Aula 1. Simetria

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Aula 1. Simetria
Biologia Estrutural
Simetria
Prof. Dr. Walter Filgueira de Azevedo Jr.
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© 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.
Resumo
Características dos Cristais
Características dos Cristais de Proteínas
Elementos de Simetria
Rede, Retículo e Empacotamento Cristalino
Eixos e Ângulos Interaxiais
Sistemas Cristalinos
Centragens
Retículos de Bravais
Grupos Espaciais
Referências
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Características dos Cristais
1)
2)
3)
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Rígidos
Transparentes (a maioria)
Com arestas bem definidas
Características dos Cristais
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Características dos Cristais de
Proteínas
1)
2)
3)
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Frágeis
Transparentes (a maioria)
Com arestas bem definidas
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Características dos Cristais de
Proteínas
Muitos cristais refletem na sua
simetria externa aspectos da simetria
da
molécula
cristalizada.
A
manifestação da simetria da molécula,
a nível macroscópico, permite, muitas
vez, inferir aspectos biológicos sobre
a macromolécula cristalizada. No
caso ao lado temos um cristal da
Purina
Nucleosídeo
Fosforilase
humana, a molécula é trimérica e
vemos claramente um eixo de
simetria de ordem 3 ao longo do
cristal.
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Características dos Cristais de
Proteínas
1)
2)
3)
Fragilidade mecânica, devido às ligações que estabilizam o cristal. Nos
cristais de pequenas moléculas as ligações que estabilizam o empacotamento
cristalino normalmente são iônicas, nos cristais de macromoléculas
biológicas essas ligações são do tipo ligação de hidrogênio;
Alto conteúdo de solvente. Os cristais de macromoléculas biológicas
apresentam alto conteúdo de solvente, se comparados com cristais de
pequenas moléculas, tal conteúdo de solvente permite que ligantes possam
difundir-se pelo retículo cristalino, permitindo o estudo de complexos entre
proteínas e ligantes, bem como a preparação de derivados isomorfos.
Fragilidade a danos causados por radiação. A exposição de cristais de
proteínas a radiações ionizantes, como raios X, leva à quebra de ligações e a
geração de radicais livres no retículo cristalino, que podem quebrar as frágeis
ligações de hidrogênio que estabilizam o cristal.
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Elementos de Simetria
1) Rotação
2) Espelho
3) Centro de inversão
4) Roto-translação
5) Glide
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Rotação
Eixo de ordem n → rotação de 360°/n onde n é a ordem do eixo, onde n pode ser
2, 3, 4, 6 (para cristais).
Eixo de ordem 2, rotação de 180°
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Eixo de Ordem 2
2
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Eixo de Ordem 3
3
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Eixo de Ordem 3
3
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Eixo de Ordem 4
4
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Eixo de Ordem 6
6
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Rotação
(x,y,z)
y
x
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Rotação
-x
-y
(-x,-y,z)
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Rotação
x’ = -x
y’ = -y
z’ = z
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Matriz Rotação
R
=
cos θ
- sen θ
0
sen θ
cos θ
0
0
1
0
x’
y’
z’
=
cos θ
- sen θ
0
sen θ
cos θ
0
0
1
0
x
y
z
X’ = RX
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Simetria Espelho
plano yz
-x
x
m
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Centro de Inversão
plano yz
(x,y,z)
(-x,-y,-z)
1
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Centro de Inversão
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Eixo de Roto-translação
plano yz
(x+1/2,-y,-z)
x
(x,y,z)
21
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Eixo de Roto-translação
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Eixo de Roto-translação
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Eixo de Roto-translação
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Simetria Glide
plano yz
-x
x
m
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Classes de Simetria
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Por que não há eixo de ordem 5 em
cristais?
B’
C’
2π/n
2π/n
a
A
a
B
C
B’C’ = ma
AD = ka
m e k são inteiros
D
B’C’ = AD -2a cos ( 2π/n )
ma = ka – 2a cos (2π/n ) => m = k – 2 cos (2π/n ) => cos (2π/n ) =
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k–m
2
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a
2π/n
a
2π/n
k–m
2
k–m
2π/n
cos
(
)
=
n = 2 =>
2
k–m
n = 3 => cos (2π/n ) =
2
k–m
2π/n
)=
n = 4 => cos (
2
k–m
2π/n
cos
(
)
=
n = 5 =>
2
k–m
2π/n
cos
(
)
=
n = 6 =>
2
n = 1 => cos (2π/n ) =
k–m
cos (2π/n ) =
2
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= 1 (possível)
= -1 (possível)
= -1/2 (possível)
= 0 (possível)
~
= 0,309 (impossível)
= 1/2 (possível)
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Rede Cristalina
Rede= construção matemática
Base de átomos= entidade física
Rede
+
Base de átomos
=
Cristal
Rede+base de átomos=
Rede cristalina
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Retículo Cristalino
Retículo= construção matemática
Base de átomos= entidade física
Retículo+base de átomos=
Retículo cristalino
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Empacotamento Cristalino
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Empacotamento Cristalino
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Eixos e Ângulos Interaxiais
α ângulo entre b e c
β ângulo entre a e c
γ ângulo entre a e b
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Sistemas Cristalinos
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Sistemas Cristalinos
Sistema cristalino
Relação entre ângulos e eixos
Triclínico
Nenhuma
Monoclínico
α=β=90°≠ γ
α=γ=90°≠ β
a≠b≠c (eixo c único)
a≠b≠c (eixo b único)
Ortorrômbico
α=β=γ=90°
a≠b≠c
Tetragonal
α=β=γ=90°
a=b≠c
Hexagonal
α=β=90°, γ=120°
Trigonal
α=β=γ<90°
a=b=c
Cúbico
α=β=γ=90°
a=b=c
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a=b≠c
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Centragens
Os sistemas cristalinos descritos anteriormente
permitem a inclusão de pontos no retículo
cristalino, além dos constantes dos vértices da
figura. Para que um ponto possa ser
considerado como pertencente ao retículo, fazse necessário que ele tenha igual vizinhança.
Usando-se tal critério podemos preencher o
espaço tridimensional das seguintes formas: 1)
corpo centrado (I), um ponto no centro da
diagonal de corpo do retículo. 2) Face
centrada (F), um ponto no centro da face.
c
b
a
Primitiva
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Centragens
1/2a, 1/2b, 1/2c
c
c
b
b
a
Primitiva
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a
Corpo centrado (I)
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Centragens
1/2b, 1/2c
c
c
b
b
a
Primitiva
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a
Face centrada (A )
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Centragens
c
c
b
b
a
Primitiva
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a
Toda as faces centradas (F)
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Centragens
1/2a, 1/2b, 1/2c
c
c
b
b
a
Primitiva
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a
Corpo centrado (I)
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Retículos de Bravais
Fonte: http://www.chemsoc.org/ExemplarChem/entries/2003/bristol_cook/latticetypes.htm
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Grupos espaciais
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Grupos espaciais
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Grupos Espaciais para Proteínas
Sistema
Classe
Símbolos dos grupos espaciais
Triclínico
1
P1
Monoclínico
2
P2, P21, C2
Ortorrômbico
222
C222, P222, P212121, P21212, P2221, C2221,
F222,
I222, I212121
Tetragonal
Trigonal
Hexagonal
Cúbico
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4
P4, P41, P42, P43, I4, I41
422
3
P422, P4212, P4122, P41212, P4222, P42212,
P43212,
P4322, I422, I4122
P3, P31, P32, R3
32
P312, P321, P3121, P3112, P3212, P3221, R32
6
P6, P65, P64, P63, P62, P61
622
P622, P6122, P6222, P6322, P6422, P5622
23
P23, F23, I23, P213, I213
432
P432, P4132, P4232, P4332, F432, F4132,
I432, I4132
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Referências
Drenth, J. (1994). Principles of Protein X-ray Crystallography. New York:
Springer-Verlag.
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© Dr. Walter F. de Azevedo Jr.
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