1. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA VETORIAL

21
C APÍTULO 3
D INÂMICA DA P ARTÍCULA : T RABALHO E E NERGIA
Neste capítulo será analisada a lei de Newton numa de suas formas
integrais, aplicada ao movimento de partículas. Define-se o conceito de trabalho e
energia cinética e através da integração da lei de Newton ao longo da trajetória do
movimento podemos relacionar as forças aplicadas num intervalo de tempo com a
variação da velocidade.
3.1
T RABALHO R EALIZADO POR UMA FORÇA
O conceito de trabalho como definido na Mecânica da partícula está
relacionado à ação de forças aplicadas na direção do movimento. Numa forma
diferencial, o trabalho U de uma força F é dado por
dU
(3.1)
F dr
A Figura 3.1 ilustra as grandezas envolvidas nesta definição. Logo
dU
F cos ds
(3.2)
Podemos observar que
dU
F cos ds
0 quando 0
dU
F cos ds
0 quando
dU
F cos ds
0 quando 90
90
90
180
22
F
ds
dr
r’
P
r
S
Figura 3.1 - Elementos da definição de trabalho de uma força.
Logo, a partir de (3.1) e (3.2), o trabalho U de uma força F durante o movimento
que vai da posição r 1 até a posição r 2 é uma grandeza escala dada por
U1
r2
2
r1
F dr
s2
s1
(3.3)
F cos ds
Observe que o trabalho de uma força constante F C , ao longo de uma trajetória
retilínea, é dado por
U1
r2
2
r1
FC dr
FC cos
s2
s1
ds
FC cos ( s2
(3.4)
s1 )
FC
s
s
s1
s2
Figura 3.2 - Trabalho de uma força constante.
O trabalho da força peso W, sendo y a direção vertical, é dado por
U1
ou seja
r2
2
r1
F dr
r2
r1
( W j ) (dx i dy j dz k )
(3.5)
23
U1
y2
2
y1
Wdy W ( y1
(3.6)
y2 ) W y
y
P
r1
r2
W
x
z
Figura 3.3 - Trabalho da força-peso W.
O trabalho da força de uma mola linear aplicada a uma partícula P que se desloca
ao longo do eixo x pode ser obtido a partir de:
U1
x2
2
(3.7)
Fm dr
x1
O modelo linear de força de mola estabelece que sua intensidade é proporcional ao
seu deslocamento x, quando x = 0 corresponde à posição de mola livre. Assim a
força sobre uma mola de constante elástica k possui a forma kx. Aplicada sobre a
partícula P esta força tem sinal contrário ao deslocamento x. Portanto, a força de
mola sobre a partícula P é dada por
Fm
(3.8)
kx
Logo
U1
3.2
x2
2
x1
k x dx
1
k ( x12
2
x22 )
(3.9)
PRINCÍPIO DO T RABALHO E E NERGIA
Considere agora a lei de Newton dada pela equação do movimento, aplicada
a uma partícula P de massa m:
24
F
(3.10)
ma
Vamos calcular o trabalho da força resultante, num movimento desta
partícula entre duas posições r 1 e r 2 , com t 2 > t 1 :
r2
F dr
r1
r2
r1
(3.11)
ma dr
Nesta equação, como o processo de integração é linear, então:
r2
r1
F dr
r2
r1
(3.12)
ma dr
ou seja
U1
r2
2
r1
(3.13)
ma dr
Aplicando a relação cinemática diferencial a dr
U1
v2
2
v1
v dv em (3.13) obtemos
mv dv
(3.14)
Realizando a integração do lado direito da igualdade (3.14) obtemos
U1
v2
2
v1
mv dv
1 2
mv2
2
1 2
mv1
2
(3.15)
Definindo a energia cinética de uma partícula de massa m como
T
1 2
mv
2
(3.16)
e aplicando em (3.15), obtemos o princípio do trabalho e energia para uma
partícula P, da seguinte forma
U1
2
T2 T1
(3.17)
ou
T1
U1
2
T2
(3.18)
25
3.3
PRINCÍPIO DO T RABALHO E E NERGIA : S ISTEMAS DE PARTÍCULAS
Vamos estender o princípio do trabalho e energia para um sistema de
partículas. Seja um sistema formado por n partículas, cada uma de massa m i .
Aplicando (3.18) para a i-ésima partícula
T1i
U (1
(3.19)
T2i
2)i
Somando para todas a i partículas do sistema resulta:
T1i
U (1
2)i
(3.20)
T2i
ou, de forma compacta
(3.21)
T1
U1
T1
1
mi v12i é a energia cinética do sistema no instante 1
2
T2
1
mi v22i é a energia cinética do sistema no instante 2
2
2
T2
onde
U1
r2 i
2
r1i
f i dri
r2 i
r1 i
Fi dri é o trabalho do sistema.
Para a definição do trabalho do sistema entre as posições iniciais e finais, foi usada
a notação f para forças internas e F para forças externas ao sistema. Deve-se notar
que em determinadas condições, o trabalho total das forças internas é nulo: isto
ocorre quando todas as partículas têm igual deslocamento (translação) e as
conexões entre elas são rígidas. Estas condições são satisfeitas, por exemplo, para
o caso de corpos rígidos em translação.
Observamos que a equação (3.21) é igual a (3.18), mas cada um de seus
termos tem definição diferente, como visto nesta seção.
26
3.4
POTÊNCIA E E FICIÊNCIA
A potência é definida com a taxa de variação do trabalho por unidade de
tempo, ou seja
dU
dt
P
(3.22)
Aplicando (3.1) em (3.22), resulta
F dr
dt
P
F v
(3.23)
Um conceito prático utilizado em engenharia é o da eficiência, às vezes
denominado rendimento. Define-se, num sistema mecânico, a eficiência mecânica
como o quociente entre a potência de saída e a potência de entrada.
PS
PE
(3.24)
A potência de entrada, em geral, é aquela fornecida pelos motores que acionam o
sistema. Podem ter várias fontes de energia, sendo a energia elétrica muit o
utilizada. A potência de saída é a responsável pelo trabalho que se deseja realizar
com o sistema. Se o sistema for considerado ideal, este quociente é igual a 1, pois
não há perda de energia. Entretanto, nos sistemas reais a eficiência é sempre menor
que 1, pois sempre há perda de energia mecânica ao se realizar um trabalho.
3.5
FORÇAS C ONSERVATIVAS E E NERGIA POTENCIAL
Chamamos forças conservativas aquelas cujo trabalho realizado entre duas
posições não depende da trajetória do movimento. Para a aplicação neste curso
vamos destacar duas forças conservativas: a força peso e a força de mola. Como
visto anteriormente em (3.6), o trabalho da força peso é dado por
U1
2
W ( y1
y2 ) W y
(3.25)
27
Definimos a energia potencial gravitacional como
Vg
(3.26)
Wy
onde y é a posição vertical da partícula em relação a um plano referencial
escolhido arbitrariamente como plano de potencial nulo. Neste caso, podemos
calcular o trabalho realizado pela força peso, qualquer que seja a trajetória entre as
posições 1 e 2, através de
U1
2
V1 g V2 g
(3.27)
De forma semelhante, como visto em (3.9), o trabalho da força de mola é dado por
U1
2
1
k ( x12
2
x22 )
(3.28)
Definimos a energia potencial elástica como
1 2
kx
2
Ve
(3.29)
onde x é a deformação mola em relação à posição de força nula. Neste caso,
podemos calcular o trabalho realizado pela força de mola, qualquer que seja a
trajetória entre as posições 1 e 2, através de
U1
2
V1e V2e
(3.30)
Podemos definir a energia potencial como
V
Vg Ve
(3.31)
Há outras forças conservativas, geradas por campos elétricos, energia
química, etc. Entretanto para os estudos que faremos neste texto, a definição dada
28
em (3.31) é suficiente. Portanto o trabalho total realizado por forças conservativas
pode ser calculado por
U1
3.6
2
(3.32)
V1 V2
PRINCÍPIO DO T RABALHO E E NERGIA : S ISTEMAS C ONSERVATIVOS
O princípio do trabalho e energia, dado em (3.18), pode ser modificado
quando todas as forças atuantes numa partícula são forças conservativas. Neste
caso, combinando (3.18) e (3.32), obtemos
T2
(3.33)
T1 V1 T2 V2
(3.34)
T1 V1 V2
ou
Esta igualdade é conhecida como a conservação da energia mecânica. È uma forma
particular do princípio do trabalho e energia para sistemas conservativos. Nestes
casos a soma das energias cinética e potencial é constante ao longo do tempo, ou
T
V
C
d (T V )
dt
ou
0
(3.35)
onde C é uma constante. Observe-se que, para casos gerais onde há forças
conservativas e forças não conservativas, o princípio geral dado por (3.18) pode
ser escrito como
T1 V1
U1
2
(3.36)
T2 V2
nc
onde
U1
2
é a soma de todos os trabalhos das forças não conservativas.
nc
Para um sistema de partículas sujeito apenas à atuação de forças
conservativas, uma extensão de (3.34) pode ser escrita como
T1
V1
T2
V2
(3.37)