Prova 2 com Gabarito

Prova 2 de MAE 994 Cálculo Integral e Diferencial IV (2014/2)
Professor Marco Cabral
14 de outubro de 2014
Explique seus passos de forma cuidadosa. NÃO serão aceitas respostas sem desenvolvimento.
QUESTÃO 1:
(2,0) Determine y(t) se Y (s) = L (y) (s) satisfaz (use tabela abaixo):
4s2 + 8
(a) Y (s) = 2
.
(s − s − 2)(s − 3)
s+1
.
− 6s + 9
1
8
11
Resposta: (a) Por frações parciais, Y (s) = s+1
− s−2
+ s−3
. Assim y(t) = 11 e3 t −8 e2 t +e−t .
4
1
3t
+ (s−3)
+ e3 t .
(b) Por frações parciais, Y (s) = s−3
2 . Assim y(t) = 4 t e
(b) Y (s) =
s2
(
2x, x ∈ (0, 2),
QUESTÃO 2: (2,5) Considere ψ(x) =
−4, x ∈ (2, 3).
P∞
Seja h(x) = n=0 (an cos(nπx/L) + bn sen(nπx/L)) a série de Fourier de uma extensão impar
de período 6 de ψ . Determine, se possível, e justique sua resposta:
(a) h(−18). (b) h(−15). (c) h(−2).
Resposta: Em todos os casos, a resposta é 0.
(2,0) (a) Deduza uma relação que transforma o produto cos(Ax) sen(Bx) em
uma soma de senos ou cossenos partindo dasZfórmulas da trigonometria de sen(a±b) e cos(a±b).
QUESTÃO 3:
(b) Baseado na ideia acima, determine
Resposta:
cos(3x) sen(2x) sen(5x) dx.
x)
x)
x)
+ sin(6
− sin(4
+ x4
(a) Ver em qq livro. (b) − sin(10
40
24
16
(
2, x ∈ (0, π),
QUESTÃO 4: (2,0) Considere f (x) =
1, x ∈ (π, 2π).
Escreva f como série de cossenos com período 4π . Explique seus passos em português
claro e sucinto. Não faça contas sem explicar os passos.
Resposta: a0 = 3 e an = 2/(nπ) sen(nπ/2). São quatro casos: se n é par, an = 0; se n
impar, an = 1 ou −1.
(1,5) Considere u3 a função que vale 0 para t < 3 e 1 para t ≥ 3. Determine,
aplicando a denição de transformada de Laplace, L (u3 f 0 ) (s) para uma função f limitada
qualquer. Sua resposta vai envolver valor de f em algum ponto, potências de s, eks (para
algum k ) e L (u3 f ) (s).
Dica: Imite a prova de L (f 0 ) (s) = sL (f ) (s) − f (0) fazendo as modicações necessárias.
Resposta: sL (u3 f ) (s) − e−3s f (3) (obtido integrando por partes apropriadamente).
QUESTÃO 5:
Fórmulas:
L (tn eat ) =
n!
;
(s − a)n+1
L (eat sen(bt)) =
L (f 0 ) (s) = sL (f ) (s) − f (0);
L (uc (t)f (t − c)) = e−cs F (s);
b
;
(s − a)2 + b2
L (eat cos(bt)) =
s−a
.
(s − a)2 + b2
L (uc ) (s) = e−cs /s;
L (ect f (t)) = F (s − c);
L (δ(t − c)) = e−cs .
Série de Fourier de f : a0 /2 + ∞
+ bm sen(mπx/L)), onde
m=1 (am cos(mπx/L)
RL
RL
2L é o período e am = 1/L −L f (x) cos(mπx/L) dx e bm = 1/L −L f (x) sen(mπx/L) dx.
Fórmulas:
P