tangram: recurso alternativo para uma possível redução da rejeição

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FACULDADE ALFREDO NASSER
INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO
CURSO DE MATEMÁTICA
TANGRAM: RECURSO ALTERNATIVO PARA UMA POSSÍVEL
REDUÇÃO DA REJEIÇÃO À GEOMETRIA
REGINALDO ALVES SOBRINHO
APARECIDA DE GOIÂNIA
2010
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REGINALDO ALVES SOBRINHO
TANGRAM: RECURSO ALTERNATIVO PARA UMA POSSÍVEL
REDUÇÃO DA REJEIÇÃO À GEOMETRIA
Monografia apresentada ao Instituto Superior de
Educação da Faculdade Alfredo Nasser, sob
orientação do Prof.ª Esp. Kelen Michela Silva
Alves, como parte dos requisitos para a conclusão
do curso de matemática.
APARECIDA DE GOIÂNIA
2010
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FOLHA DE AVALIAÇÃO DA PRODUÇÃO DO TRABALHO
TANGRAM: RECURSO ALTERNATIVO PARA UMA POSSÍVEL
REDUÇÃO DA REJEIÇÃO À GEOMETRIA
Aparecida de Goiânia ____ de Dezembro de 2010.
EXAMINADORES
Orientadora – Prof.ª Esp. Kelen Michela Silva Alves - Nota:_________/ 70
Primeiro examinador - Prof. ------------------------------------- Nota:_________/ 70
Segundo examinador - Prof.------------------------------------- Nota:_________/ 70
___________________________________________________________________
Média parcial - Avaliação da produção do Trabalho: ________/ 70
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Dedico esta pesquisa especialmente à
minha filha Júlia Alves, que apesar de
recém-nascida muitas vezes não pode
contar com minha presença durante este
período. À minha esposa Ariane Ferreira e
a minha mãe Vanilda Alves que além de
compreenderem
cotidianamente
minha
ausência, sempre me apoiaram e me
incentivaram com palavras motivadoras.
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AGRADECIMENTOS
À Deus primeiramente por sempre me dar saúde e sabedoria e por me fazer
sentir uma pessoa importante e privilegiada. À toda a minha família que apesar de
tantas vezes não poderem contar com a minha presença nas confraternizações
familiares, sempre entenderam e me motivaram. À professora Kelen Michela, minha
orientadora, pelos muitos momentos de convivência, de trocas, e sobretudo, pela
confiança e pelo respeito à minha produção. Ao professor Ronan Santana que muito
colaborou com a produção do projeto base para esta monografia.
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O conhecimento não é dado a priori; o
sujeito nasce com a possibilidade dele,
mas não nasce com ele. O conhecimento
é, por isso, trabalho ou construção.
Construção social, se considerarmos o
conhecimento acumulado (disponível) ou
produzido pelas pessoas de uma certa
sociedade. Construção individual, se
considerarmos que necessita ser refeito
pessoa por pessoa (...) o conhecimento,
nesse sentido, não é diretamente
transmissível.
(Marcelo Dornelles)
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO------------------------------------------------------------------------------------------------8
1 O DESENVOLVIMENTO DA GEOMETRIA E OS ASPECTOS EDUCACIONAIS-----12
2 O PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM E A UTILIZAÇÃO DO MATERIAL
MANIPULATIVO--------------------------------------------------------------------------------------------17
3 O TANGRAM-----------------------------------------------------------------------------------------22
3.1 Desenvolvimento da sequência didática---------------------------------------------24
3.1.1 Primeira atividade: Construção do Tangram----------------------------24
3.1.2 Segunda atividade: Construções livres-----------------------------------28
3.1.3 Terceira atividade: Sobreposição das peças em modelos dados--28
3.1.4 Quarta atividade: Análise da área do Tangram e construção de
quadrados com suas peças---------------------------------------------------------29
4 APLICAÇÃO E ANÁLISE DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA --------------------------------------32
5 CONCLUSÃO---------------------------------------------------------------------------------------------36
6 REFERÊNCIAS-------------------------------------------------------------------------------------------37
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INTRODUÇÃO
Há muito tempo, educadores convivem com um altíssimo índice de aversão a
matemática, por isso discutem-se questões que tem se tornado fundamental para
lidar com o fato de a disciplina em questão ser bastante rejeitada por alunos do
sistema educacional brasileiro. Abordaremos em nossa pesquisa uma proposta da
utilização de recurso alternativo, o Tangram, para reduzir essa rejeição
especialmente na geometria; Por termos a convicção de que a melhor forma para
diminuir o problema é indo onde ele possivelmente se inicia, buscaremos uma
possível intervenção entre alunos do 5º ano do ensino fundamental de uma escola
municipal de Goiânia.
Embora o estudo da disciplina tenha sido bastante prazeroso para alguns,
ainda existem muitos que persistem em demonstrar certo tipo de insatisfação, alguns
aspectos metodológicos podem ser melhorados, está claro que falta muito para se
aproximar de uma perfeição, e sabemos que sempre será possível adequar métodos
que possam desenvolver nos alunos uma maior satisfação em seus estudos.
Ainda que o ensino da geometria tenha progredido substancialmente, é
constantemente relatadas por alguns professores várias atitudes de repugnacão,
principalmente por alunos da educação básica. Sabemos que o professor tem papel
fundamental para o ensino, no entanto alguns estão desmotivados pela pouca
aceitação por parte dos alunos para com a disciplina. Mas, cabe a esses professores
buscarem através de pesquisas, métodos que possam proporcionar ao aluno uma
possível motivação, e o sentimento de prazer ao estudar conceitos geométricos.
Sabemos que é importante que o educador deixe explícito aos alunos a
extrema importância dos conhecimentos a serem adquiridos para o convívio no
cotidiano e para a formação Profissional de cada indivíduo. Assim estes alunos
darão continuidade em seus estudos com maior maturidade e aceitação para com a
matéria, obtendo assim um melhor desenvolvimento de sua aprendizagem
matemática, como a dos conceitos geométricos.
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A geometria é muito importante para a educação e é vivenciada por todos no
dia a dia, mesmo que não percebam, por isso deve também estar presente no
desenvolvimento do indivíduo pensante, pois harmoniza a aprendizagem de diversos
assuntos proporcionando uma superação de dificuldades que constantemente são
encontradas. Requer durante seu aprendizado um esforço individual, fazendo com
que todos desenvolvam a aprendizagem, através de seu próprio raciocínio, podendo
assim aprender com maior facilidade conceitos relacionados a outras áreas do
conhecimento. Segundo os PCN’s (1997, p.39), “a geometria é um campo fértil para
si trabalhar com situações problemas e é um tema pelo qual os alunos costumam se
interessar naturalmente”.
Apesar da extrema importância para a educação e para vida de cada
individuo muitas vezes a geometria não é abordada por alguns professores da rede
pública de ensino com a mesma importância de outras disciplinas, e até mesmo de
algumas escolas particulares. Segundo pesquisadores do CENPEC (centro de
pesquisas para educação e cultura), (2002, p.27):
Embora presente nos currículos de matemática, o ensino da geometria, de
modo geral, não é abordado pelos professores com a mesma importância
dada ao ensino da aritmética e da álgebra. No entanto aprender geometria é
realmente importante: através dela desenvolve-se um tipo especial de
pensamento que permite compreender, descrever e representar, de forma
organizada, o mundo em que vivemos.
É importante que esses professores pesquisem mais sobre a importância
desses estudos, e metodologias diferenciadas a serem trabalhadas para se adequar
sua formação em seu exercício de educador, e que os alunos se comprometam em
suas atividades para adquirir esses conhecimentos.
O problema é que o professor nem sempre tem acesso a fontes de pesquisas
destes aspectos pedagógicos com relação à matemática, segundo Borba (2006,
p.8), “embora a produção na área de Educação Matemática tenha crescido
substancialmente nos últimos anos, ainda é presente a sensação de que há falta de
textos voltados para professores e pesquisadores”.
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Portanto não é fácil para o professor, exigi muita dedicação, mas, porém, o
resultado é bastante satisfatório, pois o professor terá a sensação de dever cumprido
ao ver que seu trabalho tenha contribuído para uma melhoria no ensino da
geometria. Assim possivelmente contribuirá também para uma queda no índice da
rejeição, auxiliando os alunos para adquirirem conhecimentos com maior
naturalidade, desmistificando a teoria de que ela é difícil.
Quando isso não acontece, e o professor não cumpre o seu papel
adequadamente, muitas vezes os alunos vão para as séries seguintes rejeitando
ainda mais essas disciplinas. Portanto terá assim dificuldades de aprendizagem dos
conteúdos e acabam futuramente optando por profissões que não envolvam
conceitos algébricos e geométricos, e podem até mesmo passar esta rejeição para
seus filhos.
O índice de rejeição é muito preocupante para os educadores, o aluno muitas
vezes chega à escola com restrições para com a matéria. Quando chegam à sala de
aula para iniciar o ciclo escolar, levam experiências vivenciadas no ambiente
familiar, principalmente quando são filhos de pais com certa formação educacional,
que muitas vezes transmitem para os filhos experiências ruins de sua jornada
escolar, e na maioria das vezes estão relacionadas com os ramos da matemática
como: a álgebra, a geometria, e a trigonometria, fazendo com que o filho alimente
um pré-conceitos para com os conteúdos matemáticos.
O que pode ser feito pelos professores da rede de ensino, e como deverão
abordar os materiais concretos em sala de aula, com a finalidade de reduzir o índice
de rejeição à geometria? A manipulação do Tangram nas aulas de geometria pode
contribuir para essa redução?
Essa rejeição faz com que os educando formem uma barreira, dificultando o
trabalho do educador para que desenvolva o processo ensino aprendizagem, e os
mesmos deixam de aprender conceitos importantes para sua formação profissional e
para o convívio na sociedade. Portanto com intuito de responder estes
questionamentos desenvolveremos nossa pesquisa contemplando os seguintes
objetivos: analisar teorias de aprendizagem, a fim de adquirirmos conhecimentos
relevantes no auxílio de uma possível melhoria no ensino da geometria; analisar a
influência dos materiais concretos no estudo de conceitos geométricos, verificando
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suas contribuições para o processo de ensino e aprendizagem; criar situações de
aprendizagem que poderão incentivar os alunos a gostarem da disciplina; Oferecer
oportunidades através do recurso do Tangram para que os alunos possam ampliar
seu vocabulário e suas experiências.
No primeiro capítulo abordaremos a história da matemática; o surgimento e
desenvolvimento da geometria; a educação matemática de hoje e seus desafios em
especial da geometria, o baixo desempenho e desinteresse dos alunos, o
algebrismo exercido pelos professores e sua desmotivação.
O segundo efetivamos a abordagem teórica com sugestões que visam
melhorar o processo de ensino aprendizagem, e metodologias de ensino que podem
possibilitar uma redução aos obstáculos e a aversão à matemática, através do uso
do material concreto em sala de aula.
No terceiro capítulo contemplamos aspectos relacionados à história e origem
do Tangram como uma proposta de sequência didática que explora a geometria
através desse material manipulativo.
O quarto abordamos à aplicação da sequência didática na Escola Municipal
Prof.ª Deushaydes Rodrigues De Oliveira, com alunos do 5º ano da 1ª fase do
ensino fundamental, relatamos os procedimentos e instrumentos de atividades
realizadas, suas metodologias e a análise dos resultados.
Esperamos através das pesquisas realizadas ao logo deste trabalho cooperar
de certa forma para o uma possível melhoria no ensino da geometria, e também
temos como finalidade adquirir experiências importantes para nossa formação
profissional, podendo futuramente contribuir para a formação de cidadãos
participativos da sociedade.
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1 O DESENVOLVIMENTO DA GEOMETRIA E OS ASPECTOS EDUCACIONAIS
Estudos sobre a história da matemática mostram que ela surgiu das
necessidades existentes na vida do homem, para a sobrevivência na terra. As
relações do homem pré-histórico com a matemática eram interligadas com as tarefas
diárias como, dividir as caças e pesca entre eles, e também podem estar
relacionadas com a estética e o prazer que lhes proporcionavam as belezas das
formas. Algumas noções sobre a álgebra e a geometria eram visíveis desde o
surgimento da raça humana, mesmo que bastante primitivas, era de extrema
importância para o seu desenvolvimento.
Estudiosos pesquisam há muito tempo estas relações do conhecimento
matemático, Segundo Darwin (1871 apud Boyer,1996, p.1), “A capacidade de
distinguir números, tamanhos, ordens e formas não são características exclusivas do
ser humano”. Alguns estudos mostram que existem animais com capacidades de
distinguir conjuntos de até quatro elementos, e existe também em algumas formas
de vida a percepção de diferenças de padrões o que é semelhante a relações
percebidas pelo homem primitivo.
Os estudos geométricos foram primordiais para a evolução do homem, sendo
desenvolvidos pelos povos babilônicos e egípcios que deixaram alguns documentos
escritos, outras civilizações também trabalharam o conhecimento geométrico, porém
não consta em registros nenhum documento proveniente do tipo.
Os Babilônicos descobriram as formas exatas para calcular área de triângulos
e o volume de um prisma reto, chegando ao cálculo da diagonal de um quadrado. As
civilizações egípcias viviam da agricultura e por isso foram obrigadas a desenvolver
a conceitos geométricos essenciais para o cumprimento de suas tarefas, usava-a
principalmente para medições de áreas de terrenos, distância e volume, como os
babilônicos também conheciam formas para calcular área do triângulo, do trapézio
isósceles e o volume do tronco de uma pirâmide.
Para obterem as primeiras unidades de medida, utilizavam-se partes do
próprio corpo, como as mãos e os pés, denominando-os palmo, passo, braças. Por
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volta de 3500 A.C. quando na Mesopotâmia e no Egito começaram a ser construídos
os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais
uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um único homem
(geralmente o rei) e com essas medidas construíram réguas de madeira e metal, ou
cordas com nós, que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento.
A geometria como vimos anteriormente é, indispensável para o homem em
seu desenvolvimento, apesar desta extrema importância, e estar presente nos
currículos de matemática, de modo geral, segundo o CEMPEC (Centro de pesquisas
educação e cultura), (2002, p.131), “A disciplina não é abordado pelos professores
com a mesma importância dada ao ensino da álgebra e da aritmética”.
Portanto sabemos que é indispensável o estudo da geometria no ensino, ela
como muitas outras áreas do conhecimento proporciona uma importante base
estrutural para os educandos em formação. Para Freudenthal (1973 apud CENPEC,
2002, p.131): “A geometria é a apreensão do espaço... esse espaço em que vive,
respira e se move a criança. O espaço que a criança deve aprender a conhecer,
explorar, conquistar, para poder viver, respirar e mover-se melhor”.
Através dos estudos geométricos, o aluno desenvolve capacidades como:
visualizar, perceber formas no cotidiano, e representá-las através de desenho,
identificando suas propriedades. As aulas de geometria podem contribuir de forma
natural e espontânea ao aprendizado dos alunos, propiciando um maior interesse
para com a matemática, por si tratar de formas existentes ao seu redor e pela beleza
de cada uma, proporcionando assim uma sensação de prazer ao estudo da
disciplina. O aluno com essa sensação terá maior capacidade de aprendizado do
conteúdo, e buscará uma maior exploração de objetos existentes na natureza,
artesanato, pinturas, ou seja, formas geométricas existentes no seu cotidiano.
Segundo os PCN’s (Parâmetros Curriculares Nacionais), (1997, p. 21):
Os resultados de desempenho em matemática mostram um rendimento
geral insatisfatório, o ensino da matemática ainda é feito sem levar em conta
os aspectos que vinculam com a prática cotidiana, tornando-a desprovida de
significado para o aluno, e o que chama a atenção é que o pior índice
refere-se ao campo da geometria.
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Esses fatores contribuem para o desinteresse e desmotivação dos alunos
para com a matéria, preocupando apenas com a nota para aprovação, esquecendo
em seguida os conteúdos, buscando um possível culpado para seu baixo
desempenho. Esses alunos com autoconceito negativo, que se consideram
fracassados na escola, ou admitem que a culpa seja sua, muitas vezes se
convencem que são incapazes, e vão buscar ao seu redor outros culpados,
responsabilizam até mesmo o professor, colocando adjetivos como: chato, ruim e
outros, se convencendo que as lições não servem para nada, desenvolvendo um
comportamento problemático e de indisciplina.
“A matemática é ensinada na escola e aprendida dentro e fora da escola”.
Carraher (1999 p.11), ou seja, a todo o momento estamos utilizando a matemática
no dia a dia, e muitas das vezes nem percebemos as aplicações de conceitos
matemáticos que são vistos nas escolas, aplicados pelo professor de matemática de
forma científica.
Segundo Giovanne e Castrucci (2009, p.3):
A matemática está presente em nossas vidas, desde uma simples contagem
até os modernos e complexos computadores. Ela ajuda a decidir se uma
compra deve ser a vista ou a prazo, a entender o movimento da inflação e
dos juros, a medir os índices de pobreza e riqueza de um país, a intender e
cuidar do meio ambiente... sem falar nas formas e medidas, com suas
aplicações na arquitetura, na arte e na agricultura.
Ao fazer compras ao ajudar seus pais no comércio, ou em qualquer outra
atividade que seja necessário utilizar a matemática como a geometria, o aluno estará
colocando em prática muitos conceitos aprendidos na escola, na maioria das vezes
sem perceber, e é o professor que terá a função de associar estas, e outras tarefas,
com a disciplina estudada na escola. É importante o professor relacionar a geometria
estudada na escola, e a utilizada no cotidiano, com isso o aluno não conviverá com
a sensação de que os estudos não servirão para nada, e que não vai precisar dele,
o que é comum ouvir deles nas escolas. Estes aspectos estão diretamente ligados
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com a aversão à geometria, além disso, existe uma ideia pré-concebida de que ela é
difícil, que exige muito esforço, e com esses fatores problemáticos para a educação,
poucos realmente aprendem.
O algebrismo exercido por alguns professores da rede de ensino
descaracterizam a educação e desviam o enfoque principal, que é formar cidadãos
críticos dentro da sua realidade Esses professores com suas concepções absurdas,
para chegar a possíveis conclusões úteis ou interessantes, inventam problemas
obscuros, incríveis, inteiramente divorciados de qualquer finalidade prática ou
teórica. Procuram, para resolver questões fáceis, artifícios complicadíssimos,
labirintos extravagantes, tropeços sem o menor interesse para o calculista. Estes
problemas enigmáticos que, em geral, são irreais, absurdos e fora da realidade
mecanizam a geometria, e não buscam um devido relacionamento com conteúdos
estudados na escola, e sua utilização no cotidiano.
De acordo com Carraher, (1999, p.12 e 13) “A atividade que conduz à
aprendizagem é a atividade de um sujeito humano construindo seu conhecimento”, o
professor é apenas mediador desse conhecimento, mais é o aluno que é a peça
fundamental do processo de ensino, o educador tem o papel de proporcionar um
ambiente ideal para que ele construa seu próprio conhecimento.
Na verdade somos todos individuos com defeitos e virtudes cada um com a
sua realidade e seus problemas, mas sempre prontos para adquirir conhecimentos,
portanto o processo de ensino-aprendizagem ocorre de forma gradativa,
dependendo de quanto queremos e o quando esforçamos para aprender. O
professor é apenas um mediador do processo ensino-aprendizagem, e não o dono
do conhecimento, seu dever é mostrar os passos a serem traçados e o caminho a
seguir dependerá se cada indivíduo, o objetivo principal do professor é formar seres
pensantes e críticos.
Para que o educador consiga sucessos em seus objetivos é preciso que
estude bastante sobre autores conhecidos e com experiências bastante amplas de
práticas pedagógicas no ensino. Segundo D`Ambrósio (2007, p.79) “A pesquisa é o
que permite a interface interativa entre teoria e prática”, sem a pesquisa realmente o
professor não conseguirá alcançar seus objetivos, mesmo que se empenhe, é
indispensável que se faça um levantamento de dados teóricos.
Esta prática
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pedagógica, muitas vezes são adquiridas pelos professores ao longo de suas
carreiras, através de experiências teóricas, e praticas de ensino aprendizagem. O
professor ao iniciar sua carreira, faz de suas experiências vivenciadas quando ainda
aluno, metodologias de ensino, deixa de lado o que não aprovou, e utiliza o que o
impressionou dentro da sala de aula.
O educador ao adotar uma metodologia de ensino terá que estudá-la para
conhecê-la por completo, mesmo que sem experiência prática no início, terá grandes
chances de sucesso no desenvolvimento de sua aula. Muitos materiais podem ser
utilizados desde o início do ciclo escolar, para o auxilio ao professor, na perspectiva
de motivar o aluno a exercitar seu raciocínio, na construção do próprio
conhecimento.
O ensino da geometria aprimora a educação do aluno, e busca novas
perspectivas para o ensino. Através do estudo da geometria se faz uma linguagem,
uma história, se fazem ideologias dentro de um contexto social mais amplo. Pensase em geometria como universal e presente no cotidiano, onde o educando é
personagem principal de sua própria história.
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2 O PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM E A UTILIZAÇÃO DO MATERIAL
MANIPULATIVO
Os professores são os principais responsáveis pelo funcionamento do
processo educacional, portanto terão que realizar um sólido ensino da geometria,
abordando situações que explorem conceitos geométricos, e suas aplicações. O
ensino da geometria pode ser eficaz se o aprendiz for levado em consideração, pois
estará sendo preparado para ser membro ativo, participativo da sociedade. O ensino
de geometria para ser eficiente poderá ser realizado considerando aspectos
culturais, emocionais e sociais de cada indivíduo.
Os resultados de uma aprendizagem de conceitos geométricos interferem na
vida do aluno, quer seja na escola ou fora dela, já que ela tem presença ativa em
ambos os meios. Estes estudos possuem aspectos a ser utilizados no cotidiano, e
habilidades necessárias à sobrevivência numa sociedade. Porém, o aluno não vê
como utilizá-la, não a manipula como deveria, e ela às vezes não atua como
instrumento na resolução de seus problemas, e cabe ao professor mudar essa
realidade vivida hoje, diminuindo assim a aversão.
As dificuldades existentes na educação em relação ao ensino da geometria é
que o trabalho em sala de aula, às vezes, é uma tentativa de transmissão de um
conhecimento deslocado dos interesses dos alunos, e alguns dos educadores fazem
com que os estudos geométricos sejam motivos de frustrações. Isso implica uma
série de problemas e a geometria acaba se constituindo num conjunto de técnicas
passadas aos alunos de forma mecânica, como um conhecimento pronto e acabado.
Segundo os PCN’s, (1997, p.50):
É preciso analisar os conteúdos referentes a procedimentos não do ponto
de vista de uma aprendizagem mecânica, mas a partir do propósito
fundamental da educação, que é fazer com que os alunos construam
instrumentos para analisar, por si mesmos, os resultados que obtêm e os
processos que colocam em ação para atingir as metas a que se propõem.
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A geometria é muito importante e fundamental para o ser humano.
Convivemos com conceitos geométricos desde que nascemos. Apesar de ser uma
disciplina que trata de conhecimentos históricos e de extrema importância, uma
grande parte das pessoas tem certa aversão a ela. Convivemos com um alto índice
de repetência nesta disciplina, o que torna o problema ainda mais grave. A
geometria é uma ciência que requer raciocínio e uma grande capacidade de
abstração, dependendo da forma como é ministrada pode fascinar ou causar medo.
Mostrar aos alunos o quanto pode ser divertido e interessante o seu aprendizado,
tem sido um desafio por muitos professores desta disciplina.
É fundamental que o professor se comprometa totalmente em seu papel de
educador, procurando sempre se motivar, renovando suas práticas de ensino,
investindo tempo em novos estudos, promovem uma melhor socialização entre os
estudantes e tornam a escola muito mais interessante e rica, e a geometria bem
mais atrativa e prazerosa para os estudantes.
Com o intuito de melhorias na aprendizagem e diminuir o grau de dificuldade
de grande parte dos alunos na disciplina de geometria, analisamos alguns métodos
de ensino que poderá contribuir para que isso aconteça. O material manipulativo
podem contribuir muito para a formalização dos conceitos, facilitando o processo de
ensino e aprendizagem.
O uso do material concreto tem aumentado substancialmente por professores
de geometria, sendo utilizado como aliado no ensino da disciplina. No entanto suas
aplicações não se restringem somente ao estudo das formas geométricas, pois pode
ser explorada na forma de construção e fixação de diversos conteúdos e em todos
os níveis de ensino.
O que objetivamos, com estes estudos, no entanto, é mostrar que o tema
continua atual nas discussões junto a pesquisadores da área. Porém, no que diz
respeito a real capacidade da metodologia de ensino-aprendizagem por meio dos
materiais concretos de provocar mudanças de longo prazo nas salas de aula de
geometria, e com todas as condições peculiares de nossa educação, há ainda
muitas investigações a serem feitas.
O estudo da matemática se desenvolve através de explorações de
habilidades importantes para o desenvolvimento da aprendizagem. Através da
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geometria os alunos possivelmente adquirem uma percepção e representação do
espaço físico, proporcionando o reconhecimento e representação de formas,
construindo figuras geométricas, classificando-as segundo suas características e
propriedades, formando e adquirindo conceitos.
A abordagem desses conceitos geométricos no ensino tem como objetivo
estimular a percepção intuitiva do espaço físico no sentido concreto, objetivando a
compreensão de objetos geométricos de aspecto abstrato. Segundo Fiorentine e
Miorim, (n.7, ano 4):
Ao aluno deve ser dado o direito de aprender. Não um aprender mecânico,
repetitivo, de fazer sem saber o que faz porque faz. Muito menos um
aprender que se esvazia em brincadeiras. Mas um aprender significativo do
qual o aluno participe raciocinando, compreendendo, reelaborando o saber
historicamente produzido e superado, assim, sua visão ingênua,
fragmentada e parcial da realidade.
Para que isto possa acontecer, os objetos manipulativos podem ser
fundamentais, pois são capazes de desenvolver um conceito particular na criança,
sobre situações concretas criadas pelo educador, o que as levam assimilar novos
conceitos, adquirindo novas habilidades, refazendo conceitos já adquiridos,
desenvolvendo conceitos próprios, que será importante para que realmente
desenvolva a aprendizagem verdadeira e duradoura. Segundo os PCN’s, (1997,
p.23):
A recomendação do uso de recursos didáticos, incluindo alguns materiais
específicos, é feita em quase todas as propostas curriculares. No entanto,
na prática, nem sempre há clareza do papel desses recursos no processo
ensino aprendizagem, bem como da adequação do uso desses materiais,
sobre os quais se projetam algumas expectativas indevidas.
Portanto, a incorporação dessa prática nas aulas de geometria não é tão
simples como se imagina. Para adotar esse tipo de metodologia o professor terá que
ter bastante cuidado e clareza quanto ao que se pretende. Terá que pesquisar sobre
o qual material a ser utilizado para um determinado conteúdo que irá aplicar. Para
assumire essa nova concepção de ensino, terá que se preparar para que se tenha o
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controle da situação como o tempo de duração das atividades, e a interação entre os
alunos da classe, não desviando o foco principal e os objetivos da aula.
Consideramos que os materiais concretos contribuem no processo ensino
aprendizagem da geometria por se caracterizar como um recurso diferenciado, no
qual os alunos são estimulados pelo professor a exercerem funções que os levarão
a um raciocínio que às vezes não conseguiriam sem a utilização objetos, pois o
material quando utilizado adequadamente, poderá explorar dados de extrema
importância para o aprendizado do conteúdo trabalhado, proporcionando um melhor
aproveitamento da aula e, portanto o professor terá maiores chances de atingir seus
objetivos. Segundo Bittar, (2005, p.17):
Alguns cuidados devem ser tomados pelo professor para evitar o uso
inadequado desses materiais, pois sendo os conceitos matemáticos de
natureza abstrata, corre o risco de eles exercerem o papel inverso ao que
desejamos. O uso de material concreto deve permitir, entre outras coisas,
que o aluno construa conhecimentos que precisam, muitas vezes, ser
aplicados em situações que exigem abstração.
Trabalhar com materiais concretos não é muito simples, pois terão que ser
aplicados adequadamente, ou não surgirá efeito satisfatório, não propiciando assim
o processo ensino-aprendizagem. É comum acontecer equívoco quanto ao papel do
material concreto na aprendizagem de conceitos matemáticos. Na maioria das
vezes, esses materiais não cumprem sua função principal, que é a de permitir que o
aluno, através da manipulação do material, desenvolva seu raciocínio, sendo assim
sujeito do próprio conhecimento. Ainda segundo Bittar (2005, p.17):
É comum percebermos certa confusão sobre o papel do material concreto
na aprendizagem da matemática. Muitas vezes, esses materiais assumem o
lugar principal no ensino e não cumprem sua função que é de permitir que o
aluno, através de manipulações do material, construa seu conhecimento.
Portanto se caracteriza a importância da ação do professor na formação de
seres pensantes, através desses materiais concretos, seriam muito importantes se
eles de modo geral, proporcionassem aos alunos condições para que eles
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pudessem investigar e observar propriedades existentes, e desenvolvesse o seu
próprio conhecimento.
Para que o professor possa ter condições de assumir efetivamente esse
papel, ele deverá trabalhar de forma adequada, de acordo com as necessidades
para que ocorra realmente o aprendizado. Como vimos anteriormente, nem todos os
professores contemplaram essa questão de forma adequada, espera-se então, que
estes estudos que vem sendo realizado por muitos especialistas possam trazer
contribuições e melhorias para o sistema de ensino.
Portanto é também muito importante que os professores participantes do
sistema educacional procurem melhorias, buscando metodologias diferenciadas a
serem trabalhadas com perspectiva de conquistas satisfatórias em seu trabalho
desenvolvido em sala de aula, contemplando aspectos relevantes para a formação
dos educandos.
O Tangran é um material que pode contribuir para que essa perspectiva seja
alcançada no decorrer das aulas, desde que utilizado de maneira correta pode ser
um aliado bastante importante para o desenvolvimento da aprendizagem, podendo
ser trabalhado pelo professor através da sua manipulação, atividades importante
para o estudo da geometria, e cabe a esse professor ao adota-lo escolher essas
atividades adequando-as ao conteúdo a ser ensinado.
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3 O TANGRAM
O Tangram é uma espécie de jogo criado na China, levado pelos chineses
para o ocidente por volta da metade do século XIX, e alguns anos depois passou a
ser conhecido por povos de várias regiões como a América, Europa, e logo em
seguida por quase todas as regiões do mundo. Sua idade verdadeira e seu inventor
são desconhecidos, o que constam em registro são vários relatos de alguns povos
antigos, com intuito de descreverem supostos fatos sobre sua verdadeira origem,
fazendo com isso que se tenha uma verdadeira multiplicidade de versões sobre sua
possível criação. Segundo CAEM (Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de
Matemática) (1995, p.2):
A parte final da palavra - gram - significa algo desenhado ou escrito como
um diagrama. Já a origem da primeira parte - Tan - é muito duvidosa e
especulativa, existindo várias tentativas de explicação. A mais aceita está
relacionada à dinastia T'ang (618 - 906) que foi uma das mais poderosas e
longas das dinastias da história chinesa, a tal ponto que em certos dialetos
do sul da China a palavra T'ang é sinônimo de chinês. Assim, segundo essa
versão, Tangram significa literalmente, quebra-cabeça chinês.
Ainda segundo CAEM (1995, p.2):
Outra versão está ligada à palavra chinesa para Tangram, "Tchi Tchiao
Pan", cuja tradução seria "Sete Peças da Sabedoria". O que nos faz crer
que seu criador tivesse algum propósito religioso ou místico ao empregar as
sete peças para descrever o mundo, porém não existem registros históricos
que comprovem estas relações.
Como foi relatado não sabemos exatamente qual a versão verdadeira para
sua origem, nem mesmo o porquê recebeu esse nome, no entanto diz a lenda que
um monge entregou ao seu discípulo um quadrado de porcelana, um rolo de papel,
um pincel e uma lata de tinta, e pediu que ele viajasse pelo mundo anotando tudo de
belo que encontrasse pelo caminho. Durante a viajem o discípulo tropeçou em uma
pedra deixando cair o quadrado de porcelana que se dividiu em sete partes, ao
remonta-las e reproduzi-las no papel, percebeu que poderia construir diversas
formas, cada uma mais bela que a outra. Então ele concluiu que não precisaria viajar
pelo mundo, pois tudo de mais belo poderia ser representado pelo Tangram.
23
O desafio proposto ao desenvolver o quebra-cabeça é recompor formas
geométricas mudando as sete peças de posição e colocar lado a lado sem
sobreposição, possibilitando a criação e montagem de várias figuras como: letras,
animais, pessoas, objetos, figuras geométricas e outros. Esse jogo apesar de
aparentemente simples, possui uma enorme riqueza em sua proporção. O quebra
cabeça é formado por: cinco triângulos, um quadrado e um paralelogramo, todos
originados da decomposição de um quadrado.
(1 e 2) são os triângulos maiores;
(3 e 4) são os triângulos menores;
(5) é o triângulo médio;
(6) é o quadrado;
(7) é o paralelogramo.
(Figura 1: Tangram)
Ainda hoje o Tangram é muito utilizado por todo o mundo, especialmente por
alguns professores no ensino de geometria. A sua simplicidade e capacidade de
representar uma tão grande variedade de objetos de caráter abstrato e, ao mesmo
tempo a dificuldade em resolvê-los, explica um pouco o lado místico do quebra
cabeça. O importante para se jogar é ter uma boa imaginação, sutileza e reflexão.
Reconstituir algumas formas pode parecer difícil, mas ao passar por outras mais
simples, a solução às vezes aparece com facilidade, reforçando o pensamento que
não existe problema sem solução.
Apesar das figuras do Tangram darem a impressão de simplicidade, a sua
montagem pode proporcionar uma enorme riqueza de aprendizado, desde que o
professor o utilize com dedicação e sabedoria. O jogo pode ser desenvolvido
individualmente ou em grupo, auxiliando os professores na exploração de conceitos
geométricos tais como: ponto, segmento, semirreta, ângulos e outros, de uma
maneira agradável e motivadora, sendo um excelente instrumento de apoio ao seu
trabalho. O jogo pode contribui para o desenvolvimento do raciocínio e da
criatividade e favorecer a construção do conhecimento individual do aluno.
24
3.1 Desenvolvimento da sequência didática
Trabalharemos agora com intuito de verificar a influência dos materiais
concretos nas aulas de geometria, através da aplicação de atividades de
manipulação do Tangram, que será realizada na Escola Municipal Professora
Deushaydes Rodrigues De Oliveira, com os alunos do 5º ano da 1ª fase do ensino
fundamental, situada na cidade de Goiânia, capital do estado de Goiás. O nosso
objetivo principal é verificar se o trabalho com esses materiais proporcionam maior
prazer pelos estudos matemáticos, e se eles poderão favorecer a uma possível
redução da aversão à disciplina trabalhada.
Procuraremos desenvolver e organizar situações de ensino através da
manipulação do Tangram, buscando identificar alguns conceitos como: Formas
geométricas e suas relações, noções básicas de quantidade, oferecendo
oportunidades para que os alunos possam ampliar seus conhecimentos e suas
experiências geométricas, desenvolvendo e organizando seus pensamentos.
A sequência proposta será aplicada com duração de 200 minutos, ou seja,
quatro aulas, as quais serão divididas em atividades da seguinte forma:
3.1.1 Primeira atividade: construção do Tangram
Esta atividade visa à construção do Tangram por meio de dobraduras.
Distribuam aos alunos uma tesoura e uma folha de papel A-4, os quais farão a
construção juntamente com o professor. O objetivo desejado através desta atividade
é oferecer a possibilidade de exploração de conceitos geométricos básicos tais
como: pontos, segmentos, vértice os quais serão requisitados durante a construção
do jogo. Já que a maioria dos professores propõem atividades com as peças
prontas, espera-se que todos os alunos se entusiasmem com a novidade, e possam
aprender esses conceitos ao construí-lo, aumentando assim o interesse para com o
jogo e para com a geometria.
25
1º passo: Construir um quadrado ABCD qualquer e sua diagonal

;
Seja uma folha de papel A4, de vértice A, B, C, e D, e segmentos
:
(Figura 2: 1º passo para a construção do quadrado).

Dobre sobrepondo o segmento
segmento
, e o ponto F no segmento
no segmento
, e o segmento
, obtendo o ponto E no
:
(Figura 3: 2º passo para a construção do quadrado).

Descarte o retângulo ABFE obtendo, portanto o quadrado EFCD, com diagonal
. Denominaremos esse quadrado como ABCD, e sua diagonal
.
26
(Figura 4: quadrado ABCD de diagonal
2º Passo: Achar o ponto médio da diagonal

).
;
Dobre o quadrado, sobrepondo os vértices A e C, originando o ponto médio M
da diagonal
.
(Figura 5: 2º passo para a construção do Tangram).
3º Passo: Obter os dois triângulos maiores e o triângulo médio;

Dobre sobrepondo os pontos B e M, para encontrar o segmento
diagonal
Trace o segmento
.
(Figura 6: 3º passo para a construção do Tangram).
, paralelo a
27
4º Passo: Obter um triângulo menor e o quadrado;

Dobre sobrepondo os pontos A e M, originando o segmento
.
(Figura 7: 4º passo para a construção do Tangram).
5º Passo: Obter o paralelogramo e o outro triângulo menor;

Dobre sobrepondo os segmentos
paralelo ao segmento
e
, para encontrar o segmento
.
(Figura 8: Tangram).
6º Passo: Pintar com cores diferentes cada peça do Tangram e recortar.
28
(Figura 9: as sete partes do Tangram).
Portanto, assim obtemos as sete peças do Tangram: dois triângulos maiores,
um médio e dois menores, um quadrado e um paralelogramo.
3.1.2 Segunda atividade: construções livres
Esta visa à composição de figuras a partir das peças do Tangram. Peçam os
alunos que montem figuras de acordo com a imaginação de cada um, usando as
peças do Tangram; podem ser figuras de animais, pessoas, objetos ou o que mais
eles imaginarem. Mas atenção! Existe uma regra nessa montagem: Eles não
poderão colocar uma peça sobre outra. Após a montagem com as peças do
Tangram, os alunos devem contornar as partes da figura construída sobre uma folha
de papel e pintá-las, favorecendo assim a identificação das formas geométricas.
Também, visando o desenvolvimento da comunicação em matemática, e é
fundamental que o aluno descreva oralmente cada peça que utilizou e o que
representa no desenho.
De um lado, essas atividades além de explorar objetivos de um trabalho em
grupo, permitem a conexão entre geometria e Linguagem. E, por outro lado,
desmistificam a ideia de que as atividades iniciais com o Tangram devem ser
necessariamente, as de sobreposição das peças em modelos já prontos.
3.1.3 Terceira atividade: sobreposição das peças em modelos dados
29
Após a segunda atividade o aluno estará familiarizado com as peças do
Tangram através das construções livres, então o professor elabora algumas
atividades de sobreposição de peças. Para isso, deve fornecer modelos de figuras
com os contornos das peças do Tangram para que o aluno sobreponha às sete
peças do quebra-cabeça.
O objetivo é analisar o reconhecimento das figuras geométricas por cada um,
e a associação de cada peça com o modelo dado.
Alguns exemplos de modelos de figuras a serem recompostas:
(Figura 10: atividade de sobreposição).
(Sugestão: http://educamat.ese.ipcb)
3.1.4 Quarta atividade: analise da área do Tangram e construção de quadrados
com suas peças
Esta atividade visa explorar noções de área e conceitos lógicos, com intuito
de desenvolver a capacidade de assimilação e o raciocínio logico do aluno.
Peçam aos alunos que construam um quadrado de forma análoga ao que foi
feito anteriormente com a folha de papel A-4, deixe claro a eles que este quadrado
tem a mesma área do tangram construído. Propõem a eles que descubram essa
área, utilizando o triângulo pequeno como unidade de medida.
Exemplo:
30
(Figura 11: área do Tangram).
Logo em seguida proponha a eles que construam com as peças do Tangram
que foi construído na primeira atividade, algumas figuras geométricas como: um
quadrado usando:
a) Duas peças;
Exemplo:
(Figura 12: quadrado com duas peças).
b) Três peças;
Exemplo:
(Figura 13: quadrado com três peças).
c) Quatro peças;
Exemplo:
31
(Figura 14: quadrado com três peças).
De forma análoga poderá ser trabalhada com os alunos a construção do
triângulo grande do Tangram.
32
4
APLICAÇÃO E ANALÍSE DA SEQUÊCIA DIDATICA
No dia 12 de novembro de 2010 foi feito a aplicação da sequência didática na
Escola Municipal Professora Deushaydes Rodrigues De Oliveira, para os alunos do
5º ano, turma E, com auxílio da professora Fabiana Nunes. Iniciamos a aula com um
breve diálogo com os alunos, no qual foi constatado que a maioria entre eles não
gostavam de matemática principalmente de geometria, alimentando desde as séries
anteriores grande aversão para com ela. Com o objetivo de analisar a contribuição
do trabalho através da manipulação do Tangram, para uma possível melhoria e
aceitação destes alunos ao estudar conceitos geométricos, desenvolvemos nossas
aulas da seguinte forma:
A primeira aula foi trabalhado a construção do Tangram, utilizando folha de
papel A-4, tesoura, lápis de escrever, de colorir e régua, alguns desses materiais
eram dos próprios alunos e outros foram distribuídos a quem não tinham.
Foi observado durante essa aula que os alunos conheciam o Tangram, mas
não sabiam como construí-lo, portanto tiveram um pouco de dificuldade no inicio, na
sobreposição de pontos e segmentos, no entanto foram entendendo os conceitos
gradativamente, e todos conseguiram fazer a construção do quebra cabeça.
Explorarmos conceitos geométricos básicos como: pontos, segmentos, vértice
e algumas formas geométricas, onde contamos com a participação da maioria dos
alunos, através de questionamentos realizados por eles como: O que é um
segmento, o que é vértice. Então aproveitávamos o momento explicando também
para o restante da turma. Portanto o nosso objetivo foi atingido, pois percebemos
que eles entenderam bem os conceitos com naturalidade, deixando transparecer
uma espécie de sentimento de prazer para com o aprendizado.
33
(Imagem 1: trabalho com a construção do Tangram).
A segunda atividade foi realizada através de criações livres desenvolvidas pelos
alunos com as peças do Tangram, com o objetivo de testar a criatividade de cada
um, desde a manipulação ao saber quais são as formas, diferenciando-as e
verificando semelhanças, proporcionando uma possível familiarização com as
figuras geométricas que formam o jogo. Observamos que os alunos se empenharam
bastante, a maioria deles disseram gostar de pintar e formar figuras, pois estavam
acostumados a desenvolverem atividades deste tipo nas aulas de arte, portanto não
tiveram muito trabalho. Observamos que esse tipo de trabalho acorre na maioria das
vezes nas aulas de artes e não nas de geometria, o que é frustrante, pois sabemos
que esses materiais manipulativos podem contribuir bastante para a aprendizagem
desses alunos. Depois de efetuarem as criações, escreveram ao lado do objeto o
nome da figura utilizada no desenho, o que proporcionou verificar eles realmente
aprenderam sobre as de figuras geométricas existente no jogo. Portanto atingimos
nosso objetivo principal.
(Imagem 2: atividade de construções livres)
34
Já na terceira como os alunos estavam familiarizados com as peças do
quebra cabeça através das construções livres, então elaboramos algumas atividades
de composição de figuras como: animais, pessoas e objetos. Estas figuram foram
composta através de modelos com os contornos das peças do material manipulativo,
que passamos para os alunos, no qual eles trabalharam sobrepondo às peças do
quebra-cabeça. O envolvimento nesta atividade foi muito bom, como eles já
conheciam bem as peças desenvolveram as atividades com bastante eficiência.
(Imagem 3, sobreposição)
Na quarta aula propomos alguns desafios; o primeiro era que eles descobrissem
a áreas do Tangram, e o segundo que construíssem quadrados utilizando
quantidades diferentes de peças que tinham em mãos. No primeiro desafio eles
tiveram um pouco de dificuldade, pois não estavam conseguindo colocar o triângulo
que era a unidade de medida na posição adequada, e tivemos que buscar uma
forma de sanar esse obstáculo, portanto propomos a eles que colocasse o triângulo
sobre o quadrado contornando-o e invertendo sua posição, formando pequenos
quadrados ate completar toda a área. Como a segunda se tratava de conceitos
básicos de lógica, alguns tiveram um pouco de dificuldade, e até mesmo disseram
que não eram bons nesse tipo de atividade, antes mesmo de tentarem, mas não
deixamos que eles desistissem, fazendo um exemplo no quadro, o qual fez com eles
entendessem e conseguiram concluir a atividade.
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Ao final da aula fizemos um breve comentário sobre o desenvolvimento de cada
um, o qual foi enfatizado a importância da persistência em realizar certas atividades,
e como eles mesmos vivenciaram, o que pode parecer difícil no início pode
proporcionar bastante satisfação ao ser realizado. Logo depois distribuímos balas e
pirulitos pelo bom comportamento da turma e envolvimento nas atividades
realizadas.
(Imagem 4: quarta atividade)
Cada aluno foi avaliado continuamente durante as aulas, através da
observação do envolvimento nas criações, e interesse e participação nas tarefas
desenvolvidas durante as aulas. Alguns fatos nos chamaram atenção, como o bom
aproveitamento e aprendizagem da turma para com os conceitos geométricos
explorados, desmistificando a ideia de que a geometria é difícil, dando a entender
que realmente o material manipulativo favoreceu nosso trabalho para a
aprendizagem desses alunos, e contribuiu para que eles gostassem mais da
disciplina.
Esse acompanhamento dos alunos nessas atividades foi muito valioso,
especialmente
porque
durante
as aulas
tiveram
várias oportunidades de
participação, ao desenvolverem sua atividade e agudar o seu colega, perguntaram
bastante e alguns até mesmo deram opiniões diferentes das que propomos. A
capacidade de usar as informações para raciocinar ainda precisa ser trabalhada
porque os alunos aparentemente não estão acostumados, provavelmente por
fazerem parte das séries iniciais, mas vão adquirir experiências ao longo do tempo e
de sua vida escolar.
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CONCLUSÃO
Nossa pesquisa, passou por muitas etapas, com finalidades diferenciadas, mas
dando ênfase ao ensino da geometria e as dificuldades dos alunos para com ela.
Adquirimos conhecimentos importantes para uma possível melhoria no ensino da
disciplina, através de análise de teorias criamos situações de aprendizagem dando
possibilidade para que os alunos ampliassem seu vocabulário e suas experiências
para com os conceitos geométricos. As aplicações do material concreto, o Tangram
em sala de aula, proporcionou uma aprendizagem desses conceitos com bastante
simplicidade, mas, porém com extrema importância para os educandos em sua
jornada escolar e para o cotidiano, e constatamos que eles poderão vir a gostar um
pouco mais da disciplina através de trabalhos como esse.
Este trabalho foi realizado com o objetivo de promover possível melhoria na
aprendizagem da área da geometria, embora esse estudo tenha alcançado seu
propósito e proporcionado uma experiência riquíssima. Ainda está claro que muito
há que ser feito sobre esse assunto, podendo até mesmo servir de base para que
outras pessoas possam dar continuidade nessas pesquisas,
não só na
aprendizagem da geometria como de qualquer outra disciplina, pois não podemos
esquecer que a verdadeira riqueza do mundo é construída dentro da escola, e
sabemos que sempre existirá possibilidade de melhorar a maneira de se ensinar.
Temos a convicção que através deste tipo de pesquisas, a geometria se
tornará bem mais atrativa, e a maioria dos alunos poderão sentir prazeres
diferenciados ao estudá-la.
37
REFERÊNCIAS
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de matemática para os ciclos iniciais do ensino fundamental. 2005.
BORBA, Marcelo de Carvalho. Tendências Internacionais em Formação de
Professores de Matemática. 2ª ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2010.
SOUZA, Eliane Reame de; DINIZ, Maria Ignez S. Vieira; PAULO, Rosa Monteiro;
OCHI, Fusakohori: CAEM (Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática) A
matemática das sete peças do Tangram, ed. Única, São Paulo: IME-USP, 1995.
CENTRO DE PESQUISAS EDUCAÇÃO E CULTURA. Oficinas de matemática e
de leitura e escrita. 3ª ed. São Paulo: Summus, 2002.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação matemática: Da teoria à prática. 16ª ed. São
Paulo: Papirus, 2007.
FIORENTINE, Dario; MIORIM, Maria Ângela. Uma reflexão sobre o uso de
materiais concretos e jogos no ensino da Matemática. Boletim da SBEM-SP, n.
7.
Ano
4
Disponível
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<http://www.matematicahoje.com.br/telas/sala/didaticos/recursos_didaticos.asp?aux
=C.Acesso em: 20/06/2010.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito. As conquistas da matemática. 1ª
ed. São Paulo: FTD, 2009.
BOYER, Carl. História da matemática. 2 ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1996.
PERRENOUD, Philippe. 10 novas competências para ensinar: Convite à viagem.
Porto Alegre: Artmed, 2000.
BRASIL; SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros
curriculares nacionais: introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Brasília:
1997.
38
SCHLIEMANN, Analúcia dias; CARRAHER, David William; CARRAHER, Terezinha
Nunes. Na vida dez na escola zero. 10ª ed. São Paulo: Cortez, 1995.