História da Matemática

História da Matemática
2011/2
Lista 2: Matemática Babilônica †
Fernando Deeke Sasse
CCT - UDESC
Os exercı́cios abaixo estão baseados em Aaboe[1], Burton[2] e Eves[3].
1. Considere a transcrição, dada na Fig. 1, do texto de um tablete, na base sexagesimal.
Explique os possı́veis usos desta tabela. Qual a razão para a ausência de alguns números,
Figura 1: Transcrição de uma tabela de recı́procos
tais como 7, 11, 13, 17, 19, 21, 22, 23, etc.?
2. Os seguintes problemas envolvem conversões entre diferentes bases numéricas. Obtenha os resultados usando divisão longa.
(i) Converta 599 para a base 5.
(ii) Suponhamos que para a base numérica 12 usamos os sı́mbolos: 0, 1, 2, 3, 4, . . . , 9, A, B.
Expresse 26565 na base 12.
(ii) As bases octal (8) e hehadecimal são usadas em linguagem computacional de máquina.
Suponha que os sı́mbolos para a base hexadecimal são 1, 2, 3, . . . , 8, 9, A, B, C, D, E, F . Represente 34824 na base octal e na base hexadecimal.
(iii) Represente o número decimal 24, 125 na base binária. Represente o número decimal
0, 13 na base binária usando até 12 dı́gitos.
(iv) Represente os números decimais 234569435465 e 0, 7 na base sexagesimal, usando ao
menos 4 casas após a vı́rgula unitária.
3. Converta cada um dos três números abaixo, dados em notação cuneiforme, para o sistema
1
1
5
, 40
e 12
na base sexagesimal.
decimal. 4.Expresse as frações 16 , 91 , 15 , 24
5. Expresse cada um dos números decimais abaixo, para a notação cuneiforme:
(i) 1000 . (ii) 10000 . (iii) 100 000 . (iv) 1234 . (v) 12335 . (vi) 129456 .
†
A ser entregue até 24/8/2011.
6. Entre os números 2, 3, 4, . . . , 30, quais são aqueles que possuem recı́procos de representação finita nas bases (i) binária, (ii) decimal, (iii) hexadecimal e (iv) sexagesimal.
7. Escreva as frações 72 , 19
, 5 e 10
em notação sexagesimal usando:
15 3
9
(i) O método babilônico de encontrar o recı́proco do denominador e então multiplicar pelo
numerador.
(ii) Multiplicando o numerador e denominador do resto da divisão por 60 e converter para
a base sexagesimal.
8. Em um tablete babilônico o seguinte problema foi encontrado:
“Dado que o comprimento de um cı́rculo é 60 unidades e o comprimento de
uma perpendicular do centro de uma corda do cı́rculo até a cirfunferência é de 2
unidades, encontre o comprimento da corda. ”
Tome π = 3.14. O problema é resumido na figura 2.
9. Em outro tablete está registrado o seguinte problema:
Figura 2: Representação geométrica do problema 7.
“ Um lado de um triângulo reto tem 50 unidades de comprimento. Paralelo
ao outro e 20 unidades deste lado, uma linha é desenhada de modo a cortar
um trapezóide reto de área 5, 20. Determine os comprimentos das bases deste
trapezóide. ”
O problema é resumido na figura 3.
10. Encontre a solução para o seguinte problema babilônico:
“Para a área de um retângulo, o excesso do comprimento sobre a largura é adicionado, dando 120; além disso, a soma do comprimento e da largura é 24.
Determine as dimensões do retângulo.
Figura 3: Representação geométrica do problema 8.
11. Resolva o seguinte problema encontrado em um tablete:
“Eu tenho uma vareta. Eu não sei seu comprimento. Eu a quebro, tiro dela um
pedaço de um cúbito e caminho 60 vezes ao longo do comprimento. Eu restituo
o pedaço quebrado e caminho 30 vezes ao longo da largura. A área é 6, 15. Qual
é o comprimento original da vareta?”
12. Os babilônicos conheciam a fórmula (α + β)(α − β) = α2 − β 2 . Discuta como tal
fórmula pode ser obtida por eles de forma geométrica. (Sugestão: veja a figura 4).
Figura 4: Representação geométrica do problema 10.
13. Resolva os seguintes problemas, que mostram que os babiônicos conheciam o teorema
de Pitágoras:
(i) Um tablete babilônico computa o raio de um cı́rculo que circunscreve um triângulo isóceles
de lados 50, 50, 60. Determine este raio.
(ii) Uma vara de comprimento 0; 30 (está de pé, apoiada contra uma parede). A parte
superior escorregou 0, 6. O quanto se moveu a parte inferior? (da parede)1
1
Suponha que inicialmente a escada está de pé, encostada na parede, como sugerido na transliteração da
referência [4].
Referências
[1] Asger Aaboe. Episodes from the early history of mathematics. The Mathematical Associtation of America, 1968.
[2] David Burton. History of mathematics: an introduction. McGraw-Hill, 2008.
[3] Howard Eves. An Introduction to the history of mathematics. Holt, Rinehart and Winston
Inc., 1969.
[4] Duncan J. Melville. Poles and walls in Mesopotamia and Egypt. Historia Mathematica,
31:148–162, 2004.