INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO MESTRADO

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INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
BEA KARLA FLORES MACHADO TEIXEIRA
TEORIA DOS GRAFOS A PARTIR DO ENSINO MÉDIO:
UMA ABORDAGEM NO ESPECTRO DO MODELO DOS CAMPOS SEMÂNTICOS
Vitória
2015
1
BEA KARLA FLORES MACHADO TEIXEIRA
TEORIA DOS GRAFOS A PARTIR DO ENSINO MÉDIO:
UMA ABORDAGEM NO ESPECTRO DO MODELO DOS CAMPOS SEMÂNTICOS
Dissertação apresentada ao Programa de PósGraduação em Educação em Ciências e Matemática
do Instituto Federal do Espírito Santo, como requisito
parcial para a obtenção do título de Mestre em
Educação em Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Ed. Rodolfo Chaves.
Vitória
2015
2
(Biblioteca Nilo Peçanha do Instituto Federal do Espírito Santo)
T266t Teixeira, Bea Karla Flores Machado
Teoria dos grafos a partir do ensiQR médiouPDDERUGDJHP
QRHVSHFWURGRPRGHORGRVFaPSRVVHPkQWLFRV / Bea Karla Flores
Machado Teixeira. – 2015.
148 f. : il. ; 30 cm
Orientador: Rodolfo Chaves.
Dissertação (mestrado) – Instituto Federal do Espírito Santo,
Programa de de Pós-graduação em Educação em Ciências e
Matemática, 2015.
1. Matemática - Problemas, questões, exercícios. 2. Teoria
dos grafos. 3. Matemática - Estudo e ensino. I. Chaves, Rodolfo.
II. Instituto Federal do Espírito Santo. III. Título.
CDD 21: 511.5
5
Dedico
À minha família.
Aos meus professores que foram exemplo para manter a minha
paixão pelo magistério.
Aos meus orientadores-amigos pela paciência e ensinamentos.
A vocês meu carinho!
Agradecimentos
À minha família, em especial, a grande matriarca (Josefina Flores Teixeira,
carinhosamente "Zefinha" in memorian) que foi exemplo de luta, sabedoria,
persistência e motivo de muitas alegrias.
Aos tios César (in memorian) que era um pai para mim, Zezo (in memorian) que
tive o prazer de conviver por pouco tempo, mas que foi insequecível e Dudim que
tenho recordações das brincadeiras de infância.
Aos meus dois amores: meu marido, que sempre me apoiou e esteve presente
nas minha conquistas, sendo meu pilar mais importante e meu filho que
transformou um casal numa família.
À minha mãe, que também sempre esteve presente e acompanhou minhas
conquistas.
À amiga, ex-aluna e "irmãzinha acadêmica" Mariana dos Santos Cézar, que
representa, e muito bem, os meus alunos que superam o mestre. Tenho muito
orgulho de você.
Ao meu orientador pela dedicação e paciência na realização desse trabalho.
À banca examinadora que gentilmente aceitou o convite.
A todos os alunos que contribuiram para a realização desta pesquisa.
A todos vocês, meu muito obrigada.
5
"Mesmo quando tudo parece desabar,
cabe a mim decidir entre rir ou chorar,
ir ou ficar, desistir ou lutar;
porque descobrir, no caminho incerto da
vida, que o mais importante é o decidir"
Cora Coralina.
RESUMO
Esta é uma pesquisa de natureza qualitativa, com enfoque no estudo de caso, que
tomou a Resolução de Problema como procedimento metodológico de ação e como
método de análise o Modelo dos Campos Semânticos, com o propósito de analisar o
processo de produção de significado dos envolvidos, onde atores e cenário
investigativo foram constituídos por alunos pibidianos (Programa Institucional de
Bolsa de Iniciação à Docência) do curso de licenciatura em Matemática do Ifes,
campus Vitória, participantes da oficina de Teoria dos Grafos, desenvolvida como
atividade de campo no Laboratório de Práticas de Ensino Integradas (LPEI), do
Programa de Apoio a Laboratórios Interdisciplinares de Formação de Educadores
(LIFE), mantido pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
(CAPES). O objetivo geral do trabalho é analisar que significados são produzidos
acerca da apresentação de uma possível proposta de inserção da Teoria dos Grafos.
Tal objetivo gerou a seguinte pergunta-diretriz: Que significados são produzidos
acerca da apresentação de uma possível proposta de inserção da Teoria dos Grafos
em conteúdos matemáticos a partir do ensino médio utilizando a Resolução de
problemas? Como resultado da pesquisa apresentamos um guia didático voltado a
professores com uma possível proposta à inserção da Teoria dos Grafos a partir do
ensino médio.
Palavras-chave: Resolução de problemas. Teoria dos grafos. Modelo dos campos
semânticos. Produção de significados.
ABSTRACT
This is a qualitative research, focusing on the case study, which took the Problem
Solving as a methodological procedure of action and method of analysis as the Model
of Semantic Fields, in order to analyze the meaning of production of the involved
where actors and investigative scenario consisted of pibidianos students (Institutional
Program Initiation Grant to Teaching) the degree course in Mathematics of IFES,
Victoria campus, workshop participants of Graph Theory, developed as a field of
activity in Practice Laboratory Integrated Education (LPEI), the Support Program for
Interdisciplinary Laboratory Educator Training (LIFE), maintained by the Higher
Education Personnel Training Coordination (CAPES). The overall objective is to
analyze which meanings are made on the presentation of a possible proposal for
inclusion of Graph Theory. This goal led to the following question-guideline: What
meanings are produced on the presentation of a possible proposal for inclusion of
Graph Theory in mathematical content from the high school using the
Troubleshooting? As a result of the research present a didactic guide aimed at
teachers with a possible proposal to the insertion of Graph Theory from high school.
Keywords: Problem solving. Graph theory. Model of semantic fields. Production
of meanings.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Resposta do ator Lola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Figura 2 – Resposta do ator Margarida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Figura 3 – Grafo representando o campeonato de xadrez . . . . . . . . . . . . . .
49
Figura 4 – Lola resolvendo atividade (01) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
51
52
Figura 7 – Estrela resolvendo atividade (01) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Figura 8 – Grafos desenhado por Lola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
54
55
55
56
56
Figura 14 – C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Figura 15 – C4 com coloração dos vértices usando 4 cores . . . . . . . . . . . . . .
58
Figura 16 – Estrela com as canetas coloridas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
59
59
Figura 19 – C4 com coloração dos arestas usando 4 cores . . . . . . . . . . . . . .
60
61
61
Figura 22 – C4 com coloração total incompleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Figura 23 – C4 com coloração total usando 4 cores . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Figura 24 – Malba Tahan resolvendo atividade (01) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
67
67
Figura 27 – Página do facebook do grupo de pesquisa
. . . . . . . . . . . . . . . .
70
Figura 28 – As 7 pontes das ilhas sobre o Rio Pregel. . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Figura 29 – Esboço de possíveis partidas entre 5 jogadores. . . . . . . . . . . . . .
91
Figura 30 – Exemplo de grafo (01)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
Figura 31 – Grafos e tabelas para serem preenchidas . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Figura 32 – Representação dos vértices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Figura 33 – Representação da situação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
98
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 35 – Exemplo de um grafo orientado
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Figura 36 – Grafo orientado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Figura 37 – Grafo com laço e arestas múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Figura 39 – Exemplo de subgrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Figura 40 – Um grafo regular de grau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Figura 41 – Exemplos de ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Figura 42 – Exemplos de grafos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Figura 43 – Exemplos de grafo nulo ou vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Figura 44 – Dois grafos complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Figura 45 – Grafo bipartido
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Figura 46 – Grafo bipartido completo K2,4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Figura 47 – Caminho num grafo orientado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Figura 48 – Caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Figura 49 – Circuito
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Figura 50 – Caminhos simples e composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Figura 51 – Exemplo de árvore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Figura 53 – Exemplo de grafo(05) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Figura 54 – Sete cidades representadas num grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Figura 55 – Sete pontes representada por grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Figura 56 – Situação para inserir arestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Figura 57 – Exemplo de grafo orientado euleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Figura 58 – Representaçao de sete cidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Figura 59 – Dodecaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Figura 60 – Ciclo hamiltoniano no dodecaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Figura 61 – Movimento do cavalo no jogo de xadrez . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Figura 62 – Solução do jodo de xadrez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Figura 63 – Mapa das estradas entre as cidades A e J
. . . . . . . . . . . . . . . . 120
Figura 64 – Algoritmo de Dijkstra (01) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Figura 76 – Grafo “eulerizado” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Figura 77 – Grafos sem ciclo euleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Figura 78 – Acrescentando arestas nos vértices de grau ímpar . . . . . . . . . . . . 133
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Esquema de combinação de jogadores tomados dois a dois . . . . . . .
48
Tabela 2 – Esquema de combinação de jogadores tomados dois a dois . . . . . . .
91
Tabela 3 – Representação de um grafo observando os vértices adjacentes . . . . .
93
LISTA DE SIGLAS
APM
Associação Portuguesa de Matemática.
CAPES
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior.
Cf.
Conforme.
CNPq
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científic e Tecnológico.
COPPE
Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia.
EDUCIMAT
Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática.
ENEM
Exame Nacional do Ensino Médio.
ERMAC
Encontro Regional da Matemática Aplicada à Computação.
GEPEFOPEM
Grupo de Estudo e Pesquisas sobre a formação de Professores que
Ensinam Matemática.
GEPEMEM
Grupo de Estudos e Pesquisas em Matemática Pura, Matemática Aplicada e Educação Matemática.
IFES
Instituto Federal do Espírito Santo.
IMECC
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
LIFE
Programa de Apoio a Laboratórios Interdisciplinares de Formação de
Professores.
LIMAT-Ifes
Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo, campus Vitória.
LPEI
Laboratório de Práticas de Ensino Integradas.
MCS
Modelo dos Campos Semânticos.
MEC
Ministério da Educação.
NCTM
National Council of Teachers of Mathematics.
OCNEM
Orientações Curriculares para o Ensino Médio.
PCN
Parâmetros Curriculares Nacionais.
PEI
Práticas Educativas Investigativas.
PIBID
Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência mantido pela
CAPES.
UERJ
Universidade Estadual do Rio de Janeiro.
UFES
Universidade Federal do Espírito Santo.
UFRJ
Universidade Federal do Rio de Janeiro.
Unicamp
Universidade Estadual de Campinas.
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO ..............................................................................................18
1.1
UMA TRAJETÓRIA DE LUTA .........................................................................18
1.2
PROPOSTA METODOLÓGICA ......................................................................20
2
REVISÃO DE LITERATURA...........................................................................25
2.1
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ....................................................................25
2.1.1 Resolução de Problemas segundo Pólya (1995) .......................................26
2.1.2
Resolução de Problemas segundo Pozo (1998) .......................................28
2.2
MODELO DOS CAMPOS SEMÂNTICOS (MCS)...........................................30
3
APOIO METODOLÓGICO.............................................................................38
3.1
CARACTERIZAÇÃO DA PESQUISA ............................................................38
3.1.1
Estudo de caso.............................................................................................39
3.2
O LEVANTAMENTO E A ANÁLISE DE DADOS..............................................40
3.3
PROCEDIMENTOS DA PESQUISA................................................................42
3.4
DESCRIÇÃO DOS PROCEDIMENTOS..........................................................45
3.4.1 Questionário inicial: Conhecimentos prévios............................................45
3.4.2 Atividade 1: Álgebra Linear..........................................................................46
3.4.3 Atividade 2: Análise Combinatória..............................................................47
3.4.4 Atividade 3: Teoria dos grafos: Unidade 1- Aulas 1 e 2.............................48
4
SIGNIFICADOS PRODUZIDOS A PARTIR DA INTERVENÇÃO .................70
5
CONSIDERAÇÕES FINAIS...........................................................................77
REFERÊNCIAS.............................................................................................81
APÊNDICE A – Termo de Consentimento.....................................................84
APÊNDICE B – Questionário 1.....................................................................85
APÊNDICE C – Atividade 1...........................................................................86
APÊNDICE D – Atividade 2 ..........................................................................87
APÊNDICE E – Atividade 3...........................................................................88
APÊNDICE F – Definições Conhecidas........................................................89
APÊNDICE G – Unidade 1 – Histórico e Definição.......................................90
APÊNDICE G.1 – Aula 1: O problema das 7 pontes de Köningsberg..........90
APÊNDICE G.2 – Aula 2: Teoria dos Grafos: Grafos Ordenados.................96
APÊNDICE H – Unidade 2 – Tipos de Grafos.............................................103
APÊNDICE H.1 – Aula 3: Definições necessárias.......................................103
APÊNDICE H.2 – Caminhos, ciclos, circuitos............................................107
APÊNDICE H.3 – Mãos à obra!...................................................................109
APÊNDICE I – Unidade 3 – Teoria dos Grafos............................................112
APÊNDICE I.1– Aula 4: Grafos Eulerianos e Hamiltonianos.......................112
APÊNDICE I.2 – Aula 5: Problemas clássicos – 1ª parte............................120
APÊNDICE I.3 – Aula 6: Problemas clássicos – 2ª parte............................130
APÊNDICE J – Atividade Final....................................................................134
APÊNDICE K – Artigo utilizado para a atividade 1......................................135
APÊNDICE L – Grade curricular do LIMAT..................................................139
APÊNDICE M – Ementas das disciplinas citadas.......................................141
18
1 INTRODUÇÃO
1.1 UMA TRAJETÓRIA DE LUTA
Quando estava na sétima série do primeiro grau (atual sexto ano) decidi ser professora de
Matemática. Como toda criança já havia pensado em ser aeromoça, astronauta, piloto...
onde a imaginação levava. Recordo que sempre brincava de escolinha, muitas vezes
sozinha. Eu tinha um quadro de giz e passava a tarde copiando o dever de casa no quadro
e resolvendo, como se fosse aula. É bom recordar isso e pensar o quanto essa doce
brincadeira de criança influenciou na minha vida profissional. Até tentei fugir um pouco do
magistério, mas já estava implícito em mim, esse destino.
Ingressei no curso de Licenciatura em Matemática na UFES e foram longos, exaustivos,
felizes e saudosos anos. Já no primeiro semestre de curso comecei a ministrar aulas
de Matemática para o ensino fundamental, como designação temporária numa escola do
estado. Estudava de manhã e à tarde e à noite trabalhava. Como morava em outra cidade
perdia muito tempo em transporte público e durante grande parte do curso desenvolvi a
rotina de dormir apenas 4 horas por noite. Quando percebi que tal rotina me atrasaria no
curso decidi rever sobre o trabalho. Peguei um trabalho à tarde e fiquei estudando só pela
manhã. Tive o apoio incondicional da minha mãe para poder me dedicar ao meu curso,
ficando alguns momentos apenas na universidade.
Após terminar a graduação, a vontade de continuar os estudos era latente. Nisso tive
uma ajuda, pois, conheci o meu marido e fui para o Rio de Janeiro. Enquanto esperava
abrir a prova do mestrado em Educação Matemática na Universidade Santa Úrsula fiz uma
especialização em ensino de Matemática na UERJ e trabalhava com turma de ensino fundamental e médio. O mestrado na Universidade Santa Úrsula não abriu edital e então
fui procurar outra pós-graduação que pudesse juntar Educação e Matemática. Sempre
trabalhando (teve época que em cinco escolas concomitantemente), fiz o mestrado em
Educação, mas tive a oportunidade de desenvolver uma pesquisa envolvendo jogos matemáticos. Ao terminar o mestrado, voltei ao Espírito Santo e comecei a trabalhar no ensino
superior, em faculdades particulares e pública, mas já visando o doutorado. Fui professora
substituta na UFES, campus São Mateus, e realizei um trabalho voluntário na organização
da Primeira Semana de Matemática de São Mateus. Nesse congresso tive contato com
vários professores de outras instituições.
19
Num congresso posterior, o ERMAC, realizado na Univerisade Federal do Espírito Santo,
campus Vitória, também trabalhei como voluntária e reencontrei alguns professores. No
primeiro dia de congresso fiz questão de buscar a maioria dos professores convidados
no aeroporto e levá-los ao hotel. Num desses percursos, a professora Nair Maria Maia
de Abreu, da COPPE, me perguntou: “Bea, o que anda fazendo?”, respondi, “Estou procurando um doutorado, mas por enquanto estou fazendo uma disciplina como ouvinte na
UFES, a disicplina na área de inteligência artificial.”.
Então, a professor Nair me disse que a COPPE estava com as inscrições abertas para
o doutorado e para eu tentar a prova e me sugeriu o professor Samuel Jurkiewicz como
orientador. Na semana do congresso foi muita correria, mas consegui acessar o site da
COPPE, fazer o projeto e me inscrever. Passei nas etapas, e comemorei com vários gritos
(PASSEI!!!!!!) quando recebi o resultado.
Iniciei o doutorado em Engenharia da Produção na COPPE/UFRJ, como bolsista do CNPq,
onde conheci a Teoria dos Grafos. Minha vontade de pesquisar algo na área da Educação
Matemática sempre me rondou.
Devido à cardiopatia de meu esposo, semanalmente, ficava no trecho Rio e Vitória. Já
no período em que comecei a escrever minha tese, um temporal tomou conta de minha
vida, pois além de complicações no parto, tive a notícia de que não poderia mais ter filhos.
Tive que, pelo menos temporariamente, abandonar o doutorado e voltei a lecionar em
faculdades particulares na região metropolitana da Grande Vitória. Emocionalmente não
estava apta para voltar a escrever a tese, pelo menos naquele período.
Conheci o Prof. Rodolfo Chaves, por volta de 2008. Participamos juntos de banca de
concurso público e em minhas turmas de Licenciatura ele esteve presente algumas vezes
para proferir palestras relativas a assuntos relacionados às disciplinas que ministrava.
Quando tive conhecimento do mestrado profissionalizante em Educação em Ciências e
Matemática no IFES-ES vi finalmente a oportunidade de realizar a vontade de retomar minhas pesquisas voltadas à área de Educação Matemática. Então, procurei o Prof. Rodolfo
que me disse: “primeiro faça o concurso. Caso você passe então, terei o maior prazer
em orientá-la.”. Muitos assuntos vieram à minha mente para a pesquisa, mas além da
Educação Matemática, a Teoria dos Grafos já estava também no meu coração. Com isso
decidi juntar um pouco da Teoria dos Grafos com ensino de Matemática, originando esse
trabalho.
O caminho até aqui foi sinuoso – às vezes fractal (fractos etimologicamente significa que-
20
brado, partido) – mas me lembro de algo que, ao encerrar a primeira reunião de orientação,
com minha amiga e “irmãzinha acadêmica”, Mariana dos Santos Cezar, nosso orientador,
parafraseando um de seus aportes teóricos, nos disse: “Meninas, como diria Max Stirner
1
, o saber tem que morrer para renascer na forma de vontade. Portanto, matem suas cer-
tezas. Pesquisa e ciência se produz a partir de dúvidas e não de certezas, mas matar as
certezas em momento algum significa perder a vontade. O mais importante é que mantenham sempre a vontade e o compromisso acessos em vocês.”. E foi assim que produzi
essa pesquisa. Mantendo sempre acesso a possibilidade de transformar, de ir além das
minhas certezas, mas sempre me questionando para que as dúvidas pudessem confrontar
verdades cristalizadas, ou como diz meu orientador, para que meu lado de educadora não
comprometa meu papel de pesquisadora no desenvolvimento deste trabalho.
1.2 PROPOSTA METODOLÓGICA
A Matemática Discreta é um dos campos da Matemática onde se insere a Teoria dos Grafos. Neste trabalho discutiremos a partir da proposta metodológica da Resolução de Problemas alguns problemas clássicos, que são resolvidos com essa teoria, com vistas a analisar
significados produzidos por professores e futuros professores face a uma proposta de inserção da Teoria dos Grafos a partir do ensino médio. Lembremo-nos que a Teoria dos
Grafos está presente em cursos de graduação de licenciatura e bacharelado em Matemática. Tomemos a situação:
O ensino da Matemática, essa ciência exata, é (re) passado de forma progressiva e organizada, apesar da disciplina ser considerada sempre difícil de aprender. No ensino da Matemática usamos conceitos, definições,
teoremas, postulados, axiomas e muitos exercícios de fixação de aprendizagem. Um exemplo da progressão do ensino é sobre os conjuntos dos
números que nas séries iniciais até a quinta série temos apenas os naturais e racionais positivos (subconjunto), nas séries seguintes, os inteiros,
1
Max Stirner é o pseudônimo de Johann Kaspar Schmidt (1806-1856), filósofo alemão que fez parte da
esquerda hegeliana. Stirner foi aluno de Hegel na Universidade de Berlim, entre 1826 e 1828. Compôs os
quadros dos ”jovens hegelianos“, formado em 1837, que agrupava jovens — muitos dos quais ainda estudantes — comprometidos com um espírito democrático que rompia com o modelo hegeliano oficial, formando
assim à esquerda hegeliana e se autodenominavam jovens hegelianos. Stirner escreveu vários artigos na
Gazeta Renana, da qual destaco um publicado em 1842: O falso princípio de nossa educação, publicado em
abril, a pedido de Marx, por Stirner — um dos colaboradores mais frequentes desse periódico que de março
a outubro publicou vinte e seis artigos. Nesse artigo Stirner externa sua opinião contrária à alfabetização proposta como combate contra o analfabetismo, por não acreditar que a alfabetização equivaleria à educação
de homens livres. Stirner estabelece críticas à pedagogia humanista — preocupada com a formação clássica
na qual predominam as humanidades greco-latinas — e à pedagogia realista que insiste na superioridade
dos estudos científicos e na formação técnico-profissional — voltada para a produção de saberes cívicos e
aptos para que o cidadão chegue ao mercado de trabalho — sendo que, em ambas, a educação, não era
outra coisa senão a acumulação de conhecimentos que domesticam. Nesses dois modelos pedagógicos,
Stirner identifica a intenção comum de negação do indivíduo.
21
racionais, reais e irracionais; chegando ao ensino médio como os complexos. Logo, o aprendizado foi feito durante toda a vida escolar do aluno,
lembrando que limitamos apenas num assunto como amostra.(MACHADO,
2004.p.01).
Quando ensinamos objetivando uma aprendizagem crítica é pertinente pautarmo-nos no
cotidiano do aluno, principalmente se levarmos em consideração Chaves (2004, p. 81-82),
que adota como princípio, para o desenvolvimento de PEI, a proposta de Patrick Geddes,
2
de que um aluno em contado com a realidade do seu ambiente desenvolve atitudes
criativas em relação ao mesmo, cabendo aos professores desempenhar o papel de executores de uma educação que incorpore uma análise da realidade socioambiental opondo-se
àquela em que o aluno é levado a ignorar as consequências dos seus atos. Um exemplo
disso é trabalhar com materiais e situações do seu dia a dia como quantificar, enumerar,
associar, listar, relacionar, dividir, compartilhar, simular e comparar apropriando-se para tal
de princípios e operações matemáticas nos vários conjuntos numéricos.
Não apenas na linha de Resolução de Problemas, mas em diversos setores do campo
da Educação Matemática, debate-se e investiga-se a cultura da hegemonia dos exercícios
de fixação e, ao se adotar como procedimento de ensino apenas a técnica de repetição,
levamos o aluno a um “mecanicismo” que vai ao encontro do que Chaves (2014, p.81-82)
exaltou como princípio a partir da proposta de Patrick Geddes, supracitada. Do ponto de
vista prático e à luz da cognição, ao resolvermos um exercício, é usual levarmos os alunos
a conceitos e definições; todavia, ficarmos presos somente a isso, abandonando quaisquer
possibilidades de contextualização, é exatamente levar o aluno a ignorar as consequências
dos seus atos.
Para nos contrapormos a tal situação, trabalharemos a partir da Resolução de Problemas
por entendermos que “a Resolução de Problemas deve estar no centro do ensino e da
aprendizagem da Matemática, em todos os níveis escolares”. (APM, 1988, p.30).
De acordo com Abrantes (1989) a Resolução de Problemas é reconhecida como o motor do
desenvolvimento da Matemática e da atividade matemática e não como “uma actividade
complementar, paralela, geralmente destinada a estimular ou detectar alunos particularmente dotados.” (p.1).
Respaldamo-nos que
A resolução de problemas deve ser um processo que envolva activamente
2
(1854-1923), biólogo e filósofo escocês, considerado o pai da Educação Ambiental, conhecido por seu
pensamento inovador nos campos do planejamento urbano e da educação.
22
os alunos na formação de conjecturas, na investigação e exploração de
ideias, que os leve a discutir e pôr em questão a sua própria maneira de
pensar e também a dos outros, a validar resultados e a construir argumentos convincentes. Por isso mesmo, a resolução de problemas não acontece
quando os alunos fazem uma página de cálculo, quando seguem o exemplo do cimo da página ou quando todos os problemas se destinam à prática
do algoritmo apresentado nas páginas precedentes. (NCTM, 1987).
No capítulo 2 descrevemos uma revisão de literatura dividida em dois itens:
1. A Resolução de Problemas de acordo com Pólya (1995) e Pozo (1998), por entendermos que a segunda obra vem a ser uma continuidade da primeira; isto é, Pozo
(1998) toma como fonte primária Pólya (1995). Não podemos esquecer de Dante
(1989) que também teve contribuições na Resolução de Problema e possui o mesmo
viés de Pólya (1995) e Pozo(1998).
2. O Modelo dos Campos Semânticos para que possamos analisar a produção de significado e respaldamo-nos nos PCN’s (BRASIL, 1998), para propor a inserção da
Teoria dos Grafos a partir do ensino médio usando como procedimento a Resolução
de Problemas.
No capítulo 3 apresentamos uma o apoio metodológico com a caracterização da pesquisa,
levantamento e análise dos dados, procedimentos e descrição dos mesmos onde temos a
proposta de inserção da Teoria dos Grafos e os conteúdos tratados nas aulas que foram
divididos em três unidades e estão nos apêndices B a J .
No capítulo 4 descrevemos os significados produzidos a partir da intervenção e finalizamos,
no capítulo 5, as considerações finais.
Em nosso grupo de pesquisa, o GEPEMEM, adotamos a ideia advinda de Chaves (2004)
de que uma estratégia é algo similar a uma armadilha e as táticas são as ações que
impulsionam à estratégia. Assim, entendemos objetivo geral como estratégia e objetivos
específicos como táticas. Então, temos como objetivo geral ou estratégia de pesquisa:
Analisar que significados são produzidos acerca da apresentação de uma proposta de inserção da Teoria dos Grafos em conteúdos matemáticos a partir do ensino médio utilizando
a Resolução de Problemas. Essa estratégia gerou a pergunta-diretriz:
Que significados são produzidos por futuros professores com a apresentação de uma proposta de inserção da Teoria dos Grafos em conteúdos matemáticos a partir do Ensino
Médio utilizando a Resolução de Problemas?
23
Logo, com o propósito de atingirmos a estratégia e de responder à pergunta-diretriz da
pesquisa adotamos como táticas inserir a Teoria dos Grafos nas aulas de Matemática a
aprtir do ensino médio usando a Resolução de Problemas e, para tal, nos propusemos a
verificar:
1. Se há (e caso haja, quais) procedimentos adequados para o ensino da Teoria dos
Grafos?
2. De que forma(s) é possível adotar a proposta apresentada em Pólya (1995) para
atingir à tática supracitada?
3. De que forma(s) é possível adotar a proposta apresentada em Pozo (1998) para
atingir à tática supracitada?
4. É possivel trabalhar concomitantemente Teoria dos Grafos e Resolução de Problemas em aulas de Matemática a partir do ensino médio? Como? Por que?
Optamos pelo ensino médio para ser a etapa inicial à abordagem da Teoria dos Grafos, pois
segundo Brasil (1998) e as OCNEM (BRASIL, 2006), podemos incluir temas que auxiliam
as necessidades da vida contemporânea.
Os objetivos do Ensino Médio em cada área do conhecimento devem envolver, de forma combinada, o desenvolvimento de conhecimentos práticos, contextualizados, que respondam às necessidades da vida contemporânea, e o desenvolvimento de conhecimentos mais amplos e abstratos,
que correspondam a uma cultura geral e a uma visão de mundo. Para
a área das Ciências da Natureza, Matemática e Tecnologias, isto é particularmente verdadeiro, pois a crescente valorização do conhecimento e
da capacidade de inovar demanda cidadãos capazes de aprender continuamente, para o que é essencial uma formação geral e não apenas um
treinamento específico. (BRASIL, 1998, p.6).
Essa proposta, apresentada em Brasil (1998), converge com os princípios suscitados por
Chaves (2004, p.81-82) a partir de Patrick Geddes, que citamos na introdução desse texto.
Brasil (1998) também cita que uma das suas competências é a contribuição da escola na
formação de um indivíduo crítico e reflexivo, convergindo mais uma vez com Chaves (2004).
Por isso, reiteramos o uso da Resolução de Problemas para que o indivíduo desenvolva a
capacidade de aprender crítica e continuamente.
24
Como resultado deste trabalho apresentamos um guia educacional como material de apoio
para professores (não só de Matemática) auxiliando numa inserção da Teoria dos Grafos
a partir do ensino médio.
Assim, tomamos como hipótese que nosso guia educacional possa auxiliar na formação e
orientação de professores de Matemática, viabilizando a inserção da Teoria dos Grafos a
partir do ensino médio, e para tal nos propusemos a:
1. Apresentar na linha de Resolução de Problemas situações que possam ser resolvidas pela Teoria dos Grafos envolvendo Análise Combinatória e Álgebra Linear.
2. Investigar a proposta de Resolução de Problemas tendo como suporte teórico a História e o desenvolvimento da Teoria dos Grafos.
3. Apresentar uma proposta de introdução à Teoria dos Grafos problematizada para
professores em processo de formação inicial.
4. Evidenciar os significados produzidos pelos atores da pesquisa face à apresentação
da proposta.
5. Analisar e verificar possíveis transformações em relação a significados produzidos
antes e depois da apresentação da proposta.
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2 REVISÃO DE LITERATURA
2.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Existem várias definições para “ O que é um problema?”, escolhemos duas apenas pelo
fato de que elas se adequam a nosso trabalho.
Segundo Kantowski (1981), um problema é uma situação que difere de um exercício pelo
fato de o aluno não dispor de um procedimento ou algoritmo que conduzirá com certeza a
uma solução que exija o pensar do indivíduo para solucioná-la.
Para Dante (1989), um problema é qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para
solucioná-la. Ele ainda afirma que, um problema de Matemática, é qualquer situação que
exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la e
também que um bom problema suscita a curiosidade e desencadeia no aluno um comportamento de pesquisa, diminuindo sua passividade e conformismo.
Dante (1989, p.11-15) também sugere objetivos à Resolução de Problemas:
1. Levar o aluno a pensar produtivamente: para que o aluno pense produtivamente
deve-se apresentar uma situação problema envolvente, que o desafie e o motive a
solucioná-la.
2. Desenvolver o raciocínio do aluno: além de desenvolver o raciocínio, desenvolver a
habilidade de elaborar um raciocínio lógico para que ela saiba quais recursos podem
ser propostos para a solução do problema.
3. Apoiar e estimular o aluno a enfrentar situações novas: desenvolver no aluno iniciativa, autonomia, criatividade para que ele esteja preparado ao se deparar com um
novo problema e saber resolvê-lo.
4. Dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da Matemática: preparar o aluno para saber quando e como utilizar conhecimentos matemáticosna resolução de situações-problema. Não incentivar a “mecanização ” do uso das operações,
por exemplo.
5. Tornar as aulas de Matemática mais interessantes e desafiadoras: incentivar e orientar o aluno para que trabalhe individualmente ou em grupo na “aventura” de buscar a
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solução de um problema. Sair do clássico esquema de explicar e repetir, a “mecanização” que já nos referimos anteriormente e que Chaves (2004) trata como homilia
professoral , ou práticas homiléticas, que inviabiliza a contextualização, a criticidade,
a possibilidade de transvalorização, como diz Chaves (2004) ao adotar Nietzsche
para fundamentação de Práticas Educativas Investigativas (PEI) que são propostas
a partir do princípio já exposto (de que um aluno em contado com a realidade do
seu ambiente desenvolve atitudes criativas em relação ao mesmo, cabendo aos professores desempenhar o papel de executores de uma educação que incorpore uma
análise da realidade socioambiental opondo-se àquela em que o aluno é levado a
ignorar as consequências dos seus atos.).
6. Equipar o aluno com estratégias para resolver o problema: mostrar para o aluno
que ele precisa traçar estratégias para resolver o problema auxiliando-o na análise e
solução de situações onde elementos desconhecidos são procurados.
Assim, pensamos usar a Resolução de Problemas para termos, em acordo com Dante
(1989) indivíduos “matematicamente” alfabetizados e críticos, que saibam resolver seus
problemas de comércio, economia, administração, engenharia, medicina, previsão de
tempo, e outros do cotidiano, ou como aponta Chaves (2004), levando-o a pensar globalmente, mas com possibilidades de agir localmente para transformar sua própria realidade
ao invés de pôr-se utopicamente na tentativa de transformar o mundo, mas não a si mesmo.
2.1.1 Resolução de Problemas segundo Pólya (1995)
Um dos precursores de Resolução de Problemas é George Pólya, com a primeira edição
do seu livro, traduzido para a língua portuguesa, em 1977: A arte de resolver problemas.
Ele destaca na sua obra a importância da heurística, que é a arte da descoberta. De
acordo com Pólya (1995):
A Heurística moderna procura compreender o processo solucionador de
problemas, particularmente as operações mentais, típicas desse processo,
que tenham utilidade. Dispõe de várias fontes de informações, nenhuma
das quais deve ser desprezada. Um estudo consciencioso da Heurística
deve levar em conta, tanto as suas bases lógicas quanto as psicológicas.
(...) O estudo da Heurística tem objetivos “práticos”: melhor conhecimento
das típicas operações mentais que se aplicam à resolução de problemas
pode exercer uma influência benéfica sobre o ensino, particularmente sobre o ensino da Matemática. (p.86).
Essa obra destaca grandes matemáticos, filósofos, físicos e psicólogos (Euclides, Descartes, Leibnitz, Bernard Bolzano, Pappus, Ernst Mach, Jacques Hadamard, William James,
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Wolfgang Kohler, K. Duncker e F. Krauss) e apresenta a resolução de diversos problemas
apenas pelo “prazer da descoberta”. Nela é sugerida uma rotina passo a passo de como
se deve resolver um problema. Vejamos o que porpõe:
• Compreensão do problema
- É preciso compreender o problema. Qual é a incógnita? Quais são os dados?
Qual é a condicionante? É possível satisfazer a condicionante? A condicionante
é suficiente para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou redundante? Ou
contraditória?
- Trace uma figura. Adote uma notação adequada. Separe as diversas partes da
condicionante. É possível anotá-las?
Dante (1989), afirma que o professor deve fazer perguntas à classe para averiguar
se os alunos compreenderam o que o problema está perguntando e para os encorajarem a fazer pergunta.
• Estabelecimento de um plano
- Encontrar a conexão entre os dados e a incógnita.
- É possível que seja obrigado a considerar problemas auxiliares se não puder encontrar uma conexão imediata.
- É fundamental que se estabeleça um plano para a resolução.
Nessa etapa, Pólya (1995) sugere que o professor averigue se os alunos conhecem
estratégias para resolver o problema e os questionar se já resolveram algum problema semelhante, como o resolveram e se podem usar essa resolução para auxiliar
na solução desse problema.
No que se refere a esse quesito, Dante (1989) lembra a importância do diálogo do
professor com a turma nessa estratégia de resolução: não é aconselhável que o
professor apresente apenas a sua estratégia e resolva o problema através dela.
• Execução do plano
- Ao executar o seu plano de resolução, verifique cada passo.
- É possível verificar claramente que o passo está correto? É possível demonstrar
que ele está correto?
- As estratégias estabelecidas no passo anterior são executadas aqui. Se uma não
der certo, pode-se usar outra que foi apresentada. Nessa etapa é recomendável que
se incentive, se trabalhe a habilidade do aluno em executar o plano estabelecido.
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• Retrospecto
- Examine a solução obtida.
- É possível verificar o resultado? É possível verificar o argumento?
- É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isto
num relance?
- É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?
A verificação do resultado é muito importante para completar o processo da Resolução de Problemas. Cabe então ao professor incentivar os alunos a defender por que
a resposta está correta e fazer um retrospecto da resolução.
Para Pólya (1995), o estudante deve ser mais independente e cabe ao professor o papel de
auxiliar o aluno, nem demais nem de menos: “se o aluno for deixado sozinho, ... é possível
que não experimente nenhum progresso...Se o professor ajudar demais, nada restará para
o aluno fazer.” (PÓLYA, 1995, p.1).
As atividades propostas aos alunos devem ser desafiadoras e interessantes para que os
alunos se sintam motivados e curiosos na resolução de um determinado problema que,
também quando possível, use seus conhecimentos para problemas do cotidiano.
2.1.2 Resolução de problemas segundo Pozo (1998)
Constatamos em Pozo (1998) que o aluno só aprende a aprender com a solução de
pro-blemas:
Ensinar a resolver problemas não consiste somente em dotar os alunos
de habilidades e estratégias eficazes, mas também em criar neles o hábito
e a atitude de enfrentar a aprendizagem como um problema para o qual
deve ser encontrada uma resposta. Não é uma questão de somente ensinar a resolver problemas, mas também de ensinar a propor problemas
para si mesmo, a transformar a realidade em um problema que mereça ser
questionado e estudado. (...) a aprendizagem da solução de problemas somente se transformará em autônoma e espontânea se transportada para o
âmbito do cotidiano, se for gerada no aluno a atitude de procurar respostas
para suas próprias perguntas/problemas, se ele se habituar a questionar
ao invés de receber respostas já elaboradas por outros... (POZO, 1998,
p.14).
Echeverría (1998) destaca a importância de “ resolver para aprender e aprender para resolver” na solução de problemas. Em especial, na solução de problemas matemáticos temos
um método de aprendizagem e um objetivo do mesmo:
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É um método de aprendizagem na medida em que grande parte do conteúdo da Matemática escolar trata de habilidades, técnicas, algoritmos ou
procedimentos heurísticos que podem ser usados em diversos contextos
(cotidiano, científico etc.). Para alcançar uma aprendizagem significativa
desse tipo de técnicas é necessário aprender a usá-las no contexto de diversos problemas. É um objetivo da aprendizagem na medida em que não
é possível aprender a solucionar problemas independentemente da aprendizagem de conceitos e conhecimentos de Matemática e que, ao mesmo
tempo, como vimos, a solução de problemas exige o acionamento e a coordenação de muitos processos complexos. (ECHEVERRÍA, 1998, p.63).
A resolução de problemas não pode ser vista tão-somente como uma técnica a ser ensinada; Pozo (1998) propõe alguns critérios que permitem transformar as tarefas escolares
em problemas, em vez de imples exercícios:
Na proposição do problema
• Propor tarefas abertas que admitam vários caminhos possíveis de resolução e, inclusive, várias soluções possíveis, evitando assim as tarefas fechadas.
• Modificar o formato ou a definição dos problemas, evitando que o aluno identifique
uma forma de apresentação com um tipo de problema.
• Diversificar os contextos nos quais se propõe a aplicação de uma mesma estratégia,
fazendo com que o aluno trabalhe os mesmos tipos de problemas em diferentes
momentos do currículo, diante de conteúdos conceituais diferentes.
• Propor tarefas não só com um formato acadêmico, mas também dentro de cenários
cotidianos e significativos ao aluno, procurando fazer com que o mesmo estabeleça
conexões entre ambos os tipos de situações.
• Adequar a definição do problema, as perguntas e a informação proporcionada aos
objetivos da tarefa, usando, em diferentes momentos, formatos mais ou menos abertos, em função desses mesmos objetivos.
• Usar os problemas com fins diversos durante o desenvolvimento ou sequência didática de um tema, evitando que as tarefas práticas apareçam como ilustração, demonstração ou exemplificação de alguns conteúdos previamente apresentados ao
aluno.
Durante a solução do problema
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• Habituar o aluno a adotar as suas próprias decisões sobre o processo de resolução, assim como a refletir sobre esse processo, dando-lhe uma autonomia crescente
nesse processo de tomada de decisões.
• Fomentar a cooperação entre os alunos na realização das tarefas, mas também incentivar a discussão e os pontos de vista diversos, que obriguem a explorar o espaço
do problema para comparar as soluções ou caminhos de resolução alternativos.
• Proporcionar aos alunos a informação que precisarem durante o processo de resolução, realizando um trabalho de apoio, dirigido mais a fazer perguntas ou a fomentar
nos alunos o hábito de perguntar-se do que a dar resposta às perguntas dos alunos.
Na avaliação do problema
• Avaliar mais os processos de resolução seguidos pelo aluno do que a correção final
da resposta obtida; ou seja, avaliar mais do que corrigir.
• Valorizar especialmente o grau em que esses processo de resolução envolve um planejamento prévio, uma reflexão durante a realização da tarefa e uma auto-avaliação
pelo aluno do processo seguido.
• Valorizar a reflexão e a profundidade das soluções alcançadas pelos alunos e não a
rapidez com que são obtidas.
Esses critérios são importantes tanto na formulação do problema como durante o processo
de sua resolução por parte dos alunos e também na própria avaliação do aluno.
2.2 MODELO DOS CAMPOS SEMÂNTICOS (MCS)
Para discutirmos o MCS adotamos como referencial teórico Lins (1999 e 2004), Lins e
Gimenez (1997), Chaves (2004).
Cezar (2014) destaca que o MCS foi concebido por Romulo Campos Lins, por volta de
1986, porém, 6 anos mais tarde, em 1992, que inicia sua escrita. A aludida obra, ao
analisar Lins (2012, p.11), ainda destaca que foi a partir das inquietações relacionadas à
sala de aula que Romulo Campos Lins objetivou caracterizar o que seus alunos pensavam
quando “erravam”, mas sem com isso ter que recorrer à ideia de erro.
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O MCS se alicerça na dinâmica de produção de conhecimento e na produção de significado e, em nosso trabalho, o tomaremos como procedimento de análise a partir de Dantas
e Cyrino (2012, p.129-138), para analisarmos os modos de produção de significado dos
atores envolvidos, estabelecendo analogia entre as enunciações emitidas antes e depois
da apresentação de uma proposta de inserção da Teoria dos Grafos, na oficina que desenvolvemos no GEPEMEM. Para esse procedimento fomos a Cezar (2014) e tomamos
características gerais do MCS: o espaço comunicativo estabelecido por autor-leitor-autor,
a análise das enunciações na busca de significados produzidos (sem considerar a ideia de
erro), a constituição de estipulações locais (sem evidenciá-las como únicas).
As análises advêm de respostas descritas em questionários, em gravações de áudio, a
partir das falas, realizadas durante o processo de pesquisa (a oficina de Teoria dos Grafos
que desenvolvemos a partir do GEPEMEM). Assim, a partir dessa perspectiva, buscamos
estabelecer relações que sustentem a visão dos atores da pesquisa a partir de uma leitura
plausível. Consideramos como leitura plausível
Toda tentativa de se entender um autor deve passar pelo esforço de olhar
o mundo com os olhos do autor, de usar os termos que ele usa de uma
forma que torne o todo de seu texto plausível. (LINS, 1999, p.93).
É importante destacarmos que não buscamos, com a produção de significado “avaliar” o
que é certo ou o errado, até porque, segundo o MCS, uma noção básica de avaliação
perpassa pelo seu propósito.
Com relação a este propósito podemos, por exemplo, pensar em: (A1) para
saber o que está acontecendo; (A2) para saber se o que está acontecendo
corresponde ao que queríamos; (A3) para selecionar as pessoas que se
comportam, em algum sentido, de uma certa forma dominante e que é
considerada correta. (LINS, 1999, p.76).
Em nossas análises, em um instante inicial consideramos (A1) para nos situarmos em relação aos atores participantes da nossa oficina (cenário onde se desenvolveu a pesquisa).
Ao aplicarmos a oficina buscamos analisar os significados produzidos com vistas a focarmos (A2) para verificar o quão nossa proposta pode ser exequível ou não.
O que nos motivou trilharmos esse caminho foi a possibilidades de efetuarmos leituras
não mais do trabalho (de uma prova, um texto) de um aluno, mas dos significados por ele
produzidos ao se deparar com um problema; isto é, vislumbramos então efetuar leituras do
próprio aluno e do processo, não mais do produto, pois como atesta Lins (1999) “o aspecto
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central de toda aprendizagem – em verdade o aspecto central de toda a cognição humana
– é a produção de significado.”. (LINS, 1999, p.86).
Logo, com o propósito de familiarizarmos os leitores deste texto, necessitamos elucidar
alguns conceitos que dão suporte ao MCS, como, por exemplo, significado, produção de
significado, enunciado, enunciação, leitor, texto, autor, crença-afirmação, resíduo de enunciação, espaço comunicativo, Campo Semântico etc.
Se acordo com Lins, 2012, p.11-30, temos que:
• significado: é tudo o que se pode e efetivamente se diz de um objeto numa certa
(dada) situação
• produção de significado: falar a respeito de um objeto
• leitor: produz significado para um resíduo de enunciação
• autor: produz a enunciação
• crença-afirmação: o sujeito enuncia algo em que acredita
• resíduo de enunciação: algo com que me deparo e que acredito ter sido dito por
alguém.
• espaço comunicativo: o autor produz uma enunciação, para cujo resíduo o leitor
produz significado através de uma outra enunciação, e assim segue. A convergência
se estabelece apenas na medida em que compartilham interlocutores, na medida em
que dizem coisas que o outro diria e com autoridade que o outro aceita. E isto que
estabelece uma espaço comunicativo.
• Campo Semântico: é um processo de produção de significado ... é como sem fosse
um jogo no qual as regras (se existem) podem mudar o tmepo todo e mesmo serem
diferentes para od vários jogadores dentro de limites; que limites são estes, só saberemos a posterior: enquanto a interação continua, tudo indica que as pessoas estão
poerando em um mesmo campo semântico.
O lastro de nossas análises, neste trabalho, pauta-se pela perspectiva da produção de
significado a partir de processos de ensino e de aprendizagem da inserção de Teoria dos
Grafos para trabalharmos com alguns problemas básicos envolvendo Análise Combinatória
e Álgebra Linear. Daí buscarmos um modelo de que nos possibilitasse analisar com mais
propriedade o processo de produção de significado. No MCS significado de alguma coisa
33
é o que é dito dessa coisa. Para Cézar (2014) o significado traduz a palavra, por ser um
ato do pensamento, algo generalizado.
Grosso modo, significado, para mim é o que a coisa é.... quando falo de
significados não estou me referindo a tudo que numa dada situação eu poderia dizer de um objeto, e sim ao que efetivamente digo a respeito de um
objeto dentro daquela atividade. (LINS, 1999, p.86-87). Significado de um
objeto é aquilo que efetivamente se diz a respeito de um objeto, no interior
de uma atividade... não existe o significado de um ‘objeto’ sem referência
ao contexto em que se fala de um objeto (que se pensa com ele, que se
pensa sobre ele). Talvez seja útil dizer que significado é sempre local. A
noção de significado no MCS não é ambiciosa, ela é pragmática e pretende ser prática o bastante para tornar as leituras suficientemente finas.
E assim ajuda a evitar que complicações se passem por complexidades.
(LINS, 2012, p.28).
Cézar (2014) identifica que várias pesquisas na área (Lins e Gimenez (1997), Sad, (1999),
Chaves (2001 e 2004), Silva (2003), Linardi (2006) etc.) adotam a produção de significado tal como concebida por Lins (1999 e 2012); isto é, defendem que toda produção de
significado implica produção de conhecimento de maneira que passam a defender que “o
aspecto central de toda aprendizagem – em verdade o aspecto central de toda a cognição
humana – é a produção de significado” (LINS, 1999, p.86). A ideia de “erro” está relacionada a algum pensamento; assim, Lins propôs tratar essa possibilidade cognitiva do
mesmo modo que as coisas “certas”.
É nessa perspectiva, segundo Cézar (2014, p.33), que o MCS direciona seu olhar “na
busca da produção de significado; isto é, o que os alunos pensam e falam quando resolvem
algum problema, seja ‘certo’ ou ‘errado’; qual a justificativa para esta resolução.”
Outro conceito basilar adotado pelo MCS é o de conhecimento, que, para Lins (2012,
p.12), “um conhecimento consiste em uma crença-afirmação (o sujeito enuncia algo em
que acredita) junto com uma justificação (aquilo que o sujeito entende como lhe autorizado
a dizer o que diz)”.
Um conhecimento não é nem mais, nem menos, que isto. Existe em sua
enunciação e deixa de existir quando ela termina. A justificação é parte
constitutiva de um conhecimento, assim como aquilo que é afirmado e a
crença no que é afirmado; isto quer dizer que o que constitui um conhecimento são estes três elementos. Nisso o MCS se diferencia de outras
teorizações sobre conhecimento. (LINS, 2012, p.12).
A partir de tais teorizações Cezar (2014, p.33) toma como pressuposto que a produção de
significado é necessária à produção de conhecimento. Em seu entendimento produzimos
34
conhecimento por intermédio dos processos de enunciação.
Já Chaves (2004) defende que o conhecimento só existe à medida em que, entre o indivíduo e o que ele conhece, se estabelece algo como uma luta; ou seja, o conhecimento se
produz na ordem da batalha. Isso porque se configura sempre como uma relação estratégica em que o homem se encontra situado. Com isso, Chaves (2004, p.71) descreve:
Tal como Nietzsche, acreditamos que um conhecimento não se constrói a
partir da aceitação de nossas verdades, mas a partir do questionamento
das mesmas com respeito de algo a ser conhecido. Desta forma, entendemos que o erro, a dúvida, a incerteza são pontos importantes para que
possamos construir um conhecimento.
Tal concepção não se contrapõe, mas complementa a ideia de que o “conhecimento é uma
crença-afirmação com uma justificação que me autoriza a produzir aquela enunciação.”
(LINS, 1999, p.88). O que pode ser constatado em Silva (2003) ao comentar a noção de
conhecimento apresentada por Lins (1999):
O sujeito acredita naquilo que está afirmando, o que implica que ele
acredita estar autorizado a ter aquela crença. Mas não é suficiente que
aquela pessoa acredite e afirme; é preciso também que ela justifique suas
crenças-afirmações para que a produção de conhecimento ocorra. Porém,
o papel da justificação não é explicar a crença-afirmação, mas tornar sua
enunciação legítima, o que faz com que as justificações tenham um papel
central no estabelecimento do conhecimento do sujeito. (SILVA, 2003, p.6).
Lins (1999) aborda o processo comunicativo e para tal expõe seu entendimento de autor, texto e leitor. Para o MCS o autor é aquele que, no processo produz a enunciação.
“Quando o autor fala, ele sempre fala para alguém. Porém, por mais que um autor esteja
diante de uma plateia, este alguém não corresponde a indivíduos, pessoas nessa plateia e,
sim, ao leitor que o autor constitui: é para este ‘um leitor’ que ‘o autor’ fala...” (LINS, 1999,
p.81).
Silva (2003, p.50) para exemplificar tal concepção nos lembra que um professor em uma
aula expositivo-explicativa, um artista plástico expondo seus trabalhos ou um escritor apresentando sua obra são exemplos de o autor. Ainda em Silva (2003) vimos que, dessa
forma o leitor é aquele que, no processo, produz significados para o resíduo das enunciações e cita como exemplo de o leitor, o aluno que, assistindo a uma aula, busca entender
o que o professor diz. O mesmo vale para o crítico de arte ou o leitor de um livro.
O outro processo, aquele no qual o leitor lê, é semelhante, mas não idêntico. O leitor constitui sempre um autor, e é em relação ao que este ‘um
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autor’ diria que o leitor produz significado para o texto (que assim se transforma em texto). Outra vez, o um autor é sempre cognitivo e não biológico
e, não precisa corresponder de fato a nenhum outro real. ... E vale a pena
enfatizar que é apenas na medida em que o leitor fala, isto é, produz significado para o texto, colocando-se na posição de autor, que ele se constitui
como o leitor. (LINS, 1999, p.81).
Na leitura de Chaves (2004, p.10) a tal respeito, “quando o autor fala, o faz em uma dada
direção com o propósito de que sua enunciação se transforme em texto para um possível
leitor (um leitor ).”.
Ao revés do um leitor, o leitor é o sujeito que produz significados para
o resíduo das enunciações supostamente produzidas por um autor. Assim sendo, o leitor se constitui enquanto tal na medida em que fala, i. e.,
tão somente na medida em que, colocando-se na posição de autor, produz significados para supostos resíduos de enunciação. Nestes termos, o
leitor constitui sempre um autor como seu interlocutor, e é nesta relação
dialógica, na condição de um autor, que o leitor produz significado para o
resíduo da enunciação que, a partir daí, através da interlocução, se põe
em texto. (CHAVES, 2004, p.10).
Já Silva (2003) designa esse um leitor de interlocutor e defende que o interlocutor “deve
ser identificado como sendo uma direção na qual o autor fala e não com pessoas, com
‘rostos’ com quem falamos; mas com modos de produzir significados.”.
Outro conceito relevante à nossa pesquisa é o de texto (segundo o referencial do MCS).
Logo, tomaremos texto não apenas com a classificação usual (de texto escrito), mas qualquer resíduo de enunciação para o qual o leitor produza algum significado.
Mas quem pode dizer se algo é um texto ou não é apenas o leitor, e apenas
no instante em que este leitor produz significado para o texto. Tanto quanto
não há leitor sem texto, não há texto sem leitor. Então: o autor produz uma
enunciação, para cujo resíduo o leitor produz significado através de uma
outra enunciação, e assim, segue. A convergência se estabelece apenas
na medida em que compartilham interlocutores, na medida em que dizem
coisas que o outro diria e com autoridade que o outro aceita. É isto que
estabelece um espaço comunicativo: não é necessária a transmissão para
que se evite a divergência. (LINS, 1999, p.82).
Lins (2001) exemplifica dizendo que os sons (resíduos de elocução), bem como desenhos
e diagramas, gestos e todos os sinais do corpo, enquanto resíduos de enunciação, também
se constituem como texto.
36
O que faz do texto o que ele é, é a crença do leitor que ele é, de fato,
resíduo de uma enunciação, ou seja, um texto é delimitado pelo leitor; além
disso, ele é sempre delimitado no contexto de uma demanda de que algum
significado seja produzido para ele. (LINS, 2001, p.59).
Assim, Chaves (2004, p.11) defende que “um texto deve ser entendido como os significados
produzidos pelo o leitor, a partir do que ele acredita ser o resíduo de uma enunciação.”. No
MCS o texto é o resíduo de uma enunciação, todavia, este texto só existirá apenas no
instante em que o leitor produzir significado para ele. (Lins, 1999).
A respeito de objetos, Lins (1999) apresenta:
Os objetos são constituídos enquanto tal precisamente pela produção de
significado para eles. Não se trata de ali estão os objetos e aqui estou eu,
para a partir daí eu descobrir seus significados; ao contrário, eu me constituo enquanto ser cognitivo através da produção de significado que realizo,
ao mesmo tempo em que constituo objetos através destas enunciações.
(LINS, 1999, p.86).
Uma premissa relevante ao MCS – e por consequência ao nosso trabalho – é de que
quem produz significado não é o emissor, mas o receptor da enunciação. Dessa forma,
para que emissor e receptor de uma enunciação possam compartilhar o mesmo espaço
comunicativo, ou seja, produzam uma efetiva comunicação e daí que ocorra entre eles
uma interlocução, devemos entender que o interlocutor
é uma direção na qual se fala. Quando falo na direção de um interlocutor
é porque acredito que este interlocutor diria o que estou dizendo e aceitaria/adotaria a justificação que me autoriza a dizer o que estou dizendo. O
interlocutor é um ser cognitivo, não um ser biológico. (LINS, 2012, p.19).
Em Lins (2012, p. 17) campo semântico é um processo de produção de significado, em
relação a um núcleo, no interior de uma atividade e, justamente por ser processo, admite
que se associe dinâmicas de tal processo. Um campo semântico não é uma categoria exatamente pelo seu caráter dinâmico, processual, no entanto ao analisarmos os significados
produzidos e a dinâmica dessa produção de significado acabamos que por analisando que
objetos são constituídos o que em momento algum implica que se esteja caracterizando
os mesmos com o propósito de se estabelecer como que as regras de um jogo.
Um campo semântico, de modo geral, é como se fosse um jogo no qual
as regras (se existem) podem mudar o tempo todo e mesmo serem diferentes para os vários jogadores dentro de limites; que limites são estes, só
37
sabemos a posteriori: enquanto a interação continua, tudo indica que as
pessoas estão operando em um mesmo campo semântico. (LINS, 2012,
p.17).
Há de se esclarecer que mesmo que haja tal flexibilidade é perigoso efetuarmos uma
leitura pela falta, ou seja, de se pensar que um campo semântico é o mesmo que campo
conceitual. Pois não o é! Isto porque um campo semântico indica em modo legítimo de
produção de significado. Legítimo porque está acontecendo. É dinâmico!
É no interior dos campos semânticos que se produz conhecimento e significado, que objetos são constituídos. Do ponto de vista da produção do
conhecimento e significado, e da constituição de objetos, campo semântico
é, como a atividade de Leontiev (no caso da análise da atividade humana).
Do ponto de vista da teorização, “campo semântico” serve para articular
“produção de conhecimento”, “significado”, “produção de significado”e “objeto”. (LINS, 2012, p.18).
Lins (2012, p. 29) chama atenção para o fato de que falar modos de produção de significado não implica em falar especificamente de campos semânticos, mas de campos
semânticos idealizados que “existem na forma de repertórios”. Tal ressalva nos cai bem
para que possamos então justificar que em nosso trabalho ao analisarmos a produção de
significado, advindas da apresentação de uma proposta, desenvolvida a partir de uma oficina em que trabalhamos com Teoria dos Grafos, estaremos elencando, a partir da análise
modos da produção de significado de uma proposta de inserção da Teoria dos Grafos em
conteúdos matemáticos a partir do ensino médio utilizando a Resolução de Problemas.
38
3 APOIO METODOLÓGICO
Para esta pesquisa escolhemos uma abordagem qualitativa, nos moldes do estudo de
caso, conforme dito anteriormente, para analisar quais significados que foram produzidos
a partir da intervenção realizada.
3.1 CARACTERIZAÇÃO DA PESQUISA
De acordo com Gil (2008), como em qualquer pesquisa, um estudo de caso inicia-se com
a formulação de um problema. Escolhemos o estudo de caso único e nossos atores da
pesquisa são alunos pibidianos e concluintes do curso de Licenciatura em Matemática do
Ifes (Campus Vitória), participantes do GEPEMEM (inicialmente 15 alunos). Escolhemos
esse perfil para os atores por dois motivos: (i) queríamos nos deparar com licenciandos
que já estudaram, ou estão estudando Álgebra Linear e Análise Combinatória; (ii) por terem
cursado a disciplina Estágio Supervisionado IV ou estarem em sala através do PIBID, nos
garantindo assim a regência em sala de aula.
Em consonância com Gil (2008) utilizamos a parte documental (no aporte teórico), as entrevistas (as atividades da oficina foram expositivas-dialogadas com vários questionamentos
em plenárias - roda de conversa) e observações (ocorridas durante a execução das atividades da oficina).
Optamos pela observação sistemática, pois, nessa modalidade, o pesquisador sabe quais
os aspectos da comunidade, da organização ou do grupo são significativos para alcançar
os objetivos pretendidos. (Gil, 2008, p.121).
Para trabalharmos no viés da Resolução de Problemas tomaremos como suporte a metodologia apresentada em Pólya (1995) juntamente com a apresentada em Pozo (1998); para
os conceitos da Teoria dos Grafos usaremos as obras de Boaventura (2006) e Jurkiewicz
(2009) e, para a produção de significado, o MCS de acordo com Lins (1999 e 2012).
Para o desenvolvimento das atividades de campo relativas a este trabalho temos como
atores da pesquisa os alunos do curso de Licenciatura em Matemática do Ifes (campus
Vitória) Pibidianos do GEPEMEM. A maioria desses alunos possui Regência em Classe,
seja nas atividades do PIBID (mantido pela CAPES/MEC), seja na disciplina eletiva Estágio
Supervisionado IV.
39
Adotamos a pesquisa de natureza qualitativa com enfoque no estudo de caso para analisarmos o processo de produção de significado produzido pelos atores envolvidos.
Nas atividades de campo, no primeiro contato, os atores da pesquisa foram questionados a
respeito dos seus conhecimentos prévios de Análise Combinatória e Álgebra Linear e o uso
dos mesmos a partir da Resolução de Problemas. Após esse questionamento iniciamos a
apresentação de uma proposta de ensino, tendo como material didático os apêndices (B a
J ) apresentados neste texto e, para investigação desse processo analisamos a produção
dos significados a cerca do conhecimento produzido na inserção da Teoria dos Grafos
usando a Resolução de Problemas a partir do ensino médio.
3.1.1 Estudo de caso
Yin (1994) define “estudo de caso” com base nas características do fenômeno em estudo
e com base num conjunto de características associadas ao processo de recolha de dados
e às estratégias de análise dos mesmos. Ele afirma que
esta abordagem se adapta à investigação em educação, quando o investigador é confrontado com situações complexas, de tal forma que dificulta a
identificação das variáveis consideradas importantes, quando o investigador procura respostas para o “como?” e o “porquê?”, quando o investigador
procura encontrar interacções entre fatores relevantes próprios dessa entidade, quando o objectivo é descrever ou analisar o fenômeno, a que se
acede diretamente, de uma forma profunda e global, e quando o investigador pretende apreender a dinâmica do fenômeno, do programa ou do
processo. (YIN, 1994, p.13).
Então, o estudo de caso, de acordo com Yin (1994) é uma abordagem metodológica de
investigação especialmente adequada quando procuramos compreender, explorar ou descrever acontecimentos e contextos complexos, nos quais estão simultaneamente envolvidos diversos fatores.
Gil (2008) argumenta que o estudo de caso consiste no estudo profundo e exaustivo de um
ou poucos objetos, de maneira que permita seu amplo e detalhado conhecimento. Ele propõe um conjunto de etapas que, não necessariamente nesta ordem, são seguidas nesse
tipo de pesquisa:
• formulação do problema ou das questões de pesquisa
• definição das unidades-caso
• seleção dos casos
40
• elaboração do protocolo
• coleta de dados
• análise e interpretação dos dados
• redação do relatório
Nesta pesquisa utilizaremos o estudo de caso único pois analisaremos a produção de
significado por um grupo específico e, portanto, bem definido de atores. Nossas fontes
da coleta de dados foram: documentais (em aulas), entrevistas (a partir de análises da
aplicação dos exercícios e tarefas propostas) e observações (para análise dos significados
produzidos a partir da aplicação da proposta de inserção da Teoria dos Grafos no ensino
médio). (Cf. apêndices B a J ).
3.2 O LEVANTAMENTO E A ANÁLISE DOS DADOS
No estudo de caso a análise e a interpretação de dados ocorrem simultaneamente à sua
coleta. Gil (2008) afirma que a análise se inicia com a primeira entrevista, a primeira
observação e a primeira leitura de um documento.
Entendemos que dados “são observações documentadas ou resultados da medição. A
disponibilidade dos dados oferece oportunidades para a obtenção de informações. Os
dados podem ser obtidos pela percepção através dos sentidos (por exemplo observação)
ou pela execução de um processo de medição.” (PINHEIRO, 2008,p.01).
Como as atividades da oficina foram expositivas-dialogadas, os atores também tiveram
liberdade de relatar suas dificuldades (ou não) na realização das mesmas e discutir com
o grupo e os pesquisadores. Opinaram a respeito da escrita do material que foi proposto
com o intuito de rever alguma interpretação sugerindo alterações.
Os dados foram coletados do material que foi entregue e depois devolvido pelos atores
e anotações das falas dos atores feita pela pesquisadora. Além dos dados escritos nos
materiais, também coletamos, nas rodas de conversa (plenárias ao término de cada encontro), por sistema de áudio, alguns resíduos de enunciação falas, transcritas a seguir,
nos capítulos posteriores deste texto.
As falas e transcrições são enunciações que, aqui, transformam-se em texto e representaremos por: colchete E capítulo − número colchete. Por exemplo, a enunciação [E3 − 001]
encontra-se no capítulo 3 e é a primeira apresentada.
41
O cenário da pesquisa deu-se a partir de uma oficina de Teoria dos Grafos com foco de
base à Álgebra Linear e à Análise Combinatória. A partir dos grupos (de alunos do LIMAT)
presentes nas redes sociais dirigimos o convite para participarem de uma oficina de Teoria
dos Grafos: abordagens conceituais e discussões de possibilidades didático-pedagógicas.
Inscreveram-se para essa oficina 15 licenciandos (mas somente 8 compareceram em todos os encontros), 1 professor; 2 pesquisadores envolvidos no programa EDUCIMAT. Foram 6 reuniões, de aproximadamente 2 horas e 30 minutos (cada), no LPEI do Programa
LIFE/CAPES. O período de desenvolvimento desta oficina foi entre outubro e novembro
de 2014. Os atores apresentaram codinomes e estes codinomes que utilizaremos para
preservar os mesmos.
Vários imprevistos dificultaram nossa coleta de dados. No período em que decorreu a
oficina nos deparamos com fortes chuvas e alagamentos, greve do transporte coletivo, viagens dos atores para participarem de congressos, regional e nacional, do PIBID e término
de semestre letivo. Assim, trabalhamos com os dados que nos foram disponiblizados e
não com os que prevíamos ou idealizamos.
No desenvolvimento de uma pesquisa nos deparamos com muitas dificuldades, das mais
diversas naturezas:
• encontrar fontes adequadas e acessíveis;
• dispor de tempo para efetuar todas as leituras que nos propõem;
• cumprir todas as etapas acadêmicas em tempo recorde para dedicar-se tão-somente
à dissertação;
• concatenar as ideias com a fluidez do texto. Estes são alguns exemplos.
Tais dificuldades ampliam-se quando desenvolvemos atividades de campo:
• concatenar as relações espaço-temporais para o desenvolvimento de atividades, aplicações / análises / transcrições / devolutivas / (re)transcrições / novas análises de
entrevistas;
• adequar seu horário aos respectivos horários dos atores;
• contar com disponibilidade de local para o desenvolvimento das atividades;
42
• deparar-se com fatores socioeconômicos e geográficos 1 que atingem as atividades
diretamente, como por exemplo, greve de transporte público e atos políticos, congestionamentos do trânsito, fatores climáticos (fortes chuvas, calor excessivo).
No entanto, assumimos que as maiores dificuldades que tivemos foram:
• manter a isenção e interferir minimamente no processo;
• portar-se como pesquisadora e não como a professora no contato com os atores;
• fugir ao que (Chaves, 2000) caracteriza como “síndrome da melhora”.
O levantamento de dados foi a análise do questionário de conhecimentos prévios, análise
das atividades propostas e observações durante a oficina e nas rodas de conversa, que
serão mostrados adiante.
3.3 PROCEDIMENTOS DA PESQUISA
Nesta oficina iniciamos com a apresentação aos (e dos) atores. Após essa apresentação
pessoal, fizemos um relato a respeito da pesquisa em desenvolvimento e apresentamos o
material didático com as atividades que seriam utilizadas. Explicamos que a participação
seria voluntária e agradecemos a presença dos atores.
No primeiro encontro os atores responderam a um questionário (perguntas) para que tivéssemos ciência dos conhecimentos prévios de Matrizes, Determinantes, Análise Combinatória e Teoria dos Grafos. Em seguida desenvolvemos três atividades (com a intenção de
identificar os conhecimentos prévios de análise combinatória e matrizes) que passamos a
descrever.
• Atividade 1: leitura de um texto envolvendo aplicações de Álgebra Linear, desenvolvimento de atividade à luz da Resolução de Problemas e questionamentos sobre a
atividade. (apêndice C)
1
Vitória é uma cidade ilha e com poucas entradas e saídas. Da região metropolitana é uma das menores
cidades, porém, diariamente recebe grande conglomerado de veículos e pessoas entrando e saindo da
capital para 5 cidade (Viana, guarapari, Vila Velha, Cariacica e Serra), de grande e médio porte, do seu
entorno e que pertencem também à região metropolitana
43
• Atividade 2: leitura de um problema resolvido de Análise Combinatória e desenvolvimento de situações-problemas e questionamentos sobre os mesmos. (apêndice
D)
• Atividade 3: apresentação da Unidade 1 (histórico e definição) do guia educacional
( apêndices G) sobre Teoria dos Grafos e realização de problemas, à luz do procedimento adotado.
Em todos os encontros mantivemos rodas de conversas (plenárias) a respeito das atividades, das possibilidades, das dúvidas. Tal momento funcionou como uma plenária, ao
término de cada encontro, para que melhor pudéssemos analisar a produção de significado a respeito do que fora discutido.
Os atores puderam levar o material para analisarem, refletirem a respeito das atividades
(problemas propostos) desde que se comprometessem em entregar no encontro seguinte.
No segundo encontro perguntamos quais as dificuldades que se depararam e conversamos
a respeito do desenvolvimento e dúvidas. Em seguida utilizamos a lousa com a participação de todos e discutimos a respeito de possibilidades de inserção e resolução de tais
atividades em turmas a partir do ensino médio.
Nesse encontro foi entregue a segunda parte do material (guia educacional) que consistia
em: definições conhecidas da Teoria dos Grafos e a Unidade 2 (Tipos de Grafos). Esse
encontro foi realizado com discussão de problemas, com intervenções da pesquisadora,
fazendo os modelos dos grafos na lousa e coma a participação dos atores.
Sempre perguntávamos aos atores, após a leitura da atividade, qual estratégia eles utilizariam para resolver os problemas propostos, segundo a metodologia da Resolução de
Problemas, se pensavam em resolver utilizando outro conhecimento matemático? Quais
os conhecimento prévios necessários? Se já resolveram algum problemas semelhantes?
Nos encontros seguintes (três) a dinâmica foi a mesma: diálogo entre pesquisadores e os
atores a respeito de dúvidas, impressões, dificuldades, questões de natureza metodológica
etc. encontradas nas propostas apresentadas. A mídia utilizada foi a lousa e problemas
discutidos na lousa com a intervenção dos atores.
A cada encontro (menos o último) os atores levavam consigo o material.
No último encontro propusemos três problemas e os atores foram orientados a resolvê-los
de maneira livre, escolhendo qual(is) conteúdos matemáticos utilizariam para o desenvol-
44
vimento e a resolução dos mesmos. Nessa etapa não intervimos, apenas observamos
para verificar se os atores utilizariam a teoria dos grafos em algum (ou em todos) como
estratégia de resolução.
Finalizada essa etapa, perguntamos como resolveram o que fora proposto, efetuávamos
as indagações e acrescentávamos novas possibilidades de discussão de cada situaçãoproblemas sempre com novas indagações, como nos foi apresentado pelo Professor participante (Cf. [E3 − 001]):
[E3 − 001] Professor participante - Sabe?...Fui aluno do Bassanezi (referindo a Rodney
Bassanezi, professor do IMECC/Unicamp) e ele dizia que sempre que suscitamos novas
dúvidas a respeito de um problema, abrimos oportunidade de que novos problemas surjam.
Ele dizia que o grande barato está em introduzir um “E se...”, “e se isso acontecer?”, “e
se isso não for possível?”, “e se eu seguir esse caminho?”... É isso que vocês estão
propondo? (grifo nosso)
Um dos atores (Malba Tahan) iniciou a resolução (situação-problema 2 da atividade final)
usando uma tabela e verificou que ficaria muito “grande” a tabela. Depois ele usou um
resultado de grafos (Teorema 1, apêndice G) e resolveu rapidamente a situação proposta.
Perguntamos se realmente havíamos “plantado a sementinha” da Teoria de Grafos, se,
quando eles lessem um problema, a Teoria de Grafos apareceria como uma possível estratégia para Resolução de Problemas.
Já outro ator (Newton), que trabalha em sua pesquisa envolvendo propostas de ensinar
Análise Combinatória a partir de materiais manipulativos e partindo de princípios (Princípio Multiplicativo, por exemplo) e não de fórmulas (Combinação, Permutação e Arranjo),
enunciou que essa oficina será um grande suporte às atividades de sua pesquisa.
Nesse momento gostaríamos de apresentar dois conceitos, segundo Lins (2012, p.23):
Leitura positiva: é o oposto de uma “leitura pela falta”, trata-se de saber de que forma uma
coerência se compõe na falta de uma pessoa, num livro, e assim por diante, e não de, em
meus termos, dizer que aquela fala indica falta de informação, ou de reflexão, ou de isso
ou aquilo.
Leitura plausível: se aplica de modo geral aos processos de produção de conhecimento
e significado; ela indica um processo no qual o todo do que eu acredito que foi dito faz
sentido.
45
De acordo com Lins (2012, p.23) “O uso da “leitura plausível” é útil nas situações de interação, como são (ou deveriam ser) todas as situações envolvendo ensino aprendizagem.
”
Os atores realizaram leituras positivas das propostas discutidas e afirmaram que queriam
continuar os estudos. Alguns relataram que gostariam de trabalhar um pouco da Teoria
dos Grafos para seus alunos do ensino médio e que essa teoria poderia ser tratada em disciplinas da Licenciatura em Matemática. Lembramos que, de acordo com o PCNs (1998),
a Teoria dos Grafos pode ser ministrada nesse nível de ensino. A respeito de trabalhar
Teoria dos Grafos na graduação de Licenciatura em Matemática, expusemos nosso ponto
de vista falando que seria importante, como eixo transversal para que a inserção da Teoria
dos Grafos no ensino médio (como recurso metodológico) ganharia mais adeptos.
3.4 DESCRIÇÃO DOS PROCEDIMENTOS
Lembremos que
• (i) nosso propósito é efetuar leituras plausíveis com o intento de analisarmos os modos de produção de significados dos atores envolvidos.
• (ii) “Toda tentativa de se entender um autor deve passar pelo esforço de olhar o
mundo com os olhos do autor, de usar os termos que ele usa de uma foram que
tonre o todo de seu texto plausível.” (LINS, 1999, p.93).
3.4.1 Questionário inicial: Conhecimentos prévios
No questionário inicial havia cinco perguntas sobre matrizes e análise combinatória, pois
nossa ideia era identificar conhecimentos prévios sobre esses conteúdos e também sobre
a Teoria dos Grafos.
As perguntas estão listadas a seguir:
1. O que você se lembra sobre Matrizes?
2. Já viu alguma aplicação de Matrizes?
3. O que você se lembra sobre Análise Combinatória?
4. Já viu alguma aplicação de Análise Combinatória?
46
5. Conhece algo sobre a Teoria dos Grafos?
As respostas da primeira e terceira perguntas mostraram que os atores envolvidos no processo produziram conhecimento acerca do conteúdo e alguns atores listaram propriedades
e classificações (tipos de matrizes, por exemplo).
Relativo à segunda pergunta, o ator (Estrela) respondeu positivamente e mencionou que já
viu a aplicação “em tabelas nutricionais impressas em rótulos de embalagens de alimentos.”
Outros atores (Malba Tahan e Lola) citaram a aplicação nas disciplinas Álgebra Linear e
Geometria Analítica.
A aplicação de Análise Combinatória, quarta pergunta, foi exemplificada por dois atores
com placas de carro, números de CPF, CNPJ, situações do cotidiano. Um dos atores
relatou que não se recordava de nenhuma aplicação.
Em relação à última pergunta, três atores responderam que já tiveram um contato com a
Teoria dos Grafos e um deles disse que usava grafos “árvore de possibilidades” em Análise
Combinatória, por exemplo, para resolver problemas do tipo, tenho 2 calças, 3 blusas e 1
sapato. De quantas maneiras distintas posso me vestir?
3.4.2 Atividade 1: Álgebra Linear
Após o questionário, iniciamos a Atividade 1 que consistia na leitura de um texto usando a
aplicação de Álgebra Linear em criptografia.
Os atores se envolveram nessa atividade e gostaram de critogtafar mensagens para os
outros colegas e decifrá-las.
Nessa atividade realizamos uma intervenção apenas para auxiliar na multiplicação de matrizes, pois um dos atores não se recordava como se processa o algoritmo da multiplicação
de matrizes. Todos desenvolveram a atividade proposta e trocaram mensagens criptografadas e relataram que gostaram da atividade. Apenas um dos atores afirmou ter visto esse
tipo de aplicação, pois já tinha cursado a graduação em Ciências da Computação, mas não
havia concluído.
Os atores expuseram que gostaram dessa aplicação e alguns disseram que a levaria para
a sala de aula para sua turma de ensino médio.
47
3.4.3
Atividade 2: Análise Combinatória
Nessa atividade discutimos um problema resolvido e propusemos outros dois.
Nessa atividade, um dos atores (Lola) descreveu seus cálculos:
[E3−002] Lola - Se o tabuleiro é 8X8, então temos um total de 8x8 = 64 quadrados, sendo
metade preto e metade branco, ou seja, 32 quadrados pretos e 32 quadrados brancos.
Dessa forma podemos escolher um quadrado preto e um branco de 1024 maneiras. (Cf.
figura 1).
Figura 1 – Resposta do ator Lola
Fonte: Composição própria
Em relação à segunda atividade proposta, Margarida descreveu seus cálculos:
[E3−003] Margarida – Pois se escolhemos um preto, por exemplo, devemos desconsiderar
os 4 brancos da linha e os 4 da coluna, onde ele se encontra; logo, serão 24 brancos para
cada preto. 32 x 24 = 768. (Cf. figura2).
Figura 2 – Resposta do ator Margarida
48
Outro sujeito apenas colocou a operação matemática: 32x32 = 1024.
Todos os atores desenvolveram a atividade e relataram que não apresentaram dúvidas e
não usaram nenhuma fórmula.
Em relação à segunda atividade, Lola também descreveu os procedimentos e o restante
fez apenas cálculos. (Cf. figura 2).
A partir da análise das atividades observamos que os atores apresentaram conhecimentos
prévios para dar continuidade à pesquisa e seguimos adiante.
3.4.4 Atividade 3: Teoria dos Grafos: Unidade 1 - Aulas 1 e 2
A Unidade 1 (Histórico e definição) dessa atividade foi dividida em duas partes: (i)
Encontro 1- O problema das 7 pontes de Köningsberg e, (ii) Encontro 2 - Grafos
Ordenados.
(i) Encontro 1
Conversamos um pouco a respeito da história das 7 pontes e os atores concluíram que
não tinham como passar pelas pontes uma única vez. Discutimos a respeito de uma competição de xadrez mostrando a combinação de 5 jogadores dois a dois numa tabela.
Tabela 1 – Esquema de combinação de jogadores tomados dois a dois
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
BA
CA
DA
EA
AB
CB
DB
EB
AC
BC
DC
CE
AD
BD
CD
ED
AE
BE
CE
DE
-
Depois representamos por intermédio de desenho (texto, segunod o MCS) a situação e
iniciamos a intervenção, colocando a tabela na lousa e discutimos as mesmas perguntas
apresentadas no material.
Observando o desenho, quantas “linhas” saem de A?
E de B?
49
Figura 3 – Grafo representando o campeonato de xadrez
E de C?
E de D?
E de E?
O que significa esses resultados?
Agora, conte quantas linhas existem na figura.
O que elas representam?
Todos os atores desenvolveram a atividade sem demonstrar dúvidas e até relataram que
estava fácil e que a julgavam envolvente.
A intervenção também foi escrita, pois propusemos que eles levassem o material.
Após essa parte, discutimos um possível conceito de grafo e, em seguida, temos a definição de grafo contida no material. Depois discutimos alguns conceitos e atividades para
serem analisadas e desenvolvidas.
Essas atividades consistiam em desenhar um grafo dada uma tabela e completar uma
tabela dado o grafo.(Cf. apêndice G).
Os atores analisaram os resultados e perceberam a relação existente entre a soma dos
50
graus dos vértices e o número total de arestas: (Cf. [E3 − 004] a [E3 − 006]).
[E3 − 004] Lola - O número total de vértice é a metade do resultado da soma dos graus
dos vértices.
[E3 − 005] Malba Tahan - A relação que observei é que a soma dos graus = 2 . total de
arestas.
[E3 − 006] Estrela - O total de arestas representa todas as arestas do grafo. Se somarmos
os graus de cada vértice, obteremos um valor que considera as repetições de arestas (ab
e ba, por exemplo). Por isso o total de arestas é a soma de graus de cada vértice dividida
por 2.
Os atores, após discussão, chegaram à conclusão que: “a soma dos graus dos vértices de
um grafo é sempre o dobro do número total de arestas do grafo”.
Para finalizar esse encontro propusemos duas atividades. (Cf. apêndice G, exercícios).
A primeira consistia em discutir, analisar e resolver uma situação de comunicação entre
quatro pessoas.
Os atores representaram a situação num grafo e passaram a discutir conjuntamnete o
problema. (Cf. figura 5).
Figura 4 – Lola resolvendo atividade (01)
Nos dirigimos à lousa e perguntamos aos atores como eles desenvolveram o problema
proposto e de que maneira apresentariam a uma turma de ensino médio. Todos concordaram em representar o grafo da mesma maneira; isto é, pessoas sendo os vértices e cada
língua falada, sendo as arestas.
51
Alguns propuseram arestas múltiplas representando as pessoas que falavam mais de uma
língua e, daí, perguntamos se haveria ou não problema. A resposta foi que não, desde que
tivesse apenas uma aresta. (Cf.[E3 − 007] a [E3 − 011])
[E3 − 007] Pesquisadora - No caso da aresta ser orientada ou valorada que se coloca
mais de uma. Por exemplo, se quisermos representar o custo de um determinado caminho
para entrega de mercadorias, pode-se valorar a rua (aresta) como o tempo que se “gast”
no seu percurso. Nem sempre o menor caminho é o melhor, pois, pode-se ter trânsito
frequente numa rua pequena e nenhum trânsito numa rua grande, sendo menor o tempo
de percurso na rua “grande”.
Voltando à atividade a pesquisadora pergunta:
[E3 − 008] Pesquisadora - Temos outra maneira de resolver?
[E3 − 009] Lola - Fiz uma tabela e depois pensei em fazer o grafo. Fiz a tabela para me
orientar. (Cf. figura 5).
E depois Lola representou a situação desenhando um grafo. (Cf. figura 6).
Estrela representou diretamente por grafo. (Cf. figura7).
[E3 − 010] Newton - Só as pessoas podem ser vértices?
[E3 − 011]Pesquisadora - Vamos seguir a sugestão de Newton e representar o grafo com
as pessoas sendo as arestas?
Todos apresentaram sugestões nessa representação e relataram que “acharam melhor” as
pessoas representando os vértices, como foi discutido primeiramente.
52
Figura 7 – Estrela resolvendo atividade (01)
53
Na segunda atividade tivemos várias representações de grafos. Nos deslocamos pelo ambiente para que pudéssemos observar os desenhos e nos deparamos com uma inusitada
situação: um dos atores falando para o outro quando viu os grafos que estavam desenhados: “ quanta imaginação você tem!”. (Cf. figura 8).
Figura 8 – Grafos desenhado por Lola
Dando continuidade à oficina partimos para discussão de grafos orientados. Antes de iniciar a atividade perguntamos aos atores como eles fariam se tivessem uma lista de lugares
para visitar e pouco tempo disponível, como, por exemplo, em uma viagem. Um deles respondeu que tinha que planejar para aproveitar a viagem. Então pegamos o material e
lemos a primeira atividade dessa unidade com os alunos. (Cf. apêndice G)
Colocamos na lousa “bolinhas” representando os lugares (casa, farmácia, médico, supermercado e universidade); os atores apresetnavam a ordem e, então, acrescentamos as
arestas (sem orientação). (Cf. [E3 − 012] a [E3 − 014])
[E3 − 012]Pesquisadora – Agora que tenho que seguir uma ordem dos lugares que devo
ir, como posso representar? Se eu fizer uma seta indicando de onde vim e para onde fui,
resolve?
Os atores concordaram e argumentaram que esta proposta era a melhor maneira.
Assim, continuamos:
[E3 − 013]Pesquisadora - Quando precisamos indicar a orientação colocando seta nas
arestas, o nosso grafo é dito grafo orientado. Lembra que falei sobre isso no problema
dos 4 passageiros? Agora podemos e devemos usar arestas múltiplas se os caminhos
(arestas) entre os mesmos lugares (vértices) forem diferentes, ou valorados diferentes.
Para planejar rotas de viagem, por exemplo, representamos através de um grafo.
54
[E3 − 014]Pesquisadora - Lembram que citei que nem sempre o menor caminho é o
melhor? Quando temos poucos dados para resolver alguma situação podemos desenhar
o grafo, mas, e se tivermos, por exemplo, cem lugares para visitar e a duração do voo
de pelo menos um lugar para o outro, isto é, alguns lugares não possuem voos diretos,
tendo que “repetir” cidades para se chegar ao destino. Como fazer? Para isso temos
algoritmos prontos, mas como fazer o computador entender a representação de grafo?
Agora que precisaremos da Álgebra Linear, pois representamos computacionalmente o
grafo por matrizes.
Mostramos essa representação lendo conjuntamente e depois oa atores discutiram e desenvolveram as atividades Propostas do material. (Cf. apêndice G.2)
Na atividade 1−b (apêndice G.2) os atores perceberam o que aparece na diagonal principal
quando é feita a multiplicação da matriz por ela mesma. (Cf. [E3 − 015] a [E3 − 016])
[E3 − 015] Lola - Aparecem os números 3, 4, 2, 4 e 3 respectivamente, que é a soma dos
números da primeira, segunda, terceira, quarta e quinta linha respectivamente. (Cf. figura
9).
[E3 − 016] Estrela - A diagonal principal representa as ligações entre o mesmo vértice, ou
seja, os possíveis “laços”.
O ator Estrela, não fez a multiplicação AxA, ela apenas observou a matriz A, depois que
foi explicado que era a multiplicação, resolveu e a observação foi a mesma de Lola.
55
As outras atividades que abordaram lista e matriz de incidência e matriz de adjacência
foram desenvolvidas sem polêmica.
As figuras 10 e 11 do ator Lola e as figuras 12 e 13 do ator Estrela desenvolvendo a mesma
atividade.
Como dito anteriormente, ao final de cada encontro ocorreu uma roda de conversa (plenária) para discutirmos a respeito da proposta, de viabilidades de atividades no ensino
médio, bem como na formação d professores. Também discutíamos possibilidade do uso
do material e possíveis relações deles com a inserção da Teoria dos Grafos.
56
57
Em seguida entregamos o material da unidade posterior para eles se prepararem para o
próximo encontro.
Para o desenvolvimento da unidade 2 eles receberam também uma lista de definições conhecidas e que serviram de pré-requisitos às atividades (Cf. apêndice E ). Iniciamos o
encontro seguinte lendo e discutindo as definições a respeito dos tipos de grafos apresentados.
Estrela propôs que discutíssemos sobre coloração, número cromático, índice cromático e
número cromático total. Nos empolgamos tanto com a pergunta, que nos posicionamos à
frente da lousa com várias cores de pincel. (Cf. [E3 − 017] a [E3 − 051]).
[E3 − 017] Pesquisadora - Adoro fazer coloração de grafos! Minha tese é sobre isso...
Vamos começar colorindo apenas os vértices desse grafo, veja a figura 14, lembrando que
vértices adjacentes não podem receber a mesma cor.
Figura 14 – C4
[E3 − 018] Pesquisadora - Quantas cores posso usar?
[E3 − 019] Estrela - Quatro. Uma em cada vértice.
[E3 − 020] Margarida - Quatro.
[E3 − 021] Pesquisadora - Ok! Vamos utilizar quatro cores. Pronto!, veja a figura 15.
Colocarei números para referenciar as cores utilizadas.
[E3 − 022] Pesquisadora - Mas quatro é o número máximo de cores. Posso fazer com
menos cores?
[E3 − 023] Estrela - Vamos tentar com 3 cores.
58
Figura 15 – C4 com coloração dos vértices usando 4 cores
[E3 − 024] Pesquisadora - Certo, como podemos fazer?
[E3 − 025] Estrela - Posso fazer com 3? (empolgada, pois já havia tirado do estojo todas
suas canetas coloridas). (Cf. figura 16).
Figura 16 – Estrela com as canetas coloridas
[E3 − 026] Pesquisadora - Vamos tentar? Diga onde quer colocar as cores.
[E3 − 027] Estrela - Repete uma das cores, assim: (Cf. figura 17).
Seguimos a proposta de Estrela que coloriu os vértices com 3 cores.
[E3 − 028] Pesquisadora - Posso fazer com duas cores?
59
[E3 − 029] Da Vinci - Acho que não.
[E3 − 030] Margarida - Espera, vou tentar.
[E3 − 031] Estrela - Vou desenhar e colorir.
[E3 − 032] Pesquisadora - Ok.
[E3 − 033] Estrela - Podemos sim, basta colorir os vértices das diagonais com a mesma
cor.
Fomos à mesa de Estrela e estava desenhado o grafo da figura 18
60
[E3 − 034] Pesquisadora - Muito bem!!! Alguém coloriu de outra maneira?
Os atores responderam que não.
[E3 − 035] Pesquisadora - Somente com uma cor não posso colorir, certo? Então eu
posso falar que o número mínimo de cores utilizadas para colorir esses grafos é dois?
[E3 − 036] Estrela - Sim, mas pode com 3 e com 4.
[E3 − 037] Pesquisadora - Concordo, mas se fosse para comprar tinta seria mais barato
comprar duas cores ou quatro? Com menos cores teríamos menos custo.
[E3 − 038] Estrela - Sim. Para colorir as arestas é a mesma coisa?
Nesse momento os demais atores observavam atentamente ao diálogo entre Estrela e a
Pesquisadora.
[E3 − 039] Pesquisadora - É similar. Vamos colorir as arestas?
A pesquisadora desenhou o C4 e perguntou como iniciaria.
[E3 − 040] Estrela - Coloca uma cor em cada aresta. Teremos 4 cores.
A pesquisadora foi à lousa e desenhou a figura 19.
Figura 19 – C4 com coloração dos arestas usando 4 cores
[E3 − 041] Pesquisadora - Ok. Assim.
[E3 − 042] Estrela - É.
61
[E3 − 043] Pesquisadora - Podemos utilizar menos cores?
[E3 − 044] Estrela - Se for igual a dos vértices, pode ser duas cores também.
[E3 − 045] Pesquisadora - Sim, vamos fazer?
[E3 − 046] Estrela - Vamos!
Cf. as figuras 20 e 21.
Os atores trabalharam a proposta e só ocorreu diferença das cores.
62
Perguntamos se era possível usar letras e/ou números para representar as cores. Se seria
ou não necessário ter canetas ou lápis de cor, se seria possível ou não a representação
com números.
[E3−047] Pesquisadora - Agora que tal colorirmos arestas e vértices? Por onde começo?
[E3 − 048] Estrela - Os vértices!
[E3 − 049] Pesquisadora - Observe que se coloco uma cor para um vértice tenho que
colocar outras duas cores para cada uma das aresta que são adjacentes a esse vértice.
Então devo usar pelo menos 3 cores.
Cf. a figura 22
Figura 22 – C4 com coloração total incompleta
[E3 − 050] Estrela - Temos que colocar mais uma cor!
[E3 − 051] Pesquisadora - Certo.assim? (Cf. figura 23).
[E3 − 052] Pesquisadora - Legal, né? Vamos voltar para a atividade? Já finalizamos a
primeira parte que foi proposta e agora entregaremos o material da unidade 2 para que
vocês façam a leitura, discutam e proponham uma solução à atividade.
63
Figura 23 – C4 com coloração total usando 4 cores
Os atores responderam Ok e se concentraram na atividade e nós (Pesquisadora e Professor participante) ficamos observando.
Na primeira parte da unidade 2 discutimos algumas definições conhecidas sobre grafos,
como conhecimentos prévios para auxíliar no desenvolvimento das atividades propostas
na mesma e na unidade 3.
Após aproximadamente 30 minutos do início da leitura os atores não verbalizaram nenhuma discussão e nem fizeram nenhuma pergunta à Pesquisadora, que não se conteve
e perguntou. (Cf. [E3 − 053] a [E3 − 056]).
[E3 − 053] Pesquisadora: - Alguma questão a levantar? Tudo tranquilo? O texto está
claro? Alguém deseja levantar algum questionamento?
[E3 − 054] Estrela - Está bem.
Os demais concordaram com Estrela e continuaram a leitura.
Nesse dia, a oficina excedeu o tempo previsto. Ficamos praticamente a tarde toda. Nos
envolvemos de tal forma que nem percebemos o tempo passar.
[E3 − 055] Margarida - Podemos iniciar a discussão?
[E3 − 056] Pesquisadora - Claro!!! E vocês podem levar esse material e me entregarem
no próximo encontro. Se tiverem alguma questão postem no nosso grupo do facebook.
64
Alguns atores continuaram no laboratório, pois gostaram de desenvolver as atividades; outros foram embora por terem compromisso, assim como a Pesquisadora, ficando o cenário
por conta do Professor participante.
No encontro seguinte, os atores trouxeram o material e falaram que foi “legal” a atividade.
Perguntamos a respeito de possíveis questionamentos, pois ninguém se manifestou durante a semana na página do grupo. Eles (os atores) responderam que não tiveram dúvida
e que entendiam que em uma turma de ensino médio seria tranquilo trabalhar no viés
dessa proposta.
Propusemos então, iniciar a unidade 3.
Fomos à lousa, construímos o grafo da figura 54 e dissemos que os vértices representavam
as cidades e as arestas as estradas (de mão-dupla). Pedimos então aos atores que fizessem um roteiro partindo da cidade a, e voltando para a cidade a, sem tirar o lápis do papel
(Cf. atividade proposta no apêndice I). Depois os atores fizeram a atividade “ Voltando à
Köningsberg”, do mesmo apêndice (I), e mostramos mais um resulado: O Teorema de
Eüler e também os grafos eulerianos
Os atores passaram às atividades relacionadas a esse resultado e então, prosseguimos
agora com grafos hamiltonianos, usando a mesma figura das sete cidades ( Cf. figura 54).
A oficina continuou com os atores discutindo as atividades, mas demonstrando satisfação
e interação. (Cf.[E3 − 057] a [E3 − 073]).
[E3 − 057] Pesquisadora - Vocês estão com dúvidas?
[E3 − 058] Lola - Não
[E3 − 059] Malba Tahan - Não
[E3 − 060] Estrela - Não
[E3 − 061] Pesquisadora - O material está com uma leitura fácil? Vocês o levariam para
os seus alunos?
[E3 − 062] Estrela - Está fácil sim. Levaria mas só para a turma do terceiro ano. Acho que
o ensino fundamental não acompanharia.
[E3 − 063] Pesquisadora - Por que?
[E3 − 064] Estrela - Por causa das matrizes. Eu colcaria apenas esses grafos de cidade e
65
passar uma vez em cada vértice e uma vez em cada aresta.
[E3 − 065] Lola - Se for uma turma pequena e com alunos interessados tem como passar
matrizes na nono ano. Apenas para eles aprenderem a multiplicação para fazer essa
atividade aqui. (Referindo-se as atividades dessa oficina).
[E3 − 066] Estrela - Se a turma for bem aplicada você consegue.
[E3 − 067] Lola - Mas têm alunos que no ensino médio nem sabem fazer adição! Imagina
multiplicar matrizes.
[E3 − 068] Estrela - Tem aluno que sai do ensino médio sem nunca ter visto matrizes.
[E3 − 069] Lola - Pois é. Mas tem professores que se acomodam.
[E3 − 070] Pesquisadora - É verdade. Depois que comecei a lecionar percebi que há
muita coisa para se fazer em sala de aula, além de ensinar conceitos, passar exercícios de
fixação e cobrar resultados positivos em provas. Isso não me foi passado na graduação.
Planejar uma aula diferente e interessante, usando jogos, tecnologia etc. Tive História da
Matemática na graduação com a Professora Lígia Arantes Sad e tenho, até hoje guardado
os textos e anotações dessa disciplina. Sempre que posso, abordo História de Matemática
em minhas aulas, e já tive a oportunidade de ministrar essa disciplina numa turma de licenciatura em Matemática. Sobre a inserção de grafos, o professor tem que querer também,
se não ficará igual a matéria de Geometria que só é dada no final do ano letivo, se tiver
sorte do professor cumprir o cronograma e não ter ocorrido greves. Só tive contato com
grafos no doutorado, um assunto que poderia ser ministrado no ensino médio. Se, durante
a minha graduação, eu tivesse “visto” grafos, poderia ter ministrado aula de grafos em minhas turmas de ensino médio e também da graduação. Mas sobre grafos como disciplina
em várias graduações já discutimos e ressaltamos que isso é outra pesquisa (risos).
[E3 − 071] Margarida - Mas seria interessante.
[E3 − 072] Malba Tahan - Eu passaria para algumas turmas.
[E3 − 073] Pesquisadora - Legal
Lola se levantou e disse que já estava na hora de ir embora. A Pesquisadora olhou o
relógio e realmente estava e encerraram o encontro. Os atores levaram o material para
análise em casa e para apresentar propostas às atividades, inclusive fariam contato pela
página do grupo.
66
No encontro seguinte propusemos para os atores pensarem a respeito dos três problemas que foram passados na lousa. Foi avisado que poderiam resolver da maneira que
quisessem e usando qualquer conhecimento. (Cf. apêndice J).
O ator Malba Tahan resolveu o primeiro problema representando a situação com um grafo
e contou as arestas que foram colocadas. (Cf. [E3 − 074] a [E3 − 077])
[E3 − 074] Malba Tahan - As arestas ligam os números que são divisíveis por 3. Então
tenho 12 vôos. (Cf. figura 24)
Figura 24 – Malba Tahan resolvendo atividade (01)
No segundo problema, Malba Tahan começou uma tabela enorme e depois parou e disse:
“Posso usar o resultado sobre os vértices?” Ele se referia ao primeio teorema que foi
apresentado no material.
[E3 − 075] Pesquisadora - Como você faria?
[E3 − 076] Malba Tahan - Multiplicaria 15 x 5 para saber se é divisível por 2. Se for, tem
solução.
[E3 − 077] Pesquisadora - Ok.
A Pesquisadora se dirigiu a Malba Tahan e viu o que ele estava escrevendo. (Cf. figura
25).
E o terceiro exercício Malba Tahan disse que foi melhor para fazer do que o segundo e
sugeriu que numa próxima oficina trocasse a ordem do terceiro pelo segundo.
Malba Tahan fez uma tabela e usou um resultado conhecido para resolver o terceiro exercício. (Cf. figura 26).
67
68
A Pesquisadora pediu qeu avaliassem a oficina e a proposta.
Os atores disseram que gostaram e que queriam aplicar grafos na sala de aula. Malba
Tahan disse que, depois dessa oficina, ele sempre vê mais uma possibilidade de resolver
algum problema, pois agora ele poderá utilizar grafos.
A proposta do último encontro foi discutir, à luz da Resolução de Problemas, dois problemas clássicos em grafos: O problema do Caminho Mínimo e o do Carteiro Chinês. Citamos
o exemplo do entregador de pizza e o do leiturista da empresa de energia. Também comentamos sobre um trabalho realizado em grupo, numa disciplina (Aplicação de Grafos)
na COPPE/UFRJ, onde estudaram a possibilidade de melhorar o fluxo de pessoas na estação Central do metrô, da cidade do Rio de Janeiro, e também a possibilidade de colocar
mais ônibus de integração com o metrô em pontos que haveria menos congestionamento,
e aumentando o acesso do metrô-ônibus na zona sul e disse que depois mostrava o artigo
para quem tivesse interesse.
Ao se depararem com uma aplicação voltada à realidade os atores além de atentos - tal
como criança diante de um espetáculo circense - efetuaram várias perguntas a respeito
dos resultados. Foi como pôr doce na boca de criança. (Cf. [E3 − 078] a [E3 − 097])
[E3 − 078] Professor participante - Já pensaram na possibilidade de um estudo desses
em relação ao transcol?
2
Será que ajudaria no fluxo do nosso trânsito?
[E3 − 079] Da Vinci - Mas dá para fazer com grafos? São muitos terminais.
[E3 − 080] Pesquisadora - Sim, dá! Nesse exemplo do mêtro-Rio, um colega desenvolveu
um programa computacional considerando as estações como vértices e os precursos como
arestas.
[E3 − 081] Malfurion - Isso é otimização?
[E3 − 082] Pesquisadora - Sim. Basta utilizar um algoritmo que fornece o caminho mínimo
- que já existe.
[E3 − 083] Professor participante - O professor Oscar Rezende, que dá aula de Estatítica
e Modelagem na Licenciatura em Matemática desenvolveu um trablaho semelhante com
foco na coleta de lixo em bairros de Vitória
2
sistema de transporte coletivo urbano da região metropolitana de Vitória, com vários terminais/estações
espalhados pela cidade onde as pessoas só pagam quando adentram na estação. O trânsito da região
metropolitana é caótico, pois além do fluxo de pessoas, Vitória é uma ilha com poucas entradas e saídas,
com grande contingente de pessoas morando no seu entorno, nas principais e maiores cidades da região Vila Velha, Cariacica e Serra.(Grifo nosso)
69
[E3−084] Newton - (perguntando à Pesquisadora). Será que dá para fazer uma simulação
dessas em uma turma de ensino médio?
[E3 − 085] Pesquisadora - Pois eu volto a pergunta a vocês. Dá para fazer um trabalho
desses no ensino médio?
[E3 − 086] Gauss - Depende do contexto. Se for uma turma pequena dá para controlar
melhor a prática ...
[E3 − 087] Professor pesquisador - O grau de envolvimento, de participação depende do
contexto. Se for algo ligado à realidade da turma os alunos se interessam. Por que nós
ficamos envolvidos com esse trabalho do metrô?...
[E3 − 088] Dicaprio - Porque trânsito é um problema que afeta todo mundo em Vitória...
[E3 − 089] Da Vinci - Pois é, o segredo está em escolher um tema que envolve os alunos...
[E3 − 090] Lola - Mas isso não é modelagem?
[E3 − 091] Pesquisadora - O que vocês acham?
[E3 − 092] Professor participante - Dependerá do foco e como o professor vai direcionar
o processo.
[E3 − 093] Gauss - Como assim?
[E3 − 094] Professor participante - Podemos trabalhar no viés da Modelagem Matemática, da Etnomatemática, ou como propõe a Pesquisadora, no campo da Resolução de
Problemas...
[E3 − 095] Margarida - Professor nós temos aula agora.
[E3 − 096] Professor participante - Ih! Tenho que dar aula.
[E3 − 097] Pesquisadora - Tenho que correr para pegar o Felipe na creche! Nem vimos a
hora passar!
A seguir passaremos a discutir os significados produzidos e, por conseguinte, os modos
de produção de significados advindos da atividade de campo (oficina).
70
4 SIGNIFICADOS PRODUZIDOS A PARTIR DA INTERVENÇÃO
A partir do MCS investigamos a dinâmica da produção de significado por professores de
Matemática (em formação) quando da autoria e leitura de objetos de aprendizagem. E é
isso que nos propusemos a realizar neste capítulo, no que tange a uma proposta de inserção da Teoria dos Grafos, na oficina que ministramos como atividade de campo desenvolvida no LPEI-LIFE/CAPES, a partir do GEPEMEM, com licenciandos em Matemática,
pibidianos.
O MCS é tomado como elemento de análise tendo como parâmetro Dantas e Cyrino (2012),
e algumas situações didáticas no cotidiano escolar; sobretudo, na aula de Matemática.
Foca questões relativas à produção de significado dos atores e as dificuldades de aprendizagem presentes no dia a dia. Apesar de nosso universo de análise ser o espaço da
oficina ( semi) p resencial. ( Cf. fi gura 27 ), pe la ex periência de ca da um do s at ores, não
nos furtamos em discutir as leituras (enunciações) que os mesmos realizaram, tomando
suas impressões (significados produzidos) a respeito das possibilidades de abordagem em
salas de aula do tema proposto.
Figura 27 – Página do facebook do grupo de pesquisa
Para o MCS, segundo Lins (1999):
71
O conhecimento de interlocutores constitui um espaço comunicativo.
Conhecimento é uma crença-afirmação junto com uma justificação que me
autoriza a produzir aquela enunciação.
Toda produção de conhecimento é feita na direção de um interlocutor que,
acredito, produziria a mesma enunciação com a mesma justificação: o
compartilhamento de interlocutores constitui um espaço comunicativo.
O conjunto das estipulações locais - que funcionam como verdades absolutas locais - constitui um núcleo com relação ao qual produzo significados/conhecimentos.
A produção de significado se dá sempre no interior de atividades. (p.88).
Toda tentativa de se entender um autor deve passar pelo esforço de olhar
o mundo com os olhos do autor, de usar os termos que ele usa de uma
forma que torne o todo de seu texto plausível, e é aqui que devemos prestar
atenção às definições que um autor propõe (p. 93).
É nesse sentido, que buscamos realizar uma leitura plausível, e a partir desses elementos
principais do MCS que analisaremos e discutiremos as enunciações dos atores, neste
capítulo.
O Professor participante relatou que um de seus alunos, que também participou da oficina,
por época das discussões das questões do ENEM o procurou para tirar dúvidas a respeito
de algumas questões de Análise Combinatória. (Cf. [E4 − 098])
[E4 − 098] Professor Participante - Você precisava ver (dirigindo-se a nós), Malba Tahan
me procurou nessa semana para tirar dúvidas sobre a prova do ENEM. (O mesmo efetua
tal relato com certa empolgação e com um sorriso estampado no rosto, e fala esfregando
as mãos na altura do peito). Você precisava ver. A brincadeira começou quando ele foi
ao quadro me apresentar a questão. Perguntei como ele faria ... A primeira coisa que
fez após apresentar os dados do problema foi esquematizar as possibilidades a partir de
diagrama de árvore. Isso é resolver por grafo, não é?... Mesmo ele estando em dúvida
quanto ao resultado e quanto ao algoritmo ele estava confiante na apresentação e no desenvolvimento. Você precisava ver. Daí outros problemas e outras dúvidas foram surgindo
e eu fui perguntando: e se fizermos assim? E se tomássemos esse caminho? Como você
caminharia. E ele ia ao quadro e esboçava os diagramas na tentativa de obter um padrão
por grafos... Acho que esse está contaminado. Daqui pra frente toda vez que ele tentar
resolver um problema desse tipo ele vai buscar uma possível saída por grafo. Pra mim
ficou nítido o envolvimento dele. (grifo nosso)
Pela empolgação (apresentada pelo gesto de esfregar as mãos e pelo tom de voz apresentados) ficou perceptível para nós que não apenas o ator (Malba Tahan) se envolveu com a
72
proposta, mas o ator (Professor participante) também. Daí, perguntamos qual a vantagem
que observara nessa situação relatada. Sua resposta foi. (Cf. [E4 − 099])
[E4 − 099] Professor Participante - Dou aulas pro Malba Tahan desde o 1o período do
curso. Ele é extremamente dedicado, mas o que mudou é que antes, quando ele vinha tirar
dúvidas ele queria o resultado, o produto e agora ele vem discutir um processo. Esse é um
grande diferencial e observo essa mudança de comportamento depois que ele participou
da tua oficina. É perceptível que ele ficou empolgado.
Nossa leitura a respeito de tal enunciação (segundo nosso referencial teórico – MCS) é
que não apenas Malba Tahan, mas também o Professor participante mudaram de postura,
pois, sem que percebessem, o referido ator (Professor participante) também apresentou
uma mudança à medida que ao invés de ir direto à questão, apropriou-se da metodologia
da Resolução de Problemas (como sugerimos nos capítulos 2.1.1 e 2.1.2). Podemos então,
à luz dos elementos do MCS apresentados, afirmar que ambos produziram conhecimento,
pois, como vimos: “O conhecimento de interlocutores consitui um espaço comunicativo.”
(LINS, 1999, p.88).
A enunciação do Professor participante se estendeu e, a leitura que realizamos nos leva a
ideia de que não apenas a Teoria dos Grafos ou a metodologia da Resolução de Problemas
o atingiu, mas também o MCS, pois em seu relato, pela sua postura diante da situação,
ficou claro que buscou uma leitura plausível do aluno com o propósito de formarem uma
interlocução e compartilharem o mesmo espaço comunicativo. Quando pede que o aluno
vá ao quadro, em um espaço compartilhado apenas pelos dois (presentes no LPEI apenas
aluno – Malba Tahan – e professor – Professor participante) e apresente suas ideias, o
que busca é a produção de significado do mesmo em relação ao problema, pois se o aluno
está preocupado com o processo, o professor também, mas não apenas com o processo
de resolução; também com o processo de aprendizagem e com a produção de significado.
Visto que “A produção de significado se dá sempre no interior de atividades.” (LINS, 1999,
p.88).
Todavia, a partir de sua experiência, e mesmo envolvido pelo processo, Professor participante relata algumas preocupações que não podemos deixar de discuti-las. (Cf. [E4−100]
a [E4 − 103]).
[E4 − 100] Professor participante – Não tenho dúvida de que trabalhar com Teoria dos
Grafos, a partir da proposta que você apresenta para turmas de ensino médio, é relevante...
Por exemplo, vejo uma possibilidade de trabalhar com princípio multiplicativo a partir a
apresentação de grafos ao invés de partir de fórmulas que dificultam a compreensão do
73
aluno. Minha preocupação é a forma como essa proposta pode chegar à escola. Será que
para muitos professores não será um estorvo? Será que não vão fazer como fizeram com
Teoria dos Conjuntos, Geometria Analítica no R3 , Introdução de Taxas de Variações, que
ao invés de trabalhar com princípios passaram a trabalhar com um monte de fórmulas e
coisas sem sentido para exercer mais controle sobre alunos e professores?
[E4 − 101] Pesquisadora – Mas você acha que há muita fórmula na proposta que apresentamos? Você acha que colocamos muita teoria?
[E4 − 102] Malba Tahan - Eu acho que sei o que ele está falando... Eu li um texto da
Juraci Faria 1 , sobre o professor Júlio César de Mello e Souza, onde ela diz que ele se
contrapunha ao algebrismo exacerbado... A forma como o algebrismo é trabalhado em
sala de aula... Ele dizia que o ensino de Matemática no Brasil se empregnou disso e que
a Matemática é uma ciência que deve ser reamanhecida pela simplicidade e beleza. Que
desse jeito (com o algebrismo exacerbado) a beleza da Matemática além de distorcida é
aviltada. (grifo nosso).
[E4 − 103] Professor participante – Não é isso. Não me refiro às propostas de vocês,
mas a forma como ela poderá ser tomada por professores que participaram da oficina.
Olha só, há quem confunda até hoje que a proposta de política educacional de Paulo
Freire, a respeito da alfabetização, principalmente de adultos, com uma metodologia. Por
exemplo, na minha época de ensino médio aprendi Geometria Analítica tomando o eixo
cartesiano ortogonal. Lembro-me que peguei um livro de um primo mais velho para estudar
que tratava de eixos não ortogonais. Na época foi um choque. Travei para qualquer eixo
cartesiano. Muito tempo depois, quando já estava lecionando voltei a pegar o mesmo livro
para tirar uns exercícios e foi aí que vi o quanto que a proposta era interessante para se
falar em projeções não ortogonais, mas devido a pouca experiência tentei levar a uma
turma, também de ensino médio, e foi um fracasso geral. Depois de muito tempo que me
dei conta de ler a proposta do autor e vi que a ideia dele era discutir o assunto a partir de
uma interlocução com a disciplina de Física.
Essa declaração nos remete a discussão de autor-leitor-texto no MCS. A preocupação
apresentada por Professor participante refere-se, em primeiro lugar, à questão de que
quem produz significado é o receptor e não o emissor da enunciação. A outra questão
nos remete ao conceito de interlocutor, conforme discutimos anteriormente no item 2.3.
1
FARIA, Juraci Conceição de. A prática educativa de Júlio César de Mello e Souza Malba Tahan: um
olhar a partir da concepção de interdisciplinaridade de Ivanir Fazenda. Dissertação (Mestrado em Educação).
Curso de Pós-Graduação em Educação. Universidade Metodista de São Paulo, Faculdade de Educação e
Letras. São Bernardo do Campo, 2004.
74
Obviamente, não podemos deixar de considerar o texto apresentado nas enunciações de
Professor participante e Malba Tahan, afinal,
Uma vez que a produção de significado acontece numa enunciação, o leitor
só se institui como tal na medida em que é autor, o autor. Não foi “o autor”
que morreu, e sim “o leitor”. Mas cada o autor é um. Ao ler, o leitor é
o autor, ele não é co-autor nem intérprete nem nada de um possível “o
autor original”... O sujeito cognitivo se encontra com o que acredita ser um
resíduo de enunciação, isto é, algo que acredita que foi dito por alguém
(um autor). Isto coloca uma demanda de produção de significado para
aquele algo, demanda que é atendida (esperançosamente) pela produção
de significado de o autor em que se tornou o leitor. (LINS, 2012, p.14-15).
Não se trata de concordar ou discordar do Professor participante e Malba Tahan ou achar
que o que eles dizem é verdadeiro ou falso; muito menos que não é legítimo, pois para o
MCS verdade não é uma qualidade daquilo que se diz, quando há produção de conhecimento, mas sim uma qualidade do conhecimento produzido. “Já legitimidade aplica-se (ou
não) a modos de produção de significado.” (LINS, 2012, p.21).
Assim, qualquer proposta que rompa com uma norma estabelecida, ou com um paradigma
em vigor, sempre estará sujeita a se transformar em um resíduo de enunciação, pois o
leitor morreu e porque cada o autor é um. Logo, não há como exercer controle, pois
estamos diante de um processo de produção de significado. E isso não implica que os
espaços comunicativos serão preservados.
Dantas e Cyrino (2012) assume, como perspectiva de formação de professores de Matemática, reflexões e discussões do GEPEFOPEM e destaca as seguintes questões:
• Qual deve ser a formação matemática do professor de Matemática?
• Que conhecimentos devem ser apropriados pelo futuro professor durante seu processso de
formação?
• Que disciplinas, ou atividades, são importantes para a formação do professor de Matemática?
• Qual o papel das disciplinas que compõem o curso de licenciatura em Matemática para formação inicial do professor de Matemática? (p.130).
A partir de tais questões Dantas e Cyrino (2012) defende que, no que tange a formação
inicial do Professor de Matemática, tal processo deve considerar à construção do perfil do
licenciando a:
liberdade de escolha metodológica, competência matemático-pedagógica
para o exercício dessa liberdade e compromisso político de incomformismo
75
com o quadro geral de fracasso do ensino da Matemática (SOUZA; BALDINO; CABRAL; TEIXEIRA, 1995, p.8).
Mesmo que, em momento pretérito, tenhamos apresentado quaisquer resquícios de uma
“síndrome de melhora” (Cf. Chaves, 2000), plausível ao confronto, quase dicotômico, entre
a professora e a pesquisadora, nossa proposta em relação à apresentação da Teoria dos
Grafos passa e toma como princípios exatamente as questões supracitadas relacionadas
a Dantas e Cyrino (2012) e Souza; Baldino; Cabral e Teixeira (1995). Logo, será a partir
desse espectro que analisaremos, por exemplo, as enunciações [E3 − 078] a [E3 − 097],
bem como [E3 − 098] a [E4 − 103]. Nesses dois intervalos de enunciações efetuamos,
como leitura plausível, a necessidade de que o professor não deve pensar em mudança de
paradigma ou inserção de uma nova proposta não apenas por modismo - uma tendência mas por compromisso e, por compromisso entenderemos como “incorformismo com quadro geral do fracasso do ensino da Matemática em suas múltiplas dimensões.”, discutido
em Chaves (2000, p.49-60 e p.119-206).
É um compromisso de ação e transformação; portanto, político. Garante
que o licenciado não perderá as oportunidades que se apresentam de modificar o quadro geral de fracasso. (SOUZA et al, 1991, p.92 apud DANTAS;
CYRINO, 2012, p.131).
A partir das referências apresentadas nas enunciações [E4 − 098] a [E4 − 103] com o
propósito de ampliar o campo de visão do espectro apresentado, mergulhamos em uma
(re)leitura das mesmas e daí que passamos a compartilhar o mesmo espaço comunicativo
que Professor participante.
Como não compartilhávamos o mesmo espaço comunicativo, quando ainda estávamos
preocupados em propor Teoria dos Grafos como uma disciplina ou tão-somente como um
recorte de inserção em alguma disciplina, não conseguíamos ler plausivelmente tais enunciações (Cf. [E4−098] a [E4−103]). Foi necessário pararmos e examinarmos criticamente
o que propûnhamos, mas foi a partir do referencial apresentado em Dantas e Cyrino (2012)
que passamos a entender, assim como Professor participante, que:
[...] o professor é concebido como um agente de transformação social que
deve exercer sua profissão com liberdade. Essa liberdade não é adquirida
gratuitamente, pressupõe independência na escolha do quê deve ser trabalhado com os alunos, bem como na forma de trabalho. (DANTAS; CYRINO,
2012, p.130).
76
É a partir desse viés, que Chaves (2004, p.172-174) apresenta a liberdade como princípios
norteadores de uma PEI. O primeiro princípio é o da “liberdade de expressão” “ - pertinente
ao professor; consiste em deixar que o aluno fale, que produza incertezas e que discuta
o erro como forma de proporcionar a construção de novos aprendizados”. (p.172). Outro
princípio é o da “liberdade enquanto fim”...
[...] como expressão genuína da criatividade e de espontaneidade dos indivíduos no processo de aprendizagem... A liberdade somada à criatividade
e à espontaneidade de alunos e professores permite que emirja a autoorganização e a auto-responsabilização no processo de aprendizagem dos
múltiplos saberes e estas são pilares que orientam o comportamento dos
envolvidos em uma PEI no sentido de aprendizados integrados, opondo-se
à fragmentação curricular [...] (CHAVES, 2004, p.147).
Um cenário que configura-se na contra-mão do que a citação antecedente defende (do
princípio da liberdade enquanto fim) é apresentado na enunciação [E4 − 102] de Malba
Tahan, quando cita o Professor Júlio César de Mello e Souza, para falar como a Matemática
- no caso o algebrismo exacerbado - é tratado nas salas de aula, chegando a dizer que
assim “a beleza da Matemática é distorcida e aviltada”.
No percurso da oficina, além de trabalhar no viés da Resolução de Problemas, procuramos
nos pautar também pelos princípios norteadores das PEI, apresentadas em Chaves (2004,
p.172-174). Quanto ao princípio da “liberdade de expressão”, discutido anteriormente, é
possível constatar que trabalhamos neste viés no processo de discussão de coloração
de grafos, apontadas nas enunciações [E3 − 017] a [E3 − 051], em processo dialógico
estabelecido principalmente por Estrela e Pesquisadora.
Já as enunciações [E3−084] a [E3−094] nos leva à leitura plausível referente à “liberdade
de escolha metodológica” apontada por Souza; Baldino; Cabral e Teixeira (1995, p.8) citado
anteriormente neste capítulo.
77
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Se observarmos as enunciações transcritas (Cf. [E3 − 001] a [E3 − 97] e [E4 − 098] a
[E4 − 103]) é factível o quanto interferimos no processo, por ansiedade ou inexperiência.
Assumimos que estávamos naquele momento – da aplicação das atividades – mais inclinados a falar, do que a ouvir. Por isso permitimos que o papel de professora se sobressaísse
ao de pesquisadora. Queríamos ensinar, estávamos ávidos para que aceitassem nossa
proposta e, tomados por este sentimento, tivemos muita dificuldade em diferenciar o que
era “analisar uma proposta” e “defender uma proposta”. No afã de compartilharmos
o mesmo espaço comunicativo preocupamo-nos em passar um conteúdo, mesmo sem
nos afastarmos dos procedimentos da Resolução de Problemas. Não que tal intervenção
seja contestável em um estudo de caso ou no MCS. Por não se tratar de uma pesquisa
etnográfica as intervenções que realizamos não são condenáveis, pois:
Queríamos analisar os modos de produção de significado dos atores (por isso não
poderíamos permitir que o lado de professora se sobressaísse ao de pesquisadora;
•
isto é, precisávamos ouvir mais e falar menos) com a apresentação de uma proposta
de inserção da Teoria dos Grafos a partir do Ensino Médio;
O MCS se dá na ação, daí as intervenções que praticamos não invalidaram a pesquisa, elas tão-somente apontaram para caminhos que não esperávamos.
•
E é exatamente isso que Chaves (2000) aponta como um dos problemas ao mergulharmos
na “síndrome da melhora” – sentirmo-nos incomodados quando deixamos de exercer o
controle de um processo, principalmente quando se trata de um professor diante da turma.
Em uma proposta, como a que apresentamos no intervalo de tempo que dispusemos, a
heterogeneidade em relação ao nível de conhecimento dos atores e as condições não
favoráveis apontadas em parágrafos anteriores, neste capítulo, levaram-nos a novos delineamentos, por não exercermos o controle, nos graus de pertinência que estimávamos.
Todavia, essa fuga, ou como Chaves (2004, p.76-83, 171, 183) delineia - “quebra da inércia
mantenedora das certezas”- , nos permitiu outras análises à luz do alicerce epistemológico
que tomamos como referencial. Onde o sujeito é cooptado para reproduzir, ipsis literis e
ipsis verbis, as verdades de seus mestres, através do efeito Frankenstein, segundo Chaves
(2004, p.187)
78
A partir daí, então, abandonamos a ideia de apresentar uma proposta e passamos a analisar os modos de produção de significado da proposta apresentada.
No capítulo anterior, a partir de Dantas e Cyrino (2012), apresentamos algumas reflexões a
respeito de perspectivas de formação de professores de Matemática, discussões do GEPEFOPEM e, daí não mais nas plenárias da oficina de Teoria dos Grafos 1 , mas nas plenárias
(nas rodas de conversa) do GEPEMEM, passamos a compreender que poderíamos ter
discutido por exemplo:
1. Há relevância da inserção da Teoria dos Grafos na formação matemática do professor
de Matemática? Qual(is)?
2. Se há relevância, então que conhecimentos a respeito da Teoria dos Grafos devem
ser apropriados pelo futuro professor durante seu processo de formação?
3. Caso configure-se tal situação, em que momento(s) (disciplinas ou atividades) do
processo de formação do professor de Matemática, é possível tratar a questão?
4. Qual o papel dessas disciplinas ou atividades, que compõem o curso de licenciatura
em Matemática para formação inicial do professor de Matemática?
Como não foi possível efetuar esse tipo de debate na Oficina de Teoria dos Grafos e, por
termos desenvolvido um estudo de caso onde oa atores são do LIMAT -IFES, tomamos
para análise a grade curricular vigente deste curso (Cf. apêndice L), bem como as respectivas ementas das disciplinas em questão (Cf. apêndices M) em então, observamos que,
caso haja tal inserção, está pode ocorrer, por exemplo, no 1o período - na disciplina Resolução de Problemas (ORTE I) - e continuar nos períodos subsequentes nas disciplinas:
Fundamentos da Matemática Elementar II (2o período); Geometria Analítica (3o período);
Álgebra Linear (4o período); Análise Combinatória e Probabilidade (6o período); Tópicos
Especiais em Matemática I (8o período).
Como propusemos como pré-requisitos Análise Combinatória e Matrizes no nível do Ensino Médio e esses conteúdos são trabalhados a partir do 20 período, é possível que se
construa uma proposta como essa, no trânsito de diversas disciplinas ao longo do curso,
mas, entendemos que, para proposta de nossa pesquisa não basta que analisemos documentos (que são mutáveis); daí, caminhamos então para intersectarmos: (A) alguns princípios norteadores de uma PEI (CHAVES, 2004, p.172-174) com (B) o perfil de licenciando,
pertinente à “liberdade” apontada e discutida em Souza; Baldino; Cabral e Teixeira (1995)
1
Devido às intempéries já apreentadas (chuva, grave de transportes. período de provas etc.)
79
e em Dantas e Cyrino (2012, p.129-131) e (C) com as diretrizes à Resolução de Problemas
apresentadas em Pólya (1995), Pozo (1998) e Dante (1989) nenhuma proposta, inclusive
a que pretendíamos - de inserção de Teoria dos Grafos a partir do Ensino Médio - não
pode ocorrer de forma impositiva, como alertou o Professor participante (Cf. [E4 − 098] a
[E4 − 103]). É fundamental que não abandonemos as “características de liberdade, competência e compromisso constituintes da identidade profissional do professor.” (DANTAS;
CYRINO. 2012, p.131).
Isso porque, a “Licenciatura em Matemática precisa ser articulada de modo que as disciplinas tenham funções específicas, mas não estanques no processo de formação. ” (DANTAS, CYRINO, 2012, p.131).
Sorvendo ainda a mesma fonte e destacando a relevância da diversificação das metodologias empregadas quando se trata de ministrar as disciplinas predominantemente de
conteúdo matemático, temos que o (futuro) professor saiba utilizar “ experiência de outras
metodologias em disciplinas de conteúdo é a condição de possibilidade da futura liberdade
metodológica (escolha, aperfeiçoamento e criação) do licenciando.” (SOUZA et al, 1991,
p.93 apud DANTAS; CYRINO, 2012 p.131).
Isto é, Resolução de Problemas não pode ser entendida como o único procedimento metodológico de ensino quando se trabalha com Teoria dos Grafos em cursos de Licenciatura
em Matemática. Basta revisitarmos as enunciações [E3 − 078] a [E3 − 097], dos atores
desta pesquisa, para lembrarmos que o maior interesse (a ponto de irem além do horário
estipulado para o desenvolvimento da oficina) dos mesmos tomou como ponto de partida
um problema que pudesse efetuar uma transposição para uma situação pertinente à realidade deles (o problema do caminho mínimo - do metrô-Rio - transposto ao problema local
- Transcol (Cf. nota de rodapé número 3).
Tal situação nos remete a dois princípios norteadores de uma PEI (o da “integração” e
o da “intervenção”) onde Chaves (2004, p.173) destaca que trabalhar de forma integrada
consiste em facultar que ocorra discussão conjunta com diversas áreas do conhecimento
tirando a Matemática do “centro do processo” e utilizando-a como ferramenta da leitura
dinâmica com a intenção de desestabilizar uma inércia.
Quanto ao princípio da “intervenção” é apontado como estratégico para desestabilizar a
inércia supracitada e “consiste em implementar uma PEI voltada para situações locais que
envolvam o aluno e o seu habitat (escola, comunidade, família etc.)” (CHAVES, 2004,
p.173).
80
Não se trata, assim, de tomar a Teoria dos Grafos como um “recurso didático para dar uma
nova roupagem a velhas práticas”. (CHAVES, 2004, p.174).
Foi preciso nos depararmos com os sobressaltos e as dificuldades que enfrentamos para
entender o que o orientador desta pesquisa nos disse na nossa primeira reunião de orientação : “... o saber tem que morrer para renascer na forma de vontade. Portanto, matem
suas certezas. Pesquisa e ciência se produz a partir de dúvidas e não de certezas...” (Cf.
registrado neste texto em “Uma trajetória de luta”).
Desta forma entendemos que não basta propor um rol de conteúdos matemáticos; é fundamental que as propostas (de conteúdos ou disciplinas) estejam comprometidas com os
princípios da “integração” e da “intervenção” de uma PEI - discutir, por exemplo, o problema
do trânsito com o olhar urbanístico, geográfico, topográfico, socioambiental etc., tomando a
Teoria dos Grafos como conteúdo desestabilizador de verdades cristalizadas a respeito de
tal problema e que tal proposta, trabalhada em sala de aula, como formas diversificadas de
procedimentos metodológicos, possa facultar a reflexão sobre o problema local e também
permita possíveis transformações (pelo menos desestabilizações) desse problema, pois
dessa forma vamos ao encontro do que Chaves (2004, p.81-82) trata, e que apresentamos
na introdução deste texto, de que um aluno em contado com a realidade do seu ambiente
desenvolve atitudes criativas em relação ao mesmo, cabendo aos professores desempenhar o papel de executores de uma educação que incorpore uma análise da realidade
socioambiental opondo-se àquela em que o aluno é levado a ignorar as consequências
dos seus atos.
Assim, as perspectivas de formação de professores de Matemática adotadas por Dantas
e Cyrino (2012), de reflexões do GEPEFOPEM 2 , a partir de nossas leituras, exercem um
papel relevante para enterdermos que formação de professores e propostas de inserção de
políticas e práticas pedagógicas são dinâmicas; portanto, não podem ser engessadas, mas
flexibilizadas para que saberes venham a morrer para renascerem em forma de vontade.
2
• Qual deve ser a formação matemática do professor de Matemática?
• Que conhecimentos devem ser apropriados pelo futuro professor durante seu processso de formação?
• Que disciplinas, ou atividades, são importantes para a formação do professor de Matemática?
• Qual o papel das disciplinas que compõem o curso de licenciatura em Matemática para formação
inicial do professor de Matemática?
81
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Thousand Oaks, CA, 1994.
83
APÊNDICES
84
APÊNDICE A - Termo de Consentimento
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Autorizo a utilização das informações fornecidas no mini-curso de grafos, análise combinatória e álgebra linear por fazer parte da coleta de dados de pesquisa científica em
andamento sob supervisão do Prof. Dr. Rodolfo Chaves, e desenvolvida por mim, professora Profa.
MSc.
Bea Karla Flores Machado Teixeira.
As informações por mim
fornecidas serão mantidas em sigilo e ficarão sob a responsabilidade dos pesquisadores acima citados.
Estou ciente ainda de que as mesmas serão utilizadas, exclu-
sivamente, na investigação em tela e que como voluntário(a), durante ou depois da
pesquisa tenho a garantia do anonimato das informações que serão fornecidas, podendo, unicamente, ser utilizado nomes fictícios.
Ficam claros para mim quais são
as finalidades do estudo, a forma como a pesquisa será aplicada e a garantia de
que as informações e o uso de imagens (caso necessário) desta pesquisa serão confidenciais, e serão divulgadas apenas em eventos ou publicações científicas, não havendo identificação dos voluntários sendo assegurado o sigilo sobre sua participação.
Sendo assim, Eu,
RG
trícula
,
CPF
o
n. de ma-
, abaixo assinado, concordo em participar do es-
tudo e fui devidamente informado(a) e esclarecido(a) pelo pesquisador sobre a pesquisa,
os procedimentos nela envolvidos, assim como os possíveis riscos e benefícios decorrentes de minha participação. Foi-me garantido que posso retirar meu consentimento a
qualquer momento, sem que isto leve a qualquer penalidade.
Vitória, 22 de agosto de 2014.
Assinatura:
Email:
Telefone(s):
85
APÊNDICE B - Questionário 1
Codinome:
Curso:
Período:
Instituição:
1. O que você se lembra sobre Matrizes?
2. Já viu alguma aplicação de Matrizes?
3. O que você se lembra sobre Análise Combinatória?
4. Já viu alguma aplicação de Análise Combinatória?
5. Conhece algo sobre a Teoria dos Grafos? Se sim, o quê?
Obrigada pela participação!!
86
APÊNDICE C - Atividade 1
Leitura do texto: Criptografia: Uma aplicação de Álgebra Linear e elaborar uma mensagem
para outro colega decifrar e verificar se está correto.
Mensagem:
Sobre a atividade:
1. Conseguiu desenvolver sem recorrer a pesquisa?
2. Já tinha visto essa aplicação de Matrizes?
Obrigada pela participação!!!!
87
APÊNDICE D - Atividade 2
Leitura de um exercício de Análise Combinatória com resolução e apresentação de dois
exercícios para serem resolvidos.
Exercícios resolvido:
1) Existem quatro estradas ligando duas cidades A e B, e três estradas ligando as cidades
B e C. De quantos modos diferentes uma pessoa pode se deslocar da cidade A até a
cidade C?
(Dica: faça um desenho da situação para ajudar na resolução)
Solução: Uso do princípio multiplicativo
3 x 4 = 12 possibilidades
Exercícios propostos:
2) De quantas maneiras podemos escolher um quadrado preto e um quadrado branco num
tabuleiro de xadrez (o tabuleiro de xadrez é 8 x 8)?
3) De quantas maneiras podemos escolher um quadrado preto e um quadrado branco num
tabuleiro de xadrez (8 x 8) se os dois quadrados não podem pertencer à mesma linha ou
coluna?
Obrigada pela participação!!!!
88
APÊNDICE E - Atividade 3
Codinome:
Atividade 3
Leitura da Unidade 1 da Teoria dos Grafos. Obrigada pela participação!!!!
89
APÊNDICE F - Definições Conhecidas
Um grafo simples, ou simplesmente grafo G é um conjunto V (G) não vazio finito de
elementos denominados vértices, e de um conjunto E(G) finito (possivelmente vazio) de
pares de elementos distintos de V (G), denominados arestas. Diremos que |V (G)| = n e
que |E(G)| = m. Uma aresta x ∈ E(G) tal que u e v são seus extremos, pode ser escrita
como (u, v), (v, u), uv ou vu.
Dado um vértice v , o número de arestas incidentes em v determina o grau de v , que
denotamos por d(v) e o vértice que tiver o maior grau será o grau máximo do grafo G, e
denotado por ∆(G) e o que tiver menor grau será o grau mínimo do grafo G denotado por
δ(G).
Um grafo é denominado completo quando todo vértice for adjacente a todos os outros
vértices do grafo e será denotado por Kn , onde n é o número total de vértices do grafo.
Dado um grafo G, uma clique é um subgrafo completo de G.
Um caminho em um grafo é uma sequência de vértices onde, em cada um dos vértices,
existe uma aresta para o próximo vértice da sequência.
Um grafo é dito conexo se, para quaisquer dois vértices, existe um caminho que começa
num vértice e termina no outro.
Um grafo é denominado regular quando todos os seus vértices tiverem o mesmo grau e
será denotado por k -regular, onde k é o grau do vértice.
Um ciclo é um grafo regular conexo de grau 2. Um grafo que seja apenas um ciclo é
denotado por Cn .
90
APÊNDICE G - Unidade 1 - Histórico e Definição
APÊNDICE G.1- Aula 1: O problema das 7 pontes de Köningsberg
Corria o ano de 1736, na Prússia, numa remota cidade chamada Königsberg (atualmente
Kaliningrado na Rússia) existem sete pontes ligando duas ilhas sobre o Rio Pregel. No
domingo os moradores juntamente com turistas curiosos tentavam passar por todas as
pontes sem repetir nenhuma e fazer todo o percurso.
Figura 28 – As 7 pontes das ilhas sobre o Rio Pregel.
Fonte: http://cognosco.blogs.sapo.pt/arquivo/639806.html
Tente “passar” pelas 7 pontes!! Basta você fazer o caminho sem tirar o lápis do papel!
Conseguiu? Futuramente voltaremos a esse desafio.
• A representação de grafos e sua definição
Suponhamos que queiramos representar uma competição de xadrez onde há cinco jogadores (A, B, C, D e E) e cada jogador deva jogar com os demais dois a dois. Como você
representaria essa situação?
Por tabela?
91
Tabela 2 – Esquema de combinação de jogadores tomados dois a dois
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
BA
CA
DA
EA
AB
CB
DB
EB
AC
BC
DC
CE
AD
BD
CD
ED
AE
BE
CE
DE
-
Perceba que as “partidas” AB e BA têm os mesmos jogadores, isto é, a partida entre AB
e BA é a mesma. Tal situação, em Análise Combinatória, denominmos Combinação, ou
seja, a ordem (AB ou BA) não gera uma nova situação (no caso, uma nova partida). Mas
poderíamos melhorar essa visualização?
E se fizermos um desenho?
Figura 29 – Esboço de possíveis partidas entre 5 jogadores.
Melhorou?
Observando a figura 29, quantas “linhas” saem de A?
E de B?
92
E de C?
E de D?
E de E?
O que significa esses resultados?
Agora, conte quantas linhas existem na figura.
O que elas representam?
Bom, vamos dar “nome aos bois”. Cada jogador será um vértice e cada ligação (partida)
entre dois jogadores será chamada de aresta. Então na figura temos 5 vértices e 10
arestas. A partir daqui chamaremos essa figura de Grafo.
Segundo Jurkiewicz [1]: um grafo G consiste em um conjunto V(G) não vazio, finito de
elementos denominados vértices e de um conjunto E(G) finito (possível vazio) de pares de
elementos distintos de V(G) denominado arestas. Vamos representar os vértices por letras
minúsculas (a,b, c etc.) e as arestas [a,b] ou ab indicando que o vértice a está ligado ao
vértice b e os denominamos vértices adjacentes.
Exemplo:
De acordo com a figura:
V(G) = a, b, c, d e E(G) = ab, ac, ad, bc, cd O vértice a é adjacente aos vértices b, c e d. O
vértice d não é adjacente ao vértice b.
Veja que temos a partir do vértice a 3 arestas. Essas arestas são ditas incidentes:
ab é incidente em a e em b (os vértices a e b são adjacentes)
93
Tabela 3 – Representação de um grafo observando os vértices adjacentes
Vértice
d(v)
a
b
c
d
Total de arestas
3
2
3
2
5
ac é incidente em a e em c (os vértices a e c são adjacentes)
ad é incidente em a e em d (os vértices a e d são adjacentes)
Esse número também representa que o vértice a tem grau 3 e o representamos por d(v) =
3, logo, o grau de um vértice é dado pelo número total de arestas incidentes à ele.
Mãos à obra!
• 1 - Agora pela tabela a seguir, desenhe o grafo correspondente:
• 2 - Observe os grafos da figura 31 e complete a tabela correspondente.
• Percepção:
Agora, veja dois resultados em cada grafo: a soma dos graus dos vértices e o número total
de arestas!!! Encontrou alguma relação?
Para o grafo esboçado na tabela 03:
soma dos graus:10
número total de arestas: 5
Viu a relação entre 5 e 10?
Compare com as tabelas da figura 31 !!!
94
Figura 31 – Grafos e tabelas para serem preenchidas
• Nosso primeiro resultado:
Teorema 1:
A soma dos graus dos vértices de um grafo é sempre o dobro do número total de arestas
do grafo.
Vamos analisar por que isso acontece?
Ao contarmos os graus dos vértices estamos contando as extremidades das arestas uma
vez. Sabemos que cada aresta tem duas extremidades, então, cada aresta foi contada
duas vezes.
Escrevendo matematicamente:
Teorema 1: Para todo grafo G
P
d(v) = 2.m
onde v∈V(G) e m o número total de arestas.
• Exercícios
95
– 1) Quatro desconhecidos se encontram no saguão do aeroporto e todos os seus
vôos estão atrasados. Eles decidem conversar, mas têm um problema: Akira
fala japonês, inglês, francês e espanhol; Federe fala inglês, francês e espanhol;
Pierre fala francês e espanhol e Paul fala inglês e japones. Represente por meio
de um grafo todas as possibilidades de um deles dirigir a palavra a outro, sendo
compreendido. (adaptado de Boaventura(1996))
– 2) Construa todos os grafos G=(X,U) com 8 vértices e 9 arestas, nos quais o
número de graus dos vértices sejam 2 ou 3. (Boaventura, 1996).
96
APÊNDICE G.2 - Aula 2: Teoria dos Grafos: Grafos Ordenados
Considere agora que tenho que sair de casa e passar em 4 lugares e quero fazer um
grafo que representa o caminho que percorri sendo que fui primeiro ao médico, depois à
farmácia, dali ao supermercado, à universidade e, por último, à casa.
Desenhe esse grafo.
Figura 32 – Representação dos vértices
Uma forma de indicar o sentido do caminho é uma seta que indicará de onde saí e para
onde fui.
Ao contrário dos grafos da Aula 1, nesse grafo existe uma ordenação. Dizemos que o grafo
é orientado (ou dígrafo) e chamamos suas arestas de arcos.
Definição: Um grafo orientado G consiste num conjunto V (G) de vértices e de U (G) um
conjunto finito de arcos que são pares ordenados, sendo o primeiro a extremidade inicial
(de onde saí) e o segundo a extremidade final (onde cheguei).
No caso do grafo acima os pares de arcos são:
{ casa, médico }
{médico, farmácia}
{farmácia, supermercado}
{supermercado, universidade}
97
Figura 33 – Representação da situação
{universidade, casa}
Podemos também classificar os vértices como sucessores e antecessores:
Sucessor: um vértice x é sucessor do vértice y , se existe um arco que sai de y e chega
em x.
Antecessor: um vértice y é antecessor do vértice x, se existe um arco que parte de y e
chega em x.
Então o vértice “supermercado” é sucessor do vértice “farmácia” e, o vértice “farmácia” é
antecessor do vértice “supermercado”.
Representação de Grafos
Representar usando Matriz de adjacência
Antes de definir matriz de adjacência vamos falar de lista de adjacência que é uma lista
dos vértices com os vértices adjacentes ao lado.
Exemplo:
A lista de adjacência para o grafo da figura 34 é:
98
a
b,c,d
b
a,c
c
a,b,d
d
a,c
Observação: Note que outra vez a aresta ab aparece duas vezes (ab e ba)
A matriz de adjacência é uma matriz quadrada de ordem n, onde n é o número de vértices
do grafo, onde cada linha e cada coluna se associam a um vértice. Os elementos da matriz
são classificados da seguinte maneira: se os vértices são adjacentes recebe valor 1, caso
contrário, 0. Isto é, se possui aresta (ou arco, para grafo orientado) o valor é 1, caso
contrário, 0.
Conforme o exemplo:
a b
c d


a0 1 1 1


b
1 0 1 0





c
1
1
0
1


d
1 0 1 0
Matriz de adjacência do grafo da figura 34
Observe que nos grafos não orientados a matriz de adjacência é simétrica.
99
E se o grafo for orientado? Como seriam a lista e a matriz de adjacência?
Seja o grafo
Figura 35 – Exemplo de um grafo orientado
A lista de adjacência do grafo da figura 35 ficaria:
Origem
Destino
a
c,e
b
a,d
c
b
d
a,c
e
d
E sua matriz de adjacência do grafo da figura 35 é:
a b

a0
c
d
0 1 0

b
1 0 0 1


c
0 1 0 0


d1 0 1 0

e
e

1

0

0


0

0 0 0 1 0

100
Observe que essa matriz não é simétrica.
Outro tipo de representação é a matriz de incidência
A matriz de incidência é de ordem n x m, onde n é o número de vértices e m o número
de arestas (ou arcos, para grafos orientados). Sendo que se uma aresta (ou arco) sai de
um vértice ele receberá o valor 1 e quando chega a um vértice o valor será -1.
Exemplo:
Vamos determinar a matriz de incidência do grafo da figura 36.
Figura 36 – Grafo orientado
A matriz de incidência do grafo da figura 36 é:
1

2
a  −1 0

b
+1 −1

c
0


d
0


e
0
3
4
0
0
0
0
5
6
7
8

+1 −1 +1 0 

0
0
0 +1 


+1 −1 0
0
0 −1 0 


0 +1 −1 0 +1 0 −1 

0
0
+1 −1
0
0
0
Observe que enumerei as arestas para facilitar a visualização.
Mãos à obra!
101
1) Agora faça a matriz de incidência do exemplo da saída de casa.
2) Dada a matriz de incidência a seguir, desenhe o grafo
1
2
3

a  +1 +1 +1
b
−1 0


c
0 −1


d
0
0
0
0
4
5
0

0 

+1 0 


0 −1 

−1 −1 +1
Algumas curiosidades sobre Grafos:
Quando um vértice incide nele mesmo, dizemos que esse vértice possui um laço e quando
existem várias arestas ligando os mesmos vértices, temos arestas múltiplas, como exemplifica o grafo da figura 37.
Figura 37 – Grafo com laço e arestas múltiplas
O vértice b possui um laço e os vértices a e c possuem arestas múltiplas.
Exercícios
1) a) Escreva a matriz de adjacência do grafo da figura 38:
b) Qual a soma dos números na primeira linha? E na segunda linha? Calcule A X A. Que
números aparecem na diagonal principal? Como você explica isso?
102
2) Faça a lista e a matriz de adjacência do grafo do campeonato de xadrez.
3) Desenhe um grafo orientado com 6 vértices e construa a lista e a matriz de adjacência
e a matriz de incidência.
103
APÊNDICE H - Unidade 2 - Tipos de Grafos
APÊNDICE H.1 - Aula 3: Definições necessárias
As definições a seguir se referem a grafos não orientados.
• Cadeia - É uma sequência de arestas adjacentes que liga dois vértices.
• Grafo conexo - É o grafo em que todo par de vértices é unido por pelo menos uma
cadeia. Observação: No caso de grafos orientados a conexidade deve considerar a
direção dos arcos.
• Tipos de cadeia
– Uma cadeia é dita elementar se não passa duas vezes pelo mesmo vértice.
– Uma cadeia é dita simples se não passa duas vezes pela mesma aresta.
• O comprimento de uma cadeia é o número de arestas da cadeia.
• Grau máximo e grau mínimo - O menor grau de um vértice em G é o grau mínimo,
denotado δ(G), e o maior é o grau máximo, denotado ∆(G).
• Subgrafos - G′ é dito um subgrafo de G se V (G′ ) ⊆ V (G) e A(G′ ) ⊆ A(G). Na
figura 39, o grafo G′ é um subgrafo de G. O grafo G” é dito um subgrafo induzido
pelo subconjunto (a,b,c,d) de V (G), pois todas as arestas incidentes aos vértices de
a, b, c e d em G estão presentes em G”. (Cf. figura 39).
104
Figura 39 – Exemplo de subgrafo a
a
a
e
b
e
c
d
b
c
d
G
b
e
G’
c
d
G”
Tipos especiais de grafos
• Grafos regulares - São grafos em que todos os vértices tem o mesmo grau. (Cf.
figura 40).
Figura 40 – Um grafo regular de grau 3
• Ciclo - Um ciclo é um grafo conexo regular de grau 2. A notação é Cn . (Cf. figura
41).
• Grafo completo - Um grafo é dito completo quando todos os pares de vértice são
ligados. Representamos por Kn , onde n é o número de vértices. (Cf. figura 42).
• Grafo nulo ou vazio - É um grafo que não possui arestas. (Cf. figura 43).
• Grafo complementar - Se temos um grafo G, seu complementar G é o grafo com o
mesmo conjunto de vértices mas com as arestas que faltam no grafo original. (Cf.
figura 44).
É fácil perceber que V (G) = V (G) e que A(G) ∪ A(G) inclui todas as arestas de G.
• Grafos bipartidos(Cf. figura 45)
105
Figura 41 – Exemplos de ciclos
Figura 42 – Exemplos de grafos completos
Figura 43 – Exemplos de grafo nulo ou vazio
É um grafo em que o conjunto V de vértices pode ser particionado em dois subconjuntos disjuntos V1 e V2 tal que toda aresta de G tem uma extremidade em V1 e outra
em V2 . O subconjunto V1 é dito um subconjunto independente de vértices do grafo
G pois não há arestas ligando dois vértices de V 1. Temos também que V2 é um
subconjunto independente de vértices de G. (Cf. figura 45)
• Grafos bipartidos completos - Notação Kp,q (figura 46) É um grafo bipartido em que
todos os vértices de V1 são ligados a todos os vértices de V2 .
106
Figura 44 – Dois grafos complementares 6A
6A
8B
6B
7A
8A
8B
6B
7A
8A
7
B
7
B
Figura 45 – Grafo bipartido
Figura 46 – Grafo bipartido completo K2,4
107
APÊNDICE H.2 - Caminhos, ciclos, circuitos
Nos grafos não orientados o conceito de cadeia é bastante direto. No caso dos grafos
orientados temos de considerar também o sentido dos arcos. Isso nos leva ao conceito de
caminho.
Caminho - é uma cadeia em um grafo orientado, na qual a orientação dos arcos é sempre
a mesma, a partir do vértice inicial. Por exemplo, na figura 47, a − b − c − d − e é um
caminho.
Figura 47 – Caminho num grafo orientado
Também usaremos o termo caminho para designar cadeias em grafos não orientados. Na
figura 48 temos os caminhos a, b, c, d, e e e, d, c, b, a.
Figura 48 – Caminho
Indicaremos a cadeia por P ; pela sequência de vértices (por exemplo P = (a, b, c) na figura
48 ); ou ainda pela sequência de arestas (P = (ab, bc) na mesma figura.
Observe que se temos um ciclo Cn e retiramos uma aresta, obtemos o caminho Pn . No
caso de grafos orientados definimos um circuito.
108
Circuito - é um caminho simples e fechado num grafo orientado. Na figura 49 temos, por
exemplo, os circuitos: a, b, f, a e b, e, f, a, b; os vértices inicial e final d o c ircuito s ão os
mesmos.
Figura 49 – Circuito
Um caminho (ou circuito) é elementar se, excluindo os vértices inicial e final, os demais
são distintos. Na figura 50, a, b, c, d, a é um caminho elementar e a, b, d, c, b, d, a não é um
caminho elementar.
Um caminho é simples se todos os arcos são distintos, caso contrário será denominado
composto. Na figura 50 a, b, d, c, b é simples mas b, d, c, b, d, a é composto pois passamos
duas vezes no arco bd.
Figura 50 – Caminhos simples e composto
Uma árvore é um grafo conexo sem ciclos como subgrafos. Note que o fato de não ter
ciclos faz com que a árvore seja a maneira mais "econômica"de conectar os vértices. As
sárvores formam uma família importante de grafos e voltaremos a elas mais tarde.
109
Figura 51 – Exemplo de árvore
APÊNDICE H.3 - Mãos à obra!
1. Desenhe:
a) Um grafo regular
b) K7 , K8
c) C6 , C7
d) P4 , P7 e P10 .
2. Escreva todos os circuitos que existem no grafo da figura 52 e determine o tamanho
de cada um deles.
3. Determine os caminhos simples e os elementares do grafo da figura 53.
4. Faça uma figura de caminho de comprimento zero, outra de comprimento 1 e outro
caminho de comprimento 2.
5. Faça um circuito de comprimento 3 e outro de 4. Por que, num circuito n ≥ 3?
6. Faça a matriz de adjacências de um caminho de comprimento 4 e de um circuito de
comprimento 5.
7. Qual o grafo complementar do grafo que tem duas componentes conexas isomorfas
a K3 e K7 ?
8. Qual o grafo complementar do grafo que tem duas componentes conexas isomorfas
a Kr e Ks ?
110
Figura 53 – Exemplo de grafo(05)
9. Mostre que um grafo G é deconexo então G tem um subgrafo bipartido completo.
Mostre que a recíproca não é verdadeira.
10. Mostre que as seqüências (9, 8, 7, 6, 5, 5, 4, 3, 3) e (7, 7, 7, 6, 5, 4, 3, 2) não
correspondem à seqüências de graus de nenhum grafo.
11. mostre que a seqüência (3, 3, 3, 3, 3, 3) corresponde a dois grafos não isomorfos.
12. Mostre que uma mesma seqüência pode corresponder a grafos não isomorfos.
13. Prove que δ ≤
2.m
n
≤ ∆.
14. Mostre que em um grafo bipartido m ≤
n2
.
4
111
15.
a) Mostre que se G é conexo, então m > n − 1.
b) Mostre que a recíproca não é verdadeira.
c) Qual o menor valor de m que garante que G é conexo ?
16. Desenhe uma representação do grafo cuja matriz de adjacência é:
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
17. Um grafo é auto-complementar se for isomorfo ao seu complemento. Mostre que se
G é auto-complementar, então n = 4k ou n = 4.k + 1 para algum k inteiro.
18. O grafo de linha ou grafo adjunto, notação L(G) , é o grafo cujos vértices estão
em correspondência 1 a 1 com as arestas de G e cujas arestas ligam vértices que
correspondem a arestas incidentes em G.
a) Mostre que L(K3 ) = L(K1,3 ).
b) Mostre que se G é regular de grau k , L(G) é regular de grau 2.k − 2.
c) Encontre uma expressão para o número de arestas de L(G) em função dos
graus de G.
112
APÊNDICE I - Unidade 3 - Teoria dos Grafos
APÊNDICE I.1 - Aula 4: Grafos Eulerianos e Hamiltonianos
Queremos fazer uma viagem por 7 cidades que estão representadas no grafo abaixo:
Figura 54 – Sete cidades representadas num grafo
As cidades são os vértices a, b, c, d, e, f e g ; e as arestas são as estradas que interligam
essas cidades Consideraremos que cada estrada possue mão-dupla. Perceba que o grafo
não é orientado.
Se não temos nenhuma ordenação posso partir de qualquer cidade, certo?
Faça um roteiro para que visitemos uma cidade uma única vez, partindo de a.
Existe(m) outro(s) roteiro(s) partindo de a? Qual(is)?
E de g ?
113
Voltando à Köningsberg
Está fácil, né? Vamos colocar restrições: agora só pode passar uma única vez em cada
estrada, isto é, passar uma única vez em cada aresta, assim como no problema das 7
pontes.
Uma solução partindo de a: a, f , g , c, d, e, g , b, c, e, f , b, a.
Dica: é como se você desenhasse o grafo sem tirar o lápis do papel.
Essa trajetória é denominada ciclo euleriano
Faça outro roteiro partindo de a
Escolha outra cidade e tente fazer o mesmo:
Vamos desenhar a situação das 7 pontes de Köningsberg na estrutura de um grafo:
Figura 55 – Sete pontes representada por grafos
Fonte: Jurkiewicz, 2009
Um matemático denominado Leonard Eüler, que viveu no século XVIII resolveu esse problema. Primeiramente ele admitiu que o problema poderia ser resolvido sendo que para
"chegar"num vértice qualquer precisamos de uma aresta e, para sair, precisamos de outra
aresta. Com isso cada vértice tem que ter sempre um par de arestas diferentes.
Observe que o vértice d possui 3 arestas, então temos duas posibilidades:
• chegar, sair e chegar
• sair, chegar e sair
114
Como sempre utilizamos um par de arestas, a terceira ficará sobrando, isto é, não passaremos por ela. Daí temos o seguinte resultado:
Teorema de Eüler:
Um Grafo conexo G admite um ciclo de Eüler se, e somente se, todos os seus vértices
possuírem grau par.
Denominamos esses tipos de grafos de Grafos Eulerianos.
Com isso o problema das 7 pontes não tem solução.
Agora responda: quantas pontes, no mínimo, devem ser contruídas para que o problema
das 7 pontes tenha solução?
Desenhe sua solução:
Figura 56 – Situação para inserir arestas
Observação:
Se o grafo é orientado, para ele ser Euleriano, tem que se passar uma única vez em cada
aresa, respeitando a orientação.
Exemplo:
Mãos à obra!
1. Observe se os grafos abaixo são Eulerianos, em caso negativo, complete com o
número mínimo de arestas para que eles se tornem Eulerianos.
115
Figura 57 – Exemplo de grafo orientado euleriano
a)
b)
c)
116
d)
2. Elabore um exemplo que utilize grafos Eulerianos
3. Desenhe um grafo conexo orientado e Euleriano.
Voltando a nossa viagem.
Vamos colocar outra restrição no nosso roteiro: agora passarei uma única vez em cada
cidade. É possível?
Figura 58 – Representaçao de sete cidades
Tente partir do vértice a, observando a figura 58.
Conseguiu? Escreva o roteiro
Tente outro roteiro partindo, ainda, do vértice a.
Agora escolha um vértice e faça todos os roteiros possíveis, desde que não passe mais de
uma vez em cada cidade.
Esse grafo, que pasa uma única vez em cada vértice é denominado Grafo Hamiltoniano;
em homenagem a Sir Willian R. Hamilton que estudo esse problema. (A primeira formulação foi em 1985 por Kirman). Acredita-se que ele inventou um jogo que envolve um
117
dodecaedro, como mostra a figura 59, (sólido regular com 20 vértices, 30 arestas e 12
faces) e cada vértice recebeu o nome de uma cidade. O jogo consistia em viajar ao redor
do mundo passando em todas as cidades exatamente uma vez sendo que, se viajava de
uma cidade à outra somente se seus vértices tivessem uma aresta em comum.
Figura 59 – Dodecaedro
Fonte: JURKIEWICZ, 2009
A trajetória seria:
Figura 60 – Ciclo hamiltoniano no dodecaedro
Essa trajetória é denominada ciclo hamiltoniano
Curiosidade:
No jogo de xadrez, o cavalo faz movimento em "L"(ele anda um quadrado num sentido e
três quadrados no outro) conforme a figura abaixo:
Tente mostrar que o cavalo pode atravessar todo o tabuleiro do xadrez passando uma única
vez em cada casa, isto é, fazendo um grafo Hamiltoniano.
118
Figura 61 – Movimento do cavalo no jogo de xadrez
Mãos à obra!
1. Escreva se os grafos abaixo são ou não Hamiltonianos.
a)
b)
119
c)
2. Justifique que podemos dispor as peças de um dominó, com as regras usuais, de tal
maneira que a última peça colocada é ligada com a primeira peça colocada. Dica:
Faça o grafo G(V, E) com V = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
3. Podemos desenhar um Grafo Euleriano com um número par de arestas e um número
ímpar de vértices? Em caso afirmativo, desenhe, em caso negativo, justifique.
4. Justifique se existe um grafo bipartido Hamiltoniano com um número ímpar de vértices.
Solução do jodo de xadrez:
Figura 62 – Solução do jodo de xadrez
120
APÊNDICE I.2 - Aula 5: Problemas clássicos - 1ª parte
Começaremos a estudar agora alguns problemas clássicos da Teoria dos Grafos. Veremos
que em alguns casos será possível encontrar algoritmos eficientes, mas muitas vezes nos
depararemos com problemas difíceis de serem suplantados, mesmo com bons computadores. Começaremos por um problema simples.
O Problema do Caminho Mínimo
Um motorista deseja encontrar o caminho, mais curto possível, entre duas cidades do
Brasil. O que ele pode fazer? Temos o mapa das estradas marcando a distância entre
cada par de cidades. Uma solução é enumerar todas os caminhos que levam de uma
cidade à outra e escolher sempre o menor caminho.
Por exemplo:
Encontrar o menor caminho entre as cidades A e J .
Figura 63 – Mapa das estradas entre as cidades A e J
Saindo do vértice A temos três escolhas: B , C e D. Dos vértices B , C e D temos mais
três escolhas: vértices E , F e G. De E , F e G temos duas escolhas: vértices H e I e,
finalmente de H e I , temos o vértice J .
121
O menor caminho saindo do vértice A é indo para D. Com isso eliminamos os vértices B
e C . De D temos duas opções: E e F . Vamos escolher E , daí temos apenas H e depois
J . O custo total foi 10. Se, de D tivéssemos escolhido F , depois I e depois J , também
teríamos o custo igual a 10. Logo,para esse grafo, temos duas soluções.
É claro que nem todo grafo será tão simples. Pensemos num problema correlato: a partir
de um dado vértice, encontrar o menor caminho até todos os outros vértices. Pense num
entregador de pizza; ele deve entregar as pizzas rapidamente. Mas só nos interessa a
distância do vértice inicial (a pizzaria) aos outros vértices do grafo (os clientes).
Como todos os arcos são positivos podemos utilizar um algoritmo elegante e eficiente,
o algoritmo de Dijkstra. Esse algoritmo foi apresentado por Edsger Wybe Dijkstra, em
1952. Dijkstra nasceu em 1930, na cidade de Roterdan - Holanda, e morreu em 2002.
Foi um cientista de computação e recebeu o Turing Award de 1972 por suas contribuições
fundamentais na área de linguagens de programação.
Algortimo de Dijkstra
Esse algoritmo só pode ser usado se o grafo não apresentar valores negativos. As arestas
geralmente representam distâncias ou tempos médios de percurso.
Assumiremos um conjunto, chama-lo-emos P ERM , que contém inicialmente apenas o
vértice fonte (raiz da busca) s. A qualquer momento P ERM contém todos os vértices
para os quais já foram determinados os menores caminhos usando apenas vértices em
P ERM a partir de s. Para cada vértice z fora de P ERM mantemos a menor distância
dist[z] de s a z usando caminhos onde o único vértice que não está em P ERM seja z . É
necesssário também armazenar o vértice precedente a z neste caminho em path[z].
Como fazer com que P ERM cresça, ou seja, qual vértice deve ser incluído em P ERM a
seguir tomamos o vértice, entre todos os que ainda não pertencem a P ERM , com menor
distância dist. Acrescentamos então este vértice (chamemo-lo de current), a P ERM , e
recalculamos as distâncias (dist) para todos os vértices adjacentes a ele que não estejam
em P ERM , pois pode haver um caminho menor a partir de s, passando por current, do
que aquele que havia antes de current ser agregado a P ERM . Se houver um caminho
mais curto precisamos também atualizar path[z] de forma a indicar que current é o vértice
adjacente a z pelo novo caminho mínimo.
Fazendo a aplicação:
Primeiramente, defini-se o nó de origem (raiz), neste caso s, e inclui-se este nó em P ERM .
122
Atribui-se zero à sua distância (dist[s]) porque o custo de ir de s a s é obviamente 0. Todos
os outros nós i tem suas distâncias (dist[i]) inicializadas com um valor bastante grande,
isto é ∞ ("infinito").
Figura 64 – Algoritmo de Dijkstra (01)
Fonte: TOKUSHIMA apud JURKIEWICZ, 2009
A partir de s consulta-se os vértices adjacentes a ele, que no grafo G são u e x. Para todos
os vértices adjacentes, que chamaremos z , calcula-se:
Se dist[z] > dist[s] + peso(s, z)
dist[z] = dist[s] + peso(s, z)
path[z] = s
Fim Se
Dentre todos os vértices não pertencentes a P ERM escolhe-se aquele com a menor
distância. Neste caso é o vértice x, pois dist[x] = 5.
123
Então, inclui-se x em P ERM e a partir de x consulta-se os vértices adjacentes a ele que
não estão em P ERM , que no grafo G são u, v e y . Para todos os vértices adjacentes, que
chamaremos z , calcula-se:
Se dist[z] > dist[x] + peso(x, z)
dist[z] = dist[x] + peso(x, z)
path[z] = x
Fim Se
distância. Neste caso é o vértice y , pois dist[y] = 7.
124
Inclui-se então y em P ERM e a partir de y consulta-se os vértices adjacentes a ele que
não estão em P ERM , que no grafo G é apenas o vértice v .
Se dist[v] > dist[y] + peso(y, v)
dist[v] = dist[y] + peso(y, v)
path[v] = y
Fim Se
distância. Neste caso é o vértice u, pois dist[u] = 8.
Inclui-se então u em P ERM e a partir de u consulta-se os vértices adjacentes a ele que
não estão em P ERM , que no grafo G é apenas o vértice v .
125
Se dist[v] > dist[u] + peso(u, v)
dist[v] = dist[u] + peso(u, v)
path[v] = u
Fim Se
distância. Neste caso é o único vértice restante v e dist[v] = 9.
Finalmente, faz-se v pertencer a P ERM . Neste ponto, todos os vértices já estão em
P ERM e a busca é finalizada.
126
Exercícios
Nas páginas a seguir você encontrará vários grafos para exercitar o algoritmo de Dijkstra.
Eles foram retirados de uma página da Internet :
http://www-b2.is.tokushima-
u.ac.jp/ ikeda/suuri/dijkstra. A partir do vértice 1 (ou do vértice assinalado como partida)
queremos saber a menor distância e o trajeto até todos os outros pontos.
Depois de fazer os exercícios voce pode ir até a página Internet e utilizar o programa que
executa visualmente o algoritmo de Dijkstra para cada grafo.
127
128
129
130
PARTIDA
APÊNDICE I.3 - Aula 6: Problemas clássicos - 2ª parte
O Problema do Carteiro Chinês
Como podemos ajudar um carteiro para que ele entregue todas as correspondências e
ande o menos possível? Isto é, minimizar a distância percorrida. Se colocarmos a situação
na estrutura de um gafo, as arestas correspondem às ruas e os vértices correspondem
aos cruzamentos das ruas. Para que a distância seja minimizada, temos que encontrar
um ciclo euleriano nesse grafo. Resumindo, temos que identificar um caminho de mínimo
comprimento que se inicie em algum vértice, passe por todos as arestas uma vez e retorne
ao vértice inicial. Mais uma vez, nos lembra o problema das 7 pontes.
Podemos aplicar essa situação em viagens, transporte de mercadorias, etc.
Relembrando o grafo euleriano:
Se pudermos percorrer, num grafo, cada aresta uma única vez, partindo e chegando do
mesmo vértice, temos um grafo euleriano.
Observando a figura 74 temos uma trilha euleriana partindo do vértice a: a − b − c − d −
e − f − a − d − b − e − a.
E o grafo é:
Observe que todos os vértices do grafo tem grau par, concordando com o nosso primeiro
resultado: o Teorema de Eüler.
131
Será que existe uma maneira de transformar um grafo que possui vértices de grau ímpar
num grafo euleriano?
Vamos analisar o grafo da figura 75.
Partindo do vértice a, temos uma trilha aberta a − e − b − d − c − b − a − d − e que é dita
semi-euleriana, tornando o grafo um grafo semi-euleriano. Nesse caso temos dois vértices
de grau ímpar: a e e. Se tivéssemos uma outra aresta ae o grafo seria euleriano.
Podemos colocar uma aresta “virtual” e, com isso, “eulerizar”o grafo. Cf. figura 76
Agora temos a trilha euleriana partindo do vértice a: a − e − b − d − c − b − a − d − e − a
Nesse caso, para dois vértices de grau ímpar foi fácil. Mas, e se o grafo tivesse três vértices
de grau ímpar? Seria possível? Tente desenhar a situação.
Não podemos ter 3 vértices de grau ímpar pois o somatório dos graus de um vértice é igual
132
Figura 76 – Grafo “eulerizado”
ao dobro de arestas, logo, é um número par, pois contamos as arestas duas vezes.
Isto é,
P
d(v) = 2m
Voltando ao problema do carteiro: primeiramente teremos um grafo valorado, pois as arestas podem ser o comprimento de cada rua, por exemplo. Lembrando que, podemos usar
também como valores: pesos, distância, tempo mínimo, etc.
Se o grafo for euleriano, não temos problema. Se não for euleriano, temos que escolher os
pares de forma que a repetição tenha peso mínimo, e isto é um problema difícil pois temos
que “eulerizar” o grafo. Com isso ficaremos com a questão: Como encontrar um percurso
que passe por todas as arestas repetindo-as o menor número possível?
Inicialmente vamos observar um grafo que não tenha ciclo euleriano, confome a figura 77.
Figura 77 – Grafos sem ciclo euleriano
Nesse grafo temos 8 vértices de grau ímpar: B, C, E, I, H, L, N e O. Vamos acrescentar
133
arestas nos vértices de grau ímpar para torná-los vértices de grau par; duplicando as
arestas existentes nos vértices, conforme mostra a figura 78
Figura 78 – Acrescentando arestas nos vértices de grau ímpar
Temos então um grafo com todos os vértices de grau par que admite um ciclo euleriano.
Nesse exemplo, encontramos o ciclo A − B − C − G − K − O − N − J − F − B − C −
D − H − L − K − J − I − E − F − G − H − L − P − O − N − M − I − E − A que repete
quatro arestas, sendo essa a melhor solução que é denominada solução ótima.
Voltando ao nosso carteiro: o que pretendemos fazer é que o carteiro, se precisar, percorra
novamente as ruas menores, isto é, mais econômicas.
134
APÊNDICE J - Atividade Final
Resolva os problemas:
1. Figurativo é um país com nove cidades de nomes 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. Um viajante
descobre que existe vôo direto de uma cidade a outra se e somente se o núemro
de dois algarismos formados pelos nomes das cidades é divisível por 3. Represente
todos os vôos possíveis.
2. Em Interiorana existem 15 telefones. eles podemser conectados por fios de modo
que cada telefone seja conectado a exatamente cinco outros?
3. Um determinado reinado tem 100 cidades e saem quatro estradas de cada uma
delas. Quantas estradas existem ao todo nesse reinado?
Problemas extraídos de FOMIN; GENKIN; ITENBERG. (2012, p.48-50)
135
APÊNDICE K - Artigo utilizado para a atividade 1
136
CRIPTOGRAFIA: UMA APLICAÇÃO DE ÁLGEBRA LINEAR
Solange dos Santos Nieto1, Célia Mendes Carvalho Lopes 2 , Alcides Ferreira da Silva 3
Abstract  The area of cryptography is as old as the
writing. It deals with concepts and techniques to encode
information so that the sender and the receiver are the only
ones that can have access to it. In our work we are going to
give an introductory approach to cryptography in a context
of Linear Algebra and, specifically, in subjects that can be
applied to the students who attend this discipline in the
engineering courses, showing them one amongst many
applications of Linear Algebra.
CRIPTOGRAFIA
CÓDIGOS
Index Terms  Cryptography, Linear Algebra, Matrixes.
CIFRAS
SUBSTITUIÇÃO
TRANSPOSIÇÃO
HISTÓRICO
Criptologia é a área do conhecimento que reúne os estudos
da criptografia e da criptoanálise. Ela é considerada ciência
há mais ou menos 25 anos. Antes, era tida como “arte”.
Tanto a criptografia como a criptoanálise são ramos da
criptologia.
Cripto vem do grego kryptos e significa escondido,
oculto. Graphos, também do grego , significa escrever. Logos
significa estudo, ciência. Analysis significa decomposição.
Então temos que criptologia é o estudo da escrita cifrada.
CRIPTOLOGIA
CRIPTOGRAFIA
CRIPTOANÁLISE
FIGURA 1
A criptoanálise é o conjunto de técnicas e métodos para
decifrar (descobrir) uma escrita de sistema desconhecido
sem ter conhecimento do sistema usado para transformá-la,
isto é, sem o conhecimento da chave. A chave é o
procedimento do algoritmo utilizado em um dado método.
Para exemplificar de um modo claro e prático,
imaginemos uma festa em que os convidados tenham que
usar máscaras . A necessidade das máscaras é para que não se
identifique a pessoa que a está usando, portanto a chave é a
máscara.
A criptografia é o conjunto de princípios e técnicas
empregadas para cifrar a escrita, de modo que apenas os que
têm acesso às convenções combinadas possam lê-la.
POLIALFABÉTICAS
MONOALFABÉTICAS
FIGURA 2
A criptografia é tão antiga quanto a escrita. Ela já fazia
parte da escrita hieroglífica dos egípcios e os romanos
utilizavam-na como códigos (ou cifras) secretos para
comunicar planos de guerra.
O conceito de cifra é dado ao par de algoritmos
utilizados para a codificação e decodificação de uma
mensagem. O primeiro código de que se tem notícia foi
utilizado por Caio Júlio César (100 – 44 a.C.), imperador
romano.
O método utilizado por César, também é chamado de
“cifra da troca” ou “cifras de César” é uma das mais simples
técnicas de encriptação. Era baseado na substituição (troca)
de letras, seguindo regras.
A técnica utilizada por César, par se comunicar com
seus generais era o da substituição de uma letra por outra,
ele usava uma troca de 3 posições no alfabeto (como mostra
a Tabela 1).
original:
cifrado:
original:
cifrado:
A
D
N
Q
B
E
O
R
C
F
P
S
D
G
Q
T
TABELA 1
E F G
H I J
R S T
U V W
H
K
U
X
I
L
V
Y
J
M
W
Z
K
N
X
A
L
O
Y
B
M
P
Z
C
A mensagem que César enviou às suas tropas,
"RETORNAR PARA ROMA" foi codificada como
"UHWRUQDU SDUD URPD".
1 Solange dos Santos Nieto, Universidade Presbiteriana Mackenzie, Rua Itambé, 45, 01239-902, São Paulo, SP, Brasil, [email protected]
2 Célia Mendes Carvalho Lopes , Universidade Presbiteriana Mackenzie, Rua Itambé, 45, 01239-902, São Paulo, SP, Brasil, celiagiz@ mackenzie.com.br
3 Alcides Ferreira da Silva, Universidade Presbiteriana Mackenzie, Rua Itambé, 45, 01239-902, São Paulo, SP, Brasil,, [email protected]
137
As formas utilizadas para codificar e decodificar um
texto devem ser conhecidas somente pel o emissor e pelo
receptor envolvidos no processo.
Até meados do século XX, os criptógrafos eram pessoas
que se interessavam em quebra-cabeças e a tecnologia
empregada na criptografia evoluía pouco. Com a 2ª Guerra
Mundial, a criptografia, primeiramente, se mecanizou e com
o advento dos computadores, se informatizou, originando a
ciência da computação moderna.
A facilidade com que os “hackers” (especialistas em
tecnologia que, nem sempre dispõem seu conhecimento a
serviço da sociedade) decifram códigos de transações
bancárias, cartões de crédito e mensagens telefônicas faz
com que seja necessária uma codificação.
Considerando as informações acima como ponto de
partida e que, aparentemente desprovidas de maior
comprometimento, estaríamos introduzindo a teoria de
matrizes e também estaríamos passando essa teoria em
“código”.
APRENDIZAGEM
Quando discutimos sobre educação na engenharia,
começamos a falar na velocidade das mudanças tecnológicas
e que algum novo paradigma deva ser implementado para a
formação desse futuro engenheiro.
Ao chegar à universidade, este aluno trás conceitos
matemáticos adquiridos nos ensinos fundamental e médio.
Exemplificaremos um desses tópicos que é a teoria e
aplicação de matrizes.
Na universidade, quando trabalhamos com matrizes
fazemos invariavelmente uma revisão deste tópico.
Tanto para o aluno que não tenha visto e para o que não
se recorda, a reação é a mesma ao dizermos que é um tópico
do ensino médio – a falta de interesse.
A criação de um ambiente que possa auxiliar no ensino
aprendizagem e minimizar essa rejeição é, fazer uso de
aplicações que possam explorar o que já foi visto.
A aplicação que citaremos e que descrevemos acima é a
Criptografia.
Nossos currículos são organizados de forma que os
conceitos abstratos são apresentados primeiramente para que
em seguida sejam exibidas suas aplicações na prática.
A escolha deste caminho não prepara nosso aluno para
as competências exigidas atualmente pelo mercado de
trabalho.
O tema de nosso trabalho nada tem de novo, mas pode
ser utilizado com aplicação na disciplina Álgebra Linear,
que tem apresentado alto índice de reprovação devido a sua
teoria ser abstrata.
Raymond Duval [1, p.8] é psicólogo francês e
pesquisador dos processos cognitivos envolvidos na
aprendizagem matemática, e afirma que o funcionamento
cognitivo é inseparável da existência da diversidade dos
registros.
Para melhor exemplificar, sabemos que a matemática
trata de objetos não físicos, necessitando, por esta razão, de
representantes para sua compreensão, isto é, necessita de
representantes para o entendimento do que se quer
representar (objeto matemático).
Com o objeto matemático escolhido no nosso trabalho,
aplicação do estudo de matrizes, pretende-se que o aluno
tenha noção da aplicabilidade do item estudado, que seja
capaz de aplicá-lo em outra situação.
Concordando com Duval, acredita-se que, desta forma,
os conteúdos apresentados não serão simplesmente fixados
pelos alunos, mas sim que possamos fazer com que este
aluno considere as aulas de matemática mais desafiadoras.
É importante ressaltar que o tema envolvendo matrizes,
utilizado na Álgebra Linear, já é do conhecimento do aluno,
apresentado a ele no Ensino Médio.
Mas muitos alunos ainda se confundem ao efetuar o
produto entre matrizes. Acreditamos que este aluno deva ter
aprendido a técnica que envolve produto de matrizes sem
preocupação, por parte dos professores, em desenvolver este
conceito através de uma investigação, usando apenas
ferramentas que já possuíam.
A construção de um conceito, no âmbito pedagógico,
considera modelos epistemológicos, tais como de que forma
se deu a sua descoberta e ligado a que necessidade, quais
foram os obstáculos científicos encontrados, desta forma
constrói-se o pensamento matemático.
Nas palavras de Montaigne [2] “Melhor uma cabeça
bem feita que uma cabeça bem cheia”, desse modo a cabeça
bem feita pode se dedicar a novas atividades, mais
inventivas.
Nesse único exemplo que estamos trabalhando,
matrizes, percebe-se o quanto os conteúdos são fornecidos
aos alunos de forma fragme ntada e pulverizada.
É preciso tomar consciência, por parte dos professores,
de se encontrar, a difícil articulação entre a construção dos
conceitos e sua aplicação, o que acreditamos ser possível
através de um projeto comum.
Edgar Morin [2] cita:
Talvez um dos momentos mais importantes ocorridos
entre engenheiros e matemáticos, primeiro, em plena
guerra dos anos 40, e depois, nos anos 50; esses
encontros fizeram confluir trabalhos de matemática,
inaugurados por Church e Turing, e as pesquisas
técnicas para criar máquinas autogovernadas, que
levam à formação do que Wiener chamou de
cibernética, integrando a teoria da informação
concebida por Shannon e Weaver para a companhia
de telefones Bell. Constituiu-se, então, um verdadeiro
nó górdio de conhecimentos formais e de
conhecimentos práticos, às margens das ciências e no
limite entre ciência e engenharia.
138
B.N =
MATRIZES E CRIPTOGRAFIA
Muitas técnicas usadas para codificar e decodificar
mensagens secretas utilizam Álgebra Linear. Vamos
descrever um método simples e que aproveite a revisão do
tópico “teoria de matrizes”.
O primeiro passo é codificá-la. Vamos passar da forma
alfabética para a forma numérica, utilizando a seguinte
correspondência indicada na Tabela 2.
 6 3 22 4 2 4 2 16 28 6 14 28
 6 13 8 6 13 7 2 17 10 2 28 6 
28 19 6 4 13 16 11 16 8 10 2 27 
Observe que este produto é a matriz enviada pelo
remetente, portanto a mensagem codificada é:
6, 3, 22, 4, 2, 4, 2, 16, 28, 6, 14, 28, 6, 13, 8, 6, 13, 7, 2, 17,
10, 2, 28, 6, 28, 19, 6, 4, 13, 16, 11, 16, 8, 10, 2, 27
A
2
O
16
B
1
P
15
C
4
Q
18
D
3
R
17
E
6
S
20
F
5
T
19
TABELA 2
G H I J
8 7 10 9
U V W X
22 21 24 23
K
12
Y
26
L
11
Z
25
M
14
#
28
N
13
.
27
Esta correspondência pode ser alterada e poderia,
inclusive, servir como um novo exercício a ser sugerido ao
aluno, para que ele verificasse que esta escolha é qualquer.
Escolhe-se uma matriz quadrada qualquer, que tenha
inversa. Escolhemos, por exemplo, a matriz A (chamada
1
0 2
− 1 0 .
1 1 3
codificadora) A = 0
Trabalha-se, com o aluno, o cálculo da inversa.
Chamaremos de B a matriz inversa de A . No exemplo,
 3 − 2 − 2
A −1 = B =  0 −1 0 
− 1 1
1 
A matriz onde
denominada M .
se
escreve
a
mensagem será
 6 3 22 4 2 4 2 16 28 6 14 28
M =  6 13 8 6 13 7 2 17 10 2 28 6 
28 19 6 4 13 16 11 16 8 10 2 27
Assim, a mensagem codificada será encontrada pelo
produto A.M e chamaremos essa matriz de N .
N = A.M =
44 26 18
82 
 62 41 34 12 28 36 24 48
 − 6 − 13 − 8 − 6 − 13 − 7 − 2 − 17 − 10 − 2 − 28 − 6 
62 38 48 115
 96 73 48 22 54 59 37 81
Deste modo, N é a matriz que chega ao seu destinatário
que deverá utilizar a matriz B (matriz decodificadora) para
decifrar
a
mensagem,
já
que
B.N = B.AM = I.M = M (mensagem).
No exemplo, tem-se que
Portanto, pela Tabela 2, esta mensagem é
“EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA E TECNOLOGIA.”
CONCLUSÃO
O conceito de matriz é apresentado aos alunos no ensino
médio. Nesta época existe, por parte das escolas, a
preocupação em preparar este aluno para os Concursos
Vestibulares.
Todas as definições e propriedades apresentadas são
fortemente ligadas à técnica, ficando o aluno impossibilitado
de perceber co mo poderíamos aplicar o estudo de matrizes
na vida cotidiana.
Desse modo, quando , no ensino da Álgebra Linear,
utilizamos a aplicação da teoria de matrizes na solução de
problemas, o aluno sente dificuldade em fazer a conversão
do que lhe foi apresentado e se sente inseguro na escolha de
um bom caminho para resolver o exercício proposto.
Nosso objetivo, ao exemplificar e identificar as
dificuldades encontradas pelos alunos foi de procurar
evidenciar, de forma bem resumida, como a Teoria dos
Registros de Representação Semiótica – elaborada por Duval
– da análise do funcionamento cognitivo de um aluno diante
de uma situação de ensino.
REFERÊNCIAS
[1]
Machado, S. D. A. (Org.). Aprendizagem em matemática: registros de
representação semi-ótica. Campinas: Papirus. 2003.
[2]
Morin, E., A cabeça bem-feita: repensar a reforma, repensar o
pensamento. 12 ed. Rio de Janeiro: Bertrand Brasil. 2006.
139
APÊNDICE L - Grade Curricular do LIMAT
140
141
APÊNDICE M - Ementas das disciplinas citadas
142
Resolução de Problemas ORTE I
EMENTA: A Matemática na Escola hoje: o que é fundamental, tendências
renovadoras. A Resolução de
Problemas e a construção de conceitos em Matemática.. Resolução de
Problemas diversos de
Matemática na Educação Básica. A Resolução de problemas como: meta,
processo , habilidade básica e
perspectiva metodológica. Problemas convencionais e não convencionais.
Propor e Formular problemas.
Os livros didáticos e a resolução de problemas. Avaliação numa perspectiva
metodológica de Resolução
de Problemas. Resolução de Problemas no EJA.
Bibliografia Básica:
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. (Org.). Ler, escrever e resolver problemas:
habilidades básicas para
aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001.
POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método
matemático. São Paulo:
Interciência, 1995.
POZO, Juan Ignacio (Org.) A Solução de Problemas: aprender a resolver,
resolver para aprender. Porto
Alegre: Artmed, 1998
Bibliografia Complementar:
GARDNER, M. Divertimentos matemáticos. 3. ed. São Paulo: Ibrasa, 1998.
PADILHA, H. Mestre maestro: a sala de aula como orquestra. Rio de Janeiro:
Linha Mestra, 2003.
PAIS, L. C. Ensinar e aprender Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
PARELMAN, Y. Matemáticas recreativas. Lisboa: Litexa, 1979.
POLYA, G. Sobre a resolução de problemas de matemática na High
School. In: A resolução de
problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1998, p. 1-3.
SEITER, C. Matemática para o dia-a-dia . Rio de Janeiro: Campus, 2000.
143
Fundamentos da Matemática Elementar II
Ementa: Estudo de funções: conceito, domínio, imagem, zeros de funções,
função composta, funções
polinomiais, função modular, função logarítmica e exponencial, funções
inversas, funções trigonométricas.
Funções polinomiais: operações com polinômios, relações entre coeficientes e
raízes de função
polinomial, Teorema Fundamental da Álgebra.
BAUMGART, J. K. Tópicos de história da matemática para uso em sala de
aula: álgebra. São
Paulo: Atual, 1992.
BOULOS, P. Exercícios resolvidos e propostos de seqüências e séries de
números e de
funções . São Paulo: Edgard Blucher, 1986.
MORGADO, A. C. Análise combinatória e probabilidade. Rio de Janeiro:
SBM, 2000.
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matemática. São Paulo: Moderna, 1995.
______. Sistemas de numeração ao longo da história. São Paulo: Moderna,
1997.
CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da matemática. 4. ed. Portugal:
Gradiva, 2002.
COURANT, R.; ROBBINS, H. O que é matemática?. uma abordagem
elementar de métodos e
conceitos. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2000.
COXFORD, A. F.; SHULTE, A. P. As idéias da álgebra. São Paulo: Atual,
1995.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2001.
GUELLI, O. A invenção dos números. São Paulo: Ática, 1997.
______. Números com sinais. São Paulo: Ática, 2000.
______. História da equação do 2º grau. São Paulo: Ática, 1996.
144
IMENES, L. M. P. A numeração indo-arabia. 7. ed. São Paulo: Scipione,
1999.
IMENES, L. M. P.; LELLIS, M. C.; JAKUBOVIC, M. Os números na história da
civilização. 12. ed. São
Paulo: Scipione, 2000.
_______. Números negativos: Coleção para que serve a Matemática. São
_______. Equação do 2º Grau: Coleção para que serve a Matemática. São
_______. Álgebra: Coleção para que serve a Matemática. São Paulo:
Scipione, 1992.
LINS, Romulo; GIMENES, J. Perspectivas em aritmética e álgebra para o
século XXI. 3. ed. Campinas:
Papirus, 1997.
SANTOS, Vânia. M. P. dos.; REZENDE, J. F. de. Números: linguagem
universal. Rio de Janeiro: UFRJ,
1997.
TROTTA, F. Matemática por assunto 8: números complexos, polinômios e
equações algébricas. São
Paulo: Scipione. 8 v.
BEKKEN, O. B. Equacões de Almes de Abel. Rio de Janeiro: GEPEM, 1994.
BEZERRA, M. J. Matemática para ensino médio. 5. ed. São Paulo: Scipione,
2001.
COXFORD, A. F.. As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995.
LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Rio de Janeiro: IMPA/VITAE, 1991.
MACHADO, N. J. Lógica, conjuntos e funções. São Paulo: Scipione, 1988.
SANTOS, Â. R. dos. Et al. Introdução às funções reais: um enfoque
computacional. Rio de Janeiro:
UFRJ, 1998.
SMOLE, K. C. S.; ROKU, S. K. Matemática: ensino médio. São Paulo: Editora
Saraiva,1998. v.1, 2 e 3
145
Geometria Analítica
Ementa: Vetores no plano e no espaço. Retas e planos no espaço com
coordenadas cartesianas.
Translação e rotação de eixos. Curvas no plano. Superfícies. Outros sistemas
de coordenadas. Cônicas.
Quádricas.
BOULOS, P. & CAMARGO, I. Geometria Analítica: um tratamento vetorial.
2a. ed., McGraw-Hill,
1987.
STEINBRUCH, A. & WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: Makron
Books, 1987.
Bibliografia complementar:
LEITHOLD, Luiz. O cálculo com geometria analítica. v.2. São Paulo: Harbra,
1997.
146
Álgebra Linear
Ementa: Matrizes e equações lineares. Espaços vetorias. Transformações
lineares. Operadores e
matrizes diagonalizáveis. Espaços com produto interno. Operadores sobre
espaços com produto interno.
ANTON, H; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre:
Bookman, 2001.
Kolman, B. Introdução à Álgebra linear com aplicações. Rio de Janeiro:
LTC, 1999.
STREINBRUCH, A. WINTWERLE, P. Introdução à álgebra linear. São Paulo:
Pearson Education do
Brasil, 1997.
BOLDRINI,J.L.;COSTA, S.R.; FIGUEIREDO, V.L.; WETZLER, H.G. Álgebra
Linear. 3.ed. São Paulo:
Harbra, 1990.
LAY, D. C. Álgebra Linear com aplicações. 4.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
LEON, S. J. Álgebra Linear. 4.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
LIMA, Elon Lages. Álgebra Linear. 4 ed. Coleção Matemática Universitária.
Rio de Janeiro: IMPA-CNPq,
2000.
LIPSCHULTZ, Saimour. Álgebra Linear : teoria e problemas. 3.ed. São
Paulo: Makron, 1994.
MACHADO, A. S. Álgebra Linear e Geometria Analítica. 2.ed. São Paulo:
Atual,1998.
147
Análise Combinatória e Probabilidade
Ementa: Combinações e permutações, princípio da inclusão-exclusão,
números binomiais e
probabilidade.
MORGADO, Augusto César; et al. Análise combinatória e probabilidade.
Coleção do Professor de
Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática-SBM, 2001.
SANTOS, J. P. O. et alli.; Introdução à Análise Combinatória; UNICAMP;
1995
FERNANDEZ, P.J., Introdução à teoria das Probabilidades. LTC-Livros
Técnicos e Científicos. Editora
Universidade de Brasília, 1973.
Bibliografia básica:
FIGUEIREDO, Luiz Manoel. Matemática Discreta. Vol 1 e 2, Rio de Janeiro:
Fundação Cecierj/Consórcio
Cederj, 3a ed, 2005.
SPIEGEL, Murray L. Probabilidade e Estatística - Coleção Schaum – McGraw
Hill Editora
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David Mauro; PÉRIGO,
Roberto. Matemática. São
Paulo: Atual, 1997. 651p.
LIPSCHUTZ,
Seymour.
Probabilidade.
São
Paulo:
McGraw-Hill
do
Brasil,LTDA, 1972.
MIRSHAWKA, Victor; SONNINO, Sérgio. Elementos de análise combinatória
4.ed. São Paulo: Nobel,
1967. 106p
148
Tópicos Especiais de Matemática I
Ementa: Disciplina de ementa aberta. Tópicos de Matemática superior
acessíveis a alunos dos cursos
de licenciatura. Tópicos sobre temas diversos ( teoria dos grafos, trigonometria,
símbolos, abstração,
generalização, lógica, números complexos, padrões, fractais, ordens, caos,
análise combinatória, etc.).
IEZZI & MURAKAMI. Fundamentos de Matemática Elementar. v.1 a 6. São
Paulo: ATUAL, 1991.
LIMA, E.L. et.all. A Matemática do Ensino Médio. v. 2 e 3. Rio de Janeiro:
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HAACK, S. Filosofia das Lógicas. São Paulo: UNESP, 2002.
MOREY, B. B. Tópicos de História da Trigonometria. Série Textos de
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SACRISTÁN, J. G. O Currículo: uma reflexão sobre a prática. 3 ed. Porto
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SANTOS, CANAVARRO & BROCARDO (Org.). ACTAS de Educação
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INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO MESTRADO

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