Exercícios sobre racionalização

Tópicos de Matemática Elementar:
Matemática Básica - Iniciação ao Cálculo
Exercícios sobre racionalização
1. Racionalize o denominador de cada expressão abaixo.
1
(a) √
3
√
x
(e) √
y y
2
(i) √
4
8
(m)
(q)
(b)
1
√
1+ 2
√
1+ 2
√
2−2
2. (PUC-SP) O valor
a)
b)
10
25
4
√
2
y
√
xy
2
√
4
36
2
√
(c)
3 3
2
(f)
(g) √
3
2
xy
(j)
(k) √
5
x2 y 3
√
2
2
√
(n) √
(o)
5−1
3− 2
√
√
2+ 3
1+ 2
√
√
(r)
(s)
2+ 2
1− 2
(√
√
√
√
da expressão
3+ 5+ 3− 5
c)
√
10 − 2 6
d)
√
10 + 2 6
3. Calcule o valor de cada expressão.
√
(a)
√
22
21
√
√ −√
√
22 − 21
22 − 21
(b)
√
2
(d) √
3
1
(h) √
3
4
y
(ℓ) √
3 xy
√
3
(p) √
3−2
√
1− 2
√
(t) √
3+ 2
)2
é
e)
√
6−2 5
√
√
√
√
3+2 2 2 2− 3
√
√ +√
√
3−2 2
3+2 2
RACIONALIZAÇÃO
Respostas
Em cada caso multiplicamos o numerador e o denominador por um fator racionalizante.
Caso 1: o denominador é uma raiz quadrada. Neste
caso, basta multiplicar e dividir pela própria raiz que
aparece no denominador.
1.
(a)
√
3
3
(n)
√
(b) 2 2
√
x
x
y
√ = √ · √
y
y
y
(c)
(d)
Caso 2: o denominador é uma raiz√ene-ésima. Neste
caso, se no denominador há a raiz n y m , diminuimos
m de n para compor
o expoente do fator racionali√
n n−m
y
.
zante que será
(e)
(f)
(g)
√
n n−m
x
x
y
√
√ m = √ · n
n
y
y
y n−m
(h)
(i)
Caso 3:
(j)
o denominador é uma soma (ou diferença)
envolvendo uma raiz quadrada.
Se o
√
denominador
for a − b, o fator racionalizante será
√
a+
b
(tomamos
sempre
o
conjugado).
√
√
√
√
√
x
x
(a − y)
x(a − y)
=
=
√
√ .
√
√ 2 =
2
a+ y
a + y (a − y)
a − ( y)
√
√
x(a − y)
(k)
(l)
(m)
a2 − y
1
(o)
√
2 3
9
√
6
3
√
xy
y2
(q)
(r)
√
−3 2−4
2
√
√
√
4−2 2+2 3− 6
2
√
(s) −3−2 2
√
(t) 2 + 3 −
√
√
2− 6
4
√
32
2
√
4
5+1
2
√
3 2+2
7
√
(p) −3−2 3
√
xy
x
√
3
√
2
√
4 36
2. a
3
√
5
x3 y 2
√
3 2 2
x y
x
√
2−1
3.
(a) 1
(b)
√
√
( 3+2 2)2
5
√ √ 2
(2 − 3)
5
−
+