Nós, laços e emaranhados Série Rádio Cangália

Nós, laços e emaranhados
Série Rádio Cangália
Objetivos
1. Apresentar uma motivação para o estudo
da teoria dos nós.
Nós, laços e
emaranhados
Série
Rádio Cangália
Conteúdos
Funções e números, Geometria e
medida, Análise de dados.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Sinopse
O programa apresenta o
resultado de uma simulação de
computador sobre curvas e nós.
Material relacionado
Experimentos: Como economizar
cadarço, De quantas maneiras
posso amarrar o meu cadarço.
Objetivos
1. Apresentar uma motivação
para o estudo da teoria dos
nós.
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Introdução
Sobre a série
A série Rádio Cangália apresenta programas descontraídos de
variedades que usualmente abordam uma informação ou notícia de
conhecimentos gerais, com comentários de um professor de
matemática. Os temas não são tratados em profundidade, mas
oferecem oportunidade de o professor trabalhar assuntos
interdisciplinares em sala de aula ou em atividades extraclasse. O
programa pode trazer também uma piada ou uma frase célebre, sem
preocupações maiores além de oferecer motivos de discussão em
torno de um conteúdo e reforçar a descontração.
Sobre o programa
Existe matemática no estudo dos nós, como nós de escoteiros,
marinheiros, caminhoneiros etc. A Teoria matemática dos nós estuda
as curvas fechadas no espaço sem auto-intersecções.
Em 1988 o matemático Sumners e o químico Whittington
apresentaram um artigo que elucidou a tendência que cordas, fios ou
mangueiras têm de se enrolarem e fazerem nós. Em alguns casos,
conseguimos desmanchar os nós, mas outros casos não. Essa
tendência não é apenas incômoda para os fios de cabelo, por exemplo.
Podem ser fatais para cordas de alpinistas, uma vez que uma corda
com nó indevido pode se tornar mais frágil exatamente ali. Por outro
lado, a capacidade de se emaranhar garante estabilidade química para
algumas cadeias de polímeros de longas moléculas de proteína.
Os
pesquisadores
mostraram,
com
base
em
simulações
computacionais, que uma curva aleatória suficientemente longa (fio,
corda, etc) tem pelo menos um nó.
Um dos objetivos matemáticos para estudar nós é determinar se um
emaranhado é de fato um nó ou ele pode ser reduzido a um laço
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semelhante a um colar. Outro objetivo é diferenciar um nó de outro.
Para esse estudo, os tamanhos relativos dos trechos livres não são
relevantes.
Uma das maneiras de caracterizar um nó (lembre que estamos
tratando de curva fechada), é analisar os auto-encontros da curva. Isto
é, nas regiões de encontro de um pedaço da curva com outro pedaço
da mesma curva, às vezes a curva deve passar por cima, outras vezes
passar por baixo. Dessa forma, para fazer um desenho projetado da
curva no plano, algumas vezes, temos que tirar a caneta ou o lápis do
papel para indicar que a curva, naquela perspectiva, foi interrompida
para ser retomada logo depois. Ao considerar curvas de nós que
tenham encontros equivalentes, o físico matemático da Nova Zelândia
Vaughan Jones inventou uma medida, chamada invariante, que
classifica os nós possíveis. Até o momento já foram classificados mais
de um milhão e setecentos mil nós não equivalente que tenham no
máximo 16 cruzamentos.
Pense que um laço, que pode ser deformado para um círculo tem zero
cruzamento, um nó simples (cego) tem dois encontros, um nó trifólio
ou nó de trevo tem três encontros.
As coisas podem ficar mais complicadas, e mais interessantes, se
considerarmos mais de uma curva, nesses casos chamados de enlaces.
Por exemplo, o símbolo das olimpíadas é um enlace de três círculos
que se cruzam em 5 regiões de tal forma que para se desfazer do
enlace, basta romper um dos círculos.
O programa foi desenvolvido a partir das seguintes falas:
Esta é a RÁDIO CANGÁLIA (efeito sonoro)
A rádio que não é necessária,
Nem suficiente,
Para aprender matemática.
Mas pode ajudar!
Olá, queridos ouvintes da rádio cangália. Eu sou o Henrique, e
estamos aqui com a nossa querida Ivone...
• (emburrada) Olá, olá... Henrique tudo bom? Sejam bem vindos e do
meu lado temos o professor Leumas.
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• Saudações, ouvintes! Calma lá gente, que ta acontecendo? Ivone tá
toda nervosa...
• É Ivone...
• (continua muito magoado) se você não gosta de conviver comigo,
ok. Eu me retiro deste programa, mas saiba que eu tenho a maior
consideração do mundo por você! ADEUS
• Ai, Henrique, não tem nada a ver... é que hoje não é meu dia. Vou
contar o que aconteceu...
• (continua - histérica) Hoje eu tava querendo vir com um lenço
maravilhoso e dar um nó chiquérrimo que eu aprendi na revista,
mas não consegui fazer o laço que eu queria. Depois eu peguei um
colar, mas meus colares tavam todos embolados! E aí eu resolvi por
um tênis e o cadarço também tava embolado!
• Ivone, pra que se estressar com isso?
• (interrompe) CALMA! E se não bastasse todo meu desespero meu
cabelo tava cheio de nós!
• (ainda triste) Ai Ivone... isso é motivo pra tá de bico assim e nos
tratar com tanto ódio?
• Lógico, Henrique, eu estou sem colar, sem lenço, não consegui
colocar meu sapato! Se não bastasse também acordei com um
monte de nós no cabelo! Ai que ódio. (pausa) Descobri que eu
odeio nós.
• Nada a ver Ivone? Eu amo noz... bolo de noz... (pausa) mas como
foi parar noz no seu cabelo?
• Ai... Henrique, você ficou tão abalado que não consegue nem
processar a informação.
• Eu, abalado? Até parece que a Ivone vai me deixar abalado com
alguma coisa.
• Tô dizendo que a Ivone está falando de nó... não de nozes.
• Ah tá... (sem graça) e eu não posso falar de nozes?
• Ai, já vi que vai ser difícil, enrolado hoje... (pausa) Bem,
coincidentemente nosso assunto de hoje será nós...
• Aí. tá vendo, professor, a Ivone pode! Se eu falo de nozes você fica
bravo!
• Henrique! Nós todos estamos falando de nós, emaranhados e
laços!
• Ah. Tá bom. Entendi...
• Bem, vamos parar de discussões... como eu ia dizendo... vamos
falar sobre (ênfase) nós, emaranhados e laços. Não de nozes! Tudo
bem que para a nossa querida Ivone os nós mais atrapalharam do
que ajudaram... mas há muita utilidade e até matemática envolvida
nos estudos deles.
• E quem se utiliza desses estudos sobre nó?
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• Os nós são muito importantes para caminhoneiros, escoteiros,
marinheiros, alpinistas.
• E quais características dos nós são estudadas? Quem começou com
tudo isso, professor?
• Quem começou eu não sei, mas sei que em 1988 o matemático
Sumners e o químico Whittington apresentaram um artigo sobre a
tendência que cordas, fios e mangueiras têm de se enrolarem ou
fazerem nós. E que em alguns casos conseguimos desmanchar
esses nós, mas em outros não.
• (Emburrada) Que nem meu cabelo...
• Isso mesmo, Ivone! Mas, também há casos muito perigosos, como
nós dados inadequadamente nas cordas de alpinista, por exemplo,
que podem trazer conseqüências graves.
• Professor, além dessas, há outras aplicações para os estudos sobre
nós?
• Sim, Henrique, várias. Na química orgânica, por exemplo, a
capacidade de se emaranhar garante estabilidade química para
algumas cadeias de polímeros de longas moléculas de proteína.
Mas esse é um assunto no qual não vamos aprofundar.
• É, professor, dá pra ver que hoje tive azar com a probabilidade dos
nós... não consegui desfazê-los nem no cadarço, no colar, no
cabelo.
• E o mais interessante é que isso tudo, Ivone, tem explicações com
embasamento científico!
• Ai ai, não sabia que os nós eram tão complicados assim, prefiro
falar sobre nozes!
• Uhm... e eu prefiro dar um intervalo no programa para se a Ivone
fique mais calma... o Henrique se recupere!
• Se recuperar do que, professor, de a Ivone ter me maltratado? Eu to
super bem! Nem ligo para o que ela fala...
• Aham, ta bom, Henrique. Eu to bem também, professor.
• Então vamos (ênfase) logo para um intervalo!
• Estamos de volta, ouvintes, pra falar sobre nó e a sua classificação
matemática! Eu estou mais calma agora e vamos ver se o
Henrique...
• (interrompe) Sim, já to bem, já to bem... Olá, queridos ouvintes da
rádio Cangália, meu nome é Henrique e do meu lado a Ivone e o
Professor Leumas... nosso tema de hoje são nozes!
• É, Ivone, já vi que ele não ta legal, ainda, ta vendo que você fez
com ele (risos)...
• Mentira, né, professor. Foi uma brincadeira para os ouvintes
acharem que eu estava super abalado no primeiro bloco, que nem
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prestei atenção nele, achando que esse era o começo do programa!
(risos) Entendeu? Eu tava achando que era o começo do programa.
(sem graça) Tá bom, Henrique! Vamos então, né professor, à piada
do dia?
(indignado) É melhor mesmo...
Quem são os pais do menino complexo?
O pai e a mãe difíceis...
Não, Henrique. (pausa) A senhora Real e o senhor Imaginário.
Ah... que legal, professor! Mas, eu não entendi.
Bem, a piada foi só para nos informar que nosso assunto
matemático de hoje é uma introdução à teoria dos conjuntos.
Ainda não entendi.
Veja só... (pausadamente) complexo, imaginário e real são
diferentes conjuntos de números... hoje não aprofundaremos
nestes conceitos, porém nos basta saber que conjuntos são
agrupamentos de elementos que possuem características comuns!
Ah ta, professor, mas sua piada não teve muita graça.
Não me importo mais, Henrique, já me acostumei com esses
comentários maldosos sem embasamento científico referentes às
minhas brincadeiras descontraídas.
Professor, eu tenho uma pergunta boa! O que os nós, laços e
emaranhados têm a ver com os conjuntos hein?
É aí que eu ia chegar, Ivone! Outro objetivo matemático de se
estudar os nós é diferenciar um nó de outro.
Mas, professor, quais são essas diferenças?
Uma das maneiras de se diferenciar um nó de outro é analisar os
auto-encontros, isto é os cruzamentos de uma curva, ou seja, as
regiões onde um pedaço da curva se encontra com outro pedaço
da mesma curva.
Mas, professor, há várias maneiras de esses pontos se
encontrarem?
Sim, às vezes a curva passa por cima. E às vezes, por baixo. Como
um viaduto, mas existem diversas outras possibilidades.
E a quantidade de cruzamentos da curva, também pode variar?
Sim, Henrique! Uma curva fechada sem cruzamento seria um laço
sem nó. Existe nó de mais dois cruzamentos... nós com vários
cruzamentos. Um nó chamado cego ou simples
tem três
cruzamentos. É também chamado de nó trifólio ou de trevo. E
lembre que estamos considerando uma curva fechada (ênfase).
Para perceber os cruzamentos deixe tudo folgado, sem apertar o
nó.
Mas, quantos tipos de nós existem, mais ou menos?
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• Até o momento já foram classificados mais de 1 milhão e 700 mil
nós não equivalente com até 16 encontros de curvas...
• (risos) Coitada da Ivone ao saber isso... imagine tudo isso de nó no
seu cabelo?
• (risos) Aí sim seria um problemão. (pausa) Então, professor, deixa
eu ver se eu entendi... com a teoria de que cada conjunto envolve
vários elementos de características comuns, e com a informação de
que há mais de 1 milhão e 700 mil tipos de nós: posso afirmar que
há 1 milhão e 700 mil conjuntos diferentes de nós?
• Não é bem assim, Ivone! (pausa) Tem um nó com três cruzamento,
outro nó com quatro cruzamentos, dois nós com cinco
cruzamentos e o número de nós com mais cruzamentos cresce
muito. Assim, o CONJUNTO de nós com 16 encontros tem quase
um milhão e quatrocentos mil nós diferentes.
• Ah. Então a característica comum é a quantidade de cruzamentos.
• Isso mesmo, Ivone. Essa é uma maneira de classificar os nós em
conjuntos distintos e uma dificuldade que os matemáticos
enfrentam é saber se um nó é realmente diferente de outro.
• Ah, professor, eu sei uma curiosidade interessante que tem a ver
com nós: o Símbolo das Olimpíadas é composto por cinco anéis
entrelaçados que representam cada um, os cinco continentes
habitados do mundo, como se fossem um continente só, ou seja,
um grande embolado de continentes!
• Isso mesmo, Henrique, ótima observação. Deve haver um
embolado assim no cabelo da Ivone hoje de manhã...
• Até você, professor?
• Brincadeirinha, Ivone... então, Henrique qual é a frase de hoje?
• A frase de hoje pertence ao juramento Olímpico
• A coisa mais importante nos Jogos Olímpicos não é vencer, mas
participar, assim como a coisa mais importante na vida não é o
triunfo, mas a luta. O essencial não é ter vencido, mas ter lutado
bem.
• E a coisa mais importante para a Ivone hoje não é conseguir
desembaraçar o cabelo, os colares, os cadarços, mas sim ter
tentado!
• Pois é professor, nem me lembre disso... Agora que sabemos que
eu já sou uma vencedora por ter encarado aquele mundo de nós
hoje...
• Agora que o Henrique já se sente recuperado da raiva da Ivone...
• (risos encabulados)
• (Interrompe) Ei, eu estive bem o tempo todo Bem, agora que tudo
já foi esclarecido vamos ao final de mais um programa da rádio
Cangália! Até mais, ouvintes!
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Sugestões de atividades
Antes da execução
O programa apresenta um conteúdo opcional para o ensino médio:
teoria dos nós. No entanto o professor pode usar o tema como
exemplo da maneira matemática de ver, classificar e analisar objetos
abstratos, a partir de objetos concretos. Além disso, alguns resultados
(teoremas) podem ser entendidos (sem entrar nas demonstrações) com
um pouco de atividade manual. Fazemos a seguir uma breve
introdução à teoria dos nós para servir de ponto de partida para
estudos mais completos. Ao final desse guia apresentamos algumas
atividades para serem desenvolvidas após a apresentação do vídeo.
Introdução à teoria dos nós
É preciso diferenciar os nós tratados na teoria matemática daqueles
que a gente usa no cotidiano. Eles estão relacionados, mas para
termos mais controle, todos os laços são curvas fechadas, isto é, não
pontas livres.
Na prática, pegue um fio ou um cordão, faça um nó e cole as pontas.
Esse é o tipo de objeto que a teoria de nós trata.
Definição
Um nó é uma curva simples (não composta) fechada no espaço tridimensional.
Exemplos
Usamos a nomenclatura que conta a quantidade de cruzamentos no
nó.
• A circunferência 01 é um nó trivial;
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• O nó do trevo ou trifólio 31;
• O nó em forma de oito 41;
• Dois nós com cinco cruzamentos
o Pentafólio 51;
o Nó de torcida tripla 52;
• Três nós com seis cruzamentos:
o Nó pretzel ou de Stevedore ou 61;
o Nó do instituto Miller 62;
o 63;
Ser ou não ser um nó
O problema principal da teoria dos nós é determinar se dois nós
podem ser rearranjados ou vistos em outras perspectivas (sem cortar)
e ao final serem o mesmo nó.
Em particular, se o nó é trivial ou não.
O matemático alemão Reidemeister provou em 1926 que há três tipos
de mexidas nos nós para transformar um nó em outros para fazer
comparações e determinar se são iguais ou não.
Figura 1 Tirar ou colocar dois cruzamentos
Figura 2 Uma torcida ou distorcida simples
Figura 3 Deslizar e mudar o cruzamento de lugar
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A idéia é fazer as transformações acima para reduzir ao máximo o
número de cruzamentos. Alguns nós, depois de simplificado ao menor
número de cruzamentos, pode ter mais de um tipo de nó. É o caso dos
nós com mais de quatro cruzamentos.
Por exemplo, a ilustração abaixo mostra que os seis nós abaixo são
todos equivalentes ao nó trivial.
Enlace não é nó
Alguns objetos não são nós e sim enlaces por serem compostos por
mais de uma curva fechada simples. É o caso do símbolo das
Olimpíadas.
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Há oito cruzamentos e cinco curvas fechadas simples (circunferências,
ou nó trivial). Para desmembrar todos os laços, dois cortes são
suficientes.
Durante a execução
Escreva no quadro os nomes e os dados numéricos mencionados no
programa à medida que eles forem falados.
Depois da execução
O professor pode desenvolver o conteúdo abordado no programa
como a seguir.
Atividade
Se possível cada aluno com um cordão (de cadarço é possível, se for
recomendável para a turma) deve fazer o nó que imaginar (colar as
pontas) e colocar sob um papel na mesa, carteira ou chão o nó feito.
Peça aos alunos começarem em algum ponto do cordão e escreverem
no papel um número em sequência quando passar por um cruzamento
até voltar ao ponto de partida. O nó trivial não tem cruzamento algum.
Veja o exemplo ao lado para o trifólio.
Incentive os alunos perceberem que cada cruzamento vai ter dois
números, um ímpar e outro par. No caso do trifólio representamos
esses cruzamentos da seguinte forma:
Tabela 1 Numeração dos cruzamentos do trifólio
1 3 5
4 6 2
Solicite que os alunos representem os seus
respectivos nós com os pares de números como
dispostos na Tabela 1.
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A primeira linha da tabela sempre terá os números ímpares. A segunda
linha é praticamente um identificador, como um “código de barras”, do
nó.
Compartilhe os nós diferentes que a turma desenvolver. Por exemplo o
nó caracterizado por 2 4 8 6. Quão diferente é do nó 8 6 2 4?
Nó de gravata
Há quatro tipos de nós de gravata amplamente utilizados no mundo
todo. Três deles são triviais, isto é, fazendo as transformações de
Reidmester, podemos desatar a gravata e ficar sem cruzamento algum
– basta puxar uma das pontas, sem o pescoço no meio da gravata. Um
deles se transforma em um nó trifólio.
Mas há pelo menos mais cinco nós de gravata descobertos por Fink e
Mao em 1998 (na realidade há pelo menos 85 nós de gravatas, mas
nove foram eleitos por alguns critérios estéticos).
Sugerir aos alunos pesquisarem os nós de gravatas e treinarem fazêlos com faixa comprida de jornal (dobrar o jornal para ter um
retângulo longo).
Sugestões de leitura (todas as páginas visitadas em 31 Jul. 2011)
W Sumners and S G Whittington (1988). Knots in self-avoiding walks.
JOURNAL OF PHYSICS A: MATHEMATICAL AND GENERAL N 7, Vol. 21 P.
1689. http://stacks.iop.org/0305-4470/21/i=7/a=030.
Eduardo Colli. Introdução à teoria dos nós. MATEMATECA.
http://www.ime.usp.br/~matemateca/textos/nos.pdf
J. Lewis. Drawing Doodles and Naming Knots, NRICH
http://nrich.maths.org/5787
Division of Mathematics, School of Informatics, University of Wales,
Bangor. Mathematics and Knots
http://www.popmath.org.uk/exhib/knotexhib.html
THE KNOT ATLAS (tipo wiki)
http://katlas.math.toronto.edu/wiki/Main_Page
KNOTPLOT – software para desenhar nós com perspectivas 3-d.
http://knotplot.com/
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Ficha técnica
Autor Samuel Rocha de Oliveira e Luis Ricardo Sarti
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Caio José Colletti Negreiros
Vice-diretor Verónica Andrea González-López
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