Projeto por Alocação de Pólos

UnilesteMG – Curso de Especialização em Automação e Controle
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Projeto por Alocação de Pólos:
Método por Espaço de Estados
Introdução
Parâmetros de projeto
Alocação de pólos
Regulação por realimentação de estados
Observadores
Realimentação da saída
Problema Servo
Exemplo de projeto
Projeto do Sistema de Controle
Fatores a serem considerados num projeto:
• Atenuação dos distúrbios de carga
• Redução do efeito do ruído de medição
• Acompanhamento do sinal de comando
• Variações e incertezas no comportamento do processo
Problemas de controle podem ser classificados como:
• Problemas de regulação
• Problemas servo
Ingredientes de um projeto
• Propósito do sistema
• Modelo do processo
• Modelo dos distúrbios
• Variações e incertezas do modelo
• Estratégias de controle admissíveis
• Parâmetros do projeto
e
v
uc
Hff
Σ
Hc
u
Σ
-1
Controle de Processos Industriais por Computador
Hp
x
Σ
y
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Processo
Seja o sistema
x! = Ax + Bu
Na forma amostrada tem-se
x(kh+h) = Φx(kh) + Γu(kh)
sendo
Φ = e Ah
Γ = ∫ e As dsB
h
0
simplificando
x(k + 1) = Φx(k ) + Γu (k )
Distúrbios
Será considerado inicialmente, distúrbio do tipo impulso
representado por um estado inicial
Incerteza do Processo
Será considerada posteriormente
Critério
Será considerado o problema da regulação.
Controles Admissíveis
u(k) = - Lx(k)
Parâmetros de Projeto
- Período de amostragem
- Pólos desejados em malha fechada
Regulação por Realimentação de Estados
Exemplo
Exemplo 1 – Alocação de pólo para uma planta com
integrador duplo
Seja a planta
 h 2 / 2
1 h 
x(k + 1) = 
x
(
k
)
+

u (k )

0 1 
 h 
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A realimentação de estados pode ser descrita como
u = −l1 x1 − l 2 x 2
Com esta realimentação o sistema em malha fechada será
1 − l1 h 2 / 2 h − l 2 h 2 / 2
x(k + 1) = 
 x(k )
1 − l2 h 
 − l1 h
A equação característica do sistema em malha fechada
será:
 l h2
  l h2

z 2 +  1 + l 2 h − 2  z +  1 − l 2 h + 1 = 0
 2
  2

Considerando a equação característica desejada
z 2 + p1 z + p 2 = 0
Determina-se o valor de L
1
(1 + p1 + p 2 )
h2
1
l2 =
(3 + p1 − p 2 )
2h
l1 =
Caso Geral
Seja a equação característica de Φ dada por:
z n + a1 z n −1 + " + a n
Considerando o sistema atingível, ele pode então ser
transformado para a forma canônica atingível fazendo-se z
= Tx, então
~
~
z (k + 1) = Φz (k ) + Γu (k )
sen do
− a1
 1
~ 
Φ= 0

 #
 0
− a 2 " − a n −1
0 "
0
1 "
0
#
$
#
0 "
1
− an 
1

0 
0
 ~  
0  Γ = 0 

 
# 
#
0
0 
Logo, a lei de realimentação para este sistema terá a
forma:
~
u = − L z = −[ p1 − a1
p2 − a2 "
p n − a n ].z
tornando
P( z ) = z n + p1 z n −1 + " + p n
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A solução para o sistema original em x será:
~
~
u = − L z = − L Tx = − Lx
Para determinar a matriz T é necessário determinar a
matriz de atingibilidade do sistema em x:
[
Wc = Γ ΦΓ " Φ n−1 Γ
]
e a inversa da matriz de atingibilidade do sistema em z:
1

~ −1 0
Wc =
#

0
~
como Wc
a1 " a n−1 
1 " an−2 

# $
# 

0 " 1 
~
= TWc então T = WcWc−1
Logo, L = −[ p1 − a1
p2 − a2 "
~
p n − a n ].WcWc−1
Teorema 1 – ALOCAÇÃO DE PÓLO USANDO
REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS – Seja um sistema
discreto no tempo. Considere que há apenas um sinal de
entrada. Se o sistema for atingível existe uma
realimentação linear que fornece um sistema em malha
fechada com uma equação característica desejada. A
realimentação é dada por:
u (k ) = − Lx(k )
com
L = [ p1 − a1
p2 − a2 "
= [0 " 0 1]Wc−1 P (Φ )
~
p n − a n ]WcWc−1
Esta última equação é chamada de Fórmula de Ackermann.
Exemplo 2 – Integrador duplo
Considere o sistema do exemplo 1 e seja a equação
característica desejada da forma:
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P( z ) = z 2 + p1 z + p 2
h 2 / 2 3h 2 / 2
− 1 / h 2
−1
Wc = [Γ ΦΓ ] = 
e
W
=
c


2
h 
 h
 1/ h
2h + p1 h 
1 + p1 + p 2
P(Φ) = Φ 2 + p1Φ + p 2 I = 
0
1 + p1 + p 2 

Pela
fórmula de
[
Ac ker mann
L = [0 1]W P(Φ ) = 1 / h 2
−1
c
1 + p1 + p 2
=
h2

1,5 / h 

− 0,5 / h 
]
− 0,5 / h P(Φ)
3 + p1 − p 2 

2h

Aspectos Práticos
Exemplo 3 – Escolha dos parâmetros de projeto
Ao invés de escolhermos p1 e p2 da equação característica
para o duplo integrador pode-se trabalhar com parâmetros
que tenham interpretação física direta: freqüência natural
e amortecimento. Logo:
P( s ) = s 2 + 2ζws + w 2
(
p1 = −2e −ζwh cos wh 1 − ζ 2
sen do u (0) = −l1 x0 − l 2 v0
)
p 2 = e − 2ζwh
aproximando u (0) ≈ − w 2 x0 + 2ζwv 0
onde xo e vo são condições iniciais e a última equação é
obtida através de expansão por séries e considerando que o
período de amostragem é bem pequeno.
Vê-se que a magnitude da ação de controle cresce com w,
assim um aumento na velocidade de resposta requer um
aumento no sinal de controle.
O número de amostra em relação ao tempo de subida será
(sugere-se Nr = 4 – 10):
N=
2π
wh 1 − ζ 2
Controle Deadbeat
Se os pólos desejados forem escolhidos para estarem na
origem, o polinômio característico do sistema em malha
fechada se torna: P(z) = zn.
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Pelo teorema de Cayley-Hamilton Φc = Φ - ΓL do sistema em
malha fechada satisfaz Φcn = 0.
Esta estratégia tem a propriedade de levar os estados a
zero em no máximo n passos após um distúrbio na forma de
impulso.
Esta estratégia de controle é chamada de Deadbeat e
segue da fórmula de Ackermann que a mesma é dada por:
L = [0 " 0 1]Wc−1Φ n
se Φ a dim itir inversa
[
L = [0 " 0 1] Φ − n Γ Φ − n +1Γ " Φ −1Γ
]
−1
Exemplo 4 – Controle Deadbeat para o integrador duplo
Aplicando a fórmula acima para o duplo integrador chega-se
a:
l1 =
1
h2
segue
l2 =
3
2h
u (0) = −
x0 3v0
−
h 2 2h
u ( h) =
x0 v0
+
h 2 2h
Distúrbios mais Genéricos
Seja o sistema com distúrbio
x! = Ax + Bu + v
onde
w! = Aw w
v = Cw w
A matriz Aw em geral possui zeros sobre o eixo imaginário
ou do lado direito do plano. Um caso comum é v = constante,
assim Aw = 0; outro caso corresponde a distúrbios senoidais
sendo:
 0
Aw = 
− w0
w0 
0 
x
fazendo z =  
 w
 x!   A C w   x   B 
 w!  =  0 A   w +  0 u
W  
  
 
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O sistema acima não é completamente atingível. Os pólos
associados com a descrição do distúrbio não são
influenciados pela realimentação.
A amostragem do sistema gera:
 x(k + 1)  Φ Φ xw   x(k )  Γ 
 w(k + 1) =  0 Φ   w(k ) +  0 u (k )
w 

 
  
com u (k ) = − Lx(k ) − Lw w(k )
x(k + 1) = (Φ − ΓL) x(k ) + (Φ xw − ΓLw ) w(k )
w(k + 1) = Φ w w(k )
A lei de controle u(k) pode ser interpretada como tendo um
termo de realimentação e outro antecipatório.
A influência do distúrbio pode ser minimizada pela escolha
adequada de Lw.
Observadores
Em geral, nem todos os estados de um sistema podem ser
medidos, ex. distúrbios
Para efeito de análise vamos considerar o sistema:
x(k + 1) = Φx(k ) + Γu (k )
y (k ) = Cx(k )
Cálculo direto das variáveis de estado
y (k − n + 1) = Cx(k − n + 1)
y (k − n + 2) = CΦx(k − n + 1) + CΓu (k − n + 1)
#
y (k ) = CΦ n −1 x(k − n + 1) + CΦ n − 2 Γu (k − n + 1) + " + CΓu (k − 1)
 y (k − n + 1) 
 u (k − n + 1) 
 y (k − n + 2)
u (k − n + 2)
 U k −1 = 

Fazendo Yk = 




#
#




y (k ) 

 u (k − 1) 
YK = Wo x(h − n + 1) + WuU k −1
0
 C 
 0
 CΦ 
 CΓ
0



2
Wo =  CΦ  Wu =  CΦΓ
CΓ



#
 # 
 #
1
2
n
n
−
−
CΦ 
CΦ Γ CΦ n −3 Γ





$ # 
" CΓ 
"
"
"
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0
0
0
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A matriz Wo admite inversa se o sistema for observável,
logo:
x(k-n+1)=Wo-1Yk - Wo-1WuUk-1
O uso repetido da equação acima fornece:
x(k ) = Φ n −1 x(k − n + 1) + Φ n − 2 Γu (k − n + 1) + " + Γu (k − 1)
ou x(k ) = Ay Yk + BuU k −1
Ay = Φ n −1Wo−1
[
]
Bu = Φ n − 2 Γ Φ n −3 Γ " Γ − Φ n −1Wo−1Wu
Exemplo 5 – Integrador duplo
 h 2 / 2
1 h 
Φ=
Γ
=

 C = [1 0]

0 1 
 h 
y (k ) = x1 (k )
h2
u (k − 1)
2
h2
u (k − 1)
= y (k − 1) + h(x 2 (k ) − hu (k ) ) +
2
x1 (k ) = y (k )
y (k ) = x1 (k − 1) + hx 2 (k − 1) +
x 2 (k ) =
y (k ) − y (k − 1) h
+ u (k − 1)
2
h
Reconstrução usando um sistema dinâmico
- O método apresentado fornece os estados após pelo
menos n medições ( n é a ordem do sistema);
- Outra desvantagem é que o mesmo é sensível a
distúrbios;
- Outra abordagem:
xˆ (k + 1) = Φxˆ (k ) + Γu (k )
xˆ ⇒ aproximação de x
se as condições iniciais forem diferentes, o estado
calculado só converge para x se o sistema for
assintoticamente estável.
A aproximação pode ser melhorada usando o sinal de
saída medido:
xˆ (k + 1 | k ) = Φxˆ (k | k − 1) + Γu (k ) + K ( y (k ) − Cxˆ (k | k − 1) )
sendo K uma matriz de ganhos e a notação x(k+1|k) é
usada para indicar que é uma estimativa de x(k+1)
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baseada nas medições no instante k (predição de um
passo).
O termo K(y-Cx^(k)) não fornece nenhuma contribuição
se a predição for igual a medição.
Fazendo:
~
x = x − xˆ
~
x (k + 1 | k ) = Φ~
x (k | k − 1) − K ( y (k ) − Cxˆ (k | k − 1)) = (Φ − KC ) ~
x (k | k − 1)
Escolhendo K de forma que este último sistema seja
assintoticamente estável, o erro sempre convergirá para
zero, ou seja, os autovalores de (Φ - KC) devem ser
estáveis.
Cálculo do ganho do observador
- A seleção dos pólos do observador é um compromisso
entre sensibilidade a erros de medição e recuperação
rápida de erros iniciais.
- Usando a fórmula de Ackermann, temos o seguinte
solução dual
L → KT
Wc → WoT
Φ → ΦT
K T = [0 " 0 1](WoT ) −1 P(Φ T )
ou
K = P(Φ )Wo−1 [0 " 0 1]
T
- Observa-se que a fórmula de Akermann é mal
condicionada numericamente tanto para cálculo de L
quanto de K. Indica-se o uso da função PLACE do
MatLab.
Observador Deadbeat
- Se escolhermos o ganho K de forma que os autovalores
de (Φ - KC) sejam todos zero, este observador é
chamando observador Deadbeat.
- Sua principal característica é que o erro de observação
tende a zero num tempo finito (no máximo n amostras,
onde n é a ordem do sistema).
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Exemplo 6 – Observador de ordem plena para o duplo
integrador
1 − k1
1 h   k1 
Φ o = Φ − KC = 
−  [1 0] = 

0 1   k 2 
 − k2
z 2 − ( 2 − k1 ) z + 1 − k1 + k 2 h = 0
h
1 
equação desejada
z 2 + p1 z + p 2 = 0 então
k1 = 2 + p1
k 2 = (1 + p1 + p 2 ) / h
observador
Deadbeat
p1 = p 2 = 0
k1 = 2 k 2 = 1 / h
Observador alternativo
- O seguinte observador pode ser usado para evitar
atrasos:
xˆ (k | k ) = Φxˆ (k − 1 | k − 1) + Γu (k − 1)
+ K [y (k ) − C (Φxˆ (k − 1 | k − 1) + Γu (k − 1) )]
= ( I − KC )(Φ(k − 1 | k − 1) + Γu (k − 1) ) + Ky (k )
O erro de reconstrução
será :
~
x (k | k ) = x(k ) − xˆ (k | k ) = (Φ − KCΦ ) ~
x (k − 1 | k − 1)
além disto
y (k ) = Cxˆ (k | k ) = C~
x (k | k ) = ( I − CK )CΦ~
x (k − 1 | k − 1)
- Se o sistema tiver p saídas, então (I – CK) é uma matriz
p x p; K pode ser escolhido de forma que CK = I se o
posto de C = p. Isto implica que Cx^(k|k) = y(k), o que
significa que a saída do sistema é estimada sem erro.
- O procedimento acima permite que p equações possam
ser eliminadas do sistema, e a ordem do observador será
reduzida;
- Observadores de ordem reduzida como este são
chamados de Observadores de Luenberger.
Exemplo 7 – Observador de ordem reduzida para o
integrador duplo
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1 − k1 h(1 − k1 )
xˆ (k | k ) = 
 xˆ (k − 1 | k − 1)
 − k 2 1 − hk 2 
(1 − k1 )h 2 / 2
 k1 
+
 u (k − 1) +   y (k )
k 2 
 h(1 − hk 2 / 2 
Se I − CK = 0 → k1 = 1 log o :
xˆ1 (k | k ) = y (k )
xˆ 2 (k | k ) = (1 − hk 2 ) xˆ 2 (k − 1 | k − 1)
+ k 2 ( y (k ) − y (k − 1) ) + h(1 − hk 2 / 2)u (k − 1)
O observador de ordem reduzida é dado pela última
equação.
Realimentação da Saída
Combinação dos dois métodos anteriores;
y
u
x̂
-L
Processo
Observador
Modelos de distúrbios mais realísticos
-L
x̂
ŵ
-Lw
u
Σ
Processo
y
Observador
Ação integral
v
x̂
L
ε
Σ
u
v̂
Σ
Observador
Distúrbio
Observador
Estado
Σ
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Processo
y
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O problema Servo
Método
Fazendo:
u (k ) = − Lxˆ (k ) + Lc u c (k )
então :
x(k + 1) = (Φ − ΓL) x(k ) + ΓL~
x (k ) + ΓLc u c (k )
~
x (k + 1) = (Φ − KC ) ~
x (k )
y (k ) = Cx (k )
Observe que o erro não é atingível a partir de uc.
Ação integral
Introduzindo um distúrbio constante v, obtêm-se o
controlador com ação integral:
u (k ) = − Lxˆ (k ) − vˆ(k ) + Lc u c (k )
xˆ (k + 1) = Φxˆ (k ) + Γ(vˆ(k ) + u (k ) ) + K ( y (k ) − Cxˆ (k ) )
vˆ(k + 1) = vˆ(k ) + K w ( y (k ) − Cxˆ (k ) )
Que também podem ser escritas como:
u (k ) = − Lxˆ (k ) − vˆ(k ) + Lc u c (k )
xˆ (k + 1) = (Φ − ΓL) xˆ (k ) + ΓLc u c (k ) + K ( y (k ) − Cxˆ (k ) )
vˆ(k + 1) = vˆ(k ) + K w ( y (k ) − Cxˆ (k ) )
Estrutura do controlador
uc
uff
Hff
ufb
-Hfb
Σ
u
Processo
y
É natural especificar um modelo desejado e usar a lei de
controle abaixo:
x m (k + 1) = Φ m x m (k ) + Γm u c (k )
y m (k ) = C m x m (k )
u (k ) = L(x m (k ) − xˆ (k ) ) + u ff (k )
As coordenadas devem ser escolhidas de forma que os
estados dos sistema e do modelo sejam compatíveis.
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Geração do sinal antecipatório
Seja a função de transferência ao impulso do processo e
do modelo H(z) e Hm(z).
Se o sinal abaixo puder ser gerado, então teremos a
resposta desejada:
u ff (k ) =
H m (q)
u c (k )
H (q )
A geração do sinal antecipatório é simplificada se o modelo
de referência estiver na forma canônica atingível, isto é,
− a1m − a 2m " − a nm−1 − a nm 
λ 


0
0
0
0 
"
 1
 
Φm =  0
1
0
0  Γm =  0 
"


 
#
$
#
# 
 #
#
 0
 0 
0
1
0 
"

segue u ff = λu c (k ) + C ff x m (k )
[
onde C ff = a1 − a1m
a 2 − a 2m
" a n − a nm
]
Pode obter outras representações através de
transformações de similaridade.
Exercícios
Livro texto página 161 – 163
Exercícios: 4.1; 4.2; 4.3; 4.4; 4.5; 4.8; 4.11.
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