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EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9
Vejamos um exemplo: Experiência da barra
condutora movendo-se em um campo
magnético constante:
Esta aula:
! Indutor e capacitor
Indutor
Lei de Faraday e Lei de Lenz
R
• Michael Farad e Joseph Henry: descobrem
que campos magnéticos variantes produzem
(induzem) uma força eletromotriz (diferença
de potencial) em um circuito próximo.
• Intensidade da forca eletromotriz induzida é
proporcional ao taxa de variação temporal do
fluxo magnético produzido por uma fonte
externa (Lei de Faraday)
R
e(t ) = −
I
FB
Barra movimenta-se para a direita
dΦ (t )
dt
• O sinal algébrico indica que a polaridade da
tensão induzida é tal que produza uma
corrente que cria um campo magnético para
se opor à variação do campo magnético
original, produzido pela fonte externa (Lei de
Lenz – Heinrich Lenz)
1
I
R
FB
Barra movimenta-se para a esquerda
O corrente I terá o sentido tal que o campo
produzido por ela (induzido) tende a compensar
a variação do campo (produzido pela fonte
externa) que atravessa a área do enlace.
2
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Quando a barra movimenta-se para a
direita:
• O fluxo que atravessa o enlace aumenta
(maior área).
• Portanto, uma tensão será induzida nos
terminais do resistor.
• Como o circuito é fechado, teremos uma
corrente atravessando o resistor.
• Essa corrente produzirá um campo
magnético, que também atravessará o enlace.
• Esse campo será no sentido que tenda a fazer
o campo total no enlace se manter constante.
• Usando a regra da mão direita, vemos que I
deve ser no sentido anti-horário.
• Note que a forca magnética aplicada à barra,
devido ao campo magnético variante, tem
sentido tal que se oponha ao movimento da
barra
• Inicio de 1800’s: Cientista dinamarquês
Oersted mostrou que uma corrente percorrendo
um condutor produz um campo magnético.
• Ampère realiza experimentos que mostram que
o campo magnético e a corrente que o produz
seguem uma relação linear.
Corrente elétrica I atravessando um condutor
leva ao aparecimento de um campo
! magnético,
ou densidade de fluxo
magnético B
!
!
B
B
S
C
I
C
I
! !
Fluxo magnético: φ = B ⋅ ds
∫
S
B
FB = - q vd x B
axb
vd
b
a
3
4
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Outro exemplo: Tensão induzida ao fecharmos
um circuito:
Indutor:
Campo
produzido
por I
Considere agora que temos N voltas de um
condutor (indutor), imerso em um campo
magnético produzido pela corrente que circula
pelo próprio condutor. A tensão induzida será
dada por
Tensão
induzida
e(t)
I
e(t ) = − N
A tensão e(t) terá a polaridade tal que produzirá
uma corrente que cria um campo magnético que
tende a se opor ao campo produzido por I.
dΦ (t )
dI (t )
,
= −L
dt
dt
onde L é a constante de proporcionalidade,
chamada indutância, que depende da geometria
do indutor.
I
!
B
Note que a rigor devemos chamar essa
característica de auto-indutância, pois o campo
magnético é produzido pelo indutor, e a tensão
induzida de interesse é aquela observado no
mesmo indutor.
5
6
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Considerando um circuito com fonte, resistor e
indutor, com a corrente I aumentando:
Exemplo de indutor:
Área da seção
transversal A
Permeabilidade µ
Tensão
induzida
v(t)
Comprimento s
I
L espiras
L=
Note que a polaridade da tensão induzida v(t)
no indutor é dada pela Lei de Lenz, enquanto
que o seu valor é dado pela Lei de Faraday, ou
seja:
v(t ) = L
µ N2A
s
−7
Ar: µ = µ 0 = 4π × 10 H/m
H
dI (t )
dt
7
8
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Consideremos um indutor linear de 2 H,
atravessado por uma corrente i(t ) variante
mostrada abaixo.
v(t )
Se aumentarmos a taxa de variação da corrente,
teremos:
i (t )
i (t )
1
t
i(t )
−1
L=2H
i (t )
di
=1
dt
1
di
= −1
dt
1
0 1
v(t )
8
2
3
0
1
v(t )
2
3
−1
0
1
2
1
3
2
∞
0
1
2
3
t
−1
0
1
2
3
−∞
−8
t
−1
0
t
di
=0
dt
2
−1
v(t )
t
−1
t
Note que:
• Para correntes constantes, indutor é um curto.
• Esse modelo para o indutor não permite
variações abruptas da corrente, pois tal
situação leva à tensão e potencia infinitas.
3
−2
9
10
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Retomando a expressão que relaciona a tensão e
a corrente em um indutor:
Energia armazenada em um indutor
v(t ) = L
Potência instantânea em um indutor:
d i (t )
W
p = v(t ) i (t ) = L i
dt
di (t )
1
→ di (t ) = v(t ) dt
dt
L
Energia armazenada:
t
A corrente no indutor no instante t pode ser
obtida através da integral:
∫
t
p dt = L i
∫
t0
t
i (t )
1
di =
v(τ ) dτ
i ( t0 )
Lt
∫
t0
i (t )
∫
=L
0
∫ i di
i ( t0 )
t
i (t ) − i (t0 ) =
d i (t )
dt
dt
1
= L{[i (t )]2 − [i (t0 )]2 }
2
1
v(τ ) dτ
Lt
∫
0
t
i (t ) =
É costume adotarmos um valor de t 0 no qual a
corrente no indutor seja nula. Então, se
i(t0 ) = 0, temos
1
wL (t ) = L [i (t )]2 joules
2
Portanto, toda vez que a corrente no indutor é
não-nula, energia é armazenada no mesmo
(mesmo quando a corrente no indutor é
constante).
1
v(τ ) dτ + i (t0 )
Lt
∫
0
11
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Esse modelo (matemático) é válido para
indutores ideais (sem perdas resistivas).
Capacitor
Dispositivo elétrico capaz de armazenar cargas
elétricas.
Indutor real:
Área A
Carga +q
L
RL
v
d
RL: Resistência do condutor usado para
construir o indutor – dissipa energia na
forma de calor
Carga –q
Material dielétrico
Permissividade ε
Resumo:
• Variação da corrente que atravessa um
indutor induz tensão entre seus terminais,
• Corrente constante: indutor é um curtocircuito,
• Indutor armazena energia no campo
magnético, mesmo quando a corrente é
constante,
• Variação abrupta de corrente não são
permitidas (pois requer tensão infinita),
• Um indutor ideal não dissipa energia, apenas
armazena-a.
13
• Carga +q é movida para a placa superiora,
acumulando carga –q na placa superiora.
• Trabalho realizado é v, proporcional à carga
armazenada:
q = Cv
C = Capacitância Coulomb/volt ou Farad (F)
εA
Para capacitores de placas paralelas: C =
d
Ar: ε = 8,854 pF/m
A capacitância C determina a quantidade de
carga que pode ser armazenada, para uma dada
tensão v.
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Como as cargas são acumuladas nas placas:
Corrente no capacitor:
• Considere que as placas estejam inicialmente
descarregadas (capacitor descarregado).
• Ao conectarmos a fonte de tensão às placas,
um campo elétrico se estabelece dentro dos
condutores.
• O campo elétrico movimenta os elétrons do
condutor (força elétrica), levando-os para a
placa “negativa” e tirando-os da placa
“positiva”.
• Esse movimento continua até que todo o
condutor esteja no mesmo potencial (ou seja,
o campo elétrico deixa de existir).
i=
dq
dv
→ i =C
dt
dt
i (t )
C
+
v (t )
−
i = 0 se v for constante.
Tensão no capacitor
dv
1
1
i=C
→ dv = i dt → v(t ) =
dt
C
C
t
∫ i dt
+ v(t0 )
t0
!
Carga
Acumulada
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Capacitor de 5µF alimentado por um gerador de
corrente.
Energia armazenada em um capacitor
+
C = 5µF
v(t )
i (t )
Potência instantânea em um capacitor:
d v(t )
watts
p = v(t ) i(t ) = Cv
dt
−
Energia armazenada:
i (t ) (mA)
t
∫
20
t
p dt = C v
∫
t0
v (t )
t (ms)
0
1
2
=C
3
1
= C{[v(t )]2 − [v(t0 )]2 } joule
2
8
Se capacitor está descarregado, ou seja v(t0 ) = 0
t (ms)
1
∫ v dv
v ( t0 )
v(t ) (V)
0
t0
dv
dt
dt
2
3
1
wC = C[v(t )]2 joule
2
Note que a mudança abrupta da tensão no
capacitor requer uma corrente de intensidade
infinita.
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Capacitor ideal:
• Material dielétrico é ideal, de resistência
infinita (sem corrente eletrônica entre as
placas do capacitor),
• Toda energia entregue ao capacitor é
armazenada na forma de campo elétrico.
Resumo (capacitor)
• Variação da tensão em um capacitor induz
uma corrente entre seus terminais,
• Tensão constante: capacitor é um circuito
aberto,
• Capacitor armazena energia no campo
elétrico, mesmo quando a tensão é constante,
• Variação abrupta de tensão não são
permitidas (pois requer corrente infinita)
• Um capacitor ideal não dissipa energia,
apenas armazena-a.
Capacitor real: material dielétrico apresenta
resitencia alta, mas finita.
C
+
−
RC
RC: Resistência do dielétrico usado para
construir o capacitor – dissipa energia na
forma de calor
19
20