O desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébrica no

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
DÉBORA SILVA VELOSO
O DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO E DA LINGUAGEM
ALGÉBRICOS NO ENSINO FUNDAMENTAL: ANÁLISE DE
TAREFAS DESENVOLVIDAS EM UMA CLASSE DO 6º ANO
Ouro Preto
2012
DÉBORA SILVA VELOSO
O DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO E DA LINGUAGEM
ALGÉBRICOS NO ENSINO FUNDAMENTAL: ANÁLISE DE
TAREFAS DESENVOLVIDAS EM UMA CLASSE DO 6º ANO
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado Profissional em
Educação Matemática, oferecido pela Universidade Federal de
Ouro Preto, como exigência parcial para obtenção do título de
Mestre em Educação Matemática.
Orientadora: Ana Cristina Ferreira
Doutora em Educação Matemática
Ouro Preto
2012
V443d
Veloso, Débora Silva.
O desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébricos no ensino
fundamental [manuscrito] : análise de tarefas desenvolvidas em uma classe do 6º
ano / Débora Silva Veloso – 2012.
245 f.: il., color.; tabs.
Orientadora: Profª Dra. Ana Cristina Ferreira.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de
Ciências Exatas e Biológicas. Departamento de Matemática. Programa de
Mestrado Profissional em Educação Matemática.
Área de concentração: Educação Matemática.
1. Matemática - Estudo e ensino - Teses. 2. Pensamento algébrico - Teses.
3. Álgebra - Estudo e ensino - Teses. 4. Ensino fundamental - Teses.
I. Universidade Federal de Ouro Preto. II. Título.
Catalogação: [email protected] CDU: 512:373.3
CDU: 669.162.16
O pensamento não tem
limites e a mente que
conhece novas ideias e
conceitos, jamais
retornará à sua condição
inicial.
AGRADECIMENTOS
É difícil encontrar palavras para expressar minha gratidão pelas pessoas que
estiveram comigo nessa caminhada.
Primeiramente, agradeço a Deus que me iluminou e guiou os meus passos, não me
deixando desistir em momentos de maior dificuldade.
À minha mãe, exemplo de dedicação, força e superação, que não mediu esforços
para ver realizar os meus sonhos, sempre ao meu lado, orgulhosa e me dando forças.
Ao meu pai, preocupado e interessado, que, mesmo longe, fez questão de estar
sempre presente, demonstrando carinho e apoio.
Aos meus irmãos, Breno, Romulo e Mônica, e à minha cunhada Paty, que
alegraram os meus momentos de desespero! Amo vocês incondicionalmente! Sem vocês, não
teria tanta graça!
À Kelly, amiga querida, principal incentivadora em meu ingresso em todo o
processo. Você é muito especial!
A todos os colegas da turma 3, especialmente, ao Davidson, à Maíra e à Luciene
que compartilharam, junto a mim, alguns momentos de desespero e angústia. Ao Célio e à
Daila pelas divertidas noites de quinta-feira.
Às minhas queridas e tão fieis amigas de infância, Thaís, Maria Cristina, Daniela,
Luciana e Raquel, pela força nos últimos meses.
A todos os professores do mestrado da UFOP que colaboraram, direta ou
indiretamente, para minha formação.
À Márcia Cyrino, ao Plínio e à Vanessa, por aceitarem a tarefa de ler e apresentar
contribuições valiosas para este trabalho.
À minha orientadora Ana Cristina, pelo apoio e orientações nos momentos de
trabalho, e pela humanidade demonstrada em momentos delicados. Obrigada pelas palavras de
apoio e carinho. Você é parte deste trabalho!
Aos alunos que aceitaram participar do projeto e à direção do colégio onde a
proposta foi desenvolvida. Muito obrigada pela colaboração!
Ao Bruno, pela paciência, tranquilidade e apoio nos últimos meses! Você é
iluminado e muito especial!
Enfim... muito obrigada a todos!
RESUMO
A Álgebra, apesar de seu valor inegável na formação matemática do cidadão, figura como uma
das áreas que oferece grandes dificuldades para professores e alunos. Uma das explicações
apresentadas pela literatura nacional e internacional é o fato de seu ensino ser
predominantemente mecânico e desprovido de sentido para os alunos. Outra é a ênfase
excessiva no simbolismo em detrimento do desenvolvimento do pensamento algébrico. Tais
leituras e reflexões levaram-nos construir, desenvolver e analisar um conjunto de tarefas
envolvendo padrões e sequências com o propósito de investigar como alunos iniciantes no
estudo de Álgebra lidariam com as mesmas e responder a seguinte questão de investigação:
Que contribuições uma proposta de ensino baseada na percepção e generalização de padrões e
sequências pode trazer para o desenvolvimento do pensamento algébrico e da linguagem
algébrica em alunos que se iniciam no estudo da Álgebra? A pesquisa aconteceu em uma
classe do 6º ano do Ensino Fundamental de uma escola privada de Belo Horizonte (MG). Sete
tarefas foram desenvolvidas nos horários regulares das aulas de Matemática. Esse estudo, de
cunho qualitativo, fundamentou-se nos trabalhos de Radford (2009, 2010a, 2010b e 2011)
acerca do pensamento algébrico e dos processos de objetificação e de generalização. Os dados
foram coletados por meio de diário de campo, gravações em áudio e vídeo, bem como de
registros produzidos pelos alunos. Os resultados evidenciam que a percepção de padrões e a
construção e análise de sequencias não são triviais para os alunos, mas, quando estimulados,
gradativamente, podem desenvolver as habilidades necessárias para trabalhar com esses temas.
Os participantes do estudo, de modo geral, apresentaram considerável avanço na compreensão
de padrões e percepção de regularidades. Nessa perspectiva, tivemos a oportunidade de
perceber os processos de objetificação vivenciados pelos estudantes, no sentido de investigar
as diversas estratégias utilizadas por eles durante a interação com as sequências, com os
colegas e com a professora/pesquisadora. As tarefas abordadas e a forma como foram
desenvolvidas em sala de aula propiciaram a domesticação do olhar de alguns alunos, os quais
conseguiram desenvolveram formas de raciocínio organizadas e elaboradas, realizando
generalizações algébricas – contextuais ou factuais -, características do pensamento algébrico.
Observamos, também, uma evolução na forma de designar o objeto indeterminado e variável
em cada uma das sequências trabalhadas e na escrita simbólica, em direção à construção da
linguagem algébrica padrão. Tal como propõe a literatura, verificamos que é possível realizar
tarefas que estimulem o desenvolvimento do pensamento algébrico em alunos iniciantes no
estudo da Álgebra, antes mesmo que eles dominem a linguagem algébrica padrão. A pesquisa
gerou ainda um livreto com uma síntese comentada das tarefas desenvolvidas, destinado a
professores, futuros professores e formadores.
Palavras chave: pensamento algébrico, alunos iniciantes no estudo da Álgebra, Radford,
Processos de objetificação e generalização
ABSTRACT
The Algebra, despite its undeniable value in the mathematical training of a citizen, shows as a
difficult area for teachers and students. The national and international literature says that his
teaching is predominantly mechanical and meaningless to students.The Algebra, despite its
undeniable value in the mathematical training of a citizen, shows as a difficult area for
teachers and students. One of the explanations given by the national and international
literature is the fact that his teaching is predominantly mechanical and meaningless to
students. Another explanation given is the excessive emphasis on symbolism rather than the
development of algebraic thinking.These readings and reflections led us to build, develop and
analyze a set of tasks that involves patterns and sequences in order to investigate how
beginners in the study of algebra would deal with them. The research took place in a class of
6th graders at a private school in Belo Horizonte (MG). Seven tasks were developed in the
regular schedule of mathematics classes. This qualitative study was based on Radford works
(2009, 2010a, 2010b and 2011) about algebraic thinking and the processes of objectification
and generalization. Data were collected through a field diary, audio, video and some records
produced by the students. The results show that the perception of patterns and the construction
and analysis of sequences are not trivial for students, but, when stimulated, may have a
gradually development of the skills necessary to work with these issues. The participants
generally displayed a considerable progress in understanding and perception of patterns. From
this perspective, we had the opportunity to understand the processes of objectification
experienced by the students, in an effort to investigate the various strategies used by them
during the interaction with the sequences, with colleagues and with the teacher / researcher.
The tasks and how they were developed in the classroom led to the domestication of the eyes
of some students, which could have developed organized and elaborated thinking, performing
algebraic generalizations - contextual or factual - , which is one of the characteristics of the
algebraic thinking. We also observed an evolution in the way of designating the variable and
undetermined object in each of the sequences and in symbolic writing in the way to the
construction of the algebraic language standard. As literature proposes, we found that you can
perform tasks that encourage the development of algebraic thinking in beginners, even before
they dominate the algebraic language standard. The research also generated a booklet with a
brief commentary of the tasks developed for teachers, future teachers and trainers.
Keywords: algebraic thinking, beginning students in the study of algebra, Radfor, process of
objectification and generalization
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Sequência de figuras trabalhadas na pesquisa de Radford. Fonte: Radford (2010, p.
41). ............................................................................................................................................ 40
Figura 2: Esquema representativo da regularidade percebida por Doug. Fonte: Radford (2010,
p. 43). ........................................................................................................................................ 40
Figura 3: Primeiros quatro termos de uma sequência trabalhada em uma turma do 2º ano.
Fonte: Radford, 2010b, p. 3. ..................................................................................................... 41
Figura 4: O momento em que um estudante (James) está desenhando o sexto termo; o quinto
(linha de cima) e o sexto (linha de baixo) termos de James; oitavo termo de acordo com outra
estudante (Sandra). Fonte: Radford, 2010b, p. 3. ..................................................................... 41
Figure 5: Três cubos enfileirados no canto da sala. Fonte: Grecco (2008, p. 69). ................... 79
Figure 6: Um cubo sobre a mesa. ............................................................................................. 80
Figura 7: Dois cubos enfileirados sobre a mesa. ...................................................................... 82
Figura 8: Exemplo de 3 lembretes no painel. Fonte: Barbosa,Vale e Palhares (2008). ........... 88
Figure 9: Exemplo de um lembrete afixado no painel. ............................................................. 89
Figura 10: Sequência de mesas e cadeiras. Fonte: Matemática em Cena, 8º ano do Ensino
Fundamental, página 57. ........................................................................................................... 95
Figure 11: Primeiro slide apresentado à turma. ........................................................................ 96
Figure 12: Segundo slide apresentado à turma. ........................................................................ 97
Figure 13: Terceiro slide apresentado à turma. ......................................................................... 97
Figure 14: Ordem de contagem das cadeiras. ........................................................................... 98
Figure 15: Quarto slide apresentado à turma. ........................................................................... 98
Figure 16: Quinto slide apresentado à turma ............................................................................ 99
Figure 17: Sexto slide apresentado à turma. ........................................................................... 100
Figure 18: Tabela preenchida até o número de 5 mesas enfileiradas. .................................... 101
Figure 19: Parte da sequência trabalhada na tarefa I. ............................................................. 112
Figura 20: Esquema representativo da formação da sequência de 3 quadrados. .................... 124
Figura 21: Termos utilizados para identificar cada face exposta do primeiro cubo. .............. 145
Figura 22: Acrescentando o terceiro cubo. ............................................................................. 148
Figure 23: Exemplo de um lembrete afixado.......................................................................... 164
Figura 24: Ímãs comuns a mais de um lembrete. ................................................................... 165
Figure 25: Esquema representativo dos gestos durante contagem dos pontinhos de cola
necessários para afixar 2 lembretes. ....................................................................................... 166
Figure 26: Disposição dos ímãs nos dois primeiros lembretes antes de adicionar o terceiro
lembrete. ................................................................................................................................. 167
Figure 27: Relação entre as respostas da dupla 5 às questões 1 e 2 da tarefa IV. .................. 171
Figura 28: Interpretação da reposta apresentada pela dupla 2 para a segunda questão da tarefa
IV. ........................................................................................................................................... 172
Figure 29: Possível regularidade percebida pelos alunos A6 e A12 na análise da sequência
trabalhada na tarefa V. ............................................................................................................ 177
Figure 30: Tabela apresentada no sexto slide e preenchida coletivamente pela turma. ......... 179
Figure 31: Possível visualização da figura das mesas enfileiradas pelo aluno A10. .............. 183
Figure 32: Registro da dupla 1 na segunda questão da tarefa V escrita. ................................ 184
Figure 33: Interpretação da resposta da dupla 1 para a quinta questão da tarefa V escrita. ... 189
Figura 34: Interpretação do desenho apresentado pela dupla 1 à quinta questão da tarefa V
escrita. ..................................................................................................................................... 190
LISTA DE IMAGENS
Imagem 1: Trecho transparência do trio 3. ............................................................................... 70
Imagem 2: Registro em transparência trio 1. ............................................................................ 73
Imagem 3: Modelo de canudo utilizado na confecção dos triângulos. ..................................... 76
Imagem 4: Sugestão de encaixe dos canudos para montagem dos triângulos. ......................... 76
Imagem 5: Alunos encaixando canudos para confecção dos triângulos. .................................. 77
Imagem 6: Alunos mostrando um triângulo construído com 9 canudos. ................................. 77
Imagem 7: Tabela e registros da dupla 4 na atividade II. ......................................................... 87
Imagem 8: Sequência de lembretes do aluno A10. ................................................................... 92
Imagem 9: Sequência de lembretes da aluna A2. ..................................................................... 93
Imagem 10: Registro dupla 1 na segunda questão da tarefa IV escrita. ................................. 104
Imagem 11: Esquema apresentado na transparência da dupla 4 para representar a gênese da
sequência. ................................................................................................................................ 115
Imagem 12: Trecho da transparência produzida pelo trio 2. .................................................. 122
Imagem 13: Trecho da transparência produzida pelo trio 2. .................................................. 122
Imagem 14: Trecho da transparência produzida pela dupla 3. ............................................... 125
Imagem 15: Resposta da dupla 6 à questão 4 da tarefa II escrita. .......................................... 139
Imagem 21: Registro da dupla 4 na segunda questão da atividade II. .................................... 157
Imagem 22: Registro do aluno A4 no quadro. ........................................................................ 161
Imagem 23: Imagem utilizada pela dupla 2 para representar o número de lembretes, na questão
2. ............................................................................................................................................. 172
Imagem 24: Resposta da dupla 3 à questão 3 da tarefa V escrita. .......................................... 186
Imagem 27: Resposta dupla 1 para a quinta questão da atividade IV. ................................... 188
Imagem 28: Resolução da dupla 4 para a quarta questão da atividade IV. ............................ 191
Imagem 31: Resolução aluna A6 na primeira questão da tarefa VI. ...................................... 196
Imagem 32: Resolução aluno A10 na primeira questão da tarefa VI. .................................... 197
Imagem 33: Tabela e esquema da resolução da aluna A13 na atividade V. ........................... 197
Imagem 34: Tabela da aluna A18 na atividade V. .................................................................. 198
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Respostas dos grupos à segunda questão da tarefa V escrita. ................................. 104
Tabela 2: Respostas dos grupos à terceira questão da tarefa V escrita. .................................. 105
Tabela 3: Questão da tarefa VI escrita. ................................................................................... 107
Tabela 4: Desempenho dos alunos para os itens “a”, “b” e “c” da tarefa VI. ........................ 108
Tabela 5: Respostas dos grupos para o item “b” da Tarefa 4. ................................................ 113
Tabela 6: Respostas das duplas 1 e 3 e dos trios 2 e 3 para os itens “d” e “e” da Tarefa 4. ... 117
Tabela 7: Respostas da dupla 4 para os itens “d” e “e” da Tarefa 4. ...................................... 118
Tabela 8: Respostas da dupla 2 e do trio 1 para os itens “d” e “e” da Tarefa 4. ..................... 119
Tabela 9: Respostas dos grupos para o item “f” da Tarefa 4. ................................................. 120
Tabela 10: Respostas dos grupos para o item “g” da tarefa 4. ................................................ 129
Tabela 11: Respostas e justificativas dos grupos para primeira e segunda questões da tarefa 2.
................................................................................................................................................ 134
Tabela 12: Respostas das duplas 4, 5 e 8 para a questão 3 da segunda tarefa. ....................... 135
Tabela 13: Respostas das duplas 6 e 7 para a questão 3 da segunda tarefa. ........................... 136
Tabela 14: Respostas das duplas 1, 2 e 3 para a questão 3 da segunda tarefa. ....................... 137
Tabela 15: Respostas das duplas 2, 3, 6, 7 e 8 à primeira questão da tarefa III escrita. ......... 157
Tabela 16: Respostas das duplas 1 e 5 à primeira questão da tarefa III escrita. ..................... 158
Tabela 17: Respostas das duplas 1, 2 e 5 à atividade escrita da tarefa IV. ............................. 169
Tabela 18: Respostas apresentadas pela dupla 3 às questões 1 e 2 da tarefa IV. ................... 173
Tabela 19: Respostas da dupla 4 às questões 1 e 2 da tarefa IV. ............................................ 174
Tabela 20: Respostas do trio 1 às questões 1 e 2 da tarefa IV. ............................................... 175
Tabela 21: Respostas dos grupos à segunda questão da tarefa V escrita. ............................... 184
Tabela 22: Respostas da dupla 3 e do trio 1 à segunda questão da tarefa V escrita. .............. 185
Tabela 23: Tabela da tarefa VI escrita. ................................................................................... 196
Tabela 24: Respostas dos alunos para o item “d” da tarefa VI escrita. .................................. 199
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 18
CAPÍTULO 1: SITUANDO A PESQUISA NO CAMPO DA EDUCAÇÃO ALGÉBRICA ............... 24
1.1. De onde vem essa forma de conceber o ensino da Álgebra? ...................................................... 24
1.2. Pensamento Algébrico versus Linguagem Algébrica ................................................................. 26
1.3. Dificuldades dos alunos que se iniciam em Álgebra................................................................... 30
1.4. O uso e o significado das letras ................................................................................................... 34
CAPÍTULO 2: EM BUSCA DE UM OLHAR TEÓRICO SOBRE O PENSAMENTO ALGÉBRICO:
A TEORIA DE RADFORD ................................................................................................................... 37
2.1. Pensamento e Pensamento Algébrico ......................................................................................... 37
2.2. Objetificação do Conhecimento .................................................................................................. 39
2.3. Generalizações ............................................................................................................................ 44
2.4. Gênese da Formação: apreendendo e generalizando uma semelhança local .............................. 49
CAPÍTULO 3: METODOLOGIA ......................................................................................................... 56
3.1. Contexto e participantes .............................................................................................................. 58
3.2. Procedimentos ............................................................................................................................. 60
3.2.1. Dinâmica dos encontros ........................................................................................................... 61
3.2.2. Coleta de dados ........................................................................................................................ 62
CAPÍTULO 4: O DESENVOLVIMENTO DA PROPOSTA DE ENSINO ......................................... 64
4.1. Sondagem inicial ......................................................................................................................... 64
4.2. Tarefa I: Descobrindo o segredo dos quadrados de palitos de fósforos!..................................... 67
4.2: Tarefa II: Triângulos com canudos ............................................................................................. 74
4.3. Tarefa III: Cubos enfileirados ..................................................................................................... 79
4.4. Tarefa IV: Lembretes .................................................................................................................. 88
4.5. Tarefa V: Mesas enfileiradas no aniversário de Poliana ............................................................. 95
4.6. Tarefa VI: Caminhada no pátio! ............................................................................................... 106
CAPÍTULO 5: ANÁLISE DE DADOS ............................................................................................... 112
5.1. Tarefa I: Descobrindo o segredo dos quadrados de .................................................................. 112
5.2. Tarefa II: Triângulos com Canudos .............................................................................................. 132
5.3. Tarefa III: Cubos enfileirados ................................................................................................... 142
5.4. Tarefa IV: Lembretes ................................................................................................................ 163
5.5. Tarefa V: Mesas enfileiradas no aniversário de Poliana ........................................................... 176
5.6. Tarefa VI: Caminhada no pátio! ............................................................................................... 195
5.7. A título de síntese ...................................................................................................................... 200
CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................... 202
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................. 208
APÊNDICES ........................................................................................................................................ 212
18
INTRODUÇÃO
Em nossa experiência docente, principalmente com alunos do 8º ano do Ensino
Fundamental, pudemos verificar, mais de uma vez, o que já percebíamos desde o tempo de
estudante: os alunos apresentam grande dificuldade no estudo da Álgebra e, em particular, na
resolução de problemas que envolvem uma tradução da linguagem escrita corrente para a
linguagem algébrica.
Trabalhando com Equações de 1º Grau ou Sistemas de Equações do 1º Grau em
nossas classes, presenciamos comentários de alunos no sentido de que não conseguem
‘interpretar’ enunciados e resolver ‘problemas’. Porém, o que mais nos inquieta é o fato de
que alguns desses alunos assumem enfaticamente que, por mais que se esforcem, não sabem e
nunca vão aprender a resolver esse tipo de exercício.
Diante desse quadro, deparamo-nos também com nossa dificuldade como
professoras: como ensinar Álgebra de modo que os alunos compreendam os conceitos
envolvidos e construam sentido para os mesmos? Mais especificamente, como ensinar aos
alunos a traduzir uma sentença escrita em linguagem natural para a linguagem algébrica?
Em busca de respostas para nossas indagações, recorremos à literatura e encontramos
estudos, como por exemplo, Lochhead e Mestre (1995), André e Câmara dos Santos (2008),
Almeida e Araújo (2010) e André (2011) que destacam a dificuldade dos alunos em resolver
problemas que envolvem a “tradução” da linguagem natural para a linguagem algébrica. Em
especial, Jacomelli (2006) chama a atenção para a importância de o aluno ser capaz de
estabelecer relações entre diferentes tipos de representações do conhecimento matemático.
Nas palavras da autora, ‘é dever do aluno, ao descrever, representar, apresentar e argumentar
sobre os resultados obtidos, transitar em diferentes tipos de representação como, por exemplo,
as representações em linguagem natural e em linguagem algébrica’ (JACOMELLI, 2006, p.
24).
Porém, pesquisas mostram-nos que a realidade está aquém de nossos anseios. André
e Câmara dos Santos (2008), apoiados em Damm (1999), revelam que o aluno parece
encontrar diversas dificuldades na passagem de uma representação a outra. Segundo os
autores,
19
o aluno consegue fazer tratamentos em diferentes registros de representação de
um mesmo objeto matemático, entretanto não são capazes de realizar as
conversões necessárias para apreensão deste mesmo objeto. Em outras
palavras, essa constatação parece apontar que os alunos apresentam
dificuldade em ler um problema posto em linguagem corrente e depois traduzir
para a linguagem algébrica, através do uso de equações ou expressões
algébricas, por exemplo (ANDRÉ E CÂMARA DOS SANTOS, 2008, p. 3).
André e Câmara dos Santos (2008) e André (2011) destacam a dificuldade dos
alunos em equacionar problemas ao fazer a transição da linguagem natural para a linguagem
algébrica. Segundo tais autores, muitas vezes, os estudantes não resolvem um problema por
não conseguirem relacionar os dados do enunciado de forma a encontrar uma equação
algébrica para representar determinada situação.
Em vista disso, nosso interesse na presente pesquisa inicialmente esteve voltado
para o ensino e a aprendizagem de problemas algébricos para alunos iniciantes no estudo da
Álgebra. Desenvolver o pensamento algébrico e a linguagem algébrica desses estudantes
passou a ser nossa meta. Assim, primeiramente, buscamos entender quais são os principais
problemas encontrados no ensino e na aprendizagem da Álgebra.
A partir de nossas leituras, pudemos confirmar que, há décadas, o ensino da
Álgebra ocupa um espaço importante nos currículos e textos escolares brasileiros e de
inúmeros outros países. Segundo Ponte (2005, p. 36), “na maioria dos países, a Álgebra é um
tema fundamental do currículo da Matemática escolar. Quem não tiver uma capacidade
razoável de entender a sua linguagem abstrata e de a usar na resolução dos mais diferentes
problemas e situações está seriamente limitado na sua competência matemática”.
De acordo com Fiorentini, Miorim e Miguel (1992), na década de 90 a Álgebra
ocupava um lugar privilegiado nas escolas e nos livros didáticos. Porém, não raras vezes, os
alunos apresentavam dificuldades para compreendê-la e aplicá-la em contextos que exigem
habilidades além das manipulações de regras e algoritmos. Para esses autores, apesar da
Álgebra ocupar lugar de destaque nos currículos, nas escolas e nos livros didáticos, parecia
ainda não existir reflexões críticas dos educadores sobre seu ensino.
De acordo com Radford (2009), a tendência geral naquela época foi a de associar o
pensamento algébrico e o estudo da Álgebra escolar quase que exclusivamente ao uso das
letras. Segundo o autor, embora tal vertente não tenha sido plena e universalmente
compartilhada por estudiosos da área, ela ainda prevalece e encontra-se marcante em
20
pesquisas recentes sobre ensino e aprendizagem da Álgebra e nos currículos escolares atuais.
Ao analisar quantitativamente a produção brasileira de pesquisas relativas ao
ensino e à aprendizagem das três áreas da Matemática (Aritmética, Álgebra e Geometria),
Fiorentini, Miorim e Miguel (1992, p. 39) observaram que “dentre as mais de 150 teses e
dissertações de mestrado ou doutorado produzidas no Brasil entre 1972 e 1990, tendo como
objeto de pesquisa a educação matemática, 9 tem como preocupação básica o ensino da
Aritmética, 8 o ensino de Geometria e nenhuma o ensino da Álgebra Elementar”.
É inegável que a Álgebra já tinha um lugar de destaque entre as áreas da
Matemática. Contudo, poucas eram as reflexões críticas a respeito de seu ensino. Não se
percebia a necessidade de renovações que pudesse dar ao ensino desse conteúdo novas
direções e significações.
Hoje encontramos uma situação um pouco diferente. Ao realizar uma busca no
Banco de Teses da CAPES (24/08/2010), utilizando os termos “ensino”, “aprendizagem” e
“álgebra”, localizamos 151 trabalhos, entre dissertações de mestrados e teses de doutorado.
Contudo, lendo os resumos, verificamos que apenas 40 desses 151 trabalhos tratam do ensino
e/ou da aprendizagem da Álgebra abordada no Ensino Fundamental e Médio. As demais
pesquisas tratam do ensino e/ou da aprendizagem da Álgebra ou Álgebra Linear em cursos de
Engenharia ou afins.
Observamos que, apesar de termos encontrado uma grande quantidade de trabalhos
voltados para o ensino-aprendizagem da Álgebra no Ensino Fundamental, nenhum deles tem
como tema central de estudo problemas algébricos e a tradução da linguagem escrita corrente
para a linguagem algébrica. A resolução de problemas, quando abordada em alguns trabalhos,
foi utilizada como instrumento para a apropriação de conceitos algébricos, e, aparentemente,
não houve, em nenhuma das pesquisas, uma preocupação específica e centralizada na
mudança de representação da linguagem escrita corrente para a linguagem algébrica.
Um ponto crucial e abordado na maioria dos trabalhos sobre o ensino e a
aprendizagem da Álgebra é a ênfase no simbolismo, desde os primeiros contatos com a
Álgebra, em detrimento do desenvolvimento do pensamento algébrico. Aprender as regras de
manipulação dos símbolos algébricos sem atribuir-lhes sentido apresenta-se como um dos
principais entraves para o aprendizado desse ramo da Matemática e não tem se mostrado um
caminho adequado que permita ao aluno, posteriormente, aplicar conceitos algébricos nos
21
diversos campos da matemática.
Nesse sentido, Ayarza et al (2007, p. 82) criticam:
(...) os professores ensinam a álgebra inicial seguindo uma tradição centrada
na manipulação mecânica com símbolos. Tipicamente os alunos aprendem a
operar expressões algébricas e resolver equações de primeiro grau, sem que
estas tarefas tenham significação para eles ou estejam vinculadas a problemas
de contexto real, ou relacionadas com processos de modelação ou sirvam de
aproximação a formas de pensamento matemático de tipo indutivo,
argumentativo, conjectural ou demonstrativo1 (tradução livre das autoras).
Nossa experiência como docente corrobora essas ideias. A ênfase na manipulação
dos símbolos algébricos sem uma construção de sentido para os mesmos, não permite que a
maioria dos alunos apreenda seu valor e cria obstáculos inclusive para a aprendizagem do
tema.
Dessa forma, reflexões levaram-nos ao questionamento acerca de como é tratado o
conhecimento algébrico em nossas classes e de como os estudantes estão concebendo esse
conhecimento matemático.
Em vista disso, após nossas leituras e estudos, levantamos a hipótese de que uma
das possíveis causas dos alunos apresentarem tantas dificuldades na mudança da representação
de uma sentença escrita na linguagem corrente para a linguagem algébrica repousa no fato do
ensino da Álgebra, principalmente nos anos iniciais, estar muito voltado para uma abordagem
ligada à linguagem simbólica e sua manipulação, alheia à construção de sentido para tal
linguagem e ao desenvolvimento do pensamento algébrico.
Portanto, decidimos, a partir de tal trabalho, construir e aplicar uma proposta de
ensino, cujo foco fosse o desenvolvimento do pensamento algébrico em alunos iniciantes no
estudo da Álgebra e a construção de uma linguagem simbólica específica para a manifestação
de tal pensamento.
Elaboramos a proposta e a desenvolvemos em uma turma do 6º ano do Ensino
Fundamental de uma escola da rede particular da cidade de Belo Horizonte (MG). A princípio,
gostaríamos de investigar as contribuições que essa proposta traria para a habilidade dos
alunos em ler e interpretar uma sentença escrita em linguagem corrente e transcrevê-la para
1
(...) los profesores enseñan el álgebra inicial siguiendo una tradición centrada en la manipulación mecánica de
símbolos. Típicamente los alumnos aprenden a operar expresiones algebraicas y resolver ecuaciones de primer
grado, sin que estas tareas tengan significación para ellos o las vinculen a problemas de contexto real, o las
relacionen con procesos de modelación o sirvan de acercamiento a formas de pensamiento matemático de tipo
inductivo, argumentativo, conjetural o demostrativo.
22
linguagem algébrica padrão. Porém, no decorrer da aplicação das tarefas, verificamos que esse
processo se dava de modo muito mais lento do que esperávamos. Nesse sentido, concordamos
que, em uma pesquisa de Mestrado, não dispúnhamos de tempo suficiente para que os alunos
atingissem a familiaridade necessária com a linguagem algébrica a ponto de utilizá-la para
descrever situações escritas na linguagem corrente.
Por conseguinte, decidimos voltar nosso olhar para o desenvolvimento do
conhecimento algébrico em uma turma do 6º ano do Ensino Fundamental, buscando
compreender as distintas estratégias construídas pelos alunos para expressar a indeterminação,
a generalização e primeiras tentativas de utilizar uma linguagem simbólica.
Imersas no processo de desenvolvimento dos alunos, ansiamos responder à
seguinte questão de investigação: que contribuições uma proposta de ensino baseada na
percepção e generalização de padrões e sequências pode trazer para o desenvolvimento do
pensamento algébrico e da linguagem algébrica em alunos que se iniciam no estudo da
Álgebra?
O presente texto está organizado em cinco capítulos. Nos dois primeiros,
apresentamos uma revisão da literatura e a fundamentação teórica. Tais ideias forneceram o
embasamento necessário para a construção das tarefas desenvolvidas com os alunos e para a
análise dos dados. O capítulo 3 contempla nossas opções metodológicas, bem como contexto
no qual se dá o estudo e os participantes. Em seguida, no capítulo 4 descrevemos
cuidadosamente o processo vivido, procurando evidenciar a dinâmica de realização das
tarefas, as impressões e reações dos alunos durante o trabalho e os resultados apresentados. A
análise dos dados é tratada no Capítulo 5. Ela se dá, principalmente, à luz da teoria de Radford
(2009, 2010a, 2010b e 2011), especialmente no que diz respeito ao pensamento algébrico,
processo de objetificação, perspectiva semiótica-cultural, processos de generalização de
padrões e sequências e linguagem algébrica. Para finalizar, tecemos algumas considerações
acerca de todo o trabalho desenvolvido. Referências e Anexos complementam nossa
dissertação.
O presente estudo, realizado no âmbito de um programa de Mestrado Profissional,
gerou um produto educacional: um livreto destinado a professores e formadores de
professores. Nele, as tarefas desenvolvidas na proposta foram apresentadas de modo
fundamentado e justificado, com exemplos de resoluções e comentários dos alunos, cujo
23
propósito será facilitar o acesso de outros professores ao trabalho desenvolvido e resultados
encontrados. Além disso, planejamos construir tal livreto com uma linguagem acessível e ‘de
colega para colega’.
24
CAPÍTULO 1: SITUANDO A PESQUISA NO CAMPO DA EDUCAÇÃO ALGÉBRICA
Neste capítulo, contextualizamos nossa pesquisa no campo da Educação Algébrica.
Para construir e implementar nossa proposta de ensino, buscamos entender, primeiramente, o
motivo do caráter mecânico ao qual está vinculado o ensino da Álgebra hoje, a fim de
encontrar alternativas para superar a abordagem simbolista. Apresentamos algumas reflexões
em torno do desenvolvimento do pensamento algébrico vinculado à linguagem algébrica, de
forma a evidenciar nosso ponto de vista acerca de tal assunto. Procuramos também, a partir da
literatura, conhecer as principais dificuldades que os alunos iniciantes no estudo da Álgebra
enfrentam e os diferentes papéis que a letra pode assumir nos diversos contextos algébricos
em que ela está empregada, procurando definir nosso olhar teórico para uma posterior análise
dos dados da pesquisa.
1.1. De onde vem essa forma de conceber o ensino da Álgebra?
Como já citado anteriormente, encontramos ainda hoje no cenário da Educação
Algébrica, tanto nas pesquisas, quanto nos textos e currículos escolares, um ensino fortemente
voltado para a manipulação simbólica em detrimento da construção de significado para tal
manipulação e para a linguagem algébrica.
A questão do simbolismo em Álgebra atravessa séculos.
Dado o modo como foi ensinada durante séculos, a Álgebra é usualmente
vista como tratando de regras de transformação de expressões (monômios,
polinômios, frações algébricas, expressões com radicais) e processos de
resolução de equações e sistemas de equações (PONTE, 2005, p. 2).
Segundo Gil (2008, p.2), “desde o início do estudo da Álgebra até o início da
década de 60, quando se inicia o Movimento da Matemática Moderna, o seu ensino era
predominantemente de caráter mecânico e reprodutivo, sem clareza alguma”. Dessa forma, os
problemas atualmente enfrentados no ensino da Álgebra podem ser reflexos das etapas
históricas de sua inserção nos currículos escolares. Faz-se necessário, então, um estudo,
mesmo que breve, sobre a sua história no currículo brasileiro para que se compreenda melhor
o que ocorre hoje.
Durante o século XIX e a primeira metade do século XX, a concepção de educação
algébrica predominante era baseada na crença de que o aprendizado das técnicas requeridas
25
pelo transformismo algébrico era o suficiente para que o aluno fosse capaz de resolver
problemas. Os manuais didáticos de Álgebra da primeira metade do século XX, segundo
Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), conservavam a tradição de inúmeros textos franceses e
ingleses do século XVIII, que davam ênfase ao uso de regras e algoritmos, devido, em boa
parte, à incerteza que, na época, perdurava em relação aos seus fundamentos. Tais autores
nomeiam essa concepção de linguístico-pragmática.
Com o Movimento da Matemática Moderna surge uma preocupação em superar esse
ensino mecânico e a Álgebra passa a ter lugar de destaque, tornando-se o elemento unificador
dos campos da Matemática.
Com esse movimento, veio também uma nova concepção para a educação algébrica,
nomeada por Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) de fundamentalista-estrutural, em que o
papel da Álgebra é o de fundamentar os vários campos da Matemática escolar. Segundo Gil
(2008, p. 3), “acreditava-se que a introdução de propriedades estruturais das operações que
justificassem cada passagem presente nos transformismos algébricos capacitaria o aluno a
aplicar essas estruturas nos mais diferentes contextos”.
Nesse sentido, a Álgebra envolve um conjunto de ações para as quais é possível
produzir significados e estabelecer relações em termos de números e operações, de forma que
os alunos, a partir de tarefas guiadas pelo professor, possam construir significado para o seu
estudo e consigam aplicar o conhecimento adquirido em contextos diversos.
Com o declínio da Matemática Moderna, os educadores passaram a buscar a
Geometria como elemento unificador, enquanto a Álgebra retorna ao papel que ela
desempenhava no currículo tradicional, de um estudo introdutório, descontextualizado e
estático. Essa concepção de ensino da Álgebra é chamada de fundamentalista-analógica e
busca fazer uma síntese entre as duas concepções anteriores à medida que
tenta recuperar o valor instrumental da álgebra e preserva a preocupação
fundamentalista, só que não com base nas propriedades estruturais, mas, sim,
através do uso de modelos analógicos geométricos (blocos de madeira ou
mesmo figuras geométricas) ou físicos (como a balança) que visualizam ou
justificam as passagens do transformismo algébrico (FIORENTINI ET AL,
2005, p. 4).
De acordo com Fiorentini et al (2005), existe um ponto problemático e comum entre
as três concepções de educação algébrica apresentadas. Trata-se da ênfase dada ao ensino da
26
Álgebra sob o aspecto lingüístico e transformista, dando destaque mais à sintaxe da linguagem
algébrica do que ao desenvolvimento do pensamento algébrico e seu processo de significação.
Gil (2008), Ponte (2005), Fiorentini et al (2005), entre outros, concordam que esse
excesso no estudo de regras algorítmicas trata-se, claramente, de uma visão redutora da
Álgebra que desvaloriza muitos aspectos importantes desta área da Matemática.
Dessa forma, não cabe classificar a Álgebra como a área da Matemática que trata
apenas de técnicas manipulatórias com símbolos. Usiskin (1995) afirma que a Álgebra é a
“área-chave” de estudo da Matemática na escola secundária2, dado que ela fornece meios para
a caracterização e a compreensão das estruturas matemáticas. Fiorentini et al (2005) destaca
que a Álgebra é “uma forma específica de pensamento e de leitura do mundo”.
De fato, concordamos com todos os autores citados no sentido de que o ensino de uma
linguagem algébrica já constituída, em detrimento da construção do pensamento juntamente
com uma linguagem para expressão desse pensamento, deve ser repensado e reformulado.
Nesse sentido, continuaremos no tópico a seguir abordando a relação entre pensamento e
linguagem algébrica e sua importância para o desenvolvimento dos conceitos algébricos em
alunos que se encontram na fase inicial desse estudo.
1.2. Pensamento Algébrico versus Linguagem Algébrica
De acordo com Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), a Educação Algébrica pautava-se
na ideia de que é a partir da manipulação simbólica que o pensamento algébrico se manifesta e
desenvolve. Se pensarmos nessa vertente, concluímos que existe uma relação de subordinação
do pensamento algébrico à linguagem, de forma a desconsiderar ‘o fato de que, tanto no plano
histórico quanto no pedagógico, a linguagem é, pelo menos a princípio, a expressão de um
pensamento’ (Fiorentini, Miorim e Miguel, 1993, p. 85).
De fato, acreditamos que o pensamento algébrico não depende de uma linguagem
estritamente simbólico-formal para sua manifestação. Em uma análise histórica da evolução da
linguagem algébrica, percebemos que não existe uma única forma de se expressar o
pensamento algébrico.
Segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), na Álgebra dos egípcios, dos
babilônicos e dos gregos pré-diofantinos, o pensamento era expresso a partir da linguagem
2
High School. Equivalente ao Ensino Médio no Brasil.
27
corrente. Não se fazia uso de símbolos nem de abreviações para demonstrar os passos relativos
aos processos operatórios sobre números ou equações. Essa primeira fase histórica do
desenvolvimento da linguagem algébrica foi chamada retórica ou verbal.
Já no século III, a fase sincopada da linguagem algébrica surgiu com Diofanto de
Alexandria que utilizou uma forma mais concisa e abreviada para escrever suas equações e,
pela primeira vez, utilizou uma letra (no caso, a letra “sigma” do alfabeto grego) para
representar uma incógnita. Essa forma sincopada de expressar o pensamento algébrico foi,
mais tarde, desenvolvida por vários povos, entre eles os hindus, árabes e italianos.
A fase simbólica, que é como encontramos a manifestação do pensamento algébrico
avançado hoje, corresponde ao uso somente de símbolos, sem recorrer ao uso de palavras.
Viète (1540-1603), embora utilizasse um estilo sincopado, foi o principal responsável pela
introdução de vários símbolos na Álgebra. Porém, quem consolidou o uso da linguagem
simbólica foi Descartes (1596-1650), utilizando as últimas letras do alfabeto (x, y, z...) como
variáveis e as primeiras (a, b, c...) como quantidades fixas.
Dessa forma, observando a evolução histórica da linguagem algébrica, percebemos
que não é só através da linguagem simbólica e específica para esse fim que é possível
expressar o pensamento algébrico. ‘Ele pode expressar-se através da linguagem natural,
através da linguagem aritmética, através da linguagem geométrica (...)’ (FIORENTINI,
MIORIM E MIGUEL, p. 88, 1993).
E, assim como em Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) e Fiorentini el al (2005),
acreditamos que a compreensão da linguagem possa potencializar e promover o
desenvolvimento do pensamento e vice-versa.
Percebemos, então, que um dos grandes objetivos ao ensinar Álgebra nas escolas é
desenvolver nos alunos o pensamento algébrico que vai muito além da simples capacidade de
manipular símbolos. O pensamento algébrico inclui a capacidade de lidar com o cálculo
algébrico, com as estruturas matemáticas e saber aplicar tais conhecimentos na interpretação e
resolução de problemas matemáticos ou de outros domínios.
Porém, de acordo com Radford (2010a), pesquisas realizadas nas décadas de 80 e 90
sobre o ensino da Álgebra, e, mais precisamente, sobre a transição do estudo da Aritmética
para o estudo da Álgebra, conduziram a uma questão inevitável e difícil de ser respondida, que
diz respeito à natureza exata do pensamento algébrico.
28
Segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), alguns dos elementos que caracterizam
o pensamento algébrico são a percepção de aspectos invariantes em contraste de outros que
variam, as tentativas de expressar ou explicar a estrutura de uma situação problema e a
presença do processo de generalização.
Ponte (2005, p. 37), apoiando-se no NCTM3 de 2000, afirma que o pensamento
algébrico diz respeito aos quatro tópicos abaixo:
 Compreender padrões, relações e funções (Estudo das estruturas);
 Representar e analisar situações matemáticas e estruturas, usando símbolos
algébricos (Simbolização);
 Usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas;
 Analisar mudança em diversas situações (Estudo da variação).
Entretanto, ao analisar o desenvolvimento de alunos imersos no trabalho com
atividades que podem propiciar o desenvolvimento do pensamento algébrico, devemos estar
atentos não apenas para o aparecimento dos itens caracterizadores do pensamento algébrico
acima. Faz-se necessário também estudar os processos e os recursos aos quais os estudantes
recorrem para atingir tais elementos, como, por exemplo, investigar de que forma o aluno
compreende um padrão e o generaliza.
Nessa perspectiva, esperamos que o aluno que desenvolve o pensamento algébrico
seja capaz de entender não só os algoritmos, mas, também, o sentido do símbolo, ou seja,
desenvolva a capacidade de interpretar e usar esses símbolos nos diversos domínios da
Matemática. Nesse tipo de pensamento, o estudante voltará sua atenção não só para as ‘letras’
empregadas nas expressões algébricas, mas também para as relações existentes entre elas,
raciocinando e manipulando essas relações de modo geral e abstrato tanto quanto necessário.
Consideramos, assim, que as técnicas algorítmicas são parte do pensamento algébrico.
No entanto, esse pensamento inclui igualmente a capacidade de lidar e aplicar as estruturas
matemáticas de modo geral na interpretação e resolução de problemas e, até mesmo, em outros
domínios.
Contudo, Ponte (2005) destaca que, apesar de na Educação Matemática não faltarem
críticas ao simbolismo, não se pode negar que ele é parte essencial da Matemática. Em
Álgebra, o uso dos símbolos tem o poder de aglutinar as ideia ideias concebidas
3
National Council of Teachers of Mathematics.
29
operacionalmente em agregados compactos, tornando a informação mais fácil de compreender
e manipular.
Para Fiorentini et al (2005, p.6),
não podemos deixar de reconhecer que o pensamento algébrico se
potencializa à medida que, gradativamente, o estudante desenvolve uma
linguagem mais apropriada para ele. Assim, se de um lado, a introdução
precoce e sem suporte empírico a uma linguagem simbólica e abstrata pode
funcionar como obstáculo ao desenvolvimento do pensamento algébrico, de
outro, o menosprezo ou recusa ao modo simbólico e formal de pensar
algebricamente pode representar também um freio ao pleno desenvolvimento
do pensamento algébrico.
Nesse sentido, se priorizamos a manipulação dos símbolos e perdemos de vista seu
significado, corremos o risco de cair no formalismo sem sentido.
Diante desse impasse, encontramo-nos frente a um problema complicado, visto que o
simbolismo acarreta um grande perigo para o processo de ensino-aprendizagem da Álgebra na
escola básica. Segundo Araújo (2009), a questão da simbologia e de como ela é introduzida na
sala de aula nos direciona ao papel do professor, pois, ao longo do processo de aprendizagem,
o aluno poderá construir diferentes convicções sobre a Álgebra que poderão influenciar
positiva ou negativamente seu sucesso.
Dessa forma, uma possibilidade seria ‘introduzir o estudo da Álgebra em contextos
significativos, num quadro de trabalho que os convença de forma natural sobre a importância e
o poder matemático da simbolização e da formalização’ (PONTE, 2005).
Essa capacidade de interpretar e usar de forma criativa os símbolos matemáticos
pode ser desenvolvida a partir de tarefas que exijam do aluno competência para lidar com
quantidades indeterminadas e variáveis em situações que envolvam processos de
generalização – como no caso do trabalho com padrões e sequências. Nessa proposta, os
estudantes têm liberdade de, inicialmente, recorrer a recursos que surgem naturalmente no
contexto de cada tarefa (gestos, falas), para se comunicar e expressar uma indeterminação,
uma incógnita, uma variável – o que, até então, não apresentava uma nomeação em seu
‘vocabulário’ matemático.
Assim, somente depois que o pensamento algébrico passou por considerável
desenvolvimento, a linguagem algébrica padrão deve começar a ser explorada.
30
Dessa forma, a linguagem algébrica pode ser explorada a partir da necessidade dos
alunos em expressar suas descobertas, diminuindo a ênfase dada ao simbolismo, ao menos
inicialmente, a fim de nos preocupar em construir sentido para os símbolos.
Porém, para desenvolver nossa proposta de ensino baseada nas considerações acima,
além da preocupação com o desenvolvimento do pensamento algébrico e com a construção de
uma linguagem para expressar esse pensamento, buscamos estar cientes, a partir da literatura,
de quais são os principais entraves e obstáculos enfrentados pelos alunos que são introduzidos
no estudo da Álgebra.
1.3. Dificuldades dos alunos que se iniciam em Álgebra
De acordo com Socas et al (1996, p.91), “no ensino-aprendizagem da álgebra,
como em toda a matemática, nos encontramos com uma grande variedade de dificuldades”.
Entre elas, os autores comentam, primeiramente, as dificuldades relacionadas à natureza da
Álgebra e aquelas que surgem dos processos de desenvolvimento cognitivo dos alunos e da
estrutura e organização de suas experiências.
A segunda fonte de dificuldade apontada pelos autores diz respeito à natureza do
currículo, à organização das aulas e aos métodos de ensino usados. Como já foi dito, o que
muitas vezes ocorre é uma fixação exagerada nas manipulações mecânicas com símbolos,
produzindo uma impressão muito forte de inutilidade de tal conteúdo.
Nesse sentido, consideramos que o sentido do símbolo e a capacidade de
interpretá-los e usá-los de forma criativa na descrição de situação e resolução de problemas
também constituem elementos fundamentais no desenvolvimento do conhecimento algébrico
do aluno.
Por último, Socas et al (1996) citam as dificuldades devido a atitudes afetivas e não
racionais dos alunos que, comumente, veem a Álgebra veem como uma matéria difícil.
Booth (1995), baseando-se em uma pesquisa, ocorrida no Reino Unido, que
buscou identificar os tipos de erros que os alunos frequentemente cometem em Álgebra e
investigar as razões desses erros, apresenta quatro aspectos principais que podem levar a
dificuldades no aprendizado da Álgebra:
31
1º) O foco da atividade algébrica e a natureza das “respostas”. A autora traz nesse
tópico a diferença entre o foco de uma atividade aritmética e o foco de uma atividade
algébrica.
Em aritmética, o foco da atividade é encontrar determinadas respostas
numéricas particulares. Na álgebra, porém, é diferente. Na álgebra o foco é
estabelecer procedimentos e relações e expressá-los numa forma simplificada
geral. Uma razão para se estabelecerem essas afirmações gerais é usá-las
como ‘regras de procedimento’ para a resolução de problemas adequados e,
então, achar respostas numéricas, mas o foco imediato é o estabelecimento, a
expressão e a manipulação da própria afirmação geral (BOOTH, 1995, p. 24).
De acordo com nossa experiência docente, percebemos que, muitas vezes, os
alunos não aceitam uma expressão algébrica simplificada como resposta final de um exercício.
Para eles, apenas o estabelecimento de uma expressão e manipulação da afirmação geral não
são suficientes e acreditam que devem apresentar uma resposta numérica.
2º) O uso da notação e da convenção em álgebra. De acordo com Booth (1995), em
Aritmética, os símbolos da soma, subtração, multiplicação, divisão e igualdade são
interpretados, geralmente, como ações a serem efetuadas, de maneira que: “+” significa
efetivamente realizar uma soma e “=” encontrar um resultado. Já na Álgebra, a ideia de que o
símbolo da adição pode ser tanto a indicação de uma soma como a ação, ou de que o símbolo
de igualdade pode representar uma relação de equivalência e não uma resposta propriamente
dita pode não ser percebida de imediato pelos alunos.
Tinoco et al (2008) comentam sobre a noção de equivalência representada pelo
sinal de igualdade na Álgebra:
O aluno com experiência apenas em aritmética considera, muitas vezes, o
sinal de igual como um símbolo unidirecional, que precede uma resposta
numérica, um símbolo para ‘escreva a resposta’. [...] Embora seja essencial
nas atividades algébricas, os alunos não se apropriam com facilidade da ideia
do sinal de igualdade, visto como indicador de uma equivalência entre duas
expressões, mesmo que numéricas (p. 4).
Ponte reforça a ideia da confusão que os alunos fazem ao trabalhar com os
símbolos operatórios.
Outra dificuldade, ainda, é compreender as mudanças de significado, na
Aritmética e na Álgebra, dos símbolos + e =, bem como das convenções
adotadas; assim, em Aritmética, 23 tem um significado aditivo (20 + 3),
enquanto que em Álgebra 2x tem um significado multiplicativo (2 x x); em
Aritmética 3 + 5 significa uma “operação para fazer” (cujo resultado é 8),
mas em Álgebra x + 3 representa uma unidade irredutível (enquanto não se
concretizar a variável x) (PONTE, 2005, p. 39).
32
Essas dificuldades dos alunos são compreensíveis devido à complexidade e à
sutileza da linguagem algébrica. Segundo Booth (1995), a Álgebra exige uma precisão nos
registro de suas afirmações que não é exigida em Aritmética.
Essa precisão, é claro, também é importante na aritmética, mas as
consequências de impropriedades nesse aspecto podem ser menores se o
aluno sabe o que se pretende e efetua a operação correta, independentemente
do que está escrito. Em aritmética faz pouca diferença o aluno escrever 12 : 3
ou 3 : 12, desde que ele efetue corretamente o cálculo. Em álgebra, porém, é
crucial a diferença entre p : q e q : p (BOOTH, 1995, p.29).
A esse respeito, vale ressaltar que a autora vê essa ‘falha’ no rigor da escrita
durante os estudos da Aritmética como uma falta de atenção nas aulas de matemática por parte
dos alunos no que se refere a afirmações verbais e sentenças corretas e precisas da linguagem
Matemática.
Alguns alunos acham que a divisão, como a adição, é comutativa. Outros não
veem a necessidade de distinguir as duas formas, acreditando que o maior
número sempre deverá ser dividido pelo menor. Isso parece decorrer da
recomendação bem-intencionada feita pelo professor de matemática, no
início do aprendizado da divisão, e da própria experiência dos alunos, pois
todos os problemas de divisão encontrados em aritmética elementar, de fato,
exigem que o número maior seja dividido pelo menor (p. 29).
Dessa forma, percebemos que o aprendizado da Álgebra está fortemente vinculado
ao conhecimento aritmético que o aluno possui e, como citado em Socas et al (1996), às
estruturas e organização de suas experiências.
Portanto, um aluno que apresenta dificuldades em Aritmética poderá ter dificuldades
para o aprendizado da Álgebra, principalmente no que tange à manipulação simbólica, que
exige dos estudantes conhecimento e habilidade nas operações aritméticas.
3º) O significado das letras e das variáveis. A diferença mais flagrante entre a
Aritmética e a Álgebra destacada por Booth (1995) está na utilização, nesta última, de letras
para indicar valores. Quanto a tal diferença, a autora afirma:
As letras também aparecem em aritmética, mas de maneira bastante
diferente. A letra m, por exemplo, pode ser utilizada em aritmética para
representar ‘metros’, mas não para representar o número de metros, como em
álgebra. A confusão decorrente dessa mudança de uso pode resultar numa
‘falta de referencial numérico’, por parte do aluno, ao interpretar o
significado das letras em álgebra (p. 30).
33
Segundo Ponte (2005), os alunos apresentam dificuldades com o uso de letras para
representar variáveis e incógnitas, não conseguindo ver uma letra como representando um
número desconhecido e não percebendo o sentido de uma expressão algébrica.
Porém, Booth (1995) e Tinoco et al (2008) concordam que, mesmo quando os
alunos interpretam as letras como representantes de números, há uma forte tendência a
considerar as letras como valores específicos, únicos e possíveis de serem determinados, como
em 3x - 1 = 5, e não como números genéricos ou variáveis, como em 3x + 5. Segundo Tinoco
et al (2008), isso se deve ao fato de que, em muitos casos, a primeira e, às vezes, única
experiência dos alunos com Álgebra é a partir do estudo das equações
Enfatizamos, então, a importância das diferentes concepções da Álgebra, de acordo
com os papéis que a letra pode assumir nos mais variados contextos algébricos, os quais
destacaremos adiante. É importante que o aluno perceba que a letra nem sempre tem um valor
específico, único e possível de ser determinado. Dessa forma, conhecendo os vários
significados que uma letra assume de acordo com o contexto em que está empregada, será
mais fácil para o estudante aceitar uma expressão algébrica como resposta de algum exercício
ou problema.
4º) Os tipos de relações e métodos usados em Aritmética. A Álgebra não está isolada
da Aritmética e, em muitos casos, pode ser encarada como uma “aritmética generalizada”.
Nisso está a fonte das dificuldades. Para compreender a generalização das
relações e procedimentos aritméticos é preciso primeiro que tais relações e
procedimentos sejam apreendidos dentro do contexto aritmético. Se não
forem reconhecidos, ou se os alunos tiverem concepções erradas a respeito
deles, seu desempenho em álgebra poderá ser afetado (BOOTH, 1995, p. 33).
Neste caso, as dificuldades dos alunos em Álgebra estariam relacionadas
a
deficiências em Aritmética que não foram corrigidas.
Outro ponto apontado por Booth (1995) é a utilização pelas crianças de métodos
informais para resolver problemas em aritmética, o que pode ter implicações negativas na
habilidade do aluno para estabelecer afirmações gerais em Álgebra. A autora exemplifica:
Se um aluno geralmente não determina o número total de elementos de dois
conjuntos de, digamos, 35 e 19 alunos utilizando a noção de adição, como 35
+ 19, mas resolve o problema, utilizando o processo de contagem, então é
pouco provável que o número total de elementos de dois conjuntos de x e y
elementos seja prontamente representado por x + y. (p. 35).
34
Assim, a autora destaca o papel do professor em mostrar ao aluno que o seu
método informal de resolução pode ser eficaz em determinados tipos de problema, porém, em
problemas que envolvem quantias maiores, o método falhará. Dessa forma, cabe ao docente
reconhecer e revelar as limitações do método informal utilizado pelo aluno para que, assim,
este possa reconhecer a necessidade de um procedimento mais geral, ou seja, formal.
A partir da análise das principais dificuldades dos alunos que se iniciam no estudo
da Álgebra, percebemos a importância dos significados que as letras podem assumir nos
diferentes contextos algébricos. Em vista disso, trataremos, em seguida, dos papéis das letras
na iniciação em Álgebra e da importância de seu entendimento pelos alunos.
1.4. O uso e o significado das letras
Segundo Socas et al (1996), “o uso das letras como variáveis procede da geometria
grega”. A comunicação escrita do conhecimento geométrico fez-se através de figuras que
tinham seus pontos nomeados por letras do alfabeto. Porém, de acordo com os autores, o uso
das letras dessa forma na geometria não propiciou o nascimento de uma linguagem
algorítmica, nem gerou uma formalização das operações.
Como citado anteriormente, em Álgebra, o emprego das letras como variáveis e o
passo decisivo para uma notação mais útil foi dado por Viète (1600), quando as letras foram,
primeiramente, usadas para indicar números arbitrários e, mais tarde, também para funções
arbitrárias. O uso das letras para indicação de magnitudes desconhecidas e variáveis em
expressões algébricas, de acordo com Socas et al (1996), é o começo do desenvolvimento de
uma linguagem algébrica própria.
Segundo os autores, “na álgebra, aparecem como variáveis expressões de qualquer
classe de objetos, o que permite considerar diferentes tipos de álgebra: álgebra de conjuntos,
aritmética, álgebra de funções, etc.”. E, como afirma Usiskin (1995), não é fácil definir a
Álgebra.
Usiskin (1995) define a Álgebra da escola média como a área da Matemática que
está relacionada com a compreensão do significado das letras, chamadas por ele de variáveis 4,
e com as operações que as envolvem .
4
Apesar de Usiskin (1995) utilizar o termo “variável” para tratar as letras usadas no estudo da Álgebra,
adotaremos o termo “letras” por considerarmos que a palavra “variável” é restrita a uma aplicação das letras em
um contexto algébrico específico.
35
Dessa forma, de acordo com o papel atribuído às letras, o autor apresenta quatro
concepções básicas acerca da Álgebra que, para o presente estudo, consideramos fundamental,
já que em cada uma delas “as letras” assumem um caráter diferente:
1. A álgebra como aritmética generalizada: nessa concepção, as letras são ferramentas
para generalização de modelos. Opera-se com letras que seriam números
desconhecidos (incógnitas e variáveis).
2. A álgebra como ferramenta de resolução de problemas: nessa concepção, as letras são
incógnitas. O procedimento algébrico permite ao indivíduo gerar uma equação, a partir
do enunciado do problema.
3. A álgebra como a expressão de relações entre grandezas: neste caso, as letras são
“variáveis que variam”. Como, por exemplo, no caso da fórmula da área de um
retângulo A = b . h, expressando a relação entre as três grandezas, a área do retângulo,
sua base e a altura.
4. A álgebra como estudo das estruturas: essa concepção envolve o estudo de estruturas
como anéis, grupos, corpos, entre outros. Neste caso, as letras são símbolos arbitrários,
e os alunos tendem a vê-las sem nenhuma referência numérica.
Para fins de nosso estudo, consideraremos as concepções apresentadas por Usiskin
(1995), descritas acima, e daremos ênfase à concepção da Álgebra como Aritmética
generalizada, visto que nosso trabalho desenvolveu-se com alunos inexperientes no estudo da
Álgebra.
Porém, é importante ressaltar que, segundo Gil (2008), entre os estudiosos, não
existe um consenso no que se refere à concepção de Álgebra. Existem dúvidas até mesmo em
definir tópicos que fazem parte ou não do estudo da Álgebra.
De acordo com Radford (2009), isso não ocorre por acaso. O autor afirma que,
dentre os ramos da matemática abordados na escola básica, nenhum é mais ‘assustador’ que a
Álgebra. E, se ainda não temos uma resposta concisa e exata para os questionamentos acerca
de tal temática, isso se deve à variedade de objetos e processos que estão atrelados a seu
estudo.
Entretanto, quanto às discussões e pesquisas realizadas nas décadas de 80 e 90,
existiu um consenso no que diz respeito a dois aspectos:
36
Álgebra lida com objetos de natureza indeterminada, como incógnitas,
variáveis e parâmetros. Além disso, em Álgebra, tais objetos são tratados de
maneira analítica. Isso quer dizer que, em Álgebra, você calcula com
quantidades desconhecidas (ou seja, você soma, subtrai, divide, etc. com
incógnitas e parâmetros) como se você as conhecesse, como se elas fossem
quantidades específicas5 (RADFORD, 2009, p. 3, tradução livre das autoras).
Nesse sentido, percebemos que o pensamento algébrico, além da capacidade de
manipulação simbólica, envolve também a capacidade dos estudantes em lidar com o objeto
indeterminado, seja ele variável, incógnita ou parâmetro.
Portanto, para analisar a imersão dos alunos em situações que podem propiciar o
desenvolvimento do pensamento algébrico e o estudo da Álgebra, precisamos ter claro em
nossa mente o que consideramos ser o pensamento algébrico, no sentido de analisar a forma
como os alunos envolvem-se nas tarefas, a fim de verificar se eles estão ou não no campo de
estudo da Álgebra.
Para tal, utilizamos algumas ideias do pesquisador Luis Radford, principalmente no
que diz respeito aos processos que alunos iniciantes no estudo da Álgebra desenvolvem,
quando envolvidos em atividade de padrões e sequências. Em vista disso, reservamos o
capítulo II para expor, resumidamente, a teoria desse autor.
5
Algebra deals with objects of an indeterminate nature, such as unknowns, variables, and parameters.
Furthermore, in algebra, such objects are dealt with in an analytic manner. What this means is that in algebra,
you calculate with indeterminate quantities (i.e. you add, subtract, divide, etc. unknowns and parameters) as if
you knew them, as if they were specific numbers (RADFORD, 2009, p. 3) .
37
CAPÍTULO 2: EM BUSCA DE UM OLHAR TEÓRICO SOBRE O PENSAMENTO
ALGÉBRICO: A TEORIA DE RADFORD
No presente capítulo, apresentamos resumidamente as principais ideias de Radford
(2009, 2010a, 2010b, 2011), referentes a pensamento – mais especificamente pensamento
algébrico –, processo de objetificação, perspectiva semiótica-cultural e processos de
generalização de padrões e sequências, na busca de uma teoria que nos ampare,
posteriormente, na análise dos dados coletados em nossa pesquisa de campo.
2.1. Pensamento e Pensamento Algébrico
Assim como destacamos, Radford também enfatiza em suas pesquisas que a
manipulação simbólica é apenas uma parte do vasto campo de estudo da Álgebra e que o
pensamento algébrico e o estudo da Álgebra não podem ser reduzidos ao uso das letras.
Nesse sentido, o que o autor defende e mostramos neste trabalho é que existe uma
pluralidade de formas semióticas para expressar a ideia algébrica referente a incógnitas,
variáveis e parâmetros. De fato,
incógnitas, variáveis e outros objetos algébricos podem ser representados
indiretamente, com auxílio de signos. Esses signos podem ser, mas não serão,
necessariamente, as letras. Usar letras não equivale a ‘fazer’ álgebra. A
história da matemática mostrou claramente que a álgebra também pode ser
praticada recorrendo a outros sistemas semióticos’6 (RADFORD, 2010a, p.
39, tradução livre das autoras).
Dessa forma, o autor retira do simbolismo o ‘direito exclusivo’ de designar e
expressar uma indeterminação algébrica e afirma que existe uma pluralidade de formas
semióticas para esse fim.
Essa diversidade de formas semióticas baseia-se numa perspectiva de pensamento
que, segundo o Radford (2009), está diretamente em conflito com a concepção de pensamento
que foi defendido na maioria das pesquisas dos anos 90 em Educação Matemática. Nas
palavras do autor,
dentro dessa concepção de pensamento, os signos eram muitas vezes
6
(...) unknowns, variables and other algebraic objects can only be represented indirectly, through means of
constructions based on signs (see Kant, 1929, p. 579). These signs may be letters, but not necessarily. Using
letters does not amount to doing algebra. The history of mathematics clearly shows that algebra can also be
practiced resorting to other semiotic systems (…) (RADFORD, 2010, p. 39).
38
considerados ‘sintomas’ da atividade mental – portanto a distinção entre
representações internas e externas. Dentro da psicologia de Vygotsky, a partir
da perspectiva semiótica-cultural defendida aqui, a questão da relação entre
signos e pensamento é tematizada de um modo diferente. Primeiro, signos
são considerados em um sentido amplo, como algo que engloba escrita, bem
como termos linguísticos orais, símbolos matemáticos, gestos, etc. Segundo,
signos não são considerados como simples indicadores de atividade mental.
Pelo contrário, signos são partes constitutivas do pensamento. Mais
precisamente, dentro dessa perspectiva semiótica-cultural, o pensamento é
considerado uma atividade reflexiva sensorial mediada por signos e baseada
na corporalidade de ações, gestos e artefatos7 (RADFORD, 2009, p. 4,
tradução livre das autoras).
Nesse sentido, para o autor, o pensamento engloba muito mais do que apenas essa
natureza “sensorial” da cognição matemática. O pensamento é algo ligado ao contexto e à
cultura dentro dos quais ele ocorre. É uma atividade que se desenvolve em um conjunto
cultural de práticas visando à construção de significados, bem como a formação de conceitos
de natureza ética, política, científica e estética constituídos historicamente.
Em vista disso, o pensamento de uma forma geral, assim como o pensamento
matemático em particular, é uma práxis cognitiva histórica mediada por ferramentas, pelos
signos e até mesmo pelo nosso corpo. Logo, a partir de uma perspectiva educacional, a
densidade histórica de tais práticas que, através dos séculos, vem refinando as formas de ação,
reflexão e raciocínio matemático, mostra-se complexa para os estudantes. Tornar-se
familiarizado com as práticas sedimentadas em formulações altamente sistematizadas,
abstratas e compactas não é uma tarefa trivial para os nossos alunos.
Quando tratamos do desenvolvimento do pensamento e do simbolismo algébrico a
situação é ainda pior, pois, segundo Radford (2011, p. 308 e 309, tradução livre das autoras),
‘o pensamento algébrico não surge na ontogenia ao acaso, nem como uma consequência
necessária da maturação cognitiva. Para fazer com que o pensamento algébrico apareça e seja
7
Within this mental conception of thinking signs were often considered ―symptoms‖ of mental activity —hence
the distinction between internal and external representations. Drawing on Vygotskian psychology, from the
semiotic-cultural perspective advocated here, the question of the relationship between signs and thought is
thematized in a different way. First, signs are considered in a broad sense, as something encompassing written as
well as oral linguistic terms, mathematical symbols, gestures, etc. (Arzarello, 2006; Ernest, 2008; Radford,
2002a). Second, signs are not considered as mere indicators of mental activity. In contrast, signs are considered
as constitutive parts of thinking. In more precise terms, within this semiotic-cultural perspective, thinking is
considered a sensuous and sign-mediated reflective activity embodied in the corporeality of actions, gestures, and
artifacts (RADFORD, 2009, p. 4).
39
acessível aos estudantes, algumas condições pedagógicas precisam ser criadas’ 8. Em outras
palavras, o estudo da álgebra é algo especificamente escolar, que depende fortemente da
intervenção do professor.
Portanto, ao enfatizar a questão da simbologia algébrica, desprovida de um
embasamento e de um real entendimento de seu significado pelos estudantes, estamos
desconsiderando o fato de que, de acordo com Rardford (2010a), a formação de significados e
o uso dos signos, assim como a evolução de algumas notações algébricas, têm suas raízes em
um sistema que dependia muito da fala, além de outros recursos semióticos. Em vista disso,
nós, professores, temos fortes razões para não ignorar ou menosprezar os momentos que
antecedem ou que fazem parte de todo processo de formação e apropriação dos conceitos
algébricos pelos nossos alunos, bem como da linguagem que lhes é própria.
2.2. Objetificação do Conhecimento
Ao nascermos, o mundo com o qual nos deparamos constitui-se como um mundo
histórico, repleto de objetos concretos e conceituais, os quais vêm sendo desenvolvidos e
lapidados através de séculos de atividades cognitivas. Nesse sentido, as formas culturais de
raciocínio desenvolvidas e refinadas ao longo de milhares de anos estão longe de serem
triviais para os estudantes.
Portanto, para alunos ‘inexperientes’– que nunca trabalharam ou trabalharam
pouco com tarefas que envolvam generalizações –, perceber um traço comum (ou uma
regularidade) entre os elementos de uma sequência não é algo simples, que acontece de
repente ou ao acaso, mas sim, de acordo com Radford (2011), um processo gradual, sustentado
por uma observação buscando semelhanças e diferenças entre os termos da sequência a ser
trabalhada. Mesmo em atividades simples, existem várias características nas figuras dadas que
podem ser consideradas semelhantes, assim como existem outras que podem ser consideradas
diferentes.
Como exemplificado por Radford (2010a), em uma atividade aplicada para uma
turma de alunos com idade igual a 13 ou 14 anos9, envolvendo a sequência de figuras abaixo,
8
Algebraic thinking does not appear in ontogeny by chance, nor does it appear as the necessary consequence of
cognitive maturation. To make algebraic thinking appear, and to make it accessible to the students, some
pedagogical conditions need to be created (RADFORD, 2011, p. 308 e 309).
9
Tal turma refere-se ao grau 8 – grade 8 – do sistema escolar canadense. No presente texto, optamos por abordar
somente a idade dos alunos, a fim de facilitar o entendimento do nível dos alunos com os quais o autor trabalhou.
40
Mel – uma das alunas da turma – percebeu uma regularidade diferente daquela percebida por
Doug – outro aluno da mesma turma.
Figura 1: Sequência de figuras trabalhadas na pesquisa de Radford. Fonte: Radford (2010, p. 41).
De acordo com o exposto por Radford (2010), Mel percebeu a figura como
dividida em duas linhas e, dessa forma, foi capaz de observar que o número de círculos da
linha de cima é sempre o número da figura mais um, enquanto o número de círculos na linha
de baixo é sempre o número da figura mais dois.
Já Doug percebeu e mostrou, através de gestos rítmicos, que, apesar de todas as
figuras terem a mesma forma, elas são diferentes. E o que as fazem diferentes são os dois
círculos a mais que cada figura tem em relação àquela imediatamente anterior e que estão
dispostas na diagonal e no final de cada uma delas, como demonstrado abaixo:
Figura 2: Esquema representativo da regularidade percebida por Doug. Fonte: Radford (2010, p. 43).
Dessa forma, Doug e Mel perceberam regularidades diferentes em uma mesma
sequência de figuras, visto que os traços comuns destacados pelos estudantes nem sempre são
os mesmos.
Isso se deve ao fato de que a imagem de um objeto em nossa mente não é
simplesmente um mapeamento de seus atributos físicos e/ou uma apreensão de todas as suas
possíveis características observáveis aos nossos olhos e à nossa percepção intelectual.
Radford (2010b), ao contrário, afirma que no ato de percepção e observação de um
objeto não o apreendemos em sua totalidade. Ao invés de ser completa, a percepção humana é
seletiva ou intencional. Por isso, não é suficiente que os estudantes disponham de uma
sequência de figuras diante de seus olhos. É interessante também que eles notem tais figuras
41
de um modo intencional, indo além de suas características especificamente físicas e/ou
numéricas.
A atividade a seguir (RADFORD, 2010b) ilustra tais ideias. Em uma classe
composta por estudantes de 7 ou 8 anos10 é apresentada a sequência de termos ilustrada na
seguinte figura:
Figura 3: Primeiros quatro termos de uma sequência trabalhada em uma turma do 2º ano. Fonte: Radford, 2010b,
p. 3.
Os alunos foram apresentados aos quatro primeiros termos da sequência, conforme
ilustrado, e convidados a continuá-la até o seu sexto termo. Alguns estudantes, focados apenas
na relação numérica entre termos consecutivos, perceberam que em determinada posição havia
dois quadrados a mais do que o termo da posição imediatamente anterior e apresentaram a
seguinte resolução:
Figura 4: O momento em que um estudante (James) está desenhando o sexto termo; o quinto (linha de cima) e o
sexto (linha de baixo) termos de James; oitavo termo de acordo com outra estudante (Sandra). Fonte: Radford,
2010b, p. 3.
Conforme apresentado na parte central da figura 4, os termos referentes à quinta e à
sexta posições da sequência foram desenhados pelo estudante como se tivessem uma única
linha. Percebemos, assim, que a característica espacial, ou seja, a forma como os quadrados
estavam dispostos em cada uma das figuras da primeira até a quarta posição não foi levada em
consideração no momento da resolução.
Nesse caso, os alunos focaram sua percepção apenas na quantidade de
10
O autor refere-se a tal turma como de grau 2 – grade 2 – no sistema escolar canadense.
42
quadradinhos presentes em cada figura e não consideraram, pelo menos em seus desenhos, as
demais características de cada termo da sequência. Logo, ‘o problema para os estudantes,
então, é perceber as figuras de certo modo intencional. Eles devem ir além da postura
intencional focada na numerosidade, que faz com que as figuras apareçam de certa forma na
consciência, para outra baseada nas linhas’11 (RADFORD, 2010b, p. 4, tradução livre das
autoras).
O autor destaca que os estudantes certamente veem as duas linhas em cada figura. .
Porém, eles parecem não considerar importante reconhecer cada termo da sequência a partir de
sua disposição espacial. Na verdade, tais informações geométricas foram deixadas como ‘pano
de fundo’, cedendo espaço apenas para a questão numérica.
Em vista disso, assim como o autor, entendemos que perceber os vários atributos
de uma figura não constitui tarefa simples para nossos estudantes. Para Radford (2010b), o
olhar dos matemáticos passou por um processo de domesticação, a partir do qual eles foram
culturalmente educados para organizar a percepção de fatos e objetos em modos racionais
particulares. Essa domesticação do olhar ‘é um longo processo no curso do qual nós chegamos
a ver e reconhecer as coisas de acordo com significados culturais ‘eficientes’. É o processo
que converte o olho (e outro sentido humano) em um órgão intelectual sofisticado’12
(RADFORD, 2010b, p. 4, tradução livre das autoras).
Assim, entendemos que perceber um objeto, fato ou figura sem menosprezar algum
de seus atributos que seja interessante para o seu estudo requer ações intencionais específicas.
Assim, muitas vezes, os estudantes devem ir além de uma percepção superficial dos termos
conhecidos de uma sequência, a fim de desenvolver uma forma de raciocínio matemático em
direção ao pensamento algébrico.
Na verdade, não entendemos que os alunos devam estar atentos a todos os atributos
dos termos de uma sequência trabalhada, uma vez que algumas características podem ser
desprezadas. Por exemplo: suponhamos que na sequência da figura 1, todos os círculos
estivessem pintados da cor vermelha; considerar tal fato não traria contribuições para o estudo
11
The problem for the students, then, is to attend to the figures in a certain intentional way. They have to go
beyond the intentional stance focused on numerosity, which makes the figures appear in a certain way in
consciousness, to a different one, based on rows (RADFORD, 2010b, p. 4).
12
The domestication of the eye is a lengthy process in the course of which we come to see and recognize things
according to “efficient” cultural means. It is the process that converts the eye (and other human senses) into a
sophisticated intellectual organ (RADFORD, 2010b, p. 4).
43
daquela sequência da forma abordada aqui.
Nesse sentido, destacamos que a questão, então, gira em torno de quais
características da sequência devem ser consideradas e quais podem ser ignoradas. Cabe ao
professor o papel de auxiliar o aluno a perceber e entender quais atributos dos termos da
sequência são importantes no contexto da tarefa que está sendo trabalhada.
Nesse sentido, o professor assume uma responsabilidade complexa, visto que
ganhar fluência em formas de raciocínio matemático mais complexas não
consiste em uma mera transmissão de conhecimento. (...) Uma forma
sofisticada de generalização alcançada pelos estudantes durante uma
atividade exige a emergência de certas sensibilidades, tais como perceber as
figuras de modo que facilite responder a questões sobre os termos 12, 25,
100, ou outras figuras que estão além do campo sensorial da percepção13
(RADFORD, 2010b, p. 6, tradução livre das autoras).
Logo, entendemos que o docente tem o papel de criar oportunidades e condições
que possibilitem aos alunos transformarem o objeto do conhecimento em um objeto arraigado
a sua consciência. Para tal, existe uma variedade de recursos semióticos que podem auxiliar
professores e estudantes na tarefa de notar traços comuns ou observar uma regularidade em
uma sequência.
Para Radford (2010a), essa ação perceptual desdobra-se em um processo mediado
por uma atividade que o autor chamou de multi-semiótica, que envolve palavras, gestos,
fórmulas, desenhos, entre outros. Tal processo, dentro do qual o objeto a ser visto emerge
progressivamente, foi denominado processo de objetificação (RADFORD, 2010a). Nas
palavras do autor, ‘objetificação do conhecimento é um construto teórico que leva em conta o
modo como os estudantes se engajam a fim de perceber e dar sentido a algo’ 14 (RADFORD,
2010a, p. 45, tradução livre das autoras).
Apoiado na ideia de que o pensamento é uma atividade ligada ao contexto e à
cultura dentro dos quais ele ocorre, o autor afirma que os processos de objetificação são
‘aqueles através dos quais os estudantes apreendem a lógica cultural em que os objetos do
13
Gaining fluency in complex mathematical forms of reasoning does not, of course, consist of a mere
transmission of knowledge. It would be a mistake to see in the previous passages the teacher merely
“transmitting” a generalizing method. The sophisticated form of generalization reached by the students during the
activity required the emergence of certain sensibilities, such as perceiving the figures in certain ways that
facilitate the calculations required to answer questions about Terms 12, 25, 100, or other figures beyond the
perceptual sensorial realm (RADFORD, 2010b, p. 6).
14
(…) the objectification of knowledge is a theoretical construct to account for the way in which the students
engage with something in order to notice and make sense of it (RADFORD, 2010a, p. 45).
44
conhecimento têm sido dotados e tornam-se familiarizados com formas de ação e pensamento
historicamente constituídas s’15 (RADFORD, 2009, p. 5 e 6, tradução livre das autoras).
Dessa forma, para se comunicar matematicamente, os professores e os alunos
recorrem a signos e artefatos de diferentes tipos – palavras, gestos, fórmulas, calculadora,
gráficos, etc. Estes e outros recursos semióticos usados para objetificar o conhecimento o
autor denominou como meios semióticos de objetificação.
Radford (2010a), apoiando-se no princípio da não redundância de Émile
Benveniste, afirma que os sistemas semióticos não são ‘sinônimos’. Devemos estar atentos
para refutar a crença da traduzibilidade, isto é, a crença de que uma fórmula indica a mesma
coisa que um gráfico ou um problema escrito em linguagem natural. Porém, isso também não
significa que um sistema semiótico seja completamente independente de outro. ‘A
objetificação da estrutura matemática por trás de um padrão que foi mediado através de
palavras e gestos pode ser aprofundada por uma atividade mediada por outros tipos de
signos’16 (RADFORD, 2010a, p. 45, tradução livre das autoras).
Nessa perspectiva, reforçamos a ideia de que, ainda que o pensamento algébrico
possa ser inicialmente desenvolvido a partir de sistemas semióticos baseados em gestos,
palavras ou desenhos, a linguagem algébrica é fundamental para o aprofundamento do estudo
da Álgebra.
Dentro desse desenvolvimento inicial do pensamento algébrico, o autor apresenta
alguns trabalhos com tarefas que envolvem processos de generalizações, a fim de perceber os
procedimentos dos alunos e os tipos de generalizações realizadas. No próximo tópico
abordamos tais ideias.
2.3. Generalizações
A partir de uma abordagem que poderíamos chamar de fisiológica proposta por
Lettvin, Marurana, McCulloch e Pitts (1959 apud RADFORD, 2010b), Radford destaca que o
ser humano, com um sistema visual consideravelmente complexo, é capaz de discernir uma
enorme quantidade de similaridades e diferenças nas mais diversas situações. Sem essa
15
(…) those social processes through which the students grasp the cultural logic with which the objects of
knowledge have been endowed and become conversant with the historically constituted forms of action and
thinking (RADFORD, 2009, p. 5 e 6).
16
The objectification of the mathematical structure behind a pattern that was mediated by words and gestures
may be deepened by an activity mediated through other types of signs (RADFORD, 2010a, p. 45).
45
capacidade de distinção, a formação de conceitos seria simplesmente impossível de ser
realizada e o mundo diante de nós estaria reduzido a um amontoado de fatos singulares:
tudo seria diferente de tudo mais e seria impossível de se imaginar
semelhanças entre as coisas. Não seríamos capazes de generalizar, pois,
como Kant (1800/1974) afirmou, a generalização baseia-se em sintetizar
semelhanças entre coisas diferentes, assim como, diferenças entre coisas
semelhantes17 (RADFORD, 2010b, p. 2, tradução livre das autoras).
Porém, saindo desse campo, o autor destaca que a experiência visual, assim como
todas as demais experiências sensoriais, está susceptível ao contexto social. Nesse sentido, o
que vemos não são, puramente, imagens físicas da matéria ou ações e fatos isolados e
descontextualizados. Pelo contrário, o que enxergamos é ‘resultado de estímulos já filtrados
por significados e informações sobre objetos e eventos no mundo – significados expressos
pela linguagem e outros sistemas semióticos culturais’18 (RADFORD, 2010b, p. 2, tradução
livre das autoras).
Em vista disso, a percepção e a generalização de objetos concretos e eventos
ocorrem por meio de um processo mediado por artefatos culturais moldados por nossas
práticas históricas. Portanto, existem incontáveis maneiras de abstrair e generalizar aquilo que
é captado por nossos sentidos e filtrado pela nossa cultura, pois, ‘no curso de nosso
desenvolvimento ontogenético, os sentidos e o nosso conhecimento vêm sendo moldados de
maneira histórica, à medida que nos envolvemos em práticas socioculturais19 (RADFORD,
2010b, p. 2, tradução livre das autoras).
No campo da Educação, a busca pelo entendimento das maneiras sociais através
das quais percebemos e generalizamos os fatos e objetos é um tema que tem recebido
considerável atenção dos pesquisadores. Radford (2010b) afirma que, nos últimos anos, no
campo da Educação Matemática, em particular, o processo de generalização de sequências
elementares por estudantes de diversos níveis tem despertado cada vez mais o interesse dos
estudiosos da área.
17
(…) everything would be different from everything else and resemblances between things would be impossible
to imagine. We would not be able to generalize, for as Kant (1800/1974) contended, generalization rests on
synthesizing resemblances between different things and also differences between resembling things (RADFORD,
2010a, p. 2).
18
(…) what we see is not the result of direct inputs but of stimuli already filtered by meanings and information
about objects and events in the world – meanings conveyed by language and other cultural semiotic systems
(RADFORD, 2010b, p. 2).
19
In the course of our ontogenetic development, the senses and our understandings become shaped in certain
historically formed ways as we engage in sociocultural practices (RADFORD, 2010b, p. 2).
46
Assim, a forma como os estudantes percebem os termos dados de uma sequência e
encontram um modo cultural de generalizá-los tem merecido destaque nas pesquisas. Segundo
Radford (2010b), a análise dos procedimentos dos estudantes pode trazer alguma luz acerca do
tipo de pensamento necessário para realizar esse tipo de tarefa e sua relação com o
pensamento algébrico. Logo, assim como nem toda simbolização é algébrica, nem toda
atividade envolvendo padrões e sequências conduz/promove o desenvolvimento do
pensamento algébrico. Mais precisamente, nem toda generalização pode ser considerada como
algébrica.
Segundo o autor, em uma sequência, ‘a apreensão de uma regularidade é a
formação do que, na terminologia Aristoteliana, é chamado de gênese (...) que resulta de uma
abstração, exigindo que os estudantes façam distinções entre o que é similar e o que é
diferente nos termos dados de uma sequência’20 (RADFORD, 2011, p. 307, tradução livre das
autoras). Em outras palavras, é em virtude da gênese que verificamos algum sentido para que
vários termos estejam juntos ou agrupados formando uma sequência.
Porém, o autor defende que apenas a identificação da gênese de uma sequência e
seu uso para estendê-la para termos vizinhos além dos termos dados, bem como para
identificar se um termo pertence ou não à sequência, não podem ser considerados o resultado
de um processo algébrico.
De fato, segundo Radford (2010a), quando os alunos apreendem uma regularidade
nos termos dados de uma sequência, mas não a utilizam para a elaboração de uma regra que
lhes permita encontrar qualquer termo dessa sequência, eles ainda não estão trabalhando em
um campo algébrico. Na verdade, nesse caso, eles trabalham no campo aritmético e, portanto,
uma generalização desse tipo é considerada pelo autor como uma generalização aritmética.
Para ele, ainda que tal processo seja extremamente complexo, pode não haver
características algébricas nele. De forma mais clara, o pesquisador argumenta que
De fato, perceber o que é realmente comum e característico nos termos de
uma sequência ou em um conjunto de objetos é um aspecto central da
formação de conceito. (...) tais fatos desempenham um papel importante na
emergência das ideias algébricas nos estudantes, mas não é, por si só, o
resultado de um processo algébrico. Na verdade, encontrar um traços
semelhantes nos termos de uma sequência ou de um conjunto de objetos não
20
The grasping of the commonality is the formation of what, in Aristotelian terminology, is called a genus, (…)
results from an abstraction that requires the students to make distinctions between what is similar and what is
different in the given terms of the sequence (RADFORD, 2011, p. 307).
47
é uma habilidade específica dos humanos. De fato, Sue Savage-Rumbaugh e
sua equipe, bem como outros pesquisadores do campo da cognição animal,
verificaram que chimpanzés (e aves também) podem distinguir entre vários
tipos de objetos – classificando-os como “comestíveis” e “não
comestíveis”’21 (RADFORD, 2011, p. 308, tradução livre das autoras).
Portanto, não é porque os chimpanzés são capazes de perceber regularidades ou
semelhanças em um conjunto de objetos que podemos afirmar que eles estão pensando
algebricamente. Da mesma forma, o fato de nossos estudantes conseguirem perceber uma
regularidade e estender uma sequência além dos termos dados não é suficiente para
concluirmos que eles já estão pensando algebricamente, visto que ‘a generalização não é
específica da álgebra. A generalização é um traço geral típico da cognição humana e animal e
que pode ser de natureza diversa – aritmética, geométrica ou outra’22 (RADFORD, 2011, p.
308, tradução livre das autoras).
Nesse sentido, concordamos com o autor que, dentre as formas de generalização,
nem todas são algébricas. Em particular, em alguns casos, temos o raciocínio indutivo, ainda
que esse raciocínio seja expresso com símbolos considerados no campo da matemática como
algébricos.
Para melhor entendimento do que Radford (2010a) chamou de raciocínio indutivo,
abordaremos novamente o exemplo da atividade com uma sequência de círculos dispostos em
duas linhas, trabalhada por ele e sua equipe com uma turma de alunos com idade igual a 14 ou
15 anos23 – figura 1.
Segundo o autor, para encontrar uma expressão que representasse o termo geral da
sequência, alguns grupos de alunos propuseram regras como “vezes 2 mais 1”, “vezes 2 mais
2” ou “vezes 2 mais 3” e foram checando a sua validade para alguns termos da sequência.
Seguindo essa lógica, os integrantes de um dos grupos, ao apresentarem a expressão ‘n x
2(+3)’ como solução, foram solicitados a explicar como eles haviam encontrado tal regra. A
21
Indeed, noticing what is really common and characteristic of the terms of a sequence or set of objects is a
central aspect of concept formation. (…) it plays an important role in the emergence of the students’ first
algebraic ideas, but is not itself the result of an algebraic process. In fact, finding a characterizing attribute of the
terms of a sequence or a set of objects is not specific to humans. Indeed, Sue Savage-Rumbaugh and her team as
well as other researchers in the field of animal cognition have established that chimpanzees (and birds too) can
distinguish between several sorts of objects—classing them as “edible” and “inedible” (RADFORD, 2011, p.
308).
22
Generality is not specific to algebra. Generality is a typical general trait of human and animal cognition and
can be of diverse nature—arithmetic, geometric or other (RADFORD, 2011, p. 308).
23
O autor refere-se a tal turma como grau 9 – grade 9 - no sistema escolar canadense.
48
resposta apresentada por eles foi que a fórmula havia sido encontrada ao acaso.
Em vista disso, as regras e fórmulas encontradas pelos alunos por meio de tentativa
e erro são consideradas pelo autor heuristicamente diferentes daquelas obtidas através da
percepção de características comuns em figuras dadas e extensão de tais características às
demais figuras da sequência. O primeiro procedimento baseia-se em uma regra que é formada
a partir de “chutes”, que, como já citado acima, o autor considera um tipo de indução,
classificada por ele como ingênua, a fim de distingui-la de outros tipos de indução mais
sofisticados. O segundo procedimento ‘sugere um dos traços que pode constituir o cerne da
generalização de um padrão, que se trata da capacidade de perceber algo geral no particular’24
(RADFORD, 2010a, p. 42, tradução livre das autoras).
Como exemplo do segundo procedimento, o autor mostra uma resolução
apresentada por outro grupo de alunos na mesma atividade abordada acima:
os estudantes buscaram uma regularidade nas figuras dadas. Mel, por
exemplo, escreveu: “A linha de cima sempre tem um círculo a mais que o
número da figura e a linha de baixo sempre tem dois círculos a mais que o
número da figura”. A fórmula de Mel foi: (n + 1) + (n + 2)25 (RADFORD,
2010a, p. 41, tradução livre das autoras).
Porém, Radford (2010a), apoiando-se em Kieran, mais uma vez afirma que
somente esse traço pode não ser o suficiente para caracterizar a generalização algébrica de
padrões. Além de perceber o geral no particular, deve-se ser capaz também de expressar tais
descobertas algebricamente, pois, segundo Kieran apud Radford (2010a), pensar
algebricamente é mais do que pensar sobre o geral. ‘É pensar sobre o geral ou o generalizado
de um modo que o torne indistintivamente algébrico em sua forma de raciocinar e em sua
forma de expressão26’(RADFORD, 2010a, p. 42, tradução livre das autoras).
Nesse sentido,
a generalização algébrica de um padrão está baseada em uma capacidade de
apreender um traço semelhante em alguns elementos de uma sequência S,
estando consciente de que essa semelhança aplica-se a todos os termos de S e
sendo capaz de usá-la para encontrar uma expressão direta de qualquer termo
24
(…) suggests one of the traits that may constitute the core of the generalization of a pattern, namely the
capability of noticing something general in the particular (RADFORD, 2010a, p. 42).
25
(…) the students searched for a commonality in the given figures. Mel, for instance, wrote: “The top line
always has one more circle than the number of the figure and the bottom line always has two circles more than
the number of the figure.” Mel’s formula was: (n +1) + (n + 2) = (RADFORD, 2010a, p. 41).
26
It is to think about the general or the generalized in a way that makes it distinctively algebraic in its form of
reasoning as in its expression (RADFORD, 2010a, p. 42).
49
de S.27 (RADFORD, 2010a, p. 42, tradução livre das autoras).
Dessa forma, o simples fato de os estudantes generalizarem uma semelhança local
observada em algumas figuras dadas, sem serem capazes de usar tal informação para definir
uma regra geral que lhes possibilite encontrar qualquer termo da sequência, não constitui,
necessariamente, uma generalização algébrica.
2.4. Gênese da Formação: apreendendo e generalizando uma semelhança local
Para Radford (2011), os estudantes podem ingressar no estudo da Álgebra
independentemente de conhecerem ou terem familiaridade com a linguagem algébrica padrão.
Essa afirmação faz sentido se considerarmos a álgebra como uma forma particular de
pensamento que, ao invés de ser caracterizada por símbolos alfanuméricos, está mais
relacionada com uma maneira específica usada para atender aos objetos – indeterminados - do
discurso. Nas palavras do autor, ‘essa maneira distinta de ser do pensamento algébrico pode
ser definida, no terreno epistemológico, por indeterminação e analiticidade. Esses dois
elementos são o que fazem o pensamento algébrico diferente do aritmético e de outras formas
de pensamento’28 (RADFORD, 2011, p. 311, tradução livre das autoras).
A indeterminação e a analiticidade podem ser tratadas de várias formas, visto que o
pensamento algébrico pode operar em diferentes níveis de generalidade, alguns mais
concretos, outros mais abstratos. Dessa forma, apresentaremos tais níveis de generalidades
observados por Radford (2011) e suas respectivas caracterizações.
1. Generalização Factual
A generalização factual é uma generalização algébrica que
ocorre dentro de um nível elementar de generalização – na qual o universo do
discurso não vai além de figuras particulares (...). Esse nível de generalidade
é mais do que um nível de ação: a gênese da sequência leva à formação de
um esquema que opera em números particulares (...). Em outras palavras, na
generalização factual, a indeterminação – a primeira característica do
pensamento algébrico mencionada inicialmente – não atinge o nível do
27
Generalizing a pattern algebraically rests on the capability of grasping a commonality noticed on some
elements of a sequence S, being aware that this commonality applies to all the terms of S and being able to use it
to provide a direct expression of whatever term of S (RADFORD, 2010a, p. 42).
28
This distinctive manner of being of algebraic thinking can be defined, on epistemological grounds, by
indeterminacy and analyticity. These two elements are what make algebraic thinking different from arithmetic
and other forms of thinking (RADFORD, 2011, p. 311).
50
discurso: ela é expressa em ações concretas29 (RADFORD, 2010a, p. 47,
tradução livre das autoras).
Apesar de sua natureza aparentemente concreta, o pensamento algébrico factual,
que se desenvolve nesse processo de generalização, não consta como uma forma simples de
raciocínio. Para compreender melhor, retomaremos o exemplo apresentado na figura 3 (p. 30
da presente pesquisa).
A primeira tarefa dos alunos (com idade igual a 7 ou 8 anos) foi desenhar as figuras
5 e 6 dessa sequência. A segunda tarefa, que no momento mais nos interessa, foi elaborada
com o intuito de que os estudantes sentissem a necessidade de encontrar um procedimento
geral que lhes permitisse descobrir o número de quadradinhos em qualquer termo de tal
sequência.
Para tanto, os alunos foram convidados a considerar as figuras nas posições 25 e
50. Vale ressaltar que pedir aos estudantes para considerar os termos 25 e 50 estava longe de
ser trivial, visto que o conhecimento aritmético da turma em questão, de acordo com Radford
(2011), ainda era bem limitado. De forma mais clara, embora eles tivessem alguma
familiaridade com números grandes, eles ainda não faziam adições com números maiores que
25.
Nesse sentido, ao se propor uma atividade baseada no limite do conhecimento
aritmético dos estudantes, o objetivo era promover a emergência do pensamento algébrico,
pois o importante não era o resultado numérico em si, mas o caminho que os alunos iriam
escolher/construir para elaborar uma regra ou método de cálculo para encontrar o número de
quadradinhos em tais posições.
Segundo o autor, a questão foi prontamente respondida. Uma das alunas, Cindy,
argumentando sobre a figura 12, disse: “12 mais 12, mais 1”. Analogamente, voltando-se para
a figura 25, Erica disse:
Erica: Cindy! Um... Tudo bem, quanto é 25 mais 25?
Cindy: (Pensando) Euh...
Erica: (Sorrindo) Depois disso, você adiciona um!
29
(…) this generalization occurs within an elementary layer of generality —one in which the universe of
discourse does not go beyond particular figures (…). This layer of generality is rather the layer of action: The
genus of the sequence leads to the formation of a schema that operates on particular numbers (…). Another way
to say this is that in factual generalizations, indeterminacy —the first characteristic of algebraic thinking
mentioned at the beginning— does not reach the level of enunciation: it is expressed in concrete actions
(RADFORD, 2010a, p. 47).
51
Segundo Radford (2011), para encontrar o número de quadradinhos na figura 12, as
estudantes não a construíram termo a termo. Elas realizaram uma generalização que ele
considerou como algébrica, apesar de não haver o uso de uma notação simbólica para
expressá-la, pois
o uso de notação (ou seja, o sombolismo alfanumérico) não é uma condição
necessária e suficiente para pensar algebricamente. O pensamento algébrico
não se refere ao uso ou não de notações, mas se refere a raciocinar de certo
modo. O que caracteriza o pensamento como algébrico é que ele lida com
quantidades indeterminadas concebidas em modos analíticos. Em outras
palavras, você considera as quantidades indeterminadas (ou seja, incógnitas
ou variáveis) como se as conhecesse e realiza cálculos com elas como você
faz com números30 (RADFORD, 2011, p. 310, tradução livre das autoras).
Nesse sentido, ‘a indeterminação está presente através de instâncias da variável
independente – ou seja, o número da figura (“1”, “2”, “3”, “4”, “5”, “6”, “12”, “25”, “50”)’31
(RADFORD, 2011, p. 310, tradução livre das autoras). Isso sugere que a indeterminação e a
analiticidade estão ligadas por uma regra que permite aos alunos encontrar o número de
quadradinhos em qualquer figura particular, não importando o quanto tal figura está avançada
na sequência.
Na ‘fórmula’ encontrada por Érica e em sua fala, podemos perceber que sua
preocupação não está no fato de se saber o resultado da soma de 25 com 25. Independente
desse valor, o que se deve fazer depois de encontrá-lo é somar 1 a ele. Segundo o autor,
essa “fórmula” pode ser melhor compreendida como uma prática incorporada
a uma variável tácita: a indeterminação não atinge o nível da simbolização e
nem mesmo o do discurso. Não há palavras no vocabulário dos estudantes
para nomeá-la. A indeterminação permanece implícita – é algo cuja presença
é apenas vagamente advertida através de instâncias particulares (...)32
(RADFORD, 2011, p. 311, tradução livre das autoras).
30
(…) the use of notations (i.e., alphanumeric symbolism) is neither a necessary nor a sufficient condition for
thinking algebraically (Radford 2006a, 2009a). Algebraic thinking is not about using or not using notations but
about reasoning in certain ways. What characterizes thinking as algebraic is that it deals with indeterminate
quantities conceived of in analytic ways. In other words, you consider the indeterminate quantities (e.g.
unknowns or variables) as if they were known and carry out calculations with them as you do with known
numbers (RADFORD, 2011, p. 310).
31
(…) indeterminacy is present through instances of the independent variable—i.e., the number of the figure (“1”,
“2”, 3”, “4”, “5”, “6”, “12”, “25”, “50”) (RADFORD, 2011, p. 310).
32
This “formula” can better be understood as an embodied predicate (e.g. “12 plus 12, plus 1”) with a tacit
variable: indeterminacy as such does not reach the level of symbolization, not even the level of discourse. There
are no words in the students’ vocabulary to name it. Indeterminacy remains implicit—something whose presence
is only vaguely adverted through particular instances (…) (RADFORD, 2011, p. 311).
.
52
De acordo com o autor, o pensamento algébrico factual baseia-se em mecanismos
de percepção elevados e em uma sofisticada coordenação rítmica de gestos, palavras e
símbolos. Nesse sentido, a indeterminação permanece implícita e os recursos semióticos
citados acima constituem a ‘substância’ das fórmulas-ações dos estudantes.
2. Generalização Contextual
Neste caso, os alunos devem ir além das figuras particulares de uma sequência para
lidar com um novo objeto: uma figura geral33. Em vista disso, no pensamento algébrico
contextual, os estudantes mergulham em um nível de objetificação mais profundo do que as
ações e percepções características do pensamento algébrico factual.
Neste processo de generalização, gestos ostensivos e outros meios semióticos de
objetificação são excluídos e os estudantes passam a trabalhar com formas reduzidas de
expressão. Dessa forma, eles compensam essa redução de recursos semióticos com uma
concentração de significados em um menor número de signos. Essa redução de signos e
concentração de significados foi chamada pelo autor contração semiótica.
Os alunos, para tratar os termos desconhecidos, recorrem a termos dêiticos que,
segundo Radford (2009, p. 9, tradução livre das autoras), ‘são palavras com as quais nós
descrevemos, de um modo contextual, objetos no espaço’34. O objeto indeterminado agora
deve ser explicitamente mencionado com auxílio de tais termos que serão escolhidos de
acordo com a tarefa que está sendo trabalhada.
Para ilustrar a generalização factual, recorreremos, mais uma vez, ao exemplo da
atividade de sequência de círculos divididos em duas linhas, ilustrada na figura 1. Porém,
neste caso, a atividade foi trabalhada com alunos com idade igual a 14 ou 15 anos.
Para tanto, ela foi dividida em duas etapas: na primeira, os alunos deveriam
desenhar as figuras nas posições 4 e 5 e encontrar o número de círculos nas figuras das
posições 10 e 100 dessa sequência; na segunda, os estudantes foram convidados a escrever
uma mensagem para um estudante de outra turma do 9º ano, explicando como encontrar o
número de círculos em uma figura qualquer dessa sequência e escrever uma fórmula algébrica
para o número de círculos na figura n.
33
De acordo com a atividade desenvolvida por Radford (2009), a figura geral trata-se de uma figura em uma
posição qualquer na sequência abordada.
34
(...) words with which we describe, in a contextual way, objects in space (RADFORD, 2009, p. 9).
53
Na segunda etapa da tarefa, em que os estudantes tiveram que escrever uma
mensagem indicando como encontrar o número de círculos em uma figura qualquer, Radford
(2009) apresentou um exemplo do que eles escreveram: “Você tem que adicionar um círculo a
mais do que o número da figura na linha de baixo, e adicionar um círculo a mais na linha de
cima do que na linha de baixo”.
Tal procedimento não corresponde a uma fórmula padrão em Álgebra. Porém,
podemos observar que os estudantes recorreram a alguns termos – “de baixo”, “de cima” –
para descrever de maneira contextual os objetos aos quais se referiam, e o objeto
indeterminado, neste caso, está explicitamente mencionado com o auxílio do termo “número
da figura”.
Portanto, percebemos de forma clara que os gestos presentes na generalização
factual são substituídos por termos dêiticos e a indeterminação torna-se objeto explícito do
discurso.
3. Pensamento Algébrico Padrão
Expressar uma fórmula com palavras ou gestos é muito mais simples do que
expressá-la utilizando o simbolismo algébrico padrão. Ao utilizar a linguagem oral, os alunos
lançam mão de uma gama de meios semióticos, como gestos de apontamento, gestos rítmicos,
termos dêiticos, entre outros, através dos quais expressarem suas descobertas torna-se uma
tarefa menos árdua (RADFORD, 2009).
Porém, ao entrar para o campo da linguagem algébrica, tais recursos semióticos
não desempenham um papel de tamanho destaque. Segundo o autor, a passagem para o campo
algébrico simbólico constitui uma mudança drástica na forma de designação dos objetos
indeterminados no discurso. Tais objetos não serão mais abordados através dos meios
semióticos citados aqui. Agora, os alunos deverão recorrer a uma linguagem, muitas vezes
desconhecida, para encontrar uma fórmula e tratar suas descobertas. E um dos pontos
destacados como causa das dificuldades dos alunos repousa no fato de a linguagem algébrica
padrão não ser natural, como, por exemplo, o idioma que falamos. Portanto, a ‘tradução’ de
uma descoberta algébrica para sua linguagem específica não ocorre espontaneamente.
Segundo Radford (2009, p. 10, tradução livre das autoras),
A partir de um ponto de vista ontogenético, a “tradução” direta não é algo
com a qual nós podemos contar, assim como não podemos contar com uma
54
tradução direta de nossa língua nativa para uma nova língua, a qual nós
estamos apenas começando a aprender. No caso da linguagem algébrica
padrão, a situação é ainda pior, já que tal linguagem não é “natural”. Nossa
linguagem algébrica padrão é artificial35.
Dessa forma, percebemos que a manifestação do pensamento através da linguagem
algébrica é muito mais complexa do que uma simples tradução, visto que tal linguagem não é
naturalmente construída pelo aluno em seu cotidiano. Ao contrário, a história evidencia que
sua construção dependeu de esforços durante séculos e que, muitas vezes, acabou em ‘becos
sem saída’ e fracassos.
Além de toda essa complexidade com a qual está envolvida a natureza da
linguagem algébrica padrão, o autor chama atenção para o fato de que algumas fórmulas
encontradas por estudantes, apesar de superficialmente parecerem algébricas, não o são. A
presença de letras em uma expressão matemática não garante que ela seja uma fórmula
algébrica. Assim, devemos estar atentos aos mecanismos utilizados durante a elaboração de tal
fórmula. Um procedimento baseado em tentativas e erros de várias fórmulas, por exemplo,
‘não está baseado em um modo analítico de pensar sobre quantidades indeterminadas – a
principal característica do pensamento algébrico’36 (RADFORD, 2009, p. 11, tradução livre
das autoras).
Nesse sentido, a fórmula algébrica – ou não – encontrada por nossos estudantes
carrega a experiência do processo de objetificação vivenciado por eles. Em vista disso, o que
o autor sugere é que tais fórmulas são ícones e, muitas vezes, um tipo de descrição geométrica
ou espacial da figura em questão.
Novamente recorrendo à atividade apresentada a alunos com idade igual a 14 ou 15
anos37 sobre a sequência de círculos ilustrada na figura 1, Radford (2009) destaca que a
fórmula (n + 1) + (n + 2) encontrada por um dos grupos da turma narra a experiência do
processo de objetificação vivenciada pelos alunos. Segundo o autor, é fácil reconhecer que o
termo ‘n + 1’ contido na fórmula refere-se aos círculos situados na linha superior de cada
35
From an ontogenetic viewpoint, direct ―translation is not something on which we can count, as we cannot
count on direct translation from our native language to a new one we are just starting to learn. Direct translation
presupposes that you already know the target language. In the case of the standard alphanumeric algebraic
language, the situation is even worse, as this language is not even ―natural. Our standard algebraic language is
artificial (RADFORD, 2009, p. 10).
36
(…) is not based on an analytic way of thinking about indeterminate quantities — the chief characteristic of
algebraic thinking (RADFORD, 2009, p. 11).
37
O autor refere-se a tal turma como de grau 9 – grade 9 – no sistema escolar canadense.
55
termo da sequência, enquanto o termo ‘n + 2’ relaciona-se com os círculos situados na linha
inferior.
Logo, percebemos que a fórmula não é um artefato de cálculo simbólico abstrato;
ela funciona como uma narrativa que conta uma história de maneira altamente compactada.
Portanto, a fórmula surge imbuída do modo pelo qual as ideias foram desenvolvidas e as ações
realizadas, e carregada de uma natureza contextual, o que muitas vezes a impede de significar
as coisas de uma maneira abstrata. Assim, ‘o modo de designação deve mover para um nível
diferente, em que signos tomam seus significados não a partir de coisas que eles denotam, mas
a partir do modo relacional que eles significam dentro do contexto de outros signos’38
(RADFORD, 2009, p. 13, tradução livre das autoras).
Não é que esse significado icônico e essa dimensão narrativa das fórmulas devam
desaparecer. O autor defende que tais características devem dar origem a um modo de
significar mais abstrato. Deve haver uma mudança de modo que o significado icônico da
fórmula transforme-se em algo que deixe de designar, exclusivamente, os objetos concretos
em questão. ‘Semelhanças e diferenças – aspectos chaves da significação – devem deixar de
ser exclusivamente baseadas em considerações espaciais e contextuais’39 (RADFORD, 2009,
p. 14, tradução livre das autoras).
Nesse sentido, nesse novo modo de significar os elementos da fórmula, ele propõe
uma mudança de foco: ‘a atenção, agora, deve ser direcionada para diferenças morfológicas,
ou seja, diferenças em termos de letras versus números. Em resumo, o significado deve tornarse relacional’40 (RADFORD, 2009, p. 14, tradução livre das autoras).
Portanto, nós, professores, temos o importante papel de criar oportunidades para
que o aluno abandone essa característica concreta da fórmula e passe a reconhecê-la dotada de
um novo significado mais abstrato.
Em vista de todo o exposto nos dois capítulos anteriores, elaboramos e
implementamos uma proposta de ensino, sobre a qual, apresentamos a seguir, o contexto em
que foi desenvolvida e nossas opções metodológicas.
38
The mode of designation has to move to a different layer where signs borrow their meaning not from the things
they denote but from the relational way they mean within the context of other signs (Radford, 2009, p. 13).
39
Resemblances and differences—these key aspects of signification in general — must no longer be exclusively
based on spatial and contextual considerations (RADFORD, 2009, p. 14).
40
(…) attention has to be directed now to morphological differences, i.e., differences in terms of letters versus
numbers. In short, meaning must become relational (RADFORD, 2009, p. 14).
56
CAPÍTULO 3: METODOLOGIA
Realizar uma investigação em Educação ou em qualquer outra área do
conhecimento não é uma tarefa fácil. Definir a base metodológica de uma pesquisa implica na
escolha de ferramentas necessárias e suficientes para responder às indagações e alcançar os
objetivos propostos. Porém, algumas dificuldades são intrínsecas à escolha do método de
pesquisa que melhor se enquadra em um trabalho, visto que vivemos em uma época repleta de
diversos tipos de pensamentos, teorias, argumentações, paradigmas, ações.
De acordo com Ferreira (2003), temos infindas possibilidades de conhecer estudos,
propostas, práticas e projetos educativos oriundos dos mais diversos lugares e culturas. Porém,
Esta facilidade de acesso às outras culturas e às outras práticas educativas
impõe responsabilidades: como selecionar o que é produtivo e possível de ser
estudado na realidade imediata, em acordo com os pressupostos orientadores
das práticas educativas no cotidiano? Que critérios precisam orientar a seleção
e quais referências paradigmáticas os sustentam? (p. 1)
Assim, buscando o melhor caminho para desenvolver a presente pesquisa,
iniciamos nosso trabalho realizando uma pesquisa teórico-bibliográfica a partir da análise de
livros, artigos e textos relacionados ao ensino e à aprendizagem da Álgebra.
Essa revisão de literatura teve como propósito a familiarização com a pesquisa na
área e, principalmente com os referenciais teóricos utilizados e as estratégias de ensino
desenvolvidas.
A partir dos estudos supracitados e de nossas observações em sala de aula,
percebemos que, ao menos em parte, a dificuldade dos alunos em traduzir uma sentença
escrita na linguagem corrente natural para a linguagem algébrica se relaciona à maneira como
o estudo da Álgebra é introduzido e abordado em sala de aula. Assim, conjecturamos que o
desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébrica pode ser favorecido por uma
proposta de ensino que apresente os conceitos de forma gradual.
Dessa forma, conforme já citado na introdução, nos propusemos a investigar a
seguinte questão:
Que contribuições uma proposta de ensino baseada na percepção e generalização de padrões
e sequências pode trazer para o desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébrica em
57
alunos que se iniciam no estudo da Álgebra?
Tendo como objetivos gerais compreender e contribuir para o desenvolvimento do
pensamento algébrico dos alunos do 6º ano do Ensino Fundamental41, nos propusemos a
alcançar os seguintes objetivos específicos:

Identificar conhecimentos prévios dos alunos relacionados à percepção de padrões,
sequências, generalização e registro de situações relacionadas a padrões e sequências;

analisar o potencial e as limitações da proposta de ensino implementada;

identificar as estratégias utilizadas pelos alunos durante a percepção de regularidades e
processos de generalização de padrões e sequências;

investigar as diferentes estratégias adotados pelos alunos nas primeiras tentativas de
utilizar a linguagem simbólica específica para a expressão de sentenças envolvendo
termos com ideias de variáveis.
As atividades que compõem a proposta foram elaboradas com o intuito de diminuir
a ênfase no simbolismo, uma vez que como Fiorentini, Miorim e Miguel (1993, p.88)
acreditamos que ‘esse tipo de pensamento [algébrico] não prescinde de uma linguagem
estritamente simbólico-formal para sua formação’.
As atividades, devidamente elaboradas, foram realizadas durante as aulas de
Matemática, visto que a pesquisadora é professora da turma. Logo, o trabalho consiste em uma
pesquisa de campo com pesquisador participante e que apresentará uma abordagem
qualitativa, visto que,
ao lidar com ações e fatos relacionados ao comportamento, conceito e
produtos que envolvam a ação humana, o pesquisador está lidando com
palavras, gestos, arte, músicas e vários outros fatores carregados de
simbolismo, que não podem ser quantificados, mas sim interpretados de forma
particular, de acordo com a singularidade de cada contexto (QUEIROZ,
2006, p. 4).
Portanto, não faremos apontamentos de dados estatísticos em que os objetos terão
existência independente do observador e de seu interesse, como ocorre na pesquisa de cunho
quantitativo. Trata-se de uma metodologia qualitativa, visto que realizaremos uma dialética
em relação ao objeto de pesquisa, a fim de obter uma compreensão dos problemas e
41
Tendo em vista que esta dissertação procede de um mestrado profissionalizando, consideramos coerente a
apresentação de objetivos de pesquisa e de ensino.
58
alternativas para saná-los.
Em vista de tais considerações, no presente capítulo apresentaremos nosso objeto
de investigação, objetivos, cenário de investigação, participantes do estudo e os procedimentos
realizados no decorrer do trabalho.
3.1. Contexto e participantes
A proposta foi desenvolvida em uma escola da rede particular localizada na zona
sul da cidade de Belo Horizonte, a qual atende alunos do 5º ano do Ensino Fundamental ao 3º
ano do Ensino Médio, no período da manhã e da tarde, além de contar com a faculdade de
Administração no período noturno.
A escola é tradicional, com 90 anos de história, e conta com um espaço físico
amplo, com 20 salas de aula, dois pátios, ginásio poliesportivo com duas quadras, mais uma
quadra alheia ao ginásio, piscina olímpica, auditório, laboratório de informática e laboratório
de ciências. Além disso, todas as salas são equipadas com material Data Show para
disponíveis ao uso dos professores.
A proposta pedagógica do colégio visa oferecer formação intelectual, cultural e
esportiva ao aluno, de forma a explorar suas potencialidades individuais e percebê-lo como um
ser único, provido de talentos, personalidades e habilidades particulares.42
Quanto à escolha da turma, apesar de os currículos e a maioria dos livros didáticos
proporem a introdução da Álgebra no 7º ano do Ensino Fundamental, nós decidimos
desenvolver o projeto com a turma do 6º ano. Tal opção tinha como propósito observar e
compreender como alunos que ainda não tiveram contato com a Álgebra (formalmente
falando) lidam com situações envolvendo padrões e sequências quando convidados a
generalizar e construir registros dessa generalização.
Participaram da presente pesquisa os 19 alunos (nove do sexo feminino e oito do
sexo masculino). A maioria dos integrantes da turma está dentro da faixa etária escolar
considerada adequada para tal série, visto que 13 dentre os 19 alunos têm 11 anos de idade.
Dos demais, temos 5 alunos com 12 anos e 1 aluna com 13 anos. Vale destacar que dos 5
discentes que apresentam 12 anos, 3 (A10, A12 e A14) já sofreram reprovação. Para sermos
mais exatas, os alunos A10 e A12 estão repetindo o 6º ano e foram reprovados no próprio
42
As informações referentes à proposta pedagógica do colégio foram retiradas de sua página da internet.
59
colégio e o aluno A14 sofreu reprovação em anos anteriores, em instituição diversa daquela à
qual estamos nos referindo. Os demais integrantes da turma com 12 anos (A4 e A13) não
constam nos registros como alunos que já foram reprovados.
Quanto à aluna A7, que tem 13 anos, não a citamos juntamente com os demais no
parágrafo anterior, visto que seu caso deve ser tratado de forma especial. Tal aluna foi
diagnosticada como portadora da síndrome de Asperger43 e apresenta, principalmente,
dificuldade de interação social. Apesar de ser falante e comunicativa, a forma de se expressar
– algumas vezes muito áspera e impaciente – e a dificuldade em entender brincadeiras e piadas
faz com que tal aluna seja mal compreendida pelos demais colegas, que acabam se irritando e
tendo resistência em interagir e desenvolver atividades com ela. Porém, apesar de todos esses
empecilhos, a aluna é, de um modo geral, muito participante e falante durante as aulas de
matemática, embora apresente dificuldade no conteúdo. Destacamos a dificuldade de
compreender o contexto amplo de um problema. Custa-lhe entender uma pergunta complexa e
demora a responder.
Outro ponto que consideramos especial e importante destacar é o caso do aluno
A12 - já citado acima dentre os reprovados – que é diagnosticado como hiperativo. Consta em
seu registro que, atualmente, ele não faz uso de medicamento, tendo apenas acompanhamento
psicológico. Em sala, o aluno é extremamente inquieto e ansioso, principalmente, quando,
durante a aula, quer expor seus pontos de vistas e suas conclusões. Nestes casos, na maioria
das vezes, ele levanta-se da carteira e fala com tom de voz elevado, como forma de se impor e
ser ouvido. Apesar de não ter um bom rendimento em matemática, durante a maioria das
aulas, o aluno é participativo e tem bom convívio com os demais colegas.
Quanto à frequência às aulas, destacamos os casos dos alunos A1 e A19, que por
terem grande quantidade de faltas, deixaram de participar de algumas das atividades
desenvolvidas por nós com a turma. Ressaltamos também que A5 participou apenas das duas
primeiras atividades do trabalho de campo, visto que ela deixou de ser aluna do colégio da
terceira atividade em diante.
43
A Síndrome de Asperger é o nome dado a um grupo de problemas que algumas crianças (e adultos) têm
quando tentam comunicar com outras pessoas. É o termo aplicado ao mais suave e de alta funcionalidade daquilo
que é conhecido como o espectro de desordens pervasivas (presentes e perceptíveis a todo o tempo) de
desenvolvimento (espectro do Autismo). É caracterizada por desvios e anormalidades em três amplos aspectos do
desenvolvimento: interacção social, uso da linguagem para a comunicação e certas características repetitivas ou
perserverativas sobre um número limitado, porém intenso, de interesses (TEIXEIRA, 2010, p.2).
60
De um modo geral, o restante da turma é freqüente e não foge à regra de ser falante
e agitada, com alguns alunos se destacando mais que outros nesse quesito.
A sala de aula que comporta a turma é ampla. É mobiliada com as 19 carteiras dos
alunos, todas compostas por uma mesinha e uma cadeira em bons estados de conservação,
além de 10 mesas unidas aos pares, com as respectivas cadeiras, formando uma grande mesa
comprida ao fundo da sala. Temos também uma estante – ao fundo - com alguns gibis, livros e
revistas como a Veja, Isto É e Epoca, os quais os alunos podem ler durante os intervalos ou ao
final de avaliações e atividades, desde que autorizados pelos professores. Á frente, temos os
escaninhos dos alunos – cada um tem o seu - do lado direito, a mesa do professor do lado
esquerdo e um grande quadro branco afixado de frente para as carteiras dos alunos. Apesar de
toda essa mobília, ainda sobra bastante espaço para os alunos e o professor se locomoverem à
vontade, o que nos mostra que em questão de infra-estrutura e espaço físico a turma está bem
atendida.
De modo a garantir o anonimato aos alunos, decidimos nomeá-los por A1 (aluno
1), A2 (aluno 2), A3 (aluno 3), e, assim por diante, até o A19 (aluno 19).
Apresentados os principais componentes de nossa pesquisa, seguiremos adiante
relatando sobre os procedimentos adotados para a sua efetiva realização.
3.2. Procedimentos
As atividades foram aplicadas durante o horário regular das aulas de Matemática,
visto que uma das pesquisadoras é a professora titular de matemática da turma em questão.
Essa opção foi sugerida pela coordenação do Ensino Fundamental da escola, que aprovou
previamente o projeto. Segundo ela, por se tratar de crianças, a possibilidade da realização de
atividades em horários extraclasses poderia comprometer a participação de todos os estudantes
da turma, visto que nem todos teriam disponibilidade de comparecer no colégio no horário da
tarde. Nesse sentido, trabalhamos de modo que o desenvolvimento da proposta não afetasse o
desenvolvimento dos temas previstos no currículo anual da série.
Assim definido, nossa primeira preocupação foi obter a aprovação do projeto de
pesquisa pelo Comitê de Ética em Pesquisa da Universidade Federal de Ouro Preto. Após
consegui-la, convidamos os alunos e seus responsáveis a participar da pesquisa.
Apresentamos, em linhas gerais, a proposta de ensino (características, justificativa, duração,
61
natureza das atividades) e os instrumentos de coletas de dados utilizados.
Depois, entregamos as cartas convites e os termos de consentimento livre e
esclarecido que foram entregues a cada um dos alunos e direcionados a seus responsáveis, a
fim de obtermos uma autorização formal para a realização do trabalho. Tentamos deixar claro
por meio de tais instrumentos que os alunos não eram obrigados a participar da pesquisa, e que
eles poderiam, inclusive, deixar de participar em qualquer momento, sem que houvesse
prejuízo para os mesmos e que sua participação no projeto não teria ônus algum para as
famílias ou para a escola, de modo que não haveria prejuízos ou constrangimentos a nenhum
dos participantes (ver modelos no Apêndice A, página 212).
Outro ponto destacado foi que a identificação dos participantes do estudo seria feita
através de nomes fictícios, a fim de garantir total sigilo dos depoentes e de suas opiniões e de
forma a preservar a privacidade dos alunos.
Com a autorização de todos os alunos e de seus pais em mãos, demos inícios às
atividades, que foram realizadas normalmente com toda a classe.
3.2.1. Dinâmica dos encontros
Iniciamos o trabalho com a aplicação de uma atividade de sondagem inicial, cuja
finalidade foi verificar quais são as noções pré-algébricas dos alunos, quais os embasamentos
que já trazem de suas experiências, como são suas habilidades para percepção de padrões,
capacidade de generalizações e interpretação e resolução de problemas. Tal instrumento teve
como função definir uma referência do estágio inicial de conhecimentos dos alunos e também
servir de base para a construção de atividades dentro da proposta de ensino.
Em seguida, a partir dos resultados observados na sondagem inicial, aprimoramos a
proposta e a desenvolvemos44 conforme síntese apresentada na tabela a seguir:
44
Cada aula conta como um horário de 50 minutos.
62
Datas
20/04
04, 11 e 16/05
Número de aulas
1
3
Atividades
Sondagem Inicial
1ª Atividade: O segredo dos quadrados dos palitos de
fósforos
25 e 31/06
2
2ª Atividade: Sequência de triângulos de canudinhos
16/06
1
3ª Atividade: Cubos enfileirados
28 e 29/06
2
4ª Atividade: Lembretes
05 e 06/07
2
5ª Atividade: Mesas enfileiradas no aniversário de
Poliana
12 e 13/07
2
6ª Atividade: Caminha no pátio
30/08
1
7ª Atividade: Sequência de Círculos
Tabela 1: Cronograma das atividades desenvolvidas.
Os alunos trabalharam individualmente, em duplas ou em trios, de acordo com o
número de alunos presentes e a especificidade de cada atividade.
Optamos por desenvolver algumas das atividades com os alunos organizados em
duplas ou trios por acreditarmos que essa forma de trabalho favorece o surgimento de
discussões acerca da atividade abordada, o levantamento de conjecturas, a verificação da
veracidade de hipóteses levantadas, dentre outros, de forma que ocorra colaboração e parceria
entre os alunos envolvidos, um favorecendo à aprendizagem do outro, ainda que
inconscientemente.
Além de auxiliar no processo de aprendizagem, inicialmente pensamos também
que esse tipo de trabalho poderia favorecer na coleta de dados, visto que as falas decorrentes
dessas discussões poderiam se constituir em uma fonte rica para tentarmos compreender como
se dá o desenvolvimento do pensamento algébrico deles.
3.2.2. Coleta de dados
Durante os encontros, foram realizadas entre os alunos e a professora/pesquisadora
pequenas conversas ou ‘conversas matemáticas’ com o objetivo de entender como os alunos
pensam e constroem o conhecimento algébrico, além de observar mudanças de argumentos
usados pelos estudantes para a resolução das atividades no decorrer da pesquisa.
Além disso, a fim de termos acesso ao comportamento, às falas e aos gestos dos
alunos, principalmente durante as discussões com a professora/pesquisadora, todas as aulas
63
foram gravadas em áudio e vídeo. Paralelamente, foi elaborado, após o final de cada aula, um
diário de campo detalhado sobre o decorrer do trabalho em classe, onde buscamos descrever e
registrar informações que acreditamos que seria de vital importância para obter respostas às
nossas indagações. Contamos também com os registros produzidos pelos alunos ao longo das
atividades.
Nessa perspectiva, uma das maiores dificuldades encontradas pela pesquisadora
refere-se aos dois papeis – professora e pesquisadora – desempenhados e suas distintas
exigências.
Nesse caso, considerando a opção pela abordagem qualitativa, ampliam-se as
dificuldades. Ou seja, além das dificuldades inerentes à pesquisa sobre a própria prática
enfrentam-se aquelas próprias da abordagem escolhida, pois, como afirma Gunther (2006), na
pesquisa qualitativa, constata-se um envolvimento emocional do pesquisador com seu tema de
investigação, o que pode, se não for bem trabalhado, comprometer a coleta e análise dos
dados. Assim, não permitir que a ansiedade no desenvolvimento das atividades atrapalhasse a
evolução natural dos alunos constituiu-se um grande desafio.
Por outro lado, a qualidade da coleta de dados depende da sensibilidade do
pesquisador, visto que ele está diretamente envolvido com o contexto e com os participntes e é
o responsável por organizar e guiar o desenrolar de cada episódio na pesquisa de campo.
Dessa forma, se por um lado, não há meios de anular as inter-relações sociais que influenciam
o pesquisador e o objeto pesquisado uma vez que os valores e a subjetividade são intrínsecos
aos seres intimamente conectados aos objetos da vida humana, por outro, para se compreender
profundamente um evento existe a necessidade de interação com ele (QUEIROZ, 2006).
Para que o leitor compreenda o processo vivido em campo, parte dos encontros e
dos dados coletados durante a pesquisa foram organizados e cuidadosamente descritos, para
uma possível análise.
Segue, então, no próximo capítulo, a descrição do desenvolvimento da proposta de
ensino.
64
CAPÍTULO 4: O DESENVOLVIMENTO DA PROPOSTA DE ENSINO
No presente capítulo, apresentamos uma descrição do processo vivenciado junto
aos alunos. Optamos por apresentar as tarefas propostas, encontro a encontro, para possibilitar
ao leitor uma imersão no ambiente de sala de aula no qual se deu o trabalho.
4.1. Sondagem inicial
A sondagem inicial contemplou a elaboração e aplicação de um teste diagnóstico
com o intuito de perceber se os alunos tinham alguma familiaridade com a linguagem
algébrica e se eram capazes, antes de nossa intervenção, de desenvolver o pensamento
algébrico a partir de atividades envolvendo a percepção e generalização de sequências –
geométricas ou numéricas -, no sentido de perceber uma regra que lhes permitisse encontrar
qualquer termo das sequências dadas.
Além das questões envolvendo linguagem algébrica e desenvolvimento do
pensamento algébrico, abordamos também questões relativas à habilidade dos alunos em
interpretação do enunciado de um problema ou de uma sentença escrita na linguagem natural e
a mudança de representação desses enunciados para a linguagem matemática, tanto aritmética
quanto algébrica.
Vale ressaltar que tal atividade contou com questões simples, nas quais não
buscamos ou esperamos a manifestação de um pensamento algébrico avançado ou de uma
linguagem algébrica padrão nas respostas dos alunos. O que pretendemos foi verificar se eles
alcançavam de forma independente um nível de transição de pensamento aritmético para o
algébrico e verificar quais as possíveis dificuldades que poderiam surgir durante o
desenvolvimento das demais atividades da pesquisa, de acordo com os principais entraves na
iniciação à Álgebra apontados anteriormente.
Tendo em vista todos esses quesitos, a atividade de sondagem foi devidamente
elaborada (ver atividade completa no Apêndice C, página 220) e aplicada no quinto horário de
aula – 50 minutos – de uma quarta-feira, dia 20 de abril de 2011. Nesta data, a turma contava
com 19 alunos regularmente matriculados, mas apenas 16 resolveram a atividade, visto que os
alunos A4, A17 e A19 não estavam presentes.
De modo geral, a turma apresentou dificuldade e estranheza nas questões que
65
envolviam sequências (principalmente na primeira questão), demonstrando pouca ou nenhuma
habilidade na percepção de regularidade e realização de generalizações.
As questões que envolviam a linguagem algébrica também foram fontes de
confusões e erros. Apenas quatro alunos mostraram que já haviam tido contato com tal
linguagem.
Dessa forma, de acordo com os resultados observados na sondagem inicial,
concluímos que a maioria dos alunos tem pouca ou quase nenhuma vivência no estudo de
objetos e conceitos algébricos. Mesmo aqueles alunos que mostraram melhor desempenho,
apresentaram conhecimento superficial e pouco desenvolvido.
Em vista disso, a partir das leituras e discussões sobre pensamento algébrico e do
resultado da sondagem inicial – que nos mostrou que os estudantes em questão não tinham
experiências com atividades que possibilitam o desenvolvimento do pensamento algébrico –
concluímos que o melhor caminho para iniciarmos nossos alunos no estudo da Álgebra seria a
utilização de tarefas que envolvessem sequências e padrões.
Segundo Pimentel (2005, p. 14), ‘o uso de padrões é uma componente poderosa da
actividade matemática, uma vez que a sua procura é indispensável para conjecturar e
generalizar’. Ainda de acordo com a autora,
A procura e identificação de padrões utilizam e enfatizam a exploração,
investigação, conjectura e prova, desafiando os alunos a recorrer às suas
destrezas de pensamento e ordem superior: fazem parte da resolução de
problemas. Por outro lado, quer os padrões quer a resolução de problemas
são atividades que os estudantes acham interessantes e desafiadoras (p. 15).
Nesse sentido, tendo em vista que as tarefas que abordam a exploração de padrões
envolvem a análise de casos particulares, a organização de informação de forma sistemática, o
estabelecimento de conjecturas e a generalização de resultados, Barbosa, Vale e Palhares
(2008) também enfatizam sua contribuição para a destreza dos alunos em processos de
resolução de problemas.
Segundo o Principles and Standards for School Mathematics (NCTM, 2000), ‘os
padrões constituem a base do pensamento algébrico e a sua exploração envolve os alunos na
identificação de relações e no estabelecimento de generalizações, propondo como objectivo
para todos os níveis de ensino o conhecimento de padrões, funções e relações
(BARBOSA,VALE E PALHARES, 2008, p.3).
66
De acordo com tais autores, vários matemáticos partilham a ideia de que o
aprofundamento na identificação de regularidades e o processo de generalização é parte
fundamental no aprendizado da Matemática. E, como citado no capítulo 2 da presente
dissertação, considerando que esse processo é um dos elementos caracterizadores do
pensamento algébrico (FIORENTINI, MIORIM e MIGUEL, 1993 e PONTE 2005), o estudo
de padrões está cada vez mais frequente em abordagens sobre o estudo da Álgebra.
Barbosa, Vale e Palhares (2008), em sua investigação sobre os processos de
pensamento envolvidos na generalização de padrões, apresentaram categorias estabelecidas
por Stacey (1989) quanto a abordagens utilizadas por alunos com idade entre 9 e 13 anos nesse
tipo de tarefa. De acordo com tal autor, as estratégias verificadas foram: contagem, diferença,
whole-object e linear.
Na contagem, os alunos totalizavam o número de elementos de um desenho.
A estratégia da diferença envolvia a utilização de um múltiplo da diferença
entre termos consecutivos. Os alunos que aplicaram a estratégia whole-object
consideravam múltiplos de um dado termo da sequência para determinar
elementos de ordem superior, assumindo implicitamente que o problema
representaria uma situação de proporcionalidade directa. A estratégia linear
envolvia a descoberta de um modelo do tipo an+b (BARBOSA, VALE E
PALHARES, 2008, p. 3).
Segundo os autores, um número significativo de alunos utiliza erradamente a
estratégia da proporcionalidade direta e frequentemente são notadas inconsistências nos
métodos utilizados em tarefas que envolvem generalizações próximas (termos em posições
iniciais da sequência) e generalizações distantes (termos em posições avançadas na
sequência).
Dessa forma, percebemos a importância de se elaborar uma proposta de ensino que
abranja as diversas formas de trabalho com a exploração de padrões e construção de
generalizações.
Em vista disso, elaboramos tarefas voltadas para os seguintes propósitos:

descobrir o padrão de uma sequência;

descrever o padrão oralmente e por escrito;

continuar uma sequência;

encontrar uma regra que permita descobrir termos em posições específicas avançadas
na sequência;
67

generalizar a regra encontrada para qualquer termos da sequência;

escrever a regra encontrada utilizando uma linguagem simbólica específica, se
possível, a linguagem algébrica.
Destacamos aqui que consideramos as particularidades de cada estudante e
reconhecemos as dificuldades que a maioria apresenta, além de que, como afirma Radford
(2011), nem toda atividade de padrão leva, necessariamente, ao pensamento algébrico. O que
realmente almejamos é observar como se dá esse desenvolvimento, de forma a criar estratégias
para aprimorar nosso trabalho em sala de aula e proporcionar a outros professores e
pesquisadores oportunidades de entender um pouco mais sobre educação algébrica.
De acordo com essas considerações, elaboramos e aplicamos a primeira atividade
que será detalhada a seguir.
4.2. Tarefa I: Descobrindo o segredo dos quadrados de palitos de fósforos!
A primeira tarefa do projeto, intitulada “Descobrindo o segredo dos palitos de
fósforos!”, foi trabalhada em três aulas de 50 minutos ministradas em dias seguidos.
No primeiro encontro, que aconteceu na última aula (quinto horário) de uma
quarta-feira, dia 04 de maio de 2011, foi entregue o material impresso (Apêndice D, página
224) em que os alunos deveriam realizar e fazer o registro escrito de algumas tarefas.
Nesse sentido, o trabalho girou em torno da construção e exploração de uma
sequência de quadrados, conforme detalhado abaixo:
68
Descobrindo o segredo dos quadrados de palitos de fósforos!
Cada dupla recebeu uma caixinha com 10 palitos de fósforos. Utilizando esses palitos, construam sequências de
quadrados, seguindo as orientações.
Tarefa 1. Construam sobre a mesa um quadrado cujo lado meça um palito:
Tarefa 2. Agora, sem desmanchar o quadrado anterior, construam dois quadrados, como indicado abaixo.
Tarefa 3. Novamente, sem desmanchar os quadrados já montados, construam mais um quadrado como mostra a
figura abaixo:
Os resultados da sondagem reorientaram as atividades iniciais. Decidimos propor
tarefas simples e, gradualmente, introduzir as noções de padrão e sequência. Dessa forma,
propusemos como primeira tarefa a sequência de quadrados descrita, por envolver um padrão
simples, construído com o apoio de material manipulativo.
Pedi45 à turma que se organizasse em duplas ou trios, de modo a favorecer a troca
de experiências e a comunicação matemática.
A constituição dos grupos aconteceu de modo livre: os próprios alunos definiam
com quem gostariam de trabalhar – ver grupos formados em Apêndice B, página 214. Porém,
combinei que, caso os grupos não trabalhassem bem (seguindo as regras para o trabalho), eles
seriam refeitos e definidos pela professora/pesquisadora.
Apesar de termos depositado algumas expectativas com relação ao trabalho em
grupo, no sentido coletar dados para nossa pesquisa, isso acabou por ser prejudicado, visto que
45
Os episódios vivenciados em sala de aula serão narrados na primeira pessoa do singular, visto que apenas uma
das pesquisadoras esteve em campo.
69
o áudio do vídeo gravado no dia em que os alunos desenvolveram essa primeira atividade
escrita ficou pouco nítido, e apenas uma pesquisadora estava presente em sala durante o
desenvolvimento das tarefas, sendo impossível colher todos os dados.
Em vista disso, depois de termos em mãos as atividades escritas desenvolvidas
pelos alunos, pensamos que seria interessante conseguir uma forma de fazer com que os
grupos explicassem suas respostas. Nesse sentido, na aula seguinte, dia 09 (segunda-feira), no
segundo horário da manhã, levei para a sala de aula transparências e canetinhas para que os
alunos preparassem uma apresentação a ser realizada com o auxílio do retroprojetor, na qual
eles deveriam expor suas principais descobertas acerca da sequência de quadrados trabalhada.
Inicialmente, os grupos ficaram com dúvidas sobre o que deveriam escrever para
apresentar. Conversando com cada um deles, esclareci que seria interessante se eles
encontrassem uma forma de explicar a regra descoberta sobre como estão sendo construídos
os quadrados e como proceder para calcular o número de palitos necessários para construir um
número determinado de quadrados.
De modo geral, os alunos adoraram a tarefa – que para eles era uma novidade – de
escrever nas transparências. Porém, ir à frente e falar para os colegas mostrou-se um problema
e apenas a dupla 4 e os trios 1 e 2 dispuseram-se a fazer suas apresentações para a turma, na
manhã de segunda-feira no dia 16 de maio de 2011. Apesar de os outros grupos não terem
apresentado, houve participação durante a exposição dos colegas.
As apresentações aconteceram no segundo horário (50 minutos) de aula da turma,
na manhã de segunda-feira do dia 16 de maio de 2011 (ver apresentações nos Apêndices E a
K, páginas 228 a 236).
O primeiro grupo a apresentar a atividade foi o trio 3. Como a aluna A1 não estava
presente, apenas a aluna A2 e o aluno A4 fizeram a apresentação.
Primeiramente, A4 explica a regularidade percebida na sequência, destacando que
para formar o primeiro quadrado são necessários 4 palitos e para construir os quadrados
subsequentes são necessários apenas 3 palitos.
Em seguida, busquei entender por que eles haviam escrito na transparência que
para construir 50 quadrados são necessários 106 palitos, conforme trecho da transparência:
70
Imagem 1: Trecho transparência do trio 3.
Nesse sentido, perguntei:
P: Vamos tentar descobrir?A gente tá querendo entender... Que segredo que foi que eles usaram aqui,
de 50 quadrados para encontrar para encontrar 106 palitos... o que será?
A4: Adicionar os 56 palitos ao número de quadrados...
P: 56 palitos ao número de quadrados?
A4: Por exemplo, 50 quadrados. A metade de 100 é 50... Então a metade de 100 a gente já tem aqui
(apontando para o número 50 na imagem da transparência refletida no quadro branco)... é uma noção
dos quadrados já... aí a gente adicionou mais 56 e deu 106... Isso mostra a eficiência do nosso
sistema. E esse exemplo mostra a eficiência do padrão.
As alunas A6 e A15 e o aluno A10 já haviam percebido que a resposta apresentada
por A4 estava incorreta e se mostraram ansiosos para falar. Dessa forma, pedi que a dupla 4 –
composta pelas alunas A6 e A15 – apresentasse sua transparência.
De maneira análoga ao grupo anterior, tal dupla iniciou explicando a regularidade
da sequência:
A15: A gente percebeu, assim, que pra fazer 1 quadrado precisa de 4 palitos... pra ir pro segundo...
dois em diante, é... soma 3 palitos..
Em seguida, pedi que as alunas explicassem por que elas haviam discordado da
resposta apresentada pelo trio 3, relativa à construção de 50 quadrados. A aluna A6 explica
como elas haviam encontrado 151 palitos como resposta e eu esclareço a estratégia adotada
por elas junto à turma:
P: Então olha o que elas fizeram: elas descobriram a quantidade de palitos que eram necessários para
construir 15 quadrados, no item anterior, né? Vocês descobriram que para 15 quadradinhos (escrevo
no quadro “15 quadrados”)...
A6: Isso... eu tinha 46 palitos.
P: 46 palitos (escrevendo no quadro 46 palitos). E como vocês descobriram isso aqui?
71
A6: A gente pegou o problema anterior...
P: E foi fazendo...
A6: É...
P: Então até aqui (apontando para o quadro onde estava escrito “15 quadrados → 46 palitos”) vocês
sabiam que eram 46 palitos, não é isso? Depois, pra ir construindo mais quadrados vocês viram que
era só ir acrescentando de 3 em 3. Então vocês pegaram a quantidade de quadrados que faltavam, que
era 35, e multiplicou por 3, achando 105. Muito bem! Mais os 46 palitos que são dos 15 quadrados!
Dessa forma, foi finalizada a apresentação da dupla 4, e o trio 1 pediu para
apresentar, juntamente com a aluna A346.
A aluna A16, timidamente, falando baixo e olhando para a imagem da
transparência refletida no quadro, inicia:
A16: A gente descobriu que com 16 palitos, a gente consegue construir 5 quadrados. Então...
Ao perceber que na transparência das alunas havia a figura com 5 quadrados (ver
Apêndice I, página 233), perguntei-lhes:
P: Vocês descobriram fazendo a figura?
As alunas A3 e A7 tentam explicar falando ao mesmo tempo:
A3: Fazendo a conta e fazendo o desenho...
A7: A gente colocou 16 palitos... colocando 16 palitos... a gente colocou 4, 3, 3 (apontando para a
figura que estava na transparência)... a gente colocou 4... 4 palitos em cada quadrado...
A aluna explicou de uma forma um pouco confusa a formação da sequência.
Primeiramente, a partir da fala “a gente colocou 4, 3, 3...”, ela mostrou a quantidade de palitos
necessários para formar os três primeiros quadrados, apresentando indícios de que havia
percebido a regularidade da sequência. Em seguida, ela afirmou que colocou 4 palitos em cada
quadrado, o que também não está correto, visto que se consideramos cada quadrado
separadamente, fora da sequência, verifica-se a presença de 4 palitos.
Porém, os alunos A6, A7 e A12 não entendem essa última fala da aluna A7 e
começam a falar ao mesmo tempo, tentando explicar que no primeiro quadrado são 4 palitos,
46
A aluna A3 faltou no dia em que aplicamos a atividade escrita, mas participou da atividade de elaboração das
transparências e apresentação juntamente com o trio 1.
72
mas nos seguintes são apenas 3. Então, a aluna A7 concorda:
A7: é... a gente foi adicionando mais 3.
P: O que mais? E a tabela? Vocês montaram ela como? Fazendo os desenhos ou como?
A13: Não... a gente olhou pela questão anterior, porque a gente viu que pra 1 quadrado a gente
precisa de 4 palitos, aí a gente colocou mais 3...
Nesse trecho, percebemos que as alunas haviam apreendido a regularidade da
sequência. Porém, elas usaram um procedimento errôneo para encontrar o número de palitos
necessários para construir 15 quadrados, conforme mostra o diálogo abaixo:
P: E na letra ‘e’? Por que com 47 palitos podemos construir 15 quadrados?
A16: Porque a gente viu na letra ‘d’ que dá para construir com 31 palitos, 10 quadrados. Somamos
com mais 5 e deu 37...
P: Mas por que com mais 5?
A aluna A7 tenta explicar, mas se confunde nos cálculos e prefere voltar ao seu
lugar. Neste momento da filmagem, os alunos fazem muito barulho e não temos um áudio
muito claro. Porém, entendemos a aluna A13 explicando que para fazer 10 quadrados são
necessários 31 palitos. Mas, como o desejado era obter 15 quadrados, elas recorreram à tabela
e viram que para construir 5 quadrados eram necessários 16 palitos. Portanto, foi só somar 31
com 16 para obter o resultado almejado. Neste momento, percebendo o erro das alunas, chamo
a atenção para um detalhe:
P: Vamos pensar uma coisa: se eu tenho 10 quadrados formados, pra fazer mais cinco quadrados, eu
preciso de mais quantos palitos? Não é só ir acrescentando de 3 em 3? Vocês não descobriram isso?
A7: Sim!
P: Então, quando vocês já tem 10 quadrados formados, pra fazer mais 5 quadrados, de quantos
palitinhos a gente vai precisar?
A7: 10 mais 5... 15! 15 palitinhos!
P: Por que 15?
A7: Porque 10 mais 5 é 15!
A6: Não, porque 3 vezes 5 é quinze!
P: Isso! Porque, olha só... a gente já tem 10 quadrados formados, não é? Igual aqui, olha (apontando
para a figura com 10 quadrados na imagem produzida na transparência do grupo)... Não são 10?
73
A7: Sim!
Na sequência, dirijo-me para a imagem projetada no quadro e aponto para o final
da figura com 10 quadrados, conforme mostra a imagem abaixo:
Imagem 2: Registro em transparência trio 1.
Então, prossigo:
P: Para formar mais um quadrado, eu preciso de quantos?
A12: Mais 3!
E fazendo gestos como o dedo direito como se estivesse encaixando 3 palitos ao
final da figura com 10 quadrados, eu mostro:
P: 1, 2, 3! E mais um (quadrado) aqui e eu vou ter: 1, 2, 3! Então vão ser 6 palitos! Depois mais 1, 2,
3... 6, 9! Depois 1, 2, 3, vão ser? 12! Depois 1, 2, 3, vão ser? 15!
Durante toda a fala, os gestos de ir encaixando 3 palitos ao final da figura
estiveram presentes e a maioria dos alunos acompanhou atentamente. Eu continuei a fim de
mostrar às alunas que a resposta correta era diferente da que elas haviam encontrado:
P: Então 31 mais 15 vai ser?
A6: 46!
P: Por que será que vocês encontraram 47? Por que ficou com 1 a mais?
A aluna A13 explica que ela, juntamente com suas colegas do grupo, havia pegado
o valor da tabela para cinco quadrados, e, por isso, não deu certo.
O horário de aula já estava no final e não pudemos prosseguir a discussão. Apesar
de nem todos os grupos terem apresentado suas transparências, o que também acabaria por ser
inviável devido ao pouco tempo que tínhamos para desenvolver cada atividade da pesquisa,
74
consideramos muito válidas as discussões geradas a partir das apresentações dos trios 1 e 3 e
da dupla 4.
Em vista da pouca experiência dos alunos com atividades de sequência e padrões,
as discussões ficaram mais voltadas para a forma como os alunos perceberam a regularidade
envolvida na sequência e como eles usaram essa regularidade para descobrir o número de
palitos necessários para construir quantidades cada vez maiores de quadrados. Não entramos
na questão da indeterminação e quantidades “quaisquer” de quadrados, visto que as discussões
acerca da formação da sequência levaram muito tempo.
De modo geral, os alunos gostaram e se envolveram na atividade, mas vale
destacar alguns pontos que consideramos negativos. O primeiro diz respeito à quantidade de
questões na atividade escrita, que ficou muito extensa. Durante sua aplicação, percebemos que
os alunos começaram a atividade empolgados, mas depois, nas últimas questões, já estavam
cansados e desanimados e não se empenharam como desejamos. O segundo refere-se à
quantidade de aulas trabalhando na mesma atividade. Ao todo, foram três horários de 50
minutos, que, mesmo divididos em três dias diferentes, mostrou-se cansativo para os alunos.
4.2: Tarefa II: Triângulos com canudos
A segunda tarefa trabalhada no projeto foi iniciada no último horário de aula da
turma (50 minutos), na manhã do dia 25 de maio de 2011 e finalizada, também no último
horário, na manhã do dia 31 de maio de 2011.
Os alunos foram organizados em duplas (Apêndice B, página 219) e receberam
canudos e a seguinte tarefa:
75
Nossa tarefa de hoje consiste em construir uma sequência de triângulos com a utilização de
canudinhos. As medidas dos lados desses triângulos dependerão da quantidade de canudinhos que
utilizarmos para construí-los. Vejamos:
1) Construam o primeiro triângulo da sequência utilizando apenas 3 canudinhos, como mostra a
figura abaixo.
Neste caso, para construir cada lado do triângulo foi necessário apenas 1 canudinho.
2) Agora, construam o segundo triângulo da sequência utilizando 6 canudinhos, de modo que
para construir cada lado do triângulo vocês utilizem 2 canudinhos.
3) Construam o terceiro triângulo da sequência utilizando 9 canudinhos, de modo que para
construir cada lado doFigura
triângulo
vocês utilizem
3 canudinhos.
8: Atividades
propostas
na tarefa II.
Essa tarefa, simples, constituída por triângulos equiláteros cujos perímetros
formam a sequência numérica dos números naturais múltiplos de 3 (conteúdo já estudado
pelos alunos), foi escolhida com a intenção de levar os alunos a perceberem o padrão e
completarem a sequência. Desejávamos que eles descobrissem uma relação entre a posição de
cada triângulo na sequência e o número de canudos necessários para sua construção.
Decidimos reduzir a quantidade de questões, porém sem deixar de aprofundar na
exploração da percepção da regularidade presente na sequência e na formulação de uma regra
válida para o cálculo do número de canudos de acordo com a posição que o triângulo ocupa na
sequência.
Inicialmente, cada dupla recebeu 18 canudos de plástico. Para facilitar a confecção
dos triângulos, optamos por adotar o modelo de canudo que apresenta um tipo de mola em
uma de suas extremidades (imagem 3), de modo que não houvesse dificuldade na construção
dos vértices de cada triângulo. Sugerimos que os alunos encaixassem os canudos uns nos
outros de forma que as molas ficassem nas extremidades, constituindo os vértices dos
triângulos, conforme abaixo:
76
Imagem 3: Modelo de canudo utilizado na confecção dos triângulos.
Imagem 4: Sugestão de encaixe dos canudos para montagem dos triângulos.
De modo geral, as duplas apresentaram dificuldades para confeccionar os
triângulos, principalmente no que tange ao encaixe dos canudos. Em vista disso, precisamos
auxiliá-los mais do que planejávamos inicialmente. As fotos a seguir ilustram o trabalho dos
alunos:
77
Imagem 5: Alunos encaixando canudos para confecção dos triângulos.
Imagem 6: Alunos mostrando um triângulo construído com 9 canudos.
Depois de seguirem as instruções escritas e propostas no decorrer da aula e
construírem os triângulos, os alunos deveriam completar as sentenças abaixo:
78
a) Para construir o primeiro triângulo utilizamos ____ canudos, pois cada lado desse triângulo é igual
a ____ canudo.
b) Para construir o segundo triângulo utilizamos ____ canudos, pois cada lado desse triângulo é igual
a ____ canudos.
c) Para construir o terceiro triângulo utilizamos ____ canudos, pois cada lado desse triângulo é igual a
____ canudos.
O objetivo de tais itens foi auxiliar os alunos a perceber a gênese da sequência
trabalhada, ou seja, para formar o primeiro triângulo são necessários três canudos e, para cada
triângulo subsequente, necessitamos sempre de três canudos a mais do que o número de
canudos utilizados para construir o triângulo na posição imediatamente anterior. De forma
mais clara, como veremos adiante, muitas vezes os próprios alunos argumentam que o número
de canudos necessários para construir cada triângulo na sequência constitui-se como uma
sequência numérica que “vai de 3 em 3”.
Nesse sentido, tratou-se de uma questão simples que poderia ser respondida a partir
da contagem dos canudos necessários para construir cada triângulo. Assim, da dupla 1 à dupla
7, todas completaram corretamente as frases. As duplas 8 e 9 aparentemente se equivocaram
por falta de atenção. A primeira, em parte do item b, afirma: ‘Para construir o segundo
triângulo utilizamos 6 canudos, pois cada lado desse triângulo é igual a 3 canudos’. E a dupla
9 completou incorretamente o item ‘c’, registrando que ‘para construir o terceiro triângulo
utilizamos 6 canudos, pois cada lado desse triângulo é igual a 2 canudos’.
A seguir, solicitei que os alunos respondessem a algumas questões sem o auxílio
dos canudos – ver atividade completa no Apêndice L, página 237. As respostas serão
discutidas no próximo capítulo.
Verificamos que as duplas trabalharam de maneira independente, e que houve um
avanço em relação ao trabalho com sequências e padrões, tanto na questão da percepção de
uma regularidade, quanto no entendimento do que estava sendo solicitado em cada questão e
organização do raciocínio para apresentação de suas respostas. Contudo, nos pareceu que as
tarefas haviam sido muito direcionadas (oralmente, mas, principalmente, pelas orientações
escritas entregues aos alunos). Isso poderia ter limitado a expressão dos alunos. Por exemplo,
as linhas contínuas inseridas nas respostas das questões 1 a 4 podem ter limitado o registro à
forma de linguagem corrente, não deixando espaço para outras formas de manifestação do
pensamento, como o desenho, por exemplo. Tais reflexões orientaram algumas alterações na
proposição da atividade seguinte.
79
4.3. Tarefa III: Cubos enfileirados
A tarefa intitulada “cubos enfileirados” foi trabalhada no primeiro horário de aula
da turma (50 minutos), na manhã do dia 15 de junho de 2011 – quinta-feira47.
Nessa atividade, ao contrário das anteriores, não distribuí orientações, propus uma
discussão coletiva acerca de uma tarefa. Enfileirei cubos em uma mesa igual à dos alunos em
um dos cantos da sala, um a um, e pedi aos alunos que investigassem quantas faces ficariam
expostas, ou seja, quantas faces não estariam voltadas para o chão nem para a parede. Dessa
forma, primeiramente, coloquei o primeiro cubo e contei o número de faces expostas. Em
seguida, coloquei o segundo cubo, encostado no primeiro, e observamos o número de faces
expostas. Seguindo adiante, enfileirei o terceiro cubo e repetimos o procedimento:
Figura 5: Três cubos enfileirados no canto da sala. Fonte: Grecco (2008, p. 69).
O principal objetivo dessa tarefa era que os alunos encontrassem uma regra ou uma
fórmula geral para calcular o número de faces expostas em função do número de cubos
enfileirados.
Portanto, disponibilizei 5 cubos iguais, construídos com dobradura. A ideia inicial
era ir adicionando um cubo de cada vez, para que os alunos fossem contando o número de
faces expostas e, gradativamente, percebessem a regularidade envolvida, ou seja, em cada um
dos cubos enfileirados, observamos duas faces expostas (uma voltada para cima e a outra
voltada para frente), com exceção do último cubo, no qual teremos três faces expostas.
47
Não estavam presentes os alunos A1, A5 e A19. A aluna A5 havia pedido transferência da escola na qual as
tarefas foram realizadas.
80
Na escolha dessa sequência, a disposição espacial de seus elementos é um
importante aliado na percepção de uma regularidade e na elaboração de uma fórmula para o
cálculo do número de faces expostas em função do número de cubos enfileirados. Além disso,
o trabalho com tal sequência permitiu-nos realizar uma dinâmica diferente da realizada até o
momento.
Assim, com a atividade planejada, cheguei à sala de aula, e no canto direito da sala,
na frente das carteiras dos alunos, arranjei uma mesinha igual à dos estudantes para que eu
pudesse ir enfileirando os cubos, de forma a ficar visível para toda a turma. Decidi
desenvolver a atividade sobre a mesa, pois, se fosse diretamente sobre o chão, dificultaria que
todos acompanhassem e a coleta dos dados para a pesquisa.
Dessa forma, iniciei a atividade colocando um cubo sobre a mesa, de forma que
três de suas faces ficassem escondidas: duas ficassem encostadas em cada uma das paredes e
outra ficasse apoiada na mesa, como na figura:
Figura 6: Um cubo sobre a mesa.
Concomitante a essa ação, perguntei quantas faces haveria expostas. Antes que eu
finalizasse a pergunta, alguns alunos começaram a dar palpites quanto à resposta correta:
A12: 2!
A7 e A12: 2! 2!
A4 e A6: 3!
Depois de deixar que os alunos apresentassem suas respostas, prossegui contando o
número de faces que havia expostas no cubo que estava sobre a mesa.
81
Em seguida, pergunto, antes de adicionar o segundo cubo, apontando para a face
exposta da esquerda do cubo que já estava sobre a mesa:
P: Se eu colocar mais um cubinho aqui, eu vou...
Novamente, antes que eu finalizasse a pergunta, os alunos A10 e A12
interromperam-me e iniciaram uma discussão a respeito da quantidade de faces expostas que
teríamos no caso de dois cubos enfileirados. O aluno A12 defendeu a ideia de que seriam 6
faces expostas, enquanto o aluno A10 dizia que seriam 5.
A turma toda, de modo geral, acompanhou atentamente e de maneira bem
silenciosa a discussão dos alunos A10 e A12. Não interferi e deixei que eles fizessem suas
deduções antes de acrescentar o segundo cubo. Depois de finalizada a discussão (detalhada no
próximo capítulo), prossegui perguntando a toda a turma:
P: Vamos ver? 5 ou 6?
A7: 3... não! 4! Não! 5! Tá certo! Vai ser 5!
A10: 5, véi!
Neste momento, pego um cubo e convido os alunos a verificar quantas faces
ficariam expostas com dois cubos enfileirados:
P: Vamos pensar? Vamos experimentar? (Acrescentando o segundo cubo ao lado do primeiro). Se eu
colocar mais 1 cubo, o que acontece?
Enquanto falo e acrescento o cubo, os alunos A10 e A7 continuam afirmando que
serão cinco faces expostas. Depois que os dois cubos já estão enfileirados (Figura 7), eles
apontam e contam em voz alta o número de faces expostas:
A10 e A7: 1, 2, 3, 4, 5!
82
Figura 7: Dois cubos enfileirados sobre a mesa.
Em seguida, dei continuidade à discussão, de forma a instigar os alunos a
perceberem uma regra para o cálculo do número de faces expostas em função do número de
cubos enfileirados:
P: Eu quero perceber se vai existir um padrão nisso aqui...
A7: Como assim?
A6: Eu acho que vai...
P: ... com certeza... com certeza... de cada um desses cubinho que eu enfileiro, quantas faces que eu
tenho expostas?
A partir de tal pergunta, eu tentava induzir a turma a perceber que em cada cubo
enfileirado tínhamos sempre duas faces expostas, visto que eu considerava que se os alunos
percebessem tal fato, ficaria mais fácil encontrar uma regra para o cálculo do número de faces
expostas em função do número de cubos enfileirados.
Prosseguindo a atividade, antes de acrescentar o terceiro cubo aos dois que já
estavam enfileirados sobre a mesa, convidei os alunos a pensarem no número de faces
expostas que teríamos nessa situação. A aluna A6 apresentou a resposta correta – 7 faces
expostas – e nós a confirmamos adicionando o terceiro cubo e fazendo a contagem.
Continuei apontando para os cubos enfileirados, a fim de que os alunos
percebessem a regularidade:
P: Eu posso pensar, então, olha só: se eu enfileiro 3 cubinhos, cada um desses 3 sempre não vai ter 2
faces expostas?
83
A7: Aham...
A4: Ou 3!
P: Com a que tá aqui do ladinho (apontando para a face exposta da esquerda do último cubo)... eu
também posso pensar nessa regra?
A7: Pode!
P: Então, pra 3 cubos...
A7: Vai ser 7 faces.
P: Serão 7...
A7: Faces.
P: 7 faces.
Neste momento, volto ao quadro para continuar completando a relação entre o
número de cubos e o número de faces expostas que eu havia começado a escrever, ficando
registrado:
1 cubo → 3 faces
2 cubos → 5 faces
3 cubos → 7 faces
Ao acabar de completar essa escrita no quadro, voltei-me para os alunos com a
pergunta:
P: E pra 4 cubos?
A4, A6 e A18 : 9, 9 faces!
P: 9 faces...
E continuo registrando no quadro:
1 cubo → 3 faces
2 cubos → 5 faces
3 cubos → 7 faces
4 cubos → 9 faces
E logo pergunto:
84
P: Por quê?
A6: É só adicionar 2.
A7: É...
Novamente, volto à mesa com os cubos enfileirados e explico aos alunos porque
aumentava de 2 em 2.
P: Porque essa aqui (apontando para a face da esquerda) que fica exposta ela é constante. Essa aqui
não sempre vai ficar exposta? Quando eu aumento um cubinho, então, eu estou aumentando só essas
duas faces? (Apontando para a face voltada para cima e a face voltada para frente). Olha só, tira esse
(retirando o terceiro cubo que estava enfileirado). Eu tinha quantas (faces): 1, 2, 3, 4, 5! (Faço a
contagem das faces, apontando-as com o dedo indicados direito). Essa aqui (apontando para a face da
esquerda do segundo cubo) vai continuar aqui (apontando para a face da esquerda do terceiro cubo),
não vai? Na hora que eu encaixo? E vão aumentar só essas 2. (Apontando para a face voltada para
cima e a face voltada para frente do terceiro cubo a ser enfileirado). Então, vão aumentar só essas 2?
(...)
A7: Eu entendi!
P: Então, se eu colocar mais um cubo aqui (juntamente com os 3 que já estavam enfileirados)...
A7: Vai... Vai continuar aparecendo as duas faces (apontando para o terceiro cubo enfileirado), mas
não a face dele, a face do outro (que será acrescentado).
P: Isso... Vai aparecer... Essa aqui vai continuar, né? (Apontando para a face esquerda do terceiro
cubo). E vai aumentar só a de cima e a que está de frente pra vocês? Sim?
A7: Porque essa face aí (apontando novamente para o terceiro cubo) vai ser tampada pela outra
(apontando para o cubo que seria acrescentado e que estava sobre a mesa do professor).
P: Muito bem, ela vai ser tampada. Mas, aí vem outra que vai compensar ela, não vai?
A7: Claro, claro!
P: Então, vão ser quantos? Se eu tiver...
Acrescentei o quarto cubo aos anteriores. Ressaltei que em cada um desses quatro
cubos, temos duas faces expostas (a de cima e a de frente para os alunos), além da face da
esquerda do último cubo. Depois, perguntei:
P: E se fosse 5 cubos, então?
A7: 5 cubos?
A4: 11!
85
Percebi que eles encontraram esse último resultado usando a relação que eu havia
escrito no quadro. Para que eles encontrassem outra estratégia de cálculo, diferente de ir
acrescentando 2, pedi que eles encontrassem o número de faces expostas para 10 cubos
enfileirados.
Assim, enquanto A7 e A6 tentavam fazer cálculos e os demais alunos estavam
parados olhando para mim, o aluno A4 responde de imediato, em tom alto, que seriam 22
faces, pois bastava tomar o número de faces expostas para o caso de 5 cubos enfileirados e
multiplicar por 2.
Retomando a exemplos dos cubos enfileirados sobre a mesa, mostrei que o
número de faces expostas no caso de quatro cubos enfileirados não é exatamente igual ao
dobro do número de faces expostas no caso de dois cubos enfileirados, pois é preciso subtrair
uma face correspondente àquela que será tampada.
Em seguida, o aluno A10 apresenta a resposta correta – 21 faces expostas – e
justifica que foi contando de 2 em 2.
A fim de que os alunos construíssem estratégias diferentes daquela de ir somando
de 2 em 2, pedi a eles que encontrassem o número de faces expostas para o caso de 17 cubos
enfileirados
O aluno A10 diz a gíria ‘marca aí!’, pedindo que eu esperasse um tempo para que
ele fizesse os cálculos. Os alunos A4 e A7 também pedem para esperar. O aluno A14 começa
a fazer registros em seu caderno. Eles pensam e, 15 segundo depois, a aluna A15 pergunta se
seriam 35 faces expostas.
Antes que ela explicasse sua resposta, os alunos A4 e A10 começam a dar seus
palpites ao mesmo tempo. O aluno A10 continua com o argumento de que bastava ir somando
de 2 em 2 e o aluno A4 diz que se deve somar, sem especificar que soma seria.
Diante da confusão, eu retomo o controle e explico à turma por que a resposta
correta era 35 faces expostas, de forma a mostrar aos alunos que uma possível regra para o
cálculo do número de faces expostas em função do número de cubos enfileirados seria tomar o
número de cubos, multiplicar por 2 e ao resultado adicionar 1.
De modo geral, os alunos compreenderam a explicação. Apenas a aluna A7
demonstrou dificuldade de entender. Dessa forma, voltamos ao exemplo dos cubos
enfileirados sobre a mesa para tentar esclarecer sua dúvida. Ao final, pergunto à classe:
86
P: Então a gente descobriu o segredo? Então agora eu posso perguntar pra vocês, se eu tiver 1000
cubos...
A12: Eu! Pode!
A7: Não, isso não!
P: 1000 cubos! A regra não vai ser a mesma?
A4: 201 cubos!
P: 201? Faces!
A4: É! Isso mesmo!
Visto que já havíamos gastado algum tempo com a discussão e que a maioria dos
alunos mostrou ter entendido a regularidade da sequência trabalhada, pedi à turma que se
organizasse em duplas (Apêndice B, página 219), a fim de que eles registrassem as nossas
“descobertas” acerca do número de faces em função do número de cubos enfileirados. A
princípio, eles reclamaram de ter que escrever, mas rapidamente se organizaram para cumprir
a tarefa.
Como eles estavam compenetrados e envolvidos durante a discussão, preferi não
interferir na formação das duplas e dar-lhes liberdade para trabalhar com quem preferissem,
por acreditar que, dessa forma, eles continuariam o trabalho com a mesma seriedade mostrada
até então.
Enquanto se organizavam, entreguei a cada dupla uma atividade impressa (ver
Apêndice M, página 239) em que, primeiramente, eles deveriam completar uma tabela, que
tinha por objetivo verificar se os alunos realmente haviam apreendido a regra para calcular o
número de faces em função do número de cubos dados. Apenas a dupla 4, formada pelas
alunas A3 e A7, completou a tabela com valores incorretos:
87
Imagem 7: Tabela e registros da dupla 4 na atividade II.
Percebemos que, na segunda coluna da tabela, do número de faces expostas
correspondentes a 1 cubo, até o número de faces expostas correspondentes a 15 cubos
enfileirados, as alunas foram completando com a sequência de números ímpares. Elas não
perceberam que, na primeira coluna da tabela, o número de cubos não era a sequência de
números naturais do 1 ao 6. Quanto ao número de faces expostas para 50 cubos enfileirados,
apesar de, ao lado da tabela, percebermos o registro do cálculo 2 x 50 = 100, na tabela, elas
completaram com o número 107, não nos permitindo conclusões.
Em seguida, eles responderam à segunda questão, em que deveriam expor sobre a
regra encontrada para o cálculo do número de faces expostas em função do número de cubos
enfileirados, que será detalhada no capítulo seguinte.
Os alunos gastaram cerca de 15 minutos para cumprir a tarefa escrita. Em seguida,
nos minutos restantes da aula, realizamos uma discussão sobre o tipo de linguagem que
estávamos utilizando para expressar a regra que havíamos encontrado.
Minha intenção foi instigar os alunos a criarem uma linguagem simbólica para
escrever a fórmula em que o número de faces expostas é igual ao número de cubos
enfileirados, mais um. Porém, eles apresentaram dificuldade e, quando pretendia continuar a
discussão, a fim de perceber se surgiriam letras para indicar a quantidade de cubos
enfileirados, o sinal anunciando o final da aula tocou.
Apesar de não ter prosseguido a discussão sobre a linguagem, consideramos que a
atividade toda, desde as discussões até os registros escritos dos alunos, foi muito rica. A
88
dinâmica da aula funcionou muito bem. E, embora não tenhamos conseguido a participação
efetiva de toda a turma, alguns alunos foram mais participativos que outros, percebemos que a
maioria acompanhou atenta a evolução da atividade, e não apresentou dificuldades para
realizar os registros escritos.
4.4. Tarefa IV: Lembretes
No dia 28 de junho, terça-feira, chegamos à classe no quinto horário (último
horário da manhã) para iniciar o trabalho e os alunos estavam extremamente agitados. Ao
perceberem que tínhamos uma câmera e que eles seriam filmados, ficaram animados48.
A tarefa em questão envolvia a organização de um painel com lembretes
confeccionados pelos alunos, seguindo um padrão.
Figura 8: Exemplo de 3 lembretes no painel. Fonte: Barbosa,Vale e Palhares (2008).
O principal objetivo dessa tarefa era que os alunos percebessem uma regularidade
na quantidade de ímãs necessários para afixar um número dado de lembretes – seguindo a
disposição mostrada na figura 8, encontrassem uma regra geral que relacionasse essas duas
grandezas – o número de ímãs e a quantidade de bilhetes afixados –, e, por fim, observar de
que forma eles expressariam essa regra geral encontrada.
Dessa forma, a escolha de tal sequência49, assim como na tarefa anterior, esteve
48
49
Os alunos A1 e A19, mais uma vez, estavam ausentes.
A ideia do trabalho com tal sequência veio da leitura de um trabalho de Barbosa, Vale e Palhares (2008), os
quais a exploraram junto a um grupo de alunos componentes de três turmas do 6º ano de escolaridade de três
89
vinculada ao fato de que a disposição espacial de seus elementos constitui importante
instrumento a ser considerado e o modo como vai sendo obtido cada termo, acrescentando-se
os lembretes um a um, que envolve um processo interessante para a percepção de uma
regularidade.
Além disso, consideramos a possibilidade de os alunos trabalharem, mais uma vez,
com material manipulável, simulando a confecção de seus próprios painéis com lembretes,
como veremos adiante.
Ao iniciar a tarefa, comentei com a turma que eu gostaria que cada aluno
confeccionasse seus lembretes e tivesse seu próprio painel de metal para afixá-los. Porém,
como não tinha sido possível disponibilizar um painel para cada aluno, usaríamos folhas de
papel A4 e colas em alto relevo coloridas. Dessa forma, cada folha de papel A4 representaria
um painel e os pingos de cola coloridas, formando pontos sobre os lembretes, representariam
os ímãs.
Em seguida, mostrando a eles uma folha com um lembrete afixado, como mostra a
figura 9, comentei:
P: O meu primeiro lembrete, olha só... Meu lembrete de terça-feira, eu coloquei que eu queria fazer o
que? A atividade do 6º dos lembretes com vocês! Esse era o meu primeiro lembrete.
Figura 9: Exemplo de um lembrete afixado no painel.
escolas diferentes em Portugal. Tal trabalho teve como foco principal investigar as estratégias dos alunos em
resolução de problemas que envolvem a descoberta de padrões, bem como as principais dificuldades e erros que
emergem desse processo.
90
Os alunos prestavam atenção e alguns deram risada. Em seguida, eu perguntei a
eles quantos pingos de cola (ímãs) haviam sido necessários para afixar esse primeiro lembrete.
Os alunos A7 e A12 rapidamente apresentaram a resposta correta e, antes que eu terminasse de
perguntar o número de ímãs que seriam necessários para afixar o segundo lembrete, os alunos
A10 e A11 deram seus palpites:
A10: 8!
A11: 8!
Em seguida, mostramos outra folha, com dois lembretes afixados:
P: ... olha só, vamos pensar? Primeiro lembrete: terça-feira atividade do 6º ano com lembretes...
A12: 5!
P: Quarta-feira, eu lembrei que eu tinha dentista...
O aluno A12, olhando para a folha em minha mão, disse em tom moderado,
enquanto eu explicava:
A12: Ah não, são 6!
P: ... pensei: vou colocar outro lembrete que eu tenho dentista amanhã às 2 horas da tarde também.
A17: São 7.
A14: São 7, tá certo
Os alunos A17 e A14 proferiram tais falas entre eles em tom baixo. Eu prossigo:
P: De quantos pinguinhos de cola eu precisaria?
A7: 6!
A10 e A14: 7!
P: 1, 2, 3... 4, 5, 6... 7!
Em seguida, esclareço por que não são 8 pontinhos:
P: Eu não preciso colar a pontinha aqui de baixo... (apontando para a ponta do primeiro lembrete que
fica escondida de baixo do segundo) ... do rosa... (o primeiro lembrete do exemplo era feito com papel
cor de rosa)... concordam? Basta eu colar o amarelinho (o segundo lembrete era feito com papel
amarelo) aqui (apontando para a ponta do segundo lembrete que está sobre a ponta do primeiro
91
lembrete), né? Então pra cada lembretizinho, eu coloco 3 pinguinhos de cola e como eu não quero
essa pontinha final aqui solta (mostrando a ponta que está indicada com o número 7 na figura 24), eu
ponho um pinguinho de cola aqui também! Então, pra 2 lembretes eu gastei 7 pinguinhos de cola.
Enquanto eu explicava, os alunos estavam em silêncio e prestavam atenção. Então,
continuei com a exposição:
P: E se eu quisesse acrescentar mais um lembrete?
A7: Você...você...
P: Coloquei mais 1! Quinta-feira: aniversário da minha mãe.
Antes que eu mostrasse o exemplo com 3 lembretes, que já estava em minha mão,
os alunos começaram a falar a quantidade de pontinhos de cola – ou ímãs – que seriam
necessários para afixar tais lembretes.
A10: 10!
A14: 10! 10!
A6: 10!
Em seguida, pedi aos alunos que explicassem o porquê de suas respostas e encerrei
a discussão dizendo que eles iriam fazer um ‘painel’ com 4 lembretes afixados. Preferi não
continuar a explanação e não comentar sobre a regularidade envolvida nessa sequência, a fim
de que os próprios estudantes chegassem às conclusões desejadas. Dessa forma, entreguei a
cada um uma folha de papel A4 colorida – os alunos escolheram entre a cor amarela, azul,
branca ou cor-de-rosa –, 4 pedaços de papel, também coloridos, cortados na forma de
retângulo para escreverem os lembretes, e tubos de colas coloridas para fazerem os pontinhos
simulando os ímãs em cada um dos lembretes.
Todos adoraram a ideia de confeccionar seus próprios lembretes e ficaram muito
empolgados. Entretanto, inicialmente, eles não sabiam o que escrever. Eu disse a eles para
escreverem qualquer coisa que quisessem se lembrar nos próximos dias e expliquei que era
importante que pensassem na relação entre o número de pinguinhos de cola e a quantidade de
lembretes que seria afixada, para que, no dia seguinte, eles pudessem responder à atividade
escrita.
Porém, durante a tarefa, a preocupação dos estudantes ficou voltada para a questão
92
estética dos ‘murais’. Eles quiseram produzir trabalhos bonitos e enfeitados, o que acabou por
prejudicar uma das principais características da sequência de lembretes afixados, a disposição
destes e dos ímãs – pinguinhos de cola – no ‘mural’. Como exemplo, cito os trabalhos do
aluno A10, que colocou vários pinguinhos de cola em volta de cada lembrete, e da aluna A2,
que contornou os lembretes com um risco de cola, deixando os pontinhos pouco definidos.
Imagem 8: Sequência de lembretes do aluno A10.
93
Imagem 9: Sequência de lembretes da aluna A2.
Conversei com ambos sobre essa questão. O aluno A10 argumentou que os
pontinhos que representavam os ímãs eram os vermelhos e os demais eram verdes. A aluna A2
comentou que, mesmo sem os pontinhos definidos, ela sabia onde eles estavam e me mostrou,
corretamente, contando e apontando para o seu trabalho os pontos em que os ímãs deveriam
estar em cada um dos lembretes. Vale destacar que no trabalho de tal aluna, no canto esquerdo
– onde na imagem 9 está indicado com a seta –, ela escreveu: “4 lembretes → 13 pontinhos”.
Apesar de tais imprevistos, os alunos, agitados, finalizaram o trabalho. Apenas a
aluna A3 não conseguiu terminar a tempo. Então deixei que ela levasse os materiais para
terminar em casa, para que no dia seguinte todos pudessem cumprir a tarefa escrita.
Dessa forma, no dia 29, quarta-feira, encontrei-me com a turma novamente no 5º
horário da manhã50 e recordei com os alunos sobre o trabalho desenvolvido no dia anterior.
Comentei sobre o número de ímãs necessários para afixar um, dois e três lembretes. De modo
geral, todos participaram da discussão.
Em seguida, perguntei-lhes se haviam descoberto um padrão e uma regra para
calcular o número de ímãs necessários para afixar qualquer quantidade de lembretes. O aluno
50
Apenas a aluna A1 estava ausente.
94
A2 comentou que já sabia e que “vai de 3 em 3”. As alunas A6 e A15 comentaram que
também já haviam descoberto uma regra. Neste momento, preferi não prosseguir a discussão,
a fim de que eles registrassem as regras encontradas sem minha interferência. Dessa forma,
pedi que eles se reunissem em duplas (Apêndice B, página 219) para que eu pudesse distribuir
as questões para serem respondidas. Como o aluno A19, que havia faltado no dia anterior,
estava presente, pedi a ele que realizasse o trabalho com dois colegas.
Depois de organizados, os grupos receberam a atividade escrita (Apêndice N,
página 240) que contou com apenas duas questões. Optamos, novamente, por adotar um
número menor de itens, visto que as atividades muito extensas aplicadas anteriormente foram
consideradas exaustivas pelos alunos. Portanto, preferimos explorar mais as discussões
coletivas e deixar para os registros escritos apenas o que consideramos essencial para nossa
pesquisa.
Nesse sentido, entendemos que seria interessante investigar se os alunos haviam
encontrado uma regra para calcular o número de ímãs necessários para uma quantidade
qualquer de lembretes e de que forma eles expressariam essa regra – caso tivessem-na
encontrado – usando apenas a linguagem simbólica.
Portanto, as questões propostas foram as seguintes:
Questão 1) Seguindo a mesma lógica observada em nossa discussão, escrevam, da forma que
vocês preferirem, como podemos calcular o número de ímãs necessários para afixar um
número qualquer de lembretes no mural.
Questão 2) Se fosse pedido a vocês para representar a descoberta do item anterior utilizando
apenas linguagem simbólica (símbolos e operações matemáticas), de que modo vocês o
fariam?
Como os alunos já haviam realizado as outras atividades do projeto, as questões
não geraram dúvidas, nem estranheza. Porém, a dupla 6 não realizou a atividade, visto que
seus integrantes brigaram em sala e pedi a eles que se retirassem para conversar com a
coordenadora do Ensino Fundamental do colégio.
Na primeira questão, gostaríamos de verificar se os grupos haviam conseguido
construir uma possível regra/fórmula para o cálculo do número de ímãs em função da
quantidade de lembretes afixados no painel, e que regra ou fórmula seria.
95
A segunda questão foi elaborada com o intuito de averiguar de que forma aqueles
grupos que construíram uma regra na primeira questão iriam expressá-la, utilizando apenas a
linguagem simbólica.
As respostas apresentadas pelos grupos estão organizadas e detalhadas no capítulo
seguinte.
Considerando que os alunos trabalharam com maior autonomia, acreditamos que os
resultados apresentados foram bons e nos permitiram concluir que houve considerável
evolução dos alunos no que diz respeito à percepção da regularidade e formação de regras ou
fórmulas para cálculos de termos em posições avançadas na sequência trabalhada.
4.5. Tarefa V: Mesas enfileiradas no aniversário de Poliana
A atividade “Mesas enfileiradas no aniversário de Poliana” foi trabalhada com a
turma no dia 05 de julho de 2011, no 5º horário de aula da manhã.
O desenvolvimento da tarefa contou com o estudo e análise de uma sequência de
figuras que representam mesas e cadeiras em determinado ambiente, de forma que as cadeiras
estão dispostas ao redor das mesas segundo um padrão, conforme indicado na figura abaixo:
Figura 10: Sequência de mesas e cadeiras. Fonte: Matemática em Cena, 8º ano do Ensino Fundamental, página
57.
Portanto, nosso objetivo ao elaborar e aplicar tal atividade foi que os alunos
percebessem o padrão envolvido em tal sequência, encontrassem um regra geral que
relacionasse o número de mesas enfileiradas e o número de cadeiras ao redor de tais mesas e,
por fim, expressassem tal regra utilizando a linguagem simbólica. Vale ressaltar que, neste
momento, buscamos maior enfoque para o surgimento e desenvolvimento da linguagem
algébrica padrão, visto que os resultados das atividades anteriores mostraram que a turma já
estava criando familiaridade com o trabalho envolvendo sequências e padrões.
Em busca de maior envolvimento dos alunos, para o estudo de tal sequência de
mesas e cadeiras, criamos uma história que foi contada em sala de aula em uma apresentação
96
de slides com a utilização de Data Show, visto que em experiências anteriores – alheias ao
trabalho de campo do mestrado – os alunos disseram adorar as aulas com o auxílio de tal
recurso.
Nesse sentido, decidimos trabalhar com essa sequência tendo em vista a
possibilidade da criação de um contexto para abordá-la junto aos alunos. Acreditamos que tal
abordagem seria um diferencial em relação às demais atividades trabalhadas até o momento,
fato que poderia estimular ainda mais a participação da turma.
Assim, além da disposição espacial dos elementos da sequência a ser trabalhada, os
alunos teriam o modo contextual em que a sequência estava sendo formada como mais um
aliado na percepção de uma regularidade e formulação de uma regra para o cálculo do número
de cadeiras disponíveis em função do número de mesas enfileiradas.
Resolvemos desenvolver a aula novamente a partir de uma exposição e discussão
coletiva, em que, aos poucos, apresentaríamos a sequência aos alunos, instigando-os a
perceber uma regularidade e encontrar uma regra geral relacionada à sequência em questão,
para, em seguida, expressarem tal regra utilizando a linguagem simbólica.
Seguindo tais considerações, no dia 05 de julho, terça-feira, cheguei à sala da turma
e, primeiramente, expliquei que, antes do registro escrito, eu gostaria que eles prestassem
bastante atenção na história que eu ia lhes contar. Os alunos estavam silenciosos e quietos e o
aluno A12 ficou encarregado de auxiliar-me na passagem dos slides. Dessa forma, iniciei a
exposição, fazendo a leitura em voz alta do primeiro slide e, na sequência, apresentando o
segundo slide:
Figura 11: Primeiro slide apresentado à turma.
97
Figura 12: Segundo slide apresentado à turma.
Eu explico aos alunos o significado da figura do segundo slide, em que o retângulo
maior representa a mesa e os quatro retângulos menores, colocados em cada um dos lados do
retângulo maior, representam as cadeiras em volta da mesa.
Em seguida, iniciei a leitura do terceiro slide:
Figura 13: Terceiro slide apresentado à turma.
Finalizada a leitura do slide, inicio uma discussão relacionada ao número de
cadeiras disponíveis e o número de pessoas presentes na festa. Houve confusão, visto que
alguns alunos estavam com a ideia de que, acrescentando uma mesa enfileirada com a
primeira, aumentaria para três o número de cadeiras disponíveis. Depois de explicar aos
alunos por que não havia aumentado 3 lugares, mas somente 2, com o auxílio de uma caneta
que emite uma luz de laser, apontei para cada uma das cadeiras da imagem do terceiro slide,
seguindo a ordem indicada na figura 14, e fiz a contagem:
P: 1, 2, 3, 4, 5, 6!
98
Figura 14: Ordem de contagem das cadeiras.
Depois de concluirmos que à medida que acrescentávamos uma mesa,
aumentavam-se dois lugares disponíveis, seguimos adiante com a leitura do quarto slide:
Figura 15: Quarto slide apresentado à turma.
Antes que eu finalizasse a leitura, o aluno A12 falou:
A12: Aumentou 4!
P: Aí, aumentou quantos lugares?
A12 e A17: 4! (Indicando o número quatro com as respectivas mãos direitas).
P: Aumentou 4?
A4: 2!
A6: 2!
P: Ah, do início...
A12: É!
P: ...aumentaram 4 lugares! Mas, em relação à passada...
A12: São 2.
99
A10: 2.
P: ...que tinha 6 pessoas, só aumentaram 2.
A12: (Apontando para a imagem das 3 mesas) A cadeira que ‘tava’ ali no meiozinho (indicando a
junção da segunda com a terceira mesa) passou pra lá! (Apontando para o final da figura, indicando a
ponta da terceira mesa).
P: A que ‘tava’ aqui (apontando com o laser a junção da segunda com a terceira mesa) passou pra cá
(apontando com o laser para o final da figura, indicando a cadeira que estava na ponta da terceira
mesa), não é isso?
A7: É!
P: Então aumentaram quais lugares?
A12: 2!
P: Esse... (Apontando com o laser para a cadeira de cima da terceira mesa).
A12: E o de baixo!
P: ...e esse! (Apontando com o laser para a cadeira de baixo da terceira mesa). Certo?
Continuo a aula, fazendo a leitura do quinto slide:
Figura 16: Quinto slide apresentado à turma
Em seguida, passamos para o sexto slide, em que proponho aos alunos
completarmos juntos a tabela:
100
Figura 17: Sexto slide apresentado à turma.
O aluno A12, que já estava auxiliando na passagem dos slides, ficou responsável
de ir digitando os valores na tabela, à medida que a discussão avançasse. Dessa forma,
começamos:
P: Se eu tiver 2 mesas, quantos lugares...
Turma: 6!
P: ...quantas pessoas?
A10: Coloca 6 aí, A12!
P: Como que a gente descobriu? Contando, olhando, não é? E se forem 3 mesas enfileiradas, quantos
lugares?
A6, A7, A10 e A12: 9! 9!
P: 9?
A6: 8!
A10: 8! 8! Aumenta 2!
P: Vamos ver?
Em vista da dúvida surgida, pedi ao aluno A12 que retornasse ao quarto slide – no
qual havia a figura com 3 mesas enfileiradas – para verificarmos se seriam 8 ou 9 lugares no
caso de 3 mesas enfileiradas. Enquanto o aluno A12 procurava o slide, o aluno A10 continua
afirmando que a resposta correta era 8, visto que aumentava 2, e os alunos A4 e A6
101
concordando.
Exposto o quarto slide, eu retomo, apontando para a figura com 3 mesas
enfileiradas:
P: Olha, 3 mesas, quantos lugares?
A4: 8!
A10: 8! Aumenta 2!
Depois da verificação, retornamos à tabela para registrar o valor encontrado para 3
mesas e continuar com os valores seguintes. Nesse sentido, depois de completar com o número
12, a tabela ficou preenchida da seguinte forma:
Figura 18: Tabela preenchida até o número de 5 mesas enfileiradas.
Em vista disso, observando a sequência de números da coluna direita da tabela, os
alunos A4, A6 e A10 começaram a gritar que o próximo número que deveríamos acrescentar
era o 14. Eu chamo a atenção para a sequência numérica da coluna esquerda, destacando que,
depois do 5, tínhamos o número 8.
O aluno A10, agitado em sua cadeira, pede para esperar para que ele pensasse. Eu
permaneço calada, esperando que eles chegassem a uma conclusão, e alguns alunos continuam
tentando outros valores:
A14: É 14!
102
A3: 19?
A6: 18!
A12: É 14, porque aumenta 2!
Logo depois de proferir essa fala, o aluno A12 levanta-se da cadeira gritando e a
aluna A6 chama a atenção para os valores na coluna esquerda da tabela:
A4: Ah não!
A6: Gente, é de 5 pra 8!
Neste momento, o aluno A12 senta-se e o aluno A10 levanta-se, pulando e gritando
o valor correto (18 lugares disponíveis). Ele argumenta que encontrou a resposta contando (de
2 em 2) e a aluna A6 utiliza uma estratégia diferente que ela explica para toda a turma:
A6: De 5 pra 8, tem 3...
P: Você vai aumentar 3 mesas...
A6: É... aí... e aumentando essas 3 mesas, vai aumentar 6 cadeiras.
Terminada a explicação, rapidamente lanço a pergunta sobre 10 mesas enfileiradas,
a qual os alunos A10 e A3 respondem corretamente.
Dessa forma, completamos toda a tabela do sexto slide. Antes que os alunos se
dispersassem, perguntei se alguém já havia encontrado uma regra para o cálculo do número de
lugares disponíveis, caso tivéssemos um número grande de mesas enfileiradas. O aluno A4,
antes que eu concluísse minha fala, levanta-se e apresenta a regra em que o número de
cadeiras disponíveis é igual ao número de mesas vezes dois, mais dois. Eu explico a regra
apresentada por A4 para toda a turma:
P: Porque, aqui, olha (apontando o laser para a figura com 3 mesas do quarto slide que estava na tela):
em cada mesa não são 2 lugares?
A12: São!
P: Esse (apontando o laser para a cadeira situada acima da primeira mesa) e esse (apontando o laser
para a cadeira situada abaixo da primeira mesa)! Esse (apontando o laser para a cadeira situada acima
da segunda mesa) e esse (apontando o laser para a cadeira situada abaixo da segunda mesa)! Esse
(apontando o laser para a cadeira situada acima da terceira mesa) e esse (apontando o laser para a
cadeira situada abaixo da terceira mesa)! Então, se eu tiver várias mesas enfileiradas, em cada uma
103
delas vai ter 2 lugares! Só que ainda tem os 2 lugares das ‘cabeceiras’.
A4: Aí soma 2.
P: Então soma 2! Então a regra vai ser o que? O número de mesas...
A6: Vezes 2 mais 2.
P: Isso! Os dois lugares das cabeceiras! É isso? Todo mundo ‘tá’ de acordo?
Os alunos responderam positivamente. Portanto, finalizada a discussão, mais uma
vez pedi a eles que se organizassem em duplas (Apêndice B, página 219). Sempre os deixava à
vontade para escolher com quem gostariam de trabalhar, mas pedia que, se possível, eles
mantivessem os grupos organizados nas atividades anteriores.
Depois da turma organizada, entreguei a cada grupo uma apostila (ver Apêndice O,
página 241), na qual havia toda a história contada anteriormente com o auxílio dos slides,
inclusive com a mesma tabela que havíamos completado durante a discussão, para que cada
grupo completasse-a novamente. Além do conteúdo exposto nos slides, havia também quatro
questões, as quais descreveremos com detalhes adiante.
A primeira questão na sequência da tabela foi a seguinte:
Ao acrescentar uma mesa, quantas pessoas, além das que já se encontram sentadas, podem se
sentar? Explique como vocês chegaram a essa conclusão.
O propósito dessa questão era averiguar se os alunos haviam percebido a
regularidade da sequência numérica correspondente ao número de lugares disponíveis à
medida que aumentávamos o número de mesas enfileiradas. A maioria dos grupos demonstrou
ter compreendido a regularidade envolvida na sequência – ao acrescentar uma mesa,
aumentamos dois lugares disponíveis. Mais detalhes sobre as respostas apresentadas pelos
alunos, com as respectivas justificativas, são apresentados no próximo capítulo.
Mas adiantamos que a maioria dos grupos apreendeu a regularidade envolvida na
sequência – acrescentada 1 mesa, aumentamos 2 lugares disponíveis.
Na segunda questão, que envolve a ideia de equação, fornecemos o número de
lugares disponíveis e pedimos ao aluno para encontrar o número de mesas enfileiradas,
conforme o enunciado:
Quantas mesas o garçom da festa de Poliana precisaria enfileirar para acomodar seus 52
colegas? Como vocês descobriram?
Entretanto, os alunos apresentaram dificuldades em tal questão. Segue a tabela com
104
as respostas e justificativas dos grupos:
Duplas
Respostas apresentadas
Justificativas
Dupla 1
Dupla 2
Dupla 3
Dupla 4
Dupla 5
Dupla 6
Trio 1
Figura 48
23
26 mesas
23 mesas
23 mesas
Sem resposta.
25 mesas
Não apresentou justificativa.
“Contando nos dedos”
“Fazendo 52:2 que deu 26”
“10 x 2 + 8”
“Nós descobrimos fazendo a
tabela”
Tabela 2: Respostas dos grupos à segunda questão da tarefa V escrita.
A dupla 6 deixou a questão sem reposta e, novamente, a dupla 1 apresentou uma
figura, representada abaixo, e, como podemos perceber, ao lado de tal figura havia vários
cálculos.
Imagem 10: Registro dupla 1 na segunda questão da tarefa IV escrita.
Seguindo adiante, os alunos deveriam responder à terceira questão, cujo enunciado
era o seguinte:
E se na festa de Poliana tiver 100 mesas enfileiradas, quantos amigos poderão se sentar?
Mostrem como vocês descobriram o resultado.
Tal questão nos permitiu avaliar que conhecimentos foram mobilizados pelos
grupos – se foram capazes de encontrar a regra discutida coletivamente, se descobririam outra
regra ou traçaram um caminho diferente.
Conferindo as repostas dos alunos, verificamos que 5 grupos apresentaram a
resposta correta e apenas 2 erraram, como mostra a tabela abaixo:
105
Duplas
Dupla 1
Dupla 2
Dupla 3
Dupla 4
Dupla 5
Dupla 6
Trio 1
202
202
202
202
202
44
122
Justificativas
“100 x 2 + 2”
“100 x 2 = 200 + 2 = 202”
“Fazendo 100 x 2 + 2 = 202”
“100 x 2 + 2”
Não apresentou justificativa
Tabela 3: Respostas dos grupos à terceira questão da tarefa V escrita.
De acordo com a tabela, as quatro primeiras duplas fizeram uso da regra
encontrada de maneira correta. A dupla 5 apresentou a resposta correta, porém sem
justificativa, não nos permitindo afirmar que houve o emprego de alguma fórmula. E a dupla 6
e o trio 1 apresentaram respostas incorretas sem justificativa ou cálculo que nos possibilitasse
entender o raciocínio desenvolvido.
Chamamos a atenção para a justificativa apresentada pela dupla 2, em que
verificamos a incorreção da escrita “100 x 2 = 200 + 2 = 202” que nos leva a entender que 100
x 2 = 202.
Em seguida, os grupos deveriam resolver a quarta questão51, em que eles teriam
que lidar com um número qualquer de mesas, conforme o enunciado:
Imagine agora que o garçom enfileirou um número de mesas, mas você não sabe qual é.
Vamos chamar este valor desconhecido de
(crie dentro deste quadrinho um símbolo para
representar este valor). Escreva, usando símbolos matemáticos e o símbolo que você criou,
uma expressão que represente quantas pessoas poderiam se sentar nessas
mesas enfileiradas.
As respostas dos grupos para esta questão serão analisadas no próximo capítulo.
De modo geral, os alunos gostaram da tarefa e se envolveram em sua realização.
Embora a dinâmica da discussão coletiva tenha funcionado bem, consideramos que
não era necessário tê-la levado até a elaboração da regra para o cálculo do número de lugares
disponíveis em função do número de mesas enfileiradas. Entendemos que os alunos
alcançaram um grau de familiaridade com as tarefas envolvendo padrões e sequências que lhes
permitiria trabalhar de forma mais autônoma. Esse seria um modo de percebermos como cada
grupo lidaria com a sequência, com a percepção de uma regularidade e formulação de uma
regra.
51
Tal questão foi inspirada no proposto por Grecco (2008).
106
Em
vista
disso,
na
tarefa
seguinte
decidimos
trabalhar
com
uma
sequência utilizando uma dinâmica diferente.
4.6. Tarefa VI: Caminhada no pátio!
Nesta tarefa, os estudantes seriam convidados a ir até o pátio do colégio para
caminhar durante um minuto, contando o número de passos dados durante esse tempo. Em
seguida, supondo que continuassem a andar no mesmo ritmo, eles deveriam cumprir a tarefa
escrita que contou com uma tabela em que relacionamos o tempo de caminhada e o número de
passos. Além disso, algumas perguntas foram elaboradas com o intuito de que os
alunos escrevessem uma expressão simbólica, representando o número de passos em função
do tempo de caminhada.
A tarefa foi escolhida pelo fato de ela apresentar natureza diferente das demais,
visto que não tínhamos uma sequência de figuras em que a característica geométrica ou
disposição física dos termos poderia ser um importante aliado na descoberta da regularidade.
Neste caso, cada aluno teve apenas uma sequência numérica gerada a partir da relação entre o
número de passos dados e o número de minutos decorridos.
Essa atividade foi desenvolvida entre os dias 12 e 13 de julho de 2011, ambas no 5º
horário da manhã52.
Encontramos os alunos extremamente desorganizados e agitados. Algum tempo foi
necessário até que se acalmassem para iniciarmos o trabalho.
Primeiramente, ainda em sala, expliquei-lhes que iríamos para o pátio do colégio a
fim de colhermos alguns dados, para que, no dia seguinte, pudéssemos fazer a atividade em
questão. Como já era esperado, eles adoraram a ideia de trabalhar fora de sala. Pedimos que
todos saíssem calmamente e se sentassem no meio do pátio.
Uma vez sentados, explicamos a dinâmica: cada aluno levantaria, um por vez, e
caminharia dando voltas em torno do pátio e contando o número de passos durante um minuto.
Nós cronometraríamos o tempo, e avisaríamos, levantando o braço direito. A aluna A15 ficou
responsável por anotar o número de passos dados por cada um de seus colegas dentro do
tempo cronometrado.
Assim combinado, demos início ao trabalho que funcionou bem. Os alunos
52
As aulas do colégio em questão foram apenas até o dia 14 de julho, iniciando o recesso no dia 15.
107
gostaram muito da dinâmica. Aqueles que estavam sentados, enquanto era a vez de um dos
colegas caminhar, ajudavam-no a contar o número de passos dados.
Depois de aproximadamente 25 minutos, conseguimos finalizar o trabalho no pátio
e retornamos à sala. Os dados anotados por A15 foram registrados no quadro branco e os
alunos os anotaram em seus cadernos. Todos cumpriram a tarefa e, assim, finalizamos a aula.
No dia seguinte, como cada aluno dispunha dos dados necessários, a tarefa foi
realizada individualmente53.
Cada aluno recebeu a atividade escrita que deveria responder (ver Apêndice P,
página 244) e iniciou o trabalho.
A primeira tarefa era completar a tabela abaixo:
Tempo
(min)
Número de
Passos
1
2
3
4
...
Tabela 4: Questão da tarefa VI escrita.
Com exceção das alunas A13 e A18, a turma não apresentou dificuldades. Mais
detalhes sobre as respostas dos alunos serão apresentados no capítulo seguinte.
O aluno A12 perguntou o que significavam as reticências registradas na última
célula da primeira linha da tabela. Eu repeti a pergunta que ele fez a toda a turma, indagando
se algum aluno sabia explicar por que eu havia colocado reticências naquela célula. Como
ninguém se manifestou, eu expliquei que poderíamos dar continuidade ao número de minutos
– não necessariamente deveríamos parar nos 4 minutos – e encontrar o número de passos
correspondentes.
Em vista disso, os alunos A6, A11, A8, A9, A10, A14, A17 e A18 não deixaram a
última célula da segunda linha em branco. Os alunos A6, A11, A8, A9 e A10 completaram
com o valor de passos correspondente a 5 minutos. O aluno A17 completou com o símbolo do
infinito (∞) e a aluna A18 completou com o número 1776, resposta que explicaremos adiante.
Prosseguindo, os alunos deveriam responder do item ‘a’ ao ‘c’:
53
Apenas as alunas A1 e A15 não estavam presentes.
108
a) Quantos passos você dará se caminhar 10 min sem mudar o ritmo? Explique como
você descobriu.
b) E 25 minutos? Explique como você descobriu.
c) E 1 hora? Explique como você descobriu.
Abaixo, segue a tabela com as respostas dos alunos para os itens “a”, “b” e “c”:
Alunos
Respostas
Justificativa
A2, A3, A4, A6, A7, A8, A9, Apresentaram
respostas Justificaram com o seguinte
A10, A11, A12, A13 e A14
corretas.
cálculo: número de passos
dados em 1 minuto vezes o
número de minutos pedido na
questão.
A16
Apresentou
respostas “Descobri contando”
corretas.
A17
Apresentou
respostas A aluna tomou como
incorretas.
referência o valor registrado
na última célula da segunda
linha de sua tabela.
A18
Apresentou
respostas Sem justificativa.
corretas.
Tabela 5: Desempenho dos alunos para os itens “a”, “b” e “c” da tarefa VI.
Dessa forma, consideramos que o desempenho dos alunos em tais questões foi
satisfatório. Os alunos A4 e A6 terminaram rapidamente – em um intervalo de tempo
aproximado de 20 minutos. Já os demais alunos precisaram de um pouco mais de tempo.
Terminados os itens ‘a’, ‘b’ e ‘c’, os estudantes passaram para o item ‘d’, cujo
enunciado era o seguinte:
d) Dessa forma, sabendo o número de minutos de caminhada, como você faz para
descobrir o número de passos?
A pergunta gerou dúvidas e alguns alunos diziam que não entendiam “o que tinha
que fazer”. Em vista disso, expliquei para toda a turma:
P: Cada um aí sabe o número de passos que deu em 1 minuto.
A12: Sim!
P: Se eu peço para vocês calcularem o número de passos que vocês vão dar em um número qualquer
de minutos... em um tempo qualquer, como vocês vão fazer para calcular o número de passos?
A12: Uai...
P: Ó! Quando eu perguntei quantos passos vocês deram em 10 minutos, o que que vocês fizeram?
109
A12: A conta.
P: Qual conta?
A6: Multiplicando os nossos passos de 1 minuto por 10!
A12: A multiplicação... aí depois nós tínhamos que fazer divisão?
P: Pegou o número de passos e multiplicou por... 10! Quando eu perguntei em 25 minutos, vocês
pegaram o tempo e multiplicaram pelo número de passos. Não foi isso? Uma hora também foi. Pegou
o número de minutos e multiplicou pelo número de passos. Então, para descobrir o número de passos,
o que a gente sempre está fazendo?
Enquanto eu explicava, apenas os alunos A6 e A12 estavam atentos, os demais
estavam dispersos. Eu reforcei a pergunta:
P: Hein turma?
A14: Contando!
A12: Multiplicando!
P: Multiplicando o que pelo o que?
A14: O número de passos que a gente deu pelo número de minutos que...
P: Que foi dado. Então, como que faz para descobrir o número de passos, sabendo o número de
minutos? É isso que eu quero que vocês descubram.
A12: Uai...
A14: Pega o seu número de passos e multiplica vezes a quantia de minutos...
P: Então vamos responder à letra ‘d’?
Pedi, então, que a turma retomasse a atividade escrita, destacando a ideia de que,
para responder ao item ‘d’, cada um poderia usar o próprio número de passos para explicar.
Porém, devido ao pouco envolvimento da turma durante a discussão, 7 alunos –
A7, A6, A13, A16, A17 e A18 – não responderam a tal item. Dentre eles, destacamos a aluna
A6 que, apesar de ter apresentado bom desempenho nas atividades anteriores, deixou a
questão em branco.
Apenas os alunos A2, A3, A9, A10, A11, A12 e A14 responderam corretamente a
questão, utilizando a linguagem corrente, no sentido de que basta multiplicar o número de
passos pelo número de minutos.
Acreditamos que um dos motivos para tal resultado foi o fato de a atividade escrita
ter sido trabalhada no penúltimo dia de aula, antes do recesso de julho, que é um período em
110
que os alunos já estão ansiosos para o início das ‘férias’ e, portanto, comprometem-se menos
com os trabalhos.
Em vista disso, a turma levou praticamente toda a aula de 50 minutos para
responder do item ‘a’ ao ‘d’ e, assim, os planos de explorar um pouco mais a linguagem
simbólica tiveram que ser adiados para o mês de agosto, visto que não teríamos mais nenhum
encontro em julho.
Por conseguinte, finalizamos a tarefa no item ‘d’ e sem discussões acerca de uma
linguagem simbólica para representar o número de passos em função do número de minutos
decorridos.
Esse desfecho deixou a sensação de que, nessa tarefa, não houve avanço
significativo em relação ao que já havíamos desenvolvido nas tarefas anteriores, no sentido da
construção da linguagem simbólica e, mais especificamente, da linguagem algébrica.
Nesse sentido, pensamos que continuar o trabalho de campo depois do recesso de
julho seria interessante para prosseguir com o desenvolvimento da turma. Dessa forma, ao
final de agosto, aplicamos mais uma tarefa (Apêndice Q, página 245), que contou com a
exploração de uma sequência simples, somente para retomarmos o trabalho com os alunos.
De modo geral, como vinha ocorrendo, os alunos não apresentaram dificuldade na
percepção de uma regularidade na sequência trabalhada, e o aluno A10 rapidamente conseguiu
realizar uma generalização algébrica. Contudo, notamos novamente o uso predominante da
linguagem corrente para expressão das descobertas, em lugar da linguagem simbólica.
Apesar de nosso desejo em dar continuidade ao trabalho envolvendo o
desenvolvimento do pensamento algébrico e da linguagem simbólica, os compromissos
ligados ao cumprimento do currículo oficial do 6º ano54 e as obrigações escolares (avaliações,
trabalhos, entre outros) acabaram por impedir que continuássemos utilizando muito tempo do
horário regular das aulas para continuar aplicando as tarefas referentes ao projeto.
Assim, decidimos finalizar o trabalho de campo e não apresentar os dados dessa
última tarefa nesta dissertação, tendo em vista que ela ficou muito distante e desconectada das
demais, devido ao extenso intervalo de tempo decorrido, e em função da quantidade de dados
já levantados para análise.
54
Conteúdos relacionados nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática a serem trabalhados com os
alunos no 6º ano do Ensino Fundamental.
111
Assim, reservamos o próximo capítulo para analisar os dados à luz do referencial
teórico.
112
CAPÍTULO 5: ANÁLISE DE DADOS
Neste capítulo, analisamos o modo como os alunos envolveram-se nas tarefas, a
fim de verificar as diferentes estratégias adotadas na compreensão de padrões, percepção de
regularidades e realização de generalizações, rumo ao desenvolvimento do pensamento
algébrico.
Buscamos investigar também os recursos utilizados pelos estudantes nas primeiras
tentativas de expressar as descobertas realizadas acerca das sequências abordadas na
linguagem simbólica, especialmente no que diz respeito ao objeto indeterminado. Ressaltamos
que essa é apenas uma das formas possíveis de se analisar os dados e a que melhor se adaptou
aos nossos esforços de ‘ler’ o processo vivido à luz de nossos estudos teóricos, principalmente,
da teoria de Radford.
5.1. Tarefa I: Descobrindo o segredo dos quadrados de
Conforme detalhado no capítulo anterior, página 68 a página 79, tal tarefa contou
com a exploração de uma sequência de quadrados construídos com palitos de fósforos,
exemplificada na figura abaixo:
Figura 19: Parte da sequência trabalhada na tarefa I.
Nessa sequência, a turma trabalhou com um tipo de padrão que gera um modelo
matemático do tipo an + b, categorizado por Stacey (1989 apud BARBOSA, VALE e
PALHARES, 2008) como uma estratégia de generalização de padrão linear.
Os alunos trabalharam em duas etapas: primeiro responderam à tarefa escrita
(Apêndice D) e, em seguida, organizaram transparências (Apêndices E a K, páginas 228 e 236,
respectivamente) para apresentação de suas descobertas relativas à sequência trabalhada para
toda a turma.
Nas tarefas 3 e 4 (do item “a” ao item “e”), em que, de acordo com o proposto por
113
Barbosa, Vale e Palhares, foram propostos apenas problemas de generalização próxima, nossa
expectativa era de que os alunos trabalhassem em um grau elementar de generalização, no
qual a indeterminação ainda não seria abordada. De acordo com os níveis de generalidade
propostos por Radford (2011), tais tarefas consistiram apenas em encontrar o número de
palitos necessários para quantidades conhecidas de quadrados, não sendo demandada a criação
de uma estratégia mais ‘sofisticada’ de resolução.
Em vista disso, o trabalho girou em torno de se apreender um traço comum nos
termos dados da sequência, de forma que os alunos percebessem uma regularidade e fossem
capazes de entender que essa regularidade era extensiva a qualquer termo da sequência.
Portanto, de acordo com o proposto por Radford (2010a), nessas questões, tratamos apenas de
um processo de generalização aritmética, visto que era suficiente utilizar o processo de
contagem ou um pensamento recursivo, em que um termo poderia ser obtido a partir do termo
anterior a ele, realizando-se a diferença entre elementos consecutivos da sequência.
Dessa forma, as respostas sugeriram que eles compreenderam a gênese da
sequência em questão, visto que, do item “a” ao item “d” da Tarefa 3, os alunos apresentaram
respostas corretas, com exceção do trio 3 que, no item “c”, respondeu que precisaria de 4
palitos para construir mais um quadrado e justificou com a seguinte frase: ‘Nós descobrimos
isso contando os palitinhos’.
Na Tarefa 4, na qual os alunos deveriam encontrar o número de palitos necessários
para construir 5 quadradinhos e justificar sua resposta, todos os grupos55 responderam
corretamente o item “a”. As justificativas apresentadas estão organizadas na tabela abaixo:
Grupos
Trio 3
Dupla 1
Trio 2
Dupla 4
Dupla 2
Dupla 3
Trio 1
Justificativas apresentadas no item ‘b’ da Tarefa 4
“Contando”
“Observando a figura anterior e somando 3” (tais
grupos tomaram como referência a figura com 4
quadrados desenhada por eles anteriormente)
“É só colocar mais 6 palitinhos em forma de
ou isso
”
“Nós contamos quanto gasta para fazer 1”
Tabela 6: Respostas dos grupos para o item “b” da Tarefa 4.
55
A lista dos grupos formados encontra-se no apêndice B, página 219.
114
A partir dos dados da tabela, podemos deduzir que o trio 3 e a dupla 1 talvez ainda
não tivessem percebido a regularidade envolvida, visto que justificaram que seria necessário
contar os palitinhos. Os demais grupos perceberam que para a construção de cada quadrado da
sequência, com exceção do primeiro, seriam necessários três palitos. Dessa forma, o que os
alunos de tais grupos realizaram, de acordo com Radford (2010a), foi uma generalização
aritmética, visto que eles foram somando de 3 em 3 para encontrar o resultado desejado.
De acordo com Barbosa, Vale e Palhares (2008), nesse tipo de questão, em que foi
solicitada apenas uma generalização próxima, é comum que os alunos utilizem o processo de
contagem e o raciocínio recursivo, realizando a diferença entre termos consecutivos da
sequência, como feito pela maioria dos grupos que percebeu que a sequência “vai de 3 em 3”.
É interessante notar que a dupla 3, apesar de responder corretamente o item ‘a’,
apresentou a justificativa como se tivesse que acrescentar 6 palitos na figura com 4 quadrados.
Porém, acreditamos que a argumentação de tal dupla é coerente com o fato de que, para se
obter 5 quadrados, temos duas opções: podemos acrescentar 3 palitos à direita do último
quadrado construído ou à esquerda do primeiro. Em sua transparência (Apêndice G, página
230), a dupla utiliza o mesmo argumento.
A apresentação da transparência da dupla 4, no terceiro dia de trabalho, confirmou
que as alunas de fato apreenderam a regularidade da sequência. A aluna A15 inicia explicando
a gênese da sequência:
A15: A gente percebeu, assim, que pra fazer 1 quadrado precisa de 4 palitos... pra ir pro segundo...
dois em diante, é... soma 3 palitos..
Em sua transparência, a dupla explica através da linguagem corrente e a partir de
um esquema a regularidade percebida:
115
Imagem 11: Esquema apresentado na transparência da dupla 4 para representar a gênese da sequência.
Percebemos aqui que as alunas recorreram aos meios semióticos de objetificação,
mais especificamente ao recurso do desenho, para mostrar de que forma elas perceberam a
sequência e observaram a formação de seus termos, de modo a encontrar uma regularidade e
chegar a uma generalização, neste caso, aritmética.
Seguindo na tarefa escrita, no item “c”, foi solicitado que os alunos completassem
uma tabela (apêndice D, página 224), em que relacionávamos o número de quadrados ao
número de palitos necessários para construí-los. A partir da filmagem, percebemos o aluno
A12 contando de três em três “nos dedos”, enquanto a aluna A5, que era sua dupla, registrava
os resultados. Assim concordamos que o estudante recorreu aos meios semióticos de
objetificação, indicando que tal dupla havia compreendido a regularidade da sequência e
desenvolvido também uma generalização aritmética.
O trio 3 envolveu-se pouco e não desenvolveu a atividade com seriedade. Em vista
disso, tal grupo despertou em nós algumas dúvidas quanto a sua compreensão da gênese da
sequência. Porém, no terceiro dia em que trabalhamos a tarefa, durante as apresentações das
transparências, a primeira fala do aluno A4 eliminou nossas suspeitas, conforme o trecho
abaixo:
A4: É... bem... aqui a gente pode concluir do sistema de palitos, que nós necessitamos de 4 palitos
para fazer um quadrado e para fazer um quadrado colocado junto a ele é necessário adicionar 3.
116
Embora tal pronunciamento evidencie que pelo menos o aluno A4, componente do
grupo, percebeu a regularidade envolvida na formação da sequência, o trio não conseguiu
aproveitá-la para elaborar uma regra ou fórmula que os auxiliasse no cálculo do número de
palitos em função do número de quadradinhos, como indica a continuação da fala do aluno A4
e um pequeno trecho de nosso diálogo:
A4: Então, por exemplo, pra gente fazer 5 quadradinhos é necessário 16 palitos. A gente descobre
esse valor de palitos através da contagem dos palitos.
P56: Então, vocês descobriram que para fazer 5 quadrados são necessários 16 palitos... Vocês fizeram
como? Fazendo a figura e contando?
O aluno A4 balança a cabeça em sinal afirmativo.
P: Foi?
A4: Foi. Ou então a gente pode usar o sistema de soma tripla, que é só ir adicionando 3 que fica mais
fácil.
A primeira e a última fala do aluno A4 apontam pelo menos duas possibilidades
para o cálculo do número de palitos em função do número de quadrados dados: construindo a
figura e contando os palitos um a um – nas palavras do aluno, “através da contagem dos
palitos” – ou contando o número de palitos de 3 em 3, processo denominado por A4 de
sistema de soma tripla. Ambas as soluções apresentadas são resultados de generalizações
aritméticas, de acordo com Radford (2010a), indicando que, até então, tal grupo não estava
trabalhando em um campo algébrico.
Continuando a análise da tarefa escrita, nos itens “d” e “e”, as duplas 1 e 3 e o trios
2 e 3 recorreram a valores anteriores de números de quadrados para encontrar suas respostas.
A tabela abaixo apresenta suas respostas com as respectivas justificativas:
56
Nas descrições dos diálogos, as falas designadas pela letra ‘P’ são da professora/pesquisadora.
117
Dupla 1
Número de
palitos
necessários para
construir 10
quadrados
41
Dupla 3
31
Trio 2
31
Trio 3
31
Grupos
Justificativa
apresentada
“Fazendo a
sequência”
“Se 7 quadrados são
22 palitos 10 seriam
31, porque 8 é 25, 9
é 28 e 10 é 31. Vai
aumentando de 3 em
3”
“Adicionando mais
treis”
“Contando”
Número de
palitos
necessários para
construir 15
quadrados
56
46
46
47
Justificativa
apresentada
“Fazendo a
sequência”
“Aumentando de 3
em 3 para chegar a
46”
“Adisionando mais
treis”
Não apresentaram
justificativa
Tabela 7: Respostas das duplas 1 e 3 e dos trios 2 e 3 para os itens “d” e “e” da Tarefa 4.
Concluímos assim que tais grupos perceberam a regularidade envolvida na
sequência, mas tiveram dificuldade em encontrar uma estratégia que facilitasse o cálculo do
número de palitos em função do número de quadrados. Sendo assim, no caso de tais
resoluções, não percebemos nem mesmo uma generalização algébrica factual (RADFORD,
2011), visto que não houve a criação de uma regra em que a indeterminação fosse tratada de
maneira implícita ou estivesse presente através de instâncias da variável independente – no
caso, o número de quadrados.
O que tais alunos fizeram foi usar a regularidade percebida – “vai de 3 em 3” –
para estender a sequência até o termo desejado. Como exemplo, citamos o argumento – tabela
7 – da dupla 3 que, para obter o número de palitos necessários para construir 8 quadrados,
soma 3 ao número de palitos necessários para construir 7 quadrados. Para 9 quadrados, foi
somado 3 ao número de palitos necessários para construir 8 quadrados e assim
sucessivamente, até encontrar os valores desejados (10 e 15 quadrados).
Nesse sentido, as duplas 1 e 3 e os trios 2 e 3 simplesmente perceberam uma
regularidade nos termos dados da sequência e a estenderam para termos vizinhos, a fim de
encontrar as respostas desejadas. Porém, eles não utilizaram essa regularidade percebida para a
criação de uma regra geral que lhes permitisse encontrar um termo qualquer da sequência e,
portanto, de acordo com Radford (2010a), não entraram para o campo algébrico,
118
permanecendo com estratégias características de uma generalização aritmética.
Na verdade, a sequência de questões propostas até então pode ter induzido os
alunos a esse tipo de resolução, visto que a tabela do item “c” da tarefa 4, por exemplo, já
apresentava as respostas sobre o número de palitos necessários para construir até 7 quadrados.
Diante disso, encontrar o número de palitos para o caso de 10 e 15 quadrados ficou simples a
partir da continuação da sequência que já havia sido formada em tal tabela. Não foi necessário
nem mesmo que os alunos cogitassem a busca por uma regra que fosse válida para todos os
termos da sequência trabalhada.
Contudo, diferentemente da resolução apresentada pelos grupos acima , a dupla 4
apresentou uma estratégia diferente de “ir somando 3”, como mostra a tabela abaixo:
Número de palitos
necessários para
construir 10
quadrados
Justificativa
apresentada
Número de palitos
necessários para
construir 15
quadrados
Justificativa
apresentada
31
“Somando 22 mais
9”
46
“Somamos 31 mais
15”
Tabela 8: Respostas da dupla 4 para os itens “d” e “e” da Tarefa 4.
Para encontrar o número de palitos necessários para construir 10 quadrados, as
alunas de tal dupla utilizaram o seguinte raciocínio: somaram 22 (número de palitos
necessários para construir 7 quadrados) com 9 (número de palitos necessários para construir
mais 3 quadrados). Seguindo a mesma lógica, no caso de 15 quadrados, elas adicionaram 15
ao número de palitos necessários para construir 10 quadrados – já calculado –, que seria o
número de palitos necessários para construir mais 5 quadrados, visto que para cada quadrado
são necessários apenas 3 palitos.
Apesar de recorrerem a resultados anteriores, percebemos na resolução de tais
alunas a presença da estratégia chamada por Stacey (1989 apud BARBOSA, VALE e
PALHARES, 2008) de diferença, em que as alunas utilizam os múltiplos da diferença entre os
termos consecutivos da sequência (no caso, elas utilizaram o “9” que é múltiplo de 3). Tal
procedimento lhes permitiu calcular o número de palitos necessário para a construção de
qualquer número de quadrados, como veremos no item seguinte para o caso de 50 quadrados.
Quanto à dupla 2 e ao trio 1, suas respostas apresentadas aos itens “d” e “e” em
119
questão não nos permitiram uma conclusão, visto que, no caso da dupla 2, as respostas foram
apresentadas sem justificativas, e o trio 1justificou que descobriu a resposta do item “e”
fazendo as contas, sem mostrar quais foram. A seguir as respostas desses grupos:
Grupos
Número de palitos
necessários para
construir 10
quadrados
Justificativa
apresentada
Dupla 2
32
Trio 1
31
Não apresentou
justificativa
“Contando”
Número de
palitos
necessários para
construir 15
quadrados
48
47
Justificativa
apresentada
Não apresentou
justificativa
“Nós
descobrimos
fazendo as
contas”
Tabela 9: Respostas da dupla 2 e do trio 1 para os itens “d” e “e” da Tarefa 4.
Apesar de no caso de 10 quadrados o trio 1 ter apresentado a resposta correta e
justificado que chegaram à solução “contando”, para 15 quadrados sua resposta foi incorreta.
Durante a apresentação da transparência, a aluna A13 explicou que para fazer 10 quadrados
foram necessários 31 palitos. Mas, como o desejado era obter 15 quadrados, elas recorreram à
tabela e viram que para construir 5 quadrados eram necessários 16 palitos. Portanto, foi só
somar 31 com 16 para obter o resultado almejado. Consideramos que essa estratégia realizada
pelo trio está relacionada ao que Stacey (1989 apud BARBOSA, VALE e PALHARES, 2008)
chamou de whole-object, uma vez que as alunas assumiram implicitamente que a sequência
numérica formada pelo número de palitos em função do número de quadrados obedeceria a
uma proporcionalidade direta. Em outras palavras, de certa forma, elas inferiram que poderiam
considerar os múltiplos de um termo para determinar elementos em posições mais avançadas
na sequência. Esse procedimento equivocado realizado pelo trio 1 nós chamaremos de falsa
generalização.
A fim de compreender as estratégias de resoluções de nossos estudantes,
analisamos o item “f” da tarefa 4, em que foi solicitado o número de palitos necessários para a
construção de 50 quadrados. Nesse caso, seria necessário que os alunos, principalmente
aqueles componentes das duplas 1 e 3 e dos trios 2 e 3, que adotaram o método de ir
adicionando 3 nas questões anteriores, recorressem a algum tipo de generalização algébrica,
visto que seria trabalhoso continuar adotando essa tática de resolução. Esperávamos que, de
120
modo geral, os grupos recorressem à generalização algébrica factual, de acordo com o
proposto por Radford (2010a), em que seria interessante a construção de uma estratégia de
resolução menos trabalhosa e diferente de ir somando 3, e na qual ainda não era quesito
indispensável o fato de os grupos lidarem com a indeterminação de maneira explícita.
Nesse sentido, apresentamos na tabela abaixo as respostas e justificativas dos
grupos:
Grupos
Justificativa apresentada
Dupla 1
Número de palitos
necessários para construir
50 quadrados
106
Dupla 2
128
Apresentaram o cálculo 4 x 32 = 128
Dupla 3
150
“Fazendo 3 x 50”
Dupla 4
151
“Nós subtraímos 50 – 15, depois o resultado que é 35
multiplicamos por 3, deu 105, depois fizemos 105 + 46, que
deu o resultado (151)”
Trio 1
156
“Nós descobrimos fazendo contas. As contas são:
47 x 2 = 94 94 + 31 + 31 = 156”
Trio 2
150
“Multiplicando 3 x 50”
Trio 3
106
“Contando”
“Fazendo a conta”
Tabela 10: Respostas dos grupos para o item “f” da Tarefa 4.
Durante a apresentação das transparências, o aluno A4, componente do trio 3,
tentou explicar como seu grupo havia concluído que para construir 50 quadrados eram
suficientes apenas 106 palitos. Seguem abaixo alguns trechos do diálogo:
P: Então, pra fazer 50 quadrados vocês precisam de?
A4: 106 palitos.
P: Mas como vocês descobriram 106. Me conta!
A4: Usando o sistema de soma tripla.
P: Mas como assim? Explica para os colegas!
A4: Você faz o primeiro quadrado com 4 palitos e, a partir desse primeiro quadrado, você vai
adicionando 3 palitos em forma de ‘c’ ao contrário...
Nesse momento, para explicar a formação da sequência, o aluno A4 recorre a
121
gestos: com as duas mãos, desenha no ar o primeiro quadrado constituído de 4 palitos e, em
seguida, com a mão direita, desenha o que ele chamou de “c ao contrário”, fazendo
primeiramente um movimento horizontal da direita pra a esquerda, seguido de um movimento
vertical de cima para baixo e, por fim, outro movimento horizontal da esquerda para a direita,
de forma a representar a posição dos 3 palitos que devem ser acrescentados para formar um
novo quadrado.
Assim, percebemos que A4 utiliza palavras e gestos para explicar a gênese e a
regularidade da sequência apreendida por ele – para o primeiro quadrado, gastamos 4 palitos e
para os quadrados subsequentes são necessários 3 palitos dispostos de maneira específica.
Nesse sentido, de acordo com Radford (2010a), podemos inferir que, durante o
desenvolvimento da tarefa, o aluno A4 passou por uma atividade chamada multi-semiótica,
configurando o processo de objetificação, no qual imergiu para dar sentido à sequência
trabalhada e encontrar uma possível regularidade.
Continuamos o diálogo:
P: Mas, aí, como, me conte! Porque 106? Alguém entendeu porque que é 106?
A7: Eu não entendi bulhufas!
A6: Eu não!
P: Como que é A4, faz aí pra gente!
O aluno A10 levanta a mão e diz:
A10: Eu entendi, eu sei por que, eu sei por que...
P: Por quê?
A10: Porque 50 vezes 3 dá 150... 105... mais 1 dá 106...
Voltei-me para o aluno A4 e perguntei-lhe:
P: É isso? 50 vezes 3...
A10: Dá 105, mais 1, dá 106...
A partir dos dois trechos de diálogo acima, percebemos certa despreocupação de
A10 com o resultado correto da multiplicação de 50 por 3. Na verdade, a inquietação do aluno
estava em outro ponto: independente do produto encontrado – se 105 ou 150 – o que se deve
fazer é somar 1 a ele. Em vista disso, cogitamos a possibilidade de que ele possa ter
122
compreendido que uma possível regra para o cálculo do número de palitos em função do
número de quadrados seja realizar a multiplicação do número de quadrados dado por três e ao
resultado adicionar 1.
Constatamos nas respostas da tarefa escrita do trio 2 (do qual A10 fazia parte),
constatamos que a maioria das justificativas estava pautada em generalizações aritméticas e
que os alunos A10, A11 e A14, componentes de tal trio, responderam que para construir 50
quadradinhos eram necessários 150 palitos (ver tabela 10), assim como fizeram em parte de
sua transparência, conforme o recorte abaixo:
Imagem 12: Trecho da transparência produzida pelo trio 2.
Contudo, não podemos ignorar o fato de que, durante a apresentação dos colegas, o
aluno A10 argumentou no sentido do desenvolvimento de uma regra correta e válida para o
cálculo do número de palitos, dado qualquer número de quadrados dado. Uma análise de outra
parte da transparência produzida pelo trio 2 vem ratificar essa ideia, pois, para encontrar o
número de palitos necessários para construir 5 quadradinhos, o trio apresenta a expressão “5 x
3 + 1 = 16”:
Imagem 13: Trecho da transparência produzida pelo trio 2.
Assim, inferimos que o aluno A10, e possivelmente o trio 2, pode ter transitado de
uma generalização aritmética para uma generalização algébrica factual, visto que nos dois
123
exemplos citados – tanto da fala do aluno, quanto do trecho da transparência do trio 2
apresentado na imagem 13, particularmente da expressão “5 x 3 + 1 = 16” –, ele demonstrou
ter percebido uma regra para o cálculo do número de palitos, sabendo-se o número de
quadrados que se deseja formar. Além disso, neste caso, pelo fato de ele ter trabalhado apenas
com quantidades específicas de quadrados – 50 e 15, respectivamente –, não houve a
necessidade de lidar com a indeterminação de maneira explícita.
Retornando ao episódio em sala de aula, o aluno A4 corrige o aluno A10,
afirmando que cinquenta vezes três não é igual a 105 e tenta explicar como o seu grupo
encontrou a resposta 106:
A4: Então a metade de 100 a gente já tem aqui (apontando para o número 50 na imagem da
transparência refletida no quadro branco)... é uma noção dos quadrados já... aí a gente adicionou mais
56 e deu 106... Isso mostra a eficiência do nosso sistema. E esse exemplo mostra a eficiência do
padrão.
Porém, a partir de tal fala do aluno A4, não conseguimos identificar como seu
grupo desenvolveu o raciocínio para encontrar os 106 palitinhos que eles consideraram
suficientes para construir 50 quadrados.
Retomando a análise do desenvolvimento dos demais grupos no item “f”, a
resposta e a justificativa apresentadas pelo trio 1 (tabela 10) reforçam nossa ideia sobre sua
resolução no item anterior. Tal grupo novamente realiza uma falsa generalização. Como o
solicitado foi o número de palitos para construir 50 quadrados, as alunas de tal grupo
consideraram o número de palitos que elas haviam encontrado para construir 15 quadrados, e
multiplicaram esse número por 2 (daí a conta 2 x 47 = 94) para obter o número de palitos
necessários em 30 quadrados. Em seguida, como ainda faltavam 20 quadrados, elas
adicionaram o resultado encontrado (94) com a soma (31 + 31), visto que para construir 10
quadrados são necessários 31 palitos. Dessa forma, elas encontraram o resultado 156,
desconsiderando o fato de que alguns palitos são lados comuns de dois quadrados ao mesmo
tempo.
A dupla 2 recorre a uma estratégia similar. No item anterior, para a construção de
10 quadrados, os alunos A8 e A18 encontraram como resposta 32 palitos. Assim, para 50
quadrados, eles tomaram o produto de 32 por 4, realizando uma falsa generalização. Vale
124
destacar que, na verdade, eles deveriam ter realizado a multiplicação de 32 por 5. Mas
inferimos que houve possível falta de atenção.
O trio 2 e a dupla 3 parecem ter considerado apenas o fato de que o número de
palitos que precisamos acrescentar para formar novos quadrados é múltiplo de 3 e ignoraram o
primeiro palito utilizado na formação do primeiro quadrado da sequência. Essa ideia pode ser
vista na figura abaixo com 3 quadrados:
Figura 20: Esquema representativo da formação da sequência de 3 quadrados.
Por conseguinte, ao pedirmos o número de palitos para construir 50 quadrados, tais
alunos parecem simplesmente ter realizado o cálculo 3 x 50, ignorando o fato de ter que somar
1 ao resultado encontrado. De acordo com Barbosa, Vale e Palhares (2008), a utilização de
múltiplos da diferença entre termos consecutivos da sequência – estratégia denominada por
Stacey (1989) de diferença – é comumente empregada pelos alunos na resolução desse tipo de
questão. Porém, para que a solução fique correta, faz-se necessário algum ajuste com base no
contexto do problema proposto (nesse caso, adicionar 1 ao resultado da multiplicação de 3 por
50).
Assim como Radford (2010b), acreditamos que a percepção dos alunos foi seletiva
e esteve voltada apenas para um dos atributos da sequência, ligado ao fato de que para se
formar um novo quadrado basta acrescentar três palitos, deixando como “pano de fundo” a
125
ideia de que para formar o primeiro quadrado é necessário um palito a mais.
Na perspectiva de tal autor, não é que tais grupos não soubessem da existência
desse palito a mais. Eles provavelmente estavam conscientes disso, como sugerem as falas do
aluno A10 (página 122) durante a apresentação de seu colega A4, comentadas anteriormente, e
conforme escreveu a dupla 3 em sua transparência:
Imagem 14: Trecho da transparência produzida pela dupla 3.
Porém, pode ter ocorrido certa dificuldade de organizar essa percepção de forma a
desenvolver um raciocínio a fim de gerar uma generalização algébrica correta, pois, segundo
Radford (2010b), perceber a figura de modo intencional e conseguir organizar essa percepção
em direção a formas de pensamento matemático mais complexas está longe de ser algo trivial
para nossos alunos.
Contudo, não podemos deixar de destacar que os alunos realizaram uma
generalização algébrica factual, em que a gênese da sequência levou à formação de uma regra
que opera em termos particulares, ou seja, tais grupos encontrariam um número necessário de
palitos – apesar de incorreto – para qualquer número de quadrados dado, não importando o
quão grande fosse esse número. Nesse sentido, a indeterminação permanece implícita e opera
em instâncias particulares da variável independente, ou seja, o número de quadrados. Assim,
indeterminação e analiticidade relacionam-se nesse processo em que os alunos imergem para
encontrar o número de palitos, dado um número de quadrados – tais grupos procedem
realizando sempre a operação três vezes o número de quadrados, que é uma quantia conhecida
até então.
Já a dupla 4 continuou com a mesma estratégia desenvolvida nos itens anteriores.
Como no item ‘e’ as alunas de tal dupla já haviam calculado o número de palitos necessários
para construir 15 quadrados, dos 50 que elas precisavam calcular elas tiraram esses 15 (daí o
126
cálculo 50 – 15). Em seguida, o resultado encontrado (35) elas multiplicaram por 3, visto que
para formar cada um dos 35 quadrados que faltavam seriam necessários apenas 3 palitos. Por
fim, o resultado da multiplicação 35 x 3, que é igual a 105, elas somaram com 46, encontrando
o resultado correto: 151 palitos. Durante a apresentação das transparências, a aluna A6
explicou:
A6: A gente subtraiu 50 menos 15...
P: Por quê? De onde veio isso?
A6: A gente pegou 50 quadrados, só que tipo... aqui, é por causa que na letra ‘e’ do exercício tava
perguntando quantos palitinhos era preciso para construir 15 e deu 46. A gente pegou 50 menos 15
que deu o resultado 35, multiplicamos por 3, que deu 105, e somamos 46.
Apesar de recorrer a valores anteriores, consideramos essa estratégia utilizada pela
dupla 4 também como uma generalização algébrica factual, visto que as alunas perceberam
uma regularidade presente na sequência – a partir do segundo quadrado são necessários três
palitos para formar um novo quadrado – e criaram uma regra com a qual elas foram capazes
de encontrar o número correto de palitos para qualquer número de quadrados dado. Em uma
análise um pouco mais detalhada, o que supomos é que a estratégia adotada pelas alunas
corresponde à regra pela qual, para encontrarmos o número de palitos, basta diminuir uma
unidade do número de quadrados dado, multiplicar o resultado por três – visto que a partir do
segundo quadrado basta acrescentar 3 palitos para formar um novo quadrado – e depois
adicionar 4 – correspondente aos palitos do primeiro quadrado da sequência.
Porém, as alunas foram perspicazes e utilizaram valores que elas haviam calculado
nos itens anteriores. Então, em um item da tarefa elas calcularam o número de palitos
necessários para construir determinado número de quadrados. No item seguinte, em que era
abordado um número maior de quadrados, elas subtraíam desse número maior o número de
quadrados abordados no item anterior, para encontrar quantos quadrados ainda precisavam ser
formados de um item para o outro. Em seguida, elas multiplicavam por três a diferença
encontrada, visto que para cada novo quadrado a ser formado bastavam três palitos de fósforo.
A seguir, o esquema representativo para 50 quadrados:
127
Esquema representativo da estratégia de resolução da dupla 4, no caso de 50 quadrados.
Dessa forma, percebemos que as alunas lidaram com duas quantidades variáveis: a
primeira trata-se do número de quadrados em cada item da tarefa; a segunda relaciona-se com
o resultado da subtração entre os números de quadrados abordados em cada item.
Nesse sentido, devido às questões propostas até então, percebemos que a
preocupação das alunas ainda estava voltada para a determinação do número de palitos para a
128
construção de um número específico de quadrados. Logo, a indeterminação, assim como no
caso dos grupos discutidos , ainda não é objeto do discurso da dupla 4. Ela opera tanto nas
quantidades conhecidas de quadrados – número de quadrados no item em questão, no esquema
– como nos resultados das subtrações das quantidades de quadrados abordadas em cada
situação – número de quadrados que ainda faltam ser formados, de acordo com o esquema –,
que elas devem multiplicar por três.
Assim, novamente, a indeterminação e a analiticidade estão ligadas por uma
estratégia de cálculo que permitiu à dupla encontrar o número de palitos necessários para
construir qualquer quantidade conhecida de quadrados.
Dessa forma, constatamos a manifestação do pensamento algébrico factual nas
duplas 3 e 4 e no trio 2. Apesar de parecer simples, esse tipo de pensamento implica
mecanismos de percepção complexos, por meio dos quais os estudantes devem analisar os
termos da sequência trabalhada , em busca de elementos distintos e elementos semelhantes
entre eles, a fim de se apreender traços comuns e uma possível regularidade. Dessa forma, esse
processo de percepção exige dos alunos atenção especial, de modo que, ao focar uma das
características dos termos da sequência – seja numerosidade, seja disposição física dos
elementos –, os demais atributos relevantes para seu estudo não sejam ignorados, para que não
ocorra uma generalização errônea. E, de acordo com Radford (2010b), todo esse processo, que
é amparado por palavras, gestos e registros escritos dos alunos, requer uma forma de
raciocínio que está longe de ser trivial, embora a indeterminação, até o momento, ainda não
tenha sido objeto de estudo.
Em vista de todo o desenvolvimento dos grupos nas questões da tarefa, em que
percebemos dificuldade de lidar com número grande de quadrados, na questão “g”, na qual
pedimos uma regra para o cálculo do número de palitos necessários para a construção de um
número qualquer de quadrados, eles tiveram um desempenho diferente do que ansiávamos.
Nesse caso, lidar com a indeterminação constituiu o cerne da questão, visto que
não foi dado, como nas demais questões, o número de quadrados que se desejava formar.
Dessa forma, esperamos dos alunos a manifestação de um pensamento algébrico contextual,
em que o objeto indeterminado poderia ser mencionado com o auxílio dos termos dêiticos a
serem criados pelos alunos no contexto da sequência trabalhada.
Todos os grupos assinalaram que “sim” na primeira parte da questão. Abaixo,
129
segue a tabela com as explicações apresentadas pelos trios e duplas, na segunda parte da
questão:
Grupos
Explicações apresentadas
Dupla 1
“Fazendo as contas”
Dupla 2
Não apresentou resposta
Dupla 3
“É fazer um número multiplicado por 3”
Dupla 4
“A partir do segundo quadrado, somamos 3”
Trio 1
“Fazendo as contas”
Trio 2
“Contando quantos tem”
Trio 3
“Acrescentando 3”
Tabela 11: Respostas dos grupos para o item “g” da tarefa 4.
De modo geral, a questão causou muita estranheza aos alunos. A princípio, o aluno
A4 argumentou que seria impossível dar a resposta sem saber o número de quadrados, o que
nos traz a ideia de que ele ainda estivesse “preso” à generalização aritmética desenvolvida até
então e visto sua dificuldade em lidar com o indeterminado e variável. No intuito de ajudá-lo
sem interferir em sua resposta, perguntei se ele havia encontrado uma regra para calcular o
número de palitos se fosse dado o número de quadrados e ele respondeu que sim. Pedi a ele,
juntamente com seu grupo (trio 3), que registrasse essa descoberta. A resposta apresentada por
eles – “acrescentando 3” – revela apenas a apreensão da gênese da sequência e não a criação
de uma regra ou estratégia que permitisse ao trio encontrar o número de palitos necessários
para construir qualquer número de quadrados, principalmente quando esse número representar
um valor elevado.
Nesse sentido, a dificuldade de lidar com a indeterminação e expressar o raciocínio
envolvendo quantidades desconhecidas ficou evidente nas repostas dos alunos. Para ficar mais
claro o que estamos discutindo, vamos tomar como exemplo o trio 2. A partir da questão
anterior, percebemos que ele havia encontrado uma regra, ainda que incorreta, para calcular o
número de palitos, sabendo-se o número de quadrados – eles multiplicaram o número de
quadrados por 3, mostrando-nos a manifestação do pensamento algébrico factual. Porém, no
item ‘g’, eles não avançaram para uma generalização algébrica contextual, em que poderiam
expressar tal regra de um modo geral com o auxílio de termos dêiticos e apresentaram a
resposta que seria necessário contar o número de palitos.
130
A dupla 4 pareceu ter entendido a gênese da sequência, argumentando que a partir
do segundo quadrado, para se formar um novo quadrado, bastaria acrescentar 3 palitos. Porém,
a partir da forma como tais alunas argumentaram, usando a expressão “somamos 3”, não
podemos considerar que foi a generalização de uma regra que lhes permitiu calcular o número
de palitos necessários para construir um número qualquer de quadrados, visto que somar de 3
em 3 seria muito trabalhoso para um número grande de quadrados.
Apesar disso, em vista do desenvolvimento das alunas de tal dupla nas demais
questões, pensamos que elas poderiam, de fato, ter encontrado uma regra para calcular o
número de palitos necessários para construir qualquer número de quadrados – a partir do
segundo quadrado vemos quantos quadrados são, tomamos esse número e multiplicamos por
três (número de palitos necessários para formar cada quadrado subsequente ao primeiro) e ao
resultado adicionamos 4 (número de palitos necessários para formar o primeiro quadrado).
Contudo, a falta de instrumentos e recursos conhecidos para expressar essa descoberta pode têlas impedido de anunciá-la. Como Radford (2011), percebemos que, além da pouca
familiaridade dos alunos com atividades envolvendo sequências e padrões, não havia palavras
ou termos no vocabulário dos estudantes até então para nomear algo desconhecido e variável.
Nesse sentido, a resposta apresentada pela dupla 4 ainda se refere a uma
generalização algébrica factual, visto que a indeterminação não está explícita em sua
expressão, nem mesmo com o auxílio de termos dêiticos. A indeterminação permaneceu em
instâncias particulares da sequência, representadas pela expressão “a partir do segundo
quadrado”.
O único grupo que apresentou uma regra para calcular o número de palitos em
função do número de quadrados, independente de esse número ser grande ou não, foi a dupla
3. Apesar da regra apresentada pelos alunos de tal dupla não estar correta, visto que eles
desconsideraram o fato de que, além de multiplicar por 3, devemos também somar 1, eles
foram coerentes com as questões desenvolvidas anteriormente e conseguiram expressar,
através da linguagem corrente, a sua descoberta.
Consideramos nesse caso a possibilidade de os alunos terem ido além de uma
generalização algébrica contextual, visto que a fórmula apresentada por eles não faz menção
ao contexto da sequência trabalhada. Contudo, não vamos considerar também uma
generalização algébrica padrão nos termos de Radford (2011), devido à incorreção da regra
131
encontrada e ao fato de que ela foi expressa utilizando a língua materna. Portanto, ressaltando
a ideia de que a regra faz menção à quantidade indeterminada – “um número” – de forma
abstrata e desvinculada do contexto, ponderamos que tal dupla pode ter transitado entre o
pensamento algébrico contextual e o pensamento algébrico padrão.
Quanto às respostas apresentadas pela dupla 1 e pelo trio 1, não podemos chegar a
nenhuma conclusão, visto que eles justificaram que seria possível “fazendo as contas”, sem
especificar quais contas seriam feitas ou qual raciocínio seria desenvolvido.
Vale destacar que as respostas dos grupos, principalmente nessa última questão,
foram expressas com a utilização da linguagem corrente. Mesmo aqueles alunos que
consideramos ter alcançado algum desenvolvimento no pensamento algébrico não recorreram
a uma linguagem simbólica para sua manifestação, confirmando a ideia de que, assim como
aconteceu na história e está proposto por Radford (2010a), Fiotentini, Miorim e Miguel
(1993), essa forma específica de pensamento pode ser expressa por meio de diversos recursos
semióticos.
No item ‘h’, os alunos tiveram que lidar com a indeterminação relacionada à ideia
de incógnita, de acordo com o proposto por Usiskin (1995), e não mais com a noção de
variável. A quantidade desconhecida – número de quadrados que é possível formar com 30
palitos – agora assume um valor específico e possível de ser determinado.
De modo geral, os resultados sugeriram que alguns alunos desconsideraram as
descobertas realizadas nas questões anteriores e voltaram ao processo de contagem, ligado à
generalização aritmética, ou outra estratégia ligada ao concreto, como, por exemplo, o recurso
do desenho.
Dos grupos que apresentaram resposta correta – duplas 3 e 4 e trios 1 e 3 –, com
exceção do trio 1, que apresentou uma justificativa que não nos permite afirmações, todos os
demais utilizaram um método aritmético de resolução, visto que a dupla 3 e o trio 3 foram
contando de 3 em 3 e a dupla 4 utilizou o recurso do desenho para encontrar a resposta. Para
Radford (2010a), o fato de os alunos terem usado a regularidade percebida por eles – contar de
3 em 3 palitos – para estender a sequência além dos termos dados não implica necessariamente
um procedimento algébrico, como citado anteriormente.
Em vista disso, na questão seguinte, em que demos um número maior de palitos
para descobrirem o número de quadrados que seria possível construir, eles não conseguiram
132
criar uma estratégia, nem mesmo utilizaram a ideia de operações inversas para encontrar o
número de quadrados que podemos formar, sabendo-se o número de palitos. Por conseguinte,
no último item, conforme detalhando no capítulo anterior, eles também não obtiveram
sucesso.
De modo geral, avaliamos que a tarefa desenvolvida apresentou considerável
contribuição para que a turma começasse a criar familiaridade com trabalhos envolvendo
sequências e padrões. Dessa forma, a maioria dos estudantes evoluiu no sentido da percepção
de uma regularidade na sequência que foi trabalhada.
Contudo, consideramos que, na tarefa escrita, os grupos trabalharam de maneira
independente, com pouca ou nenhuma intervenção da professora/pesquisadora. Sentimos que
faltou questionar e instigar o raciocínio dos alunos, enquanto eles estavam envolvidos na
tarefa, principalmente nas questões em que foi abordada a indeterminação. Nesse ponto, as
respostas dos alunos mostraram que eles necessitavam de apoio e intervenção até mesmo para
entender o que estava sendo solicitado.
Outro ponto negativo foi a ausência de exploração das últimas questões da tarefa
escrita, principalmente daquelas em que o objeto indeterminado assumiu o papel de incógnita.
Tais questões foram respondidas pelos alunos na tarefa escrita, mas não foram retomadas para
discussão durante a apresentação das transparências ou em outro momento com a turma.
Os motivos de tais pontos negativos nós atribuímos, principalmente, à extensão da
tarefa e à ansiedade e dificuldade enfrentadas pela professora/pesquisadora durante sua
aplicação, frente a esse papel dual e inédito desempenhado em sala de aula.
5.2. Tarefa II: Triângulos com Canudos
De acordo com o descrito no capítulo anterior, página 75 a página 79, tal tarefa
contou com o estudo de uma sequência de triângulos equiláteros construídos com canudos,
cujos perímetros formam a sequência numérica dos números naturais múltiplos de 3. Portanto,
nesse caso, a turma trabalhou com um problema que representa uma situação de
proporcionalidade direta, nos termos de Barbosa, Vale e Palhares (2008).
Lembramos que os alunos construíram até o terceiro triângulo da sequência e
completaram três sentenças que relacionavam a posição de cada um desses três triângulos na
sequência ao número de canudos necessários para construí-los.
133
Neste capítulo, passaremos direto para a análise das respostas das duplas às
questões propostas nas tarefas escritas, cujas primeiras foram:
3) Quantos canudinhos seriam necessários para construir o quarto triângulo dessa sequência?
Expliquem com suas palavras como vocês descobriram isso.
4) E para construir o quinto triângulo dessa sequência, de quantos canudos vocês precisariam?
Como vocês descobriram?
Percebemos, então, que tais questões abordam apenas generalizações próximas, e
que uma possibilidade de resolução seria os alunos recorrerem à recursividade, tomando o
número de canudos necessários para construir o terceiro triângulo, o qual eles já sabiam, e ir
somando 3. Dessa forma, não estamos tratando, de acordo com Radford (2010a), de um
processo algébrico, em que os alunos teriam que lidar com a indeterminação, ainda que de
maneira implícita. De modo similar à tarefa anterior, preferimos iniciar o trabalho com os
alunos lidando apenas com quantidades conhecidas, assim, trabalhar no campo aritmético,
utilizando o processo de contagem ou o raciocínio recursivo (realizando a diferença entre
termos consecutivos da sequência), seria o suficiente para responder a tais questões.
De modo geral, os alunos não apresentaram dificuldades e responderam
corretamente e com tranquilidade à questão. Abaixo, a tabela com as respostas e justificativas
apresentadas pelas duplas.
Grupos
Dupla 1
Dupla 9
Respostas
apresentadas na
primeira questão
12 canudos
Justificativa primeira
questão
“Somando 3 canudos
ao triângulo anterior”
Respostas
apresentadas na
segunda questão
15 canudos
Dupla 2
12 canudos
“que tem uma
sequência de 3 em 3”
15 canudos
Dupla 3
12 canudos
15 canudos
Dupla 5
12 canudos
Dupla 6
12 canudos
“Pois está de 3 em 3 a
sequência”
“É só ir aumentando
de 3 em 3”
“O primeiro triângulo
necessita de 3
canudos, o 2 triângulo
necessita de 9
canudos, já o 3
canudos necessita de
12 canudos porque é
só contar de 3 em 3”
15 canudos
15 canudos
Justificativa
segunda questão
“Somando 3
canudos ao quarto
triângulo”
“Somando mais 3
palitos. Exemplo:
12 + 3 = 15”
“Pois está de 3 em
3”
“É só ir somando de
3 em 3”
“Contamos de 3 em
3 até chegar no 5º
triângulo”
134
Grupos
Dupla 8
Respostas
apresentadas na
primeira questão
12 canudos
Dupla 7
12 canudos
Dupla 4
18 canudos
Justificativa primeira
questão
“Observamos que os
triângulos aumentam
o canudo de 3 em 3”
“Nós descobrimos
porque é os múltiplos
de 3”
“Descobrimos
contando 9 + 9
canudos”
Respostas
apresentadas na
segunda questão
15 canudos
Justificativa
segunda questão
“Aumentamos de 3
em 3”
15 canudos
“É só somar mais 3”
27 canudos
“Nós descobrimos
somando 18 + 9”
Tabela 12: Respostas e justificativas dos grupos para primeira e segunda questões da tarefa 2.
Como podemos perceber, com exceção da dupla 4, os grupos perceberam
corretamente que o número de canudos necessários para construir cada triângulo da sequência
vai aumentando de 3 em 3 de uma posição para outra, estratégia mais comum a ser adotada
pelos alunos nesse tipo de questão, conforme destacado por Barbosa, Vale e Palhares (2008).
A partir das justificativas apresentadas pelas duplas 1, 9 e 2, notamos o uso da
recursividade. As duplas 3, 5, 6 e 8 mostraram ter apreendido a gênese da sequência,
argumentando no sentido de que contam de 3 em 3. Em ambos os casos – duplas 1, 9 e 2 e
duplas 3, 5, 6 e 8 – percebemos, de acordo com o proposto por Radford (2010a) e com nossas
expectativas, a manifestação apenas do pensamento aritmético, não estando presente o
cuidado com a indeterminação e a elaboração de uma regra mais sofisticada para o cálculo do
número de canudos para construir triângulos em posições avançadas na sequência. Na
verdade, em tais questões ainda não era necessário que os alunos manifestassem esse tipo de
preocupação.
Quanto à justificativa apresentada pela dupla 7, principalmente na primeira
questão, o argumento utilizado pelo grupo, de que o número de canudos necessários para
construir os triângulos da sequência é sempre múltiplo de 3, mostra indícios da formação de
uma possível regra para o cálculo do número de canudos necessários para construir triângulos
em quaisquer posições na sequência. Dessa forma, consideramos a presença de uma
generalização algébrica factual, visto que os alunos realizaram uma generalização, mas não
tiveram que lidar com a indeterminação.
Possivelmente utilizaram essa descoberta para
encontrar as repostas dos números 1 e 2, como aponta a justificativa exposta na questão 2 – os
alunos argumentaram que “é só somar mais 3” –, em que eles utilizaram a recursividade. Mas,
135
ainda assim, o fato de eles terem percebido que o número de canudos é sempre múltiplo de 3
permite-lhes a formação de uma regra válida para o cálculo do número de canudos, sabendo-se
a posição do triângulo na sequência.
A dupla 4 considerou que para formar um novo triângulo em determinada posição
da sequência são necessários 9 canudos a mais do que a quantidade necessária para formar o
triângulo ocupante da posição anterior ao triângulo em questão. Dessa forma, consideramos
que tal dupla não apreendeu a gênese da sequência, visto que apresentou resposta incorreta.
Na terceira questão, os alunos deveriam responder sobre a quantidade de canudos
para construir triângulos situados em posições mais avançadas na sequência, conforme o
enunciado abaixo.
2) E seu eu lhes pedisse para construir o 20º triângulo dessa sequência, de quantos canudos vocês
precisariam? E o 100º?
Expliquem como vocês descobriram isso.
Nesse caso, os alunos trabalharam com problemas de generalizações distantes,
desejávamos que eles fossem além do pensamento aritmético, conforme desenvolvido nas
questões 1 e 2 pelas duplas 1, 2 , 3, 5, 6 e 8, a fim de encontrar uma estratégia que facilitasse o
cálculo do número de canudos necessários para construir os triângulos da vigésima e
centésima posições. Em outros termos, a descoberta da regularidade existente na sequência
numérica relacionada ao número de canudos necessários para construir cada triângulo – “vai
de 3 em 3” – não seria, por si só, interessante para responder tais questões. Esperávamos que
os grupos utilizassem essa descoberta para ir ao encontro de uma generalização algébrica
factual, em que a indeterminação estaria presente nessas instâncias – 20ª e 100ª posições – da
sequência e ainda não seria objeto explícito no discurso.
Seguindo nossas expectativas, encontramos as respostas das duplas 4, 5 e 8:
Grupos
4
Número de canudos
necessários para construir o
20º triângulo da sequência
60 canudos
Número de canudos
necessários para construir o
100º triângulo da sequência
300 canudos
5
8
60 canudos
60
300 canudos
300
Justificativa
“Nós descobrimos
isso fazendo a conta
de 20 x 3 e 100 x 3”
“3 x 100 3 x 20”
“Fizemos 3 x 20 e 3 x
100”
Tabela 13: Respostas das duplas 4, 5 e 8 para a questão 3 da segunda tarefa.
136
Tais duplas partiram da generalização aritmética, apresentada nas questões 1 e 2,
para uma generalização algébrica factual. Percebemos, nesse caso, a criação de uma regra
para o cálculo do número de canudos necessários para construir um triângulo, sabendo-se a
posição desse triângulo na sequência. Ou seja, não houve menção a um objeto indeterminado,
de forma que, assim como proposto por Radford (2010a), este esteve presente apenas em
posições conhecidas dos triângulos.
Destacamos que a dupla 4, devido à dificuldade apresentada por seus integrantes,
contou com o auxílio da professora/pesquisadora para a percepção da regularidade correta
envolvida na sequência, visto que, na questão anterior, tal dupla havia entendido que a
sequência numérica relacionada ao número de canudos aumentava de 9 em 9 –, conforme
tabela 12.
Continuando na análise das respostas dos demais grupos, destacamos as respostas
das duplas 6 e 7, organizadas na tabela abaixo:
Dupla 6
Número de canudos
o 20º triângulo da
sequência
60 canudos
Número de canudos
sequência
300 canudos
Dupla 7
60
300
Grupos
Justificativa
“Multiplicando o
número que quero
saber por 3”
“É só multiplicar a
posição do triângulo
por 3”
Tabela 14: Respostas das duplas 6 e 7 para a questão 3 da segunda tarefa.
A partir de tais respostas e justificativas, percebemos a formação de uma regra
correta para o cálculo do número de canudos necessários para construir triângulos na
sequência trabalhada. Porém, diferentemente das outras duplas , que encontraram a regra
para triângulos em posições específicas na sequência, neste caso, a partir das justificativas
apresentadas, inferimos que, além de criar a regra e aplicá-la em posições conhecidas da
sequência, os alunos conseguiram tratar a indeterminação como objeto explícito do discurso,
antes mesmo que isso fosse um dos quesitos da questão. No caso da dupla 6, a indeterminação
foi abordada com o auxílio do termo “o número que quero saber” e, no caso da dupla 7,
através do termo “a posição do triângulo”.
137
Em vista disso, consideramos a realização de uma generalização algébrica
contextual, em que a indeterminação e analiticidade estão ligadas a partir da criação de termos
relacionados ao contexto da sequência, da tarefa e do processo vivido pelos alunos. Desse
modo, na justificativa apresentada pela dupla 6, a expressão “que quero saber” está
relacionada à posição do triângulo na sequência trabalhada e à forma de lidar com cada
pergunta proposta pela tarefa, visto que, no desenvolvimento do trabalho, eles buscavam o
que estava sendo perguntado em cada questão. Já na justificativa da dupla 7, obviamente “a
posição do triângulo” é algo especificamente ligado à sequência abordada.
Partimos, agora, para a análise das respostas apresentadas pelas duplas 1, 2 e 3,
apresentadas na tabela abaixo:
Dupla1
Número de canudos
sequência
60 canudos
Número de canudos
sequência
300 canudos
Dupla 2
Dupla 3
60 canudos
20 x 3 = 60
100 canudinhos
100 x 3 = 300
Grupos
Justificativa
“Multiplicando os
canudos”
“Somando de 3 em 3”
“Eu multipliquei a
sequência pela
ordem”
Tabela 15: Respostas das duplas 1, 2 e 3 para a questão 3 da segunda tarefa.
As respostas da dupla 2 indicam que as alunas A15 e A16 permaneceram no campo
aritmético. A partir de sua justificativa – somando de 3 em 3 –, consideramos a possibilidade
de elas terem encontrado a resposta correta no caso do 20º triângulo. Porém, no cálculo do
número de canudos necessários para construir o 100º triângulo, o método adotado não era
prático e as alunas acabaram por apresentar a resposta incorreta.
Quanto às duplas 1 e 3, acreditamos que houve a criação da regra para o cálculo do
número de canudos necessários para construir triângulos, sabendo-se sua posição, visto que
tais grupos apresentaram respostas corretas. Contudo, inferimos que houve dificuldade no
momento em que foi pedido que tal regra fosse explicada. A dupla 1 argumentou ter
encontrado a resposta “multiplicando os canudos”, não nos permitindo uma análise precisa. Já
a resposta apresentada pela dupla 3 – “eu multipliquei a sequência pela ordem” – revela a
dificuldade de adotar coerentemente os termos para explicar o raciocínio adotado.
Dessa forma, pelas respostas corretas e justificativas apresentadas pelas alunas das
138
duplas 1 e 3 – ambos os grupos tentaram explicar a regra encontrada para calcular o número
de canudos necessários para construir um triângulo em uma posição específica –, percebemos
a dificuldade de expressar sua descoberta e explicar as operações feitas para responderem
corretamente a questão. Apesar disso, concordamos que tais duplas podem ter desenvolvido
uma generalização algébrica factual, em que a indeterminação esteve presente através de
instâncias da variável independente, como mencionado, as posições dos triângulos na
sequência – a 20ª e a 100ª.
A indeterminação e a analiticidade, nesse caso, estão relacionadas a partir dos
cálculos realizados pelos grupos, a fim de descobrir o número de canudos que são necessários
para construir triângulos em posições pré-determinadas na sequência.
Continuando nossa análise, passamos à última questão da tarefa, cujo enunciado
segue abaixo:
1) E se eu lhes pedisse para construir o triângulo situado em uma posição ainda mais avançada
nessa sequência, existiria uma maneira de você descobrir a quantidade de canudinhos
necessários para construí-lo? ( ) sim ( ) não
Se sim, de que modo você descobriria essa quantidade de canudinhos?
No caso de tal questão, os alunos teriam que lidar com o objeto indeterminado de
maneira explícita, visto que eles teriam que apresentar uma regra para o cálculo do número de
canudos necessários para construir um triângulo em uma posição qualquer da sequência. Em
vista disso, de acordo com o proposto por Radford (2010a) e com a evolução das duplas na
atividade, apontaremos detalhadamente algumas hipóteses de resolução adiante.
Esperávamos que os grupos que haviam desenvolvido uma generalização
algébrica contextual na questão anterior – duplas 6 e 7 – mantivessem a mesma natureza de
argumentação, inclusive mantendo-a em linguagem corrente, visto que a linguagem algébrica
padrão ainda não havia sido explorada e era, de modo geral, desconhecida para a turma.
Destacamos também que, até então, a criação da linguagem simbólica pelos estudantes ainda
não estava sendo trabalhada.
As respostas de tais duplas (6 e 7) corresponderam às nossas expectativas. Ambas
assinalaram o “sim” da questão e mantiveram o argumento comentado na questão anterior:
139
Imagem 15: Resposta da dupla 6 à questão 4 da tarefa II escrita.
Ressaltamos mais uma vez que a indeterminação esteve presente nas respostas de
ambas as duplas. No caso da dupla 6, ela foi mencionada com o auxílio do termo “o número
que quero saber” e, quanto à dupla 7, a expressão utilizada foi “a posição do quadrado”.
Quanto às duplas 4, 5 e 8, esperávamos que elas partissem da resolução
apresentada na questão anterior, para a criação de uma estratégia que as auxiliasse na resposta
da questão 4. Em outras palavras, confiamos que elas passariam de uma generalização
algébrica factual, desenvolvida na questão 3, para uma generalização algébrica contextual, na
questão 4, em que elas teriam que recorrer à criação de algum termo ou expressão para nomear
o objeto indeterminado e explicar a regra encontrada.
Porém, nenhum dos grupos desenvolveu uma generalização algébrica contextual,
conforme desejamos.
A dupla 4 apresentou a seguinte argumentação:
A partir de tal resposta, inferimos que a dupla 4 retornou a uma argumentação
140
relacionada a uma generalização aritmética, visto que essa estratégia de “ir contanto nos
dedos” não se figura, de acordo com o proposto por Radford (2010a), como um processo
algébrico.
A dupla 8 permaneceu com a argumentação característica da generalização
algébrica factual, visto que os alunos de tal dupla recorreram ao exemplo de uma posição
específica – 400ª – de um triângulo na sequência para expressar a regra encontrada. Segue
abaixo a resposta dos alunos:
Ainda que, a partir do enunciado, nossa intenção tenha sido fazer com que os
alunos lidassem com a indeterminação de maneira explícita, tal dupla continuou tratando-a
implicitamente, através de instâncias da variável independente (posição dos triângulos na
sequência).
Não restam dúvidas quanto ao fato de que tais duplas (4 e 8) realmente
encontraram uma regra correta para o cálculo do número de canudos necessários para
construir os triângulos, sabendo-se as posições destes na sequência. Mas é interessante
destacar a dificuldade dos alunos em expressar essa regra de maneira abstrata, sem fazer
menção a uma posição específica do triângulo. Os alunos de tais duplas não conseguiram
expressar sua descoberta de modo mais geral, nomeando a indeterminação com auxílio de
termos ou expressões que surgem no contexto do desenvolvimento da tarefa (termos dêiticos).
De acordo com Radford (2010a), um dos motivos dessa dificuldade pode estar relacionado ao
fato de que ainda não havia, no vocabulário dos estudantes, palavras ou termos para nomear
algo desconhecido e variável. Então, tornou-se mais simples atribuir um valor que eles sabiam
que existia na sequência – no caso da dupla 8, a 400ª posição – para explicar a regra
descoberta e mostrar que ela é válida inclusive para posições avançadas na sequência,
conforme sugerido pela questão. Ou ainda, no caso da dupla 4, argumentar que basta contar
141
nos dedos para encontrar a resposta desejada.
A resposta da dupla 1 foi idêntica àquela apresentada na questão 3. Segue abaixo:
Em vista disso, destacamos novamente que tal dupla encontrou a regra para o
cálculo do número de canudos, sabendo-se a posição do triângulo na sequência. Porém os
alunos A4 e A12, integrantes de tal grupo, provavelmente tiveram dificuldade de explicar qual
foi a regra encontrada por eles. Por essa razão, consideramos que eles podem ter desenvolvido
uma generalização algébrica factual, conseguindo encontrar o número de canudos necessários
para construção de um triângulo em qualquer posição conhecida na sequência, mas não
utilizaram suas descobertas para ir além e desenvolver uma generalização factual.
A dupla 2 continuou com a mesma argumentação apresentada nas questões
anteriores. Abaixo, a resposta apresentada por tal dupla:
Dessa forma, de acordo com Radford (2010a), tal dupla permaneceu no campo
aritmético.
As duplas 3 e 9 assinalaram o “não” e deixaram o restante da questão sem resposta.
Pelo desenvolvimento da dupla 3 nas demais questões – desenvolveu uma
generalização algébrica factual –, acreditamos que sua dificuldade em passar para um nível
de objetificação mais profundo e responder a última questão pode estar relacionada, como
indica sua resposta na questão 3, à falta de organização do raciocínio e de argumentação para
142
explicar a regra encontrada.
Quanto à dupla 9, o desenvolvimento nas demais questões indicam que as alunas
A1 e A3 permaneceram no campo aritmético.
Em vista da análise feita, acreditamos que esse trabalho com a sequência de
triângulos, comparado à primeira tarefa desenvolvida, apresentou considerável avanço dos
alunos no entendimento de nossa proposta de trabalho. Verificamos que as duplas
desenvolveram-se praticamente sem nossa intervenção e muitas delas mostraram-se
familiarizadas com as questões e sem tantas objeções, como havia ocorrido na tarefa anterior.
Um dos pontos que pode ter facilitado o trabalho dos alunos foi o tipo de sequência
abordada. Diferentemente da tarefa anterior, em que a turma trabalhou com uma sequência
que exigia uma estratégia de generalização linear (an + b), a presente tarefa envolveu apenas
uma proporcionalidade direta, em que todos os termos eram múltiplos de 3.
Portanto, talvez devêssemos ter invertido a ordem de abordagem das tarefas,
iniciando o trabalho com a sequência de triângulos com canudos, para, em seguida, apresentar
a sequência de quadrados.
Conforme destacado no capítulo anterior, outro ponto negativo foi que a estrutura
da apostila entregue às duplas pode ter limitado o modo como eles manifestaram e explicaram
suas respostas. Acreditamos que tal fato pode ter nos privado de obter maior acesso às formas
de pensamento e raciocínio dos estudantes.
5.3. Tarefa III: Cubos enfileirados
Conforme destacado no capítulo anterior da página 80 à página 89, tal atividade
contou com a exploração da sequência formada pelo número de faces expostas nos cubos
enfileirados sobre uma mesa em um dos cantos da sala.
Novamente os alunos deveriam trabalhar com a estratégia de generalização de
padrões do tipo linear, conforme Stacey (1989 apud BARBOSA, VALE e PALHARES,
2008), que envolve a descoberta de um modelo do tipo an + b.
Nossa intenção era que a turma partisse, inicialmente, de uma generalização
aritmética, por meio da qual eles iriam contando o número de faces expostas e perceberiam
uma regularidade para uma generalização algébrica – factual ou contextual –, o que permitiria
o cálculo do número de faces expostas de acordo com o número de cubos enfileirados.
143
As
generalizações
algébricas
factual
e
contextual
envolvem
algumas
características que as definem, conforme detalhamos anteriormente. Mas, de forma breve, a
generalização algébrica factual ocorreria nos casos em que os alunos conseguissem perceber
uma regularidade e elaborar uma regra para o cálculo do número de faces em função do
número de cubos enfileirados. Porém, tal regra seria expressa somente nos casos em que o
número de cubos fosse conhecido. Nesse sentido, ao terem que lidar com um objeto
indeterminado – no caso, um número qualquer de cubos –, os estudantes possivelmente
apresentariam dificuldades para explicar a fórmula encontrada.
A generalização algébrica contextual, de modo geral, ocorreria quando, além de
perceber uma regularidade e elaborar uma regra para o cálculo do número de faces em função
do número de cubos enfileirados, os alunos conseguissem expressar tal regra, fazendo menção
ao objeto indeterminado com o auxílio de termos ou expressões criados por eles no decorrer
da realização da tarefa (termos dêiticos).
Dessa forma, em busca de uma generalização algébrica, tentamos sugerir que em
cada um dos cubos enfileirados podemos sempre observar duas faces expostas (uma voltada
para cima e a outra voltada para frente), com exceção do último cubo, em que temos uma face
exposta a mais. Nesse sentido, a disposição das faces nos cubos enfileirados sugeria
fortemente a percepção da regra em que o número de faces expostas é igual ao dobro do
número de cubos, mais um.
Primeiramente, vamos analisar as situações que consideramos relevantes durante a
dinâmica com os alunos, em que eu fui enfileirando os cubos sobre a mesa.
Ao colocar o primeiro cubo sobre a mesa, antes mesmo que eu terminasse de
perguntar quantas faces teríamos expostas nesse caso, alguns alunos me interromperam e
começaram a arriscar respostas para minha indagação:
A12: 2!
A7 e A12: 2! 2!
A4 e A6: 3!
O aluno A12 exalta-se ao perceber que estava dando a resposta incorreta, levantase em direção à mesa onde estava o cubo e aponta para as faces expostas, falando em tom alto:
A12: 3! 3! A de cima (apontando para a face voltada para cima), a daqui (apontando para a face que
144
estava de frente aos alunos) e a daqui (apontando para a face da esquerda)!
Ao mesmo tempo, o aluno A10, que estava sentado na primeira carteira à frente da
mesa com o cubo, disse apontando para este:
A10: 3! A de cima e a dos dois lados!
As respostas e os gestos de A10 e A12 já sugerem a forma como eles poderão
interagir com a sequência e perceber seus termos, visto que, a partir de suas falas e de seus
sinais corporais, inferimos que uma das faces expostas do cubo sobre a mesa eles já
caracterizaram como a face “de cima”. E, no caso do aluno A10, ele percebeu e distinguiu as
demais faces como aquelas que estão “dos dois lados”, ou seja, de acordo com seu referencial,
elas não estão voltadas para cima, mas sim para os lados.
Percebemos a utilização dos termos dêiticos (RADFORD, 2009) “de cima” e “dos
dois lados”, utilizados para descrever, de acordo com o contexto da tarefa, os objetos no
espaço. Mais especificamente, as posições das faces de acordo com a posição do cubo em
relação aos alunos. Tais termos podem ser uma ferramenta útil na percepção da regularidade e
na elaboração de uma regra para o cálculo do número de faces expostas em função do número
de cubos enfileirados. Em outras palavras, os termos dêiticos são valiosos na elaboração de
fórmulas na generalização algébrica contextual.
Assim, tais alunos começaram a engajar-se na tarefa, a fim de perceber e dar
sentido à sequência trabalhada, configurando um momento em que eles passaram a utilizar
diversos recursos, como a fala e os gestos, chamados por Radford (2010a) de meios semióticos
de objetificação.
Portanto, essa atividade que o autor chamou de multi-semiótica, em que o objeto a
ser estudado é analisado e compreendido progressivamente, constitui-se no processo de
objetificação, em que os estudantes buscam entender a sequência, de forma a apreender uma
possível regularidade entre os seus termos.
Retornando à cena em sala de aula, prossegui identificando o número de faces –
figura 21 – de acordo com o que os alunos haviam falado:
P: Então, a gente tem a face de cima exposta (apontando para tal face) e mais duas faces, não é isso? A
da frente (apontando para a face da frente) e essa aqui de ladinho (apontando para a face da esquerda),
145
certo?
Turma: Certo!
Figura 21: Termos utilizados para identificar cada face exposta do primeiro cubo.
Nesse caso, também recorrendo a termos dêiticos, reforço a forma de percepção
mencionada pelos demais alunos, para que aqueles colegas que ainda não haviam apreendido o
que tinha sido mostrado tivessem a oportunidade de entender.
Em seguida, antes de adicionar o segundo cubo e apontando para a face exposta da
esquerda do cubo que já estava sobre a mesa, pergunto quantas seriam as faces expostas, caso
adicionasse mais um cubinho encostado a essa face esquerda do cubo que já estava sobre a
mesa.
Novamente, antes que eu terminasse a pergunta, o aluno A12 levanta-se e vai
pulando em direção à mesa em que estava o primeiro cubo, pedindo para falar. Em seguida, o
aluno A10 também de pé e com a mão aberta e levantada, sinalizando o número cinco, fala:
A10: 5! 5!
P: Por quê?
A10 caminha para perto da mesa e se junta a mim e ao aluno A12, que fala para o
colega:
A12: 5 não ‘negão’, é 6 ué!
146
Para mostrar que estava certo, o aluno A10 aponta contando duas faces (a face
voltada para cima e a face voltada para frente) do cubo que já estava sobre a mesa e, como se
o segundo cubo estivesse ao lado do primeiro – eu ainda não havia colocado-o sobre a mesa –,
ele simula a contagem de suas faces expostas, fazendo apontamentos com o dedo indicador no
ar. Primeiramente ele aponta para onde ficaria a face voltada para cima, em seguida para a
face que ficaria voltada para frente e, por último, para a face que ficaria voltada para a
esquerda.
Novamente o aluno A10 recorre a meios semióticos de objetificação, mais
especificamente aos gestos e à fala, para expressar seu raciocínio e se fazer entender.
Percebemos que ele seguiu uma ordem ao apontar para as faces dos cubos enfileirados:
primeiro ele aponta para aquela voltada para cima, depois para a face voltada para frente e, por
último, para a face voltada para a esquerda. Tais gestos coordenados novamente sugerem de
que forma o aluno estava percebendo a sequência de faces expostas, de acordo com a posição
dos cubos, e como ele estava apreendendo a lógica da sequência.
Em seguida, acrescentei o segundo cubo sobre a mesa e contamos o total de faces
expostas para o caso dos dois cubos enfileirados:
P: Vamos ter 1, 2, 3, 4, 5!
Enquanto eu contava com a turma, repeti os mesmos gestos de apontamento feitos
pelo aluno A10, a fim de sugerir uma regularidade e tornar os demais alunos familiarizados
com formas de percepção organizadas e um pouco mais avançadas.
De acordo com Radford (2009), essa forma de ação é parte do processo de
objetificação, em que os estudantes apreendem a lógica cultural de raciocínio e se
familiarizam com formas de ação e pensamento constituídos historicamente. Portanto, minha
intenção era mostrar aos alunos que, além da numerosidade das faces expostas, sua disposição
espacial na sequência de cubos também poderia sugerir algo interessante.
Dessa forma, pretendia fazer com que os estudantes iniciassem o que Radford
(2010b) chamou de domesticação do olhar, a partir do que eles poderiam desenvolver
habilidades que os tornariam mais aptos a perceber a sequência, sem ignorar algum de seus
atributos que pudesse ser de grande valia no desenvolvimento da tarefa.
Continuando no episódio em sala de aula, prossegui comentando e anotando no
147
quadro que, quando tínhamos 1 cubo, o número de faces expostas era 3. Ao acrescentar mais 1
cubo, o número de faces expostas passou a ser 5. Dessa forma, no quadro, ficou registrada a
seguinte situação:
1 cubo → 3 faces
2 cubos → 5 faces
Entendemos que tal registro correspondeu a mais um meio semiótico de
objetificação para facilitar aos alunos a percepção de uma regularidade da sequência. Nesse
caso, recorri ao recurso da linguagem escrita, a partir da construção de uma relação entre o
número de cubos e o número de faces expostas.
Em seguida, continuei instigando e desafiando os alunos:
P: Eu quero perceber se vai existir um padrão nisso aqui (apontando para o que eu havia escrito no
quadro). (...) Olha só... existe uma regra pra eu descobrir o número de faces que ficam expostas
dependendo do número de cubinhos que eu enfileirar? Então, por exemplo, a gente percebe o
seguinte: cada cubinho que eu coloco enfileirado aqui (apontando para a mesa onde estavam os dois
cubos enfileirados)...
O aluno A10 pergunta em voz baixa, enquanto eu estava falando:
A10: Vai ser mais 3 menos 1?
A partir dessa fala do aluno A10, percebe-se que ele apresenta o número de faces
expostas que aumentam, quando adicionamos mais um cubo enfileirado. Dessa forma,
podemos deduzir que ele já havia percebido que, a cada cubo que é acrescentado, teremos 3
faces expostas a mais. Porém, devemos diminuir uma, visto que uma das faces do último cubo
que já estava enfileirado ficará escondida, conforme o exemplo ilustrativo de quando
acrescentamos o terceiro cubo.
148
Figura 22: Acrescentando o terceiro cubo.
Consideramos que essa “regra” apresentada pelo aluno A10 – somar 3 e subtrair 1
– está embebida do processo de objetificação vivenciado por ele, visto que, provavelmente, foi
a partir da forma como a tarefa foi conduzida e do modo como ele observou a disposição
física dos cubos e das faces expostas que ele pode perceber essa relação.
De fato, essa fórmula apresentada por A10 está tão ligada ao contexto do
desenvolvimento da tarefa que ele parece nem ter percebido que o fato de somar 3 e subtrair 1
corresponde, de forma mais direta, a somar 2.
Além disso, ponderamos aqui que A10 já havia percebido a gênese da sequência
relacionada ao número de faces expostas nos cubos enfileirados. Em outras palavras, ele já
havia percebido de que forma é obtido um novo termo dessa sequência, à medida que
acrescentamos um novo cubo.
Contudo, de acordo com o proposto por Radford (2010a, 2011), não podemos
considerar que o aluno estava no campo algébrico, pois, até aquele momento, ele apenas havia
percebido uma regularidade na sequência trabalhada. Em vista disso, avaliamos que essa
percepção está ligada a um pensamento recursivo, visto que, se quisermos encontrar o número
de faces expostas, sabendo-se o número de cubos enfileirados, utilizando sua “fórmula”,
precisaremos do termo anterior, ou seja, devemos tomar o número de faces expostas que
tínhamos na situação com um cubo enfileirado a menos, somar 3 e, em seguida, subtrair 1.
149
Retornando ao contexto de sala de aula, no momento em que o aluno A10 fez sua
pergunta, eu não o ouvi e prossegui com minha indagação:
P: ... com certeza... com certeza... de cada um desses cubinhos que eu enfileiro, quantas faces que eu
tenho expostas?
A4: Você adiciona mais duas! Mais três...
A6: Não, eu acho que você subtrai 1 e adiciona 2... 3, quero dizer!
O aluno A4 parece ter ficado em dúvida quanto ao número de faces expostas que
aumentariam, caso fosse acrescentado mais um cubo à fileira.
A aluna A6 discorda de A4 e fala o que percebeu: a cada novo cubo acrescentado,
o número de faces expostas deve ser diminuído de 1 e aumentado de 3. Ou seja, tal aluna
observou a sequência de forma similar ao aluno A10 e, consequentemente, a regularidade
proposta por ela em sua fala estava totalmente ligada ao processo de objetifiicação que ela
estava vivenciando.
Logo, valendo-se do mesmo discurso de análise apresentado para a fala do aluno
A10, na página anterior, novamente vemos o contexto em que a tarefa foi desenvolvida
desempenhar um papel fundamental na percepção da gênese da sequência e, assim como no
caso do aluno A10, ainda não consideramos a evolução de um pensamento algébrico, mas,
sim, de algo ligado ao pensamento recursivo.
A fim de perceber se os alunos continuariam com a mesma estratégia de cálculo ou
se já conseguiriam realizar algum tipo de generalização algébrica – factual ou contextual –, ou
seja, se já seriam capazes de apresentar uma regra para o cálculo do número de faces expostas
sabendo-se o número de cubinhos enfileirados, lancei as seguintes perguntas:
P: Vamos pensar em mais um cubo? Se eu colocar mais um cubinho aqui? (Apontando para os dois
cubos que já estavam enfileirados sobre a mesa).
A7: Aí vai ser 3 faces...
P: Vai ser mais 3 faces?
No momento em que perguntei se seriam mais 3 faces, apontei para a face do
segundo cubo que seria escondida, caso adicionássemos o terceiro cubo:
P: Mas e essa aqui que eu vou tampar?
150
A7: Mas essa aí (apontando para a face que seria escondida, caso adicionássemos mais um cubo) não
vai aparecer não! Não vai aparecer não, porque vai ficar tampada!
A6: Vai ficar... Mas você vai diminuir 1 de 5, vai ficar 4 e adicionar 3...
A aluna A6 tenta explicar que das 5 faces
expostas, a partir dos 2 cubos
enfileirados, devemos tirar 1, ou seja, aquela que será escondida depois que acrescentarmos o
terceiro cubo, e, assim, ficamos com 4. Em seguida, devemos adicionar 3, que corresponde ao
número de faces que ficarão expostas no cubo acrescentado.
Assim, percebemos que A6 utilizou o mesmo raciocínio que ela havia apresentado
anteriormente: toma o número de faces expostas dos cubos que já estão enfileirados sobre a
mesa, subtrai 1 (relativo à face do último cubo que estava enfileirado e que será tampada) e
depois adiciona 3 (relativo às 3 faces do novo cubo que seria adicionado e que ficariam
expostas).
Essa estratégia apresentada por A6 nesse momento reforça a ideia do
desenvolvimento do pensamento recursivo, uma vez que ela, para saber o número de faces
expostas no caso de 3 cubos enfileirados, recorreu ao número de faces expostas no caso de 2
cubos, subtraiu 1 e depois adicionou 3.
Depois da fala de A6, confirmei o resultado encontrado por ela, enfileirando um
terceiro cubo sobre a mesa e contando o número de faces expostas em um movimento rítmico:
P: 1 (apontando para face voltada para cima do primeiro cubo), 2 (apontando para face voltada para
frente do primeiro cubo), 3 (apontando para face voltada para cima do segundo cubo), 4 (apontando
para face voltada para frente do segundo cubo), 5 (apontando para face voltada para cima do terceiro
cubo), 6 (apontando para face voltada para frente do terceiro cubo), 7! (Apontando para a face da
esquerda do terceiro cubo).
Através dos gestos rítmicos e da entonação de voz ao contar, tentei sugerir aos
alunos que em cada cubo teríamos 2 faces expostas, com exceção do último cubo, em que
teríamos uma a mais. Logo, uma forma de calcular o número de faces expostas em função do
número de cubos enfileirados seria fazer o número de cubos vezes dois, mais um.
Assim, o que eu faço é recorrer novamente aos meios semióticos de objetificação, a
fim de mostrar aos alunos que a forma como as faces expostas estavam dispostas em pares nos
cubos enfileirados também era uma regularidade interessante a ser considerada.
151
Contudo, as perguntas e o modo como a tarefa foi conduzida até então não
exigiram que a turma se preocupasse com esse atributo (disposição das faces expostas). Todas
as perguntas feitas até o momento os alunos puderam responder, utilizando apenas a
recursividade e a regularidade percebida por A10 e A6.
Continuamos a construir a relação no quadro e suspeitei então que, a partir desse
registro, os alunos perceberam que à medida que aumentávamos um cubo na sequência de
cubos enfileirados, aumentavam duas faces expostas.
1 cubo → 3 faces
2 cubos → 5 faces
3 cubos → 7 faces
Para saber de que forma eles explicariam o porquê desse fato, perguntei:
P: Ah, daqui (apontando para o registro no quadro) vocês já perceberam um padrão... daquilo que eu
estou escrevendo no quadro. Porque é 3, 5, 7, 9. Mas, por que, então, que está adicionando só de 2 em
2? Por que quando eu aumento 1 cubo, só aumentam 2 faces?
A4: Porque você... você desconsidera a do lado!
A6: Por que subtrai 1!
A partir das falas acima, percebemos que os alunos A4 e A10 entenderam que o
número de faces expostas estava aumentando de dois em dois, visto que, ao acrescentarmos
um novo cubo na fileira, teríamos três faces expostas a mais, pertencentes a esse novo cubo,
porém, diminuiríamos a face do lado do último cubo que já estava na fila – mesma ideia da
figura 22.
Dessa forma, tais alunos conseguiram fazer a ligação entre os diversos meios
semióticos de objetificação utilizados até então. Ou seja, eles relacionaram o registro escrito
no quadro com o processo de desenvolvimento da tarefa realizada, à medida que fui
enfileirando os cubos na mesa.
Assim, até o caso de 5 cubos enfileirados, as respostas dos alunos estavam
relacionadas ao pensamento recursivo, em que eles tomavam os valores registrados no quadro
e somavam 2.
Contudo, meu objetivo era propor à turma uma situação em que essa tática de ir
152
somando dois não fosse tão conveniente, sendo necessário recorrer à elaboração de outra
estratégia de cálculo.
Dessa forma, pedi que eles encontrassem o número de faces expostas para 10 cubos
enfileirados. Nesse caso, como já havíamos explorado bastante a gênese da sequência formada
pelas faces expostas nos cubos enfileirados sobre a mesa, esperava que os alunos utilizassem
as descobertas realizadas até então, para desenvolver uma regra eficaz para o cálculo do
número de faces expostas, sabendo-se o número de cubos enfileirados. Nesse sentido,
esperamos que os estudantes desenvolvessem uma generalização algébrica factual, já que, até
aqui, eles trabalharam com mecanismos elevados de percepção da sequência, em que
recorreram a diversos meios semióticos de objetificação – gestos, fala e registro escrito –, e
desvendaram sua regularidade, e não teriam que lidar com quantidades indeterminadas de
cubos enfileirados.
O aluno A4 responde de imediato em tom alto:
A4: 22! 22! 22 faces!
P: 22?
A4: É porque você pega o número de 5 cubos e multiplica por 2 que vai dar 22!
O aluno A4 sugere que, para encontrar o número de faces expostas quando temos
10 cubos enfileirados, basta pegar o número de faces expostas desses cubos enfileirados, que é
igual a 11, e multiplicar por 2, para encontrarmos o resultado desejado. Aqui, o aluno recorre
ao que chamamos anteriormente de falsa generalização.
Depois de explicar ao aluno A4 a incorreção de sua resposta, o aluno A10 fala:
A10: Vai dá 21. 21! 21!
P: Por que 21?
A10: Por que eu fui contando de 2 em 2.
Pela fala do aluno A10, percebemos que ele não desenvolveu uma estratégia de
cálculo que facilitasse a resolução da tarefa, mas, recorreu à regularidade que já havia sido
percebida na sequência formada pelos números de faces expostas nos cubos enfileirados – é
uma sequência numérica equivalente a uma progressão aritmética em que o primeiro termo é 3
e a razão é 2 –, a qual estava registrada no quadro (registro página 152), e foi contando de 2
153
em 2 até chegar ao resultado desejado. De acordo com o proposto por Radford (2010a), tal
procedimento de resolução é característico de um pensamento aritmético e não algébrico.
A fim de continuar desafiando os alunos, pedi à turma que encontrasse o número
de faces expostas no caso de 17 cubos enfileirados. Os alunos pediram um tempo para pensar
e, depois de aproximadamente 15 segundos que eu havia lançado a pergunta, a aluna A15
pergunta:
A15: 35?
P: Por que 35?
A4: Porque você soma!
A10: É só contar de 2 em 2. Você conta de 2 em 2!
Percebemos, a partir do trecho acima, que os argumentos utilizados pelos alunos
A4 e A10 ainda eram característicos de estratégias aritméticas.
Neste momento, a turma estava muito agitada, devido ao desafio lançado, e a aluna
A15, que era tímida, não explicou como havia encontrado sua resposta e eu, tentando retomar
a concentração dos alunos, começo a explicar:
P: Cada cubo, presta atenção... cada cubo tem 2 faces expostas (apontando para as faces voltadas para
cima e as faces voltadas para frente dos cubos que estavam enfileirados sobre a mesa). Então, para
cada um desses 17 cubos, eu tenho quantas faces expostas?
A7: Duas.
P: Duas! Só que o último cubo sempre tem uma a mais! Não é isso?
A10: É!
P: Não é essa ‘uminha’ a mais aqui? (Apontando para a face esquerda do último cubo enfileirado
sobre a mesa). Então basta eu fazer o que? Pegar o 17, vezes 2, que dá?
Ao mesmo tempo em que pergunto, vou registrando no quadro o cálculo (17 x 2) e
os alunos respondendo:
A4 e A7: 34!
A4: E tem que tirar 1!
P: Não é somar?
A14: É somar mais 1!
154
O aluno A4 confundiu-se com as operações que ele havia realizado anteriormente
para o cálculo do número de faces expostas, no caso de 10 cubos enfileirados. Naquela
ocasião, ele havia tomado o número de faces expostas em cinco cubos enfileirados,
multiplicado por 2 e subtraído 1 do resultado, encontrando a resposta correta. Porém, o
procedimento que estávamos discutindo agora era diferente, visto que tomamos o número de
cubos dado (17), multiplicamos por 2 e, em seguida, deveríamos adicionar 1. Mas o aluno A10
parece não ter notado que a estratégia era outra e sugeriu que, depois de encontrarmos o
resultado da multiplicação de 17 por 2, precisaríamos subtrair 1, que era o que ele havia feito
na situação anterior, correspondente aos 10 cubos enfileirados.
Durante o desenvolvimento da atividade, eu não notei esse fato e simplesmente
neguei sua sugestão. O mais adequado seria eu ter aproveitado essa situação para esclarecer
para tal aluno o porquê da diferença entre os dois procedimentos.
Em seguida, retomo a discussão:
P: Não seria somar 1 aqui? (Indicando o resultado da multiplicação 2 x 17).
A7: Então é 34 mais 1!
P: Que vai dar?
A4 e A7: 35!
P: 35...
A7: faces!
P: Então, existe um segredo para que eu possa descobrir o número de faces se eu tiver qualquer
quantidade de cubos enfileirados?
A7: Sim, claro!
A10: Sim! Multiplicar por 2 mais 1!
A15: É só multiplicar por 2 e depois adicionar 1!
Durante toda minha explicação, o que fiz foi induzir a turma à percepção de uma
regra para o cálculo do número de faces expostas em função do número de cubos enfileirados.
Para tal, usei a regularidade percebida até então – cada cubo enfileirado tem sempre duas faces
expostas, então basta tomar o número de cubos desejado e multiplicar por 2 – retomando,
novamente, a situação concreta em sala de aula, e direcionei a discussão para que os alunos
fossem deduzindo o restante, fazendo as devidas intervenções – além de multiplicar por 2,
devemos somar 1 ao produto encontrado.
155
Nesse sentido, para explicar a regra, utilizando como caso particular os 17 cubos
enfileirados, recorri mais uma vez aos meios semióticos de objetificação. Mais
especificamente, lancei mão de gestos (apontando para as faces dos cubos que estavam
enfileirados sobre a mesa), e de registro escrito no quadro, a fim de estabelecer uma
comunição matemática com os alunos de forma que eles entendessem o porquê de cada termo
e de cada operação realizada em nossos cálculos para encontrar o número de faces expostas
desejado.
Os alunos A10 e A15 finalizaram a discussão, mostrando que eles haviam
apreendido o almejado por mim naquele momento e apresentando qual seria a regra para o
cálculo do número de faces em função do número de cubos enfileirados.
Vale destacar que, nesse momento, quando perguntei qual seria “o segredo” para
encontrar o número de faces expostas, fiz menção de maneira explícita ao objeto
indeterminado através da expressão “qualquer quantidade”. Apesar disso, ao expressarem a
regra encontrada, os alunos A10 e A15 apenas falaram as operações que deveriam ser feitas
com o número de cubos que fossem dados em cada caso, para o cálculo do número de faces
expostas, sem se referirem a uma quantidade indeterminada de maneira explícita.
Nesse sentido, visto que a regra foi construída com meu auxílio e tendo como base
uma quantidade pré-determinada de cubos enfileirados – 17 cubos – consideramos que tais
alunos – A10 e A15 – manifestaram respostas que foram consequências de uma generalização
algébrica factual, em que a indeterminação – quantidade qualquer de cubos enfileirados –
ainda não era objeto explícito no discurso desses estudantes.
O que interessava aos alunos até o momento eram as operações que eles deveriam
realizar com a quantidade de cubos que eu lhes dava para que descobrissem a quantidade de
faces expostas. E foi dessa forma que ficou estabelecida a relação entre a indeterminação e a
analiticidade: a partir das operações a serem realizadas para encontrar o número de faces
expostas, sabendo-se o número de cubos enfileirados.
Dando sequência à situação em sala de aula, o aluno A4 ficou ansioso e irritado por
não conseguir falar de modo que todos o ouvissem. Pedi à turma que se acalmasse e que
falasse um de cada vez. O aluno A4 levantou-se e falou:
A4: Você tem que pegar o número de cubos, multiplicar por 2 e adicionar 1 que é a face do lado!
156
Nessa frase, o aluno explicou qual foi a regra encontrada durante nossa discussão,
sem atribuir valor ao número de cubos. Nesse sentido, ele mencionou de maneira explícita o
objeto indeterminado através da expressão “número de cubos”.
Além de fazer menção ao objeto indeterminado, o aluno, para explicar a fórmula,
recorre à expressão “do lado”, chamado por Radford (2010a) de termo dêitico, a fim de
explicar de modo contextual a qual face ele está se referindo, quando diz que devemos
adicionar 1 ao produto do número de cubos por 2.
De acordo com Radford (2010a), referir-se de maneira explícita ao objeto
indeterminado e fazer uso de termos dêiticos são características do desenvolvimento de uma
generalização algébrica contextual. Nesse sentido, foi esse tipo de generalização que o aluno
A4 mostrou ter desenvolvido até então.
Passaremos agora para a análise dos registros escritos das duplas57.
Conforme exposto no capítulo anterior, primeiramente, os alunos completaram
uma tabela em que tínhamos, na primeira coluna, o número de cubos enfileirados e, na
segunda coluna, o número de faces expostas. Todos os grupos completaram-na corretamente,
com exceção da dupla 4 – conforme explicado nas páginas 87 e 88.
Depois de completada a tabela, os alunos deveriam expor sobre a seguinte questão:
Escrevam abaixo o que vocês descobriram sobre o número de faces expostas de acordo com o
número de cubinhos enfileirados.
A partir de tal questão, gostaríamos de verificar se todos os grupos haviam
apreendido a regra discutida coletivamente e, em caso afirmativo, de que forma eles
expressariam tal regra: se utilizando a linguagem corrente ou a linguagem simbólica, se fariam
menção ao objeto indeterminado (número de cubos enfileirados) e de que forma isso se daria,
ou se recorreriam a um número específico de cubos.
No caso de eles abordarem um número específico de cubos enfileirados,
concordamos tratar-se de uma generalização algébrica factual. Caso contrário, se eles
conseguissem expressar a regra de modo geral, mencionando o objeto indeterminado,
consideramos uma generalização algébrica contextual.
Na verdade, como até o momento ainda não havíamos trabalhado a questão da
linguagem simbólica, menos ainda a linguagem algébrica padrão, esperávamos que os alunos
57
Ver duplas no apêndice B, página 214.
157
utilizassem apenas a linguagem corrente em suas respostas. E foi o que ocorreu com as duplas
2, 3, 6, 7 e 8, que escreveram corretamente a regra encontrada. Na tabela abaixo, temos as
respostas apresentadas:
Duplas
Dupla 2
“Multiplicando x 2, somando 1”
Dupla 3
“Multiplica 2 ao número de cubos enfileirados
e somamos 1 ao resultado”
“A gente pego o número de cubos multiplica
por 2 e soma um”
“É multiplicar o valor do cubo por 2 e somar
1”
“Você multiplica o número de cubos por 2 e o
resultado adiciona 1”
Dupla 6
Dupla 7
Dupla 8
Tabela 16: Respostas das duplas 2, 3, 6, 7 e 8 à primeira questão da tarefa III escrita.
A dupla 4, além de escrever corretamente a regra encontrada, apresentou uma
regularidade percebida na sequência (o número de faces aumenta de 2 em 2) e o exemplo de
aplicação da regra para o caso de 1000 cubos enfileirados, conforme o registro abaixo:
Imagem 21: Registro da dupla 4 na segunda questão da atividade II.
Nos casos das duplas 2, 3, 4, 6 e 8, percebemos que houve apreensão da regra
encontrada e discutida coletivamente. Com exceção da dupla 2, todas fizeram menção ao
objeto indeterminado. Para tal, as duplas 3, 4, 6 e 8 utilizaram o termo “número de cubos”, e a
dupla 7 utilizou a expressão “o valor do cubo”. Dessa forma, constatamos a realização de uma
generalização algébrica contextual.
158
Conforme destacado, de acordo com Stacey (1989 apud BARBOSA, VALE e
PALHARES, 2008), a regra encontrada é fruto de uma generalização do tipo linear, em que
temos a elaboração de um modelo do tipo an + b. No caso, o “a” e o “b” equivalem a 2 e 1,
respectivamente, e o “n” representa o número de cubos enfileirados.
A dupla 7 apenas apresentou as operações que deveriam ser realizadas, sem
especificar com qual objeto no contexto da atividade deveríamos efetuar tais operações. Nesse
sentido, não podemos afirmar que houve apreensão/compreensão da regra encontrada.
As duplas 1 e 5 não responderam conforme o esperado. Seguem na tabela abaixo as
respostas de tais duplas:
Duplas
Dupla 1
“Nós entendemos que é a mesma base dos
exercícios anteriores ex: o exercício do palito
de dente, que é só aumentar 2 em 2 menos 1”
“Descobrimos que em cada cubo se soma mais
duas faces e mais uma face com o lado”
Dupla 5
Tabela 17: Respostas das duplas 1 e 5 à primeira questão da tarefa III escrita.
A resposta da dupla 1 mostra que os alunos perceberam que a atividade dos cubos
é similar à atividade anterior dos palitos de fósforo. Porém, eles não apresentaram a regra
corretamente, visto que, apesar de terem percebido que “aumenta de 2 em 2”, afirmaram que
deveria subtrair 1.
Quanto à dupla 5, percebemos que ela expressou o padrão envolvido, apresentando
a gênese da sequência. Contudo, seus integrantes não escreveram uma regra geral para
calcular o número de faces expostas de acordo com o número de cubos enfileirados. Portanto,
eles permaneceram no campo aritmético, não realizando uma generalização algébrica, de
acordo com o proposto por Radford (2010a).
Quando todos os grupos já haviam finalizado a atividade escrita, aproveitei os
minutos restantes da aula para lançar mão da discussão sobre o tipo de linguagem que
estávamos utilizando para expressar nossas “descobertas”:
P: Pessoal, a gente tá escrevendo essas nossas descobertas sobre as sequências... nós estamos
escrevendo, usando a linguagem corrente... A gente tá escrevendo as descobertas, sem usar uma
linguagem matemática. Será que existiria um jeito de eu expressar esse número de faces, de acordo
com o número de cubinhos usando uma linguagem só matemática? Porque a gente escreve:
159
‘multiplicando o número por 2 e adicionando 1 ao resultado’. A gente escreve isso tudo por extenso.
Será que tem um jeito...
A4: Tem!
P: ... da gente usar a linguagem matemática pra escrever isso?
A7: Eu não sei não...
A4: Posso escrever no quadro? Eu posso escrever no quadro?
P: Como seria possível isso?
A4: Posso escrever no quadro?
Depois de A4 pedir repetidas vezes, entreguei-lhe o pincel e ele, disse que iria usar
um número “imaginário”, registrando o seguinte cálculo:
Os demais alunos acompanharam seus cálculos, ajudando-o. Destaquei que o
resultado encontrado seria o número de faces se tivéssemos 20 cubos enfileirados e volto a
perguntar:
P: E se for uma quantidade de cubos qualquer? Que eu não sei quanto. Como que eu vou representar
isso com a linguagem matemática?
A7: Aí é impossível!
A4: Se você tiver só o número de faces e... é... se você tiver o número de faces tem como...
É interessante notar que, até o momento, a solicitação de se escrever
matematicamente a regra encontrada para um número qualquer de cubos enfileirados não fazia
sentido para os alunos. Na verdade, tendo em vista que a turma ainda estava dentro de um
universo quase que estritamente aritmético, faltava-lhe amadurecimento e instrumentos em seu
vocabulário matemático para responder a tal questão.
Em seguida, entramos na discussão de que, se tivéssemos o número de faces
expostas, poderíamos calcular a quantidade de cubinhos. Nesse sentido, eu pergunto:
160
P: Se temos 231 faces expostas, quantos cubos estão enfileirados?
A partir de tal pergunta, os alunos deveriam trabalhar com a ideia de equação do
primeiro grau, em que o objeto indeterminado representa um valor específico e possível de ser
determinado. Em outras palavras, conforme proposto por Usiskin (1995), tal objeto agora
apresenta a ideia de incógnita e não mais de variável. Nesse caso, esperávamos que a turma
utilizasse os conceitos das operações inversas, conteúdo já trabalhado em outras situações.
Assim, de acordo com nossas expectativas, o aluno A4 vai ao quadro e calcula:
Expliquei aos demais alunos tais cálculos e retomei a discussão sobre como
expressar a regra encontrada para uma quantia qualquer de cubos enfileirados em uma
linguagem matemática. Meu objetivo era que os alunos criassem uma linguagem simbólica
(desenho ou qualquer outro registro escrito diferente da linguagem corrente) para responder à
minha pergunta.
Percebendo a dificuldade dos estudantes em entender o que eu estava solicitando,
fui ao quadro, escrevi a sentença “o número de cubos vezes dois mais um” e expliquei-lhes
que eu gostaria que eles escrevessem tal frase usando apenas símbolos matemáticos. Nesse
momento, A4 vai novamente ao quadro e registra:
161
Imagem 22: Registro do aluno A4 no quadro.
Observando o contexto em que o aluno A4 realizou tal registro, concordamos que
houve, na verdade, uma mudança de representação, em que tal aluno tomou a sentença que eu
havia escrito no quadro – “o número de cubos vezes dois mais um” – utilizando a linguagem
corrente, e a traduziu para uma linguagem simbólica.
É interessante notar que foi solicitado à turma um registro utilizando apenas
símbolos matemáticos, que foi exatamente o que A4 realizou: utilizou a figura de um cubo,
objeto matemático já conhecido por ele, para representar o número de cubos, os símbolos das
operações de multiplicação e de adição e os números 2 e 1.
Nesse sentido, a fórmula simbólica apresentada pelo aluno está ligada ao contexto
da tarefa, visto que a variável (número de cubos enfileirados) foi representada por um objeto
(desenho de um cubo) relacionado à sequência trabalhada. Assim, de acordo com Radford
(2010a), essa é uma fórmula icônica que aparece como um tipo de narrativa do processo de
objetificação vivenciado pelo aluno. Em outras palavras, essa fórmula provavelmente ainda
não apresenta um sentido abstrato para a turma.
Na verdade, tal registro é resultado da generalização algébrica contextual realizada
por A4 e não se configura, de acordo com Radford (2010a), consequência do pensamento
algébrico padrão. Segundo o autor, uma generalização algébrica padrão está ligada ao uso
das letras para representar as quantidades desconhecidas, de forma que a linguagem utilizada
162
tenha um sentido abstrato e menos conectada com o contexto da tarefa realizada.
Assim, não houve a utilização da linguagem algébrica padrão na fórmula
apresentada por A4, o que confirma a ideia apresentada por Radford (2010a) de que tal
linguagem é algo artificial, ou seja, não surge naturalmente nas respostas de nossos estudantes.
De modo geral, consideramos que o trabalho desenvolvido com tal sequência foi
muito rico e nos mostrou um avanço da turma com relação à percepção de um padrão, assim
como na elaboração e compreensão de uma generalização característica do pensamento
algébrico, conforme proposto por Radford (2010a).
Grecco (2008), que também aplicou tal sequência para uma turma de 14 alunos do
7º ano do Ensino Fundamental, apresentou uma abordagem diferente, mas também obteve
resultados interessantes. Tal pesquisadora não montou a sequência com objetos concretos
juntamente com os alunos, como fizemos. Ela utilizou uma atividade impressa em que
apresentou uma figura com três cubos da sequência, uma tabela que os alunos deveriam
preencher com o número de faces expostas para o caso de 1, 2, 5, 8, 15 e 35 cubos enfileirados
e, por último, uma questão que solicitava a elaboração de uma regra para o cálculo do número
de faces expostas para um número qualquer de cubos enfileirados. As respostas dos alunos
mostraram que, dos 14 participantes, 7 realizaram uma generalização algébrica, elaborando
uma regra para o cálculo do número de faces expostas em função do número de cubos
enfileirados, alcançando o que a autora considerou pensamento algébrico. Um dos alunos não
elaborou uma regra, mas percebeu uma regularidade e utilizou o processo de contagem para
responder às questões propostas, e os demais não conseguiram nem mesmo perceber um
padrão correto, estando, de acordo com a autora, em um nível aritmético.
Nesse sentido, destacamos que a forma como a sequência foi apresentada aos
alunos – acrescentando-se um cubo de cada vez na sequência montada sobre a mesinha em um
dos cantos da sala – influenciou positivamente na percepção de uma regularidade.
Acreditamos que essa forma de abordagem facilita uma visualização diferenciada para a
formação da sequência, de modo a considerar os atributos relevantes para seu estudo, no
sentido do desenvolvimento da domesticação do olhar pelos estudantes, rumo a uma
generalização algébrica factual e, a posteriori, uma generalização algébrica contextual.
Notamos também que a dinâmica contribuiu para que alguns alunos conseguissem
fazer a ligação entre os diversos meios semióticos de objetificação utilizados, entre eles a fala,
163
os gestos, a tabela relacionando o número de cubos enfileirados e o número de faces expostas,
além outros registros escritos. Nesse sentido, a regra elaborada – o número de faces expostas é
igual ao número de cubos enfileirados vezes dois, mais dois – esteve em total conexão com o
processo vivido pelos estudantes, de modo que eles conseguiram entender contextualmente
cada um de seus elementos e as operações que deveriam ser realizadas.
Porém, novamente destacamos, assim como nas demais tarefas, um déficit no
trabalho com o objeto indeterminado com ideia de incógnita. Tal conceito foi rapidamente
abordado ao final da aula, na discussão com o aluno A4, deixando a ideia de que seja algo
menos importante a ser trabalhado nesse tipo de tarefa.
Na verdade, como nosso trabalho esteve muito voltado para a forma como os
alunos se envolviam com as sequências e desenvolviam o pensamento algébrico, acabamos
por cometer essa falha de deixar a exploração da ideia de equação sempre como “pano de
fundo” na execução das tarefas junto à turma.
5.4. Tarefa IV: Lembretes
Como descrito no Capítulo 4, o desenvolvimento da tarefa contou com a simulação
da montagem de um painel de lembretes afixados com o auxílio de ímãs, de modo que a
disposição de tais itens (lembretes e ímãs) seguisse um padrão específico.
Nesse sentido, a ideia central era explorar a sequência numérica formada pelos
ímãs, de acordo com o número de lembretes afixados, o que poderia gerar um modelo do tipo
an + b, característico de uma estratégia linear.
De acordo com o objetivo deste capítulo, partiremos para a análise dos resultados
da aplicação da tarefa, uma vez que a descrição de sua aplicação em sala de aula foi detalhada
no capítulo anterior, da página 89 a página 96.
Nesse sentido, a primeira situação que nos chamou a atenção durante a aula foi o
diálogo que ocorreu depois de eu expor para a turma a simulação do primeiro lembrete afixado
no painel – figura 23.
164
Figura 23: Exemplo de um lembrete afixado.
Segue o diálogo:
P: Pra colar esse meu primeiro lembrete no meu mural, eu gasto quantos pinguinhos de cola?
A12: 4!
P: 4, né? Se fosse um mural que precisasse usar ímãs, eu gastaria quantos ímãs?
A7 e A12: 4!
P: Se eu quisesse colocar mais um lembrete...
A10: 8!
A11: 8!
Percebemos, aqui, que antes que eu perguntasse o número de ímãs que seriam
necessários para afixar 2 lembretes, os alunos A10 e A11 adiantaram uma resposta, parecendo
já imaginar o que seria explorado em tal tarefa. A resposta apresentada por eles corresponde
ao número de pingos de cola que utilizaríamos, caso adicionássemos o segundo lembrete à
situação apresentada na figura 23, visto que um pingo de cola não poderia ser removido do
painel para em seguida ser recolocado, como no caso de um ímã.
Dessa maneira, no caso de um painel real, se tivéssemos o primeiro lembrete
afixado e quiséssemos adicionar o segundo, poderíamos aproveitar um dos ímãs que já estava
auxiliando na afixação do primeiro lembrete para afixar uma das pontas do segundo lembrete.
Em outras palavras, um mesmo ímã serviria para afixar, ao mesmo tempo, as pontas de dois
lembretes distintos, conforme destacado na figura abaixo:
165
Figura 24: Ímãs comuns a mais de um lembrete.
Dessa forma, destacamos, desde já, que o material utilizado para o
desenvolvimento dessa proposta, de forma mais específica, os pingos de cola colorida fazendo
papel dos ímãs, não representou de maneira fiel a situação real e pode ter dificultado a
percepção do padrão pelos alunos.
Assim, não vamos considerar que as respostas proferidas pelos alunos A10 e A11,
no diálogo acima, estavam incorretas. Na verdade, a forma como foi confeccionado o lembrete
apresentado em sala levou-os à conclusão de que seria necessário um total de oitos pingos de
cola para afixar dois lembretes no mural.
Apesar desse impasse, ao apresentar para a turma a segunda imagem, em que havia
dois lembretes afixados, os alunos A10, A14 e A17 compreenderam a ideia dos pingos de cola
apenas como representação dos ímãs e deram a resposta correta.
Destacamos que, até o momento, ainda não podemos considerar que tais alunos já
haviam percebido uma regularidade na sequência de ímãs, pois eles apenas apresentaram a
resposta correta depois de verem a situação concreta apresentada por mim. Nesse caso,
provavelmente os alunos apenas utilizaram a estratégia de contagem.
Ao mostrar a situação com dois lembretes afixados, fui contando em voz alta o
número de pingos de cola utilizados para representar os ímãs em tal circunstância. Enquanto
166
contava, com a aluna A7 acompanhando-me, fui apontando com o dedo indicador para cada
um dos pontinhos correspondentes, juntamente com um gesto rítmico que seguiu a sequência
das setas e da numeração apresentadas na figura 25 abaixo:
Figura 25: Esquema representativo dos gestos durante contagem dos pontinhos de cola necessários para afixar 2
lembretes.
Assim como no caso dos cubos enfileirados, recorri aos meios semióticos de
objetificação – fala e gestos – com o intuito de sugerir a regularidade em que para afixar cada
lembrete precisamos de 3 ímãs, mais 1 último ímã para prender a ponta do último lembrete
afixado – que na figura 25 está indicada com o número 7.
Em seguida, ao sugerir que fosse acrescentado o terceiro lembrete, antes que eu
mostrasse a situação concreta para a turma – uma folha representando os três lembretes
afixados –, os alunos A10, A14 e A6 falaram corretamente quantos ímãs – 10 ímãs – seriam
necessários para afixar três lembretes, e A10 e A14 explicaram:
A10: Porque 7 menos 1 mais 4!
A14: Porque 6 mais 4 é 10!
Essas duas falas revelam a forma como está sendo percebida a formação da
sequência de ímãs pelos alunos A10 e A14. Além disso, elas estão ligadas ao contexto e à
forma como a discussão sobre a tarefa estava sendo conduzida, visto que, durante nossos
diálogos, tentei deixar claro que, ao acrescentar um novo lembrete, um dos ímãs que auxiliava
na afixação do último lembrete que já estava no painel poderia ser recolocado, de modo a
auxiliar na afixação de uma das pontas do novo lembrete a ser adicionado – ideia da figura 24.
167
Nesse sentido, entendemos que a resposta do aluno A10 apresenta a forma como
ele percebeu e visualizou a sequência de ímãs sendo formada, de acordo com sua disposição
espacial no mural e nos lembretes. Desse modo, para apresentar a resposta, primeiramente ele
visualiza os dois primeiros lembretes com os 7 ímãs necessários para afixá-los. Em seguida,
ele retira o ímã que seria tampado, ao ser adicionado o terceiro lembrete (por isso, em suas
respostas, a operação “7 menos 1”). E, por último, ele imagina o terceiro lembrete já afixado
no painel, juntamente com os dois primeiros, no qual são utilizados 4 ímãs (por isso, depois da
operação “7 menos 1”, ele coloca o “mais 4”).
Dessa forma, consideramos que o aluno A10 percebeu uma regularidade e
compreendeu a gênese da sequência, visto que sua reposta está ligada ao procedimento a ser
feito para adicionar um novo lembrete ao painel, não importando a posição desse lembrete na
sequência. Ou seja, para adicionar um novo lembrete devemos sempre retirar 1 ímã do último
que está afixado e adicionar 4 novos ímãs para afixar esse novo lembrete.
Já a fala do aluno A14 indica que ele considerou os três lembretes no painel
simultaneamente, visto que sua resposta é um pouco mais direta que a apresentada pelo aluno
A10 e sugere que deve ser efetuada a soma dos 6 ímãs dos dois primeiros lembretes com os 4
ímãs necessários para afixar o terceiro lembrete.
Porém, apesar de visualizar os três lembretes simultaneamente no painel, para
contabilizar o total de ímãs nessa situação, ele teve uma percepção diferenciada para os dois
primeiros lembretes, de forma a considerar a numerosidade e a disposição espacial dos ímãs –
em cada um desses dois lembretes temos 3 ímãs dispostos de maneira semelhante, conforme
apresentado na figura abaixo:
Figura 26: Disposição dos ímãs nos dois primeiros lembretes antes de adicionar o terceiro lembrete.
Dessa forma, depois de considerar os dois primeiros lembretes – 6 ímãs – ele
preocupou-se com o terceiro, no qual havia 4 ímãs. Daí seu argumento de se ter que somar 6
168
com 4 para encontrar a solução da questão proposta.
Nesse sentido, a partir de sua reposta, consideramos que o aluno A14 apreendeu
uma regularidade na sequência, ligada à ideia de que para afixar cada lembrete no painel são
necessários três ímãs, com exceção do último lembrete da sequência, no qual haverá quatro
ímãs.
Contudo, tanto no caso do aluno A10, quanto no caso do aluno A14, ainda não
vamos considerar o trabalho sendo realizado em um campo algébrico. De acordo com o
proposto por Radford (2010a), apenas a percepção de uma regularidade na sequência
trabalhada não é o suficiente para concluirmos que os alunos já estejam desenvolvendo um
pensamento algébrico.
Na verdade, até o momento, os alunos trabalharam apenas com quantidades
conhecidas e pequenas de lembretes, ou seja, problemas de generalização próxima, nos termos
de Barbosa, Vale e Palhares (2008), sendo fácil obter as respostas a partir da contagem.
Apesar disso, foi interessante perceber a forma como estava sendo organizada a
percepção da sequência pelos alunos. Os alunos já estavam domesticando o olhar, no sentido
de não focar apenas a numerosidade e tirar proveito da disposição espacial dos elementos da
sequência para encontrar uma resposta.
Até aqui, analisamos os principais fatos ocorridos durante a discussão coletiva –
professora e alunos – da tarefa em sala de aula. Agora, seguiremos para a análise das respostas
apresentadas pela turma58 na atividade escrita.
As questões propostas foram as seguintes:
Questão 1) Seguindo a mesma lógica observada em nossa discussão, escrevam, da forma que
vocês preferirem, como podemos calcular o número de ímãs necessários para afixar um
número qualquer de lembretes no mural.
Questão 2) Se fosse pedido a vocês para representar a descoberta do item anterior utilizando
apenas linguagem simbólica (símbolos e operações matemáticas), de que modo vocês o
fariam?
Seguem, na tabela abaixo, as repostas das duplas 1, 2 e 5 para as questões:
58
Ver grupos formados no apêndice B, página 214.
169
Grupos
Dupla 1
Dupla 2
Dupla 5
Resposta apresentada
à questão 1
“Diminuímos 1 ao
número de lembretes,
multiplicamos por 3
e somamos 4, e dará
o resultado”
Nós multiplicamos o
número de lembretes
vezes 3 + 1”
Resposta apresentada à questão 2
“Você
coloca
o
número de lembretes
vezes 3 pontinhos
que cada um tem e
mais um no último”
Tabela 18: Respostas das duplas 1, 2 e 5 à atividade escrita da tarefa IV.
A partir das respostas acima, percebemos que tais duplas encontraram uma regra
geral válida para o cálculo do número de ímãs necessários para afixar um número qualquer de
lembretes e conseguiram, na primeira questão, expressá-la utilizando a linguagem corrente.
Em vista disso, entendemos que os alunos de tais duplas foram além da apreensão
de uma regularidade e da compreensão da gênese da sequência trabalhada. O que eles
realizaram, de acordo com Radford (2010a), foi uma generalização algébrica, tendo em vista
que eles foram capazes de perceber que suas descobertas sobre a sequência 59 trabalhada seriam
válidas para todos os seus termos e de utilizá-las para encontrar uma expressão direta (ou
regra) – ainda que escrita na linguagem corrente – que lhes permitisse descobrir qualquer
termo da sequência.
Percebemos, então, durante o trabalho em sala de aula, que cada grupo e, mais
especificamente cada aluno, passou por um processo de objetificação, no qual o envolvimento
com a tarefa e a percepção da regularidade da sequência constituíram-se em importantes bases
para a construção da regra pedida na primeira questão.
Em vista disso, a regra encontrada pela dupla 1 foi diferente da regra encontrada
59
A sequência à qual nos referimos diz respeito àquela formada pelos números de ímãs em função do número de
lembretes afixados no painel.
170
pelas duplas 2 e 5. Nesse sentido, de acordo com a dupla 1, para encontrarmos o número de
ímãs necessários para afixar uma quantidade qualquer de lembretes devemos tomar o número
de lembretes, subtrair 1, multiplicar o resultado por 3 e depois adicionar 4, visto que para
afixar os lembretes são necessários 3 ímãs, com exceção do último lembrete, para o qual
precisamos de 4 ímãs.
Já as duplas 2 e 5 apresentaram a regra em que devemos tomar o número de
lembretes, multiplicar por 3 e ao resultado somar 1, visto que em todos os lembretes afixados
temos sempre 3 ímãs e, além disso, no último lembrete temos 1 ímã a mais.
Dessa forma, entendemos que a dupla 1, para perceber uma regularidade,
considerou de maneira separada o último lembrete da sequência, que tem 4 ímãs, dos demais
que têm 3 ímãs. Já as duplas 2 e 5 perceberam um traço comum em todos os lembretes,
considerando-os simultaneamente.
Apesar de tal diferença, destacamos que todos os grupos em questão lidaram com a
indeterminação de maneira explícita, mencionando-a em suas respostas à questão 1, com o
auxílio do termo “número de lembretes”. Assim, consideramos que os alunos imergiram em
um nível de objetificação característico da generalização algébrica contextual.
Quanto ao desenvolvimento de tais duplas na questão 2, não percebemos, em
nenhuma das três respostas, o uso da linguagem algébrica padrão para representar a descoberta
apresentada na questão 1.
Assim como na primeira questão os alunos recorreram à linguagem escrita corrente
para expor sua descoberta, na questão 2 eles continuaram a lançar mão de meios semióticos de
objetificação – desenhos, operações matemáticas e números –, com os quais eles já tinham
familiaridade e surgiram naturalmente durante a realização da tarefa.
Em vista disso, destacamos novamente a ideia de Radford (2009) de que a
linguagem algébrica simbólica padrão não é algo construído naturalmente pelos estudantes.
Pelo contrário, de acordo o autor, a passagem das respostas escritas na linguagem corrente
para a linguagem algébrica padrão não é algo trivial. Na verdade, constitui uma mudança
significativa e complicada na forma de designação dos objetos indeterminados do discurso,
pois o que antes poderia ser expresso com o auxílio de termos que surgiram espontaneamente
no contexto da tarefa – no caso, o termo utilizado pelos alunos foi “número de lembretes” –,
agora teria que ser substituído por letras com ideia de variáveis.
171
Diante dessa perspectiva, o que notamos nas respostas dos alunos foi justamente a
dificuldade de expressar simbolicamente a indeterminação.
De forma mais clara, as duplas 1 e 5, para representar suas descobertas já escritas
na questão 1, recorreram a exemplos de valores específicos de lembretes. No caso da dupla 1,
foi feito o cálculo do número de ímãs necessários para afixar 5 lembretes no mural, visto que
os alunos tomaram 4 lembretes (representados por desenhos), multiplicaram por 3,
encontrando 12 como resposta, e a esse produto somaram 4 ímãs (também representados por
desenhos), encontrando o resultado final igual a 16.
Destacamos na resposta de tal dupla a incorreção da escrita contínua, em que as
alunas apresentaram a ideia de que 4 x 3 = 12 + 4 = 16, levando-nos ao raciocínio de que se 4
x 3 é igual a 12 + 4 e 12 + 4 é igual a 16, então 4 x 3 = 16. Logo, apesar de a ideia estar
correta, a escrita inadequada reforça a ideia defendida por Booth (1995), Tinoco et al (2008) e
Ponte (2005) de que, para os alunos, muitas vezes, um sinal de igualdade significa apenas um
“comando” para se encontrar um resultado, ignorando ou desconhecendo o fato de que tal
símbolo representa também uma relação de equivalência entre os membros relacionados.
A dupla 5 recorreu ao exemplo de 20 lembretes afixados no painel. Destacamos
que, mesmo quando os alunos de tal dupla tentaram expressar sua regra apenas usando
desenhos, eles não deixaram de atribuir um valor específico ao que na figura eles estavam
considerando o número de lembretes (atribuíram o valor de 20 lembretes). Mas é interessante
notar como eles utilizaram os desenhos e as operações matemáticas para traduzir de maneira
fiel a regra apresentada na questão 1. Na figura abaixo tentamos mostrar essa tradução:
Figura 27: Relação entre as respostas da dupla 5 às questões 1 e 2 da tarefa IV.
Já a resposta apresentada pela dupla 2 foi a única que não esteve vinculada a um
172
número específico de lembretes. Os alunos dessa dupla representaram o objeto indeterminado
(número de lembretes) a partir da imagem abaixo:
Imagem 23: Imagem utilizada pela dupla 2 para representar o número de lembretes, na questão 2.
Novamente, destacamos que tal registro é uma tradução fiel do termo “número de
lembretes”, escrito na linguagem corrente, para um recurso semiótico que mistura a abreviação
de uma palavra (letra), forma (seta) e desenho.
Nesse caso, não podemos deixar de considerar que os alunos aproximaram-se de
um estilo sincopado para manifestar seu pensamento algébrico, pois, em vez de escrever a
palavra “número”, eles preferiram abreviá-la, escrevendo apenas “no”, remetendo-nos à
história da constituição da linguagem algébrica padrão, destacada no capítulo 2 desta
dissertação, com base principalmente em Fiorentini, Miorim e Miguel (1993).
Outro ponto relevante na resposta da dupla 2 é que, apesar de terem representado o
objeto indeterminado, os alunos se confundiram ao designar, através de desenhos, o que
seriam lembretes e o que seriam ímãs. Na verdade, para representar três ímãs, eles utilizaram
as imagens de três lembretes, conforme abaixo:
Figura 28: Interpretação da reposta apresentada pela dupla 2 para a segunda questão da tarefa IV.
Mas, ainda assim, de modo geral, consideramos que a resposta de tal dupla foi
compatível com o apresentado na questão 1.
Passaremos agora para as respostas apresentadas pela dupla 3:
173
Grupo
Dupla 3
à questão 1
“As regras são as
mesmas dos
exercícios anteriores
ex: exercícios dos
fósforos dos cubos e
etc, que é botar 4 e
tirar 1”
Tabela 19: Respostas apresentadas pela dupla 3 às questões 1 e 2 da tarefa IV.
Na resposta da questão 1, percebemos que a dupla, primeiramente, fez uma
analogia da tarefa que estava sendo trabalhada com as tarefas anteriores e, em seguida,
expressou a gênese da sequência de número de ímãs a partir da expressão “botar 4 e tirar 1”.
Em outras palavras, com essa expressão, a dupla quis mostrar que a cada novo lembrete
acrescentado devemos adicionar 4 ímãs – nesse novo lembrete – e retirar 1 correspondente
àquele da ponta do último lembrete da sequência que seria escondida.
Em sua resposta à questão 2, a dupla mostra, com um desenho, o que significa a
expressão “botar 4 e tirar 1”. Novamente, percebemos uma tradução do que foi desenvolvido
na questão 1 para um desenho na questão 2, a partir de um exemplo com dois lembretes no
painel.
Nesse desenho, os alunos assinalaram com um “X” o ímã que seria retirado da
ponta do lembrete que seria tampado e, ao lado, escreveram a operação a ser realizada para se
descobrir o número de ímãs necessários para afixar os dois lembretes no painel.
Mais uma vez, chamamos a atenção para a incorreção da escrita (4 + 4 = 8 – 1 = 7),
pois, para uma mesma sentença matemática, os alunos utilizaram dois sinais de igualdade para
representar operações/resultados que não são equivalentes.
Em vista do desenvolvimento de tal dupla nas duas questões, consideramos que os
alunos A7 e A17 não avançaram para o campo algébrico, uma vez que apenas apresentaram a
maneira como estava sendo formada a sequência, sem realizar uma generalização algébrica e,
consequentemente, a construção de uma regra que lhes permitisse o cálculo do número de
174
ímãs em função do número de lembretes.
Vamos analisar agora a resposta da dupla 4:
Grupo
Dupla 4
à questão 1
“13 lembretes: 40
ímãs
Nós fizemos assim
adicionamos 4 e
subtraímos 1”
Tabela 20: Respostas da dupla 4 às questões 1 e 2 da tarefa IV.
Analisaremos a reposta da questão 1 em duas etapas. Primeiramente, concordamos
que parte dessa resposta – “Nós fizemos assim adicionamos 4 e subtraímos 1” – mostra que a
dupla 4, assim como a dupla 3, entendeu a gênese da sequência formada pelos números de
ímãs em função do número de lembretes afixados no painel.
Agora, vamos focar a expressão “13 lembretes: 40 ímãs”, que nos faz pensar na
possibilidade de as alunas de tal dupla terem encontrado uma regra para realizar o cálculo do
número de ímãs em função do número de lembretes.
Assim, é possível que, apesar de terem descoberto uma regra, recorreram ao
exemplo de 13 lembretes para expressá-la e mostrar que ela é válida, diferentemente das
duplas 1, 2 e 5, que fizeram a exposição da regra de forma geral.
Nessa perspectiva, a dupla 4 não fez menção ao objeto indeterminado e, de acordo
com o exposto anteriormente, acreditamos que as alunas A15 e A16 possam ter desenvolvido
uma generalização algébrica factual.
Quanto à resposta apresentada na questão 2, não alcançamos uma conclusão.
Por último, segue a análise das resoluções apresentadas pelo trio 3:
175
Grupo
Trio 1
à questão 1
“Podemos caucular
fazendo a seguinte
operação; podemos
caucular duas vezes
três mais quatro”
Tabela 21: Respostas do trio 1 às questões 1 e 2 da tarefa IV.
Na questão 1, o trio explicou a regra com o exemplo de 4 lembretes afixados, em
que, para encontrarmos o número de ímãs necessários, podemos fazer 2 x 3 + 4, ou seja, em
cada um dos dois primeiros lembretes, temos 3 ímãs e, no terceiro lembrete, temos 4. Já na
segunda questão, os alunos calcularam o número de ímãs necessários para afixar 1000
lembretes de duas formas diferentes. Uma das formas é fazer três vezes o número de lembretes
(3 x 1000 = 3000) mais um (3000 + 1 = 3001). A outra consiste em subtrair um do número de
lembretes (1000 – 1 = 999), multiplicar o resultado por três (3 x 999 = 2997) e adicionar
quatro (2997 + 4 = 3001).
Dessa forma, percebemos que, apesar de os alunos do trio 1 terem percebido duas
formas diferentes para se calcular o número de ímãs em função do número de lembretes, eles
não as expressaram de modo geral, mas, sim, recorreram a exemplos para explicar as
fórmulas encontradas.
Assim, consideramos que, como no caso da dupla anterior, os alunos
desenvolveram uma generalização algébrica factual.
Em vista dos resultados observados em tal tarefa e destacando o fato de que os
grupos trabalharam de forma mais independente do que nas tarefas anteriores, observamos que
houve considerável progresso da turma na percepção de uma regularidade na sequência
trabalhada (todos os grupos perceberam um padrão) e na realização de uma generalização
algébrica – factual ou contextual.
Quanto à percepção da regularidade, durante a discussão coletiva, notamos um
avanço de alguns alunos no sentido da domesticação do olhar. Assim como também foi
observado por Barbosa, Vale e Palhares (2008), no trabalho com a mesma sequência, a
176
visualização da disposição física dos termos ou estrutura do padrão é de importante utilidade
na descoberta de um modelo ou regra para o cálculo de termos avançados na sequência.
Contudo, destacamos que a maioria dos grupos que encontraram uma regra válida
para o cálculo do número de ímãs em função do número de lembretes afixados no painel e
conseguiram apresentá-la na primeira questão, utilizando a linguagem corrente, na questão
seguinte, em que foi solicitado representá-la na linguagem simbólica matemática, recorreu a
exemplos, ou seja, mostrou a regra atribuindo um valor para o número de lembretes e
realizando as operações pertinentes.
Nesse sentido, percebemos que a ideia de representar a indeterminação como
objeto variável em uma linguagem simbólica matemática ainda não havia sido desenvolvida
pelos alunos. Na verdade, essa solicitação parecia nem mesmo fazer sentido para eles: como
representar simbolicamente algo indeterminado e variável? Essa dificuldade leva-nos, mais
uma vez, à suposição de que a construção da linguagem simbólica, tal como gostaríamos que
ocorresse, não iria surgir naturalmente nas respostas dos estudantes, sendo, portanto,
indispensável nossa intervenção.
Apesar de percebermos a necessidade de nosso apoio para o desenvolvimento dos
alunos, deixá-los trabalhar de maneira mais autônoma nessa tarefa foi crucial para notarmos o
avanço da turma, de modo geral, no desenvolvimento do pensamento algébrico e na
construção de uma linguagem simbólica para expressar suas descobertas. Constatamos que
alguns
grupos
conseguiram
alcançar
generalizações
algébricas,
enquanto
outros
permaneceram no campo aritmético.
5.5. Tarefa V: Mesas enfileiradas no aniversário de Poliana
Conforme detalhado no capítulo anterior, da página 93 à página 104, a tarefa em
questão esteve centrada no estudo e análise de uma sequência de figuras representando mesas
e cadeiras dispostas de maneira específica e seguindo um padrão
Mais uma vez, a turma trabalhou com uma sequência que poderia gerar uma
estratégia linear, no sentido de originar um modelo do tipo an + b.
Em vista dos objetivos do presente capítulo, destacaremos, inicialmente, os pontos
que consideramos importantes durante as discussões coletivas na exposição dos slides.
Nesse sentido, o primeiro diálogo relevante aconteceu no momento de exposição
177
do terceiro slide, em que partimos da situação de uma mesa com 4 cadeiras ao seu redor –
segundo slide – para a situação em que havia duas mesas.
A discussão foi em torno de quantos lugares haviam aumentado de uma situação
para a outra:
P: Então o que que acontece?
A12: Ele tirou 1 e colocou... (apontando para a figura)
A6: 3!
A12: Ele tirou 1 e colocou mais 3!
A partir desse trecho, cogitamos a hipótese dos alunos A6 e A12 estarem
identificando uma possível regularidade na sequência trabalhada: a cada mesa adicionada à
sequência, devemos diminuir uma cadeira – correspondente àquela que deve ser retirada para
que a nova mesa seja adicionada – e adicionar três – correspondentes àquelas que ficarão em
volta da nova mesa adicionada, conforme a ilustração abaixo:
Figura 29: Possível regularidade percebida pelos alunos A6 e A12 na análise da sequência trabalhada na tarefa V.
É interessante notar como os alunos estavam, até o momento, de certo modo
“presos” ao contexto em que a sequência estava sendo trabalhada e não perceberam que retirar
1 cadeira e adicionar 3 seria equivalente a adicionar 2 cadeiras. Notamos que, muitas vezes, as
respostas apresentadas pelos alunos estão completamente conectadas à forma como a tarefa foi
desenvolvida, visto que a sequência de mesas e cadeiras não foi apresentada a eles sem a
criação de uma circunstância em que uma das cadeiras deveria ser retirada (para que fosse
possível adicionar a segunda mesa) e três deveriam ser adicionadas (para compor a mesa
acrescentada).
Na sequência desse episódio em sala, com o objetivo de instigar nos alunos a
178
percepção da regularidade em que à medida que aumentamos uma mesa temos mais dois
lugares disponíveis, iniciei uma discussão quanto ao número de convidados na festa e o
número de cadeiras disponíveis nas mesas enfileiradas, com a seguinte pergunta:
P: Tá, tudo bem! Mas ali (apontando para a figura das duas mesas enfileiradas) já tinham 4 colegas...
os 4 rapazes já estavam sentados na mesa... chegaram mais 2 e foi colocada mais uma mesa, não é
isso? Não foi imendada uma mesa ali? Sentou todo mundo e sobrou lugar ou não?
O aluno A4 afirmou que havia sobrado lugar e o aluno A6 disse o contrário.
Perguntei a eles quantas pessoas havia para se sentar e quantos eram os lugares disponíveis, de
modo a mostrar para A4 que o número de pessoas era igual ao número de cadeiras disponíveis
nas duas mesas enfileiradas.
Dessa forma, o aluno A4 convenceu-se de que estava errado. Porém, acreditei que,
apesar de ele ter verificado que o número de cadeiras disponíveis era igual ao número pessoas,
ele poderia não ter compreendido o porquê disso. Nesse sentido, buscando entender e sanar
qualquer dúvida sua, que poderia ser também de outros colegas da turma, lancei outra
discussão:
P: Mas... Uai, mas parece que aumentaram 3 lugares, não parece?
A12: É!
A4: Aham...
P: Por que não aumentou?
Os alunos ficaram em silêncio olhando para a figura e eu continuei:
P: Porque aquele lugar que tava aqui, olha (apontando com o laser para a junção das duas mesas)...
Ele passou para cá (apontando para a cadeira da “cabeceira” direita), não é isso? Aqui, ó: ‘a
cabeceira’ que antes era aqui (Apontando com o laser para a junção das duas mesas)... O que que
aconteceu? Tirou esse lugar... (referente à junção das duas mesas)...colocou mais uma mesa e veio
aqui pra ponta!Então, na verdade, aumentaram só esse (apontando com o laser para a cadeira situada
acima da segunda mesa) e esse (apontando com o laser para a cadeira situada abaixo da segunda
mesa).
A12: Aumentou 2.
P: Não é isso? Aumentou 2.
179
A partir de tais trechos, concordamos que o que fiz foi antecipar para toda a turma
a forma como a sequência trabalhada estava sendo formada – gênese da sequência – e uma
possível regularidade – à medida que aumentamos uma mesa na sequência de mesas
enfileiradas, duas cadeiras são acrescentadas.
Nesse sentido, reconhecemos que houve uma falha na condução da situação em
sala de aula, visto que não esperei que os alunos construíssem e testassem suas conjecturas e
tirassem as próprias conclusões. O que fiz foi mostrar uma forma específica de perceber a
sequência e, de certo modo, impor um ponto de vista que eu havia criado sobre a tarefa.
Diante disso, nessa análise, nossa atenção estará voltada para a forma como os
alunos lidaram, nas demais questões propostas, com a regularidade que eu havia apresentado a
eles.
Como citado anteriormente, o sexto slide apresentado durante o desenvolvimento
da tarefa continha a tabela – figura 30 – que foi preenchida coletivamente pela turma.
Figura 30: Tabela apresentada no sexto slide e preenchida coletivamente pela turma.
Visto que os alunos já haviam percebido a validade da regularidade em que a
sequência relativa ao número de cadeiras “vai de 2 em 2”, eles não tiveram dificuldades para
completar a tabela até a situação com 5 mesas enfileiradas. Em vista disso, foi suficiente usar
o pensamento recursivo, ou seja, bastou relembrar o número de cadeiras disponíveis no caso
de duas mesas enfileiradas e ir somando 2 para os números de mesas enfileiradas
180
subsequentes. Por exemplo: para encontrar o número de cadeiras disponíveis, no caso de três
mesas enfileiradas, somam-se dois ao número de cadeiras disponíveis no caso de duas mesas
enfileiradas.
E foi exatamente o que os alunos fizeram. Esse procedimento, como destacado nas
tarefas anteriores, é característico de um pensamento aritmético.
Porém, observando a sequência de números da coluna direita da tabela, da situação
com 5 mesas enfileiradas, passamos direto para a situação com oito mesas enfileiradas. Nesse
caso, os alunos deveriam estar atentos e, diante do que já estava sendo desenvolvido,
pensamos em duas possibilidades de resolução: eles poderiam continuar contando de 2 em 2
até o resultado desejado, ou verificar que de 5 para 8 foram aumentadas 3 mesas. E como em
cada uma das três mesas adicionadas acrescentaram-se 2 cadeiras, bastava tomar o produto de
3 por 2 e somá-lo ao número de cadeiras disponíveis para o caso de 5 mesas enfileiradas. Este
último procedimento está relacionado à estratégia da diferença, de acordo com as categorias
de Stacey (1989 apud BARBOSA, VALE e PALHARES, 2008), em que os alunos utilizam
múltiplos da diferença entre termos consecutivos da sequência.
Verificamos a ocorrência das duas estratégias no trecho abaixo:
A10: 18, é 18!
A14: É 18
A6: É o que eu ‘tô’ falando...
P: Como que vocês fizeram?
A10: Uai, eu fui contando... (risos).
A6: De 5 pra 8 é 3, então é só você acrescentar 6...
P: Olha só, o Gabriel fez contando. A aluna A6 usou um raciocínio diferente. Fala A6. Vamos ouvir,
então...
A6: De 5 pra 8, tem 3...
P: Você vai aumentar 3 mesas...
A6: É... aí... e aumentando essas 3 mesas, vai aumentar 6 cadeiras.
Percebemos, então, que o aluno A10 foi contando de 2 em 2 e a aluna A6 utilizou a
estratégia da diferença, que constou em verificar o número de mesas que foram aumentadas de
5 para 8, multiplicar esse número por 2 e adicionar o resultado ao número de cadeiras para o
caso de 5 mesas enfileiradas (12 + 6), encontrando as 18 cadeiras disponíveis.
Apesar da similaridade nas resoluções dos alunos A10 e A6 – ambos recorreram ao
181
fato de que a sequência do número de cadeiras vai de 2 em 2 e não criaram uma regra geral
para o cálculo do número de cadeiras disponíveis em função do número de mesas enfileiradas
– acreditamos que a forma adotada pelo aluno A10 está ligada ao pensamento aritmético e
aquela adotada por A6 pode estar ligada ao pensamento algébrico factual.
Chegamos a essa conclusão visto que o procedimento da aluna A6 permitiria
encontrar o número de cadeiras disponíveis, dado qualquer número de mesas enfileiradas.
Nesse sentido, a indeterminação estaria presente nas instâncias da variável independente
(número de mesas enfileiradas que até então seria conhecido) e a analiticidade relacionar-se-ia
com a forma como a aluna lidaria com a quantidade de mesas dadas para o cálculo do número
de cadeiras disponíveis.
Na continuação da tabela, os alunos deveriam pensar no número de cadeiras
disponíveis para o caso de 10 mesas enfileiradas:
P: E 10?
A10: 22! 22!
A3: 22.
P: Por que 22?
A3: É só contar de 2 em 2...
A10: Que trem fácil, ‘véi’!
Nesse trecho, novamente conferimos a participação do aluno A10 com a resposta
correta (22 cadeiras disponíveis) e do aluno A3, que também apresentou a solução válida e
justificou que “é só contar de 2 em 2”. Dessa forma, concluímos que tal aluno também
desenvolveu uma estratégia característica do pensamento aritmético.
Assim que finalizamos a tabela e confiando na ideia de que os alunos já haviam
apreendido a regularidade que eu havia apresentado sobre a sequência, lancei a indagação:
P: Agora, olha só: tem como eu pensar... será que tem como eu descobrir no caso de um número muito
grande de mesas? Quantos lugares? Tem com eu descobrir uma fórmula... uma regra que vai me dá...
pensem na fórmula...
A4: Eu sei! Eu sei!
P: Você já descobriu uma regra?
A4: Eu acho que tá certa... Você multiplica o número de mesas por 2 e soma 2.
182
A turma estava agitada e poucos alunos ouviram a fala de A4. Eu pedi a eles
silêncio para ouvir o que o colega havia descoberto. Eles se acalmaram e eu retomei:
P: Olha só! Eu perguntei o seguinte: será que existe uma regra pra eu descobrir o número de lugares
disponíveis para as pessoas sentarem, com qualquer número de mesas que eu tiver enfileirada. Eu
quero uma regra, por exemplo: se forem 100 mesas, quantas pessoas eu posso colocar?
A4: 102.
P: 102?
A4: ‘Peraí’... 202.
P: (Falando com o aluno A4) Mas então conta para os seus colegas, o que você descobriu!
A4: Você pega o número de mesas, multiplica por 2 e adiciona 2!
P: Mas, por que que é essa regra?
A4: Você pega o número de mesas... você multiplica por 2, porque é o número de mesas e cada lado
você vai... vertical! (Nesse momento, o aluno faz um movimento de baixo para cima com a mão
direita, indicando o que ele entende por “vertical”). E adicionar as duas mesas da cabeça.
A partir dos trechos acima, percebemos que o aluno A4, depois de toda a
discussão, conseguiu encontrar uma regra válida para o cálculo do número de cadeiras
disponíveis em função do número de mesas enfileiradas.
Acreditamos que A4 construiu tal regra – o número de cadeiras disponíveis é igual
ao número de mesas enfileiradas vezes dois, mais dois – de forma vinculada com o processo
de objetificação vivenciado por ele. Primeiramente, com meu auxílio, ele pode perceber que, a
cada mesa que era adicionada na fileira, adicionavam-se duas novas cadeiras disponíveis. Tal
fato pode tê-lo ajudado a visualizar as figuras das mesas enfileiradas de maneira específica, de
forma a perceber que em cada uma das mesas na fileira temos sempre duas cadeiras
disponíveis (uma acima e outra abaixo), e considerar as duas cadeiras “das cabeceiras”
separadas das demais.
Nesse sentido, na última fala do aluno no trecho acima, cogitamos a hipótese de
que quando ele disse “vertical”, seguido do gesto descrito, sua intenção tenha sido mostrar que
em cada mesa temos uma cadeira “acima” e outra “abaixo” dela. E a expressão “as duas
cadeiras da cabeça” ele usou para se referir às cadeiras das cabeceiras. Veja a imagem
ilustrativa abaixo para o caso de quatro mesas enfileiradas:
183
Figura 31: Possível visualização da figura das mesas enfileiradas pelo aluno A10.
Depois de visualizar a figura dessa forma, tornou-se simples encontrar a regra
citada pelo aluno A4. Porém, Radford (2010b) destaca que a percepção organizada da figura,
como aparentemente o aluno A4 fez, não é algo trivial. Na verdade, tal processo exige ações e
modos de raciocínios organizados e complexos.
Em vista disso, consideramos que o aluno A4 alcançou uma forma de percepção e
pensamento avançados que acabou por gerar uma generalização algébrica contextual, em que
houve a formação de uma regra para o cálculo do número de cadeiras disponíveis em função
do número de mesas enfileiradas, e a indeterminação esteve presente no discurso do aluno
com o auxílio do termo “número de mesas”.
Quanto às discussões coletivas realizadas, já destacamos e analisamos os pontos
que consideramos relevantes. Agora, partiremos para a análise dos registros escritos dos
alunos60.
A primeira questão da tarefa escrita contava com o preenchimento da mesma tabela
que havia sido apresentada e completada durante a discussão coletiva. Em vista disso, todos os
grupos registraram corretamente seus dados e não repetiremos a análise do processo.
Seguiremos adiante, comentando a segunda questão que trata da percepção da regularidade da
sequência, conforme o enunciado abaixo:
Em vista do fato que já foi discutido anteriormente em que apontamos a minha
falha durante a condução da tarefa em sala de aula com os alunos, todos os grupos
60
Ver grupos formados no apêndice B, página 214.
184
apresentaram respostas similares e citaram a mesma regularidade (correspondente àquela que
eu havia apresentado a eles): ao acrescentar uma nova mesa na fileira, duas pessoas a mais
podem se sentar. Na tabela abaixo seguem as respostas das duplas.
Duplas
Justificativas
Dupla 1
Dupla 2
Dupla 3
Figura 47
2
2
Dupla 4
Dupla 5
Dupla 6
Trio 1
+2
2
2 pessoas
“Ao acrescentar uma
mesa, 2 pessoas, além
das que já se encontram
sentadas, poderão se
sentar”
“Contando”
“Pois ao acrescentar uma mesa
se adiciona dois lugares”
“Pela tabela e o desenho”
“contando”
“Chegamos a esta conclusão
desenhando e fazendo o
cálculo: sempre adicionando
duas pessoas, ou cadeiras”
Tabela 22: Respostas dos grupos à segunda questão da tarefa V escrita.
A única exceção foi a dupla 1 que apresentou um desenho – figura 32 – e não
justificou.
Figure 32: Registro da dupla 1 na segunda questão da tarefa V escrita.
Analisando tal desenho, percebemos que em sua ponta direita é como se os alunos
não o tivessem finalizado, fechando a quarta mesa e desenhando a cadeira de sua “cabeceira”.
Com isso, cogitamos a hipótese de que tal dupla possa ter tentado passar a ideia de
continuidade das mesas enfileiradas (essa fila não termina na quarta mesa) e mostrar que a
cada nova mesa que é acrescentada, aumentam-se duas cadeiras disponíveis.
Percebemos então a diferença entre os meios semióticos de objetificação utilizados
pela dupla 1, que recorreu ao desenho, e os demais grupos, que recorreram à linguagem escrita
corrente para expressar o que havia sido descoberto sobre a sequência.
Apesar de percebermos que os alunos podem ter entendido a regularidade da
sequência, não faremos uma análise mais detalhada e profunda da questão, visto que essa
185
regularidade não foi, pelo menos inicialmente, encontrada por eles naturalmente, sem minha
intervenção.
Portanto, partiremos agora para a análise da terceira questão que segue abaixo:
Quantas mesas o garçom da festa de Poliana precisaria enfileirar para acomodar seus 52
colegas? Como vocês descobriram?
Tal questão envolve a ideia de equação do primeiro grau, em que fornecemos o
número de lugares disponíveis, e o número de mesas enfileiradas passa a operar como o objeto
indeterminado com sentido de incógnita, de acordo com Usiskin (1995).
Nesse sentido, gostaríamos de verificar qual seria a estratégia de resolução adotada
pelos grupos. Eis algumas possibilidades: continuar completando a tabela até chegar ao valor
desejado (estratégia relacionado ao pensamento aritmético) ou utilizar a regra encontrada –
número de mesas vezes 2, mais 2 – e fazer as operações inversas – subtrair 2 de 52 e dividir
por 2 o resultado encontrado (estratégia relacionada ao pensamento algébrico contextual).
Entretanto, os alunos apresentaram dificuldades em tal questão. Vamos destacar
para análise as respostas da dupla 3 e do trio 1.
Grupos
Justificativas
Dupla 3
Trio 1
26 mesas
25 mesas
“Fazendo 52:2 que deu 26”
“Nós descobrimos fazendo a
tabela”
Tabela 23: Respostas da dupla 3 e do trio 1 à segunda questão da tarefa V escrita.
A dupla 3, ao fazer o cálculo 52 dividido por 2, parece ter considerado apenas o
fato de que, à medida que acrescentamos as mesas, o número de lugares disponíveis aumenta
de 2 em 2, ignorando as duas cadeiras localizadas nas pontas da fila formada. Porém,
consideramos que sua estratégia esteve ligada à regra encontrada e, portanto, relacionada à
generalização algébrica contextual realizada.
Já o trio 1 apresentou a resposta correta, alcançada a partir de uma estratégia
aritmética de “ir somando de 2 em 2”, através da continuação dos valores que já estavam na
tabela, até encontrarem o resultado desejado.
Percebemos, então, que mesmo aqueles alunos – como no caso do aluno A4 – que,
durante a discussão, apresentaram facilidade para encontrar e compreender a regra que
relaciona o número de mesas enfileiradas e o número de cadeiras disponíveis tiveram
186
dificuldade e não conseguiram resolver tal questão.
Um dos motivos dessa dificuldade pode ter sido a falta de enfoque – em todas as
tarefas desenvolvidas no projeto – em questões com esse tipo de abordagem, em que temos a
ideia de equação e o objeto indeterminado deve ser tratado com sentido de incógnita.
Seguindo adiante, os alunos responderam à terceira questão, cujo enunciado era o
seguinte:
E se na festa de Poliana tiver 100 mesas enfileiradas, quantos amigos poderão se sentar?
Mostrem como vocês descobriram o resultado.
Destacaremos as resoluções das duplas 1, 3 e 4, que apresentaram a resposta
correta com justificativas relacionadas à regra encontrada – número de cadeiras disponíveis é
igual ao número de mesas vezes dois, mais dois. Seguem abaixo as resoluções:
Imagem 24: Resposta da dupla 3 à questão 3 da tarefa V escrita.
Aqui, verificamos que tais duplas perceberam que a regra encontrada era válida
para qualquer número de mesas enfileiradas, não importando o quão grande fosse esse
número.
Contudo, ponderemos que tal regra foi primeiramente citada pelo aluno A4,
durante a discussão coletiva. Nesse sentido, apesar de as duplas 1, 3 e 4 terem aplicado-a
187
corretamente nessa questão, não vamos afirmar que esses alunos desenvolveram uma
generalização algébrica contextual, tendo em vista que não podemos afirmar que eles
conseguiriam de maneira independente desenvolver uma regra verdadeira e válida para
qualquer termo da sequência trabalhada. O que eles fizeram foi aplicar corretamente a regra
encontrada pelo aluno A4 durante a discussão, para calcular o número de lugares disponíveis
no caso de 100 mesas enfileiradas.
Nesse sentido, na próxima questão, analisaremos a forma como os alunos lidaram
com a indeterminação e o recurso semiótico utilizado para expressar a regra encontrada em
linguagem simbólica. Estaremos menos preocupadas com o processo vivido na construção de
tal regra.
Segue então o enunciado da questão:
representar este valor). Escreva, usando símbolos matemáticos e o símbolo que você criou,
uma expressão que represente quantas pessoas poderiam se sentar nessas
mesas enfileiradas.
Dessa forma, além de abordar a indeterminação de maneira explícita, tal enunciado
explora também a questão da linguagem para lidar com essa indeterminação. Aqui, os alunos
deveriam criar um símbolo para representar uma quantidade qualquer de mesas, a fim de
expressar a regra encontrada durante a discussão, utilizando apenas a linguagem matemática e
o símbolo criado.
Inicialmente, citamos que as duplas 3 e 6 e o trio 1 não responderam à questão. O
trio 1 justificou: “Nós conseguimos achar as respostas através da tabela”.
Tal fato indica que a dupla 3 pode não ter entendido o solicitado em tal questão,
visto que ela respondeu corretamente a questão anterior. Já a dupla 6 pode não ter
acompanhado/entendido a formulação da regra encontrada pelo aluno A4 durante a discussão.
Pela justificativa apresentada pelo trio 1, inferimos que eles permaneceram, durante
toda a atividade, com a estratégia aritmética de dar continuidade aos valores da tabela,
somando de 2 em 2. Dessa forma, entendemos que eles não utilizaram essa regularidade para
desenvolver uma generalização no sentido da elaboração de uma regra que facilitasse o
cálculo para encontrar a resposta na quarta questão, por exemplo, em que tínhamos a situação
com 100 mesas enfileiradas e o grupo apresentou solução incorreta – 122 cadeiras disponíveis.
188
Agora, destacaremos as repostas das duplas 1, 2, 4 e 5.
Primeiramente, tomemos a resposta da dupla 1:
Imagem 27: Resposta dupla 1 para a quinta questão da atividade IV.
Inicialmente, é interessante notar o aparecimento de letras para representar
quantidades desconhecidas e variáveis. A escolha pelas letras “x” e “y”, tão comuns na
linguagem algébrica, leva-nos a pensar na possibilidade de que alguma ou ambas as alunas
componentes da dupla – A6 e A18 – já tiveram algum contato com o estudo da Álgebra ou
simplesmente com a linguagem algébrica de maneira superficial, sem aprofundamento em seu
estudo.
No enunciado da questão, salientamos o uso de letras diferentes (“x” e “y”) para
representar o mesmo objeto (quantidade de mesas enfileiradas). Em seguida, destacamos que,
na verdade, pela primeira expressão escrita pela dupla (X x Y = 400), apenas o “X” representa
a quantidade de mesas enfileiradas. O “Y”representa as duas cadeiras que cada uma das mesas
enfileiradas comporta, com exceção das cadeiras das “cabeceiras”. Observamos que na
expressão X x Y = 400, acima das letras, elas lhes atribuíram valores (X = 200 e Y = 2).
Logo abaixo, na segunda resposta (400 + Y = 402), elas apresentaram o cálculo do
número de cadeiras disponíveis para o caso das 200 mesas enfileiradas, que era o valor de X
na primeira resposta. Entendemos que o “400” é o resultado das 200 mesas enfileiradas vezes
189
2, já encontrado na primeira reposta, e o 402 é a soma do 400 com o Y, que é igual a dois.
Ressaltamos que nesse caso, apesar de o Y continuar tendo o mesmo valor que é 2, ele agora
representa as duas cadeiras das “cabeceiras” na fileira de mesas, conforme o esquema abaixo:
Figura 33: Interpretação da resposta da dupla 1 para a quinta questão da tarefa V escrita.
Percebemos, assim, que as alunas escreveram a regra encontrada, utilizando a
linguagem simbólica, em duas etapas: primeiro elas apresentaram o número de mesas
enfileiradas multiplicado por 2 (X x Y = 400); em seguida, o resultado dessa multiplicação
somado com 2 (400 + Y = 402).
Contudo, apesar de terem utilizado o “X” para representar um número qualquer de
mesas enfileiradas, para dar continuidade ao raciocínio e expressar a regra encontrada, as
alunas tiveram que atribuir um valor para essa variável, que foi o 200.
Tal fato reforça a ideia defendida por Booth (1995) e Tinoco el al (2008) de que em
uma expressão algébrica os alunos apresentam dificuldades de entender as letras como
representantes de variáveis. Na maioria dos casos, os estudantes tendem a considerar as letras
como valores específicos e possíveis de serem determinados.
Nesse sentido, apesar de a solução apresentada pela dupla não condizer com uma
resposta em linguagem algébrica padrão o mais compactada possível – que seria X x 2 + 2 –,
190
em que a letra é empregada e aceita com a ideia de variável,
vamos ressaltar que o
procedimento e a simbologia apresentados estavam corretos e seriam válidos para qualquer
quantidade de mesas enfileiradas. Além disso, conforme verificado na questão anterior,
confirmamos que as alunas compreenderam e souberam aplicar a regra encontrada.
Tal resolução nos remete à ideia apresentada por Radford (2009), de que
representar as descobertas na linguagem algébrica padrão não é algo trivial para os alunos. Na
verdade, deixar de recorrer a recursos semióticos – gestos, palavras, números, operações
matemáticas –, que surgem naturalmente no contexto do desenvolvimento da tarefa, para
utilizar um meio novo de se expressar (linguagem algébrica), constitui-se numa mudança
drástica na forma de designar os objetos do discurso. Agora, tais objetos deverão ser
compactados e expressos em uma linguagem, muitas vezes, pouco conhecida pelos estudantes.
Além de utilizar a linguagem simbólica com letras, números e operações para
apresentar sua resposta, a dupla 1 recorreu ao recurso semiótico do desenho para representar a
regra encontrada. É interessante notar como o desenho apresentado está conectado com as
discussões realizadas coletivamente e com o processo de objetificação vivenciado pela turma.
Apresentamos abaixo nossa interpretação para o desenho:
Figura 34: Interpretação do desenho apresentado pela dupla 1 à quinta questão da tarefa V escrita.
Assim, percebemos que tal representação descreve de maneira fiel a regra
encontrada: número de mesas (representado pelo desenho de uma mesa igual àquela
191
apresentada na tarefa) vezes 2 duas cadeiras (representado pelo desenho de duas cadeiras), que
cada uma das mesas comporta, com exceção das cadeiras das “cabeceiras”, mais 2 cadeiras
das “cabeceiras” (representado pelo desenho de duas cadeiras).
Nesse caso, podemos fazer uma analogia às fórmulas algébricas chamadas por
Radford (2009) de fórmulas icônicas, em que a representação aparece como um tipo de
descrição da disposição física dos elementos na sequência e/ou narrativa do processo vivido
pelos estudantes.
Assim como a dupla 1, a dupla 4 também apresentou mais de uma resposta. Porém,
neste caso, não encontramos nenhuma manifestação da linguagem algébrica padrão, conforme
abaixo:
Imagem 28: Resolução da dupla 4 para a quarta questão da atividade IV.
Primeiramente, notamos que, no enunciado da questão, os quadrinhos que
deveriam ser preenchidos com um símbolo que representasse a quantidade de mesas
enfileiradas, a dupla preencheu com os símbolos matemáticos que representam as operações
da multiplicação (x) e da adição (+). Inferimos que a escolha por tais símbolos está ligada ao
fato de que para execução da regra encontrada (o número de cadeiras disponíveis é igual ao
número de mesas enfileiradas vezes dois, mais dois) as operações que devem ser concretizadas
são exatamente a multiplicação – que é realizada primeiro – e a adição – que é realizada por
último.
Em seguida, a dupla apresentou uma expressão com tais símbolos e com pontos de
192
interrogação, que entendemos como a representação de que devemos multiplicar quantidades
desconhecidas e somar com uma outra quantidade desconhecida.
Na verdade, apesar da imprecisão dessa expressão apresentada como resposta,
acreditamos, pelo desenvolvimento da dupla nas demais questões, que os alunos A10 e A13
apreenderam a regra encontrada e discutida com toda a turma. Porém, não conseguiram
expressá-la utilizando apenas símbolos e operações matemáticas, conforme pedido na questão.
Nesse sentido, mais uma vez confirmamos a ideia relativa à dificuldade de mudança de
representação dos objetos do discurso para a linguagem simbólica matemática ou, mais
especificamente, para a linguagem algébrica padrão.
A outra resposta apresentada pela dupla, em que foram utilizados desenhos de
mesas e cadeiras e as operações matemáticas, vem confirmar essa nossa ideia de que os alunos
realmente entenderam a regra discutida anteriormente. Como podemos notar, o desenho é
análogo ao apresentado pela dupla 1, com uma única diferença que ressaltamos: ao final de
sua figura, a dupla 4 escreveu um sinal de igualdade seguido de um ponto de interrogação.
Nesse caso, destacamos a ideia de Booth (1995) de que, em Aritmética, os
símbolos das operações matemáticas normalmente são vistos pelos estudantes como ações a
serem realizadas, a fim de encontrar um resultado. Portanto, acreditamos que o sinal de
igualdade foi empregado no sentido de que do seu lado esquerdo havia operações a serem
realizadas e que essas operações gerariam um resultado. Porém, tal resultado, até então, é
desconhecido e, portanto, pode ser representado por um ponto de interrogação do lado direito
do sinal de igualdade.
Assim como as respostas das duplas 1 e 4 apresentaram semelhanças, as respostas
das duplas 2 e 5 também foram análogas. Ambos os grupos apresentaram a mesma fórmula,
com uma única diferença referente à escolha do símbolo para representar a quantidade
desconhecida de mesas. Seguem abaixo as resoluções das duplas:
193
Primeiramente, analisando os enunciados das duplas, notamos que a dupla 5
preencheu os quadrinhos com um mesmo símbolo e a dupla 2 criou dois símbolos diferentes
para representar o número de mesas enfileiradas. Apesar de criar dois símbolos, em sua
resposta a dupla 2 utiliza apenas o que está no primeiro quadrinho.
Observando, inicialmente, apenas o primeiro membro da igualdade das respostas
de ambas as duplas, notamos que os alunos conseguiram traduzir a regra encontrada de
maneira fiel e correta para a linguagem simbólica, de acordo com o pedido na questão. Em
outras palavras, o primeiro membro das fórmulas apresentadas indica que o número de pessoas
que podem se sentar às mesas enfileiradas é igual ao número de mesas enfileiradas
(representados pelos símbolos criados) vezes dois, mais dois.
Em uma análise mais profunda da simbologia adotada por tais duplas, se a
linguagem algébrica padrão refere-se àquela que está restrita ao uso de letras para representar
quantidades indeterminadas, não podemos considerar as respostas acima como escritas nessa
linguagem.
Os estudantes tiveram a oportunidade de criar ou escolher os símbolos para
representar a quantidade indeterminada de mesas enfileiradas, e, ainda assim, não recorreram
às letras para tal.
194
Porém, isso não exclui a ideia de que tais grupos estivessem trabalhando no campo
algébrico. Eles apreenderam a regra encontrada, traduziram-na para a linguagem simbólica e
admitiram a indeterminação como uma quantidade qualquer de mesas enfileiradas, sem
atribui-lhe um valor específico. Nesse sentido, percebemos a manifestação do pensamento
algébrico contextual, em que, novamente, os alunos realizaram uma contração semiótica, na
qual a regra encontrada foi compactada em uma quantidade reduzida de signos.
Destacamos, particularmente, o caso do aluno A4, que foi quem, durante a
discussão coletiva, encontrou e citou a regra primeiramente. Nesse sentido, consideramos que
tal aluno apresentou uma evolução diferente dos demais, que tomaram a regra pronta e
traduziram-na para a linguagem simbólica. O que o aluno fez foi, inicialmente, construir a
regra de maneira contextual, ou seja, vinculada à situação desenvolvida em sala de aula, e, em
seguida, escrevê-la em uma linguagem simbólica similar à linguagem algébrica padrão.
Dessa forma, vamos considerar que o procedimento do aluno transitou entre a
generalização algébrica contextual e a generalização algébrica padrão, considerando que, de
acordo com o proposto por Radford (2009), esta última está vinculada ao uso da linguagem
algébrica padrão (uso de letras), o que não foi verificado.
Agora, desviando nossa atenção para o restante das fórmulas apresentadas, sem
considerar apenas o primeiro membro da expressão, notamos novamente o uso do sinal de
igualdade, em um caso similar ao apresentado pela dupla 4. Porém, nesse caso, no segundo
membro da expressão encontramos o mesmo símbolo empregado pelas duplas para representar
a quantidade indeterminada de mesas enfileiradas.
Inferimos dessa escrita que a lógica para esse procedimento pode estar relacionada
ao fato de que nas duas situações em que o símbolo foi empregado, ele representa quantidades
indeterminadas: no primeiro membro, ele representa a quantidade de mesas enfileiradas, e no
segundo membro, o resultado correspondente ao número de cadeiras disponíveis.
De modo geral, consideramos que o trabalho com tal tarefa promoveu considerável
desenvolvimento dos alunos na construção da linguagem simbólica para a representação de
uma sentença matemática expressa a partir da fala, de gestos e da linguagem escrita.
Percebemos, então, a ocorrência do que Radford (2010a) chamou de contração
semiótica, em que a regra formulada durante a discussão coletiva, expressa pelo aluno A4 com
a utilização de gestos e da linguagem falada, passou a ser representada em outro sistema
195
semiótico muito mais compacto. De modo mais específico, o que antes os alunos puderam
expressar naturalmente a partir da fala e dos gestos, agora teve que ser compactado em uma
linguagem simbólica, com marcante redução da quantidade de recursos semióticos a serem
utilizados.
Destacamos como um dos pontos negativos o fato de que, em tal tarefa, a forma de
discussão coletiva pode ter prejudicado o desenvolvimento independente e natural dos alunos.
Contando que esta já era a sexta tarefa desenvolvida com os alunos, talvez tivesse sido
interessante apenas iniciar uma discussão coletiva para contextualizar o trabalho com a
sequência. O processo de percepção da regularidade e formulação da regra para o cálculo do
número de cadeiras disponíveis em função do número de mesas enfileiradas poderia ter sido
desenvolvido de forma autônoma pelos grupos, para que pudéssemos perceber de fato até que
ponto eles chegariam.
Novamente, reconhecemos que poderíamos ter explorado mais a ideia de resolução
de equação do primeiro grau, a partir do conceito de operações inversas, principalmente
durante a discussão coletiva. Tal ideia somente foi abordada na segunda questão da tarefa
escrita, ficando todo o trabalho muito voltado para a elaboração de uma regra para o cálculo
do número de cadeira disponíveis em função do número de mesas enfileiradas, sem a
exploração do objeto indeterminado depois que a fórmula havia sido encontrada.
5.6. Tarefa VI: Caminhada no pátio!
Conforme detalhado no capítulo anterior, a tarefa intitulada “Caminhada no pátio”
contou com o trabalho em uma sequência numérica de natureza diferente das demais
trabalhadas até então. Nesse caso, os alunos tiveram que lidar com uma sequência na qual não
havia atributos físicos ou geométricos em seus termos que auxiliassem a percepção de uma
regularidade e a elaboração de uma regra geral.
Na verdade, nessa tarefa os alunos contaram apenas com a experiência e os dados
colhidos durante a caminhada no pátio, para responder às questões escritas e encontrar uma
regra que relacionasse o tempo de caminhada com o número de passos dados. Temos, assim,
de acordo com Stacey (1989 apud BARBOSA, VALE e PALHARES, 2008), um problema de
proporcionalidade direta.
Tendo em vista que o desenvolvimento da tarefa foi descrito no capítulo 5, página
196
107 a página 111, neste capítulo, analisaremos os dados coletados, principalmente nos
registros escritos dos alunos.
Na tarefa escrita, primeiramente, cada aluno deveria completar a tabela que
relacionava o tempo em minutos e o número de passos dados:
Tempo
(min)
Número de
Passos
1
2
3
4
...
Tabela 24: Tabela da tarefa VI escrita.
Para completar a tabela corretamente, seria suficiente a utilização da recursividade,
ou seja, de um procedimento aritmético. De forma mais detalhada, primeiro preenche-se a
célula com o número de passos dados em um minuto e, para completar as demais células,
basta tomar o valor imediatamente anterior e somar o número de passos dados em um minuto.
Outra possibilidade seria característica de uma generalização algébrica factual,
visto que estamos trabalhando apenas com quantidades conhecidas de minutos, que consta em
perceber que o número total de passos dados em determinado número de minutos é sempre
igual ao número de passos dados em um minuto vezes o número de minutos dados.
Os alunos, com exceção de A13 e A18, completaram a tabela corretamente.
Quantos aos procedimentos utilizados, destacamos que o aluno A10 adotou a estratégia
aritmética e a aluna A6 realizou a generalização algébrica factual. Apresentamos os detalhes
das resoluções dos alunos abaixo:
Imagem 31: Resolução aluna A6 na primeira questão da tarefa VI.
197
Imagem 32: Resolução aluno A10 na primeira questão da tarefa VI.
A aluna A13, cujo número de passos em 1 minuto foi igual a 107, preencheu a
tabela construindo uma sequência em que os termos foram encontrados a partir da
multiplicação do termo anterior por 2. O tipo de generalização seria algébrica factual. Porém,
ela estava incorreta. Segue abaixo a tabela completada pela aluna, com um esquema
representativo de como ela encontrou os valores para preenchê-la:
Imagem 33: Tabela e esquema da resolução da aluna A13 na atividade V.
Os demais alunos não apresentaram os procedimentos utilizados, mas as questões
“a”, “b” e “c” da tarefa, em que eles deveriam encontrar o número de passos dados em 10
minutos, 25 minutos e 1 hora, respectivamente, indicaram que os alunos A2, A3, A4, A6, A7,
A8, A9, A10, A11, A12, A13 e A14 recorreram à estratégia de resolução característica da
generalização algébrica factual. Nesse sentido, para apresentar as respostas em tais questões,
tais alunos tomaram o número de passos dados em 1 minuto e multiplicaram pelo número de
minutos dados.
A aluna A18, que errou nos cálculos ao preencher a tabela, apresentou valores
incorretos também nas demais questões. Retomando sua resolução, para melhor esclarecer o
seu procedimento, no item ‘a’ ela apresentou o cálculo 1776 + 1776 = 3552, ou seja, para
encontrar o número de passos em 10 minutos, a aluna fez duas vezes o número de passos que
198
ela daria em 5 minutos (ver tabela completada pela aluna na imagem 34). No item ‘b’, ela
registrou 3552 +3552 = 7104 + 1776 = 8880, indicando que, seguindo a mesma lógica do item
anterior, para descobrir o número de passos dados em 25 minutos, basta fazer duas vezes o
número de passos dados em 10 minutos, já encontrado no item ‘a’, mais o número de passos
dados em 5 minutos. No item ‘c’, ela calculou 8880 + 8880 = 17760 + 3552 = 21312, que
significa duas vezes o número de passos dados em 25 minutos, mais o número de passos dados
em 10 minutos, totalizando o número de passos em 60 minutos. Portanto, seguindo essa
lógica, percebemos que o raciocínio utilizado pela aluna estava correto e ela realizou uma
generalização algébrica factual. Porém, como o primeiro número tomado como referência
(1776) estava incorreto, todos os outros resultados também ficaram incorretos.
Imagem 34: Tabela da aluna A18 na atividade V.
Seguindo para o item “d” da tarefa escrita, os alunos tiveram que responder à
questão:
e) Dessa forma, sabendo o número de minutos de caminhada, como você faz para
Em vista do desenvolvimento dos alunos na última tarefa, principalmente com
relação aos alunos A6, A18, A4, A12, A10, A13, A11 e A14, nossa expectativa em tal
pergunta era verificar mais um avanço com relação à linguagem simbólica e, mais
especificamente, à linguagem algébrica padrão.
Porém, inesperadamente, a questão gerou dúvidas e alguns alunos tiveram
dificuldades de entendê-la. Dessa forma, foi necessária a minha intervenção no sentido de
auxiliar a turma, conforme descrevemos no capítulo anterior.
Contudo, devido ao pouco envolvimento da turma durante a discussão, 7 alunos
não responderam o item. Inclusive, a aluna A6, que teve um bom desempenho nas atividades
anteriores, deixou a questão em branco. A tabela abaixo mostra os resultados:
199
Alunos
A7, A6, A13, A16, A17 e A18
A4
A2, A3, A9, A10, A11, A12 e A14
A8
Respostas
Não responderam à questão.
“Divido o número dividido pelos passos”
Multiplicando o número de passos pelo
número de minutos.
“Eu multiplico”
Tabela 25: Respostas dos alunos para o item “d” da tarefa VI escrita.
Pela tabela, verificamos que os alunos A7, A6, A13, A16, A17 e A18, que não
responderam à questão, permaneceram na generalização algébrica factual desenvolvida nas
questões anteriores, sem avançar para uma generalização algébrica contextual.
O aluno A4, apesar de ter apresentado uma resposta não condizente ao que foi
pedido na questão “d”, nas demais questões justificou que multiplicou o número de passos
pelo tempo. Logo, ele realizou uma generalização algébrica contextual, em que a
indeterminação foi expressa com o auxílio do termo “tempo”.
Os demais alunos (A2, A3, A9, A10, A11, A12 e A14) também desenvolveram
uma generalização algébrica contextual, em que a indeterminação foi manifestada com o
auxílio do termo “número de minutos”.
A partir de tal questão verificamos que os alunos, para manifestar suas descobertas,
recorreram aos meios semióticos que surgem naturalmente do desenvolvimento da tarefa ou
que são espontâneos e de fácil entendimento, como, no caso, a linguagem corrente. Mais uma
vez, destacamos a não naturalidade no surgimento da linguagem simbólica ou algébrica
padrão.
É interessante notar que, em tal tarefa, a turma voltou a mostrar dificuldade no
entendimento da questão que envolvia a ideia de expressar uma regra para o cálculo do
número de passos em função do tempo de caminhada. Essa dificuldade não vinha sendo
manifestada desde a terceira tarefa do projeto. Em vista disso, entendemos que um possível
motivo para sua ocorrência pode ter sido a diferença entre essa tarefa e as demais, comentada
anteriormente.
Assim, não percebemos grandes avanços no pensamento algébrico dos alunos e na
construção da linguagem simbólica, mas destacamos a importância de se trabalhar com
diversos tipos de situações envolvendo padrões, pois notamos que o desenvolvimento da
turma nas tarefas envolvendo sequências com importantes características geométricas e de
200
disposição espacial não implicou dar continuidade ao progresso dos alunos no
desenvolvimento e manifestação das generalizações e do pensamento algébrico em uma
sequência que não contava com componentes de visualização.
5.7. A título de síntese
Neste capítulo, retomamos as tarefas descritas no capítulo anterior para analisá-las,
destacando pontos que consideramos relevantes de acordo com o referencial adotado. Em todo
o trabalho, destacamos a participação da turma, mostrando, principalmente nas tarefas em que
houve discussão coletiva, que alguns alunos demonstraram interesse e envolveram-se na
proposta. Essa forma de abordagem permitiu evidenciar estratégias utilizadas pelos alunos na
compreensão de padrões e realização de generalizações algébricas, características do
desenvolvimento do pensamento algébrico. Nessa perspectiva, verificamos a evolução de
alguns alunos na forma de lidar com o objeto indeterminado no discurso e na escrita da
linguagem simbólica.
Confirmamos algumas das ideias de Radford quanto ao processo de objetificação
vivenciado pelos alunos, principalmente no que tange à utilização de diversos recursos
semióticos, como a fala e os gestos, para expressão do pensamento algébrico. Em especial,
destacamos o uso de meios pictóricos (imagens e desenhos) para a manifestação das
descobertas realizadas e expressão do objeto indeterminado, importantes em uma possível
colaboração para a posterior apresentação da linguagem algébrica padrão.
Outro ponto que consideramos interessante destacar, diz respeito à forma de
condução das tarefas em sala de aula. Nas duas primeiras tarefas deixamos que os alunos
trabalhassem de maneira independente. Porém, notamos que essa forma de abordagem não
traria tantas contribuições para o desenvolvimento dos alunos, tão pouco para a nossa
pesquisa, visto que em suas dificuldades nós não intervíamos suficientemente para ajudá-los e,
assim, não tínhamos acesso à forma como os alunos estavam interagindo entre si e com as
tarefas. Desse modo, decidimos adotar as discussões coletivas que trouxeram importantes
contribuições para o pensamento algébrico da turma de modo geral e permitiu-nos ter acesso a
ao modo como alguns alunos interagiam e entendiam as sequências. Tal fato nos permitiu
conhecer, ainda que pouco, o desenvolvimento do pensamento algébrico desses alunos e
forneceu valiosos dados para este trabalho.
201
A seguir, nas considerações finais, retomaremos a análise dos dados, de forma a
responder nossa questão de investigação e levantar pontos positivos e negativos de nossa
trabalho, tanto do ponto de vista pedagógico, quanto de pesquisa.
202
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesse estudo, nos propusemos a construir, desenvolver e analisar algumas tarefas
envolvendo padrões e sequências com alunos iniciantes em Álgebra. Tal proposta procurava
enfatizar o desenvolvimento do pensamento algébrico por meio da construção de significados
pelo próprio aluno, ao contrário da usual prática que enfatiza o simbolismo desde o início do
trabalho. Nesse sentido, recortamos a seguinte questão:
Que contribuições uma proposta de ensino baseada na percepção e generalização de padrões
e sequências pode trazer para o desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébrica em
alunos que se iniciam no estudo da Álgebra?
Propiciar o desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébrica em alunos
do 6º ano do Ensino Fundamental não foi uma tarefa fácil. A partir da sondagem inicial,
verificamos que nossa proposta desenvolver-se-ia com uma turma totalmente inexperiente no
trabalho com tarefas envolvendo sequências e padrões. Sendo assim, as tarefas foram
elaboradas tendo como propósito o desenvolvimento dessa percepção (de padrões e
sequências) e a construção gradativa de uma linguagem algébrica.
A análise do processo desenvolvido com os alunos evidenciou que aquelas tarefas
que abordaram sequências cujas regularidades tinham a disposição espacial de seus termos
como aliada – particularmente as tarefas III, IV e V – forneceram importantes pistas sobre o
processo de objetificação vivenciado por alguns alunos, principalmente por A4, A6, A10 e
A12 que eram mais participativos. Pudemos notar a formulação dos termos dêiticos e o modo
como os estudantes interagiram com as sequências, resultando na percepção de regularidades
intimamente ligadas ao contexto e à forma como cada uma delas tarefa foi desenvolvida.
Consideramos interessante destacar que, na terceira tarefa (“Cubos enfileirados”)
apesar dos alunos utilizarem termos dêiticos para “nomear” as faces expostas, localizando-as
espacialmente, eles parecem não ter percebido, pelo menos inicialmente, que esse atributo
físico poderia ser relevante para seu estudo.
Na verdade, o que muitas vezes ocorre, assim como destacado por Radford
(2010b), é que os alunos, depois de descobrirem determinada regularidade – nesse caso, a
203
numérica –, focam apenas nela para responder às questões propostas e acabam por não
considerar outras características, também importantes, na exploração da sequência.
Dessa forma, torna-se importante que o professor colabore no sentido de
domesticar o olhar (no sentido atribuído por Radford) dos estudantes, a fim de mostrá-los que
certos atributos de uma sequência podem ser úteis em seu estudo se levados em consideração.
Nesse sentido, os dados demonstram claramente a evolução da turma de uma tarefa
para outra. Os alunos, por meio do diálogo (entre si e com a professora), partiram da
inexperiência para formas de raciocínio mais elaboradas e passaram a considerar diferentes
características dos termos das sequências trabalhadas para se estabelecer regularidades e
realizar generalizações. Por exemplo, o trabalho com as tarefas II e III (“Lembretes”), ao dar
continuidade às anteriores, trouxe consideráveis contribuições para a domesticação do olhar
dos alunos e organização de suas descobertas no caminho para realização de generalizações
algébricas – factual ou contextual -, características do pensamento algébrico.
Outro ponto importante a ser destacado trata-se da forma como a turma progrediu
na maneira de lidar com a indeterminação ao longo do trabalho. Notamos, inicialmente, a
dificuldade dos alunos em resolver os problemas de generalização distantes e nos quais o
objeto indeterminado deveria ser tratado de maneira explícita. No decorrer das tarefas,
percebemos uma evolução, por parte de alguns deles (A4, A6, A9, A10, A12, A13 e A15), no
sentido do entendimento dessas questões.
Assim, à medida que foi ocorrendo a compreensão do trabalho como um todo e o
desenvolvimento do pensamento algébrico ligado à realização de generalizações, os alunos
avançaram no modo de designar o objeto indeterminado e variável em cada tarefa e na escrita
simbólica. Notamos que, assim como ocorreu na história da Álgebra (FIORENTINI, MIORIM
e MIGUEL,1993), os alunos primeiramente recorreram à linguagem escrita corrente
(linguagem retórica) para expressar suas descobertas e somente após muito trabalho e
incentivo é que fizeram as primeiras tentativas de escrita em uma linguagem simbólica
matemática.
Designar o objeto indeterminado e variável utilizando símbolos constituiu-se um
obstáculo para a maioria dos participantes do estudo. As primeiras tentativas estiveram
relacionadas à utilização de estratégias ligadas aos seus conhecimentos prévios e ao contexto
204
das tarefas, tendo em vista que os alunos recorreram a desenhos, operações matemáticas e
números.
Assim, quanto à utilização das letras na linguagem algébrica padrão o mais
compactada possível, confirmamos não se tratar do resultado de um processo natural. Pelo
contrário, nesse estudo, a introdução das letras dependeu fortemente da intervenção do
professor.
Mas, alguns dos estudantes (A4, A6, A10, A12, A15 e A18) apresentaram uma
evolução marcante e pudemos verificar, na tarefa V (“Mesas enfileiradas no aniversário de
Poliana”), a ocorrência da contração semiótica e a utilização da linguagem algébrica padrão,
no caso da dupla 1, e de uma linguagem bem próxima à algébrica padrão, no caso das duplas 2
e 5. Além disso, nesses casos, conferimos menor ou nenhuma dificuldade em lidar com o
objeto indeterminado e variável em uma linguagem simbólica.
Nesse sentido, consideramos que a proposta se mostrou adequada, interessante e
bem construída, respeitando o ritmo e as necessidades dos alunos. É claro que precisamos
ressaltar que ao nos referirmos à proposta não nos limitamos às tarefas propostas, mas à
dinâmica de trabalho constituída (geralmente em pequenos grupos, com discussões coletivas
em alguns momentos caracterizadas por uma postura questionadora mais que transmissora por
parte da professora/pesquisadora) e à relação entre professora e alunos e alunos entre si.
A proposta de ensino contribuiu ainda para a percepção e compreensão por parte
dos alunos do objeto indeterminado e sua representação simbólica. Efetivamente, iniciou-se a
construção da linguagem algébrica por parte dos alunos. Os estudantes tiveram oportunidade
de entender que algo variável pode ser designado por meio da utilização de apenas um
símbolo. A nosso ver, é possível que ao iniciarem o trabalho com a linguagem algébrica
padrão substituindo os símbolos variados criados por eles por uma letra, não haverá tanta
dificuldade e confusão, visto que ele já terá construído sentido para o significado daquela letra.
Avaliamos ainda que a proposta contribuiu para que os alunos explorassem
diversos meios de representação das descobertas realizadas acerca das sequências trabalhadas
em cada tarefa. Diversos recursos semióticos – fala, gestos, registros escritos – foram
utilizados na manifestação do pensamento algébrico e os alunos transitaram entre eles, tendo a
oportunidade de fazer ligação entre os diferentes modos de se representar uma fórmula. Por
exemplo, a regra encontrada por A4 durante a discussão coletiva na atividade V foi expressa
205
por ele, inicialmente, através da utilização da fala e dos gestos. Em seguida, na tarefa escrita,
os alunos tiveram que a representar utilizando apenas a linguagem simbólica.
Entretanto, na condução das tarefas pela professora/pesquisadora, alguns aspectos,
nosso ver, merecem maior reflexão. Nas tarefas I (“Descobrindo os segredos dos quadrados
dos palitos de fósforo!”) e II (“Triângulos com canudos”) havia a necessidade de uma
intervenção e colaboração maior da professora/pesquisadora. Contudo, faltou uma condução
mais marcante no sentido de auxiliar e elucidar as questões para os alunos. O trabalho das
duplas foi muito independente, em que cada uma delas recebeu as instruções escritas e teve
que responder às perguntas propostas, algumas destas muito avançadas para o nível em que os
alunos ainda se encontravam.
Essa reflexão nos levou a, nas atividades seguinte, adotar a dinâmica de discussão
coletiva, a qual foi importante aliada no processo, visto que pudemos ter acesso às formas de
pensamento dos estudantes, de modo a interferir e colaborar para a realização generalizações
algébricas. Percebemos a utilização de diversos meios semióticos de objetificação – fala,
gestos, registros escritos – no decorrer das tarefas e a turma, com o auxílio da
professora/pesquisadora, foram importantes nesse processo. Apesar de alguns alunos serem
menos participativos que outros, acreditamos que durante a dinâmica todos tiveram
oportunidades de ouvir e entender o que estava sendo desenvolvido.
Porém, o desenvolvimento do trabalho utilizando a dinâmica de uma discussão
coletiva não se mostrou uma boa escolha na realização da tarefa V (“Mesas enfileiradas no
aniversário de Poliana”), visto que nessa etapa do trabalho, alguns estudantes apresentavam
maior evolução que outros. Como exemplos, citamos os casos da dupla 6 e do trio 1, cujos
componentes foram pouco participativos no decorrer do trabalho e tiveram a maioria de suas
respostas nas tarefas anteriores restritas apenas à percepção de regularidade, não avançando
para realização de generalizações. Em contrapartida, tínhamos os casos das duplas 2 e 4 que
contavam com alunos participativos e que vinham apresentando avanços perceptíveis no
estudo e análise das sequências.
Em vista disso, acreditamos que teria sido mais interessante deixar que cada dupla
trabalhasse independentemente para verificarmos, o mais fiel possível, o avanço de cada uma
delas. Assim, teríamos oportunidades de interferir e colaborar de maneira mais específica no
trabalho de cada aluno.
206
O aluno A9, por exemplo, apresentou uma boa evolução até a realização de
generalizações algébricas factuais, formulando as regras solicitadas em cada tarefa. Porém,
para expressar as regras encontradas, ele sempre recorria a exemplos de quantidade
determinadas, não conseguindo avançar, de maneira independente, para uma generalização
algébrica contextual. Nesse caso, teria sido interessante um acompanhamento e intervenção
individual para que o aluno progredisse.
O mesmo ocorreu com os alunos A2, A3, A7, A8 e A17 que permaneceram, com
estratégias ligadas ao pensamento aritmético, de acordo com Radford (2010a), não avançando
para realizações de generalizações típicas do pensamento algébrico. No caso de tais alunos,
pensamos que algumas possibilidades para sua dificuldade estão ligadas a dificuldades
inerentes ao conteúdo matemático, ao não entrosamento com a proposta e a forma como ela
foi desenvolvida e à necessidade de um acompanhamento mais efetivo por parte da
professora/pesquisadora.
Portanto, reconhecemos que em alguns pontos a condução das tarefas poderia ter
sido diferente. Por exemplo, que não houve estímulo suficiente para que os alunos testassem
suas respostas e conjecturas, de modo a levá-los a entender por que uma estratégia poderia não
ser eficiente ou poderia não estar correta. Muitas vezes, nossa ansiedade para que os alunos
apresentassem respostas corretas e evoluíssem o máximo possível acabou por atrapalhar na
realização de um trabalho em que pudéssemos apresentar outras possíveis contribuições para o
crescimento da turma.
Destacamos a importância de se trabalhar com diferentes tipos de sequência, em
busca da exploração de diversos tipos de situações que envolvem padrões e generalizações.
Porém, não se trata apenas de abordar sequências de diferentes naturezas. Devemos estar
atentos para que possamos explorar ao máximo a sequência trabalhada.
Talvez a proposta desenvolvida tenha deixado a desejar quanto ao desenvolvimento
da ideia de equação (objeto indeterminado com ideia de incógnita), por exemplo,
concentrando toda sua ênfase na percepção de regularidade e realização de generalizações
(objeto indeterminado com ideia de variável). Outro aspecto – a noção de reversibilidade – foi
deixada, de certo modo, em segundo plano e como algo que, depois de realizada uma
generalização e descoberta uma regra de cálculo, seria naturalmente desenvolvida pelos
alunos. Porém, percebemos que não se trata de algo direto. Aparentemente, a reversibilidade
207
deve ser trabalhada de maneira explícita pelo professor. Contudo, o tempo era limitado e
opções foram feitas.
Todas
essas
reflexões
propiciaram
importantes
contribuições
para
o
desenvolvimento profissional da professora/pesquisadora.
Nessa perspectiva, recordamos que o nosso desejo e expectativas iniciais estavam
além do que foi realizado, visto que esperávamos que a turma chegasse à construção da
linguagem algébrica padrão em menor tempo. Porém, a experiência nos permite afirmar que o
processo de desenvolvimento algébrico em alunos inexperientes no estudo da Álgebra e em
anos anteriores ao proposto pelos currículos vigentes é lento, mas, possível. E, apesar do
tempo em sala de aula muitas vezes não ser um aliado do professor quando se trata da
quantidade de conteúdos a ser trabalhado em cada ano, acreditamos ser possível propor tarefas
que estimulem as habilidades que nossos alunos.
Finalmente, percebemos as contribuições dessa pesquisa para nossa formação
como pesquisadoras. Aprendemos e crescemos muito. Nesse momento, percebemos como
seria interessante, desenvolver um trabalho mais longo acompanhando um grupo de alunos por
mais etapas da vida escolar, investigando o desenvolvimento do pensamento algébrico de
modo mais profundo.
208
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LOCHHEAD, J.;MESTRE, J. P. Das palavras à álgebra: corrigindo concepções erradas. As
idéias da álgebra. Organizadores A. F. Coxford e A. P. Shulte; traduzido por Hygino H.
Domingues. São Paulo: ed. Atual.
PONTE, J. P. (2005) Álgebra no currículo escolar. Educação e Matemática. n. 85, 2005.
QUEIROZ, R. L. S. Pesquisa qualitativa e pesquisa quantitativa: perspectivas para o campo da
210
etnomusicologia. In Claves, n. 2, p. 87-98, 2006.
RADFORD, L. (2009). Signs, gestures, meanings: Algebraic thinking from a cultural semiotic
perspective. Plenary Lecture presented at the Sixth Conference of European Research em
Mathematics Education (CERME 6). Université Claude Bernard, Lyon, France, January 28February 1, 2009.
RADFORD, L. (2010a). Layers of generality and types of generalization in pattern activities.
PNA, 4(2), 37 – 62.
RADFORD, L. (2010b). The eye as a theoretician: seeing structures in generalizing activities.
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RADFORD, L. (2011). Grade 2 students’ non-symbolic algebraic thiking. In J. Cai & E.
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SHOEN, H. L. (1995). A resolução de problemas em álgebra. As idéias da álgebra.
Organizadores A. F. Coxford e A. P. Shulte; traduzido por Hygino H. Domingues. São Paulo:
ed. Atual.
SOCAS, M. M.; CAMACHO M.; PALAREA M.; HERNÁNDEZ J. Iniciacion al algebra.
Madrid: Ed Sínteses, 1996.
TINOCO ET AL. Caminho da álgebra na escola básica. IV – SPEMRJ: Seminário de Pesquisa
em Educação Matemática do Estado do Rio de Janeiro, 2008.
USISKIN, Z. (1995). Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das variáveis.
As idéias da álgebra. Organizadores A. F. Coxford e A. P. Shulte; traduzido por Hygino H.
Domingues. São Paulo: ed. Atual.
VALE, I; PIMENTEL, T. (2005). Padrões: um tema transversal do currículo. Educação e
211
Matemática. n. 85, 2005.
212
APÊNDICES
APÊNDICE A
Convite aos pais (carta de esclarecimento)
Caro pai, mãe ou responsável pelo(a) aluno(a) _____________________________.
Após conversar com a direção da escola na qual seu(sua) filho(a) estuda, apresentar
minha proposta e contar com seu apoio, venho convidar seu(sua) filho(a) a participar de um
projeto de Matemática.
Estou realizando uma pesquisa sob orientação da Profa. Dra. Ana Cristina Ferreira na
Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP). Nessa pesquisa, pretendo desenvolver uma
proposta de ensino de Álgebra que auxilie os alunos no desenvolvimento do pensamento
algébrico e, mais especificamente, na passagem da linguagem natural para a linguagem
algébrica de modo mais significativo para eles.
Participarão desse trabalho os alunos que, voluntariamente, assim o decidirem e
contarem com o consentimento de seus pais. As atividades ocorrerão durante as aulas
regulares de Matemática e serão ministradas pela própria professora da classe. Elas ocorrerão
durante aproximadamente oito semanas, no início do ano letivo de 2011. Dada a natureza das
atividades – muito semelhantes às da sala de aula regular – não percebo qualquer possibilidade
de desconforto, constrangimento ou situação desagradável que possa incomodar aos alunos
envolvidos.
Como tal trabalho fará parte de uma pesquisa de Mestrado, solicito sua permissão para
filmar e gravar em áudio alguns momentos em sala de aula. Os dados coletados, uma vez
organizados, estarão à sua disposição. Tais informações serão armazenadas em um cd que se
constituirá em fonte de análise. Porém, nenhum aluno, pai, professor ou escola, terá seu nome
real mencionado nem nesse cd nem em qualquer momento na pesquisa. Além disso, tanto você
quanto qualquer aluno ou a professora poderão, em qualquer momento ao longo desse ano,
deixar de participar se julgar necessário. Caso assim o decida, não haverá qualquer prejuízo,
uma vez que as aulas de Matemática, no horário regular, ministradas pela professora de
Matemática, acontecerão normalmente. Esclareço, ainda, que toda a pesquisa será realizada
sem ônus para as famílias ou para a escola.
Caso ainda tenha alguma dúvida, por favor, sinta-se à vontade para me consultar, ou à
213
minha orientadora, ou ainda ao Comitê de Ética da UFOP, em qualquer momento, agora ou
durante a realização do projeto.
Se você se sentir esclarecido em relação à proposta e concordar em participar
voluntariamente desta pesquisa, peço-lhe a gentileza de destacar, assinar e devolver o termo de
consentimento anexo.
Atenciosamente,
Profa. Dra. Ana Cristina Ferreira
e-mail: [email protected] – (31) 3559 1724 – (31) 3559 1700
Débora Silva Veloso
e-mail: [email protected] - (31) 8885-3183 ou 3223-7491
Comitê de Ética em Pesquisa - Universidade Federal de Ouro Preto –
Campus Universitário – Morro do Cruzeiro – ICEB II – sala 29
Fone: (31) 3559-1368 – Fax: (31) 3559 1370 - e-mail: [email protected]
214
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Eu, ____________________________________ pai (mãe) ou responsável legal do(a)
aluno(a) __________________________________________________, fui informado(a) que
meu(minha) filho(a) foi convidado(a) pela professora Débora Silva Veloso, aluna do Mestrado
Profissional em Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto, a participar de
sua pesquisa que se realizará em horários extra classe, na escola na qual está matriculado. Sei
que tal pesquisa conta com o apoio da direção dessa escola.
Estou ciente de que o trabalho envolverá a participação ativa dos alunos nas atividades
propostas pela pesquisadora, que tem por objetivo desenvolver uma proposta de ensino de
Álgebra que auxilie os alunos no desenvolvimento do pensamento algébrico e, mais
especificamente, na passagem da linguagem natural para a linguagem algébrica de modo mais
significativo para eles, de forma a melhorar o desempenho dos mesmos na disciplina
Matemática. As atividades ocorrerão durante as aulas de Matemática e serão ministradas pela
própria professora da classe. Tal projeto deve durar aproximadamente oito semanas.
Além disso, como tal trabalho fará parte da pesquisa de Mestrado de Débora, a mesma
me solicita permissão para filmar e gravar em áudio alguns momentos em sala de aula e
informou que que tais informações serão armazenadas em um cd que se constituirá em fonte
de análise e que nenhum aluno, professor ou mesmo a escola, terá seu nome mencionado na
pesquisa. Além disso, eu e meu(minha) filho(a) podemos recorrer ao Comitê de Ética na
Universidade Federal de Ouro Preto sobre questões éticas sempre que necessário ou desistir de
participar da pesquisa em qualquer momento, se julgarmos necessário. Caso assim o decida,
não terão qualquer registro, imagem, ou atividade utilizada no projeto e não haverá qualquer
prejuízo, uma vez que as aulas de Matemática, no horário regular, ministradas pela professora
de Matemática, acontecerão normalmente.
Fui informado, ainda, que toda a pesquisa será realizada sem ônus para as famílias ou
para a escola.
Finalmente, estou ciente de que terei acesso aos resultados do estudo por meio de uma
reunião na escola, tão logo os mesmos estejam disponíveis.
Sinto-me esclarecido(a) acerca da proposta, concordo com a participação de
215
meu(minha) filho(a) na pesquisa e permito que algumas aulas de Matemática sejam gravadas
em vídeo e áudio.
__________________________________________________________
Pai, mãe ou responsável do(a) aluno(a)
Belo Horizonte, _______ de _____________________ de 2011
216
TERMO DE ESCLARECIMENTO
Caro(a) aluno(a), __________________________________________________ .
Após conversar com a direção dessa escola e contar com sua colaboração e
consentimento, gostaria de convidá-lo(a) a participar de uma pesquisa, realizada por mim,
Débora Silva Veloso e minha orientadora Profa. Dra. Ana Cristina Ferreira. Nas atividades
que serão desenvolvidas no horário regular das aulas, irei aplicar uma proposta didática que
auxilie os alunos no desenvolvimento do pensamento algébrico, na construção da linguagem
algébrica e a construir alternativas para a tradução da linguagem escrita corrente para a
linguagem algébrica.
Participarão desse trabalho os alunos que, voluntariamente, assim o decidirem e
contarem com o consentimento dos pais. As atividades ocorrerão durante as aulas de
Matemática e serão ministradas pela própria professora da classe. Tal projeto deve durar
aproximadamente oito semanas.
Além disso, como tal trabalho fará parte da pesquisa de Mestrado de Débora, a mesma
me solicita permissão para filmar e gravar em áudio alguns momentos em sala de aula e
informou que nenhum aluno, professor ou mesmo a escola, terá seu nome mencionado na
pesquisa. Além disso, posso desistir de participar da pesquisa em qualquer momento, se julgar
necessário. Dada a natureza das atividades – muito semelhantes às da sala de aula regular –
não percebo qualquer possibilidade de desconforto, constrangimento ou situação desagradável
que possa incomodar você.
Como tal trabalho fará parte de uma pesquisa de Mestrado, solicito sua permissão para
filmar e gravar em áudio alguns momentos em sala de aula. Os dados coletados, uma vez
organizados, estarão à sua disposição. Tais informações serão armazenadas em um cd que se
constituirá em fonte de análise. Porém, nenhum aluno, pai, professor ou escola, terá seu nome
real mencionado nem nesse cd nem em qualquer momento na pesquisa. Além disso, tanto
vocês alunos, quanto qualquer pai ou a professora poderão, em qualquer momento ao longo
desse ano, recorrer ao Comitê de Ética na Universidade Federal de Ouro Preto sobre questões
éticas sempre que necessário ou retirar sua participação se julgar necessário. Os alunos que
não quiserem participar do estudo ou desistirem ao longo do processo, não terão qualquer
217
registro, imagem, ou atividade utilizada no mesmo, sem que isso traga qualquer prejuízo para
o processo de ensino e aprendizagem dos mesmos. Esclareço, ainda, que toda a pesquisa será
realizada sem ônus para as famílias ou para a escola.
Caso ainda tenha alguma dúvida, agora ou posteriormente, por favor, sinta-se à
vontade para me consultar, ou à minha orientadora, ou ainda ao Comitê de Ética em Pesquisa
da UFOP.
Se você se sentir esclarecido em relação à proposta e concordar em participar
voluntariamente desta pesquisa, peço-lhe a gentileza de assinar e devolver o termo de
consentimento anexo.
Atenciosamente,
Profa. Dra. Ana Cristina Ferreira
e-mail: [email protected] – (31) 3559 1724 – (31) 3559 1700
Débora Silva Veloso
e-mail: [email protected] - (31) 8885-3183 ou 3223-7491
Comitê de Ética em Pesquisa - Universidade Federal de Ouro Preto –
Campus Universitário – Morro do Cruzeiro – ICEB II – sala 29
Fone: (31) 3559-1368 – Fax: (31) 3559 1370 - e-mail: [email protected]
218
TERMO DE CONSENTIMENTO
Eu, __________________________________, fui convidado(a) pela professora
Débora Silva Veloso, aluna do Mestrado Profissional em Educação Matemática da
Universidade Federal de Ouro Preto, a participar de sua pesquisa. Sei que essa pesquisa conta
com o apoio da direção da minha escola e da minha professora de Matemática.
Nela, terei a oportunidade de participar de um projeto voltado para o desenvolvimento
do pensamento algébrico, a construção da linguagem algébrica e a construção de alternativas
para a tradução da linguagem escrita corrente para a linguagem algébrica. Tal projeto deve
durar aproximadamente oito semanas.
Estou ciente de que as atividades ocorrerão durante as aulas de Matemática e serão
ministradas pela própria professora da classe. Também fui informado(a) que posso recorrer ao
Comitê de Ética na Universidade Federal de Ouro Preto sobre questões éticas sempre que
necessário ou desistir de participar desse grupo em qualquer momento e que isso não
representará um problema.
Além disso, como tal trabalho fará parte da pesquisa de Mestrado de Débora, minha
professora, sei que ela precisará recolher algumas atividades e registros que eu produza,
realizar entrevistas, bem como filmar e gravar em áudio alguns momentos, porém, nenhum
aluno, professora ou mesmo a escola, terá seu nome mencionado na pesquisa. Eu poderei
escolher um pseudônimo para ser utilizado na pesquisa.
Finalmente, estou ciente de que terei acesso aos resultados do estudo por meio de uma
reunião na escola, com minha professora, pais e alunos participantes tão logo os mesmos
estejam disponíveis.
Sinto-me esclarecido(a) acerca da proposta e concordo em participar desse trabalho.
__________________________________________________________
Aluno(a)
Belo Horizonte, _______ de _____________________ de 2011.
219
APÊNDICE B
GRUPOS FORMADOS NA REALIZAÇÃO DAS TAREFAS
Tarefa I:
Grupos
Dupla 1
Dupla 2
Dupla 3
Dupla 4
Trio 1
Trio 2
Trio 3
Tarefa IV
Alunos
A5 e A12
A8 e A18
A9 e A17
A6 e A15
A7, A13 e A16
A10, A11 e A14
A1, A2 e A4
Tarefa II
Grupos
Dupla 1
Dupla 2
Dupla 3
Dupla 4
Dupla 5
Dupla 6
Dupla 7
Dupla 8
Dupla 9
Alunos
A6 e A18
A4 e A12
A7 e A17
A15 e A16
A10 e A13
A11 e A14
A2 e A3
A8, A9 e A19
Tarefa V
Alunos
A4 e A12
A15 e A16
A6 e A18
A7 e A19
A8 e A17
A2 e A11
A10 e A13
A9 e A14
A1 e A3
Tarefa III
Duplas
Dupla 1
Dupla 2
Dupla 3
Dupla 4
Dupla 5
Dupla 6
Dupla 7
Dupla 8
Duplas
Dupla 1
Dupla 2
Dupla 3
Dupla 4
Dupla 5
Dupla 6
Dupla 7
Trio 1
Alunos
A8 e A17
A2 e A11
A6 e A18
A3 e A7
A9 e A14
A4 e A12
A10 e A13
A15 e A16
Duplas
Dupla 1
Dupla 2
Dupla 3
Dupla 4
Dupla 5
Dupla 6
Trio 1
Alunos
A6 e A18
A4 e A12
A15 e A16
A10 e A13
A11 e A14
A8 e A17
A2, A3 e A7
220
APÊNDICE C
SONDAGEM INICIAL
Caro(a) aluno(a),
Vou propor alguns desafios para você, para saber como pensa e lida com eles. Para isso, leia com
atenção cada atividade e resolva-a, lembrando de registrar com desenhos, ou escrita, como pensou
para fazer. Um abraço da professora Débora!
1) Observe a sequência de figuras abaixo e depois responda às questões:
a) Continue a sequência desenhando até a 10ª posição.
b) Qual a 8ª figura dessa sequência? Circule-o.
c) Qual a 14ª figura dessa sequência? Complete a seqüência e depois faça um X nela.
d) Sem desenhar, responda: qual a 57ª figura dessa sequência?
Como você descobriu?
e) Como poderíamos criar uma regra que permitisse saber qualquer figura dessa
sequência, mesmo a 189ª ou a 2006ª?
Explique como pensou para responder.
2) Observe a sequência de números
2, 4, 6, ...
Agora, responda:
a) Qual é o próximo termo dessa sequência? _____
221
______________________________________________________________________
________________________________________________________________
b) Qual o 10º termo dessa sequência? _____
______________________________________________________________________
________________________________________________________________
c) Qual é o centésimo termo dessa sequência? _____
______________________________________________________________________
________________________________________________________________
d) Você é capaz de encontrar qualquer termo dessa sequência? ( ) sim
( ) não
Se sim, explique como você pode fazer isso.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
__________________________________________________________
3) Agora, vou propor um desafio a você! Leia com atenção a situação abaixo e descubra
como resolvê-la.
A menina Débora tinha uma quantia em dinheiro na carteira, mas não vou lhe contar quanto
era. Ela ganhou R$ 5,00 de seu pai e juntou tudo na carteira. Depois, saiu para passear. Ao
passar em uma lanchonete, resolveu comprar um sanduiche e um suco. Ela gastou R$10,00.
Até o final do passeio, ela não gastou mais nada. Ao voltar para casa, Débora contou o
dinheiro que tinha na carteira e verificou que ainda possuía R$ 17,00. Quanto dinheiro
Débora tinha antes de seu pai lhe dar os R$ 5,00 e de sair para passear?
Explique como você pensou para resolver esse problema.
4) Outra charada!
Gabriel é DJ e cobra por festa uma quantia fixa de R$ 500,00 mais R$ 5,00 por
convidado. Ele foi contratado para tocar no aniversário de Paulinho, no qual
haveriam 20 convidados. Quanto ganhará Gabriel?
Como você calculou?
222
E se Gabriel não soubesse quantas pessoas participariam da festa?
Como ele poderia ter uma ideia de quanto irá ganhar?
Explique como você pensou para resolver esse problema.
5) Escrita enigmática.
O professor Pardal explicou a seus alunos que, às vezes, números podem ser representados por
letras. Ele escreveu na lousa:
O que você acha que o professor Pardal quis
dizer com essa escrita? ___________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
Por que pensa assim? ______________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
Ainda nessa aula, o professor Pardal perguntou a seus alunos:
“Se a letra n representa um número par, menor que 3, qual é o valor da expressão 3 x (n +
5)?”
a) Como você acha que os alunos responderam a essa pergunta?
____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________
b) Por que você pensa assim?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________
6) Observe o que o Mickey está dizendo.
Se você tivesse que inventar uma escrita matemática para
representar o que o Mickey está dizendo, como seria essa
escrita?
223
224
APÊNDICE D
TAREFA I: DESCOBRINDO O SEGREDO DOS PALITOS DE FÓSFORO!
Caros(as) aluno(as),
Mais um desafio para vocês! Para isso, leia com atenção a atividade e resolva-a,
lembrando de registrar com desenhos, ou escrita, como pensou para fazer. Um
abraço da professora Débora!
Nome da dupla: ________________________________________________
________________________________________________
Descobrindo o segredo dos quadrados de palitos de fósforos!
Cada dupla recebeu uma caixinha com 10 palitos de fósforos. Utilizando esses
palitos, construam sequências de quadrados, seguindo as orientações.
Tarefa 1. Construam sobre a mesa um quadrado cujo lado meça um palito:
Tarefa 2. Agora, sem desmanchar o quadrado anterior, construam dois quadrados,
como indicado abaixo.
Tarefa 3. Novamente, sem desmanchar os quadrados já montados, construam mais
um quadrado como mostra a figura abaixo:
Agora, observe o trabalho feito e responda:
a. Quantos palitos você gastou?___
b. Quantos quadradinhos você construiu? ___
c. Para construir mais um quadrado, vocês precisariam de quantos palitos? ___
225
d. Explique como vocês descobriram isso:
______________________________________________________________
____________________________________________
Desenhe abaixo como ficaria a figura com quatro quadradinhos.
Tarefa 4) Agora, vocês vão trabalhar sem utilizar palitos de fósforo....
a. E se eu lhes pedisse para construir 5 quadradinhos? De quantos palitos
precisariam? ___
b. Explique como vocês descobriram isso:
_________________________________________________________________
______________________________________________________________
________________________________________________
c. Completem a tabela abaixo, registrando quantos palitos são necessários para
construir esses quadrados.
Número de Quadrados
Números de palitos
1
2
3
4
5
6
7
d. Pensando em todos os passos que já fizemos, desde as figuras, até a
226
construção da tabela, vocês conseguem descobrir quantos palitos são
necessários para construir 10 quadrados? Se sim, quantos?
_______________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
________________________________________________________E se eu
lhes pedir para construir 15 quadrados? De quantos palitos precisarão? ____
Expliquem como descobriram:
______________________________________________________________
___________________________________________________
e. Vocês conseguiriam me responder quantos palitos seriam necessários para
construir 50 quadrados?
f.
________________________________________________________
Expliquem como descobriram:
_______________________________________________________________
_________________________________________________
g. Se o número de quadrados que desejo formar for bem maior, existe uma regra
ou uma forma de descobrir o número de palitos necessários para formar esses
quadrados?
( ) sim ( ) não
Se sim, explique-me como você faria para descobrir a quantidade de palitos.
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_____________________
h. Agora, vamos pensar em outra situação. Se eu lhes desse 30 palitos, quantos
quadrados conseguiriam construir? __
Como calcularam?
______________________________________________________________
__________________________________________________________
i.
E se eu lhes desse 100 palitos,quantos quadrados poderiam construir?___
227
j.
Vocês conseguiriam descobrir quantos quadrados poderíamos construir com
uma quantidade bem grande de palitos? ( ) sim ( ) não
Se sim, como seria?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________
228
APÊNDICE E
TRANSPARÊNCIA DA DUPLA I
229
APÊNDICE F
TRANSPARÊNCIA DA DUPLA 2
230
APÊNDICE G
TRANPARÊNCIA DA DUPLA 3
231
232
APÊNDICE H
TRANSPARÊNCIA DA DUPLA 4
233
APÊNDICE I
TRANSPARÊNCIA DO TRIO 1
234
235
APÊNDICE J
236
APÊNDICE K
237
APÊNDICE L
TAREFA II: TRIÂNGULOS COM CANUDOS
Caros(as) aluno(as),
Mais um desafio para vocês! Para isso, leia com atenção a atividade e resolva-a,
lembrando de registrar com desenhos, ou escrita, como pensou para fazer. Um
abraço da professora Débora!
Nome da dupla: ________________________________________________
________________________________________________
Nossa tarefa de hoje consiste em construir uma sequência de triângulos com a
utilização de canudinhos. As medidas dos lados desses triângulos dependerão da
quantidade de canudinhos que utilizarmos para construí-los. Vejamos:
1) Construam o primeiro triângulo da sequência utilizando apenas 3 canudinhos,
como mostra a figura abaixo.
Neste caso, para construir cada lado do triângulo foi necessário apenas 1
canudinho.
2) Agora, construam o segundo triângulo da sequência utilizando 6 canudinhos,
de modo que para construir cada lado do triângulo vocês utilizem 2
canudinhos.
3) Construam o terceiro triângulo da sequência utilizando 9 canudinhos, de modo
que para construir cada lado do triângulo vocês utilizem 3 canudinhos.
Observando a sequência de triângulos obtida, complete as frases abaixo:
a) Para construir o primeiro triângulo utilizamos ____ canudos, pois cada lado
desse triângulo é igual a ____ canudo.
b) Para construir o segundo triângulo utilizamos ____ canudos, pois cada lado
desse triângulo é igual a ____ canudos.
c) Para construir o terceiro triângulo utilizamos ____ canudos, pois cada lado
desse triângulo é igual a ____ canudos.
Agora vamos imaginar a continuação dessa sequência de triângulos, porém sem a
utilização de canudos.
238
1) Quantos canudinhos seriam necessários para construir o quarto triângulo
dessa sequência?________________________________________________
Expliquem com suas palavras como vocês descobriram isso.
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
2) E para construir o quinto triângulo dessa sequência, de quantos canudos
vocês precisariam? ______________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Podemos, assim, construir qualquer triângulo dessa sequência, bastando descobrir o
número de canudinhos necessários para isso. Então, vamos agora pensar nos
triângulos que estão em posições mais avançadas na sequência.
3) E seu eu lhes pedisse para construir o 20º triângulo dessa sequência, de
quantos canudos vocês precisariam?
E o 100º?
Expliquem como vocês descobriram isso.
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
4) E se eu lhes pedisse para construir o triângulo situado em uma posição ainda
mais avançada nessa sequência, existiria uma maneira de você descobrir a
quantidade de canudinhos necessários para construí-lo? ( ) sim ( ) não
Se sim, de que modo você descobriria essa quantidade de canudinhos?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
239
APÊNDICE M
TAREFA III: CUBOS ENFILEIRADOS
Data: ___/___/___
Nome da dupla: _______________________________________________________
_______________________________________________________
Agora que já descobrimos o padrão que nos dá o número de faces de acordo com o número de cubos
enfileirados, vamos completar a tabela:
Número de cubos enfileirados
Número de faces expostas
1
2
3
5
10
15
50
Escrevam abaixo o que vocês descobriram sobre o número de faces expostas de acordo com o número
de cubinhos enfileirados.
240
APÊNDICE N
TAREFA IV: LEMBRETES
Data: ___/___/___
Nome da dupla: _________________________________________
_________________________________________
Seguindo a mesma lógica observada em nossa discussão, escrevam, da forma que vocês preferirem, como
podemos calcular o número de imãs necessários para afixar um número qualquer de lembretes no mural.
Se fosse pedido a vocês para representar a descoberta do item anterior utilizando apenas linguagem simbólica
(símbolos e operações matemáticas), de que modo vocês o fariam?
241
APÊNDICE O
TAREFA V: MESAS ENFILEIRADAS NO ANIVERSÁRIO DE POLIANA
Data: ___/___/___
Nome da dupla: _______________________________________
_______________________________________
Mesas enfileiradas no aniversário de Poliana
Poliana estava completando 15 anos de idade e decidiu fazer uma festa para comemorar. A festa foi
realizada em um amplo salão e Poliana pode convidar todos os seus 52 colegas de sala.
Na noite da festa, Poliana estava animada e ansiosa para receber seus amigos. Os primeiros colegas
de Poliana a chegarem à festa foram o Paulo, o Rodrigo, o Lucas e o Luis. Os quatro foram
acomodados em uma mesa com quatro cadeiras, como indicado na figura abaixo.
Poucos minutos depois, Patrícia e Daniela chegaram e, como elas são amigas dos quatro colegas que
já estavam na festa, pediram ao garçom que colocassem mais uma mesa junto à mesa dos rapazes
para que todos sentassem juntos. Dessa forma, todos ficaram acomodados de acordo com a imagem
abaixo.
Porém, os colegas de Poliana não paravam de chegar. Os próximos eram o Vinícius e a Paloma. E, é
claro, eles também gostariam de sentar junto aos demais colegas que já estavam na festa. E,
novamente, eles pediram ao garçom que colocassem outra mesa enfileirada com as demais mesas dos
outros colegas que já estavam sentados. A imagem ficou da seguinte forma:
242
Dessa forma, enfileirando as mesas, Poliana percebeu que todos os colegas poderiam sentar juntos.
Mas ela ficou em dúvida sobre quantos colegas ela poderia colocar sentados nessa fila de mesas que
estava se formando. Vamos ajudá-la a descobrir o número de amigos ela poderá colocar sentado de
acordo com o número de mesas enfileiradas, completando a tabela abaixo.
Número de mesas enfileiradas
Número de lugares disponíveis
2
3
4
5
8
10
Quantas mesas o garçom da festa de Poliana precisaria enfileirar para acomodar seus 52 colegas?
243
E se na festa de Poliana tiver 100 mesas enfileiradas, quantos amigos poderão se sentar? Mostrem
como vocês descobriram o resultado.
representar este valor). Escreva, usando símbolos matemáticos e o símbolo que você criou, uma
expressão que represente quantas pessoas poderiam se sentar nessas
mesas.
244
APÊNDICE P
TAREFA VI: CAMINHADA NO PÁTIO!
Data: ___/___/___
Nome: _________________________________________
Caminhada no pátio!
Vamos fazer uma atividade prática. Vá até o pátio do colégio e caminhe durante 1 minuto
contando o número de passos que você dará durante esse tempo. Em seguida, supondo que
você continuasse a andar no mesmo ritmo, complete a tabela com o número de passos que
você daria à medida que o tempo passasse.
Tempo
(min)
1
2
3
4
...
Número de
Passos
f) Quantos passos você dará se caminhar 10 min sem mudar o ritmo? Explique como
você descobriu.
g) E 25 minutos? Explique como você descobriu.
h) E 1 hora? Explique como você descobriu.
i) Dessa forma, sabendo o número de minutos de caminhada, como você faz para
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APÊNDICE Q
SEQUÊNCIA TRABALHADA NA TAREFA VII

O desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébrica no

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