Lista 9 - Milton Procópio de Borba
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Lista 9 - Milton Procópio de Borba
9ª. LISTA – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 1. Dada as funções f ( x , y ) = a) f ( 2 , 4 ) CÁLCUL O II x 3 xy t + 5 determine: − 2 e g ( x , y , t ) = ( x + y )2 − 4 y xy c) g (−1, 2, 4) b) f ( t 2 , t ) d) g ( s , s2 , s3 ) 2. Determine e esboce o domínio da região: a) f ( x , y ) = ln(1 − x 2 − y 2 ) b) f ( x , y ) = 1 y−x c) f ( x , y ) = 3e 2 y−x 3. Esboce o gráfico de curvas de nível (mapa de contorno) com k={1,2,3,4} para: a) f ( x , y ) = x y c) f ( x , y ) = b) f ( x , y ) = x 2 + y x2 + y2 2 4. Dadas as funções, associe as respectivas suas curvas de nível (mapas de contornos) a) b) ( ) ( c) ) ( ) d) ( ) 5. Dadas as funções, associe as respectivas suas superfícies de nível a) f ( x , y , z) = x + z ( ) b) f ( x , y , z) = x 2 + y 2 + z2 ( ) c) f ( x , y , z) = − y 2 + z d) f ( x , y , z) = − x 2 − y 2 + z ( ) ( ) 6. Determine as derivadas parciais solicitadas por definição: ∂z ∂x a) z = 5 xy − x 2 , b) f ( x , y ) = x 2 + y 2 − 10 , ∂f ∂y 7. Dada a função, determine as derivadas parciais solicitadas: a) f ( x , y ) = 3 x 3 y 2 , f x ( x , y ) , fy ( x , y ) , fx (1, 2) , fy (1, 2) b) z = e 2 x seny , ∂z ∂z ∂z , , ∂x ∂y ∂x 2 y ( ln 2 ,0 ) ∂z ∂y ( ln 2 ,0 ) ∂ z ∂ z ∂ z ∂2z , , , 2 2 ∂x ∂y ∂ x∂ y ∂ y∂x 2 c) Seja z = x . cos y , d) f ( x , y ) = e x , 2 2 ∂f ∂f ∂ 2 f ∂ 2 f ∂2 f , , , , 2 2 ∂x ∂y ∂ x ∂y ∂x ∂y , e) f ( x , y ) = cos( x 5 y 4 ) , ∂f ∂f ∂2 f , , ∂x ∂y ∂x ∂y f) f ( x , y ) = e xy sen 4y 2 , ∂f ∂f , ∂x ∂y g) f ( x , y ) = xy ∂f ∂f , , x2 + y2 ∂x ∂y h) f ( x , y ) = x +y , x−y f x ( x , y ) , fy ( x , y ) i) f ( x , y ) = x 2 y e xy , ∂f ∂f (1, 1) , (1, 1) ∂x ∂y ∂w ∂w , 1 ∂ x ( ,π ) ∂y j) w = x 2 cos xy , 2 k) h( x , y ) = ln(4 x − 5y ) , 1 ( ,π ) 2 ∂2h ∂2h , ∂x 2 ∂y 2 l) f ( x , y , z) = x 3 y 5 z7 + xy 2 + y 3 z , fxy , f xz fxyy , fxyz , fxxyz df dt a) f ( x , y ) = ln( x 2 + y ) , x = 2t + 1 , y = 4t 2 − 5 b) f ( x , y ) = sen( 2 x + y ) , x = cost , y = sen t 8. Use a regra da cadeia para determinar 2 t2 4 , y = t2 + 2 c) f ( x , y ) = 4 x e xy , x = 2t , y = d) f ( x , y ) = ln xy , x = 2t 2 9. Use a regra da cadeia para determinar: dz dz e du dv a) z = x 2 + y 3 , x = u 2 , y = 3 v 2 b) z = − ln( x 2 − y 2 ) , x = cos u cosv , y = sen u sen v c) z = x 2 − y 2 , x = u − 3 v , y = u + 2 v d) z = x e y , x = u v , y = u − v c) z = 2 x + 5y − 3 , ∂z ∂z e ∂x ∂y 10. Determine a inclinação da superfície f(x,y) no ponto P(4,2) na direção indicada. Indique também o ângulo (em graus) em relação com os respectivos eixos: a) f ( x , y ) = 3 x + 2 y , na direção x b) f ( x , y ) = 3 x + 2 y , na direção y 11. Determine a inclinação da superfície h(x,y) no ponto P(3,0) na direção indicada. Indique também o ângulo (em graus) em relação com os respectivos eixos: a) h( x , y ) = x e − y + 5y , na direção x b) h( x , y ) = x e − y + 5y , na direção y Respostas 1a. 3 8 1b. t2 1 − 4 t 2a. 2b. 3a. 2c. 3b. 3c. 4. ( c ) , ( d ) , ( a ) , ( b ) 5. ( c ) , ( a ) , ( d ) , ( b ) 6a. 5y − 2 x 7a. 9 x 2 y 2 6b. 2y − cos y 4x x 7d. 2 xy e x 2 6 x3y , 7b. 2 e 2 x sen y 7c. y , x2 ex − y ( x2 − y2 ) ( x 2 + y 2 )2 7h. − 2y ( x − y )2 3e y , , , − sen y 2 x , 2e x ( x 2 − y2 ) ( x 2 + y 2 )2 2x ( x − y )2 5 4 − sen y 2 x , 2y ( 1 + 2 x2 y ) e x , − 4 x 5 y 3 sen( x 5 y 4 ) , , 2 0 e 12 , 2 y , ( x sen 4 y 2 + 8y cos 4 y 2 ) e xy y e xy sen 4y 2 , 7g. 7i. , , − x cos y , 6c. 2 36 , e 2 x cos y 7e. − 5 x 4 y 4 sen( x 5 y 4 ) 7f. 1d. s4 + 2 s3 + s2 + 4 1c. 8 , x4 ex 2 y , 2 x ( 1 + x2 y ) ex 2 y − 20 x 4 y 3 [ x 5 y 4 cos( x 5 y 4 ) + sen( x 5 y 4 )] 7j. 7k. − π − , 4 − 16 ( 4 x − 5 y )2 4t + 1 8a. 2t 2 + t − 1 u +v , 2 9c. − 10 v , 21 x 2 y 5 z6 , , 60 x 2 y 3 z7 + 2 , 105 x 2 y 4 z6 8b. ( − 2 sen t + cost ) cos( 2 cost + sen t ) 2 u3 4 − 25 ( 4 x − 5 y )2 , 7l. 15 x 2 y 4 z7 + 2 y 9a. 1 8 v u +v 4 10( v − u ) 2 9b. 8c. ( 5 t + 8 ) e 5 2 sen u cos u cos2 u + cos2 v − 1 9d. ( 1 + u ) v e u − v , 10a. 3 8 , 20.6o 10b. 11a. 1 , 45o 11b. 2 1 4 , 14o , 63.4o , 210 x y 4 z6 , t5 8 8d. 2 sen v cosv cos2 u + cos2 v − 1 − ( 1 − v ) u eu −v 4(t2 + 1) t (t2 + 2 )