2a SÉRIE

Transcrição

2a SÉRIE

caderno do
ensino médio
a
2 SÉRIE
volume 4 - 2009
matEmátIca
PROFESSOR
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos
Professores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
Governador
José Serra
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari
Vice-Governador
Alberto Goldman
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TÉCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar
Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo
Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares
de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam
Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís
Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho
Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira,
Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia
Salem e Yassuko Hosoume
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes,
Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza,
Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins,
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino
e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches
Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João Henrique
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore
Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da
Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e
Zuleika de Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira
Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de
Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria
Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo
Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark,
Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e
Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial,
Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design
(projeto gráfico)
APOIO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Imprensa Oficial do Estado de São Paulo
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
S239c
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Caderno do professor: matemática, ensino médio - 2ª- série, volume 4 /
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José
Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-441-4
1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II.
Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV.
Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII.
Título.
CDU: 373.5:51
Caras professoras e caros professores,
Este exemplar do Caderno do Professor completa o trabalho que fizemos de
revisão para o aprimoramento da Proposta Curricular de 5-a a 8-a séries do Ensino
Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo.
Graças às análises e sugestões de todos os professores pudemos finalmente
completar um dos muitos recursos criados para apoiar o trabalho em sala de aula.
O conjunto dos Cadernos do Professor constitui a base estrutural das aprendizagens fundamentais a serem desenvolvidas pelos alunos.
A riqueza, a complementaridade e a marca de cada um de vocês nessa elaboração foram decisivas para que, a partir desse currículo, seja possível promover as
aprendizagens de todos os alunos.
Bom trabalho!
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
Sumário
São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado
Ficha do Caderno
5
7
Orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
8
11
Situação de Aprendizagem 1 – Prismas: uma forma de ocupar o espaço
Situação de Aprendizagem 2 – Cilindros: uma mudança de base
11
21
Situação de Aprendizagem 3 – O movimento de ascensão: pirâmides e cones
Situação de Aprendizagem 4 – Esfera: conhecendo a forma do mundo
Orientações para Recuperação
54
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a
compreensão do tema 54
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio
56
42
32
SãO PAUlO FAz ESCOlA – UMA PROPOStA
CURRiCUlAR PARA O EStAdO
Caros(as) professores(as),
Este volume dos Cadernos do Professor completa o conjunto de documentos de apoio ao trabalho de gestão do currículo em sala de aula enviados aos
professores em 2009.
Com esses documentos, a Secretaria espera apoiar seus professores para
que a organização dos trabalhos em sala de aula seja mais eficiente. Mesmo
reconhecendo a existência de classes heterogêneas e numerosas, com alunos em
diferentes estágios de aprendizagem, confiamos na capacidade de nossos professores em lidar com as diferenças e a partir delas estimular o crescimento
coletivo e a cooperação entre eles.
A estruturação deste volume dos Cadernos procurou mais uma vez favorecer a harmonia entre o que é necessário aprender e a maneira mais adequada,
significativa e motivadora de ensinar aos alunos.
Reiteramos nossa confiança no trabalho dos professores e mais uma vez
ressaltamos o grande significado de sua participação na construção dos conhecimentos dos alunos.
Maria Inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
5
6
FiChA dO CAdERnO
Geometria: linguagem, formas, medidas e representações do espaço
nome da disciplina:
Matemática
área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Ensino Médio
Série:
2a
Volume:
4
temas e conteúdos:
Prismas
Cilindros
Pirâmides e cones
Esfera
7
ORiEntAçãO GERAl SObRE OS CAdERnOS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se
afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é
apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem desses materiais, sugerida ao longo dos
Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal
abordagem, busca-se evidenciar os princípios
norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as
competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita
matemática, bem como os elementos culturais
internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão
organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a
oito semanas de trabalho letivo. De acordo com
o número de aulas disponíveis por semana, o
professor explorará cada assunto com mais ou
menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma
escala adequada para o tratamento do conteúdo.
A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades
pode ser estendido para mais de uma semana,
enquanto o de outra unidade pode ser tratado
de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do
bimestre e, muitas vezes, uma das unidades
8
contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente
o professor, em sua circunstância particular, e
levando em consideração seu interesse e o dos
alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar
a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo
do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem
(1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de
abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula. As atividades
são independentes e podem ser exploradas com
mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das
limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as
unidades foram contempladas com Situações de
Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas
atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros)
em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor
para o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada,
bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências
esperadas no presente bimestre.
Matemática – 2a série – Volume 4
Conteúdos básicos do bimestre
Andamos, brincamos, pensamos e vivemos
no espaço. Olhamos para todos os lados e observamos diferentes formatos espaciais. Embalagens, monumentos, brinquedos e dados de
jogos de tabuleiro são alguns exemplos disso.
No 4o bimestre da 2a série, o foco da aprendizagem é a geometria espacial métrica. Nela,
algumas das formas mais comuns presentes na
natureza e na produção humana são estudadas.
Para isso, é necessário que sejam relembradas
as propriedades fundamentais das figuras planas, afinal são elas que compõem as bases, as
faces e as seções das figuras espaciais. Embora
a linguagem geométrica perpasse por vários
conteúdos do Ensino Médio, neste bimestre
ela ganha evidência e tratamento especial. Sabemos que uma das dificuldades que os alunos
enfrentam no estudo da geometria espacial é a
representação e a interpretação de figuras tridimensionais desenhadas no plano. Neste sentido, propomos, no início de cada Situação de
Aprendizagem, atividades de manipulação e
exploração dos sólidos geométricos. Algumas
relações métricas são construídas em meio à
solução de problemas que julgamos exemplares. O professor pode combinar esses exercícios
com aqueles que já fazem parte de sua experiência no ensino desse tema.
Reconhecemos que o prisma e alguns de
seus fatos fundamentais já são conhecidos
pelos alunos, pois já foi tema de estudos no
Ensino Fundamental. O que pretendemos é
consolidar esse conhecimento e elaborar um
raciocínio que seja aplicado e ampliado à medida que avançamos no estudo dos outros sólidos, como o cilindro, a pirâmide e o cone.
Nas Situações de Aprendizagem, buscamos
situações-problema que, de forma crescente,
combinassem vários conceitos matemáticos,
sendo, em alguns casos, apresentados projetos
e propostas interdisciplinares.
Para a organização do trabalho neste bimestre, propomos a seguinte estrutura:
f Situação de Aprendizagem 1 – “Prismas:
uma forma de ocupar o espaço”. São apresentados a conceituação de prisma, suas
relações métricas e o cálculo de seu volume.
Aqui iniciaremos a abordagem das figuras espaciais. Serão desenvolvidas as duas
primeiras unidades. Caso perceba que
os alunos apresentam um conhecimento
apropriado sobre o tema, o professor pode
abreviar o tempo previsto.
f Situação de Aprendizagem 2 – “Cilindros:
uma mudança de base”. Equivale à terceira unidade, em que exploramos o formato
e as relações no cilindro. Aqui, embora exploremos uma analogia em relação ao prisma, apresentamos o conceito de sólido de
revolução, que, depois, é aplicado no cone e
na esfera. Nas atividades, tratamos do contexto que permite explorar outros conhecimentos matemáticos, como a construção
de gráficos de função linear e trigonométrica. Propomos algumas possibilidades de
realização de um trabalho interdisciplinar.
f Situação de Aprendizagem 3 – “O movimento de ascensão: pirâmides e cones”. São
desenvolvidas a quarta e a quinta unidade.
Primeiro, estudamos as pirâmides. Aparece uma nova qualidade em um sólido: ele
9
“afunila”. Dessa forma, agrupamos o estudo das pirâmides e dos cones. Com as pirâmides, as relações métricas tornam-se mais
complexas, exigindo uma boa visualização
da situação-problema. Em seguida, o sólido estudado é o cone. Aqui, ganha significado o estudo de setores circulares que
podem ser determinados com a aplicação
da proporcionalidade.
f Situação de Aprendizagem 4 – “Esfera: conhecendo a forma do nosso mundo”. Para
finalizar o bimestre, estudamos as esferas,
com as três últimas unidades. Apresentamos algumas situações motivadoras, como
o trabalho com fusos horários e com as
coordenadas geográficas, que pode ser uma
oportunidade de trabalho interdisciplinar
com a Geografia.
Quadro geral de conteúdos do 4o bimestre da 2a série do Ensino Médio
Unidade 1 – Noções e fatos fundamentais dos prismas – relações métricas, diagonais e
planificação.
Unidade 2 – Superfície e volume de prismas – Princípio de Cavalieri.
Unidade 3 – Cilindro: identificação e conceituação. Sólidos de revolução. Volume do
cilindro.
Unidade 4 – Pirâmides: o movimento de elevação – conceituação e relações métricas.
Unidade 5 – Cones: setores circulares preenchendo o espaço – superfície e volume.
Unidade 6 – Estudo da esfera.
Unidade 7 – A Terra como objeto de estudo. Fusos horários, coordenadas geográficas:
latitude e longitude.
Unidade 8 – Volume e superfície de uma esfera.
10
SitUAçõES dE APREndizAGEM
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
PRISMAS: UMA FORMA DE OCUPAR O ESPAÇO
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: prismas; identificação, noções e fatos essenciais; relações métricas, áreas
e volume.
Competências e habilidades: reconhecer e nomear um prisma; relacionar elementos geométricos e algébricos; visualizar figuras espaciais no plano; síntezar e generalizar fatos obtidos de
forma concreta.
Estratégias: manipulação de sólidos geométricos; identificação dos seus elementos essenciais
e suas relações métricas; leitura e interpretação de enunciados e dados; representação plana e
planificação de prismas; resolução de situações-problema; trabalhos em grupo.
Recursos: uso de materiais concretos, como embalagens e sólidos construídos a partir de sua
planificação.
Roteiro para a aplicação da
Situação de Aprendizagem 1
dos outros sólidos que serão estudados, como
o cilindro, a pirâmide, o cone e a esfera.
O trabalho com a geometria métrica, neste
Caderno, começa com o estudo sobre prismas.
O conceito de prisma e alguns fatos a ele relacionados já devem ser de conhecimento dos
alunos. Caso isso não ocorra, esta Situação de
Aprendizagem é oportuna e precisa ser desenvolvida com um tempo maior. Assim, devem-se
trabalhar a identificação da forma de um prisma, a representação no plano, o reconhecimento de seus elementos (vértices, faces e arestas) e
a construção de sua planificação.
O prisma é um sólido geométrico muito
presente no nosso dia a dia. A maioria das
embalagens e dos objetos que utilizamos possui essa forma. Propomos que o professor
apresente aos alunos uma série desses objetos
(caixa de fósforos, embalagens de pizza, caixas
de sapatos e de perfumes, entre outras) e que
discuta alguns fatos como:
O objetivo desta Situação de Aprendizagem
é consolidar esses conhecimentos, sistematizá-los e torná-los referência para a construção
f o nome do prisma é dado pela forma de
sua base, podendo ser triangular, quadrangular, hexagonal, etc;
f as bases dos prismas são polígonos de mesma forma e tamanho e suas faces laterais
são paralelogramos;
11
f se a aresta lateral for perpendicular às bases,
o prisma é reto; caso contrário, é oblíquo;
f o paralelepípedo é um prisma cujas bases
são paralelogramos;
f se todas as faces do paralelepípedo são retângulos, ele é chamado de paralelepípedo
retângulo;
12 cm
6 cm
120º
f um prisma reto cuja base é um polígono
regular chama-se prisma regular;
Figura A
6 cm
f se o prisma tiver todas as faces quadradas, ele é um cubo, também chamado de
hexaedro regular (do grego hexa – seis e
hedros – apoiar-se, faces).
A seguir, propomos algumas atividades que
podem ser combinadas àquelas que o professor
costuma utilizar ao abordar este tema. O objetivo, na proposição destas situações-problema,
é explorar o cálculo de áreas e relações métricas
nos prismas em contextos que exijam análises
e tomada de decisões. É importante que o professor fique atento às dificuldades dos alunos
quanto à visualização e à representação plana
dos prismas. Sugere-se que, diante delas, o professor proponha o uso de malhas quadriculadas para as representações.
Atividade 1
Para o empacotamento de presentes, uma
loja dispõe de dois tipos de embalagem de papelão: uma no formato de um paralelepípedo
oblíquo (Figura A), outra no de um paralelepípedo reto-retângulo (Figura B). Considerando os valores indicados nas figuras a seguir,
calcule qual das duas formas geométricas exigirá menos papelão para ser confeccionada.
12
12 cm
6 cm
6 cm
Figura B
Ao observar os dados da atividade, uma primeira impressão pode sugerir que a área
total seja a mesma, pois o paralelepípedo
oblíquo poderia ser obtido pela inclinação
do paralelepípedo reto. Contudo, na prática,
isso não se verifica, pois a face frontal e a de
fundo da Figura B (quadrados), uma vez fechada a caixa, não permitem tal movimento
por fixarem o ângulo reto.
Após essa discussão, pode-se destacar que os
dois prismas possuem bases iguais e duas faces laterais iguais, sendo suas diferenças dadas pelas faces frontal e de fundo (losango
e quadrado). Dessa forma, a decisão sobre o
menor consumo de papelão pode recair somente sobre o cálculo da área do quadrado e do
losango. Caso os alunos saibam que entre os
paralelogramos de mesmo perímetro, o quadrado é o que determina a maior área, a solução fica possível sem a realização de cálculos.
Agora apresentamos a resolução do problema efetuando todos os cálculos:
6 cm
120º
H
60º
Segundo os dados do problema, o formato do
paralelepípedo oblíquo representa uma economia de, aproximadamente, 3% em relação
ao paralelepípedo reto.
Vale ainda observar que nessa atividade não
apareceu a discussão sobre a capacidade de
cada caixa. Esse tema será abordado mais à
frente, quando tratarmos de volume de prismas.
Atividade 2
Uma caixa de lápis tem o formato de um
paralelepípedo reto-retângulo com 3 cm de
comprimento, 4 cm de profundidade e 12 cm
de altura. Qual a medida do maior lápis que
você pode guardar nessa caixa sem que a ponta fique para fora da borda?
A figura a seguir ilustra a situação e as possíveis triangulações.
Figura A
Para a área do losango, vamos interpretá-lo
como um paralelogramo. A altura corresH
___
pondente
__ à base será: sen 60° = 6
H = 3®3 ≅ 5,2 cm.
Como o prisma oblíquo é formado por dois
losangos de base 6 cm e altura 5,2 cm e quatro retângulos de dimensões 12 cm por 6 cm:
Atotal = 2 . 6 . 5,2 + 4 . 12 . 6 = 62,4 + 288,
logo, Atotal ≅ 350,4 cm2.
Figura B
O prisma é formado por quatro retângulos de
6 cm por 12 cm e 2 quadrados de lado 6 cm.
Atotal = 2 . 6 . 6 + 4 . 12 . 6 = 72 + 288, logo
Atotal = 360 cm2.
D
12
3
d
4
Observamos que o cálculo do tamanho do
lápis está associado ao cálculo das diagonais
da base e do prisma. Em ambos, aplicaremos
o teorema de Pitágoras.
Diagonal da base:
d 2 = 16 + 9 = 25 ⇒ d = 5.
Diagonal do prisma:
D2 = 144 + 25 = 169 ⇒ D = 13, portanto, o
maior lápis deve ter 13 cm de comprimento.
13
O professor também pode discutir com os
alunos uma solução prática para este problema: sobre o tampo de uma mesa, posicione
a caixa, registrando, com lápis, a superfície
da base e a posição do vértice A. Faça uma
translação da caixa, deslocando-a em uma medida igual à aresta da base, como mostra a
figura abaixo, e, com o auxílio de uma régua,
meça a distância AE.
E
D
h
b
d
a
Diante dessa expressão, o professor pode ainda levar a turma a investigar o que aconteceria
se o formato da caixa de lápis fosse um cubo.
Neste caso, teríamos:
__
a = b = h ⇒ d 2 = a 2 + a 2 = d = a®2 .
_______
____
__
D = ®2a2 + a2 = ®3a 2 ⇒ D = a®3 .
D
C
A
B
E
Atividade 3
Com base na atividade anterior, investigue
a mesma situação para um porta-lápis nos seguintes formatos:
a) prisma regular triangular de aresta da
base 12 cm e altura 16 cm.
C
A
B
No caso do prisma regular triangular, o lápis
terá o tamanho da diagonal da face lateral.
É interessante observar que esse prisma não
tem diagonal.
Se julgar oportuno, generalize a situação-problema proposta e desenvolva, com a turma, as expressões gerais que relacionam a diagonal de um
prisma reto-retangular com suas dimensões. Para
isso, basta considerar uma caixa de dimensões
da base a e b e altura h e proceder como propomos a seguir: d2 = a2 + b2.
Diagonal do prisma:
D2 = d2 + h2
__________
D2 = a2 + b2 + h2 ⇒ D = ®a2 + b2 + h2
14
L2 = 162 + 122, L2 = 400, logo L = 20.
O maior lápis terá 20 cm.
b) prisma regular hexagonal, com aresta
de base 6 cm e altura 8 cm.
O prisma regular hexagonal é particularmente interessante porque possui duas medidas de diagonais, cada uma relativa às
medidas das diagonais da base.
L2
L1
Cálculo de L1 (diagonal menor):
O lápis L1 é a hipotenusa do triângulo retângulo que tem como catetos a diagonal menor da base e a aresta lateral. A diagonal
menor da base equivale a duas alturas de um
triângulo equilátero de lado igual
__ ao do hexá®
gono regular. Portanto, d = 6 3 cm, uma vez
que a altura de um triângulo
__ equilátero pode
®
l 3
ser calculada por: d = ____.
__ 2
2
Portanto, L1 = (6®3 )2 + 82
2
L1 = 172 → L1 ≈ 13,11 cm.
Cálculo de L2 (diagonal maior):
O lápis L2 é a hipotenusa do triângulo retângulo que tem como catetos a diagonal
maior da base e a aresta lateral. A diagonal
maior da base equivale ao dobro da medida do
lado do hexágono regular. Portanto, D = 12.
Portanto, L22 =122 + 82, logo L2 ≈ 14,42 cm.
O maior lápis terá, então, aproximadamente,
14,42 cm.
Geralmente, a planificação de prismas está
associada a problemas que envolvem cálculos
de superfícies totais. A atividade proposta a
seguir exige a planificação como meio de chegar à solução do problema, visualizando o
menor itinerário feito pela formiga.
Atividade 4
A luminária de uma lanchonete tem a
forma de um cubo. Contudo, ela só possui faces
laterais. As bases foram subtraídas para iluminar melhor o ambiente. Uma mosca e uma formiga estão sobre um mesmo vértice do cubo,
como indicado na figura pelas letras M (mosca)
e F (formiga). No vértice oposto da outra base,
está uma gota de mel, que interessa a ambos os
insetos. A mosca tem a vantagem de ter asas e
poder voar. A formiga só pode andar pela superfície e pelas arestas da luminária.
M
F
Gota de mel
Indique qual o menor percurso que cada
inseto deve fazer para alcançar a gota de mel.
Admitindo que a aresta da base da luminária
meça 3 dm, qual é o tamanho do percurso feito por cada inseto?
15
A mosca, voando, percorre a diagonal do
cubo. Assim, seu caminho medirá:
Mosca
___________
M = ®32 + 32 + 32
__
M = 3®3 ≅ 5,19 dm
No caso da formiga, temos de estudar algumas
possibilidades. Uma delas é imaginar que ela
percorre uma diagonal da face e depois uma
aresta do cubo. Esquematicamente, temos:
Formiga
Nesse itinerário, a
formiga percorre:
__
F = 3® 2 + 3
F ≅ 7,24 dm
Contudo, planificando-se a figura, encontramos outra situação, melhor que a primeira:
F
3 cm
d
mel
6 cm
Calculando-se o comprimento d teremos:
Formiga
d 2 = 9 + 36
d 2 = 45
__
d = 3®5 ≅ 6,71 dm
Portanto, a formiga chegou depois. O menor
caminho para ela chegar ao pingo de mel é
passando pelo ponto médio de uma aresta.
O volume do prisma e o Princípio de
Cavalieri
O desenvolvimento das embalagens de produtos tornou-se um tema relevante nos dias de
hoje, particularmente quando o assunto é preservação do meio ambiente. Além do tipo de
material com que são fabricadas, elas devem ser
bem dimensionadas, isto é, devem ter a melhor
relação entre o volume interno e a quantidade
de material utilizado. Além disso, na escolha
do seu formato, deve-se considerar que, quando
embaladas coletivamente, o espaço vazio entre
elas seja o menor possível. Na natureza, encontramos uma situação similar: a construção dos
alvéolos das abelhas.
Observando-se a forma prismática dos
alvéolos, percebe-se que eles respeitam uma
exigência: a de permitir que, com uma mesma quantidade de cera, se construa um recipiente com maior volume para acondicionar
o mel. O fato de as paredes dos alvéolos serem comuns, permitindo que não haja espaços
vazios entre elas, remete-nos ao problema da
pavimentação do plano, solucionado quando
usamos triângulos regulares, quadrados e hexágonos regulares. Como a nossa situação é
espacial, podemos imaginar a “pavimentação
do espaço” com poliedros, particularmente
com os prismas regulares retos de base triangular, quadrangular e hexagonal.
O mote para a entrada na discussão sobre o volume dos prismas é saber qual deles
16
comporta o maior volume, supondo que tenham a mesma área lateral.
Com isso, conclui-se que a quantidade
de cubinhos no paralelepípedo reto é igual
ao produto da área da base (Abase), que corresponde à quantidade de cubos apoiados
na base, pela altura (H), que corresponde à
quantidade de camadas de cubos que preenchem completamente o sólido.
Dessa forma, temos que o volume do paralelepípedo é: V = Abase . H
Embora a generalização para o cálculo
do volume de qualquer prisma possa ser
uma passagem simples para os alunos, observamos a importância de, neste momento, apresentarmos e aplicarmos o Princípio
de Cavalieri. O objetivo é a caracterização
dos prismas como uma sobreposição de
placas idênticas, o que será também explorado nos cilindros e na comparação entre o
volume de diferentes sólidos.
Essa investigação exige que se aborde o cálculo do volume dos prismas. É isso que propomos agora.
De maneira geral, a abordagem inicial
sobre volume de prismas é aquela em que se
toma um paralelepípedo reto e se determina
quantos cubinhos de aresta de uma unidade
de comprimento cabem no sólido.
Cálculo do volume do prisma pela
decomposição e contagem de cubinhos
Para iniciar a discussão, o professor pode
comentar com os alunos que na Geometria é mais simples calcular o comprimento
de uma linha reta do que obter o comprimento de uma curva. Da mesma forma, é
mais fácil calcular a área de um polígono convexo do que obter a área de uma região não
poligonal, ou calcular o volume de um paralelepípedo do que de um sólido geométrico
com outro formato. A busca de métodos
generalizados para se calcular volumes levou
matemáticos, como o geômetra italiano Francesco Bonaventura Cavalieri (1598-1647), a
imaginarem os sólidos como se fossem formados por camadas infinitamente finas (os
indivisíveis).
17
Para Cavalieri, seguindo uma linha de
raciocínio análoga à de Arquimedes, Galileu e Kepler, a linha era formada por pontos
sem comprimento, a superfície por infinitas
linhas sem largura e os sólidos eram interpretados por uma reunião de superfícies
sem profundidade. No seu entendimento,
era evidente concebermos as figuras planas
como tecidos compostos de fios paralelos e
os sólidos como livros, que são pilhas de folhas paralelas.
Para apresentar o Princípio de Cavalieri,
o professor pode utilizar cartas de baralho. Dispondo as cartas, uma a uma, em
um formato como na Figura 1, o professor
discute que o sólido final foi construído pela
sobreposição de figuras planas. Peça, então,
aos alunos que levantem hipóteses sobre
o modo de calcular o volume do sólido
construído. Em meio à discussão, as cartas
devem ser arranjadas, deslizando-se uma
sobre a outra e formando um paralelepípedo oblíquo (Figura 2). A discussão, então,
deve ter foco na alteração ou não do volume
do sólido. Ocorre que a forma muda, mas
não o seu volume, pois o volume do sólido
corresponde ao total de cartas, e este não
muda quando as cartas deslizam uma sobre
as outras. Fica, contudo, ainda a dificuldade de encontrar a forma de expressão do
volume do sólido. Concluída essa etapa,
deslizam-se as cartas novamente, criando a
forma de um paralelepípedo reto (Figura 3),
cuja expressão do volume é conhecida.
18
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Por fim, o professor pode apresentar três
montes de cartas com a mesma altura e com
os três formatos diferentes e conduzir uma
discussão em que se conclui que, de forma geral, tomados dois sólidos com bases de mesma área e sobre um mesmo plano, se todas as
seções paralelas à base dos dois sólidos têm
a mesma área, então, os dois sólidos têm o
mesmo volume (Figura 4).
Figura 4
Retomando o problema das abelhas
Para retomar o problema da relação entre volume interno e quantidade de material
utilizado, propomos ao professor que siga na
investigação sobre os alvéolos das abelhas a
partir de uma atividade.
A sugestão é que o professor divida a turma
em grupos de três alunos.
O professor distribui tarefas diferentes para
cada grupo: alguns grupos construirão os
alvéolos na forma de um prisma triangular
regular, outros na forma quadrangular regular e
o restante na forma hexagonal regular. Cada
grupo trabalhará com duas folhas de papel
sulfite. A primeira será utilizada para a construção da lateral do alvéolo. Deve-se apoiar o
maior lado dessa folha sobre a mesa. A segunda folha será utilizada para formar a base do
alvéolo; no momento não nos preocupamos
como são fechados os alvéolos. Para alcançar a
forma desejada, os alunos podem utilizar
dobraduras. O aluno deverá considerar que os
prismas regulares têm faces laterais retangulares e, assim, a folha destinada à construção das
faces laterais pode ser dobrada para formar
retângulos em quantidade correspondente ao
número de lados do polígono da base do alvéolo.
Terminada essa etapa, os alunos calculam o
volume de um alvéolo a partir das medidas
aproximadas, obtidas com régua, das arestas
da base e da altura.
Quando os grupos tiverem concluído a
tarefa, o professor pode abrir o debate coletivo recolhendo os dados dos grupos e
comparando-os, de modo a concluir qual dos
formatos estudados possui o maior volume.
O professor pode aproveitar e comentar
com os alunos que a finalidade das abelhas,
quando constroem seus alvéolos de cera, é
apenas fazer o recipiente para o mel que elas
fabricam, e que isso não é produto do pensamento, mas de seu instinto. Nessa atividade, as
abelhas utilizam-se de importantes fatos naturais que o homem elabora de forma consciente
na forma de conceitos geométricos. De qualquer maneira, é interessante perceber que, no
instinto animal, podemos identificar soluções
para problemas humanos. Essa é, sem dúvida,
uma forma instigante de promover a investigação científica.
Caso o professor julgue interessante, pode
explorar o mesmo problema de forma algébrica, supondo para a base triangular a medida
de aresta x, para a base quadrada y, e para a
base hexagonal z.
Perímetro do triângulo
3x
Perímetro do quadrado
4y
Perímetro do hexágono
6z
19
Como o perímetro das bases é o mesmo (que
corresponde ao lado maior da folha de papel sulfite), podemos escrever:
4y = 3x ⇒ y =
3x
4
6z = 3x ⇒ z =
x
2
3x = 4y = 6z ⇒
Portanto, as arestas da base dos três prismas são, respectivamente, x, 3x , x .
4 2
Os três prismas têm a mesma altura h (lado
menor da folha de papel sulfite) e sabendo que
o volume do prisma, já estudado anteriormente, é igual ao produto da área da base pela
altura temos:
Prisma triangular regular
__
x2 . ®3
_______
Área da base A =
4
Volume V =
__
x . ®3 .
_______
h
2
4
Prisma quadrangular regular
9x2
Área da base A = ____
16
9x2
Volume V = ____ . h
16
Prisma hexagonal regular
__
3x2 . ®3
________
Área da base A =
8
__
3x2 . ®3
________
.h
Volume V =
8
20
Desse
__ modo, tomando o valor aproximado
®
para 3 = 1,7320, obtemos uma comparação
entre os seguintes valores de volumes:
Prisma triangular regular
0,4330 . x2 . h
Prisma quadrangular regular
0,5625 . x2 . h
Prisma hexagonal regular
0,6495 . x2 . h
Esses dados nos permitem concluir que, entre os três prismas, o que maximiza o volume,
com uma justaposição de lados, é o prisma
hexagonal regular.
O professor pode encontrar outros problemas de comparação entre área e volume nos
livros didáticos e nos exercícios de vestibular.
Vale ressaltar que, com os estudos dos cilindros, essa comparação pode ser mais bem
explorada, pois a maioria das embalagens
apresenta essas duas formas.
Considerações sobre a avaliação
Na Situação de Aprendizagem 1, identificamos o formato dos prismas, as noções associadas a eles, seus elementos, suas relações
métricas, o cálculo de áreas e volumes. Como
dissemos anteriormente, a estrutura com que
abordamos o prisma será retomada na caracterização dos outros sólidos que serão discutidos ao longo do bimestre.
A aprendizagem dos alunos pode ser avaliada, inicialmente, a partir de situações que
envolvam aspectos qualitativos dos prismas,
como identificação da base e da altura e nomenclatura dos prismas, além de suas representações planas.
Em seguida, sugerimos que a avaliação explore a determinação das diagonais, das áreas
laterais e totais dos prismas, além do cálculo
de seu volume. Uma sugestão é combinar dois
prismas de bases diferentes, comparando suas
superfícies e volumes.
Como os sólidos a serem tratados nas próximas Situações de Aprendizagem resgatam
algumas especificidades do trabalho com prismas, o professor deve estar atento à capacidade do aluno em perceber as semelhanças
e as diferenças entre as estruturas estudadas.
Desse modo, a avaliação sobre prismas permanece de forma contínua a cada novo sólido
estudado.
CILINDROS: UMA MUDANÇA DE BASE
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: cilindros: conceituação, relações métricas, áreas e volume.
Competências e habilidades: estabelecer analogias entre prismas e cilindros; visualizar sólidos
formados por rotação; generalizar fatos observados em situações concretas; analisar dados e
tomada de decisões.
Estratégias: exploração de materiais concretos; exploração de situações que envolvem interpretação e análise de dados; resolução de situações-problema contextualizadas; leitura e
interpretação de dados.
Recursos: materiais concretos; situações-problema contextualizadas.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
Nesta Situação de Aprendizagem, estudaremos outro tipo de sólido muito frequente
no nosso cotidiano: os cilindros. Os cilindros
podem ser imaginados como uma generalização dos prismas. De fato, podemos imaginar um cilindro como se fosse um prisma
regular cuja base teve o número de lados sucessivamente aumentado, aproximando-se
de um círculo. A apresentação dos cilindros
pode ser feita como a sugerida na apresentação dos prismas: recorre-se novamente à
identificação desse formato em embalagens e
estruturas do cotidiano.
Exploradas as analogias entre cilindros e
prismas, o professor pode abordar o cilindro
como um sólido de revolução, apresentando,
assim, uma nova estrutura de formação de
sólidos.
21
Em diferentes contextos ao longo das séries
do Ensino Fundamental e do Ensino Médio,
trabalhamos dois tipos de movimentos especiais: a translação e a rotação. Agora, vamos
imaginar um tipo especial de movimento:
a revolução. O movimento de revolução caracteriza-se pela fixação de um eixo e pelo movimento de rotacão completa da figura em torno
deste eixo.
Para apresentar o cilindro de revolução,
o professor pode recortar um retângulo em
um papelão, fixar, com fita adesiva, um barbante, passando-o de modo a dividir o retângulo em duas regiões, conforme a figura.
Fazendo a figura girar em torno do barbante,
observa-se que o movimento de revolução do
retângulo em torno de um eixo gerou o cilindro. Desse modo, dizemos que o cilindro é
um sólido de revolução. O mesmo acontece se,
em vez de colocarmos o eixo passando pelo
meio do retângulo, utilizarmos um de seus
lados como eixo. O lado do retângulo recebe
o nome de geratriz do cilindro.
A exploração dos sólidos gerados por revolução pode se tornar um pequeno projeto
para os alunos. Com o uso de cartolina e palitos de churrasco, os alunos podem produzir
modelos desses sólidos, identificando a sua
geratriz e o eixo de rotação. Como exemplo,
apresentamos o seguinte modelo:
geratriz
eixo de rotação
sólido de revolução
Das apresentações dos trabalhos, podem
surgir discussões, como a da impossibilidade
de construir prismas por rotações, ou da possibilidade de se estabelecerem outros eixos de
rotação nas figuras.
As atividades a seguir têm por objetivo
explorar a visualização plana dos sólidos
formados por revolução.
Atividade 1
eixo
Quais dos sólidos a seguir podem ser considerados sólidos de revolução?
geratriz do
cilindro
a)
b)
c)
d)
e)
f)
eixo
a), c), d) e f).
22
Atividade 2
O volume do cilindro
(Enem, 1999) – Assim como na relação
entre o perfil de um corte de um torno e a
peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno
de um eixo. Girando-se as figuras abaixo em
torno da haste indicada obtêm-se os sólidos
de revolução que estão apresentados na coluna da direita.
Uma estrutura atualmente muito comum
e significativa para a exploração da ideia do
volume do cilindro pode ser encontrada em
um porta-CDs. De maneira intuitiva, podemos considerar o cilindro como uma figura
espacial formada pela sobreposição ou empilhamento, em uma mesma direção, de círculos
iguais uns sobre os outros.
A
B
2
3
C
D
© Rob Wilkinson/Alamy-Otherimages
1
4
E
A correspondência correta entre as figuras
planas e os sólidos de revolução obtidos é:
a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E.
b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A.
c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C.
d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C.
e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A.
© Conexão Editorial
5
Essa forma de ver pode ser explorada como
análoga ao volume dos prismas, concluindo-se
que o volume de um cilindro é produto da área
da sua base pela altura: V = Ab . h.
Aqui também pode ser aplicado o Princípio de Cavalieri. Considerando um prisma e
23
um cilindro de mesmas áreas de base, apoiados sobre um mesmo plano, qualquer plano
que passar paralelo à base deve interceptar
os dois sólidos, formando duas superfícies, S1
e S2, paralelas às bases do prisma e do cilindro, de mesma área. Dessa discussão, o aluno
pode concluir que o volume de um cilindro,
como no prisma, determina-se pelo produto
da área de sua base pela altura. Nesse caso,
a base é um círculo, cuja expressão da área
será Ab = π . r2 logo, o volume será dado por:
V = π r2 h.
Sabendo que a primeira custa R$ 2,30 e
a segunda R$ 3,40, qual será a compra mais
econômica?
Marca A
Marca b
2h
h
d
β
S1
S2
f
2d
d
O cilindro A tem raio da base igual a
2
e altura igual a 2h.
Logo,
ª º
2
α
As atividades a seguir têm por objetivo
explorar situações que envolvem áreas e volumes de cilindros, procurando ainda uma
combinação entre conteúdos tratados em
outros bimestres.
Atividade 3
Latas de molho de tomate têm, geralmente,
forma cilíndrica. Um consumidor encontrou
duas marcas de seu interesse e observou os seguintes fatos:
f a embalagem da marca A possuía o dobro
da altura da embalagem da marca b;
f a embalagem da marca b possuía o dobro
do diâmetro da embalagem da marca A.
24
d
d2
___
2h
=
π
VA = π r 2 . 2h = π __
4 2h ⇒
2
d 2hπ
⇒ VA =_____ .
2
f
O cilindro B tem raio da base igual a d
e altura igual a h.
Logo, VB = Ab . h = π d 2h.
O volume da marca B tem o dobro do volume da marca A. Como o preço da marca A
é maior que a metade do preço da marca B, é mais vantajoso comprar a marca B.
Atividade 4
Os reservatórios de gasolina dos postos geralmente são tanques no formato de um cilindro reto. Para avaliar o volume de combustível
que ainda resta no cilindro enterrado no
solo, o funcionário do posto utiliza uma
régua, que é colocada verticalmente na boca
do tanque até atingir o nível do combustível.
Ao retirar a régua do tanque, o funcionário
lê a graduação e determina a altura do nível
do combustível consumido. Admitindo que o
tanque tenha sido enterrado no sentido vertical, como ilustra a figura, e que tenha raio
da base R = 1 m e altura H = 2 m, qual é o
volume de combustível do tanque quando a
régua registra altura d = 40 cm?
1m
Atividade 5
Com base na atividade anterior:
a) Encontre a expressão que relaciona o
volume V do combustível contido no
tanque com a medida d da régua.
V = π . R2 . H – π . R2 . d
V = π . R2 (H – d).
Sendo R = 1 m e H = 2 m, temos: V = 2π – d π,
logo, V = π . (2 – d).
b) Construa e analise o gráfico da função
V(d).
V (litros)
6 280
d = 40 cm
2m
Apoiados na figura, observamos que o volume do combustível no tanque é igual à diferença entre o volume total e o volume do
cilindro de altura d (volume de combustível
consumido) e que suas bases são iguais. Podemos chegar à seguinte expressão:
V = π . R2 . H – π . R2 . d. Substituindo os valores de R = 1 m, H = 2 m e d = 0,4 m, temos:
V = π . 12 . 2 – π . 12 . 0,4, portanto, V = 2π – 0,4π.
V = 1,6π ≅ 5,024 m3, isto é, aproximadamente,
5 024 litros.
Terminado o problema, o professor pode continuar explorando outros fatos interessantes
do mesmo problema.
d (metros)
–1
0
1
2
3
c) É possível graduar uma régua para
que sua leitura converta a medida em
centímetros para o volume de litros armazenados no tanque? Se afirmativo,
explique como fazê-lo.
Sim, é possível. Observando o gráfico, a taxa
de variação do volume em relação à medida d é constante. Tomando-se π = 3,14,
essa taxa será de 314 litros a cada 10 cm.
25
314
628
942
Portanto, a régua poderá ser graduada aferindo a cada 10 cm da régua o volume de
314 litros.
1 256 ...
O próximo problema, embora contenha a
mesma estrutura do anterior, difere na direção
da instalação do cilindro, que agora é horizontal. Nos postos de gasolina, geralmente é essa
a posição adotada para ser enterrado o cilindro. Essa nova situação vai exigir dos alunos
alguns conhecimentos sobre fatos referentes
ao círculo e sobre razões trigonométricas. Isso
será uma boa situação para o professor rever
o conteúdo do 1o bimestre (funções trigonométricas) e iniciar a exploração de áreas de
setores circulares, necessários na planificação
do cone.
Tanque de armazenamento
O professor pode, inicialmente, deixar os alunos buscarem seus próprios meios para resolver esta atividade. Algum tempo depois, pode
auxiliá-los na interpretação do problema, discutindo semelhanças com relação à situação da
atividade anterior. Uma primeira ideia que deve
surgir é que, como lá, o volume do combustível
será igual à diferença entre o volume total e o
volume consumido. O cálculo do volume total é
simples. O problema recairá sobre o cálculo do
volume de álcool consumido.
Atividade 6
Vamos, agora, considerar um tanque de armazenamento de álcool com o mesmo formato
indicado na atividade anterior. Contudo, agora
ele está colocado na posição horizontal, como
indica a figura. Do mesmo modo, para medir
a quantidade de álcool do tanque, utiliza-se
uma régua e o procedimento é o mesmo da atividade anterior. Suponha que o tanque tenha
o formato de um cilindro com 1 m de raio
de base e 4 m de altura. Qual é o volume de
álcool consumido quando a régua registra a
marca d = 30 cm?
26
0,3 m
1m
4m
Como estamos acostumados a ver os sólidos com a base na horizontal, uma ideia é
mudarmos a direção do tanque de horizontal
para vertical (figura a seguir).
A área do segmento circular pode ser calculada pela diferença entre a área do setor circular
e a área do triânguo isósceles AOB.
Vamos dividir a resolução em etapas:
a) Área do setor circular:
d
R
H
Setor circular é a porção do círculo limitada
por dois raios e um arco do círculo. Para determinar a área do setor circular, precisamos da
medida do ângulo central a ele correspondente,
que indicaremos por θ.
régua
d = 0,3 m
A
Crie um debate na sala, de modo que os
alunos concluam sobre a necessidade de
calcular o volume do sólido destacado, que
representa o volume do álcool consumido.
Explorando a ideia relativa ao Princípio de
Cavalieri, os alunos devem chegar à conclusão de que o volume do sólido é igual ao
produto da área de sua base pela altura.
A altura é igual ao comprimento do cilindro. O problema, portanto, reside em determinar a área da base.
Essa região do círculo recebe o nome de
segmento circular, que é uma região limitada
por uma corda e um arco do círculo.
θ
R =1
B
R =1
0
0,3 m
0,7 m
B
A
1m
θ
1m
0
A
segmento circular
0
B
O valor deste ângulo θ pode ser determinado
se dividirmos o triângulo isósceles AOB, a
partir da altura relativa ao vértice O. Assim,
o ângulo θ também será dividido ao meio e o
novo triângulo será retângulo.
27
θ
pode ser encontrada a
2
t 0,7
partir de seu cosseno: cos __ = ____ = 0,7.
2
1
c) Área do segmento circular (A):
A = Asetor – Atriângulo = 0,785 – 0,5
A = 0,285 m2.
Desse modo, devemos determinar qual o arco
cujo cosseno seja igual a 0,7.
Retomando o volume do combustível consumido (V1):
A medida do ângulo
0,7 m
1m
θ
2
V1 = A . H = 0,285 . 4
V1 = 1,14 m3, isto é,
V1 = 1140 litros.
1m
Consultando uma tabela trigonométrica
ou
__
®2
por estimativa, admitindo que ____ ≅ 0,7,
2
θ
__
teremos que cos ≅ 0,7 e, portanto, o valor
2
θ
__
de ≅ 45°. O ângulo do setor circular pode
2
ser considerado, então, próximo de 90º, e sua
1
área equivalerá a da área total do círculo.
4
Como a área do círculo é Acírculo = π . 12 = π,
π
a área do setor será Asetor = __m2.
4
Adotando π = 3,14, temos que;
3,14
Asetor = _____ = 0,785 m2.
4
b) Cálculo da área do triângulo:
Uma vez que o ângulo do setor é de 90º, o
triângulo AOB é retângulo em O e, portanto,
1.1 1
sua área será: Atriângulo = ____ = __ = 0,5 m2.
2
2
28
Então, a resposta do problema proposto é
que foram consumidos 1 140 litros de álcool.
Terminada essa atividade, o professor pode
pedir aos alunos que investiguem, em postos
de gasolina, como é medido o estoque de combustível nos tanques. Atualmente, há processos
sofisticados de medições desses volumes. Dispositivos são instalados no interior dos tanques
e fornecem em tempo real, em um painel, a
conversão da altura ao volume do combustível
disponível. Nos postos mais antigos, o estoque
é calculado pela combinação da “régua de medição” com uma tabela específica de conversão.
O professor também pode, julgando o tempo suficiente, distribuir para diferentes grupos
de alunos valores diferentes de d e, agrupando-os em uma tabela, propor a construção do
gráfico do volume armazenado no tanque
em função de d − V(d), e de θ − V(θ). Neste
último, dado θ em radianos, a interseção com
os eixos coordenados será em (2π,0), quando
o ângulo θ assume seu maior valor e o volume
do tanque é zero, e em (0,4π), situação que representa o tanque totalmente cheio.
V (l)
4 π ≅ 12,56
12
10
8
6
2
–2
2 π ≅ 6,28
0
2
4
6
θ (rad)
10
8
A situação que propomos a seguir pode tornar-se um tema interdisciplinar entre as áreas
de Matemática, Física e Química. O problema
propõe um modelo bastante aproximado para
o cálculo do volume de ar contido em um pneu,
pela interpretação dos dados nele impressos.
Uma situação como essa envolve muitas outras considerações, como as referentes à pressão
e à temperatura, que não são consideradas no
problema, mas que podem ganhar significado
quando tratadas juntamente com professores de
Física e Química.
Atividade 7 – O volume de ar de um pneu
Todo pneu de automóvel possui um código alfanumérico que traz especificações sobre suas dimensões e características. Vamos
explorá-lo:
4
P 245 / 45 R19
1 –P
2 – 245
3 – 45
4 –R
5 – 19
1. A letra P, que não aparece em todos os
pneus, indica que se trata de um pneu
para veículos de passeio.
2. A largura do pneu ou da sua banda de
rodagem é dada em milímetros.
3. A altura lateral do pneu é indicada pelo
porcentual da largura da banda de rodagem. Também recebe o nome de série.
4. A letra R significa que o pneu é de construção radial. Sua estrutura é formada
por camadas de lonas dispostas paralelamente e em sentido radial. A ausência dessa letra significa que o pneu é de
construção diagonal, sendo as lonas
cruzadas uma em relação às outras.
5. Refere-se à medida do diâmetro do
aro da roda. Ele é dado em polegadas
(1 pol ≅ 2,54 cm).
29
Considerando um pneu como um modelo de um cilindro vazado, podemos propor o
cálculo aproximado do volume de ar que ele
comporta.
Para o cálculo do volume aproximado do ar
contido no pneu, com as especificações acima, temos que encontrar o diâmetro total da
roda do carro, para então podermos calcular
o seu volume. Esse diâmetro pode ser obtido
somando-se o diâmetro da roda interna com
o dobro da altura do pneu.
V = π . (35,16)2 . 24,5 – π . (24,13)2 . 24,5
V = 50 309,81 cm3.
Portanto, o volume de ar contido neste pneu
é de, aproximadamente, V ≅ 50,31 litros.
Atividade 8
A recauchutagem de pneus é uma importante alternativa ambiental na reciclagem da
borracha. De forma simples, recauchutar um
pneu significa aproveitar sua estrutura resistente (correspondente a 75% do pneu) e incorporar uma nova camada de borracha em
“seu piso”.
O pneu da figura, por exemplo, está identificado com o código P245/45 R19. Portanto, ele
é um pneu de carro de passeio, possui uma largura de 245 mm; como a altura do pneu é 45%
da largura, ela mede 245 . 0,45 = 110,25 mm ou
11,025 cm; e o diâmetro da roda interna mede
19 polegadas, ou 19 . 2,54 = 48,26 cm.
24,5 cm
35,16 cm
91
X
XX
M +S
diâmetro
da roda
RA
D
L
IA
O raio do cilindro interior será de 24,13 cm e
o do exterior 35,16 cm. O volume do cilindro
vazado, que corresponde ao valor aproximado
do volume do ar será:
altura
do pneu
205/65R15
24,13 cm
Diâmetro da roda + 2 . altura do pneu =
= 48,26 cm + 2 . 11,025 cm = 70,31 cm.
30
O pneu da figura está identificado com o
código 205/65 R15.
V
11,025 cm
Supondo que seu piso esteja liso e que se
decida recauchutá-lo, qual área da superfície
do pneu a nova camada vai sobrepor?
Os dados do pneu permitem-nos concluir que
sua largura é de 205 mm, sua altura é 65% da
largura, o que corresponde ao seguinte cálculo: 205 . 0,65 = 133,25 mm, isto é, 13,325 cm,
e o diâmetro da roda interna mede 15 polegadas que, convertidas em centímetros, correspondem a 15 . 2,54 = 38,1 cm.
Dessa forma, é possível determinar o diâmetro da roda do carro acrescentando à medida
do diâmetro interno da roda o dobro da altura do pneu:
altura
do pneu
diâmetro
interno da
roda
Diâmetro da roda + 2 . altura do pneu =
= 38,1 cm + 2 . 13,325 cm = 64,75 cm
Tomando novamente o cilindro como modelo
do pneu, o problema resume-se em achar a
área da sua superfície lateral, que é um retângulo, de altura 20,5 cm e medida da base
igual ao comprimento da circunferência do
pneu. Lembrando que a relação entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro é
dada pela fórmula C = π . D, o comprimento
da circunferência do pneu é de, aproximadamente, Cpneu = 3,14 . 64,75 = 203,32 cm.
Assim, a área da superfície do pneu, na qual
vai ser inserida a nova camada de borracha,
será: A = 203,32 . 20,5 = 4 168,1 cm2, isto é,
A = 0,417 m2.
Após as primeiras Situações de Aprendizagem, a expectativa é que os alunos tenham
adquirido um método de exploração de figuras no espaço com as características de
prismas e cilindros. A seleção das atividades
foi feita considerando-se um contexto e uma
possibilidade de articulação com outros conceitos geométricos. O trabalho com o círculo
e a circunferência, iniciado com os cilindros,
aprofunda-se no estudo dos cones. Portanto,
alguns aspectos tratados nesta Situação de
Aprendizagem retornarão mais à frente, o
que merecerá a atenção do professor.
31
O MOVIMENTO DE ASCENSÃO: PIRÂMIDES E CONES
Conteúdos e temas: pirâmides e cones: significados, relações métricas, áreas e volume.
Competências e habilidades: visualizar e representar pirâmides e cones; enfrentar situações-problema que envolvem a identificação e os cálculos de áreas e volumes de figuras na
forma de pirâmide ou cone; fazer generalizações a partir de experiências.
Estratégias: trabalhos em grupos; atividades sobre pirâmides e cones; proposição de situações-problema contextualizadas; atividades de demonstração.
fantasia e representou o movimento de ascensão na Geometria, criando, assim, a pirâmide.
Talvez a manifestação mais contundente do
interesse humano pela ascensão possa ser encontrada no Egito. A pirâmide de Quéops representa esse sonho do ser humano de alcançar o céu
e as estrelas. Vendo de perto, observa-se que as
pirâmides são construídas como uma enorme
escadaria, que tem no conhecimento da forma prismática sua estrutura. Foi apoiado nesse
conhecimento que o ser humano realizou sua
Não é sem motivo que, em muitas definições etimológicas da palavra pirâmide, destaca-se o prefixo pira, cujo significado é “fogo”,
igualmente alusivo à ascensão.
© Ablestock
32
De forma geral, com os conhecimentos e
métodos discutidos nas outras Situações de
Aprendizagem, os alunos estão preparados
para intuir muitas noções envolvidas no estudo de pirâmides.
A apresentação e a manipulação da pirâmide, a partir de embalagens, pode ser interessante. Aqui, surge uma boa oportunidade
para o professor trabalhar a confecção de pirâmides com diversos recursos:
f utilizando a sua planificação, o que pode
ser encontrado em vários livros didáticos
que tratam sobre o tema;
f utilizando linhas e canudos. Um tetraedro
regular, por exemplo, pode ser confeccionado com seis canudos e um pedaço
suficiente de linha de costura. Detalhes e
outras construções são encontrados na
RPM, nº- 28, 1995, p. 29;
f usando modelos formados por bolinhas de
isopor e palitos de churrasco. As bolinhas
são os vértices e os palitos as arestas.
Discutidas as semelhanças, podemos destacar a diferença: a pirâmide é um sólido que
se “afunila”. Essa característica será retomada no estudo dos cones.
A seguir, propomos algumas atividades
com o objetivo de explorar os fatos fundamentais das pirâmides relativos às suas relações métricas.
Atividade 1
Dado um cubo, quando unimos, por segmentos de reta, os centros de suas faces, obtemos um novo poliedro: o octaedro regular (do
grego octo – oito – e edro – face). Ao proceder
do mesmo modo com um octaedro, obtemos,
no seu interior, um cubo. O octaedro regular e
o cubo são chamados, em razão disso, de poliedros duais.
© Fernando Favoretto
Aqui, como nas outras Situações de Aprendizagem, o aluno deve estar consciente de que,
embora esteja visualizando a “carcaça” das
pirâmides, devemos considerá-las como sólidos maciços.
que forma sua base e elas podem ser retas ou
oblíquas, dependendo da posição entre a altura e a base.
Com a visualização e a manipulação das
pirâmides, podemos discutir alguns fatos semelhantes aos prismas: suas faces também são
polígonos, seus nomes dependem do polígono
A figura representa o dual cubo-octaedro.
O octaedro representado é uma figura espacial que pode ser obtida reunindo-se, pela base,
duas pirâmides idênticas de base quadrada.
33
Todas as arestas desse octaedro têm o mesmo
comprimento, logo, suas faces são triângulos
equiláteros. Considerando o octaedro regular
de aresta 20 cm, determine:
a) a altura das faces laterais do octaedro;
b) a área da superfície do octaedro;
c) a altura do octaedro;
d) a área da superfície do cubo.
Antes de resolver a atividade, pode-se propor
aos alunos a confecção do octaedro com bolinhas de isopor e palitos.
a) As faces laterais do octaedro são triângulos equiláteros de lado 20 cm. Para calcular a altura h (apótema da pirâmide
regular) de uma das faces, podemos observar que ela é o cateto de um triângulo
retângulo de hipotenusa 20 cm e com o
outro cateto de 10 cm.
b) Cada face do octaedro é um triângulo
__ de
®
medida de base 20 cm e altura h = 10 3 cm;
sua área será:
__
__
1
Aface = __ . 20 . 10® 3 ⇒ Aface = 100® 3 ≅ 173 cm2.
2
Logo, a área da superfície do octaedro será
A = 8 . 173 = 1 384 cm2.
c) Observando somente uma das pirâmides
que compõem o octaedro, percebemos que
a sua altura h’ é um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a altura
da face lateral e o outro cateto tem medida igual à metade do lado do quadrado da
base.
h’ 2 + 102 = h2
h’ 2 = 300 – 100 = 200
__
h’ = 10®2
Logo, a altura
do octaedro é H = 2h’, ou seja,
__
®
H = 20 2 , H 7 28,2 cm.
A
10 cm
H
h
20
10
h2 + 102 = 202
__
h2 = 300, logo, h = 10®3 cm
34
D
B
10 cm
C
d) Observamos que a aresta do cubo
é igual
__ à altura do octaedro, ou seja,
®
20 2 cm. Logo,__a área de uma face do
cubo é Af = (20® 2 )2 = 800 cm2 e a área da
superfície total do cubo é A = 4 800 cm2.
Volume da pirâmide
A discussão sobre o volume da pirâmide é um momento interessante do curso.
A analogia aplicada entre o volume do prisma e do cilindro não faz sentido, no caso da
pirâmide.
Para iniciar a discussão, o professor pode
propor um levantamento de hipóteses sobre
como calcular o volume da pirâmide. Em
uma comparação com um prisma de mesma
base e altura, pode-se concluir que seu volume será menor. Mas a questão é: quanto?
No debate, o professor pode registrar na
lousa as hipóteses dos alunos para, depois,
compará-las com o fato de o volume desta
pirâmide ser um terço do volume do prisma. A partir desse momento, o importante
é encontrarmos um meio de significar o fa-
H
tor 1 que caracteriza o cálculo do volume
3
dos sólidos com afunilamento, como as pirâmides e os cones.
H
bases com áreas iguais
A seguir, propomos uma experiência que
tem por objetivo facilitar a compreensão do
cálculo do volume da pirâmide. Nessa experiência, os alunos, em duplas, trabalharão
com cortes em um pedaço de sabão. Para
isso, necessitamos de pedras de sabão em formato de um paralelepípedo reto-retângulo e
de uma faca ou estilete. É importante que o
professor, antes de aplicar esta atividade, tenha construído o seu modelo. Ele será útil
para acompanhar o trabalho dos alunos, podendo ser apresentado em caso de dúvidas.
Para esta experiência, é importante que
o professor tenha discutido com os alunos o
fato de duas pirâmides de mesma base e mesma altura terem o mesmo volume.
35
Encontrando o volume da pirâmide em uma barra de sabão
Gravura/instrução
1. Tomamos por base uma barra de sabão
no formato de um paralelepípedo retoretângulo. Fazemos um corte na diagonal
das bases, obtendo, assim, dois prismas de
bases triangulares. Cada aluno deve ficar
com um desses prismas.
2. Seccionamos o prisma de base triangular
com uma faca, segundo o plano que passa
por um vértice da base e pela diagonal das
faces laterais.
3. Separando as partes, o pedaço menor será
uma pirâmide de base triangular (P1) e o pedaço maior uma pirâmide de base quadrangular
(P2). Indicamos pela letra x as faces obtidas
na seção. Isso nos ajudará a compor o prisma
novamente.
4. Apoiando a pirâmide (P2) sobre sua base
(que é um retângulo), fazemos um corte
que parte do seu vértice e encontra a diagonal da base.
5. As duas pirâmides obtidas por esse corte
terão o mesmo volume, pois elas têm a mesma altura (vértice comum) e área da base
igual (metade da área do retângulo). Indicamos as faces obtidas pela seção pela letra
y. Observe que uma delas terá as indicações
x e y e a outra somente a y.
6. Comparando a pirâmide de base triangular obtida no primeiro corte (P1) com
a pirâmide que só possui a etiqueta y,
verificamos que elas têm a mesma altura e
área da base igual. Seus volumes, portanto, também são iguais.
Fotos: © Fernando Favoretto
Gravura/instrução
36
Por meio dessa atividade, observamos que
o prisma de base triangular, cujo volume é o
produto da área da base pela altura, foi decomposto em três pirâmides de base triangular de
mesmo volume. Assim, cada uma das pirâmides terá, por volume, um terço do volume do
prisma. Dessa forma, chegamos à expressão:
1
Vpirâmide = ___ Abase . h
3
Para generalizar essa situação para o cálculo do volume de uma pirâmide cuja base não
seja triangular, podemos mostrar que toda pirâmide pode ser decomposta em pirâmides de
bases triangulares justapostas:
h
A seguir, apresentamos algumas atividades
que pretendem explorar o cálculo do volume
das pirâmides articulados a outros conceitos
geométricos.
Atividade 2
Uma pirâmide de base triangular é um
sólido de 4 faces, chamado de tetraedro. Um
tetraedro regular (faces são triângulos
equilá__
2
®
teros) tem área total igual a 8 3 cm .
a) Desenhe o tetraedro e o seu dual, ou
seja, o poliedro cujos vértices são os
centros das faces do poliedro dado.
A3
A2
A1
1
1
1
Vpirâmide = __A1 . H + __ A2 . H + __ A3 . H
3
3
3
1
Vpirâmide = __ H (A1 + A2 + A3)
3
1
Vpirâmide = __Abase . H
3
Aqui, temos generalizada a expressão.
Tratando-se de uma experiência, é oportuno que o professor peça a redação de um
relatório. Nele, podem constar os detalhes da
execução da tarefa, as interpretações de cada
passo, as representações planas dos sólidos
criados e uma análise sobre as hipóteses levantadas e o resultado alcançado.
b) Encontre o volume do tetraedro maior.
Como são quatro faces de mesma área (triângulos equiláteros), temos que __
a área de um
__
A
®
3
8
T
triângulo equilátero é ___ = _____ = 2 ®3 cm.
4
4
A área de um triângulo equilátero pode ser calculada por:
__
__
__ l 2®3
®3
_____
2 ____
⇒ 2®3 =
⇒ l 2= 8 ⇒
A=l
4
__ 4
l = 2®2 cm
Para o cálculo do volume, precisamos da medida da altura da pirâmide. A partir do desenho a seguir, observamos que ela é um dos
catetos de um triângulo retângulo em que a
hipotenusa é a altura de uma das faces, e o
1
outro cateto mede da medida da altura da
3
face, pois corresponde ao apótema do triângulo equilátero.
37
O cone
h = 6 cm
h
6
cm
3
A altura da face é encontrada aplicando-se
a expressão:
__
__ __
__
2®2 . ®3
l ®3
____
________
⇒h=
⇒ h = ®6
h=
2
2
Por Pitágoras, escrevemos que:
__ 2
__ 2
®6
____
ª ®6 º =
+ H2
3
ª º
6 48
H2 = 6 – __ = ___
9
9__
___
®
48 4 3
H = ___ = _____ cm
9
3
Portanto:
__
__ 4 ®3 8
1 ® _____
1
__
__
= __ ≅ 2,67 cm3
V = Ab . h = . 2 3 .
3
3
3
3
®
Observação: Podemos calcular o apótema
da pirâmide usando semelhança de triângulos (ver figura a seguir):
__
2®2
__
__
®6
a
__
®2
__
®__
a__
2
____
= ____
®2 __
®6
__
®2 .__®2
________
Logo: a =
®6
__
®6
a = ____ cm.
3
38
®2
A noção de cone é sugerida, na prática, por
diversos objetos do nosso cotidiano: chapéu
de aniversário, cone de sorvete e cones de sinalização são alguns exemplos.
A discussão inicial sobre os cones pode ser
feita como foi proposta para as pirâmides e
os prismas. Aqui, podemos destacar as suas
semelhanças e diferenças com relação aos cilindros e também às pirâmides.
A apresentação do cone também pode ser
feita como um sólido de revolução, tomando-se um triângulo retângulo e fazendo-o girar
em torno de um de seus catetos. A hipotenusa
torna-se a geratriz do cone.
V
g
h
r
A
B
O trabalho com setores circulares que apareceu na Situação de Aprendizagem 2 agora é
aprofundado, pois se trata das superfícies laterais dos cones circulares retos. Esse momento
é oportuno para explorarmos fatos básicos da
circunferência e do círculo, dando preferência
para noções que envolvem proporcionalidade.
O tratamento do volume do cone pode ser
feito aplicando-se o Princípio de Cavalieri, em
uma comparação entre o volume da pirâmide e
do cone, de forma análoga ao que fizemos com
o cilindro e o prisma. Outra abordagem é imaginar pirâmides de mesma altura, inscritas no
cone, com número de lados cada vez maiores,
aproximando a área da base à área do círculo.
As atividades que propomos a seguir
têm a finalidade de destacar fatos fundamentais do cone e aplicá-los em atividades
contextualizadas.
Atividade 3 – A construção dos cones
Vamos construir setores circulares a partir
de círculos de 10 cm de raio desenhados em
uma folha de papel sulfite. Observe que, para
cada setor, construímos também o setor do seu
replementar, isto é, cuja soma é igual a 360º.
a) 60º
b) 120º
c) 90º
d) 270º
Terminada a construção, recorte os setores.
a)
60º
b)
120º
c)
90º
d) 270º
Atividade 4
Tomando os setores da atividade anterior,
use fita adesiva para unir os raios, de modo a
formar figuras parecidas com chapéus de festa
de aniversário. Cada uma dessas figuras corresponde à superfície lateral de um cone, e os
raios desses setores constituem a sua geratriz.
Observando cada um dos modelos criados,
procure completar os dados da tabela a seguir:
Ângulo
central α
área
do setor
circular A
Raio da
base r
Altura do
cone h
60º
90º
120º
270º
Aqui, professor, o aluno é levado a investigar
as relações entre a geratriz, o raio da base
e o comprimento do setor circular. Todos os
cálculos são obtidos com o uso de proporcionalidade.
Vamos detalhar os cálculos para o setor
de 120º:
A área do círculo original é: A = 100 π e
seu comprimento é C = 20 π logo, a área
1
do setor será __ deste valor, portanto
3
1
__
Asetor = . 100π cm2 e seu comprimento será
3
1
__
Csetor = . 20π cm.
3
Como o comprimento do arco representará o
comprimento da base, podemos concluir que
1
Cbase = Csetor = __ . 20π logo, se r é o raio da
3
10
1
base, 2πr = __ . 20π e, portanto, r = ___ cm.
3
3
Observando a figura, observamos que a altura, o raio da base e a geratriz são lados
de um triângulo retângulo em que a geratriz é a hipotenusa. Aplicando o teorema de
2
10
Pitágoras, teremos 10 2 =__h 2 + ___ , do que
3
20®2
______
2
se conclui que: h =
cm .
3
ª º
39
Ângulo central α
(graus)
Área do setor
circular A (cm2)
Raio da base r
(cm)
60º
50π
3
5
3
®
®
90º
25π
5
2
®
®
120º
100π
3
10
3
®
®
270º
75π
15
2
®
®
Professor, ao final da atividade, podese sugerir aos alunos que generalizem essa
situação, como apresentada a seguir. Devemos destacar, contudo, que não há necessidade de memorização das fórmulas. Todo
o cuidado com a atividade é que o aluno
construa as relações de forma visual e que as
determine pelo uso da proporcionalidade.
2πr
g
h
g
r
g
{
______
2
2
2
2
®
r
=
g
–
h
⇒
r
=
g______
– h2
g2 = h2 + r2 ⇒ 2
h = g2 – r2 ⇒ h = ®g2 – r2
Sendo a o ângulo central do setor circular,
os alunos podem identificar a expressão:
ag
360° . r
a
2πr = _____ 2πg ⇒ r = _____ ⇒ a = _______
g
360°
360°
40
Altura do cone h (cm)
________
____
___
25
875 ______
5®35
___
____
100 –
=
=
9
9
3
___
________
____
25
375 ______
5®15
___
____
100 –
=
=
4
4
2
_________
____
__
100
800 ______
20®2
____
____
100 –
=
=
9
9
3
____
_________
__
225
175 _____
5®7
____
____
100 –
=
=
4
4
2
Atividade 5
Os para-raios foram inventados pelo político e cientista norte-americano Benjamin
Franklin (1706 - 1790). Eles são constituídos
por uma haste condutora fixada verticalmente
na parte mais alta de uma estrutura, seja ela
um edifício, um poste ou uma antena. Segundo
estudos experimentais da ABNT (Associação
Brasileira de Normas Técnicas), o campo de
proteção oferecido por um para-raios é aquele
abrangido por um cone, tendo por vértice o
ponto mais alto da haste vertical, cuja geratriz
forma um ângulo de 60º com essa haste. Geralmente, a medida das hastes é de, aproximadamente, 1 m. Com base nessas informações, faça
a representação e determine a área aproximada
da base do “campo de proteção” oferecido por
um para-raios disposto sobre uma antena de
79 m de altura.
A base do campo de proteção é um círculo
de raio R, que pode ser determinado por
__
R
tg 60º = , logo, R = 80 . ®3 ≅ 138,56 m.
80
Dessa forma, a área de proteção será determinada pela seguinte expressão:
A = π . R2 ≅ 3,14 . 19198,87
A = 60 284,46 m2.
60º
1m
79 m
base do campo de proteção
A atividade a seguir foi selecionada do vestibular da Unesp por propor uma situação-problema de contexto social e por abordar o tronco
de cone, o que remete à semelhança de triângulos e proporcionalidade.
Atividade 6
Por outro lado, em uma praça de uma certa
cidade há uma torneira com um gotejamento
que provoca um desperdício de 46,44 litros de
água por dia. Considerando a aproximação
π = 3, determine quantos dias de gotejamento
são necessários para que a quantidade de água
desperdiçada seja igual à usada para 6 banhos,
ou seja, encher completamente 6 vezes aquele
chuveiro manual. Dado: 1 000 cm3 = 1 litro.
Inicialmente, devemos analisar os dados da
atividade. O trabalho com troncos de cone
sugere que completemos o desenho, reconstruindo o cone que o gerou. Esse procedimento permite aplicar a proporcionalidade
nas semelhanças de triângulos observadas.
30 cm
(Unesp, 2007) – Em uma região muito pobre
e com escassez de água, uma família usa para tomar banho um chuveiro manual, cujo reservatório de água tem o formato de um cilindro circular
reto de 30 cm de altura e base com 12 cm de raio,
seguido de um tronco de cone reto, cujas bases
são círculos paralelos, de raios medindo 12 cm
e 6 cm, respectivamente, e altura 10 cm, como
mostrado na figura.
O’ 12 cm
B’
10 cm
10 cm
B
O 6 cm
A’
A
V
Os triângulos VOA e VO’B são semelhantes pelo caso AA, com razão de semelhança
OA
6
1
k = ____ = ___ = __ .
O’B 12 2
12 cm
Assim, os cones VAA’ e VBB’, de volumes v
e V, respectivamente, são semelhantes, com
razão entre os volumes
3
v
v
1
1
__
__
__
3
⇒
⇒ v = __ V
=
k
=
V
V
2
8
6 cm
1
Como V = __ π . 122 . 20 = 960π cm3, temos
3
1
v = __ . 960π = 120π cm3.
8
30 cm
10 cm
ª º
41
Assim, o volume do tronco é
960π – 120π = 840π cm3.
a observar figuras tridimensionais e abstrair
Finalmente, o volume do chuveiro é igual ao
volume do cilindro de raio da base 12 cm e
altura 30 cm mais o volume do tronco, ou
seja, π . 122 . 30 + 840π = 5 160π cm3. Adotando π = 3, obtemos 5 160 . 3 = 15 480 cm3
= 15,48 litros.
nais, alturas, arestas, vértices, geratrizes, etc.
Logo, o número de dias de gotejamento necessários para se desperdiçar o volume de
6 chuveiros é 6 . 15,48 = 2 dias.
46,44
delas seus elementos estruturais, como diagoAs formas estudadas e suas combinações fazem parte de muitas estruturas espaciais que
observamos no nosso entorno. Caixas-d’água,
monumentos, embalagens e dados de jogos de
tabuleiros são alguns exemplos disso.
Também se espera, neste momento, que
o aluno apresente domínio sobre as relações
métricas aprendidas até aqui. Insistimos na
necessidade de representação das situações
No Caderno do Aluno são apresentadas duas
atividades (Enem e Fuvest) envolvendo o tema abordado nesta Situação de Aprendizagem.
Ao final desta Situação de Aprendizagem, a
expectativa é que os alunos tenham aprendido
apresentadas no problema como caminho para
sua resolução. Em muitas das situações apresentadas, foram necessárias aproximações e
estimativas de valores, além do trabalho com
várias unidades de medidas. A avaliação dos
resultados é também um passo importante no
processo de resolução da atividade.
ESFERA: CONHECENDO A FORMA DO MUNDO
Conteúdos e temas: esfera: noções fundamentais, hemisfério, fuso, cunha, coordenadas geográficas, volume da esfera e área da superfície esférica.
Competências e habilidades: interpretar e localizar pontos na esfera; enfrentar situações-problema; interpretar dados para tomada de decisões; aplicar conhecimentos sobre esfera em situações de contexto.
Estratégias: manipulação de objetos; articulação entre conhecimentos adquiridos; comparação entre sólidos; resolução de problema; localização na esfera.
42
© Nasa/Corbis-Latinstock
Já havendo construído várias formas básicas da geometria espacial métrica, os alunos
agora estarão diante de um formato muito
familiar: a esfera. Em sua forma simples e
regular, sem bases, sem arestas, sem apótema,
encontramos dificuldades em sua planificação e nas demonstrações das expressões do
cálculo da área de sua superfície e volume.
O trabalho com a esfera, contudo, permite uma série de associações relativas ao
nosso planeta. Temas como latitude, longitude e fusos horários, presentes em outras
áreas do conhecimento, como a Geografia,
tornam-se motivadores e permitem uma
construção significativa de conceitos relativos à esfera e a nossa vida. A aprendizagem
da esfera permite criar uma oposição entre
a geometria plana euclidiana e a esférica,
não euclidiana. Essa oposição pode auxiliar, como a régua e o compasso, para a
compreensão do espaço real.
Esfera
Professor, como feito anteriormente, é
recomendável levar aos alunos objetos em
forma de esferas, como uma bola, esferas de
isopor, globo terrestre, limões e laranjas. Embora as três últimas não tenham exatamente
a forma de uma esfera, elas servem como interessantes modelos a serem explorados em
sala de aula.
Instigue seus alunos a criar uma definição
para a esfera. Será possível fazê-la com o processo de sobreposição? E com o de revolução?
Como sugestão, o professor pode recortar
um círculo de papelão e fixar, com fita adesiva, um barbante, passando por um diâmetro.
Faça a figura girar em torno do barbante e estimule os alunos a observar que o movimento
de rotação do círculo em torno de um eixo gerou uma figura espacial: seu nome é esfera.
Haverá outra forma de gerar uma esfera por
revolução? Aqui, o professor pode apresentar a
ideia da revolução de um semicírculo.
O professor pode pedir aos alunos que registrem no caderno suas definições individuais
para depois serem debatidas no grupo. O professor pode abrir um debate para construir a
definição junto ao grupo, observando a adequação dos termos empregados.
43
Uma esfera é o resultado da revolução de
um círculo ou semicírculo em torno de um eixo
que passa pelo seu diâmetro. A superfície esférica pode ser interpretada do mesmo modo que
entendemos a circunferência, ela é o conjunto
de todos os pontos do espaço equidistantes de
um ponto fixo, chamado centro da esfera.
Como a área do fuso é proporcional ao ângulo α, as atividades podem ser resolvidas por
proporcionalidade, tomando-se a área da superfície esférica como a correspondente a 360º.
r
α
Cunha esférica é uma parte da esfera que
se obtém ao girar um semicírculo em torno do
eixo que contém o seu diâmetro de um ângulo
de 0º a 360º.
Fusos e cunhas
Uma vez definida a esfera como um movimento de revolução completa de um semicírculo, podemos sugerir aos estudantes uma
investigação sobre o que aconteceria se ela
não completasse uma volta.
O trabalho com fusos e cunhas é particularmente interessante por permitir a interpretação de várias situações contextualizadas,
como os fusos horários.
Um fuso esférico é a superfície que se obtém quando giramos uma semicircunferência
em torno do eixo que contém seu diâmetro em
um ângulo de 0º a 360º. Esse ângulo será denotado pela letra grega α.
44
Observe, com os alunos, que a área da superfície da cunha esférica é composta por dois
semicírculos de raios iguais ao da esfera, o que
resulta em um círculo completo, mais a área do
fuso. Já seu volume é proporcional ao ângulo α.
r
α
Como o volume da cunha é proporcional ao ângulo α, as atividades podem ser
resolvidas também por proporcionalidade,
tomando-se o volume da esfera como o correspondente a 360º.
A seguir, propomos algumas atividades que
podem ser resolvidas recorrendo à proporcionalidade, evitando formalizações e memorizações de fórmulas.
Atividade 1
Uma semicircunferência faz uma rotação
de 30º em torno do eixo que passa sobre seu
diâmetro. Qual fração o fuso representa em
relação à superfície da esfera gerada pela rotação completa dessa semicircunferência?
30º representa
1
da superfície total da esfera.
12
Atividade 2
Hemisfério (hemi significa “meio”) ou semiesfera é cada uma das partes de uma esfera dividida por um plano que passa pelo seu centro.
a) Qual é a porcentagem do volume do hemisfério em relação ao volume da esfera?
50%
b) Qual é a porcentagem de um quarto da
superfície do hemisfério terrestre em relação à superfície total da Terra?
12,5%
Atividade 3
Em 1884, 25 países estabeleceram uma divisão da superfície terrestre em 24 fusos de mesmo
tamanho. A divisão tomou por base o movimento de rotação da Terra em torno de seu próprio
eixo, isto é, um giro de 360º, que dura, aproximadamente, 24 horas.
a) Encontre a medida do ângulo correspondente a cada fuso.
Dividindo-se 360º por 24, temos 15º.
b) Se cada fuso corresponde a uma hora,
qual é a porcentagem da superfície terrestre correspondente a 6 horas?
Seis horas são seis fusos, que correspondem a
1
90º, o que equivale a
da superfície terres4
tre. Portanto, sua porcentagem será de 25%.
Cada fuso é determinado por dois meridianos. Meridiano é a interseção de um
plano com a superfície esférica, passando
pelo centro da esfera. Os pontos de encontro do eixo com a superfície da esfera são
chamados de polos. Todas as localidades
que estão no interior do mesmo fuso têm a
mesma hora local. O fuso referencial para
a determinação das horas é o Meridiano
de Greenwich, que pode ser indicado pela
sigla GMT (Greenwich Meridian Time).
Greenwich é uma cidade da Inglaterra onde
se localiza o Observatório Real. Como a
Terra gira de Oeste para Leste, as horas são
adiantadas em uma hora a cada fuso, se caminharmos no sentido Leste, e diminuídas
em uma hora, no sentido Oeste.
A longitude é a medida, em graus, do ângulo entre o meridiano que passa pelo local e
o Meridiano de Greenwich. A longitude varia
de 0º a 180º, tanto para Leste como para Oeste. Todos os pontos situados no mesmo meridiano têm a mesma longitude.
45
Polo Norte
Meridiano de
Greenwich
P
A latitude é a medida, em graus, do ângulo
entre o paralelo que passa no local e o Equador. Essa medida varia de 0º a 90º, tanto para
o Norte quanto para o Sul. No globo, a localidade A está na latitude 45º Norte.
90º N
L0
45º N
A
Polo Sul
Quando cortamos uma laranja no sentido
transversal (perpendicular ao eixo), o formato
que observamos como produto desse corte é
um círculo. Dependendo da posição onde efetuamos o corte, esse círculo será maior ou menor. O raio do círculo será tanto maior quanto
mais próximo do centro está “o plano do corte”.
Quando passamos pelo centro da esfera, ele será
maior e receberá o nome de círculo máximo.
45º N
Paralelo
45º
45º
45º S
Equador
45º S
Paralelo
90º S
Por meio da longitude e da latitude, podemos localizar qualquer ponto na superfície da
Terra. Elas são conhecidas por coordenadas
geográficas do ponto.
Atividade 4
Um corte que
passa pelo centro
da laranja sugere
a ideia de círculo
máximo.
Localize em um globo ou em um mapa a
latitude e a longitude da sua cidade.
Depende da localidade. A cidade de São
Paulo tem as seguintes coordenadas:
23º30’ Sul e 46º33’ Oeste.
O volume da esfera
A interseção de um plano perpendicular ao eixo com a superfície esférica, passando pelo centro da esfera, chama-se Equador.
Quando esse plano não passa pelo centro da
esfera recebe o nome de paralelo. O Equador
é a circunferência do círculo máximo perpendicular ao eixo.
46
Muitas vezes, a expressão do volume da
esfera é apresentada sem demonstração. Julgamos, contudo, que esta possa ser uma boa
oportunidade para os alunos levantarem hipóteses, construírem argumentos e significarem a expressão que depois é aplicada para
determinação da área da superfície esférica.
A riqueza da demonstração da expressão do
volume da esfera está também na articulação
de ideias que ela permite: estimativas, inscrição e circunscrição de sólidos, seção de sólidos, comparação de volumes e a aplicação do
Princípio de Cavalieri.
Inicialmente, o professor pode pedir aos
alunos que levantem hipóteses sobre a forma
da expressão que dá o volume da esfera.
R
inscrição
no cilindro
circunscrição
no cone
R
Para preparar esta atividade, o professor
pode usar transparências ou cartazes com:
R
R
f um cilindro de raio da base R e altura também R;
f um cone de raio da base R e altura R;
f um desenho de um hemisfério de raio R.
À medida que o professor for apresentando os dois primeiros desenhos, ele pode ir sugerindo que seus alunos calculem:
a) o volume do cilindro de raio R e altura R;
Vcilindro = π R3
b) o volume do cone de raio da base R e
altura R.
Vcone = 1 π R3
3
R
R
Em seguida, comente que essa expressão é
conseguida pela comparação entre o volume
de três sólidos: um hemisfério de raio R, um
cone e um cilindro de raio e altura R.
Preparando cartazes ou transparências, o
professor pode montar as situações a seguir de
inscrição e circunscrição do hemisfério no cilindro e no cone de modo que se conclua que:
1
__
3
πR3 < Vsemiesfera < πR3
A exploração da comparação entre o volume
dos três sólidos sugere outras formas de composição, decomposição e disposição das figuras.
Nos estudos dessas possíveis situações,
percebemos que particularmente uma (a do
hemisfério e a inscrição do cone no cilindro)
revela uma regularidade entre áreas de suas
seções planas.
47
Inicialmente, fazemos como mostra a Figura 1, uma composição das três figuras, de
modo que o hemisfério fique inscrito no cilindro e o cone circular fique invertido.
R
d
45º
Figura 2
Figura 1
R
Fazendo uma seção paralela à base do hemisfério e do cilindro, observamos que a área formada no hemisfério, que é desconhecida, pode
ser calculada pela diferença das áreas das seções
formadas no cilindro (Figura 3) e no cone (Figura 2). Supondo que a seção foi feita a uma altura
d da base do hemisfério, como temos na Figura 3
ao lado.
d
d
d
45º
Figura 3
Vamos propor aos alunos o cálculo da área de cada seção determinada por um plano, conforme
a Figura 4, em que cada seção foi individualizada:
a
b
R
R
d
Figura 4
Vamos ampliar o hemisfério para observar
melhor as relações entre as medidas de a, d e R.
48
a
d
R
Seção no hemisfério
Seção no cone
Seção no cilindro
A1 = π . a2
A3 = π . b2
A2 = π . R2
R2 = d2 + a2
b=d
a2 = R2 – d2
triângulo retângulo isósceles
A1 = π . (R2 – d2)
A3 = π . d2
A1 = π . R – π . d
2
2
Comparando essas grandezas, percebemos
que há uma relação entre as áreas:
A1 = A2 – A3
Aseção no hemisfério = π . R – π . d
2
A2 = π . R2
2
De maneira geral, como a distância d é arbitrária, podemos concluir que toda a área da
seção do hemisfério é igual à diferença entre
as áreas das seções do cilindro e do cone.
Desse modo, podemos considerar que o
hemisfério é formado pela sobreposição de círculos com raios cada vez menores, enquanto o
sólido, resultante da diferença cilindro-cone, é
formado pela sobreposição de coroas circulares com “furos” cada vez maiores, isto é, com
coroas cada vez mais finas. Pela expressão que
encontramos, podemos deduzir que a área de
cada círculo no primeiro sólido é igual à área
de cada coroa circular do segundo.
Dessa forma, temos que Vesfera = 2 . Vhemisfério
4
Vesfera = __ π . R3
3
Um aspecto interessante a ser discutido,
após a demonstração, é retomar os três sólidos inicialmente estudados, utilizados para
comparação, e observar a relação que existe
entre seus volumes:
Sólido
R
R
R
Volume
1
V = __ π . R3
3
2
V = __ π . R3
3
Aplicando-se o Princípio de Cavalieri, podemos concluir que, completando a altura R, o volume dos dois sólidos será equivalente. Logo:
Vhemisfério = Vcilindro – Vcone
1
Vhemisfério = π . R3 – __ π . R3
3
2
Vhemisfério = __ π . R3
3
R
3
V = __ π . R3 = π . R3
3
49
Agora, vamos imaginar que cada uma dessas regiões seja a base de uma pirâmide com
vértice no centro da esfera.
R
S1 S2
S3
S5
R
Área da superfície esférica
Até aqui, professor, acumulamos um grande número de métodos. Eles são recorrentes
por todo esse material. Na dedução da fórmula da área da superfície esférica, aplicaremos
novamente o método da decomposição em pirâmides. Anteriormente, esse método foi aplicado para o cálculo do volume das pirâmides.
Decompomos o prisma para achar o volume
de sua terça parte: a pirâmide. Nessa demonstração, exploramos a soma de partes infinitas,
que é um raciocínio empregado nos estudos
das integrais.
S4
A composição de todas essas pequenas pirâmides constituirá o volume da esfera.
Assim, podemos escrever:
Agora, para encontrar a expressão da área
V = V1 + V2 + V3 +...
da superfície esférica, vamos decompor a es1
1
1
1
V = S1 . R + S2 . R + S3 . R + ... ⇒ V = R(S1 + S2 + S3 ....)
fera em pirâmides com vértice no seu centro.
3
3
3
3
As bases das pirâmides comporão
1
1a superfície
1
1
V = o par
S1 . Rcomposição/de+ S2 + R S3 . R + ... ⇒ V = R(S1 + S2 + S3 ...))
esférica. Mais uma vez,
3
3
3
3
composição é aplicado e novas expressões são
Já sabemos que o volume da esfera é
4
aprendidas das anteriores.
V = π . R3 e que S = S1 + S2 + S3 + S4 + ...
3
Vamos tomar a superfície esférica e decom4
1
Assim, π . R3 = R . S. Simplificando,
pô-la em pequenas regiões (S1, S2, S3, S4, ...)
3
3
aproximadamente planas. A área da superfície
4
1
π . R3 = R . S S = 4.p R2
3
3
da esfera será igual à soma total dessas super2
fícies:
S = S1 + S2 + S3 + S4 + ...
50
Agora, vamos propor exercícios exemplares sobre o tema. O professor deve estar atento
a algumas situações comuns neste momento.
Por exemplo: Os alunos entendem os enunciados? Identificam os dados e o que se pede?
Fazem uma ilustração para apoio da compreensão do problema? Utilizam a unidade
de medidas corretamente?
Atividade 5
Considerando a Terra uma esfera com raio
de 6 370 km, encontre o que se pede.
Atividade 6
O sistema de coordenadas geográficas é utilizado não só para localizações, mas também
para o cálculo da distância entre duas localidades sobre o globo terrestre. Essa distância,
no caso, refere-se ao tamanho do percurso a
ser feito sobre a superfície da Terra para ir de
uma localidade a outra. Não se trata, portanto, de um percurso linear, mas sim da forma
de um arco de circunferência.
Polo Norte
P1
A
r
O'
P2
P
Q
θ
R
E1
C
θ
E2
L
L
O
V
T
Polo Sul
a) O comprimento do Equador.
C = 2π · RTerra = 2π . 6 370 = 12 740π km, ou
seja, aproximadamente, 40 000 km.
b) O comprimento de um paralelo que
passa pelos pontos P1 e P2, sendo sua
latitude θ = 60º.
Observando a figura e sendo a latitude igual
a 60º, θ = 60º, logo temos:
1
r
r
__
_____
cos 60° = _____
Rterra ⇒ 2 = 6 370 ⇒
6 370
⇒ r = _____ = 3 185 km.
2
Assim, o comprimento do paralelo de raio r
será: C = 2π . r = 2π . 3 185 = 6 370π km.
Suponha que o ponto P represente a cidade
de Nova Iorque – latitude 41º N (L = 41º) e
longitude 74º W (θ = 74º). Admita o raio da
Terra como sendo 6 000 km. Encontre a medida da distância entre Nova Iorque e a linha
do Equador.
A medida do arco PV está, em relação ao
comprimento da linha do Equador, na mesma razão que o ângulo central L está em
relação à circunferência terrestre, que repre41
· 2πr
senta 360º, portanto PV =
360
41
PV =
· 2π · 6 000 PV ≅ 4 292 km.
360
51
Atividade 7
Outra cidade, com mesma latitude
(L = 41º N), está situada sobre o Meridiano de
Greenwich (longitude θ = 0º). Ela está indicada no globo pela letra Q. Qual é a distância
entre as duas cidades?
O'
P
r
Q
θ
R
d
L
L
O
V
T
A distância PQ é igual ao arco de circunferência com ângulo central igual a θ. Para
sabermos o valor do arco, precisamos da medida do raio do círculo pequeno que passa
por PQ.
Com base na figura, observamos uma relação métrica entre a distância d, do paralelo
ao Equador, o raio R da Terra e o raio r do
paralelo. Como se trata de um triângulo retângulo, temos: R2 = d 2 + r2.
Outra relação que podemos extrair é a seguinte: como a latitude L = 41º, o ângulo em
OPO’ é alterno interno a L, portanto, também mede 41º.
r .
r _____
Aplicando-se cos 41° = __
R = 6 000
r = 6 000 . 0,75, portanto, r = 4 500 km.
52
74
partes
360
do comprimento da circunferência de raio
74
4 500, temos que PQ = ____ . 2 π . 4 500.
360
PQ = 5 809 km.
Como a medida do arco PQ é
Atividade 8
Considerando a Terra uma esfera, o arco
de 1’ (um minuto) de seu círculo máximo denomina-se milha marítima. Portanto, cada grau
corresponde a um arco de 60 milhas marítimas. Supondo que a medida de um meridiano da Terra é, aproximadamente, 40 000 km,
qual é a medida de um arco referente a uma
milha marítima?
1
parte de
Uma milha marítima equivale a
60
um grau. Um grau equivale a 1 partes do
360
comprimento da circunferência máxima, o
meridiano. Portanto, 1’ = 1 . 1 . C, sendo
60 360
C = 40 000 km. Logo, 1’ equivale a 1,852 km
ou 1 852 m.
Observação: esta atividade está proposta no
Caderno do Aluno como uma lição de casa.
A atividade a seguir explora a comparação
entre porções da superfície do cilindro e da esfera. É interessante observar, ao final, que eles
possuem a mesma área. Esse fato é fundamental na construção de mapas planos da superfície
terrestre. Ele é a base do que se chama projeção
cilíndrica. Mais uma vez, o tema pode ser explorado em uma perspectiva transdisciplinar
com o professor de Geografia.
Atividade 9
Considere duas superfícies S = ABCD e
S’ = E’B’C’ obtidas, respectivamente, pelas interseções de um cilindro circular reto e de uma
semiesfera com semiplanos que formam um ângulo diedro de 60°, conforme as figuras a seguir.
E’
D
A
S
O’
C
B
60º
B’
1
. 4 . π .(OB)2
12
1
de A’ logo,
12
π . (OB)2
3
Logo, a razão áreaS = 1.
áreaS’
O professor pode ainda explorar áreas de fusos e de superfícies de cunhas, sempre privilegiando o uso de proporcionalidade.
áreaS’ =
Sendo área(S) a área da superfície S e
área(S’) a área da superfície S’, calcule o valor
de área(S)/área(S’).
O
A área da região S’ equivale a
áreaS’ =
Tem-se:
O – centro da base do cilindro;
OE – altura do cilindro;
OB – raio da base do cilindro;
O’E’ – raio da semiesfera;
OE = OB = O’E’ = AB.
E
2
área S = π . (OB) .
3
Esfera: Na esfera, a superfície total será
A’ = 4 . π . (O’E’)2. Como O’E’ = OB,
temos A’ = 4 . π .(OB)2.
S’
C’
60º
Cilindro: A superfície lateral do cilindro é
um retângulo de dimensões:
2 . π . OB
AB
Sua área lateral A será, portanto:
A = 2 . π . OB . AB.
Como AB = OB, A = 2 . π . OB2.
A área da região S corresponde a 1 da
6
superfície lateral do cilindro logo,
Neste momento do processo de aprendizagem da geometria espacial métrica, a expectativa
é que os problemas propostos tenham permitido
um bom nível de discussão, em que os argumentos, as análises de situações, os levantamentos de
hipóteses e as comparações das soluções tenham
fortificado o grupo de alunos como um coletivo
gerador de conhecimento.
A finalização do curso com o estudo da
esfera permite um apanhado geral sobre muitos fatos construídos durante o curso. Além
disso, esta Situação de Aprendizagem é uma
oportunidade de significarmos a forma de
nosso planeta e de muitos conceitos a ele associados. Particularmente, o trabalho com
as coordenadas geográficas abre uma possibilidade de trabalho transdisciplinar com a
Geografia. O tratamento feito para o cálculo
do volume e da área da superfície da esfera
também merece destaque no curso.
53
ORIENTAÇõES PARA RECUPERAÇÃO
Na Situação de Aprendizagem 1, caso os
objetivos não tenham sido plenamente alcançados, sugerimos que as atividades de recuperação explorem:
f uma retomada do trabalho com figuras
planas, particularmente com o triângulo
equilátero, o retângulo, o paralelogramo, o
quadrado e o hexágono regular, enfatizando, de forma esquemática, suas propriedades e relações métricas;
f a manipulação dos objetos sólidos em forma
de prismas e identificação de seus elementos,
particularmente daqueles relacionados às figuras planas vistas anteriormente;
f as relações métricas nos prismas regulares.
Caso as metas iniciais não tenham sido
alcançadas na Situação de Aprendizagem 2,
sugerimos que as atividades de recuperação
explorem:
f uma retomada esquemática dos fatos essenciais relativos à circunferência e ao
círculo, como: comprimento da circunferência, relações entre medidas do ângulo
central e inscrito, área do círculo e área de
seus setores e segmentos circulares;
f problemas contextualizados, semelhantes a
atividade 3;
f a necessidade da representação plana
do sólido para melhor interpretação do
enunciado e dos elementos essenciais à
sua solução.
Pensando na Situação de Aprendizagem 3,
caso não tenham sido alcançadas as metas traçadas, sugira problemas que o aluno resolva
apoiado no que aprendeu sobre planificação ou
sobre sólido construído.
Caso as metas propostas na Situação de
Aprendizagem 4 não sejam atingidas plenamente, propomos retomar as atividades em que
se aplica a proporcionalidade, como aquelas
de cálculos de fusos e cunhas, e investigue se
a dificuldade está na visualização dos elementos da esfera. Caso isso se confirme, use bolas
grandes de isopor para indicar as condições
do problema e os caminhos para sua solução.
Os livros didáticos trazem um grande número
de exercícios. Escolha aqueles que permitem
maior conexão com fatos reais ou com outros
conceitos matemáticos, como aqueles que envolvem distância entre dois pontos sobre a superfície da esfera.
RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR
E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO TEMA
Para o desenvolvimento dos conteúdos de
geometria métrica, abordados neste Caderno, vários livros didáticos de Ensino Médio
apresentam uma série de situações-problema.
54
O professor poderá selecionar alguns desses problemas e agregá-los àqueles que já fazem parte de
sua experiência no tratamento deste tema. Propomos que seja dada preferência aos problemas
que envolvem comparação entre elementos de
dois sólidos. São mais interessantes os problemas que exijam interpretação, representação e
identificação dos elementos dados e necessários
à solução. Outra fonte interessante de problemas
são alguns testes ou exercícios dos vestibulares.
RPM no
Para os professores que queiram se aprofundar nas discussões sobre os temas tratados, sugerimos alguns artigos da Revista do Professor
de Matemática, publicação quadrimestral da
Sociedade Brasileira de Matemática, com apoio
da USP (<http://www.rpm.org.br/cms>).
Assunto abordado
3
Relação dos poliedros com as formas na natureza.
21
Geodésica em prismas.
18
Tratamento formalizado do problema do tanque horizontal.
Nesse artigo, faz-se a dedução da expressão da variação do volume em função da
distância d. A exploração desse problema levará a uma função que relaciona o
ângulo θ à altura d.
10
13
16
Nesses volumes você encontrará interessantes artigos sobre pirâmides e cones.
59
58
Método da alavanca aplicado por Arquimedes na determinação do volume da esfera.
59
Matemática do GPS.
São exploradas as coordenadas geográficas de um ponto no espaço, em uma abordagem analítica, isto é, aplicando o sistema de eixos tridimensionais.
livro
Site
LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P.
Aprendendo e ensinando Geometria. São
Paulo: Atual, 1996.
Wikimedia. Disponível em: <http://upload.
wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/
Timezones.png>. Acesso em: 10 ago. 2009.
O livro apresenta relatos e análises de experiências no ensino de Geometria. No capítulo
13, por exemplo, discute-se a importância da
manipulação e da visualização dos poliedros
e propõe-se algumas formas de suas construções com o uso de canudos.
Nele você encontrará uma série de mapas que
permitem explorar a conexão dos conceitos
matemáticos com a Geografia.
55
COntEúdOS dE MAtEMátiCA POR SéRiE/biMEStRE
dO EnSinO MédiO
4o bimestre
3o bimestre
2o bimestre
1o bimestre
1a série
56
2a série
3a série
núMEROS E SEQUÊnCiAS
- Conjuntos numéricos.
- Regularidades numéricas:
sequências.
- Progressões aritméticas;
progressões geométricas.
tRiGOnOMEtRiA
- Fenômenos periódicos.
- Funções trigonométricas.
- Equações e inequações.
- Adição de arcos.
GEOMEtRiA AnAlÍtiCA
- Pontos: distância, ponto médio e
alinhamento de três pontos.
- Reta: equação e estudo dos
coeficientes, problemas lineares.
- Ponto e reta: distância.
- Circunferência: equação.
- Reta e circunferência: posições
relativas.
- Cônicas: noções e aplicações.
FUnçõES
- Relação entre duas grandezas.
- Proporcionalidades: direta,
inversa, direta com o quadrado.
- Função de 1o grau.
- Função de 2o grau.
MAtRizES, dEtERMinAntES
E SiStEMAS linEARES
- Matrizes: significado como
tabelas, características e operações.
- A noção de determinante de uma
matriz quadrada.
- Resolução e discussão de sistemas
lineares: escalonamento.
EQUAçõES AlGébRiCAS E
núMEROS COMPlEXOS
- Equações polinomiais.
- Números complexos: operações e
representação geométrica.
- Teorema sobre as raízes de uma
equação polinomial.
- Relações de Girard.
FUnçõES EXPOnEnCiAl E
lOGARÍtMiCA
- Crescimento exponencial.
- Função exponencial: equações e
inequações.
- Logaritmos: definição e
propriedades.
- Função logarítmica: equações e
inequações.
AnáliSE COMbinAtÓRiA E
PRObAbilidAdE
- Raciocínio combinatório:
princípios multiplicativo e aditivo.
- Probabilidade simples.
- Casos de agrupamentos: arranjos,
combinações e permutações.
- Probabilidade da reunião e/ou da
intersecção de eventos.
- Probabilidade condicional.
- Distribuição Binomial de
probabilidades: o Triângulo de
Pascal e o Binômio de Newton.
EStUdO dAS FUnçõES
- Qualidades das funções.
- Gráficos: funções trigonométricas,
exponencial, logarítmica e
polinomiais.
- Gráficos: análise de sinal,
crescimento e taxa de variação.
- Composição: translações e
reflexões.
- Inversão.
GEOMEtRiA/
tRiGOnOMEtRiA
- Razões trigonométricas nos
triângulos retângulos.
- Polígonos regulares: inscrição,
circunscrição e pavimentação de
superfícies.
- Resolução de triângulos não
retângulos: Lei dos Senos e Lei
dos Cossenos.
GEOMEtRiA MétRiCA
ESPACiAl
- Elementos de geometria de
posição.
- Poliedros, prismas e pirâmides.
- Cilindros, cones e esferas.
EStAtÍStiCA
- Gráficos estatísticos: cálculo
e interpretação de índices
estatísticos.
- Medidas de tendência central:
média, mediana e moda.
- Medidas de dispersão: desvio
médio e desvio padrão.
- Elementos de amostragem.

2a SÉRIE

Transcrição

Documentos relacionados

tarefa 1 – matemática - 9º ano

o Volume de um prisma quadrangular recto o Volume do cubo

tridimensionalidade - pead.faced.ufrgs.br

975090-BR – Equipamento de Fuga com Capuz e Cilindro (EBA

Série Origa OSP-P Proline

Matemática

Arte Egípcia (profª Elisana)

Apresentação do PowerPoint

Resolução: Homens canhotos : 11% Mulheres canhotas: 9% Total

Cilindro montado – JCB Vibromax VMT 400