Zoom Draw - TI - Deutschland Unterrichtsmaterialien

Transcrição

XY
F2
Zoom
F6
Draw
Vorwort
Liebe Kolleginnen, liebe Kollegen:
Dieses Buch ist in einem Schulversuch des Landes Niedersachsen extra zu dem Zweck entwickelt worden,
um mit dem Taschencomputer (TC) ein durchgängiges Konzept für einen effektiven Unterricht zu haben.
Neben neu entwickelten Aufgaben wurden auch Aufgaben aus Lehrbüchern ausgewählt, die speziell für
einen Unterricht mit dem Einsatz eines TC geeignet sind.
Im Schulversuch konnte gezeigt werden, dass ein Unterricht mit diesem Aufgabenmaterial und dem
Einsatz eines Taschencomputers einen Mehrwert an mathematischer Kompetenz erbringen bzw.
M E R O
diese wesentlich unterstützen kann. Es konnte auch gezeigt werden, dass durch den Einsatz des
Taschencomputers die Kommunikation der Schülerinnen und Schüler unterstützt und eine Vorgehens-
reflexion gefördert wurde. Von großer Bedeutung für eine erfolgreiche Arbeit mit einem Taschencomputer ist ein ganzheitliches Unterrichtskonzept, in dem darauf geachtet wird, dass neben offenen,
kreativitätsfördernden Aufgaben mit Rechnerunterstützung
ra im Mathematikunterricht
ohne Rechner gefördert und eingefordert wird.
Rechnen, Grundkönnen
Organisieren
immer wieder auch mathematisches
Um den Schülerinnen und Schülern mehr Verantwortung für ihr eigenes Lernen zu übertragen, ist es
sinnvoll, ihnen Gelegenheit zur Selbsteinschätzung vor einer bewerteten Leistungskontrolle zu geben. Mit
den "Ich kann..."-Fragen werden die zum jeweiligen Thema wichtigsten inhaltlich gebundenen Fähigkeiten
und Fertigkeiten der jeweiligen Unterrichtseinheit beschrieben.
Die Aufgabensammlungen
für die einzelnen Unterrichtseinheiten sind so zusammengestellt, dass sie
IDAKTISCHE
HANDREICHUNG
die in den Bildungsstandards geforderten Kompetenzen unterstützen und fördern. Zu dem Themen-
BAND 4heft für Schülerinnen und Schüler gibt es entsprechend entwickelte Handreichungen für Sie.
Dieses vierte Themenheft hat vier Kapitel.
1. Terme und Termumformungen 2
2. Reelle Zahlen
den Themen:
3. Satz von Pythagoras
4. Kopfübungen - Basiswissen
Anknüpfend an die Vorkenntnisse der Schülerinnen und Schüler wird die Multiplikation von Summen
erarbeitet. Hier geht
Termumformungen
2 es zunächst um eine Flächenteilung und unterschiedliche Berechnungsweisen. Der sich
daraus ergebende mathematische Gehalt liefert eine Möglichkeit, Produkte von Summen zu berechnen.
Dieses wird anschließend geübt und durch eine neue Sichtweise vertieft. In den weiteren Stunden wird das
eelle Zahlen
Distributivgesetz geübt und die Rechnerbefehle "expand" und "factor" erneut verwendet, um Entdeckungen
zu machen.
Mithilfe von Veränderungen quadratischer Flächen werden die binomischen Formeln als Spezialfälle für das
von Pythagoras
Ausmultiplizieren von Summen eingeführt. Im Folgenden wird auf geometrische Veranschaulichungen und
vielfältiges Üben besonderer Wert gelegt. Dabei kann der Unterrichtende aus der Vielzahl der Materialien
eine Auswahl treffen. Der TC kommt beim Vergleichen komplexerer Terme, in denen die binomischen
Formeln eine Rolle spielen, und bei der Erweiterung auf höhere Potenzen (Pascalsches Dreieck) zum
Tragen.
Die Sicht auf Terme, wie sie in den zurückliegenden Stunden beispielsweise zur Berechnung von
Flächeninhalten entwickelt wurde, wird im Folgenden erweitert, indem Terme als Funktionsterme aufgefasst
werden, die eine Zuordnung von einzugebenden auf auszugebende Werte leisten. Dabei wird besonders die
Möglichkeit des Rechners genutzt, die Entwicklung des funktionalen Denkens zu fördern.
Wie Termmauern zum unterschiedlichen Kompetenzerwerb bei Schülerinnen und Schülern beitragen
können, wird durch kleine Variationen der Aufgaben angesprochen. Zudem gelingt eine Differenzierung im
Hinblick auf den Schwierigkeitsgrad der Aufgaben.
Die Einführung der Quadratwurzel erfolgt an einem anwendungsbezogenen Beispiel. Dabei wird das HeronVerfahren angebahnt. Es soll die Frage untersucht werden, wie man ohne eine Quadratwurzeltaste Wurzeln
berechnen kann. Dabei steht das Heron-Verfahren als Rechner-Algorithmus im Mittelpunkt, aber auch das
Intervallhalbierungsverfahren wird thematisiert. Mit dem Heron-Verfahren lernen die Schülerinnen und
Schüler die Technik der Iteration kennen. Die Umsetzung der Iteration auf dem TC erfolgt in einfacher Weise
im -Bildschirm. Die Irrationalität wird altersgemäß betrachtet und ein Bewusstsein für das Vorliegen von
"neuartigen" Zahlen geschaffen. Damit wird der bisherige Zahlenbereich erweitert. Die Tiefe der Bearbeitung
sollte an die Lerngruppe angepasst werden Die Schülerinnen und Schüler entdecken, wie man mit Wurzeln
rechnet. Dazu lernen sie Regeln kennen und formen Terme um, die Wurzeln enthalten.
Über die Frage nach der Diagonalenlänge im Rechteck wird mit einer Zerlegungsfigur eine Formel
("Diagonalenformel") begründet, die bekanntermaßen den Satz von Pythagoras impliziert. Die Anwendung
der Formel wird variationsreich an Flächen- und Raumfiguren geübt. Als Arbeitsform bietet sich eine
Wochenplanarbeit an.
Die Umkehrung des Satzes wird empirisch über dynamisches Experimentieren mit der Pythagorasfigur
erschlossen und im Kontext der Überprüfung von Rechtwinkligkeit und der Suche nach pythagoreischen
Zahlentripeln verwendet. Das Aufgabenmaterial stellt vielfältige Vernetzungen zu anderen Themen und
Fertigkeiten her. Es sollen auch historische Bezüge vorgestellt werden.
Den Abschluss bilden einige sogenannte Kopfaufgaben und Aufgaben zum Basiswissen.
Vermischte Kopfübungen sind eine rituelle Lerngelegenheit für das Wachhalten von mathematischem
Grundwissen aus früheren Themen und Klassenstufen. Sie enthalten jeweils Grundaufgaben bzw. deren
Umkehrungen zu verschiedenen nicht zum aktuellen Stoff gehörenden Begriffen, Verfahren oder
Zusammenhängen, die dauerhaft verfügbar sein sollen. Sie sind Teil einer Selbsteinschätzung der
Lernenden mit dem Ziel, Aktivitäten zum Füllen individueller Lücken anzuregen.
In jedem Unterrichtsbaustein lernen die Schülerinnen und Schüler wichtige mathematische Begriffe,
Zusammenhänge und Verfahren sowie deren typische Anwendungen kennen. Diese Lerninhalte sind auch
für erfolgreiches Weiterlernen von zentraler Bedeutung. Wir nennen solche Lerninhalte kurz Basiswissen.
In diesem Teil finden Sie Aufgaben, die alle wichtigen Basiskompetenzen der vergangenen Jahre aus den
Bereichen Zahl, Messen, Raum und Form, Funktionale Zusammenhänge sowie Daten und Zufall
wiederholen. Hier finden Sie einfache Aufgaben, für den Fall, dass die Schülerinnen und Schülern wenig
Erinnerung haben, aber auch komplexere Aufgaben, um zu testen, wie viel noch gekonnt wird. Die Aufgaben
aus diesem Teil helfen durch regelmäßige eigenständige Arbeit die Wissenslücken wieder zu schließen, die
Schülerinnen und Schüler erinnern sich an mathematische Kenntnisse und mobilisieren ihre Fertigkeiten
sowie Fähigkeiten. Langfristig kann sich so eine hohe mathematische Kompetenz entwickeln und ein gutes
Basiswissen entwickeln. Diese Aufgaben zum Basiswissen sind so gestaltet worden, dass sie gleichzeitig
eine Vorbereitung auf das nächste Kapitel sind.
Die Autoren dieses Themenheftes wünschen Ihnen mit dem Taschencomputer und den Arbeitsmaterialien
im Verbund mit den Handreichungen viel Erfolg!
Bergkirchen im Januar 2009
I N H A L T S V E R Z E I C H N I S
Terme und Termumformungen 2
Seite
Unterrichtsverlauf .....................................................................................................................
8
Mind Map ..................................................................................................................................
8
Kompetenzen ...........................................................................................................................
9
Hinweise zu rechnerspezifischen und rechnerfreien Fertigkeiten ............................................
11
1.
Produkte von Summen .............................................................................................................
13
1.1.
Geometrische Betrachtung
1.2.
Rechteckdiagramme
1.3.
Übungen ohne Taschencomputer
1.4.
"expand" und "factor"
1.5.
Übungen
2.
Binomische Formeln ................................................................................................................... 17
2.1.
Einführung
2.2.
Faktorisieren
2.3.
Geometrische Betrachtung
2.4.
Ausblicke
2.5.
Übungen
3.
Funktionale Zusammenhänge .................................................................................................... 22
4.
Wissensspeicher ......................................................................................................................
29
5.
Selbsteinschätzung ..................................................................................................................
30
6.
Rechnerfreie Aufgaben ............................................................................................................
31
7.
Klassenarbeitsaufgaben ...........................................................................................................
32
Reelle Zahlen
Unterrichtsverlauf .....................................................................................................................
Seite
36
Mind Map ..................................................................................................................................
36
Kompetenzen ...........................................................................................................................
37
Hinweise zu rechnerspezifischen und rechnerfreien Fertigkeiten.............................................
39
1.
Einführung der Quadratwurzel ................................................................................................... 40
2.
Näherungsverfahren ................................................................................................................... 43
3.
Irrationalität ................................................................................................................................. 47
4.
Rechnen mit Quadratwurzeln ..................................................................................................... 48
5.
49
6.
51
7.
52
8.
53
Satz von Pythagoras
Seite
Unterrichtsverlauf ..................................................................................................................... 56
Mind Map ..................................................................................................................................
56
Kompetenzen ...........................................................................................................................
57
Hinweise zu rechnerspezifischen und rechnerfreien Fertigkeiten ............................................
59
1.
Erarbeitung des Satzes von Pythagoras .................................................................................... 61
2.
Anwendungen des Satzes von Pythagoras ............................................................................... 63
3.
Umkehrung des Satzes von Pythagoras .................................................................................... 64
4.
74
5.
75
6.
76
7.
77
Training
Kopfübungen ............................................................................................................................
79
Basiswissen ..............................................................................................................................
85
Fertigkeiten
Entdeckungen an Dreiecken und Vierecken
Hinweise zu rechnerspezifischen und rechnerfreien Fertigkeiten
In dieser Einheit lernen die Schülerinnen und Schüler das Geometrie-Werkzeug Cabri Geometry des TC
kennen. Dieses Werkzeug soll jedoch auf die Anwendung bei dynamischen Konstruktionen beschränkt
C A l i M E R O
bleiben. Eher statische Konstruktionen werden rechnerfrei mit „Bleistift und Papier“ durchgeführt.
Rechnerfreie Fertigkeiten
Diese Fertigkeiten sollen in der Klassenarbeit oder in Kurztests nachgewiesen beziehungsweise abgeprüft
Computer-Algebra im Mathematikunterricht
Rechnen, Organisieren
werden (siehe Kapitel 19). Folgende rechnerfreie Fertigkeiten erscheinen uns relevant:
Die Schülerinnen und SchülerEntdecken,
sollen:
1. Streckenlängen und Winkelgrößen nach Angaben abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
zeichnen. Umgekehrt Streckenlängen, Winkelgrößen und Kreisradien messen.
2. Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende mit Geodreieck zeichnen.
3. Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende als Ortslinie begreifen.
4. Konstruktionen von Dreiecken und Vierecken nach Angaben durchführen.
5. Konstruktionsbeschreibungen anfertigen.
DGS-Fertigkeiten
Im Umgang mit der DGS (Cabri Geometry) sollen die Schüler am Ende der Einheit über folgende
Fertigkeiten verfügen:
zeichnen.
2. Die Befehle Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende in Konstruktionen verwenden.
3. Dateien (elektronische Arbeitsblätter) in den TC laden und aufrufen.
4. Beim Konstruieren die Punkttypen unterscheiden: freier Punkt, Punkt an Objekt binden und Schnittpunkt
zweier Objekte.
5. Im Zugmodus Figuren verändern.
6. Beim eigenen Konstruieren auf die Zugfestigkeit der Objekte achten.
7. Im Spurmodus die Spur eines Punktes aufzeichnen.
L e h r e r m a t e r i a l i e n
© T ³ Deutschland
© T Deutschland
7
13
Mind Map
Fertigkeiten
Überblick über den Unterrichtsverlauf
Stunde
Seite
1–3
Produkte von Summen
13
4 – 10
Binomische Formeln
17
11 – 13
Funktionale Zusammenhänge
22
Diese
Fertigkeiten
sollen in der Klassenarbeit oder in Kurztests nachgewiesen beziehungsweise abgeprüft
Mind Map
mit Inhalten
Die Schülerinnen und Schüler sollen:
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
8
© T Deutschland
© T ³ Deutschland
13
9
erfassen und beschreiben teilen ihre Überlegungen
Zuordnungen mit Variablen anderen verständlich mit,
und Termen
wobei sie zunehmend die
Fachsprache benutzen
können überschaubare
Terme mit Variablen
präsentieren Lösungszusammenfassen,
ansätze und Lösungsausmultiplizieren und
wege, auch unter
ausklammern, um
Verwendung geeigneter
Medien
mathematische Probleme
zu lösen
verstehen Überlegungen
von anderen zu
nutzen die Probe zur
mathematischen Inhalten,
Überprüfung von
überprüfen diese auf
Ergebnissen
Schlüssigkeit und gehen
darauf ein
nutzen den eingeführten
Taschenrechner zur
organisieren die Arbeit im
Kontrolle
Team selbstständig
Taschenrechner zur
Darstellung und
Erkundung
mathematischer
Zusammenhänge sowie
zur Bestimmung von
Ergebnissen
kommunizieren
Anhand dieses Unterrichtsmaterials können bei entsprechender methodischer Umsetzung folgende prozessbezogenen Kompetenzen des Kerncurriculums von den
Schülerinnen und Schülern schwerpunktmäßig erworben sind:
Obwohl die Einheit "Terme und Termumformungen 2" mit Verwendung des TC als Werkzeug unterrichtet
wird, sollen bestimmte Fertigkeiten von den Schülerinnen und Schülern auch rechnerfrei erworben und
beherrscht werden. Diese Fertigkeiten sollen in der Klassenarbeit oder in Kurztests nachgewiesen
beziehungsweise
abgeprüft werden (siehe 6. Überprüfung rechnerfreier Fertigkeiten). Folgende rechnerfreie
Rechnerfreie
Fertigkeiten
Fertigkeiten
erscheinen
Diese
Fertigkeiten
sollenuns
in relevant:
der Klassenarbeit oder in Kurztests nachgewiesen beziehungsweise abgeprüft
Mit symbolischen,
formalen, …
Terme
Fertigkeiten
Kompetenzen
Terme und
und Termumformungen
Termumformungen 2
Fertigkeiten
Die Schülerinnen
und 19).
Schüler
sollen:rechnerfreie Fertigkeiten erscheinen uns relevant:
werden
(siehe Kapitel
Folgende
Mathematische
Darstellungen
verwenden
verwenden Terme mit
stellen funktionale
erfassen inner- und
Variablen, Gleichungen,
Zusammenhänge durch
außermathematische
Funktionen oder
Tabellen, Graphen oder
Problemstellungen und
Regressionen zur
Terme dar, auch unter
beschaffen die zu einer
Ermittlung von Lösungen
Verwendung des
Problemlösung noch
im mathematischen Modell eingeführten Taschenfehlenden Informationen
rechners, interpretieren
und nutzen solche
nutzen Darstellungsformen
Darstellungen
wie Terme und
Gleichungen zur
stellen geometrische
Problemlösung
Sachverhalte algebraisch
dar und umgekehrt
wenden algebraische,
numerische, grafische
Verfahren oder
geometrische
Konstruktionen zur
Problemlösung an
1. Anhand von Kommutativ- und Assoziativgesetz die Möglichkeit zum Zusammenfassen in Termen
erkennen. Dabei sollen die Terme nicht mehr als drei Summanden enthalten. Diese Summanden
sollen wiederum aus nicht mehr als drei Faktoren bestehen (siehe Beispiele).
2. Das Distributivgesetz zum Ausmultiplizieren und Ausklammern benutzen. Dabei sollte sich die
Komplexität an Beispiel 2 orientieren.
3. Zu einfachen zusammengesetzten Flächen verschiedene Terme aufstellen und deren Gleich5. Konstruktionsbeschreibungen anfertigen.
wertigkeit auch algebraisch nachweisen.
4. Terme in ihrer Struktur erkennen, deuten und vergleichen (Termstrukturkompetenz).
DGS-Fertigkeiten
5. Die binomischen Formeln zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren benutzen. Dabei sollte sich die
Mathematisch
modellieren
Beispiele:
zeichnen.
1. Fasse die folgenden Terme so weit wie möglich zusammen:
2
2
2. Die
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende und
a) Befehle
3⋅x + 2 –
x
b) Seitenhalbierende
y + 3⋅x – x ⋅ 2⋅x in Konstruktionen verwenden.
3. Dateien
(elektronische
Arbeitsblätter) in den TC laden und aufrufen.
2.
Multipliziere
aus:
a) 2Konstruieren
⋅ (x – 1)
x ⋅ (x
+ 1) Punkt an Objekt binden und Schnittpunkt
4. Beim
die Punkttypen unterscheiden:b)freier
Punkt,
c) (x + 1) ⋅ (y – 3)
d) (a + b + 5) ⋅ (x + 7)
zweier Objekte.
Klammere aus:
5. Ima)Zugmodus
3⋅a – 9 Figuren verändern.
b) a – b ⋅ a
x
y
3. Gib zur Flächenberechnung zwei Terme an und weise ihre
© T³ Deutschland
© T Deutschland
2
nutzen mathematisches
Wissen für Begründungen,
auch in mehrschrittigen
Argumentationen
erläutern mathematische
Sachverhalte, Begriffe,
Regeln, Verfahren und
Zusammenhänge unter
Zuhilfenahme formaler
Darstellungen
c
63
9
11
13
© T ³ Deutschland
2
b) 4⋅x – 24⋅xy + 9⋅y
beschaffen sich
notwendige Informationen
für mathematische
Argumentationen und
bewerten diese
präzisieren Vermutungen
und machen sie einer
mathematischen
Überprüfung zugänglich,
auch unter Verwendung
geeigneter Medien
2
beurteilen ihre Ergebnisse,
finden Begründungen
vergleichen und bewerten
Lösungswege und
durch Zurückführen auf
Bekanntes, Einführen von Problemlösestrategien
Hilfsgrößen oder Hilfslinien
erklären Ursachen von
vergleichen und bewerten Fehlern
verschiedene
Lösungsansätze und
Lösungswege
b) (y – 3)
Verwandle in ein Produkt:
2
a) a + 6⋅a + 9
Mathematisch
argumentieren
Prozessbezogene Kompetenzen
Kompetenzen
4. Multipliziere aus:
2
a) (x – 1)
d
ziehen die Möglichkeit
mehrerer Lösungen in
Betracht und überprüfen
diese
Probleme
mathematisch lösen
7. ImGleichwertigkeit
Spurmodus dienach.
Spur eines Punktes aufzeichnen.
Stunde
Seite
1–3
Produkte von Summen
13
4 – 10
Binomische Formeln
17
11 – 13
22
© T ³ Deutschland
Daten und Zufall
Kompetenzen
Terme
und Termumformungen
Termumformungen 22
Mind Map
Terme und
Kompetenzen
Fertigkeiten
untersuchen, beschreiben und
begründen Auswirkungen von
Parametervariationen bei linearen und
quadratischen Funktionen unter
Verwendung des eingeführten
Taschenrechners
funktionaler Zusammenhang
Diese
Fertigkeiten
Mind Map
mit Inhalten
Raum und Form
DGS-Fertigkeiten
Mit diesem Unterrichtsmaterial werden folgende inhaltsbezogenen Kompetenzen vermittelt:
zeichnen.
schätzen und berechnen Umfang und
Flächeninhalt geradlinig begrenzter
Figuren
berechnen und interpretieren
zusammengesetzte Größen
Größen und Messen
zweier Objekte.
10
8
© T Deutschland
10
formen Terme mithilfe der
Rechengesetze um
modellieren inner- und
außermathematische
Problemsituationen mithilfe von
Termen und Gleichungen
nutzen Terme und Gleichungen zur
mathematischen Argumentation
erkennen und vergleichen die Struktur
von Termen
veranschaulichen und interpretieren
Terme
beschreiben Sachverhalte durch Terme
und Gleichungen
führen Rechnungen mit dem
eingeführten Taschenrechner aus und
bewerten die Ergebnisse
Zahlen und Operationen
Inhaltsbezogene Kompetenzen
© T ³ Deutschland
13
Fertigkeiten
Fertigkeiten
beziehungsweise
Fertigkeiten
erscheinen
Diese Fertigkeiten
sollenuns
in relevant:
Die
Schülerinnen
und Schüler
werden
(siehe Kapitel
19). Folgende
DGS-Fertigkeiten
Beispiele:
zeichnen.
2
2
2. Die
+ 3⋅x – x ⋅ 2⋅x in Konstruktionen verwenden.
a) Befehle
3⋅x + 2 –Mittelsenkrechte,
x
b) ySeitenhalbierende
3. Dateien
(elektronische
2.
Multipliziere
aus:
a) 2Konstruieren
⋅ (x – 1)
x ⋅ (x
4. Beim
Punkt,
c) (x + 1) ⋅ (y – 3)
d) (a + b + 5) ⋅ (x + 7)
zweier Objekte.
Klammere aus:
5. Ima)Zugmodus
b) a – b ⋅ a
x
y
Spurmodus dienach.
d
c
2
a) (x – 1)
2
a) a + 6⋅a + 9
© T³ Deutschland
© T Deutschland
b) (y – 3)
2
2
2
b) 4⋅x – 24⋅xy + 9⋅y
11
13
Fertigkeiten
Fertigkeiten
CAS-Fertigkeiten
Im Umgang mit dem TC sollen die Schüler am Ende der Einheit über folgende Fertigkeiten verfügen:
1. Terme in den TC eingeben und die Ausgabe des TC nachvollziehen können (automatische
Termumformung des TC).
2. Terme in den TC eingeben und das Distributivgesetz mithilfe der Befehle "expand" und "factor"
anwenden. Dies erfordert ein verständiges Umgehen mit diesen beiden Befehlen.
3. Flächen- und Volumenformeln als Funktionen definieren und diese zur Berechnung nutzen. Damit
wird schrittweise die Fertigkeit weiterentwickelt, Funktionen mithilfe eines Terms zu definieren und
zu verwenden.
Beispiele:
Eingabe
Ausgabe
1. 4⋅a + 5⋅a
9 ⋅a
5. Konstruktionsbeschreibungen
anfertigen.
- (- b – a)
a+b
2⋅x – 5 ⋅ (- 2⋅x + 3⋅y) + 2 – y
DGS-Fertigkeiten
12x – 16y + 2
Bemerkung:
Hieram
muss
nicht
"expand"-Befehl
zum
Im Umgang mit der DGS (Cabri Geometry) sollen
die Schüler
Ende
derderEinheit
über folgende
Ausmultiplizieren verwendet werden.
1. Streckenlängen
und Winkelgrößen nach Angaben
sowie Kreise mit vorgegeben Radien
2.
expand(2 ⋅ (x – 4))
2⋅x –abtragen
8
zeichnen.
2
expand((2
x) ⋅ (x – 4))
- x Seitenhalbierende
+ 6⋅x – 8
2. Die
Befehle –Mittelsenkrechte,
in Konstruktionen verwenden.
factor(21 + 3 ⋅ x)
3 ⋅ (x + 7)
2
zweier
Objekte.
factor(x + 6⋅x – 8)
(2 – x) ⋅ (x – 4)
3. 2⋅x + 2⋅y  A(x,y)
Done
12
A(2,4)
12⋅m
A(m,5⋅m)
12
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Thema 1.: Multiplikation von Summen
Dauer: 3 Stunden
Anknüpfend an die Vorkenntnisse der Schülerinnen und Schüler wird die Multiplikation von Summen
Inerarbeitet.
dieser Einheit
lernen
Schülerinnen
und
Schüler das und
Geometrie-Werkzeug
Cabri Geometry des Der
TC
Hier geht
es die
zunächst
um eine
Flächenteilung
unterschiedliche Berechnungsweisen.
kennen.
Diesesergebende
Werkzeug mathematische
soll jedoch auf Gehalt
die Anwendung
bei Möglichkeit,
dynamischenProdukte
Konstruktionen
beschränkt
sich daraus
liefert eine
von Summen
zu
bleiben.
EherDieses
statische
werden
rechnerfrei
mitneue
„Bleistift
und Papier“
durchgeführt.
berechnen.
wirdKonstruktionen
anschließend geübt
und
durch eine
Sichtweise
vertieft.
In den weiteren Stunden wird das Distributivgesetz geübt und die Rechnerbefehle "expand" und "factor"
erneut verwendet, um Entdeckungen zu machen.
Besondere Materialien / Technologie:
TC; Folienvorlagen LM 1.1 und LM 1.2; SM 1.1. bis 1.5 (optional 1.6)
Ablauf der Stunde 1:
Inhalt
Medien
Kommentar
3.Einstieg:
Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende als Ortslinie begreifen.
SM 1.1,
"Müller"
4. Konstruktionen
von Dreiecken und"Meier"
Vierecken nach Angaben durchführen.
Aufg. 1
Der Aufgabenteil mit Familie Müller knüpft an die Vorkenntnisse
DGS-Fertigkeiten
PA
derUmgang
Schülerinnen
undDGS
Schüler
an. Geometry)
Die Terme sollen
von Familie
Meier am Ende der Einheit über folgende
Im
mit der
(Cabri
die Schüler
führen auf die
Multiplikation von Summen.
Fertigkeiten
verfügen:
Entdeckung:
1.
Streckenlängen und Winkelgrößen nach Angaben abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
Extrakt
"Müller":
Extrakt "Meier":
zeichnen.
UG
c) = a·bMittelsenkrechte,
+ a·c
(a +Winkelhalbierende
b)·(c + d) = a·c + a·d
b·c + b·d
2.a·(b
Die +Befehle
und+ Seitenhalbierende
Sicherung im
3.
Dateien
(elektronische
in den
laden und aufrufen.
Die
Gleichwertigkeit
der Arbeitsblätter)
Terme wird von
denTCSchülerinnen
und
Wissensspeicher
4.
Beim
Konstruieren
die
Punkttypen
unterscheiden:
freier
Punkt,
Punkt
an
Objekt
binden und Schnittpunkt
Schülern anhand der Flächenzerlegungen erläutert.
zweier Objekte.
Vertiefung:
5.
Im Zugmodus Figuren verändern.
SM 1.1,
Aufg. 2
PA
Die Aufgabenstellung
ermöglicht geometrische
Tafel
und algebraische
Lösungen. Zumindest die
Die Veränderung des Flächeninhalts wird als Summe der
Folie
geometrische Darstellung
Rechtecksflächen identifiziert.
LM 1.1
sollte ins Heft
übernommen werden.
Durch die Frage nach der Veränderung des Flächeninhalts sollen
die entstehenden Terme aus einem anderen Blickwinkel gedeutet
werden.
Schüler präsentieren ihre Lösung an der Tafel.
Hausaufgabe:
Auszug aus amerikanischem Mathematikbuch  Vorstellung des
SM 1.2,
Die Hausaufgabe bereitet
Rechteckdiagramms zur Visualisierung der Multiplikation von
Aufg. 3
die nächste Stunde vor.
Summen
© T³ Deutschland
© T Deutschland
13
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Inhalt
Medien
Kommentar
Einstieg:
SM 1.2,
PA
kennen. Dieses 3
Werkzeug- 4soll
jedoch
auf
die
Anwendung
bei
dynamischen
Konstruktionen
beschränkt
x
Aufg. 4
2
2 xEher statische
6x
-8x
bleiben.
Konstruktionen
werden rechnerfrei mit „Bleistift und Papier“ durchgeführt.
4
12
- 16 x
Folie
Neben der Benutzung des Rechteckdiagramms liefert die zweite LM 1.2
Darstellung eine weitere Möglichkeit, die Multiplikation von
Summen zu systematisieren.
Eine Sicherung im
Die Schülerinnen und Schüler vertiefen ihre Kenntnisse im
Wissensspeicher ist
Multiplizieren von Summen und lernen eine Möglichkeit zur
möglich.
Systematisierung des Verfahrens kennen.
3.Übung:
vielfältigen
sollennach
die Angaben
ZusammenSM 1.3,
4.Anhand
Konstruktionen
von Aufgabenmaterials
Dreiecken und Vierecken
durchführen.
Die Terme sind so
vertieft werden. Hierbei
steht die Übertragung des
5.hänge
Konstruktionsbeschreibungen
anfertigen.
Aufg.
gewählt, dass diese
Verfahrens im Vordergrund.
DGS-Fertigkeiten
5–8
Aufgaben händisch
bearbeitet werden sollen.
Im Umgang mit der DGS (Cabri Geometry) sollen die Schüler am Ende der
Einheit über sind
folgende
Visualisierungen
jeweils angebracht.
1.
Streckenlängen
und
Winkelgrößen
nach
Angaben
abtragen
sowie
Kreise
mit vorgegeben Radien
Hausaufgabe
zeichnen.
SM 1.3,
Die Hausaufgabe
2. Die Befehle Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende
in
Konstruktionen
verwenden.
Aufg. 9
reflektiert die
Übungen.
zweier Objekte.
Inhalt
Medien
Kommentar
Einstieg:
SM 1.4,
PA
Aufg.
Die schon bekannten
10 und
Rechnerbefehle "expand"
11
und "factor" werden
erneut verwendet, um
Die Befehle werden zunächst wiederholt.
Entdeckungen zu
machen.
14
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Übertragen:
SM 1.4,
Aufg.
In dieser Einheit lernen die Schülerinnen und Schüler das Geometrie-Werkzeug
Cabri Geometry des TC
12 und
PA
kennen. Dieses Werkzeug soll jedoch auf die Anwendung bei dynamischen
Konstruktionen beschränkt
13
Sicherung im WissensRechnerfreie Fertigkeiten
speicher
Die Befehle werden auf die neue Fragestellung "Multiplikation von
Summen"
übertragen.
werden
(siehe
Kapitel 19). Folgende rechnerfreie Fertigkeiten erscheinen uns relevant:
Aufgabe 13 ist fakultativ
"expand" und "factor" werden verwendet, um Entdeckungen zu
einzusetzen
machen und um den Rechner zur Ergebniskontrolle zu nutzen.
Übungen:
SMmessen.
1.5,
Die Übungsaufgaben sind
zeichnen. Umgekehrt Streckenlängen, Winkelgrößen und Kreisradien
den weiteren Übungen
werden dieund
Gesetze
angewendet mit
undGeodreieck
Aufg.
je nach Situation in den
2.In Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
Seitenhalbierende
zeichnen.
Rechner zur Ergebniskontrolle
eingesetzt.
14 – 16
Lerngruppen durch
3.derMittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
und Seitenhalbierende als Ortslinie
begreifen.
weitere Aufgaben zu
ergänzen.
Dabei sollte auf
Variabilität der Aufgaben-
DGS-Fertigkeiten
Einheit geachtet
über folgende
stellungen
werden.
1.
Streckenlängen
und Winkelgrößen
Angaben abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
Optionale
Hausaufgabe
in Form einesnach
Lernprotokolls
zeichnen.
SM 1.5,
2. Die Befehle Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende
Aufg. in
17Konstruktionen verwenden.
3.
Dateien (elektronische
Optional:
Termmauern Arbeitsblätter) in den TC laden und aufrufen.
4.
Beim
Konstruieren
die Punkttypen
Punkt,
Hier
wird
der Umgang
mit Termenunterscheiden:
variantenreichfreier
geübt.
EinePunkt
SMan
1.6,Objekt binden und Schnittpunkt
zweier Objekte.
Vernetzung
zum Distributivgesetz (Terme 1) ist gegeben.
5.
Imvielfältigen
ZugmodusMöglichkeiten
Figuren verändern.
Die
des Einsatzes von Termmauern zum
Aufg. 18
6.
Beim eigenen Konstruieren
auf die Zugfestigkeit sind
der Objekte
achten.
Kompetenzerwerb
und zur Binnendifferenzierung
im Anhang
7.
Im Spurmodus
die Spur eines Punktes aufzeichnen.
detailliert
dargestellt.
Anmerkungen zum Konzept eines "Lernprotokolls" als ritualisierte Lerngelegenheit:
•
das Einstiegsproblem (und einen Lösungsansatz) zum aktuellen Thema beschreiben
•
eine Grundaufgabe und eine ihrer Umkehrungen lösen
•
Was sind typische Anwendungsfelder des neuen Begriffs, Verfahrens oder Zusammenhangs?
Wann kann man diese nicht anwenden?
•
Welche (typischen) Fehler beim Umgang mit den (neuen) mathematischen Werkzeugen können
passieren?
© T³ Deutschland
© T Deutschland
15
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Folienvorlage LM 1.1
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
7. Im Spurmodus
Folienvorlage
LM 1.2
( + )( + )
16
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Thema 2.: Binomische Formeln
Dauer: 7 Stunden
Mithilfe von Veränderungen quadratischer Flächen werden die binomischen Formeln als Spezialfälle für das
InAusmultiplizieren
dieser Einheit lernen
die Schülerinnen
Schüler daswird
Geometrie-Werkzeug
Cabri Geometry des und
TC
von Summen
eingeführt.und
Im Folgenden
auf geometrische Veranschaulichungen
kennen.
Dieses
soll
jedoch
aufDabei
die Anwendung
bei dynamischen
Konstruktionen
vielfältiges
ÜbenWerkzeug
besonderer
Wert
gelegt.
kann der Unterrichtende
aus der
Vielzahl der beschränkt
Materialien
bleiben.
Eher statische
rechnerfrei mit
„Bleistift undTerme,
Papier“indurchgeführt.
eine Auswahl
treffen. Konstruktionen
Der TC kommtwerden
beim Vergleichen
komplexerer
denen die binomischen
Formeln eine Rolle spielen, und bei der Erweiterung auf höhere Potenzen (Pascalsches Dreieck) zum
Tragen.
Besondere Materialien/Technologie:
TC; Folienvorlage LM 2.1 und LM 2.2; SM 2.1 – 2.5
1.
Streckenlängen
und Winkelgrößen nach Angaben abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
Ablauf
der Stunde 1:
Inhalt
Medien
messen. Kommentar
2.Einstieg:
Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende mit Geodreieck zeichnen.
der Aufgabenstellung
"Grundstücksveränderung"
LM 2.1,
LV / GA
3.Vorstellung
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
und Seitenhalbierendemit
als Ortslinie
begreifen.
in Gruppen
OHP
4.Diskussion
Konstruktionen
von Dreiecken und Vierecken nach Angaben durchführen.
SM 2.1,
Aufg. 1
DGS-Fertigkeiten
Erarbeitung:
Im
mit zu
der
(Cabri Geometry)
sollen die der
Schüler
DieUmgang
Zuordnung
denDGS
Abbildungen
führt zu "Prototypen"
drei am Ende der
GAEinheit über folgende
Fertigkeiten
verfügen:
binomischen
Formeln.
1.
Streckenlängen
Winkelgrößen
Angabenführt
abtragen
mit vorgegeben
Die
Bearbeitung derund
Situationen
mithilfenach
von Termen
zu den sowie Kreise Präsentation
der Radien
zeichnen.
Lösungen
Ergebnisse der GA und
2
2.
Winkelhalbierende und Seitenhalbierende in Konstruktionen
verwenden.
(a Die
+ 3)Befehle
· (a + 3)Mittelsenkrechte,
= a + 6a + 9
Verallgemeinerung
ggf.
2
3.
Arbeitsblätter)
in den TC laden und aufrufen.
im Plenum.
(a Dateien
– 3) ⋅ (a (elektronische
– 3) = a – 6a +
9
4. Beim Konstruieren
2 die Punkttypen unterscheiden: freier Punkt, Punkt an Objekt binden und Schnittpunkt
(a + 3) ⋅ (a – 3) = a – 9
zweier Objekte.
Aufgabenteil c) lässt eine Lösung auf verschiedenen Niveaustufen
zu. Es ist eine Untersuchung mit konkreten Zahlen genauso
möglich wie mit Variablen. Entscheidend ist dabei die Berück7. Im Spurmodus die Spur eines Punktes aufzeichnen.
sichtigung des gemischten Gliedes.
Hausaufgabe:
Übertragung der neuen Strategie auf die Problematik der Aufg. 2.
SM 2.1,
Mit der Aufgabe kann u. U. noch in der Stunde begonnen werden.
Aufg. 2
© T³ Deutschland
© T Deutschland
EA / PA
17
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Inhalt
Medien
Kommentar
InBesprechung
dieser Einheitder
lernen
die Verallgemeinerung:
Schülerinnen und Schüler das Geometrie-Werkzeug Cabri Geometry des TC
HA und
kennen.
Dieses Werkzeug
auf die Anwendung
bei dynamischen
Die Besprechung
sollte zu soll
einerjedoch
Verallgemeinerung
der Aufgaben
LM 2.1
bleiben.
statische Konstruktionen werden rechnerfrei mit „Bleistift SM
und2.1,
Papier“ durchgeführt.
1 und 2Eher
überleiten.
Ergebnis: drei binomische Formeln
Aufg. 1, 2
Übung:
Bearbeitung von Teilen der Aufgaben 1 bis 3
SM 2.2,
EA / PA
Aufg.
UG
1–3
Hausaufgabe:
Bearbeitung von restlichen Teilen der Aufgaben 1 bis 3
SM 2.2,
Aufg.
1–3
Inhalt
Medien
Kommentar
DGS-Fertigkeiten
Besprechung
HA:
Im
Umgang mitder
der
DGS (Cabri Geometry) sollen die Schüler am Ende der Einheit über folgende
Restliche
Teile
der
Aufgaben
1 bis 3
SM 2.2,
Schülerpräsentation mit
Aufg. Kreise konkretem
Bezug zu
den
1. Streckenlängen und Winkelgrößen nach Angaben abtragen sowie
mit vorgegeben
Radien
1–3
binomischen Formeln
zeichnen.
Erarbeitung:
2.
Die Befehle Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende in Konstruktionen verwenden.
Verdeutlichung
der Rechenvorteile
mit inbinomischen
Formeln
am
3.
Arbeitsblätter)
den TC laden
und aufrufen.
UG
Beispiel
99 ⋅ 101
4.
Beim Konstruieren
die Punkttypen unterscheiden: freier Punkt, Punkt an Objekt binden und Schnittpunkt
Übung:
zweier Objekte.
Bearbeitung
der Figuren
Aufgabeverändern.
4.a) bis 4.f)
5.
Im Zugmodus
SM 2.2,
Evtl.
4.g):
Schüler
finden eigene
Beispiele
für Rechenvorteile
mit Aufg. 4
6.
Beim
eigenen
Konstruieren
auf die
Zugfestigkeit
der Objekte achten.
EA / PA
UG
den
Formeln.
7.
Imbinomischen
Spurmodus die
Hausaufgabe:
Die gefundenen Aufgaben werden partnerweise als Hausaufgabe
gestellt.
18
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Ablauf der Stunden 4/5:
Inhalt
Medien
Kommentar
InBesprechung
dieser Einheitder
lernen
HA: die Schülerinnen und Schüler das Geometrie-Werkzeug Cabri Geometry des TC
kennen.
Dieses
Werkzeug soll jedoch auf die Anwendung bei dynamischen Konstruktionen
beschränkt
Vergleich
der Ergebnisse.
PA
bleiben.
Eher statische
Konstruktionen werden rechnerfrei mit „Bleistift und Papier“ durchgeführt.
Erarbeitung
1:
Das Einstiegsbeispiel der Grundstücksflächenveränderung wird OHP
UG
jetzt verallgemeinert. Herleitung der Beziehung zwischen den LM 2.1
Term- und Flächenteilen für das Beispiel der Aufgabe SM 2.1, 1(I).
Mithilfe der OH-Folie und der ausgeschnittenen Folien-FlächenDie Schülerinnen
und Schüler
sollen:
2
2
stücken a , a ⋅ b und b sollen für die Schüler die Entsprechungen
mithilfe des Overlay-Verfahrens visualisert werden.
Erarbeitung 2:
Herleitung der Beziehung zwischen den Term- und Flächenteilen SM 2.1,
PA
für die Beispiele der Aufgabe 1.(II) und 1.(III)
Aufg. 1
Als Hilfe können den
Schülern die Folien5. Konstruktionsbeschreibungen anfertigen.
Flächenstücke am Pult
angeboten werden.
DGS-Fertigkeiten
Übung:
Im
Umgang mit der DGS (Cabri Geometry) sollen die Schüler am Ende der Einheit über folgende
Je
nach Bedarf
und Lernfortschritt können weitere Übungs- SM 2.3,
Fertigkeiten
verfügen:
aufgaben
zum Training
Aufg. Kreise
1, 2
1.
Streckenlängen
und herangezogen
Winkelgrößen werden.
nach Angaben abtragen sowie
zeichnen.
Hausaufgabe:
2.
Nach
Bedarf
werden aus Arbeitsblätter)
SM 2.5 Aufgaben
ausgewählt.
3.
Dateien
(elektronische
in den
TC laden und aufrufen.SM 2.5
Ablauf
derObjekte.
Stunde 6:
zweier
Inhalt
5.
Medien
Kommentar
Einstieg:
6.
Beim eigenen Konstruieren auf die Zugfestigkeit der Objekte achten.
Die
mit Zahl
und eines
zugehöriger
7.
ImTabelle
Spurmodus
die Spur
PunktesQuadratzahl
aufzeichnen.wird gezeigt.
LM 2.2
Dazu werden Ideen und Vermutungen zu der Art des Wachstums
OHP
UG
der Quadratzahlen gesammelt.
Erarbeitung 1:
Aufgabe 1.a) und 1.b)
SM 2.4,
UG
Die Ideen der Schüler werden mit den formulierten Vermutungen
Aufg. 1
Hier ist sicher zu stellen,
von Nico, Ilona und Oliver verglichen.
dass die Schüler
Zur Überprüfung der Vermutungen werden Mathematisierungs-
einerseits die drei
hilfen gegeben. Nimmt man als Variablennamen beispielsweise n,
Vermutungen und
dann sind die jeweiligen Zahlen und Quadratzahlen durch Terme
andererseits die drei
mit n auszudrücken. Die Tabelle gibt eine "Starthilfe".
Möglichkeiten der
Variablenzuordnung
verstehen.
© T³ Deutschland
© T Deutschland
19
13
Fertigkeiten
Meth./Did. Hinweise
Erarbeitung 2:
Aufgabe 1.c) bis 1.e)
SM 2.4,
PA
InVergleich
dieser Einheit
lernen die Schülerinnen
und Schüler Formeln
das Geometrie-Werkzeug
Cabri
Geometry
von verschiedenen
Termen mit binomischen
Aufg. 1
Der
Vergleich
kanndes TC
kennen. Dieses Werkzeug soll jedoch auf die Anwendung bei dynamischen Konstruktionen
beschränkt
sowohl mit TC als
auch
bleiben. Eher statische Konstruktionen werden rechnerfrei mit „Bleistift und Papier“händisch
durchgeführt.
erfolgen.
Hausaufgabe:
Aufgabe 1.f)
SM 2.4,
Aufg. 1.f)
Inhalt
Medien
Kommentar
Besprechung der HA:
Aufgabe 1.f)
SM 2.4,
Aufg. 1.f)
Erarbeitung:
SM 2.4
GA
Aufgabe 2
n
Die Systematik der Summenterme zu (a + b) sollte erkannt Aufg. 2
DGS-Fertigkeiten
werden.
UGEinheit über folgende
Im
Umgang mit der DGS (Cabri Geometry) sollen die Schüler am Ende der
Das Pascalsche
Dreieck wird vorgestellt und benannt.
Fertigkeiten
verfügen:
zeichnen.
Folienvorlage
LM 2.2 die Punkttypen unterscheiden: freier Punkt, Punkt an Objekt binden und Schnittpunkt
zweier Objekte.
Wie
wachsen Quadratzahlen?
Zahl
Quadratzahl
1
1
2
4
3
9
20
© T Deutschland
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Folienvorlage LM 2.1
InAufgabe
dieser Einheit
1 lernen die Schülerinnen und Schüler das Geometrie-Werkzeug Cabri Geometry des TC
WegenEher
baulicher
Maßnahmenwerden
müssen
die quadratischen
Grundstücke
der
bleiben.
statische Konstruktionen
rechnerfrei
mit „Bleistift und Papier“
durchgeführt.
Familien
Thamm, Bauer und Diercks verändert werden.
Bei FamilieFertigkeiten
Thamm wird das Grundstück auf der einen Seite um einen 3 m breiten
Rechnerfreie
Streifen verkürzt und dafür auf der anderen Seite um einen 3 m breiten Streifen
verlängert.
werden
(siehe Kapitel
Folgende
rechnerfreie Fertigkeiten
unsals
relevant:
Bei Familie
Bauer19).
wird
das Grundstück
sowohl inerscheinen
der Länge
auch in der Breite um
3m
vergrößert.
Familie
Diercks wird das Grundstück sowohl in der Länge als auch in
Die
Schülerinnen
undBei
Schüler
sollen:
Breite um 3 m
1.der
Streckenlängen
undverkürzt.
Winkelgrößen nach Angaben abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
a)zeichnen.
Ordne die
Grundstücksveränderungen
der Familien
den Abbildungen
zu.
Umgekehrt
Streckenlängen, Winkelgrößen
und Kreisradien
messen.
b) Stelle für jede Grundstücksveränderung einen Term zur Flächeninhaltsberechnung
auf.
c) Untersuche, wie sich der Flächeninhalt im Vergleich zur ursprünglichen Grund4. Konstruktionen
Dreiecken und Vierecken nach Angaben durchführen.
stücksgröße von
verändert.
DGS-Fertigkeiten
I)

zeichnen.
3.II)
Dateien (elektronische Arbeitsblätter) in den TC laden und aufrufen.
zweier Objekte.

III)

© T³ Deutschland
© T Deutschland
21
13
Fertigkeiten
Meth./Did. Hinweise
Thema 3.:zuFunktionale
Zusammenhänge
Dauer: 3 Stunden
Hinweise
rechnerspezifischen
und rechnerfreien Fertigkeiten
Diese Stunden sollen die Sicht auf Terme, wie sie in den zurückliegenden Stunden beispielsweise zur
Berechnung von Flächeninhalten entwickelt wurden, erweitern, indem Terme als Funktionsterme aufgefasst
werden, die eine Zuordnung von einzugebenden auf auszugebende Werte leisten. Dabei wird besonders
die Möglichkeit des Rechners genutzt, die Entwicklung des funktionalen Denkens zu fördern.
Rechnerfreie
Fertigkeiten
SM
3.1
–
3.2
Ablauf
der Stunde
1: Schüler sollen:
Die
Schülerinnen
und
Medien
1.Inhalt
Streckenlängen und Winkelgrößen nach Angaben abtragen sowie
Kreise Kommentar
Einstieg:
a
OHP
SLG
Aufgabe 1 dientWinkelhalbierende
dazu, den schon und Seitenhalbierende mit Geodreieck
2.Die
Mittelsenkrechte,
zeichnen.
Tafel begreifen.
Aspekt eines
funktionalen und Seitenhalbierende als Ortslinie
3.bekannten
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
SM 3.1,
zwischen
Ein- und
4.Zusammenhangs
Konstruktionen von
Dreiecken
und Vierecken
a nach Angaben durchführen.
x
Aufg. 1
(z. B. adreieck(g,h))
5.Ausgabegrößen
anfertigen.
wieder aufzugreifen. In Aufgabenteil a)
DGS-Fertigkeiten
wird im Rechner folgende FunktionsIm
Umgangdefiniert:
mit der DGS (Cabri Geometry) sollen die
gleichung
y Schüler am Ende der Einheit über folgende
Fertigkeiten
verfügen:
Gflaeche(a,x,
y) = (a − x) ⋅ (a − y) Gflaeche(a,x,y) = a2 − a⋅x − a⋅y + x⋅y
Berechnet wird in Aufgabenteil b) Gflaeche(75,1.5,0.9) = 5446.35
zeichnen.
(m²). An dieser Stelle bietet es sich an, auf die Wertegleichheit
verschiedener Terme einzugehen.
Erarbeitung:
Im Aufgabenteil c) wird eine Größe variiert und die Veränderungen
PA / LSG
zweier Objekte.
werden in einer Tabelle festgehalten.
Im Anschluss wiederholt Aufgabenteil d) das Abfassen einer
Funktionsgleichung ( Wflaeche(a,x,y) = a⋅x + a⋅y − x⋅y ) und prüft
durch die Frage in Aufgabenteil e) nach Interpretation der vom TC
gelieferten Anzeigen nach Eingabe von Wflaeche(45,x,2x) bzw.
Wflaeche(45,x,0.9x)
das
Verständnis
für
den
aufgestellten
funktionalen Zusammenhang.
Der
Aufgabenteil
verbales
f)
verlangt
Beschreiben der
vom
Lernenden
sowohl
ein
zu untersuchenden Ungleichung
Wflaeche(50, x,1.5x) ≤ 117.5 , als auch die Untersuchung von
Wflaeche auf einen maximalen Wert für x. Dieser wird von den
Schülern voraussichtlich durch Probieren gesucht (x = 0,95). Eine
graphische
Lösung
ist
auch
möglich,
wenn
der
Ansatz
Wflaeche(50, x,1.5x) = 117.5 benutzt wird.
Hausaufgabe
SM 3.1,
Aufg. 2
22
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Inhalt
Medien
Kommentar
InEinstieg:
dieser Einheit lernen die Schülerinnen und Schüler das Geometrie-Werkzeug Cabri Geometry des TC
kennen.
Dieses
Werkzeug soll jedoch auf die Anwendung bei dynamischen
Konstruktionen
beschränkt
Vergleich
der Hausaufgabe
Tafel
SLG
bleiben.
Eher statische Konstruktionen werden rechnerfrei mit „Bleistift und Papier“ durchgeführt.
Erarbeitung:
Mit Aufgabe 1 wird durch Vorgabe von
SM 3.2,
Funktionsgleichungen eine Umkehrung zur
Aufg. 3
Aufgabenstellung der vorangegangenen
werden (siehe Kapitel 19). Folgende rechnerfreie Fertigkeiten
erscheinen
uns relevant:
A
B
Stunde vorgelegt.
Durch die Berechnungen der Flächeninhalte
für vorgegebene Werte von a wird auch die
Wertegleichheit der vier Terme ohne UmDmit Geodreieck zeichnen.
C
2. Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende
formen sichtbar und kann wieder diskutiert
werden.
Hausaufgabe:
wahlweise SM 3.2, Aufgabe 4 oder Aufgabe 5
SM 3.2,
DGS-Fertigkeiten
Aufg. 4/5
Ablauf der Stunde
3:
Fertigkeiten
verfügen:
Inhalt
Medien
1.
Streckenlängen und Winkelgrößen nach Angaben abtragen sowie
Kreise Kommentar
Einstieg:
zeichnen.
Vergleich
der Hausaufgabe
Tafel in Konstruktionen verwenden.
2.
Die Befehle
Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende
Checkliste
zur Selbsteinschätzung
ausfüllen
3.
Arbeitsblätter)
in den TC laden und aufrufen.Checkliste SLG
aus SM
Hausaufgabe:
zweier Objekte.
individuelle Wiederholung gemäß Checkliste
SM 2.5
Didaktische Anmerkungen zum variantenreichen Einsatz von Termmauern
Im Folgenden wird dargestellt, wie Termmauern zum Kompetenzerwerb bei Schülerinnen und Schülern
beitragen können. Durch kleine Variationen der Aufgaben werden verschiedene Kompetenzen angesprochen. Zudem gelingt eine Differenzierung im Hinblick auf den Schwierigkeitsgrad der Aufgaben.
(1) stellt eine Aufgabe in 9 Variationen vor. (A) bis (D) sind mögliche Klassenarbeitsaufgaben. Je nach
Stellenwert innerhalb der Klassenarbeit (Umfang und Anforderung) kann hier von einfacher Reproduktion bis
komplexer Argumentation gewählt werden. Die Variationen (E) bis (I) sind dann Angebote für den Unterricht.
Die geforderten Kompetenzen sind angegeben, die Aufgabenvariation ist ein wenig angelehnt an die
"Kerzenaufgabe" bei Leuders/Büchter. So ist genügend Variabilität vorhanden, um auf spezifische Klassenund Lehrsituationen Rücksicht zu nehmen. Man sollte überlegen, ob vielleicht eine der Variationen zur Pflicht
gemacht wird.
(2) ist Handwerk (kann natürlich auch Klassenarbeitsaufgabe werden).
(5) Hier ist Wiederholung eingebaut, die beliebig erweitert und variiert werden kann. Es ist auch möglich,
eine "Divisionsmauer" bauen.
(3), (4), (6) und (7) haben ihren Schwerpunkt im Bereich "Algebraisierung", nicht im Umformen.
© T³ Deutschland
© T Deutschland
23
13
Fertigkeiten
Meth./Did. Hinweise
Aufgabe 1
Die Aufgabe wird in mehreren Versionen mit unterschiedlichen Variationen angeboten. Von der "LeistungsInaufgabe"
dieser Einheit
lernen die oder
Schülerinnen
und Schüler das Geometrie-Werkzeug Cabri Geometry des TC
zur "Lernaufgabe"
auch als "Blütenaufgabe".
Vorbemerkung:
bleiben.
In jedem Stein steht die Summe der Terme der beiden darunter stehenden Steine. Der Term in der Spitze
soll immer weitestgehend zusammengefasst werden.
Kompetenzen
(A) Klassenarbeitsaufgabe 1
– Technische Fertigkeit
Fülle die Zahlenmauer auf.
Die
Schülerinnen
und Schüler
sollen:
Mache
eine Probe
durch Einsetzen
Zahlen für die Variable
x.
1.vonStreckenlängen
und Winkelgrößen
nach Angaben abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
x
x+1
x+2
(B) Klassenarbeitsaufgabe 2
In den unteren drei Steinen stehen
4.drei
Konstruktionen
von Dreiecken
– Mathematisieren
aufeinander folgende
Zahlen.und Vierecken nach Angaben durchführen.
Term steht in der Spitze?
5.Welcher
anfertigen.
Mögliche Hilfe in Aufgabenstellung:
x
"x+1" ist Nachfolger von "x"
DGS-Fertigkeiten
Im
mit der DGS 3(Cabri Geometry) sollen die Schüler am Ende der Einheit über folgende
(C)Umgang
Klassenarbeitsaufgabe
Fertigkeiten
verfügen:
a) In den unteren
drei Steinen stehen
Mathematisieren
drei aufeinanderund
folgende
Zahlen. nach Angaben abtragen sowie Kreise – mit
1. Streckenlängen
Winkelgrößen
vorgegeben Radien
–
Argumentieren,
Welcher Term steht in der Spitze?
begründen
b) zeichnen.
Durch welche Zahl ist der Term in
x
der Befehle
Spitze immer
teilbar?
2. Die
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende und Seitenhalbierende in Konstruktionen verwenden.
Begründe.
3. Dateien
(elektronische Arbeitsblätter) in den TC laden und aufrufen.
Variation:
Zeige,Konstruieren
dass der Term
in der Spitzeunterscheiden: freier Punkt, Punkt an Objekt binden und Schnittpunkt
4. Beim
die Punkttypen
durch 4 teilbar ist.
zweier Objekte.
5. Im
Zugmodus Figuren verändern.
(D)
Klassenarbeitsaufgabe
4
6.
Beim
eigenen
Konstruieren
die Zugfestigkeit der Objekte achten.
In den unteren drei Steinenauf
stehen
Kira
drei
7. Imaufeinander
Spurmodusfolgende
die SpurZahlen.
eines Punktes aufzeichnen.
a) Fülle Kiras und Pauls untere Reihe
auf und baue ihre Mauern.
b) Vergleiche Kiras und Pauls Terme
im Spitzenstein. Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede haben sie? Begründe.
x
x+1
– Mathematisieren
– Argumentieren,
begründen
Paul
x
24
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
(E)
a) In den unteren drei Steinen stehen
– Mathematisieren
drei
aufeinander
folgende
Zahlen.
– Argumentieren,
begründen beschränkt
kennen.
Dieses
Werkzeug
auf die Anwendung bei dynamischen Konstruktionen
b) Welche
Eigenschaft
hatsoll
derjedoch
Term in
x
der Eher
Spitze?
Probiere
einige Einsetzbleiben.
statische
Konstruktionen
ungen für x aus.
(F)
werden
(siehe
Kapitel
19).
Folgende
rechnerfreie
Fertigkeiten
erscheinen
uns
relevant:
– Mathematisieren
drei aufeinander folgende Zahlen.
– Argumentieren,
Welcher
Term
steht
in
der
Spitze?
begründen
b) x kann unten auch in einem anderen
x
–
1. Streckenlängen
underhält
Winkelgrößen
nach Angaben abtragen sowie Kreise mit Kommunizieren
vorgegeben Radien
Stein stehen, man
dann andere
Mauern.
Methodische Bem.:
c) Vergleiche die Terme in der Spitze.
jeweils 1/3 der Klasse
2. Mittelsenkrechte,
und Seitenhalbierende mit Geodreieck zeichnen.
bearbeitet jeweils einen Fall,
Was haben sieWinkelhalbierende
gemeinsam, worin
dann Vergleich in Gruppe
unterscheiden sieWinkelhalbierende
sich?
und Seitenhalbierende als Ortslinie begreifen.
(G) Weiterbauen
– Mathematisieren
– Argumentieren,
DGS-Fertigkeiten
begründen
b) Umgang
Durch welche
ZahlDGS
ist der(Cabri
Term in
der
Im
mit der
Geometry)
sollen
die Schüler am Ende der –Einheit
über folgende
x
Kommunizieren
Spitze immer teilbar? Begründe.
Fertigkeiten
verfügen:
c) Die Mauer
wird erweitert (vier aufeinanderfolgende
und nach dem1. Streckenlängen Zahlen)
und Winkelgrößen
selben Prinzip weitergebaut.
d) zeichnen.
Vergleiche den neuen Term in der
– Ausdauer
Spitze
mit
dem
Spitzenterm
in
der
3-er Mauer.
3. Dateien
(elektronische
Arbeitsblätter)
e)
Die Mauer
wird nochmal
erweitert zu
einer Konstruieren
5-er Mauer.die
Fülle
die Tabelle
4. Beim
Punkttypen
unterscheiden: freier Punkt, Punkt an Objekt binden und Schnittpunkt
aus:
zweier Objekte.
Anzahl der
– Hypothesenbildung
x
Term in Spitze
BasissteineFiguren verändern.
5. Im Zugmodus
6. Beim eigenen
Konstruieren auf die Zugfestigkeit der Objekte achten.
2
7. Im Spurmodus
3
4
5
Kannst du eine Gesetzmäßigkeit für
den Term in der Spitze erkennen?
Welchen Term müsste man dann bei
eine 6-er Mauer erhalten. Prüfe nach?
© T³ Deutschland
© T Deutschland
25
13
Fertigkeiten
Meth./Did. Hinweise
(H) Variation des Mörtels
a) In den unteren drei Steinen stehen Subtraktion
– Mathematisieren
drei
aufeinander
folgende
Zahlen.
– Argumentieren,
begründen
kennen.
sollTerm
jedoch
beschränkt
b) DurchDieses
welcheWerkzeug
Zahl ist der
in auf die Anwendungx bei dynamischen Konstruktionen
– Problemlösen
der
Spitze
immer
teilbar?
Begründe.
Multiplikation
c) Ersetze die Addition durch
Rechnerfreie
Fertigkeiten
1) Subtraktion
2)
Multiplikation.
Diese Fertigkeiten
sollen in der Klassenarbeit oder in Kurztests
nachgewiesen beziehungsweise abgeprüft
x
• Erkläre die Besonderheit des
werden (siehe
Kapitel 19).bei
Folgende
rechnerfreie Fertigkeiten erscheinen uns relevant:
Spitzensteins
der Subtraktion.und Schüler sollen:
Die Schülerinnen
• Für welche Werte von x steht
1. Streckenlängen
Winkelgrößen
bei der und
Multiplikation
im nach Angaben abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
Spitzenstein
0?
3.(I) Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende als Ortslinie begreifen.
a) Konstruktionen
In den unterenvon
dreiDreiecken
Steinen stehen
4.
und Vierecken nach Angaben durchführen.
– Mathematisieren
anfertigen.
– Argumentieren,
b) Durch welche Zahl ist der Term in
x
begründen
der Spitze immer teilbar?
DGS-Fertigkeiten
Begründe.
c) Vertausche die Terme in der unteren Reihe und baue wieder.
Fertigkeiten
verfügen:
• Vergleiche
die Terme in der Spitze. Was haben sie gemeinsam, worin
unterscheiden
sich? Wann nach
erhält Angaben
man den abtragen
größten Wert
der mit vorgegeben Radien
1. Streckenlängen
undsieWinkelgrößen
sowie inKreise
Spitze? Wann bleibt die Eigenschaft aus b) erhalten? Gib jeweils eine
zeichnen.
Begründung.
– Vernetzung
d)
Zu Befehle
jeder Einsetzung
für x gehört
ein Wert im Spitzenstein.
Erzeuge zuinden
2. Die
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
und Seitenhalbierende
Konstruktionen verwenden.
drei Mauern jeweils eine Graphik und eine Tabelle für die Zuordnung
x → Spitzenstein .
4. Beim
Konstruieren
die Punkttypen
unterscheiden:
freier Punkt, Punkt an Objekt binden und Schnittpunkt
• Bei
welcher Mauer
tritt eine Proportionalität
auf?
• FürObjekte.
welchen Wert von x steht in der Spitze eine 0?
zweier
Aufgabe 2
•7.Training
technischer
Fertigkeiten:
Im Spurmodus
die Spur
Baue nach oben mit
(a) Addition, (b) Subtraktion und (c) Multiplikation
2x
4
26
© T Deutschland
3 (x + 2)
3x – 1
-x
1–x
2a + b
a
2a – b
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Aufgabe 3
• Von der Zahl zur Variablen
In• Argumentieren
die Schülerinnen und Schüler das Geometrie-Werkzeug Cabri Geometry des TC
und Begründen
• Ausdauer
/ Hypothesenbildung
kennen.
Dieses
Werkzeug soll jedoch auf die Anwendung bei dynamischen Konstruktionen beschränkt
bleiben.
Eher statische
Konstruktionen
werden rechnerfrei
mit „Bleistift und Papier“ durchgeführt.
Wie müssen
die Zahlen
in der untersten
Reihe
angeordnet werden, damit in der Spitze
a) die größte Fertigkeiten
Zahl
Rechnerfreie
b) die kleinste Zahl steht?
Diese
Fertigkeiten
in derinKlassenarbeit
in Kurztests nachgewiesen beziehungsweise abgeprüft
c) Wie
kann man sollen
die Zahlen
der unterstenoder
Reihe
b relevant:c
d
umordnen,
ohne dass
sich die Zahl
in der Spitze
werden
(siehe Kapitel
19). Folgende
rechnerfreie
Fertigkeitenaerscheinen uns
ändert?
Erstelle zunächst eine Zahlenmauer mit vier von dir gewählten Zahlen in der untersten Reihe. Vertausche
1.dieStreckenlängen
Zahlen und baueund
neu.Winkelgrößen nach Angaben abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
Fülle
die Mauer
mit Variablen
aus und beantworte
die Fragen
mit der Variablen
und gib Begründungen.
zeichnen.
Umgekehrt
Streckenlängen,
Winkelgrößen
und Kreisradien
messen.
d) Für Menschen mit Ausdauer und für Forscher
Winkelhalbierende
mit 7Geodreieck
Bestimme den Spitzenstein
für Mauern
mit 5, mit 6 und mit
Bausteinenzeichnen.
an der Basis. Fällt dir eine
Regelmäßigkeit
auf,
wie
sich
die
Spitzensteine
entwickeln?
Kannst
du
damit
ohne Bauen ermitteln, wie
der Spitzenstein bei 8 Basissteinen aussieht?
5.Aufgabe
anfertigen.
4
• technische Fertigkeit
DGS-Fertigkeiten
• Argumentieren und Begründen
Fertigkeiten
verfügen:
Du sollst jetzt
Mauern mit 3 beliebigen Basisbausteinen a, b und c untersuchen.
a) Um wie viel erhöht sich die Zahl in der Spitze, wenn man jede Zahl an der Basis Du kannst zunächst
um 1 erhöht? Und wenn man jede Zahl um eine beliebige Zahl n erhöht?
mit Zahlen für a, b
b) zeichnen.
Um wie viel wächst die Zahl in der Spitze, wenn man jede Zahl an der Basis und c probieren.
(1) verdoppelt
(2) verdreifacht?
Verallgemeinere die Ergebnisse von (1) und (2) zu einer Vermutung und
3. Dateien
beweise(elektronische
diese.
Aufgabe 5
zweier Objekte.
Im Zugmodus Figuren
verändern.
•5.Rechenfertigkeit
(Wiederholen)
•6.Argumentieren
und Begründen
auf die Zugfestigkeit der Objekte achten.
7. Im
Spurmodus
die drei
SpurBasisbausteinen
Du
sollst
Mauern mit
bauen. Setze dazu irgendwo
a) drei Zahlen ein und zwar (1) - 5 / - 2 / 3 und (2) 41 / 3 / 32
b) drei Variable a, b und c.
Variiere die Einsetzungen von a, b und c. Gibt es immer eine eindeutige Lösung?
© T³ Deutschland
© T Deutschland
27
13
Fertigkeiten
Meth./Did. Hinweise
Aufgabe 6
Partnerarbeit
• Argumentieren und Begründen
In• Mathematisieren
• Kommunizieren
kennen.
Dieses Werkzeug soll jedoch auf die Anwendung bei dynamischen Konstruktionen beschränkt
• Problemlösen
a) Warum kannst du mit den zwei Einsetzungen nicht sofort eine
0
Mauer bauen?
Rechnerfreie
Fertigkeiten
b) Findet mindestens zwei verschiedene Lösungen und erläutere
deinem Partner, wie du sie gefunden hast.
-1
c) Setzt
jeweils
in einen
anderen rechnerfreie
freien Stein Fertigkeiten
eurer Wahl erscheinen
ein x
werden
(siehe
Kapitel
19). Folgende
uns relevant:
bzw. ein y und baut die Mauer fertig.
d) Vergleicht eure Mauern. Füllt die Tabelle so aus, dass ihr
x
y
jeweils dieselbe Mauer erhaltet.
1
zeichnen. Umgekehrt Streckenlängen, Winkelgrößen und Kreisradien messen. - 2
0
2. Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende mit Geodreieck
zeichnen.
3
4.Aufgabe
Konstruktionen
7
Baue die Mauer fertig.
0
DGS-Fertigkeiten
x
Wenn du zunächst nicht weißt, wie du einen
Stein
bauen
kannst,
setze
für
x
eine
Zahl
ein
und
Im Umgang mit der DGS (Cabri Geometry) sollen die Schüler am Ende der Einheit
- 1 über folgende
probiere dann.
-2
zeichnen.
zweier Objekte.
28
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Wissensspeicher
Fertigkeiten
5. Wissensspeicher
Multiplizieren von Summen
c
a · (b + c) = a · b + a · c
b
a
a
b
c
(a + b) ⋅ (c + d) = ac + ad + bc + bd
d
DGS-Fertigkeiten
Beim Ausmultiplizieren algebraischer Summen
musst
du jeden
der einen
Klammer
Im Umgang
Schüler
am Summanden
Ende der Einheit
über
folgende
Jedermit
mitder DGS (Cabri Geometry) sollen die
mit jedem Summanden der anderen Klammer
jedem!
Fertigkeiten
verfügen:
multiplizieren.
zeichnen.
Von links nach rechts in der obigen Gleichung werden aus Produkten Summen. Mit dem Befehl "expand"
3.
Dateien
(elektronische
in den TCweitergeben.
laden und aufrufen.
kannst
du diese
Arbeit anArbeitsblätter)
den Taschencomputer
Von
rechts
nach linksdiewerden
aus Summen
Produkte.
Befehl
"factor"
des Rechners
faktorisiert
die
4.
Beim
Konstruieren
Punkttypen
unterscheiden:
freierDer
Punkt,
Punkt
an Objekt
binden und
Schnittpunkt
Summen für dich.
zweier Objekte.
Binomische Formeln
Sind die zu multiplizierenden Summen gleich, so bekommt man einen berühmten Spezialfall:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2
2
(a − b) = a − 2ab + b
2
Zweite binomische Formel
2
Dritte binomische Formel
(a − b) ⋅ (a + b) = a − b
© T³ Deutschland
© T Deutschland
Erste binomische Formel
2
29
13
Selbsteinschätzung
Fertigkeiten
6. Selbsteinschätzung
Kenntnisse
und mache ein
in der
Spalte. Cabri Geometry des TC
InSchätze
dieser deine
Einheit
lernen dieein
Schülerinnen
undKreuz
Schüler
dasentsprechenden
Geometrie-Werkzeug
ich muss
ich
ich bin durchgeführt.
bleiben. Eher statische Konstruktionen werden rechnerfrei mit „Bleistift und Papier“
Ich kann
noch
brauche
sicher
üben
Hilfe
Rechnerfreie
Fertigkeiten
• einen Faktor mit einer Summe multiplizieren
- 7Fertigkeiten
⋅ (2⋅x – 3) = -sollen
14⋅x +in21
Diese
•
aus
einer
Summe
gemeinsame
ausklammern
werden (siehe Kapitel 19). FolgendeFaktoren
rechnerfreie
Fertigkeiten erscheinen uns relevant:
(15⋅x – 21⋅x⋅y) = 3⋅x ⋅ (5 – 7⋅y)
• die Gleichwertigkeit von Termen überprüfen
1. Streckenlängen
und3⋅a⋅b⋅x
Winkelgrößen
a⋅b ⋅ (3⋅x + 4) und
+ 5⋅b
Umgekehrt
Winkelgrößen und Kreisradien messen.
• zeichnen.
eine Summe
mit einerStreckenlängen,
Summe multiplizieren
(a – 5) ⋅ (b + 3) = Winkelhalbierende
a⋅b + 3⋅a – 5⋅b – 15und Seitenhalbierende mit Geodreieck zeichnen.
3.• Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
Seitenhalbierende
als Ortslinie begreifen.
zur Berechnung von
Flächeninhaltenund
Terme
aufstellen
mit den Befehlen "expand" und
"factor" umgehen
5.• Konstruktionsbeschreibungen
anfertigen.
• alle drei binomischen Formeln nennen
DGS-Fertigkeiten
Im
mitFormeln
der DGS
(Cabriund
Geometry)
die Schüler am Ende der Einheit über folgende
• Umgang
binomische
"vorwärts
rückwärts"sollen
anwenden
2
2
2
→
Fertigkeiten
verfügen:9⋅x – 30⋅b⋅x + 25⋅b
(3⋅x – 5⋅b)
←
• zeichnen.
binomische Formeln geometrisch darstellen und erläutern
•2. Die
unvollständige
Terme zu binomischen
Formeln ergänzen
Befehle Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
und Seitenhalbierende in Konstruktionen verwenden.
2
2
3. Dateien
(elektronische
x⋅y + 9⋅y
x +
Konstruieren
die Punkttypen
•4. Beim
die binomischen
Formeln
erweiternunterscheiden: freier Punkt, Punkt an Objekt binden und Schnittpunkt
(Pascalsches
Dreieck)
zweier Objekte.
•5. Im
zu Zugmodus
einem Flächenproblem
einen Funktionsterm erstellen
Figuren verändern.
(a + x) ⋅ (a – x) = flaeche(a,x)
• zu einem gegebenen Funktionsterm das zugehörige Flächen7. Im
Spurmodus
problem
findendie Spur eines Punktes aufzeichnen.
• zu einer Funktion mit einer Variablen eine Wertetabelle erstellen
30
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Rechnerfreie Aufgaben
Fertigkeiten
7. Rechnerfreie Aufgaben
1
InAufgabe
dieser Einheit
lernen die Schülerinnen und Schüler das Geometrie-Werkzeug Cabri Geometry des TC
Multipliziere aus und fasse ohne Hilfsmittel soweit wie möglich zusammen:
a) (r – 10)  (s – 5)
b) ( 21 ⋅ x + 4)  (20·x – 10)
c) (0,7a + 4)  (10  y – 5)
d) (6 – v)  (w + 8)
e) (3a – 7b)  (2a + 3b)
f) (3a – 7b) (7a + 3b)
Aufgabe 2
Stelle
jeweilsUmgekehrt
das Produkt
als Summe darWinkelgrößen
und veranschauliche
die Aufgaben
geometrisch:
zeichnen.
Streckenlängen,
und Kreisradien
messen.
a) (a + b)  (c – d)
b) (a – b)  (c + d)
Aufgabe 3
Veranschauliche die folgenden Terme:
a) 2x  (c + d)
DGS-Fertigkeiten
b) (2x + 3y)  (c + d)
Standardaufgaben zu den binomischen Formeln
Aufgabe 4
zeichnen.
2
2
2
2.
Befehle
Seitenhalbierende
in =
Konstruktionen
verwenden.
a) Die (m
– 13)Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und b)
 + 24·x + 
(x + 12)
3.
Arbeitsblätter) in den TC ladend)und aufrufen.
c) Dateien
(2 – (elektronische
x)(x + 2)
14 ⋅ 16
2
2
2
4.
die= Punkttypen
an Objekt binden und Schnittpunkt
e) Beim
4 ·Konstruieren
a + 24·a + 
( + ) unterscheiden: freier
f) Punkt,
(17 +Punkt
t)
g) zweier
DieObjekte.
Länge und die Breite einer quadratischen Grundfläche sollen in verschiedenen Kombinationen um
5 m verkleinert
vergrößert werden. Veranschauliche die möglichen Fälle und stelle die
5. Im Zugmodus
Figurenbzw.
verändern.
Terme für den neuen Flächeninhalt auf.
© T³ Deutschland
© T Deutschland
31
13
Klassenarbeitsaufgaben
Fertigkeiten
8. Klassenarbeitsaufgaben
1
InAufgabe
dieser Einheit
Erkläre die Ergebnisse des Taschencomputers,
indem du
alle
Lösungsschritte
(unterwerden
Verwendung
bleiben.
Eher
statische
Konstruktionen
rechnerfrei mit „Bleistift und Papier“ durchgeführt.
der Rechenregeln) notierst.
Aufgabe
2 Umgekehrt Streckenlängen, Winkelgrößen und Kreisradien messen.
zeichnen.
2.Während
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
Seitenhalbierende
mit(zufällig)
Geodreieck
zeichnen.
einer Mathematikarbeit
siehstund
du bei
deinem Nachbarn
folgende
Zeile:
2
2
2
(5x + 6y) Winkelhalbierende
= 25x + 36y
4.Nimm
Konstruktionen
von Dreiecken
unddie
Vierecken
nachrichtig
Angaben
Stellung! Begründe
dazu, ob
Umformung
oder durchführen.
falsch ist.
Aufgabe 3
DGS-Fertigkeiten
Multipliziere
Hilfsmittel
soweit
wie möglich
zusammen:
Im
Umgang aus
mit und
der fasse
DGS ohne
(Cabri
Geometry)
sollen
die Schüler
am Ende der Einheit über folgende
a)
(a + 5) ⋅ (b + 8)
b)
( 21 ⋅ x – 10) ⋅ (4·y + 6)
c)
(0,4·a – 2) ⋅ (4·a – 5)
d)
(v + 8) ⋅ (6 – w)
e)
(3·a + 7·b) ⋅ (4·a – 5·b)
zeichnen.
Aufgabe 4
Du
siehstKonstruieren
drei Umformungen
des Taschencomputers.
a) Punkt an Objekt binden und Schnittpunkt
4. Beim
die Punkttypen
unterscheiden: freier Punkt,
Forme jeweils den ersten Term von Hand so um, dass sich
zweier Objekte.
der zweite Term ergibt.
b)
c)
Aufgabe 5
Vervollständige die folgenden Rechteckdiagramme, finde die richtige Aufgabenstellung und stelle deine
Lösung systematisch dar:
y
2
3
y
9
32
© T Deutschland
4·y
16·y²
6
- 24
x
2
x
3·y
45·y
© T³ Deutschland
13
Fertigkeiten
Hinweise
Aufgabe zu
6 rechnerspezifischen und rechnerfreien Fertigkeiten
die Lücken:
InErgänze
dieser Einheit
a) ( + 3)  (y + 4) = a  y + ∇ + 4a + 12
kennen.2 Dieses Werkzeug
2 soll jedoch auf die Anwendung bei dynamischen Konstruktionen beschränkt
b) (y – 2)  (x + ) = y  x – 2x+ ∇ – 6
2
bleiben.
c) (y Eher
+ 4)  statische
(y – ) =Konstruktionen
x + x – 12
Aufgabe 7
Um ein(siehe
Rasenstück
a undrechnerfreie
der Länge bFertigkeiten
soll ein Weg
der Breite uns
c angelegt
werden.
werden
Kapitelder
19).Breite
Folgende
erscheinen
relevant:
Für den Term, der den Flächeninhalt des Weges beschreibt, gibt es unterschiedliche Ergebnisse:
Die
Schülerinnen 2ac
und+Schüler
sollen:
Jean-Luc:
2bc + 4c²
2c und
(a + Winkelgrößen
b + 2c)
1.Clara:
Streckenlängen
Moritz:
(a + 2c)  (b + 2c) – ab
zeichnen.
Umgekehrt
Streckenlängen,
Wer
hat die richtige
Lösung
gefunden? Begründe!
Aufgabe 8
Ergänze die folgenden Gleichungen bzw. forme entsprechend den binomischen Formeln um.
anfertigen.
2
2
2
b)
+ 28·x +
= (7·x
)
a)
+
=(
5·b)
36·a −
c)
– 8·rs +
DGS-Fertigkeiten
=(
s)
2
d)
2
81·m – 16 =
Fertigkeiten
Aufgabe 9 verfügen:
Finde mögliche Fehler und begründe.
2
2
2
2
2
2
a) zeichnen.
b)
(3·x + 5·y) = 3·x + 15·x·y + 5·y
(2·a – 3·b) = 4·a − 9·b
Aufgabe 10
a) zweier
StelleObjekte.
einen Term für den Umfang u auf und vereinfache soweit
a
wie möglich. Erläutere anschaulich mithilfe der Figur, warum der
5. ImUmfangsterm
Zugmodus Figuren
verändern.
von der Länge b ist.
unabhängig
b) Gib zwei verschiedene Terme für den Flächeninhalt an. Zeige,
die Terme
gleichwertig
sind,aufzeichnen.
und stelle jeweils einen
7. Imdass
Spurmodus
die Spur
eines Punktes
Bezug zu einer binomischen Formel her.
a
b
b
Aufgabe 11
a) Entscheide, welche Terme das Volumen der Figur beschreiben.
b) Erkläre, welche Strategie jeweils angewendet wurde.
c) Finde einen weiteren Term für das Volumen.
(1) x 2 ⋅ (x + 2) −
x
2
x x
⋅ ⋅ (x + 2)
2 2
1
(3) (x + 2) ⋅ (x 2 − x 2 )
4
(2) 3 ⋅
x
2
x
x 2 ⋅ (x + 2)
4
x+2
x
© T³ Deutschland
© T Deutschland
33
13
Fertigkeiten
Notizen
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
34
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Fertigkeiten
C A l i M E R O
Entdecken, Rechnen, Organisieren
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
Reelle Zahlen
© T³ Deutschland
© T Deutschland
35
13
Reelle Zahlen
Meth./Did. Hinweise und Mind Map
Fertigkeiten
Stunde
Seite
1
1. Einführung in die Quadratwurzel
40
2–4
2. Näherungsverfahren
43
5–6
3. Irrationalität
47
7–9
4. Rechnen mit Quadratzahlen
Rechnerfreie
Fertigkeiten
48
werden
(siehe
19). Folgende rechnerfreie Fertigkeiten erscheinen uns relevant:
Mind Map
mit Kapitel
Inhalten
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
36
© T Deutschland
T³ Deutschland
13
37
Überlegungen anderer
verstehen, auf
Schlüssigkeit überprüfen
und darauf eingehen
Lösungsansätze und
Lösungswege
präsentieren
Überlegungen anderen
mitteilen
kommunizieren
Schülerinnen und Schülern schwerpunktmäßig erworben werden:
Reelle Zahlen
Fertigkeiten
Terme und Termumformungen
2
Kompetenzen
Reelle Zahlen
Fertigkeiten
beziehungsweise
Rechnerfreie
Fertigkeiten
Überschaubare Terme
umformen
Mathematische
Mit symbolischen,
Darstellungen
formalen, …
verwenden
Geometrische
Terme mit Variablen
Sachverhalte algebraisch
darstellen und umgekehrt Tabellen, Graphen,
Terme und Gleichungen
nutzen
Fertigkeiten
erscheinen
Diese
Fertigkeiten
sollenuns
in relevant:
Taschenrechner zur
Kontrolle
Verfahren zur Lösung
linearer Gleichungen
Die Schülerinnen
und 19).
Schüler
werden
(siehe Kapitel
Folgende
DGS-Fertigkeiten
Interpretieren Ergebnisse
Mathematische Verfahren
Verwenden Terme mit
anwenden
Variablen, Gleichungen
Lösungsvielfalt
Ermitteln Lösungen im
Ergebnisse beurteilen
Modell
Mathematische
Sachverhalte, Regeln,
Verfahren und
Zusammenhänge
erläutern
Einflussfaktoren finden
und beschreiben
Heurismen anwenden
Vermutungen präzisieren
Mathematisch
modellieren
Beispiele:
zeichnen.
2
2
2. Die
Mittelsenkrechte,
a) Befehle
3⋅x + 2 –
x
3. Dateien
(elektronische
2.
Multipliziere
aus:
a) 2Konstruieren
⋅ (x – 1)
x ⋅ (x
4. Beim
Punkt,
c) (x + 1) ⋅ (y – 3)
d) (a + b + 5) ⋅ (x + 7)
zweier Objekte.
Klammere aus:
5. Ima)Zugmodus
b) a – b ⋅ a
x
y
© T³ Deutschland
© T Deutschland
d
c
b) (y – 3)
2
2
2
b) 4⋅x – 24⋅xy + 9⋅y
© T³ Deutschland
2
a) a + 6⋅a + 9
Mathematisch
argumentieren
Kompetenzen
2
a) (x – 1)
Wissen für mehrschrittige
Argumentationen nutzen Ursachen für Fehler
erklären
Lösungswege
Probleme
mathematisch lösen
Spurmodus dienach.
37
11
13
Erkennen quadratischer
Zusammenhänge als
Zuordnungen zwischen Zahlen
Anwenden der Eigenschaften
reinquadratischer Funktionen zur
Lösung von Problemen und
Stunde
Seite
1–3
Produkte von Summen
13
4 – 10
Binomische Formeln
17
11 – 13
22
T³ Deutschland
Daten und Zufall
Kompetenzen
Terme
und Termumformungen 2
Mind Map
Reelle Zahlen
Kompetenzen
Fertigkeiten
Darstellen reinquadratischer
Funktionen durch Terme und
Gleichungen
Diese
Fertigkeiten
Mind Map
mit Inhalten
Raum und Form
DGS-Fertigkeiten
Berechnen und Schätzen
des Umfangs und
Flächeninhalts geradlinig
begrenzter Figuren
zeichnen.
Größen und Messen
zweier Objekte.
38
8
© T Deutschland
© T ³ Deutschland
13
38
Exemplarisches Begründen und Anwenden der
Rechengesetze für Quadratwurzeln
Umformen von Termen mithilfe der Rechengesetze
Nutzen von Termen und Gleichungen zur
mathematischen Argumentation
Erkennen und Vergleichen der Struktur von Termen
Veranschaulichen und Interpretieren von Termen
Beschreiben von Sachverhalten durch Terme und
Gleichungen
Lösen einfacher Rechenaufgaben im Bereich der
reellen Zahlen
Ausführen von Rechnungen mit dem eingeführten
Rechner und deren Bewertung
a2 = a
Kennen der Identität
Nennen kennzeichnender Unterschiede zwischen
rationalen und irrationalen Zahlen
Beschreiben und Anwenden von Näherungsverfahren
Erläutern von Grenzen der Beschreibung reeller Zahlen
durch Dezimalbrüche
Begründen der Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung von rationalen zu reellen Zahlen an
Beispielen
Reelle Zahlen
Fertigkeiten
Reelle Zahlen
Fertigkeiten
Obwohl die Einheit "Reelle Zahlen" mit Verwendung des TC als Werkzeug unterrichtet wird, sollen
bestimmte Fertigkeiten von den Schülerinnen und Schülern auch rechnerfrei erworben und beherrscht
werden. Diese Fertigkeiten sollen in der Klassenarbeit oder in Kurztests nachgewiesen beziehungsweise
abgeprüft
werden.
Folgende rechnerfreie Fertigkeiten erscheinen uns relevant:
Rechnerfreie
Fertigkeiten
Die
Schülerinnen
Schüler
sollen:
Diese
Fertigkeitenund
sollen
in der
Klassenarbeit oder in Kurztests nachgewiesen beziehungsweise abgeprüft
1. Berechnen von Wurzeln einfacher Quadratzahlen im Kopf, z. B. 81 , 41 , 0,01 .
1. Streckenlängen
und Wurzeln,
Winkelgrößen
Angaben
abtragen
2. Abschätzen von
z. B. nach
zwischen
3 und 4, sowie
da 3² <Kreise
13 < 4²mit
. vorgegeben Radien
13 liegt
3. Anwenden des Zusammenhangs zwischen Quadrieren und Wurzelziehen, z. B. 3 2 , ( −1)2 .
4. VereinfachenWinkelhalbierende
einfacher Wurzelterme
mithilfe der Regelnals
fürOrtslinie
Produktbegreifen.
und Quotient, z. B.
3
20xy
4. Konstruktionen
von, Dreiecken
3b , 12b
. und Vierecken nach Angaben durchführen.
5xy
CAS-Fertigkeiten
DGS-Fertigkeiten
1. Berechnen
von Quadratwurzeln
Fertigkeiten
verfügen:
2. Bestimmen von
für Quadratwurzeln
mit dem
Intervallhalbierungsund dem Radien
Heron1. Streckenlängen
undNäherungswerten
Winkelgrößen nach
Angaben abtragen
sowie
Kreise mit vorgegeben
Verfahren
zeichnen.
3. Befehle
Vereinfachen
von Wurzeltermen
unter Anwendung
von "expand",
Verständnis fürverwenden.
die Rechner2. Die
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
in Konstruktionen
ausgabe,
bei der Wurzeln
teilweise
gezogen
wurden
Nenner rational gemacht wurden.
3. Dateien
(elektronische
Arbeitsblätter)
in den
TC laden
undund
aufrufen.
zweier Objekte.
© T³ Deutschland
© T Deutschland
39
13
Reelle Zahlen
Fertigkeiten
Meth./Did. Hinweise
Thema 1.: Einführung der Quadratwurzel
Dauer: 1 Stunde
Die Einführung der Quadratwurzel erfolgt an einem anwendungsbezogenen Beispiel. Dabei wird das HeronInVerfahren
dieser Einheit
angebahnt.
kennen.
Dieses
Besondere
Materialien/Technologie:
bleiben.
statische
Konstruktionen
werden
LM FolieEher
1.1 ggf.
1.2; SM
Arbeitsblatt 1.1
und 1.2
Inhalt
Medien
Kommentar
Einstieg:
Auszug aus der Gebührenordnung einer Stadt:
LM 1.1
PA
§1 Die Kosten für die Straßenreinigung werden wie
als Folie
zeichnen.
Winkelgrößen
und Kreisradien messen.
folgt Umgekehrt
berechnet: Streckenlängen,
Jedes Grundstück
wird in ein
SM 1.1
quadratisches
Grundstück verwandelt,
wobei der
Winkelhalbierende
mit Geodreieck zeichnen.
Flächeninhalt gleich bleiben soll. Die Gebühren
Aufg. 1
undder
Seitenhalbierende
richten sich Winkelhalbierende
ausschließlich nach
Seitenlänge
des Quadrates.
4. Konstruktionen
anfertigen.
§2 Im Jahr sind pro Meter
Quadratseite 32,75 €
(einschließlich Mehrwertsteuer) zu entrichten.
DGS-Fertigkeiten
Erarbeitung:
Im
Schüler-Lehrer-Gespräch
Vergleich
Bearbeitungen:
Fertigkeitender
verfügen:
Müller:
25 m * 32,75und
€/mWinkelgrößen
= 818,75 €
1.
Streckenlängen
Mayer:
17 m * 32,75 €/m = 556,75 €
zeichnen.
Schulze:
20,22Mittelsenkrechte,
m * 32,75 €/m =Winkelhalbierende
662,21 € (dieses Ergebnis
hängt
2.
Die Befehle
von
der gewählten
Genauigkeit
für die Quadratseite
ab). und aufrufen.
3.
Dateien
(elektronische
Arbeitsblätter)
in den TC laden
Für
die Konstruieren
Berechnung die
des Punkttypen
Grundstücks
der Familie Schulze
kannPunkt an Objekt binden und Schnittpunkt
4.
Beim
unterscheiden:
freier Punkt,
neben
Entwicklung eines Probierverfahrens davon ausgezweierder
Objekte.
gangen
werden,Figuren
dass verändern.
einige Schülerinnen oder Schüler die
5.
Im Zugmodus
Quadratwurzeltaste
bereits entdeckt
6.
auf diehaben.
Zugfestigkeit der Objekte achten.
Sicherung:
7.
Im Spurmodus die Spur eines Punktes aufzeichnen.
Der Begriff der Quadratwurzel wird eingeführt. Dabei sollte auf die
LM 1.2
Eindeutigkeit hingewiesen werden (unterstützend kann der Comic
als Folie,
zur Problematisierung eingesetzt werden).
Wissens-
LV
speicher
Übungen
SM 1.2,
EA / PA
Aufg.
1–3
40
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Reelle Zahlen
Fertigkeiten
LM 1.1
In
dieserGrundstückseigentümer
Einheit lernen die Schülerinnen muss
und Schüler
Cabri
Geometry
des TC
Jeder
für die
Straßenreinigung
eine
Gebühr
bezahlen.
Die Grundstücke der Familien haben folgende Maße:
Familie
Müllersollen
12,5inmderx Klassenarbeit
50 m, Familie
34nachgewiesen
m x 8,5 mbeziehungsweise
und
Diese
Fertigkeiten
oder inMayer
Kurztests
abgeprüft
werden
(siehe
Kapitel 19).
Folgende
rechnerfreie
Familie
Schulze
12,5m
x 32,72
m. Fertigkeiten erscheinen uns relevant:
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
Auszug
aus der
Gebührenordnung
einer
Stadt:achten.
6. Beim eigenen
Konstruieren
auf die Zugfestigkeit
der Objekte
§1 Die Kosten für die Straßenreinigung werden wie folgt berechnet:
Jedes Grundstück wird in ein quadratisches Grundstück
verwandelt, wobei der Flächeninhalt gleich bleiben soll. Die
Gebühren eines Grundstückes richten sich unabhängig von der
Form ausschließlich nach der Seitenlänge eines gleich großen
Quadrates.
§2 Im Jahr 2007 sind pro Meter Quadratseite 32,75 €
(einschließlich Mehrwertsteuer) zu entrichten
© T³ Deutschland
© T Deutschland
41
13
Reelle Zahlen
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
LM 1.2
In
dieser Stellung.
Einheit lernen die Schülerinnen und Schüler das Geometrie-Werkzeug Cabri Geometry des TC
Nimm
   
   
   
   

 
 
Diese Fertigkeiten sollen in der Klassenarbeit oder in Kurztests nachgewiesen
beziehungsweise
abgeprüft
    
zeichnen. Umgekehrt Streckenlängen,
Winkelgrößen
 und Kreisradien messen.
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
42
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Reelle Zahlen
Thema 2.: Näherungsverfahren
Dauer: ca. 3 Stunden
Es soll die Frage untersucht werden, wie man ohne eine Quadratwurzeltaste Wurzeln berechnen kann.
InDabei
diesersteht
Einheit
die Schülerinnen
und Schüler das Geometrie-Werkzeug
Cabriauch
Geometry
des TC
daslernen
Heron-Verfahren
als Rechner-Algorithmus
im Mittelpunkt, aber
das Intervallkennen.
Dieses Werkzeug
soll jedoch Mit
auf dem
die Anwendung
bei dynamischen
Konstruktionen
beschränkt
halbierungsverfahren
wird thematisiert.
Heron-Verfahren
lernen die Schülerinnen
und Schüler
die
bleiben.
statischekennen.
Konstruktionen
werden rechnerfrei
„Bleistift
und
Papier“
durchgeführt.
TechnikEher
der Iteration
Die Umsetzung
der Iterationmit
auf
dem TC
erfolgt
in einfacher
Weise im -
Bildschirm.
LM 2.1; SM 2.1 – 2.3
Inhalt
Medien
Kommentar
Einstieg:
Die Frage nach der Berechnung einer Quadratwurzel wird gestellt. Tafel
UG
Dazu wird die Grundidee für das Heron-Verfahren als Comic LM 2.1
vorgestellt.
als Folie
Erarbeitung:
Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten das Arbeitsblatt.
DGS-Fertigkeiten
PA
Sicherung:
Im
Die Vorgehensweise
Fertigkeiten
verfügen:
wird
vorgestellt
und
die
Ergebnisse
SM 2.1,
UG
verglichen.
Das Gespräch
sollte auf nach
zwei Angaben
Aspekte abtragen
fokussiert sowie
Aufg. Kreise
1
1.
Streckenlängen
und Winkelgrößen
werden:
zeichnen.
• Es
ein sich
wiederholender
Rechenschritt vor.
2.
Dieliegt
Befehle
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
• Die
Entwicklung
der Arbeitsblätter)
Nachkommastellen
sichaufrufen.
nur
3.
Dateien
(elektronische
in den stabilisiert
TC laden und
es könnte
ein nicht abbrechender
4. scheinbar,
Beim Konstruieren
die Punkttypen
unterscheiden: Dezimalbruch
vorliegen
(Endziffernbetrachtung).
zweier Objekte.
Hausaufgabe:
5.
Wende
auf die
Weise für der
die Berechnung
6.
Beim dieses
eigenenVerfahren
Konstruieren
aufgleiche
die Zugfestigkeit
Objekte achten.
7.
Im Spurmodus
20 an.
von
© T³ Deutschland
© T Deutschland
43
13
Reelle Zahlen
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Inhalt
Medien
Kommentar
InEinstieg:
kennen.
Dieses Werkzeug
jedoch auf die
Die Vorgehensweise
beim soll
Heron-Verfahren
wirdAnwendung
rekapituliertbei
unddynamischen
Tafel
bleiben.
Konstruktionen
werdenüber.
rechnerfrei mit „BleistiftLM
und2.2
leitet zuEher
einerstatische
systematischen
Untersuchung
als Folie
Erarbeitung:
Anhand der Zeichnungen zur schrittweisen Umwandlung des SM 2.2,
LSG
Rechtecks in ein flächengleiches Quadrat wird die Iterationsformel Aufg. 1
entwickelt. Die "Iterationsmaschine" soll den Prozess veran1. Streckenlängen und Winkelgrößen nach Angaben abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
schaulichen. Mit der Aufgabe 2 lernen die Schülerinnen und
Schüler die entsprechende Rechnersyntax kennen.
Sicherung/Übung:
EA / PA
Die Schülerinnen und Schüler wenden das Verfahren an.
SM 2.2,
Aufg. 2, 3
Hausaufgabe:
Intervallhalbierungsverfahren im Vergleich zum Heron-Verfahren.
SM 2.3,
DGS-Fertigkeiten
AlsUmgang
vorbereitende
Aufgabe
die Betrachung
Irrationalität
Aufg.
1, 2 der Einheit über folgende
Im
mit der
DGS für
(Cabri
Geometry)der
sollen
die Schüler am
Ende
sollte die Aufgabe
SM 2.3, Aufg. 2 rechtzeitig gestellt werden.
Fertigkeiten
verfügen:
zeichnen.
zweier Objekte.
44
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Reelle Zahlen
Fertigkeiten
LM 2.1
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
© T³ Deutschland
© T Deutschland
45
13
Reelle Zahlen
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
LM 2.2
In
dieser Einheit
Aufgabe
1 lernen die Schülerinnen
Heron-Verfahren
Du hast gesehen, dass das auf Blatt 1.2.1 durchgeführte Verfahren schon
nach wenigen Schritten eine gute Näherung für eine Wurzel liefert. Es trägt
den Namen
und
wird
bei Taschenrechnern
zur näherungsDiese
Fertigkeiten"Heron-Verfahren"
sollen in der Klassenarbeit
oder
in Kurztests
nachgewiesen beziehungsweise
abgeprüft
werden
(siehe
Kapitel 19). Folgende
erscheinen
uns relevant:
weisen
Berechnung
von rechnerfreie
Wurzeln Fertigkeiten
verwendet.
Hierzu
ist aber
eine Formel
erforderlich, die du im Folgenden veranschaulichen und nachvollziehen sollst.
2
6 cm
= 12 cm
Winkelhalbierende
2 cm
5. 12
anfertigen.
cm2
DGS-Fertigkeiten
Im Umgang mit der DGS
2
12
cm
(Cabri Geometry)
3 cm =
sollen die Schüler am
2
12
cm
Ende der Einheit
über folgende
azeichnen.
= 2 cm
a=
a = 4 cm
cm
zweier Objekte.
Werte mit
46
© T Deutschland
der "Iterationsmaschine" berechnen:
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Reelle Zahlen
Thema 3.: Irrationalität
Dauer: 2 Stunden
Die Irrationalität wird altersgemäß betrachtet und ein Bewusstsein für das Vorliegen von "neuartigen"
InZahlen
diesergeschaffen.
Einheit lernen
diewird
Schülerinnen
und
Schüler das erweitert.
Geometrie-Werkzeug
Geometry
des
Damit
der bisherige
Zahlenbereich
Die Tiefe der Cabri
Bearbeitung
sollte
an TC
die
kennen.
Dieses
Werkzeug
soll jedoch auf die Anwendung bei dynamischen Konstruktionen beschränkt
Lerngruppe
angepasst
werden.
bleiben.
EherMaterialien/Technologie:
statische Konstruktionen werden rechnerfrei mit „Bleistift und Papier“ durchgeführt.
Besondere
SM 3.1
Inhalt
Medien
Kommentar
Hausaufgaben-Besprechung:
Ergebnis: Eine Bruchzahl lässt sich in einen abbrechenden oder Tafel
UG
periodischen Dezimalbruch umwandeln und umgekehrt.
PA
Fragestellung: Erhält man beim Berechnen von
6 einen
Dezimalbruch,
dessen
Quadrat genau
6 ist?
4.abbrechenden
Konstruktionen
von Dreiecken
und Vierecken
nach Angaben
durchführen.
Schülerinnen und Schüler anfertigen.
stellen Vorüberlegungen an. Als
5.Die
Anregung dazu sollten sie auf die n-te Nachkommastelle
DGS-Fertigkeiten
hingewiesen werden, die bei der Multiplikation der Zahl mit sich
Im
Umgang
mit werden
der DGS
(Cabri
die Periode
Schüler am Ende der Einheit über folgende
selbst
nicht Null
kann.
DamitGeometry)
ist natürlichsollen
eine evtl.
Fertigkeiten
verfügen:
nicht ausgeschlossen.
1.
Streckenlängen und Winkelgrößen nach Angaben abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
Erarbeitung:
zeichnen.
Für
die Erarbeitung sind zwei Varianten vorgesehen, die beide
für
Variante
2.
Die Befehle
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
in 2,Konstruktionen verwenden.
zum
Widerspruchsbeweis
führen.
Während Variante
1 ein
SM 3.1,
3.
Arbeitsblätter)
in den
TC laden
und aufrufen.
gelenktes
Unterrichtsgespräch
erfordert,
fördert
Variante
2 mit
Aufg. 1
4.
BeimBeweispuzzle
Konstruieren mehr
die Punkttypen
einem
die Schüleraktivität.
zweier Objekte.
Variante 1: 6 müsste also ein periodischer Dezimalbruch sein
a
und einfacher als Bruch geschrieben werden können: 6 =
,
6. Beim eigenen Konstruieren auf die Zugfestigkeit der Objekte bachten.
wobei dieser vollständig gekürzt sein soll. Daraus ergäbe sich
a a a⋅a
. Der rechte Bruch ist aber nicht
6= 6⋅ 6 = ⋅ =
b b b⋅b
Tafel
kürzbar, kann also nicht genau 6 sein. Widerspruch!
Ergebnis:
LSG
6 ist keine rationale Zahl, hat also unendlich viele
Nachkommastellen, allerdings ohne Periode.
Sicherung:
Benennung als irrationale Zahlen.
LV
Rationale Zahlen und irrationale Zahlen bilden die Menge der
reellen Zahlen. Dazu bietet es sich an, ein Mengenbild an der
Tafel
Tafel zu entwerfen.
Hausaufgabe:
Zusätzliche Aufgabe:
Wissens-
Schreibe einen Zeitungsartikel zu dem Thema:
speicher
"Die Klasse 8x entdeckt neue Zahlen!"
SM 3.1,
Aufg. 2, 3
© T³ Deutschland
© T Deutschland
47
13
Reelle Zahlen
Fertigkeiten
Meth./Did. Hinweise
Thema 4.: Rechnen mit Quadratwurzeln
Dauer: ca. 3 Stunden
Die Schülerinnen und Schüler entdecken, wie man mit Wurzeln rechnet. Dazu lernen sie Regeln kennen
Inund
dieser
Einheit
lernen
dieWurzeln
Schülerinnen
formen
Terme
um, die
enthalten.
kennen.
Dieses
Besondere
Materialien/Technologie:
bleiben.
SM 4.1 Eher statische Konstruktionen werden rechnerfrei mit „Bleistift und Papier“ durchgeführt.
Ablauf der Stunden 1 – 3:
Inhalt
Medien
Kommentar
Einstieg:
Die Schülerinnen und Schüler werden mit richtigen und falschen SM 4.1,
EA / PA
Rechnungen mit Wurzeln konfrontiert.
Aufg. 1
Erarbeitung:
Mit dem TC werden diese Rechnungen überpüft (-Einstellung
EA / PA
AUTO oder EXACT) und die erfolgten automatischen
Umformungen des TC analysiert.
(Hinweis: Beim Umformen von Wurzeltermen mit dem TC taucht
unweigerlich teilweises Wurzelziehen und Rationalmachen des
DGS-Fertigkeiten
Nenners
auf.)mit der DGS (Cabri Geometry) sollen die Schüler am Ende der Einheit über folgende
Im
Umgang
Sicherung:verfügen:
Fertigkeiten
Formulierung
der Wurzelgesetze
Wissens1.
Streckenlängen
und Winkelgrößen nach Angaben abtragen sowie
Kreise UG
zeichnen.
speicher
Übungen
2.
3. Dateien (elektronische Arbeitsblätter) in den TC laden und aufrufen.SM 4.1,
PA
Aufg.
4. Beim Konstruieren die Punkttypen unterscheiden: freier Punkt, Punkt
an Objekt binden und Schnittpunkt
zweier Objekte.
2–6
48
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Wissensspeicher
Reelle Zahlen
Fertigkeiten
5. Wissensspeicher
InQuadratwurzel
Unter
Quadratwurzel
a (kurz:
aus a) versteht
man
Wurzelzeichen beschränkt
kennen.einer
Dieses
Werkzeug sollaus
jedoch
auf Wurzel
die Anwendung
bei dynamischen
Konstruktionen
diejenige
nichtnegative
Zahl, die mit werden
sich selbst
multipliziert
die Zahl
bleiben.
Eher
rechnerfrei
mit „Bleistift
unda Papier“ durchgeführt.
ergibt.
Radikand
Schreibweise: a .
Diese Fertigkeiten sollen in der Klassenarbeit oder in Kurztests nachgewiesen beziehungsweise
abgeprüft
2
a = a; a ≥ 0
Die
Zahl
unter
dem
Wurzelzeichen
heißt
Radikand.
a
( )
Das
Bestimmen und
der Quadratwurzel
2
Die
Schülerinnen
Schüler sollen:heißt Wurzelziehen (Radizieren).
5 =5
Die Quadratwurzel
einer Zahl ungleich
Null ist immer
positiv.
1.Beachte:
Streckenlängen
und Winkelgrößen
nach Angaben
abtragen
( )
zeichnen. Umgekehrt
Beispiele:
und 12 ≥ 0 und Kreisradien messen.
144 = 12Streckenlängen,
, denn 122 = 144Winkelgrößen
2. Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende
0,04 = 0,2 , denn 0,22 = 0,04 und 0,2 ≥ 0
2
3
9
3
 3  Vierecken
4. Konstruktionen9von
= Dreiecken
, denn  und
und nach
≥ 0 Angaben durchführen.
 =
25 5
5
25
5

0 = 0 , denn 02 = 0 und 0 ≥ 0
DGS-Fertigkeiten
Das Heron-Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von a .
Beispiel: 8
Geometrische Darstellung des Heron-Verfahrens:
8
zeichnen.
Breite x
Mittelwert
Länge
x
1. Starte mit einem Rechteck mit dem Flächeninhalt
A = 8 (FE), z. B. mit der Breite 2 (LE) und Länge 4 (LE).
2
4
3
3. Dateien (elektronische Arbeitsblätter) in2.
denVerwandle
TC laden und
dasaufrufen.
Rechteck in ein flächengleiches Rechteck.
Neue
Breite:
Mittelwert
"alter"binden
Breiteund
und
Länge.
3
2,66667
2,83333
4. Beim Konstruieren die Punkttypen unterscheiden: freier Punkt, Punkt aus
an Objekt
Schnittpunkt
Neue Länge: Flächeninhalt dividiert durch neue Breite
zweier Objekte.
2,83333
2,82353
2,82843
3. Verwandle dieses Rechteck erneut in ein flächengleiches
Rechteck wie in 2.
2,82843
2,82842
2,82843
usw. der Objekte achten.
6. Beim eigenen Konstruieren auf die Zugfestigkeit
2,82843
2,82843
7.2,82842
Im Spurmodus
die Spur eines
Punktes aufzeichnen.
Die Zahlen in der Tabelle sind gerundet. Es wurde aber mit der maximalen Rechnergenauigkeit weiter
gerechnet.
Eine Möglichkeit, mit dem Voyage 200 das HeronVerfahren geschickt umzusetzen.
© T³ Deutschland
© T Deutschland
49
13
Reelle Zahlen
Fertigkeiten
Wissensspeicher
InIntervallhalbierungsverfahren
Das
Intervallhalbierungsverfahren
ist einauf
weiteres
Verfahren zur
Bestimmung von
a.
kennen.
Dieses Werkzeug soll jedoch
die Anwendung
beinäherungsweisen
dynamischen Konstruktionen
beschränkt
Beispiel: 8
linke Intervallgrenze x
rechte Intervallgrenze y Mittelwert aus x und y
Wo liegt 8 ?
2
3
2,5
2,52 = 6,25 < 8
2,5 (siehe Kapitel 19). Folgende
3
2,75 erscheinen uns relevant:
2,752 = 7,5625 < 8
werden
rechnerfreie Fertigkeiten
Die2,75
Schülerinnen und Schüler3sollen:
2,875
2,8752 ≈ 8,27 > 8
2,75
2,875
2,8125
2,8125 2 ≈ 7,91 < 8
2,875
2,84375mit Geodreieck zeichnen.
2,843752 ≈ 8,09 > 8
2. 2,8125
Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende
Man benötigt im Vergleich zum Heron-Verfahren viel mehr Iterationsschritte für eine Genauigkeit von z. B.
4.vier
Konstruktionen
Dezimalstellen.
DGS-Fertigkeiten
Reelle Zahlen
− Rationale Zahlen
sind Zahlen, die sich mit Brüchen angeben lassen. Gibt man sie als Dezimalbrüche an, so sind sie
1. Streckenlängen
Winkelgrößen nach Angaben abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
abbrechend oderund
periodisch.
4
zeichnen.
; 0,7 ; 0,1245
0,5 ; 3 ; - 7 ;
9
− Irrationale Zahlen
lassen
sich nicht als
darstellen.
Als Dezimalbruch
geschrieben
siebinden
nicht abbrechend
und
4. Beim
Konstruieren
die Bruch
Punkttypen
unterscheiden:
freier Punkt,
Punkt an sind
Objekt
und Schnittpunkt
auch nicht periodisch.
zweier
2 ; Objekte.
13 ; 4 + 6 ; 0,101001000100001…
Wurzelgesetze
7.
Im Spurmodus die Spur eines Punktes aufzeichnen.
Summen und Wurzeln
2 8 + 3 8 = (2 + 3) 8 = 5 8
Für x ≥ 0 gilt das Distributivgesetz:
Produkte und Wurzeln
3 ⋅ 12 = 3 ⋅ 12 = 36 = 6
Für x ≥ 0 und y ≥ 0 gilt:
Quotienten und Wurzeln
24
6
=
24
= 4 =2
6
Teilweises Wurzelziehen
32 = 16 ⋅ 2 = 16 ⋅ 2 = 4 2
Rationalmachen des Nenners
5
3
=
5⋅ 3
3⋅ 3
=
50
© T Deutschland
a x + b x = (a + b) x
x ⋅ y = x⋅y
Für x ≥ 0 und y > 0 gilt:
x
y
=
x
y
Für x ≥ 0 gilt:
16 ⋅ x = 4 ⋅ x
15
3
© T³ Deutschland
13
Selbsteinschätzung
Reelle Zahlen
Fertigkeiten
Kenntnisse
und mache ein
in der
InSchätze
dieser deine
Einheit
lernen dieein
Schülerinnen
undKreuz
Schüler
dasentsprechenden
Geometrie-Werkzeug
ich muss
ich
Ich kann
noch
brauche
sicher
üben
Hilfe
Rechnerfreie
Fertigkeiten
• von einem Quadrat bei gegebenem Flächeninhalt die Seitenlänge
abschätzen
Diese Fertigkeiten
2
A = 300 cm , dann ist 17 cm < a <18 cm
werden
(siehe Kapitel
19). Folgende
rechnerfreie
Fertigkeiten
erscheinen uns relevant:
• ein Rechteck
schrittweise
in ein Quadrat
mit gleichem
Flächeninhalt
umwandeln und Schüler sollen:
Die Schülerinnen
Wurzeln mit einem
und in einer
1.• Streckenlängen
und Näherungsverfahren
Winkelgrößen nach berechnen
Angaben abtragen
Tabelle darstellen (Heron- oder Intervallhalbierungsverfahren)
Wurzeln mit dem Winkelhalbierende
TC berechnen
Seitenhalbierende
über eine Endziffernbetrachtung
begründen,
dass bestimmte
Wurzeln wie z. von
B. Dreiecken
2 irrationale
sind nach Angaben durchführen.
4. Konstruktionen
undZahlen
Vierecken
Beispiele für irrationale und
rationale Zahlen angeben sowie
5.• Konstruktionsbeschreibungen
anfertigen.
begründen
DGS-Fertigkeiten
• erklären, was ein Widerspruchsbeweis ist
• Wurzelterme
mithilfe der Wurzelgesetze vereinfachen
Fertigkeiten
verfügen:
• Umformungen von Wurzeltermen mithilfe der Wurzelgesetze
begründen
zeichnen.
zweier Objekte.
© T ³ Deutschland
© T Deutschland
51
13
Fertigkeiten
Aufgabe
In
dieser 1Einheit lernen die Schülerinnen und Schüler das Geometrie-Werkzeug Cabri Geometry des TC
7
a) Ordne
derstatische
Größe nach:
12; 3,4; werden
10; ; rechnerfrei
4.
bleiben.
Eher
Konstruktionen
2
b) Vereinfache:
⋅ 12
5 2 ⋅ 32
2 ⋅ 2 + beziehungsweise
8
Diese 3Fertigkeiten
sollen in der Klassenarbeit
oder in Kurztests nachgewiesen
abgeprüft
(
)
Aufgabe 2
Fasse
soweit Umgekehrt
wie mögliche
zusammen: Winkelgrößen und Kreisradien messen.
zeichnen.
Streckenlängen,
7 ax + 3 bx + 2 ax
9 7 −6+3 7 +3− 7 .
Aufgabe 3
5.
anfertigen.
a) Konstruktionsbeschreibungen
Berechne: 72 : 2 .
b) Die Seiten eines Quadrates wurden verdoppelt. Wie verändert sich der Umfang?
DGS-Fertigkeiten
c) Gib die beiden ganzen Zahlen an, zwischen denen 6 liegt.
1. Streckenlängen
Aufgabe
4
zeichnen.
Berechne 5 ⋅ 20 + 5
(
)
. 3. Dateien (elektronische Arbeitsblätter) in den TC laden und aufrufen.
zweier Objekte.
52
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Reelle Zahlen
Fertigkeiten
Hinweis: Die folgenden Aufgaben sollten mit Aufgaben aus einem anderen Themenbereich kombiniert werden.
Aufgabe 1
Bestimme die Seitenlänge eines quadratischen Grundstücks der Größe
a)
441 m²
Rechnerfreie
Fertigkeiten
b) 401 m².
Aufgabe(siehe
2
werden
Kapitel 19). Folgende rechnerfreie Fertigkeiten erscheinen uns relevant:
abbrechender
Begründe,
dass und
5 kein
Die
Schülerinnen
Schüler
sollen: Dezimalbruch ist.
Aufgabe
zeichnen.
Führe
zwei Schritte zur
Verbesserung eines
Näherungswertes
fürzeichnen.
8 mit einem Verfahren
2.
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
und ganzzahligen
Seitenhalbierende
mit Geodreieck
deiner
Wahl durch. Winkelhalbierende und Seitenhalbierende als Ortslinie begreifen.
Aufgabe 4
Vereinfache so weit wie möglich. Achte darauf, dass zum Schluss keine Wurzeln im Nenner enthalten sind.
DGS-Fertigkeiten
c) 3p ⋅ 6pq ⋅ 8r
b) 3 ⋅ 75 + 2 ⋅ 48 + 2
a) 800
4
2
18 y 3
13
3
Fertigkeiten
verfügen: e)
d)
f)
g)
h)
3⋅ 8
3
5 − 13
5+ 6
2y
1. Streckenlängen und Winkelgrößen nach Angaben abtragen sowie Kreise mit vorgegeben
Radien
zeichnen.
Aufgabe
5
2. Die Befehle
Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende in Konstruktionen verwenden.
Schreibe
unter
ein Wurzelzeichen.
3. Dateien
(elektronische
5 die Punkttypen
a) 2 ⋅ 7
b)
c ) a3 ⋅ b
zweier Objekte.5
Aufgabe
6
6. Beim eigenen
Konstruieren auf die Zugfestigkeit der Objekte achten.
Erkläre
die nebenstehend
TCPunktes
durchgeführten
7. Im Spurmodus
die Spurvom
eines
aufzeichnen.
Umformungen.
Aufgabe 7
Entscheide, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist:
(1 + 2 ) ⋅ (1 − 2 )
ist eine irrationale Zahl.
Aufgabe 8
Entscheide, welche der folgenden Zahlen eine rationale bzw. irrationale Zahl ist und begründe.
a)
26
b) 0,45454545 ...
© T ³ Deutschland
© T Deutschland
c)
0,16
d)
7
5
53
13
Fertigkeiten
Notizen
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
54
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Fertigkeiten
C A l i M E R O
Entdecken, Rechnen, Organisieren
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
Satz von Pythagoras
© T ³ Deutschland
© T Deutschland
55
13
Satz von Pythagoras
Mind Map
Fertigkeiten
Stunde
Seite
1–3
1. Erarbeitung des Satzes von Pythagoras
61
4–6
2. Anwendungen des Satzes von Pythagoras
63
7–9
3. Umkehrung des Satzes von Pythagoras
64
Diese
Fertigkeiten
Mind Map
mit Inhalten
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
56
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
57
organisieren die Arbeit im Team
selbstständig
strukturieren, interpretieren,
analysieren und bewerten
Daten und Informationen aus
Texten und mathematikhaltigen
Darstellungen
verstehen Überlegungen von
anderen zu mathematischen
Inhalten, überprüfen diese auf
Schlüssigkeit und gehen darauf
ein
präsentieren Lösungsansätze
und Lösungswege, auch unter
Verwendung geeigneter Medien
teilen ihre Überlegungen
anderen verständlich mit, wobei
sie zunehmend die
Fachsprache benutzen
kommunizieren
Schülerinnen und Schülern schwerpunktmäßig erworben werden:
Satz von Pythagoras
Fertigkeiten
Terme und Termumformungen
2
Kompetenzen
Satz von Pytagoras
Fertigkeiten
beziehungsweise
Rechnerfreie
Fertigkeiten
nutzen Lexika, Schulbücher
Printmedien und elektronische
Medien zur selbstständigen
Informationsbeschaffung
Taschenrechner beim Wechsel
zwischen verschiedenen
Darstellungsformen
Taschenrechner und
Geometriesoftware zur
Darstellung und Erkundung
mathematischer Zusammenhänge sowie zur Bestimmung
von Ergebnissen
Taschenrechner zur Kontrolle
können überschaubare Terme
mit Variablen zusammenfassen,
ausmultiplizieren und ausklammern, um mathematische
Probleme zu lösen
erfassen und beschreiben
Zuordnungen mit Variablen und
Termen
Fertigkeiten
erscheinen
Diese
Fertigkeiten
sollenuns
in relevant:
Mit symbolischen,
formalen, …
Die Schülerinnen
und 19).
Schüler
werden
(siehe Kapitel
Folgende
stellen geometrische
Sachverhalte algebraisch dar
und umgekehrt
stellen funktionale
Zusammenhänge durch
Tabellen, Graphen oder Terme
dar, auch unter Verwendung
des eingeführten
Taschenrechners, interpretieren
und nutzen solche
Darstellungen
Mathematische
Darstellungen
verwenden
DGS-Fertigkeiten
verwenden Terme zur
Ermittlung von Lösungen im
mathematischen Modell
wählen Modelle zur
Beschreibung überschaubarer
Realsituationen und begründen
ihre Wahl
Beispiele:
zeichnen.
2
2
2. Die
Mittelsenkrechte,
a) Befehle
3⋅x + 2 –
x
© T³ Deutschland
© T Deutschland
2
2
beurteilen ihre Ergebnisse,
Lösungswege und
Problemlösestrategien
ziehen die Möglichkeit mehrerer
Lösungen in Betracht und
überprüfen diese
wenden algebraische,
numerische, grafische
Verfahren oder geometrische
Konstruktionen zur
Problemlösung an
d
b) (y – 3)
c
2
verschiedene Lösungsansätze
und Lösungswege
finden Begründungen durch
Zurückführen auf Bekanntes,
Einführen von Hilfsgrößen oder
Hilfslinien
bauen mehrschrittige
Argumentationsketten auf
und/oder analysieren diese
nutzen mathematisches Wissen
für Begründungen, auch in
mehrschrittigen Argumentationen
b) 4⋅x – 24⋅xy + 9⋅y
erläutern mathematische
Sachverhalte, Begriffe, Regeln,
Verfahren und Zusammenhänge unter Zuhilfenahme
formaler Darstellungen
nutzen Darstellungsformen wie
Terme und Gleichungen zur
Problemlösung
2
a) a + 6⋅a + 9
wenden heuristische Strategien
an
erfassen inner- und
außermathematische
Problemstellungen und
beschaffen die zu einer
Problemlösung noch fehlenden
Informationen
präzisieren Vermutungen und
machen sie einer
mathematischen Überprüfung
zugänglich, auch unter
Verwendung geeigneter Medien
Kompetenzen
2
a) (x – 1)
beschaffen sich notwendige
Informationen für mathematische Argumentationen und
bewerten diese
Probleme
mathematisch lösen
Mathematisch
argumentieren
Spurmodus dienach.
© T³ Deutschland
Mathematisch
modellieren
3. Dateien
(elektronische
2.
Multipliziere
aus:
a) 2Konstruieren
⋅ (x – 1)
x ⋅ (x
4. Beim
Punkt,
c) (x + 1) ⋅ (y – 3)
d) (a + b + 5) ⋅ (x + 7)
zweier Objekte.
Klammere aus:
5. Ima)Zugmodus
b) a – b ⋅ a
x
y
57
11
13
Stunde
Seite
1–3
Produkte von Summen
13
4 – 10
Binomische Formeln
17
11 – 13
22
© T³ Deutschland
Daten und Zufall
Kompetenzen
Terme
und
Termumformungen 2
Mind Map
Satz von
Pytagoras
Kompetenzen
Fertigkeiten
Diese
Fertigkeiten
Mind Map
mit Inhalten
beschreiben und
begründen Symmetrie,
Kongruenz,
Lagebeziehungen
geometrischer Objekte
und nutzen diese
Eigenschaften im
Rahmen des
Problemlösens zur
Analyse von
Sachzusammenhängen
wenden den Satz von
Pythagoras bei
Konstruktionen,
Berechnungen und
Beweisen an
Raum und Form
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
schätzen und berechnen
Umfang und
Flächeninhalt geradlinig
begrenzter Figuren
berechnen
Streckenlängen mithilfe
des Satzes von
Pythagoras
Größen und Messen
zweier Objekte.
58
8
© T Deutschland
© T ³ Deutschland
13
58
nutzen beim Gleichungslösen die Probe zur Kontrolle
und beurteilen die Ergebnisse
lösen Gleichungen in Sachzusammenhängen durch
Probieren, numerisch und grafisch unter Verwendung
des eingeführten Taschenrechners
formen Terme mithilfe der Rechengesetze um
modellieren inner- und außermathematische
Problemsituationen mithilfe von Termen und
Gleichungen
nutzen Terme und Gleichungen zur mathematischen
Argumentation
erkennen und vergleichen die Struktur von Termen
veranschaulichen und interpretieren Terme
beschreiben Sachverhalte durch Terme und
Gleichungen
lösen einfache Rechenaufgaben im Bereich der
reellen Zahlen
führen Rechnungen mit dem eingeführten
Taschenrechner aus und bewerten die Ergebnisse
a2 = a
kennen die Identität
Satz von Pythagoras
Fertigkeiten
Satz von Pythagoras
Fertigkeiten
Obwohl die Einheit "Satz von Pythagoras" mit Verwendung des TC als Werkzeug unterrichtet wird, sollen
bestimmte Fertigkeiten von den Schülerinnen und Schülern auch rechnerfrei erworben und beherrscht
werden. Diese Fertigkeiten sollen in der Klassenarbeit oder in Kurztests nachgewiesen beziehungsweise
abgeprüft
werden.
Rechnerfreie
Fertigkeiten
Die
Schülerinnen
Schüler
sollen:
Diese
Fertigkeitenund
sollen
in der
Klassenarbeit oder in Kurztests nachgewiesen beziehungsweise abgeprüft
1. In einfachen Fällen die Gleichung zum Satz von Pythagoras nach einer Größe umstellen.
2. Flächen in rechtwinklige Teildreiecke zerlegen, um den Satz von Pythagoras anwenden zu können.
3. In Körpern rechtwinklige Dreiecke erkennen, um den Satz von Pythagoras anwenden zu können.
Beispiele:
2.
In einem rechtwinkligen
Dreieck mitund
demSeitenhalbierende
rechten Winkel bei
C istbegreifen.
die Seite a = 6 cm und die Seite
3.1. Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
alsPunkt
Ortslinie
c = 10 cm lang.
Berechne
dieund
Länge
der Seite
b. Angaben durchführen.
4. Konstruktionen
von
Dreiecken
Vierecken
nach
5.2. Konstruktionsbeschreibungen
anfertigen.
Berechne jeweils den Flächeninhalt:
1,7 cm
3 cm
2,7 cm
DGS-Fertigkeiten
2,7 cm
3,9 cm
3,4 cm verfügen:
Fertigkeiten
2,9 cm
5 cm
2 cm
4,2 cm
zeichnen.
3. Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche. Die Pyramide ist 12 m
hoch und die Grundkante hat eine Länge von 6 m.
Berechne die Länge der Seitenkante.
zweier Objekte.
© T³ Deutschland
© T Deutschland
59
13
Satz von Pythagoras
Fertigkeiten
Fertigkeiten
CAS-Fertigkeiten
1. Gleichungen in den TC eingeben, mithilfe des Rechners lösen und das Ergebnis nachvollziehen
können.
2. Abstandformeln als Makros definieren und diese zur Berechnung nutzen. Damit wird schrittweise die
Fertigkeit
weiterentwickelt, Funktionen mithilfe eines Terms zu definieren und zu verwenden.
Rechnerfreie
Fertigkeiten
3. Fertigkeiten
Verständig sollen
mit Kreisgleichungen
auf dem
Rechner
umgehen
und diese für
experimentelle abgeprüft
Diese
in der Klassenarbeit
oder
in Kurztests
nachgewiesen
beziehungsweise
Untersuchungen
werden (siehe
Kapitel 19).nutzen.
situationsbezogen vornehmen können.
4. -Einstellungen
Die Schülerinnen
und Schüler sollen:
5. Dynamischeund
Geometriesoftware
Entdeckungen
nutzen. sowie Kreise mit vorgegeben Radien
1. Streckenlängen
Winkelgrößen für
nach
Angaben abtragen
Beispiele:
Solve(s = 2 ⋅ r 2 Winkelhalbierende
− a2 ,a)
3.1. Mittelsenkrechte,
4.2. Konstruktionen
Dreiecken
2
(6370 + h)2 von
− 6370
 w(h)und Vierecken nach Angaben durchführen.
3.
36 − x 2  y1(x)
DGS-Fertigkeiten
4.
zeichnen.
3.
zweier Objekte.
60
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Satz von Pythagoras
Thema 1.: Erarbeitung des Satzes von Pythagoras
Dauer: 3 Stunden
Über die Frage nach der Diagonalenlänge im Rechteck wird mit einer Zerlegungsfigur eine Formel
In("Diagonalenformel")
die Schülerinnen
und Schülerden
dasSatz
Geometrie-Werkzeug
begründet,
die bekanntermaßen
von Pythagoras impliziert.
kennen.
Dieses
Werkzeug
Besondere
Materialien
/ Technologie:
bleiben.
Eher
LM 1.1 bis
LMstatische
1.3; SM Konstruktionen
1.1 und 1.2
Inhalt
Medien
Kommentar
Einstieg:
Impuls:
LM 1.1
LSG
Von der Folie nur erstes
Wie berechnet man die Diagonalenlänge im als Folie
graues Quadrat zeigen,
Quadrat, wenn man die Seitenlänge kennt? SM 1.1,
3 Minuten "Grübelphase".
Aufg. 1
Dann Lösung im LSG,
hierbei Folie nach Bedarf
Ergebnis:
“schrittweise” aufdecken.
DGS-Fertigkeiten
Evtl. Flächenbeziehung
"Das Diagonalenquadrat ist halb so groß
auch an einer Serviette
wie das
Vierfache
der Quadratfläche."
verdeutlichen
oder folgende
Im Umgang mit der DGS
(Cabri
Geometry)
sollen die Schüler am Ende der
Einheit über
Dies
auch
als
Formel
verschriftlichen.
Anwendungssituationen
wie
der Radien
1. Streckenlängen und Winkelgrößen nach Angaben abtragen sowie Kreise die
mitBerechnung
vorgegeben
Diagonalenlänge beim
zeichnen.
Fernsehschirm verwenden.
Vertiefung:
Impuls: Versuche, analog die Diagonale d SM 1.1,
Arbeitsgleiche GA
eines Rechtecks mit den Seiten a und b zu Aufg. 2
zweier Objekte.
bestimmen.
LM 1.2.
Schneide dazu die Rechtecke aus der Folie als Folie
aus und lege geschickt zusammen.
Vorstellung und Diskussion:
Ergebnisse folgen möglichst diesen
OHP
UG
Zerlegungen:
LM 1.3
Je Gruppe eine Folie mit
d² = (a + b)² – 2ab
als Folie
Rechtecken vorsehen
Tafel
UG
oder
d² = 2ab + (b – a)²
Bilanz:
Finde eine Formel für d.
Je nach Zeitfortschritt auch
in der nächsten Stunde.
Hausaufgabe:
Quadrate addieren
SM 1.1,
Aufg. 3
© T³ Deutschland
© T Deutschland
61
13
Satz von Pythagoras
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Inhalt
Medien
Kommentar
InEinstieg
dieser :Einheit lernen die Schülerinnen und Schüler das Geometrie-Werkzeug Cabri Geometry des TC
kennen.
Dieses
Präsentation
derWerkzeug
Hausaufgabe
bleiben.
Eher
statische Konstruktionen werden rechnerfrei mit „BleistiftTafel
und Papier“UG
durchgeführt.
Falls noch
offen:
Fertigstellung der Vertiefungsaufgabe, dann
Falls der Satz von
Vereinheitlichung des Ergebnisses als "Diagonalenformel":
Pythagoras Schülern
bekannt ist, diesen als
d = a2 +rechnerfreie
b2
werden (siehe Kapitel 19). Folgende
Fertigkeiten erscheinen uns relevant:
Dreiecksbild notieren.
Anwendungen:
Rechnerische Bestimmung von Abständen
TC
Minimum:
SM 1.1:
Aufgabenteile a und b
Aufg. 4
Teil d als Differenzierung
Hausaufgabe
SM 1.2
Aufg. 5/6
DGS-Fertigkeiten
Ablauf
der Stunde
3: DGS (Cabri Geometry) sollen die Schüler am Ende der Einheit über folgende
Im
Umgang
mit der
Inhalt
Medien
Kommentar
Fertigkeiten
verfügen:
Einstieg:
Formulierung
zeichnen. des Satzes von Pythagoras
Tafel
LV
(falls
vorangegangener
StundeWinkelhalbierende
noch nicht geschehen)
2.
DieinBefehle
Mittelsenkrechte,
Reduzierung
der Bezugsfigur
vom Rechteck
mit
Diagonale
ein
3.
Arbeitsblätter)
in den
TC
laden undauf
aufrufen.
Wird der Satz auf einem
rechtwinkliges
Dreieckdie
und
Namensgebung
Satz von freier
Pythagoras.
notiert,
kann er
4.
Beim Konstruieren
Punkttypen
unterscheiden:
Punkt, Punkt an ObjektPoster
binden
und Schnittpunkt
Dabei
werden
die Begriffe "Hypotenuse" und "Kathete" eingeführt.
zweier
Objekte.
dauerhaft ausgehängt
werden.
Übungen:
6.
Beim eigenen Konstruieren auf die Zugfestigkeit der Objekte achten.
Aufgaben
zum flexiblen
Umgang
mit demaufzeichnen.
Satz von Pythagoras
7.
Im Spurmodus
die Spur
eines Punktes
SM 1.2
Aufg.
7–9
Hausaufgabe
SM 1.2;
Die restlichen Aufgaben
Aufg.
werden als Hausaufgabe
7–9
gestellt.
SM 1.1.3 dient der
SM 1.3
62
© T Deutschland
möglichen Erweiterung.
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Satz von Pythagoras
Thema 2.: Anwendungen des Satzes von Pythagoras
Dauer: 3 Stunden
Die Anwendung der Formel wird variationsreich an Flächen- und Raumfiguren geübt.
InAlsdieser
Einheitbietet
lernen
dieeine
Schülerinnen
und Schüler
Arbeitsform
sich
Wochenplanarbeit
an. das Geometrie-Werkzeug Cabri Geometry des TC
kennen.
Dieses
Werkzeug
Besondere
Materialien
/ Technologie:
bleiben.
Eher statische
werden
TC; Lehrermaterial
LM Konstruktionen
2.1 (Lösungen zur
Wochenplanarbeit);
Wochenplanmaterialien SM 2.1 bis SM 2.8, Körpermodelle: Quader und quadratische Pyramide
Ablauf der Stunden 1 – 3:
Inhalt
Medien
Kommentar
Einführung zu Beginn der ersten Stunde:
a) Lehrerinformation zur Orientierung der Schüler
SM 2.1
Falls der Lerngruppe
b) Austeilung der Arbeitsblätter (Aufgabenstellung
bis 2.8
Wochenplanarbeit nicht
Wochenplanarbeit, Aufgabensammlung, Logbuch)
vertraut ist, muss eine
c) Bereitstellung von Modellen und Lösungshilfen
Einführung in die
d) Organisatorische Hinweise
Methode gegeben
werden. Das Schülerblatt
Es empfiehlt sich, zu Beginn und Ende jeder Stunde im Plenum
"Logbuch" stellt ein MiniDGS-Fertigkeiten
eine
kurze Verständigung
Reflexion
vorzunehmen.
Lerntagebuch
undfolgende
Im
Umgang
mit der DGSund
(Cabri
Geometry)
sollen die Schüler am Ende der
Einheit über
Zum Abschluss
der Wochenplanarbeit müssen die
Arbeitskontrollbogen dar.
Fertigkeiten
verfügen:
Arbeitsergebnisse
kontrolliert
werden
(siehe abtragen sowie Kreise Es
natürlich auch
in
1.
Streckenlängen vom
und Lehrer
Winkelgrößen
nach
Angaben
mitkann
vorgegeben
Radien
Schülerblatt
anderer Form – kürzer
zeichnen. Aufgabenstellung, Stichwort: Kontrolle)
oder ausführlicher
–
2. Die Befehle Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende in Konstruktionen
verwenden.
konzipiert werden.
neben
Arbeit
Wochenplan
4.
Beimam
Konstruieren
die Punkttypen unterscheiden: freier Punkt, Punkt
an den
Objekt binden und Schnittpunkt
zweier Objekte.
genannten
Materialien
Lösungen
(LM 2.1)
bereit
halten
Ergebnissicherung am Ende der dritten Stunde:
Feedback von Schülerseite zu inhaltlichen Problemen und zur
Kann auch zu Beginn der
Arbeitsform.
nächsten Stunde
Feedback des Lehrers zur Aufgabenbearbeitung und zum
erfolgen.
Arbeitsverhalten.
Eventuell Besprechung besonderer inhaltlicher Fragen im Plenum
© T³ Deutschland
© T Deutschland
63
13
Satz von Pythagoras
Fertigkeiten
Meth./Did. Hinweise
Thema 3.:zuUmkehrung
des Satzesund
vonrechnerfreien
Pythagoras Fertigkeiten
Dauer: 3 Stunden
Hinweise
rechnerspezifischen
Die Umkehrung des Satzes wird empirisch über dynamisches Experimentieren mit der Pythagorasfigur
erschlossen und im Kontext der Überprüfung von Rechtwinkligkeit und der Suche nach pythagoräischen
Zahlentripeln verwendet. Das Aufgabenmaterial stellt vielfältige Vernetzungen zu anderen Themen und
Fertigkeiten her. Es sollen auch historische Bezüge vorgestellt werden.
Dieser Teil kann bei Zeitnot auf die erste Stunde und eine Übungsstunde (2. Std) beschränkt werden.
Besondere Materialien / Technologie:
TC; Überspielkabel
Dateien
pyth1
und pyth2;Fertigkeiten
Schülermaterial
SM 3.1uns relevant:
werden
(siehe Kapitelund
19).
Folgende
rechnerfreie
erscheinen
Ablauf
der Stunde 1:
1.
Streckenlängen
Inhalt
Medien
messen. Kommentar
2.Einführung:
Folie
in Feldhausen:
Soll der Bauer
Felder I und IIals Ortslinie begreifen.
UG
3.Straßenbau
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
undseine
Seitenhalbierende
LM 3.1
Feld III eintauschen?
4.gegen
Konstruktionen
anfertigen.
Folie "Piepenbrink":
Nachmessen und
-rechnen ergibt:
I + II  III
DGS-Fertigkeiten
"Plattfuß":
dito sollen die Schüler am Ende der Einheit über folgende
Im Umgang mit der DGSFolie
(Cabri
Geometry)
I + II < III (der Bauer bekommt mehr)
Folie "Großmaul": dito
1. Streckenlängen und Winkelgrößen
nach
Angaben
abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
I + II > III (der
Bauer
verliert Land)
zeichnen.
Erarbeitung:
Finde alle Dreiecke, für die
PA
zweier Objekte.
a² + b² = c² gilt.
TC mit
Vom Lehrerrechner auf
Verändere hierzu die Position Datei
die Schülerrechner über6. Beim eigenen Konstruieren auf die Zugfestigkeit der Objekte achten.
von Punkt C.
pyth1
spielen
Entdeckung:
Wenn die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypo-
Tafel
UG
thenusenquadrat ist, dann liegt C auf einem Halbkreis.
Mit dem Satz des Thales folgt dann: Das Dreieck ist rechtwinklig.
Zum Beispiel:
a
3
30
6
Tafel
b
4
40
8
Begründung (optional): durch Widerspruchsbeweis
c
5
50
10
(Vorbereitung
der Haus-
LV (optional)
aufgabe)
Hausaufgabe
SM 3.1
Aufg.
1–3
64
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Satz von Pythagoras
Inhalt
Medien
Kommentar
Übungen:
in Form einer arbeitsteiligen GA
SM 3.1
Eine eher leistungsbleiben. Eher statische Konstruktionen werden rechnerfrei mit „Bleistift und Papier“ durchgeführt.
Material (vom Lehrer vorzubereiten):
und 3.2:
homogene
a) Für G1: Legefiguren (LM 1.3.2) in Gruppenanzahl kopieren. Aufgaben GruppenzusammenRechnerfreie Fertigkeiten
Ausschneiden auch in den Gruppen möglich; A5 Handfolie
G1 bis
setzung sollte
b) Für G2: ca. 4 m Paketschnur, Tafeldreieck, A5 Handfolie
G6
vorgegeben werden.
c) Für G3: TC; A5 Handfolie
LM 3.2
Ca. 20 Min. Arbeitszeit
d) Für G4: A5 Handfolie
Leerfolie
e) Für G5: Datei pyth2; A5 Handfolie
Datei
f) Für G 6: Zollstock; A5 Handfolie
pyth2
3.Erarbeitung:
für eine "gute
4.Regeln
Konstruktionen
von Präsentation"
Dreiecken und Vierecken nach Angaben durchführen.
Ein Kriterienkatalog für
die Erarbeitung und
Beurteilung einer "guten"
Präsentation ist anhand
DGS-Fertigkeiten
Einheit über
folgende
einschlägigen
Materials
zu erarbeiten oder – falls
1. Streckenlängen und Winkelgrößen nach Angaben abtragen sowie Kreise schon
mit vorgegeben
vorhanden –Radien
zu
nutzen.
zeichnen.
2.
Hausaufgabe:
3.
Dateien
(elektronische
Arbeitsblätter)
Eigene
Aufgabe
übersichtlich
im Heft aufschreiben.
zweier
Ablauf
derObjekte.
Stunde 3:
5.
Inhalt
Medien
6.
Präsentationen
der Gruppenarbeitsergebnisse
OHP und
Display
Kommentar
Hinweise für eine "gute"
Präsentation sind zu
beachten.
Beurteilung der Präsentationen
UG
Optionaler Rechercheauftrag:
• Feldmessung in Ägypten
Evtl. zusätzliche Stunde,
• Katheten- und Höhensatz
in der die Ergebnisse
• Biografie Pythagoras
vorgestellt werden.
Hausaufgabe:
Was wäre, wenn es keine rechten Winkel gäbe?
© T³ Deutschland
© T Deutschland
65
13
Satz von Pythagoras
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
LM 1.1
LM 1.2
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
66
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Satz von Pythagoras
Fertigkeiten
LM 1.3 (Je ein Exemplar in A5 jeder Arbeitsgruppe aushändigen.)
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
© T³ Deutschland
© T Deutschland
67
13
Satz von Pythagoras
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
LM 2.1
für die Übungsaufgaben
der Wochenplanarbeit
In dieser Einheit lernenLösungen
die Schülerinnen
Lösungen zur Aufgabensammlung "Längen"
Aufgabe
1
Diese
Fertigkeiten
a)
werden (siehe Kapitel 19). Folgende
erscheinen uns
I) rechnerfreie Fertigkeiten
II)
III) relevant:
IV)
Kathete
a
5
cm
1,5
cm
7
cm
5
cm
Kathete b
12 cm
3,6 cm
24 cm
12 cm
1. Streckenlängen
nach Angaben
mit vorgegeben
Hypotenuse c und Winkelgrößen
13 cm
3,9 cmabtragen sowie
25 Kreise
cm
13 cm Radien
2
2
2
30 cm
Flächeninhalt
A
30 cm
2,7 cm
cm
zeichnen.
Umgekehrt
Streckenlängen,
Winkelgrößen
und Kreisradien84
messen.
2
2.b) Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
undStücke,
Seitenhalbierende
Die Höhen unterteilen
die Sohle in drei
deren
Längen sich mit dem
Pythagoras ausrechnen
lassen.
Winkelhalbierende
7, 95 m + 2,60 m + 2,65 m = 13,20 m
Aufgabe 2
Zeichne den Abstand a von M senkrecht auf die Sehne ein.
DGS-Fertigkeiten
s
s 2
( )2der DGS (Cabri b)Geometry)
a2 Ende
− ( )der
a) Umgang
a = r 2 − mit
c) r =am
s = 2 ⋅ r 2 sollen
− a2 die Schüler
Im
Einheit über folgende
2
2
Aufgabe 3
a) A – S1 – B : 34 + 100 = 15,83 (km) ; A – S2 – B : 74 + 52 = 15,81 (km) (Etwas kürzer!)
zeichnen.
b)
DieBefehle
Gesamtlänge
für irgendeinen
Punkt S mit dem
Abstand
s vom Ursprung
ist die Länge:verwenden.
2. Die
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
und
Seitenhalbierende
in Konstruktionen
= 52 + s2in +den(11
s)2 und
+ 62aufrufen.
3. Dateien (elektronischeL(s)
Arbeitsblätter)
TC −laden
Zeichnet man das als Funktion oder schaut sich die Wertetabelle an, sieht man, dass die minimale
Länge bei s = 5 km, also einer Gesamtlänge von 15,556 km, liegt. Zeichnerisch ist das klar: Die kürzeste
Verbindung
ist die Gerade!
zweier
Objekte.
7. Im Spurmodus die Spur einesLösungen
zur Aufgabensammlung "Sport"
Aufgabe 1
a) Weg von Mathine: 150 m (100%); Weg von Mathus: 111,80 m (74,5%).
Mathus spart 25,5 % von Mathines Weg.
b) Summe der Wege: 261,80 m; Hälfte davon: 130,90 m.
Mathus muss also Mathine noch etwa 19,10 m entgegenlaufen.
Aufgabe 2
a) Ideallinie: 3800 m
Ist der Abstand vom Idealpunkt a, beträgt die Länge
l = ( a2 + 18002 + 200 + 1800 ) m.
Der Unterschied ist sehr gering. Vermutlich ist es wichtiger, ob der
Schwimmer bei der Aufstellung in der ersten Reihe steht.
a in m
15
30
45
60
70
l in m
3800,06
3800,25
3800,56
3801,00
3801,36
b) Schwimmstrecke:
1500 + 702 + 3002 + 200 + 1800 m = 3808,06 m.
Er legt ca. 8 m mehr zurück.
68
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Satz von Pythagoras
Lösungen zur Aufgabensammlung "Flächen"
Aufgabe 1:
bleiben.
EherUnterteilung
werden rechnerfrei
mit „Bleistift
und errechnet
a) Prinzip:
der Figur in rechtwinklige
Teildreiecke.
Bei denen
sich der Flächeninhalt
1
aus 2 ⋅ (Länge der Kathete 1) ⋅ (Länge der Kathete 2).
Rechnerfreie
Fertigkeiten
Die fehlenden
Längen werden über den Satz von Pythagoras berechnet.
a)
I
II
III
3
cm
werden (siehe
erscheinen
uns
relevant:
1,7 cmKapitel 19). Folgende rechnerfreie Fertigkeiten
2,7 cm
2,7 cm
1. Streckenlängen und Winkelgrößen 3,9
nach
cm Angaben abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
2,9 cm
3,4 cm
zeichnen. Umgekehrt
Streckenlängen, Winkelgrößen und Kreisradien messen.
5 cm
2 cm
2. Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende mit Geodreieck zeichnen.4,2 cm
Figur I:
Figur III:
Mittleres
Dreieck:
1
1
2
⋅ 3,4 ⋅ 3,7 +
⋅ 1,7 ⋅ 4,7 =anfertigen.
10,3 cm
Hypotenusenlänge:
3,36 cm;
5.A =
2
2
Länge
der
unteren
Kathete:
4,2 – 3 = 1,2 cm;
U = 13,5 cm
Länge der linken Kathete: 3,14 cm
DGS-Fertigkeiten
Flächeninhalte von links:
Figur II:
Im
Umgang
mit
der
DGS
(Cabri
Geometry)
sollen
die Schüler am1 Ende der Einheit
über folgende
1
Hypotenusenlänge: 4,74 cm;
⋅ 1,2 ⋅ 3,14 +
⋅ 2,0 ⋅ 2,7
A = 4,2 ⋅ 3,14 +
2
2
1
Fertigkeiten
verfügen:1
2
2
⋅ 3,9 ⋅ 2,7 +
⋅ 2,9 ⋅ 3,8 = 10,78 cm
A=
= 17,77 cm
2
2
1. Streckenlängen und Winkelgrößen nach AngabenU abtragen
= 16,24 cmsowie Kreise mit vorgegeben Radien
U = 13,3 cm
zeichnen.
2
3
2
a= ⋅ 3 ⋅h
A= ⋅ 3⋅a
1
2.
Die
Befehle
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
und
Seitenhalbierende
3
2
b) h =
⋅a⋅ 3
2
2
4.
c) Beim
A = aKonstruieren
⋅ 3
zweier Objekte.
Aufgabe 2
5.
a) Im Zugmodus Figuren verändern.
b)
a) x = 1
© T³ Deutschland
© T Deutschland
b) x = 2
c) x = 6
d) x = 5
69
13
Satz von Pythagoras
Fertigkeiten
Meth./Did. Hinweise
Lösungen zur Aufgabensammlung "Körper"
Aufgabe 1
bleiben.
Eher statische
Konstruktionen
werden
a) Lösungsidee:
Die rechte
Seitenwand
wird rechnerfrei mit „Bleistift und Papier“ durchgeführt.
nach vorn geklappt, so dass die Spinne
15
über eine gerade
Fläche krabbelt, ohne
Rechnerfreie
Fertigkeiten
dass sich die Entfernungen geändert
Diese
Fertigkeiten
in der
oder in Kurztests nachgewiesen beziehungsweise abgeprüft
haben.
Dann istsollen
natürlich
die Klassenarbeit
kürzeste
10
20
Verbindung
die
Gerade.
Nach Pythagoras ist die Länge des kürzesten Wegs 33,54 cm.
2
1.Aufgabe
Streckenlängen
a) zeichnen.
Länge derUmgekehrt
Seitenhöhe:
h = 21,62 + ( 35,4
)2 = 27,93 mund Kreisradien messen.
2
Streckenlängen,
Winkelgrößen
2
⋅ 35,4
= 1977,16 m
Inhalt der Gesamtfläche:
A = 4 ⋅ 27,926und
2
Winkelhalbierende
Seitenhalbierende
1
H=
⋅ a ⋅ 2 Winkelhalbierende
H = 7,07 cm und Seitenhalbierende als Ortslinie begreifen.
2
3:
5.Aufgabe
anfertigen.
Höhe der Säule = 332 + 522 = 61,59 m (rund 62 m)
DGS-Fertigkeiten
Aufgabe 4
Die Diagonale der Schrank-Seitenwand darf nicht höher als die Wand sein.
Fertigkeiten
verfügen:
Im rechtwinkligen
Dreieck Schrankdiagonale – Schrankhöhe – Schrankbreite muss also gelten:
0,602 Angaben
= 2,32 m abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
Maximale
Schrankhöhe:
smax = 2,402 −nach
1.
Streckenlängen
und Winkelgrößen
zeichnen.
Aufgabe 5:
2.
Die Befehle
Mittelsenkrechte,
Stelle
dir den Stab
als Rohr vor. Winkelhalbierende
Schneide das Rohrund Seitenhalbierende in Konstruktionen verwenden.
der
Länge
nach
auf
und
lege
es
glatt
ausgebreitet
3. Dateien (elektronische Arbeitsblätter)
4
hin. Dann sieht das Gebilde wie rechts aus:
Die gesamte Fadenlänge berechnet sich aus den vier
zweier Objekte.
kongruenten
rechtwinkligen Dreiecken:
12
2Figuren
2
5.
Im
Zugmodus
verändern.
Länge: l = 4 ⋅ 4 + 3 = 20 cm
Lösungen zur Aufgabensammlung "Weitblick"
Aufgabe 1
In dem rechtwinkligen Dreieck ist die gesuchte Sichtweite der Tangentenabschnitt
Turmspitze – Erdoberfläche. Die andere Kathete hat die Länge des Erdradius, die
Hypotenuse Erdradius + Turmhöhe.
w=
6370,045 2 − 63702 = 23,94 km
Aufgabe 2
a)
Höhe in km
Sichtweite in km
0,00160 (1,60 m)
4,51
0,020
15,96
0,368
68,47
10
357,07
35790
41675
b) Herleitung über: sicht(h) = (6370 + h)2 − 63702 = h2 + 12740 ⋅ h
c) Mathus nimmt eine Proportionalität an, diese kann mit den errechneten Tabellenwerten widerlegt
werden.
2
d) Bei geringen Höhenangaben ist wegen der Einheit km der Teilterm h so klein, dass dieser Wert kaum
in die Rechnung eingeht.
70
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
Satz von Pythagoras
Lösungen zur Aufgabensammlung "Rechner & Koordinaten"
Aufgabe 1:
bleiben.
Eher statische
Konstruktionen
rechnerfrei
mit den
„Bleistift
undder
Papier“
a) Die Formel
berechnet
die Länge derwerden
zweiten
Kathete aus
Werten
erstendurchgeführt.
Kathete und der
Hypotenuse: kurz(K,H) = H2 − K 2
Makro für lang: lang(K1,K2) = K1 2 + K2 2
b) Bei lang ist das Vertauschen egal. Bei kurz liefert es eine Fehlermeldung, weil die Zahl unter der
Wurzel negativ ist. Die andere Kathete berechnet sich nach der gleichen Formel, deshalb braucht man
Die Schülerinnen
keine weitere.und Schüler sollen:
c) Kurz(x, 25) berechnet die zweite Kathetenlänge in Abhängigkeit von x. Es muss x < 5 gelten.
zeichnen.
Umgekehrt
Streckenlängen,
Winkelgrößen
messen.
„Jeder Kathete
x in einem
rechtwinkligen
Dreieck mit und
H = Kreisradien
25 wird die Länge
der anderen Kathete
zugeordnet.“
Die Graphen schneiden die Koordinatenachsen jeweils beim Wert der Hypotenusenlänge
(H = 20, 25, 30) Winkelhalbierende und Seitenhalbierende als Ortslinie begreifen.
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
Aufgabe 2:
3.
Arbeitsblätter)
a) Dateien
74 (elektronische
40
116
10 in den TC laden und aufrufen.
b) zweier
50 Objekte.52
16
5.
Zugmodusvon
Figuren
verändern.
c) Im
Koordinaten
6 Punkte
auf dem Kreis mit dem Radius 10:

Tabelle
des
Rechners
aufrufen!
6. Beim eigenen Konstruieren
7.
Im Spurmodus
Aufgabe
3:
2
2
a) Die Kreisgleichung x + y = 25 wurde nach y aufgelöst.
Der obere Kreisteil entspricht der positiven Wurzel.
b) y2 = -
25 − x 2
c) Die -Einstellung wurde anders gewählt. Die Achseneinteilungen haben einen unterschiedlichen
Maßstab. Er hätte zum Beispiel ZOOM SQUARE wählen müssen.
Aufgabe 4:
Kreisgleichung:
(x – 2) + (y – 3) = 16
Aufgelöst nach y:
y=±
© T³ Deutschland
© T Deutschland
2
2
16 − (x − 2)2 + 3
71
13
Satz von Pythagoras
Meth./Did. Hinweise
Fertigkeiten
LM 3.1
Straßenbau in Feldhausen
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
72
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Meth./Did. Hinweise
Satz von Pythagoras
Fertigkeiten
LM 3.2
starkes
Papier
kopieren,
in alle 8 Dreiecke
und 3 Quadrate
zerschneiden und als
Material
der des TC
InAuf
dieser
Einheit
lernen
die Schülerinnen
und Schüler
Cabri
Geometry
AufgabeDieses
G1 vonWerkzeug
SM 1.3.1 insoll
derjedoch
arbeitsteiligen
beigeben.
kennen.
auf die Gruppenarbeit
Anwendung bei
dynamischen Konstruktionen beschränkt
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
© T³ Deutschland
© T Deutschland
73
13
Satz von Pythagoras
Wissensspeicher
Fertigkeiten
4. Wissensspeicher
Satz von Pythagoras
Wenn das Dreieck ABC rechtwinklig ist, dann ist der Flächeninhalt des
Hypothenusenquadrates gleich der Summe der Flächeninhalte der
bleiben.
Eher
statische
Konstruktionen
Quadrate
über
den beiden
Katheten. werden rechnerfrei mit „Bleistift und Papier“ durchgeführt.
2
2
2
c = a + b für γ = 90°
zeichnen.
Umgekehrt
Streckenlängen,
Kehrsatz
des
Satzes von
Pythagoras Winkelgrößen und Kreisradien messen.
2
2
2
2.Für
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
mit
jedes Dreieck ABC
gilt: Wenn c =und
a +Seitenhalbierende
b , dann γ = 90°
. Geodreieck zeichnen.
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
74
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Selbsteinschätzung
Satz von Pythagoras
Fertigkeiten
Kenntnisse
und mache ein
in der
InSchätze
dieser deine
Einheit
lernen dieein
Schülerinnen
undKreuz
Schüler
dasentsprechenden
Geometrie-Werkzeug
ich muss
ich
Ich kann
noch
brauche
sicher
üben
Hilfe
Rechnerfreie
Fertigkeiten
• Diagonalen in Rechtecken und Quadraten berechnen
Winkelhalbierende und Seitenhalbierende mit Geodreieck zeichnen.
d = 52 + 52
Winkelhalbierende
Abstände von Punkten
zum Ursprung
im Koordinatensystem
berechnen
4. Konstruktionen
P (5 | 3); d = 5 2 + 32
anfertigen.
• Abstände zwischen Punkten im Koordinatensystem berechnen
P (5 | 3); Q (10 | 6); d =
DGS-Fertigkeiten
5 2 + 32
• Umgang
den Satzmitvon
Verwendung
einer
Formel
Im
der Pythagoras
DGS (Cabri ohne
Geometry)
sollen die
Schüler
am Ende der Einheit über folgende
wiedergeben
• den Satz von Pythagoras zur Berechnung in Flächen und Körpern
1. Streckenlängen
verwenden
zeichnen.
h
H
1a
2
zweier Objekte.
• pythagoräische Zahlentripel bilden und erkennen
5. Im
verändern.
(3 Zugmodus
| 4 | 5) ; 32 Figuren
+ 42 = 52
eigenen
Konstruieren
der Objekte
achten.
•6. Beim
mithilfe
pythagoräischer
Zahlentripel
rechte Winkel
überprüfen
und
1
konstruieren
• den Satz von Pythagoras
2
Berechnung verwenden
1
2
in
Anwendungssituationen
zur
Neue Wege 8; S. 198; 978-3-507-85504-5
EdM 9, S.143, 3-507-87123-8
© T³ Deutschland
© T Deutschland
75
13
Satz von Pythagoras
Fertigkeiten
Aufgabe1
In
a) Die Seiten eines Rechtecks sind 6 cm und 8 cm lang. Gib die Seitenlänge eines flächengleichen
Quadrats
an.
bleiben.
Eher statische
Konstruktionen werden rechnerfrei mit „Bleistift und Papier“ durchgeführt.
b) Entscheide begründet: Gibt es ein rechtwinklig-gleichseitiges Dreieck?
c)
Ergänze zuFertigkeiten
einem pythagoräischen Tripel:
Rechnerfreie
12Fertigkeiten
13 sollen in der
10Klassenarbeit
24
Diese
d)
Gib (siehe
eine Formel
Berechnung
der Höhe eines
gleichseitigen
Dreiecks
werden
Kapitelzur
19).
Folgende rechnerfreie
Fertigkeiten
erscheinen
unsan.
relevant:
Aufgabe
2
1.
Streckenlängen
a)
2.
b)
3.
zeichnen.
Streckenlängen,
Winkelgrößen
Kreisradien
Die Seite Umgekehrt
eines Rechtecks
misst 4,5 cm,
sein Umfangund
beträgt
20 cm. messen.
Wie lang ist die zweite
Seite?
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
Berechne jeweilsWinkelhalbierende
die Diagonale.
Mittelsenkrechte,
DGS-Fertigkeiten
c) zeichnen.
Skizziere ein rechtwinkliges Dreieck, so dass gilt:
r 2 + s2 = t 2
d) Entscheide begründet, ob sich mit den angegebenen Seitenlängen ein rechtwinkliges Dreieck ergibt:
3. Dateien
a = 8 m (elektronische
b = 10 mArbeitsblätter)
c = 6 m. in den TC laden und aufrufen.
k = 5 Konstruieren
cm
l = 7 die
cm Punkttypen
m = 5 unterscheiden:
cm.
4. Beim
zweier Objekte.
Aufgabe
3
5. Im Zugmodus
Figuren verändern.
eigenen
Konstruieren
aufbeträgt
die Zugfestigkeit
Objekteman
achten.
a)6. Beim
Die Länge
einer
Quadratseite
a cm. Wie der
berechnet
die Länge der Diagonale?
b)7. Im
EinSpurmodus
rechtwinkliges
Dreieck
die Kathete
r = 24 m und Hypotenuse t = 25 m. Berechne die andere
die Spur
eineshat
Punktes
aufzeichnen.
Kathete s und den Flächeninhalt des Dreiecks.
76
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Satz von Pythagoras
Fertigkeiten
Aufgabe 1
In einem Rechteck seien die Seitenlängen mit a und b bezeichnet sowie die
Diagonale
mit d. Werkzeug soll jedoch auf die Anwendung bei dynamischen Konstruktionen beschränkt
kennen. Dieses
a) a = 3 dm, b = 5 dm. Berechne d.
b) a = 6 m, d = 8 m. Berechne b.
Aufgabe 2
Eine Raute habe die Diagonalenlängen a = 7 cm und b = 12 cm.
Berechne
den Umfang
den Flächeninhalt
Raute. abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
1.
Streckenlängen
undund
Winkelgrößen
nachder
Angaben
Aufgabe 3
DGS-Fertigkeiten
a) Umgang
Der abgebildete
Seitenlängen
Im
mit derQuader
DGS habe
(CabridieGeometry)
sollen die Schüler am Ende der Einheit über folgende
a = 3 cm, b = 2 cm und c = 5 cm.
Fertigkeiten
verfügen:
Berechne
den Flächeninhalt des grau gefärbten Dreiecks.
b)1. Streckenlängen
Die dick markierte
eineAngaben
Diagonale
des
und Dreiecksseite
Winkelgrößen ist
nach
abtragen
Ausgangsquaders.
zeichnen.
Entwickle eine Formel zur Berechnung der Diagonalenlänge
für einen
Quader
mit den Seitenlängen
a, b und c.
2. Die
Befehle
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
Aufgabe
4
Objekte.Dreieck habe die Seitenlänge 5 cm.
Ein zweier
gleichseitiges
a)5. Im
Berechne
denFiguren
Flächeninhalt
des Dreiecks
Zugmodus
verändern.
b) Entwickle eine Formel für den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a.
Aufgabe 5
Ein Balken lehnt an einer Wand. Der Balken ist 30 m lang und steht unten 6 m ab.
Der Balken wird unten so verschoben, dass er senkrecht an der Wand steht.
Wie weit ist der höchste Punkt des Balkens dabei nach oben gewandert?
Aufgabe 6
Ein 112 m hoher Sendemast soll durch vier Stahlseile abgesichert werden, die in ¾ der Höhe am Mast
befestigt werden. 55 m vom Mast entfernt sollen die Seile am Boden verankert werden.
Berechne, wie viel Seil benötigt wird. Vernachlässige dabei, dass die Seile durchhängen können.
Aufgabe 7
Wilhelm ist Bauarbeiter. Er soll auf einem Grundstück den Grundriss eines Geräteschuppens abstecken
und muss hierzu rechte Winkel konstruieren. Zur Verfügung hat er nur ein 12 m langes Seil und seinen
Zollstock.
Beschreibe ein Verfahren, wie Wilhelm vorgehen sollte.
© T³ Deutschland
© T Deutschland
77
13
Satz von Pythagoras
Fertigkeiten
Hinweise
zu rechnerspezifischen und rechnerfreien Fertigkeiten
Aufgabe 8
In
Einheit
die Schülerinnen
a) dieser
Ergänze
zu lernen
pythagoräischen
Zahlentripeln:
kennen.
auf| die
( 6 Dieses
| 8 | );Werkzeug
( 12 | | soll
13 );jedoch
( | 4a
5a ) Anwendung bei dynamischen Konstruktionen beschränkt
bleiben.
Eher hat
statische
Konstruktionen
werden
rechnerfrei
mit „Bleistift undTripel
Papier“
durchgeführt.
b)
Simon
beobachtet,
dass man
ebenfalls
ein pythagoräisches
erhält,
wenn man die drei
Zahlen eines pythagoräischen Tripels verdoppelt. Er behauptet: „Das stimmt nicht nur, wenn man
verdoppelt,
sondern wenn man alle drei Zahlen mit einem gleichen Faktor multipliziert.“
Rechnerfreie
Fertigkeiten
Er hat Recht. Gib einen plausiblen Grund an, warum.
Aufgabe
9
Die
Schülerinnen
Figur
1 und Figur 2 sind
groß. Begründe
hieran denabtragen
Satz von sowie
Pythagoras.
1.
Streckenlängen
und gleich
Winkelgrößen
nach Angaben
Kreise mit vorgegeben Radien
DGS-Fertigkeiten
Aufgabe 10
a) Formuliere den Satz von Pythagoras, ohne die Angabe einer
18 cm
zeichnen.
Formel.
b) Die
Bestimme
die fehlende Seitenlänge
des Dreiecks.
2.
Winkelhalbierende
4 cm
zweier Objekte.
Aufgabe
11
Herr
Jakobsen
eine Türzarge
(Türrahmen) der
in Objekte
ein dafür
6. Beim
eigenensetzt
Konstruieren
achten.
vorgesehenes Loch in der Wand ein. Damit die Tür passt, muss
7. Im
Spurmodus
Spur eines
Punktes
aufzeichnen.
der
Rahmen
exakt die
rechtwinklig
sitzen.
Zu dem
Zweck misst er die
Diagonalenlänge.
Prüfe durch Rechnung, ob die Zarge bereits richtig sitzt. Wenn ja,
begründe deine Aussage; wenn nein, gib an, wie und wie stark er
den Sitz des Rahmens korrigieren muss.
213cm
224cm
81cm
Aufgabe 12
Der quadratische Glockenturm des Doms zum heiligen Sankt
Martin benötigt ein neues Kupferdach (siehe Skizze). Ermittle die
benötigte Menge an Kupferblech.
12 m
6m
78
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Kopfübungen
Fertigkeiten
Das sollst Du im Kopf können
Aufgabe 1
a) Berechne 45 ⋅ 8.
b) Nenne die Quadratzahl von 13.
c) Nenne drei Alltagsgegenstände, die ein Prisma als Körperform haben!
d) Schneiden sich die Winkelhalbierenden eines Dreiecks im Mittelpunkt des Umkreises?
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit aus einem Skatblatt (32 Karten) eine Dame zu ziehen?
f)
Gilt der Satz von Pythagoras für ein Dreieck mit den Seitenlängen 6, 8 und 10?
g) Zwei Figuren heißen kongruent zueinander, wenn … .
h) Benni kauft 4 Konzertkarten für 320 €. Später gibt er eine wieder zurück. Wie viel hat er letztendlich
bezahlt?
2
i)
Klammere aus: 25 w + 35 w
2
j)
Gib die Maße eines Rechtecks mit dem Flächeninhalt 36 cm an.
Aufgabe 2
a) Die Seiten eines Rechtecks sind 6 cm und 8 cm lang. Gib die Seitenlänge eines flächengleichen
Quadrats an.
DGS-Fertigkeiten
b) In einer Klasse sind 24 Kinder. Das Verhältnis Jungen zu Mädchen ist 3 : 5. Wie viele Jungen sind in
der Klasse?
c) Die Wahrscheinlichkeit, aus 1.000 Losen einen Gewinn zu ziehen, beträgt 4 %. Wie viele Gewinnlose
sind es?
zeichnen.
d) Entscheide begründet: Gibt es ein rechtwinklig-gleichseitiges Dreieck?
e) Ergänze zu einem pythagoreischen Tripel:
12
13 die Punkttypen unterscheiden:
10 24
Objekte.
f) zweier
Berechne:
5. Im Zugmodus
1
3 Figuren verändern.
22 17
+1
⋅
6. Beim eigenen
Konstruieren
auf
die
Zugfestigkeit
4
8
51 66 der Objekte achten.
(- 4,5) + 2,5 ⋅ 2
7.
eines
g) Im 3Spurmodus
% sind 1,50die
€.Spur
Gib den
Grundwert
G an.
Gib an, wie viel 7 % von 7 € sind.
Gib in % an: 45 kg von 30 kg.
h)
Gib eine Formel zur Berechnung der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks an.
© T³ Deutschland
© T Deutschland
79
13
Kopfübungen
Fertigkeiten
Aufgabe 3
a) 3 % Rabatt sind 7,50 €. Wie teuer ist die Ware?
Die Einheit
Seite eines
Rechtecks
misst 4,5 cm,
Umfang
20 cm. Wie langCabri
ist dieGeometry
zweite Seite?
Inb)dieser
lernen
die Schülerinnen
undsein
Schüler
dasbeträgt
Geometrie-Werkzeug
des TC
c) Berechne
die Diagonale.
kennen.
Dieses jeweils
Werkzeug
2.d) Mittelsenkrechte,
Berechne:
als Ortslinie
begreifen.
2,5 : 0,05
0,2Seitenhalbierende
⋅ 0,4
( −1)
+ 1⋅ ( −1) : 1
4. Konstruktionen von Dreiecken und Vierecken nach Angaben
durchführen.
e) Skizziere ein rechtwinkliges Dreieck, so dass gilt: r 2 + s2 = t 2
f) Um welche Zuordnung handelt es sich bei y = 0,4 ⋅ x − 7 ?
DGS-Fertigkeiten
g) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine 1 oder eine 6 zu würfeln?
Im
mit begründet,
der DGS ob
(Cabri
Geometry)
sollen dieSeitenlängen
Schüler amein
Ende
der Einheit
über ergibt:
folgende
h) Umgang
Entscheide
sich mit
den angegebenen
rechtwinkliges
Dreieck
Fertigkeiten
i) a = 8 mverfügen:
b = 10 m
c = 6 cm
k = 5 cm
l = 7 cm
m = 5 cm
Aufgabe 4
zeichnen.
a) Die Länge einer Quadratseite beträgt a cm. Wie berechnet man die Länge der Diagonale?
b) Klammere aus:
2
2
3
28a – 42a – 7a
15 x + 35 x
c) Wandle um:
zweier Objekte.
2
2
3
3
320 mm (cm )
0,1 t (kg)
0,8 m (dm )
d) Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Kathete r = 24 m und Hypotenuse t = 25 m. Berechne die andere
Kathete s und den Flächeninhalt des Dreiecks.
e) Wie groß sind die Winkel α und β ?
f)
Vereinfache:
98 : 2
g)
3 2 75 − 4 12
)
Berechne für ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit den Schenkeln a = b und der Höhe hc den
Flächeninhalt:
h)
(
100x 2 + 21x 2
a = 17 cm , hc = 15 cm.
Welche Fehler wurden gemacht?
9a+9b=9ab
80
© T Deutschland
2
3x +4x=7x
2
2
3
2a+3a =5a
© T³ Deutschland
13
Kopfübungen
Fertigkeiten
Aufgabe 5
a) Berechne:
In dieser
4 Einheit lernen die Schülerinnen
5
2
von 85 €
von 63 kg
von 90 t
7
5
3
b) Fasse
wie Konstruktionen
mögliche zusammen:
bleiben.
Ehersoweit
statische
7 ax + 3 bx + 2 ax
9 7 −6+3 7 +3− 7
c) Das Schwimmbecken des Freibades soll mithilfe gleich starker Pumpen gefüllt werden. 2 Pumpen
benötigen 72 Stunden. Wie viele Stunden brauchen 8 dieser Pumpen?
d) Wende das Distributivgesetz an:
15 k (12 q – 1)
(x − y) ⋅ ( −5)
x (a + b)
2
2
2
4
3
10 p q + 15 p q – 2 p q
9 u + 10 u
8a +4a
e) Setze das richtige Zeichen ein (< , > , =):
4
2
3
5
Winkelhalbierende
0,5
0,6
0,75 als Ortslinie begreifen.
0,84
4
9
3
6
f)
Eine Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau einmal Wappen zu
werfen?
g) Gib an, wie man den Mittelpunkt des Inkreises bei einem Dreieck erhält.
DGS-Fertigkeiten
h) Umgang
Berechne:
Im
mit der DGS (Cabri Geometry) sollen die Schüler am Ende der Einheit über folgende
 5
Fertigkeiten
−17 :  −2 
(- 17) –verfügen:
(+ 31) – (- 23)
- 21 ⋅ 15
 6
Aufgabe
6
zeichnen.
a) DieStelle
jeweils
einen Term auf:
2.
Befehle
Mittelsenkrechte,
Addiere
x zur Summe
der Zahlen 25
3. Dateien
(elektronische
Arbeitsblätter)
in und
den y.
TC laden und aufrufen.
Multipliziere
die Summe
der Zahlen
a und b mit deren
Differenz.
4. Beim
Konstruieren
die Punkttypen
unterscheiden:
freier Punkt,
Punkt an Objekt binden und Schnittpunkt
x + 2⋅8
Objekte.
b) zweier
Gib den
Term jeweils in Wortform an:
(x + 2) ⋅ 8
5.
ZugmodusKürze,
Figuren
verändern.
c) Im Berechne.
wenn
möglich:
6. Beim
eigenen
Konstruieren
5
4 3 auf die Zugfestigkeit der1Objekte achten.
⋅9
⋅
5 :6
7. Im Spurmodus
die Spur5eines
9
8 Punktes aufzeichnen.3
d)
Ordne der Größe nach:
e)
Vereinfache:
12; 3,4;
3 ⋅ 12
f)
10;
2 1
:1
7 3
7
; 4.
2
(
5 2 ⋅ 32
2⋅ 2+ 8
)
Berechne mithilfe der binomischen Formel:
2
98
81
g)
2
2
Eddi Raser spart für ein neues Mountainbike und legt Woche für Woche 12 € zurück. Nach
30 Wochen hat er das Geld zusammen. Wie lange müsste er sparen, wenn er wöchentlich nur 9 €
spart?
h)
Fülle die Lücken aus:
a2 + 6ab +
© T³ Deutschland
© T Deutschland
(
= a+
)
2
64k 2 −
+ t2 =
(
+t
)
2
1+ r +
(
= 1+
)
2
81
13
Kopfübungen
Fertigkeiten
Aufgabe 7
a) Multipliziere: ( 5a − 6b ) ⋅ ( 5a − 6b )
1 1
b) Berechne:
1 :
kennen.
Dieses Werkzeug
2 2
c) Berechne: 72 : 2
d) Die Seiten
eines Quadrates wurden verdoppelt. Wie verändert sich der Umfang?
Rechnerfreie
Fertigkeiten
e) Gib
die beiden
ganzen
Zahlen
an, zwischen
denen
6 liegt.nachgewiesen beziehungsweise abgeprüft
Diese
Fertigkeiten
sollen
in der
Klassenarbeit
oder
in Kurztests
werden
(siehe Kapitel
19). 60
Folgende
rechnerfreie Fertigkeiten erscheinen uns relevant:
f)
Berechne
60 % von
kg.
Die
sollen:
g) Schülerinnen
Wie groß istund
der Schüler
Winkel β
?
h)
4.i) Konstruktionen
von
Dreiecken
und Vierecken
durchführen.
Eine Taxifahrt
kostet
3 € Grundgebühr
undnach
0,50Angaben
€ pro gefahrenen
Kilometer. Wie weit kann man mit
anfertigen.
10 € fahren?
j)
Die Seitenlänge eines Würfels wird verdoppelt. Wie ändert sich das neue Volumen?
DGS-Fertigkeiten
k) Berechne: 5 ⋅ 20 + 5
(
)
Aufgabe 8
a) Wie heißt die kleinste Zahl, die durch 2, 3 und 7 teilbar ist?
zeichnen.
b) Die menschliche Lunge besteht aus etwa 100.000.000 Lungenbläschen, von denen jedes eine
2
2
Oberfläche von 1 mm aufweist. Wie groß ist die Oberfläche der Lunge in m ?
4 die Punkttypen unterscheiden: freier Punkt, Punkt an Objekt binden und Schnittpunkt
4.
Konstruieren
c) Beim
Berechne:
von 85 €
5
zweier Objekte.
d) Berechne: 83 − ( −97) + ( −25)
e) Beim
Stelle
einenKonstruieren
Term auf: Vermindere
das Dreifache
einer Zahl
um die Summe aus dieser Zahl und 10.
6.
eigenen
der Objekte
achten.
f) Im Multipliziere
fasseeines
zusammen:
+ 2b) ⋅ (4b − 2a)
7.
Spurmodus und
die Spur
Punktes (3a
aufzeichnen.
g)
Wandle den Summenterm in einen Produktterm um: 16x 2 + 24xy + 9y 2
h)
Ergänze:
i)
Peter wirft 30-mal einen Würfel und erhält 12-mal eine 5. Gib die relative Häufigkeit an.
82
© T Deutschland
+ 10x + 25 =
(
+
)
2
© T³ Deutschland
13
Kopfübungen
Fertigkeiten
Aufgabe 9
a) Berechne:
In dieser
- 63Einheit
+ 37 lernen die Schülerinnen und Schüler
(- 3)das
⋅ 5 ⋅ (Geometrie-Werkzeug
−12)
kennen. Dieses Werkzeug soll jedoch auf die Anwendung
1 2 bei dynamischen Konstruktionen beschränkt
− +
40 % von 40 €
bleiben. Eher statische Konstruktionen werden rechnerfrei
4 mit
3 „Bleistift und Papier“ durchgeführt.
b) Ordne von klein nach groß: 0,1 ; 0,03 ; 0,11
5
c) Was
ist größer:
630 g?
Diese
Fertigkeiten
sollenkg
in oder
der Klassenarbeit
8
d) Wie groß ist der Anteil der gekennzeichneten Fläche in %?
e) Verwandle in km: 5.700 dm
(
)
2


5.f) Konstruktionsbeschreibungen
anfertigen.
− 3y =
– 9xy+
Ergänze:
DGS-Fertigkeiten
g) Berechne:
2
( 3x − 2 ) ⋅ (−2)
1
2
+
x


4
3
2
3 27
1 
1
zeichnen.
:
 x + x
8 32
2 
2
2. Die Befehle Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende
Aufgabe 10
a) Rechne in die kleinere Einheit um:
zweier Objekte.
9 min 17 s
7 kg 43 g
23 t 9 kg
b) Berechne:
29 2 1
1  5
 7
− −
−4 
4 − aufzeichnen.
21:  − 
7. Im Spurmodus
die Spur eines Punktes
30 5 3
3  6
 9
c)
Multipliziere:
3
1
 2
 x + 1 ⋅  y − 
2
3
4

 
d)
( 3a + 4b ) ⋅ ( 2s − 3z )
Wende das Distributivgesetz an:
3 x (2 x – 1)
12 a b – 20 a c
3
von 1 €?
5
e)
Wie viel Cent sind
f)
Runde auf Zehntel: 4,1199
g)
Berechne:
(- 1) – 1
h)
(6 – 9 x) ⋅ 3
(- 1) – (- 1)
(- 1) + (- 1)
Welchen Winkel bilden Minuten- und Stundenzeiger um 14.00 Uhr?
© T³ Deutschland
© T Deutschland
83
13
Kopfübungen
Fertigkeiten
Aufgabe 11
a) Faktorisiere mithilfe der binomischen Formeln:
In dieser
Cabri
k 2 −Einheit
625 lernen die Schülerinnen
x 2 + 14xund
+ 49Schüler das Geometrie-Werkzeug
169 − 26a
+ a2 Geometry des TC
kennen.
Dieses Werkzeug
jedoch
die aus
Anwendung
bei dynamischen
Konstruktionen
b) Entscheide
begründet,soll
ob man
ein auf
Dreieck
den gegebenen
Längen konstruieren
kann: beschränkt
bleiben.
werden
a =Eher
6 cmstatische
b =Konstruktionen
7cm
c = 10
cm rechnerfrei mit „Bleistift und Papier“ durchgeführt.
a = 9 cm
b = 15 cm
c = 5 cm
a = 12 cm
b = 5 cm
c = 7 cm
c) Wahr oder falsch? Begründe.
(i) Alle natürlichen Zahlen sind rationale Zahlen.
(ii) Die Wurzel aus einer Zahl ist immer kleiner als die Zahl selbst.
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Skatkartenspiel (32 Karten) ein As zu ziehen?
e) Gib an, bei welchen Dreiecken die Mittelpunkte von Um- und Inkreis zusammenfallen?
f)
Multipliziere und vereinfache:
5 ⋅ (2a + 3b) + 3 ⋅ (4a − b) − (- 8a + 2b)
(- 4a − 5b) ⋅ (- 2b + 3a)
g) Ergänze:
DGS-Fertigkeiten
+ 16x +
= (x + 8)2
(
)
2
2a + verfügen:
=
+
Fertigkeiten
+ 100
zeichnen.
zweier Objekte.
84
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Basiswissen
Fertigkeiten
Das ist dein Basiswissen
Aufgabe 1
Tim hat zur Lösung der Gleichung x + 1 = 2 x – 3 die folgende Tabelle erstellt:
x
x+1
2x–3
bleiben. Eher statische Konstruktionen
werden rechnerfrei
durchgeführt.
2
3 mit „Bleistift und Papier“
1
3
4
3
4
5
5
5
6
7
a) Lies die Lösung der Gleichung ab.
b) Verändere diese Gleichung so, dass die Lösung x = 3 ist.
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
c) Zur Lösung einer anderen Gleichung hat er die
2. Die
Befehle
Mittelsenkrechte,
rechts
abgebildete
Graphik erstellt.
Wie
lautet
die
Lösung
jetzt?
zweier Objekte.
Aufgabe 2
Es gilt:
3x+2=1+2x
Wer hat Recht? Prüfe durch Einsetzen und markiere:
Tim:
Sina:
Elena:
x=2
x=1
x=-1
Christoph:
1
x= −
5
Meike:
x=3
Richtig/Falsch:
© T³ Deutschland
© T Deutschland
85
13
Basiswissen
Fertigkeiten
Aufgabe 3
Löse nach x auf:
4x–7=5
1.Aufgabe
Streckenlängen
4
zeichnen.
Streckenlängen, Winkelgrößen und Kreisradien ymessen.
Skizziere
dieUmgekehrt
folgenden Graphen:
2.a) Mittelsenkrechte,
y=2x–3
1
y = − x + 2 Winkelhalbierende und Seitenhalbierende als Ortslinie begreifen.
2
4. Konstruktionen
DGS-Fertigkeiten
x
zeichnen.
Aufgabe
5
4.
Beim Konstruieren
Gib
die zuObjekte.
den abgebildeten Graphen zugehörigen Funktionsgleichungen an.
zweier
y
6. Beim eigenen Konstruieren auf die Zugfestigkeit der Objekte achten. f(x) =
g(x) =
x
h(x) =
j(x) =
86
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Basiswissen
Fertigkeiten
Aufgabe 6
Ordne den Graphen die Funktionsgleichungen zu. Nicht für jeden Graph ist eine Funktion angegeben, und
nicht
für jede
Funktion
einSchülerinnen
Graph angegeben!
In dieser
Einheit
lernenist
die
kennen. Dieses Werkzeug soll jedoch auf die Anwendung bei dynamischen
3
y = x + 1 gehört zu:
y
2
y=
2
x
3
gehört zu:
Diese Fertigkeiten sollen in der Klassenarbeit oder in Kurztests nachgewiesen
beziehungsweise abgeprüft
2
y = x + 1 gehört zu:
werden (siehe Kapitel 19). Folgende rechnerfreie Fertigkeiten erscheinen
uns relevant:
3
y = 1 gehört zu:
1. Streckenlängen und Winkelgrößen nach Angabenx abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
3 messen.
gehört zu:
y= x
2. Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende mit Geodreieck
zeichnen.
2
4.Aufgabe
Konstruktionen
7
5.EsKonstruktionsbeschreibungen
seien drei Funktionen f, g undanfertigen.
h auf unterschiedliche Weise dargestellt:
(i)
f(x) = 3 x − 4
DGS-Fertigkeiten
(ii)
x
-2
-1
0
1
2
3
g(x)
- 11
-8
-5
-2
1
4
y
(iii)
zeichnen.
x
zweier Objekte.
7.
Spurmodus
eines Punktes
aufzeichnen.
a) Im Es
sei jeweilsdie
x =Spur
2. Welche
Werte nehmen
f(x), g(x) und h(x) jeweils an?
b)
Für f, g und h sei jetzt jeweils der Funktionswert 2. Welchen Wert hat jeweils x?
© T³ Deutschland
© T Deutschland
87
13
Basiswissen
Fertigkeiten
Aufgabe 8
Löse die Gleichung. Notiere Zwischenschritte
1
3
Ina)dieser
4x − 3Einheit
= 7 lernen die Schülerinnen und Schülerb)das
− Geometrie-Werkzeug
x +1= x − 3
2
2
Aufgabe 9
Rechnerfreie
Löse 4 + 2x Fertigkeiten
= x 3 graphisch oder tabellarisch.
Diese
Fertigkeiten
sollen
in der Klassenarbeit oder in Kurztests nachgewiesen beziehungsweise abgeprüft
Dokumentiere
deinen
Lösungsweg.
Die
Schülerinnen
Aufgabe
10
1.Gib
Streckenlängen
und Winkelgrößen
nachdie
Angaben abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
zu den nebenstehenden
Geraden
zugehörigen
Gleichungen
an.
zeichnen. Umgekehrt
Streckenlängen,
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
Aufgabe 11
Nach einem Fußballspiel verlassen die 20.000 Besucher das Stadion durch 4 Ausgänge. Gehe davon aus,
4.
Beim
Konstruieren
Punkttypen
unterscheiden:
freiergehen
Punkt,pro
Punkt
an Objekt
binden und Schnittpunkt
dass
dies
gleichmäßigdie
erfolgt.
Durch jeden
der Ausgänge
Minute
300 Zuschauer.
Zeit
nach
dem
Spiel
(
in
min
)
Anzahl
der
Zuschauer,
die
noch im Stadion sind.

Betrachte
die
Funktion
zweier Objekte.
a) Im Zugmodus
Vervollständige
dieverändern.
Wertetabelle:
5.
Figuren
6. Beim Zeit
eigenen
die Zugfestigkeit der Objekte achten.
nachKonstruieren
dem Spiel (inauf
min)
0
1
2
5
7. Im Spurmodus
Spur einesdie
Punktes
Anzahl derdie
Zuschauer,
noch imaufzeichnen.
Stadion sind
b)
Erstelle eine Gleichung für diese Funktion.
c)
Bestimme, wann das Stadion leer ist.
Aufgabe 12
Ein Abwassertank wird leer gepumpt. Durch die Gleichung y = - 6,5 x + 75 kann die noch im Tank
vorhandene Abwassermenge berechnet werden, wobei x für die vergangene Zeit in Minuten und y für
die Abwassermenge in Kubikmeter steht.
a)
Erläutere die Bedeutung der Zahlenwerte 6,5 und 75.
b)
Bestimme die zur vollständigen Entleerung nötige Zeit.
c)
Bestimme die Zeit, die benötigt wird, um 40 Kubikmeter abzupumpen.
88
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Basiswissen
Fertigkeiten
Aufgabe 13
Relative Luftfeuchtigkeit
0.2
0.3
0.4
0.6
0.605
0.61
0.7
0.81
0.9
In gefühlte
dieser Einheit
lernenindie
und Schüler
Geometrie-Werkzeug
Cabri
des
Temperatur
°C Schülerinnen
24.5
25
27 das28
30
30
32 Geometry
33
33 TC
An schwülen Tagen kommt es den meisten Menschen
bleiben.
Konstruktionen
rechnerfrei
wärmerEher
vor, statische
als es tatsächlich
ist. Beiwerden
einer Umfrage
war
die tatsächliche Außentemperatur 27 °C und die relative
Luftfeuchtigkeit
variierte von 0,2 bis 0,95.
Rechnerfreie
Fertigkeiten
a)
Formuliere eine
Prognose:
Diese
Fertigkeiten
sollen
in der Klassenarbeit oder in Kurztests nachgewiesen beziehungsweise abgeprüft
Welche Temperatur würde bei einer Außenwerdentemperatur
(siehe Kapitel
19).27Folgende
Fertigkeiten
von
°C und rechnerfreie
einer relativen
Luft- erscheinen uns relevant:
feuchtigkeit
von
0,5
empfunden?
Bestimme dieund
Gleichung
einer Ausgleichsgeraden.
1.b) Streckenlängen
Winkelgrößen
c) zeichnen.
Was bedeutet
der
Schnittpunkt
mit
der y-Achse? und Kreisradien messen.
Umgekehrt Streckenlängen, Winkelgrößen
Aufgabe 14
DGS-Fertigkeiten
DieUmgang
Geradenschar
m) = (Cabri
m ⋅ x + Geometry)
4 + m soll untersucht
Im
mit derf(x,DGS
sollen diewerden.
Schüler am Ende der Einheit über folgende
a)
Zeichne
drei Geraden der
Fertigkeiten
verfügen:
Schar in nebenstehendes
Koordinatensystem.
zeichnen.
b)
Beschreibe die Schar und
deine Vermutung.
2. Die begründe
c) Dateien
Was(elektronische
bedeutet f(3, m)?
3.
Verdeutliche dies in der
Skizze.
zweier Objekte.
d)
Welche Gerade der Schar
5. Im Zugmodus
Figuren
verändern.
verläuft durch
den
Punkt
P(2 | 16)?
Aufgabe 15
Timo hat das Makro nnn(a, b) in seinen V200 eingegeben:
a)
Was berechnet das Makro?
b)
Erläutere die Ausdrücke nnn(6, 9) und nnn(0, 2)
sowie deren Ergebnisse.
© T³ Deutschland
© T Deutschland
89
13
Basiswissen
Fertigkeiten
Aufgabe 16
a)
Löse das folgende Gleichungssystem:
In dieser Einheit
x − lernen
y = 4 die Schülerinnen und Schüler das Geometrie-Werkzeug Cabri Geometry des TC
und
2
x
+
4
y= 0

b)
bleiben.
Eher statische
x − y Konstruktionen
= 4
und 2 x + 4 y = 0
Ergänze in der ersten Gleichung eine Zahl vor dem y so, dass das Gleichungssystem keine Lösung
hat.
Diese Fertigkeiten
werden
(siehesich
Kapitel
19).ersten
Folgende
rechnerfreie
Fertigkeiten
uns relevant:
c)
Lässt
in der
Gleichung
eine Zahl
vor demerscheinen
y so ergänzen,
dass das Gleichungssystem
unendlich viele Lösungen hat? Begründe deine Aussage.
zeichnen.
Aufgabe
2
2.Der
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
und cm.
Seitenhalbierende
mit wird
Geodreieck
zeichnen.
Umfang eines Rechtecks
beträgt 28,8
Der Flächeninhalt
um 17,35
cm kleiner, wenn die eine
Seite um 4,5 cm verlängert und die andere um 3,5 cm verkürzt wird.
Gib ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Seitenlängen an.
Aufgabe 18
DGS-Fertigkeiten
Erstelle eine Wertetabelle für x = - 3 , - 2 , ... , 3 , zeichne den Graphen und begründe, ob eine Funktion
vorliegt:
a)
| y + xverfügen:
| = 1
b)
y+|x| = 1
Fertigkeiten
Aufgabe
19
zeichnen.
Zeichne
die Graphen
folgender Funktionen
verschiedenfarbig
in ein gemeinsames
Koordinatensystem:
2.
Die Befehle
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
in Konstruktionen
verwenden.
x
3
3
y
=
x
+
a) Dateien
y = 2(elektronische
x–3
b) Arbeitsblätter)
c) TCy laden
= - x und aufrufen.
d) y = - 0,6 x – 0,5
e) y =
+2
4
3.
2 in den
2
zweier Objekte.
Aufgabe 20
Lies die Gleichungen der unten gezeichneten Geraden ab.
7. Im Spurmodus die Spur eines Punktes aufzeichnen. 3
g2
g1
g3
2
1
8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
90
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Basiswissen
Fertigkeiten
Aufgabe 21
a)
Zeichne eine Gerade mit der Steigung 0 und gib deren Gleichung an.
Zeichne
Gerade,
für die keine Steigung
definiert
und gib ihre Gleichung
an. Geometry des TC
Inb)dieser
Einheiteine
lernen
die Schülerinnen
und Schüler
das ist
Geometrie-Werkzeug
Cabri
Aufgabe 22
2
5
Rechnerfreie
Die Gerade gFertigkeiten
soll die Gleichung y =
x–
haben.
47
97
a)
Gib die Gleichung für eine Gerade h an, die parallel zu dieser Geraden g ist.
b)
Gib die Gleichung für eine Gerade k an, die g auf der y-Achse schneidet.
Aufgabe
zeichnen.
Entscheide rechnerisch,
ob der
Punkt P(27 | 25) mit
aufGeodreieck
der Geraden
mit der Gleichung
2.a) Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
zeichnen.
1
y = - x +36 Winkelhalbierende
liegt.
3
4.b) Konstruktionen
Dreiecken
Vierecken
nach
Eine Geradevon
geht
durch dieund
Punkte
P(3 | 4)
undAngaben
Q(10 | 2).durchführen.
Ermittle ihre Gleichung.
Aufgabe 24
DGS-Fertigkeiten
Nach
einem mit
Fußballspiel
die 60.000 Besucher
Stadion
durch
5 Eingänge.
Gehe
davon
aus,
Im
Umgang
der DGSverlassen
(Cabri Geometry)
sollen diedas
Schüler
am
Ende
der Einheit
über
folgende
dass dies gleichmäßig erfolgt. Durch jeden der Eingänge gehen pro Minute 300 Zuschauer. Betrachte die
Fertigkeiten
verfügen:
nach dem Spiel ( in min )  Anzahl der Zuschauer, die noch im Stadion sind.
Funktion Zeit
1.
Streckenlängen
unddieWinkelgrößen
a)
Vervollständige
Wertetabelle: nach Angaben abtragen sowie Kreise mit vorgegeben Radien
zeichnen.
Zeit nach dem Spiel ( in min)
0
1
5
Anzahl der Zuschauer, die noch im Stadion sind
b)
Erstelle eine Gleichung für diese Funktion.
c)
Bestimme, wann das Stadion leer ist.
zweier Objekte.
Aufgabe 25
Die
m) eines
= m ⋅ xPunktes
+ 4 + maufzeichnen.
soll untersucht werden.
7.
ImGeradenschar
Spurmodus dief(x,
Spur
a)
Zeichne einige Geraden der Schar.
b)
Beschreibe die Schar und begründe deine Vermutungen.
c)
Was bedeutet f(3, m)? Verdeutliche dies in der Skizze.
d)
Welche Gerade der Schar verläuft durch den Punkt P(2 | 16)?
Aufgabe 26
Der Zusammenhang zwischen Temperaturangaben in Celsius und Fahrenheit ist linear. Wasser gefriert bei
32 °F und kocht bei 212 °F.
a)
Skizziere die zugehörigen Punkte in einem °C,°F-Diagramm und berechne die Funktionsgleichung,
die den Zusammenhang beschreibt.
b)
Gib die Tabelle in 2 °C-Schritten von 4 °C bis 14 °C an.
c)
Beschreibe die Änderungsrate.
© T³ Deutschland
© T Deutschland
91
13
Basiswissen
Fertigkeiten
Aufgabe 27
Die Entfernung zwischen München und Hannover beträgt ca. 480 km. Mit einem Flugzeug wird die Strecke
Hannover – München bei Gegenwind in 2,5 Stunden zurückgelegt, der Rückflug München – Hannover bei
Rückenwind in 2 Stunden.
a)
Berechne
die Geschwindigkeit
bezüglich
Bodens beiKonstruktionen
Rücken- und bei
Gegenkennen.
Dieses Werkzeug
soll jedochdes
aufFlugzeuges
die Anwendung
bei des
dynamischen
beschränkt
wind.
b)
Die Geschwindigkeit bezüglich des Bodens setzt sich zusammen aus der Eigengeschwindigkeit des
Flugzeuges und der Windgeschwindigkeit, es gilt:
. des = Eigengesch
Geschwindi
gkeit
windigkeit
Diese Fertigkeiten
sollen in
derbzgl
Klassenarbeit
oder in Kurztests
nachgewiesen
beziehungsweise
abgeprüft
indigkeit
+ Windgeschw
Bodens bei Rückenwind
des Flugzeuges
Geschwindi
gkeitsollen:
bzgl . des = Eigengesch windigkeit − Windgeschw indigkeit
Die Schülerinnen
und Schüler
Bodens bei Gegenwind
des Flugzeuges
Bestimme
die Eigengeschwindigkeit
des Flugzeuges
unter der Annahme,
zeichnen.
Umgekehrt
Streckenlängen, Winkelgrößen
und Kreisradien
messen. dass die Eigen- und die
Windgeschwindigkeit auf dem Hin- und dem Rückflug konstant und gleich sind.
Aufgabe 28
Bestimme die Werte für a, für die das LGS genau eine Lösung hat. Begründe!
x −ay = 4
∧ 2x + 4y = 0
DGS-Fertigkeiten
Aufgabe 29verfügen:
Fertigkeiten
Zwei
Teesorten kosten
€ (Sorte 1)nach
bzw. 13,50
€ (Sorte
2) pro sowie
250 g. Kreise mit vorgegeben Radien
1.
Streckenlängen
und 10,50
Winkelgrößen
Angaben
abtragen
Bestimme, wie viel Gramm jeder Sorte man für eine 250 g-Packung zusammenmischen muss, die 12,50 €
zeichnen.
kosten
soll.
zweier Objekte.
92
© T Deutschland
© T³ Deutschland
13
Notizen
Basiswissen
nezitoN
Entdeckungen an Dreiecken und
Vierecken
Notizen
Fertigkeiten
Aufgabe zu
Hinweise
InHannover
dieser Einheit
lernenbei
dieGegenwind
Schülerinnen
undStunden
Schülerzurückgelegt,
Cabri Geometry
des bei
TC
– München
in 2,5
der Rückflug München
– Hannover
Rückenwind
in 2Werkzeug
Stunden. soll jedoch auf die Anwendung bei dynamischen Konstruktionen beschränkt
kennen.
Dieses
a)
Berechne die Geschwindigkeit des Flugzeuges bezüglich des Bodens bei Rücken- und bei Gegenbleiben.wind.
b)
Rechnerfreie
Fertigkeiten
Flugzeuges
und der Windgeschwindigkeit, es gilt:
Geschwindigkeit bzgl . des = Eigengesch windigkeit + Windgeschwindigkeit
bei Rückenwind
desFertigkeiten
Flugzeugeserscheinen uns relevant:
werden (siehe Bodens
Kapitel 19).
Geschwindi gkeit bzgl . des = Eigengesch windigkeit − Windgeschw indigkeit
1. Streckenlängen
und
Angaben
Bodens
beiWinkelgrößen
Gegenwind nach des
Flugzeuges
Bestimme die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges unter der Annahme, dass die Eigen- und die
Winkelhalbierende
und
Seitenhalbierende
mit Geodreieck
zeichnen.
Windgeschwindigkeit
auf dem Hinund
dem Rückflug konstant
und gleich
sind.
4.Aufgabe
Konstruktionen
28
5.Bestimme
die Werte für a, für dieanfertigen.
das LGS genau eine Lösung hat. Begründe!
x −ay = 4
∧ 2x + 4y = 0
DGS-Fertigkeiten
Aufgabe 29
Zwei Teesorten kosten 10,50 € (Sorte 1) bzw. 13,50 € (Sorte 2) pro 250 g.
zeichnen.wie viel Gramm jeder Sorte man für eine 250 g-Packung zusammenmischen muss, die 12,50 €
Bestimme,
kosten
soll. Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende in Konstruktionen verwenden.
2. Die Befehle
zweier Objekte.
74
© T
dnDeutschland
alhcstueD ³T ©
T³
© T³ Deutschland
© T³ Deutschland
13
73 47
93
Notizen
Notizen
Fertigkeiten
Notizen
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
74 ©
74T Deutschland
94
13
© T³
© Deutschland
T³ Deutschland
Notizen
Basiswissen
nezitoN
Entdeckungen an Dreiecken und
Vierecken
Notizen
Fertigkeiten
Aufgabe zu
Hinweise
InHannover
dieser Einheit
lernenbei
dieGegenwind
Schülerinnen
undStunden
Schülerzurückgelegt,
Cabri Geometry
des bei
TC
– München
in 2,5
der Rückflug München
– Hannover
Rückenwind
in 2Werkzeug
Stunden. soll jedoch auf die Anwendung bei dynamischen Konstruktionen beschränkt
kennen.
Dieses
a)
Berechne die Geschwindigkeit des Flugzeuges bezüglich des Bodens bei Rücken- und bei Gegenbleiben.wind.
b)
Rechnerfreie
Fertigkeiten
Flugzeuges
und der Windgeschwindigkeit, es gilt:
Geschwindigkeit bzgl . des = Eigengesch windigkeit + Windgeschwindigkeit
bei Rückenwind
desFertigkeiten
Flugzeugeserscheinen uns relevant:
werden (siehe Bodens
Kapitel 19).
Geschwindi gkeit bzgl . des = Eigengesch windigkeit − Windgeschw indigkeit
1. Streckenlängen
und
Angaben
Bodens
beiWinkelgrößen
Gegenwind nach des
Flugzeuges
Bestimme die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges unter der Annahme, dass die Eigen- und die
Winkelhalbierende
und
Seitenhalbierende
mit Geodreieck
zeichnen.
Windgeschwindigkeit
auf dem Hinund
dem Rückflug konstant
und gleich
sind.
4.Aufgabe
Konstruktionen
28
5.Bestimme
die Werte für a, für dieanfertigen.
das LGS genau eine Lösung hat. Begründe!
x −ay = 4
∧ 2x + 4y = 0
DGS-Fertigkeiten
Aufgabe 29
Zwei Teesorten kosten 10,50 € (Sorte 1) bzw. 13,50 € (Sorte 2) pro 250 g.
zeichnen.wie viel Gramm jeder Sorte man für eine 250 g-Packung zusammenmischen muss, die 12,50 €
Bestimme,
kosten
soll. Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende in Konstruktionen verwenden.
2. Die Befehle
zweier Objekte.
74
© T
dnDeutschland
alhcstueD ³T ©
T³
© T³ Deutschland
© T³ Deutschland
13
73 47
95
Notizen
Notizen
Fertigkeiten
Notizen
DGS-Fertigkeiten
zeichnen.
zweier Objekte.
74 ©
74T Deutschland
96
13
© T³
© Deutschland
T³ Deutschland

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