Nuno Marreiros 8º ANO Dízimas infinitas periódicas

14-11-2014
8º ANO
DÍZIMAS FINITAS E INFINITAS PERIÓDICAS
Dízimas infinitas periódicas
Nuno Marreiros
Recorda … Fração própria e fração imprópria
Frações próprias
Uma fração diz-se própria quando o numerador da fração é menor
do que o denominador, isto é, quando representa um valor maior
que zero e menor que um.
Exemplos:
Frações impróprias
A fração que não é própria é denominada imprópria. As frações
impróprias representam valores maiores que 1 ou o zero ou o
inteiro.
Exemplos:
1
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Dízimas finitas versus dízimas infinitas periódicas
Considera as seguintes frações:
Indica se representam dízimas finitas ou infinitas periódicas:
Dízimas finitas (frações decimais):
Dízimas infinitas:
Uma aplicação do algoritmo da divisão
Considera o seguinte número racional
O algoritmo da divisão permite representar um número que está
escrito sob a forma de fração, na forma de dízima.
Se aplicarmos o algoritmo da divisão a esta fração, ao fim de
algumas repetições do algoritmo obtemos o primeiro resto parcial
repetido, neste caso 110.
2
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Uma aplicação do algoritmo da divisão
Assim sendo a fração dada é representada na forma de dízima da
seguinte forma:
Uma vez que a sequência é 384615, a partir de dado momento se
repete, então diz-se que é uma dízima infinita periódica e
representa-se da seguinte forma:
Uma aplicação do algoritmo da divisão
À sequência de algarismos que se repete chamamos período da
dízima e dizemos que tem comprimento 6.
Generalizando:
3
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Dízimas infinitas periódicas
Exemplos:
Curiosidade …
Uma dízima infinita periódica é representada pela fração
irredutível
.
Qual é o número máximo de algarismos que constituem o período
dessa dízima (comprimento do período)?
Se pensarmos nos restos possíveis que podemos obter ao efetuar a divisão
inteira de a por b podemos concluir que esses restos são sempre menores que b.
Temos então b -1 restos diferentes.
4
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Curiosidade …
Pensemos na fração
.
Efetuando a divisão, usando o seu algoritmo tem-se:
Obtivemos os restos: 9, 12, 3, 4, 1, 10 até que se repetiu o resto 9, isto quer dizer
que o período da dízima tem exatamente 6 algarismos. O número de algarismos
do período é igual ao número de restos diferentes que se obtêm.
Então o número máximo de algarismos do período de uma dízima infinita
periódica é o número de restos possíveis, ou seja, b -1.
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Exercícios
17.
18.
19.
20.
Vai mais além …
21.
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