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MATEMÁTICA I
AULA 03: LIMITES DE FUNÇÃO, CÁLCULO DE LIMITES E CONTINUIDADES
TÓPICO 02: CÁLCULO DE LIMITES
Neste tópico serão estudadas as técnicas de cálculo de limites de
funções algébricas, usando alguns teoremas que serão demonstrados ou
sugeridos para demonstração no texto complementar sugerido para leitura
no final deste tópico. O tópico é finalizado, tratando do cálculo de limites
de funções envolvendo seno e co-seno. O estudo inicial do cálculo de
limites, pode ser considerado em três fases, além de uma abordagem para
calcular limites de funções envolvendo seno e co-seno, de acordo como
segue.
Inicialmente, serão vistos os limites unilaterais e bilaterais finitos
(conforme classificação estabelecida no tópico 1 desta aula - clique para
abrir), isto é, os limites representados pelo símbolo:
CLASSIFICAÇÃO ESTABELECIDA NO TÓPICO
1 DESTA AULA - CLIQUE PARA
ABRIR
onde x
c pode ser substituído por x
c- ou x
c+.
Os teoremas 1 e 2 a seguir, são utilizados no cálculo de limites finitos,
suas demonstrações serão feitas no “texto complementar” deste tópico e que
está indicado no final do tópico.
TEOREMA 1
Se a e b são números reais fixos, então
TEOREMA 2
Se
então:
(a) O limite da soma ou diferença é a soma ou diferença dos limites se o
limite de cada parcela da soma existe, isto é,
(b) O limite o produto é o produto dos limites se o limite de cada fator
do produto existe, ou seja,
(c) O limite do quociente é o quociente dos limites se o limite da função
do numerador existe e o limite da função do denominador existe e é diferente
de zero, isto é,
(d) O limite da raiz n-ésima de uma função está bem definido, o seu
valor é a raiz n-ésima do limite da função, desde que exista a raiz n-ésima do
limite da função, ou seja,
Do teorema (1), obtém-se:
se a = 0 e II)
I)
se a = 1 e b = 0.
Em (i) significa que o limite da função constante (É a função cujo
domínio é o conjunto dos reais e a imagem de todo valor do domínio é um
único número real. (conforme definida no tópico 2 da aula 02)) é igual à
própria constante. E (ii) significa que o limite da função identidade (É a
função cujo domínio é o conjunto dos reais e a imagem de todo número real
é o próprio número, assim definida pela equação y = f(x) = x (conforme
definida no tópico 2 da aula 02)) quando x c é igual a c.
Os itens (a) e (b) do teorema 2, podem ser estendidos para um número
finito
de
funções.
Mais
precisamente,
se
então:
(iii)
(iv)
Se
, decorrente de (iv), tem-se
(v)
Nos teoremas 1 e 2, x
c pode ser substituído por x
c- ou x
c+ O
exemplo seguinte ilustra a aplicação dos teoremas 1 e 2 no cálculo de limites.
EXEMPLO RESOLVIDO 1:
Calcular os limites indicados:
a)
b)
SOLUÇÃO
(a) Dos resultados (i) e (ii), tem-se:
Pelo resultado (v),
Logo, pelo teorema 2(b),
Portanto, pelo resultado (iii),
EXEMPLO PROPOSTO 1:
Calcular os limites dados para concluir os valores indicados:
Se f é uma função definida por duas ou mais equações, então para
determinar o limite bilateral de f, em certos casos, deve-se considerar o
critério de existência do limite bilateral (O <img src=imagens/02/02_22.gif
align=absmiddle> existe e é igual a L se, e somente se, os <img
src=imagens/02/02_23.gif
align=absmiddle>
e
<img
src=imagens/02/02_24.gif align=absmiddle> existem e são iguais a L. )
estabelecido no tópico 1 desta aula. O exemplo seguinte ilustra o
procedimento.
EXEMPLO RESOLVIDO 2:
Dada a função, verificar se o limite indicado existe e caso exista, dar o
seu valor:
SOLUÇÃO
(a) Para calcular o limite de f(x) quando x tende a 2 pela esquerda,
deve-se considerar f(x) = -x2 + 2x + 3, pois quando x
Assim
2-tem-se x
2.
Por motivos análogos,
Como os limites unilaterais de f quando x tende a 2, existem e são
iguais a 3, obtém-se
(b) Tem-se
Como os limites unilaterais de g quando x tende a -1 têm valores
diferentes, o
não existe.
EXEMPLO PROPOSTO 2:
Dada a função, verificar se o limite indicado existe, caso exista, dar o seu
valor:
Se
e
diz-se que o
tem a FORMA
0/0,onde x c pode ser substituído por x c-ou x c+
Existem ainda outras formas indeterminadas, que serão estudadas na aula
INDETERMINADA
08. O exemplo seguinte, ilustra o procedimento para calcular alguns limites
que têm a forma indeterminada 0/0.
EXEMPLO RESOLVIDO 3:
Calcular os limites indicados:
SOLUÇÃO
Uma verificação simples mostra que os quatro limites têm a forma
indeterminada do tipo 0/0.
(a) Usando a fatoração a2 - b2 = (a - b)(a + b) com a = x e b = 2
obtém-se x2 - 4 = x2 - 22 = (x - 2)(x + 2). De outra forma é como a
seguir: como x = 2 é uma raiz da equação x2 - 4 = 0, a expressão x2 - 4
pode ser fatorada com um fator igual a x - 2, assim a divisão de x2 - 4
por x - 2 é exata, isto é,
logo x2 - 4 = (x - 2)(x + 2). Portanto, tem-se
onde foi possível a simplificação porque x - 2
2 o valor de x está apenas próximo de 2.
0, pois quando x
(b) Usando a fatoração a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2), com a = x e b
= 1, tem-se x3 + 1 = (x + 1)(x2 - x + 1). De outra forma é como a seguir:
como x = -1 é uma raiz da equação x3 + 1 = 0, a expressão x3 + 1 pode
ser fatorada com um fator igual a x - (-1) = x + 1, assim a divisão de x3
+ 1 por x + 1 é exata, ou seja,
logo x3 + 1 = (x + 1)(x2 - x + 1). Usando um dos procedimentos,
tem-se ainda que x2 - 1 = (x - 1)(x + 1). Portanto, obtém-se
(c) Inicialmente é necessário racionalizar o numerador do
quociente
usando a fatoração a2 - b2 = (a - b)(a + b), onde se
multiplica o numerador e denominador do quociente por a + b com
e b = 2 (isto é, o conjugado de
), ou ainda usando a
fórmula
com
e b = 2 para achar
assim
(optando pela primeira alternativa)
logo
O limite pode ser efetuado ainda, fazendo o que se chama uma
mudança de variável, como a seguir. Seja
z
, então x=z2 e x
4-
2-, logo
MUDANÇA DE VARIÁVEL
O limite é classificado de acordo com a variação de x ou de y,
mais precisamente, em limite:
Assim, pode-se ter, por exemplo:
(d) Inicialmente é necessário racionalizar o numerador do
quociente
, usando a fatoração a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2),
onde se multiplica o numerador e denominador do quociente por a2 +
ab + b2 com
e
ou então se utiliza a fórmula
com
assim (optando pela segunda
alternativa)
logo
Não é sugestivo usar a última sistemática do ítem anterior (isto é,
mudança de variável) para calcular limites com dois ou mais radicais
de expressões diferentes.
EXEMPLO PROPOSTO 3:
Calcular os limites dados para concluir os valores indicados:
Considere agora os limites finitos no infinito (conforme classificação
estabelecida no tópico 1 desta aula), isto é, os limites representados pelos
símbolos
CLASSIFICAÇÃO ESTABELECIDA NO TÓPICO
1 DESTA AULA
O limite é classificado de acordo com a variação de x ou de y, mais
precisamente, em limite:
Assim, pode-se ter, por exemplo:
e
No teorema 1 com a = 0 (isto é, se a função é constante) e no teorema 2,
ou
. O teorema seguinte, mais
x c pode ser substituído por
precisamente o seu corolário, poderá ser útil para calcular limites no infinito,
a demonstração do teorema 3(a) será feita no texto complementar deste
tópico e que está indicado no final deste tópico.
TEOREMA 3
Se n é um número inteiro positivo fixo, então:
Combinando os teoremas 1, 2(c) e 3, segue-se o seguinte resultado.
COROLÁRIO. Se r um número real e n é um número inteiro positivo
fixos, então:
O exemplo seguinte ilustra o cálculo de limites finitos no infinito.
EXEMPLO RESOLVIDO 4:
Calcular os limites indicados:
SOLUÇÃO
(a) Dividindo por x o numerador e o denominador do quociente
, tem-se
Pelo corolário,
Pelo teorema 1,
Pelo teorema 2(a),
Logo, pelo teorema 2(c),
(b) Dividindo o numerador e o denominador do quociente
por x4 tem-se
(c) Dividindo o numerador e o denominador do quociente
por x e no numerador pondo
(pois os valores que x está
assumindo são positivos, veja propriedade (a) do valor absoluto , temse
PROPRIEDADE (A) DO VALOR ABSOLUTO
Dado um número real a, o valor absoluto de a é indicado por
e definido por
Por exemplo:
O valor absoluto tem as seguintes propriedades:
(d) Dividindo o numerador e o denominador do quociente
por x e no numerador pondo
(pois os valores que x está
assumindo são negativos), obtém-se
EXEMPLO PROPOSTO 4:
Calcular os limites indicados para concluir os valores dados:
Finalmente, sejam os limites infinitos (conforme classificação
estabelecida no tópico 1 desta aula), ou seja, os limites representados pelos
símbolos
CLASSIFICAÇÃO ESTABELECIDA NO TÓPICO
1 DESTA AULA
e
onde x c pode ser substituído por x c-, x c+, x - ou x + .
Observe que nesta etapa estão incluídos os limites infinitos no infinito, ou
seja, os limites representados pelos símbolos
.
Os teoremas 1 e 2 não podem ser usados para calcular limites infinitos,
pois os limites infinitos não existem. O seguinte teorema poderá ser útil para
calcular limites infinitos, a demonstração da parte (a) será feita no texto
complementar deste tópico e que está indicado no final deste tópico.
TEOREMA 4
Sejam
e
, então:
OBSERVAÇÃO
x
O teorema continua válido se x
- ou x + .
c for substituído por x
O teorema 4 não se aplica quando
forma indeterminada 0/0 para
c-, x
c+,
, neste caso tem-se a
que já foi abordada. O limite
bilateral infinito só pode ser determinado a partir dos limites unilaterais,
devido a utilização do símbolo , conforme foi definido no tópico 1 desta
aula item (b5) da alternativa do esquema (Tal item define que: se para x
tendendo a c de um lado, y = f(x) <img src=02_seta.gif align=absmiddle>
-<img
src=02_99a.gif
align=absmiddle>
(ou
y
<img
src=02_seta_0000.gif align=absmiddle> +<img src=02_99a_0000.gif
align=absmiddle>) e do outro lado y <img src=02_seta_0001.gif
align=absmiddle> +<img src=02_99a_0001.gif align=absmiddle> (ou y
<img
src=02_seta_0002.gif
align=absmiddle>
-<img
src=02_99a_0002.gif align=absmiddle>), diz-se que x <img
src=02_seta_0003.gif align=middle> c implica que y = f(x) <img
src=02_seta_0004.gif align=middle> <img src=02_99a_0003.gif
align=middle> (infinito sem os símbolos - ou +), isto é x <img
src=02_seta_0005.gif
align=middle>
c
<img
src=02_seta2.gif
align=middle>
y
=
f(x)
<img
src=02_seta_0006.gif><img
src=02_99a_0004.gif align=middle>, ou ainda, <img src=02_ff.gif
align=absmiddle) .
O exemplo seguinte ilustra o cálculo de limites infinitos.
EXEMPLO RESOLVIDO 5:
Calcular os limites indicados:
SOLUÇÃO
(a) Tem-se
então de acordo com o teorema 4, o
é infinito e
conforme foi mencionado é necessário calcular os limites unilaterais.
Se x < 2 então x - 2 < 0 e x - 3 < 0, daí x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) >
0 se x < 2. Assim, se x
5x + 6
2-então x2 - 5x + 6
0+. A conclusão que x2 -
0+ pode ser obtida também da seguinte forma, embora com
ausência de rigor: como x2 - 5x + 6 = 0 se x = 2 ou x = 3, então em
outros valores x2 - 5x + 6 é < 0 ou > 0 daí nos intervalos (- , 2), (2 , 3)
e (3 , + ), a expressão x2 - 5x + 6 assume somente valores negativos
ou positivos, assim atribuindo um valor a x em cada intervalo se obtém
o sinal desta expressão no intervalo, de acordo com a figura a seguir.
Logo, se x < 2 então x2 - 5x + 6 > 0 e daí x2 - 5x + 6
e x2 - 5x + 6
Assim,
0+ se x
0+ se x
2-.
2-, pelo teorema
4(a),
Se x > 2 então x - 2 > 0 e se x < 3 então x - 3 < 0, daí x2 - 5x + 6 =
(x - 2)(x - 3) < 0 se 2 < x < 3. Assim, se x
2+ então x2 - 5x + 6
0-.
Também, observando a figura anterior, tem-se x2 - 5x + 6 < 0 se 2 < x
< 3, então x2 - 5x + 6
5x + 6
0- se x
0- se x
2+. Logo
e se x2 -
2+, pelo teorema 4(b),
Portanto, por (I) e (II),
(b) Dividindo o numerador e o denominador do quociente
por x2 tem-se
Como
e se x
- implica que
se x < -3, pelo teorema 4(b),
pois
EXEMPLO PROPOSTO 5:
Calcular os limites dados para concluir os valores indicados:
O restante deste tópico será dedicado aos limites do grupo de funções
envolvendo as funções seno e co-seno que têm a forma indeterminada 0/0. É
sugestivo
que
o
aluno
leia
novamente
o
texto
“AngMedTrigonometria.doc”ou clique aqui para abrir (Visite a aula
online para realizar download deste arquivo.) indicado no final do tópico 2
da aula 02. Tais limites não podem ser calculados através do uso dos
métodos já abordados, o limite seguinte, conhecido como limite
fundamental, pode ser útil no cálculo de tais limites:
Para mostrar este último limite é necessário o seguinte teorema, sua
demonstração será feita no texto complementar indicado no final deste
tópico.
TEOREMA 5
Sejam f, g e h funções definidas num intervalo aberto I contendo c,
exceto talvez em c, onde f(x) g(x) h(x) para todo x em I com x
c. Se
e
, então
O teorema continua válido se x
- ou x + .
.
c for substituído por x
c-, x
c+, x
DEMONSTRAÇÃO DO LIMITE FUNDAMENTAL
Para mostrar que
, será usado o critério de existência do
limite bileteral estabelecido no tópico 1 desta aula, isto é, será provado
que
Inicialmente, considere
e a figura seguinte.
Comparando as áreas do triângulo OBP, do setor circular OBP e
do triângulo OBQ, tem-se
(área do
OBP) < (área do setor circular OBP) < (área do
OBQ),>
ou seja,
mas
,
logo
fazendo
as
substituições nas desigualdades, obtém-se
como
é positivo (pois
), multiplicando
por cada
membro da última desigualdade, encontra-se
, ou seja,
Como
, desta última desigualdade e do teorema
5, tem-se
Seja agora
, então
. Logo, do resultado obtido,
tem-se
mas sen(-t) = - sen t e t
0-quando -t
0+, assim
O exemplo seguinte ilustra a aplicação do limite demonstrado.
EXEMPLO RESOLVIDO 6:
Mostrar que:
SOLUÇÃO
(a) Tem-se
mas
e
logo (pelo teorema 2(b) deste tópico)
Portanto,
(b) Para
mostrar esse limite, será usada a identidade
. Do teorema 2(b) deste tópico e item (a) deste
, assim (ainda pelo
exemplo, tem-se
teorema 2(b))
assim (pelo teorema 2(a) deste tópico)
fazendo x = 2t, tem-se t
0
x
0, logo
EXEMPLO PROPOSTO 6:
Provar que:
EXEMPLO RESOLVIDO 7:
Calcular os limites indicados:
SOLUÇÃO
(a) Observe que o limite dado tem a forma indeterminada 0/0.
Como
e além disso
tem-se
(b) O limite dado tem a forma indeterminada 0/0. Como
se t = 2x e x
0 equivale a t
0,
tem-se
EXEMPLO PROPOSTO 7:
Calcular os limites dados para concluir os valores indicados:
Outros resultados importantes sobre limites que serão tratados no texto
complementar indicado no final deste tópico são os seguintes: (clique aqui
para abrir).
EXEMPLO RESOLVIDO 8:
É possível mostrar que
não existe (veja o exercício 66(a) do
exercitando deste tópico), entretanto mostrar que
SOLUÇÃO
Tem-se
e
para qualquer valor de x
é limitada para todo x
segue-se que
EXEMPLO PROPOSTO 8:
0 (isto é,
0), portanto do resultado (ii),
Mostrar que
. Sugestão: fazer
LEITURA COMPLEMENTAR
O texto “Limites com e ” trata da segund a etapa do estudo dos
limites, fazendo uma abordagem rigorosa do tema. Não exigiremos
nenhum conhecimento deste assunto neste módulo, mas alguns resultados
além de já terem sido usados neste tópico, continuarão sendo
indispensáveis e serão aplicados. É recomendável, pelo menos uma leitura
atenciosa.
Para isso, vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e
baixe o arquivo "LimitesComEpsilonEDelta.doc" ou clique aqui
(Visite a aula online para realizar download deste arquivo.).
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá à seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o
arquivo exercitando(aula03_top2).doc ou clique aqui para abrir
(Visite a aula online para realizar download deste arquivo.). Resolva a
quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em
grupo. A quinta questão do trabalho será indicada no tópico seguinte desta
aula. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no
período indicado na Agenda do ambiente Solar, num único documento
de texto (doc ou docx) ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
Responsável:Prof. José Othon Dantas Lopes
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual