3 - Laboratório de Sistemas de Potência da UFSC

Aspectos Dinâmicos do Controle de Sistemas de Potência
A. S. e Silva A. J. A. Simões Costa
Universidade Federal de Santa Catarina
CTC / EEL - Grupo de Sistemas de Potência
Florianópolis - SC Brasil
SUMÁRIO
1 Introdução
2 Modelos para estudos do controle de freqüência
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Modelo do gerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Modelo de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Modelo do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Conjunto isolado carga-gerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Caso de duas máquinas interligadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Caso máquina - barra infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Modelagem de turbinas a vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Função de transferência de uma tubulação de vapor . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Modelo de turbinas com reaquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Modelo para turbinas de condensação direta (sem reaquecimento) . . . . .
2.6 Gerador de vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Tipos de caldeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Modelagem da dinâmica da caldeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Tipos de controle de unidades térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Turbinas a gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Vantagens da turbina a gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Princı́pios de operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3 Plantas de ciclo simples e ciclo combinado . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.4 Modelagem da turbina a gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Modelagem da turbina hidráulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Modelo do conduto forçado e turbina hidráulica . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Resposta da potência mecânica da turbina a uma variação em degrau de
posição da válvula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Parada de emergência de uma unidade hidráulica . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Comparação do desempenho dinâmico de unidades térmicas e hidráulicas .
1
5
5
5
6
7
7
7
9
9
9
10
11
18
18
18
20
24
25
26
27
28
28
33
33
35
37
38
ii
3 Reguladores de velocidade
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Estrutura do regulador de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Modelagem do Regulador de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Modelagem dos componentes do regulador de velocidade . . . .
3.4 Caracterı́sticas dos reguladores de velocidade . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Regulador isócrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Regulador com queda de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Regulador de velocidade com compensação de queda transitória
3.5 Tipos de reguladores de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Regulador tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Regulador moderno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Ajuste de reguladores de velocidade para turbinas hidráulicas . . . . . .
3.6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Partida e sincronização ao sistema . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Operação da unidade isolada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4 Unidade conectada a grande sistema em regulação primária . . .
3.6.5 Unidade conectada a grande sistema em regulação secundária .
SUMÁRIO
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41
41
42
42
42
46
46
51
58
60
60
61
66
68
68
69
70
79
79
SUMÁRIO
iii
40
SUMÁRIO
CAPÍTULO 3
Reguladores de velocidade
3.1
Introdução
O regulador de velocidade controla a velocidade da turbina e portanto a freqüência da tensão do
gerador sı́ncrono. Para que a velocidade seja mantida no valor desejado, a potência gerada deve ser
igual à potência da carga. O desvio de velocidade é usado como sinal de entrada a partir do qual
o regulador de velocidade controla a abertura da válvula de entrada de água, no caso de unidade
térmica, ou de entrada de vapor ou combustı́vel, no caso de unidades térmicas a vapor ou gás,
respectivamente. Além desta função básica, outras funções são ainda realizadas pelo regulador de
velocidade.
Pode-se listar as principais funções do regulador de velocidade como sendo:
• regulação primária de velocidade
• sincronização do gerador ao sistema no menor tempo possı́vel
• recebimento de comandos do controle automático de geração para zerar o erro de controle
de área
• distribuição correta de carga entre máquinas de uma mesma usina
• controle conjunto (”joint control”) de todas as máquinas de uma mesma usina
O regulador de velocidade para o conjunto turbina-gerador é composto genericamente de um
transdutor (sensor) de velocidade e amplificadores de deslocamento e força. A Figura 3.1 mostra
o diagrama de blocos da malha de controle de velocidade.
A saı́da do sensor de velocidade é um deslocamento proporcional à velocidade do rotor do
conjunto turbina-gerador. Tanto o deslocamento quanto a força produzidos pelo sensor são pequenos e necessitam ser amplificados. O amplificador de movimento é um amplificador hidráulico
cuja função é amplificar o deslocamento produzido pelo sensor, enquanto que a força do sensor é
amplificada através do servo-motor. A saı́da do servo-motor é que atua sobre a válvula da turbina.
No caso de turbinas hidráulicas, o regulador apresenta caracterı́sticas que tentam compensar
os efeitos instabilizantes peculiares da turbina.
O objetivo deste capı́tulo é apresentar a estrutura, modelagem, caracteristicas e tipos dos
reguladores de velocidade.
42
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
torque de
carga
+
posicão de
ref erência
-
válvula
- piloto e
de
6posicão servomotor 1
erro
-
servo
motor 2
(principal)
posicãoda
válvula
sensor
de
velocidade
válvula
e
turbina
torque
-
?
-
+
inércia
do
rotor
veloc.
-
Figura 3.1: Diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade da turbina
3.2
Estrutura do regulador de velocidade
O regulador de velocidade para a turbina hidráulica consiste de um sensor de velocidade, que
produz um deslocamento mecânico ou, mais comumente, um sinal elétrico que é convertido em
um deslocamento através de um transdutor eletro-mecânico. A saı́da do sensor de velocidade é
um deslocamento proporcional à velocidade do rotor do conjunto turbina-gerador.
Tanto o deslocamento quanto a força produzidos pelo sensor são pequenos e necessitam ser
amplificados. O amplificador de movimento é um amplificador hidráulico cuja função é amplificar
o deslocamento produzido pelo sensor, enquanto que a força do sensor é amplificada através de
servo-motores. O deslocamento produzido pelo transdutor eletro-mecânico aciona uma válvula
piloto, para ampliar a ação do transdutor e que, através do servo-motor piloto, aciona a válvula
distribuidora e o servo-motor principal. O servo-motor principal aciona o distribuidor, que abre
ou fecha a entrada de água na turbina.
Outros componentes fazem parte do regulador, como o controlador de carga-freqüência, o
amortecedor, para melhorar o desempenho transitório, sistemas de alavancas, etc.
A seguir os principais componentes dos reguladores de velocidade são modelados. sendo o
modelo do regulador de velocidade obtido, pela associação destes modelos.
3.3
Modelagem do Regulador de Velocidade
Os reguladores de velocidade evoluı́ram dos reguladores mecânico- hidráulicos convencionais aos
reguladores eletro-hidráulicos modernos. A parte hidráulica, associada aos diversos estágios de
amplificação de potência, não sofreu modificações significativas nos reguladores modernos. Outros
componentes, como os sensores de velocidade e amortecedores, sofreram modificações. Neste
último caso, as funções de transferência do modelo podem, em alguns casos, ser obtidas a partir
do componente mecânico, mais antigo, o que pode simplificar o desenvolvimento. É o caso, por
exemplo, do sensor de velocidade.
3.3.1
Modelagem dos componentes do regulador de velocidade
Sensor de velocidade
O sensor de velocidade pode ser mecânico, hidráulico ou elétrico. Classicamente, o sensor utilizado
é do tipo centrı́fugo (”flyballs”). Sensores hidráulicos usam uma bomba de óleo cuja pressão
GSP-EEL-UFSC
43
w
Figura 3.2: Sensor centrı́fugo
de saı́da é função da velocidade. Os sensores eletromecânicos, por sua vez, consistem de um
gerador acoplado ao eixo da turbina cuja tensão ou freqüência de saı́da é função da velocidade do
eixo. Reguladores mais modernos empregam um sistema eletro-hidráulico que apresenta uma alta
sensibilidade a desvios de velocidade, aliada a uma resposta rápida.
A análise a seguir baseia-se no regulador de velocidade mecânico do tipo centrı́fugo, cujos
componentes e desempenho são mais fáceis de visualizar.
Um sensor centrı́fugo tı́pico é apresentado na figura 3.2
Desprezando-se as forças gravitacionais, há duas forças atuando sobre as esferas: a força
centrı́fuga e a força dirigida para dentro devida à mola. O sensor é projetado de tal maneira
que os desvios ∆x são proporcionais aos desvios de velocidade angular, isto é:
∆x = Kω ∆ω
(3.1)
Em reguladores mais modernos o sensor de velocidade é um gerador elétrico que gera uma
tensão ou freqüência proporcional à velocidade. Este sinal elétrico é convertido em um deslocamento por um transdutor eletro-mecânico. No caso de reguladores convencionais o sinal elétrico
alimenta um motor que aciona um mecanismo tipo sensor centrı́fugo, convertendo o sinal em um
deslocamento. Em reguladores modernos um campo eletromagnético gerado em uma bobina atua
sobre uma peça móvel produzindo o deslocamento.
Servomotor hidráulico
O pequeno deslocamento e potência obtidos do sensor de velocidade ou transdutor eletromecânico
são amplificados por servomotores hidráulicos. Este deslocamento inicial atua sobre uma válvula
piloto. O deslocamento da válvula piloto permite a introdução de óleo nas câmaras do servomotor.
O servomotor aciona a válvula distribuidora a qual aciona o servomotor principal. O servomotor
principal abre então o distribuidor. Este esquema está ilustrado na figura 3.3.
A função de transferência do servomotor é deduzida para o caso de um único estágio (válvula
piloto e servomotor), mas a mesma função de transferência pode ser usada para a válvula distribuidora e servo-motor principal.
Considerando-se o fluxo de óleo no mecanismo hidráulico tem-se:
Q = Q(x, P )
onde Q e P são a vazão e a pressão do óleo, respectivamente.
(3.2)
44
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
Figura 3.3: Válvula piloto, válvula distribuidora e servomotores
GSP-EEL-UFSC
45
B
Óleo
sob
pressão
-
∆x
z
z
6
?
A
Figura 3.4: Pistão mostrando a força de reação do óleo
Linearizando-se em torno do ponto de operação tem-se:
∆Q =
∂Q
∂Q
|(x0 ,P0 ) ∆x +
|(x ,P ) ∆P
∂x
∂P 0 0
∆ ∂Q
|
∂x (x0 ,P0 )
A pressão pode ser considerada constante e definindo KQ =
(3.3)
tem-se
∆Q = KQ ∆x
A variação no volume de óleo é dada por ∆V
Então
d[A(−∆y)]
d(∆V )
=
∆Q =
dt
dt
(3.4)
(3.5)
onde o sinal − aparece devido ao fato que ∆y diminui quando ∆x aumenta (ver o sentido positivo
dos deslocamentos). Observa-se que um aumento positivo de ∆x aumenta o volume de óleo que
exerce pressão na parte superior do servo-pistão.
Usando (3.4) e (3.5) tem-se:
d∆y
KQ ∆x = −A
(3.6)
dt
ou
d∆y
= −k0 ∆x
(3.7)
dt
K
onde k0 = AQ
Usando-se a transformada de Laplace obtém-se a função de transferência
∆y
k0
=−
∆x
s
(3.8)
ou seja, o servomotor é um integrador.
A força de reação do óleo apresenta um componente de atrito viscoso, proporcional à velocidade
que é entretanto desprezı́vel face ao componente devido à alta pressão do óleo. Com o deslocamento
∆x mostrado na figura 3.4 há um fluxo de óleo na direção indicada, próximo a superfı́cie A. Logo,
há uma queda de pressão em A em relação à pressão em B, e conseqüentemente um esforço em
deslocar a válvula para cima, em oposição ao movimento original. Esta força será, para pequenos
deslocamentos, proporcional a ∆x.
46
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
Figura 3.5: Regulador isócrono
Variador de carga-freqüência
O variador de carga-freqüência é usado para modificar a referência de velocidade na operação em
vazio ou a potência fornecida pela máquina no caso de operação em carga. Neste último caso
a freqüência é determinada pelo sistema ao qual a máquina está conectada. A referência pode
ser modificada através de um mecanismo tipo parafuso sem fim o qual é acionado, em caso de
reguladores mais antigos, por um volante para comando local ou um motor para comando remoto.
No caso de reguladores modernos o variador é um mecanismo que altera um nı́vel de tensão.
3.4
Caracterı́sticas dos reguladores de velocidade
Os reguladores de velocidade apresentam diferentes caracterı́sticas com relação a resposta em
regime permanente após uma variação de carga, ou seja, o erro de freqüência após uma variação de
carga. O comportamento transitório associado a cada caracterı́stica pode exigir a modificação do
regulador para melhorar a resposta transitória. Basicamente os reguladores podem ser classificados
como isócronos ou com queda de velocidade. Nesta seção estudaremos estes dois tipos e ainda
adicionaremos o regulador com compensaçào de queda transitória.
3.4.1
Regulador isócrono
A figura 3.5 mostra um regulador isócrono que utiliza um sensor centrı́fugo cujo deslocamento é
amplificado pelo amplificador hidráulico.
Supondo ω > ωnom , as forças que agem sobre a válvula piloto são mostradas na figura 3.6.
Seja
km - constante da mola
kc - constante relacionada à força centrı́fuga
kr - constante de reação hidráulica
Então:
Fm = km (∆x + ∆r)
Fc = kc ∆ω
Fr = kr ∆x
(3.9)
(3.10)
(3.11)
GSP-EEL-UFSC
47
Fm
Fr
?
?
6
Fc
Figura 3.6: Forças atuando no pistão
onde ∆x, ∆r e ∆ω são variações em torno do ponto de equilı́brio das variáveis mostradas na
figura 3.6, e Fm , Fc e Fr são, respectivamente, as forças de mola, centrı́fuga e de reação do óleo.
Desprezando-se a massa da válvula piloto tem-se
Fm + F r = F c
(3.12)
ou, usando as expressões para estas forças
km (∆x + ∆r) + kr ∆x = kc ∆ω
(3.13)
(km + kr )∆x + km ∆r = kc ∆ω
(3.14)
k1 = k m + k r
(3.15)
k1 ∆x + km ∆r = kc ∆ω
(3.16)
ou ainda
Definindo-se
tem-se
Definindo-se as variações das grandezas nas equações (3.16) e (3.7) em pu tem-se
ξ = ∆x
xB
r
ρ= ∆
rB
σ = ∆ω
ωB
∆y
η = yB e
wB = ωnom
Usando-se estas definições em (3.16) tem-se:
k 1 xB ξ + k m r B ρ = k c ω B σ
(3.17)
ou usando-se a transformada de Laplace
k m rB
ξ(s) = −
k 1 xB
∆ kc ω B
km r B
Definindo-se Cg =
kc ωB (s)
σ(s)
ρ(s) −
k m rB
(3.18)
pode-se escrever
ξ(s) = −
k m rB
(ρ(s) − Cg σ(s))
k 1 xB
(3.19)
48
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
ρ(s)
+
-
k m rB
k 1 xB
-
6
Cg
−ξ
-
η(s)
-
k 0 xB
syB
σ(s)
Figura 3.7: Diagrama de blocos das equações do regulador isócrono
ρ(s)
+
-
-
6
η(s)
-
1
T1 s
σ(s)
Cg
Figura 3.8: Diagrama de blocos do regulador isócrono
Expressando-se a equação (3.8) em pu tem-se:
η(s) = −
k 0 xB
ξ(s)
s yB
(3.20)
As equações (3.19) e (3.20) podem ser representadas na forma de diagrama de blocos (Figura 3.7).
k1 yB
∆
Definindo-se T1 =
o diagrama da figura 3.7 pode ser rearranjado como mostrado na
k m k 0 rB
figura 3.8.
O desempenho deste regulador pode ser estudado considerando um sistema consistindo de uma
turbina vapor sem reaquecimento e da inércia do motor do conjunto turbina-gerador (Figura 3.9):
∆TL
ρ(s) +
-
6
-
1
T1 s
η(s) -
1
1 + T2 s
+
-
?
6
-
-
1
Ms
D
Cg
σ(s)
-
Figura 3.9: Sistema simplificado controlado por regulador isócrono
GSP-EEL-UFSC
49
+
ρ(s) -
-
M T1
-
6
s2
Cg
+ M T 1 T2 s 3
-
Figura 3.10: Diagrama equivalente do sistema simplificado
A função de transferência
σ(s)
ρ(s)
é dada por
σ(s)
=
ρ(s)
s3 +
1
T1 T2 M
1 2
s + T1CT2gM
T2
(3.21)
O comportamento dinâmico do sistema com regulador isócrono deve ser analisado. Uma
questão primordial é a estabilidade do sistema. Para isto será usado inicialmente o critério de
Routh-Hurwitz.
A equação caracterı́stica é dada por:
s3 +
1 2
Cg
=0
s +
T2
T1 T2 M
(3.22)
Aplicando-se o critério de Routh-Hurwitz:
s3 1
0
Cg
1
2
s T2
T1 T2 M
g
s1 − TC1 M
0
Cg
0
s T1 M
Como há duas mudanças de sinal na primeira coluna, segue que a função de transferência em
malha fechada tem dois pólos no semiplano direito e portanto o sistema é instável.
Uma análise em termos do lugar das raı́zes pode mostrar a influência do ganho Cg no deslocamento das raı́zes. A Figura 3.10 tem os mesmos pólos de malha fechada da Figura 3.9. O lugar
das raı́zes é mostrado na Figura 3.11.
Portanto o lugar das raı́zes confirma que duas raı́zes estão sempre no lado direito do plano complexo e o sistema é instável. Devido às não-linearidades presentes tal sistema teria provavelmente
um caráter oscilatório. É importante observar que no sistema em estudo não foi considerada a
variação da carga com a freqüência (fator de amortecimento D) que pode resultar em um sistema
estável.
. Para isto
Considerando agora a variação de carga, deve-se obter o digrama de blocos ∆Tσ(s)
L (s)
um fator de amortecimento D 6= 0 é considerado, de modo que o sistema possa ser estabilizado
(figura 3.12).
Então:
T1 s(1 + T2 s)
σ(s)
=−
(3.23)
∆TL (s)
T1 s(1 + T2 s)(M s + D) + Cg
50
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
Evans root locus
Imag. axis
16
12
8
4
×
0
×
−4
−8
−12
Real axis
−16
−23
−19
−15
closed−loop poles loci
asymptotic directions
−11
−7
−3
1
5
9
× open loop poles
Figura 3.11: Lugar das raı́zes para o sistema simplificado com regulador isócrono
∆TL -
-
6
σ-
1
Ms + D
Cg
T1 s(1+T2 s)
Figura 3.12: Sistema considerando a variação de carga
GSP-EEL-UFSC
51
w
6
-
Carga
Figura 3.13: Caracterı́stica carga-freqüência para sistema com o regulador isócrono
Para verificar o comportamento dinâmico do sistema é aplicado um degrau de variação de
carga. Usando o teorema do valor final tem-se
σ(∞) = lim −
s→0
T1 s(1 + T2 s)
∆TL
s
T1 s(1 + T2 s)(M s + D) + Cg s
ou seja, σ(∞) = 0
Portanto o desvio de freqüência em regime permanente é nulo.
A caracterı́stica freqüência-carga em regime permanente em um sistema com regulador isócrono
é da forma dada na figura 3.13. Assim, além de instável, o regulador isócrono não propicia uma
divisão adequada de carga entre máquinas. Isto só é obtido quando a caracterı́stica apresenta uma
queda de velocidade com a carga.
3.4.2
Regulador com queda de velocidade
Para corrigir as caracterı́sticas indesejáveis do regulador isócrono, introduz-se a conexão entre
o servomotor principal e a válvula piloto, conforme mostrado na Figura 3.14. As forças que
atuam sobre a válvula piloto são semelhantes à seção anterior, somente que agora F m é devida à
composição dos esforços produzidos pelo deslocamento do variador de velocidade r e pelo pistão
do servomotor.
No equilı́brio
Fr + F m = F c
(3.24)
ou
0
kr ∆x + km (∆x − ∆x ) = kc ∆ω
(3.25)
ou ainda,
0
k1 ∆x − km ∆x = kc ∆ω
(3.26)
onde as constantes foram definidas anteriormente.
Considerando-se a superposição dos movimentos de r e y (figura 3.15) então o deslocamento
total é:
52
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
Figura 3.14: Regulador com queda de velocidade
6
L
b
∆y
6
a
∆x0y
?
6
?
6
∆x0r
b
∆r
?
?
a
Figura 3.15: Deslocamentos na barra
0
0
0
∆x = ∆xy − ∆xr
(3.27)
ou
0
∆x =
a
b
∆y − ∆r
L
L
(3.28)
Usando (3.26) e (3.28) resulta em
km b
km a
∆e −
∆y = kc ∆ω
L
L
A equação (3.29) pode ser escrita como:
k c ωB L
a yB
km b r B
η(s) −
σ(s)
ρ(s) −
−ξ(s) =
k 1 xB L
b rB
km b r B
k1 ∆x +
(3.29)
(3.30)
GSP-EEL-UFSC
+ ?ρ(s) 6-
53
-
(−ξ)
km brB
k 1 xB L
1
R
-
η(s)
k 0 xB
syB
-
σ(s)
Figura 3.16: Diagrama de blocos do regulador com queda de velocidade
onde as grandezas estão em pu. Usou-se ainda o fato de que quando ∆r = rB e ∆y = yB segue
0
que ∆x = 0.
Da equação (3.28):
a
rB
=
yB
b
Fazendo-se a definição
∆
R=
(3.31)
km brB
kc LωB
(3.32)
segue que
km brB
−ξ(s) =
k 1 xB L
1
ρ(s) − η(s) − σ(s)
R
O diagrama de blocos para as equações (3.33) e (3.8) é dado na figura 3.16:
Definindo-se :
k 1 xB L y B
k1 L b r B
∆
T1 =
=
k m b r B k 0 xB
km b r B k0 a
ou
T1 =
k1 L
km k0 a
-
1
T1 s
chega-se a representação da figura 3.17.
+ ?ρ(s) 6-
1
R
η(s)
-
σ(s)
Figura 3.17: Diagrama de blocos equivalente do regulador com queda de velocidade
Para um degrau de variação de velocidade (com ρ = 0) tem-se
η(∞) = lim
s→0
1 σ0
σ0
1
(− ) = −
1 + sT1 R
s
R
(3.33)
54
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
Para provocar uma variação na posição do êmbolo do servo-motor de 1 pu é preciso uma
variação de velocidade de R.
Para estudar o comportamento do regulador com queda de velocidade e compará-lo ao do
regulador isócrono, pode-se usar o sistema simplificado mostrado na figura 3.18. Deve-se observar
que com relação à figura 3.9 somente o regulador foi modificado.
∆TL
ρ
+
-
6-
1
1 + sT1
η
-
1
1 + sT2
1
R
+
-
?-
-
1
Ms
σ
-
Figura 3.18: Sistema controlado por regulador com queda de velocidade
A função de transferência de malha fechada é:
1
σ(s)
=
= 3
3
ρ(s)
T1 T2 M s + M (T1 + T2 )s2 + M s + 1/R
s + ( T11 +
Definindo-se K =
1
T1 T2 M
1
)s2 + T11T2 s
T2
+
1
T1 T2 M R
1
tem-se:
T1 T2 M R
σ(s)
KR
= 3
1
1
ρ(s)
s + ( T1 + T2 )s2 +
1
s
T1 T2
+K
A estabilidade do sistema pode ser testada usando o critério de Routh-Hurwitz. Definindo-se
K1 = T11 + T12 a matriz de Routh é dada por
s3 1
s 2 K1
s1 T11T2 −
s0 K
1
T1 T2
K
K
K1
Para o sistema ser estável é necessário que
1
K
−
>0
T1 T2 K1
ou
1
K
>
T1 T2
K1
Usando as definições de K e K1 :
1
K
=
K1
RM (T1 + T2 )
GSP-EEL-UFSC
55
Evans root locus
Imag. axis
21
17
13
9
5
×
1
× ×
−3
−7
−11
−15
Real axis
−19
−26
−22
−18
−14
−10
−6
closed−loop poles loci
asymptotic directions
−2
2
6
10
× open loop poles
Figura 3.19: Lugar das raı́zes para o sistema com regulador com queda de velocidade
Então
1
1
>
T1 T2
RM (T1 + T2 )
1
1
1
+
>
T1 T2
RM
Os parâmetros T2 e M dependem do sistema e são portanto fixos. Pode-se portanto variar T1
e R para assegurar a estabilidade. Para isto deve-se reduzir T1 e aumentar-se R.
O lugar das raı́zes da função de transferência é mostrado na figura 3.19.
O valor crı́tico de R (em função de T1 ), correspondente a raı́zes sobre o eixo imaginário pode
ser calculado por
ou
1
1
1
+
=
T1 T2
Rcrit M
ou
Rcrit =
T1 T2
M (T1 + T2 )
Para estudar o comportamento do sistema com relação a variação de carga, usa-se a função de
transferência ∆Tσ(s)
com ρ = 0, mostrada na figura 3.20:
L (s)
A função de transferência é dada por
σ(s)
(1 + T1 s)(1 + T2 s)
=
∆TL (s)
M s(1 + T1 s)(1 + T2 s) +
que é representada na figura 3.21.
Para uma variação de carga ∆TL (s) =
A
s
tem-se:
1
R
56
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
∆TL (s)
-6
-
∆Tm
σ(s)
-
1
Ms
-
1/R
(1 + T1 s)(1 + T2 s)
Figura 3.20: Diagrama de blocos para variação de carga
∆TL (s)
-
−(1 + T1 s)(1 + T2 s)
M s(1 + T1 s)(1 + T2 s) +
1
R
Figura 3.21: Função de transferência
lim σ(s) = lim s
t→∞
s→0
−(1 + T1 s)(1 + T2 s)
M s(1 + T1 s)(1 + T2 s) +
σ(s)
-
σ(s)
∆TL (s)
1
R
A
A
=−
s
R
A figura 3.22 mostra σ(t) após uma variação em degrau em ∆TL para dois valores de estatismo
(regulação)
As variações de freqüência com a carga em regime permanente são em geral representadas em
um diagrama σ × TL conhecido como caracterı́stica de carga freqüência em regime permanente
(Figura 3.23). Nota-se que um aumento de carga provoca uma queda de freqüência. Para restabelecer a freqüência para o valor nominal é necessário que se aja sobre a referência (variador de
velocidade) do regulador.
Nota sobre a interpretação de R
Seja Reg a regulação definida por
Reg =
ω0 − ω B
ωB
(3.34)
onde
ω0 velocidade a vazio
ωB velocidade nominal a plena carga
Supondo que o carregamento da máquina passa de vazio para plena carga. De acordo com a
definição do sistema pu, a posição do servo-pistão será (no regime permanente):
∆y = yB
No regime permanente
d(∆y)
=0
dt
GSP-EEL-UFSC
57
∆TL (t)
6
A
-
t
σ
- t
6
−AR1
−AR2
Figura 3.22: Variação de velocidade após um degrau de variação na carga para dois valores de
estatismo (regulação)
6
σ1
σ2
α2
TL1
α1
TL2
-
TL
Figura 3.23: Caracterı́stica carga-freqüência
58
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
ou seja, ∆x = 0
A variação da velocidade é:
∆w = −(w0 − wB ) = wB − w0
Logo, da definição de Reg :
∆ω = −Reg ωB
Na equação (3.29):
−
km a
yB = kc (−Reg ωB )
L
ou
Reg =
km a y B
km b r B
=
kc L ωB
kc L ωB
e de (3.32) e (3.34) segue que R = Reg
Nota sobre o sistema pu
As seguintes definições para os valores base podem ser usadas:
rB variação da referência de vazio para plena carga a velocidade constante
yB deslocamento do servo-pistão de vazio para plena carga
xB excursão de x correspondente a variação da referência igual a rB
ωB = ωnom
3.4.3
Regulador de velocidade com compensação de queda transitória
As caracterı́sticas particulares das turbinas hidráulicas que resultam basicamente da presença de
um zero da função de transferência no semi-plano direito (função de transferência de fase nãomı́nima), requerem reguladores de velocidade com caracterı́sticas especiais.
Considerando o regulador com queda de velocidade em um sistema com uma turbina hidráulica
com função de transferência
(1 − Tw s)
(1 + T2w )
tem-se então o diagrama de blocos da figura 3.24
Se o desempenho do sistema assim obtido for estudado através de um dos métodos de resposta
em freqüência tais como diagramas de Bode, Nyquist, etc, notar-se-á que o seu comportamento
transitório pode-se tornar demasiadamente oscilatório. Isto advém do fato de que o ganho em
malha aberta, Cg = R1 é alto o suficiente para criar problemas nas altas freqüências.
Desse modo, é necessário que se use alguma forma de compensação tal que o ganho seja
reduzido nas altas freqüências, ou seja, alta regulação para altas freqüências, enquanto que para
baixas freqüências o ganho volta a assumir o valor ditado pelo estatismo em regime permanente.
Esta compensação é obtida através de um compensador de atraso de fase em cascata, isto é,
um compensador cuja função de transferência é do tipo
GSP-EEL-UFSC
59
∆TL
ρ
+
-
6-
1
1 + T1 s
-
1 − Tw s
1 + T2w s
1
R
+
-
?-
-
1
Ms
σ
-
Figura 3.24: Regulador com queda de velocidade em sistema com turbina hidráulica
| Go (s) |db
6
0.1
1
10
ωT
0.1
1
10
ωT
−20log(α)
0
min
Figura 3.25: Diagrama de Bode do compensador de atraso de fase
Gc (s) =
1 + τs
1 + ατ s
onde α > 1.
Os diagramas de Bode de amplitude e fase para a função de transferência Gc (s) são mostradas
na figura 3.25. Da figura segue que Gc (s) é um filtro passa-baixa, ou seja, as altas freqüências são
atenuadas.
A compensação de atraso de fase acima descrita pode ser obtida através de uma modificação no
regulador com queda de velocidade da figura 3.14 que consiste na realimentação transitória através
de um amortecedor hidráulico (”dashpot”). O esquema deste regulador, chamado regulador de
velocidade com compensação de queda transitória, é apresentado na figura 3.26.
A função de transferência deste regulador é
60
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
Figura 3.26: Regulador de velocidade com compensação de queda transitória
η(s) =
1 + sTr
(σ(s) − Cg σ(s))
(1 + s Rr Tr )(1 + sT1 )
(3.35)
onde r é o estatismo transitório, Tr é a constante de tempo do amortecedor hidráulico e Cg = R1 .
A função de transferência correspondente a composição em cascata da função de transferência
de regulador com queda de velocidade com o compensador de atraso de fase dado pela equação (3.4.3),
η(s)
com α = Rr . A parte ajustável da função de transferência σ(s)
é
Faj = −
1 (1 + sTr )
R (1 + s Rr Tr )
Para altas freqüências, Faj (s) se comporta como um sistema proporcional de ganho 1r . Este é
o motivo pelo qual r é chamado estatismo transitório. Como r > R, o ganho em altas freqüências
é reduzido.
As constantes a serem ajustadas para se obter um bom comportamento transitório são r e T r ,
isto é, o estatismo transitório e a constante de tempo de amortecimento. Este ajuste é em geral
feito para o caso de uma máquina isolada, e usando-se os diagramas de Bode, de modo a se obter
valores convenientes de margens de fase e de ganho do sistema compensado, como é mostrado na
seção referente ao ajuste de reguladores de velocidade.
3.5
3.5.1
Tipos de reguladores de velocidade
Introdução
Na sua forma mais simples os reguladores de velocidade incluem as seguintes partes:
1. um sensor de velocidade e uma referência de velocidade
2. amplificadores do erro de velocidade
3. um ou mais servomotores para variar o distribuidor da unidade
No passado as partes correspondentes aos ı́tens 1 e 2 consistiam de dispositivos mecânicos ou
oleodinâmicos, mas mais recentemente amplificadores magnéticos ou eletrônicos tem sido usados.
GSP-EEL-UFSC
-
61
P
Demanda de
carga
σ
-
I
+ +
+-^ ?
+ 6
+
+
u
6-
-
V álvula distribuidora
Servomotor e
circuitos eletrônicos
η-
Outras
-
D
Regulador Eletrônico
entradas
Servoposicionador Eletro−hidráulico
Figura 3.27: Regulador com servo-posicionador
O uso de dispositivos elétricos ou eletrônicos tornou mais fácil o controle da abertura do distribuidor por outros sinais além da velocidade. No caso do regulador de velocidade a concepção
do sistema permaneceu sem modificação, con estrutura do tipo com realimentação derivativa (tacométrico) ou taco-acelerométrico.
Mais recentemente o projeto do regulador de velocidade eletro-hidráulico tem sido mudado mais
profundamente com respeito ao regulador mecânico convencional e as possibilidades advindas do
uso de sinais elétricos tem sido melhor exploradas. O regulador propriamente dito é um regulador
eletrônico cuja saı́da é um sinal elétrico (e não o deslocamento de um servomotor piloto). Este sinal
é ”copiado”e transformado no deslocamento de um conjunto elétrico-hidráulico que compreende
ainda o servomotor de potência.Este ”servo-posicionador”, se não se leva em conta a natureza de
seu sinal de entrada, é igual ao que copiava a posição do servomotor piloto: aqui a entrada é um
sinal elétrico cujo valor, em uma dada escala representa a posição que deve assumir o servomotor,
enquanto que, no outro caso a entrada era um sinal mecânico (a posição do servomotor piloto).
Com tal estrutura, o esquema do regulador propriamente dito não necessita mais ser do tipo
taco-acelerométrico ou de realimentação derivativo, mas pode assumir, sem nenhuma restrição,
a configuração mais adequada para satisfazer a todas as caracterı́sticas que hoje são exigidas
de um regulador de velocidade de turbina. Uma configuração que oferece grande flexibilidade
é aquela na qual os sinais das variações P I, P ID, etc são somados imediatamente antes do
servoposicionador(ver Figura 3.27).
Nas seções seguintes são apresentados as estruturas dos reguladores tradicionais e dos reguladores com servo-posicionador.
3.5.2
Regulador tradicional
A estrutura convencional do regulador é geralmente do tipo P I (raramente do tipo P ID) e seja
mecânico ou elétrico é baseado em dois esquemas clássicos:
• com realimentação derivativa (ou com realimentação de queda temporária ou ainda ta-
62
x
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
-
+
?
u
+
-
1
6I
-
V álvula Distribuidora
Servomotor
3
2
y
-
Figura 3.28: Esquema do princı́pio dos reguladores mecânicos e eletro-hidráulicos do tipo tradicional
cométrica)
• com acelerômetro (ou seja com um sensor de velocidade que tem uma função de transferência
P D), também chamado taco-acelerométrico.
O esquema deste regulador é dado na figura 3.28.
Nesta figura tem-se a a associação entre blocos e tipos de reguladores dada na Tabela 3.1.
Estes esquemas tem sido usados tanto em reguladores mecânico-hidráulicos quanto em reguladores
1
2
3
Tabela 3.1: Reguladores de velocidade
Regulador Taco-acelerométrico
Regulador com
realimentação derivativa
Taco-acelerômetro
Tacômetro
Realimentação estática
Realimentação estática
Eventual realimentação
Realimentação derivativa
de velocidade do servomotor
eletro-hidráulicos.
A função de transferência genérica do regulador proporcional-integral (P I) é dada por
Tx
1 1 + s b0t
η(s)
GT (s)
=
σ(s)
bp 1 + s Tbpx
(3.36)
onde
Tx - tempo caracterı́stico de ação integral
1
1
1
≈ b1t
0 - coeficiente de ação proporcional onde 0 =
bt +bp
bt
bt
bp - estatismo permanente
bt - estatismo transitório
GT (s) - função de transferência que leva em conta retardos no taco-acelerômetro, amplificadores, servomotor de agulha, etc.
Supondo-se bp pequeno a função de transferência (3.36), sem considerar GT (s), pode ser escrita
como
1
1
η(s)
=
+ 0
σ(s)
sTx bt
GSP-EEL-UFSC
63
carga
σ
-KT 1 + sTn
1 + sTb
+
-
+
?
-
6
-
+
1
sTy
η-
sTs
Kp
6
+
Figura 3.29: Regulador taco-acelerométrico
que mostra claramente as ações integral e proporcional.
No regulador tradicional a realimentação da posição do servomotor principal é usada tanto para
o estatismo permanente quanto para o estatismo transitório (no caso de regulador tacométrico).
No entanto a caracterı́stica potência mecânica × deslocamento do servomotor é não-linear , especialmente no caso de turbinas Pelton, o que ocasiona uma variação do estatismo com a carga. Por
esta razão alguns reguladores de velocidade usam a realimentação da potência de saı́da em lugar
da posição do servomotor. Com isto a função de transferência da turbina é incluı́da no laço de
controle, o que ocasiona problemas de estabilidade quando a faixa de freqüências da realimentação
de potência é larga. Este é o caso quando a realimentação transitória é derivada da potência de
saı́da.
Regulador taco-acelerométrico
Este regulador pode ser representado pelo diagrama de blocos mostrado na figura 3.29.
O regulador taco-acelerométrico explora a ação integral intrı́nseca do servomotor para obter
a ação integral. A ação proporcional resulta do produto da ação derivativa do acelerômetro e da
ação integral do servomotor. A realimentação da velocidade do servomotor (através de T s ) é usada
em alguns reguladores para permitir fixar mais precisamente o ganho integral.
Supondo Tb ≈ 0, a função de transferência deste regulador é
η(s)
1
= KT (1 + sTn )
σ(s)
Kp + s(Ty + Ts )
ou
η(s)
KT 1 + sTn
=
σ(s)
Kp 1 + s Ty +Ts
Kp
Comparando-se com a função de transferência
1 1 + sTn
R 1 + s Rr Tn
(3.37)
64
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
deve-se ter
1
R
=
KT
Kp
e
Ty + T s
r
Tn =
R
Kp
o que leva a
1
Tn
=
KT
r
Ty + T s
η(s)
σ(s)
Considerando a função de transferência
com Kp → 0 tem-se
η(s)
KT (1 + sTn )
1
Tn
=
=
+
σ(s)
s(Ty + Ts )
s(Ty + Ts ) Ty + Ts
Se não houver realimentação derivativa então Ts = 0. Neste caso a ação integral depende de
e a ação proporcional depende de T1y e de Tn
Os parâmetros deste regulador podem ser relacionados aos parâmetros da função de transferência genérica (3.36). Comparando-se (3.37) com (3.36) tem-se
1
Ty
Kp
KT
Ty
=
KT
Ty
=
Tn KT
bp =
(3.38)
Tx
(3.39)
0
bt
(3.40)
1
O termo 1+sT
, o qual nem sempre é desprezı́vel, pode ser incluı́do em GT (s).
b
A função de transferência com relação ao sinal de demanda da carga é
η(s)
1
1
=
Ty
ρ(s)
Kp 1 + s K
p
Observa-se que para obter-se uma resposta rápida a um sinal na referência de carga deve-se
ter um alto ganho do integrador (baixo valor de Ty ).
Regulador com realimentação derivativa (ou tacométrico)
Neste regulador tanto a ação proporcional quanto a ação integral resultam do efeito da realimentação transitória da abertura da válvula ou distribuidor (posição do servomotor principal).
O diagrama de blocos deste regulador é apresentado na figura 3.30.
Considerando apenas o laço de realimentação derivativa tem-se a função de transferência:
1+
1
sTy
1 sKd Td
sTy 1+sTd
=
s2 T
1 + sTd
y Td + sTy + sKd Td
Como Ty Kd Td tem-se
s2 T
onde foi suposto
Ty
Kd
1 + sTd
1 + sTd
1 + sTd
≈
=
Ty
sKd Td
y Td + sKd Td
sKd Td (1 + s Kd )
desprezı́vel.
GSP-EEL-UFSC
65
c(s)
σ
-
+
-
KT
+
?
1
sTy
-
6
−
+
6
+
η-
sKd Td 1 + sTd
Kp
Figura 3.30: Regulador com realimentação derivativa
Incluindo a realimentação estática obtém-se a função de transferência
1
1+sTd
sKd Td
1+sTd
+ Kp sK
d Td
=
1 + sTd
1
Td
Kp 1 + s K
(Kp + Kd )
p
Logo
KT
1 + sTd
η(s)
=
Td
σ(s)
Kp 1 + s K
(Kp + Kd )
p
(3.41)
Comparando-se com
1 1 + sTn
R 1 + s Rr Tn
tem-se
KT
1
=
Kp
R
ou
1
KT
=
r
Kp + K d
Considerando a função de transferência
η(s)
σs
com Kp → 0 tem-se
η(s)
KT
KT
=
+
σ(s)
sTd Kd
Kd
e tem-se uma parcela de ação integral e outra proporcional que dependem da realimentação
transitória.
66
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
Do mesmo modo que no caso do regulador taco-acelerométrico, pode-se relacionar os parâmetros
do regulador com os parâmetros da função de transferência genérica (3.36). Comparando-se (3.41)
com (3.36) tem-se
Kp
KT
Td Kd
Td
(Kp + Kd ) ≈
=
KT
KT
bp =
(3.42)
Tx
(3.43)
Tx
= Td
0
bt
Kp + K d
Kd
0
bt =
≈
KT
KT
(3.44)
(3.45)
A função de transferência com relação ao sinal de demanda de carga é obtida considerando-se
as simplificações anteriores e é dada por
1
1 + sTd
η(s)
=
Td
σ(s)
Kp 1 + s K
(Kp + Kd )
p
Observa-se que uma resposta rápida a um sinal de referência de carga é obtido se a constante
Td for reduzida. Do mesmo modo que no caso do regulador taco-acelerométrico isto equivale a
um alto ganho da ação integral. No entanto, este ajuste pode degradar o controle de freqüência,
levando a um baixo amortecimento ??.
3.5.3
Regulador moderno
Nos dois esquemas anteriores, a malha de realimentação compreende o conjunto atuador-servomotor.
Os órgãos hidráulicos de potência fazem portanto parte do regulador, não sendo apenas órgãos
executivos do regulador.
Seria desejável desvincular o regulador propriamente dito dos órgãos executores, isto é, da parte
de potência que executa os comandos, agindo sobre o distribuidor. Esta é a idéia fundamental da
configuração moderna do regulador de velocidade.
Este regulador é eletrônico, e sua saı́da é um sinal elétrico. Este sinal é reproduzido e transformado em um deslocamento de um dispositivo eletro-hidráulico que inclui o servomotor de
potência.
Com esta estrutura, o esquema do regulador propriamente dito não precisa ser taco-acelerométrico
ou taquimétrico: ele pode assumir a configuração que for mais conveniente, de modo a satisfazer
as caracterı́sticas hoje exigidas de um regulador. Sendo eletrônico, este tipo de regulador oferece
maior flexibilidade para que sejam atendidas as várias condições de funcionamento.
O esquema deste regulador é dado na figura 3.31.
A estrutura do regulador moderno apresenta as seguintes vantagens:
1. Independência dos canais para regulação primária e secundária e conseqüentemente eliminação da comutação de parâmetros
2. Disponibilidade de um canal de resposta rápida para a demanda de carga, independente do
ajuste dos parâmetros para regulação primária e, por conseguinte eliminação das comutações
na passagem de vazio para carga.
GSP-EEL-UFSC
-
67
P
Demanda de
carga
σ
-
+
^?
+
+
+
I
-
+
u
-
-
V álvula distribuidora
Servomotor e
circuitos eletrônicos
η-
D
Regulador Eletrônico
Servoposicionador Eletro−hidráulico
Figura 3.31: Regulador com servo-posicionador
P
σ
I
-
1
bt
carga(CAG)
C(s)
1
-0
bp (1 + s Tb0x )
p
D
+
?
+
6
+
U
+
-
+
?
6
-
-
Kc
-
1
sTy
η-
sTn
1 + sTb
Figura 3.32: Diagrama de blocos detalhado do regulador com servo-posicionador
3. Possibilidade de esquemas particulares para reduzir as variações máximas de freqüência
frente a grandes pertubações
4. Compensação em cascata da não-linearidade abertura do distribuidor-potência e conseqüentemente possibilidade de uma freqüência de corte mais alta.
O diagrama de blocos detalhado deste regulador é mostrado na figura 3.32.
A função de transferência do servo-posicionador é:
Kc
1
η(s)
1
=
=
=
Ty
u(s)
Kc + sTy
1 + sTc
1 + s Kc
Tc é feita em geral bem pequena (≈ 0.1seg), por efeito do alto ganho Kc , para reduzir a
sensibilidade à pressão e temperatura do óleo, desgaste,etc.
Sem a ação derivativa , a qual é usada principalmente para sincronização, a função de transferência é:
68
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
Tx
bp + bt 1 + s b0p +bt
η(s)
1
1
=
= + 0
σ(s)
bt bp (1 + s Tb0x )
bt b0p 1 + s Tb0x
0
p
(3.46)
p
onde a função de transferência do servo-posicionador foi aproximada por um ganho unitário.
Para colocar esta função na forma
1 + sTr
1 + Rr Tr s
deve-se ter
Tr =
b0p
Tx
+ bt
b0p bt
R= 0
bp + b t
e
r = bt
No caso em que bt b0p segue que R = b0p
A função de transferência (3.46) pode ser relacionada a função genérica (3.36). Tem-se então
as seguintes relações, onde os parâmetros a esquerda são da função de transferência genérica e os
da direita são da função de transferência do regulador com servo-posicionador.
0
bt = b t
0
bp bt
ou
bp = 0
bp + b t
0
bp ≈ para bp bt
(3.47)
(3.48)
(3.49)
e Tx representa o mesmo parâmetro.
A função de transferência entre a posição do servomotor e o sinal de demanda de carga é
η(s)
1
=
Ty
ρ(s)
1 + sK
c
Desde que
Ty
Kc
é baixo pode-se considerar que
η(s)
=1
ρ(s)
3.6
3.6.1
Ajuste de reguladores de velocidade para turbinas hidráulica
Introdução
As condições de operação do sistema determinam os requisitos de operação de reguladores de
velocidade para turbinas hidráulicas. Em especial, as seguintes condições de operação devem ser
consideradas
GSP-EEL-UFSC
69
• operação a vazio, incluindo a fase de partida e a sincronização ao sistema
• operação alimentando carga isolada (rede isolada)
• operação em carga com conexão a um grande sistema em regulação primária e eventualmente
em regulação secundária
Cada condição de operação tem seus requisitos e os parâmetros do regulador que atendem a
uma condição de operação podem não atender a outra. A comutação de parâmetros é uma forma
de atender aos requisitos de todas aquelas condições.
O procedimento adotado geralmente para o projeto é considerar a condição de sistema isolado,
que impõe os requisitos mais severos de operação e que garante que em caso de ilhamento a
estabilidade é mantida. Considera-se ainda que a a otimização do ajuste para cada sistema
considerado isoladamente leva a um bom desempenho do sistema interligado.
No restante desta seção cada uma das condições de operação é analisada em termos dos requisitos e ajustes correspondentes do regulador.
3.6.2
Partida e sincronização ao sistema
Os requisitos desta fase são uma resposta rápida para conseguir a sincronização da máquina ao
sistema. Estes requisitos são diferentes para a regulação de freqüência na operação em carga. A
comutação de parâmetros é o procedimento usual, após o fechamento do disjuntor.
A dificuldade encontrada na sincronização é o aparecimento de oscilações sustentadas (ciclos
limite) [8]. Os ciclos limite são ocasionados pelas não-linearidades presentes nos reguladores de
velocidade.
A ocorrência de ciclo limite na malha de controle de velocidade pode ser detectada analiticamente usando funções descritivas [7]. Uma função descritiva é uma aproximação do ganho
complexo de uma não-linearidade considerando a entrada como senoidal e a saı́da como periódica.
Considera-se que as harmônicas de ordem superior desta última são amortecidas pelo sistema, o
que melhora a aproximação. No caso de reguladores de velocidade, a presença de integradores na
malha assegura este amortecimento. A seguir um resumo dos princı́pios de funções descritivas é
apresentado.
Funções descritivas
A função descritiva correspondente a uma não-linearidade, denotada por N , corresponde a um
ganho, que depende no entanto da amplitude da entrada da não-linearidade. Para uma nãolinearidade sem memória, a função descritiva N é real. Para uma não-linearidade com memória
a função descritiva N é complexa. Se uma não-linearidade formar com uma parte do sistema
uma não-linearidade equivalente, que tenha uma dinâmica associada, então esta não-linearidade
equivalente é dependente da freqüência.
Seja o sistema da Figura 3.33 onde G(s) representa a função de transferência da parte linear
e N é a função descritiva da não-linearidade.
Condição para a existência de ciclo limite
A condição para a existência de ciclo limite é
N (x)G(s) + 1 = 0
70
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
+
-
-
-
N
-
G(s)
6
-
Figura 3.33: Sistema linear e não-linearidade com função descritiva
σ(s)
+
-
1
sT
6
-
+
6
+
bt
+
-
-
6-
-
6
-
1
sTy
η(s)
-
Td s 1 + sTd
bp
Figura 3.34: Regulador com representação de não-linearidade do servomotor
ou
G(s) = −
1
N (x)
onde x representa a amplitude da senoide na entrada da não-linearidade.
Traçando-se o diagrama de Nyquist de G(ω) e o gráfico de N 1(x) em função de x, o ponto
de intercessão dos dois gráficos indica a existência de ciclo limite e os valores x 0 e ω0 tais que
1
G(ω0 ) = − N (x
são, respectivamente, a amplitude e a freqüência do ciclo limite. Se a função
0)
descritiva depender da freqüência então a intercessão só corresponde a ciclo limite se as freqüências
1
de G(ω) e − N (x,ω)
neste ponto forem iguais.
Para efeito do estudo de existência de ciclo limite no controle de velocidade na operação em
vazio, considera-se o diagrama de blocos apresentado na figura 3.34, onde o servomotor principal
tem uma não-linearidade do tipo zona morta.
O servomotor com zona morta e com realimentação unitária pode ser aproximado por uma nãolinearidade tipo histerese. O procedimento descrito acima pode então ser aplicado para detectar
ciclo limite.
3.6.3
Operação da unidade isolada
Esta condição de operação é aquela para a qual os parâmetros do controlador são ajustados.
Métodos de controle clássico são geralmente empregados para o projeto. Duas abordagens são
usadas a seguir
• projeto no domı́nio da freqüência usando diagramas de Bode
• projeto usando o método de Ziegler-Nichols
GSP-EEL-UFSC
71
| Fc (s) |db
6
1
T
1
αT
-
ω
-
ω
−20log(α)
0
ωmax
6
Figura 3.35: Compensador de atraso de fase
+
R(s) -
6-
K
1+s
1+s
-
Processo
Y(s)
-
Figura 3.36: Compensador de atraso de fase e processo
Procedimento para compensação usando compensador de atraso de fase
A função de transferência de um compensador de atraso de fase é dada por
Gc (s) = K
1 + sτ
1 + sατ
com α > 1 (ver figura 3.35).
A compensação usando o compensador de atraso de fase é feita colocando o compensador em
cascata com o processo (figura 3.36).
Suponhamos que o sistema não-compensado tenha a resposta em freqüência mostrada na
figura 3.37, e que sua margem de fase seja insuficiente.
Na compensação usando o compensador de atraso de fase, tenta-se reduzir a freqüência de corte
de ganho do sistema não-compensado, utilizando-se a atenuação de Gc (s) a altas freqüências, de
modo que a nova freqüência de corte de ganho w1c propicie a margem de fase desejada.
O procedimento para o projeto pode ser resumido nos seguintes passos:
1. Traçar os diagramas de Bode do sistema não-compensado, e determinar a sua margem de
fase. Se esta não atender às especificações, prosseguir com o passo 2.
72
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
| G |db
6
ω1c
ω1
ω
∠
6
ω
6
M
−180o
M6
Figura 3.37: Sistema não-compensado
2. Determinar a freqüência em que se obteria a margem de fase desejada se a curva de amplitude
cortasse o eixo de 0 dB nesta freqüência (deixar uma folga de 5o a 15o para levar em conta
o atraso provocado pelo compensador).
3. Calcular a atenuação necessária à freqüência ωc para assegurar que a curva de amplitude
cruza 0 dB a esta freqüência.
4. Determinar a posição do zero do compensador de acordo com o atraso permissı́vel para
Gc (ω) para assegurar que a curva de amplitude cruza 0 dB a esta freqüência.
5. Calcular α a partir da atenuação calculada no passo 4.
6. Calcular o pólo como ωp =
ωz
,
α
onde ωz é a freqüência correspondente ao zero.
Procedimento para ajuste aproximado dos parâmetros de reguladores de velocidade
para hidrogeradores
Nste método usa-se o procedimento anteriormente descrito mas consideram-se algumas aproximações [2].
A parte ajustável da função de transferência em malha fechada do sistema de controle primário
de velocidade de um hidrogerador é dada por
Faj =
1 1 + sTr
R 1 + s Rr Tr
A derivação a seguir permite o cálculo aproximado de Tr e r.
Em regime permanente tem-se
GSP-EEL-UFSC
73
Faj =
1
R
Como para altas freqüências w Rr Tr 1 ou w R
T
r r
tem-se um ganho
1 sTr
1
=
r
R s R Tr
r
ou Rr vezes o ganho R1 na freqüência zero. Também nas altas freqüências o ângulo de fase se
aproxima de zero.
Portanto por altas freqüências pode-se considerar
Faj (s) '
1
r
Este é o motivo pelo qual r é chamado estatismo transitório. Como r > R (compensador de
atraso de fase), o ganho nas freqüências mais altas é menor que o ganho em regime permanente.
Normalmente R é fixado em um valor compatı́vel com a operação do sistema interligado (R =
4% ou 5%). Portanto os parâmetros a ajustar são r e Tr .
Para assegurar uma boa resposta e estabilidade projeta-se uma margem de fase do sistema
compensado de cerca de 40o . Considerando um atraso de cerca 15o introduzido pela função
1+Tr s
, a função compensada
1+ r Tr s
R
(1 + Tw s)
r(1 + sT1 )(1 + s T2w )(1 + s M
)D
D
deve ter um ângulo de fase de −125o (desde que −125o − 40o − 15o = −180o ).
Deve-se observar que somente o ganho a altas freqüências da função ajustável F aj (s) foi considerado ( 1r ).
Considerando-se a parcela 1+s1 M tem-se que a relação M
é pequena, ou seja, a freqüência de
D
corte
D
M
D
é bem menor do que ω1c . Portanto o ângulo em ω1c é
θ = − tan−1
wc
w1c M
= − tan−1 D1
D
M
D
M
< w1c . Então θ(w1c ) ≈ −90o .
Portanto os termos restantes devem contribuir com −35o . Uma aproximação adicional é feita
desprezando-se a contribuição em fase de T1 . Isto equivale a considerar que a freqüência de corte
1
1
é tal que T11 w1c , ou seja a contribuição em fase de 1+sT
em w1c é 0o .
T1
1
Então a fase de
e
1 + Tw s
1 + s T2w
deve ser −35o
Então
− tan−1 (Tw ω1c ) − tan−1 (
ou
Tw c
ω1 ) = −35o
2
74
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
tan−1 (Tw ω1c ) + tan−1 (
Fazendo tan θ ≈ θ tem-se
Tw ω +
ou
Tw c
ω ) = 35o
2 1
Tw
π
ω = 35
2
180o
0.4
Tw
Esta freqüência deve corresponder a passagem por 0 dB, ou seja
wc =
| F c (jw1c ) |= 1
A função de transferência, com o compensador reduzido a um ganho
1
(1 − sTw )
M
rD (1 + s D )(1 + s T2w )(1 + sT1 )
Usando o fato de que T1 w1c 1 tem-se que
|
1
|' 1.0
1 + w1c T1
e a condição fica:
|
1
(1 − j0.4)
|= 1
rD (1 +  0.4M
)(1 + j0.2)
Tw D
Ou aproximadamente
|
1 − j0.4
1
|= 1
0.4M
rD  Tw D (1 + j0.2)
fazendo
| 1 + jw1c
M
M
|≈ w1c
D
D
desde que w1c M
1
D
ou ainda
|
1 1
|= 1
rD  0.4M
Tw D
onde foi suposto que
| −w1c Tw |
≈ 1.0
| 1 + w1c T2w |
Então
Tw
0.4M r
=1e
r = 2.5
Tw
M
1
r
tem a forma já vista
GSP-EEL-UFSC
75
Determinação de Tr
1+sTr
r
Tr
1+s R
A função de transferência
deve ter um ângulo de fase de −150 na freqüência de corte de ganho w1c =
Então
tan−1
0.4
Tw
0.4rTr
0.4Tr
− tan−1
= −150
Tw
Tw R
Usando
tan(α − β) =
tan α − tan β
1 + tan α tan β
e desde que
tan(−150 ) = − tan 150 = −0.268
Fazendo X =
ou
0.4Tr
Tw
tem-se:
r
X
X− R
r
1+X 2 R
= −0.268
(1 − Rr ) R
X +
+ =0
0.268 Rr
r
2
A solução é:
X=
Desde que X =
0.4Tr
Tw
segue que:

r
R
1− r
− 0.268Rr
R
−1
Tr = 
+
0.536 Rr
±
r
r
1− R
r
0.268 R
2
s
1 − Rr
0.536 Rr
2
2
− 4 Rr

R  Tw
−
r 0.4
A raiz com sinal positivo é escolhida desde que um maior valor de Tr assegura a relação
1+sTr
tenha um ganho de cerca de 1r na freqüência w1c .
1 fazendo com que R(1+s
r
T )
R r
Na indústria é comum fazer
Tr = 6Tw
(3.50)
Tr 0.4
Tw
Ajuste de parâmetros de compensadores pelo método de Ziegler-Nichols
Os ajustes propostos são expressos em termos do valor do ganho Kosc de um controlador proporcional (figura 3.38) que leva o sistema ao limite da estabilidade e do perı́odo da oscilação sustentada
que ocorreria neste limite, dado por Posc = ω2π
.
osc
O método de Ziegler-Nichols permite a determinação dos parâmetros do compensador de uma
maneira simples. Os seguintes ajustes são propostos para o controlador Gc (s):
Proporcional (P ) : Gc (s) = Kc onde Kc = 0.5Kosc
Proporcional-integral (P I) : Gc (s) = Kc (1 +
Kc = 0.45Kosc
Ti = 0.83Posc
1
)
Ti s
onde
76
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
R(s)
+
-
-
-
Kosc
Y(s)
-
Processo
6
−
Figura 3.38: Ajuste de Ziegler-Nichols
+
ρ(s) -
-
-
K
6
-
1
1 + sT1
-
1 − sTw
1 + sTw /2
-
1
Ms
η(s)
-
Figura 3.39: Sistema usado para calcular ganho
Proporcional-integral-derivativo (P ID) : Gc (s) = Kc (1 +
Kc = 0.6Kosc
Ti = 0.5Posc
Td = 0.125Posc
1
Ti s
+ Td s) onde
Proporcional-derivativo (P D) : Gc (s) = Kc (1 + Td s) onde
Kc = 0.6Kosc
Td = 0.125Posc
O método de Ziegler-Nichols é usado a seguir para a determinação dos parâmetros de controladores para reguladores de velocidade com configuração moderna.
O sistema com unidade hidráulico mostrado na figura 3.39 tem função de transferência
σ(s)
=
ρ(s)
M T 1 Tw 3
s
2
K(1 − sTw )
+ s2 (T1 + T2w )M + s(M − KTw ) + K
O controlador foi substituı́do por um ganho K e T1 representa a constante de tempo do servoposicionador.
A equação caracterı́stica é dada por:
s3 (
Tw
M T 1 Tw
) + s2 M (T1 +
) + s(M − KTw ) + K = 0
2
2
Deve-se determinar o ganho Kosc que leva o sistema ao limiar da instabilidade. Usando RouthHurwitz:
s3
s2
s1
M T 1 Tw
2
Tw
)
2
M T 1 Tw
M (T1 + T2w (M −kTw )−k
2
s0
M (T1 +
M (T1 + T2w )
M − KTw
K
0
K
A condição para a existência de raı́zes sobre o eixo imaginário é
(T1 +
T1 Tw
Tw
)(M − Kosc Tw ) − Kosc
=0
2
2
GSP-EEL-UFSC
77
e, portanto
Kosc =
2T1 + Tw M
3T1 + Tw Tw
A freqüência de oscilação pode ser calculada da equação auxiliar:
Tw 2
)s + Kosc = 0
2
M (T1 +
Logo:
s = ±
s
ωosc =
s
2
Tw (3T1 + Tw )
Portanto a freqüência é dada por
2
Tw (3T1 + Tw )
e o perı́odo pode ser calculado de
Posc =
2π
ωosc
ou seja,
Posc = π
p
2Tw (3T1 + Tw )
Exemplo 3
Seja o sistema com parâmetros
R = 0.05
M = 10.0 seg
Tw = 2.0 seg
T1 = 0.5 seg
Então usando as expressões anteriores tem-se Kosc = 4.286 e Posc = 11.755 seg.
Supondo inicialmente que o controlador seja P I. Então
Gc (s) = Kc (1 +
1
)
sTi
onde Kc = 0.45Kosc e Ti = 0.83Posc .
Os parâmetros do controlador são Kc = 1.9287 e Ti = 9.757 seg.
A estrutura do regulador com ação P I tem função de transferência:
1
1
+ 0
bt bp + sTx
Então
78
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
1
1
Kc
= +
sTi
bt sTx
Gc (s) = Kc +
0
onde bp foi desprezado.
0
Usando-se a função de transferência do regulador considerando-se b p tem-se:
Tx
b0p + bt 1 + s b0p +bt
1 1 + sTr
=
T
0
x
bt bp 1 + s b0
R 1 + s Rr Tr
p
b0 b
x
e Tr = b0T+b
, R = b0 p+bt t e r = bt de tal modo que os dois lados da equação são equivalentes.
t
p
p
Com os parâmetros calculados tem-se
bt = T1c e bt = 0.5185
r = bt e r = 0.5185
Tx = KTic e Tx = 5.06 seg
Pode-se calcular b0p usando a equação
b0p bt
R= 0
bp + b t
Então
b0p =
bt R
bt − R
ou b0p = 0.055.
Tr pode ser calculado usando a equação
Tr =
b0p
Tx
+ bt
e Tr = 8.82 seg.
O projeto de um controlador ¨lag¨, por diagramas de Bode, usando as aproximações desenvolvidas anteriormente leva a r = 0.5 e Tr = 15.20 seg.
Controlador P ID
Este controlador é dado por
Gc (s) = Kc (1 +
1
+ Td s)
Ti s
onde Kc = 0.6Kosc , Ti = 0.5Posc e Td = 0.125Posc
Substituindo-se os parâmetros obtém-se
Kc = 2.57
Ti = 5.88 seg
Td = 1.47 seg
Comparando com a estrutura do regulador de velocidade P ID:
Gc (s) = Kc +
1
1
Kc
+ K c Td s = +
+ sTn
Ti s
bt sTx
GSP-EEL-UFSC
79
Usando as mesmas fórmulas usadas para o controlador P I tem-se
bt = 0.389
0
bp = 0.0574
Tx = 2.288
Tn = 3.778
3.6.4
Unidade conectada a grande sistema em regulação primária
O ajuste dos reguladores de cada usina na situação de operação isolada assegura o bom desempenho
do sistema conectado. Esta abordagem tem sido aplicada com sucesso, inclusive ao sistema do Sul
do Brasil. A identificação do modelo do regulador é feito usando um teste de isolação simulada,
que permite que a unidade opere como se estivesse alimentando uma carga isolada, sob o ponto
de vista de regulação de freqüência.
Em contraste com a abordagem discutida, um método que faz o ajuste de cada usina conectada ao sistema e com os reguladores das outras usinas em manual, resultou em altos ganhos do
regulador P I. Isto levou à ocorrência de instabilidade no caso em que a participação da usina
aumentou de 20% da geração (condição para a qual foi feito o ajuste) para 50% da geração total,
sem que as demais usinas tivessem seus reguladores em manual.
Em alguns paı́ses é usada a comutação de parâmetros para melhorar a resposta à demanda
da carga. No entanto, desde que pode ocorrer ilhamento de forma imprevista, há o risco de que
os parâmetros não se adaptem à condição de operação isolada, resultando em instabilidade. A
questão da resposta à demanda de carga é discutida a seguir.
3.6.5
Unidade conectada a grande sistema em regulação secundária
Embora a malha de regulação secundária tenha baixa freqüência de cruzamento é desejável que a
resposta da máquina seja suficientemente rápida e se possı́vel independente da regulação primária.
A resposta ao controle de carga-freqüência pode ser muito lento, se houver dependência dos
parâmetros do controle primário. A necessidade de se obter respostas rápidas levou, em alguns
casos, à redução do amortecimento do ”dashpot”de reguladores mais antigos com a adoção de
baixos valores de (Td ≤ 1) e no caso dos reguladores mais modernos a altos valores dos ganhos
integrais. A estabilidade é garantida pelo esforço do sistema interligado mas há uma degradação
da regulação de freqüência do sistema.
Uma solução para aumentar a rapidez da resposta à demanda de carga é a introdução de uma
modificação no regulador que permite obter um canal independente para o sinal de potência. No
caso dos reguladores com servo-posicionador geralmente este canal é independente.
Notas e referências
Princı́pios e modelagem de reguladores de velocidade Vários artigos descrevem os
princı́pios e modelagem de reguladores de velocidade [5],[6]. Textos didáticos descrevem a estrutura
de reguladores de velocidade.
Ajuste de reguladores de velocidade O ajuste de reguladores de velocidade é discutido
em vários artigos. Estudos de casos reais são apresentados em [1],[4],[3] e outros, usando em geral
técnicas de controle clássico. Técnicas de controle moderno foram propostas em alguns artigos.
80
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
Ciclos limites em reguladores de velocidade Um estudo inicial da ocorrência de ciclos
limite em reguladores de velocidade pode ser encontrado em [7].
GSP-EEL-UFSC
81
Exercı́cios
1. O diagrama de blocos abaixo corresponde a um regulador de velocidade utilizado em unidades hidráulicas.
-
t
σ
+
-
?
η
+
-
Gf
-
+ 6
-
6−
1
Ti
1
1 + sTc
-
sTa
Hp
η(s)
a) Ache σ(s)
;
b) Determine R e r, supondo Tc desprezı́vel. Calcule seus valores para Ta = 1.86 seg,
Ti = 3.05 seg, Gf = 5, Hp = 0.25, t = 1.
c) Se o regulador controla a velocidade de um gerador isolado de potência nominal de
100 M W e fnom = 60 Hz, que alimenta uma carga de 60 M W , calcule δf resultante de uma
variação de carga δL = 3 M W . Considere que 1% de variação de freqüência corresponde a
1% de variação de carga.
2. Seja o diagrama de blocos simplificado do sistema de controle de velocidade para uma turbina
a vapor com reaquecimento:
∆P1
ρ
+
-
6−
1
-
∆Pm −
?
+-
1 + τ1
1 + τ2
1
R
-
1
Ms
-
σ
Deseja-se saber qual o valor de R para o qual o regulador apresenta um comportamento
criticamente amortecido, se M = 10 s, τ1 = 1.5 s e τ2 = 5.0 s.
a) Calcule R a partir da equação caracterı́stica do sistema;
b) Analise o problema usando o método do lugar das raı́zes.
3. Os parâmetros da malha de controle primário de velocidade de um hidrogerador são: T w =
4.0 s, M = 10.0 s, D = 1, R = 0.05 e T1 = 0.2 s.
82
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
a) Determine a função de transferência do sistema não-compensado, F (s), e esboce os diagramas de Bode de amplitude e fase correspondentes. Obtenha também, aproximadamente,
a margem de fase do sistema não-compensado;
b) Supondo que se especifica uma margem da fase de 40o para o sistema compensado,
admitindo-se um atraso de 15o do compensador na nova freqüência de cruzamento de ganho,
obtenha esta freqüência (não faça aproximação em F (s) ao calcular w 1c );
c) Supondo que, à freqüência w1c , C(s) ≈
1
,
(r/R)
calcule r;
d) A partir do atraso de fase admitido para C(s) à freqüência w1c , obtenha Tr ;
e) Esboce os diagramas de Bode do sistema compensado, determine a sua margem de fase e
verifique se as especificações em (b) são satisfeitas.
f) Calcule w1 , r e Tr a partir das aproximações clássicas que originam as fórmulas usualmente
utilizadas na indústria e compare com os resultados obtidos em (b), (c) e (d).
4. Usando o método de Ziegler-Nichols, determine os seguintes compensadores para o sistema
do problema 7:
a) Compensador P I (estatismo permanente = 0);
b) Compensador de atraso de fase, com estatismo permanente igual a 0.05;
c) Compensador P ID.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
83
Referências Bibliográficas
[1] P. L. Dandeno, P. Kundur, and J. P. Bayne. Hydraulic unit dynamic performance under
normal and islanding conditions - Analysis and validation. IEEE Trans. on Power Apparatus
and Systems, 97(6):2134–2143, Nov/Dec 1978.
[2] F. P. DeMello. Dinâmica e Controle de Geração. Universidade Federal de Santa Maria, 1983.
[3] N. S. Dhaliwal and H. E. Wichert. Analysis of PID governors in multimachine system. IEEE
Trans. on Power Apparatus and Systems, 97(2):456–463, March/April 1978.
[4] L. E. Eilts and F. R. Schleif. Governing features and performance of the first 600-MW hydrogenerating unit at Grand Coulee. IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, 96(2):457–466,
March/April 1977.
[5] E. Ferrari. Report on the answers to the questionnaire on the characteristics and performances
of the turbine speed governors. Electra, 51:39–60, March 1974.
[6] IEEE Working Group. Hydraulic turbine and turbine control models for system dynamic
studies. IEEE Trans. on Power Systems, 7(1):167–179, February 1992.
[7] D. K. Pantalone and D. M. Piegza. Limit cycle analysis of hydroelectric systems. IEEE Trans.
on Power Apparatus and Systems, 100(2):629–638, February 1981.
[8] F. H. Pons. Aplicação do controle de estrutura variável para regulação de velocidade de grupos
geradores. Master’s thesis, UFSC, October 1987.