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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Dissertação de Mestrado Ronaldo Rocha Ferreira Estimação Fasorial utilizando técnica recursiva dos Mı́nimos Quadrados Santo André 2014 1 Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Dissertação de Mestrado Ronaldo Rocha Ferreira Estimação Fasorial utilizando técnica recursiva dos Mı́nimos Quadrados Trabalho apresentado como requisito parcial para obtenção do tı́tulo de Mestre em Engenharia Elétrica, sob orientação do Professor Doutor Fabiano Fragoso Costa. Santo André 2014 2 Este exemplar foi revisado e alterado em relação à versão original, de acordo com as observações levantadas pela banca no dia da defesa, sob responsabilidade única do autor e com a anuência de seu orientador. Santo André, de de 2014. Assinatura do autor: Assinatura do orientador: 3 Agradeço a DEUS, Nossa Senhora Aparecida, e a meu anjo da guarda por essa importante conquista para eu e para meu paı́s. 4 ”Quem se aceita como é, doando de si à vida o melhor que tem, caminha mais facilmente para ser feliz como espera ser. A nossa felicidade será naturalmente proporcional em relação à felicidade que fizermos para os outros.” André Luiz 5 Agradecimentos Aos amigos, que não fizeram por mim, mas me orientaram no que estava certo ou errado, só tenho a agradecer. Aos inimigos, que me mostraram que o caminho que eles andam é escuro e não leva a lugar algum, só tenho a agradecer. Por fim, a vida, que me mostra que as dificuldades aparecem para o nosso aprimoramento e não para a nossa lamentação, só tenho a agradecer. 6 Resumo Este trabalho propõe um algoritmo de estimação fasorial baseado na versão modificada do algoritmo de mı́nimos quadrados recursivo. Este algoritmo é adequado para proteção de sistemas de potência, uma vez que sua resposta é rápida e robusta à presença da componente dc de decaimento exponencial, que é uma interferência comum em condições de falta atrasando a convergência da estimativa fasorial. Além disso, esta dissertação também investiga o uso do chamado método de Prony, a fim de auxiliar e acelerar a convergência da estimação fasorial do algoritmo dos mı́nimos quadrados. O método de Prony determina o decaimento exponencial a ser extraı́do do sinal analisado. As técnicas desenvolvidas nessa dissertação foram comparadas com o tradicional estimador de Fourier de um ciclo através de simulações realizadas em Matlab e de experimentos realizados com um processador de sinais e um amplificador de sinais. Os resultados mostram melhorias da técnica proposta em comparação ao algoritmo de Fourier e incentivam futuras pesquisas relacionadas a este assunto. Palavras-chave: Estimação fasorial, Mı́nimos quadrados recursivos, Método de Prony, Faltas. 7 Abstract This work proposes a phasor estimation algorithm based on a modified recursive least-squares. This algorithm is suitable for power systems protection once its response quick and robust to the decaying dc component, which is a most usual interference in fault conditions and delays the phasor estimation convergence. Furthermore, this dissertation also investigates the usage of the so-called Prony’s method in order to aid and to speed up the least-squares phasor estimation convergence. This method determines the exponential decaying to be extracted out of the analyzed signal. The present developed techniques have been compared with the traditional one-cycle Fourier estimation by simulation performed on Matlab and by experiments accomplished with a digital signal processor and a signal amplifier. The results show improvements of the proposed techniques over the Fourier algorithm and encourage further research in this topic. Key-words: Fasorial estimation, Least squares, Prony Method, Faults, Distance protection. 8 Sumário 1 Introdução 15 1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2 Estrutura do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Revisão Bibliográfica 18 2.1 Conceitos Básico de Sistemas de Proteção . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Relés Digitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Método de estimação fasorial proposto 22 24 25 3.1 Método de mı́nimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Fator de esquecimento RLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Reajuste da matriz de covariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Caminhada Aleatória - CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Caminha Aleatória Modificada - CAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.6 Método de Prony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.7 Modelo inicial para os sinais analisados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.8 Algoritmo Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.8.1 Esforço Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Resultados 39 40 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 40 Introdução Geral 4.1.1 10 Caracterı́sticas do Hardware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Arranjo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2.1 Sinal sintético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3 Simulações em MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3.1 Variação da Constante de tempo de Decaimento Exponencial . . . . . . . 45 4.3.2 Variação da Taxa de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3.3 Variação da amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3.4 CAM-Prony e CAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.4 Resultados Práticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.4.1 Análise da Variação da Taxa de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.4.2 Análise da Variação da Constante de tempo de Decaimento Exponencial 78 5 Conclusões e perspectivas da pesquisa 5.1 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 82 Bibliografia 83 A Publicações 88 A.1 Publicação em Congresso Internacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Demonstração - MQR 88 89 Lista de Figuras 2.1 Sistema de Proteção Básico (Phadke, 2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Diagrama básico de um relé digital (Phadke, 2009). . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1 Estrutura do método de Prony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Estrutura do algoritmo proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Janelamento do sinal com N amostras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.1 Diagrama de blocos da parte experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Arranjo experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 Sinal sintético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4 Fase estimada: (a) τ = 0.1s; (b) τ = 0.03s; (c) τ = 0.001s. . . . . . . . . . . . . 46 4.5 Fase estimada - τ = 0.1s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.6 Sinal com distúrbio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.7 Amplitude estimada: (a) τ = 0.1s; (b) τ = 0.03s; (c) τ = 0.001s. . . . . . . . . . 50 4.8 Fase estimada, taxas: (a) 960Hz ; (b) 1920Hz ; (c) 3840Hz. . . . . . . . . . . . . 53 4.9 Fase estimada - Taxa de amostragem de 1920Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.10 Fase estimada - Taxa de amostragem 3840Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.11 Amplitude estimada, taxas: (a) 960Hz ; (b) 1920Hz ; (c) 3840Hz. . . . . . . . . . 58 4.12 Amplitude estimada - Taxa de amostragem 3840Hz.. . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.13 Fase estimada, amplitudes de: (a) 1:2 ; (b) 1:3 ; (c) 1:4. . . . . . . . . . . . . . . 63 4.14 Amplitude estimada: (a) 1:2 ; (b) 1:3 ; (c) 1:4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 11 Lista de Figuras 12 4.15 Fase estimada: (a)Taxa de amostragem 3840Hz (b)1920Hz ; (c)Amplitude 1:3. . 68 4.16 Constante de tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.17 Amplitude estimada:(a)Taxa 3840Hz (b)1920Hz ; (c)Amplitude 1:3. . . . . . . . 72 4.18 Fase estimada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.19 Amplitude estimada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.20 Fase estimada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.21 Amplitude estimada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.22 Fase estimada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.23 Amplitude estimada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.24 Fase estimada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.25 Fase estimada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Lista de Tabelas 4.1 Parâmetros do sinal de corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Resultados numéricos referente a fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3 Resultados numéricos referente a amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.4 Parâmetros do sinal de corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.5 Resultados numéricos referente a fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.6 Resultados numéricos referente a amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.7 Parâmetros do sinal de corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.8 Parâmetros do sinal de corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.9 Resultados numéricos referente a fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.10 Resultados numéricos referente a amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.11 Resultados numéricos referente a fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.12 Resultados numéricos referente a amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.13 Parâmetros do sinal de corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.14 Parâmetros do sinal de corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 13 Glossário AD Conversor Analógico para Digital CAM Caminhada aleatória modificada CAM-Prony Algoritmo CAM auxiliado pelo método de Prony CVT Capacitive Voltage Transformer DC Direct Current DFT Discrete Fourier Transform DSP Digital Signal Processor FFT Fast Fourier Transform LS Least Square MODWT Maximal Overlap Discrete Fourier Transform RLS Recursive Least Square SEP Sistema Elétrico de Potência TC Transformador de Corrente TPC Transformadores de Potencial Capacitivo Trip Sinal indicativo de falta elétrica 14 Capı́tulo 1 Introdução Uma série de fatores impelem as concessionárias de energia elétrica a buscarem novas técnicas de proteção do sistema mais eficientes e confiáveis. Deve-se considerar, primeiramente, que a crescente demanda por energia, necessariamente, aumenta a complexidade do sistema. Além disso, essa demanda é qualificada, isto é, exige-se da concessionária que o fornecimento de energia seja realizado sem interrupções e que a tensão de suprimento seja perfeitamente senoidal. Isso implica que confiabilidade e qualidade de energia são metas mais importantes na operação do sistema. Finalmente, outro fator que estimula as concessionárias a mais eficácia na operação do sistema, é a nova regulação jurı́dica do setor elétrico que impõe um ambiente de competição entre seus agentes. Qualquer sistema de energia elétrica está exposto a diferentes tipos de faltas das mais diversas origens. A proteção do SEP(Sistema Elétrico de Potência) deve atuar rapidamente para isolar a região de uma eventual falta para que seu efeito não se faça sentir em outras áreas do sistema e para que a restauração seja a mais rápida possı́vel. Na ocorrência de uma falta, os fasores de corrente e de tensão apresentam uma componente aperiódica de decaimento exponencial, dificultando a estimação fasorial. O aparecimento da componente aperiódica ocorre devido ao comportamento indutivo da linha de transmissão (ANDERSON, 1999). Outros fatores também interferem na estimação fasorial, tais como, não linearidades causadas pela saturação do núcleo de transformadores de corrente (TCs), transitórios provocados por transformadores de potencial capacitivo (TPCs) (SILVA, 2009), harmônicos e inter-harmônicos (COSTA, 2005). 15 Capı́tulo 1. Introdução 16 Os algoritmos de estimação fasorial, mesmo sob a influência das interferências que corrompem os sinais de corrente e tensão, devem estimar os fasores de forma rápida e precisa. Nessa dissertação buscou-se realizar uma pesquisa que estude as técnicas existentes de estimação fasorial e proponha uma possı́vel nova técnica objetivando mitigar o efeito da componente aperiódica. 1.1 Objetivos Este trabalho objetiva pesquisar um método de estimação fasorial baseado no algoritmo de mı́nimos quadrados e no algoritmo de Prony. O método proposto realiza a estimação fasorial utilizando-se de dois algoritmos, o de Prony e de mı́nimos quadrados (CAM ). O algoritmo de Prony tem a função de auxiliar o método CAM estimando a constante de tempo do sinal amostrado, cabendo ao algoritmo CAM realizar a estimação dos parâmetros. Para tanto, faz-se necessário, além da combinação dos dois algoritmos, a proposição de uma forma recursiva para que a técnica dos mı́nimos quadrados seja adequada em aplicações de proteção em sistemas elétricos de potência. A utilização da forma recursiva, RLS(Recursive Least Square), faz-se necessário devido ao menor esforço computacional comparado a forma básica(em batelada). O LS (Least Square) processa as amostras do sinal na forma de batelada enquanto que o RLS atribui pesos a elas. No algoritmo de Prony, devido a dificuldade em determinar as raı́zes de um polinômio, é necessário realizar ajustes, com o intuito de torna-lo aplicável em sistemas que exijam processamento em tempo real. A validação das técnicas desenvolvidas no decorrer desta pesquisa serão realizadas por meio de sinais sintéticos e de sinais de simulações de sistemas sob condições de falta. 1.2 Estrutura do Trabalho Esta dissertação está organizada de acordo com a seguinte estrutura: • No Capı́tulo 1, descrive-se a motivação da dissertação e os objetivos. Capı́tulo 1. Introdução 17 • No Capı́tulo 2, realiza-se a revisão bibliográfica de trabalhos cientı́ficos relacionados ao tema e o conceito básico utilizado em sistemas de proteção. • No Capı́tulo 3, apresenta-se o método de estimação fasorial proposto bem como a teoria envolvendo a formulação matemática. • Os resultados obtidos utilizando o algoritmo CAM e o CAM auxiliado por Prony são apresentados no Capı́tulo 4. Nesse mesmo capı́tulo, demonstra-se o comportamento do algoritmo CAM em uma aplicação prática. • No Capı́tulo 5, epresenta-se as conclusões a respeito do estudo sobre os algoritmos de estimação fasorial desenvolvidos nessa dissertação e as perspectivas de futuras pesquisas. • Nos apêndices, A é listada a publicação em congresso proveniente do trabalho desta dissertação. No B, demonstra-se a formalução matemática aplicada ao método dos mı́nimos quadrados. Capı́tulo 2 Revisão Bibliográfica Em sistemas elétricos de potência que utilizam a proteção digital, a estimação fasorial é um dos processos matemáticos realizados internamente em um relé digital. Sob a ótica da estimação fasorial, existem alguns fatores a serem analisados, tais como: eliminação da componente DC de decaimento exponencial, estimação fasorial precisa quando há presença de transientes de alta frequência e velocidade de processamento do algoritmo. Alguns dos algoritmos utilizados em sistemas de proteção, tais como o algoritmo de Fourier, wavelet, Mı́nimos Quadrados Recursivos e Prony, tratam os problemas acima citados de forma a minimizar o impacto que esses fatores provocam na estimação dos fasores. Nesse capı́tulo é realizada uma breve revisão teórica dos métodos citados acima que tratam dos problemas relacionados à estimação fasorial. Sem dúvida, algoritmos baseados na DFT(Discrete Fourier Transform) são os mais popularmente utilizados em dispositivos de proteção e controle (PHADKE; THORP, 2009). No entanto, estes métodos apresentam resultados errôneos quando o sinal é corrompido pela componente DC exponencial (CHO; LEE; JANG, 2009). Usualmente, a DFT é aplicada em uma janela de um ciclo ou meio ciclo. Em se tratando de algoritmos de um ciclo, alguns trabalhos propostos na literatura procuram contornar essa susceptibilidade acrescentando ao algoritmo básico da DFT estruturas como filtros mı́micos invariantes (BENMOUYAL, 1995), ou adaptativos (YU, 2007) que procuram filtrar a componente DC exponencial sem calculá-la explicitamente. Essas estratégias apresentam bons 18 Capı́tulo 2. Revisão Bibliográfica 19 resultados se o expoente do decaimento for conhecido previamente.Outros algoritmos melhoram o desempenho da DFT por meio da estimação direta da componente DC exponencial e de sua extração dos sinais a serem analisados (GU; YU, 2000)(GUA; YU; YU, 2006), com a necessidade de amostras adicionais dos sinais. Já em relação aos algoritmos de meio ciclo que utilizam a DFT, os trabalhos mostram que, apesar do aumento da rapidez da resposta, os resultados são ainda propensos aos erros oriundos a presença da componente DC e de harmônicos pares (ARGUELLES et al., 2006)(SACHDEV; NAGPAL, 1991). Outros algoritmos utilizam os filtros da função cosseno (responsável pela parte real da resposta da DFT) e seno (responsável pela parte imaginária) separadamente no tratamento dos sinais (FERRER; VERDUZCO; MARTINEZ, 1996). Esses métodos exploram a vantagem da maior robustez dos filtros cosseno à componente DC (SACHDEV; BARIBEAU, 1979). Em (WONG et al., 2001), desenvolve-se uma estratégia para calcular fasores sincronizados. Sob condições de regime permanente, o erro do fasor obtido pelo algoritmo proposto é bem pequeno, em torno de 0.001pu em amplitude e em torno de 0.05o de fase. Durante os transitórios e considerando desvios na frequência, o desempenho do algoritmo proposto é melhor quando comparado ao da FFT(”Fast Fourier Transform”). Na pesquisa realizada por (SILVA; NEVES; SOUZA, 2008), apresenta-se um algoritmo de estimação fasorial que combina as caracterı́stica do filtro MODWT(”Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform”) e as caracterı́sticas do filtro LES(”Least Error Square”). A resposta no tempo e na frequência do filtro projetado é comparado a um filtro tradicional que utiliza a DFT(Discrete Fourier Transform). Os resultados obtidos mostraram que o filtro projetado apresenta resposta semelhante a filtros baseados na DFT de meio ciclo com a vantagem da precisão dos resultados iguais a DFT de um ciclo. No trabalho de (SILVA; NEVES; SOUZA, 2010), descreve-se um algoritmo de estimação fasorial, que utiliza filtros ortogonais de ciclo completo em conjunto com um filtro adaptativo que remove a componente DC de decaimento exponencial. Os filtros ortogonais de ciclo completo são projetados utilizando a técnica que combina a MODWT e o LES. A eliminação da componente de decaimento DC é realizada usando um filtro mimico digital cuja resposta no tempo Capı́tulo 2. Revisão Bibliográfica 20 e na frequência são comparados com estes ou outros algoritmos de ciclo completo citados nas referências. Os resultados obtidos revelam que o algoritmo proposto rejeita todas as harmônicas, sendo menos sensı́vel a inter-harmônicas e apresentando melhor resposta a transientes com velocidade de convergência superior comparado a outros algoritmos de ciclo completo. Além da DFT, outra técnica muito utilizada na estimação de fasores é o algoritmo de mı́nimos quadrados (SACHDEV; BARIBEAU, 1979). Em essência, o algoritmo de mı́nimos quadrados é um ajuste de curva em que a métrica é a soma dos erros quadráticos entre as amostras do sinal e do seu modelo. Na sua aplicação em batelada podem ser utilizados algoritmos de um ciclo (ROSOLOWSKI; IZYKOWSKI; KASZTENNY, 2001) ou meio ciclo (SIDHU; ZHANG; V.BALAMOUROUGAN, 2005). Uma maneira de aumentar a velocidade de convergência do algoritmo dos mı́nimos quadrados é a utilização de janelas de tamanho variável (SANAYE-PASAND, 2011).Uma versão recursiva do algoritmo de mı́nimos quadrados foi proposta em (SACHDEV; NAGPAL, 1991). A utilização de técnicas recursivas, particularmente as baseadas em mı́nimos quadrados, é uma alternativa segura aos métodos baseados em Fourier, pois podem ser igualmente robustas com baixo custo computacional e rápida convergência (SACHDEV; NAGPAL, 1991). Por outro lado, algoritmos recursivos não são naturalmente adaptativos já que todas as amostras passadas do sinal influem na estimativa atual dos parâmetros de interesse, o que implica em uma resposta lenta a mudanças nos parâmetros estimados. Matematicamente, essa caracterı́stica é relacionada com a chamada matriz de covariância P, que, por sua vez, relaciona-se diretamente ao ganho K, do algoritmo. Quão maior esse ganho, maior é a capacidade do algoritmo responder as variações abruptas dos parâmetros que estão sendo estimados. Nas técnicas de estimação baseadas em mı́nimos quadrados, o problema surge porque na medida em que os parâmetros são estimados e o erro da estimativa é reduzido, o ganho também é reduzido. Dessa forma, a maioria das técnicas que tentam aperfeiçoar os mı́nimos quadrados na forma recursiva manipulam a norma da matriz de covariância a partir do disparo do algoritmo (SALCIC; CAO; NGUANG, 2006)(COLMAN; WELLS, 2006)(WILLIAMSON, 1995). Capı́tulo 2. Revisão Bibliográfica 21 Outro aspecto importante da utilização de técnicas de mı́nimos quadrados na forma recursiva é a possibilidade de rejeitar mais adequadamente a componente DC de decaimento exponencial. Isso pode ser realizado, por exemplo, pela adição de regressores ao modelo do sinal que emulam o efeito da exponencial. Esses regressores podem ser calculados por meio de uma expansão de Taylor como proposto em (SACHDEV; NAGPAL, 1991) cujo trabalho utilizou os primeiros dois termos desta expansão. Posteriormente, uma expansão de um termo, ou seja, apenas o componente DC aproximando a exponencial, foi apresentada em (WILLIAMSON, 1995) com resultados satisfatórios. Em relação aos distúrbios harmônicos, pode-se afirmar que o desempenho da técnica de mı́nimos quadrados é robusta se os harmônicos forem previstos no modelo do sinal. Uma versão estocástica do método de mı́nimos quadrados na forma recursiva é o conhecido filtro de Kalman (COSTA; NAIDU; COSTA, 2004)(SACHDEV; WOOD; JOHNSON, 1985). Na literatura relativa a sistemas elétricos, o método de Prony é utilizado, principalmente, no processamento offline de sinais de corrente e de tensão para fins de monitoramento da qualidade da energia elétrica fornecida pela concessionária elétrica (ZYGARLICKI et al., 2010) (PENG; NAIR, 2009) (CHEN; CHANG, 2013). Neste trabalho, propõe-se investigar a utilização do algoritmo de Prony para estimação da componente exponencial que interfere na estimação dos fasores fundamentais dos sinais de corrente de sistemas sob faltas. Vale salientar que devido ao método proposto ser desenvolvido no contexto de proteção de sistemas elétricos, o algoritmo de Prony deve ser aplicado em tempo real. Isso implica em dificuldades matemáticas, pois em sua formulação, como será mostrado no próximo capı́tulo, faz-se necessário a solução de um sistema linear em conjunto com a determinação de zeros de um polinômio. Capı́tulo 2. Revisão Bibliográfica 2.1 22 Conceitos Básico de Sistemas de Proteção O objetivo desta seção é demonstrar de uma forma geral um sistema de proteção, onde o trabalho pesquisado nesta dissertação se aplica. O sistema de proteção tem como objetivo manter a integridade do SEP caso ocorra uma eventual (PHADKE; THORP, 2009). Na ocorrência da de uma falta elétrica, é necessário desligar o ramo de alimentação o mais rápido possı́vel, isolando-o para proporcionar uma redução na possibilidade de possı́veis danos aos aparelhos conectados ao sistema elétrico (BLACKBURN; DOMIN, 2007). Caso não ocorra o isolamento do trecho defeituoso, todo o sistema pode ser comprometido, podendo haver sobre carga em um ramo de alimentação e como consequência provocar o efeito cascata. Um sistema de proteção básico é ilustrado na Figura 2.1. O disjuntor tem a função de isolar o ramo defeituoso ao receber o sinal de Trip(Sinal indicativo de falta elétrica) enviado pelo relé. O desligamento do ramo é realizado no instante em que a corrente atinge amplitude de zero amperes, evitando dessa forma danos causados por arcos voltaicos. O transdutores CVT(Capacitive Voltage Transformer) e o TC(Transformador de Corrente) tem a função de reduzir os nı́veis de tensão e de corrente para valores seguros; para que possam ser medidos pelos equipamentos do sistema de proteção. TC Disjuntor Relé CVT Bateria Figura 2.1: Sistema de Proteção Básico (Phadke, 2008). As atribuições básicas para os sistemas de proteção, a fim de atender as exigências mı́nimas Capı́tulo 2. Revisão Bibliográfica 23 necessárias a proteção de sistemas elétricos são: • 1. Confiabilidade (”Reliability”): O sistema de proteção deve assegurar que a proteção vai atuar corretamente. • 2. Seletividade: O fornecimento deve ser mantido e apenas o circuito elétrico afetado pela falta será isolado. • 3. Velocidade de atuação: O tempo de duração da falta deve ser a mı́nima possı́vel, diminuindo os danos causados aos equipamentos e a instabilidade no sistema. • 4. Simplicidade: Esse item corresponde ao mı́nimo de equipamento possı́vel para se alcançar a proteção do sistema. • 5. Economia: Significa potencializar a proteção com o menor custo possı́vel, sem que haja prejuı́zo na confiabilidade do sistema de proteção. Capı́tulo 2. Revisão Bibliográfica 2.1.1 24 Relés Digitais Observando as gerações de relés de proteção, os relés digitais são os mais utilizados atualmente. Especificamente, a pesquisa desenvolvida nesse trabalho objetiva verificar o comportamento de algoritmos aplicáveis aos relés digitais. Os relés digitais são dispositivos que possuem um microcomputador interno responsável por realizar diversas funções, como por exemplo a estimação fasorial. O diagrama de bloco básico de um relé digital é ilustrado na Figura 2.2. V Sistema Elétrico I Filtro de Linha Isoladores de Saída Filtro antialising Saídas Digitais AD Processador Memória RAM Memória ROM Memória EEPROM Figura 2.2: Diagrama básico de um relé digital (Phadke, 2009). Analisando a Figura 2.2, tem-se no primeiro bloco o Filtro de Linha. Esse estágio tem a função de não permitir a passagem de tensões e correntes elevadas no relé. O Filtro anti-alising é responsável por atenuar frequências prejudiciais à análise dos sinais de tensão e de corrente. O bloco do AD amostra os sinais V e I transformando-os em um sinal discreto. O conjunto Processador, Ram, Rom e EEProm fazem parte do sistema eletrônico responsável por analisar os sinais. Os blocos de Saı́das Digitais e Isoladores de Saı́da tem como função fazer a interação do relé com o meio externo. Capı́tulo 3 Método de estimação fasorial proposto Neste capı́tulo é apresentado o algoritimo de estimação fasorial desenvolvido nesta dissertação. Para tanto, na seção 3.1 é demonstrado a teoria básica relativa a estimação de parâmetros pelo método de mı́nimos quadrados em sua forma recursiva. Na seção 3.6, apresenta-se o método não linear de Prony para estimação de frequências e amortecimentos exponenciais. O algoritmo proposto aqui é uma combinação destes dois métodos. 3.1 Método de mı́nimos quadrados O algoritmo de mı́nimos quadrados é uma técnica de estimação paramétrica utilizada para resolver o seguinte problema: deseja-se ajustar uma função modelo yb a um conjunto de N amostras de uma grandeza y qualquer. O ajuste deve minimizar a soma dos erros quadráticos das diferenças entre os valores das amostras e da função modelo. Se o ajuste resultar da estimação de parâmetros nos quais a função depende linearmente, o algoritmo de mı́nimos quadrados é dito linear (COSTA, 2005). Suponha que um sinal y[n], n = 1, 2, · · · , N, é modelado por: yb[n] = ϕ1 [n]α1 + ϕ2 [n]α2 + ........ + ϕp [n]αp , (3.1) em que as funções ϕ1 , ϕ2 , · · · , ϕn são os regressores do modelo dependente de p parâmetros: α1 , α2 , · · · , αp . Para a compactação das equações, é conveniente expressar os regressores e os 25 Capı́tulo 3. Método de estimação fasorial proposto 26 parâmetros, respectivamente, da seguinte forma: ϕn = [ϕ1 [n] ϕ2 [n] · · · ϕp [n]]T , (3.2) α = [α1 α2 · · · αp ] . (3.3) Como foi mencionado anteriormente, no método de mı́nimos quadrados, os parâmetros são estimados de forma a minimizarem o erro quadrático v, v[N] = N X (b y [i] − y[i])2 . (3.4) i=1 A solução deste problema é muito bem conhecida (AGUIRRE, 2000), e é fornecida pela equação (3.5), −1 T b = MT M α M y, (3.5) em que y é o vetor cujo os elementos são as amostras do sinal y e a matriz dos regressores M é fornecida por: ϕ1 [1] ϕ2 [1] · · · ϕp [1] ϕ1 [2] ϕ2 (2) · · · ϕp [2] M= . .. .. . . . . ϕ1 [n] ϕ2 [n] · · · ϕp [n] . (3.6) −1 T O produto MT M M se chama pseudoinversa e a estimação fornecida na equação (3.5) é dita solução em batelada, ou solução em lote. Todavia, ela utiliza de uma única vez todas as amostras do sinal analisado o que resulta em um grande esforço computacional. Para aplicações em que se deseja atualizar a estimativa a cada nova leitura de uma amostra, algoritmos em batelada, em geral, não são uma boa alternativa. Isso motivou a busca de um algoritmo que recursivamente (HAYKIN, 2002) atualiza a solução descrita em (3.5). Capı́tulo 3. Método de estimação fasorial proposto 27 O passo inicial do algoritmo de mı́nimos quadrados recursivo é estimar no tempo inicial, um conjunto de parâmetros para a função modelo yb. A estimação inicial gera o chamado erro a priori ou de predição, descrito como: e0 [n + 1] = y[n + 1] − yb0[n + 1] (3.7) O sobrescrito em yb[n + 1] na equação (3.7) indica que sua predição é realizada utilizando o vetor de parâmetros conhecido no instante anterior, ou seja no instante discreto n. Desse modo: yb0 [n + 1] = αTn ϕn (3.8) O erro a priori é utilizado para que o algoritmo de mı́nimos quadrados melhore a estimativa dos parâmetros procurados. Através de uma combinação linear dos parâmetros estimados no tempo discreto n e do erro de predição, projeta-se a estimativa dos parâmetros: b n+1 = α b n + Kn e0 [n + 1], α (3.9) em que o ganho Kn é fornecido por (ver Demonstração - MQR): Kn = Pn ϕn T ϕn Pn ϕn + 1 , (3.10) e P é uma matriz de dimensão p × p, chamada matriz de covariância. Antes de iniciar o algoritmo, ela deve ser estimada. Sua projeção para o tempo n + 1 ocorre de acordo com a equação (ver apêndice A): Pn+1 = Pn − Pn ϕn ϕTn Pn . 1 + ϕTn Pn ϕn (3.11) A equação (3.11) não fornece adaptabilidade (HAYKIN, 2002) para o algoritmo de mı́nimos quadrados mas as próximas subseções fornecem os meios mais adequados para contornar o problema. Capı́tulo 3. Método de estimação fasorial proposto 3.2 28 Fator de esquecimento RLS Esse é um método bem popular entre engenheiros que projetam filtros adaptativos, visto que a ideia básica é determinar pesos aos sinais amostrados, atribuindo a eles um fator λ. Para as amostras mais recentes é atribuı́do maior peso (PALEOLOGU; BENESTY; CIOCHINA, 2008)(THAM; MANSOORI, 1988). Dessa forma é possı́vel definir a seguinte função custo J. N 1 X N −1 λ [y[i] − ϕTi αN ]2 , J(αN , N) = 2 i=1 (3.12) na qual λ é o fator de esquecimento e N o ı́ndice para última amostra. O fator λ tem que estar na faixa compreendida entre 0 < λ < 1. Note que se λ é fixado no valor 1, todas as amostras terão pesos iguais. O fator de esquecimento modifica a matriz de covariância da seguinte maneira (AGUIRRE, 2000): P n−1 ϕn ϕTn Pn−1 1 . Pn−1 − Pn = λ λ + ϕTn Pn−1ϕn 3.3 (3.13) Reajuste da matriz de covariância Outra forma de tornar o filtro RLS adaptativo é ajustar diretamente a matriz de covariância P (COLMAN; WELLS, 2006)(LIAVAS; REGALIA, 1999). O ajuste da matriz de covariância pode ser considerado mais estável numericamente do que o método do fator de esquecimento (THAM; MANSOORI, 1988). A estratégia é monitorar o traço da matriz de covariância, tr(P). No instante em que valor do traço da matriz P alcança um limite inferior Linf , a matriz de covariância é resetada para uma matriz diagonal cujos elementos são valores de covariância e é representado por σ 2 (SODERSTRON; STOICA, 1989). Capı́tulo 3. Método de estimação fasorial proposto 29 Matematicamente, considerando os instantes C={t1 , t2 , t3 , ...} sendo os instantes em que tr(P ) <= Linf , se t ∈ C, então a atualização da matriz P é realizada utilizando a equação padrão (3.11), caso contrário o ajuste é realizado como: P i = σ 2 I, (3.14) em que I é a matriz identidade. 3.4 Caminhada Aleatória - CA A caminhada aleatória é outra estratégia com objetivo de tornar o algoritmo RLS padrão em um algoritmo adaptativo (SODERSTRON; STOICA, 1989)(WILLIAMSON, 1995). A técnica é similar à utilizada no filtro de Kalman. Ela consiste em não permitir que o traço da matriz de covariância alcance valores reduzidos antes da convergência dos parâmetros. Deste modo, uma matriz simétrica positiva R é adicionada a matriz de covariância em todos os instantes de tempo, sendo a atualização da matriz de covariância é fornecida por: Pn+1 = Pn + R. (3.15) Sabe-se (PAPOULIS, 1991) que a estimativa dos parâmetros é ótima se a variação destes é descrita como: αi+1 = αi + w i , (3.16) no qual wi é a média de um vetor nulo de ruı́do branco e R é sua matriz de covariância. Os elementos da diagonal de R devem refletir a variação de amplitude dos parâmetros. Capı́tulo 3. Método de estimação fasorial proposto 3.5 30 Caminha Aleatória Modificada - CAM De forma a tornar a caminhada aleatória mais apropriada para a aplicação em relés digitais, uma estratégia chamada de Caminhada Aleatória Modificada é apresentada nesse trabalho. Diferentemente da Caminhada Aleatória padrão, a CAM utiliza a equação (3.15) somente quando o erro de predição alcança certo nı́vel e deixa de ser utilizada quando o erro está abaixo de um limite pré-definido. Em termos matemáticos: Pn+1 Pn − Pn ϕTn ϕTn Pn , se |en | ≤ ǫ. 1+ϕn Pn ϕn = Pn + R, se |en | > ǫ. (3.17) em que ǫ é ajustado arbitrariamente. O algoritmo CAM pode ser resumido no seguinte conjunto de equações (COSTA et al., 2013): Kn = Pn ϕn ϕT n Pn ϕn +λ e0 [n + 1] = y[n + 1] − yb0 [n + 1] b n+1 = α b n + Kn e0 [n + 1] α Pn − Pn ϕTn ϕTn Pn , se |en | ≤ ǫ. 1+ϕn Pn ϕn Pn+1 = Pn + R, se |en | > ǫ. (3.18) A equação (3.18) demonstra a estrutura do método CAM. O vetor Kn é referente ao ganho do algoritmo e varia em função da matriz de covariância P . A equação e0 [n + 1] representa o erro a priori. Nessa equação é analisada a condição de mudança de atualização da matriz de covariância P. Na equação α bn+1 , é extraı́da a informação referente ao sinal analisado. Por último, na equação Pn+1 , é realizado à atualização da matriz de covariância em função do erro, e0 [n + 1], calculado pelo algoritmo. Capı́tulo 3. Método de estimação fasorial proposto 3.6 31 Método de Prony O método de Prony, desenvolvido pelo francês Gaspard Riche de Prony em 1795, é uma técnica utilizada para ajustar um determinado sinal contendo senóides exponencialmente amortecidas ao um conjunto de p exponenciais contendo N amostras, sendo que para cada exponencial amortecida é determinada à amplitude complexa e o pólo (MOHAMMADI et al., 2011). Utilizando o método de Prony em um sinal amostrado, y[n] com um perı́odo de amostragem ∆t, pode-se determinar um modelo que é a soma de exponenciais complexas. Dessa forma o modelo yb[n] pode ser descrito por: yb[n] = p X hk zkn−1 , (3.19) k=1 em que p é a ordem do modelo, hk é uma amplitude complexa e zk é um pólo complexo. Estes últimos parâmetros são definidos por: hk = Ak ejθk (3.20) zk = e[(1/τk +j2πfk )∆T ] (3.21) Nesse modelo quatro parâmetros devem ser determinados: • Ak - amplitude da exponencial complexa • fk - frequência em Hz • 1/τk - taxa de decaimento ou amortecimento • θk - fase em radianos Capı́tulo 3. Método de estimação fasorial proposto 32 Para determinar os quatro parâmetros descritos acima são necessárias no mı́nimo 2p equações complexas. Cada equação complexa origina duas equações reais. No nosso caso considere um sistema com N amostras, gerando N equações, com N>2p. h1 z10 + h2 z20 + · · · + hp zp0 = y[1] h1 z11 + h2 z21 + · · · + hp zp1 = y[2] .. . (3.22) h1 z1N −1 + h2 z2N −1 + · · · + hp zpN −1 = y[N]. Escrevendo na forma matricial a equação (3.22): z10 z20 z11 z21 .. . .. . ··· zp0 ··· .. . zp1 .. . z1N −1 z2N −1 · · · zpN −1 h1 h2 .. . hp y[1] y[2] = . , . . y[N] (3.23) O sistema (3.23) pode ser escrito na forma compacta da seguinte forma: Zh = y. (3.24) Analisando o sistema (3.24), é possı́vel verificar que este possui em sua estrutura equações complexas que são de difı́cil resolução. Para conseguir contornar o problema da dificuldade de resolução do sistema (3.24), o método de Prony propõe a construção de um polinômio φ(z), descrito por: φ(z) = p X am z p−m , (3.25) m=0 em que z1 , z2 , · · · , zp são os pólos do modelo descrito pela equação (3.19). A equação (3.25) Capı́tulo 3. Método de estimação fasorial proposto 33 pode ser reescrita como: φ(z) = ap z p + ap−1 z p−1 + · · · + a1 z + a0 (3.26) Observando a equação (3.26), pode-se definir o vetor a, descrito por: a = [a0 a1 · · · ap−1 ap · · · 0 0]1×N (3.27) Sem perda de generalidade, considera-se o coeficiente ap = 1. Efetuando-se a multiplicação do vetor a nos dois lados da equação (3.24), obtém-se: aZh = ay = 0, (3.28) pois, o produto entre o vetor a e matriz Z resulta em um vetor linha nulo. Observe, por exemplo, que o produto entre o vetor a e a primeira coluna de Z resulta em: a0 y[1] + a1 y[2] + a2 y[3] + · · · + y[p + 1] = 0 (3.29) Sucessivos vetores a podem ser formados ao se deslocar os elementos não nulos da a para a direita, dessa forma são formados vetores a’ , como mostrado abaixo: a’ = [0 a0 a1 · · · ap−1 1 · · · 0]1×N (3.30) Considerando-se a equação (3.28) com o vetor (3.30), obtém-se: a0 y[2] + a1 y[3] + a2 y[4] + · · · + y[p + 2] = 0 (3.31) O deslocamento do vetor a é realizado até a obtenção da última equação. y[N − p] + ap−1 y[N − p + 1] + · · · + a0 y[N] = 0 (3.32) Capı́tulo 3. Método de estimação fasorial proposto 34 Dessa forma é possı́vel obter o sistema abaixo: y[1] y[2] .. . y[N −p] = − y[2] y[5] · · · y[p + 1] a0 y[3] y[4] · · · y[p + 1] a1 . .. .. .. .. .. . . . . y[N − p + 1] y[N − p + 2] · · · y[N] ap−1 (3.33) A solução do sistema (3.33) permite a determinação dos coeficientes do polinômio φ(z). Resolvendo a equação: ap z p + ap−1 z p − 1 + · · · + a1 z + a0 = 0, (3.34) determina-se os pólos z1 , z2 , · · · , zp . As raı́zes complexas obtidas na equação (3.34) contém as informações dos pólos que inicialmente desejava-se encontrar utilizando-se o sistema (3.23). Com os pólos obtidos em (3.34), é possı́vel determinar os coeficientes de amortecimento 1/τ k e as frequências fk do sinal analisado (COSTA, 2005). 1 = τk ln tan−1 ωi = ∆T Real(zk ) cos(ωk ∆T ) Im(zk ) re( zk ) ∆T , . (3.35) (3.36) Capı́tulo 3. Método de estimação fasorial proposto A Figura 3.1 mostra o diagrama de blocos que resume o método de Prony. y Método de Prony Construção do sitema - Eq 4.33 Solução do sistema Obtenção do polinômio - Eq 4.34 Pólos z k Determinação do coeficiente exponencial Eq 4.35 Figura 3.1: Estrutura do método de Prony 35 Capı́tulo 3. Método de estimação fasorial proposto 3.7 36 Modelo inicial para os sinais analisados No caso deste trabalho, os sinais a serem analisados são correntes e tensões oriundas de sistemas elétricos sob falta. Dessa forma, um modelo adequado para tais sinais seria: y(t) = Ad e−t/τ + A cos(ωt + θ). (3.37) O objetivo deste modelo é simular uma situação de falta em um sistema elétrico de potência. O primeiro termo da equação (3.37) representa à componente DC de decaimento exponencial e o segundo termo a componente senoidal. Desenvolvendo o modelo (3.37) na forma de exponencial complexa, obtém-se: −t/τ y(t) = Ad e ej(ωt+θ) + e−j(ωt+θ) +A 2 y(t) = Ad e−t/τ + Aejθ jωt Ae−jθ −jωt e + e 2 2 O método de Prony garante a determinação dos pólos e−t/τ , ejωt , e−jωt . (3.38) (3.39) O método de mı́nimos quadrados proposto neste trabalho requer a construção dos seguintes regressores: e−t/τ , cos(ωt), sin(ωt). O modelo para a aplicação do método de mı́nimos quadrados, é derivado da equação (3.37) e pode ser escrito por: y(t) = Ad e−t/τ + A cos(θ) cos(ωt) − A sin(θ) sin(ωt) (3.40) A estimação da amplitude A e da fase θ é realizada pelo algoritmo CAM ; referente a seção 3.5. Capı́tulo 3. Método de estimação fasorial proposto 3.8 37 Algoritmo Proposto O algoritmo de estimação fasorial proposto neste trabalho é baseado no método de mı́nimos quadrados discutido na seção (3.1) e no método de Prony desenvolvido na seção 3.6. Resumidamente, o método de mı́nimos quadrados fornece a estimativa do fasor fundamental e o método de Prony estima a intensidade do decaimento exponencial que corrompe o sinal sob análise. O método de Prony atua em uma janela móvel do sinal. Esta janela é constituı́da de um número fixo de N amostras. Com o resultado da aplicação do método de Prony nesta janela, obtém-se, genericamente, as frequências das senoides e os coeficientes das exponenciais contidas no sinal analisado. No caso, inicialmente, investigado neste trabalho, a única variável de interesse é o coeficiente do decaimento exponencial que corrompe o sinal. Note que no modelo, descrito pela equação (3.36), pode-se, previamente, presumir o conhecimento da frequência fundamental ω e a única variável a se determinar é o coeficiente τ . A aplicação do método dos mı́nimos quadrados se realiza recursivamente, ou seja, ao receber a estimativa de τ , oriunda do estágio de Prony, renova-se o vetor de regressores: ϕn = [e −n∆t τ sin(ωn∆t) cos(ωn∆t)], (3.41) e a cada amostra do sinal o vetor dos parâmetros é atualizado conforme: αn = [α1 α2 α3 ], (3.42) em que α1 = Ad , α2 = A sin(θ) e α3 = A cos(θ) O fasor, constituı́do da amplitude, A, e fase,θ, da componente fundamental, é obtida por meio das relações: q A = α12 + α22 , e − θ = tan 1 α2 α3 (3.43) . (3.44) Esquematicamente, o algoritmo proposto neste trabalho pode ser visualizado no diagrama de Capı́tulo 3. Método de estimação fasorial proposto 38 blocos mostrado na Figura 3.2 e o bloco correspondente ao janelamento é detalhado na Figura 3.3. y[n] Janelamento yj Método de Prony Caminhada aleatória modificada (algoritmo 4.18) Fasor Figura 3.2: Estrutura do algoritmo proposto y[n] janelamento y j[1] = y j[2] y j[2] = y j[3] y j[N-1] = y j[N] y j [N] = y[n] yj Figura 3.3: Janelamento do sinal com N amostras Capı́tulo 3. Método de estimação fasorial proposto 3.8.1 39 Esforço Computacional Um dos fatores a serem analisados nos algoritmos de estimação fasorial é o esforço computacional. No SEP é desejável que a proteção isole a região com problemas o mais rápido possı́vel (BLACKBURN; DOMIN, 2007). Em relés de alta velocidade, a atuação do relé deve ser menor que 50ms (IEEE, 100). Porém, em um relé de proteção, a estimação fasorial não é a única tarefa a ser realizada pelo relé. Por esse motivo, é imprescindı́vel que a estimação fasorial não demande tempo de processamento elevado. É verificado nessa subseção o esforço computacional no MatLab (THE. . . , 2013), do algoritmo CAM e FFT. A análise é realizada estimando a quantidade de multiplicações e divisões necessárias para estimar os fasores em um intervalo de amostra do sinal utilizando-se três elementos no vetor dos regressores. O algoritmo CAM e FFT são configurados com a taxa de amostragem de 1920Hz. Analisando a quantidade de multiplicações e divisões, é estimado que para cada intervalo de amostra, o algoritmo CAM utiliza trinta e cinco multiplicações e quinze divisões e no algoritmo da FFT são necessárias oitenta multiplicações e vinte divisões. A diferença da quantidade de operações de multiplicações no algoritmo CAM em relação a FFT é devido a caracterı́stica interna do algoritmo. O algoritmo da CAM é derivado do algoritmo dos mı́nimos quadrados sendo fundamentado em cálculo matricial (HAYKIN, 2002). No algoritmo da FFT é necessária a utilização de funções trigonométricas que, consequentemente, aumentam a quantidade de multiplicações. Com os resultados apresentados verifica-se que o método CAM exige menor esforço computacional na estimação fasorial. Capı́tulo 4 Resultados 4.1 Introdução Neste capı́tulo são apresentados os resultados de simulação e experimentais com o objetivo é testar o método de estimação proposto nesta dissertação. O capı́tulo está organizado de acordo com as seguintes seções. Na segunda seção, apresenta-se o aparato experimental utilizado para gerar e analisar os sinais sintéticos e processá-los com o processador digital de sinais. Na terceira seção, os resultados das simulações são apresentados. Nesta seção, os sinais são gerados e analisados utilizando-se de códigos em Matlab. O desempenho do método da Caminhada Aleatória Modificada (CAM) é investigado por meio da variação de três parâmetros de simulação, especificamente: (a) a constante de tempo da componente DC de decaimento exponencial, (b) a taxa de amostragem dos sinais analisados e a (c) razão entre amplitudes dos sinais pré e pós do evento simulado de falta. Nesta seção, compara-se o desempenho do método CAM com o da transformada de Fourier de um ciclo na estimação dos fasores. Esta comparação também é realizada com e sem o auxı́lio do método de Prony. Na quarta seção, os resultados experimentais são apresentados. Os sinais testados na quarta seção são idênticos aos testados na seção anterior. A sequência utilizada na parte experimental é primeiramente realizar as simulações em MatLab, encarregado de gerar os sinais, e depois de alcançados os resultados desejados fazer a amplificação do sinal utilizando o aparelho Omicron 40 Capı́tulo 4. Resultados 41 (OMICRON, 2013). O algoritmo CAM e FFT são programados no processador de ponto flutuante DSP(”Digital Signal Processor”) TMS320F28335 (TEXAS, 2013), responsável pela análise dos sinais. A apresentação dos resultados é realizada pelo ”software” do processador encarregado de gerar um arquivo para a análise dos resultados. A Figura 4.1 representa o diagrama de blocos da parte experimental. Gerador de sinais ( MatLab ) Amplificação Análise dos Sinais ( Omicron - CMC 256 Plus ) ( DSP - TMS320F28335 ) Apresentação dos resultados Figura 4.1: Diagrama de blocos da parte experimental. 4.1.1 Caracterı́sticas do Hardware A verificação do comportamento do método proposto é realizada utilizando um distúrbio no sinal de corrente. No entanto, a entrada analógica do DSP amostra o sinal em tensão (V ). Dessa forma, a tensão amostrada pelo AD do DSP equivale a uma corrente proporcional a corrente da linha de transmissão. Para não danificar o processador, a entrada analógica do DSP somente deve possuir amplitudes de 0V a 3V. A resolução do AD é obtida por meio da equação (4.1). ∆V = 3V 2n bits (4.1) Como exemplo, calculando a resolução do AD utilizando a equação (4.1), tem-se ∆V = 3 212 , obtendo ∆V = 7, 3242.10−4V . A cada degrau de conversão do AD é possı́vel uma precisão de 7, 3242.10−4V ou 732µV . Com a resolução de 732µV , é possı́vel amostrar pequenas variações de tensão provenientes do transformador de corrente (TC ). Capı́tulo 4. Resultados 4.2 42 Arranjo experimental Na Figura 4.2 demonstra três equipamentos utilizados na parte experimental descritos na seção 4.1. O computador (1) tem a função de gerar os pontos em MatLab e transmiti-los para o amplificador de corrente (2). O amplificador de corrente ao receber os dados do MatLab tem a função de gerar as amostras do sinal simulado para o DSP (3). Os resultados gerados pelo DSP são recebidos pelo computador (1) e posteriormente analisados. Figura 4.2: Arranjo experimental. Capı́tulo 4. Resultados 4.2.1 43 Sinal sintético Na Figura 4.3 verifica-se a existência de um off-set de 1, 5V . O off-set de 1, 5V é necessário devido a caracterı́stica do AD do DSP não permitir tensões bipolares. Para eliminar o offset, internamente ao algoritmo da CAM assim como o da FFT, o sinal amostrado é subtraı́do de uma constante de valor 1,5. Dessa forma, valores de tensão abaixo de 1, 5V são considerados como tensões negativas e o inverso como tensões positivas. Com essa estratégia é obtido à bipolaridade do sinal. Porém, a solução apresentada não é a única forma de se extrair o off-set do sinal de corrente. Outra maneira é alocar a constante de 1,5 no vetor dos regressores, equação (3.2). Desta forma, é possı́vel extrair o off-set sem que se tenha interferência na estimação fasorial. Sinal de corrente com Distúrbio 3 Amplitude (V) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.1 0.2 0.3 Tempo (s) Figura 4.3: Sinal sintético. 0.4 0.5 Capı́tulo 4. Resultados 4.3 44 Simulações em MatLab Como mencionado anteriormente, neste capı́tulo são apresentados os resultados simulados obtidos utilizando-se o método CAM simulado no MatLab. Como fonte de comparação é utilizado o algoritmo de Fourier, FFT de um ciclo. A análise dos resultados, sob forma de tabela, é realizada sobre três aspectos: tempo de acomodação, tempo de subida e ultrapassagem percentual. O tempo de acomodação é o tempo em que o algoritmo CAM leva para alcançar o valor de regime de pós-falta com um erro de ±3%. O tempo de subida é analisado levando-se em consideração o tempo em que o algoritmo CAM demora a alcançar 90% do valor de regime. Para a análise da ultrapassagem percentual, é analisado o pico máximo estimado pela CAM de pós-falta. Em cada Figura o método CAM é representado por uma linha preta tracejada e o algoritmo da FFT representado por uma linha traço ponto em azul. Como referência do valor correto das grandezas estimadas, é desenhada nas Figuras uma linha continua em vermelho. O tempo de simulação está compreendido entre 0s ≤ t ≤ 0, 5, sendo esse tempo considerado suficiente para a verificação do comportamento da CAM. O instante de tempo da falta permanece inalterado em todas as simulações e está localizada no intervalo de tempo de 0, 026s ≤ t ≤ 0, 22s. Capı́tulo 4. Resultados 4.3.1 45 Variação da Constante de tempo de Decaimento Exponencial Nesta subseção, altera-se apenas a constante de tempo de decaimento exponencial τ do sinal de corrente. Os valores simulados de τ , nesse ordem, são τ = 0.1s , τ = 0.03s e τ = 0.001s. Na configuração do algoritmo CAM, o valor da matriz R, taxa de amostragem e o erro são de 1, 1920Hz e 0,5, respectivamente. A definição de R e o erro são encontradas na seção 3.5. Para o sinal de corrente são atribuı́dos os valores da Tabela 4.1. No algoritmo da FFT, a taxa de amostragem adotada é a igual à utilizada na CAM. Tabela 4.1: Parâmetros do sinal de corrente. Amplitude de pré-falta 0,15V Amplitude de pós-falta 0,75V Fase de pré-falta 38o Fase de pós-falta 65o Para a apresentação dos resultados, primeiramente é demonstrado às figuras da fase e em seguida uma tabela demonstrando os resultados numéricos obtidos relativo a fase. A análise da amplitude segue a mesma forma de apresentação da fase. Analisando a fase com as constantes de tempo simuladas de τ = 0.1s, τ = 0.03s e τ = 0.001s são obtidas as Figuras 4.4 sendo os resultados numéricos demonstrados nas Tabelas 4.2. Capı́tulo 4. Resultados 46 Fase 70 65 60 Fase (graus) 55 50 45 40 35 FFT CAM Defasagem estabecida 30 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 (a) Fase 70 65 Fase (graus) 60 55 50 45 40 FFT CAM Defasagem estabecida 35 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 (b) Fase 70 65 Fase (graus) 60 55 50 45 40 FFT CAM Defasagem estabecida 35 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 (c) Figura 4.4: Fase estimada: (a) τ = 0.1s; (b) τ = 0.03s; (c) τ = 0.001s. Capı́tulo 4. Resultados 47 Tabela 4.2: Resultados numéricos referente a fase. CAM FFT (a) - τ = 0.1s Tempo de acomodação (s) 0,084 0,117 Tempo de subida (s) 0,0632 0,0627 Ultrapassagem percentual (%) -6,46 -2,06 (b) - τ = 0.03s Tempo de acomodação (s) Tempo de subida (s) Ultrapassagem percentual (%) 0,1011 0,0632 -6,54 0,1178 0,0627 -2,12 (c) - τ = 0.001s Tempo de acomodação (s) Tempo de subida (s) Ultrapassagem percentual (%) 0,0774 0,0628 27,54 0,0782 0,0627 -3,92 O tempo de acomodação da CAM na Tabela 4.2, para τ = 0.1s, apresenta-se melhor comparado com a FFT. Analisando os dois itens, tempo de subida e ultrapassagem percentual, o método CAM possui o comportamento não muito vantajoso comparado com a FFT. No entanto, o atraso no tempo de convergência na Figura 4.4(a) logo após o distúrbio no algoritmo CAM, é menor em relação a FFT. O atraso no tempo de convergência da FFT e da CAM é melhor visualizada na Figura 4.5 no intervalo compreendido entre 0, 065s ≤ t ≤ 0, 08s. Na ocorrência do distúrbio, a FFT responde de forma inadequada e abrupta, possuindo dessa forma uma oscilação de ascendência negativa maior comparada ao método CAM. A CAM, por sua vez, não apresenta oscilação abrupta logo após o distúrbio, fazendo a estimativa da fase mais suave e próxima da fase real. Devido a ultrapassagem percentual ser elevada na FFT após o distúrbio, demanda a ela um tempo de acomodação maior; como verificado na Tabela 4.2(a). À análise para a constante de tempo de τ = 0.03s é visualizado a fase estimada na Figura 4.4(b). Nessa figura nota-se que o comportamento do método CAM é estável do inicio ao fim da estimação fasorial. Na Tabela 4.2(b) é possı́vel verificar que o comportamento do método CAM é semelhante Capı́tulo 4. Resultados 48 Fase 70 65 Fase (graus) 60 55 50 45 40 35 FFT CAM Defasagem estabecida 30 0.06 0.065 0.07 0.075 Tempo (s) 0.08 0.085 0.09 Figura 4.5: Fase estimada - τ = 0.1s. ao apresentado na Tabela 4.2(a). Houve um pequeno aumento no tempo de acomodação. O aumento no tempo de acomodação ocorre devido ao comportamento do sinal de distúrbio. Quando a constante de tempo aumenta, o sinal do distúrbio possui o decaimento exponencial maior, consequentemente o método CAM necessita um pouco mais de tempo para estabilizar. Com relação ao tempo de subida, manteve-se igual, e a ultrapassagem percentual apresentou uma pequena mudança. A fase estima para a constante de tempo τ = 0.001s é obtida na Figura 4.4(c). É possı́vel notar na Figura 4.4(c) que a estimação da fase pelo método CAM apresentase mais estável comparado com as outras constantes de tempo. Para a constante de tempo τ = 0.001s, o sinal de corrente de pós-falta praticamente não apresenta decaimento exponencial, como representado na Figura 4.6. O sinal de corrente possui apenas duas senóides de amplitudes diferentes. Capı́tulo 4. Resultados 49 Sinal de corrente com Distúrbio 3 Amplitude (V) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Tempo (s) Figura 4.6: Sinal com distúrbio. Quando um sinal é conhecido, é possı́vel modela-lo no vetor dos regressores, como demonstrado na equação (3.2). Sendo assim, ocorre nesse caso, a possibilidade de se modelar o sinal de corrente apenas com os parâmetros seno e coseno, tornando a estimativa da fase e amplitude mais próxima possı́vel do valor real. A Tabela 4.2(c) demonstra os resultados alcançados pelo método CAM na estimativa da fase. Verifica-se que o tempo de acomodação da CAM é melhor comparado ao obtido pela FFT. O tempo de subida praticamente apresenta-se com o mesmo valor da FFT. A estimação da amplitude do algoritmo CAM frente ao sinal de distúrbio utilizado, é visualizado nas Figuras 4.7. Nas Tabelas 4.3 são demonstrados os resultados numéricos. Capı́tulo 4. Resultados 50 Amplitude 0.8 Amplitude (V) 0.75 0.7 0.65 FFT CAM Corrente estabelecida 0.6 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (a) Amplitude 0.82 0.8 Amplitude (V) 0.78 0.76 0.74 0.72 0.7 0.68 FFT CAM Corrente estabelecida 0.66 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (b) Amplitude 0.86 0.84 0.82 Amplitude (V) 0.8 0.78 0.76 0.74 0.72 FFT CAM Corrente estabelecida 0.7 0.68 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 (c) Figura 4.7: Amplitude estimada: (a) τ = 0.1s; (b) τ = 0.03s; (c) τ = 0.001s. Capı́tulo 4. Resultados 51 Tabela 4.3: Resultados numéricos referente a amplitude. CAM FFT (a) - τ = 0.1s Tempo de acomodação (s) 0,088 0,1302 Tempo de subida (s) 0,0648 0,0657 Ultrapassagem percentual (%) 0,94 8,56 (b) - τ = 0.03s Tempo de acomodação (s) Tempo de subida (s) Ultrapassagem percentual (%) 0,1134 0,0648 1,85 0,1219 0,0658 5,12 (c) - τ = 0.001s Tempo de acomodação (s) Tempo de subida (s) Ultrapassagem percentual (%) 0,0783 0,0688 5,6 0,0802 0,0721 14,25 Na Tabela 4.3(a) referente a Figura 4.7(a), a amplitude estimada pelo método CAM apresenta resultados superiores comparados com os resultados apresentados pela FFT. No item tempo de acomodação, o método CAM é 42, 2ms mais rápido comparado com a FFT. A ultrapassagem percentual no método CAM é 7, 62% menor em relação a FFT. No tempo de subida a diferença da CAM em relação a FFT não é muito acentuada, porém o método CAM apresenta o resultado melhor. Na Figura 4.7(b), percebe-se que o comportamento da CAM para a estimação da amplitude, comporta-se bem do inı́cio ao final da estimação comparado ao algoritmo da FFT. Os resultados numéricos da estimação da amplitude são demonstrados na Tabela 4.3(b). Na Figura 4.7(c), tem-se o comportamento da estimação da amplitude mais suave devido a caracterı́stica do sinal de distúrbio. Os resultados numéricos são apresentados na Tabela 4.3(c). Capı́tulo 4. Resultados 4.3.2 52 Variação da Taxa de Amostragem Nessa subseção são analisados os resultados obtidos pelo método CAM alterando-se apenas a taxa de amostragem e fixando os parâmetros do sinal de corrente com os dados da Tabela 4.4. As taxas de amostragem utilizadas são de 960Hz, 1920Hz e 3840Hz. A configuração do algoritmo CAM é realizada ajustando a matriz R e a variável erro com os valores de 10 e 0,5, respectivamente. Tabela 4.4: Parâmetros do sinal de corrente. Constante de tempo τ 0,05s Amplitude de pré-falta 0,15V Amplitude de pós-falta 0,75V Fase de pré-falta 38o Fase de pós-falta 65o Realizando as configurações no algoritmo CAM e no sinal de corrente, são obtidas as Figuras 4.8 da fase estimada. Capı́tulo 4. Resultados 53 Fase 70 65 Fase (graus) 60 55 50 45 FFT CAM Defasagem estabecida 40 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (a) Fase 70 65 Fase (graus) 60 55 50 45 40 FFT CAM Defasagem estabecida 35 30 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (b) Fase 75 70 Fase (graus) 65 60 55 50 45 40 FFT CAM Defasagem estabecida 35 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (c) Figura 4.8: Fase estimada, taxas: (a) 960Hz ; (b) 1920Hz ; (c) 3840Hz. Capı́tulo 4. Resultados 54 Tabela 4.5: Resultados numéricos referente a fase. CAM FFT (a) - 960Hz Tempo de acomodação (s) 0,1 0,12 Tempo de subida (s) 0,063 0,062 Ultrapassagem percentual (%) -8,76 1,9 (b) - 1920Hz Tempo de acomodação (s) Tempo de subida (s) Ultrapassagem percentual (%) 0,110 0,0632 -6,49 0,126 0,0627 2,3 (c) - 3840Hz Tempo de acomodação (s) Tempo de subida (s) Ultrapassagem percentual (%) 0,101 0,076 -11,23 0,126 0,063 -4,92 A Figura 4.8(a) demonstra a convergência do algoritmo CAM para a fase de pré e pós-falta do sinal de corrente utilizando-se dos parâmetros da Tabela 4.4 . Verifica-se que a fase estimada corresponde à fase do sinal de corrente, apresentando divergência apenas no inı́cio da estimação e logo após a falta. O atraso no tempo de convergência inicial da FFT ocorre devido ao vetor da janela deslizante ser configurado com valor zero para as primeiras amostras. Já no método CAM, o atraso inicial, ocorre devido ao ajuste da matriz de covariância P, (COSTA et al., 2013). No perı́odo de pré-falta, percebe-se que a convergência do método CAM é mais rápida e menos abrupta comparada com o algoritmo da FFT. Existe uma pequena oscilação da fase estimada da CAM e FFT em torno da fase estabelecida. A oscilação da FFT é devido ao sinal de corrente não ser periódico. A FFT é derivada da DFT, dessa forma o algoritmo FFT possui as mesmas caracterı́sticas do algoritmo da DFT ; porém, a FFT, demanda um tempo de processamento reduzido (COSTA, 2005) (CARVALHO, 2008). No algoritmo CAM, a oscilação da estimação da fase ocorre devido a não parametrização da constante de tempo no vetor dos regressores (COSTA, 2005) (SACHDEV; NAGPAL, 1991). Para a parametrização, seria necessário Capı́tulo 4. Resultados 55 fazer a estimativa da constante de tempo exponencial e aloca-la no vetor dos regressores, como discutido na Seção 3.6. Os resultados do tempo de acomodação, tempo de subida e ultrapassagem percentual para a fase referente a Figura 4.8(a) são demonstrados na Tabela 4.5(a). Utilizando a taxa de amostragem de 1920Hz, são obtidos os resultados da Tabela 4.8(b). Verifica-se que o comportamento da estimação da fase no método CAM de pré-falta da Figura 4.8(b) é semelhante ao da Figura 4.8(a). Para se ter um bom tempo de acomodação, é necessário alterar o valor do erro e da matriz R. Mantendo-se os mesmos valores do erro e da matriz R utilizados na taxa de amostragem de 960Hz, o tempo de acomodação e o atraso no tempo de convergência aumentam. A piora do tempo de acomodação e de convergência se deve a diminuição do valor no traço da matriz de covariância (COSTA et al., 2013). Uma forma de corrigir o erro provocado pelo traço da matriz de covariância é alterar o valor da matriz R. A mudança do valor do valor da matriz R é um ajuste heurı́stico para melhorar a performance do algoritmo CAM. Analisando o perı́odo de pré-falta da Figura 4.9, compreendido no intervalo aproximado de tempo 0s ≤ t ≤ 0, 2s, verifica-se que o método CAM alcança a fase estabelecida mais rapidamente. A melhora no tempo de convergência inicial da estimação, se deve a alteração do valor da matriz de covariância P, sendo necessária a mudança do valor da matriz P a cada variação da taxa de amostragem. Os resultados da estimação da fase e amplitude com o algoritmo CAM configurado com a taxa de amostragem de 3840Hz são demonstrados. A Figura 4.8(c) ilustra a fase estimada. A Tabela 4.5(c) demonstra em números os resultados encontrados para a fase. Nesse tabela, é possı́vel verificar que o tempo de acomodação do algoritmo CAM é melhor em relação a FFT. Os dois parâmetros, tempo de subida e ultrapassagem percentual apresentam-se com o resultado desfavorável para o método CAM. Porém, na Figura 4.10, no intervalo de 0, 0625s ≤ t ≤ 0, 085s, é possı́vel notar que a CAM é mais estável em relação a FFT. Sendo a CAM mais estável, o tempo de acomodação torna-se mais rápido. Pode-se dizer que o método CAM caminha para estabilidade, na estimação da fase, de forma mais ”comportada”, (SERNA, 2005). Logo após o Capı́tulo 4. Resultados 56 Fase 150 Fase (graus) 100 50 0 −50 −100 FFT CAM Defasagem estabecida −150 0 0.005 0.01 0.015 0.02 Tempo (s) 0.025 0.03 Figura 4.9: Fase estimada - Taxa de amostragem de 1920Hz. distúrbio a FFT tem uma oscilação muito acentuada enquanto a CAM vai para o ponto de acomodação de forma mais suave. Fase 65 60 Fase (graus) 55 50 45 40 35 FFT CAM Defasagem estabecida 30 0.06 0.065 0.07 0.075 Tempo (s) 0.08 0.085 Figura 4.10: Fase estimada - Taxa de amostragem 3840Hz. Capı́tulo 4. Resultados 57 Analisando a amplitude, pode-se verificar o comportamento semelhante ao da fase. A análise é semelhante devido ao fato da amplitude ser obtida a partir dos mesmos parâmetros que originam a fase, vide equação (3.43) e (3.44). Na Figura 4.11, é demonstrado o comportamento da amplitude estimada utilizando os parâmetros da Tabela 4.4. O método CAM apresenta o comportamento semelhante ao algoritmo da FFT, porém com menos oscilação no inı́cio da estimação de pré-falta e pós-falta. As amplitudes são obtidas nas Figuras 4.11 e os resultados numéricos nas Tabelas 4.6. Capı́tulo 4. Resultados 58 Amplitude 0.82 Amplitude (V) 0.8 0.78 0.76 0.74 0.72 FFT CAM Corrente estabelecida 0.7 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (a) Amplitude 0.82 0.8 Amplitude (V) 0.78 0.76 0.74 0.72 0.7 FFT CAM Corrente estabelecida 0.68 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 (b) Amplitude 0.8 Amplitude (V) 0.78 0.76 0.74 0.72 0.7 FFT CAM Corrente estabelecida 0.68 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Tempo (s) 0.4 0.45 0.5 (c) Figura 4.11: Amplitude estimada, taxas: (a) 960Hz ; (b) 1920Hz ; (c) 3840Hz. Capı́tulo 4. Resultados 59 Tabela 4.6: Resultados numéricos referente a amplitude. CAM FFT (a) - 960Hz Tempo de acomodação (s) 0,13 0,13 Tempo de subida (s) 0,068 0,065 Ultrapassagem percentual (%) -8,53 9,86 (b) - 1920Hz Tempo de acomodação (s) Tempo de subida (s) Ultrapassagem percentual (%) 0,122 0,0648 0,986 0,13 0,0658 7,04 (c) - 3840Hz Tempo de acomodação (s) Tempo de subida (s) Ultrapassagem percentual (%) 0,105 0,066 -5,6 0,13 0,066 5 Na região de pós-falta na Figura 4.11(a), para a taxa de amostragem de 960Hz, verifica-se que o método CAM converge mais rapidamente em relação ao algoritmo da FFT. A velocidade de convergência do algoritmo CAM é devido à adição da matriz simétrica positiva R a matriz de covariância P, como demonstrado na Seção 3.5 na equação (3.17). A Tabela 4.6(a) fornece os resultados da amplitude estimada. Analisando os resultados numéricos da Tabela 4.6(a), verifica-se que o algoritmo CAM apresenta melhor desempenho em relação ao algoritmo da FFT. Nota-se na Figura 4.11(a) o comportamento oscilatório de pós-falta do método CAM. A oscilação ocorre principalmente por dois motivos, os parâmetros a serem estimados variam ao longo do tempo (COSTA, 2005). Inicialmente o sinal a ser estimado é apenas uma função senóide e logo após o distúrbio existe a adição de uma componente exponencial, equação (3.37). Para que o algoritmo faça a estimação com resultados mais precisos, é necessário alocar a constante de tempo τ no vetor dos regressores, equação (3.1), eliminando significativamente a oscilação. O outro motivo é a diminuição do traço da matriz de covariância. Quando o traço da matriz de covariância P possui valores abaixo da representação numérica computacional, ocorre erros de truncamento. O problema se deve a representação numérica ser Capı́tulo 4. Resultados 60 finita (GIMENEZ, 1995) (COSTA et al., 2013). Durante a análise do estudo da CAM, verificou-se que uma possı́vel solução para tentar atenuar a oscilação é implementar no algoritmo CAM o fator de esquecimento, Seção 3.2. O fator de esquecimento atenua a oscilação, porém após o distúrbio, pós-falta, existe uma ultrapassagem percentual muito elevada, tanto na fase como na amplitude. No entanto o estudo aprofundado da adição do fator de esquecimento não foi realizada. Outra técnica possı́vel de ser implementada e testada, no presente trabalho, é a técnica da Seção 3.6. A técnica da seção 3.6, Prony, elimina significativamente o problema da constante de tempo e a oscilação que ela provoca. Na Figura 4.11(b) é demonstrado o resultado da estimação da amplitude e a Tabela 4.6(b) resume os resultados numéricos alcançados para a taxa de amostragem de 1920Hz. Na Tabela 4.6(b), verifica-se que o comportamento apresentado pela CAM é melhor em relação a FFT. O três itens analisados evidenciam que para a taxa de amostragem de 1920Hz a CAM apresenta-se com resultados melhores. A Figura 4.11(c) mostra o resultado da simulação obtida pela CAM para a taxa de amostragem de 3840Hz. É possı́vel observar na Tabela 4.6(c) que o método CAM apresenta resultado melhor comparado a FFT. Analisando o valor obtido pelo método CAM na item ultrapassagem percentual, verifica-se que o resultado é maior, apesar de ser negativo, comparado com a FFT. Porém, a CAM, possui o comportamento mais estável na estimação da amplitude. A Figura 4.12, no intervalo de tempo 0, 065s ≤ t ≤ 0, 105s, ilustra o comportamento oscilatório e estável da FFT e a CAM, respectivamente. Capı́tulo 4. Resultados 61 Amplitude 0.8 0.78 Amplitude (V) 0.76 0.74 0.72 0.7 FFT CAM Corrente estabelecida 0.68 0.065 0.07 0.075 0.08 0.085 Tempo (s) 0.09 0.095 0.1 0.105 Figura 4.12: Amplitude estimada - Taxa de amostragem 3840Hz.. 4.3.3 Variação da amplitude Nessa subseção são apresentados os resultados referentes ao método CAM variando apenas as amplitudes de pré e pós-falta. As amplitudes a serem simuladas estão na Tabela 4.7. Tabela 4.7: Parâmetros do sinal de corrente. Razão Tensão(V) pré-falta pós-falta 1:2 0,15 0,3 1:3 0,2 0,6 1:4 0,175 0,7 Capı́tulo 4. Resultados 62 Na simulação do algoritmo CAM, é utilizada a taxa de amostragem de 1920Hz, sendo os parâmetros do sinal de corrente representados na Tabela 4.8. Na configuração do algoritmo CAM, tem-se R = 10 e o erro = 0, 4. Tabela 4.8: Parâmetros do sinal de corrente. τ 0, 05s Fase de pré-falta 38o Fase de pós-falta 65o A primeira amplitude a ser simulada é a razão de amplitude de 1:2, obtendo as fases demonstrada nas Figuras 4.13. Capı́tulo 4. Resultados 63 Fase 70 65 Fase (graus) 60 55 50 45 40 FFT CAM Defasagem estabecida 35 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (a) Fase 75 70 65 Fase (graus) 60 55 50 45 40 35 FFT CAM Defasagem estabecida 30 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (b) Fase 70 65 Fase (graus) 60 55 50 45 40 FFT CAM Defasagem estabecida 35 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (c) Figura 4.13: Fase estimada, amplitudes de: (a) 1:2 ; (b) 1:3 ; (c) 1:4. Capı́tulo 4. Resultados 64 Tabela 4.9: Resultados numéricos referente a fase. CAM FFT (a) - 1:2 Tempo de acomodação (s) 0,126 0,126 Tempo de subida (s) 0,0804 0,0782 Ultrapassagem percentual (%) -21,33 -18,13 (b) - 1:3 Tempo de acomodação (s) Tempo de subida (s) Ultrapassagem percentual (%) 0,1276 0,0754 -14,39 0,1260 0,0783 -11,12 (c) - 1:4 Tempo de acomodação (s) Tempo de subida (s) Ultrapassagem percentual (%) 0,1276 0,0745 -10,13 0,1260 0,0629 -5,88 Na Tabela 4.9(a), o tempo de acomodação do método CAM apresentou resultado igual a FFT. Os outros dois itens, tempo de subida e ultrapassagem percentual, o método CAM apresenta-se com resultados não muito satisfatórios. No entanto, como mencionado na subseção4.3.2, utilizando a taxa de amostragem de 3840Hz, o método CAM apresenta comportamento mais estável. A fase estimada pela CAM utilizando a razão de amplitude de 1:3 é demonstrada na Figura 4.9(b). O comportamento da fase é semelhante ao da Figura 4.9(a). Para a relação de tensão de 1:4, é verificado na Figura 4.9(c) e na Tabela 4.9(c) que os resultados apresentados são semelhantes aos apresentados para a razão de tensão de 1:2 e 1:3. Os resultados obtidos pelo algoritmo CAM relativo a amplitude são visualizados nas Figuras 4.14 e os resultados numéricos na Tabela 4.10. Capı́tulo 4. Resultados 65 Amplitude 0.38 0.36 0.34 Amplitude (V) 0.32 0.3 0.28 0.26 0.24 0.22 FFT CAM Corrente estabelecida 0.2 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (a) Amplitude 0.65 Amplitude (V) 0.6 0.55 0.5 0.45 FFT CAM Corrente estabelecida 0.4 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (b) Amplitude 0.75 Amplitude (V) 0.7 0.65 0.6 FFT CAM Corrente estabelecida 0.55 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (c) Figura 4.14: Amplitude estimada: (a) 1:2 ; (b) 1:3 ; (c) 1:4. Capı́tulo 4. Resultados 66 Tabela 4.10: Resultados numéricos referente a amplitude. CAM FFT (a) - 1:2 Tempo de acomodação (s) 0,1047 0,1302 Tempo de subida (s) 0,06401 0,0644 Ultrapassagem percentual (%) 10,8 22,5 (b) - 1:3 Tempo de acomodação (s) Tempo de subida (s) Ultrapassagem percentual (%) 0,1310 0,0644 5 0,1302 0,0651 13,93 (c) - 1:4 Tempo de acomodação (s) Tempo de subida (s) Ultrapassagem percentual (%) 0,1312 0,0647 1,98 0,1302 0,0655 9,62 Verifica-se que o comportamento da CAM, Figura 4.14(a), logo no inı́cio da estimação da amplitude se assemelha com o da FFT. O método CAM possui uma oscilação logo após o distúrbio e tende a se estabilizar ao longo do tempo de simulação. A Tabela 4.10(a) demonstra os resultados numéricos obtido pela CAM relativo a amplitude. Na Tabela 4.10(a) demonstra que o método CAM apresenta o comportamento melhor comparado a FFT em todos os três itens analisados. A Figura 4.14(b) demonstra o resultado da simulação para a estimação da amplitude 1:3. A Tabela 4.10(b) revela em números o comportamento da CAM na estimativa da amplitude. É possı́vel verificar que o tempo de acomodação da CAM apresenta resultado não muito satisfatório comparado com a FFT. Porém, vale ressaltar que o desempenho do algoritmo CAM não é afetado. O tempo de subida e ultrapassagem percentual da CAM apresentam resultados melhores comparados com a da FFT. A Tabela 4.10(c) demonstra os resultados numéricos e a Figura 4.14(c) ilustra a amplitude estimada para razão de amplitude 1:4. Capı́tulo 4. Resultados 4.3.4 67 CAM-Prony e CAM Nessa subseção são apresentados os resultados obtidos utilizando-se do método CAM e CAM auxiliado por Prony (CAM-Prony). A comparação é realizada entre os dois métodos. Ao longo das simulações são referenciados os resultados obtidos no algoritmo CAM-Prony com as subseções 4.3.2, 4.3.1 e 4.3.3. Nas figuras, em azul é representado o método CAM-Prony e em preto o método CAM sem o auxı́lio do método de Prony. A configuração dos algoritmos obedecem a seguinte ordem, o método CAM configurado com os parâmetros da matriz R = 1 e o erro = 0, 45 sendo o algoritmo CAM-Prony utilizando polinômio de terceira ordem. Na comparação dos dois algoritmos, são simuladas as taxas de amostragem de 3840Hz, 1920Hz e a razão de amplitude de 1:3, verificar Tabela 4.7. O sinal de corrente é configurado com os parâmetros da Tabela 4.4. As fases obtidas utilizando-se dos parâmetros acima são demonstradas nas Figuras 4.15. Os resultados da fase e amplitude utilizando-se da taxa de amostragem de 3840Hz podem ser comparados com os resultados obtidos na subseção 4.3.2. Capı́tulo 4. Resultados 68 Fase 75 Fase (graus) 70 65 60 55 CAM−Prony CAM Defasagem estabecida 50 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (a) Fase 66 Fase (graus) 64 62 60 58 56 CAM−Prony CAM Defasagem estabecida 54 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (b) Fase 68 66 64 Fase (graus) 62 60 58 56 54 CAM−Prony CAM Defasagem estabecida 52 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (c) Figura 4.15: Fase estimada: (a)Taxa de amostragem 3840Hz (b)1920Hz ; (c)Amplitude 1:3. Capı́tulo 4. Resultados 69 Tabela 4.11: Resultados numéricos referente a fase. CAM CAM-Prony (a) - 3840Hz Tempo de acomodação (s) 0,101 0,0713 Tempo de subida (s) 0,076 0,0626 Ultrapassagem percentual (%) -11,23 14,9 (b) - 1920Hz Tempo de acomodação (s) Tempo de subida (s) Ultrapassagem percentual (%) 0,1134 0,0648 1,85 0,0685 0,0646 0,266 (c) - 1:3 Tempo de acomodação (s) Tempo de subida (s) Ultrapassagem percentual (%) 0,1310 0,0644 5 0,0791 0,0632 0,0688 O motivo da melhora da estimação é devido ao método de Prony auxiliar o método CAM. O método de Prony determina a constante de tempo de decaimento exponencial que é alocada no vetor dos regressores (3.2). Ao se alocar o valor da constante de tempo no vetor dos regressores, o método CAM obtém o modelo do sinal que está sendo estimado. Demonstrando a eficiência do método de Prony na estimação da constante de tempo, na Tabela 4.4 é possı́vel verificar que a constante de tempo utilizada é 0, 05s. Na Figura 4.16, em vermelho, é ilustrado a constante de tempo determinada pelo método de Prony e na mesma figura é desenhado o distúrbio, fora de escala, apenas para demonstrar a relação entre a constante de tempo e o sinal de distúrbio. Capı́tulo 4. Resultados 70 Constante de tempo 0.06 Magnetude da constante de tempo (s) 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 −0.01 −0.02 −0.03 Constante de tempo Distúrbio(fora de escala) 0 0.05 0.1 0.15 Tempo (s) 0.2 0.25 Figura 4.16: Constante de tempo. Verificando a Tabela 4.11(a) referente a Figura 4.15(a), nota-se que os resultados obtidos pelo algoritmo CAM-Prony são melhores comparado com o método CAM. Por exemplo, analisando o tempo de acomodação da CAM-Prony, o método é 0, 0297s mais rápido comparado com a CAM. No tempo de subida, a CAM-Prony é 0, 0134s mais rápida em relação a CAM. A ultrapassagem percentual apresenta-se na CAM-Prony com um resultado maior em relação a CAM. Porém, como ocorre na Subseção 4.3.2, a piora nesse item analisado não demonstra que o método CAM-Prony possui o desempenho não satisfatório em relação a CAM. Simulando o algoritmo CAM-Prony com a taxa de amostragem de 1920Hz e utilizando os parâmetros da Tabela 4.1 e τ = 0, 03s na configuração do sinal de corrente, é obtida na Figura 4.15(b) da fase estimada. A fase estimada pode ser comparada com os resultados obtidos na subseção 4.3.1. Na Figura 4.15(b) verifica-se que o comportamento oscilatório no método CAM-Prony ocorre apenas no inı́cio da região de pós-falta e logo em seguida é estabilizado. A oscilação, no entanto, permanece no algoritmo da CAM e tende a se estabilizar em um perı́odo de tempo mais longo. Capı́tulo 4. Resultados 71 A Tabela 4.11(b) demonstra os resultados obtidos pela CAM-Prony referente a fase. A fase e amplitude estimadas utilizando-se das configurações apresentadas, podem ser comparados com os resultados obtidos na subseção 4.3.3. A Figura 4.17(c) e a Tabela4.11(c) demonstra o resultado da estimativa da fase referente a amplitude 1:3. Os resultados são semelhantes aos obtidos nos itens (a) e (b). Os resultados obtidos da amplitude estimada são demonstrados nas Figuras 4.17 e os resultados numérico na Tabela 4.12. Capı́tulo 4. Resultados 72 Amplitude 0.8 Amplitude (V) 0.75 0.7 0.65 0.6 CAM−Prony CAM Corrente estabelecida 0.55 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (a) Amplitude 0.84 0.82 Amplitude (V) 0.8 0.78 0.76 0.74 0.72 0.7 CAM−Prony CAM Corrente estabelecida 0.68 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (b) Amplitude 0.65 Amplitude (V) 0.6 0.55 0.5 CAM−Prony CAM Corrente estabelecida 0.45 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Tempo (s) 0.35 0.4 0.45 0.5 (c) Figura 4.17: Amplitude estimada:(a)Taxa 3840Hz (b)1920Hz ; (c)Amplitude 1:3. Capı́tulo 4. Resultados 73 Tabela 4.12: Resultados numéricos referente a amplitude. CAM CAM-Prony (a) - 3840Hz Tempo de acomodação (s) 0,105 0,0709 Tempo de subida (s) 0,066 0,0629 Ultrapassagem percentual (%) -5,6 7,05 (b) - 1920Hz Tempo de acomodação (s) Tempo de subida (s) Ultrapassagem percentual (%) 0,1134 0,0648 1,85 0,0685 0,0646 0,266 (c) - 1:3 Tempo de acomodação (s) Tempo de subida (s) Ultrapassagem percentual (%) 0,1310 0,0644 5 0,0791 0,0632 0,0688 Verifica-se nas Figuras 4.17 que o algoritmo da CAM-Prony apresenta o comportamento menos oscilatório, e portanto, superior ao da CAM. Para que o texto não fique exaustivo, são apresentados os resultados numéricos obtidos relativo à amplitude na Tabela 4.11 sem comentários adicionais. Capı́tulo 4. Resultados 4.4 74 Resultados Práticos O objetivo da parte experimental é testar o algoritmo CAM em algumas situações de falta elétrica. Os critérios utilizados para o teste do algoritmo CAM é primeiramente, alterar a taxa de amostragem para os valores de 960Hz e 1920Hz, fixando a constante de tempo de decaimento exponencial e as amplitudes da corrente de pré-falta e pós-falta. Em seguida, alterase a constante de tempo de decaimento exponencial e fixa-se a taxa de amostragem em 1920Hz e as amplitudes de pré-falta e pós-falta. Para a verificação da eficiência do algoritmo CAM, os resultados obtidos experimentalmente são comparados com os resultados experimentais da FFT e com os resultados das simulações das subseções 4.3.2 e 4.3.1. Ambos os algoritmos, CAM e FFT, foram programados no processador de ponto flutuante, TMS320F28335 (TEXAS, 2013) e o arranjo experimental segue a Figura 4.2, apresentada anteriormente. Capı́tulo 4. Resultados 4.4.1 75 Análise da Variação da Taxa de Amostragem Nesta condição, os parâmetros configurados no processador são R = 10 e o erro = 0, 5. No MatLab o sinal de corrente é configurado com os dados da Tabela 4.13. O sinal obtido na saı́da analógica do aparelho Omicron é igual ao da Figura 4.3. A primeira análise a ser realizada é utilizando a taxa de amostragem de 960Hz. Tabela 4.13: Parâmetros do sinal de corrente. Constante de tempo 0,05s Amplitude de pré-falta 0,15V Amplitude de pós-falta 0,75V Fase de pré-falta 38o Fase de pós-falta 65o A Figura 4.18 demonstra os resultados obtidos pelos métodos CAM e FFT relativos a fase. Fase 200 Fase (rad/s) 150 100 50 0 FFT CAM Defasagem estabecida −50 0 0.05 0.1 0.15 Tempo (s) 0.2 0.25 Figura 4.18: Fase estimada. Analisando a Figura 4.18, nota-se que o resultado obtido se assemelha com o resultado simulado na Figura 4.8. Porém, existe o off-set no perı́odo de pré-falta e pós-falta. Capı́tulo 4. Resultados 76 O problema do off-set não é provocado pelo método CAM e sim ao ajuste não muito preciso da taxa de amostragem no processador, o que pode ser justificado pela sensibilidade do método CAM frente à variação da taxa de amostragem. Ao se criar o vetor dos regressores, como por exemplo, h = [1 cos(ω ∗ dt ∗ i) sin(ω ∗ dt ∗ i)]′ (4.2) é necessário atribuir o valor de ω em rad/s que é dependente de f → taxa de amostragem. Caso a taxa de amostragem ajustada no processador esteja algo de ±0, 5Hz diferente de f da programada na equação (4.2), a estimativa da fase ou amplitude apresenta o problema do offset. Por exemplo, o vetor h, equação (4.2), está configurado com uma taxa de amostragem de 960Hz e o processador está configurado com uma taxa de amostragem igual a 959,5Hz. Nesse caso o resultado apresentado é igual ao demostrado na Figura 4.18, existindo uma ascendência nos valores da fase estimados.Para corrigir o problema de off-set é necessário fazer o ajuste preciso da taxa de amostragem. Para o ajuste preciso é necessário utilizar um equipamento contador de frequência. Indicando dessa forma, com precisão, a correta taxa de amostragem em que o processador está ajustado.A Figura 4.19 demonstra o resultado obtido relativo a amplitude. Amplitude 1 0.9 Amplitude (A) 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 FFT CAM Corrente estabelecida 0.1 0 0.05 0.1 Tempo (s) 0.15 0.2 Figura 4.19: Amplitude estimada. Camparando a Figura 4.11 com a Figura 4.19, nota-se que o comportamento da amplitude é semelhante ao simulado. Capı́tulo 4. Resultados 77 Mantendo a análise da subseção 4.3.2, porém com a taxa de amostragem de 1920Hz, é demonstrado na Figura 4.20 o resultado da fase. Fase 70 Fase (rad/s) 60 50 40 30 FFT CAM Defasagem estabecida 20 0 0.05 0.1 Tempo (s) 0.15 0.2 Figura 4.20: Fase estimada É possı́vel notar que os resultados obtidos experimentalmente demonstrados na Figura 4.20 são semelhantes aos resultados da Figura 4.8. Antes do distúrbio o método CAM converge mais rapidamente comparado com a FFT. Após o distúrbio, pós-falta, o método CAM apresenta menos variação comparado com a FFT. Na Figura 4.21, é demonstrado o resultado obtido referente à amplitude. O resultado obtido é semelhante ao obtido na Figura 4.11. Amplitude 1 0.9 0.8 Amplitude (A) 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 FFT CAM Corrente estabelecida 0 0 0.05 0.1 Tempo (s) 0.15 Figura 4.21: Amplitude estimada. 0.2 Capı́tulo 4. Resultados 78 O método CAM (notadamente) apresenta bons resultados em relação ao algoritmo da FFT. Sendo os resultados apresentados compatı́veis aos obtidos na simulação em MatLab. 4.4.2 Análise da Variação da Constante de tempo de Decaimento Exponencial Nesta seção, é alterada apenas a constante de tempo de decaimento exponencial. Os parâmetros do algoritmo CAM são R = 1, erro = 0, 5 e taxadeamostragem = 1920Hz. O sinal de corrente é configurado com os da Tabela 4.14. O primeiro teste experimental comparativo a ser realizado é referente à constante de tempo de decaimento exponencial de τ = 0, 03s. Tabela 4.14: Parâmetros do sinal de corrente. Amplitude de pré-falta 0,15V Amplitude de pós-falta 0,75V Fase de pré-falta 38o Fase de pós-falta 65o Na Figura 4.22 é apresentado o resultado obtido para a fase. Fase 75 70 65 Fase (rad/s) 60 55 50 45 40 FFT CAM Defasagem estabecida 35 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 Tempo (s) 0.14 0.16 0.18 0.2 Figura 4.22: Fase estimada Analisando a Figura 4.22, percebe-se que o resultado apresentado pelo método CAM demonstrase melhor comparado com a FFT. No perı́odo de pré-falta, a FFT estimou a fase um pouco Capı́tulo 4. Resultados 79 abaixo da fase desejada. No método CAM o mesmo não ocorre, a fase é estimada corretamente. A amplitude estimada pelo método CAM é demonstrada na Figura 4.23. Amplitude 0.9 0.8 0.7 Amplitude (A) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 FFT CAM Corrente estabelecida 0.1 0 0 0.05 0.1 0.15 Tempo (s) 0.2 0.25 Figura 4.23: Amplitude estimada. Na Figura 4.23, percebe-se que a estimativa da amplitude realizada pelos algoritmos da CAM e FFT são semelhantes. Os resultados experimentais realizados utilizando a constante de tempo τ = 0, 001s são discutidos abaixo. Na Figura 4.24 é verificado o comportamento da fase obtida experimentalmente. Fase 80 Fase (rad/s) 70 60 50 40 FFT CAM Defasagem estabecida 30 0 0.05 0.1 Tempo (s) 0.15 0.2 Figura 4.24: Fase estimada. A estimação fasorial representada na Figura 4.24, se assemelha com a da Figura 4.4. Porém, existe uma diferença na fase inicial estimada compreendida no perı́odo de pré-falta. A provável Capı́tulo 4. Resultados 80 diferença inicial foi devido a algum ruı́do ocorrido no sistema no instante do teste. Logo após o distúrbio, região de pós-falta, a estimativa do método CAM é igual ao resultado teórico. A amplitude estimada referente ao τ = 0, 001s é obtida na Figura 4.25. Amplitude 1 0.8 Amplitude (A) 0.6 0.4 0.2 0 FFT CAM Corrente estabelecida −0.2 0 0.05 0.1 Tempo (s) 0.15 0.2 Figura 4.25: Fase estimada. Na Figura 4.25, o resultado apresentado pelo algoritmo CAM na estimação da amplitude é praticamente o mesmo obtido na Figura 4.7. Capı́tulo 5 Conclusões e perspectivas da pesquisa Nesta dissertação, pesquisou-se um método de estimação fasorial baseado na combinação do algoritmo recursivo de mı́nimos quadrados denominado de Caminhada Aleatória Modificada (CAM) e no algoritmo de Prony. A CAM é uma variação do método dos mı́nimos quadrados na forma recursiva. A mudança é realizada no monitoramento do erro e na atualização da matriz de covariância P. O algoritmo CAM, ao verificar que o erro está acima do estabelecido internamente ao código, realiza a atualização da matriz de covariância adicionando uma matriz real e positiva R a matriz P, como demonstrado na seção 3.5. Ao comparar os resultados teóricos obtidos pela CAM com a FFT, percebe-se que o desempenho da CAM infere qualidade significativa na estimação fasorial com o esforço computacional menor. Na análise dos resultados práticos com os teóricos, nota-se que o método em uma aplicação em tempo real alcança resultados semelhantes aos obtidos em simulações no MatLab. Portanto, o método CAM com a estratégia adotada, realiza a convergência mais rapidamente e de forma mais suave. No algoritmo da CAM auxiliada por Prony, o método CAM fornece a estimativa do fasor fundamental e o método de Prony estima a intensidade do decaimento exponencial que corrompe o sinal sob análise. Verificou-se nos resultados teóricos que a estimação fasorial da fase e amplitude possui significativa melhora após um distúrbio. O método de Prony ao calcular a componente DC, aloca o valor desta componente no 81 Capı́tulo 5. Conclusões e perspectivas da pesquisa 82 vetor dos regressores. A CAM possuindo o modelo mais aproximado do sinal realiza mais adequadamente a estimação fasorial. Nas simulações é possı́vel observar que após o distúrbio a fase e magnitude são obtidas mais rapidamente e sem oscilações como as encontradas no algoritmo CAM sem o auxilio do algoritmo de Prony. A verificação dos resultados em uma aplicação prática não foi testada nesta estrutura da CAM auxiliada por Prony. A dificuldade, especificamente, é pela caracterı́stica do algoritmo de Prony demandando uma capacidade de processamento elevada. Nos casos testados, o polinômio utilizado foi de ordem três, demonstrando que mesmo utilizando-se um polinômio de grau baixo, à determinação das raı́zes deste polinômio necessita de um tempo de processamento elevado. 5.1 Trabalhos Futuros Analisando o comportamento do algoritmo de Prony, verifica-se a existência da necessidade de melhora do método. Nas simulações no MatLab, foi verificado que o algoritmo de Prony em uma aplicação em tempo real demandaria tempo de processamento elevado, necessitando de um hardware mais rápido. Outro ponto não abordado neste trabalho, mas verificado na literatura, é o comportamento do algoritmo de Prony na presença de ruı́do branco. Verificado as duas caracterı́sticas que necessitam ser corrigidas a fim de se obter melhor eficiência no método de Prony, são listadas abaixo tópicos para futuros trabalhos de pesquisas. • Desenvolver uma estrutura computacional mais eficiente na obtenção das raı́zes do polinômio. • Verificar a influência de ruı́do branco no comportamento do algoritmo de Prony. • Verificado a influência do ruı́do branco, desenvolver uma estrutura interna ao método a fim de mitigar seus efeitos. • Analisar o comportamento do método de Prony com diferentes tamanhos de janelas e taxas de amostragens. Bibliografia AGUIRRE, L. A. Introducão à identificação de sistemas. 1. ed. [S.l.]: UFMG, 2000. ISBN 978-85-7041-584-4. ANDERSON, P. M. Power system protection. IEEE Press Series on Power Engineering, 1999. ARGUELLES, J. F. M. et al. A new method for decaying dc offeset removal for digital protective relays. Electric Power Systems Research, v. 76, n. 4, p. 194–199, January 2006. BENMOUYAL, G. 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(B.3) i=1 n X i=1 Da equação (B.2), obtém-se: b n+1 = Pn+1 α e da equação (B.3) P−1 n+1 = n+1 X n+1 X y[i]ϕi−1 , (B.4) i=1 T ϕi−1 ϕTi−1 = P−1 n + ϕn ϕn . (B.5) i=1 Considerando, agora a identidade: n+1 X i=1 y[i]ϕi−1 = n X i=1 b n − ϕn ϕTn α bn y[i]ϕi−1 + y[n + 1]ϕn + ϕn ϕTn α 89 (B.6) Apêndice B. Demonstração - MQR 90 Os dois somatórios na equação (B.6) podem ser substituı́dos, utilizando-se as equações (B.2) e (B.4), de tal modo que: n+1 X i=1 b n+1 = Pn α b n + y[n + 1]ϕn − ϕn ϕTn α b n + ϕn α b Tn ϕn = y[i]ϕi−1 = P−1 n+1 α bn . b n + ϕn α b Tn ϕn + ϕn y[n + 1] − ϕTn α P−1 n α (B.7) Observe que para a construção da equação (B.7), a seguinte relação é utilizada: b n = ϕn α b Tn ϕn . ϕn ϕTn α (B.8) Então, substitúi-se Pn na equação (B.7) (utilizando a equação (B.5)) e considerando-se a equação (3.7) para substituir y[n + 1], obtém-se: b n+1 = P−1 n+1 α T b n + ϕn ϕTn α bn P−1 n+1 − ϕn ϕn α b Tn ϕn +ϕn e0 [n + 1] + yb0 [n + 1] − α (B.9) e desenvolvendo-se a equação (B.9), obtém-se: b n+1 = α b n + Pn+1 ϕn e0 [n + 1]. α (B.10) Apesar da equação (B.10) possuir uma forma recursiva, sua aplicação em um algoritmo recursivo é ainda incoveniente, pois é necessário encontrar uma fórmula recursiva para a matriz P . Para isso deve-se considerar o lema da inversão: Seja P uma matriz de dimensão (n × n) e ϕ um vetor de dimensão n, então: P−1 + ϕϕT −1 =P− PϕϕT P 1 + ϕT Pϕ (B.11) Das equações (B.5) e (B.11), obtém-se a formula recursiva para a matriz P: Pn+1 Pn ϕn ϕTn Pn = Pn − 1 + ϕTn Pn ϕn (B.12) Apêndice B. Demonstração - MQR 91 Utilizando a equação (B.12), o produto Kn = Pn+1 ϕn , pode ser escrito como: Kn = Pn ϕn T ϕn Pn ϕn + 1 , (B.13) e substituindo Kn em (B.10), obtém-se: b n+1 = α b n + Kn e0 [n + 1]. α (B.14)