O Estado da Arte da Pesquisa em Resolução de Problemas na

II SERP – II Seminário em Resolução de Problemas
Rio Claro, SP, Brasil
10 e 11 de novembro de 2011
O Estado da Arte da Pesquisa em Resolução de
Problemas na Educação Matemática no Brasil e no
Mundo
Lourdes de la Rosa Onuchic
[email protected]
Grupo de Trabalho e Estudos em Resolução de Problemas – GTERP
Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática – PGEM
Universidade Estadual Paulista – UNESP
Resolução de Problemas no Brasil e no Mundo
• O volume especial, número 100, publicado em 2007, comemorando
os 100 anos da revista Mathematics Teacher (MT), do NCTM,
selecionou artigos que, quando reunidos, apresentam uma
retrospectiva dos passados cem anos da história da Educação
Matemática.
• Pode-se ver que, desde o início, essa revista é mais do que uma
revista profissional.
• Ela dirige sua voz para professores, matemáticos e educadores
matemáticos que nos encorajam a fornecer mais matemática e melhor
matemática para todos os estudantes.
• Na sequência das décadas do século XX, a revista apresenta artigos
que marcaram e marcam a Educação Matemática, ao longo das
ideias e reformas ocorridas, destacando os eventos acontecidos que
as geraram.
Na década de 1910 na revista MT9 (dezembro de 1916)
• J. H. Minnick – University of Pennsylvania, tem seu artigo Our
critiques and their viewpoints.
• Quando Minnick o escreveu, em 1916, o papel da matemática no
currículo estava sendo criticado por mais de uma década.
• Embora os críticos não concordassem entre si, um fio comum corria
entre essas críticas.
• Os educadores do século XX rejeitavam a teoria da disciplina mental,
em que os educadores do século XIX acreditavam, que a mente
requeria exercício, ou disciplina, para se desenvolver.
Para a década de 1920 na revista MT14 (janeiro de 1921)
• Colocaram o texto do artigo, publicado em 1921, de C. M. Austin,
composto como os Editorials de dois editores do MT, Metzler e Clark.
• Esses artigos compartilhavam a razão física que estava por trás da
fundação do NCTM e uma breve história da revista criada.
Na década de 1930, para a revista MT30 (outubro de 1937)
• Foi selecionado o artigo Gestalt Psycology and Mathematical Insight,
de George W. Hartmann.
• Emergindo nos anos 1920, a Psicologia Gestalt contrastou
nitidamente com a predominante visão atomística da teoria
conexionista da psicologia.
• Em seu artigo, Hartmann desafiou a comumente noção considerada
de que o melhor modo de se ensinar matemática era o de se quebrar
a aprendizagem em partes discretas.
Para a década de 1940, a MT36
• Referindo-se a figuras que mostravam que a porcentagem de
estudantes envolvidos com geometria e álgebra decrescia fortemente
depois de 1910,
• perguntava-se: O que aconteceu durante os anos 1920 e 1930 para
causar essa tendência?
• William Betz sumarizou essas décadas tumultuosas, nos Editoriais do
tempo de guerra, e identificou três fases entre 1902 e 1940.
– o movimento de reforma que culminou no Relatório de 1923;
– o grande crescimento da população escolar; e
– o declínio da matemática durante a década precedente à II Guerra Mundial.
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Ainda para os anos 1940, na MT37 (abril de 1944) foi registrado o artigo The
Progressive Nature of Learning in Mathematics, de William A. Brownell. Esse
artigo foi escolhido para compartilhar sua Teoria do significado de
matemática.
Nele, Brownell critica as teorias comportamentais da aprendizagem e
argumenta que o ensino de matemática, a partir de uma perspectiva
behaviorist, resulta em pseudo-aprendizagem, memorização e verbalização
superficial e vazia.
Nos anos 1950, para a MT52 (janeiro de 1950)
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Foi escolhido o artigo de George Pólya, Mathematics as a Subject for
Learning Plausible Reasoning.
Numa revisão, feita em 1948, vinha o clássico How to Solve it de Pólya, que
foi descrita por Philip Jones como a mais concreta e sugestiva discussão
disponível de:
– o método heurístico de ensino;
– a técnica de resolver problemas; e
– a técnica de ensinar a resolver problemas.
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Também, nos anos 1950, na MT47 (outubro de 1954), Howard F. Fehr tem
seu artigo The Role of Insight in the Learning of Mathematics relacionado.
Para recomendar uma forma de como dirigir a obtenção, nos estudantes, de
estratégias bem sucedidas para a resolução de problemas, ele volta seu olhar
para um professor que tenha observado tanto estudantes quanto professores
da escola secundária, quando estão engajados no processo de resolução de
problemas em seu momento misterioso de insight.
Em seu artigo, Fehr, primeiro desafia seus leitores sugerindo substituir a
estratégia de tentativa e erro por uma abordagem criteriosa para resolução de
problemas.
Nos anos 1960
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Quando os textos de Matemática Moderna foram introduzidos, os professores
foram encorajados a usar uma abordagem de descoberta para ensinar ou
fazer uso de métodos socráticos, baseados em levantar questões que
pudessem levar os alunos a descobrir relações matemáticas.
Nessa década, Julia Adkins considerou uma perspectiva diferente para
chamar a atenção a que tipo de questões os alunos estavam perguntando e o
que as questões dos alunos poderiam nos dizer sobre como eles estavam
aprendendo e como nós estávamos ensinando.
Assim, na MT55 (março de 1962), foi escolhido o artigo: Are Students’
Questions a Valid Criterion for Evaluating Creative Teachig?
Nesses mesmos anos de 1960, o psicólogo americano Jerome S. Bruner
publicou, na revista MT53 (dezembro de 1960), o artigo On Learning
Mathematics. Esse artigo traz seu próprio insight para a educação
matemática com as reformas emergentes do movimento da Matemática
Moderna e a pesquisa inicial de Piaget e Inhelder.
Bruner mostra a importância da descoberta, da intuição e da prontidão do
aluno, e argumenta que o modo pelo qual o aluno naturalmente aprende,
frequentemente conflita com o modo como a matemática é ensinada na
escola.
Nos anos 1970
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David Johnson usa tanto a matéria quanto a pedagogia no desenvolvimento
do “elemento de surpresa” e
nos lembra, em seu artigo de 1973, na revista MT66 (janeiro de 1973), The
element of surprise: an effective classroom technique, que o quê estamos
ensinando e como estamos ensinando estão inextricavelmente conectados
com a qualidade da aprendizagem do aluno.
Nos anos 1980
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Com a publicação de An agenda for Action, em 1980, o NCTM adotou um
papel mais ativo nos debates em educação matemática.
Shirley A. Hill, presidente do NCTM de 1978 a 1980, deu atenção à agenda,
no 58th annual meeting.
O artigo constante, nesse volume especial da MT, exposto na MT73
(setembro de 1980), se chama President’s Annual Address: 58th Annual
Meeting.
Nessa mesma MT73 (setembro de 1980), o trabalho de Zalman Usiskin, com
o título What Should Not Be in the Algebra and Geometry Curricula of
Average College-Bound Students? A strong argument is presented. Does it
reflect your thinking?
Ainda, em 1980, ele, Usiskin, reconsiderando seu artigo, escreve What
Should Not Be in the Algebra and Geometry Curricula of Average CollegeBound Students?A Retrospective after a Quarter Century.
Nos anos 1990
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A partir de todas essas mudanças, o artigo de Dan Kennedy apareceu, na
MT88 (setembro de 1995), com o título Climbing Around on the Tree of
Mathematics.
Nesse artigo pergunta-se “Qual era o cenário familiar, para os professores de
matemática que viajavam para a floresta metafórica de Kennedy, exatamente
há uma década antes?
O NCTM tinha publicado seu primeiro documento da Série Standards –
Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, em 1989.
Outro documento dessa série – Assessment Standards for School
Mathematics estava acabando de ser publicado.
A calculadora gráfica não era mais uma ferramenta nova e, em muitas
escolas, os professores já as usavam junto como softwares computacionais.
Nos anos 1990
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Kennedy, argumenta que a calculadora gráfica permite a seus estudantes
descobrir a beleza e o poder da matemática, sem que eles tenham habilidade
em usar o método FOIL
– que ensina a usar a lei distributiva (a + b)(c + d) = ac + ad + bc +bd,
– ou sejam capazes de fazer fatorações,
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mas diz, também, que esses estudantes deveriam experimentar a beleza da
matemática, que era um objetivo compartilhado por muitos de nossos
predecessores, embora lhes faltasse a tecnologia à qual Kennedy poderia
recorrer.
Ele se lembra de que, em 1923, o Relatório The Reorganization of
Mathematics in Secondary Education – um documento tão amplamente citado
em seus dias quanto os Standards o são hoje – que apresentava uma lista
dos fins culturais do ensino de matemática, incluindo:
– Uma apreciação da beleza nas formas geométricas da natureza, da arte e da
industria;
– Os ideais da perfeição como uma estrutura lógica, com precisão de afirmação e de
pensamento; e
– Uma apreciação do poder da matemática e do papel que a matemática e o
pensamento abstrato têm desempenhado no desenvolvimento da civilização e, em
particular, nas ciências, na indústria e na filosofia.
Nos anos 1990
• Kennedy escreve nesse artigo que, quando ele era aluno na PósGraduação, estava sofrendo ataques de ansiedade e se perguntava:
– “O que estou fazendo aqui?” “O que poderei publicar de original em
minha dissertação?
• Um dia, na sala de seu orientador, mostrava-se atacado por essas
angustias e ele, para o consolar, sugeria que visse o corpo todo do
conhecimento matemático como algo muito parecido com uma árvore:
o corpo principal seria o grande tronco do conhecimento geral, do
qual brotariam diferentes ramos de concentração, dos quais
emergiriam menores ramos de especialização e dos quais,
finalmente, brotariam raminhos mais específicos.
• O Orientador lhe disse que tudo o que ele tinha que fazer, para
expandir a árvore, era subir no tronco, alcançar um ramo, galgar
algum ramo menor e seguir, por um desses raminhos, percebendo o
que deveria fazer lá. Ele disse, então, em outras palavras, que uma
tese de doutorado não acontece sobre os primeiros ramos, ela deve
se apoiar nos brotos finais.
• Kennedy seguiu essa orientação com mais entusiasmo.
Árvore da matemática
Durante a década de 1980
• Muitos recursos em resolução de problemas foram desenvolvidos,
visando ao trabalho de sala de aula, na forma de coleções de
problemas, listas de estratégias, sugestões de atividades e
orientações para avaliar o desempenho em resolução de problemas.
• Muito desse material ajudou os professores a fazer da resolução de
problemas o ponto central de seu trabalho.
• Nessa importante década de 1980, também as dificuldades
encontradas, por professores para “ensinar” e as dos alunos para
“aprender”, passaram a ser consideradas como objetos de estudo e
de reconceitualização por educadores e pesquisadores na Educação
Matemática.
• Entretanto, havia linhas de pesquisa diferentes defendidas por eles.
• Mas, ao final da década de 1980, os pesquisadores passaram a
questionar o ensino e o efeito de estratégias e modelos, e a discutir
as perspectivas didático-pedagógicas da resolução de problemas.
• Ela passa a ser pensada como uma metodologia de ensino, como um
ponto de partida e um meio de se ensinar Matemática.
A Resolução de Problemas, como uma metodologia de ensino
• Resolução de Problemas se torna o lema das pesquisas e estudos
em Resolução de Problemas para os anos 1990. Essa nova visão de
ensino-aprendizagem de Matemática se apoia especialmente nos
estudos desenvolvidos pelo NCTM, que culminaram com a publicação
dos Standards 2000, oficialmente chamados Principles and Standards
in School Mathematics (NCTM, 2000).
• Nesse documento são assumidos os seguintes Princípios: Equidade,
Currículo, Ensino, Aprendizagem, Avaliação e Tecnologia.
• Como Padrões de Conteúdo, que respondem à questão “O quê
ensinar?”, apresentam Número e Operações, Álgebra, Geometria,
Medida e Análise de Dados e Probabilidade.
• Para os Padrões de Procedimento, que respondem à questão “Como
ensinar?”, são apontados Resolução de Problemas, Raciocínio e
Prova, Comunicação, Conexões e Representação.
• Esse movimento de reforma na Educação Matemática, vigente até
hoje, aponta para a Resolução de Problemas como o primeiro padrão
de procedimento para trabalhar os padrões de conteúdo, sendo que o
ensino de Matemática através da resolução de problemas é nele
fortemente recomendado.
Há diferentes caminhos propostos para se chegar a processos de
ensino de Matemática
• Nós, no grupo GTERP, apresentamos um deles: a “Metodologia de
Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da
Resolução de Problemas”
– onde o ensino e a aprendizagem devem ocorrer simultaneamente durante
a construção do conhecimento,
– tendo o professor como guia e os alunos como co-construtores desse
conhecimento.
– Além disso, essa metodologia integra uma concepção mais atual de
avaliação. Ela, é construída durante a resolução do problema, integrandose ao ensino com vistas a acompanhar o crescimento dos alunos,
aumentando sua aprendizagem e reorientando as práticas em salas de
aula, quando for necessário.
A Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática
através da Resolução de Problemas
• Trata-se de um trabalho onde um problema é ponto de partida e
orientação para a aprendizagem e a construção de novo
conhecimento faz-se presente através de sua resolução. Professor e
alunos, juntos, desenvolvem esse trabalho e a aprendizagem se
realiza de modo colaborativo em sala de aula.
• Uma proposta atual consiste em organizar as atividades seguindo as
seguintes etapas:
– 1) Preparação do problema - Selecionar um problema visando à construção de
um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado
problema gerador. É bom ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a
resolução do problema proposto não tenha ainda sido trabalhado em sala de aula.
– 2) Leitura individual - Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar
que seja feita sua leitura.
– 3) Leitura em conjunto - Formar grupos e solicitar nova leitura do problema,
agora nos grupos.
– 4) Resolução do problema - De posse do problema, sem dúvidas quanto ao
enunciado, os alunos, em seus grupos, num trabalho cooperativo e colaborativo,
buscam resolvê-lo. Considerando os alunos como co-construtores da “matemática
nova” que se quer trabalhar, o problema gerador é aquele que, ao longo de sua
resolução, conduzirá os alunos na construção do conteúdo planejado pelo
professor para aquela aula.
– 5) Observar e incentivar – Nessa etapa o professor não tem mais o papel de
transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o
problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o
trabalho colaborativo. Ainda, o professor como mediador leva os alunos a pensar,
dando-lhes tempo e incentivando a troca de idéias entre eles.
– 6) Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são
convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou
feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos
as analisem e discutam.
– 7) Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunos para participarem
da discussão dessas diferentes resoluções, para defenderem seus pontos de vista
e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das
discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é
um momento bastante rico para a aprendizagem.
– 8) Busca de consenso – Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as
resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a
classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto.
– 9) Formalização do conteúdo – Neste momento, denominado “formalização”, o
professor registra na lousa uma apresentação “formal” – organizada e estruturada
em linguagem matemática – padronizando os conceitos, os princípios e os
procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as
diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas
sobre o assunto.
Conclusão
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Nesta metodologia, os problemas são propostos aos alunos antes de lhes ter
sido apresentado formalmente o conteúdo matemático necessário ou mais
apropriado à sua resolução que, de acordo com o programa da disciplina para
a série atendida, é pretendido pelo professor. Dessa forma, o ensinoaprendizagem de um tópico matemático começa com um problema que
expressa aspectos-chave desse tópico e técnicas matemáticas devem ser
desenvolvidas na busca de respostas razoáveis ao problema dado. A
avaliação do crescimento dos alunos é feita, continuamente, durante a
resolução do problema. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2009, p.140-141)
O Mundo está em mudanças, a Tecnologia está mudando, a Matemática está
mudando .
Portanto, a Educação Matemática – e a percepção da sociedade e o apoio
para ela – precisa mudar para ir de encontro às necessidades do século XXI.