Exercícios sobre Números Complexos - GMA

Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matemática e Estatı́stica
Departamento de Matemática Aplicada - GMA
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uff
Exercı́cios sobre Números Complexos
2014.1
1. Considere a lista de números complexos:
i ;
1−i
;
−1 + i
;
2−i ;
−2 − 3i
;
−i +
√
1
2i
2 ;
;
1+i
1−i
;
2−i
3i − 1
;
2i
.
i+2
Para cada um deles, determine:
(a) o valor absoluto;
(b) o conjugado (colocando-o na forma a + bi);
(c) seu simétrico em relação à origem (colocando-o na forma a + bi);
(d) seu inverso (colocando-o na forma a + bi);
(e) sua forma polar, isto é, escreva cada número complexo z na forma z = |z|(a + bi) onde a2 + b2 = 1;
(f) normalize cada um dos números complexos, isto é, determine
z
|z| .
2. Considere os números complexos dados nas figuras a seguir.
Represente graficamente, nessas figuras:
(a) o valor absoluto de cada complexo;
(b) o argumento principal de cada complexo;
Nota: Lembre-se que na definição dada em sala de aula o argumento principal de um número complexo
pertence ao intervalo (−π , π ]
(c) a soma desses complexos;
(d) a diferença desses complexos;
(e) o produto de tais complexos;
(f) o conjugado de cada um dos complexos;
(g) o simétrico de cada um deles em relação à origem;
(h) o complexo unitário associado a cada um desses complexos (isto é, z/|z|).
3. Seja 0 ̸= a ∈ R e considere o número complexo z = a + ai .
(a) represente z no plano complexo (considere os casos a < 0 e a > 0 separadamente);
(b) determine o argumento principal de z ;
Números Complexos
2
(c) sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z 2 quando a > 0 ;
(d) sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z n quando a > 0 e n ∈ Z+ ;
(e) sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z 3 quando a < 0 ;
4. Coloque na forma a + bi onde a , b ∈ R , os seguintes números complexos:
• (1 − 3i)2
;
i (2 − 3i)
;
1−i
i
;
z
i
;
i(z − i)
;
2 + 3i
3 + 4i
onde z ∈ C.
5. Calcule i2014 .
6. Se −π < θ ≤ π é o argumento principal de 0 ̸= z ∈ C , qual será o argumento principal de z −1 ?
7. Resolva as equações em C . Dê a resposta na forma a + b i .
• z2 − z − 1 = 0
• z 2 − 2z + 2 = 0
• z2 − z + 1 = 0
• z 2 − 3z + 4 = 0 .
8. Seja 0 ̸= a ∈ R e considere o número complexo z = −a + ai .
(a) Represente z no plano complexo (considere os casos a < 0 e a > 0 separadamente);
(b) Determine −π < arg(z) ≤ π, isto é, o argumento principal de z ;
(c) Sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z 2 quando a > 0 ;
(d) Sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z n quando a > 0 e n ∈ Z+ ;
(e) Sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z 3 quando a < 0 ;
9. Se −π < θ1 , θ2 ≤ π são os argumentos principais de 0 ̸= z1 , z2 ∈ C respectivamente, qual será o argumento
principal de:
(a) z̄1 ;
(e) z1−2 ;
(b) z1−1 ;
(f) z1−2 ;
(c) (z̄1 )−1 ;
(g) z1 z2−1 ;
(d) z1−2 ;
(h) z1 z2 ;
1
;
z1 z2
z1
(j)
;
z1 z2
z1 z2
(k)
.
z1 z2
(i)
10. Se z é um complexo não nulo, qual a intrepretação geométrica para o complexo iz ?
11. Se z1 e z2 são complexos unitários (i.e. de módulo 1), qual a intrepretação geométrica para o complexo z1 z2 ?
12. Coloque na forma polar os seguintes números complexos e determine o seno e o cosseno dos seus argumentos
principais. Represente graficamente no plano complexo o argumento principal associado a cada um desses
complexos :
• −12
• −2 + 3i
• 2
• 1−i
• −1 − 2i
• 5 + 4i .
13. Represente graficamente no plano complexo:
• o conjunto dos números complexos cujo módulo vale 2 ;
• o conjunto dos números complexos cuja parte real vale 1 ;
• o conjunto dos números complexos cuja parte real é maior do que 1 ;
• o conjunto dos números complexos da forma x + ix2 onde x ∈ R ;
Números Complexos
3
• o conjunto dos números complexos cujo módulo é superior a 1 e inferior a 2 ;
• o conjunto dos números complexos não nulos cujo argumento principal está no intervalo [−π/4 , π/4 ] .
14. Represente graficamente no plano complexo o conjunto dos números complexos não nulos cujo argumento
principal vale:
• π/4
• 5π/6
• −π/3
• −5π/7
15. Calcule as raı́zes dos seguintes números complexos:
√
−9
√
4
• −16
√
• 3 −27
•
•
√
−i
√
3
• −i
√
• 4 −i
√
3
−27
√
• i
√
• 3i
√
3
−1
√
• 1+i
√
• 31+i
•
•
√
4
1+i
√
• 1−i
√
• −3 + 4i
•
16. Determine o argumento principal, em radianos, dos números complexos a seguir. Os argumentos dados abaixo
estão em radianos.
{
}
• 2 cos(5π/3) + i sin(5π/3) ;
{
}
• 3 cos(10π/3) + i sin(10π/3) ;
{
}
• 12 cos(87π/5) + i sin(87π/5) ;
17. Dado z = 2 cos(π/3) + 2 i sin(π/3) calcule z 30 , z 100 .
18. Dado z = cos(3π/2) + i sin(3π/2) calcule z 6 , z 15 , z 21 .
19. Calcule :
(
) (
)
• cos(π/2) + i sin(π/2) × cos(π/6) + i sin(π/6) ;
(
)
• 1 ÷ cos(π/3) + i sin(π/3) ;
(
)
• i ÷ cos(π/4) + i sin(π/4) ;
(
) (
)
• cos(π/2) + i sin(π/2) ÷ cos(π/6) + i sin(π/6) .
•
3
2
{
}
cos(59π/6) + i sin(59π/6) ;
• cos(100π/3) + i sin(100π/3) ;
• cos(57π/4) + i sin(57π/4).