Dízima Periódica Professor Giuliano L`Abbate – www

Dízima Periódica
Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:
Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome
de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.
Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período
dessa dízima.
As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:
(período: 5)
(período: 3)
(período: 12)
São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.
Período: 2
Parte não periódica: 0
Período: 4
Período não periódica: 15
Período: 23
Parte não periódica: 1
São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não
periódica.
Observações:
Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos
portanto da parte não periódica o inteiro.
Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:
Fração geratriz
Como achar a fração geratriz de uma dízima periódica?
A fração geratriz é aquela que dá origem a uma dízima periódica.
Aqui, vamos dar dicas de como achar as frações geratrizes de dízimas periódicas simples e compostas, de
uma forma bem prática.
Dízimas periódicas simples
a) 0,2222...
Período: 2
Coloca-se o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no
denominador.
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Nesse caso, temos uma dízima simples e a parte inteira diferente de zero.
Uma estratégia é separar parte inteira e parte decimal:
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Dízimas periódicas compostas
a) 0,27777...
Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9
no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero,
também no denominador.
No caso do numerador, faz-se a seguinte conta:
(parte inteira com antiperíodo e período) - (parte inteira com antiperíodo)
Assim:
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b) 1,64444...
c) 21,308888... (o período tem 1 algarismo e o antiperíodo tem 2 algarismos)
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d) 2,4732121212... (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo tem 3 algarismos)
Por que dá certo?
Veja a explicação na forma como geralmente se aprende a achar a fração geratriz na escola:
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Chama-se a fração geratriz de x:
Para achar o valor de x, encontram-se múltiplos dele com apenas o período na parte decimal
E subtraem-se as duas igualdades
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Assim, cria-se uma equação e elimina-se a parte infinita dos números envolvidos, achando-se a fração
geratriz.
Note que, no método mais prático, a conta sugerida é a mesma que aparece na equação: 164 - 16, e o
denominador fica exatamente com os mesmos algarismos.
No caso do exemplo D, deve-se multiplicar x por números ainda maiores, para se achar a mesma parte
decimal nos dois números a serem subtraídos:
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