Circuitos Elétricos I – EEL420 16/04/2015 Nome: 1) Calcule o valor

Circuitos Elétricos I – EEL420
16/04/2015
Nome:
1) COLOQUE SEU NOME E NUMERE AS FOLHAS DOS CADERNOS DE RESPOSTA
2) RESPONDA AS QUESTÕES EM ORDEM UTILIZANDO ATÉ 2 PÁGINAS POR QUESTÃO (NO MÁXIMO 3)
3) REDESENHE O CIRCUITO E INDIQUE AS CORRENTES E TENSÕES (NOMES E SENTIDOS)
4) ESCREVA AS EQUAÇÕES LITERAIS, E SÓ DEPOIS SUBSTITUA VALORES.
5) O EQUACIONAMENTO DO PROBLEMA É MAIS IMPORTANTE QUE A SOLUÇÃO FINAL!
1) Calcule o valor de R4 para que o circuito se
transforme numa fonte de corrente aplicada sobre RL.
Para este caso, qual o valor e o sentido da corrente
sobre RL? Substitua U1 pelo seu modelo ideal antes
de resolver o problema.
Sugestão: Calcule o equivalente Thevenin do circuito
a direita de RL.
2) Calcule ir. Por malhas ou nós escreva um máximo de 3 equações (além das auxiliares).
3) Determine o valor de R16 e V7 para que o equivalente Thevenin do circuito entre os pontos A e
B, seja igual ao do gráfico. Por malhas ou nós escreva um máximo de 2 equações (além das
auxiliares).
Solução
1) Aplicando uma fonte de corrente (i) no circuito a direita de RL e calculando seu equivalente
Thevenin (v(i)).
−i+
( v−vo)
=0
R3
v (v −vo)
+
=0
R1
R2
Substituindo valores (R1=R2=R3=R) e isolando v, temos v =−R⋅i o que equivale a um resistor
(Req) de valor -R. Transformando v1 e R4 em um equivalente Norton teremos um fonte de corrente
I =v 1 / R4 e uma resistência equivalente igual a R4. Para que o equivalente Norton de todo o
circuito sem RL seja uma fonte de corrente é necessário que R4//Req= ∞ , ou seja, R4=R. Neste caso
a corrente que flui sobre RL, de cima para baixo, é iqual a I.
2) Redesenhando o circuito com R8 ao lado de R7 podemos colocar o nó terra na parte de baixo do
circuito e equacionar os nós A (entre R10, I4, R11 e F1), B (entre R11, B1, F1 e R7) e C (entre R6, F2, R9 e
R8). Equacionando os nós temos:
Nó A:
Nó B:
vA
(v −v )
+ I 4+ A B + I F 1=0
R 10
R 11
(v B−v A ) (v B−3⋅Vy)
(v B−vC )
+
– I F 1+
=0
R 11
R 12
(R7 + R8 )
Nó C:
(v C −v B ) v C
(v −V 2 )
+ −I F 2+ C
=0
(R7 + R8 ) R9
R6
Eq. auxiliar para IF1: I F 1=−1,5⋅
vA
R10
Eq. auxiliar para Vy: Vy=v B−vC
Eq. auxiliar para IF2: I F 2=
V2
V2
– I B 2= −v C
R5
R5
Eq. auxiliar para ir: ir=
(v b−v C )
R7 + R 8
3) Simplificando o circuito observamos que: R13 e I1 estão em curto. R14 está em paralelo com V3.
R18 está em paralelo com V6, R20 e R21 estão em paralelo com V7 que está em paralelo com o circuito
formado por R19, I2, I3 e R22. Assim, o circuito equivalente é formado por F3, R17, R15, R16 e uma fonte
de tensão equivalente Veq=V 3 −V 4 +V 6 +V 7=10+ E com o negativo ligado em B. Devemos anotar
ix=V 7 /R21. e podemos transformar o circuito formado por F3 e R17 no seu equivalente Thevenin
(Fonte de valor 12⋅E com positivo no ponto A e resistor de valor R17).
Para circuito aberto: V =V AB =20=
Para curto circuito: −I =−10=
12⋅E⋅R16
+(10+ E) .
( R15 + R16 + R17)
(−12⋅E)−(10+ E) 0−(10+ E)
+
R 15+ R17
R16
Encontrar a equação da reta e o Thevenin correspondente.
Circuitos Elétricos I – EEL420
11/06/2015
Nome:
PARA ESTA PROVA OBEDEÇA AS SEGUINTES REGRAS
1) COLOQUE SEU NOME E NUMERE AS PÁGINAS DOS CADERNOS DE RESPOSTA (COMO UM CADERNO)
2) RESPONDA AS QUESTÕES EM ORDEM UTILIZANDO ATÉ 2 PÁGINAS POR QUESTÃO (NO MÁXIMO 3)
3) REDESENHE O CIRCUITO E INDIQUE AS CORRENTES E TENSÕES (NOMES E SENTIDOS)
3) ESCREVA AS EQUAÇÕES LITERAIS, E SÓ DEPOIS SUBSTITUA VALORES (NÃO É NECESSÁRIO
ESPERAR A EQUAÇÃO FINAL PARA SUBSTITUIR VALORES).
4) SEJA ORGANIZADO. FAÇA A PROVA COM CAPRICHO!
1) O circuito estava em regime permanente quando, em t=0, a chave S1 abre. Determine Vc(t) para
t>0. Considere V 1=8⋅e−5 t⋅u (t) .
2) O circuito está em regime permanente quanto, em t=0, a chave S1 abre. Determine IL(t) para t>0.
Resolva equacionando as variáveis de estado.
3) O circuito abaixo está ligado a muito tempo. Calcule I(t) para t>0.
Solução
1) Fazendo o Thevenin de R1 e F1, observamos que ix é a corrente que passa por R1 quando a
tensão sobre seus terminais é v. Quando a fonte F1 esta sob a mesma tensão v, por ela passa 2ix. Isto
significa que a fonte F1 é um resistor de valor 0,5·R1. Logo o equivalente Thevenin destes dois
componentes é Rx=4Ω.
Para t<0
v C (0)=
V 2⋅Rx
R 2+ Rx
Para t>0
dv
Rx⋅C⋅ C + v C =V 1
dt
dv C
1
1
+
⋅v C =
⋅V 1 (1)
dt Rx⋅C
Rx⋅C
v C (t )=k 1⋅e−t / RxC +k 2⋅e−5t (2)
Para determinar k1 e k2
-
+
v C (0 )=vC ( 0 )
da equação (1):
d k 2⋅e−5 t k 2⋅e−5 t
1
+
=
⋅8⋅e−5 t
dt
Rx⋅C
Rx⋅C
da equação (2): v C (0)=k 1+ k 2
2) Para t<0 (considerando positiva as correntes de cima para baixo e da esquerda para a direita)
i L (0- )=
V 3⋅( R 3 // R 5) 1
⋅
( R 3 // R 5)+ R 4 R3
v C (0- )=
V 3⋅R 4
⋅R 4
( R 3 // R 5)+ R 4
di L ( 0- ) v C (0)−i L (0)⋅R 4
=
dt
L
Para t>0
(1)
dv C V 3−v C i L
=
− (equação do nó entre capacitor e indutor)
dt
R 3⋅C C
(2)
di L v C – i L⋅R 4
=
dt
L
Isolando v C na equação (2) e substituindo em (1).
d2 i L
L di L R 4
V3
L⋅C⋅ 2 + C⋅R 4+
⋅ +
+ 1 ⋅i L =
R 3 dt
R3
R3
dt
(
) (
)
As raízes do polinômio característico são: s 1,2={−25 ;−10 }
i L ( t)=k 1⋅e−25 t +k 2⋅e−10 t +k 3
-
+
i L ( 0 )=i L (0 ) ,
di L ( 0- ) di L ( 0+ )
,
=
dt
dt
i L (∞)=
V3
R 3+R 4
Para determinar k1, k2 e k3
i L ( 0)=k 1+k 2+k 3
di L ( 0)
=−25⋅k 1−10⋅k 2
dt
i L ( ∞)=k 3
3) Resumidamente, por equações de estado
dv C I 1−i L
(1)
=
dt
C
di L v C – I 1⋅R – i L⋅R
=
dt
L
(2)
Isolando v C na equação (2) e substituindo em (1)
d2 i L
di L
dI 1
C⋅L⋅ 2 + R⋅C⋅ +i L=I 1+C⋅R⋅
dt
dt
dt
As raízes do polinômio característico são: s 1,2={−0,25± j⋅1,39 }
i L (t)=e−0,25 t⋅[ k 1⋅cos(1,39⋅t)+k 2⋅sen(1,39⋅t ) ] +k 3
Para determinar k1, k2 e k3
i L ( 0)=0
diL ( 0) I 1⋅R 6
=
dt
L
i L (∞)=4
Circuitos Elétricos I – EEL420
Nome:
02/07/2015
POR FAVOR
1) COLOQUE SEU NOME E NUMERE AS PÁGINAS DOS CADERNOS DE RESPOSTA (COMO UM CADERNO)
2) RESPONDA AS QUESTÕES EM ORDEM UTILIZANDO ATÉ 2 PÁGINAS POR QUESTÃO (NO MÁXIMO 3)
3) REDESENHE O CIRCUITO E INDIQUE AS CORRENTES E TENSÕES (NOMES E SENTIDOS)
4) ESCREVA AS EQUAÇÕES LITERAIS, E SÓ DEPOIS SUBSTITUA VALORES (NÃO É NECESSÁRIO
ESPERAR A EQUAÇÃO FINAL PARA SUBSTITUIR VALORES).
5) NÃO EQUACIONE SISTEMAS COM MAIS DE TRÊS MALHAS OU NÓS.
6) NÃO É NECESSÁRIO RESOLVER SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
1) Sabendo que V1 tem 120 Vrms e oscila a 60 Hz, Z1 dissipa 360 W com fator de potência unitário
e Z2 dissipa 1400 W com fator de potência 0,8 em atraso, calcule C1 para que o fator de potência
do circuito seja unitário. Nesta condição, qual a potência média da fonte?
2) Determine a potência média em R2. V2 é senoidal com frequência de 60 Hz.
3) O circuito abaixo é chamado de ponte de Wien. Devido a realimentação positiva ele oscila
quando as entradas do operacional são iguais. Determine possíveis valores de R e C para que o
circuito oscile em 10 kHz. Determine possíveis valores de R7 e R8 para que o circuito oscile. A
saída do circuito é a saída do operacional. Resolva usando Laplace.
Solução
1) Sabendo que p̄=Vrms⋅Irms⋅cos(∢V −∢ I )
Z1 é puramente resistivo.
O módulo da corrente em Z2: 1400=120⋅Irms⋅0,8 , logo I =14,58 A
O ângulo de Z2 corresponde ao arcos (0,8) com a corrente atrasada, ou seja, +36,87º
I Z 2rms =14,58∢−36,87=11,664+ j8,748
Para que a fonte enxergue uma carga resistiva a corrente no capacitor tem que cancelar a corrente
reativa de Z2.
I C 1 rms =Vrms⋅j⋅ω⋅C
j⋅8,748=120⋅j⋅2⋅π⋅60⋅C
C=193μ F
2) No transformador da esquerda, enrolamento da esquerda a tensão vale V1 e a corrente entrando
no ponto vale –2·I2. No secundário a tensão vale 2·V1 e a corrente entrando no ponto vale I2. No
transformador da direita, enrolamento da esquerda a tensão vale V3 e a corrente entrando no ponto
vale I2. No secundário a tensão vale 3·V3 e a corrente entrando no ponto vale –I2/3.
Nó entre R4, R3 e o transformador da esquerda:
V 1 – Vs V 1 – 3 V 3
+
+(−2⋅I 2)=0
R4
R3
Nó sobre o primário do transformador da direita
V 3−2⋅V 2
+ I 2=0
R1
Nó entre R3, R2 e o secundário do transformador da direita
( )
V 3 V 3−V 1
I2
+
+ −
=0
R2
R3
3
Resolver o sistema de equações para V1, V3 e I2.
PR 2 =
(3⋅V 3)2
R2
3) Calculando as impedâncias equivalentes
1
R 5⋅
C 2⋅S
R5
Z 1=
=
1
R5⋅C 2⋅S+1
R5+
C 2⋅S
Z 2=R 6+
1
R 6⋅C 3⋅S +1
=
C 3⋅S
C 3⋅S
e igualando as tensões nas entradas do operacional
vo⋅R 7
vo⋅Z 1
=
R 7+ R 8 Z 1+ Z 2
…
R7
R⋅C⋅S
=
R 7+ R 8 ( R⋅C⋅S )2+3⋅R⋅C⋅S +1
R 7⋅( R⋅C⋅S)2 +3⋅R⋅C⋅S +1=R 7+ R 8⋅R⋅C⋅S
igualando os termos em S
R 7+ R 8=R 7
igualando os termos S2 e S0 a zero
(R⋅C)2⋅S2 +1=0
S 2=
−1
(R⋅C )2
substituindo S por j ω
ω=
1
R⋅C
Circuitos Elétricos I – EEL420
Nome:
09/07/2015
POR FAVOR
1) COLOQUE SEU NOME E NUMERE AS PÁGINAS DOS CADERNOS DE RESPOSTA (COMO UM CADERNO)
2) RESPONDA AS QUESTÕES EM ORDEM UTILIZANDO ATÉ 2 PÁGINAS POR QUESTÃO (NO MÁXIMO 3)
3) REDESENHE O CIRCUITO E INDIQUE AS CORRENTES E TENSÕES (NOMES E SENTIDOS)
4) ESCREVA AS EQUAÇÕES LITERAIS, E SÓ DEPOIS SUBSTITUA VALORES (NÃO É NECESSÁRIO
ESPERAR A EQUAÇÃO FINAL PARA SUBSTITUIR VALORES).
5) NÃO EQUACIONE SISTEMAS COM MAIS DE TRÊS MALHAS OU NÓS.
Segunda chamada da P2: Questões 1, 2 e 3
Segunda chamada da P3: Questões 3, 4 e 5
PF: Das questões 2, 3, 4 e 5 escolher três. Resolver 1 pelo tempo, uma por fasores e 1 por Laplace.
1) O circuito estava em regime permanente quando em t=0 S1 abre. Calcule I(t) para t>0.
2) O circuito estava em regime permanente quando, em t=0, S1 troca de posição. Calcule vo(t) para
t>0.
3) Calcule io(t) para t>0
4) Determine C3 para maximizar a potência absorvida por R11.
5) Mostre que vo(s)/vi(s) tem forma de filtro passa altas (ganho maior nas frequências altas).
Solução
1) Para t>0 a resistência vista pelo capacitor vale
Req=R 2 // ( R 1+ R 3)=4 k Ω
τ=Req⋅C
I =k 1+k 2⋅e−t / τ
V 1⋅R 3
=6 V
R 2+ R 3
v C (0 + )=
+
V 1−v C (0 )
I ( 0 )=
=0,5 mA
R 1+ R 3
Para determinar k1 e k2
I ( 0)=k 1+k 2
+
I ( ∞)=k 1
2) Calculando o Thevenin de R6, R7, R8 e I1
RTH =( R 7+ R 8) // R 6=4 k Ω
R6
=4 V
R 6+ R 7+ R 8
Para t>0 o circuito é um RLC série com resistência de 10kΩ
di
1
L⋅ L + R⋅i L + ⋅∫ i L dt=V TH
dt
C
V TH =(I 1⋅R 8)⋅
d 2 i L R diL 1
1 dV TH
+ ⋅ +
⋅i L = ⋅
2
L dt L⋅C
L dt
dt
A equação característica é s 2 +4⋅106⋅s+3⋅10 12=0 cujas raízes são s 1,2={−3⋅106 ;−1⋅10 6 }
vo=R 5⋅i L
6
6
i L =k 1⋅e−3⋅10 ⋅t + k 2⋅e−1⋅10 ⋅t + k 3
+
-
i L ( 0 )=i L (0 )=0
+
+
+
di L ( 0 ) V TH −i L (0 )⋅RTH −v C (0 )
e v C (0 + )=v C ( 0- )=−12V (mesmo sentido de vo)
=
dt
L
i L ( ∞)=0
3) ANÁLISE PELO DOMÍNIO DO TEMPO:
Equacionando por variáveis de estado
di L 0,5⋅i L⋅R 17+ v C −i L⋅R 17−V 4
=
dt
L
V 3 – (0,5⋅i L⋅R 17+ v C )
– iL
dv C
R 16
=
dt
C
substituindo valores
(1)
di L
=−0,5⋅i L +v C −V 4
dt
(2)
dv C
=−1,25⋅i L−0,5⋅v C +0,5⋅V 3
dt
isolando v C em (1) e substituindo em (2)
(
)
d2 i L 0,5⋅di l
0,5⋅di L
4
+
+ dV
+1,25⋅i L +
+ 0,25⋅i L + 0,5⋅V 4−0,5⋅V 3=0
2
dt
dt
dt
dt
d 2 i L di L
4
+ +1,5⋅i L=−0,5⋅V 4 – dV +0,5⋅V 3
2
dt
dt
dt
As raízes da equação característica são: s 1,2=
[
i L =i o=e−t /2⋅ k 1⋅cos
(√ )
−1±√ 5
2
( )]
5
5
⋅t +k 2⋅sen √ ⋅t + k 3
2
2
Para calcular k1, k2 e k3
−V 4
i l( 0+ )=(0- )=
R 17+ R 16
V 4⋅R 16
di L ( 0+ )
+
−0,5⋅R 17⋅i L ( 0+ )
=−0,5⋅i L (0+ )+v C (0+ )−0 e v C (0 )=v C ( 0 )=
R 16+ R 17
dt
ANÁLISE POR LAPLACE
Condições iniciais do capacitor e do indutor (calculadas apenas com a fonte V4, capacitor em aberto
e indutor como curto circuito)
V 4⋅R 16
V4
VC (0)=
−0,5⋅ −R 17⋅
(positivo para cima)
R 16+ R 17
R 16+ R 17
(
)
−V 4
(da direita para a esquerda)
R 16+ R17
As condições iniciais são adicionadas ao circuito como fonte de tensão em série com o capacitor e
fonte de corrente em paralelo com o indutor. Estas duas fontes são degraus.
Para t>0
5
1
V 3 (S )=
, V 4 (S)=0 , XL 4(S)=L 4⋅S , XC 6( S)=
,
S+2
C 6⋅S
IL(0)=
VB1(S)=0,5⋅Vo( S)=0,5⋅I O (S)⋅R 17 , VC 0 ( S)=
VC (0)
IL (0)
, IL0 (S)=
S
S
Malha da esquerda:
−V 3(S)+ I 1⋅R 16+(I 1−I O )⋅XC 6(S)+VC 0 ( S)+VB 1(S)=0
Malha da direita:
−VB 1(S)−VC 0 ( S)+(I O −I 1)⋅XC 6(S)+ I O⋅R17 +[ I O −IL0 (S)]⋅XL 4 (S )=0
Resolver o sistema e com um pouco de paciência calcular a antitransformada usando frações
parciais.
4) Transformando I2 e R9 no seu equivalente Thevenin e associando os componentes em série:
ω=5000 rad / s
Zeq=Req+ j⋅XLeq
Req=R 9+ R 10=800Ω
XLeq= j⋅ω⋅L2+ j⋅ω⋅L 3 – j⋅2⋅ω⋅M = j1600 Ω
Z 1=R 11 // XC 3
Z 1=
R
1− j⋅R⋅C⋅ω
⋅
j⋅R⋅C⋅ω+1 1− j⋅R⋅C⋅ω
Z 1=Zeq *
Como 800=
2
R
R ⋅C⋅ω
1600=
e
2
(R⋅C⋅ω) +1
(R⋅C⋅ω)2 +1
2
2⋅R
R ⋅C⋅ω
=
2
( R⋅C⋅ω) +1 ( R⋅C⋅ω)2+1
C=
2⋅R
−7
=10 F
2
R ⋅ω
5) Nó da entrada negativa:
vo⋅R
vo
=
(1) v =
R+( A−1)⋅R A
Nó da entrada positiva:
vo
+
v =v =
A
(2)
(
)
vo
vo
+ C⋅S⋅ −VA =0
A⋅R
A
Nó VA (entre C4, C5 e R15)
(
(3) C⋅S⋅(VA – vi)+C⋅S⋅ VA –
com um pouco de paciência
vo
K⋅S 2
= 2 ω
vi S + ⋅S+ ω2
Q
)
vo 1
+ ⋅(VA – vo )=0
A
R