Das Noether-Theorem
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Das Noether-Theorem
Das Noether-Theorem Ausarbeitung zum Vortrag von Michael Hagemann am 20.12.2012 im Rahmen des Proseminars Gruppentheorie in der Quantenmechanik von Prof. Dr. Jan Louis und Dr. Robert Richter an der Universität Hamburg im Wintersemester 2012/2013 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 2. Eigenschaften kontinuierlicher Symmetriegruppen 3. Herleitung des Noether-Theorems 4. Zusammenfassung 5. Quellenverzeichnis 1. Einleitung Im heutigen Vortrag soll aus den bisherigen Betrachtungen über kontinuierliche Symmetriegruppen das Noether-Theorem hergeleitet werden. Das NoetherTheorem (formuliert 1918 von Emmy Noether) in seiner klassischen Form lautet: Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße. So folgt aus der Invarianz eines physikalischen Systems unter Zeitverschiebung die Energieerhaltung, sowie aus der Translations-Invarianz die Impulserhaltung und aus der Rotations-Invarianz die Drehimpulserhaltung. Bei der Herleitung des Noether-Theorems wird eine kontinuierliche Symmetriegruppe G eines physikalischen Systems betrachtet. Bei einer solchen Gruppe ist entweder ganz G oder zumindest ein Teil davon kontinuierlich mit dem neutralen Element der Gruppe verbunden. Die nachfolgenden Ausführungen beziehen sich alle auf diesen Teil von G, der eine normale Untergruppe bildet. Aus den bisherigen Vorträgen lassen sich für den kontinuierlich mit dem neutralen Element verbundenen Teil von G fünf Aussagen zusammentragen, aus denen sich dann das Noether-Theorem ableiten lässt. Zunächst erfolgt die Auflistung dieser Eigenschaften. 2. Eigenschaften kontinuierlicher Symmetriegruppen I. II. Nach dem Wigner-Theorem existiert für die gegebene Gruppe G mit den Elementen g (α1,…,αr) eine unitäre Darstellung U (α1,…,αr). Die Darstellung einer Gruppe, die kontinuierlich mit dem neutralen Element verbunden ist, kann nicht anti-unitär sein. Bei den folgenden Aussagen wählt man die α als kanonische Parameter. Mit der Schreibweise (α1,…,αr) ≡ α ≡ α · nα für fixiertes nα und variables α erhält man eine aus einem Parameter bestehende Abelsche Untergruppe. Als weitere Schreibweise führt man nα = (0,0,…,0,1,0,…,0) ≡ ni ein, mit einer 1 an der i-ten Stelle und 0 sonst. Die kanonischen Parameter α werden so gewählt, dass die Gruppenelemente g (α1,…,αr) die folgende Eigenschaft haben: g (0,0,…,0) = 1 . Auch die folgenden Eigenschaften III. und IV. folgen aus der Wahl kanonischer Parameter. III. Für kontinuierliche Gruppen mit den Elementen g (α1,…,αr) und einer unitären Darstellung U (α1,…,αr) existiert ein Satz von Matrizen nach der folgenden Definition: o gi = ∂ g (0,0,...,0) ∂α i ∂ U (0,0,...,0) ∂α i o Ui = , . o Die g i spannen einen linearen Vektorraum der Dimension r auf. Dieser wird zu einem Ring wenn man als Produkt zweier Elemente des Vektorraums den Kommutator definiert: o o o o o o g , h = g h − h g . o Dieser Ring ist die Lie-Algebra G (oder auch Lie-Ring) der Gruppe G. o o Die Basis von G ist gegeben durch die g i . IV. In der Nähe des neutralen Elements lassen sich die Elemente der Gruppe G schreiben als o r g (α1 ,..., α r ) = exp ∑ α k g k k =1 und die unitären Darstellungen der Gruppenelemente als o r U (α1 ,..., α r ) ≡ exp ∑ α k U k k =1 V. . Der Hamiltonoperator und der Streuoperator (die S-Matrix) sind gleichbleibend bei Transformationen der Symmetriegruppe. 3. Herleitung des Noether-Theorems Nun kann man mithilfe der eben aufgelisteten Eigenschaften das NoetherTheorem herleiten. Mit I.,III. und IV. lässt sich die unitäre Darstellung des betrachteten Teils von G in der Nähe des neutralen Elements schreiben als U (α1 ,..., α r ) = exp ∑α k U k o . Dann wählt man im Raum der kanonischen Parameter die Richtung nk = (0,…,0,1,0,…,0) und erhält nach II. die Abelsche Untergruppe o U (α ) = exp α U k . Nun lässt sich noch sinnvoll eine weitere Überlegung einführen. Man bevorzugt im Allgemeinen hermitesche Operatoren, da man den intuitiven Umgang mit o diesen gewöhnt ist aus der Quantenmechanik. Die Operatoren U k sind jedoch antihermitesch, was sich wie folgt zeigen lässt: Für α → 0 kann man die Exponentialdarstellung der unitären Matrizen in eine Reihe entwickeln und diese nach dem linearen Term abbrechen: o U (α ) = 1 + α U k . Diese Entwicklung ist nur zulässig für eine Gruppe, die kontinuierlich mit dem neutralen Element verbunden ist und dementsprechend eine unitäre und keine anti-unitäre Darstellung besitzt. Eingesetzt in U (α ) U + (α ) = 1 erhält man: + o o o o o o + + U (α ) U + (α ) = 1 + α U k 1 + α U k = 1 + α U k + α U k + O(α ²) ≈ 1 + α U k + α U k = 1 ⇒ o o U k = −U k + q.e.d . o . . o o Daraus folgend lassen sich mittels Bk = − i U k hermitesche Operatoren Bk definieren. Damit lauten die unitären Darstellungen der Gruppenelemente o U (α ) = exp i α Bk o mit der Reihendarstellung U (α ) = 1 + iα B k . Nun lässt sich V. auch schreiben als H ′ = U (α ) H U −1 (α ) = H . Einsetzen der Reihendarstellung liefert o H ′ = U (α ) H U −1 (α ) ≈ 1 + iα Bk H o 1 − i α B k o o o = H + iα Bk H − iαH Bk + O(α 2 ) ≈ H − iα H , Bk = H , Damit ergibt sich: o H , B k = 0 . o S , B k = 0 Auf demselben Wege erhält man: . o Da der hermitesche Operator Bk mit dem Hamiltonoperator kommutiert, ist er eine Erhaltungsgröße und somit eine Observable. Dasselbe gilt für alle anderen o Bi , i = 1,…,r. o Diese Aussagen kann man nun auf alle Elemente der Lie-Algebra von B o o erweitern. Da sich die Algebra von U und B nur um einen Faktor i o unterscheiden, betrachtet man hier einfach die B . Nun lässt sich jedes Element dieser Lie-Algebra schreiben als o o α B = ∑α k B k = α ∑ k k = α B (nα ) α o B (α) . Somit können also die obigen Betrachtungen für jede beliebe Richtung nα im o Raum der kanonischen Paramater wiederholt werden. Damit sind die B (nα ) und o die α ⋅ B (nα ) und somit alle Elemente der Lie-Algebra sowohl Observablen als auch Erhaltungsgrößen. o Die Bk (k = 1,…,r) spannen jedoch schon die gesamte Lie-Algebra auf. Um jetzt zu ermitteln, wie die Kommutator-Relationen der gefundenen Erhaltungsgrößen aussehen, genügt es also, diese Basis zu betrachten. o Die Bk kommutieren nicht alle miteinander. Tatsächlich ist es so, dass die gesamte Struktur der lokalen Gruppe und ihrer Lie-Algebra gegeben ist durch o die Kommutator-Relationen der Bk : o o Bi , Bk = r o ∑ Cikl Bl . l =1 Die Cikl bezeichnet man als Struktur-Konstanten. Wenn man nun einen Satz {B1,…,Bm} von kommutierenden Operatoren aus der Lie-Algebra betrachtet, dann kommutieren die Operatoren untereinander und mit dem Hamiltonoperator. Die zugehörigen quantenmechanischen Zustände bezeichnet man mit den Quantenzahlen b1,…,bm. So ein Satz kommutierender Operatoren ist aber wahrscheinlich nicht geeignet, einen realen Quantenzustand zu beschreiben. Dies kann jedoch möglich sein für bestimmte Funktionen o o o o F B1 ,..., Br des Satzes B1 ,..., Br . 4. Zusammenfassung Nach den obigen Ausführungen kann nun das Noether-Theorem vom gruppentheoretischen Standpunkt aus formuliert werden: o o Die Erzeuger B1 ,..., Br einer Symmetriegruppe (die kontinuierlich mit dem neutralen Element verbunden ist) sind Erhaltungsgrößen und Observablen, deren Kommutator-Relationen nur von der Struktur der Gruppe abhängen. Diese Aussage gilt Bewegungsgleichungen auch eines insbesondere dann, wenn physikalischen Systems im man die Hamilton- o Formalismus schreiben kann und zusätzlich gilt: H , B = 0 . 5. Quellenverzeichnis [1] M. Chainchian, R. Hagedorn. Symmetries in Quantum Mechanics. IOP Publishing Ltd 1998. [2] H. F. Jones. Groups, Representations and Physics. Taylor & Francis Group, 2.edition, 1998.