TÍTULO TODO EM LETRAS MAIÚSCULAS NO ESTILO

ESTUDO DE PERTURBAÇÕES EM ÓRBITAS AO REDOR DO ASTEROIDE 216 KLEOPATRA UTILIZANDO MODELO
DE POLIEDROS
FLAVIANE C. F. VENDITTI1, EVANDRO M. ROCCO1, ANTONIO F. B. A. PRADO1.
1. Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, Divisão de Mecânica Orbital e Controle
E-mails: [email protected], [email protected], [email protected]
Abstract This work is a study of orbits around irregular shaped bodies. In the solar system there are many bodies orbiting the
Sun called asteroids. These objects don’t have a symmetric distribution of mass, which makes the gravitational field around
them to act different from orbits around spherical bodies. Besides the irregularity of the shape, asteroids have rotation, what
makes the dynamics of orbits even more perturbed. Several initial orbital elements are covered for a vehicle orbiting an asteroid.
With the purpose of searching for very close orbits, on the collision boundary, and very distant orbits, on the limit of escaping
the sphere of influence of the gravitational field of the asteroid, many combinations of initial orbital elements are tested and analyzed.
Keywords orbit dynamics, asteroids, perturbation.
Resumo Este trabalho é um estudo de órbitas ao redor de corpos com formas irregulares. No sistema solar existem inúmeros
corpos ao redor da órbita do Sol denominados asteroides. Estes objetos possuem distribuição de massa assimétrica, o que faz
com que o campo gravitacional ao seu redor atue diferente de órbitas ao redor de corpos esféricos. Além da forma irregular, os
asteroides possuem rotação, o que torna a dinâmica da órbita mais perturbada ainda. É realizada uma varredura dos elementos
orbitais inicias para se colocar um veículo espacial ao redor de um asteroide. Com finalidade de fazer uma busca por órbitas
muito próximas, no limite de colisão, e órbitas muito distantes, no limite de escape da esfera de influência do campo gravitacional do asteroide, uma série de combinações de elementos orbitais iniciais são testados e analisados.
Palavras-chave dinâmica orbital, asteroides, perturbação.
1
Introdução
O sistema solar possui uma grande quantidade de
corpos com formas assimétricas. Esses corpos são os
asteroides, cometas e até mesmo satélites naturais de
planetas. Grande parte dos asteroides está localizada
entre as órbitas de Marte e Júpiter. Existem também
os asteroides troianos, localizados nos pontos Lagrangeanos de Jupiter, os Centauros, com órbitas
instáveis entre Jupiter e Netuno (JPL, NASA).
Pequenos corpos com perihélio menor que 1.3
UA são chamados de Near Earth Objects (NEOs),
que incluem asteroides e cometas. Os NEOs possuem
órbitas passando próximas da órbita da Terra, e no
caso dos asteroides, são chamados de Near Earth
Asteroids (NEAs). Dentro do grupo dos NEAs existem os asteroides considerados potencialmente perigosos, ou PHAs, sigla em inglês. Estes possuem distância mínima de interseção da órbita com a Terra de
0.05 UA, e magnitude absoluta 22, que significaria
um asteroide de pelo menos 110-240 metros, dependendo do seu albedo, que é a taxa de reflexão de luz.
Neste trabalho, o asteroide é modelado por meio
do método dos poliedros, que fornece uma precisão
muito boa da forma irregular do corpo. Através desse
modelo é possível simular órbitas ao redor do asteroide e, assim, obter um conjunto de órbitas possíveis, de acordo com o objetivo desejado.
2 Modelagem de corpos não esféricos
2.1 Método dos Poliedros
Modelar corpos irregulares não é uma tarefa
simples devido à complexidade da distribuição de
massa destes corpos. Existem abordagens diferentes
para o estudo do potencial gravitacional dos asteroides, e desde o século XIX já se conhecem estudos do
potencial gravitacional do paralelepípedo (Everest,
1830). Existem trabalhos sobre a modelagem analítica do potencial gravitacional, como por exemplo,
estudos para algumas formas geométricas planas desenvolvidos por Kellogg (1929) e Broucke (1995).
Também estudos das propriedades das órbitas ao
redor de objetos retangulares foram desenvolvidos
(Broucke & Prado, 2004).
Para se aproximar de modo mais preciso da
forma real do asteroide foram desenvolvidos trabalhos que tratam do potencial de corpos tridimensionais por meio do método de poliedros (Werner,
1994).
O potencial gravitacional pelo método dos poliedros é expresso como a soma de finitos termos associados a faces e vértices. A formulação analítica para
o potencial e atração do modelo de poliedros pode
ser definida pelas equações (1) e (2), respectivamente
de acordo com Werner & Scheeres (1996):
U
1
1
G  re E e re Le  G  rf Ff rf w f
e

edge
f  faces
2
2
U  G  Ee re Le  G  Ff rf w f
eedge
f  faces
(1)
(2)
, onde ρ é a densidade do asteroide, re o vetor de
qualquer ponto da aresta e até r, e rf o vetor de qualquer ponto da face até r.
Ff e Ee são definidos por (3) e (4) respectivamente:
^
^
Ff  nf  nf
^
^
(3)
^
^
Ee  n f  n e  n f'  n e
f
f'
(4)
Le é o fator adimensional que soma as conexões das arestas dos poliedros:
ri  r j  eij
1
Le   ds  ln
r
ri  r j  eij
e
Figura 2. Face x-z de Kleopatra
(5)
, onde ri e rj são as distâncias do centro do corpo até
a extremidade de uma aresta e.
Para uma face triangular unida pelos vértices Pi, Pj, Pk, o termo adimensional wf em cada face
é calculado pela equação (6):
wf  2 arctan
Figura 1. Face x-y de Kleopatra
Figura 3. Face y-z de Kleopatra
3.2 Simulador
ri  rj  rk
ri  r j  rk  ri (rj  rk )  r j (rk  ri )  rk (ri  rj )
(6)
3 Metodologia
3.1 Shape Models utilizado
Através de observações de radar feitas pelo telescópio de Arecibo por Ostro el al. (2000) foi possível criar o modelo de poliedros para diversos asteroides considerando densidade constante (Neese, 2004).
O modelo utilizado para o asteroide (216) Kleopatra possui 2048 vértices e 4092 faces triangulares
(Ostro et al, 2004).
A força perturbadora devido à forma do asteroide é calculada pela soma das forças de cada face triangular do modelo.
As figuras 1, 2 e 3 representam as três vistas do
asteroide (216) Kleopatra usando o modelo com faces triangulares:
As simulações são realizadas utilizando o
modelo de faces descrito no item anterior. A forma
que o campo gravitacional é gerado por este corpo
será a soma das forças de cada face dos triângulos do
modelo de poliedros. Uma órbita de referência não
perturbada, com campo gravitacional central que
resulta em uma órbita kepleriana, é utilizada para
meio de comparação com a órbita perturbada devido
à assimetria do asteroide.
O movimento orbital pode ser simulado
resolvendo a equação de Kepler para cada passo da
simulação. Sendo assim, dado um estado inicial e um
intervalo de tempo, o estado pode ser transformado
em elementos Keplerianos, e utilizando a equação de
Kepler, os elementos podem ser propagados para
cada intervalo de tempo estipulado. Assim, os novos
elementos Keplerianos podem ser convertidos para o
novo estado (Rocco, 2006).
4 Resultados
O movimento orbital nas proximidades de
corpos irregulares normalmente é diferente do movimento de uma órbita kepleriana, isso devido aos efei-
tos de pressão de radiação solar, que afeta mais asteroides de massa muito pequena (Baoyin, 2013), gravidade do Sol, forma do corpo, e rotação do corpo.
Os efeitos da gravidade e rotação do asteroide
perturbam uma órbita ao seu redor mais intensamente
quando próximo a ele. Para órbitas distantes, o efeito
da pressão de radiação solar afeta mais.
De acordo com as condições iniciais, essas perturbações podem gerar trajetórias que escapam, colidem, ou que aos poucos tem a órbita alterada até o
impacto no corpo.
regra geral. No caso do modelo utilizado este raio é
de aproximadamente 115 km.
4.1 Órbitas possíveis próximas
A definição da proximidade máxima que um
veículo poderia chegar de um corpo pode ser definida
pelo raio médio (Scheeres, 2012). Este é o raio de
uma esfera de volume igual ao corpo irregular, sendo
este raio a média geométrica do menor e maior raio
do objeto. Este raio equivalente depende do volume
do asteroide, consequentemente da densidade, e é
dado por:
 3V 
R

 4 
1
3
(7)
, sendo V o volume, que é a razão da massa do asteroide por sua densidade, podemos escrever a equação
da forma:
 3M 
R  

 4 
1
3
(8)
Utilizando para o asteroide (216) Kleopatra
os valores para massa de 4,64±0,2x1021g, e a densidade de 3,6±0,4 g/cm3 (Descamps, 2011), este raio
médio, ou raio equivalente, é de 67,51 km.
Devido à peculiaridade da forma deste asteroide, a determinação de raio médio aproximado para
órbitas próximas possíveis através da equação (8)
não é aplicável para quaisquer condições iniciais.
Como pode ser visto na figura 4, órbitas próximas à
órbita polar de raio mínimo R são praticáveis, porém
para órbitas equatoriais este raio mínimo causaria
colisão com o asteroide.
Figura 5. Raio mínimo para órbita ao redor de Kleopatra
Ainda assim este raio mínimo está sujeito a
falhar dependendo das condições inicias, como por
exemplo, para órbitas muito excêntricas.
Considerando somente o efeito da gravidade
e rotação do asteroide, podemos calcular de forma
aproximada a região do raio de órbita síncrona rs
(Scheeres, 2004):
13
 T 2 

r s  4 2 
(9)
, onde µ é o parâmetro de massa do asteroide, e T o
período de rotação do asteroide.
Para o asteroide Kleopatra, que possui período de rotação de 5,385 horas, e massa de
4,64±0,2x1021g, o valor do raio de órbita síncrona rs
é de 143,38km.
Devido à distribuição de massa dos asteroides, geralmente estes corpos possuem somente quatro
pontos específicos perto de rs em que realmente o
movimento é síncrono. Para a maioria dos asteroides
conhecidos esses pontos são instáveis, levando ao
impacto ou escape (Scheeres, 1996).
4.2 Órbitas possíveis distantes
O raio da órbita que delimita aonde a influência gravitacional do corpo orbitado passa a ser
menor que a influência gravitacional do Sol, pode ser
obtido pelo Raio de Hill, dado por:
1
 m 3
RHill  a(1  e)

 Ms 
Figura 4. Asteroide Kleopatra e raio médio em vermelho.
Para órbitas próximas evitando risco de colisão, considerar o limite máximo de aproximação
como sendo o maior raio do asteroide pode ser uma
(10)
, onde a é o semi-eixo maior, e a excentricidade, m a
massa do corpo sendo orbitado, e Ms a massa do corpo mais massivo.
No caso da excentricidade ser igual à zero, a
equação pode ser usada da forma:
1
 m 3
RHill  a

 Ms 
(11)
0.025
current
reference
0.02
eccentricity
O raio de Hill pode ser usado como critério
para delimitar a esfera de influência do asteroide orbitado. Quando o raio da órbita é maior que o raio de
Hill, pode ser considerado que o satélite escapa da
órbita do asteroide.
Para o asteroide (216) Kleopatra, o raio de
Hill calculado é de 28.890,340 km. Ou seja, a aproximadamente 29.000 km, um satélite passaria a estar
predominantemente sujeito à atração gravitacional do
Sol, e não mais a do asteroide.
0.015
0.01
0.005
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
time (s)
4
x 10
Figura 8. Excentricidade em 1000 órbitas ao redor de Kleopatra
no plano equatorial.
1.003
4.3 Gráficos
1.002
inclination (deg)
1.001
1
0.999
current
reference
0.998
0.997
0
0.5
1
1.5
2
2.5
time (s)
4
x 10
Figura 9. Inclinação em 1000 órbitas ao redor de Kleopatra no
plano equatorial.
80.15
right ascencion of ascending node (deg)
Diversas simulações foram realizadas para testar
o comportamento de um veículo ao redor de um asteroide.
A seguir são mostradas simulações para o asteroide (216) Kleopatra para órbitas muito próximas.
Foi considerada rotação no eixo z com período de
5,385 horas, semi-eixo maior inicial de 115km, excentricidade 0, ascensão reta do nodo ascendente de
80o, argumento do periapside de 72o, anomalia média
de 113o, e inclinação variando em dois valores: 1o,
90o. Os elementos orbitais iniciais são mostrados nos
gráficos em cor magenta para comparação, e em azul
a variação dos elementos ao longo das órbitas. Para a
órbita polar, também foi feito simulações para excentricidade igual a 0,6.
A seguir são mostrados gráficos para órbita
equatorial:
current
reference
80.1
80.05
80
79.95
79.9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
time (s)
4
x 10
Figura 10. Ascensão reta do nodo ascendente em 1000 órbitas ao
redor de Kleopatra no plano equatorial.
400
current
reference
350
perigee argument (deg)
300
250
200
150
100
50
0
Figura 6. Órbita equatorial próxima ao redor de Kleopatra.
5
1.1507
current
reference
1.1506
0
0.5
1
1.5
time (s)
2
2.5
4
x 10
Figura 11. Argumento do periapside em 1000 órbitas ao redor de
Kleopatra no plano equatorial.
x 10
1.1505
semi-major axis(m)
1.1504
1.1503
1.1502
1.1501
1.15
1.1499
1.1498
1.1497
1.1496
0
0.5
1
1.5
time (s)
2
2.5
4
x 10
Figura 7. Semi-eixo maior em 1000 órbitas ao redor de Kleopatra
no plano equatorial.
As figuras 7 a 11 mostram, durante 1000
órbitas ao redor de Kleopatra, o semi-eixo maior,
excentricidade, inclinação, ascensão reta do nodo
ascendente e argumento do periapside.
As figuras 13 a 17 mostram a variação nos
elementos orbitais ao longo de 1000 órbitas para uma
órbita polar:
400
350
perigee argument (deg)
300
250
200
current
reference
150
100
50
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
time (s)
4
x 10
Figura 17. Argumento do periapside em 1000 órbitas ao redor de
Kleopatra para órbita polar.
Figura 12. Órbita próxima polar ao redor de Kleopatra.
A seguir, são mostrados nas figuras de 18 a
22, os elementos orbitais para órbita polar, com excentricidade igual a 0,6.
5
1.1507
x 10
5
1.151
current
reference
1.1506
1.1505
x 10
1.15
1.1503
semi-major axis(m)
semi-major axis(m)
1.1504
1.1502
1.1501
1.15
1.149
1.148
1.147
1.1499
1.1498
1.146
1.1497
1.1496
current
reference
0
0.5
1
1.5
2
1.145
2.5
time (s)
4
0
0.5
1
2
2.5
time (s)
x 10
Figura 13. Semi-eixo maior em 1000 órbitas ao redor de Kleopatra
para órbita polar.
1.5
4
x 10
Figura 18. Semi-eixo maior em 1000 órbitas ao redor de Kleopatra
para órbita polar com excentricidade inicial 0,6.
0.025
0.601
current
reference
current
reference
0.6005
0.02
eccentricity
eccentricity
0.6
0.5995
0.015
0.01
0.599
0.5985
0.598
0.005
0.5975
0
0
0.5
1
1.5
2
0.597
2.5
time (s)
4
Figura 14. Excentricidade em 1000 órbitas ao redor de Kleopatra
para órbita polar.
2
2.5
4
x 10
current
reference
90.002
90.001
90.001
inclination (deg)
inclination (deg)
1.5
90.003
current
reference
90
89.999
90
89.999
89.998
89.998
0
0.5
1
1.5
2
89.997
2.5
time (s)
4
80.15
80
79.95
1.5
time (s)
2
1.5
2
2.5
4
x 10
Figura 16. Ascensão reta do nodo ascendente em 1000 órbitas ao
redor de Kleopatra para órbita polar.
2.5
4
x 10
Figura 20. Inclinação em 1000 órbitas ao redor de Kleopatra para
órbita polar com excentricidade inicial 0,6.
right ascencion of ascending node (deg)
80.05
1
1
80.15
80.1
0.5
0.5
time (s)
current
reference
0
0
x 10
Figura 15. Inclinação em 1000 órbitas ao redor de Kleopatra para
órbita polar.
right ascencion of ascending node (deg)
1
Figura 19. Excentricidade em 1000 órbitas ao redor de Kleopatra
para órbita polar com excentricidade inicial 0,6.
90.002
79.9
0.5
time (s)
90.003
89.997
0
x 10
current
reference
80.1
80.05
80
79.95
79.9
0
0.5
1
1.5
time (s)
2
2.5
4
x 10
Figura 21. Ascensão reta do nodo ascendente em 1000 órbitas ao
redor de Kleopatra para órbita polar e excentricidade inicial 0,6.
400
current
reference
350
perigee argument (deg)
300
250
200
150
100
50
0
0
0.5
1
1.5
2
time (s)
2.5
4
x 10
Figura 22. Argumento do periapside em 1000 órbitas ao redor de
Kleopatra para órbita polar com excentricidade inicial 0,6.
5 Conclusão
Foi realizado um estudo da perturbação gerada na órbita de um veículo espacial devido à irregularidade do corpo orbitado. Um modelo de poliedros
do asteroide (216) Kleopatra foi utilizado, sendo que
o modelo é formado por 2048 vértices e 4092 faces
triangulares, que representa com boa precisão a forma deste asteroide. As simulações foram feitas considerando órbita próxima equatorial, polar, e polar
com excentricidade diferente de zero.
Testes para órbitas muito distantes (no limite da
esfera de influência do asteroide), e órbitas próximas
desconsiderando rotação, não mostraram variação
significativa comparada com as simulações apresentadas.
Os gráficos gerados mostram o desvio na órbita
devido à forma irregular do asteroide em azul, sendo
a linha magenta os dados inicias para comparação.
Considerando rotação no eixo z, para excentricidade
igual à zero a órbita polar sofre menor desvio que a
equatorial na maioria dos elementos orbitais. Em
relação à inclinação, apesar do desvio sofrido ser
cíclico, ele é maior para órbita polar.
Comparando os gráficos de órbita polar é possível notar que, para excentricidade inicial 0,6, ocorre
uma variação muito maior no semi-eixo maior (que
teve escala estendida em comparação aos de excentricidade zero), excentricidade e inclinação, do que
quando a excentricidade inicial é nula. Enquanto a
excentricidade e semi-eixo maior tendem a diminuir
para a órbita polar muito excêntrica, para excentricidade nula tende a aumentar, mas em grau bem menor.
Os resultados obtidos são importantes para se
aplicar no estudo de controle de órbitas ao redor de
corpos irregulares. Quando se deseja manobrar um
veículo ao redor de um corpo com forma não esférica
é fundamental levar em consideração os efeitos que a
distribuição de massa não uniforme irá gerar, principalmente em órbitas próximas ao corpo.
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