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Fibonaccizahlen - Auftreten in der Biologie
Fibonaccizahlen Auftreten in der Biologie Bodo Werner Department Mathematik Universität Hamburg Bodo Werner Absolventenfeier Fibonacci I Geschichte Leonardo da Pisa, genannt F IBONACCI (etwa 1170-1250) Liber Abbici (1202): Indisch-arabische Ziffern Bodo Werner Absolventenfeier Fibonacci II Wieviel Nachkommen hat ein einzelnes Kaninchenpaar nach einem Jahr, wenn es nach einem Monat geschlechtsreif wird und jeden Monat ein Paar zur Welt bringt? Bodo Werner Absolventenfeier Die Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .......... Wie geht es weiter? 45, 89, 123,... Folge (Fn ) F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, ......, F9 = 34, ...... Bildungsgesetz: Fn = Fn−1 + Fn−2 , F0 = 0, F1 = 1. Formel von J. P. M. B INET (1786-1856) 1 1 1 √ n 1 1 √ n + 5 − − 5 , n = 0, 1, 2, .... Fn = √ 2 2 5 2 2 Bodo Werner Absolventenfeier Die Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .......... Wie geht es weiter? 45, 89, 123,... Folge (Fn ) F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, ......, F9 = 34, ...... Bildungsgesetz: Fn = Fn−1 + Fn−2 , F0 = 0, F1 = 1. Formel von J. P. M. B INET (1786-1856) 1 1 1 √ n 1 1 √ n + 5 − − 5 , n = 0, 1, 2, .... Fn = √ 2 2 5 2 2 Bodo Werner Absolventenfeier Die Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .......... Wie geht es weiter? 45, 89, 123,... Folge (Fn ) F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, ......, F9 = 34, ...... Bildungsgesetz: Fn = Fn−1 + Fn−2 , F0 = 0, F1 = 1. Formel von J. P. M. B INET (1786-1856) 1 1 1 √ n 1 1 √ n + 5 − − 5 , n = 0, 1, 2, .... Fn = √ 2 2 5 2 2 Bodo Werner Absolventenfeier Die Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .......... Wie geht es weiter? 45, 89, 123,... Folge (Fn ) F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, ......, F9 = 34, ...... Bildungsgesetz: Fn = Fn−1 + Fn−2 , F0 = 0, F1 = 1. Formel von J. P. M. B INET (1786-1856) 1 1 1 √ n 1 1 √ n + 5 − − 5 , n = 0, 1, 2, .... Fn = √ 2 2 5 2 2 Bodo Werner Absolventenfeier Die Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .......... Wie geht es weiter? 45, 89, 123,... Folge (Fn ) F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, ......, F9 = 34, ...... Bildungsgesetz: Fn = Fn−1 + Fn−2 , F0 = 0, F1 = 1. Formel von J. P. M. B INET (1786-1856) 1 1 1 √ n 1 1 √ n + 5 − − 5 , n = 0, 1, 2, .... Fn = √ 2 2 5 2 2 Bodo Werner Absolventenfeier Kaninchenvermehrung A I Bodo Werner Absolventenfeier Kaninchenvermehrung A II Bodo Werner Absolventenfeier Kaninchenvermehrung A III An (Jn ) := Anzahl der Alt- (Jung-)kaninchenpaare im n-ten Monat Jn = An−1 , An = An−1 + Jn−1 An = An−1 + An−2 . 144 Kaninchen nach einem Jahr! Bodo Werner Absolventenfeier Pflanzenwachstum A Achillea ptarmica — Sumpf-Schafgarbe Erkennen Sie das Bildungsgesetz? Bodo Werner Absolventenfeier Pflanzenwachstum B Alttrieb: rot, Jungtrieb: weiß Bodo Werner Absolventenfeier X-Chromosom-Vererbung Wieviele Ahnen in der 6.ten Vorgeneration haben Einfluss auf das X-Chromosom eines Mannes? Eine Frau hat 2 X-Chromosome, die sie von Vater und Mutter erbt, ein Mann nur eines. Dies stammt von der Mutter. Bodo Werner Absolventenfeier X-Chromosom-Vererbung Wieviele Ahnen in der 6.ten Vorgeneration haben Einfluss auf das X-Chromosom eines Mannes? Eine Frau hat 2 X-Chromosome, die sie von Vater und Mutter erbt, ein Mann nur eines. Dies stammt von der Mutter. Bodo Werner Absolventenfeier Ziegelsteine Bodo Werner Absolventenfeier F-Rechtecke I Bodo Werner Absolventenfeier F-Rechtecke II Bodo Werner Absolventenfeier F-Rechtecke III Bodo Werner Absolventenfeier F-Rechtecke IV Bodo Werner Absolventenfeier F-Rechtecke V Bodo Werner Absolventenfeier F-Rechtecke VI Bodo Werner Absolventenfeier F-Rechtecke VII Bodo Werner Absolventenfeier Dame–Halma I Kann man durch sukzessives Ziehen auf die letzte Linie gelangen? Bodo Werner Absolventenfeier Dame–Halma II Bodo Werner Absolventenfeier Dame–Halma III Bodo Werner Absolventenfeier Dame–Halma IV Bodo Werner Absolventenfeier Dame–Halma V Bodo Werner Absolventenfeier Dame–Halma VI Bodo Werner Absolventenfeier Dame–Halma VII Bodo Werner Absolventenfeier Dame–Halma VIII Bodo Werner Absolventenfeier Dame–Halma IX Bodo Werner Absolventenfeier Dame–Halma X Bodo Werner Absolventenfeier Dame–Halma XI Bodo Werner Absolventenfeier Dame–Halma XII Bodo Werner Absolventenfeier Dame–Halma XIII Bodo Werner Absolventenfeier Dame–Halma XIV Bodo Werner Absolventenfeier Dame–Halma XV Bodo Werner Absolventenfeier Dame–Halma XVI Bodo Werner Absolventenfeier Blütenblätter I Bodo Werner Absolventenfeier Blütenblätter II Bodo Werner Absolventenfeier Blütenblätter III Bodo Werner Absolventenfeier Blütenblätter IV Bodo Werner Absolventenfeier Blütenblätter V Bodo Werner Absolventenfeier Blütenblätter VI Bodo Werner Absolventenfeier Kiefernzapfen I Bodo Werner Absolventenfeier Kiefernzapfen II Bodo Werner Absolventenfeier Kiefernzapfen III Anzahl der Spiralen sind Fibonacci-Zahlen!!! Bodo Werner Absolventenfeier Spiralmuster (Parastichen) I Bodo Werner Absolventenfeier Spiralmuster (Parastichen) II 55 links- und 34 rechtsdrehende Spiralen Bodo Werner Absolventenfeier Spiralmuster (Parastichen) III Bodo Werner Absolventenfeier Spiralmuster (Parastichen) IV Bodo Werner Absolventenfeier Goldener Schnitt: Definition Bodo Werner Absolventenfeier Goldener Schnitt – Fortsetzung Kleine Goldene Schnittzahl 1 √ ϕ= 5 − 1 = 0.6180339887.... 2 ϕ= ϕ= 1 1+ϕ 1 1+ Bodo Werner 1 ϕ Absolventenfeier Goldener Schnitt – Fortsetzung Kleine Goldene Schnittzahl 1 √ ϕ= 5 − 1 = 0.6180339887.... 2 ϕ= ϕ= 1 1+ϕ 1 1+ Bodo Werner 1 ϕ Absolventenfeier Goldener Schnitt – Fortsetzung Kleine Goldene Schnittzahl 1 √ ϕ= 5 − 1 = 0.6180339887.... 2 ϕ= ϕ= 1 1+ϕ 1 1+ Bodo Werner 1 ϕ Absolventenfeier Goldener Schnitt — Kettenbruch 1 ϕ= 1 1+ 1+ 1 ϕ 1 ϕ= 1 1+ 1+ 1 1 + .. . + 1 1+ Bodo Werner Absolventenfeier 1 ··· Goldener Schnitt — Kettenbruch 1 ϕ= 1 1+ 1+ 1 ϕ 1 ϕ= 1 1+ 1+ 1 1 + .. . + 1 1+ Bodo Werner Absolventenfeier 1 ··· Allgemeiner Kettenbruch 1 x= 1 a1 + a2 + 1 a3 + . . . + 1 an + · · · aj : Koeffizienten des Kettenbruchs Bodo Werner Absolventenfeier Fibonaccizahlen — Goldener Schnitt Nach n Bruchstrichen abgebrochener Kettenbruch: Konvergenten pn = qn 1 1 1+ 1+ 1 1 + .. . + 1 1+ Bodo Werner Absolventenfeier 1 1 Fibonaccizahlen — Kettenbruch von ϕ p2 1 = , q2 2 p5 = q5 p3 2 = , q3 3 p4 3 = , ...... q4 5 1 1 1+ 1 1+ 1+ 1 1+ Rechnen Sie bitte!!! = Bodo Werner 5 8 Absolventenfeier 1 1 Fibonaccizahlen — Kettenbruch von ϕ p2 1 = , q2 2 p5 = q5 p3 2 = , q3 3 p4 3 = , ...... q4 5 1 1 1+ 1 1+ 1+ 1 1+ Rechnen Sie bitte!!! = Bodo Werner 5 8 Absolventenfeier 1 1 Fibonaccizahlen — Kettenbruch von ϕ Alternative Berechnung 1 p5 = q5 1+ Bodo Werner 3 5 = 5 F4 = . 8 F5 Absolventenfeier Fibonaccizahlen — Kettenbruch von ϕ Alternative Berechnung 1 p5 = q5 1+ Bodo Werner 3 5 = 5 F4 = . 8 F5 Absolventenfeier Theorem Für die Konvergenten“ von ϕ gilt ” pn Fn−1 = . qn Fn Beweis. 1 Fn−1 = F Fn 1 + Fn−2 n−1 Wir vergleichen: ϕ = 0.6180339887...., Bodo Werner F10 55 = = 0.617977528, F11 89 Absolventenfeier Fibonaccizahlen — Goldener Schnitt (Forts.) Theorem Die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen konvergieren gegen die kleine Goldene Schnittzahl. lim n→∞ Fn−1 = ϕ. Fn Bodo Werner Absolventenfeier Fibonaccizahlen — Goldener Schnitt (Forts.) Theorem Die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen konvergieren gegen die kleine Goldene Schnittzahl. lim n→∞ Fn−1 = ϕ. Fn Bodo Werner Absolventenfeier Irrationalität der Goldenen Schnittzahl I Eine rationale (positive) Zahl ist ein Bruch qp mit natürlichen Zahlen p und q. Ein endlicher oder periodischer Dezimalbruch. Ein endlicher Kettenbruch. Theorem ϕ ist (die) irrational(ste Zahl). Bodo Werner Absolventenfeier Divergenz Zunächst wird nur der Rotationsaspekt betrachtet!! Bodo Werner Absolventenfeier Drehwinkel I Drehwinkel ω (Gradmaß, Bogenmaß) ω = 1 entspricht 360 Grad oder 2π ω = 12 entspricht 180 Grad oder π ω = 34 entspricht 270 Grad oder 23 π Der goldene Winkel ω = ϕ entspricht 222,5 Grad = ϕ · 360 Grad Die Kreislinie S 1 ist die Menge aller Winkel. Drehungen stets gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch positiv) Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung Rϕ : S 1 → S 1 heißt Goldene Drehung. Bodo Werner Absolventenfeier Dynamisches System x0 = 0, x1 = Rϕ (x0 ) = ϕ, x2 = Rϕ (x1 ) = (ϕ + ϕ) mod 1, ... xk+1 = Rϕ (xk ), k = 0, 1, 2, .... Orbit x0 , x1 , x2 , ........ xk = (k · ϕ) mod 1 Bodo Werner Absolventenfeier Dynamisches System x0 = 0, x1 = Rϕ (x0 ) = ϕ, x2 = Rϕ (x1 ) = (ϕ + ϕ) mod 1, ... xk+1 = Rϕ (xk ), k = 0, 1, 2, .... Orbit x0 , x1 , x2 , ........ xk = (k · ϕ) mod 1 Bodo Werner Absolventenfeier Dynamisches System x0 = 0, x1 = Rϕ (x0 ) = ϕ, x2 = Rϕ (x1 ) = (ϕ + ϕ) mod 1, ... xk+1 = Rϕ (xk ), k = 0, 1, 2, .... Orbit x0 , x1 , x2 , ........ xk = (k · ϕ) mod 1 Bodo Werner Absolventenfeier Dynamisches System x0 = 0, x1 = Rϕ (x0 ) = ϕ, x2 = Rϕ (x1 ) = (ϕ + ϕ) mod 1, ... xk+1 = Rϕ (xk ), k = 0, 1, 2, .... Orbit x0 , x1 , x2 , ........ xk = (k · ϕ) mod 1 Bodo Werner Absolventenfeier Orbit der goldenen Drehung — Saatmaschine I Meine Saatmaschine besteht aus einem drehbar gelagerten Arm, der auf einem kreisförmigen Beet immer dann Samen aussät, wenn sich der Arm um einen bestimmten Winkel gedreht hat. Man erhält einen Samenorbit“. ” Bodo Werner Absolventenfeier Orbit der goldenen Drehung — Saatmaschine II Bodo Werner Absolventenfeier Orbit der goldenen Drehung — Saatmaschine III Bodo Werner Absolventenfeier Orbit der goldenen Drehung — Saatmaschine IV Bodo Werner Absolventenfeier Orbit der goldenen Drehung — Saatmaschine V Bodo Werner Absolventenfeier Orbit der goldenen Drehung — Saatmaschine VI Wie verteilen sich die Samen auf dem Kreisbeet? Wie sieht der Samenorbit“ aus? ” Dieser Orbit liefert geometrische Informationen über die reelle Zahl des Drehwinkels, die i.W. die Kettenbruchentwicklung liefert!! Bodo Werner Absolventenfeier Orbit der goldenen Drehung I Es folgen screen shots“ eines Applets: Versetzen Sie sich bitte ” in den Ursamen“ mit der Nummer Null. Beobachten Sie, ” welche neuen Nachbarn er dieser in welcher Zeit (rote Nummer) bekommt. Diese Zahlen sind F-Zahlen! Es gibt abwechselnd einen linken und einen rechten neuen Nachbarn. Der Abstand zu seinem alten Nachbarn wird durch einen neuen Nachbarn stets golden geteilt! Bodo Werner Absolventenfeier Orbit der goldenen Drehung II Bodo Werner Absolventenfeier Orbit der goldenen Drehung III Bodo Werner Absolventenfeier Orbit der goldenen Drehung IV Bodo Werner Absolventenfeier Orbit der goldenen Drehung V Bodo Werner Absolventenfeier Orbit der goldenen Drehung VI Bodo Werner Absolventenfeier Orbit der goldenen Drehung VII Bodo Werner Absolventenfeier Orbit der goldenen Drehung VIII Bodo Werner Absolventenfeier Orbit der goldenen Drehung IX Die Zeit m − n zwischen zwei benachbarten Einschlägen xm und xn irgendwo auf dem Beet ist stets eine Fibonaccizahl. Das erweist sich als der Grund dafür, dass die Anzahl der Spiralen F-Zahlen sind!! Bodo Werner Absolventenfeier Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 I Ein ganz andere Winkel. Fast 13 . Bodo Werner Absolventenfeier Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 II Es pirschen sich im 3er-Takt von links neue Nachbarn heran. Bodo Werner Absolventenfeier Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 III Bodo Werner Absolventenfeier Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 IV Bodo Werner Absolventenfeier Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 V Nach 16 Annäherungsversuchen gibt es einen Nachbarn mit der Nummer 50, dem sofort ein ein neuer rechter Nachbar folgt. Bodo Werner Absolventenfeier Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 VI Bodo Werner Absolventenfeier Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 VII 1 0, 3397 = 1 2+ 1+ 1 16 + Bodo Werner Absolventenfeier 1 .. . Zusammenfassung Die goldene Drehung führt zu einer optimalen Packung. Aber auch andere Winkel, z.B. 99,5 Grad, 1 0, 2764... = 1 3+ 1+ 1 1 + .. . + 1 1 + ··· mit asymptotischer Goldene-Schnittzahl-Entwicklung. Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung und radiales Wachstum I xk+1 = Rϕ (xk ), rk+1 = ....... Jetzt nehmen wir das radiale Wachstum hinzu, ohne die Rotationsdynamik zu ändern! Die Modellierung des radialen Wachstums ist relativ unerheblich. Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung und radiales Wachstum II Die ersten Samen sind am weitesten radial vorgedrungen. Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen) I Es folgen Bilder von Applets, die für sich sprechen. Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen) II Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen) III Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen) IV Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen) V Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen) VI Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen) VII Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen) VIII Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen) IX Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen) X Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen) XI Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen) XII Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen) XIII Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) I Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) II Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) III Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) IV Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) V Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) VI Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) VII Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) VIII Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) IX Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) X Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XI Wo sind die 13 roten Spiralen gebieben? Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XII Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XIII Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XIV Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XV Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XVI Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XVII Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XVIII Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XIX Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XX Ein nur geringfügig kleinerer Winkel. Bodo Werner Absolventenfeier Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XXI Bodo Werner Absolventenfeier Schlussbemerkung Das beschriebene mathematische Modell erklärt die auftretenden Spiralmuster. Aber es muss keineswegs richtig“ ” sein. Die Gene haben ja wohl kaum die Goldene-Schnittzahl gespeichert. Vielmehr wird dieser Divergenzwinkel das Ergebnis einer Dynamik in einem komplexeren Modell sein. Bodo Werner Absolventenfeier
