P3.6.3.1 - LD Didactic

LD
Handblätter
Physik
Elektrizitätslehre
Gleich- und Wechselstromkreise
Wechselstromwiderstände
P3.6.3.1
Bestimmung des
Wechselstromwiderstandes in
Stromkreisen mit Kondensatoren
und ohmschen Widerständen
Versuchsziele
g Bestimmung des Gesamtwiderstandes und der Phasenverschiebung bei Reihenschaltung von Kondensator und
Widerstand.
g Bestimmung des Gesamtwiderstandes und der Phasenverschiebung bei Parallelschaltung von Kondensator und
Widerstand.
Grundlagen
UR = R ⋅ I0 ⋅ cos ( ω⋅ t + ϕS )
Liegt an einem Kondensator mit der Kapazität C eine Wechselspannung
U = U0 ⋅ cos ( ω⋅ t ) mit ω = 2π ⋅ f
und am Kondensator die Spannung
(I)
π

UC = X C ⋅ I0 ⋅ cos  ω⋅ t + ϕS − 
2

an, so fließt der Strom
π

I = U0 ⋅ ω⋅ C ⋅ cos  ω⋅ t + 
2

(VI)
ab. Die Summe dieser beiden Spannungen ist
(II)
US = R 2 + X C2 ⋅ I0 ⋅ cos ( ω⋅ t )
durch den Kondensator. Man weist daher dem Kondensator
einen kapazitiven Wechselstromwiderstand
wenn ϕS die Bedingung
1
XC =
ω⋅ C
tan ϕS =
(III)
zu und sagt, dass der Strom gegenüber der Spannung um
90° phasenverschoben sei (siehe Fig. 1). Die Phasenverschiebung wird häufig in einem Zeigerdiagramm dargestellt.
XC
R
(VII)
(VIII)
erfüllt. US stimmt mit der angelegten Spannung U überein,
folglich ist
U0 = R 2 + X C2 ⋅ I0
Reihenschaltung
Ist der Kondensator in Reihe mit einem ohmschen Widerstand geschaltet, so fließt durch beide der gleiche Strom.
Dieser lässt sich in der Form
I = I0 ⋅ cos ( ω⋅ t + ϕS )
(V)
(IX),
d.h. der Reihenschaltung aus ohmschem Widerstand und
Kondensator lässt sich der Wechselstromwiderstand
(IV)
darstellen, wobei ϕS zunächst noch unbekannt ist. Am ohmschen Widerstand fällt demnach die Spannung
0214-Sel
Fig. 1
1
Wechselstromkreis mit einem Kondensator (Schaltbild, Zeigerdiagramm und U(t),I(t)-Diagramm)
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Die Summe der beiden Ströme ist
Geräte
1 Rastersteckplatte, DIN A4
1 STE Widerstand 1 Ω, 2 W
1 STE Widerstand 100 Ω, 2 W
1 STE Kondensator 0,1 µF, 100 V
1 STE Kondensator 1 µF, 100 V
1 STE Kondensator 10 µF, 100 V
576 74
577 19
577 32
578 31
578 15
578 12
1 Funktionsgenerator S 12
522 621
1 Zweikanal-Oszilloskop 303
2 Messkabel BNC/4 mm
575 211
575 24
IP =
1
R2
+
1
X C2
⋅ U0 ⋅ cos ( ω⋅ t + ϕP )
(XIII)
mit
tanϕP =
R
XC
(XIV).
Sie entspricht dem gesamten der Spannungsquelle entnommenen Strom. Also lässt sich der Parallelschaltung aus ohmschem Widerstand und Kondensator ein Wechselstromwiderstand ZP zuweisen, für den die Beziehung
Experimentierkabel
1
1
1
=
+
2
ZP
R
X C2
(XV).
gilt. Der Strom ist in dieser Anordnung um ϕP gegenüber der
Spannung phasenverschoben (siehe Fig. 3).
ZS = R 2 + X C2
(X)
Im Versuch werden der Strom I(t) und die Spannung U(t) in
einem Wechselstromkreis als zeitabhängige Größen mit
einem Zweikanal-Oszilloskop gemessen. Ein Funktionsgenerator dient als Spannungsquelle mit variabler Amplitude U0
und variabler Frequenz f. Aus den gemessenen Größen wird
der Betrag des Gesamtwiderstandes Z und die Phasenverschiebung ϕ zwischen Strom und Spannung bestimmt.
zuweisen. Der Strom ist in dieser Anordnung um ϕS gegenüber der Spannung phasenverschoben (siehe Fig. 2).
Parallelschaltung
Ist der Kondensator parallel zum ohmschen Widerstand geschaltet, liegt an beiden die gleiche Spannung. Sie hat z.B.
die in (I) angegebene Form. Durch den ohmschen Widerstand fließt jetzt der Strom
IR =
U0
⋅ cos ( ω⋅ t )
R
(XI)
und durch den Kondensator der Strom
IC =
U0
π

⋅ cos  ω⋅ t + 
XC
2


Fig. 2
Wechselstromkreis mit Kondensator und ohmschem Widerstand in Reihenschaltung (Schaltbild, Zeigerdiagramm und
U(t),I(t)-Diagramm)
Fig. 3
Wechselstromkreis mit Kondensator und ohmschem Widerstand in Parallelschaltung (Schaltbild, Zeigerdiagramm und
U(t),I(t)-Diagramm)
(XII)
2
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Aufbau
Durchführung
Der Versuchsaufbau ist in Fig. 4 dargestellt.
–
Funktionsgenerator als Wechselspannungsquelle
schließen und Kurvenform
einstellen.
–
Kanal I des Oszilloskops mit Ausgang des Funktionsgenerators verbinden und in Kanal II den Spannungsabfall am
Messwiderstand einspeisen.
–
Am Oszilloskop Taste DUAL drücken und Kopplung sowie
Trigger auf AC stellen.
Fig. 4
–
10-µF-Kondensator als Kapazität C in Reihe zum 100-ΩWiderstand einsetzen.
–
Funktionsgenerator durch Anschluss des Steckernetzgerätes einschalten und Frequenz 2000 Hz (T = 0,5 ms) einstellen.
–
Hierzu passende Zeitablenkung am Oszilloskop wählen.
–
Amplitude des Ausgangssignals auf 5 V einstellen.
–
Im Kanal II des Oszilloskops Amplitude des Signals ableU
sen und als Strom I0 = m in die Tabelle eintragen.
1Ω
–
Zeitabstand ∆t der Nulldurchgänge der beiden Signale
ablesen.
–
10-µF-Kondensator parallel zum 100-Ω-Widerstand einsetzen.
–
Messung wiederholen.
–
Messungen mit 1-µF-Kondensator und 0,1-µF-Kondensator wiederholen.
–
Weitere Frequenzen gemäß Tab. 1 einstellen und Messungen wiederholen.
an-
Versuchsaufbau zur Bestimmung des Wechselstromwiderstandes in Stromkreisen mit Kondensatoren und ohmschen
Widerständen in Reihenschaltung (oben), in Parallelschaltung (unten)
Messbeispiel
U0 = 5,0 V, Rm = 1 Ω, R = 100 Ω
Tab. 1: Messdaten zu Frequenz f, Schwingungsdauer T,
Kapazität C, Zeitabstand ∆t und Stromamplitude I0
Reihen
schaltung
f
Hz
2000
1000
3
T
ms
0,5
1
500
2
200
5
100
10
50
20
Parallelschaltung
C
µF
I0
mA
∆t
ms
I0
mA
∆t
ms
10
48
0,01
620
0,11
1
38
0,06
82,5
0,07
0,1
6
0,12
50
0,01
10
48
0,03
330
0,21
1
27
0,16
58
0,09
0,1
3,5
0,23
48
0,01
10
46
0,10
170
0,38
1
15
0,4
51
0,11
10
40
0,55
80
0,70
1
6
1,1
48
0,10
10
26
1,6
60
0,90
1
3,5
2,4
50
0,10
10
15
3,8
52
1,0
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Auswertung
Die Messdaten der Tab. 1 werden wie folgt ausgewertet:
Aus dem Zeitabstand ∆t zwischen Spannung und Strom und
der Schwingungsdauer T berechnet man die Phasenverschiebung ϕ gemäß
ϕ = 360 ⋅
∆t
T
und aus den Amplituden U0 und I0 den Betrag des Gesamtwiderstandes gemäß
Z =
U0
I0
Die Ergebnisse sind in Tab. 2 eingetragen. Dort ist auch der
gemäß (III) berechnete kapazitive Widerstand der jeweils
eingesetzten Kondensatoren angegeben.
Für die Reihenschaltung ist in Fig. 5 der Wechselstromwiderstand ZS und in Fig. 6 die Phasenverschiebung ϕS zwischen
Strom und Spannung in Abhängigkeit vom kapazitiven Widerstand XC dargestellt. Die durchgezogenen Kurven wurden
nach Gl. (X) bzw. nach Gl. (VIII) berechnet.
Fig. 5
Gesamtwiderstand ZS der Reihenschaltung eines Kondensators mit einem 100-Ω-Widerstand als Funktion des kapazitiven Wechselstromwiderstandes XC
Fig. 6
Phasenverschiebung ϕS zwischen Strom und Spannung für
die Reihenschaltung eines Kondensators mit einem 100-ΩWiderstand als Funktion des kapazitiven Wechselstromwiderstandes XC
Die entsprechenden Darstellungen für die Parallelschaltung
zeigen Fig. 6 und 7. Hier ergeben sich die durchgezogenen
Kurven aus den Gln. (XIV) und (XV).
Tab. 2: Aus den Messdaten berechnete Werte für den Gesamtwiderstand Z und die Phasenverschiebung ϕ zwischen
Strom und Spannung
f
Hz
2000
1000
500
200
100
50
Reihen
schaltung
Parallelschaltung
C
µF
XC
Ω
Z
Ω
ϕ
Z
Ω
ϕ
10
8,0
104
7°
8,1
79°
1
80
132
40°
61
50°
0,1
800
830
86°
100
7°
10
16,0
104
11°
15,2
76°
1
160
185
58°
86
32°
0,1
1600
1430
83°
104
4°
10
32
109
18°
29
68°
1
320
330
72°
98
20°
10
80
125
40°
63
50°
1
800
830
79°
104
7°
10
160
192
58°
83
32°
1
1600
1430
86°
100
4°
10
320
330
68°
95
18°
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Zusatzinformation
Mathematisch eleganter ist die Beschreibung der Reihenbzw. Parallelschaltung aus ohmschem und kapazitivem Widerstand mit komplexen Größen:
Liegt eine Spannung
U = U0 ⋅ ei⋅ω⋅t
an einem Kondensator, so hat dieser den kapazitiven Widerstand
XC =
1
.
i ⋅ ω⋅ C
Der Widerstand ZS einer Reihenschaltung aus ohmschen
Widerstand R und kapazitivem Widerstand ist dann
ZS = R +
1
.
i ⋅ ω⋅ C
Bei einer Parallelschaltung gilt für den Gesamtwiderstand ZP
Fig. 7
Gesamtwiderstand ZP der Parallelschaltung eines Kondensators mit einem 100-Ω-Widerstand als Funktion des kapazitiven Wechselstromwiderstandes XC
Fig. 8
Phasenverschiebung ϕP zwischen Strom und Spannung für
die Parallelschaltung eines Kondensators mit einem 100-ΩWiderstand als Funktion des kapazitiven Wechselstromwiderstandes XC
1
1
= + i ⋅ ω⋅ C .
ZP R
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