Análise de Camadas Perfeitamente Casadas em Simulações

Transcrição

Ana Paula Martins Lima
Análise de Camadas Perfeitamente Casadas
em Simulações Bidimensionais do Método
dos Volumes Finitos no Domínio da
Frequência
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do
grau de Mestre pelo Programa de Pós–graduação em Engenharia
Elétrica do Departamento de Engenharia Elétrica da UFBA
Orientador: Prof. Marcela Silva Novo
Salvador
Setembro de 2014
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total
ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do
autor e do orientador.
Ana Paula Martins Lima recebeu o grau de bacharel em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal da Bahia, em
julho de 2011. Em setembro de 2013, foi contratada pela Petróleo Brasileiro S.A. Petrobrás, como Engenheira de Petróleo
Junior.
Ficha Catalográfica
Lima, Ana Paula Martins
Análise de Camadas Perfeitamente Casadas em Simulações Bidimensionais do Método dos Volumes Finitos no Domínio da Frequência / Ana Paula Martins Lima; orientador: Marcela Silva Novo. — Salvador : UFBA, Departamento de Engenharia Elétrica, 2014.
v., 107 f: il. ; 29,7 cm
1. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal da
Bahia, Departamento de Engenharia Elétrica.
Inclui referências bibliográficas.
1. Engenharia Elétrica – Tese. 2. Camadas Perfeitamente
Casadas. 3. Eletromagnetismo Computacional. 4. Método dos
Volumes Finitos. 5. Número de Condição.
6. .
I. Novo, Marcela Silva. II. Universidade Federal da Bahia.
Departamento de Engenharia Elétrica. III. Título.
CDD: 621.3
Análise de Camadas Perfeitamente Casadas
em Simulações Bidimensionais do Método
dos Volumes Finitos no Domínio da
Frequência
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do
grau de Mestre pelo Programa de Pós–graduação em Engenharia
Elétrica do Departamento de Engenharia Elétrica da Escola
Politécnica da UFBA. Aprovada pela Comissão Examinadora
abaixo assinada.
Prof. Marcela Silva Novo
Orientadora
Departamento de Engenharia Elétrica — UFBA
Prof. Vitaly Félix Rodrìguez Esquerre
Universidade Federal da Bahia - UFBA
Prof. Fernando Augusto Moreira
Universidade Federal da Bahia - UFBA
Prof. José Ricardo Bergmann
Pontíficia Universidade Católica do Rio de Janeiro - PUC-Rio
Salvador, 12 de Setembro de 2014.
Agradecimentos
A realização deste projeto foi possível apenas com a ajuda e o apoio
de algumas pessoas a quem devo expressar enorme gratidão. Primeiro, à
minha orientadora, Profa Marcela Silva Novo, pela orientação que tornou esta
Dissertação de Mestrado uma realidade.
Aos meu amigos em geral, pelo apoio e motivação nos momentos de
maiores dificuldades e incertezas.
Ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico) pelo suporte financeiro que contribui para a viabilização deste trabalho.
Finalmente, um agradecimento especial aos meus pais. À minha mãe,
Edimar Leiros Martins Lima, e ao meu pai, José Antônio de Carvalho Lima,
por toda a confiança e apoio incondicional durante a realização deste trabalho.
Resumo
Lima, Ana Paula Martins; Novo, Marcela Silva. Análise de Camadas Perfeitamente Casadas em Simulações Bidimensionais
do Método dos Volumes Finitos no Domínio da Frequência.
Salvador, 2014. 107p. Dissertação de Mestrado — Departamento de
Engenharia Elétrica, Universidade Federal da Bahia.
O objetivo principal deste trabalho é analisar a degradação do número de
condição da matriz resultante da discretização das equações de Maxwell pelo
método dos volumes finitos (FVM) quando camadas perfeitamente casadas
(PML) são utilizadas como condição de contorno absorventes (ABC) em
estruturas coaxiais. O estudo do número de condição é realizado em conjunto
com o estudo do coeficiente de reflexão da PML para assegurar níveis de
absorção da onda satisfatórios. A modelagem numérica é realizada através
da aplicação do FVM bidimensional (FVM-2D), incorporando ao domínio
computacional PMLs cilíndricas nas direções longitudinal e radial. Dois
perfis de atenuação da PML foram estudados: polinomial e geométrico.
Além disso, a Complex Frequency Shifted-Perfectly Matched Layer (CFSPML) também foi analisada com o objetivo de avaliar qual o tipo de PML
apresenta um condicionamento melhor para um dado nível de absorção.
Para fins de comparação, dois métodos iterativos foram implementados e
testados: método dos gradientes biconjugados estabilizados (Bi-CGSTAB)
e método generalizado dos mínimos resíduos (GMRES). Em todos os casos
considerados, os dois tipos de PML apresentaram desempenho semelhante
em termos de absorcão da onda e do número de condição da matriz do
sistema. Embora a PML tem sido aplicada com grande sucesso em métodos
no domínio do tempo, sua utilização como ABC em métodos no domínio da
frequência ainda é limitada. A inclusão da PML no domínio computacional
aumenta significativamente o número de condicão da matriz do sistema e
consequentemente deteriora a convergência dos métodos iterativos utilizados
na solução do sistema.
Palavras–chave
Camadas Perfeitamente Casadas. Eletromagnetismo Computacional.
Método dos Volumes Finitos. Número de Condição.
.
Abstract
Lima, Ana Paula Martins; Novo, Marcela Silva. Analysis of Perfectly Matched Layers for Bi-dimensional Finite Volume
Simulations in the Frequency Domain. Salvador, 2014. 107p.
MsC Thesis — Department of Electrical Engineering, Universidade
Federal da Bahia.
The main objective of this work is to analyze the degradation of the condition number of the matrix resulting from the discretization of Maxwell’s
equations by finite volume method (FVM) when perfectly matched layers
(PML) are used as absorbing boundary condition (ABC) in coaxial structures. The study of the condition number is done in conjunction with the
study of the reflection coefficient of PML to ensure satisfactory levels of wave
absorption. The numerical modeling is done by using a bi-dimensional finite
volume method (2-D FVM) that incorporates cylindrical PMLs in the radial
and longitudinal directions. This is assessed by comparing the performance
of two PML loss profiles, viz., polynomial and geometric grading. Moreover, the Complex-Frequency Shifted Perfectly Matched Layer (CFS-PML)
is also analyzed in order to evaluate what kind of PML has better conditioning for a given level of absorption. For comparison purposes, two iterative
methods are implemented and tested: biconjugate gradient stabilized method (BiCGSATB) and generalized minimal residual method (GMRES).
Although PML has been used with great success in the time domain methods, in the frequency domain its usefulness is limited. The inclusion of the
PML in computational domain significantly increases the CN of the matrix
of the system and consequently the convergence deteriorates.
Keywords
Computational Electromagnetics. Condition Number. Finite Volume
Method. Perfectly Matched Layer. .
Sumário
1 Introdução
1.1 Contexto
1.2 Objetivos da Dissertação
1.3 Organização da Dissertação
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16
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20
2 Método dos Volumes Finitos
2.1 Introdução
2.2 Formulação do Problema
2.3 Discretização
2.3.1 Definição do Domínio do Problema
2.3.2 Discretização das Esquações
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21
21
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3 Camadas Perfeitamente Casadas (PML)
3.1 PML Anisotrópica via Coordenadas Espaciais Complexas
3.2 Desempenho Teórico da PML
3.2.1 O Espaço Contínuo
3.2.2 O Espaço Discreto
3.3 Complex Frequency Shifted-Perfectly Matched Layer (CFS-PML)
29
30
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32
33
37
4 Resultados Numéricos
40
4.1 Ajuste nos Parâmetros dos Métodos Iterativos e do Pré-Condicionador 41
4.2 PML na Direção Longitudinal
43
4.2.1 Validação
43
4.2.2 Estudo do Coeficiente de Reflexão Numérico
46
4.2.3 Estudo do Número de Condição
55
4.3 CFS-PML na Direção Longitudinal
61
4.3.1 Validação
61
61
67
4.4 Comparação entre PML e CFS-PML na Direção Longitudinal
68
4.5 PML na Direção Radial
72
4.5.1 Validação
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74
83
4.6 CFS-PML na Direção Radial
88
4.6.1 Validação
88
88
95
4.7 Comparação entre PML e CFS-PML na Direção Radial
95
5
Conclusões
99
Referências Bibliográficas
101
A
107
Artigos publicados
Lista de figuras
1.1
1.2
2.1
2.2
2.3
2.4
3.1
3.2
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Configuração básica da ferramenta LWD. (a) Ferramenta convencional. (b) Ferramenta direcional. [7]
Resumo do contexto e motivação deste trabalho.
17
18
Interior de um volume elementar do esquema de grades entrelaçadas
para a discretização espacial dos campos EM na grade cilíndrica.
Superfície constante na direção φ.
Superfície constante na direção ρ.
Superfície constante na direção z.
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26
Perfil Polinomial em função do parâmetro m para PML de 10
camadas com interface em z = 0.
Perfil Polinomial em função do parâmetro m para PML de 10
Geometria do problema bidimensional (2D) para aplicação da PML
na direção longitudinal.
Modelo computacional bidimensional (2D) com PML na direção
longitudinal.
Cortes transversal e longitudinal do modelo bidimensional (2D) com
PML na direção longitudinal.
Distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal
de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML
cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos não utilizam précondicionamento. Os parâmetros da PML são: número de camadas
da PML igual a N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial
igual a m = 2 e fator de escalonamento geométrico igual a g = 3, 2.
Distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal de
guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica
na direcão z. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU
para acelerar a convergência. Os parâmetros da PML são: número
de camadas da PML igual a N P M L = 8, fator de escalonamento
polinomial igual a m = 2 e fator de escalonamento geométrico
igual a g = 3, 2.
Zoom da distribuição do campo elétrico ao longo da direção
longitudinal de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por
uma PML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam
pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Região onde o
campo elétrico apresenta um comportamento constante (em cima)
e região mais próxima da fonte (embaixo).
Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico
para valores do número de camadas da PML (NPML) diferentes,
utilizando o BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se
m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os
casos, KP M L = 1.
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4.8
4.9
4.10
4.11
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4.13
4.14
4.15
4.16
utilizando o GMRES. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se
casos, KP M L = 1.
para valores do fator de escalonamento polinomial (m) e geométrico
(g) diferentes. Em ambos os casos, N P M L = 6 e KP M L = 1.
para valores da parte real da variável de expansão (KPML) diferentes. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto
no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6.
Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para valores
do número de camadas da PML (N P M L) diferentes. No perfil
polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico
(embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, KP M L = 1.
do fator de escalonamento polinomial (m) e geométrico (g) diferentes. Tanto para o perfil polinomial (em cima), quanto para o
geométrico (embaixo), N P M L = 6 e KP M L = 1.
da parte real da variável de expansão (KP M L) diferentes. No perfil
(embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6.
de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFSPML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam précondicionador ILU para acelerar a convergência. Os parâmetros da
CFS-PML são: número de camadas da CFS-PML igual a N P M L =
8, fator de escalonamento polinomial igual a m = 2 e fator de
escalonamento geométrico igual a g = 3, 2 e αzmax = 10−5 .
Zoom da distribuição do campo elétrico ao longo da direção
longitudinal de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma
CFS-PML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam
pré-condicionador ILU para acelerar a convergência. Região onde o
de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFSPML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam précondicionador ILU para acelerar a convergência. Os parâmetros da
PML são: número de camadas da CFS-PML igual a N P M L = 8,
fator de escalonamento polinomial igual a m = 2 e fator de
escalonamento geométrico igual a g = 3, 2 e αzmax = 10−3 .
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4.17 Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico
para diferentes valores de α, utilizando o método BICGSTAB.
No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no
geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6
e KP M L = 1.
4.18 αzmax X coeficiente de reflexão numérico para diferentes valores da
parte real da variável de expansão (KPML), utilizando o método
BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2,
enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos,
N P M L = 6.
4.19 Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para diferentes valores de αzmax . No perfil polinomial (em cima) utiliza-se
casos, N P M L = 6 e KP M L = 1.
4.20 αzmax X número de condição para diferentes valores da parte real
da variável de expansão (KPML). No perfil polinomial (em cima)
utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em
ambos os casos, N P M L = 6.
4.21 Frequência X número de condição para diferentes valores da condutividade da PML (σ). No perfil polinomial (em cima) utiliza-se
casos, N P M L = 6, KP M L = 1 e αmax = 10−4 .
4.22 Modelo computacional bidimensional (2D) com PML na direção
radial.
4.23 Cortes transversal e longitudinal do modelo bidimensional (2D) com
PML na direção radial.
4.24 Distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial de
um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML
cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos não utilizam précondicionamento. Os parâmetros da PML são: número de camadas
da PML - N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial - m = 2
e fator de escalonamento geométrico - g = 3, 2.
4.25 Distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial de um
guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica
na direção ρ. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU
para acelerar a convergência. Os parâmetros da PML são: número
de camadas da PML - N P M L = 8, fator de escalonamento
polinomial - m = 2 e fator de escalonamento geométrico - g = 3, 2.
4.26 Zoom da distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial
de um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma
PML cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos utilizam précondicionador ILU para acelerar a convergência. Região onde o
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utilizando o BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se
casos, KP M L = 1.
utilizando o GMRES. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se
casos, KP M L = 1.
para valores do fator de escalonamento polinomial (m) e geométrico (g) diferentes, utilizando o BICGSTAB. Em ambos os
casos, N P M L = 6 e KP M L = 1.
para valores da parte real da variável de expansão (KPML) diferentes, utilizando o BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima)
utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2.
Em ambos os casos, N P M L = 6.
4.31 Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para valores
do número de camadas da PML (N P M L) diferentes. No perfil
(embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, KP M L = 1.
do fator de escalonamento polinomial (m) e geométrico (g) diferentes. Tanto para o perfil polinomial (em cima), quanto para o
geométrico (embaixo), N P M L = 6 e KP M L = 1.
da parte real da variável de expansão (KP M L) diferentes. No perfil
um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFSPML cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos utilizam précondicionador ILU para acelerar a convergência. Os parâmetros da
CFS-PML são: número de camadas da CFS-PML - N P M L = 8,
fator de escalonamento polinomial - m = 2 e fator de escalonamento geométrico - g = 3, 2 e αmax = 10−5 .
4.35 Zoom da distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial
de um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFSPML cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos utilizam précondicionador ILU para acelerar a convergência. Regiões onde o
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um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFSPML cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos utilizam précondicionador ILU para acelerar a convergência. Os parâmetros da
CFS-PML são: número de camadas da CFS-PML - N P M L = 8,
fator de escalonamento polinomial - m = 2 e fator de escalonamento geométrico - g = 3, 2 e αmax = 10−3 .
para valores de αρmax diferentes, utilizando o método BICGSTAB.
No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no
geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6
e KP M L = 1.
4.38 αρmax X coeficiente de reflexão numérico para diferentes valores da
parte real da variável de expansão (KPML), utilizando o método
BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2,
N P M L = 6.
de αρmax diferentes. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2,
N P M L = 6 e KP M L = 1.
4.40 αρmax X número de condição para diferentes valores da parte real
da variável de expansão (KPML). No perfil polinomial (em cima)
utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em
4.41 Frequência X número de condição para diferentes valores da condutividade da PML (σ). No perfil polinomial (em cima) utiliza-se
casos, N P M L = 6, KP M L = 1 e αρmax = 10−4 .
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98
Lista de tabelas
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
Dados de entrada utilizados na simulação de ajuste dos parâmetros
do pré-condicionador e dos métodos iterativos.
Número de iterações em função da droptol do pré-condicionador ILU.
Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em
função do número de camadas da PML (N P M L). O coeficiente
de reflexão teórico utilizado é COEF = 10−6 .
Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES
em função dos parâmetros m e g. O coeficiente de reflexão teórico
utilizado é COEF = 10−6 .
em função de KP M L. O coeficiente de reflexão teórico utilizado
é COEF = 10−6 .
Dados de entrada utilizados nas simulações do estudo do número
de condição quando a PML é introduzida ao domínio na direção
longitudinal.
função do αzmax , considerando COEF = 10−6 e KP M L = 1.
função do KP M L, considerando COEF = 10−6 e αzmax = 10−4 .
Dados de entrada da validação do método FVM terminado com a
função do número de camadas da PML (N P M L). O coeficiente
de reflexão teórico utilizado é COEF = 10−6 .
em função dos parâmetros m e g. O coeficiente de reflexão teórico
utilizado é COEF = 10−6 .
em função de KP M L. O coeficiente de reflexão teórico utilizado
é COEF = 10−6 .
Dados de entrada utilizados nas simulações do estudo do número
de condição com a PML introduzida na direção radial.
função de αρmax , considerando COEF = 10−6 e KP M L = 1.
função de KP M L, considerando COEF = 10−6 e αρmax = 10−4
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82
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Sumário das notações
ABC - Absorbing Boundary Condition (Condição de Contorno Absorvente)
Bi-CGSTAB - Biconjugate Gradient Stabilized Method (Método do Gradiente
Bi-Conjugado Estabilizado)
CFS-PML - Complex Frequency Shifted-Perfectly Matched Layer
COEF - Coeficiente de Reflexão Teórico
COEFN - Coeficiente de Reflexão Numérico
CN - Condition Number (Número de Condição)
FDM - Finite difference Method (Método das Diferenças Finitas)
FDTD - Finite-Difference Time-Domain (Método das Diferenças Finitas no
Domínio do Tempo)
FETD - Finite-Element Time-Domain (Método dos Elementos Finitos no
Domínio do Tempo)
FVM - Finite Volume Method (Método dos Volumes Finitos)
FVTD - Finite-Volume Time-Domain (Método dos Volumes Finitos no
Domínio do Tempo)
GMERS - Generalized Minimal Residual Method (Método Generalizado dos
Mínimos Resíduos)
ILU - Incomplete LU Factorization (Fatorização Incompleta LU)
KPML - Parte Real da Variável de Expansão
LUINC - Pré-Ccondicionador baseado em fatorização LU Incompleta
LWD - Logging-While-Drilling
NMM - Numerical Mode Matching (Método do Casamento de Modos)
NPML - Número de Camadas da PML
PEC - Perfect Electrical Conductor (Condutor Elétrico Perfeito)
PML - Perfectly Matched Layer (Camadas Perfeitamente Casadas)
TOE - Taxa de Onda Estacionária
Nρ - Número de Volumes na Direção Radial
Nφ - Número de Volumes na Direção Azimutal
Nz - Número de Volumes na Direção Longitudinal
µ - Permeabilidade Magnética do Meio (H/m)
ϵ - Permissividade Elétrica do Meio (F/m)
σ - Condutividade Elétrica do Meio (S/m)
Lista de tabelas
15
J⃗s - Vetor Densidade de Corrente Elétrica (A/m2 )
ρ - Densidade de Carga Elétrica (C/m3 )
⃗ - Vetor Intensidade de Campo Elétrico (V /m)
E
⃗ - Vetor Intensidade de Campo Magnético (A/m)
H
∂Ω - Contorno da Região de Interesse
∆ρ - Incremento Espacial na Direção Radial
∆z - Incremento Espacial na Direção Longitudinal
S̃φ - Superfície Dual com Área dada por ∆ρ∆z
Sρ - Superfície Primária com Área dada por ρi ∆φ∆z
Sz - Superfície Primária com Área dada por (ρ2i+1 − ρ2i )/2 · ∆φ
Iφ (i, k) - Componente da Corrente que atravessa a célula (i,k)
I0 - Amplitude da Corrente de Excitação
rtx - Volume da Posição da Corrente de Excitação na Direção Radial
ztx - Volume da Posição da Corrente de Excitação na Direção Longitudinal
sρ - Variável de Expansão Complexa na Direção Radial
sz - Variável de Expansão Complexa na Direção Longitudinal
ζ̃ - Variável Espacial Complexa
ρ̃ - Variável Espacial Complexa na Direção Radial
z̃ - Variável Espacial Complexa na Direção Longitudinal
ζ0 - Interface da PML
d - Espessura da PML
R(θ) - Erro de Reflexão
η - Impedância Característica
Γ - Coeficiente de Reflexão
σζ - Condutividade da PML considerando Propagação na Direção ζ
m - Índice de Escalonamento Polinomial
σzmax - Condutividade Máxima na PML - Perfil Polinominal
g - Índice de Escalonamento Geométrica
σz0 - Condutividade Máxima na PML - Perfil Geométrico
αζ - Parâmetro Adicional da CFS-PML
γ - Constante de Propagação Complexa
1
Introdução
1.1
Contexto
A grande dependência da sociedade atual com relação ao petróleo pode
ser observada no dia a dia das pessoas. É difícil encontrar um setor ou mesmo
um produto que seja completamente independente deste recurso natural. Seja
como combustível para o transporte motorizado (gasolina e óleo diesel) ou na
composição de produtos derivados (polímeros plásticos e até medicamentos),
o petróleo está enraizado no cotidiano.
A descoberta de uma jazida de petróleo em uma nova área é uma tarefa
que envolve um longo e dispendioso estudo e análise de dados geofísicos e
geológicos das bacias sedimentares. A identificação de uma área favorável à
acumulação de petróleo é realizada através de métodos geofísicos e geológicos,
que, atuando em conjunto, conseguem indicar o local mais propício para a perfuração. Somente após exaustivo prognóstico do comportamento das diversas
camadas do subsolo, os geólogos e geofísicos decidem propor a perfuração de
um poço, que é a etapa que exige mais investimentos em todo processo de
prospecção.
Mundialmente, já se constatou que a descoberta de novos reservatórios
de grande porte se tornará cada vez mais rara com o passar dos anos. Ou
seja, há um grande interesse na indústria petrolífera no desenvolvimento de
novas técnicas exploratórias que visem reduzir o custo elevado do processo de
exploração e que impulssionem uma maior recuperação dos fluidos contidos
nas formações.
Dentre as diferentes técnicas de exploração geofísica baseadas em métodos eletromagnéticos, a técnica de perfilagem de poços conhecida por Loggingwhile-drilling (LWD) tem recebido considerável atenção na comunidade científica e nas empresas de exploração petrolífera [1–6].
A técnica LWD é de grande utilidade no geodirecionamento de poços direcionais e/ou horizontais e a sua principal vantagem é o fato de prover informações em tempo real das propriedades físicas das formações, dos parâmetros
Capítulo 1. Introdução
17
geométricos dos poços (inclinação e azimute), além das propriedades mecânicas do processo de perfuração. O conjunto destas informações, quando obtido
em tempo real, otimiza o processo de perfuração do poço e permite que as
medidas do sensor sejam realizadas antes que o fluído de perfuração invada a
formação profundamente. Desta forma, evita-se que a resposta do sensor sofra
qualquer alteração durante o processo da perfuração.
A configuração básica da ferramenta LWD convencional e direcional,
empregando antenas em espiras perpendiculares e inclinadas em relação ao
eixo da ferramenta é dada na Figura 1.1.
Figura 1.1: Configuração básica da ferramenta LWD. (a) Ferramenta convencional. (b) Ferramenta direcional. [7]
Com o objetivo de auxiliar no processo da perfuração de um poço, além
de reduzir os custos altos na elaboração de novos protótipos e os custos envolvidos na realização de testes em campo, é extremamente importante para
a indústria petrolífera que as simulações númericas dos sensores de perfilagem
LWD em ambientes complexos sejam rápidas e eficientes. Entretanto, a modelagem númerica em cenários tridimensionais (3D) complexos dessas ferramentas é um problema desafiador pois a solução eficiente e precisa de campos
eletromagnéticos em domínios onde a região de interesse é ilimitada em uma
ou mais direções e apresenta perdas baixas é bastante complexa. A Figura 1.2
resume o contexto e motivação deste trabalho.
18
Figura 1.2: Resumo do contexto e motivação deste trabalho.
Uma forma de viabilizar este tipo de modelagem é introduzir uma
condição de contorno absorvente (ABC) nas fronteiras computacionais, simulando a condição de radiação de Sommerfeld no infinito. Com isso, é possível
garantir que a solução do problema na região de interesse não seja contaminada
por reflexões espúrias provenientes das fronteiras do domínio computacional [8].
Um tipo de ABC muito eficiente foi introduzido na literatura em 1994 por
Berenger [9], denominada de camada perfeitamente casada (Perfectly Matched
Layer - PML).
Embora as camadas perfeitamente casadas (PMLs) têm se mostrado
muito eficientes em simulações por diferenças finitas no domínio do tempo
(FDTD), o comportamento deste tipo de ABC em métodos discretos no
domínio da frequência, tais como elementos finitos, diferenças finitas e volumes finitos, ainda não é satisfatório. Isto é devido ao aumento do número
de condição da matriz do sistema resultante da discretização das equações
pertinentes quando a PML é introduzida no domínio computacional [10–12].
Deve-se observar que o problema associado ao número de condição não é devido
ao método ser no domínio da frequência, e sim se o método requer a solução
de um sistema matricial de larga escala. Métodos no domínio do tempo tais
como, método dos volumes finitos no domínio do tempo (FVTD) ou método
dos elementos finitos no domínio do tempo (FETD), requerem a solução de um
sistema matricial e podem também ser afetados pelo número de condição [13].
Por outro lado, alguns métodos no domínio da frequência, tais como o método
do casamento de modos (NMM) podem produzir matrizes muito menores e
serem menos afetados pelo problema do número de condição [14].
19
Cabe ressaltar que na análise de problemas de larga escala é essencial a
utilização de métodos iterativos na solução do sistema de equações lineares
para reduzir tempo de processamento e armazenamento em memória. Em
geral, a convergência dos métodos iterativos torna-se mais pobre à medida
que o número de condição da matriz do sistema aumenta. Em alguns casos,
a convergência não é obtida. Tal limitação restringe a utilização de PMLs a
problemas bidimensionais (2D), excluindo, portanto, uma série de aplicações
onde é necessário uma modelagem tridimensional (3D).
Uma breve investigação da implementação de PMLs no FVM-3D foi realizada em [7]. Inicialmente, o domínio computacional foi discretizado utilizando
uma grade (Nρ , Nφ , Nz ) = (50, 4, 200), totalizando 40.000 células. Quatro camadas de PML foram incorporadas ao domínio. A condutividade do meio era
igual a 10−4 S/m e a frequência de operação era 200 MHz. O método iterativo
Bi-CGStab convergiu após 4.771 iterações, com tempo de processamento de
52 minutos, para a solução sem PML. Para a solução com PML, entretanto,
o número de iterações necessário para convergência aumentou para 22.428,
com tempo de processamento de 4 horas e 13 minutos. Em seguida, com a
finalidade de observar a convergência do método, aumentou-se o domínio para
(Nρ , Nφ , Nz ) = (50, 10, 200), totalizando 100.000 células. Neste caso, quando
a solução por FVM com PML foi utilizada, o método iterativo não convergiu
após 70.000 iterações.
Recentemente, uma formulação do método dos volumes finitos tridimensional (FVM-3D) foi desenvolvida e aplicada com sucesso na simulação da
resposta eletromagnética de ferramentas LWD em formações geofísicas de perdas altas [7, 15–18]. Contudo, em formações de perdas baixas, sua aplicação
implica no aumento do domínio computacional. Sendo assim, para reduzir requisitos de memória e tempo de processamento, uma PML deve ser introduzida
nas fronteiras deste domínio para absorver as ondas refletidas nas terminações
da grade.
Em [19, 20], um estudo inicial da degradação do número de condição da
matriz resultante da discretização por volumes finitos das equações de Maxwell
após a implementação de PMLs ao domínio computacional foi realizado.
Estruturas coaxiais terminadas por PMLs longitudinais com perfil polinomial
foram analisadas.
1.2
Objetivos da Dissertação
Este trabalho tem como objetivo principal analisar a degradação do
número de condição da matriz resultante da discretização das equações de
20
Maxwell pelo método dos volumes finitos (FVM) quando camadas perfeitamente casadas (PML) são utilizadas como condições de contorno absorventes
(ABC) em estruturas coaxiais. A geometria coaxial imita o domínio computacional com um mandril metálico em torno do eixo z que é utilizado na simulação de ferramentas de perfilagens LWD. Como a análise do condicionamento
da matriz não pode ser feita de forma isolada, o nível de absorção da PML
também é estudado.
Para realizar as análises propostas neste trabalho, o algoritmo bidimensional (2D) do FVM desenvolvido em [7] é modificado, incorporando ao
domínio computacional PML nas direções longitudinal e radial. Dois perfis
de atenuação da PML são estudados: polinomial e geométrico. Além disso, a
Complex Frequency Shifted-Perfectly Matched Layer (CFS-PML) também será
analisada com o objetivo de avaliar qual o tipo de PML apresenta um condicionamento melhor para um dado nível de absorção. Para fins de comparação,
dois métodos iterativos são implementados e testados: método dos gradientes
biconjugados estabilizados (Bi-CGSTAB) e método generalizado dos mínimos
resíduos reinicializado (RGMRES).
1.3
Organização da Dissertação
O presente trabalho é composto por 5 capítulos, sendo esta introdução o
primeiro deles.
No capítulo 2 é apresentado um resumo do método dos volumes finitos
(FVM) e as equações discretizadas do modelo bidimensional (2D).
O capítulo 3 é dedicado a apresentação da teoria das camadas perfeitamente casadas (Perfectly Matched Layers - PML). A formulação da PML utilizada é a PML anisotrópica via coordenadas espaciais complexas em coordenadas cilíndricas.
No capítulo 4 são apresentados os resultados obtidos após implementação
numérica do modelo em MATLAB.
As conclusões do trabalho são descritas no capítulo 5, incluindo sugestões
de trabalhos futuros.
No Apêndice A estão listadas as publicações decorrentes da presente
dissertação.
2
Método dos Volumes Finitos
2.1
Introdução
O Método dos Volumes Finitos (FVM) é uma técnica numérica que
discretiza a forma integral das equações que definem um problema físico [21].
Neste trabalho, as equações que governam o problema são as equações de
Maxwell. A variante do FVM utilizada aqui foi introduzida na literatura
em [7] e é baseada em um esquema de grades entrelaçadas desenvolvido em
coordenadas cilíndricas. A escolha do sistema de coordenadas cilíndricas é feita
com o objetivo de eliminar os erros de aproximação de escada (staircasing) na
geometria da ferramenta LWD e do poço de perfuração. No FVM, o domínio
físico do problema é decomposto em volumes elementares, onde a função
incógnita é constante dentro de cada um deles. Tal característica é semelhante
no método das diferenças finitas (FDM). Entretanto cabe ressaltar que o FDM
é uma técnica de solução de equações diferenciais parciais, aproximando as
derivadas parciais por diferenças finitas. O FVM, como dito anteriormente,
discretiza a forma integral das equações governantes.
Apresenta-se neste capítulo um resumo do modelo numérico bidimensional (2D) desenvolvido em [7].
2.2
Formulação do Problema
Considere-se a forma integral das equações de Maxwell dada por [22]:
I
∫∫
⃗
⃗
⃗ · d⃗s = 0
E · dl − iω
µH
C
S
I
∫∫
∫∫
⃗ · d⃗l −
⃗ · d⃗s =
H
(σ − iωϵ)E
J⃗s · d⃗s
C
S
S
∫∫
∫∫∫
⃗
⃝ ϵE · d⃗s =
ρ dv
S
V
∫∫
⃗ · d⃗s = 0
⃝ µH
S
(2-1a)
(2-1b)
(2-1c)
(2-1d)
Capítulo 2. Método dos Volumes Finitos
22
onde µ, ϵ, σ são a permeabilidade magnética, permissividade elétrica e condutividade elétrica do meio, respectivamente. J⃗s é o vetor densidade de corrente
⃗ eH
⃗ são os vetores intensidades
elétrica e ρ é a densidade de carga elétrica. E
de campo elétrico e magnético, respectivamente. Neste trabalho, os campos
são harmônicos com dependência temporal da forma e−iωt .
As equações (2-1) estão sujeitas a seguinte condição de contorno:
⃗ = 0
n×E
(2-2)
∂Ω
onde ∂Ω é o contorno da região de interesse. Esta condição representa o
truncamento do domínio através da introdução de um condutor elétrico perfeito
(PEC) nas fronteiras da grade computacional.
Como a propagação de ondas eletromagnéticas no solo é um problema cuja região de interesse é aberta (infinita), sendo o domínio computacional truncado por PEC por limitação de armazenamento em memória, uma
condição de contorno absorvente (ABC) deve ser introduzida nas fronteiras
computacionais para simular a condição de radiação de Sommerfeld (campo
nulo no infinito). A implementação de uma ABC do tipo camadas perfeitamente casadas (Perfectly Matched Layers - PMLs) na grade cilíndrica do FVM,
objeto principal de estudo deste trabalho, será apresentada no Capítulo 3.
2.3
Discretização
O método dos volumes finitos (FVM) proposto em [7] e adotado neste
trabalho, utiliza uma discretização espacial semelhante àquela introduzida no
algoritmo de Kane Yee [23]. Cabe ressaltar que, assim como em [7], neste
trabalho utiliza-se o FVM na solução da equação da onda no domínio da
frequência e em coordenadas cilíndricas.
A discretização adotada neste trabalho utiliza duas grades entrelaçadas
denominadas de grade primária e grade dual. A grade primária é aquela que
ocupa todo o domínio computacional, incluindo as fronteiras - condutor elétrico
perfeito (PEC) utilizado para truncar o domínio. A grade dual tem os pontos
médios de suas arestas localizados nos centros das faces dos volumes primários.
As componentes dos campos elétricos discretos são definidas nos pontos médios
das arestas dos volumes primários. Esta escolha é adequada tendo em vista que
as condições de contorno nas fronteiras do domínio são aplicadas ao campo
elétrico. As componentes dos campos magnéticos discretos, por sua vez, são
definidas nos pontos médios das arestas dos volumes duais (normais às faces dos
volumes primários). O posicionamento dos campos no interior de um volume
elementar do esquema de grades entrelaçadas utilizado na discretização dos
23
campos eletromagnéticos (EM) na grade cilíndrica do FVM está mostrado na
Figura 2.1.
Hz
Hϕ
Ez
Eϕ
Hρ
(i, j , k )
Eρ
Figura 2.1: Interior de um volume elementar do esquema de grades entrelaçadas
para a discretização espacial dos campos EM na grade cilíndrica.
2.3.1
Definição do Domínio do Problema
O modelo desenvolvido em [7] é tridimensional (3D), entretanto, este
trabalho restringe-se ao modelo bidimensional (2D) para o tratamento de
geometrias com simetria azimutal, pois o objetivo principal do trabalho é o
estudo da degradação do número de condição da matriz do sistema linear
associado quando PMLs são incorporadas ao domínio computacional. Em
⃗ só tem componente
problemas com simetria azimutal, o campo elétrico (E)
⃗ por
na direção φ e não varia na direção azimutal. O campo magnético (H),
sua vez, tem componentes nas direções ρ e z.
Seja o domínio do problema contínuo (2-1) em coordenadas cilíndricas
dado por (0, Lρ ) × (0, Lz ) ⊂ ℜ2 .
Inicialmente, considera-se apenas a discretização na direção radial. O
intervalo (0, Lρ ) é sub-dividido em Nρ volumes. Os vértices da aresta do volume
primário i, que têm índices inteiros, compreende o intervalo entre os vértices
ρi+1 e ρi (i = 1, ..., Nρ ). Já a aresta do volume dual i, que é definido entre
vértices de índices fracionários, compreende o intervalo entre os vértices ρi+3/2
e ρi+1/2 (i = 1, ..., Nρ −1). A discretização do domínio na direção longitudinal é
definida de forma semelhante e o intervalo (0, Lz ) é sub-dividido em Nz células.
24
Desta forma, o domínio computacional é constituído por Nρ × Nz volumes
primários.
⃗ nos
Considerando-se a localização das componentes do campo elétrico E
pontos médios das arestas dos volumes primários, a componente azimutal de
⃗ é denotada por: Eφ(i,k) ; (i = 1, · · ·, Nρ ; k = 1, · · ·, Nz ). Analogamente, as
E
componentes radial e longitudinal do campo magnético localizadas nos pontos
médios das arestas dos volumes duais, são denotadas respectivamente por:
Hρ(i,k+1/2) e Hz(i+1/2,k) ; (i = 1, · · ·, Nρ − 1; k = 1, · · ·, Nz − 1).
Neste trabalho, utiliza-se uma grade uniforme sendo, portanto, cada
ponto da grade identificado como:

i = 1, · · ·, N ;
ρ
P (i, k) = (i∆ρ, k∆z)
k = 1, · · ·, N .
z
onde ∆ρ e ∆z são os incrementos espaciais nas direções radial e longitudinal.
i e k referem-se aos índices nodais da grade primária.
2.3.2
Discretização das Esquações
Para se discretizar as equações rotacionais de Maxwell e derivar o sistema
linear associado, aplica-se a lei de Ampère sobre a superfície dual Seφ com
contorno ∂ Seφ , resultando:
I
∫ ∫
∫ ∫
⃗
⃗
⃗
H · dl −
(σ − iωϵ)E · d⃗s =
J⃗s · d⃗s
(2-3)
∂ S̃φ
S̃φ
S̃φ
onde Seφ é uma superfície cuja a área é dada por ∆ρ∆z.
Utilizando-se a superfície indicada na Figura 2.2 como superfície de
integração em (2-3), tem-se:
(
)
(
)
Hρ(i,k+1/2) − Hρ(i,k−1/2) ∆ρ + Hz(i−1/2,k) − Hz(i+1/2,k) ∆z
(
)
− σ(i,k) − ıωϵ(i,k) Eφ(i,k) ∆z∆ρ = Iφ(i,k)
(2-4)
onde Iφ(i,k) é a componente da corrente que atravessa a célula (i, k).
O próximo passo é eliminar o campo magnético da equação (2-4) resultando em um sistema de equações lineares para campo elétrico. Para tanto,
aplica-se a lei de Faraday sobre superfícies da grade primária.
A componente discreta do campo magnético na direção radial é obtida
discretizando-se a lei de Faraday sobre a superfície primária Sρ , com contorno
∂Sρ . Assim, tem-se:
25
z
H ρ ( i ,k + 1 2 )
z i+ 1
2
H z ( i − 1 2, k )
H z ( i + 1 2, k )
Eϕ ( i ,k )
z i− 1
2
H ρ ( i ,k − 1 2 )
ρ i− 1
2
ρi
ρ i+ 1
2
ρ
Figura 2.2: Superfície constante na direção φ.
z
Eϕ ( i ,k +1)
H ρ ( i ,k + 1 2 )
Eϕ ( i ,k )
Figura 2.3: Superfície constante na direção ρ.
26
Eϕ ( i ,k )
Eϕ ( i +1,k )
H z ( i + 1 2, k )
Figura 2.4: Superfície constante na direção z.
I
∫ ∫
⃗ · d⃗l −
E
∂Sρ
⃗ · d⃗s = 0
µH
(2-5)
Sρ
onde Sρ é uma superfície cuja a área é dada por ρi ∆φ∆z.
Integrando-se (2-5) sobre a superfície indicada na Figura 2.3, obtém-se:
(
Hρ(i,k+1/2)
Hρ(i,k−1/2)
)
Eφ(i,k) − Eφ(i,k+1)
=
ıωµ(i,k+1/2) ∆z
(
)
Eφ(i,k−1) − Eφ(i,k)
=
ıωµ(i,k−1/2) ∆z
(2-6a)
(2-6b)
⃗ é determinada
De forma análoga, a componente longitudinal de H
discretizando-se a lei de Faraday sobre a superfície primária Sz , com contorno
∂Sz :
I
∫ ∫
⃗
⃗
⃗ · d⃗s = 0
E · dl −
µH
(2-7)
∂Sz
Sz
Utilizando-se a superfície indicada na Figura 2.4 como superfície de
integração em (2-7), tem-se:
(
Hz(i+1/2,k)
Hz(i−1/2,k)
)
ρi+1 Eφ(i+1,k) − ρi Eφ(i,k)
)
(
=
ıωµ(i+1/2,k) ρ2i+1 − ρ2i
(
)
ρi Eφ(i,k) − ρi−1 Eφ(i−1,k)
(
)
=
ıωµ(i−1/2,k) ρ2i − ρ2i−1
(2-8a)
(2-8b)
27
Substituindo-se as equações (2-8), (2-6) em (2-4), obtem-se um sistema
de equações lineares da forma [A][X] = [B], onde:
– [A] é uma matriz não-Hermitiana complexa - Uma matriz hermitiana
deve ser quadrada e os elementos de sua diagonal principal devem ser
reais. Mais abstratamente, um operador A é hermitiano se, e somente se,
ele é igual ao seu operador adjunto. Quando os termos fora da diagonal
não são complexo conjugados, a matriz é chamada de não-hermitiana.
– [X] é o vetor incógnita (campos elétricos discretos).
– [B] é a representação discreta da fonte.
Sendo assim, o sistema assume a seguinte forma:
[(
) (
)]
Eφ(i,k) − Eφ(i,k+1)
Eφ(i,k−1) − Eφ(i,k)
−
∆ρ +
[(
)]
) (
ρi+1 Eφ(i+1,k) − ρi Eφ(i,k)
ρi Eφ(i,k) − ρi−1 Eφ(i−1,k)
(
) −
(
) ∆z−
ıωµ(i−1/2,k) ρ2i − ρ2i−1
ıωµ(i+1/2,k) ρ2i+1 − ρ2i
(
)
σ(i,k) − ıωϵ(i,k) Eφ(i,k) ∆z∆ρ = Iφ(i,k)
(2-9)
Os elementos não nulos da matriz esparsa [A] são dados por:
– Para l = (i − 1) + (k − 2)(Nρ − 1)
onde i = 2, ..., Nρ ; k = 2, ..., Nz .
1. Para c = (i − 1) + (k − 3)(Nρ − 1)
[ (
)]
− ρi+1/2 − ρi−1/2
Alc =
2. Para c = (i − 2) + (k − 2)(Nρ − 1)
[
]
)
−2ρi−1 ∆z ( 2
2
ρ − ρi−1
Alc =
ıωµ(i−1/2,k) i
(2-10)
(2-11)
3. Para c = (i − 1) + (k − 2)(Nρ − 1)
[(
) (
)
ρi+1/2 − ρi−1/2
ρi+1/2 − ρi−1/2
Alc =
+
+
2ρi ∆z
2ρi ∆z
( 2
)+
(
)−
2
ıωµ(i−1/2,k) ρi − ρi−1
ıωµ(i+1/2,k) ρ2i+1 − ρ2i
]
(
)
(
)
σ(i,k) − ıωϵ(i,k) ∆z ρi+1/2 − ρi−1/2
(2-12)
4. Para c = (i) + (k − 2)(Nρ − 1)
[
]
)
−2ρi+1 ∆z ( 2
2
Alc =
ρ − ρi
ıωµ(i+1/2,k) i+1
5. Para c = (i − 1) + (k − 1)(Nρ − 1)
[ (
)]
− ρi+1/2 − ρi−1/2
Alc =
28
(2-13)
(2-14)
⃗ são dados por:
Os elementos do vetor B

I , se c = (r − 1) + (z − 2) · (N − 1);
o
tx
tx
ρ
Bc =
0, caso contrário.
onde Io é a amplitude da corrente de excitação. rtx e ztx são os volumes da
posição da corrente de excitação na direção radial e longitudinal, respectivamente.
A fonte de excitação utilizada neste trabalho consiste de uma antena em
espira circular perpendicular ao eixo z.
3
Camadas Perfeitamente Casadas (PML)
Um dos maiores desafios dos métodos numéricos discretos tem sido
obter uma solução eficiente e precisa da propagação da onda eletromagnética
em regiões sem fronteiras. Para tais problemas, uma condição de contorno
absorvente (Absorbing Boundary Condition - ABC) deve ser introduzida nas
fronteiras do domínio computacional para simular o infinito.
Uma alternativa para realizar uma ABC é terminar a fronteira espacial
com um material absorvente. Idealmente, o meio absorvente é bem fino, não
apresenta reflexão para qualquer que seja a frequência e incidência da onda,
altamente absorvente e eficiente no campo próximo a fonte. Na tentativa de
formular uma ABC, Holland utilizou um meio absorvente convencional, não
dispersivo e com perdas [24]. A limitação desta formulação está no fato de que
a mesma só se aplica a ondas com incidência normal.
Em 1994, Berenger eliminou o problema da limitação do ângulo de
incidência da onda com a introdução de um material absorvente altamente
eficiente e aplicável a ondas de incidência, polarização e frequências arbitrárias
[9], denominado de camadas perfeitamente casadas (Perfectly Matched Layer PML). Berenger definiu uma nova formulação de campos-decompostos (splitfield formulation) das equações de Maxwell, onde cada componente do vetor
do campo é dividida em duas novas componentes ortogonais [9].
Após os trabalhos de Berenger, muitos artigos surgiram na literatura
tanto para validar a PML quanto para implementá-la no FDTD em problemas
de diferentes áreas [25–45]. Estudos também foram realizados com o objetivo de
melhorar o desempenho da PML [46–50], a qual mostrou desempenho superior
ao de outras ABCs desenvolvidas anteriormente.
Ainda em 1994, Chew e Weedon apresentaram uma formulação diferente
para a teoria das PMLs em [26], aplicando-a ao domínio da frequência
através de uma expansão complexa das coordenadas espaciais. Logo, foi
possível facilitar a compreensão do comportamento da PML, pois se tornou
mais simples a manipulação das equações matematicamente. Além disso, a
partir dessa formulação, o mapeamento da PML nos sistemas de coordenadas
cilíndricas e esféricas se tornou viável.
Capítulo 3. Camadas Perfeitamente Casadas (PML)
30
Apesar de todo o avanço no estudo da PML, ainda faltava uma formulação que não alterasse as equações de Maxwell. Foi com esse propósito que
Sacks [51] derivou a PML anisotrópica, que modifica as propriedades constitutivas dentro da região da PML. Nesta formulação, a permeabilidade e a
permissividade são definidas como tensores diagonais, assegurando-se que ondas planas sejam absorvidas independente do ângulo de incidência, polarização
ou frequência. A introdução de perdas nos tensores resultou em um meio absorvente perfeitamente casado.
Com a formulação da PML através da expansão complexa das coordenadas espaciais e da PML anisotrópica já desenvolvidas, havia ainda a necessidade de uma formulação que reunisse as vantagens de cada uma delas. Teixeira
e Chew preencheram essa lacuna derivando em [55] tensores constitutivos (em
coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas) para a PML anisotrópica a
partir das equações de Maxwell no espaço complexo.
Neste trabalho, a formulação da PML utilizada é a PML anisotrópica
via coordenadas espaciais complexas em coordenadas cilíndricas desenvolvida
em [55]. A implementação da PML é em coordenadas cilíndricas por apresentar
maior conformidade com a geometria dos poços e ferramentas de perfilagem
petrolífera.
3.1
PML Anisotrópica via Coordenadas Espaciais Complexas
Conforme mencionado na introdução deste capítulo, a PML foi originalmente derivada através da introdução de condutividades, elétrica e magnética,
artificialmente casadas, e através de uma divisão das componentes de campo
eletromagnético em subcomponentes [9]. Uma formulação alternativa foi posteriormente dada por [26], na qual foi mostrada que a PML pode ser relacionada
com uma expansão complexa das coordenadas cartesianas no domínio da freqüência. Neste trabalho, a PML cilíndrica incorporada à grade computacional
do método dos volumes finitos segue a formulação derivada em [55].
A partir da expansão complexa das coordenadas espaciais, as equações
de Maxwell na região da PML são modificadas para:
e ×H
⃗ = −ıωϵE
⃗
∇
e ×E
⃗ = ıωµH
⃗
∇
e · ϵE
⃗ =0
∇
e · µH
⃗ =0
∇
onde
(3-1a)
(3-1b)
(3-1c)
(3-1d)
31
e = 1 ∂ ⃗aρ + 1 ∂ ⃗aφ + 1 ∂ ⃗az
(3-2)
∇
sρ ∂ρ
sφ ∂φ
sz ∂z
representa o operador Nabla modificado em coordenadas cilíndricas. Nota-se
que não existe PML na direção azimutal φ, logo não há expansão complexa
nesta direção. Entretanto, sφ é mantido em (3-2), sendo definido por sφ =
(ρ̃/ρ), como será deduzido mais adiante.
Considere a variável de expansão complexa sζ dada por:
sζ = κζ (ζ) + ı
σζ (ζ)
ωϵ0
(3-3)
onde ζ = ρ, z; κζ e σζ são funções de perfil da PML. Observa-se também
que κζ ≥ 1 garante que ondas evanescentes sofrerão atenuação exponencial
mais rápida na região da PML e σζ ≥ 0 assegura que ondas propagantes
sofrerão uma atenuação exponencial adicional. Dentro da região da PML,
−ıβ σz |z|
os modos de propagação longitudinais são transformados em e−κz β|z| e ωϵ0 ;
√
onde β = ω µ0 ϵ0 , e similarmente para os modos radiais em termos de funções
de Hankel. Assim, os modos de propagação transformados exibem decaimento
exponencial dentro da PML, reduzindo portanto as reflexões espúrias das
terminações da grade. Cabe ressaltar que as equações de Maxwell são um caso
especial das equações (3-1) quando sζ = 1. Logo, as variáveis da expansão
complexa podem ser entendidas como graus de liberdade acrescentados as
equações de Maxwell.
Uma maneira direta e elegante de verificar a característica de casamento
perfeito (reflexão nula) que deve existir na PML é observar que as variáveis de
expansão complexa são apenas um mapeamento particular das coordenadas
espaciais para o espaço complexo (i.e. uma continuação analítica das variáveis
espaciais) [56]. Este mapeamento é definido da seguinte forma:
)
∫ ζ
∫ ζ(
σζ (ζ ′ )
′
′
′
e
ζ → ζ = ζ0 +
(3-4)
sζ (ζ )dζ = ζ0 +
κζ (ζ ) + ı
ωϵ0
ζ0
ζ0
de modo que
1 ∂
∂
=
(3-5)
sζ ∂ζ
∂ ζ̃
em conformidade com o operador Nabla definido em (3-2). ζe representa a
variável espacial complexa e ζ0 representa a interface da PML.
No sistema de coordenadas cilíndricas, a lei de Faraday no espaço
complexo pode ser escrita como:
1 ∂Ezc ∂Eφc
−
ρ̃ ∂φ
∂ z̃
c
∂Eρ ∂Ezc
ıωµHφc =
−
∂ z̃
∂ ρ̃
1 ∂Eρc
1 ∂
ıωµHzc =
(ρ̃Eφc ) −
ρ̃ ∂ ρ̃
ρ̃ ∂φ
ıωµHρc =
32
(3-6a)
(3-6b)
(3-6c)
onde ρe e ze são as variáveis espaciais complexas definidas em (3-4). Observase que os campos em (3-6) não satisfazem as equações de Maxwell quando
sζ ̸= 1, ou seja, dentro da PML. Para tornar isto mais explícito, adiciona-se o
sobreescrito c nas variáveis dos campos.
Da definição da variável espacial complexa ζ̃ em (3-4), tem-se ∂/∂ z̃ =
(1/sz )∂/∂z e ∂/∂ ρ̃ = (1/sρ )∂/∂ρ. Se estas últimas identidades forem substituídas em (3-6), e multiplicar (3-6a) por sz (ρ̃/ρ), (3-6b) por sz sρ , e (3-6c) por
sρ (ρ̃/ρ), então (3-6) pode ser reformulada da seguinte forma:
[( ) ( )]
(
)
(
) 1 ∂
ρ̃
sz
∂ ρ̃Eφc
c
c
ıωµ
s ρ Hρ =
(sz Ez ) −
ρ
sρ
ρ ∂φ
∂z
ρ
[( )
]( c )
ρ̃Hφ
ρ
∂
∂
ıωµ
sz sρ
=
(sρ Eρc ) − (sz Ezc )
ρ̃
ρ
∂z
∂ρ
[( ) ]
[ ( c )]
)
ρ̃Eφ
ρ̃ sρ
1 ∂
1 ∂ (
ıωµ
(sz Hzc ) =
ρ
−
sρ Eρc
ρ sz
ρ ∂ρ
ρ
ρ ∂ϕ
(3-7a)
(3-7b)
(3-7c)
A partir de (3-7) e de suas duais (lei de Ampère), um novo conjunto de
campos definido por Eρa = sρ Eρc , Eφa = sφ Eφc e Eza = sz Ezc (similar para o
campo magnético), obedece as equações de Maxwell em um meio anisotrópico
de parâmetros constitutivos µ̄ = µΛ̄ e ϵ̄ = ϵΛ̄, com
( )( )
( )
( )( )
ρ̃
sz
ρ
ρ̃
sρ
Λ̄ =
⃗aρ +
(sz sρ )⃗aφ +
⃗az
(3-8)
ρ
sρ
ρ̃
ρ
sz
onde tem-se sφ = (ρ̃/ρ) de forma que o tensor (3-8) e as equações de
mapeamento do campo (3-7) têm o mesmo formato das suas respectivas
expressões no sistema de coordenadas Cartesianas.
3.2
Desempenho Teórico da PML
3.2.1
O Espaço Contínuo
Considere uma PML de espessura d terminada por um condutor elétrico
perfeito (PEC) e que uma onda incide na PML com um ângulo de incidência
33
θ em relação a uma superfície normal na direção ζ. A reflexão da onda na
superfície da PML pode ser computada de forma semelhante ao cálculo da
reflexão em uma linha de transmissão, ou seja:
R(θ) = e−2σζ ηd cos θ
(3-9)
onde η e σζ são a impedância característica da onda na PML e sua condutividade (considerando propagação na direção ζ), respectivamente.
Computacionalmente, R(θ) é referido como “erro de reflexão"visto que
consiste de uma reflexão não-física devida ao PEC que finaliza a PML. Notase que o erro de reflexão é o mesmo tanto para PML de campos-decompostos
como para PML anisotrópica, uma vez que ambas suportam a mesma equação
da onda. Cabe observar que este erro decresce exponencialmente com σζ e d.
Contudo, o erro de reflexão aumenta com ecos(θ) , atingindo o seu pior caso para
θ = 90o . Neste ângulo de incidência, tem-se R = 1 e a PML é completamente
ineficiente. Para que a PML seja eficiente em simulações computacionais, R(θ)
deve ser o menor possível. Cabe ressaltar que para uma PML fina σζ deve ser
o mais alto possível para reduzir R(θ) a níveis aceitáveis, especialmente para
valores de θ próximos de 90◦ .
3.2.2
O Espaço Discreto
Classificação dos parâmetros de atenuação da PML
No espaço contínuo, uma transmissão total da onda (sem reflexão) pode
ocorrer na interface da PML. Entretanto, em representações discretas das
equações de Maxwell, discrepâncias numéricas aparecem devido a amostragem
espacial finita. Consequentemente, a implementação da PML com um único
passo de descontinuidade na condutividade da PML na grade computacional
leva a reflexões espúrias significativas na superfície da PML.
Para reduzir este erro de reflexão, Berenger propôs que as perdas da
PML ao longo da direção normal até a superfície aumentassem gradualmente
a partir de zero [9]. Assumindo tal escalonamento, a PML permanece casada.
Seguindo esta idéia, considere uma onda plana propagando-se na direção
z e incidindo em uma PML (ângulo de incidência θ) de espessura d, terminada
por PEC, cuja a interface está localizada em z = 0. Assumindo-se um perfil
de condutividade da PML σz (z), o erro de reflexão é dado por:
R(θ) = e−2η cos θ
∫d
0
σz (z)dz
(3-10)
Vários perfis foram sugeridos na literatura para escalonar σz (z) e κz (z)
(parte real da expansão complexa). Os perfis mais eficientes utilizam uma
34
variação polinomial ou geométrica para a perda da PML na direção longitudinal [46].
1. Escalonamento Polinomial
O escalonamento polinomial adotado neste trabalho é dado por:
( z )m
σ max
d ( z)
z m
κz (z) = 1 + (κmax
−
1)
z
d
σz (z) =
(3-11a)
(3-11b)
onde m é o índice do escalonamento polinomial. Nota-se que neste tipo
de escalonamento o valor de σz aumenta de zero em z = 0 (interface da
PML) até σzmax em z = d (fronteira PEC). De forma análoga, κz aumenta
de um em z = 0 até κmax
em z = d.
z
Substituindo (3-11) em (3-10), obtém-se:
R(θ) = e−2ησz
max d cos θ/(m+1)
(3-12)
Cabe ressaltar que valores elevados de m leva a uma distribuição de
σz (z) relativamente plana perto da região da PML. Contudo, no interior
da PML, σz aumenta mais rapidamente do que para valores baixos de m.
Nesta região, as amplitudes do campo são substancialmente reduzidas e
reflexões devidas a erro de discretização interferem menos. Tipicamente,
3 ≤ m ≤ 4 são considerados valores ótimos para simulações no método
das diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD) [32, 46, 47, 53].
Os parâmetros da PML podem ser rapidamente determinados para um
dado erro estimado. Por exemplo, sejam m, d e o erro desejado R(0)
conhecidos. Então, a partir de (3-12), σzmax é dado por:
σzmax = −
(m + 1) ln[R(0)]
2ηd
(3-13)
A Figura 3.1 ilustra o perfil polinomial para uma PML de 10 camadas
com interface em z = 0.
2. Escalonamento Geométrico
O perfil geométrico de perda da PML adotado é o seguinte [47]:
( 1 )z
σz (z) = g ∆z σz0
( 1 )z
κz (z) = g ∆z
(3-14a)
(3-14b)
35
0.012
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
0.01
σz(z)
0.008
0.006
0.004
0.002
0
0
1
2
3
4
5
z
6
7
8
9
10
Figura 3.1: Perfil Polinomial em função do parâmetro m para PML de 10
onde σz0 é a condutividade da PML em sua interface, g é o fator
de escalonamento e ∆z é o incremento espacial do FVM. Aqui, a
d
condutividade da PML aumenta de σz0 , em sua interface, para g ∆ σz0 ,
na fronteira do PEC. Substituindo-se (3-14) em (3-10) resulta em:
(
)
d
−2ησz0 ∆z g ∆z −1
R(θ) = e
cos θ/ ln g
(3-15)
Ressalta-se que σz0 deve ser pequeno para minimizar o erro de discretização inicial e a métrica g > 1 governa a taxa de aumento da condutividade
dentro da PML. Valores elevados de g tornam o perfil da condutividade
plano próximo a z = 0, aumentando o valor no interior da PML. Normalmente, g, d e R(0) são pré-determinados. Dessa forma, tem-se:
σz0 = −
ln[R(0)] ln(g)
( d
)
∆z
2η∆z g − 1
(3-16)
A Figura 3.2 ilustra o perfil geométrico para uma PML de 10 camadas
com interface em z = 0.
Cabe observar que neste trabalho foram implementadas PMLs nas direções longitudinal e radial. O escalonamento utilizado na direção radial é
idêntico ao da direção longitudinal. Portanto, para PML radial, utiliza-se os
mesmos escalonamentos apresentados nas equações de (3-11) a (3-16), apenas
com a mudança da variável de z para ρ.
36
0.025
g=2.0
g=2.4
g=2.8
g=3.2
g=3.4
0.02
σz(z)
0.015
0.01
0.005
0
0
1
2
3
4
5
z
6
7
8
9
10
Figura 3.2: Perfil Polinomial em função do parâmetro m para PML de 10
Erro de Discretização
O projeto de uma PML eficiente requer um equilíbrio entre o erro de
reflexão teórico, R(θ), e o erro de discretização numérico. Por exemplo, (3-13)
fornece σzmax para R(0) e m pré-determinados. Se σzmax é pequeno, a reflexão
primária da PML é proveniente da PEC. A equação (3-10) fornece uma
aproximação precisa do erro de reflexão para este caso. Contudo, normalmente
define-se o valor de σzmax o maior possível visando minimizar R(θ). Infelizmente,
se σzmax é muito elevado, o erro de discretização devido a aproximação do
método numérico domina, e o erro de reflexão real é de ordem de grandeza
superior ao que (3-10) prediz. Consequentemente, há uma escolha ótima para
σzmax que equilibra a reflexão da PEC e o erro de discretização.
Cabe ressaltar que Berenger postulou que o maior erro de discretização
manifestado como reflexão ocorre em z = 0, na interface da PML [46, 47].
Qualquer energia de onda que penetrar mais na PML e for refletida, sofre
atenuação antes e depois do ponto de reflexão, e tipicamente não é uma grande
contribuição. Portanto, é aconselhável minimizar a descontinuidade em z = 0.
Como discutido anteriormente, uma maneira de obter tal característica é tornar
mais plano o perfil de perda da PML em z = 0. Contudo, se o aumento da
perda com a profundidade for muito rápido, reflexões no interior da PML
podem predominar.
37
3.3
Complex Frequency Shifted-Perfectly Matched Layer (CFS-PML)
O desempenho da PML, até o momento, levou em consideração apenas
a absorção da onda propagante com ângulos de incidência próximo da normal.
Entretanto, já foi observado que, em implementações numéricas da PML no
método das diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD), podem ocorrer
reflexões espúrias nos casos onde a onda incide na PML com ângulos de
incidência quase rasantes. Tal comportamento é observado quando a PML
finaliza um domínio muito longo. Além disso, indícies de reflexão altos podem
ocorrer quando a onda é evanescente. Isto ocorre quando a fronteira da PML
está localizada muito perto de uma singularidade do campo, por exemplo,
próximo a uma borda ou canto metálico ou na região de campo próximo de
uma antena.
Em geral, a PML é projetada para absorver ondas propagantes e ondas
evanescentes. Entretanto, para se ter uma maior compreensão das vantagens
e desvantagens na utilização da CFS-PML como ABC, faz-se necessário
compará-la com a PML quanto ao nível de absorção.
Pela teoria eletromagnética, tem-se que o coeficiente de reflexão quando
uma onda incide do meio 1 (meio sem perdas) para o meio 2 (PML) é dado
por:
Γ=
η1 − η2
η1 + η2
(3-17)
sendo
√
η1 =
µ1
ϵ1
)
σ∗
v (
u
u µ2 1 + ζ
ıωµ2
u
)
η2 = t (
σ
ϵ2 1 + ıωϵζ2
(3-18a)
(3-18b)
onde µ1 e µ2 são a permeabilidade magnética dos meios 1 e 2, respectivamente;
ϵ1 e ϵ2 são a permissividade
√ 1 e 2, respectivamente.
√ elétrica
√ dos meios
µ1
µ2
µo
Considerando que
=
=
e observando que a interface
ϵ1
ϵ2
ϵo
entre o meio sem perdas e a PML é na grade primária, ou (
seja, apenas
) as
σ∗
componentes do campo elétrico estão presentes, deduz-se que 1 + ıωµ2 = 1.
Sendo assim, após substituir (3-18) em (3-17) e realizar algumas manipulações
matemáticas, obtém-se a seguinte relação para o coeficiente de reflexão:
√
ω+
Γ= √
ω+
σζ
ıϵo
−
σζ
ıϵo
+
√
√
38
ω
(3-19)
ω
σ
Através da equação (3-19) pode-se observar que quando ω ≫ ıϵζo (freσ
quências altas), Γ ≈ 0. Para o caso em que ω ≪ ıϵζo (frequências baixas),
tem-se Γ ≈ 1.
Uma razão para o valor alto do coeficiente de reflexão em frequências
baixas é o fato da variável de expansão, sζ , ter um pólo na frequência zero. Ou
seja, sζ → −ı∞ quando ω → 0. Contudo, este problema pode ser contornado
deslocando o pólo da origem para o plano complexo esquerdo. Sendo assim,
uma opção para a expressão da variável de expansão que tem se mostrado
muito eficiente é dada por [36,50]:
σζ (ζ)
(3-20)
αζ (ζ) + ıωϵo
onde κζ ≥ 1, σζ ≥ 0 e αζ ≥ 0. Esta escolha tem se mostrado causal e estável
[51]. A expressão para sζ dada em (3-20) vem sendo referenciada como variável
de expansão da CFS-PML (Complex Frequency-Shifted - Perfectly Matched
Layer ) [36,37,43].
Substituindo-se (3-20) em (3-17), obtém-se o coeficiente de reflexão
quando o meio 2 é preenchido pela CFS-PML. Assumindo-se as mesmas
condições para o caso anterior (PML convencional), ou seja, na interface entre o
meio(1 e a CFS-PML
) existam apenas componentes de campos elétricos, tém-se
σζ∗
que 1 + αζ +ıωµ2 = 1. Após algumas manipulações matemáticas, tem-se:
√
σζ
1 + αζ +ıωϵ
−1
o
ΓCF S = √
(3-21)
σζ
1 + αζ +ıωϵ
+
1
o
sζ = κζ (ζ) +
α
Mais uma vez, é possível notar que em frequências altas, ω ≫ ϵoζ , o
coeficiente de reflexão tende a zero, Γ → 0. Por outro lado, em frequências
σ
baixas e assumindo-se que αζζ ≪ 1, resulta:
σζ
(3-22)
4αζ
Comparando (3-22) com (3-19), observa-se que em frequências baixas o
erro devido às reflexões é reduzido significativamente ao substituir a PML pela
CFS-PML.
Para um completo entendimento do desempenho de absorção da CFSPML, é relevante analizar a atenuação da onda propagante dentro dela.
Assumindo-se que a onda tenha uma constante de propagação complexa,
γ = α + ıβ, onde α representa a atenuação; e que a variável de expansão
ΓCF S |baixaf requencia ≈
39
seja dada por (3-20), a dependência exponencial da onda na direção ζ pode
ser expressa como:
e
(
−(α+ıβ) κζ + α
σζ
ζ +ıωϵo
)
ζ
=e
(
− ακζ +ıβκζ +α α
σζ
σζ
+ıβ α +ıωϵ
o
ζ +ıωϵo
ζ
)
ζ
(3-23)
Observa-se, por inspeção de (3-23), que κζ aumenta a atenuação da
α
onda incidente na CFS-PML. Nota-se também que quando w ≫ ϵoζ , a CFSα
PML absorve na mesma proporção da PML. Entretanto, para w ≪ ϵoζ , a
condutividade da CFS-PML não oferece atenuação adicional. De fato, se a
onda for puramente propagante (α = 0), a CFS-PML produz muito pouca
atenuação em frequências baixas.
Como consequência, enquanto a CFS-PML reduz significativamente o
erro de reflexão em frequências baixas, ondas propagantes dentro da CFSPML podem ser menos atenuadas. Felizmente, este dilema pode ser resolvido
com um bom escalonamento de αζ . Como previsto, a partir de (3-21) e (3-22),
αζ deve ter valor elevado perto da interface meio / CFS-PML, uma vez que
σ
o coeficiente de reflexão é reduzido quando αζζ ≪ 1. Dentro da CFS-PML, αζ
deve ser decrescente para que o espectro de frequências baixas da onda que se
propaga na CFS-PML possa ser atenuado adequadamente. Logo, αζ deve ter
o seu valor máximo na interface do meio / CFS-PML e decair até zero. Tendo
em mente essas condições, neste trabalho utiliza-se o seguinte escalonamento
para αζ :

( d−ζ )m
α
0≤ζ≤d
ζ,max
d
αζ =
(3-24)
0
caso contrário.
onde a interface entre o meio e a CFS-PML encontra-se em ζ = 0. m é o fator
de escalonamento e d é a espessura da CFS-PML.
4
Resultados Numéricos
Os modelos teóricos desenvolvidos nas seções anteriores foram implementados em Matlab para simular computacionalmente a distribuição de campos eletromagnéticos em geometrias coaxiais bi-dimensionais (2D) terminadas
por condicões de contorno absorventes (ABC) do tipo camadas perfeitamente
casadas (Perfectly Matched Layer - PML). A geometria coaxial 2D imita a
geometria das ferramentas de perfilagem de poços petrolíferos logging-whiledrilling (LWD). Entretanto, como mencionado nos capítulos anteriores, o objetivo principal desta dissertação e, portanto, das simulações aqui realizadas,
é analisar o coeficiente de reflexão e a degradação do número de condição da
matriz resultante da discretização das equações de Maxwell pelo método dos
volumes finitos (FVM) no domínio da frequência quando PML são incorporadas ao domínio computacional. Dois tipos de PML cilíndricas foram analisadas: PML (anisotrópica via coordenadas stretching) e CFS-PML (Complex
frequency shifted -PML). Além disso, para efeitos de comparação, dois perfis
de escalonamento da condutividade no interior da PML são implementados:
perfil polinomial e perfil geométrico.
O sistema de equações lineares resultante é resolvido por dois métodos iterativos: Método do Gradiente Bi-Conjugado Estabilizado (BICGSTAB)
e o Método Generalizado dos Mínimos Resíduos (GMRES). Para acelerar
a convergência da solução, utiliza-se pré-condicionadores baseados em fatorização LU incompleta (LUINC). Ambos os métodos iterativos e os précondicionadores fazem parte do toolbox do Matlab.
As simulações são realizadas em um PC com processador Intel Core i7
3,4 GHz e 32Gb RAM.
As ferramentas de perfilagem de poços LWD operam na faixa de 100 kHz
a 4 MHz, sendo 2 MHz a frequência comercial. A menos que mencionado, a
frequência utilizada nas simulações desta dissertação é 2 MHz. Além disso, a
permissividade relativa e a permeabilidade relativa do meio são consideradas
unitárias em todas as simulações.
A Figura 4.1 ilustra a geometria do problema físico. Neste caso, considerase uma região interior (sem perdas), denominada formação, limitada por
Capítulo 4. Resultados Numéricos
41
Figura 4.1: Geometria do problema bidimensional (2D) para aplicação da PML
na direção longitudinal.
uma superfície cilíndrica metálica (condutor elétrico perfeito), com o eixo
coincidente com o eixo dos z e raio interno ρ = ρ1 . A região que compreende a
formação é ilimitada nas direções radial e longitudinal. Essa geometria imita o
cenário da ferramenta de perfilagem operando em um poço de perfuração cujo
raio interno é ρ1 = 0, 1016m.
4.1
Ajuste nos Parâmetros dos Métodos Iterativos e do Pré-Condicionador
Para um melhor desempenho do pré-condicionador e dos métodos iterativos aqui utilizados, é necessário que seus valores de entrada sejam os mais
adequados possíveis. Para realizar tal ajuste foi utilizada a geometria do problema com a PML na direção longitudinal.
Considera-se uma região interior (sem perdas) a duas superfícies cilíndricas metálicas (condutores elétricos perfeitos), com o eixo coincidente com o
eixo dos z, ρ = ρ1 e ρ = ρ2 , respectivamente. Essa geometria imita o cenário
da ferramenta de perfilagem operando em um poço de perfuração cujo raio
interno é ρ1 = 0, 1016m. O raio externo que termina a região de interesse
é ρ2 = 110, 1016m. Como a região é ilimitada em z, para desenvolvimento
do modelo numérico, a região é terminada em z = z1 e z = z2 por PML.
A Figura 4.2 ilustra o domínio do modelo computacional simulado, incluindo
uma PML longitudinal de espessura d. A espessura da PML compreende o
número de células na PML multiplicado pelo tamanho da célula. Os cortes
transversal e longitudinal do modelo computacional é mostrado na Figura 4.3.
A Tabela 4.1 apresenta os valores iniciais utilizados na simulação.
42
Figura 4.2: Modelo computacional bidimensional (2D) com PML na direção
longitudinal.
As funções do pré-condicionador e dos métodos iterativos no Matlab
apresentam a seguinte forma:
– [M 1, M 2] = luinc(A, droptol)
– [x, iter] = bicgstab(A, b, tol, maxit, M 1, M 2)
– [x, iter] = gmres(A, b, tol, maxit, M 1, M 2)
Inicialmente foram definidos alguns valores de entrada para essas funções.
As matrizes A e b são definidas pelo problema, fazendo parte do sistema de
equações lineares [A][x] = [b], no qual a solução que se deseja obter é o vetor
incógnita x. Para que esta solução seja a mais precisa possível, é definida
uma tolerância (critério de parada) para os métodos iterativos bem exigente,
tol = 10−12 . As matrizes M 1 e M 2 são obtidas do pré-condicionador, sendo
matrizes triangular inferior e superior, respectivamente. O número máximo de
iterações adotado para os métodos iterativos BICGST AB e GM RES é de
maxit = 3.000.
Para acelerar a convergência dos métodos é necessário definir também
valores apropriados para a tolerância de descarte (drop tolerance - dtol )
utilizada na fatorização incompleta LU (ILU). Sabe-se que a escolha ótima
deste parâmetro não é trivial, em especial em problemas mal-condicionados,
sendo fortemente dependente da matriz do problema.
Com o objetivo de utilizar nas simulações futuras um valor razoável para
droptol, foi realizado um estudo do número de iterações em função da droptol.
43
Figura 4.3: Cortes transversal e longitudinal do modelo bidimensional (2D)
com PML na direção longitudinal.
Os resultados estão na Tabela 4.2. Observa-se que a medida que a droptol
diminui, o número de iterações necessário para convergência também diminui.
Cabe ressaltar que o método pode convergir ou não para a solução correta e,
portanto, adota-se um valor intermédiário (e não aquele com o menor número
de iterações) para este parâmetro, ou seja, droptol = 10−3 .
Com todos os parâmetros do pré-condicionador e dos métodos iterativos
definidos inicialmente, passa-se para a próxima etapa, que consiste na validação
do método FVM.
4.2
PML na Direção Longitudinal
4.2.1
Validação
Para validar o modelo 2D FVM com PML na direção longitudinal, o
algoritmo é aplicado a um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por
uma PML cilíndrica na direcão z. Os resultados númericos são comparados com
os resultados obtidos através de soluções analíticas. A geometria do problema
está ilustrada nas Figuras 4.2 e 4.3. Os dados iniciais utilizados nesta simulção
estão contidos na Tabela 4.1.
A Figura 4.4 apresenta a distribuição do campo elétrico ao longo da
direção longitudinal do guia em questão. Nesta simulação, utiliza-se os métodos
GM RES e BICGST AB sem pré-condicionamento. Para fins de comparação,
neste caso, assim como no restante do trabalho, dois perfis de escalonamento
para a condutividade da PML são utilizados: polinomial e geométrico. Observa-
44
Tabela 4.1: Dados de entrada utilizados na simulação de ajuste dos parâmetros
do pré-condicionador e dos métodos iterativos.
Número de células em ρ
Número de células em z
Existência da PML na direção ρ
Existência da PML na direção z
Número de camadas PML
Fator de escalonamento polinomial
Fator de escalonamento geométrico
Valor máximo da parte real da coordenada stretching
Célula da fonte em ρ
Célula da fonte em z
Célula do ponto de observação em ρ
Célula do ponto de observação em z
Tamanho da célula em ρ
Tamanho da célula em z
Condutividade do meio
Coeficiente de reflexão teórico máximo
αmax
50
300
Não
Sim
8
2
3,2
1
10
150
40
5
2,2 m
5m
0
10−6
0
Tabela 4.2: Número de iterações em função da droptol do pré-condicionador
ILU.
droptol
10−1
10−2
10−3
10−4
10−5
10−6
ITERAÇÕES BICGSTAB
Sem PML Polin. Geom.
2.163
2.332 2.391
216
337
352
82
103
110
14
18
18
4
3
3
2
2
2
ITERAÇÕES GMRES
Sem PML Polin. Geom.
412
418
417
129
138
132
60
60
60
19
23
22
7
7
7
4
4
4
se que, apesar da ausência do pré-condicionador, o método GM RES conseguiu
convergir para o resultado correto após 1.637 e 1.333 iterações, para o perfil
polinomial e geométrico, respectivamente. A simulação demorou 691 segundos,
aproximadamente. Entretanto, o método BICGST AB não conseguiu obter o
mesmo êxito e, após 143 (perfil polinomial) e 145 (perfil geométrico) iterações,
o método convergiu para o resultado errado. Neste caso, a simulação levou
aproximadamente 7 segundos para terminar.
Em seguida, realiza-se a mesma simulação, mas utilizando o précondicionador ILU em conjunto com os métodos iterativos na solução do sistema linear. A Figura 4.5 mostra a distribuição do campo elétrico ao longo da
direção longitudinal para este caso. Nesta simulação, inclui-se a resposta da
distribuição do campo quando a PML não está incorporada ao domínio, ou seja,
45
1.5
Solução Analítica
Com PML Polinomial − BICGSTAB
Com PML Geométrica − BICGSTAB
Com PML Polinomial − GMRES
Com PML Geométrica − GMRES
|E|(V/m)
1
0.5
0
0
500
1000
1500
z(m)
Figura 4.4: Distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal de
guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direcão
z. Os métodos iterativos não utilizam pré-condicionamento. Os parâmetros
da PML são: número de camadas da PML igual a N P M L = 8, fator de
escalonamento polinomial igual a m = 2 e fator de escalonamento geométrico
igual a g = 3, 2.
a região de interesse é terminada por condutores elétricos perfeitos na direção
longitudinal. Observa-se que quando a PML não está presente, a distribuição
de campo elétrico apresenta um comportamento estacionário, como era esperado. Para o caso onde a PML está terminando o guia, o erro entre a solução
numérica e a analítica é praticamente desprezível, não excedendo a 0,25%.
Ambos os métodos convergiram, sendo o BICGST AB após 120 (perfil polinomial) e 102 (perfil geométrico) iterações, com um tempo de processamento
de 5 segundos aproximadamente. Já o GM RES convergiu após 58 iterações
(para ambos os perfis) em 3 segundos. Observa-se o número de iterações e o
tempo de processamento foram reduzidos em comparação a simulação sem o
pré-condicionador ILU.
Para melhor visualização dos resultados, a Figura 4.6 apresenta um zoom
em duas regiões do domínio, a primeira onde o campo é praticamente constante
e a segunda região mais próxima da fonte, onde a intensidade de campo é mais
elevada.
46
Sem PML
6
5
|E|(V/m)
4
3
2
1
0
0
500
1000
1500
z(m)
Figura 4.5: Distribuição do campo elétrico ao longo da direção longitudinal
de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na
direcão z. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar
a convergência. Os parâmetros da PML são: número de camadas da PML igual
a N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial igual a m = 2 e fator de
escalonamento geométrico igual a g = 3, 2.
4.2.2
Estudo do Coeficiente de Reflexão Numérico
Um dos parâmetros utilizados para estudar o desempenho da PML é o
coeficiente de reflexão teórico (COEF ). Entretanto, ao se implementar computacionalmente a PML, torna-se relevante analisar o coeficiente de reflexão
numérico (COEF N ), pois nele estão inseridos tanto os erros devido a discretização quanto aqueles inerentes a própria implementação computacional.
Para estudar a variação do COEF N em relação ao COEF , considera-se
o mesmo cenário utilizado na validação. O cálculo do COEF N é realizado
a partir da taxa de onda estacionária (T OE), que pode ser obtida através
da razão entre as amplitudes máximas e mínimas do campo elétrico em
uma configuração de onda estacionária. Neste trabalho, estas amplitudes são
tomadas em uma região do domínio físico onde a distribuição de campo elétrico
não sofra tanta influência da fonte e das camadas da PML. Para fins do cálculo
do COEFN, os campos foram amostrados no intervalo 150m ≤ z ≤ 665m.
47
0.769
Sem PML
0.768
|E|(V/m)
0.767
0.766
0.765
0.764
0.763
150
200
250
300
350
z(m)
400
450
500
550
1.1
Sem PML
1.05
|E|(V/m)
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
640
660
680
700
720
740
z(m)
760
780
800
820
Figura 4.6: Zoom da distribuição do campo elétrico ao longo da direção
longitudinal de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML
cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU
para acelerar a convergência. Região onde o campo elétrico apresenta um
comportamento constante (em cima) e região mais próxima da fonte (embaixo).
840
48
Sendo assim, com exceção dos dados que variam em cada simulação,
os dados de entrada são idênticos aos utilizados na validação e apresentados
na Tabela 4.1. Aqui são feitas três análises, cada uma variando um dado
parâmetro da PML, são eles: o número de camadas da PML (N P M L), o
fator de escalonamento do perfil polinomial (m) e do geométrico (g) e a parte
real da variável de expansão (KP M L). Cabe ressaltar que na validação os
valores obtidos para o COEF N foram 6, 5843 × 10−4 e 1, 7670 × 10−3 , para os
perfis polinomial e geométrico, respectivamente.
As Figuras 4.7 e 4.8 mostram a variação do COEF N em relação ao
COEF para valores de N P M L diferentes. Utiliza-se na solução do sistema de
equações lineares o método do BICGST AB + ILU e o método GM RES +
ILU , respectivamente. São apresentados os resultados tanto para o perfil
polinomial, quanto para o geométrico. Pode-se concluir para ambos os casos
que, a medida que o N P M L aumenta, o COEF N diminui, como esperado.
Contudo, para um valor de COEF N desejável, na ordem de grandeza obtida na
validação, observa-se que o N P M L não influencia quando N P M L ≥ 4 para o
perfil polinomial e N P M L ≥ 6 para o geométrico. Além disso, nota-se que para
perfis de escalonamento iguais os métodos iterativos apresentaram resultados
idênticos. Por isso, a partir deste ponto os resultados serão apresentados
somente para o método BICGST AB + ILU , visando reduzir o número de
resultados repetidos.
A Figura 4.9 apresenta o COEF N em função do COEF para valores
de m e g diferentes. No caso polinomial, observa-se que para m > 1 e
COEF ≥ 10−6 , o valor do COEF N é praticamente o mesmo para qualquer
valor de m. Porém, para COEF ≤ 10−6 e m ̸= 1, há uma pequena variação no
COEF N , mas a ordem de grandeza se mantem igual e de acordo com o obtido
na validação. Já no geométrico, quanto maior for o fator de escalonamento,
menor será o COEF N e para COEF ≥ 10−4 , COEF N é independente
de g. Além disso, para COEF < 10−4 a ordem de grandeza do COEF N
se mantem concordando com o valor obtido na validação, apresentando uma
pequena variação em função de g.
A Figura 4.10 mostra a variação do COEF N em relação ao COEF
para valores de KP M L diferentes. Para o caso polinomial, nota-se uma maior
independência do COEF N em relação ao KP M L do que é apresentado
para o caso geométrico. Observa-se ainda que, para o caso geométrico e
para COEF ≤ 10−6 (onde o KP M L influencia no COEF N ), os valores de
COEF N tendem a diminuir com o aumento de KP M L. Entretanto, para
valores de KP M L ≥ 4 esse comportamento modifica e o valor de COEF N
aumenta chegando a 4 × 10−3 para KP M L = 10.
49
A convergência dos métodos iterativos para cada um dos estudos realizados nessa seção é apresentada nas Tabelas 4.3-4.5. O coeficiente de reflexão
teórico utilizado é COEF = 10−6 . Observa-se que nos três estudos, para cada
método analisado separadamente, os perfis polinomial e geométrico apresentam número de iterações próximos. Contudo, o método GM RES apresentou
convergência mais rápida em comparação ao BICGST AB.
50
Perfil polinomial da PML na direção longitudinal
0
Coeficiente de Reflexão Numérico
10
−1
10
−2
10
−3
10
NPML=2
NPML=4
NPML=6
NPML=8
NPML=10
−4
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
Coeficiente de Reflexão Teórico
−2
0
10
10
Perfil geométrico da PML na direção longitudinal
0
10
−1
10
−2
10
−3
10
NPML=2
NPML=4
NPML=6
NPML=8
NPML=10
−4
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
Figura 4.7: Coeficiente de reflexão teórico X coeficiente de reflexão numérico
para valores do número de camadas da PML (NPML) diferentes, utilizando
o BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no
geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, KP M L = 1.
0
10
51
0
10
−1
10
−2
10
−3
10
NPML=2
NPML=4
NPML=6
NPML=8
NPML=10
−4
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
0
10
10
0
10
−1
10
−2
10
−3
10
NPML=2
NPML=4
NPML=6
NPML=8
NPML=10
−4
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
o GMRES. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no
0
10
52
0
10
−1
10
−2
10
−3
10
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
−4
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
0
10
10
0
10
−1
10
−2
10
−3
10
g=2
g=2.4
g=2.8
g=3.2
g=3.4
−4
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
para valores do fator de escalonamento polinomial (m) e geométrico (g)
diferentes. Em ambos os casos, N P M L = 6 e KP M L = 1.
0
10
53
0
10
−1
10
−2
10
KPML=1
KPML=2
KPML=3
KPML=4
KPML=5
KPML=6
KPML=7
KPML=8
KPML=9
KPML=10
−3
10
−4
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
0
10
10
0
10
−1
10
−2
10
KPML=1
KPML=2
KPML=3
KPML=4
KPML=5
KPML=6
KPML=7
KPML=8
KPML=9
KPML=10
−3
10
−4
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
para valores da parte real da variável de expansão (KPML) diferentes. No perfil
polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo)
g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6.
0
10
54
Tabela 4.3: Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES em
função do número de camadas da PML (N P M L). O coeficiente de reflexão
teórico utilizado é COEF = 10−6 .
ITERAÇÕES BICGST AB
NPML Polinomial
Geométrico
ITERAÇÕES GM RES
Polinomial Geométrico
2
100
106
60
60
4
118
104
61
60
6
106
96
60
60
8
103
110
60
60
10
127
110
62
60
função dos parâmetros m e g. O coeficiente de reflexão teórico utilizado é
COEF = 10−6 .
ITERAÇÕES GM RES
m Polinomial
g
Geométrico
m Polinomial
g
Geométrico
1
116
2
117
1
60
2
61
2
106
2,4
129
2
60
2,4
61
3
110
2,8
113
3
60
2,8
61
4
133
3,2
96
4
61
3,2
60
5
97
3,4
97
5
60
3,4
60
função de KP M L. O coeficiente de reflexão teórico utilizado é COEF = 10−6 .
KPML Polinomial
ITERAÇÕES GM RES
Geométrico
Polinomial
Geométrico
1
106
96
60
60
2
109
119
60
60
3
108
115
60
60
4
100
110
60
61
5
102
112
60
61
6
107
105
61
61
7
111
109
61
61
8
115
106
61
61
9
110
108
61
61
10
94
116
61
61
55
4.2.3
Estudo do Número de Condição
No campo da análise numérica, o número de condição (CN ) de uma
função em relação a um argumento expressa o quanto a função pode variar
quando pequenas mudanças no argumento ocorrem. A “função"é a solução
de um problema e o “argumento"é o dado. Um problema com número de
condição baixo é considerado bem-condicionado, enquanto que um problema
com número de condição elevado, mal-condicionado. Cabe ressaltar que o
número de condição é dependente do problema.
O número de condição associado com o sistema de equações lineares
Ax = b define o quanto a solução x será precisa após a solução ser aproximada.
Isto se dá antes dos efeitos do erro de arredondamento serem levados em
consideração. O número de condição é uma propriedade da matriz, não do
algoritmo ou da precisão do PC utilizado para resolver o sistema. Pode-se
pensar no número de condição como sendo a taxa na qual a solução, x, varia
quando b também varia. Portanto, se o número de condição é alto, mesmo um
pequeno erro em b pode ocasionar um elevado erro em x. Por outro lado, se o
número de condição for pequeno, então o erro em x não será muito maior do
que o erro em b. O número de condição é definido mais precisamente como a
máxima taxa do erro relativo em x dividido pelo erro relativo em b.
Seja e o erro em b. Assumindo-se que A é uma matriz quadrada, o erro
na solução A−1 b é A−1 e. A taxa do erro relativo na solução com o erro relativo
em b é dada por:
( −1 ) (
)
∥A−1 e∥/∥A−1 b∥
∥A ∥
∥b∥
=
·
(4-1)
∥e∥/∥b∥
∥e∥
∥A−1 b∥
O valor máximo (para b e e não nulos) é o produto das duas normas:
κ(A) = ∥A∥ · ∥A−1 ∥
(4-2)
A mesma definição é usada para qualquer norma consistente. Este número
aparece com frequência na álgebra linear numérica, sendo chamado de número
de condição da matriz. Obviamente, esta definição depende da escolha da
norma. No presente trabalho, foi escolhida a norma-2 para o cálculo do número
de condição, resultando em:
σmax (A)
(4-3)
σmin (A)
onde σmax (A) e σmin (A) são valores singulares máximo e mínimo de A,
respectivamente.
Como o objetivo do trabalho é estudar a degradação do número de
condição da matriz do sistema quando PMLs são incorporadas ao modelo
κ(A) =
56
computacional, diferentes simulações foram realizadas. Cabe observar que o
estudo do número de condição deve ser feito em conjunto com o estudo do
coeficiente de reflexão da PML, para assegurar que a PML esteja oferecendo
níveis de absorção satisfatórios. A Tabela 4.6 lista os valores iniciais utilizados
para as simulações que seguem. Os parâmetros que variam em cada simulação
serão mencionados no texto. De forma semelhante ao estudo do COEFN, aqui
são realizadas três análises: variando N P M L, m/g e KP M L.
Tabela 4.6: Dados de entrada utilizados nas simulações do estudo do número
de condição quando a PML é introduzida ao domínio na direção longitudinal.
50
50
Não
Sim
6
2
3,2
1
10
25
2,2 m
7,5 m
0
αzmax
10−6
0
A Figura 4.11 mostra a variação do CN em relação ao COEF para
valores de N P M L diferentes. Para o perfil polinomial, observa-se que quanto
maior o número de camadas, menor o número de condição, contudo a ordem
de grandeza deste não varia. Já no perfil geométrico, para N > 2, o número de
camadas não interfere no número de condição. Além disso, com o decréscimo do
COEF , que como visto anteriormente acarreta na queda do valor do COEF N ,
há um aumento do CN . Este comportamento é indesejado, pois apesar das
reflexões númericas diminuirem, o condicionamento do problema piora.
valores de m e de g diferentes. Nota-se para o perfil polinomial que quanto
menor o valor de m, menor o número de condição, entretanto a ordem de
grandeza do CN não modifica. No perfil geométrico, percebe-se que g não
57
influencia no CN . Como no caso anterior, observa-se que com o decréscimo do
COEF, há o aumento do CN.
valores de KP M L diferentes. Em ambos os perfis, observa-se que o CN
depende do KP M L para valores de COEF mais elevados, ou seja, em uma
região de não interesse. Para valores de COEF ≤ 10−6 , KP M L não influencia
tanto o CN , que apresenta valores maiores quanto menor for o COEF .
58
5
10
Número de Condição
NPML=2
NPML=4
NPML=6
NPML=8
NPML=10
4
10
3
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
0
10
10
5
10
NPML=2
NPML=4
NPML=6
NPML=8
NPML=10
4
10
3
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
Figura 4.11: Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para valores
do número de camadas da PML (N P M L) diferentes. No perfil polinomial (em
cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos
os casos, KP M L = 1.
0
10
59
5
10
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
4
10
3
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
0
10
10
5
10
g=2
g=2.4
g=2.8
g=3.2
g=3.4
4
10
3
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
do fator de escalonamento polinomial (m) e geométrico (g) diferentes. Tanto
para o perfil polinomial (em cima), quanto para o geométrico (embaixo),
N P M L = 6 e KP M L = 1.
0
10
60
5
10
4
10
3
10
−12
10
KPML=1
KPML=2
KPML=3
KPML=4
KPML=5
KPML=6
KPML=7
KPML=8
KPML=9
KPML=10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
0
10
Pefil geométrico da PML na direção longitudinal
5
10
4
10
3
10
−12
10
KPML=1
KPML=2
KPML=3
KPML=4
KPML=5
KPML=6
KPML=7
KPML=8
KPML=9
KPML=10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
da parte real da variável de expansão (KP M L) diferentes. No perfil polinomial
(em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em
0
10
61
4.3
CFS-PML na Direção Longitudinal
4.3.1
Validação
Para validar o modelo 2D FVM com CFS-PML na direção longitudinal,
considera-se o mesmo guia de ondas coaxial sem perdas terminado com PML
utilizado na seção anterior. Sendo assim, para a validação do modelo que utiliza
CFS-PML terminando o guia, o único parâmetro que varia na Tabela 4.1 é o
valor de αzmax , que passa a assumir valores diferentes de zero na CFS-PML.
A Figura 4.14 apresenta a distribuição do campo elétrico ao longo
da direção longitudinal do guia coaxial terminado por CFS-PML. Nesta
simulação, assume-se αzmax = 10−5 , que é um valor menor que ωϵo . Observa-se
uma concordância excelente entre a solução numérica e a solução analítica. O
erro é melhor observado na Figura 4.15, que mostra um zoom nas regiões onde
a intensidade de campo é mais elevada. Neste caso o erro não excede a 0,10%.
Na região onde o campo é praticamente constante, o erro observado é menor
que 0,23%. A convergência do método BICGST AB foi obtida após 125 (perfil
polinomial) e 104 (perfil geométrico) iterações, levando aproximadamente 5
segundos para terminar a simulação. Enquanto o método GM RES levou 3
segundos aproximadamente para convergir após 60 (perfil polinomial) e 58
(perfil geométrico) iterações.
Em seguida, realiza-se a mesma simulação mas agora utilizando αzmax =
10−3 , ou seja, um valor maior ωϵo . A Figura 4.16 apresenta os resultados desta
simulação. Nota-se que os dois métodos iterativos convergiram para resultados
bastante discrepantes da solução analítica. Isto deve-se ao fato de que no limite
ω ≪ αzmax /ϵo , a condutividade da CFS-PML não oferece atenuação adicional
para a estrutura.
4.3.2
De forma análoga ao que foi realizado no estudo da PML, para estudar
a variação do COEF N em relação ao COEF quando a CFS-PML está
incorporada ao domínio, considera-se o mesmo cenário utilizado na validação.
Sendo assim, com exceção dos dados que variam em cada simulação, os valores
iniciais são idênticos aos apresentados na Tabela 4.1.
Tendo em vista que a CFS-PML apresenta um parâmetro a mais em
relação a PML, αzmax , aqui são realizadas duas simulações para estudar a
influência deste no COEF N .
62
1.2
Polinomial − BICGSTAB
Geométrica − BICGSTAB
Polinomial − GMRES
Geométrica − GMRES
1
|E|(V/m)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
500
1000
1500
z(m)
guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFS-PML cilíndrica na
a convergência. Os parâmetros da CFS-PML são: número de camadas da CFSPML igual a N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial igual a m = 2 e
fator de escalonamento geométrico igual a g = 3, 2 e αzmax = 10−5 .
Inicialmente, analisa-se o comportamento do COEFN em função do
COEF variando αzmax . A Figura 4.17 apresenta os resultados desta simulação.
Como esperado, para valores de αzmax > ωϵo , a CFS-PML não absorve a
onda e, portanto, apresenta valores de COEF N elevados. Em ambos os perfis
(polinomial e geométrico), para αzmax < 10−4 , a CFS-PML apresenta o mesmo
nível de absorção que a PML convencioanl (αzmax = 0). Há uma pequena
diferença entre valores de COEF N quando αzmax = 10−4 , entretanto esta
diferença não é significativa, pois os valores permanecem na mesma ordem
de grandeza.
Em seguida, fixa-se o valor de COEF em COEF = 10−6 , variando
os valores de αzmax e KP M L. Esses dois parâmetros influenciam na parte
real da variável complexa de expansão. Cabe ressaltar que na validação,
para αzmax = 10−5 , os valores de COEF N obtidos foram 6, 7617 × 10−4 e
1, 7663 × 10−3 , para os perfis polinomial e geométrico, respectivamente.
63
0.769
0.768
|E|(V/m)
0.767
0.766
0.765
0.764
0.763
150
200
250
300
350
z(m)
400
450
500
550
1
0.95
|E|(V/m)
0.9
0.85
0.8
0.75
640
660
680
700
720
740
z(m)
760
780
800
820
longitudinal de guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFSPML cilíndrica na direcão z. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador
ILU para acelerar a convergência. Região onde o campo elétrico apresenta um
840
64
1.2
1
|E|(V/m)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
500
1000
1500
z(m)
a convergência. Os parâmetros da PML são: número de camadas da CFS-PML
igual a N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial igual a m = 2 e fator
de escalonamento geométrico igual a g = 3, 2 e αzmax = 10−3 .
A Figura 4.18 mostra a variação do COEF N em relação ao αzmax
para valores de KP M L diferentes. Observa-se que para ambos os perfis e
αzmax > 10−4 , o COEF N não varia com o KP M L e, como esperado, apresenta
valores de COEFN elevados. O COEFN não apresentou variação em função
de αzmax e KPML no perfil polinomial. Contudo, no perfil geométrico, para
αzmax ≤ 10−4 , há uma pequena variação do COEF N em função do KP M L.
As Tabelas 4.7 e 4.8 apresentam a convergência dos métodos iterativos
em função de αzmax e KP M L. Observa-se que, novamente, o método GM RES
mostrou ter desempenho melhor comparado ao BICGST AB em ambos os
perfis. Além disso, o método BICGST AB não convergiu em alguns casos
quando o perfil polinomial foi utilizado.
65
Perfil polinomial da CFS−PML na direção longitudinal
0
10
−1
10
−2
10
αmax=1e−2
αmax=1e−3
−3
αmax=1e−4
10
αmax=1e−5
αmax=1e−6
αmax=0
−4
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
0
10
10
Perfil geométrico da CFS−PML na direção longitudinal
0
10
−1
10
α
=1e−2
max
−2
10
αmax=1e−3
α
=1e−4
max
αmax=1e−5
αmax=1e−6
α
10
−12
10
=0
max
−3
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
para diferentes valores de α, utilizando o método BICGSTAB. No perfil
g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6 e KP M L = 1.
0
10
66
0
10
−1
10
−2
10
KPML=1
KPML=2
KPML=3
KPML=4
KPML=5
KPML=6
KPML=7
KPML=8
KPML=9
KPML=10
−3
10
−4
10
−7
10
−6
10
−5
10
−4
10
Alfa Máximo
−3
10
−2
−1
10
10
0
10
−1
10
−2
10
KPML=1
KPML=2
KPML=3
KPML=4
KPML=5
KPML=6
KPML=7
KPML=8
KPML=9
KPML=10
−3
10
−4
10
−7
10
−6
10
−5
10
−4
10
Alfa Máximo
−3
10
−2
10
Figura 4.18: αzmax X coeficiente de reflexão numérico para diferentes valores da
parte real da variável de expansão (KPML), utilizando o método BICGSTAB.
No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico
−1
10
67
função do αzmax , considerando COEF = 10−6 e KP M L = 1.
ITERAÇÕES GM RES
αzmax
Polinomial
Geométrico
Polinomial
Geométrico
0
106
96
60
60
10−6
112
100
60
60
−5
10
109
107
61
60
10−4
—
97
64
60
−3
10
—
108
72
62
10−2
82
91
61
61
função do KP M L, considerando COEF = 10−6 e αzmax = 10−4 .
ITERAÇÕES GM RES
KP M L
Polinomial
Geométrico
Polinomial
Geométrico
1
—
97
64
60
2
625
97
63
60
3
419
124
62
60
4
—
112
62
60
5
233
117
62
60
6
146
122
62
61
7
151
96
61
61
8
121
110
61
61
9
116
104
60
61
10
112
118
60
61
4.3.3
Para realizar o estudo do número de condição (CN) quando a CFS-PML
está terminando um guia coaxial sem perdas na direção longitunial, os mesmos
dados iniciais do estudo da PML convencional são utilizados, excetuando-se
os parâmetros que variam em cada simulação. Esses dados estão listados na
Tabela 4.6. Os parâmetros que vão variar nas simulações apresentadas nesta
seção são: αzmax e KP M L.
valores de αzmax diferentes. Observa-se que para αzmax ≤ 10−4 , o CN não
68
apresenta variação. Quando αzmax = 10−2 , nota-se redução de uma ordem
de grandeza no CN em comparação ao valor obtido no estudo da PML
convencional. Entretanto, como visto anteriormente na Figura 4.17, o valor
do COEF N é elevado neste caso.
A Figura 4.20 ilustra a variação do CN em relação ao αmax para valores
de KP M L diferentes. Observa-se que para αzmax ≤ 10−4 , o CN não depende
de KP M L. Além disso, observa-se que o CN apresenta um comportamento
aleatório para αzmax ≥ 10−4 . Entretanto, para esses valores de αzmax a CFSPML não está oferencendo níveis adicionais de absorção da onda e, portanto,
os menores CN obtidos nesta região não são utilizáveis.
4.4
Comparação entre PML e CFS-PML na Direção Longitudinal
Nas seções anteriores, PML e CFS-PML foram analisadas separadamente
em função dos seus parâmetros. Aqui, realiza-se um estudo comparativo entre
PML e CFS-PML em função da frequência. Os dados iniciais das simulações
a seguir estão apresentados na Tabela 4.6, excetuando-se aqueles que variam
em cada simulação.
A Figura 4.21 mostra o CN em função da frequência para valores da
condutividade do meio (σ) diferentes. A faixa de frequências de operação das
ferrramentas de perfilagem LWD é de 100 kHz a 4 MHz, sendo 2 MHz a
frequência comercial. Observa-se que ambas, PML e CFS-PML, apresentam
o mesmo CN na frequência comercial da ferramenta. Tal comportamento é
verificado também na faixa de frequência mais alta da ferramenta. Entretanto,
para frequências mais baixas, a PML apresenta valores de CN mais baixo que
a CFS-PML. Nota-se também um comportamento análogo quando σ = 0 na
faixa de frequências mais alta, que é devido aos efeitos da discretização uma vez
que o tamanho da célula neste caso é calculado em função do comprimento de
onda. Quando o meio tem perdas, o tamanho da célula é calculado em função
da constante de penetração (skin depth) que é bem menor que o comprimento
de onda.
69
6
10
αmax=1e−2
αmax=1e−3
αmax=1e−4
αmax=1e−5
αmax=1e−6
5
10
αmax=0
4
10
3
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
0
10
10
αmax=1e−2
5
10
αmax=1e−3
αmax=1e−4
αmax=1e−5
αmax=1e−6
αmax=0
4
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
Figura 4.19: Coeficiente de reflexão teórico X número de condição para
diferentes valores de αzmax . No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2,
enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6
e KP M L = 1.
0
10
70
6
10
5
10
4
10
3
10
−7
10
KPML=1
KPML=2
KPML=3
KPML=4
KPML=5
KPML=6
KPML=7
KPML=8
KPML=9
KPML=10
−6
10
−5
10
−4
10
Alfa Máximo
−3
10
−2
10
−1
10
Perfil geométrico da CFS−PML na direção logitudinal
6
10
5
10
4
10
3
10
−7
10
KPML=1
KPML=2
KPML=3
KPML=4
KPML=5
KPML=6
KPML=7
KPML=8
KPML=9
KPML=10
−6
10
−5
10
−4
10
Alfa Máximo
−3
10
−2
10
Figura 4.20: αzmax X número de condição para diferentes valores da parte real
da variável de expansão (KPML). No perfil polinomial (em cima) utiliza-se
m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos,
N P M L = 6.
−1
10
71
Perfil polinomial da PML e da CFS−PML na direção longitudinal
10
10
com PML / σ=0
com PML / σ=0.0005
com PML / σ=0.001
com CFS−PML / σ=0
com CFS−PML / σ=0.0005
sem PML / σ=0
sem PML / σ=0.0005
sem PML / σ=0.001
8
10
6
10
4
10
2
10
0
10
−1
10
0
1
10
Frequência (MHz)
10
Perfil geométrico da PML e da CFS−PML na direção longitudinal
10
10
com PML / σ=0
com PML / σ=0.0005
com PML / σ=0.001
sem PML / σ=0
sem PML / σ=0.0005
sem PML / σ=0.001
8
10
6
10
4
10
2
10
0
10
−1
10
0
10
Frequência (MHz)
Figura 4.21: Frequência X número de condição para diferentes valores da
condutividade da PML (σ). No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2,
enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6,
KP M L = 1 e αmax = 10−4 .
1
10
72
Tabela 4.9: Dados de entrada da validação do método FVM terminado com a
100
80
Sim
Não
8
2
3,2
1
51
35
Célula do ponto de observação em ρ
5
Célula do ponto de observação em z
41
5m
1,5 m
0
10−6
αmax
0
4.5
PML na Direção Radial
4.5.1
Validação
Para validar o modelo 2D FVM com PML na direção radial, novamente
o algoritmo é aplicado a um guia de ondas coaxial sem perdas mas agora
terminado com uma PML na direção ρ. Tal geometria é conhecida como guia
de ondas coaxial radial. Os resultados numéricos são comparados com soluções
analíticas. A geometria do problema está mostrada nas Figuras 4.22 e 4.23.
Os dados iniciais utilizados na simulação estão na Tabela 4.9.
direção radial do guia em questão. Nesta simulação, utiliza-se os métodos GMRES e BICGSTAB sem pré-condicionamento. Para fins de comparação, dois
perfis de escalonamento para a condutividade da PML são utilizados: polinomial e geométrico. Assim como na validação da PML longitudinal, no caso da
PML radial, o método GMRES também conseguiu convergir para o resultado
correto após 1.319 e 1.066 iterações, para perfis polinomial e geométrico respectivamente. A simulação levou 292 segundos aproximadamente. Entretanto, o
método BICSTAB não teve o mesmo êxito e convergiu para o resultado errado
após 161 (polinomial) e 120 (geométrico) iterações. Neste caso, a simulação
levou 1 segundo apenas para terminar.
73
Figura 4.22: Modelo computacional bidimensional (2D) com PML na direção
radial.
Figura 4.23: Cortes transversal e longitudinal do modelo bidimensional (2D)
com PML na direção radial.
Em seguida, realiza-se a mesma simulação, mas utilizando o précondicionador ILU em conjunto com os métodos iterativos na solução do sistema linear. A Figura 4.25 mostra a distribuição de campo elétrico ao longo da
direção radial. Nesta simulação, inclui-se a resposta da distribuição do campo
quando a PML não está incorporada ao domínio. Nota-se que na ausência
da PML, a distribuição do campo elétrico apresenta um comportamento estacionário, como esperado. No caso onde a PML termina o guia, o erro entre
as soluções numérica e analítica é praticamente desprezível. Os dois métodos
74
convergiram, sendo o BICSTAB após 47 (polinomial) e 34 (geométrico) iterações, com um tempo de processamento de 1,6 segundo aproximadamente.
Já o GMRES convergiu após 34 (polinomial) e 33 (geométrico) iterações em
aproximadamente 1,8 segundo. Como esperado, o número de iterações e o
tempo de processamento foram reduzidos em comparação a simulação sem o
pré-condicionador ILU.
A Figura 4.26 ilustra um zoom em duas regiões do domínio: região
próxima da fonte e região onde o campo é praticamente constante.
4.5.2
Para estudar a variação do coeficiente de reflexão numérico, considera-se
o mesmo cenário utilizado na validação. Para fins de cálculo do COEF N , os
campos são amostrados no intervalo 350m ≤ ρ ≤ 450m. Sendo assim, com
exceção dos dados que variam em cada simulação, os dados de entrada são
idênticos aos utilizados na validação e apresentados na Tabela 4.9. Aqui são
feitas três análises, cada uma variando um dado parâmetro da PML, são eles:
o número de camadas da PML (NPML), o fator de escalonamento do perfil
polinomial (m) e do geométrico (g) e a parte real da variável de expansão
(KPML). Cabe ressaltar que na validação os valores obtidos para o COEF N
foram 6, 3656 × 10−2 e 6, 3300 × 10−2 , para os perfis polinomial e geométrico,
respectivamente.
As Figuras 4.27 e 4.28 mostram a variação do COEF N em relação ao
COEF para valores de N P M L diferentes. Utiliza-se na solução do sistema
de equações lineares o método BICGSTAB+ILU e o método GMRES+ILU,
respectivamente. São apresentados os resultados tanto para o perfil polinomial
quanto para o geométrico. Pode-se concluir para ambos os perfis que para
N P M L > 2, o COEF N independe do número de camadas da PML (N P M L)
e do coeficiente de reflexão teórico (COEF ). Além disso, nota-se que para
perfis de escalonamento iguais, os métodos iterativos apresentaram resultados
idênticos. Por isso, daqui para frente os resultados serão apresentados somente
para o método BICGSTAB+ILU, visando reduzir o número de resultados
repetidos.
A Figura 4.29 apresenta a variação do COEF N em relação ao COEF
para valores de m e de g diferentes.
75
18
16
14
|E|(V/m)
12
10
8
6
4
2
0
0
50
100
150
200
250
ρ(m)
300
350
400
450
Figura 4.24: Distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial de um
guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na direção
ρ. Os métodos iterativos não utilizam pré-condicionamento. Os parâmetros da
PML são: número de camadas da PML - N P M L = 8, fator de escalonamento
polinomial - m = 2 e fator de escalonamento geométrico - g = 3, 2.
Para ambos os perfis, o COEF N independe do fator de escalonamento.
Além disso, para COEF ≤ 10−3 , a ordem de grandeza do COEF N se mantém
de acordo com os valores obtidos na validação.
A Figura 4.30 apresenta o COEF N em função do COEF para valores
de KP M L diferentes. De forma análoga à analise dos outros parâmetros da
PML, o COEF N não é influenciado pela variação do KP M L. E, novamente,
para COEF ≤ 10−3 , o valor do COEF N se mantém inalterado, assumindo
sempre um valor semelhante ao da validação.
Uma análise sobre a convergência dos métodos iterativos, para os estudos realizados nessa seção, é apresentada nas Tabelas 4.10, 4.11 e 4.12 para
COEF = 10−6 . Observa-se nos três casos que, quando o perfil geométrico
é utilizado, BICGST AB e GM RES convergem praticamente com o mesmo
número de iterações. Entretanto, com o perfil polinomial, uma pequena variação no número de iterações é observada.
500
76
160
Sem PML
140
120
|E|(V/m)
100
80
60
40
20
0
0
50
100
150
200
250
ρ(m)
300
350
400
450
Figura 4.25: Distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial de
um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica
na direção ρ. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para
acelerar a convergência. Os parâmetros da PML são: número de camadas da
PML - N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial - m = 2 e fator de
escalonamento geométrico - g = 3, 2.
500
77
10
Sem PML
9
8
7
|E|(V/m)
6
5
4
3
2
1
0
250
300
350
ρ(m)
400
450
500
18
Sem PML
16
14
|E|(V/m)
12
10
8
6
4
2
0
0
50
100
ρ(m)
150
200
Figura 4.26: Zoom da distribuição do campo elétrico ao longo da direção radial
de um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma PML cilíndrica na
direção ρ. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador ILU para acelerar
a convergência. Região onde o campo elétrico apresenta um comportamento
constante (em cima) e região mais próxima da fonte (embaixo).
250
78
Perfil polinomial da PML na direção radial
0
10
−1
10
NPML=2
NPML=4
NPML=6
NPML=8
NPML=10
−2
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
0
10
10
Perfil geométrico da PML na direção radial
0
10
−1
10
NPML=2
NPML=4
NPML=6
NPML=8
NPML=10
−2
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
o BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no
0
10
79
0
10
−1
10
NPML=2
NPML=4
NPML=6
NPML=8
NPML=10
−2
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
0
10
10
0
10
−1
10
NPML=2
NPML=4
NPML=6
NPML=8
NPML=10
−2
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
o GMRES. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no
0
10
80
0
10
−1
10
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
−2
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
0
10
10
0
10
−1
10
g=2
g=2.4
g=2.8
g=3.2
g=3.4
−2
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
para valores do fator de escalonamento polinomial (m) e geométrico (g)
diferentes, utilizando o BICGSTAB. Em ambos os casos, N P M L = 6 e
KP M L = 1.
0
10
81
0
10
KPML=1
KPML=2
KPML=3
KPML=4
KPML=5
KPML=6
KPML=7
KPML=8
KPML=9
KPML=10
−1
10
−2
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
0
10
0
10
KPML=1
KPML=2
KPML=3
KPML=4
KPML=5
KPML=6
KPML=7
KPML=8
KPML=9
KPML=10
−1
10
−2
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
para valores da parte real da variável de expansão (KPML) diferentes, utilizando o BICGSTAB. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6.
0
10
82
Tabela 4.10: Convergência dos métodos iterativos BICGST AB e GM RES
em função do número de camadas da PML (N P M L). O coeficiente de reflexão
teórico utilizado é COEF = 10−6 .
ITERAÇÕES BICGSTAB ITERAÇÕES GMRES
NPML Polinomial
Geométrico
Polinomial
Geométrico
2
48
36
36
35
4
38
36
36
35
6
43
35
37
35
8
47
35
37
35
10
42
34
37
35
em função dos parâmetros m e g. O coeficiente de reflexão teórico utilizado é
COEF = 10−6 .
ITERAÇÕES GMRES
m Polinomial
g
Geométrico
m Polinomial
g
Geométrico
1
45
2
42
1
37
2
37
2
43
2,4
37
2
37
2,4
37
3
38
2,8
37
3
37
2,8
35
4
39
3,2
35
4
37
3,2
35
5
34
3,4
36
5
35
3,4
36
função de KP M L. O coeficiente de reflexão teórico utilizado é COEF = 10−6 .
ITERAÇÕES BICGSTAB ITERAÇÕES GMRES
KPML Polinomial
Geométrico
Polinomial
Geométrico
1
43
35
37
35
2
51
39
37
36
3
43
37
37
36
4
41
38
36
36
5
38
36
37
36
6
37
35
37
36
7
36
36
37
37
8
39
35
36
37
9
37
35
37
37
10
39
37
36
37
83
4.5.3
Como dito anteriormente, o objetivo deste trabalho é estudar a
degradação do número de condição (CN ) da matriz do sistema quando PMLs
são incorporadas ao modelo computacional. Entretanto, cabe observar que o
estudo do CN deve ser realizado em conjunto com o estudo do coeficiente de
reflexão numérico da PML (COEF N ) de forma a assegurar que a PML esteja oferecendo níveis de absorção satisfatórios. A Tabela 4.13 lista os valores
iniciais utilizados para as simulações que seguem. Os parâmetros que variam
em cada simulação serão mencionados no texto. Analogamente ao estudo do
COEF N , aqui serão realizadas três análises: variando N P M L, m/g e KP M L.
Tabela 4.13: Dados de entrada utilizados nas simulações do estudo do número
de condição com a PML introduzida na direção radial.
50
50
Sim
Não
6
2
3,2
1
25
25
7,5 m
1,5 m
0
αmax
10−6
0
A Figura 4.31 apresenta o CN em função do COEF para valores do
N P M L diferentes. Para o perfil polinomial, observa-se que quanto maior
o número de camadas, menor o número de condição, contudo a ordem de
grandeza deste não varia. Já no perfil geométrico, para N P M L > 2, o número
de camadas não interfere no número de condição.
valores de m e de g diferentes. Observa-se para o perfil polinomial que
quanto menor o valor de m, menor o número de condição. Contudo, a ordem
84
de grandeza do CN não modifica. No perfil geométrico, nota-se que g não
influencia no CN .
A Figura 4.33 apresenta a variação do CN em relação ao COEF para
valores de KP M L diferentes. Em ambos os perfis, observa-se que o CN
varia (embora não significativamente) em função do KP M L para valores mais
elevados de COEF .
Cabe ressaltar que nos três estudos descritos acima, o CN aumenta com
o decréscimo de COEF . Tal comportamento é indesejável, pois apesar das
reflexões diminuirem, o condicionamento do problema piora.
85
6
10
NPML=2
NPML=4
NPML=6
NPML=8
NPML=10
5
10
4
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
0
10
10
6
10
NPML=2
NPML=4
NPML=6
NPML=8
NPML=10
5
10
4
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
do número de camadas da PML (N P M L) diferentes. No perfil polinomial (em
cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos
os casos, KP M L = 1.
0
10
86
6
10
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
5
10
4
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
0
10
10
6
10
g=2
g=2.4
g=2.8
g=3.2
g=3.4
5
10
4
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
do fator de escalonamento polinomial (m) e geométrico (g) diferentes. Tanto
para o perfil polinomial (em cima), quanto para o geométrico (embaixo),
N P M L = 6 e KP M L = 1.
0
10
87
6
10
5
10
4
10
−12
10
KPML=1
KPML=2
KPML=3
KPML=4
KPML=5
KPML=6
KPML=7
KPML=8
KPML=9
KPML=10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
0
10
6
10
5
10
4
10
−12
10
KPML=1
KPML=2
KPML=3
KPML=4
KPML=5
KPML=6
KPML=7
KPML=8
KPML=9
KPML=10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
da parte real da variável de expansão (KP M L) diferentes. No perfil polinomial
(em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em
0
10
88
4.6
CFS-PML na Direção Radial
4.6.1
Validação
Para validar o modelo 2D FVM com CFS-PML na direção radial,
considera-se o mesmo guia utilizado no estudo realizado na seção anterior.
Sendo assim, para validação do modelo que utiliza CFS-PML terminando um
guia de ondas coaxial radial, o único parâmetro que varia na Tabela 4.9 é o
valor de αρmax .
direção radial do guia coaxial radial terminado por CFS-PML. Nesta simulação, assume-se αρmax = 10−5 , que é um valor menor que ωϵ0 . Observa-se uma
concordância excelente entre a solução numérica e a solução analítica. O erro
é melhor observado na Figura 4.35, que mostra um zoom em duas regiões do
domínio: região próxima da fonte, onde a intensidade do campo é mais elevado
e região onde o campo é praticamente constante. Na região próxima a fonte, o
erro não excede a 0,08%. Na região onde o campo é praticamente constante,
o erro é menor que 0,15%. A convergência do método BICGST AB foi obtida
após 50 (polinomial) e 37 (geométrico) iterações. O método GM RES, por sua
vez, convergiu após 35 (polinomial) e 33 (geométrico) iterações. O tempo de
processamento dos dois métodos foi semelhante, levando aproximadamente 2
segundos para convergir.
Em seguida, realiza-se a mesma simulação mas agora utilizando αρmax =
10−3 , ou seja, um valor maior que ωϵ0 . A Figura 4.36 apresenta os resultados
desta simulação. Nota-se que os dois métodos iterativos convergiram para
valores discrepantes da soluação analítica. Isto deve-se ao fato de que no limite
ω ≪ αρmax /ϵ0 , a condutividade da CFS-PML não oferece atenuação adicional
para a estrutura.
4.6.2
De foma análoga ao que foi realizado no estudo da PML, para estudar a
variação do COEFN em relação ao COEF quando a CFS-PML está incorporada ao domínio, considera-se o mesmo cenário utilizado na validação. Sendo
assim, com exceção dos dados que variam em cada simulação, os valores iniciais
são idênticos aos apresentados na Tabela 4.9.
89
18
16
14
|E|(V/m)
12
10
8
6
4
2
0
0
50
100
150
200
250
ρ(m)
300
350
400
450
a convergência. Os parâmetros da CFS-PML são: número de camadas da CFSPML - N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial - m = 2 e fator de
escalonamento geométrico - g = 3, 2 e αmax = 10−5 .
Tendo em vista que a CFS-PML apresenta um parâmetro a mais em
relação a PML, αρmax , aqui são realizadas duas simulações para estudar a
influência deste no COEF N .
Inicialmente, analisa-se o comportamento do COEF N em função do
COEF variando αρmax . A Figura 4.37 apresenta os resultados dessa simulação.
Como esperado, para valores de αρmax > ωϵ0 , a CFS-PML não absorve a
onda e, portanto, apresenta valores de COEF N elevados. Em ambos os perfis
(polinomial e geométrico), para αρmax ≤ 10−4 , a CFS-PML apresenta o mesmo
nível de absorção que a PML convencional (αρmax = 0).
Em seguida, fixa-se o valor de COEF em COEF = 10−6 , variando os
valores de αρmax e KP M L. Esses dois parâmetros influenciam na parte real
da variável complexa de expansão. Cabe ressaltar que na validação, para
αρmax = 10−5 , os valores obtidos para o COEF N foram 6, 3648 × 10−2 e
6, 3300 × 10−2 , para os perfis polinomial e geométrico, respectivamente.
500
90
10
9
8
7
|E|(V/m)
6
5
4
3
2
1
0
250
300
350
ρ(m)
400
450
500
18
16
14
|E|(V/m)
12
10
8
6
4
2
0
0
50
100
ρ(m)
150
200
radial de um guia de ondas coaxial sem perdas terminado por uma CFSPML cilíndrica na direção ρ. Os métodos iterativos utilizam pré-condicionador
ILU para acelerar a convergência. Regiões onde o campo elétrico apresenta um
250
91
A Figura 4.38 mostra a variação do COEF N em relação ao αρmax
para valores de KP M L diferentes. Observa-se que para ambos os perfis e
αρmax ≤ 10−4 , o COEF N não varia com KP M L. Para αρmax > 10−4 , há uma
pequena variação do COEF N em função do KP M L.
As Tabelas 4.14 e 4.15 apresentam a convergência dos métodos iterativos
em função de αρmax e KP M L. Os dois métodos mostraram convergência
semelhante.
18
16
14
|E|(V/m)
12
10
8
6
4
2
0
0
50
100
150
200
250
ρ(m)
300
350
400
450
a convergência. Os parâmetros da CFS-PML são: número de camadas da CFSPML - N P M L = 8, fator de escalonamento polinomial - m = 2 e fator de
escalonamento geométrico - g = 3, 2 e αmax = 10−3 .
500
92
Perfil polinomial da CFS−PML na direção radial
0
10
−1
10
αmax=1e−2
α
=1e−3
α
=1e−4
max
max
αmax=1e−5
α
=1e−6
α
=0
max
max
−2
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
0
10
10
Perfil geométrico da CFS−PML na direção radial
0
10
−1
10
αmax=1e−2
α
=1e−3
α
=1e−4
max
max
αmax=1e−5
α
=1e−6
α
=0
max
max
−2
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
para valores de αρmax diferentes, utilizando o método BICGSTAB. No perfil
g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6 e KP M L = 1.
0
10
93
0
10
−1
10
KPML=1
KPML=2
KPML=3
KPML=4
KPML=5
KPML=6
KPML=7
KPML=8
KPML=9
KPML=10
−2
10
−7
10
−6
10
−5
10
−4
10
Alfa Máximo
−3
10
−2
−1
10
10
0
10
−1
10
KPML=1
KPML=2
KPML=3
KPML=4
KPML=5
KPML=6
KPML=7
KPML=8
KPML=9
KPML=10
−2
10
−7
10
−6
10
−5
10
−4
10
Alfa Máximo
−3
10
−2
10
Figura 4.38: αρmax X coeficiente de reflexão numérico para diferentes valores da
parte real da variável de expansão (KPML), utilizando o método BICGSTAB.
No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto no geométrico
−1
10
94
em função de αρmax , considerando COEF = 10−6 e KP M L = 1.
ITERAÇÕES GMRES
α
Polinomial
Geométrico
Polinomial Geométrico
10−2
35
32
34
34
10−3
34
36
36
36
−4
10
43
40
38
35
10−5
48
35
37
35
−6
10
48
39
37
35
0
43
35
37
35
em função de KP M L, considerando COEF = 10−6 e αρmax = 10−4
KPML Polinomial
ITERAÇÕES GMRES
Geométrico
Polinomial
Geométrico
1
43
40
38
35
2
42
40
37
36
3
44
40
37
36
4
55
37
37
36
5
40
33
37
36
6
39
37
37
36
7
38
40
37
36
8
39
40
37
36
9
35
40
37
36
10
36
38
37
36
95
4.6.3
Para realizar o estudo do número de condição (CN) quando a CFS-PML
está terminando um guia coaxial sem perdas na direção radial, os mesmos
dados iniciais do estudo da PML convencional são utilizados, excetuando-se
os parâmetros que variam em cada simulação. Esses dados estão listados na
Tabela 4.13. Os parâmetros que vão variar nas simulações apresentadas nesta
seção são: αρmax e KP M L.
valores de αρmax diferentes. Observa-se que para αρmax ≤ 10−4 , o CN decai
com o aumento do COEF mas se mantém superior aos valores para αρmax >
10−4 . Entretanto, para αρmax > 10−4 (valores de CN mais baixos), foi visto
anteriormente que o COEF N é elevado.
A Figura 4.40 apresenta o CN em função do COEF para valores de
KP M L diferentes. Observa-se que para αρmax ≤ 10−4 , o CN não depende de
KP M L. Além disso, nota-se que o CN apresenta um comportamento aleatório
para αρmax > 10−4 . Entretanto, para esses valores de αρmax , a CFS-PML não
está oferecendo níveis adicionais de absorção da onda e, portanto, os menores
CN obtidos nesta região não são utilizáveis.
4.7
Comparação entre PML e CFS-PML na Direção Radial
Nas seções anteriores, PML e CFS-PML foram analisadas separadamente
em função dos seus parâmetros. Aqui, realiza-se um estudo comparativo entre
elas em função da frequência. Os dados iniciais das simulações a seguir estão
apresentados na Tabela 4.13, excetuando-se aqueles que variam em cada
simulação.
A Figura 4.41 apresenta o CN em função da frequência para valores da
condutividade do meio (σ) diferentes. A faixa de frequência das ferramentas
de perfilagem LWD é de 100 kHz a 4 MHz, sendo 2 MHz a frequência
comercial. Observa-se que ambas, PML e CFS-PML, apresentam o mesmo
CN na frequência comercial da ferramenta. Tal comportamento também é
verificado na faixa de frequências mais alta. Entretanto, para frequências mais
baixas, a PML apresenta valores de CN mais baixos que a CFS-PML. Nota-se
também um comportamento aleatório quando σ = 0 na faixa de frequências
mais alta que é devido aos efeitos da discretização.
96
6
10
αmax=1e−2
αmax=1e−3
αmax=1e−4
αmax=1e−5
αmax=1e−6
αmax=0
5
10
4
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
0
10
10
6
10
αmax=1e−2
αmax=1e−3
αmax=1e−4
αmax=1e−5
αmax=1e−6
αmax=0
5
10
4
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
−4
10
10
−2
10
de αρmax diferentes. No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2, enquanto
no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6 e
KP M L = 1.
0
10
97
6
10
5
10
4
10
−7
10
KPML=1
KPML=2
KPML=3
KPML=4
KPML=5
KPML=6
KPML=7
KPML=8
KPML=9
KPML=10
−6
10
−5
10
−4
10
Alfa Máximo
−3
10
−2
10
−1
10
6
10
5
10
4
10
−7
10
KPML=1
KPML=2
KPML=3
KPML=4
KPML=5
KPML=6
KPML=7
KPML=8
KPML=9
KPML=10
−6
10
−5
10
−4
10
Alfa Máximo
−3
10
−2
10
Figura 4.40: αρmax X número de condição para diferentes valores da parte real
da variável de expansão (KPML). No perfil polinomial (em cima) utiliza-se
m = 2, enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos,
N P M L = 6.
−1
10
98
Perfil polinomial da PML e da CFS−PML na direção radial
12
10
com PML / σ=0
com PML / σ=0.0005
com PML / σ=0.001
sem PML / σ=0
sem PML / σ=0.0005
sem PML / σ=0.001
10
10
8
10
6
10
4
10
2
10
−1
10
0
1
10
Frequência (MHz)
10
Perfil geométrico da PML e da CFS−PML na direção radial
12
10
com PML / σ=0
com PML / σ=0.0005
com PML / σ=0.001
sem PML / σ=0
sem PML / σ=0.0005
sem PML / σ=0.001
10
10
8
10
6
10
4
10
2
10
−1
10
0
10
Frequência (MHz)
Figura 4.41: Frequência X número de condição para diferentes valores da
condutividade da PML (σ). No perfil polinomial (em cima) utiliza-se m = 2,
enquanto no geométrico (embaixo) g = 3, 2. Em ambos os casos, N P M L = 6,
KP M L = 1 e αρmax = 10−4 .
1
10
5
Conclusões
Neste trabalho foi analisada a degradação do número de condição da
matriz resultante da discretização das equações de Maxwell pelo método
dos volumes finitos (FVM) quando camadas perfeitamente casadas (PML)
são utilizadas como condição de contorno absorventes (ABC) em estruturas
coaxiais. O estudo do número de condição foi realizado em conjunto com o
estudo do coeficiente de reflexão da PML para assegurar níveis de absorção da
onda satisfatórios.
Para realizar as análises propostas, o modelo bidimensional (2D) do FVM
desenvolvido em [7] é modificado, incorporando ao domínio computacional
PMLs cilíndricas nas direções longitudinal e radial.
Dois perfis de atenuação da PML foram estudados: polinomial e geométrico. As análises foram realizadas variando o número de camadas da PML,
os coeficientes dos perfis, os parâmetros da PML e o coeficiente de reflexão
teórico.
Além disso, a Complex Frequency Shifted-Perfectly Matched Layer (CFSPML) também foi analisada com o objetivo de avaliar qual o tipo de PML que
apresenta um condicionamento melhor para um dado nível de absorção.
Para fins de comparação, dois métodos iterativos foram implementados
e testados: método dos gradientes biconjugados estabilizados (Bi-CGSTAB) e
método generalizado dos mínimos resíduos(GMRES). Ambos, BI-CGSTAB e
RGMRES, apresentaram convergência semelhante. Em alguns casos, o RGMRES apresentou desempenho superior.
Observa-se que, em ambas as direções (radial e longitudinal), PML e
CFS-PML apresentam o mesmo CN na frequência comercial da ferramenta
de perfilagem LWD (Logging-while-drilling). Tal comportamento é verificado
também na faixa de frequência mais alta. Entretanto, para frequências mais
baixas, a PML apresenta valores de CN mais baixo que a CFS-PML.
Em todos os casos considerados, os dois tipos de PML apresentaram
desempenho semelhante em termos de absorção da onda e do número de
condição da matriz do sistema. Cabe observar que a medida que o coeficiente de
reflexão aumenta o número de condição diminui em todos os casos estudados.
Capítulo 5. Conclusões
100
Embora a PML tenha sido aplicada com grande sucesso em métodos no
domínio do tempo, em especial no método das diferenças finitas no domínio
do tempo (FDTD), sua utilização como ABC em métodos no domínio da
frequência ainda é limitada. A inclusão da PML no domínio computacional
aumenta significativamente o número de condição da matriz do sistema e
consequentemente deteriora a convergência dos métodos iterativos utilizados
na solução do sistema. Portanto, a menos que uma PML bem condicionada
seja desenvolvida, a utilizacão de PMLs em simulações tridimensionais (3D)
de larga escala é limitada.
Em termos de trabalhos futuros, sugere-se o desenvolvimento de précondicionadores específicos para sistemas lineares oriundos da discretização
das equações de Maxwell quando PMLs são incorporadas nas extremidades do
domínio computacional.
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House, 1998.
A
Artigos publicados
Neste apêndice encontra-se a lista de publicações decorrentes da pesquisa
realizada durante a presente dissertação de mestrado.
Artigos em Periódicos
1. A. P. M. Lima and M. S. Novo, “A comparative Analysis of Cylindrical
CFS-PML ABC for Finite Volume Simulations in the Frequency Domain”, Journal of Microwaves, Optoelectronics and Electromagnetic Applications, accepted for publication.
Artigos em Congressos
1. A. P. M. Lima and M. S. Novo,“Analysis of Cylindrical CFS-PML ABC
for 2-D Finite Volume Simulations in the Frequency Domain”, SBMO /
IEEE-MTTS International Microwave and Optoelectronics Conference IMOC 2013, Rio de Janeiro, RJ, Brazil, 4 a 7 de agosto, 2013.
2. A. P. M. Lima and M. S. Novo,“Performance of Cylindrical CFS-PML in
the Frequency Domain: A Study of Radial CFS-PML in Coaxial Structures”, SBMO / IEEE-MTTS International Microwave and Optoelectronics Conference - IMOC 2013, Rio de Janeiro, RJ, Brazil, 4 a 7 de agosto,
2013.
3. A. P. M. Lima and M. S. Novo, “Desempenho de PML cilíndricas no
domínio da frequência: um estudo de PML radial em estruturas coaxiais”,
XIV Simpósio Brasileiro de Microondas e Optoeletrônica & IX Congresso
Brasileiro de Eletromagnetismo, João Pessoa, PB, Brasil, 5 a 8 de agosto,
2012.

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Transcrição

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