Métodos Numéricos - OER@AVU

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MÉTODOS
NUMÉRICOS
Preparado por Dr. Ralph W. P. MASENGE
NOTA
Este documento é publicado sob condições da Creative Commons
http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons
Atribuição
http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/
Licença (abreviada “cc-by”), Versão 2.5
African Virtual university
Université Virtuelle Africaine
Universidade Virtual Africana
2
Índice
I. Métodos Numéricos .....................................................................................................................3
II. Pré-requisitos ou Conhecimentos preliminares...........................................................................3
III. Tempo ........................................................................................................................................3
IV. Material......................................................................................................................................3
V. Análise do Módulo.....................................................................................................................3
VI. O conteúdo................................................................................................................................4
6.1 Vista Geral ...........................................................................................................................4
6.2 Plano Geral: Syllabus (aqui se incluem tempos específicos se necessários)........................5
6.3 Organizador Gráfico .............................................................................................................7
VII. Objectivo(s) Geral(gerais)........................................................................................................7
VIII. Actividades específicas da aprendizagem...............................................................................8
IX. Actividades de Ensino e Aprendizagem..................................................................................10
X. Actividades de Aprendizagem ..................................................................................................17
XI. Lista Compilada de todos Conceitos Chaves (Glossário) .....................................................102
XII. Lista Compilada de Leituras Obrigatórias ...........................................................................107
XIII. Lista Compilada de Recursos Multimedia (Opcional) .......................................................107
XIV. Síntese do Módulo ..............................................................................................................108
XV. Avaliação Sumativa .............................................................................................................110
XVI. Referências .........................................................................................................................120
XVII. Autor do Módulo...............................................................................................................121
3
I. Métodos Numéricos
Por Dr. Ralph W. P. Masenge
II. Pré-requisitos ou Conhecimentos preliminares
Cálculo 2 é o pré-requisito
III. Tempo
O tempo total para este módulo é de 120 horas de estudo.
IV. Material
Os estudantes devem ter acesso a leituras nucleares adiante especificadas. Os estudantes
necessitarão do computador para ganhar o acesso completo das leituras centrais. A adicionar a
isso, os estudantes devem ser capazes de instalar o software waxMaxima e usá-lo na
exercitação (prática) dos conceitos algébricos.
V. Análise do Módulo
Um atributo chave da matemática é a sua aplicabilidade na resolução de problemas. A
história da disciplina está repleta de evidências de que a força condutora nos seus
desenvolvimentos primordiais está assente nas tentativas de resolver problemas na Geometria
Plana, na Mecânica Celestial e na Navegação.
Infelizmente, as formulações matemáticas (modelos) de muitos problemas na ciência e na
engenharia são, em geral, difíceis de resolver analiticamente ou por causa da complexa
natureza das soluções analíticas ou porque tais soluções não podem ser expressas em termos de
combinações de funções matemáticas conhecidas.
Em todos estes casos, os métodos numéricos têm de ser recorridos a intervir. O estudante
de matemática ou de ciência é portanto, esperado que tenha um conhecimento de trabalho e
4
habilidade de aplicar métodos numéricos na resolução de alguns problemas básicos da
matemática tais como a interpolação, a integração numérica e a determinação de raízes de
funções.
Navegando na internet é a chave para auto-aprendizagem
VI. O conteúdo 6.1 Vista Geral Premira Actividade de Aprendizagem: Tipos e Causas de Erros
A primeira actividade de aprendizagem se destina a levar o estudante a apreciar a
necessidade para métodos numéricos. Também se sente que este é o momento certo para
definir o conceito de um erro matemático, de apontar as origens e os tipos de erros e
mencionar algumas formas práticas de reduzir seus efeitos cumulativos numa solução
numérica.
Segunda Actividade de Aprendizagem: Interpolação
A segunda actividade de aprendizagem trata do conceito de interpolação. Ambos métodos
de interpolação linear e de interpolação de polinómios de ordem superior, baseados em
Lagrange, em diferenças divididas de Newton e as técnicas de interpolação de diferenças
finitas são apresentados.
Terceira actividade de aprendizagem: Integração Numérica
5
A terceira actividade de aprendizagem analisa os problemas de integração numérica. A
discussão é limitada às fórmulas de Newton-Cotes. Atenção específica é dada às regras de
Trapézio e de Simpson e a aplicação da técnica de Interpolação de Richardson em ambas
fórmulas de Trapézio e de Simpson na dedução de esquemas de integração de Romberg
Quarta actividade de aprendizagem: Raízes de Funções
A quarta e a final actividade de aprendizagem apresenta o problema de encontrar raízes na
resolução de equação não linear f (x) = 0 e na resolução de sistema associado de duas equações
não lineares f (x, y) = 0, g (x, y) = 0
Figura 4: Uma árvore Baobab: o número de raízes é igual ao número de galhos
6.2 Plano Geral: Syllabus (aqui se incluem tempos específicos se necessários) Este é um curso de duas unidades fornecido no Nível 2 com prioridade de classificação A.
O módulo da Matemática é o pré-requisito do curso.
A seguir são ideias gerais detalhadas de conteúdos de cada Actividade de Aprendizagem.
O cronograma apresentado é adequado para estudantes frequentando uma unidade do curso
durante 35 horas por unidade. O cronograma mostra o intervalo de tempo que o Estudante é
recomendado a gastar na aprendizagem de cada um de seus componentes.
[Estudantes que frequentam um módulo do curso necessitariam 120 horas para completar
o módulo].
6
Preparação e realização de Avaliação (4 horas).
Actividade de aprendizagem Nº 1: Tipos e causas de erros (25 horas)
Tipos e fontes de erros
Necessidade para métodos numéricos
Fontes de erros e tipos
Estratégias para reduzir os erros
Actividade de aprendizagem Nº 2: Interpolação (35 horas)
Interpolação linear
Interpolação de Lagrange
Diferenças divididas de Newton
Operadores de diferenças finitas
Tabelas de diferenças finitas
Interpolação de diferenças finitas de polinómios
Actividade de aprendizagem Nº 3: Integração Numérica (25 horas)
Fórmulas de Newton-Cotes
Dedução das regras de Trapézio e de Simpson
Integração de Romberg
Fórmulas de Quadratura de Gauss
Actividade de aprendizagem Nº 4: Raízes de Funções (25 horas)
Método de Bissecção
Convergência do Método de Bissecção
Método de posição falsa ou Regula Falsi
Método de Secantes
Método de Newton-Raphson
7
Resolvendo um sistema associado de duas equações não lineares
Iterações de Ponto Fixo
Preparação e realização de Avaliação Somativa (6 horas)
6.3 Organizador Gráfico Fig. 5: Organizador gráfico
VII. Objectivo (s) Geral (gerais) No fim deste módulo:
Você será equipado(a) de conhecimento e compreensão das propriedades das funções
elementares e suas várias aplicações necessárias para ensinar com segurança estes assuntos na
escola do nível secundário.
Você terá conhecimento seguro de conteúdos relacionados da matemática escolar de
modo a capacitá-lo para, com confiança, ensinar estes assuntos na escola do nível secundário.
Você vai adquirir conhecimentos sobre ICT (Tecnologias Informação e Comunicação) e
8
habilidade para aplicar ICT disponível para melhorar o ensino e a aprendizagem da
matemática escolar.
Especificamente você será capaz de:
(1) Distinguir métodos/soluções numéricos e métodos/soluções analíticos
(2) Apreciar a necessidade de aprender e aplicar métodos numéricos
(3) Identificar as fontes principais de erros e tomar medidas apropriadas com vista a
eliminar ou reduzir tais erros
(4) Deduzir e aplicar uma série de métodos de interpolação
(5) Deduzir e aplicar uma série de métodos de integração numérica
(6) Deduzir e aplicar uma série de métodos numéricos para encontrar raízes de funções
(7) Resolver um sistema associado de duas equações não lineares com duas variáveis
Fig. 6: Antena da Internet na AVU – Centro de Aprendizagem, Universidade de Dar Es Salam
VIII. Actividades específicas da aprendizagem Como já se mencionou na apresentação das Ideias Gerais na Secção VI, este é um módulo
de duas unidades e seus conteúdos serão apresentados usando quatro actividades de
aprendizagem. Cada actividade de aprendizagem tem uma série de objectivos específicos de
aprendizagem. Especificá-los com antecedência com vista a permitir ao estudante a ter um
panorama global sobre o que vêm à frente em termos do que ela/ele será capaz de fazer no
estudo do módulo.
9
No final do módulo, o estudante será capaz de:
S/N Actividade de
Objectivos Específicos de Aprendizagem
Aprendizagem

Fazer a lista das fontes principais dos erros de
cálculo e as estratégias práticas a levar a cabo com vista a
1
Tipos e Fontes
eliminar ou reduzir seus efeitos cumulativos numa solução
de Erros
numérica

Notar a diferença entre o tamanho (exactidão)
e a gravidade (precisão) de um erro

Compreender e aplicar a interpolação numa
tabela dada de valores da função.

Estimar o erro na interpolação linear para
uma função suave conhecida.

Explicar porque é que os métodos numéricos
são essenciais na resolução de problemas matemáticos

Escrever e aplicar a Interpolação Polinomial
de Lagrande para dados igualmente espaçados.

Interpolação
baseada nas diferenças divididas

2
Escrever e aplicar a interpolação de Newton
Definir e Manipular operadores de mudança,
para a frente, para a trás, central e de diferença de médias

Construir tabelas de diferenças para uma dada
função ou para um conjunto de valores

Deduzir e aplicar interpolação polinomial de
diferenças de Newton para a frente, para a trás e diferenças
centrais de Stirling
.
10

Deduzir, compreender e aplicar a regras de
Trapézio, de Simpson e qualquer outra fórmula de
3
Integração
Numérica
Integração Numérica de Newton-Cotes

Deduzir, compreender e aplicar o esquema
de integração numérica de Romberg baseado ou na regra
de Trapézio ou na regra de Simpson.
4
Raízes de

Deduzir e aplicar o método de bissecção
funções

Provar
a
convergência
do
método
de
bissecção

Deduzir, compreender e aplicar os métodos
da secante e da Regula Falsi (método de posição falsa).

Deduzir, compreender e aplicar o método de
Newton-Raphson

Deduzir, compreender e aplicar o método de
Newton num par de equações simultâneas não lineares.
IX. Actividades de Ensino e Aprendizagem 9.1 Pré-avaliação
1. Se X é uma medida exacta de uma certa quantidade e X 0 é sua aproximação, o conceito
de erro na aproximação é definida por:
(a ) X 0  X

(b) X  X 0

(c) X  X 0
(d ) X  X
0

11
2. O erro absoluto na aproximação da quantidade X = 104 pelo valor aproximado X 0 = 107 é
dado por
(a )
(b)


(c)
(d )
4
3
7
104
O erro relativo na aproximação X 0 dado na Questão 1 é:
(a )
(b)


(c)
(d )
0,028846
0,299462
0,002885
0,038462
3. Uma razão válida por que a função
1 se | x |  0

f(x) = 
0 se x  0

não é contínua em X = 0 é:
(a )

(b)

(c)

(d )
lim f ( x)  f (0)
x 0
lim f ( x)  0
x 0
lim f ( x)  1
x 0
lim f ( x)  f (0)
x 0
4. A função contínua x3 – 3x – 3 deve ter zero (raiz) em algum ponto no
12
(a)
(b)

intervalo 2 < x < 3 porque 
(c)
(d )
f (2) f (3)  0
f (2) f (3)  0
f (2)  0 f (3)  0
f (2)  0 f (3)  0
5. A primeira derivada da função y = xx
(a ) (1  ln( x)) x x

xx
(b)
é 
x
(c) x ln( x)
(d ) (1  ln( x)) x x

6. O desenvolvimento da série cúbica truncada de Maclaurin da função f (x) = 1  x é:
(a) 1 
x x 2 3x 3


2 4
8
x x 2 3x 3
(b) 1  

2 4
8
x x2 x3
(c) 1  

2 8 16
x x2 x3
(d) 1  

2 8 16
7. A anti-derivada geral da função f(x) = ln(x) é dada por:
 (a )
 (b)


 (c )
 (d )
x ln( x)  C
ln( x)  x  C
x ln( x)  x  C
x ln( x)  x  C
8. O valor da integral

2
1 3
 (a) 1,146581
 (b) 1,145681
1 x

dx é: 
2
x  2x  5
 (c) 1,146185
 (d ) 1,164581
13
9. Com seis casas decimais correctas, o valor aproximado de

1 x
2
1 3
x  2x  5
2
dx usando a
regra de trapézio com h = 0,25 é:
 (a ) 1,146850
 (b) 1,416560


 (c) 1,146038
 (d ) 1,146580
10. Trabalhando sob mesmas condições, o valor aproximado da integral dada na Questão 8
usando a regra de Simpson é:
 (a ) 1,416039
 (b) 1,146083


 (c) 1,146038
 (d ) 1,146580
11. Se o 3º e 4º termos de uma progressão aritmética são 7 e 27 respectivamente, então o 52º
elemento da progressão é:
 (a)
 (b)


 (c )
 (d )
103
105
107
106
12. Começando com X 0 = 2, o valor de X 4 usando a fórmula de iteração
X n-1 =
3(1  X n )
Xn
 (a)
 (b)

é: 
 (c )
 (d )
2,104255
2,103731
2,130731
2,103713
14
13. Dados dois pontos P(x 0 , y 0 ) e Q(x 1 , y 1 ), abcissa do
ponto onde a secante AB;

corta o eixo dos xx é:
14. A curva da função y = f(x) passa pelos dois pontos cujas coordenadas são (0,2;1,183) e
(0,4;1.342). Usando uma recta que liga os dois pontos para aproximar a curva da função no
intervalo dado, o valor aproximado de y no ponto x = 0,3 é:
 (a )
 (b)


 (c )
 (d )
y  1,2265
y  1,6225
y  1,5262
y  1,2625
15. Dado um ponto P(x 0 , f(x 0 )) na curva de uma função diferenciável y = f(x), a coordenada
do ponto onde a tangente em P corta o eixo das abcissas é:
f ( x0 )

 (a ) : x 0  f ' ( x )
0


f ( x0 )
 (b) : x0 
f ' ( x0 )


(c) : x  f ' ( x0 )
0

f ( x0 )

 (d ) : x  f ' ( x0 )
0

f ( x0 )
16. O método de Bissecção é baseado no princípio de que uma função contínua que é
positiva num ponto a = x e negativa num outro ponto x = b tem uma raiz em algum ponto x = c no
intervalo a < c < b e que o ponto x =
ab
, que bissecta o intervalo [a, b], é uma aproximação
2
razoável de C. Começando com os dois pontos a = 2, b = 3, a aplicação do método de bissecção na
15
 (a )
 (b)

função x3 – 3x – 3 resulta no valor 
 (c )
 (d )
x3  2,215
x3  2,115
x3  2,125
depois do terceiro processo de bissecção
x3  2,225
17. O método de Newton-Raphson para a aproximação de uma raiz de uma função usa a
fórmula de iteração
X n+1 = x n -
f ( xn )
f ' ( xn )
n = 0, 1, 2, …
Se x 0 = 2 é uma aproximação de uma das raízes da função f(x) = x3 – 3x – 3, então a aplicação
do método de Newton-Raphson sobre a função resulta no valor de x 2 como:
 (a )
 (b)


 (c )
 (d )
x 2  2,130836
x 2  2,103386
x 2  2,301836
x 2  2,103836
18. As coordenadas do ponto onde as curvas que representam as funções x2 + y2 = 4; x2 – y2 =
1 intersectam uma da outra que se situam no primeiro quadrante são:
 (a )
 (b)


 (c )
 (d )
x  1,224745, y  1,561139
x  1,581139, y  1,224745
x  1,511839. y  1,227445
x  1,242745, y  1,561139
19. Começando com x 0 = 1,5, y 0 = 1,2, os valores x 3 e y 3 obtidos usando o par de fórmulas
x n+1 =
4  y n , y n 1  x n  1 , n = 0, 1, 2, … são
2
 (a )
 (b)


 (c )
 (d )
2
x3  1,562050, y 3  1,322875
x3  1,322875, y 3  1,562050
x3  1,526050. y 3  1,322875
x3  1,233875, y 3  1,562050
16
Soluções:
Comentários Pedagógicos para o estudante
A confiança do estudante para embarcar neste módulo será grandemente reforçada com a
resolução destas questões da avaliação diagnóstica.
As questões 1.2 discutem sobre os erros e a questão 3 aborda a continuidade. Se você tem
dificuldades de resolver estas questões aconselhamos que estude as definições dadas no Módulo
Glossário.
Questões 4, 5, 6 e 7 discutem os conceitos de limites, continuidade, diferenciação e
antiderivada. Se fracassa de resolver em cada uma delas, então trabalhe nas questões relevantes
das Secções do Módulo de pré-requisitos (Matemática, Módulo 3). A mesma sugestão é dada se
encontra dificuldades na resolução das questões 8, 9,10 e 11 sobre a integração.
As questões 12, 13, 16, 17, 18 e 19 se relacionam com o conceito de iterações e equações
simultâneas. Neste caso simplesmente estude cuidadosamente as fórmulas dadas e aplique-as
integralmente.
As questões 15, 16 e 17 discutem aproximação linear de funções. No caso em que alguém
depara-se com problemas na resolução de cada uma delas, uma opção seria trabalhar nas secções
17
relevantes dos livros da Matemática Superior.
Cada solução correcta tem 5 pontos, com na pontuação máxima de 90 pontos. Uma pontuação
de 41 a 60 é uma pontuação média. Abaixo desta pontuação (0 – 40) provavelmente implica que
necessite voltar a estudar as questões relevantes de pré-requisitos antes de começar com o módulo.
Uma pontuação média pode significar que comece com o módulo, mas com uma revisão frequente
a alguns materiais de pré-requisitos. Com a pontuação acima da média (61 - 90) o estudante pode,
com confiança, começar a estudar o módulo e completá-lo com sucesso.
X. Actividades de Aprendizagem ACTIVIDADE 1
Tipos e fontes de erros
Sumário
Nesta actividade discutimos três tópicos introdutórios importantes. Começamos por fazer
uma distinção entre uma solução analítica e uma solução numérica. Esta distinção é seguida de
uma discussão de alguns problemas matemáticos típicos especialmente seleccionados para
convencer o estudante porquê os métodos numéricos são necessários. Concluímos a actividade
com o conceito de erros em cálculos matemáticos, destacando as suas causas principais, os
tipos e as formas práticas de eliminar ou minimizar seus efeitos em soluções numéricas.
Objectivos específicos de aprendizagem:
No fim desta actividade o estudante deve ser capaz de:

Definir o conceito de erros em cálculos matemáticos

Distinguir erros absolutos dos erros relativos e correctamente relacioná-los com os
conceitos de exactidão (tamanho) e precisão (consequências) de um erro.

Fazer a lista das fontes principais de erros de cálculo e os passos a tomar com vista
18
a eliminá-los ou reduzir seu efeito cumulativo numa solução numérica.

Apreciar a diferença entre o tamanho (exactidão) e a seriedade (precisão) de um
erro

Compreender e aplicar interpolação linear numa dada tabela de valores da função

Estimar o erro numa interpolação linear de uma função suave
Leituras requeridas:
Wikipedia: Numerical Methods/Errors Introduction
Lista de Links relevantes
Wolfram MathWorld (visitado em 03.04.2007)
http://mathworld.wolfram.com
Os estudantes devem pesquisar a entrada que abrange o título da unidade. Também
pesquisar quaisquer palavras-chaves que aparecem no texto. Mathworld fornece uma
referência detalhada em todos casos.
Wikipedia (visitado em 03.04.07
http://en.wikipedia.org/wiki
Tal como mathworld, os estudantes devem pesquisar a entrada que abrange o título da
unidade. Também pesquisar quaisquer palavras-chaves que aparecem no texto. Wikipedia
geralmente dá sugestões curtas e menos completas. Todavia elas podem ser mais fáceis de ler.
MacTutor History of Mathematics (visitado em 03.03.07)
http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Indexes
O arquivo McTutor é muito mais compreensível arquivo da história de matemática na
19
internet. Os estudantes devem pesquisar título da sua unidade e ler a história de seu tema. Esta
prática fornece considerável visão da importância e contexto do tópico que está sendo
estudado.
Palavras-chaves
[Definições completas são dadas no texto]
Error in an approximation: a diferença entre o valor exacto e o valor aproximado
Absolute error: Erro sem consideração do sinal (positivo ou negativo)
Relative error: a relação entre o erro absoluto e o valor exacto da quantidade
Initial, discretization, truncation and rounding errors: Diferentes tipos de erros
causados pelas diferentes fontes de erros
Actividade 1 de Aprendizagem: Tipos e fontes de erros
Introdução
Esta actividade do módulo se destina a prover ao estudante com respostas às seguintes
questões importantes; questões levantadas por muitos estudantes que entram em contacto pela
primeira vez com o curso de métodos numéricos.
(1) O que é uma solução numérica e como tal solução difere de uma solução analítica
exacta (verdadeira)?
(2) Porquê aprender métodos numéricos? Os métodos numéricos são necessários?
(3) O que são erros no contexto matemático? Quais são as fontes principais de erros de
cálculo? Como alguém pode eliminar os erros ou reduzir seu efeito em soluções
numéricas?
Começamos actividade com a explicação da diferença entre uma solução analítica e uma
solução numérica. De forma a estabelecer a necessidade de métodos numéricos, discutimos
uma série de problemas matemáticos especificamente seleccionados com o objectivo de
20
convencer o estudante de que existe uma necessidade real para a aprendizagem de métodos
numéricos ou porque as soluções analíticas não podem ser encontradas ou são muito
complexas para o uso prático.
Para responder às questões sobre erros, definimos o conceito de erro e alistamos uma série
desses erros. A seguir ainda sugerimos para cada tipo, a fonte do erro, passos práticos a tomar
para reduzir o erro, e portanto, seu impacto na solução numérica.
Métodos Analíticos, Métodos Numéricos e Erros
(a) Métodos analíticos versus Métodos numéricos.
O que é uma solução numérica e como ela difere da solução exacta (verdadeira) ou solução
analítica?
Um método analítico para resolver um dado problema matemático é qualquer método baseado
rigorosamente na análise matemática e cuja aplicação conduz a uma solução verdadeira (exacta),
também conhecida como solução analítica
Método numérico para resolver um dado problema matemático é qualquer método baseado na
análise matemática rigorosa cuja aplicação em muitos casos, pode simplesmente conduzir a uma
solução aproximada (não exacta), também conhecida como solução numérica. Em alguns casos,
raros, um método numérico pode dar uma solução exacta.
Exemplo 1. 1
As soluções exactas da equação não linear x2 – 5x + 3 = 0 podem ser obtidas usando a bem
conhecida fórmula quadrática (método analítico)
x 1, 2 
 b  b 2  4ac
2a
Esta fórmula dá uma solução analítica x 1, 2 
 5  13
2
Por sua vez, a fórmula de iteração (método numérico)
21
x n+1 = 5 x n  3 , n = 0, 1, 2, ...; x n = 4,5
pode também ser aplicada para aproximar uma das duas soluções da equação quadrática dada.
Este método pode somente dar uma solução numérica aproximada.
RESOLVE:
Dadas as fórmulas de integração numérica
x1
Regra do Trapézio:
h
 f ( x)dx  2 [ f(x 0 ) + f(x 1 )]
h = x1 – x0
x0
x1
Regra de Simpson:
h
 f ( x)dx  3 [ f(x 0 ) + 4f(x 1 ) + f(x 2 )
h = x2 – x1 = x1 – x0
x0
x1
(i)
a regra do Trapézio dá valores exactos para a integral
 f ( x)dx
para
x0
qualquer função linear f(x) = ax + b
x1
(ii)
A regra de Simpson dá valores exactos da integral
 f ( x)dx
para qualquer
x0
função cúbica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Em geral a diferença entre soluções analíticas e soluções numéricas pode ser resumida na
seguinte frase: Soluções Analíticas são exactas enquanto soluções numéricas são
aproximadas.
(b) Necessidade para métodos numéricos
Porquê alguém aprenderia métodos numéricos? Os métodos numéricos são necessários?
Por causa da distinção acima entre os métodos analíticos e os métodos numéricos alguém
facilmente pode ser levado a concluir que é suficiente usar métodos analíticos na resolução de
problemas matemáticos. Em outras palavras, não há necessidade de aprender métodos numéricos
pois eles conduzem somente a soluções aproximadas. Tal conclusão é enganadora. Precisamos de
aprender métodos numéricos pelas seguintes três razões:
1. Para alguns problemas, soluções analíticas podem não ser conhecidas. Exemplos típicos são
22
dados nos seguintes casos:
x
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
f(x)
1,0000
1,1180
1,1180
1,3229
1,4142
1
2.
e
x2
2
dx é perfeitamente definida mas a anti-derivada do integrando f ( x)  e x não pode ser
0
expressa usando as funções matemáticas conhecidas
3. Em alguns casos, pode ser possível encontrar uma expressão matemática para uma solução
analítica de um dado problema. Todavia, a expressão pode ser computacionalmente muito
complicada para manejar numericamente. Um problema típico é de encontrar uma anti-derivada
de f(x) =
1
8  x3
Depois de fastidiosas manipulações envolvendo factorização do denominador seguida da
aplicação do método de fracções parciais, a anti-derivada geral é:
F(x) =
 x  1  1  x 2  2x  4 
3
C
 
tan 1 
ln 2

12
 3  24  x  4 x  4 
onde C é uma constante arbitrária de integração. Este resultado complicado torna difícil avaliar
2
a integral definida
dx
8 x
3
com ela associada, quase impossível determinar com algum sentido o
1
grau de exactidão.
RESOLVE
dF
= f(x) (usando a função F no exemplo 3 acima)
dx
(i)
Verique que
(ii)
Por factorizar 8 – x3 = (2 – x)(x2 + 2x + 4) e aplicando o método de fracções
parciais obtenha a expressão F(x) como anti-derivada de f(x).
23
(c) Erros
O que são erros no contexto da matemática? Quais são as principais fontes de erros de cálculo?
Como alguém pode eliminar erros ou reduzir nas soluções numéricas?
Na secção de palavras-chave você pode encontrar definições de conceitos chaves, formulações
de teoremas chaves e princípios relevantes ao tópico de métodos numéricos. A secção inclui as
definições de erros, erros absolutos, erros relativos, erros de discretização, erros de truncação e
erros de arredondamentos. Para facilitar a referência, alistamos esses erros.
Hipótese:
Seja X* uma aproximação à uma quantidade exacta (verdadeira) X. Então:
O erro absoluto em X* é definido por |x – x*|.
O erro em X* é definido por x – x*
O erro percentual em X* é definido por 100
x  x*
%
x
Uma vez que o valor exacto (verdadeiro) não é normalmente conhecido, é costume substituí-lo
pelo valor aproximado X* no denominador da expressão para o erro relativo e erro percentual
respectivamente.
Precisão e Exactidão
Medidas e cálculos podem ser caracterizados com respeito à exactidão e precisão.
Precisão refere-se a quão grande ou quão pequeno o erro absoluto |x – x*| é. O erro absoluto
refere-se portanto a uma medida de precisão de uma aproximação.
Exactidão refere-se a quão perto a aproximação X* concorda com o valor X. Aqui o que conta
24
não é somente a magnitude do desvio |x – x*| mas também seu tamanho relativo do valor de X. A
exactidão é portanto medida pelo erro relativo
x  x*
.
x
(d) Tipos e fontes de Erros
Agora apresentamos a lista das fontes e tipos de erros e em poucas linhas discutir os métodos
de eliminá-los ou reduzi-los de modo que a solução numérica que obtemos não seja seriamente
afectada por eles o que pode torná-la insignificante.
(i)
Erros iniciais
Qualquer problema matemático que careça de uma solução numérica envolve alguns dados
iniciais. Tais dados podem ser na forma de coeficientes numa expressão matemática ou casas de
uma matriz. Se este dado inicial não é exacto, então os desvios do seu respectivo valor real são
chamados erros iniciais. Em alguns problemas, incertezas nos dados iniciais podem ter efeitos
devastadores na solução numérica final do problema.
(ii) Erro de Discretização
A maior parte da Literatura sobre erros de cálculo não faz distinção entre erros de
discretização e erros de truncação, a razão é de que os dois tipos de erros são quase inseparáveis.
Nesta apresentação separamos os dois tipos porque erros de truncação são tipos especiais de erros
de discretização.
As soluções verdadeiras (exactas) de alguns problemas matemáticos são funções contínuas y
= f(x) das respectivas variáveis independentes. Em quase todos casos, métodos numéricos para
resolver tais problemas são aproximações a uma função contínua desconhecida f(x) por uma
sequência {f(x n )} de valores aproximados da solução num conjunto discreto de pontos {x n } no
domínio da solução da função f(x). Por exemplo, a função contínua f(x) = x + e-x é a solução do
problema do valor inicial de y’ + y = 1 + x
y(0) = 1
Um método numérico típico para resolver este problema é dado pela relação de recorrência.
x 0 = 0,
y 0 = 1,
y n = (1 – h)y n-1 + (1 + x n-1 )h, n = 1, 2, 3, ...., sendo h uma distância
25
constante entre dois valores discretos consecutivos da variável x. O erro resultante de um tal
processo de discretização é chamado erro de discretização.
(iii) Erro de Truncação
Erros de Truncação são tipos especiais de erros de discretização. O termo erro de truncação
refere-se ao erro num método, que ocorre porque um processo infinito é interrompido
prematuramente (truncado) a um pequeno número de termos ou iterações no processo.
Tais erros são essencialmente erros algorítmicos e alguém pode predizer a extensão do erro
que pode ocorrer num método.
Especificamente, a solução obtida usando alguns métodos numéricos pode envolver processos
infinitos. Por exemplo, este é o caso que envolve todos métodos de iteração convergente e séries
infinitas convergentes. Uma vez que tais processos infinitos não podem ser levados a cabo
indefinidamente, alguém é forçado a parar (truncar) o processo e aceitar uma solução aproximada.
O erro causado devido a esta inevitável terminação de um processo infinito é chamado um erro de
truncação.
(iv) Erros de arredondamento
Erros de arredondamento são erros introduzidos durante cálculos numéricos devido às
limitações dos dispositivos de cálculo para executar o cálculo aritmético exacto. Por exemplo, se
multiplicamos dois números, cada um com seis dígitos decimais, o produto terá doze algarismos
decimais. Infelizmente algumas calculadoras podem não ser capazes de mostrar todos doze
algarismos decimais. Neste caso alguém é forçado a trabalhar com poucos algarismos e
necessariamente retirando alguns (menos significativos) à direita do produto. O erro que ocorre
assim é chamado erro de arredondamento
(c) Métodos de reduzir os erros
No espírito de “prevenção do que a cura” tentamos nesta secção dar sugestões práticas das
formas de eliminar ou reduzir o impacto dos vários tipos de erros de cálculo que são encontrados
26
no uso de métodos numéricos
(i) Como reduzir erros iniciais
Erros iniciais podem ter efeitos devastadores nas soluções numéricas
Ilustramos um caso típico de um exemplo tirado de Francis Sheid, Numerical Analysis,
Shaum Outline Series, 1968 page 342, envolvendo a solução das seguintes duas equações
simultâneas:
x -
y
= 1
x - 1,00001y = 0
a solução verdadeira (analítica) é x = 100.001; y = 100.000. Neste exemplo, o conjunto de
1
dados iniciais consiste de elementos da matriz dos coeficientes A = 
1

1

e o vector do
 1,00001
1 
lado direito b =  
0
 
Todavia, se a casa 1,00001 na matriz A é alterada para -0,99999 enquanto outros dados na
matriz não são alteradas, o sistema de equações resultante
x -
y
= 1
x - 0,99999y = 0
tem solução exacta (analítica) que muda drasticamente: x = -99.999 e y = -100.000
Este resultado de alguma forma surpreendente demonstra como uma pequena mudança nos
dados iniciais pode causar desproporcionalmente mudanças enormes na solução de alguns
problemas.
Assim a única forma para reduzir ou se possível, eliminar erros iniciais é por assegurar que
todos dados do problema colocado ou calculados para o uso na resolução de um problema
sejam exactos bem como humanamente possíveis.
(ii) Como reduzir erros de discretização?
Métodos numéricos diferentes para aproximar a solução de um dado problema matemático
podem resultar em soluções numéricas com diferentes graus de exactidão devido a magnitudes de
27
1
seus erros de discretização. Considere o problema de avaliar a integral definida:
dx
1 x
2
. O valor
0
exacto (analítico) da integral, com seis algarismos decimais correctos é tan-1(1) = 0,785398.
Vamos aplicar as regras do trapézio e de Simpson usando um comprimento do intervalo h =
0,25. Primeiro avaliamos o integrando f ( x) 
1
nos pontos relevantes e obtemos:
1 x2
i
O
1
Y.
O
0.25
2
0.5
f{y)
1.000000
0.941176
0.800000
'1
0.75
4
1
0.640000
0500000
Regra do trapézio
dá a seguinte solução numérica 0,782794
Regra de Simpson
Que conduz à solução numérica 0,785392
Observamos que enquanto a solução obtida usando a regra do trapézio é duas casas decimais
correctas, a solução obtida pela regra de Simpson é 4 casas decimais correctas. Esta significativa
diferença na exactidão das duas soluções é causada pelas diferenças nos erros de discretização dos
dois métodos numéricos. A regra de Simpson apresenta menor erro de discretização do que a regra
de trapézio.
Em geral, erros de discretização não podem ser evitados. Todavia, podemos reduzi-los
substancialmente seleccionando cuidadosamente o método numérico cujo erro de discretização
é conhecido a priori que é relativamente pequeno.
(iii) Como reduzir os erros de truncação
Os erros de truncação são causados pela inevitável necessidade de parar um processo de
convergência infinito num esforço de obter solução. O tamanho do erro de truncação vai depender,
portanto, de um particular processo infinito (método numérico) a ser usado e de como estamos
preparados para realizar tal processo infinito.
O erro de truncação pode ser reduzido por
28
(a) escolher um método numérico com um menor erro de truncação ou por
(b) levar o processo infinito suficientemente longe
Exemplo 1.2
A função contínua f(x) = x2 – 3x + 1 tem uma raiz no intervalo 0 < x < 1 (Porquê?). Usando a
fórmula resolvente (fórmula quadrática), o valor exacto da raiz, correcta a seis algarismos
decimais é  = 0,381966. Uma série de métodos iterativos existem para aproximar a uma tal raiz.
Aqui consideramos dois de tais métodos:
O método de bissecção
xn + 1 =
x n  x n 1
dado que f(x n )f(x n-1 ) < 0
2
O método de Newton-Raphson
x=x-
f ( xn )
dado que f’(x n )  0
f ' ( xn )
Se realizamos apenas três iterações (truncação depois de três iterações) com cada um dos
métodos, começando com x 0 = 0 e x 1 = 1, para o método de bissecção e x 1 = 0 para o método de
Newton-Raphson, obtemos a seguinte sequência de aproximações para cada método:
Método
Valores Iniciais
Bissecção
Xo =
O
Xl
Newton
Raphson
I
X?
x,
Xa
0.500000
0.250000
0.375000
0.333333
0.380952
0.381966
=1
Xl

Estes resultados mostram que parando o processo infinito (iteração) depois de três iterações, o
erro de truncação do método de Newton-Raphson é muito mais pequeno do que o método de
bissecção.
29
RESOLVE
Continue aplicando o método de bissecção do exemplo acima até que a solução seja seis casas
decimais correctas. Quantas mais iterações a resolução requer?
(iv) Como reduzir os erros de arredondamento
Antes de discutirmos esta última tarefa importante na nossa actividade de aprendizagem,
introduzimos alguns termos que serão frequentemente mencionados e usados no processo.
Algarismos ou dígitos
Na matemática computacional, as palavras “algarismo” e ”dígito” são sinónimas. São usadas
indistintamente para significar cada um dos numerais no conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
No sistema decimal de números reais, um número N é um string ou uma sequência
ordenada de algarismos ou dígitos. Um exemplo típico é o número
N = 00073920600365,00004507000
Um número pode ser visto como uma medida de tamanho ou magnitude de alguma quantidade
real ou imaginária. A posição de cada dígito num string de dígitos indica a importância ou
significância de tal dígito no valor global do tamanho ou magnitude da quantidade que o número
representa.
Intuitivamente sabemos que o dígito 7 mais à esquerda do número N acima á mais
significativo do que o dígito 7 mais à direita.
Que dígitos são mais significativos num número?
As seguintes regras se aplicam para decidir que dígitos ou algarismos num dado número são
significativos:
1. Inteiros não zeros são sempre dígitos significativos
2. Quaisquer zeros mais à esquerda de um número são não significativos
3. Todos dígitos zeros situados entre dígitos não zeros são significativos
4. Zeros na parte final mais à direita de um número são contados como significativos
somente se o número contém uma vírgula decimal
Quantos algarismos significativos são num dado número?
30
O número de algarismos significativos num dado número é encontrado usando a regra
seguinte:
Regra 1: O número de algarismos significativos num número inteiro puro (sem algarismos
decimais é obtido por contar, a começar pelo algarismo não zero mais à esquerda, terminando com
o algarismo não zero mais à direita.
Exemplo 1.3
O número 541500409 tem 9 algarismos significativos
O número 002507030 tem 6 algarismos significativos
Regra 2: O número de algarismos significativos num número contendo uma parte decimal é
obtido por contar todos algarismos, começando com o algarismo não zero mais à esquerda.
Exemplo 1.4
O número 6,00213 tem 6 algarismos significativos
O número 6,00213000 tem 6 algarismos significativos
Nota: Todos dígitos zero no final do número decimal são significativos
(iv) Como reduzir erros de arredondamento
Munidos de conceitos de dígitos/algarismos e algarismos significativos num número podemos
agora confortavelmente discutir as formas de reduzir os erros de arredondamento
Um método óbvio de lidar com o problema de erros de arredondamento é trabalhar com a
exactidão máxima permissível no nosso dispositivo de cálculo em cada fase de realização de
cálculos.
Exemplo 1.5
Determinar a soma 2,35; 1,48; 4,24 usando um dispositivo de cálculo que somente pode
executar o cálculo com dois algarismos significativos.
A soma exacta é S = 2,35 + 1,48 + 4,24 = 8,07
31
Se negligenciamos o segundo algarismo decimal de cada termo e determinar sua soma,
obtemos a soma aproximada S 1 = 2,3 + 1,4 + 4,2 = 7,9
O erro absoluto em S 1 é: S  S1 = 0,17
Uma melhor aproximação de S dentro dos mesmos limites é: S 2 = 2,4 + 1,5 + 4,2 = 8,1
O erro absoluto em S 2 é: S  S 2 = 0,03
Este erro é significativamente menor do que em S 1 .
A questão imediata que se espera que o estudante coloque é: “Como se chegou a termos de
dois dígitos em S 2 ”?
A resposta a esta questão é simples. Cada termo foi obtido a partir dos correspondentes termos
de três dígitos fazendo arredondamento.
Em breve o estudante saberá como arredondar números
O que significa arredondar um número?
Arredondar um número a um número fixo de algarismos ou dígitos, simplesmente significa
deixar de fora (deixando cair) todos dígitos no lado direito do número que estão além de uma certa
posição.
Se um número é arredondado simplesmente deixando cair todos dígitos que estão além de uma
certa posição no lado direito do número sem fazer algum ajustamento ao último dígito mantido,
falamos de arredondamento por defeito ou corte do número
Exemplo 1.6
A soma S 1 foi calculada usando termos obtidos a partir de números originais pelo
arredondamento por defeito (ou pelo corte do número) do terceiro algarismo decimal de cada
termo. O termo 2,35 foi arredondado para 2,3; o termo 1,48 arredondado para 1,4 e o termo 4,24
foi arredondado para 4,2. Em cada caso o último dígito mantido (primeira posição decimal) não
32
foi ajustado no processo de arredondamento.
Nota
A soma S 2 foi também obtida via arredondamento. Contudo, o arredondamento neste último
caso é diferente. Aqui, não todos três termos foram arredondados por defeito ou cortados:
O termo 2,35 foi arredondado para 2,4
O termo 1,48 foi arredondado para 2,5
O termo 4,24 foi arredondado para 4,2
Observamos que ao arredondar cada um dos dois primeiros termos 2,35 e 1,48 o dígito
ocupando a segunda posição foi deixado cair mas o dígito ocupando a primeira posição decimal
foi ajustado adicionando a ele 1 (uma unidade). O terceiro termo 4,24 foi simplesmente
arredondado pelo defeito ou cortado.
Esta prática (ou como ainda uma regra desconhecida de arredondar números) para ter alguma
significativa vantagem sobre o arredondamento por defeito (ou corte) manifestada pelo exemplo
acima no qual S 2 é mais correcto do que S 1
Regras para arredondar números
De forma a reduzir os erros no arredondamento de números, a rejeição de dígitos para além de
uma posição predeterminada (n) é acompanhada com a realização de ajustamentos ao dígito que
fica na posição (n – 1). O ajustamento envolve ou mantendo o dígito na posição (n) sem mudanças
ou adicionar uma unidade a ele. A decisão de reter ou acrescentar uma unidade ao dígito ocupando
a posição (n -1) é governada pelas seguintes regras:
(a) Se o dígito na posição (n +1) é maior que 5 então o dígito na posição (n) é
acrescentado a ele 1.
(b)
Se o dígito na posição (n +1) é 5 e pelo menos um outro dígito à sua direita não é
zero então o dígito na posição (n) é acrescentado 1
(c)
Se o dígito na posição (n + 1) é menor que 5 então o dígito na posição (n) é
deixado imutável
(d)
Se o dígito na posição (n + 1) é 5 e todos outros dígitos à direita da posição (n +
1) são zeros, então:
33
O dígito na posição (n) é aumentado 1 se tal dígito na posição (n) é um
(i)
número ímpar (1, 3, 5, 7, 9)
(ii)
O dígito na posição (n) é mantido se ele é número par (0, 2, 4, 6, 8).
Exemplo 1.7
Arredondar um número dado a dois algarismos significativos correctos:
Avaliação
Ordem
Número
Regra
8.361
Arredondado a dois
Algarismos
8.4
1
2
8.351
8.4
(b)
3
8.350
8.4
(d) (i)
4
8.450
8.4
(d) (ii)
5
8.050
8.0
(d) (ii)
6
8.349
8.3
(c)
(a)
7
2.55
2.6
(d) (i)
8
2.65
2.6
(d) (ii)
9
0.0557
0.056
(a)
10
0.0554
0.055
(b)
Formativa:
Os
estudantes
devem
trabalhar
nos
exercícios
propostos
cuidadosamente escrevendo soluções completas para cada problema. Devem verificar suas
respostas minuciosamente usando as soluções dadas.
Questões
1. (a) Usando o método de substituição determina a solução exacta do seguinte sistema de
equações:
5x + 7y = 12,075
7x + 10 y = 16,905
(b) Arredonde o valor direito de cada uma das equações a dois algarismos significativos e
depois determine a solução exacta do sistema de equações resultante.
(c) Use as soluções obtidas dos dois sistemas de equações para explicar que os erros iniciais
precisam de ser evitados ao máximo.
2. (a) Quantos algarismos significativos existem em cada um dos seguintes números?
(i) 00001000020000
(ii) 10000200003004
(iii) 000123.0004500
34
(b) Arredonde cada um dos seguintes números a cinco algarismos significativos
(i) 0123.395
(ii) 0123.205
(iii) 0123.206
1
3
3. Dada a quantidade: X   
3 3
, realize os seguintes cálculos

11  20
(a) Determine o valor exacto de X com cinco algarismos significativos
(b) Aproxime o valor de X usando 3 dígitos fazendo corte aritmético (arredondar sem fazer
algum ajustamento)
(c) Aproxime o valor de X usando três algarismos com arredondamento aritmético
(d) Calcule os erros absolutos e erros percentuais nas aproximações obtidas nas partes (b) e (c).
4. O erro de truncação E(x) ao interpolar a função f(x) linearmente entre dois pontos x 0 e x 1 ,
com x 1 = x 0 + h, é dado por E(x) =
1
(x – x 0 )(x – x 1 )f’’() onde  é algum ponto no intervalo I =
2
:(x 0 , x 1 ).
(a) Usando o teste da segunda derivada, mostra que Max E ( x) 
xI
h2
M , onde M = Max f ' ' ( x)
xI
8
(b) Se f(x) = sen(x) determine o valor de h para o qual o erro de truncação vai ser sempre
menor que 0,01
5. Assumindo que a função f(x) tem uma raiz singular  no intervalo a  x  b, o método de
bissecção para aproximar  usa a fórmula de iteração
xi =
xi  2  xi 1
onde i = 1, 2, 3, ..., x -1 = a, x 0 = b, f(x i-2 )f(x i-1 ) < 0
2
(a) Prove pela indução matemática que o erro na enésima iteração de x i é dado por E i =
ba
2i
(b) Se a = 0 e b = 1, quantas iterações bissecções serão necessárias para obter uma
aproximação com um erro não maior do que 10-3?
Soluções
35
1. (a) x = 2,415; y = 0
(b) x = 1; y = 1
(c) Erros iniciais devem ser evitados porque as soluções de alguns problemas podem ser muito
sensíveis relativamente a pequenos erros iniciais.
2. (a)
(i)
6
(b)
(i)
123,40
(ii)
14
(ii)
123,20
(iii)
10
(iii)
123,21
3. (a)
Valor exacto
X = 0,45606
(b)
Valor aproximado
X b = 0,455
(c)
Valor aproximado
X c = 0,456
(d)
Erro absoluto
x  xb = 0,00106
x  x c = 0,00006
Erro percentual
 x  xb

 X


 100 = 0,23


Erro percentual
 x  xc

 X


 100 = 0,013


4. Considere a função g(x) = (x – x 0 )(x – x 1 ) cujas primeira e segunda derivadas são: g’(x) =
2x – (x 0 + x 1 ) e g’’(x) = 2, respectivamente. g(x) tem um único ponto crítico  =
vez que g’’() > 0, concluímos que
g()
= ( - x 0 )( - x 1 )
1
1
 1
1

=  x 0  x1  x 0   x 0  x1  x1 
2
2
2
 2

=
1
1
( x1  x 0 ) ( x 0  x1 )
2
2
=-
h2
4
Portanto, concluímos que Max g ( x) 
h2
h2
e assim o resultado é Max E ( x)  M 
4
4
x0  x1
e uma
2
36
(b) Com f(x) = sen(x), temos M = 1 e portanto precisamos de encontrar h tal que
Este facto conduz ao valor h 
h2
 0,01.
8
0,08 < 0,3
5. (a) Indução matemática:
Ei =
ba
2i
Teste: A fórmula é verdadeira para i = 1 porque o erro na primeira bissecção é
ba
2
Hipótese: Vamos supor que a fórmula é verdadeira para i = k > 1 (fixo). Isto significa
Ek =
ba
2k
Indução: Erro em x k+1 = E k+1 =
(b) se a = 0 e b = 1, então E i =
1ba ba
1
E k =  k   k 1
2
2  2  2
c. q. d.
ln(1000)
1
. Este valor não excede 10-3 se i 
 10
i
ln(2)
2
Actividade 2 de aprendizagem: Interpolação
Sumário
O conceito de interpolação é importante em qualquer curso introdutório de Métodos
Numéricos. Aproximação numérica discute tanto a necessidade de aproximar números, quanto a
aproximação de funções. A interpolação numérica aproxima funções.
Aproximamos funções para uma ou várias das seguintes razões:

Um grande número de funções matemáticas importantes pode ser conhecidas
apenas por meio de tabelas dos seus valores

Para
algumas
funções,
pode
ser
conhecida
sua
existência
mas
são
computacionalmente muito complexas para manipulá-las numericamente

Algumas funções podem ser conhecidas mas a solução do problema no qual elas
aparecem pode não ter uma expressão matemática óbvia para trabalhar com ela.
37
Interpolação, como ela é apresentada nesta Actividade de Aprendizagem dará ao estudante
uma oportunidade para experimentar em primeiro lugar algumas aplicações práticas de métodos
numéricos na resolução de um problema matemático de aproximar uma f(x) que é conhecida
somente por um conjunto de valores num número finito de pontos.
Esta actividade de aprendizagem cobre os seguintes sub-tópicos:

Interpolação linear

Interpolação Polinomial de Lagrange

Interpolação Polinomial de Newton de diferenças divididas
Começamos por definir o conceito de interpolação. Interpolação Linear é usada para ilustrar
o conceito. Esta é seguida pela apresentação de interpolações polinomiais especiais.
Especificamente, discutimos interpolações polinomiais baseadas na interpolação de coeficientes
de Lagrange, diferenças divididas de Newton e nas diferenças finitas.
Objectivos Específicos da Aprendizagem
No final desta actividade, o estudante será capaz de:
* Explicar por que é que os métodos numéricos são necessários na resolução de interpolação.

Aplicar interpolações polinomiais de Lagrange

Aplicar interpolação polinomial de diferenças divididas de Newton

Definir e manipular operadores de diferenças finitas (operadores de mudança,
operadores de avanço, operadores de recuo, operadores centrais e de média de diferenças)

Construir tabelas de diferenças para valores tabulados da função

Deduzir e aplicar interpolação polinomial de avanço e de recuo de Newton e
interpolação polinomial de diferenças centrais de Stirling e, por fim,

Aplicar Interpolações polinomiais de diferenças finitas na dedução de métodos
de integração numérica
Lista de leituras requeridas
38
Wikipedia: Interpolation
Lista de links relevantes e úteis
Wolfram MathWorld (visitado em 03.04.2007)
http://mathworld.wolfram.com
Os estudantes devem pesquisar a entrada que abrange o título da unidade. Também
pesquisar quaisquer palavras-chaves que aparecem no texto. Mathworld fornece uma
referência detalhada em todos casos.
Wikipedia (visitado em 03.04.07
http://en.wikipedia.org/wiki
Tal como mathworld, os estudantes devem pesquisar a entrada que abrange o título da
unidade. Também pesquisar palavras-chaves que aparecem no texto. Wipedia geralmente dá
curtas e menos completas. Todavia elas podem ser mais fáceis para ler.
MacTutor History of Mathematics (visitado em 03.03.07)
http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Indexes
O arquivo McTutor é muito mais compreensível arquivo da história de matemática na
internet. Os estudantes devem pesquisar título da sua unidade e ler a história de seu tema. Esta
prática fornece considerável visão da importância e contexto do tópico que está sendo
estudado.
Termos e teoremas chaves
Definições completas são dadas no texto
Interpolação: aproximação de uma função usando valores discretos
Interpolação Polinomial: um polinómio que interpola uma função usando valores dados
Diferenças divididas: diferenças dos valores dados da função, relacionados com
39
diferenças entre pontos discretos dados.
Operadores de diferenças finitas: Operadores matemáticos usados na construção de
diferenças nos valores da função.
Introdução
Quantas actividades de aprendizagem compreendem o módulo?
Como referido no sumário acima, métodos numéricos são usados para aproximar números bem
como para aproximar funções. Os conteúdos deste módulo são cobertos em quatro actividades de
Aprendizagem. Duas destas actividades se referem a métodos de aproximar números (a integral
definida e as raízes de funções). Outra actividade é sobre erros e a quarta actividade é sobre
métodos numéricos para aproximar funções.
Por que é que polinómios são escolhidos para aproximar funções?
Funções são aproximadas usando outras funções julgadas serem simples de manipular
numericamente. Especificamente, usamos polinómios para aproximar outras funções complicadas,
principalmente porque polinómios são

simples para avaliar

simples para diferenciar, e

simples para integrar
Começamos a apresentação por definir o conceito de interpolação e estabelecer a necessidade
para métodos numéricos e para realizar a interpolação. Esta apresentação é seguida de uma
discussão detalhada do polinómio mais simples usado na aproximação de funções, na interpolação
linear. Interpolações polinomiais de ordem superior são depois introduzidas, incluindo

Interpolação polinomial de Lagrange

Interpolação polinomial de diferenças divididas de Newton, e, finalmente
40

Interpolação polinomial de diferenças finitas
No fim da actividade é apresentada uma discussão breve sobre possíveis usos da interpolação
linear para deduzir alguns métodos de integração numérica tais como a regra do trapézio e a regra
de Simpson
Actividade #2 de aprendizagem
2.1 Significado de interpolação
O conceito matemático de interpolação é concernido a problemas de aproximar uma função
f(x) definida sobre um intervalo fechado [a, b]
A função f(x) a ser aproximada é usualmente definida através de um conjunto de seus valores
em n + 1 distintos pontos situados no intervalo [a, b]. Em geral são dados pares de valores
(x k , f(x k )); k = 0, 1, 2, ..., n
x 0 = a; x n = b
O problema é então determinar valores (ou mesmo derivadas) da função em alguns pontos não
tabulados situando-se dentro do intervalo.
Estes tipos de problemas são bastante comuns na física experimental e na química, onde uma
expressão numérica para uma função pode não ser conhecida mas seus valores para diferentes
valores da sua variável independente pode ser obtida experimentalmente através de medições
laboratoriais.
Exemplo Típico (Bajpai et al 1975 pp 205)
Num experimento levado acabo num laboratório de física, o comprimento y de um arame foi
medido para vários pesos x supensos nele. Os resultados do experimento são tabulados abaixo.
Tabela 1: peso versus extensão de um arame
x: peso (kg)
0
1
2
3
4
5
41
2027,1
y:
2029,4
2031,8
2034,1
2036,5
2039,0
comprimento
(mm)
A partir de dados obtidos acima, podemos desejar saber o comprimento do arame para
qualquer peso não tabulado que se situa dentro intervalo [0, 5]. Esta prática é conhecida como
interpolação da função y = f(x), onde a dependência funcional de y no peso x não é
explicitamente dada. Qualquer tentativa de usar os dados da tabela para calcular o comprimento do
arame para um peso fora do intervalo dado é chamada de extrapolação.
2.2 Interpolação Linear
Na interpolação linear assumimos que temos dois pontos A(x 0 , f 0 ) e B(x 1 , f 1 ) na curva de uma
função contínua y = f(x) (usualmente desconhecida) e que queremos aproximar o valor da função
num ponto x(x 0 , x 1 ).
RESOLVE
Revisite e estude as várias formas de definir uma recta e de escrever equação da recta para
cada forma:

dados dois pontos

dado um ponto e o declive
Porque a recta é completamente definida por dois pontos dados que se situam nela,
aproximamos a função f(x) localmente no intervalo [x 0 , x 1 ] pela recta através dos dois pontos
dados.
A equação da recta pode ser dada em diferentes formas. Consideremos as três formas:
(i) a usual y-intercepto-declive ou a forma de Newton
(ii) a forma de Lagrange
42
(iii) a forma de determinante.
Para propósitos computacionais, a forma do determinante é a melhor das formas dadas.

(i )




P 1 (x) = (ii )




(iii )

 f  f0
f 0   1
 x1  x 0

( x  x 0 )

x  x0
x  x1
f0 
f1.
x 0  x1
x1  x 0
f 0 x0  x
1
x1  x 0 f 1 x1  x
Exemplo Resolvido
Usando os dados obtidos do experimento do laboratório de suspender um peso com arame e
medir seu comprimento, aplique a forma do determinante da interpolação linear para aproximar o
comprimento do arame quando o peso é de 2,7 kg
Solução
Neste exemplo substituímos os valores
x0 = 2
f 0 = 2031,8
x1 = 3
f 1 = 2034,1
x = 2,7
na forma do determinante da equação e obtemos o valor:
P 1 (2,7) =
2031,8  0,7
 2033,41
2034,1
0,3
que parece ser bastante razoável em que, como é de esperar, está mais próximo de f 1 do que de
f0.
RESOLVE (2.1)
Aplique as outras duas formas de interpolação linear da função P 1 (x) para aproximar o
comprimento do arame quando o peso é 1,35 kg
43
2. 3 Erro na interpolação linear
Agora nos propomos a responder a questão: Quão grande é o erro na interpolação linear?
Em outras palavras, queremos saber quão exactas são as respostas obtidas através do processo
de interpolação linear
Uma característica importante da interpolação polinomial P n (x) de qualquer grau é que
P n (x k ) = f(x k )
k = 0, 1, 2, ..., n
Para interpolação linear isso implica que P(x 0 ) = f(x 0 )
P(x 1 ) = f(x 1 ).
Esse processo implica ainda que o erro E(x) em qualquer ponto x[x 0 , x 1 ] na interpolação
linear deve ter a forma
E 1 (x) = (x – x 0 )(x – x 1 )C
Onde C é uma constante independente de x. Na secção subsequente nesta actividade o valor de
C para uma função f(x) que se assume ser suficientemente diferenciável é dado como C =
1
f’’()
2
onde Min(x 0 , x 1 , x) <  < Max(x 0 , x 1 , x)
Com este resultado, o erro na interpolação linear assume a forma
1
2
E 1 (x) = (x – x 0 )(x – x 1 ) f’’()
Se M = Max f ' ( x) no intervalo [x 0 , x 1 ], então podemos mostrar que
E1 ( x) 
1
1
M ( x1  x 0 ) 2  Mh 2
8
8

2.4 Interpolação Polinomial
Tal como se referiu no início da actividade, o principal problema da interpolação Polinomial
44
pode ser formulado como se segue:
Dados os valores f(x k ) = f k de alguma função contínua f(x) em n +1 pontos distintos x k , k = 0,
1, 2, ..., n
Pode-se mostrar que esta, assim chamada, “Interpolação Polinomial” existe e é única.
Todavia há diferentes formas de representar a interpolação polinomial. Nesta actividade damos
quatro diferentes formas da interpolação polinomial
2. 5 Interpolação polinomial de Lagrange
A forma de Lagrange da Interpolação Polinomial tem a forma geral
n
P n (x) = L 0 (x)f 0 + L 1 (x)f 1 + L 2 (x)f 2 + … + L n (x)f n
=
 L ( x) f
i
i
i 0
em que os termos L i (x) i = 0, 1, 2, .., n são polinómios individuais de grau n em x chamados
os coeficientes de interpolação de Lagrange
Para assegurar que P n (x) satisfaz o critério de co-localização dado acima, os coeficientes de
interpolação de Lagrange são construídos tal que eles satisfaçam a condição
1 se i  j

L i (x j ) =  i,j = 
0 se i  j

Pode se verificar que a seguinte definição de L i (x) satisfaz a exigência
L i (x) =
( x  x 0 )( x  x1 )...( x  xi 1 )( x  x i 1 )...( x  x n )
( xi  x 0 )( x i  x1 )...( x i  xi 1 )( xi  x i 1 )...( xi  x n )
Com esta definição de coeficientes de interpolação de Lagrange podemos verificar a condição
da co-localização na interpolação polinomial, para
n
P n (x j ) =

i 0
Li ( x j ) f j 
n

i 0
ij
f i  f j ; j = 0, 1, 2, ..., n
45
Exemplo 2 resolvido
Constrói o polinómio cúbico de interpolação de Lagrange que interpola a função f(x) dada pela
seguinte tabela de valores
I
0
1
2
3
xi
1
2
3
4
fi
1,54
0,58
0,01
0,35
P 3 (x) = 1,54L 0 (x) + 0,58L 1 (x) + 0,01L 2 (x) + 0,35L 3 (x)
onde
L o (x) =
( x  2)( x  3)( x  4)
1
  ( x  2)( x  3)( x  4)
(1  2)(1  3)(1  4)
6
L 1 (x) =
( x  1)( x  3)( x  4) 1
 ( x  1)( x  3)( x  4)
(2  1)(2  3)(4  4) 2
L 2 (x) =
( x  1)( x  2)( x  4)
1
  ( x  1)( x  2)( x  4)
(3  1)(3  3)(3  4)
2
L 3 (x) =
( x  1)( x  2)( x  3) 1
 ( x  1)( x  2)( x  3)
(4  1)(4  2)(4  3) 6
RESOLVE (2.2)
Use a interpolação polinomial de Lagrange acima para interpolar a função f(x) em x = 2,6
Observação
(i) notamos que a segunda forma (ii) da equação de uma recta dada em RESOLVE
(2.1), problema de auto-exercício é um exemplo típico da fórmula de interpolação de
Lagrange
(ii)
Ao mudar a interpolação polinomial de Lagrange de um certo grau para a de
um outro grau, digamos da linear para quadrática todos cálculos devem ser feitos de
46
novo. Por exemplo, nenhuma das expressões usadas no caso da aproximação linear (os
coeficientes lineares de Lagrange L 0 (x) e L 1 (x) são úteis na construção da interpolação
polinomial quadrática de Lagrange.
Por causa da segunda observação, esforços foram feitos para construir as interpolações
polinomiais que são iterativas no sentido de que, uma interpolação polinomial de grau superior
pode ser obtida simplesmente por adicionar termos de grau superior à interpolação polinomial de
grau inferior já existente. O que segue apresenta duas interpolações polinomiais nesta categoria.
2.6 Diferenças divididas de Newton
Seja a função f(x) dada em n + 1 distintos pontos x 0 , x 1 , ..., x n tal que
f k = f(x k ), k =0, 1, 2, ..., n
Definimos o que são conhecidas como diferenças divididas de Newton
f[x 0 , x 1 , ..., x k ], k = 1, 2, ..., n como segue
Uma tabela típica de diferenças divididas seria como a que segue:
Tabela 3: Tabela de diferenças divididas
Diferenças divididas
x
f(x)
x0
f(x 0 )
Primeira
Segunda
Terceira
Quarta
47
f[x 0 , x 1 ]
x1
f(x 1 )
f[x 0 ,
x1,
x2]
f[x 1 , x 2 ]
f[x 0 , x 1 , x 2 ,
x3]
x2
f(x 2 )
f[x 1 ,
f[x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ,
x2,
x3]
x4]
f[x 2 , x 3 ]
f[x 1 , x 2 , x 3 ,
x4]
x3
f(x 3 )
f[x 2 ,
f[x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ,
x3,
x4]
x5]
f[x 3 , x 4 )]
f[x 2 , x 3 , x 4 ,
x5]
x4
f(x 4 )
f[x 3 ,
x4,
x5]
f[x 4 , x 5 ]
x5
f(x 5 )
Usando estas diferenças divididas Newton deduziu o seguinte polinómio de enésimo grau
P n (x) que interpola a função f(x) em n + 1 combinação de pontos distintos x k , k = 0, 1, 2, ..., n:
(Burden and Faires, 1989 p 113).
P n (x) = f(x 0 ) + (x – x 0 )f[x 0 , x 1 ] + (x – x 0 )(x – x 1 )f[x 0 , x 1 , x 2 ] + (x – x 0 )(x – x 1 )(x – x 2 )f[x 0 ,
x 1 , x 2 , x 3 ] + … + (x – x 0 )(x – x 1 )(x – x 2 ) … (x – x n+1 )f[x 0 , x 1 , x 2 , …, x n ]
Ou
n
P n (x) = f(x 0 ) +
 (x – x 0 )(x – x 1 )(x – x 2 ) … (x – x k )f[x 0 , x 1 , x 2 , …, x k-1 ]
k1
Mostramos esta abordagem no seguinte exemplo:
Exemplo resolvido 3
48
(i) Constrói a tabela de diferenças divididas para a função f(x) dada pelos seguintes dados:
Tabela 4: Valores tabulados de uma função:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
-
-
-
-5
-1
23
115
17
25
13
(ii) Use a tabela resultante de diferenças para interpolar f(x) em:
x = -2,3 usando interpolações polinomiais lineares, quadrática e cúbica de Newton baseadas
em x 0 = -3
Solução
Tabela 5: Tabela de diferenças divididas
Diferenças divididas
Primeira
Segunda
Terceira
Quarta
x
f(x)
-3
-17
-2
-25
-1
-13
O
-5
-8
10
12
-4
-2
8
O
-2
4
1
10
-1
23
115
Interpolação baseada em x = -3,0
1
8
34
92
3
1
4
24
2
1
49

Interpolação linear
Aqui tomamos x 0 = -3,0; f(x 0 ) = -17, f[x 0 , x 1 ] = -8, x = -2,3 e obtemos
f(-2,3) = f(x 0 ) + (x – x 0 )f[x 0 , x 1 ] = -22,6

Interpolação quadrática
Porque estamos a interpolar no mesmo ponto x = -2,3 precisamos somente considerar o termo
adicional (x – x 0 )(x – x 1 )f[x 0 , x 1 , x 2 ] cujo valor em x = -2,3 é (0,7)(-0,3)(10) = -2,1
Adicionando esta correcção ao valor obtido através da interpolação linear obtemos
F(-2,3) = -22,6 – 2,1 = -24,7

Interpolação cúbica
De novo precisamos somente de calcular uma correcção que deve ser feita no valor obtido
usando a interpolação quadrática. O termo adicional é (x – x 0 )(x – x 1 )(x – x 2 )f[x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ]
cujo valor é (0,7)(-0,3)(-1,3)(-4) = -1,092
Fazendo esta correcção no valor obtido pela interpolação quadrática resulta f(-2,3) = -25,792
RESOLVE (2.3)
Usando a tabela de diferenças divididas acima
(i)
Escreve o valor da diferença dividida f[x 2 , x 3 , x 4 ] e mostre exactamente
como se chegou até a ela.
(ii)
Interpole f(x) em x = -0,3 usando uma interpolação polinomial de diferenças
divididas de Newton de grau 4 baseada no ponto x = -1,0
Compare sua resposta com o valor da função f(x) = x4 + 2x3 – 3x2 + 4x – 5
2.7 Operadores de diferenças finitas
50
O terceiro conjunto e final de interpolações polinomiais está intimamente relacionado com
aquelas baseadas nas diferenças divididas de Newton
A suposição básica aqui é que
Os valores da função f(x k ) = f k são dados igualmente espaçados e distintos pontos têm
um intervalo constante de comprimento h = x k
+ 1
– x k uma combinação entre pontos
consecutivos.
Uma introdução não sistemática do método de abordar envolve a introdução de operadores
de diferenças. Existem quatro operadores básicos de diferenças. Operador de mudança,
operador para a frente, operador para a trás e operador da diferença central. Estes operadores
são definidos como se segue
O operador de mudança E
O operador de diferença E é definido através da relação
Ef(x) = f(x +h) no caso duma variável contínua x e através da relação
Ef k = f k+1 no caso da variável discreta x k .
Potências do operador (positivo ou negativo) são definidas da maneira similar:
Ep f(x) = f(x + ph); Ep f k = f k + p
O operador de diferença para a frente 
O operador de diferença para a frente é definido através da relação
f(x) = f(x +h) – f(x) no caso de uma variável contínua x, e através da relação
f k = f k + 1 – f k no caso de uma variável discreta x k
(1)
Potências do gerador de diferença para a frente  podem também ser definidas
p+1f k = pf k + 1 - pf k
p = 0, 1, 2, ...;
0f r = f r para qualquer valor de r.

O operador de diferença para a trás 
O operador de diferença para a trás  é definido através da relação
51
f(x) = f(x) – f(x – h) no caso de uma variável contínua x, e através da relação
f k = f k – f k – 1 no caso de uma variável discreta x k .
(2)
Potências do operador de diferença para a trás também podem ser definidas como:
p + 1f k = p f k - p f k – 1
p = 0, 1, 2, 3, ... ; 0 f r = f r
para qualquer valor de r.
O operador de diferença central 
O operador da diferença central  é definido através da seguinte relação
f(x) = f(x + Error!) – f(x - Error!), no caso de uma variável contínua x, e através da
relação
f k = f k – f k – 1 no caso de uma variável discreta x k .
(3)
Potências do operador de diferença central também podem ser definidas como
f k + Error! – f k – Error!
(4)
Relação entre operadores de diferença
A definição de potências do Operador de Mudança E permite-nos relacionar os três
operadores de diferença um com o outro.
Primeiro notamos que:
1
E2
fk  f
k
1
2
; E

1
2
fk  f
k
1
2
E 1 f k  f k 1
Usando estes três resultados, todos baseados na definição válida do operador de mudança,
podemos estabelecer as seguintes relações:
Porque f k = f k + 1 – f k = Ef k – f k = (E – 1)f k concluímos que
  E – 1 ou E   + 1
(5)
Ainda, porque f k = f k – f k – 1 = f k – E-1f k = (1 – E-1)f k concluímos que
  1 – E-1
ou E  Error!
(6)
52
De igual modo, porque f k = f k
+
Error! – f k
–
Error! =
1
E2
fk - E

1
2
fk = (
1
E2
– E

1
2
)f k
concluímos que
1
E2

– E
1
2

(7)
No caso do operador de diferença central  não é possível exprimir o operador de mudança E
em termos do operador de diferença central  apenas. Todavia faremos assim por envolver outros
operadores de diferenças finitas. Especificamente, podemos relacionar os operadores de diferença
para a frente e para a trás um com outro por envolver operadores de mudança e de diferença
central.
1
(i) Multiplicando ambos lados da equação (7) com E 2 e tomando o resultado na equação (5),
obtemos
1
E2
=

1
E2
1
E2
(
1
E2
– E
  E

1
2

1
2
) = E – 1  , portanto,

(8)
(ii) Multiplicando ambos lados da equação (7) com E

1
2
e considerando o resultado da
equação 6 temos
E

1
2
= E

1
2
1
(E2– E

1
2
) = 1 – E-1  , portanto

 E

1
2
1
    E 2 
(9)

Tendo estabelecido todas estas inter-relações entre os operadores E, , ,  agora podemos
definir quaisquer potências dos operadores ,  e 
Um último operador útil, o operador Médio (ou de Mediação)  é muitas vezes usado em
conexão com algumas fórmulas de interpretação que são baseadas no operador da diferença
central .
O operador médio é definido através da relação
53
f k =

1 
f 1  f 1

k 
2  k2
2 
(10)
2.8 Interpolação polinomial de diferença finita
Munidos com os cinco operadores de diferença (E, , ) , estamos prontos para alistar
(não deduzir) uma série de interpolações polinomiais baseadas no seu uso. Exactamente como elas
são usadas será discutido depois da introdução do conceito de uma tabela de diferenças. Em vez de
operar com a variável x, tais polinómios são usualmente escritos em termos de uma variável
digital s obtida a partir de transformações de variáveis.
s = Error!(x – x 0 )
(1) Interpolação polinomial de diferenças para a frente de Newton
P n (s) = f 0 + sf 0 +
1
1
s(s – 1)2f 0 + s(s – 1)(s – 2)3f 0 + … =
2
6
s 
n
  k 
k
f0
k 0
Interpolação polinomial de diferenças para a trás de Newton
P n (s) = f n + sf n +
1
1
s(s + 1)2f n + s(s + 1)(s + 2)3f n + … =
2
6
s  k k
 f n

k 0
n
  k
(3) Interpolação polinomial de diferenças centrais de Stirling
P n (s) = f 0 + sf 0 +
1 2 2
1
1 2 2
s  f 0 + s(s2 – 1)3f 0 +
s (s – 1)4f 0 + …
2
6
24
(4) Interpolação polinomial de diferenças centrais de Bessel
54
(5) Interpolação polinomial de diferenças centrais de Everett

onde t = 1 – s
2.9 Tabelas de Diferenças
Todas as cinco interpolações polinomiais de diferenças finitas dadas acima contém diferenças
para a frente, para a trás ou centrais de potências que excedem um. É portanto importante saber
como estas quantidades podem ser obtidas. A resposta não é difícil. Estas quantidades são obtidas
a partir das tabelas de diferenças construídas usando os valores dados da função f(x) numa
distribuição de pontos x k equidistantes.
As tabelas de valores são obtidas num processo similar ao da construção de diferenças
divididas de Newton. A única diferença neste caso é que somente as diferenças dos valores das
funções são envolvidas. Tais diferenças não são divididas por alguma quantidade. O que
segue são exemplos típicos de tabelas de diferenças.
Tabela 6: Tabela de diferenças para a frente
Diferenças para a frente
x
f(x)
Primeira
Segunda
Terceira
Quarta
Quinta
55
x0
f0
f 0
x1
f 0
f1
f 0
f 1
x2
f 1
f2
f 1
f 2
x3
f 2
f3
f 0
f 1
f 2
f 3
x4
f 0
f 3
f4
f 4
x5
f5
Observação
Note a natureza do transbordo para a frente das casas, baseada em cada ponto x k , na tabela de
diferenças para a frente. A interpolação polinomial para a frente de Newton usa valores ao longo
de um tal caminho.
Tabela 7: Tabela de diferenças para a trás
Diferenças para a trás
x
f(x)
x0
f0
Primeira
Segunda
f 1
x1
f1
f 2
Terceira
Quarta
Quinta
56
x2
f 3
f2
f 4
f 3
x3
f 5
f 4
f3
f 5
f 5
f 4
x4
f 4
f 5
f4
f 5
x5
f5
Observação
Note a natureza do transbordo para a trás das casas, baseada em cada ponto x k , na tabela de
diferenças para a trás. A interpolação polinomial para a trás de Newton usa valores ao longo de um
tal caminho.
Tabela 7: Tabela de diferenças centrais
Diferenças centrais
x
f(x)
x -3
f -3
Primeira
Segunda
Terceira
Quarta
Quinta
 f 2 1 
2
x -2
f -2
f -2
 f 1 1
 f 1 1 
2
x -1
f -1
f -1
2
x0
f -1
 f  1
 f1 
f 0
f0
 f1
2
2
 f  1
2
f 0
 f 1
2
 f 1
2
2
57
x1
f 1
f1
 f1 1
 f1 1 
2
x2
2
f 2
f2
 f2 1
x3
f 1
2
f3

Observação
Note a natureza do transbordo avante das casas, baseada em cada ponto x k , na tabela de
diferenças centrais. As fórmulas de Stirling, Bessel e Everret usam as casas da tabela na
vizinhança de tal caminho.
RESOLVE (2.4)
(i) Em relação à tabela 9 (p. 57), a seguir, e tomando x 0 = 0,0 dá os valores das seguintes
diferenças finitas:
f 3 , 2f 1 , fError!, 2f 2 , 4f 5 , f 2
(ii) Usando equivalências apropriadas expresse 6f 8 em termos de diferenças para a frente e
diferenças para a trás.

2.9 Aplicação de Tabelas de Diferenças na Interpolação
Agora estamos prontos para mostrar como construir a tabela de diferenças e como usá-la para
os propósitos de interpolação.
Exemplo resolvido 4
(i) Constrói uma tabela de diferenças para a função tabulada abaixo
58
x
0
0,2
0,4
6
0,8
1,0
f(x)
1,0000
0,9801
9211
0,8253
6967
0,5403
(ii) Usa os resultados da tabela para interpolar f(x)

Em x = 0,1 usando a fórmula de diferenças para a frente de Newton

Em x = 0,9 usando a fórmula de diferenças para a trás de Newton e

Em x = 0,5 usando a fórmula de diferenças centrais de Stirling.
Soluções
(i)
Tabela 9: Tabela de diferenças
Diferenças
x
f(x)
0,0
1,0000
Primeira
Segunda
Terceira
Quarta
Quinta
-0,0199
0,2
0,9801
-0,0391
-0,0590
0,4
0,9211
0,0023
-0,0368
-0,0958
0,0017
0,0040
0,0007
0,6
0,8253
-0,0328
-0,1286
0,8
0,6967
1,0
(ii) Interpolação
0,5403
0,0050
-0,0278
-0,1564
0,0010
59
Aplicando a fórmula de diferenças para a frente de Newton
Tomamos x 0 = 0,0. Uma vez o comprimento do intervalo a usar é h = 0,2, o valor do
parâmetro s é calculado e encontrado sendo s = Error! = 0,5
A fórmula de diferenças para a frente de Newton, é dada por:
P n (s) = f 0 + sf 0 +
1
1
s(s – 1)2f 0 + s(s – 1)(s – 2)3f 0 + …
2
6
As casas da tabela necessárias para este cálculo estão destacadas na tabela acima de diferenças
baseadas em x 0 = 0,0. Substituindo estes valores e calculado o valor de s, resulta em:
f(0,1)  1,0000 – 0,00995 + 0,0048875 + 0,00014375 – 0,0000664025 = 0,9950
Aplicando a fórmula de diferenças para a trás de Newton
Tomamos x n = 1,0. De novo uma vez o comprimento do intervalo a usar é h = 0,2 o valor do
parâmetro s é calculado e encontrado sendo s = Error! = –0,5
A fórmula da diferenças para a trás de Newton, é dada por:
P n (s) = f n + sf n +
1
1
s(s + 1)2f n + s(s + 1)(s + 2)3f n + …
2
6
As casas da tabela necessárias para este cálculo estão destacadas na tabela acima de diferenças
baseadas em x n = 1,0. A substituição directa destes valores e calculado o valor de s, resulta em:
f(0,9)  0,5403 + 0,0782 + 0,003475 – 0,0003125 – 0,0000390625 = 0,6216, resultado
arredondado a 4 casas decimais correctas.
Aplicando a fórmula de diferenças centrais de Stirling
Tomamos x 0 = 0,4. Uma vez o intervalo é h = 0,2, o valor do parâmetro s é calculado
s = Error! = 0,5
A fórmula de diferenças centrais de Stirling é dada por
60
P n (s) = f 0 + sf 0 +
1 2 2
1
1 2 2
s  f 0 + s(s2 – 1)3f 0 +
s (s – 1)4f 0 + …
2
6
24
As casas da tabela necessárias para este cálculo não estão destacadas na tabela acima mas são
relativamente fáceis de encontrar. Para o estudante inexperiente o problema maior pode estar na
determinação de valores médios. Para maximizar a transparência nos cálculos, destacamos o
seguinte:
f 0 =


1
1 3

3
f 1  f 1  ;  f 0 =  f 1   f 1 



2   2
2 


2
2
2
Com esta clarificação a seguir fazemos os cálculos e encontramos:
f(0,5) = 0,9211 – 0,0387 – 0,0046 – 0,000196875 = 0,8776
RESOLVE (2.5)
Usando os elementos na tabela 9 aplique a fórmula de diferenças centrais de Everret baseada
em x 0 = 0,4 para interpolar a função f(x) em x = 0,45
Referências para esta actividade aprendizagem:
A. C. Bajpai, I. M. Calus and J. A. Fairley, Numerical Methods for Engineers and Scientists,
Taylor & Francis Ltd, London 1975
R. L. Burden and D. Faires, Numerical Analysis, PWS-Kent Publishing Co. Boston, Fifth
Edition 1989
Soluções das Questões da Avaliação Formativa
RESOLVE (2.1)
O peso 1,35 situa-se entre 1 kg e 2 kg. Portanto tomamos e substituímos nas duas fórmulas de
interpolação:
61
(i) P 1 (x) = f 0 + Error!(x – x 0 ) = 2029,4 + (2,4)(0,35) = 2030,24
(ii) P 1 (x) = Error!f 0 + Error!f 1 = (0,65)(2029,4) + (0,35)(2031,8) = 2030,24
RESOLVE (2.2)
P 3 (x) = 1,54L 0 (x) + 0,58L 1 (x) + 0,01L 2 (x) + 0,35L 3 (x)
Em x = 2,6 os valores dos coeficientes de Lagrange são:
L(2,6) = 
L(2,6) =
1
(2,6 – 1)(2,6 – 3)(2,6 – 4) = 0,448
2
L(2,6) = 
L(2,6) =
1
(2,6 – 2)(2,6 – 3)(2,6 – 4) = –0,056
6
1
(2,6 – 1)(2,6 – 2)(2,6 – 4) = 0,672
2
1
(2,6 – 1)(2,6 – 2)(2,6 – 3) = –0,064
6
RESOLVE (2.3)
(i) f[x 2 , x 3 , x 4 ] = -2
Este resultado é obtido a partir da definição de diferenças divididas, como segue:
f[x 2 , x 3 , x 4 ] = Error! + Error!Error!=
(iii)
1
(8 – 12) = -2
2
Interpolação de f(x) em x = -0,3 usando a interpolação polinomial de
diferenças divididas de Newton do 4º grau:
Aqui x 0 = -1,0
P 4 (x) = f(x 0 ) + (x – x 0 )f[x 0 , x 1 ] + (x – x 0 )(x – x 1 )f[x 0 , x 1 , x 2 ] + (x – x 0 )(x – x 1 )(x – x 2 )f[x 0 ,
62
x 1 , x 2 , x 3 ] + (x – x 0 )(x – x 1 )(x – x 2 )(x – x 3 )f[x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ]
f(x 0 ) = -13
(x – x 0 )f[x 0 , x 1 ] = 5,6
(x – x 0 )(x – x 1 )f[x 0 , x 1 , x 2 ] = 0,42
(x – x 0 )(x – x 1 )(x – x 2 )f[x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] = 1,092
(x – x 0 )(x – x 1 )(x – x 2 )(x – x 3 )f[x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] = -0,6279
Depois obtemos a resposta:
P 4 (-0,3) = -13,0 + 5,6 + 0,42 + 1,092 – 0,6279 = -6,5159
Por outro lado, a função f(x) = x4 + 2x3 – 3x3 + 4x – 5 tem o mesmo valor (-6,5159) em x = 0,3.
RESOLVE (2.4)
(i) encontramos
f 3 = -0,1286;
2f 1 : não existe;
 f1 1 
f 2 = 
2
4f 5 =  f 2 =

1
f 1  f 1  = 
1
2  2 2
2

(ii) Esta questão resolve-se usando as relações de equivalências
e obtemos
6
 1 
 f 8 =  E 2   f 8 = E-36f 8 = 6f 8-3 = 6f 5


6
6
 1 
=  E 2   f 8 = E36f 8 = 6f 8 + 3 = 6f 11


RESOLVE (2.5)
 E

1
2
 e

1
E2

63
Usando os elementos da tabela 9 aplique a fórmula de diferença central Everret baseada em x 0
= 0,4 para interpolar a função f(x) em x = 0,45
Somos dados as quantidades x 0 = 0,4; h = 0,2; x = 0,45 e portanto os dois parâmetros
requeridos na aplicação do método de Everret são:
s = Error! = Error! = 0,25; t = 1 – s = 0,75
f(0,45) = (0,25)(0,8253) + (0,75)(0,9211) + Error!(1,25)(0,25)(-0,75)(-0,03228) + Error!
(1,75)(0,75)(-0,25)(-0,0368) + ... = 0,9004
Actividade # 3 da Aprendizagem
Integração Numérica
Sumário
Nesta actividade da aprendizagem focalizamos métodos de integração numérica. Uma maior
porção da apresentação é consagrada à categoria de fórmulas de Newton-Cotes. Não obstante,
analisamos uma família mais exacta de métodos de integração numérica classificados como
métodos de Integração de Gauss. Atenção específica é dada aos dois métodos melhor conhecidos
de Newton-Cotes: A regra de trapézio, a regra de Simpson e a aplicação da técnica de
extrapolação de Richardson, ambos métodos conducentes a dedução do método de integração de
Romerg. Para os métodos de Integração de Gauss limitamos a nossa discussão ao método de
Gauss baseado no polinómio de Legendre. Actividade da Aprendizagem é apresentada segundo os
títulos:

A necessidade de integração numérica

Classificação dos métodos

Fórmulas de Newton-Cotes

A regra de trapézio

A regra de Simpson

Termos de erros nas regras de Trapézio e de Simpson
64

Integração de Romberg

Métodos de integração de Gauss
No fim desta actividade o estudante será capaz de:

Classificar métodos de integração numérica

Deduzir e aplicar as regras de Trapézio e de Simpson

Deduzir e aplicar método de integração de Romberg baseado quer na regra do
Trapézio, quer na regra de Simpson

Aplicar o método de integração de Gauss baseado nos polinómios de Legendre.
Lista de literatura relevante
Fundamental Numerical Methods and Data Analysis, George W. Collins, Chapter 4.
Wikipedia: Numerical Methods/Numerical Integration
Lista de links relevantes e úteis
Wolfram MathWorld (visitado em 03.04.2007)
http://mathworld.wolfram.com
Os estudantes devem pesquisar a entrada que abrange o título da unidade. Também
pesquisar quaisquer palavras-chaves que aparecem no texto. Mathworld fornece uma
referência detalhada em todos casos.
Wikipedia (visitado em 03.04.07
http://en.wikipedia.org/wiki
Tal como mathworld, os estudantes devem pesquisar a entrada que abrange o título da
unidade. Também pesquisar quaisquer palavras-chaves que aparecem no texto. Wipedia
65
geralmente dá curtas e menos completas. Todavia elas podem ser mais fáceis para ler..
MacTutor History of Mathematics (visitado em 03.03.07)
http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Indexes
O arquivo McTutor é o arquivo muito mais compreensível da história de matemática na
internet. Os estudantes devem pesquisar título da sua unidade e ler a história de seu tema. Esta
prática fornece considerável visão da importância e contexto do tópico que está sendo
estudado.
Palavras-chave

Antiderivada de f(x)
Uma função F(x) é chamada uma antiderivada da outra função f(x) se
Error! = f(x)

Ordem de um método de integração
Um método de integração numérica é dito ser de ordem p se o método produz valores exactos
da integral para todas funções polinomiais f(x) de grau m  p
Actividade de Aprendizagem: Integração numérica
Introdução
Nesta actividade damos os aspectos que distinguem a família dos métodos de Newton-Cotes a
partir dos métodos de Integração de Gauss. Usamos uma abordagem geométrica para deduzir a
regra de Trapézio (Trapezium) e a regra de Simpson. Porque nesta conjectura o estudante não foi
exposto ao conceito de polinómios ortogonais, apresentamos sem deduzir, o método de integração
de Gauss sem basear nos polinómios ortogonais de Legendre. Exemplos ilustrativos são dados e
resolvidos para assistir à experimentação na aplicação dos métodos apresentados.
66
3.1 A necessidade dos métodos de integração Numérica
Na primeira actividade (Secção 1.6 (b)) demos exemplos que demonstram o porquê
precisamos aprender e ser capazes de aplicar os métodos numéricos na resolução de alguns
problemas matemáticos. Parte (ii) do primeiro exemplo 1 e todo o segundo exemplo foram
propositadamente escolhidos para mostrar a necessidade de aprender métodos numéricos para
avaliar algumas integrais definidas.
3.2 Classificação dos Métodos de Integração Numérica
Métodos numéricos para aproximar a integral definida

b
a
b
 f ( x)dx
a
tem a forma geral
n
f ( x)dx =
w
k
f ( xk )
k 0
Os coeficientes w k são chamados coeficientes de peso e x k são as abcissas ou nós tomados do
intervalo [a, b] de integração no qual a integral deve ser avaliada.
3.3 Ordem de um método de integração
Um método de integração numérica é dito ser de ordem p se o método produz valores exactos
da integral para todas funções polinomiais f(x) de grau m  p
A fórmula geral de integração numérica dada acima tem n + 1 nós x k e n + 1 pesos
correspondentes, dando um total de 2n + 2 parâmetros desconhecidos. Uma vez um polinómio de
grau m é completamente determinado por dar seus valores em m + 1 distintos pontos, segue que a
ordem de uma fórmula geral de integração numérica dada acima é ao máximo 2n + 1.
3.4 Métodos de Integração Numérica de Newton-Cotes
Os métodos de integração de Newton-Cotes são deduzidos a partir da fórmula geral por:
67
(i) Requerer os n + 1 nós x k uniformemente distribuídos sobre o intervalo de integração [a, b]
tal que x k = x 0 + kh, k = 0, 1, 2, 3, ..., n onde x 0 = a e x n = b e h = Error!
(ii) Determinar os n + 1 pesos w k tais que a fórmula de valores exactos da integral para todas
funções polinomiais f(x) de grau máximo até n.
As regras de Trapézio e de Simpson caem nesta categoria de métodos.
(a) Regra de Trapézio
RESOLVE (3.1)
(i)
Que figura geométrica é um trapézio
(ii)
Quais os lados de um trapézio determinam sua área?
(iii)
Como a área de um trapézio é determinada?
A regra Trapezoidal (às vezes referida simplesmente como a regra do Trapézio) é o mais
simples método prático de integração numérica. A regra é baseada no princípio de determinar a
área de um trapézio. O princípio por detrás do método é substituir a curva y = f(x) por uma recta
(aproximação linear como se mostra na figura 3.1
Tipicamente, aproximamos a área A sob a curva y = f(x) entre as ordenadas em x 0 e x 1 por
A = Error!(f 0 + f 1 ), onde f 0 = f(x 0 ) e f 1 = f(x 1 ) e h é a distância entre x 0 e x 1 .
f(x1)
f(x0)
Area
fig. 3.1 Regra de Trapézio
68
Para a integral
b
 f ( x)dx
a
a regra de trapézio pode também ser aplicada por subdividir o
intervalo [a, b] em n sub-intervalos [x k – 1 , x k ], k = 1, 2, 3, ...,n de mesmo comprimento h = x k – x k
– 1,
com a = x 0 e b = x n , seguido da aplicação da regra de trapézio para cada sub-intervalo. A área
A sob a curva y = f(x) entre as ordenadas a = x 0 e b = x n pode ser aproximada pela regra de
trapézio generalizada.
A=
b
 f ( x)dx
= Error!(f 0 + f 1 ) + Error!(f 1 + f 2 ) + Error!(f 2 + f 3 ) + ... + Error!(f n - 1 + f n )
a
= Error![ f 0 + 2(f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + … + f n - 1 ) + f n ]

n 1


k 1

= Error! ( f 0  f n )  2 f k 
Observação
Nesta regra de Trapézio generalizada os nós são escolhidos de modo a serem pontos
equidistantes x k = x 0 + (k – 1)h,
k = 1, 2, 3, ..., n enquanto os pesos w k têm sido determinados
tal que a fórmula dê o valor exacto da integral para todas funções lineares da forma f(x) = ax + b.
Estes pesos acabam sendo
w 0 = w n = Error!; w 1 = w 2 = w 3 = ... = w n – 1 = h
Exemplo 3.1
Aproximar

2
1
dx
pela regra de Trapézio com n = 10 (h = 0,1)
x
Solução
Neste exemplo
f(x) = Error! e h = 0,1
Avaliamos a função no ponto x i = 1 + (i – 1)0,1
valores
i = 1, 2, 3, ..., 10
e obtemos pares de
69
Tabela 3.1: valor da função f(x) = Error!
x
f(x)
x
f(x)
1,0
1,0
1,6
0,625
1,1
0,9091
1,7
0,5882
1,2
0,8333
1,8
0,5556
1,3
0,7692
1,9
0,5263
1,4
0,7143
2,0
0,5
1,5
0,6667
Aplicação directa da regra generalizada de Trapézio dá o valor aproximado

2
1
0
dx
= 1;2[1,0 + 2(6,1877) + 0,5 ] = 0,69377
x
(b) A regra de Simpson
Para obter a regra de Simpson, subdividimos o intervalo [a, b] em dois sub-intervalos iguais
usando os pontos x 0 , x 1 , x 2 , onde x 2 – x 1 = x 1 – x 0 = h e substituir a curva da função geral y = f(x)
no intervalo [x 0 , x 2 ] pelo polinómio de interpolação quadrática de Lagrange.
y = Error!f 0 + Error!f 1 + Error!f 2 =
= Error!Error!
A integral geral definida

x2
x0
f ( x)dx é aproximada pela integral

x2
x0
ydx . Sem perca da
generalidade, podemos tomar x 0 = 0 e obter a fórmula

x2
x0
ydx =

2h
0
ydx = Error![f 0 + 4f 1 + f 2 ]
Porque a fórmula usa valores em três pontos (dois intervalos iguais), a regra generalizada de
Simpson é somente possível quando o número n de intervalos é par:
[x 0 , x 2 ], [x 2 , x 4 ], [x 4 , x 6 ], ...., [x n-2 , x n ]
70
Então aplica-se a fórmula sobre cada sub-intervalo e adicionam-se os resultados para obter a
fórmula generalizada da regra de Simpson

b
a
f ( x)dx = Error![(f 0 + 4f 1 + f 2 ) + (f 2 + 4f 3 + f 4 ) + ... + (f n-2 + 4f n-1 + f n )]
= Error![f 0 + 4(f 1 + f 3 + ... + f n-1 ) + 2(f 2 + f 4 + ... + f n-2 ) + f n ]
n
n2


2
2


= Error! ( f 0  f n )  4 f 2 k 1  2 f 2 k 
k 1
k 1






Exemplo 3.1
Aproximar

2
1
dx
usando a regra de Simpson com n = 10 (h = 0,1)
x
Solução
É o mesmo problema resolvido acima usando a regra de Trapézio. Certamente podemos
aplicar a regra de Simpson porque o número de sub-intervalos é par (n = 10). Usando os valores
dados na tabela 3.1 obtemos

2
1
0
dx
= 1;3[1,0 + 4(3,4595) + 2(2,7282) + 0,5 = 0,693147
x
RESOLVE (3.2)
(i) Qual é o valor exacto da integral

2
1
dx
?
x
(ii) Qual das duas aproximações da integral obtidas usando a regra de Trapézio e usando a
regra de Simpson é mais exacta?
(iii) Como a exactidão das aproximações é afectada quer usando a regra de Trapézio, quer a
regra de Simpson quando se tomam intervalos h pequenos (aumentando o número de subintervalos/refinando a partição da amplitude de integração)?
71
3.5
Termos de erros na regra de Trapézio e na regra de Simpson
Com um valor exacto de 0,69314718 que é o valor de ln2, sua resposta às outras duas questões
são esperadas como sendo: a regra de Simpson é mais exacta do que a regra de Trapézio; a
exactidão de ambos métodos aumenta com o a diminuição do comprimento do intervalo h. Estes
resultados são mais vividos pelos termos de erros dos respectivos métodos.
(i) Termo de erro na regra de Trapézio
Para as funções razoavelmente comportadas f(x) pode ser mostrado (Fox and Mayers, 1958)
que o valor exacto (verdadeiro) I da integral
b
 f ( x)dx
a
está relacionado ao valor T(h) obtido pela
regra de Trapézio com um intervalo de comprimento h através da expressão
I – T(h) = A T h2 + B T h4 + C T h6 + …
onde A T , B T , C T , … são constantes cujos valores são independentes do comprimento do
intervalo h.
(ii) Termo de erro na regra de Simpson
De modo similar, o erro na aproximação S(h) da integral I é dado por
I – S(h) = A S h4 + B S h6 + C S h8 + …
onde A S , B S , C S , … são de novo constantes cujos valores não dependem do comprimento do
intervalo h.
O termo determinante de erro na regra de Trapézio é A T h2 enquanto na regra de Simpson é
A S h4. Esta situação explica por que é que a regra de Simpson é apreciavelmente mais correcta do
que a regra de Trapézio para o mesmo comprimento do intervalo h.
3.6 Integração de Romberg
72
Estritamente falando, a integração de Romberg não é o método de Newton-Cotes. A integração
de Romberg é uma técnica de processamento a posterior. É um método que usa valores
previamente calculados para produzir resultados mais exactos.
O método é vantajoso do conhecimento de termos de erros quer na regra de Trapézio quer na
regra de Simpson para produzir uma aproximação muito mais correcta da integral usando os
valores aproximados previamente calculados.
(a) Integração de Romberg usando a regra de Trapézio
Sejam h 1 e h 2 dois intervalos usados com a regra de Trapézio. A partir da fórmula acima do
termo de erro para o método, podemos escrever:
I – T(h 1 ) = A T h 1 2 + B T h 1 4 + C T h 1 6 + …
I – T(h 2 ) = A T h 2 2 + B T h 2 4 + C T h 2 6 + …
Eliminando a constante A T destas duas fórmulas e resolvendo para I obtemos
I = T(h 2 ) + Error!{T(h 2 ) – T(h 1 )} - B T h 1 4h 2 4 + ...
Especificamente, se escolhemos h 2 = Error!h 1 (dividir o intervalo ao meio) obtemos
I = T(Error!h 1 ) + Error!Error!- Error!B T h 1 4 + ...
A quantidade T(h 1 , Error! = T(Error!h 1 ) + Error!Error!
é uma aproximação da integral I com um erro muito menor do que qualquer das duas
aproximações T(h 1 ) e T(h 2 ). Seu valor é chamado o valor de Romberg da integral com respeito à
regra de Trapézio.
(b) Integração de Romberg usando a regra de Simpson
A dedução da fórmula de integração de Romberg baseada na fórmula de Simpson segue passos
como aqueles usados em relação à regra de Trapézio.
Sejam h 1 e h 2 dois intervalos diferentes usados com a regra de Simpson. A partir da forma
acima do termo de erro para o método, podemos escrever:
73
I – S(h 1 ) = A S h 1 2 + B S h 1 4 + C S h 1 6 + …
I – S(h 2 ) = A S h 2 2 + B S h 2 4 + C S h 2 6 + …
Eliminando a constante A S destas duas fórmulas e resolvendo para I obtemos
I = S(h 2 ) + Error!{S(h 2 ) – S(h 1 )} – Error!B S + ...
Especificamente, se escolhemos h 2 = Error!h 1 (dividir o intervalo ao meio) obtemos
I = S(Error!h 1 ) + Error!Error!- Error!B S + ...
A quantidade S(h 1 , Error! = S(Error!h 1 ) + Error!Error!
é uma aproximação da integral I com um erro muito menor do que qualquer das duas
aproximações S(h 1 ) e S(h 2 ). Seu valor é chamado o valor de Romberg da integral com respeito à
regra de Simpson.
Exemplo 3.3
Aproximar

2
1
dx
pela integração de Romberg baseada na regra de Trapézio com h 1 = 0,2 e h 2
x
= 0,1
Solução
Todos valores requeridos nos cálculos estão dados na tabela 3.1. Assim obtemos
0
T(0,2) = 2;2[1,0 + 2(2,7282) + 0,5] = 0,69564
0
T(0,1) = 1;2[1,0 + 2(6,1877) + 0,5] = 0,69377
Portanto
T(0,2;0,1) = T(0,1) + Error!{T(0,1) t T(0,2)} = 0,693147
O valor de Romberg que obtivemos por combinar dois valores claramente não exactos usando
74
a regra de Trapézio tem o mesmo grau de exactidão como o obtido usando a regra de Simpson
com h = 0,1
RESOLVE (3.3)
(i) É possível aplicar a regra de Simpson na integral

2
1
dx
usando o intervalo h = 0,2?
x
(ii) Se a sua resposta é sim, aplique o método. Se a sua resposta é não explique claramente
porquê.
Exemplo (3.4)
Construa uma tabela de valores da função f(x) = Error! nos pontos equidistantes x k = 1 +
0,125(k – 1) ; k = 1, 2, 3, ..., 9. Depois aproxime a integral

2
1
dx
aplicando a integração de
x
Romberg baseada na regra de Simpson com os comprimentos dos intervalos h 1 = 0,25 e h 2 =
0,125
Solução
Tabela 3.1: valor da função f(x) = Error!
x
f(x)
x
f(x)
1,0
1,0
1,625
0,615385
1,125
0,888889
1,75
0,571429
1,25
0,8
1,875
0,533333
1,375
0,727273
2,0
0,5
1,5
0,666667
Com estes valores obtemos:
75
0
S(0,25) = 25;3[1,0 + 4(1,371429) + 2(0,666667) + 0,5] = 0,693254
0
S(0,125) = 125;3[1,0 + 4(12,764880) + 2(2,038096) + 0,5] = 0,693155
Usando as duas aproximações de Simpson da integral, integração de Romberg conduz ao valor
muito mais exacto:
S(0,25; 0,125) = S(0,125) + Error![1,0 + S(0,125) – S(0,25)] = 0,6931484
3.7 Métodos de Integração de Gauss
Os métodos de integração de Gauss são deduzidos da fórmula geral de integração

b
a
n
w
f ( x)dx =
f ( x k ) por assumir que todos 2n + 2 parâmetros na fórmula (os n + 1 nós e
k
k 1
seus correspondentes pesos w k ) sejam por determinar de modo que a fórmula de integração
resultante dê valor exacto para todas funções polinomiais f(x) de grau não superior a 2n + 1.
Para funções definidas no intervalo [-1, 1] Gauss desenvolveu a fórmula de integração
numérica
1

1
n
f ( x)dx =
w
k
f ( xk )
k 1
onde os nós são raízes de alguns polinómios especiais (polinómios ortogonais de Legendre)
que são simetricamente posicionados por volta da origem e todos os coeficientes pesos são
positivos.
A restrição mencionada acima do intervalo de integração para os métodos de integração de
Gauss não é séria porque podemos transformar qualquer intervalo finito [a, b] em [-1, 1] usando a
transformação
Error! = Error! ou x = a + Error!(t + 1)
e assim obter a integral transformada no lado direito da equação
b
 f ( x)dx
a
1


= Error!  f  a 
1
ba

(t  1) dt
2

na qual o método de integração de Gauss pode ser aplicado
76
Tabelas extensas dando valores dos nós de Gauss e seus correspondentes pesos para diferentes
valores de n já foram construídas, prontas para utilização na resolução de qualquer integral
definida no intervalo finito.
Reproduzimos aqui uma tabela de pesos e nós para o método de integração de Gauss baseado
nos polinómios de Legendre para n = 1, 2, 3, 4, 5.
Nós
n
Wk
tk
1
±
0,577 350
1,000 000
0,000 000
0,888 889
±
0,774 597
0,555 556
±
0,339 981
0,652 145
±
0,861 136
0,347 855
0,000 000
0,568 889
±
0,538 469
0,478 629
±
0,906 180
0,236927
±
0,238 619
0,467 914
±
0,661 209
0,360 762
±
0,932 470
0,171 324
2
3
4
5
Pesos
Exemplo 3.5
Aproximar a integral I =

de Gauss-Legendre para n = 4
Solução
4
2
dx
pelo método de integração de Gauss usando os nós e pesos
1 x2
77
Com a = 2 e b = 4 a transformação de variáveis de x[2, 4] para x[-1, 1] resulta em x = t + 3
e dx = dt

4
2
dx
=
1 x2
dt

1 1  (t  3) 2
1

1

1
F (t )dt
Cálculos directos produzem os seguintes valores
W 0 = 0,568889;
F(0) = 0,1
W 0 F(0) = 0,0568889;
W 1 = 0,478629;
F(+0,538469) = 0,073960;
F(–0,538469) = 0,141660
W 1 [F(+0,538469) + F(–0,538469)] = 0,1032020
W 2 = 0,236927;
F(+0,906180) = 0,061507;
F(–0,906180) = 0,185733
W 2 [F(+0,906180) + F(–0,906180)] = 0,0585778
Adicionando estes valores resulta em
I = 0,218667
Este é um resultado extraordinariamente exacto, para o valor verdadeiro da integral que é
tan-1(4) – tan-1(2) = 1,325818 – 1,107149 = 0,218669
RESOLVE
Aproximar a integral

2
e  x cos( x) dx
1
pesos de Gauss-Legendre para n = 4
pelo método de integração de Gauss usando os nós e
78
Referências para esta actividade de aprendizagem
Fox, L. and Wayers, D. F., Computing Methos for Scientists and Engineers – Oxford
University Press, London (1958)
Soluções das questões da avaliação formativa
RESOLVE (3.1)
(i) Um trapézio é um quadrilátero que tem um par de lados paralelos
(ii) Os lados do trapézio que determinam sua área são os lados paralelos
(iii) A área de um trapézio é dada por: Área
A = Error![L 1 + L 2 ], onde L 1 , L 2 são os
comprimentos dos lados paralelos e h é a distância perpendicular a L 1 e L 2 .
RESOLVE (3.2)
(i) O valor exacto da integral

2
1
dx
é ln(2) = 0,693147
x
(ii) A aproximação obtida usando a regra de Simpson é mais exacta (tem o menor erro) do que
a aproximação usando a regra de Trapézio.
(iii) A exactidão de ambos métodos, de trapézio e de Simpson se torna maior à medida que o
comprimento h se torna menor.
RESOLVE (3.3)
(i) Não é possível aplicar a regra de Simpson na integral

2
1
dx
usando o intervalo h = 0,2
x
(ii) A razão do porque não é possível é de que com h = 0,2 o número de sub-intervalos em
[1, 2], intervalo de integração será ímpar (5) enquanto a regra de Simpson pode ser aplicada
somente quando o número de sub-intervalos é par.
RESOLVE (3.4)
79
A integral

2
e  x cos( x) dx é transformada primeiro em
1
1

1
F (t )dt usando a mudança de
variáveis:


3
2


3
2


x = Error!(t + 1) – 1;  F(t) = exp1  (t  1)  cos (t  1)  1 ,  dx = Error!dt
Usamos os seguintes nós e pesos dos coeficientes:
W 1 = 0,652145
t 1 = 0,339981;
-t = -0,339981;
W 2 = 0,347855
t 2 = 0,861136
-t 2 = -0,861136
Onde encontramos

2
e  x cos( x) dx = Error![(F(t 1 ) + F(-t 1 ))N 1 + (F(t 2 ) + (F(-t 2 ))N 2 ] = 1,96764
1
Actividade # 4 de Aprendizagem
Raízes de Funções
Sumário
Esta é a quarta e a última actividade de aprendizagem para este módulo. Na actividade vamos
discutir o problema que ocorre com frequência na matemática: o problema de encontrar raízes
quer para uma função não linear
f(x) = 0
envolvendo uma única variável independente x ou para um par de duas equações não lineares
f(x, y) = 0,
g(x, y) = 0
para duas variáveis independentes (x, y).
No fim da actividade o estudante é esperado que seja capaz de deduzir, aplicar e provar que o
método de bissecção sempre converge; deduzir e aplicar ambos métodos da Secante e Regula Falsi
(posição falsa); deduzir e aplicar o método de Newton Raphson e também deduzir e aplicar o
método de Newton para um sistema de equações não lineares. No fim da nossa apresentação
discutimos brevemente o conceito de pontos fixos de uma função e teoremas que garantem sua
existência e unicidade e relacionamos estes resultados ao problema de determinação de raízes
80
numa maneira que permite ao aluno deduzir seus métodos de iterações convergentes.
Lista de leituras requeridas
Wikipedia: Numerical methods/Equation Solving
Lista de links relevantes e úteis
Wolfram MathWorld (visitado em 03.04.2007)
http://mathworld.wolfram.com
Os estudantes devem pesquisar a entrada que abrange o título da unidade. Também
pesquisar quaisquer palavras-chaves que aparecem no texto. Mathworld fornece uma
referência detalhada em todos casos.
Wikipedia (visitado em 03.04.07
http://en.wikipedia.org/wiki
Tal como mathworld, os estudantes devem pesquisar a entrada que abrange o título da unidade.
Também pesquisar quaisquer palavras-chaves que aparecem no texto. Wikipedia geralmente dá
sugestões curtas e menos completas. Todavia elas podem ser mais fáceis para ler.
Actividade # 4 de Aprendizagem
Raízes de Funções
Sumário
Esta é a quarta e a última actividade de aprendizagem para este módulo. Na actividade vamos
discutir o problema que ocorre com frequência na matemática: o problema de encontrar raízes
81
quer para uma função não linear
f(x) = 0
envolvendo uma única variável independente x ou para um par de duas equações não lineares
f(x, y) = 0,
g(x, y) = 0
para duas variáveis independentes (x, y).
No fim da actividade espera-se que o estudante seja capaz de deduzir, aplicar e provar que o
método de bissecção sempre converge; deduzir e aplicar ambos métodos da Secante e Regula Falsi
(posição falsa); deduzir e aplicar o método de Newton Raphson e também deduzir e aplicar o
método de Newton para um sistema de equações não lineares. No fim da nossa apresentação
discutimos brevemente o conceito de pontos fixos de uma função e teoremas que garantem sua
existência e unicidade e relacionamos estes resultados ao problema de determinação de raízes
numa maneira que permite ao aluno deduzir seus métodos de iterações convergentes.
Lista de leituras requeridas
Wikipedia: Numerical methods/Equation Solving
MacTutor History of Mathematics (visitado em 03.03.07)
http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Indexes
O arquivo McTutor é o arquivo muito mais compreensível da história de matemática na
internet. Os estudantes devem pesquisar título da sua unidade e ler a história de seu tema. Esta
prática fornece considerável visão da importância e contexto do tópico que está sendo estudado.
Palavras-chaves, Teoremas
[Definições completas são dadas no texto]
Raiz ou zero da função: Um valor x no qual a função tem valor zero.
Pontos fixos de uma função: Um valor de x para o qual a função tem o mesmo valor de x (ex:
f(2) = 2)
Teorema do valor intermediário para funções contínuas: Uma função contínua toma todos
82
valores que se situam entre dois valores da função.
Actividade de Aprendizagem: Raízes de Funções
4.1
Introdução
Cinco métodos numéricos para encontrar raízes de funções são apresentados nesta actividade.
Os primeiros quatro métodos são para resolver a equação não linear f(x) = 0. O quinto método é
para resolver um sistema de duas equações não lineares com duas variáveis
f(x, y) = 0, g(x, y) = 0
O método de bissecção será deduzido. Provamos que o método é sempre convergente. A
discussão deste método será seguida pelo método de Regula Falsi, que tem uma grande
similaridade com o método de bissecção mas convergindo ligeiramente mais rápido. O método da
Secante é imediatamente apresentado depois do método de Regula Falsi porque os dois métodos
partilham a mesma fórmula matemática. Todavia, o método da Secante é computacionalmente
mais eficiente. O método de Newton-Raphson em último lugar e é mostrado que este método é
uma forma generalizada do método da Secante e Regula Falsi.
4.2
Raízes ou zeros de uma função
Para uma função com uma única variável independente y = f(x), um ponto x =  é chamado
uma raiz ou zero de f(x) se o valor da função é zero naquele ponto, significando f() = 0. Na figura
4.1 os pontos x = x 1 , x = x 2 , x = x 3 são todos zeros da função f(x)
83




4.3
Figura 4.1 Raízes de uma função f(x)
Métodos Numéricos
(a) Método de bissecção
O Método de bissecção para aproximar raízes de funções é um exemplo típico de um método
de iteração.
Na sua forma mais simples, um método de iteração pode ser definido como um processo
repetitivo de aplicação de uma função g(x) sobre um ou vários valores aproximados previamente
x n – 1 ... para produzir uma nova aproximação x n que se espera que seja mais exacta da quantidade
específica que se procura. Com simbolismo matemático escrevemos
x n = g(x n-1 , x n-2 , x n-3 , ...)
O método de bissecção é baseado no teorema do valor intermediário para funções contínuas.
Se f(x) é contínua num intervalo [a, b] e se os valores de f(a) e f(b) diferem no sinal, (f(a)f(b)) < 0,
então a equação f(x) = 0 tem pelo menos uma raiz [a, b]
Assumindo que os pontos a e b foram escolhidos a conter uma raiz, podemos bissectar o
intervalo [a, b] em duas metades no ponto c = Error!(a + b) e concluir que a raiz se situa no
intervalo (a, c) ou no intervalo (c, b) dado que f(c)  0 caso contrário em que c seria a raiz
requerida.
O método de bissecção repete o processo de bissectar o intervalo que contém a raiz  até que
84
estejamos satisfeitos de que estamos suficientemente perto da raiz.
O processo acima pode ser resumido no seguinte algoritmo (Kendal E. Atkinson, 1989 pp 56).
Algoritmo “Bissectar(f(x)),
a,
b,
,
)”
Passos
1. Fixe x 1 = a e x 2 = b
2. Defina x 3 = Error![x 1 + x 2 ]
3. Se x 2 – x 3  , então aceite  = x 3 e termine
4. Se f(x 1 )f(x 2 )  0, então x 1 = x 3 ; do outro modo x 2 = x 3
5. Volte ao passo 2
Convergência do Método de Bissecção
Convergência de qualquer método de iteração implica que o erro na aproximação está a tender
a zero à medida que o número de iterações aumenta.
Para o método de Bissecção, o valor absoluto do erro é limitado pelo comprimento do
intervalo no qual a raiz se situa em cada fase particular do método.
Limite do erro depois da 1ª bissecção
|x 3 | =  1  Error![b – a]
Erro depois da 2ª bissecção
| - x 4 | =  2  Error!Error!= Error!
Erro depois da 3ª bissecção
| - x 5 | =  3  Error!Error!= Error!
Erro depois da enésima bissecção
| - x n+2 | =  n  Error!Error! = Error!
ba
 = 0
2n 
Uma vez que lim  n  lim 
n 
n 
concluímos que o método de bissecção sempre
converge.
Exemplo 4.1
Verificar que a função f(x) = x2 + 4x – 10 tem uma raiz dentro do intervalo (1, 2) e usar os
limites do intervalo como valores iniciais do método de bissecção para aproximar a raiz em 10
bissecções.
85
Soluções
Avaliamos a função nos dois pontos finais do intervalo dado e determinamos f(1) = -5 e f(2) = 2.
Uma vez que f(x) é uma função contínua e f(1)f(2) < 0, o teorema do valor intermediário afirma que
f tem pelo menos uma raiz no intervalo 1  x  2. Podemos, portanto, realizar o método de
bissecção para encontrar os resultados tabulados abaixo:
Tabela 4.1 Método de bissecção para a função f(x) = x2 + 4x - 10
n
a
f(a)
b
f(b)
c
f(c)
1
-5
2
2
1,5
-1,75
1
1,5
-1,75
2
1,5
1,75
0,0625
2
1,5
-1,75
1,75
0,0625
1,625
0,859375
3
1,625
-
1,75
0,0625
1,6875
0,859375
4
1,6875
-
0,402344
1,75
0,0625
1,71875
0,402344
5
1,71875
-
1,734375
-
0,170898
1,75
0,0625
1,734375
0,170898
6
-
0,054443
1,75
0,0625
1,7421188
0,003971
1,742188
0,003971
1,738282
-
0,054443
7
1,734375
0,054443
8
1,738282
-
0,025248
1,742188
0,003971
1,740235
0,025248
9
1,740235
-
0,010642
1,742188
0,003971
1,741212
0,010642
10
1,741212
-
-
0,003333
1,742188
0,003971
1,741700
0,000319
0,003333
A sequência de valores na coluna c na tabela é convergente. O valor verdadeiro da raiz a ser
86
aproximada por esta sequência (usa a forma quadrática) é  = 1,741657...
RESOLEVE (4.1)
Verificar que a função f(x) = x – cos(x) tem uma raiz no intervalo [0, 1] e assim aplicar o
método de bissecção, em apenas cinco iterações, para aproximar a raiz.
(b) O método Regula Falsi
O método de bissecção que acabamos de apresentar foi um pouco fastidioso. Nele se faz muito
no cálculo dos valores da função f nos dois pontos que são somente usados para decidir em qual dos
sub-intervalos se situa a raiz mas não são usados no cálculo da aproximação do valor da raiz.
O método conhecido como Regula Falsi (ou de posição falsa) rectifica esta anomalia. O
método retém a característica do princípio de inclusão do método de bissecção mas faz uso
directo dos valores da função nos dois pontos que incluem a raiz da função.
A abordagem geral para este e outros métodos subsequentes (método da Secante e método de
Newton-Raphson) é substituir a curva de y = f(x) no intervalo onde a raiz se situa por uma recta
ligando os dois pontos dados.
Especificamente, a raiz  situa-se no intervalo [x 1 , x 2 ]. A equação da secante ligando os dois
pontos A(x 1 , f(x 1 )) e B(x 2 , f(x 2 )) é:
y = f 1 + Error!(x – x 1 )
Figura 4.2 Método Regula Falsi
87


A secante intercepta o eixo das abcissas no ponto com coordenadas (x 3 , 0) onde
x 3 = x 1 – Error!f 1 = Error!
Contrariamente ao método de bissecção, o método Regula Falsi assume que os dois valores x 1
e x 2 incluem a raiz que se está a procurar por admitir f 1 f 2 < 0 e ao mesmo tempo envolve a mesma
função no cálculo duma nova aproximação à raiz.
O processo acima pode ser repetido muitas vezes num processo iterativo usando o seguinte
algoritmo
Algoritmo “Regula Falsi (f(x)), a,
,
b,
”
Passos
1.
Defina x 3 = x 1 – Error!f 1

Se |x 1 – x 3 |   e |x 2 – x 3 |   então aceite  = x 3 , e pare.

Se f 2 f 3  0 então x 1 = x 3 , do outro modo x 2 = x 3

Volte ao passo 1
Exemplo 4.2
Começando com os valores x 1 = 1, x 2 = 2, aplicar o método Regula Falsi na função
f(x) = x2 + 4x – 10 para obter um valor aproximado da raiz incluída no intervalo (x 1 , x 2 ) em
apenas quatro (4) iterações.
n
x1
f(x 1 )
x2
f(x 2 )
x 3 = Error!
f(x 3 )
1
-5
2
2
1,714286
-
88
0,204080
1
1,714286
-
2
2
1,740741
0,204080
2
1,740741
-
0,006857
2
2
1,741627
0,006857
3
1,741627
-
1,741656
-
0,000227
2
2
1,741656
0,000227
4
-
0,000010
2
2
1,741657
0,000010
0,000003
Comparando os valores de x 3 com o valor exacto da raiz  = 1,741657387 vê-se a rápida
convergência do método Regula Falsi comparado com o método de Bissecção.
Observação
A exigência em ambos métodos, Bissecção e Regula Falsi, de que os dois valores envolvidos
nos cálculos, x 1 , x 2 incluam a raiz é computacionalmente muito restritivo e reduz
significativamente a eficiência de ambos métodos. Num algoritmo programado, o processo de
verificar se f(x 1 )f(x 2 ) < 0 consome tempo. Como resultado, esforços foram feitos de proceder sem
isso. O próximo método alcança exactamente isso.
(c) Método da secante
O método da secante é essencialmente o mesmo como o método Regula Falsi. A única
diferença é que no método da Secante a exigência de que os dois valores x 1 e x 2 incluam a raiz é
posta de lado. O que é necessário são os dois valores usados no cálculo estarem suficiente perto da
raiz requerida. O algoritmo para o método da Secante é dado em baixo:
Algoritmo “Método da Secante (f(x)), a,
Passos
b,
,
”
89
. Defina x 3 = x 1 – Error!f 1
2. Se |x 1 – x 3 |   e |x 2 – x 3 |   então aceite  = x 3 , e pare.
3. Do outro modo toma: x 1 = x 2 , do outro modo x 2 = x 3
4. Volte ao passo 1
RESOLVE (4.2)
Começando com x 0 = 0, x 1 = 1, execute 5 iterações usando o método da secante para
aproximar a raiz da função f(x) = x – cos(x)
(d) O método de Newton-Raphson
O método de Newton-Raphson é em tudo o mais popular método numérico para aproximar
raízes de funções. O método assume que a função f(x) é diferenciável na vizinhança da raiz e que a
derivada não é nula em toda essa vizinhança.
Assumindo que x 0 é um ponto que está suficientemente perto da raiz da função, o gráfico da
função y = f(x) é aproximado pela tangente à curva no ponto dado.
Figura 4.3: Método de Newton-Raphson
A equação da tangente à curva y = f(x 0 ) no ponto (x 0 , f(x 0 )) é y
y = f 0 + (x – x 0 )f’(x 0 )
Esta tangente intercepta o eixo das abcissas no ponto x 1 cujo valor é
90
x 1 = x 0 - Error!
O valor x 1 é então aceite como uma nova aproximação à raiz. O ponto (x 1 , f(x 1 )) pode ser
tomado como um novo ponto no qual desenhamos a tangente. Sua intercepção com o eixo das
abcissas, dada por x 2 = x 1 - Error!é aceite como uma nova aproximação da raiz. Este processo
pode ser repetido continuamente, conduzindo ao método de iteração dado por,
Fórmula de Newton-Raphson
x n+1 = x n - Error!,
n = 0, 1, 2, ...
Cada iteração usando o método de Newton-Raphson requer um valor da função e um valor da
primeira derivada. Comparado com os três primeiros métodos numéricos, o método de NewtonRaphson converge muito rapidamente à raiz da equação.
Exemplo 4.3
Começando com x 0 = 1 aproximar uma raiz da função f(x) = x2 + 4x – 10 a 6 casas decimais
correctas.
Solução
f(x) = x2 + 4x – 10 = (x + 4)x – 10
f ‘(x) = 2x + 4
A exigência de que obtenhamos uma resposta com 6 casas decimais correctas simplesmente
significa que devemos realizar iterações até que a 7ª casa decimal nos valores calculados já não
muda.
Tabela 4.3 O método de Newton-Raphson para a função f(x) = x2 + 4x - 10
n
xn
f(x n )
f ’(x n )
(x n + 4)x n –
2x n + 4
x n+1 = x n - Error!
91
10
0
1
-5
6
1,833 333 3
1
1,833 333 3
0,6944442
7,6666666
1,742 753 6
2
1,742 753 6
0,0082045
7,4855072
1,741 657 5
3
1,741 657 5
0
7,483315
1,741 657 5
Porque o valor da função em x 3 é, em todos casos zero, podemos concluir que a aproximação
requerida é x = 1,741657 arredondado a seis casas decimais. O valor verdadeiro da raiz ao grau de
exactidão é  = 1,741657
RESOLVE (4.3)
Começando com x 0 = 0 aplique o método de Newton-Raphson em apenas quatro iterações
para aproximar a raiz da função f(x) = x – cos(x)
4.4
Método de Newton para um sistema associado
O nosso quinto e último método numérico vai focalizar a resolução de um sistema de duas
equações simultâneas não lineares.
f(x, y) = 0,
g(x, y) = 0
Um exemplo típico de um tal sistema é encontrar as coordenadas do ponto no primeiro
quadrante onde a parábola y = 2x2 – 7 se intersecta com a circunferência x2 + y2 = 6.
Aqui, estamos a procura de pares de valores (x, y) que satisfazem as duas equações não
lineares.
f(x, y) = 2x2 – y – 7 = 0, g(x, y) = x2 + y2 – 6 = 0
92
Para obter o método do tipo Newton-Raphson para a aproximação da solução do problema
geral afirmado em cima, admitidos que (x 0 , y 0 ) seja uma aproximação à solução exacta (, ) do
sistema associado. Para obter uma solução melhorada (x 1 , y 1 ) assumimos que as coordenadas
exactas do ponto são obtidas por fazer ajustamentos h e k aos nossos valores iniciais, tais que:
 = x 0 + h;  = y 0 + k
e assim f(x 0 + h, y 0 + k) = 0
g(x 0 + h, y 0 + k) = 0
Expandido f e g numa série de Taylor no ponto (x 0 , y 0 ) obtermos:
0 = f(x 0 + h, y 0 + k) = f(x 0 , y 0 ) + hError!(x 0 , y 0 ) + kError!(x 0 , y 0 ) + ... 
0 = g(x 0 + h, y 0 + k) = g(x 0 , y 0 ) + hError!(x 0 , y 0 ) + kError!(x 0 , y 0 ) + ... 
onde deliberadamente deixamos de lado todos termos de ordem superior e retemos somente os
termos lineares nos incrementos h e k.
Se truncamos a série no lado direito de cada equação depois de termos lineares ainda obtemos:
f(x 0 + h, y 0 + k) = f(x 0 , y 0 ) + hError!(x 0 , y 0 ) + kError!(x 0 , y 0 ) = 0
g(x 0 + h, y 0 + k) = g(x 0 , y 0 ) + hError!(x 0 , y 0 ) + kError!(x 0 , y 0 ) = 0
mas x 0 + h   e y 0 + k =  . Denotamos os valores de x e y que satisfazem o par acima de
equações como,
x 1 = x 0 + h;
y 1 = y 0 + k
Resolvendo o sistema resultante de duas equações lineares:
f(x 0 , y 0 ) + hError!(x 0 , y 0 ) + kError!(x 0 , y 0 ) = 0
g(x 0 , y 0 ) + hError!(x 0 , y 0 ) + kError!(x 0 , y 0 ) = 0
para as incógnitas h e k.
Os valores de h e k são
h = Error!
k = Error!
onde D h , D, D k são determinantes
93
f
x
D=
g
x
f
y
,
g
y
 f
Dh =
g
f
y
,
g
y
f
D k = x
g
x
 f
g
nos quais todas quantidades (valores de funções derivadas parciais) que neles aparecem são
avaliadas no ponto (x 0 , y 0 ).
Uma vez as quantidades tenham sido calculadas, os valores da nova solução aproximada (x 1 ,
y 1 ) podem ser calculadas.
A análise acima levada a cabo usando a solução aproximada inicial (x 1 , y 1 ) pode agora ser
repetida usando o novo par (x 1 , y 1 ) para conduzir a uma nova solução aproximada (x 2 , y 2 ), e
assim por diante, duma maneira iterativa óbvia.

O método descrito acima é conhecido como método de Newton para um sistema de equações
simultâneas não lineares. Sua rapidez de convergência é a mesma como a sua contra-parte na
resolução de uma única equação não linear f(x) = 0
Exemplo 4.4
(a) Usando métodos analíticos determine as soluções verdadeiras do sistema associado de
equações
f(x, y) = 2x2 – y – 7 = 0,
g(x, y) = x2 + y2 – 6 = 0
(b) Realiza duas iterações com o método de Newton para aproximar uma solução do par
associado de equações de que se acredita situar-se perto do ponto (2, 1).
Soluções
(a) Resolvendo a equação g(x, y) = 0 para x2 obtemos x2 = 6 – y e substituindo esta expressão
de x2 na equação f(x, y) = 0 obtemos 2[6 – y2] – y – 7 = 0
Este passo conduz à equação quadrática 2y2 + y – 5 = 0
94
cujas raízes são y(1) = 1,350781; y(2) = -1,85781
Os valores correspondentes de x são:
x(1) = ±2,043377; x(2) = ±1,604559
(b) f(x, y) = 2x2 – y – 7; g(x, y) = x2 + y2 – 6
f
= 4x;
x
f
= -1;
y
g
= 2x;
x
g
= 2y
y

Primeira iteração
x0 = 2 y0 = 1
f(x 0 , y 0 ) = 0,
Error!(x 0 , y 0 ) = 8,
g(x 0 , y 0 ) = -1,
Error!(x 0 , y 0 ) = 4
D = 20
Dh = 1
Error!(x 0 , y 0 ) = -1
Error!(x 0 , y 0 ) = 2
Dk = 8
h = Error! = 0,05
k = Error! = 0,4
x 1 = x 0 + h = 2,05;
y 1 = y 0 + k = 1,4
Segunda iteração
x 1 = 2,05; y 1 = 1,4
f(x 1 , y 1 ) = 0,005,
g(x 1 , y 1 ) = 0,1625,
D = 27,06 D h = -0,1765
h = Error! = -0,006523;
Error!(x 1 , y 1 ) = 8,2, Error!(x 1 , y 1 ) = -1
Error!(x 1 , y 1 ) = 4,1 Error!(x 1 , y 1 ) = 2,8
D k = -1,312
k = Error! = -0,048485
x 1 = x 0 + h = 2,043477; y 1 = y 0 + k = 1,351515
RESOLVE (4.4)
Realize 2 iterações com o método de Newton para aproximar à solução do sistema associado
de equações
95
x – x2 – y2 = 0
y – x2 + y2 = 0
que se situa perto do ponto com coordenada (0,8;0,4)
(4.5) Iterações do ponto fixo
Definição
O número  é chamado um ponto fixo de uma função g(x) se g() = 
O problema matemático de encontrar os valores de x que satisfazem a equação x = g(x) é
chamado o problema de ponto fixo.
(a) Problema de existência
Se g(x) é contínua no intervalo [a, b] e g(x)  [a, b], então g(x) tem pelo menos um ponto fixo
em [a, b].
Para provar o teorema precisamos do Teorema do Valor Intermediário para funções contínuas.
Prova
Se g(a) = a e g(b) = b então a prova está completa porque então, a ou b, ou ambos são pontos
fixos de g(x). Todavia, se g(a)  a e g(b)  b então a partir da suposição g(x)  [a, b], feita acima,
a função g(x) satisfaz a < f(x) < b. Definimos uma função h(x) = g(x) – x para x [a, b]. Tal como
g(x), a função h(x) é também contínua em [a, b]. Avaliando h(x) em a = x e x = b, encontramos
h(a) = g(a) – a > 0, h(b) = g(b) – b < 0
O teorema do valor intermediário afirma que h(x) deve anular-se (tem o valor zero) num ponto
intermediário (a, b). No tal ponto x =  temos,
h() = g() -  = 0 o que implica que g() =  um resultado que implica que g(x) tem um
ponto fixo (a, b). 
(b) Teorema de Unicidade
O teorema acima estabelece a existência de pelo menos um ponto fixo. Poderia haver, portanto
vários pontos fixos. Para garantir que existe apenas um ponto fixo temos o seguinte teorema:
96
Se em adição às suposições feitas acima, a função g(x) é diferenciável em (a, b) e sua derivada
satisfaz a condição
Max
( a ,b )
dg
=k<1
dx
Então g(x) tem um único ponto fixo em (a, b)
Prova
Assume que g(x) tem dois pontos fixos  1 ,  2 com  1   2 . Então g( 1 ) =  1 e g( 2 ) =  2 .
Pela subtracção e usando o Teorema do Valor Médio para a diferenciação obtemos
 2 -  1 = g( 2 ) – g( 1 ) = g’()( 2 -  1 ), onde ( 1 ,  2 ).
Tomando valores absolutos e ambos lados da equação e observando a condição sobre g’(x),
encontramos | 2 -  1 | = |g’()( 2 -  1 )|  k| 2 -  1 | < | 2 -  1 |
Esta é uma contradição que pode somente resultar da suposição feita que  1   2 . Concluímos
portanto que de acordo com as suposições feitas, a função g(x) tem um único (somente um) ponto
fixo.
(c) Relação entre os problemas de determinação da raiz e de ponto fixo
Introduzimos o conceito de ponto fixo com o propósito de usá-lo na resolução do nosso
problema de determinação da raiz. A relação entre os dois problemas é simples.
Nos problemas de encontrar raízes, nós queremos encontrar todos os valores x que satisfazem
a equação f(x) = 0
Vamos assumir que somos capazes de exprimir (quebrar) a função f(x) na forma
f(x) = x – g(x)
É óbvio que esta forma de exprimir (quebrar) pode ser feita de várias formas. Uma escolha
particular de g(x) será crítica em converter o problema de encontrar raízes num problema de ponto
fixo.
Se  é uma raiz (zero) de f(x) então
f() =  - g() = 0   - g() = 0  g() = .
97
Este resultado implica que as raízes de f(x) são pontos fixos de g(x).
O que precisamos de fazer agora é encontrar a melhor maneira de quebrar a função f(x).
Uma tal quebra pode resultar numa função g(x) que tem um único ponto fixo num dado
intervalo. Vamos demonstrar o processo de quebrar num exemplo típico.
Exemplo 4.5
Considere o problema de encontrar raízes de f(x) = x2 + 4x – 10 = 0. Usando o Teorema do
Valor Intermediário podemos mostrar que f(x) tem raízes no intervalo [-6, -5],
[1, 2]. Para os
nossos propósitos estamos interessados em encontrar a raiz que se situa em [1, 2].
A equação x2 + 4x – 10 = 0 pode ser escrita em muitas formas diferentes. As seguintes são
algumas poucas formas alternativas de quebrar a equação;
(i) x2 = 10 – 4x
(ii) x(x + 4) = 10
(iii)
4x = 10 – x2
Nos problemas de encontrar raízes nós queremos encontrar todos os valores x que satisfazem a
equação f(x) = 0
Resolvemos cada uma destas equações em x e obtemos:
(i)
x = 10 - 4x = g 1 (x)
(ii)
x = Error! = g 2 (x)
(iii)
x = Error! = g 3 (x)
Estes são os três possíveis problemas de ponto fixo para o problema dado acima de
determinação de raízes. A questão é, qual destes problemas de ponto fixo é mais conveniente para
resolver o problema de determinação de raízes?
Para responder esta pergunta determinamos qual destas funções de ponto fixo g 1 (x),
g 2 (x),
g 3 (x) satisfaz os critérios afirmados pelo teorema de unicidade com respeito à raiz em [1,2].
Usando uma substituição directa encontramos que:
g 1 (1) = 2,45
g 1 (2) = 1,41
g 2 (1) = 2,00
g 2 (2) = 1,67
g 3 (1) = 2,25
g 3 (2) = 1,50
98
A partir dos resultados acima concluímos que apenas g 2 (x) satisfaz o critério de existência
Questões
Por que é que as outras duas funções não passam do teste?
A função g 2 (x) satisfaz o critério de unicidade?
O aluno é esperado que responda a primeira questão por verificar se g 2 (x), g 3 (x) satisfazem
ou não o critério de existência para possuir um ponto fixo em [1, 2]. Para responder a segunda
questão notemos
g 2 ’(x) = - Error!;  g 2 ’(1) = -0,40
Uma vez que Max
( a ,b )
g 2 ’(2) = -0,28
dg
= 0,4 < 1 concluímos que g 2 (x) tem um único ponto fixo (1, 2) que
dx
é automaticamente a raiz da função f(x)
Aproximação da raiz
A raiz  pode ser aproximada iterativamente usando a iteração
x n+1 = g 2 (x n ) = Error!;
n = 0, 1, 2, ..., n para qualquer valor inicial x 0 tomado a partir do
intervalo (1, 2). As seguintes dez iterações foram obtidas usando o valor inicial x 0 = 1,0
n
xn
g 2 (x n )
0
1,000 000
2,000 000
1
2,000 000
1,666 667
2
1,666 667
1,764 706
3
1,764 706
1,734 694
4
1,734 694
1,743 772
5
1,743 772
1,741 016
6
1,741 016
1,741 852
7
1,741 852
1,741 598
8
1,741 598
1,741 675
99
9
1,741 675
1,741 652
10
1,741 652
1,741659
Notamos que o último valor g 2 (x 10 ) = 1,741659 está muito perto ao valor verdadeiro da raiz de
f(x) que é 1,741657 arredondado a seis casas decimais.
RESOLVE (4.5)
Mostre que a função g(x) = cos(x) satisfaz as condições de existência de um
(i)
único ponto fixo dentro do intervalo [0, 1]
Use o resultado obtido na parte (a) para encontrar, em apenas dez iterações,
(ii)
o ponto de intersecção de duas curvas y = x,
y = cos(x). Comece com o processo de
iteração com x 0 = 1
Referência para esta actividade de aprendizagem
Kenall E. Atkinson, an Introduction to Numerical Analysis – John Wiles & Sons,
Second Edition (1989)
Soluções às questões de Avaliação Formativa
RESOLVE (4.1)
Aplicação do método de bissecção em iterações sobre f(x) = x – cos(x)
f(0) = -1 f(1) = 0,459698. Porque f(x) é contínua em [0, 1] e f(0)f(1) < 0, então, pelo
Teorema do Valor Intermediário para funções contínuas segue que f(x) tem pelo menos uma raiz
em (0, 1). O método de bissecção dá as seguintes iterações
x0 = 0
f(x 0 ) < 0
x1 = 1
f(x 1 ) > 0
x 2 = 0,5
f(x 2 ) < 0
x 3 = 0,8
f(x 3 ) > 0
x 4 = 0,625
f(x 4 ) < 0
x 5 = 0,6875
f(x 5 ) < 0
100
x 6 = 0,71875
f(x 6 ) < 0
RESOLVE (4. 2)
Aplicação do método da secante em 5 iterações sobre f(x) = x – cos(x)
Fórmula a ser usada: x n + 1 = x n – 1 – Error!f n – 1
Os valores iniciais são: x 0 = 0,
x 1 = 1;  f 0 = -1 , f 1 = 0,459698
Assim obtemos os seguintes iterados:
x 2 = 0,685073
f 2 = -0,089300
x 3 = 0,410979
f 3 = -0,505751
x 4 = 0,743847
f 4 = +0,007979
x 5 = 0,738677
f 5 = -0,000683
x 6 = 0,739085
f 6 = +0,000000
RESOLVE (4.3)
Aplicação do método de Newton-Raphson em três iterações sobre f(x) = x – cos(x)
Fórmula a usar: x n + 1 = x n - Error!
O valor inicial dá: x 0 = 0; f ‘(x) = 1 + sen(x)
Obtemos os iterados:
x 0 = 0,000000
x 1 = 1,000000;
f(x 0 ) = -1,00000;
f(x 1 ) = +0,459698
f ‘(x 0 ) = 1,000000
f ‘(x 1 ) = 1,841471
x 2 = 0,750364
f(x 2 ) = +0,018923
x 3 = 0,739113
f(x 3 ) = +0,000047
f ‘(x 2 ) = 1,681905
RESOLVE (4.4)
f(x, y) = x – x2 – y2 ,
 f x = 1 – 2x,
f y = -2y
g(x, y) = y – x2 + y2,
 g x = -2x,
f y = 1 + 2y
Valores iniciais
x 0 = 0,8
y 0 = 0,4
Primeira iteração
101
x 1 = 0,772881,
y 1 = 0,420339
Segunda iteração
x 2 = 0,771046
y 2 = 0,419644
RESOLVE (4.5)
Dada: g(x) = cos(x), x[0, 1]
Verificando a existência do ponto fixo
g(x) é contínua no intervalo [0, 1]
g(0) = 1,
g(1) = 0,459698;  g(x)[0, 1]
Portanto, o critério de existência está satisfeito
Verificando a unicidade de um ponto fixo
g ‘(x) = -sen(x)
|g’(x)| < 1 x[0, 1]
Portanto o critério de unicidade está satisfeito
Cálculos
x n + 1 = g(x n ) = cos(x n )
Valor inicial: x 0 = 1,0
Os seguintes iterados são obtidos:
x 1 = cos(x 0 ) = 0,540302
x 2 = cos(x 1 ) = 0,857553
x 3 = cos(x 2 ) = 0,654290
x 4 = cos(x 3 ) = 0,793480
x 5 = cos(x 4 ) = 0,701369
x 6 = cos(x 5 ) = 0,763960
x 7 = cos(x 6 ) = 0,722102
x 8 = cos(7) = 0,750418
x[0, 1]
102
x 9 = cos(8) = 0,731404
x 10 = cos(9) = 0,744237
XI. Lista Compilada de todos Conceitos Chaves (Glossário) Conceitos Chaves
Cada uma das quatro actividades de aprendizagem tem conceitos chaves, teoremas e princípios
específicos aos seus conteúdos. Todavia, para dar ao estudante uma oportunidade de ter um
vislumbre no que se espera a frente em termos de uma vista geral e conteúdos do módulo
alistamos aqui, a priori, todos conceitos chaves, teoremas e princípios relevantes ao módulo.
A reprodução destes conceitos na perspectiva das actividades de aprendizagem
correspondentes visa reforçar a compreensão do estudante e apreciação da sua importância na
compreensão global do curso.
1. Erro numa aproximação
Seja X o valor exacto (verdadeiro) de uma quantidade Q e seja X* um valor aproximado de Q
obtido por algum processo numérico. A diferença (desvio) entre o valor exacto X e sua
aproximação X* é chamado de erro em X*, e é denotado por erro(X*) = x – x*
2. Erro absoluto
O erro na aproximação pode ser positivo ou negativo, dependendo se se terá feito
subestimação ou sobrestimação do valor real da quantidade Q que está sendo aproximada. Na
prática, o que interessa mais é o tamanho do erro e não seu sinal. De forma a ignorar o sinal e se
concentrar no tamanho do erro, é introduzido o conceito de erro absoluto, que é definido por: Erro
absoluto em X* = |x – x*|.
3. Erro relativo
O erro absoluto dá o tamanho do erro e por isso serve como uma medida de exactidão da
aproximação X*. Todavia, por não relacionar o erro ao valor verdadeiro que está sendo
103
aproximado pode não se ser capaz de avaliar a gravidade do erro. Para se poder avaliar a gravidade
do erro é introduzido o conceito de erro relativo ou percentual. Este erro é definido por: Erro
relativo em (X*) = Error!dado que x  0
O erro percentual em (X*) = 100Error!% dado que x  0
Uma vez que o valor X é normalmente não conhecido, ele é substituído pelo valor aproximado
X* no denominador do erro relativo (percentual).
4. Progressão Aritmética
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência especial {a n }; n = 0, 1, 2, 3, ... de números.
Os elementos essenciais duma tal sequência são seu primeiro termo a 0 e uma constante de
diferenças d. Excepto para o primeiro elemento, o k-ésimo elemento da sequência é dado por a k =
a 0 + (k – 1)d, k = 1, 2, 3, ...
A soma dos n primeiros termos de PA é facilmente mostrada que é:
S n = na 0 + Error!n(n – 1)
5. Progressão Geométrica
Uma progressão Geométrica (PG) é uma sequência especial {a n }; n = 0, 1, 2, 3, ... de números.
Os elementos essenciais duma tal sequência são seu primeiro termo a 0 e um factor constante
de multiplicação r  0.
Excepto para o primeiro elemento, o k-ésimo elemento da sequência é dado por a k = a 0 rk – 1,
k = 1, 2, 3, ...
 r n  1
a 0 r k 1  a 0 

k 1
 r 1 
n
A soma dos n primeiros termos de uma PG é S n =

6. Limite de uma função
Uma função f(x) é dita tender a um valor (tem limite) L quando x tende a um valor c no
104
domínio de f, e se escreve lim f ( x)  L se para cada escolha de um número positivo pequeno 
xc
encontramos um correspondente numero positivo pequeno () tal que sempre que temos
|x – c| < () então |f(x) – L| < .
Esta afirmação essencialmente implica que os valores da função f(x) estarão arbitrariamente
perto do número L à medida que os valore s correspondentes de x estarão suficientemente perto de
c.
7. Continuity
Uma função f(x) é dita contínua num ponto x = c se o limite dos valores f(x) é o valor f(c), isto
é se lim f ( x)  f (c) . Essencialmente o que a definição de continuidade implica é que, para f(x) ser
xc
contínua no ponto x = c as seguintes condições devem-se observar:
(i)
A função deve estar definida no ponto c: f(c) deve existir
(ii)
A função deve ter um limite no ponto c: lim f ( x)  L
(iii)
O limite deve ser igual ao valor da função em c: f (c)  L
x c
8. Derivada
A derivada de uma função f(x) num ponto arbitrário x no seu domínio é o limite do quociente
de diferenças Error! = Error! quando a variação x em x tende a zero, isto é
 f ( x  x)  f ( x) 
lim 
 . Se este limite existe, denota-se por Error! ou f ‘(x) e chama-se primeira
x


x 0
derivada de f.
9. Anti-derivada
Uma anti-derivada de uma função f(x) é uma função F(x). A função F tem a propriedade de
que a sua derivada deve ser a função f(x), significando que F‘(x) = f(x)
105
Essencialmente, o processo de determinar uma anti-derivada de f(x) é o processo reverso da
diferenciação de uma função. Por esta razão, também chamamos de anti-diferenciação quando
estamos a determinar F(x). Simbolicamente escrevemos F(x) =
 f ( x)dx 
10. Convergência de uma sequência]
Uma sequência de números, escrita na forma {a n }, é um conjunto finito ou infinito de números
bem definido e bem ordenado. Os números individuais (elementos) do conjunto deve ser definido
sem ambiguidade. Essencialmente um conjunto é uma função especial definida no conjunto dos
números (de contagem) naturais N ou no subconjunto dos números naturais N. Um conjunto {a n }
é dito convergente ao limite L se para qualquer  > 0 podemos encontrar um número inteiro
positivo correspondente N() tal que |an - L| <  se somente se n > N()
11. Ponto fixo de uma função
Dada uma função contínua g(x) num intervalo fechado [a, b] qualquer valor x =  que satisfaz
a relação g() =  é chamado um ponto fixo da função g(x). O processo de determinar pontos
fixos de uma função está intimamente relacionado com o processo de determinação de raízes de
funções.
12. Linha Secante
Uma secante é uma linha que passa por dois P(x 1 , y 1 ) e Q(x 2 , y 2 ) do gráfico de uma função, e
é dada pela equação y = y 1 - Error!(x- x 1 ). A equação da secante é usada para deduzir os métodos
Regula Falsi e da Secante para aproximar raízes de funções.
Teoremas Chaves e princípios
1. Teorema do Valor Intermediário
106
Se f é contínua num intervalo fechado [a, b] e se k é um número situando-se entre dois valores
f(a) e f(b), então existe um pelo menos um número c em (a, b) tal que f(c) = k. Este teorema é a
base sobre a qual dois importantes métodos numéricos de encontrar raízes de uma função f(x), o
método de bissecção e o método de posição falsa (Regula Falsi) se fundamentam.
2. Teorema do Valor Médio de Diferenciação (TVM)
Se f é uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e é diferenciável no intervalo aberto (a,
b), então existe pelo menos um valor x = c(a, b) tal que f ‘(c) = Error!
3. Teorema de Taylor
Seja f uma função cujas primeiras n derivadas são contínuas no intervalo fechado [c, c + h] (ou
[c + h, c] se h é negativo) e assume que f(n + 1) existe em [c, c + h] (ou [c + h, c] se h é negativo).
Então, existe um número , com 0 <  < 1 tal que
n
f(c + h) =
hk
f
k  0 k!

(k )
(c)  Rn 1 ( h,  ), Rn 1 (c,  ) 
h n 1
f
(n  1)!
( n 1)
(c  h)
4. Teorema Fundamental de Cálculo
Se f é contínua em [a, b] e F(x) =
x
 f (t )dt
a
para cada x em [a, b], então F(x) é contínua em [a,
b] e diferenciável em (a, b) e Error!= f(x). Em outras palavras, F(x) é uma anti-derivada de f(x)
Corolário: Se f(x) é contínua num intervalo fechado e limitado [a, b] e g’(x) = f(x), então
b
 f ( x)dx
a
= g(b) – g(a)
5. Teorema do ponto fixo
107
Se a função g(x) é contínua no intervalo a  x  b e g(x)[a, b] então existe pelo menos um
ponto x = [a, b] tal que g) = .
Se, ainda g(x) é diferenciável em a < x < b e Error! L < 1 para todo x(a, b), então g(x) tem
um único (somente um) ponto fixo (a, b).
XII. Lista Compilada de Leituras Obrigatórias Wikipedia: Numerical Analysis
Wikipedia: Interpolation
Fundamental Numerical Methods and Data Analysis, George W. Collins, II, capítulo 4. (veja:
http://bifrost.cwru.edu/personal/collins/numbk/)
Wikipedia: Numerical Methods/Numerical Integration
Wikipedia: Numerical Methods/Equation Solving
XIII. Lista Compilada de Recursos Multimédia (Opcional) Leitura # 1: Wolfram MathWorld (visitado em 03.11.06)
Referência completa: http://mathworld.wolfram.com
Resumo: Wolfram MathWorld é uma enciclopédia matemática especializada em on-line
Análise: Ela fornece as referências mais detalhadas para qualquer tópico de matemática. Os
estudantes devem começar a usar a facilidade de pesquisa para o título do módulo. Assim vão
encontrar um artigo principal. Em qualquer ponto os estudantes deve pesquisar as palavras-chaves
que precisam para compreender. A entrada deve ser estudada cuidadosa e completamente.
Leitura # 2: Wikipedia (visitado em 03.11.06)
108
Referência completa: http://en.wikipedia.org/wiki
Resumo: Wikipedia é uma enciclopédia on-line. É escrito pelos seus leitores. É altamente
actualizada uma vez que as entradas são continuamente revistas. Também, foi provado ser
extremamente exacta. As entradas matemáticas são muito detalhadas.
Análise: Os estudantes devem usar wikipedia da mesma forma como MathWorld. Todavia, as
entradas podem ser muito curtas e pouco fáceis de usar no primeiro momento. Serão todavia, não
tão detalhadas.
Leitura # 3: MacTutor History of Mathematics (visitado em 03.11.06)
Referência completa: http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Indexes
Resumo: A MacTutor Archive é mais compreensível história de matemática na internet. As
fontes são organizadas por personalidades históricas e por temas históricos.
Análise: Os estudantes devem pesquisar o arquivo MacTutor por palavras-chaves nos tópicos
que estão a estudar (ou pelo título do módulo). É importante ter uma vista geral se a matemática a
ser estudada se adequa à história de matemática. Quando o estudante completa o curso e fica a
ensinar numa escola secundária, as personalidades na história de matemática avivarão o conteúdo
para os alunos.
Particularmente, o papel das mulheres na história de matemática deve ser estudado para ajudar
os alunos a compreender as dificuldades pelas quais as mulheres passaram enquanto fazendo uma
importante contribuição. Igualmente o papel do continente africano deve ser estudado para
partilhar com os alunos nas escolas. Principalmente os primeiros dispositivos de contagem
(exemplo, uso do osso de animais) e o papel da matemática Egípcia devia ser estudado.
XIV. Síntese do Módulo A conclusão da quarta actividade de aprendizagem marca o fim do módulo. Nesta conjectura,
antes de se apresentar para avaliação Somativa, é desejável e apropriado que o aluno reflicta na
missão, objectivos, actividades e realizações para formar um quadro global sobre o quê ele deve
ter alcançado como resultado do tempo colectivo e esforço investido no processo de
aprendizagem.
109
Como se fez referência na apresentação global do módulo na secção 6, o estudante é esperado
ter adquirido conhecimento de conceitos básicos relacionados com aproximação numérica de
números e funções.
O aluno é esperado neste momento ser capaz de, confortavelmente definir o conceito de erro
na matemática, identificar as fontes dos erros, os diferentes tipos de erros e os métodos de reduzir
o impacto dos erros na aproximação numérica final para um problema matemático.
Depois da actividade de abertura sobre erros, três actividades importantes de aprendizagem no
assunto nuclear de aproximação foram apresentadas. Uma destas três actividades nucleares foi
sobre a aproximação numérica de funções usando interpolação polinomial. Especificamente o
aluno é agora esperado estar razoavelmente confortável em usar interpolação linear nas suas várias
formas e deduzir um limite de erro para interpolação linear. A actividade também apresenta o
importante tópico de interpolação polinomial, concentrando na interpolação polinomial de
Lagrange, de Diferenças divididas de Newton, e todas importantes interpolações polinomiais de
diferenças finitas.
As restantes duas actividades nucleares (a terceira e a quarta) são sobre métodos numéricos de
aproximar números (raízes de funções e valores de integrais definidas). Neste contexto o estudante
é esperado ter apreciado a necessidade para recorrer a métodos numéricos, mas também ser capaz
de aplicar os métodos aprendidos, incluindo os métodos de Bissecção, Regula Falsi, da Secante de
Newton-Raphson para aproximar raízes de uma função não linear de uma variável. O estudante é
esperado também resolver e avaliar os limites de funções, de sequência e de séries finitas. Ainda o
aluno deve ser capaz de aplicar o método de Newton para aproximar soluções de um sistema
associado de duas equações não lineares com duas incógnitas.
O módulo foi estruturado na perspectiva de acompanhar e guiar o estudante para o conteúdo
com exemplos cuidadosamente seleccionados e indicação às referências nucleares. Um número
razoável de exemplos trabalhados foi incluído em cada actividade de aprendizagem para servir
como balizas de referência tanto na compreensão do texto antes bem como servir como pontos de
referência enquanto resolvem problemas relacionados com avaliação formativa que aparece no
texto na forma de RESOLVE. O grau de domínio do conteúdo do módulo dependerá em grande
medida da vontade e esforço planificado do estudante para monitorar seu progresso resolvendo os
problemas propostos que aparecem com indicação RESOLVE
110
XV. Avaliação Somativa Questões
1. (a) Defina o conceito de erro em matemática
(b) Dê os principais tipos de erros matemáticos e mencione suas fontes
(c) Faça distinção entre erros absolutos e erros relativos e tente relacioná-los aos
conceitos de exactidão e precisão.
2. (a) O erro E(x) na interpolação linear de uma função f(x) usando os valores f 0 = f(x 0 ), f 1 =
f(x 1 ) onde x 1 – x 0 = h é dado por
E(x) = (x – x 0 )(x – x 1 )Error!f ‘’(), onde (x 0 , x 1 ) deduza um limite superior para
E.
(b) Use o limite do erro obtido na parte (a) para determinar o menor intervalo de h para o qual
a interpolação linear de cos(x) dará valores aproximados com erros que não excedem 0,01
3. A seguinte tabela dá valores de uma função f(x) numa série de pontos x k igualmente
espaçados.
x
0,0
0,125
0,25
0,375
0,5
f(x)
1,000000
0,984615
0,941176
0,876712
0,800000
x
0,625
0,75
0,875
1,0
f(x)
0,719101
0,640000
0,566372
0,500000
Aproxime f(x) por uma interpolação polinomial quadrática de Lagrange usando os pontos
(0,125; 0,984615)
(0,25; 0,941176)
(0,375; 0,876712) e assim
interpole f(x) no ponto x = 0,3
4. (a) Construa a tabela de diferenças para a função f(x) tabulada na questão 3 (a)
(b) Com a ajuda de diferenças finitas interpole a função em x = 0,4 usando a fórmula de
111
interpolação de Bessel centrada em x 0 = 0,375
onde s = Error!(x – x 0 )
5. Aplique a interpolação de Newton baseada nas diferenças divididas para interpolar a função
tabulada na questão 4 no ponto x = 0,4
6. (a) Deduza a fórmula de iteração de Newton-Raphson para aproximar a r é-sima raiz de um
número real positivo A.
(b) Se A = 7 aplique a fórmula que deduziu para aproximar a raiz quadrada de 7 com seis casas
decimais correctas. Comece a iteração com x 0 = 2
7. (a) Defina o conceito de ponto fixo para uma função g(x) de que se sabe que é contínua no
intervalo [a, b] e diferenciável em (a, b).
(b) Formule sem provar, o teorema de existência e unicidade para pontos fixos de g(x).
(c) Discuta se a função g(x) = Error!tem um único ponto fixo ou não no intervalo [0, 1]
8. (a) Usando um método analítico calcule todas as soluções do sistema associado
2x2 + y2 = 5, x2 – 2y2 = 2
(b) Começando com x 0 = 1,5 ;
com 6 casas decimais correctas.
y 0 = 0,5 aproxime uma das soluções, realizando duas
iterações com o método de Newton para um sistema de equações não lineares.
9. (a) Determine a anti-derivada F(x) da função f(x) = Error! e use-a para avaliar a integral
1
x
0
2
x
com 6 algarismos decimais correctos.
 3x  2
(b) Avalie a integral acima usando a fórmula de Newton-Cotes
x3
 f ( x)dx
x0
= Error![f(x 0 ) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )] com h = Error!
112
 e
1
10. (a) Avalie a integral
x

 cos( x) dx analiticamente a 6 casas decimais correctas de
0
exactidão.
(b) Tabule os valores do integrando em (a) nos pontos x k = 0,125k, com k = 0,1,2,..., 8 e use os
valores obtidos com a regra do Trapézio para aproximar a integral, tomando h = 0,25 e h = 0,125,
respectivamente
(c) Aplique a integração de Romberg nos dois valores Trapezoidais obtidos em (b) para obter
uma melhor aproximação da integral em (a)
Soluções
1. (a) Se X* é uma aproximação à quantidade exacta (verdadeira) X, então o desvio x – x* é
chamado erro na aproximação X*.
(b) Os principais erros matemáticos são:

Erros iniciais. Estes são erros que ocorrem nos dados iniciais fornecidos juntamente
com um problema matemático

Erros discretizantes. Estes são erros causados pelo processo de conversão de um
problema matemático tendo solução contínua a um modelo numérico cuja solução é de
uma função discreta na forma de sequência de números.

Erros de truncção. Estes são erros introduzidos pela terminação inevitável
(truncação) de um processo infinito tal como uma série infinita ou uma iteração
convergente.

Erros de arredondamento. Estes são erros introduzidos por causa de limitações por
parte dos instrumentos que usamos na realização das operações aritméticas (adição,
subtracção, multiplicação ou divisão).
(c) Erro absoluto é a magnitude ou amanho de um erro. O erro absoluto, denotado por |x - x*|
é sempre não negativo.
O erro relativo é a razão entre o erro absoluto e o valor absoluto da verdadeira quantidade
(exacta) a ser aproximada. O erro relativo é denotado por Error!
O erro absoluto é uma medida de exactidão na aproximação , enquanto o erro relativo é uma
113
medida de precisão e se relaciona com a gravidade do erro.
2. (a) Para obter um limite no erro E(x) na interpolação linear precisamos do valor máximo das
funções g(x) = (x – x 0 )(x – x 1 ) e g’’() no intervalo x 0 < x < x 1 . Como g’(x) = 2x – (x 0 + x 1 )
encontramos que g(x) tem um ponto crítico em x* = Error!(x 0 + x 1 ), e porque g’’(x) = 2 é sempre
positiva concluímos que g(x*) = -Error!(x 1 – x 0 ) = - Error!. Assumindo que
Max|g'(x)| = M no intervalo em questão, podemos escrever
|E(x)|  M[Max g(x)] = Error!

(b) A função a ser aproximada é f(x) = cos(x). Neste caso f’’(x) = -cos(x) e portanto M = 1.
Agora devemos determinar o passo do comprimento h tal que Error! = Error!  0,01. Resultando
em h  0,3
3. A interpolação polinomial quadrática de Lagrange passando por três pontos (x 0 , f 0 ), (x 1 , f 1 ),
(x 2 , f 2 ) é dada pela expressão
P 2 (x) = L 0 (x)f 0 + L 1 (x)f 1 + L 2 (x)f 2 onde L 0 (x), L 1 (x), L 2 (x) são coeficientes de Lagrange de
grau 2. Neste caso temos os seguintes valores:
x 0 = 0,125 f 0 = 0,984615
L 0 (x) = Error!
x 1 = 0,250 f 1 = 0,941176
L 1 (x) = Error!
x 2 = 0,375 f 2 = 0,876712
L 2 (x) = Error!
Com x = 0,3, a substituição directa de diferentes valores envolvidos nas expressões para os
coeficientes de Lagrange dá:
L 0 (0,3) = -0,12; L 1 (0,3) = 0,84
L 2 (,03) = 0,28
resultados que conduzem à solução
P 2 (0,3) = L 0 (0,3)f 0 + L 1 (0,3)f 1 + L 2 (0,3)f 2
= (-0,12)( 0,984615) + (0,84)( 0,941176) + (,028)( 0,876712) = 0,917913
4. (a)
Tabela de diferenças
114
Diferenças
x
f(x)
0,000
1,000000
Primeira
Segunda
Terceira
Quarta
-0,015385
0,125
0,984615
-0,028054
-0,043439
0,250
0,941176
0,007029
-0,021025
-0,064464
0,375
0,876712
0,008777
-0,012248
-0,076712
0,500
0,800000
-0,004187
0,719101
-0,001798
0,640000
0,001286
0,003675
-0,005473
-0,073628
0,875
-0,005672
0,002389
-0,079101
0,750
-0,000716
0,008061
-0,080899
0,625
0,001748
0,566372
-0,005458
-0,001783
-0,007256
-0,066372
1,000
0,500000
(b) Uma vez que x 0 = 0,375; x = 0,4; h = 0,125, o valor do parâmetro:
s = Error!(0,4 – 0,375) = 0,2
Com ajuda da tabela de diferenças finitas interpole a função no ponto x = 0,4 usando a fórmula
de interpolação de Bessel:
f 1  Error!(f 1 + f 0 ) = 0,838356
2
(s – Error!) f 1  (-0,3)(-0,076712) = 0,0230136
2
Error!s(s – 1)2 f 1  (0 – 0,08)Error!(-0,004187 – 0,012248) = 0,0006574
2
115
Error!s(s – 1)(s - Error!)3 f 1  (0,0008)(0,008061) = 0,000064488
2
Error!s(s2 – 1)(s – 2)4 f 1  (0,0144)Error!(0,006388) = 0,0000459936
2
Adição de todos estes termos conduz à resposta P(0,4) = 0,862137
5. Primeiro construímos a tabela de diferenças divididas de Newton. Depois aplicamos a
interpolação polinomial
P n (x) = f 0 + (x – x 0 )f[x 0 , x 1 ] + (x = x 0 )(x – x 1 )f[x 0 , x 1 , x 2 ] + …
Tabela de diferenças divididas de Newton
Diferenças
x
f(x)
0,000
1,000000
Primeira
Segunda
Terceira
Quarta
-0,12308
0,125
0,984615
-0,897728
-0,347512
0,250
0,941176
0,599808
-0,672800
-0,515712
0,375
0,876712
0,748971
-0,391936
-0,613696
0,500
0,800000
-0,133984
0,719101
0,057536
0,640000
-0,394240
0,0313600
0,175136
-0,589024
0,875
-0,354304
0,510720
-0,632808
0,750
-0,122198
0,687872
-0,647192
0,625
0,298326
0,566372
-1,251670
-0,312235
0,058048
-0,530976
1,000
0,500000
A aplicação directa da fórmula baseada em x 0 = 0,375 e usando os valores de várias diferenças
116
divididas destacadas na tabela juntamente com o valor x = 0,4 dá o seguinte resultado:
f(x) = 0,876712
(x – x 0 )f[x 0 , x 1 ] = -0,0153424
(x – x 0 )(x – x 1 )f[x 0, x 1 , x 2 ] = 0,00033496
(x – x 0 )(x – x 1 )(x – x 2 )f[x 0, x 1 , x 2 , x 3 ] = 0,00028728
(x – x 0 )(x – x 1 )(x – x 2 )(x – x 3 )f[x 0, x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] = 0,000077616
P 4 (0,4) = 0,876712 - 0,0153424 + 0,00033496 + 0,00028728 + 0,000078 = 0,862070
6. (a) se x = r;A então xr – A = 0
Portanto podemos tomar a função cujas raízes que estão sendo procuradas, dadas por
f(x) = xr – A
A derivada de f(x) é f ‘(x) = rxr – 1
Substituindo estas quantidades na fórmula de Newton Raphson
x n + 1 = x n - Error! obtemos a fórmula geral de Newton-Raphson
x n + 1 = x n - Error! = Error! = Error!Error! = Error!Error!
(b) A fórmula de Newton-Raphson para encontrar a raiz quadrada de um número A = 7 e r = 2.
Este caso dá a fórmula especial:
x n + 1 = Error!Error!
Tomando x 0 = 2,0 os seguintes iterados são obtidos a partir da fórmula:
x 0 = 2,0
x 1 = 2,75
x 3 = 2,6477273
x 4 = 2,6457720
x 5 = 2,6457513
x 6 = 2,6457513
Uma vez que o 7º algarismo decimal permanece constante nos últimos dois iterados, aceitamos
x = 2,645751 como aproximação desejada de 7 com 6 algarismos decimais correctos.
7. (a) Um número  é dito um ponto fixo de uma função g(x) se g() = .
117
(b) Se g(x) é uma função que satisfaz as condições

g(x) é contínua num intervalo fechado [a, b]

g(x)[a, b]

g(x) é diferenciável em (a, b)

Max|g'(x)| = L < 1 x[a, b]
x[a, b]
Então g(x) tem um único ponto fixo (a, b).
(c) Considere a função g(x) = Error!no intervalo [0, 1].
Uma vez que o único ponto de descontinuidade para a função é x = 6, a função é
definitivamente contínua no intervalo [0, 1].
Com ambos g(0) = Error! e g(1) = Error! situando-se no intervalo (0, 1), notamos também
que todos valores da função se situam dentro do intervalo dado.
A função é também diferenciável g ‘(x) = - Error!. O valor máximo de Error!= Error!=
Error! = Error! < 1. Este resultado prova que a função tem um único ponto fixo no intervalo 0 <
x < 1.
8. (a) Solução analítica
Para obter a verdadeira solução (analítica) eliminamos uma das variáveis e resolvemos a
equação quadrática resultante na variável retida.
y2 = 5 – 2x2
Usamos este resultado para eliminar y da segunda equação
x1 = +1

2
x2 – 2(5 – 2x2) = 2  5x2 = 12  x = ± 4 = 549183; ;x2 = -1

549183
Os valores correspondentes de y são obtidos a partir da relação
2
y = ± 5 - 2x =
0
y1 = + 0

2 = 447213; ;y2 = -0
447213

As quatro possíveis soluções do sistema associado são
(-1,549183; -0,447213)
(-1,549183; 0,447213)
(1,549183; -0,447213)
(1,549183; 0,447213)
118
(b) Aproximação de raízes usando o método de Newton
Seja
f(x, y) = 2x2 + y2 – 5 = 0
g(x, y) = x2 – 2y2 – 2 = 0
As derivadas parciais de f(x) e g(x) são
Error!= f x = 4x;
Error!= f y = 2y
Error!= g x = 2x; Error!= g y = -4y
O método de Newton afirma que, começando com uma solução aproximada (x n , y n ) uma
aproximação melhorada (x n +1 ; y n + 1 ) pode ser obtida por introduzir:
xn + 1 = xn + hn;
yn + 1 = yn + kn;
Os incrementos h n , k n são obtidos por resolver o sistema de equações lineares
( fx;gx;fy;gy ) (hn;kn) = (-f;-g)
Aplicação do método de Newton:
Primeira iteração
x 0 = 1,5
y 0 = 0,5
f 0 = -0,25 f x = 6,0
f y = 1,0
g 0 = -0,25 g x = 3,0
g y = -2,0
Substituindo estas quantidades no sistema linear e resolvendo o sistema resultante,obtém-se:
h 0 = 0,083333,
k 0 = -0,83333 e portanto
x 1 = x 0 + h 0 = 1,583333 y 1 = y 0 + k 0 = 0,416667
Segunda iteração
x 1 = 1,58333
y 1 = 0,416667
f 1 = 0,187498
f x = 6,333333
f y = 0,833334
g 1 = 0,159721
g x = 3,166666
g y = -1,666668
Substituindo estas quantidades no sistema linear e resolvendo o sistema resultante, obtemos
h 1 = -0,033772,
k 1 = -0,0,31667
e portanto
119
x 2 = x 1 + h 1 = 1,549561 y 2 = y 1 + k 1 = 0,448334
9. (a) A antiderivada da função f(x) = Error!
x
2
xdx
1
=
2
 3x  2
2x  3  3
1
dx =
2
2
 3x  2
x
=
x
2
2x  3
3
dx 
2
 3x  2
x
2
dx
 3x  2
dx
1 d ( x 2  3 x  2) 3

2
2
2 ( x  1)( x  2)
x  3x  2


1 
 1

dx
 x 1 x  2
= Error! ln(x2 + 3x + 2) - Error!  
= Error! ln(x2 + 3x + 2) - Error!lnError! + Constante
1
Portanto
x
0
2
x
dx = Error![ln(6) – ln(2)] - Error!Error! = 0,549306 – 0,431523 =
 3x  2
0,117783
Substituindo estas quantidades no sistema linear e resolvendo o sistema resultante, obtém-se:
h 0 = 0,083333,
k 0 = -0,83333 e portanto
x 1 = x 0 + h 0 = 1,583333 y 1 = y 0 + k 0 = 0,416667
1
(b) Para aproximar a mesma integral I =
x
0
2
x
dx a fórmula especial de Newton-Cotes
 3x  2
x1
 f ( x)dx = Error![f(x 0 ) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )]
x0
Primeiro tabulamos a função
x0
xk
=0
fk
x1
=
Error!
0,0
0,065934
x2
=
Error!
0,107143
x3
=
Error!
0,133333
x4 =
Error!
0,15
x5
=
x 6 =1,0
Error!
0,160428
0,166667
Enquanto a fórmula dada envolve valores da função em três intervalos consecutivos, o comprimento
do intervalo especificado h = Error! resultando num par de tais intervalos consecutivos,
[x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] e [x 3 , x 4 , x 5 , x 5 ]. Portanto, a integral será aproximada pela expressão
I = Error!{(f 0 + 3f 1 + 3f 2 + f 3 ) + (f 3 + 3f 4 + 3f 5 + f 6 ] = 0,117741
120
 e

1
10 (a) O valor da integral
x
 cos( x) dx é [e – sen(1)] – [e – sen(0)] = 0,876811
1
0
0
(b) A tabela de valores do integrando f(x) = ex – cos(x) para valores nos pontos equidistantes
x = 0,0(0,125)1,0
(0,0; 0,0) (0,125;0,140951)
(0,5; 0,771139)
(0,25;0,315113), (0,375; 0,524484)
(0,625; 1,057283)
(0,75; 1,385311)
(0,875; 1,757878)
(1,0; 2,177980).
Com a ajuda da regra generalizada de trapézio, encontramos:
T(0,25) = 0,890138
T(0,125) = 0,880144
(c) A aplicação da integração de Romberg em dois valores trapezoidais obtidos acima resulta:
R[0,25;0,125] = T(0,125) + Error![T(0,125) – T(0,25)] = 0,876813.
XVI. Referências G. Stephenson, 1973, Mathematical Methods for Science Students – Second Edition, Pearson
Educcation Ltd
Brain Bradie, A friendly Introduction to Numerical Anaylis. Pearson Education International.
A. C. Bajpai, I. M. Calus and J. A. Fairley, 1975, Numerical Methods for Engineers and
Scientists, Taylor & Francis Ltd, London
Burden and Faires, 1985, Numerical Analysis – Fifth Edition, PWS – KENT Publishing
Campany
Fox, L. and Mayers, D. F., 1958, Computing Methods for Sicentists and Engineers, Oxford
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121
Kendall E. Atkinson, 1987, An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons.
M. K. Jain, S. R. K. Iyengar & R. K. Jain, 1993, Numerical Methods – Problems and
Solutions, Wiley Estern Ltd.
Walter Jennings, 1964. First Course in Numerical Methods, Collier – Macmillan Ltd.
Lay, 2002, Linear Algebra and its Applications – Third Edition, Addison Wesley.
XVII. Autor do Módulo Dr Ralph W. P. Masenge é Professor de Matemática na Faculdade de Ciência, Tecnologia e
Estudos Ambientais da Universidade Aberta de Tanzania. Graduado em Matemática, Física e
Astronomia pela Universidade Bavariana de Wuerzbug na República Federal de Alemanha em
1968, Professor Masenge obteve o grau de Mestrado em Matemática na Universidade de Oxford
no Reino Unido em 1972 e PhD em Matemática em 1986 na Universidade de Dar Es Salaam na
Tanzania através de um programa sandwich levado a cabo na Universidade Católica de Nijmegen
nos Países Baixos.
Por quase 30 anos (Maio 1968 – Outubro de 2000) Professor Masenge foi um membro
académico do Colectivo no Departamento de Matemática na Universidade de Dar Es Salaam
tempo durante o qual trepou a escada académica de assistente (seminarista) em 1968 para
Professor em 1990. De 1976 a 1982, Professor Masenge dirigiu o Departamento de Matemática na
Universidade de Dar Es Salaam. Também serviu como Decano Associado na Faculdade de
Ciência e foi Chefe Administrativo na Universidade de Dar Es Salaam por um ano (1995).
Nascido em 1940 na Vila de Maharo situada nas encostas da montanha mais alta de África, O
Killimanjaro, Professor Masenge reformou-se em 2000 e deixou os serviços da Universidade de
Dar Es Salaam para juntar-se à Universidade Aberta de Tanzania onde actualmente lidera a
Directoria de Pesquisa e Estuddos Pós-Graduados e está a frente de um bom número de Cursos de
Matemática em Cálculo, Lógica Matemática e Análise Numérica.
Professor Masenge é casado e tem quatro filhos. Seu principal passatempo favorito é trabalhar
122
na sua pequena farma de Bananas e cocos na Vila de Mlalakuwa, situada a 13 km do Centro da
Cidade, nas redondezas de Dar Es Salaam, a capital comercial da República Unida da Tanzania.