Dízima periódica, PG e número binário

Dízima periódica, PG e número binário
por
Milton Procópio de Borba
Numa primeira lista de exercícios de Cálculo Numérico, ao estudar os erros numéricos, sugeri
converter o número decimal x = 0,515151... para a base binária.
Solução: 0,5151515...
0,030303...
0,0606061...
0,1212121...
0,2424242...
0,4848485...
0,969697...
0,9393939...
0,8787879...
0,7575758...
0,5151515...
x2=
x2=
x2=
x2=
x2=
x2=
x2=
x2=
x2=
x2=
x2=
1,030303...
0,060606...
0,121212...
0,242424...
0,484848...
0,969697...
1,939394...
1,878788...
1,757576...
1,515152...
1,030303...
Assim, no sistema binário, x = 0,100000111110000011111000001111...
Realmente, x = (2-1+2-7+2-8+2-9+2-10)+ (2-11+2-17+2-18+2-19+2-20)+ (2-21+...) + ...
Ou x = (2-1+2-7+2-8+2-9+2-10)+ 2-10(2-1+2-7+2-8+2-9+2-10 )+ 2-20 (2-1+ ... )+ 2-30 ( ) + ...
Note que todos estes parênteses são iguais.
Usando a fórmula da soma da PG finita, S =
x = (2-1 +
a1 − a n q
, com a1 = 2-7 e q = 2-1, obtemos:
1− q
2 −7 − 2 −10 2 −1
2 −7 − 2 −11
2 −6 − 2 −10
-10 -1
-20 -1
)
+
2
(2
+
)
+
2
(2
+
) + ...
1 − 2 −1
1 − 2 −1
2 − 20
Para o terceiro parêntese, multiplicamos numerador e denominador por 2, para simplificar (ficar com
denominador 1).
Agora, evidenciando os parênteses:
x = (2-1 + 2-6 – 2-10)(1 + 2-10 + 2-20 + 2-30 +... ).
Temos uma nova PG, agora infinita (an 0), cuja soma é S =
x = (2-1 + 2-6 – 2-10) (
a1
.
1− q
2 −1 + 2 −6 − 2 −10
1
)
=
1 − 2 −10
1 − 2 −10
Novamente, para simplificar (nem números muito pequenos nem muito grandes), multiplicamos
numerador e denominador por 26:
2 5 + 2 0 − 2 −4
=
x=
2 6 − 2 −4
1
1
528 − 1
33 −
527
17
16 =
16 =
16
=
=
!
1
1
1024 − 1 1023 33
64 −
64 −
16
16
16
32 + 1 −
Não é a maneira padrão nem a mais fácil para encontrar a geratriz da dízima x = 0,515151...
Se usarmos uma calculadora/computador para comprovar que realmente a divisão de 17 por 33 resulta
em x = 0,515151... ficaremos decepcionados, pois a máquina mostra x = 0,51515152.
Apelaremos para a divisão "à moda antiga", sem calculadora (para quem se lembra):
170
165
50
33
170
165
50
33
0,515151...
Sem o uso do sistema binário, podemos também encontrar a fração gerou esta dízima e então nos
convencer de que os cálculos anteriores estão certos.
Vejamos mais uma maneira de encontrá-la:
51
51
51
+ 4 + 6 + ...
100 10
10
51
1
eq=
. Sua soma é
Temos uma nova PG infinita com a1 =
100
100
51
a1
51 100 51 17
x=
= 100 =
.
=
=
!
100 99 99 33
1 − q 1− 1
100
x = 0,51+ 0,0051+ 0,000051+ ... =
Mais rápido ainda: 100x = 51,515151...
– x = 0,515151...
Somando:
99x = 51
x=
51 17
=
!
99 33