação integral é fazer com que processos do tipo 0 sigam, com erro
nulo, um sinal de referência do tipo degrau. Entretanto, a ação integral se aplicada
isoladamente tende a piorar a estabilidade relativa do sistema. Para contrabalançar este
fato, a ação integral é em geral utilizada em conjunto com a ação proporcional constituindose o controlador PI.
 Controlador PD
A saída de uma processo pode apresentar, intuitivamente, uma certa "inércia" com relação
a modificações na variável de entrada, fazendo com que uma mudança considerável na
saída seja observada apenas um certo tempo depois que o sinal de controle foi aplicado.
Desta forma, dependendo da dinâmica do processo, o sinal de controle estará em "atraso"
para corrigir o erro, gerando transitórios com grande amplitude e período de oscilação,
podendo, em um caso extremo, gerar respostas instáveis.
A ação derivativa quando combinada com a ação proporcional tem justamente a função de
"antecipar" a ação de controle a fim de que o processo reaja mais rápido. Neste caso, o
sinal de controle a ser aplicado é proporcional a uma predição da saída do processo.
13
Compensadores
Controladores PID
- Mais da metade dos controladores industriais em uso atualmente empregam
esquemas de controle PID
- A popularidade dos controladores PID pode ser atribuída parcialmente ao seu
desempenho robusto sobre uma grande faixa de condições operacionais e sua
simplicidade operacional.
- Para se implementar um controlador PID, três parâmetros devem ser
determinados:
- O ganho proporcional Kp
- O ganho integral Ki
- O ganho derivativo Kd
- O processo de encontrar os parâmetros do controlador, dada a especificação, é
conhecido como Sintonia do Controlador.
14
Ação de Controle
 O controle proporcional atua na resposta transitória do sistema de forma a
diminuir o tempo de subida, diminuindo adicionalmente o erro de regime
permanente
 O controle integral elimina por completo o erro de regime permanente, mas pode
piorar a resposta transitória do sistema.
 A ação derivativa tem o efeito de aumentar a estabilidade do sistema, reduzindo
o overshoot e o tempo de estabelecimento, melhorando a resposta transitória.
RESUMO
Esta
tabela
serve
somente
como
direcionamento para sintonia de PID. O
efeito final na variável de saída é ocasionado
pela ação conjunta do controle, e pode não
seguir exatamente as especificações da
tabela. A tabela ao lado serve, portanto,
como um guia rápido, ficando os ajustes
finais do controlador por conta do projetista
15
Configurações
No compensador em cascata a
rede de compensação G1 é
colocada na malha direta
Se a compensação de realimentação
for utilizada, o compensador H1 é
inserido na malha de realimentação.
Ambos alteram os pólos e zeros de malha aberta
criando um novo lugar das raízes que passa pela
localização dos pólos em malha fechada.
16
Anote
Projetar usando o método do Lugar das raízes, significa redesenhar o
lugar das raízes do sistema pela adição de pólos e zeros na função de
transferência de malha aberta, forçando o novo lugar das raízes a
passar pelos pólos de malha fechada desejados no plano complexo.
17
Metodologia de projeto
1) Definir as especificações desejadas (características da resposta)
2) A partir das especificações, encontrar os pólos do sistema a malha
fechada cuja localização produza a resposta desejada
3) Verificar se os pólos que produzem a resposta desejada pertence ao
lugar das raízes. Se sim, ajustar o ganho.
4) Se não, definir a localização de pólos e/ou zeros adicionais,
após inseridos (como função de transferência do compensador)
modificar o lugar das raízes adequadamente para que os pólos
produzem a resposta desejada esteja contido neste novo lugar
raízes.
que
irão
que
das
18
Melhorando o erro de regime
com compensador cascata
Controlador Proporcional-mais-Integral (PI)
Chamaremos o compensador integral ideal de controlador Proporcional
mais integral (PI), pois como veremos sua implementação consiste em
alimentar o erro (proporcionalmente) e a integral do erro à frente para a
planta
Considere o sistema a seguir, operando com uma
resposta em transiente adequada gerada
Ospelos polos de
malha fechada em A
19
Se adicionamos um polo na origem para corrigir o erro de regime, a
contribuição angular dos polos em malha aberta em A não será mais 180º
e, assim, o lugar das raízes não passa mais por A
Os
A inserção de um
polo na origem
alterou o lugar
das raízes
20
Para resolver esse problema, adicionamos um zero
próximo ao polo da origem. Agora, a contribuição do
compensador no zero e do compensador no polo se
cancelam e o ponto A permanece no Lugar das Raízes
Os
A inserção de um
zero próximo ao
polo na origem
“resgatou” o lugar
das raízes anterior
21
Projeto do controlador PI
Um compensador com um polo na origem e um zero próximo dele é
chamado um compensador integral ideal.
O erro de estado estacionário será melhorado sem afetar muito a resposta
em transiente.
EXEMPLO: Dado o sistema abaixo, operando com taxa de amortecimento
Os compensador integral ideal reduz o
de 0,174, mostre que a adição de um
erro de estado estacionário a zero para uma entrada degrau sem afetar
muito a resposta em transiente.
22
Lugar das Raízes
Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)
4
Imag Axis
2
0
Os
-2
-4
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Real Axis
23
Resposta ao degrau sistema não compensado.
Step Response
1.4
Step Response
1.4
1.2
1.2
0.8
Amplitude
Amplitude
System: Closed Loop r to y
I/O: r to y
Final Value: 0.892
1
1
0.6
0.4
0.2
0
0
System:
System: Closed
Closed Loop
Loop rr to
to yy
I/O:
I/O: rr to
to yy
Peak
1.37
Time amplitude:
(sec): 0.943
Overshoot
Amplitude: (%):
1.36 53.9
At time (sec): 0.867
0.8
Os
0.6
0.4
5
10
Time (sec)
15
0.2
0
0
5
10
15
Time (sec)
24
Os que a taxa de amortecimento é de
Analisando o sistema original, foi dado
0,174. Isso implica que o ângulo formado é de 79,98º (ou 100,02º tomando
o complementar)
ζ = cos(θ) ⇒ θ = cos-1 (ζ)
É preciso encontrar o ponto onde a reta que passa pela taxa de
amortecimento encontra o gráfico do lugar das raízes.
25
Utilizando o computador:
Ponto: -0,694 + j3,926
Os
26
K  1 / GH
Reta que representa
o mesmo
amortecimento
1
K
1
s  1s  2s  10  s 0,694 j 3,926
K  164,57  j 0,049
K  164,6
Os
No ponto em que K = 164,6,
temos polos em  0,694  j3,926
Para ζ=0,174, temos n  3,98
pois s1, 2      2  1
27
Calculando o erro de regime permanente
• Para uma entrada em degrau, o erro pode ser calculado através da expressão,
e  
1
1 K p
onde:
Para o sistema em estudo:
K p  lim G(s) 
s 0
erro 
164,6
 8,23
1 2 10
1
 0,108
1  8,23
K p  lim G ( s )
s 0
G( s) 
K
164,6
Os

s  1s  2s  10 s  1s  2s  10
erro  desejado  obtido  0,108
1 (degrau unitário)
Gráfico slide 24
0,892
28
Adicionando o compensador com zero em -0.1 e o polo na
origem:
10
Os
5
Imag Axis
1) Adicionando o pólo na origem, o
lugar das raízes se torna:
0
-5
-10
-15
-10
-5
0
5
Real Axis
29
2) Adicionando o zero em -0.1, temos o seguinte lugar das raízes:
10
Imag Axis
5
Os
0
-5
-10
-15
-10
-5
0
5
Quando se insere um pólo na origem
(dado pelo controlador), a resposta
em regime melhora, tornando-se
nula se a entrada for um degrau.
Entretanto, este pólo na origem
altera o lugar das raízes e
consequentemente
a
resposta
transitória do sistema. Para evitar
que o lugar das raízes seja alterado,
o zero do controlador é sintonizado
(alocado) próximo ao pólo na origem.
Com isso, o lugar das raízes
verificado anteriormente se mantém.
Real Axis
30
Logo, é possível encontrar levar o polo de malha fechada
novamente para o ponto sobre a reta ζ=0,174
Novo polo :  0,678  j3,837
K
1
s  0.1
 K  158,2
s  1s  2s  10  s 0,678 j 3,837
Os
10
Imag Axis
5
0
-5
-10
-15
-10
-5
0
5
Real Axis
31
Resposta ao degrau
sistema
compensado.
Step Response
1.6
1.4
I/O: r to y
Peak amplitude: 1.58
Overshoot (%): 58
At time (sec): 0.762
Amplitude
1.2
I/O: r to y
Final Value: 1
1
0.8
Os
Erro de regime
corrigido
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
Time (sec)
32
Melhorando a Resposta em Transiente
via Compensador em Cascata
• A compensação foi resolvida melhorando o erro de estado
estacionário sem afetar a resposta em transiente
• Vamos agora melhorar a resposta em transiente
Os
• Uso de um Compensador Derivativo
Ideal
• Adição de um zero na função de transferência à frente
• Controlador Proporcional-Mais-Derivativo (PD)
33
Compensador Derivativo (PD)
GC ( s )  s  zc
Relembrando:
Função transferência do controlador, onde Zc é
a localização do zero
Parâmetros transitórios:


TOs

pico 
2
d
n 1  
Tassent. 
4
n

4
d
Parte real   Tempo de amortecime nto 
Parte imaginária   Tempo de pico 
34
EXEMPLO: Influência transiente
pela localização do zero
Mesmo overshoot  
Sistema sem
compensação
Os
Incluindo
zero em -2
35
Os
Incluindo zero em -4
Incluindo zero em -3
36
Os
37
Os
38
Melhorando o Erro de Estado
Estacionário e a Resposta em Transiente
 Combinação das técnicas anteriores
Possibilidade: melhorar o erro de estado estacionário e depois
a resposta em transiente
 Controlador Proporcional-Mais-Integral-Mais-Derivativo
(PID)
Os
39
 Controlador PI
Os
 Controlador PD
40
 Controlador PID
Os
41
Projeto de Controlador PDI – Etapas
1) Avaliar o desempenho do sistema sem compensação para determinar
quanta melhoria na resposta transitória é requerida
2) Projeto do controlador PD (inclui a posição do zero e o ganho) para
atingir as especificações de transiente
3) Verifique se os requisitos foram atendidos
Os
Se não, retorne ao projeto
4) Projete o controlador PI para resultar no erro de estado estacionário
desejado
5) Determine os ganhos K1, K2 e K3 (figura anterior)
6) Verifique se os requisitos foram atendidos
Se não, retorne ao projeto
42
Exemplo: Dado o sistema abaixo, projete um controlador PDI tal que o
sistema opere com tempo de pico que é 2/3 do tempo de pico do sistema
sem compensação a 20% de sobressinal e com erro de estado estacionário
zero para entrada degrau.
Os
43
Pólos malha aberta: (-3, -6 e -10)
Zeros malha aberta: -8
%OS  e
0
,2  e

 


2
 1
 


2
 1








Esboço lugar das raízes:
100
100    0,456
Os
dado
cos       cos1 0,456 
  62,87   180    117 ,13
44
Assíntotas:
a 
a 
 3  6  10    8   11  5,5
3 1
2
2k  1
3 1
n° assíntotas:
n° polos finitos – n° zeros finitos = 2
para k  0    
para k  1    3
Os
2
2
45
Ponto de partida:

 
 
 

1
1
1
1
1
1
   z     p     (8)      (3)      (6)      (10) 

 
 
 

  6  10    3  10    3  6
1

  8
  3  6  10
Os
2s  43s  304 s  684  0
3
2
s  8  j1,66

s  4,62
Não pertence ao
lugar das raízes
46
Pólos:
 5,4  j10,57
K  121,53
n  11,84
Os
e(  ) 
1
1 K p
Tp 
K p  lim G ( s )
s 0
 121,53s  8 
  5,4
K p  lim 
s 0 s  3s  6 s  10  


Ts 
e()  0,156

n 1  
4
n
2
 0,297
 0,74
47
Sistema NÃO compensado
Os
48
Requisitos
Os
49
Compensação
Localizamos o ponto P no plano s e calculamos o ângulo que ele faz com os
polos e zeros do sistema:
 2  1  3   4   198,37
Os
Para que seja múltiplo ímpar de 180º, precisamos acrescentar um zero que forme
um ângulo com P de: 198,37º – 180º = 18,37º
50
Compensação
15,87
 tan(18,37  )
zc  8,13
zc  55,92
Os
Portanto:
GC ( s)  s  55,92 
Função de transferência do controlador
PD que corrige a resposta transiente
para atender aos requisitos
51
Compensação
Sistema com transitório
compensado
Os
52
Compensação
Para correção de regime permanente, faremos
como definido anteriormente: colocamos um
polo na origem (0) e um zero bem próximo a ele
Portanto:
GPI (s) 
s  0.5
s
Os
Para o polo a malha
fechada deste lugar das
raízes:
K  4,6
53
Compensação
Para definir o controlador PID, precisamos calcular K1, K2 e K3,
conforme:
Os
54
Compensação
GPID ( s)  K .s  55,92 .
s  0,5  4,6s  55,92 s  0,5
s
4,6 s 2  56,42 s  27,96
GPID ( s) 
s


s
Comparando com a equação do controlador PID dada no slide anterior:
Os
K 3  4,6
K1
 56,42  K1  259,5
K3
K2
 27,96  K 2  128,6
K3
55
Implementação prática
(PID)
Os
Amplificador operacional
56
Implementação prática
Os
57
Sintonização dos controladores
NÃO
Tentativa e
erro
Modelo do
sistema (Função
transferência) é
disponível?
SIM
Modelo linear
e invariante
no tempo?
SIM
ZieglerNichols
- Lugar das
Raízes
- Bode
58
Ziegler-Nichols
• Ziegler e Nichols definiram regras para a sintonia de controladores PID
baseados na resposta experimental a uma entrada em degrau
• Estas regras se tornam muito úteis quando não temos o modelo matemático
que representa o sistema
• Os resultados para Kp, Ki e Kd obtidos com estas regras são bem próximas
do ideal, mas caso apresentem valores de sobre sinal muito elevados, o
projetista deve realizar uma sintonia fina para alcançar um resultado aceitável
• Os estudos de Ziegler e Nichols ainda serviram de base para a criação de
outros métodos de sintonia de controladores PID
• Existem 2 métodos de regras de sintonia de Ziegler-Nichols: Método da curva
de reação e Método do limiar de oscilação
59
Ziegler-Nichols
Os
60

Controladores

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