Prova 2 com Gabarito
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Prova 2 com Gabarito
Prova 2 de MAE 994 Cálculo Integral e Diferencial IV (2014/2) Professor Marco Cabral 14 de outubro de 2014 Explique seus passos de forma cuidadosa. NÃO serão aceitas respostas sem desenvolvimento. QUESTÃO 1: (2,0) Determine y(t) se Y (s) = L (y) (s) satisfaz (use tabela abaixo): 4s2 + 8 (a) Y (s) = 2 . (s − s − 2)(s − 3) s+1 . − 6s + 9 1 8 11 Resposta: (a) Por frações parciais, Y (s) = s+1 − s−2 + s−3 . Assim y(t) = 11 e3 t −8 e2 t +e−t . 4 1 3t + (s−3) + e3 t . (b) Por frações parciais, Y (s) = s−3 2 . Assim y(t) = 4 t e (b) Y (s) = s2 ( 2x, x ∈ (0, 2), QUESTÃO 2: (2,5) Considere ψ(x) = −4, x ∈ (2, 3). P∞ Seja h(x) = n=0 (an cos(nπx/L) + bn sen(nπx/L)) a série de Fourier de uma extensão impar de período 6 de ψ . Determine, se possível, e justique sua resposta: (a) h(−18). (b) h(−15). (c) h(−2). Resposta: Em todos os casos, a resposta é 0. (2,0) (a) Deduza uma relação que transforma o produto cos(Ax) sen(Bx) em uma soma de senos ou cossenos partindo dasZfórmulas da trigonometria de sen(a±b) e cos(a±b). QUESTÃO 3: (b) Baseado na ideia acima, determine Resposta: cos(3x) sen(2x) sen(5x) dx. x) x) x) + sin(6 − sin(4 + x4 (a) Ver em qq livro. (b) − sin(10 40 24 16 ( 2, x ∈ (0, π), QUESTÃO 4: (2,0) Considere f (x) = 1, x ∈ (π, 2π). Escreva f como série de cossenos com período 4π . Explique seus passos em português claro e sucinto. Não faça contas sem explicar os passos. Resposta: a0 = 3 e an = 2/(nπ) sen(nπ/2). São quatro casos: se n é par, an = 0; se n impar, an = 1 ou −1. (1,5) Considere u3 a função que vale 0 para t < 3 e 1 para t ≥ 3. Determine, aplicando a denição de transformada de Laplace, L (u3 f 0 ) (s) para uma função f limitada qualquer. Sua resposta vai envolver valor de f em algum ponto, potências de s, eks (para algum k ) e L (u3 f ) (s). Dica: Imite a prova de L (f 0 ) (s) = sL (f ) (s) − f (0) fazendo as modicações necessárias. Resposta: sL (u3 f ) (s) − e−3s f (3) (obtido integrando por partes apropriadamente). QUESTÃO 5: Fórmulas: L (tn eat ) = n! ; (s − a)n+1 L (eat sen(bt)) = L (f 0 ) (s) = sL (f ) (s) − f (0); L (uc (t)f (t − c)) = e−cs F (s); b ; (s − a)2 + b2 L (eat cos(bt)) = s−a . (s − a)2 + b2 L (uc ) (s) = e−cs /s; L (ect f (t)) = F (s − c); L (δ(t − c)) = e−cs . Série de Fourier de f : a0 /2 + ∞ + bm sen(mπx/L)), onde m=1 (am cos(mπx/L) RL RL 2L é o período e am = 1/L −L f (x) cos(mπx/L) dx e bm = 1/L −L f (x) sen(mπx/L) dx. Fórmulas: P
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