Lista 9 - Milton Procópio de Borba

9ª. LISTA –
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
1. Dada as funções f ( x , y ) =
a) f ( 2 , 4 )
CÁLCUL O II
x 3 xy
t
+ 5 determine:
− 2 e g ( x , y , t ) = ( x + y )2 −
4
y
xy
c) g (−1, 2, 4)
b) f ( t 2 , t )
d) g ( s , s2 , s3 )
2. Determine e esboce o domínio da região:
a) f ( x , y ) = ln(1 − x 2 − y 2 )
b) f ( x , y ) =
1
y−x
c) f ( x , y ) = 3e
2
y−x
3. Esboce o gráfico de curvas de nível (mapa de contorno) com k={1,2,3,4} para:
a) f ( x , y ) = x y
c) f ( x , y ) =
b) f ( x , y ) = x 2 + y
x2 + y2
2
4. Dadas as funções, associe as respectivas suas curvas de nível (mapas de contornos)
a)
b)
(
)
(
c)
)
(
)
d)
(
)
5. Dadas as funções, associe as respectivas suas superfícies de nível
a) f ( x , y , z) = x + z
(
)
b) f ( x , y , z) = x 2 + y 2 + z2
(
)
c) f ( x , y , z) = − y 2 + z d) f ( x , y , z) = − x 2 − y 2 + z
(
)
(
)
6. Determine as derivadas parciais solicitadas por definição:
∂z
∂x
a) z = 5 xy − x 2 ,
b) f ( x , y ) = x 2 + y 2 − 10 ,
∂f
∂y
7. Dada a função, determine as derivadas parciais solicitadas:
a) f ( x , y ) = 3 x 3 y 2 , f x ( x , y ) , fy ( x , y ) , fx (1, 2) , fy (1, 2)
b) z = e 2 x seny ,
∂z ∂z ∂z
,
,
∂x ∂y ∂x
2
y
( ln 2 ,0 )
∂z
∂y
( ln 2 ,0 )
∂ z ∂ z
∂ z
∂2z
,
,
,
2
2
∂x
∂y
∂ x∂ y ∂ y∂x
2
c) Seja z = x . cos y ,
d) f ( x , y ) = e x
,
2
2
∂f
∂f ∂ 2 f ∂ 2 f
∂2 f
,
,
,
,
2
2
∂x
∂y ∂ x
∂y
∂x ∂y
,
e) f ( x , y ) = cos( x 5 y 4 ) ,
∂f
∂f
∂2 f
,
,
∂x
∂y ∂x ∂y
f) f ( x , y ) = e xy sen 4y 2 ,
∂f
∂f
,
∂x
∂y
g) f ( x , y ) =
xy
∂f
∂f
,
,
x2 + y2
∂x
∂y
h) f ( x , y ) =
x +y
,
x−y
f x ( x , y ) , fy ( x , y )
i) f ( x , y ) = x 2 y e xy ,
∂f
∂f
(1, 1) ,
(1, 1)
∂x
∂y
∂w
∂w
,
1
∂ x ( ,π )
∂y
j) w = x 2 cos xy ,
2
k) h( x , y ) = ln(4 x − 5y ) ,
1
( ,π )
2
∂2h
∂2h
,
∂x 2
∂y 2
l) f ( x , y , z) = x 3 y 5 z7 + xy 2 + y 3 z ,
fxy , f xz fxyy , fxyz , fxxyz
df
dt
a) f ( x , y ) = ln( x 2 + y ) , x = 2t + 1 , y = 4t 2 − 5
b) f ( x , y ) = sen( 2 x + y ) , x = cost , y = sen t
8. Use a regra da cadeia para determinar
2
t2
4
, y = t2 + 2
c) f ( x , y ) = 4 x e xy , x = 2t , y =
d) f ( x , y ) = ln xy , x = 2t 2
9. Use a regra da cadeia para determinar:
dz
dz
e
du
dv
a) z = x 2 + y 3 , x = u 2 , y = 3 v 2
b) z = − ln( x 2 − y 2 ) , x = cos u cosv , y = sen u sen v
c) z = x 2 − y 2 , x = u − 3 v , y = u + 2 v
d) z = x e y , x = u v , y = u − v
c) z = 2 x + 5y − 3 ,
∂z
∂z
e
∂x
∂y
10. Determine a inclinação da superfície f(x,y) no ponto P(4,2) na direção indicada. Indique também o ângulo (em
graus) em relação com os respectivos eixos:
a) f ( x , y ) = 3 x + 2 y , na direção x
b) f ( x , y ) = 3 x + 2 y , na direção y
11. Determine a inclinação da superfície h(x,y) no ponto P(3,0) na direção indicada. Indique também o ângulo (em
graus) em relação com os respectivos eixos:
a) h( x , y ) = x e − y + 5y , na direção x
b) h( x , y ) = x e − y + 5y , na direção y
Respostas
1a.
3
8
1b.
t2 1
−
4 t
2a.
2b.
3a.
2c.
3b.
3c.
4. ( c ) , ( d ) , ( a ) , ( b )
5. ( c ) , ( a ) , ( d ) , ( b )
6a. 5y − 2 x
7a. 9 x 2 y 2
6b. 2y
− cos y
4x x
7d. 2 xy e x
2
6 x3y
,
7b. 2 e 2 x sen y
7c.
y
,
x2 ex
−
y ( x2 − y2 )
( x 2 + y 2 )2
7h.
−
2y
( x − y )2
3e
y
,
,
,
− sen y
2 x
,
2e
x ( x 2 − y2 )
( x 2 + y 2 )2
2x
( x − y )2
5
4
− sen y
2 x
,
2y ( 1 + 2 x2 y ) e x
, − 4 x 5 y 3 sen( x 5 y 4 )
,
,
2
0
e
12
,
2
y
,
( x sen 4 y 2 + 8y cos 4 y 2 ) e xy
y e xy sen 4y 2 ,
7g.
7i.
,
, − x cos y
,
6c. 2
36
,
e 2 x cos y
7e. − 5 x 4 y 4 sen( x 5 y 4 )
7f.
1d. s4 + 2 s3 + s2 + 4
1c. 8
, x4 ex
2
y
, 2 x ( 1 + x2 y ) ex
2
y
− 20 x 4 y 3 [ x 5 y 4 cos( x 5 y 4 ) + sen( x 5 y 4 )]
7j.
7k.
−
π
−
,
4
− 16
( 4 x − 5 y )2
4t + 1
8a.
2t 2 + t − 1
u +v
,
2
9c. − 10 v ,
21 x 2 y 5 z6
,
, 60 x 2 y 3 z7 + 2
, 105 x 2 y 4 z6
8b. ( − 2 sen t + cost ) cos( 2 cost + sen t )
2 u3
4
− 25
( 4 x − 5 y )2
,
7l. 15 x 2 y 4 z7 + 2 y
9a.
1
8
v
u +v
4
10( v − u )
2
9b.
8c. ( 5 t + 8 ) e
5
2 sen u cos u
cos2 u + cos2 v − 1
9d. ( 1 + u ) v e u − v ,
10a.
3
8
, 20.6o
10b.
11a.
1
, 45o
11b. 2
1
4
, 14o
, 63.4o
, 210 x y 4 z6
,
t5
8
8d.
2 sen v cosv
cos2 u + cos2 v − 1
− ( 1 − v ) u eu −v
4(t2 + 1)
t (t2 + 2 )