Interpolação Polinomial de Newton Interpolação Linear: n = 1

Interpolação Polinomial de Newton
 x0  p1  x0   f  x0 
Interpolação Linear: n = 1 
, tem-se:
 x1  p1  x1   f  x1 
p0  x   C0  f  x0  e p1  x   p0  x   C1   x  x0  ,note que p0  x  já satisfaz a primeira
condição e para que p1  x1   f  x1  deve-se ter:
p1  x1   f  x1   p0  x1   C1   x1  x0   C1 
f  x1   p0  x1 
x1  x0
 x0  p2  x0   f  x0 

Interpolação Parabólica: n = 2  x1  p2  x1   f  x1  , tem-se:
x  p x  f x
 2
2 2
 2
p2  x   p1  x   C2   x  x0    x  x1  , note que p1  x  já satisfaz as duas primeiras
condições e para que p2  x2   f  x2  deve-se ter:
p2  x2   f  x2   p1  x2   C2   x2  x0    x2  x1   C2 
f  x2   p1  x2 
 x2  x0    x2  x1 
 x0  p3  x0   f  x0 

 x1  p3  x1   f  x1 
Interpolação Cúbica: n = 3 
, tem-se:
x
p
x
f
x






3
2
2
 2
x  p x   f x 
3
3
3
 3
p3  x   p2  x   C3   x  x0    x  x1    x  x2  , note que p2  x  já satisfaz as três
primeiras condições e para que p3  x3   f  x3  deve-se ter:
p3  x3   f  x3   p2  x3   C3   x3  x0    x3  x1    x3  x2   C3 
1
f  x3   p2  x3 
 x3  x0    x3  x1    x3  x2 
Recursivamente:
 pm  x   pm 1  x   Cm   x  x0    x  x1     x  xm 1 

para m  1,  , n
f  xm   pm 1  xm 

C

m

 xm  x0    xm  x1     xm  xm1 

inicializando com: p0  x   C0  f  x0  .
Tal procedimento recursivo foi implementado em MATHCAD conforme apresentado a seguir.
PNewton ( n c xX ) 
yc
n
In1
for i  I  0

y  c  y X  x
i

if n  0
i
y
Coef ( n xf ) 
 0
c f x
0
m 0
for i  1  n
c 
 i

f x  PNewton mc xx
i

i
m
 xi  xk
k 0
m i
c
Para exemplificar o uso desse procedimento, o aplicamos à interpolação polinomial de
décimo grau da função: f  x  
1
efetuado no intervalo: [1,+1] adotando onze
1  25  x 2
pontos igualmente espaçados (incluindo as duas extremidades!).
1
f ( x) 
n  10
2
1  25 x
j  0  100
z 
j
j
50
1
k  0  n
 j
y  f z
j
x 
k
2 k
n

Y  fap z
j
j
1
c  Coef ( n xf )
fap ( X )  PNewton ( n c xX )
erro  y  Y
A representação gráfica da função e de sua interpolação polinomial, assim como a
representação gráfica do errosão mostradas a seguir.
2
Gráfico de f  x  
1
[curva
1  25  x 2
vermelha] e correspondente interpolação
Erro da interpolação polinomial de
polinomial de décimo grau (onze pontos de
décimo grau da função
interpolação igualmente espaçados) [curva
f  x 
azul]
1
1  25  x 2
2
0
y
erro
1
Y
2
1
0
1
1
 0.5
0
0.5
1
z
3
 0.5
0
z
0.5
1