Variáveis Aleatórias e Decisão

Tomada de Decisão e Distribuições de
Probabilidade
Lupércio França Bessegato
Roteiro
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Introdução
Tabela de Retorno e Árvore de Decisão
Critérios para Tomada de Decisão
Exemplos de Aplicação
Referências
Tomada de Decisão e Distribuições de
Probabilidade
•
A maior parte das decisões administrativas deve ser tomada em
uma atmosfera de incerteza – é impossível estar seguro das
conseqüências de cada escolha .
•
Se o resultado de uma decisão pode ser medida em termos de
dinheiro (como em uma decisão de investimento) e supomos que
este resultado pode ser expresso como uma distribuição de
probabilidade:
Podemos utilizar os conceitos de média e de desvio padrão.
Apesar de nunca termos essa informação acerca do futuro, é
melhor partir deste pressuposto, uma vez que ele incorpora alguns
dos traços de nossa ignorância futura.
•
Fatores envolvidos na Decisão
• Retorno esperado:
É a média (valor esperado) da distribuição de probabilidade
associada com pagamentos monetários.
• Risco:
Pode ser medido pela variância da distribuição de
probabilidade Tabela de Retorno e Árvore de Decisão
•
uma escolha com a média mais alta e a variância mais baixa é
a melhor de todas.
•
a escolha correta depende da aversão ao risco do tomador da
decisão.
Fatores envolvidos na Decisão – Aversão ao Risco
•
uma escolha com a média mais alta e a variância mais baixa é a
melhor de todas
•
a escolha correta depende da aversão ao risco do tomador da
decisão.
Um tomador de decisão que é muito contrário ao risco tende a
preferir a escolha mais segura mesmo que o retorno esperado seja
menor.
um tomador de decisão que seja amante do risco e prefira uma
alternativa com alta variância, mesmo se ela possuir baixo valor
esperado.
•
•
Características Básicas na Tomada de Decisão
• Rumos de ação alternativos:
O tomador de decisão deve dispor de duas ou mais opções,
passíveis de avaliação, antes de se decidir por um rumo de ação.
• Eventos ou estados do mundo:
Os eventos que possam ocorrer devem ser relacionados, e devese obter a probabilidade de ocorrência de cada evento
• Retorno ou remuneração:
O resultado de cada evento, juntamente com cada respectivo rumo
de ação, deve ter um valor ou retorno a ela associado.
• Critérios de decisão:
O tomador de decisão deve determinar de que maneira se deve
escolher o melhor rumo de ação
Tabela de Retorno e Árvore de Decisão
• Tabela de Retorno:
Contém todos os possíveis eventos que podem ocorrer em cada
rumo de ação alternativo. Para cada combinação de um evento
com um rumo de ação, deve estar disponível um retorno.
• Árvore de Decisão:
A árvore de decisão representa graficamente os eventos e os
rumos de ação, através de um conjunto de ramificações e junções.
• Perda de Oportunidade:
É a diferença entre o lucro mais elevado possível para um evento e
o lucro real obtido para uma ação empreendida. Representa a
diferença entre o lucro em relação à melhor ação e qualquer outro
rumo de ação que seja tomado para determinado evento
Critérios de Decisão
Valor Monetário Esperado
Valor monetário esperado (VME) para um rumo de ação j é o lucro para cada
combinação (Xij) do evento i e da ação j, vezes a probabilidade de ocorrência do evento
Pi , somado para todos os eventos.
N
VME j = ∑ X ij Pi
i =1
VMEj=
valor monetário esperado da ação j
Xij= o retorno que ocorre quando o rumo da ação j é selecionado e o evento i
ocorre
Pi = probabilidade de ocorrência do evento i.
Critérios de Decisão
Perda de Oportunidade Esperada
Perda de oportunidade esperada (POE): A perda de oportunidade é a diferença entre o
lucro mais elevado possível para um evento e o lucro real obtido para uma ação
empreendida. Assim, a perda de oportunidade esperada da ação j é dada pela expressão:
N
POE j = ∑ l ij Pi
i =1
POEj=
Perda de oportunidade esperada da ação j
lij= Perda de oportunidade que ocorre quando o rumo da ação j é selecionado
e o evento i ocorre
Pi = probabilidade de ocorrência do evento i.
Critérios de Decisão
Valor Esperado da Informação Perfeita (VEIP)
Valor Esperado da Informação Perfeita (VEIP): A perda de oportunidade esperada a
partir da melhor decisão tem um significado especial no contexto da tomada de decisão.
Ela é igual ao valor esperado da informação perfeita (VEIP).
Pode ser imaginada como sendo a quantia máxima que estaríamos dispostos a pagar
para obter a informação perfeita
VEIP = lucro esperado em condições de certeza - valor monetário da melhor alternativa
Lucro esperado em condições de certeza: Representa o lucro que será realizado se tivermos
a informação perfeita sobre qual evento irá ocorrer
Valor esperado da Informação Perfeita = Perda da Oportunidade Esperada
Critérios de Decisão
Relação entre Retorno e Risco
Relação entre retorno e risco: É um critério utilizado para expressar a relação entre o
retorno (ou ao valor monetário esperado) e o risco (conforme expresso pelo desviopadrão).
Re lação entre retorno e risco =
VME j
VMEj= Valor monetário esperado para a ação j
σj = Desvio padrão para a ação j.
σj
Exemplo de Aplicação
Comercialização de Brinquedo
Suponha que o gerente de marketing de uma fábrica de brinquedos esteja
avaliando se determinado brinquedo deve ou não ser introduzido no mercado. Ele
está consciente que a decisão de comercializar ou não o brinquedo implica riscos.
É provável, por exemplo, que o brinquedo seja comercializado e não tenha
sucesso. Por outro lado poderia ser tomada uma decisão no sentido de não
comercializar um brinquedo que poderia ter sucesso.
Suponha que haja um custo fixo de $3.000, em que se incorre antes de se tomar
uma decisão final quanto a comercializar o brinquedo. Com base em experiências
passadas, se o brinquedo tiver sucesso, será obtido um lucro de $45.000
($48.000 - $3.000 de custos fixos). Se o brinquedo não for considerado um
sucesso, haverá um prejuízo de $36.000 ($33.000 na comercialização do
brinquedo e $3.000 de custos fixos).
Utilizando a avaliação subjetiva do gerente de marketing, suponha que seja
atribuída uma probabilidade de 0,60 ao evento de o brinquedo ter sucesso.
Exemplo Comercialização do Brinquedo
Tabela de Retorno
Evento Ei
Rumos de Ação Alternativos
Comercializar
Não
(A1)
Comercializar (A2)
Brinquedo bem-sucedido (E1)
+$45.000
-$3.000
Brinquedo malsucedido (E2)
-$36.000
-$3.000
Exemplo Comercialização do Brinquedo
Árvore de Decisão
m
Be
Co
m
ial
c
r
e
N ão
Malsu
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r
i za
Com
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e
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m
Be
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d
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Mal
su
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Exemplo Comercialização do Brinquedo
Tabela de Perda de Oportunidade
Evento Ei
Brinquedo bem-sucedido (E1)
Brinquedo malsucedido (E2)
Ação
Ótima
Comercializar
Não Comercializar
Lucro
da Ação
Ótima
Rumos de Ação Alternativos
Comercializar
Não Comercializar
+$45.000
+$45.000 - $45.000= $0
+$45.000 - (-$3.000) = $48.000
-$3.000
-$3.000 - $36.000 = $33.000
-$3.000 - (-$3.000) = $0
Exemplo Comercialização do Brinquedo
Valor Monetário Esperado
Pi
Evento Ei
0,40
Brinquedo bem-sucedido (E1)
0,60
Brinquedo malsucedido (E2)
Comercializar A1
+$45.000
Rumos de Ação Alternativos
Não
x ij P i
Comercializar A1
+$45.000x(0,4)
= $18.000
- $36.000
- $36.000x(0,6)
= -$21.600
VME(A1) = -$3.600
-$3.000
x ij P i
-3.000x(0,4)
= -$1.200
-$3.000
- $3.000x(0,6)
= -$1.800
VME(A2) = -$3.000
Exemplo Comercialização do Brinquedo
Perda Monetária Esperada
Pi
Evento Ei
0,40
Brinquedo bem-sucedido (E1)
0,60
Brinquedo malsucedido (E2)
Comercializar A1
$0
Rumos de Ação Alternativos
Não
l ij P i
Comercializar A1
+$0x(0,4)
= $0
$33.000
- $33.000x(0,6)
= $19.800
POE(A1) = $19.800
$48.000
l ij P i
48.000x(0,4)
= $19.200
$0
$0x(0,6)
= $0
POE(A2) = $19.200
Exemplo Comercialização do Brinquedo
Valor Esperado da Informação Perfeita (VEIP)
Lucro esperado em condições de certeza
= 0,40x($45.000) + 0,60x(-$3.000)
= $18.000 - $1.800
= $16.200
Representa o lucro que seria realizado se o gerente soubesse, com certeza, que o
brinquedo teria sucesso
VEIP = lucro esperado em condições de certeza - valor monetário da melhor alternativa
VEIP = $16.200 – (-$3.000) = $19.200
É a perda de oportunidade esperada para a não-comercialização do brinquedoo lucro
que seria realizado se o gerente soubesse, com certeza, que o brinquedo teria
sucesso e representa a quantia máxima que o gerente de marketing estaria disposto a
pagar para obter a informação perfeita.
Exemplo de Aplicação
Carteiras de Investimento de $1.000 (a)
Suponha que um gerente de um fundo de ações esteja tentando decidir entre vários
lotes de ações a serem comprados, para investimentos de curto prazo, de até um ano.
Ao se juntar uma carteira ou um lote de ações, existem dois objetivos: maximizar o
retorno para os investidores e, ao mesmo tempo, minimizar seus riscos. Carteiras
diferentes terão retornos diferentes, sob condições econômicas diferentes. Algumas
carteiras terão melhor desempenho em uma recessão; outras podem operar melhor em
condições de crescimento moderado ou em tempos de superaquecimento da economia.
Suponha que o gerente tenha avaliado duas carteiras, sob quatro condições
econômicas: recessão, estabilidade, crescimento moderado e superaquecimento. O
retorno previsto para um ano, de um investimento de $1.000 em cada carteira, sob a
condição da economia, é apresentado na tabela abaixo:
Carteiras
Condições Econômicas
A
B
Recessão
Economia estável
Crescimento moderado
Superaquecimento
$30
70
100
150
-$50
30
250
400
Exemplo de Aplicação
Carteiras de Investimento de $1.000 (b)
O gerente do fundo de ações atribui as seguintes probabilidades para as
diferentes condições econômicas:
P(recessão) =
P(economia estável) =
P(crescimento moderado) =
P(superaquecimento) =
0,10
0,40
0,30
0,20
Exemplo Investimento de $1.000
Tabela de Retorno
Retorno previsto para um ano, de um investimento de $1.000
Carteiras
Condições Econômicas
Recessão
Economia estável
Crescimento moderado
Superaquecimento
A
+$30
+$70
+$100
+$150
B
-$50
+$30
$250
+$400
R
ec
es
sã
o
Exemplo Investimento de $1.000
Árvore de Decisão
l
táve
s
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a
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Ec
Ca
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B
A
Crescimento
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Cres
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o
Exemplo Investimento de $1.000
Tabela de Perda de Oportunidade
Condições Econômicas
Recessão
Economia estável
Crescimento moderado
Superaquecimento
Ação
Ótima
A
A
B
B
Lucro
da Ação
Ótima
+$30
+$70
+$250
$400
Rumos de Ação Alternativos
A
+$30
+$70
+$250
+$400
- $30
- $70
- $100
- $150
B
=
$0
=
$0
= $150
= $250
+$30
+$70
+$250
+$400
- (-$50)
- $30
- $250
- $400
=
=
=
=
$80
$40
$0
$0
Exemplo Investimento de $1.000
Valor Monetário Esperado
Rumos de Ação Alternativos
Pi
0,10
0,40
0,30
0,20
Evento Ei
Recessão
Economia estável
Crescimento moderado
Superaquecimento
A
$30
$70
$100
$150
x ij P i
$30x(0,1) = $3
$70x(0,4) = $28
$100x(0,3) = $30
$150x(0,2) = $30
VME(A) = $91
B
x ij P i
-$50
$30
$250
$400
-$50x(0,1) =
-$5
$30x(0,4) = -$1.200
$250x(0,3) =
$75
$400x(0,2) =
$80
VME(B) = -$3.000
Exemplo Investimento de $1.000
Perda Monetária Esperada
Pi
0,10
0,40
0,30
0,20
Evento Ei
Recessão
Economia estável
Crescimento moderado
Superaquecimento
Comercializar A1
$0
$0
$150
$250
Rumos de Ação Alternativos
Não
l ij P i
l ij P i
Comercializar A1
$0x(0,1) = $0
$80
$80x(0,1) =
$8
$0x(0,4) = $0
$40
$40x(0,4) = $16
$150x(0,3) = $45
$0
$0x(0,3) =
$0
$250x(0,2) = $50
$0
$0x(0,2) =
$0
POE(A) = $95
POE(B) = VEIP = $24
Exemplo Investimento de $1.000
Cálculo da Variabilidade
Desvio-padrão:
σ A2 = (30 − 91) 2 (0,10) + (70 − 91) 2 (0,40) +
+ (100 − 91) 2 (0,30) + (150 − 91) 2 (0,20)
σ A2 = 1.269 e
σ B2 = (−50 − 162) 2 (0,10) + (30 − 162) 2 (0,40) +
+ (250 − 162) 2 (0,30) + (400 − 162) 2 (0,20)
σ B2 = 25.116 e
σ A = 35,623
σ B = 158,48
Coeficiente de Variação:
CV A =
35,62
x 100% = 39,1%
91
CV B =
158,48
x 100% = 97,8%
162
Há mais variações nos rendimentos da carteira B do que na carteira A
Exemplo Investimento de $1.000
Relação entre Retorno e Risco
Carteira B:
Carteira A:
Re lação entre retorno e risco =
91
= 2,55
35,62
Re lação entre retorno e risco =
162
= 1,02
158,48
•
A carteira A tem um valor monetário esperado menor que a carteira B, mas, em
contrapartida, oferece um risco bem menor do que a carteira B
•
A relação entre retorno e risco mostra que A é preferível a B.
Referências
•
Levine, D.M, Berenson, M.L. e Stephan, D., Estatística: teoria e
aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
•
Neufeld, J.L. Estatística aplicada à administração usando Excel. São
Paulo: Pearson, 2003.