Zusammenfassung: Magnetfelder - Lehrer-Uni

LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
16.08.2012
Zusammenfassung: Magnetfelder
Wiederholung: Magnetismus
Magnetfelder
Definition: In der Umgebung eines Magneten oder eines stromdurchflossenen Leiters ist ein
Magnetfeld; dort erfahren andere Magnete (magnetische) Kräfte.
Die Richtung der Kraft in einem Magnetfeld beschreibt man durch Feldlinien. Ein gedachter
„Probenordpol“ erfährt eine Kraft tangential zu den Feldlinien in Feldlinienrichtung. Da es keinen
einzelnen Nordpol gibt, bestimmt man die Feldlinien in der Praxis
1. mit Eisenfeilspänen; diese werden magnetisiert und stellen sich tangential zu den Feldlinien
ein. Die Richtung der Feldlinien kann man allerdings nicht bestimmen.
2. mit einer Magnetfeldsonde, d. h. einem kleinen, allseits drehbaren Stabmagneten. Er stellt
sich tangential zu den Feldlinien ein, wobei sein Nordpol in Richtung der Feldlinien weist.
Wichtige Magnetfelder:
• Feld eines Stabmagneten
• Feld eine Hufeisenmagneten:
Zwischen den Schenkeln verlaufen die Feldlinien parallel (vom Randfeld abgesehen).
• Erdmagnetfeld:
Das Erdmagnetfeld ist ähnlich dem Feld eines Stabmagneten, dessen Nordpol in der Nähe
des geografischen Südpols und dessen Südpol in der Nähe des geografischen Nordpols liegt.
• Feld eines geraden stromdurchflossenen Leiters:
Die Feldlinien bilden Kreise in Ebenen senkrecht zum Leiter mit dem Leiter als Kreismittelpunkt. Die Richtung der Feldlinien ergibt sich aus der Linken-Faust-Regel:
Halte den Daumen an Stelle des Leiters in Richtung der Elektronenbewegung. Dann weisen
die gekrümmten Finger in Richtung der Feldlinien.
Achtung: Die Elektronen in einem Stromkreis bewegen sich vom Minuspol der Stromquelle
zum Pluspol, während die technische Stromrichtung umgekehrt definiert ist.
• Feld einer stromdurchflossenen Leiterschleife
• Feld einer stromdurchflossenen Spule:
Im Innern der Spule verlaufen die Feldlinien parallel zur Spulenachse. Außerhalb der Spule
ist das Feld ähnlich dem Feld eines Stabmagneten.
Bei den von Strömen erzeugten Magnetfeldern sind die Feldlinien geschlossen sind, d. h. sie haben
keinen Anfang und kein Ende; insbesondere kann man nicht von einem Nord- oder Südpol reden.
Die Richtung von Feldlinien, die senkrecht zur Zeichenebene verlaufen, kennzeichnet man folgendermaßen:
Die Feldlinie weist in die Zeichenebene hinein. (Das Zeichen soll an einen gefiederten
Pfeil erinnern, der von hinten betrachtet wird.)
Die Feldlinie weist aus der Zeichenebene heraus. (Das Zeichen soll an eine Pfeilspitze
erinnern.)
Es wäre nahe liegend, in Analogie zur elektrischen Feldstärke die „magnetische Feldstärke“ folgendermaßen zu definieren:
Kraft auf einen „Probenordpol“, geteilt durch die „Stärke“ des Nordpols.
Dies kann man aber nicht als Definition nehmen, da es keinen einzelnen Nordpol (und schon gar
kein Maß für die „Stärke“ eines Nordpols) gibt.
09a_zus_magnetfelder
1/6
LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
16.08.2012
Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld und magnetische Flussdichte
Ein stromdurchflossener Leiter, der senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfelds verläuft, erfährt
eine Kraft, die senkrecht zum Leiter und senkrecht zu den Feldlinien wirkt.
Die Richtung der Kraft ergibt sich aus der Dreifingerregel der linken Hand:
Halte den Daumen an Stelle des Leiters in Richtung der Elektronenbewegung und den Zeigefinger
in Richtung der Magnetfeldlinien. Dann zeigt der Mittelfinger in Richtung der Kraftwirkung.
Zwei Anwendungen dieser Kraftwirkung sind der Elektromotor und der Lautsprecher.
Zur Untersuchung des Betrags der Kraft befestigt man eine
rechteckige Leiterschleife an einem empfindlichen Kraftmesser.
Der untere Teil der Leiterschleife wird senkrecht von einem
räumlich begrenzten Magnetfeld durchsetzt, dessen Feldlinien
horizontal verlaufen.
Die Kräfte F1 und F2 auf die seitlichen Leiterabschnitte heben
sich gegenseitig auf. Wirksam ist nur die auf den unteren Leiterabschnitt wirkende Kraft F . Für die Kraftwirkung spielt also
nur die Länge dieses Leiterabschnitts, die sog. „wirksame
F1
Leiterlänge“ s, eine Rolle.
Man weist mit dieser Anordnung nach, dass der Betrag F der
Kraft
• proportional zu wirksamen Leiterlänge s ist (das ist auch
anschaulich klar) und
• proportional zur Stromstärke I ist
Also gilt F ∼ Is bzw. F = Proportionalitätsfaktor ⋅ Is .
I
F2
F
s
Der Proportionalitätsfaktor in dieser Beziehung ist ein Maß für die Stärke des Magnetfelds. Aus
historischen Gründen nennt man ihn nicht „magnetische Feldstärke“, sondern „magnetische Flussdichte“:
Definition: Ein von einem Strom I durchflossener Leiter der wirksamen Leiterlänge s, der senkrecht
zu den Feldlinien eines Magnetfelds verläuft, erfährt eine Kraft F. Der Quotient
F
B=
Is
heißt Betrag der magnetischen Flussdichte.
N
Einheit: 1 T = 1
(Tesla)
Am
Definition: Die magnetische Flussdichte B ist eine Vektorgröße, deren
1. Betrag gerade definiert wurde;
2. Richtung in einem Feldpunkt die Richtung der Kraft auf einen gedachten Probenordpol an
diesem Feldpunkt ist.
Merke: Der Betrag von B ist über die Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen Leiter definiert,
und die Richtung von B ist über die Kraftwirkung auf einen gedachten Probenordpol definiert.
Ein Magnetfeld heißt homogen, wenn die Flussdichte B (nach Betrag und Richtung) überall gleich
ist. Beispielsweise ist das Magnetfeld im Innern einer langgestreckten Spule homogen.
09a_zus_magnetfelder
2/6
LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
16.08.2012
Aus der Definition des Betrags der magnetischen Flussdichte folgt unmittelbar:
Ein von einem Strom I durchflossener Leiter der wirksamen Leiterlänge s, der senkrecht zu den
Feldlinien eines Magnetfelds der Flussdichte B verläuft, erfährt die Kraft
F = IBs .
Merke: „Fibs“
Verläuft ein stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld nicht senkrecht zu den Feldlinien,
dann gilt:
• Verläuft der Leiter parallel zu den Feldlinien, dann erfährt er keine Kraft.
• Verläuft der Leiter schräg zu den Feldlinien, dann zerlegt man das Magnetfeld B in eine
Komponente B⊥ senkrecht zum Leiter und in eine Komponente B parallel zum Leiter. Für
die Kraftwirkung spielt nur die Komponente B⊥ eine Rolle.
Lorentzkraft
Bewegen sich geladene Teilchen (beispielsweise Elektronen in einer Braunschen Röhre) senkrecht
zu den Feldlinien eines Magnetfelds, dann erfahren sie eine Kraft, die sog. Lorentzkraft FL .
Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld ist die Summe der Lorentzkräfte auf die im Leiter fließenden Elektronen. Also gilt für die Richtung der Lorentzkraft das
Gleiche wie für die Richtung der Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld:
• Die Lorentzkraft FL wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Teilchen und senkrecht zu
den Feldlinien.
• Die Richtung von FL auf negativ geladene Teilchen ergibt sich aus der Dreifingerregel der
linken Hand.
• Auf positiv geladene Teilchen wirkt FL in entgegengesetzter Richtung.
Für den Betrag FL der Lorentzkraft auf ein Teilchen der Ladung q, das sich mit der Geschwindigkeit vs senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfelds der Flussdichte B bewegt, gilt
FL = qvs B .
Herleitung: siehe „Für Experten“.
Es ist üblich, in dieser Gleichung vs zu schreiben, um daran zu erinnern, dass diese Gleichung nur
gilt, wenn sich das Teilchen senkrecht zu den Feldlinien bewegt.
Halleffekt
Wird ein stromdurchflossenes Plättchen
senkrecht von einem Magnetfeld der
P
B
Flussdichte B durchsetzt, dann wirkt auf
die in dem Plättchen fließenden
Elektronen eine Lorentzkraft. In der
h
nebenstehenden Anordnung werden die
Elektronen nach unten abgelenkt.
Q
Dadurch wird die Unterseite des
Plättchens negativ und die Oberseite des
Plättchens positiv.
Zwischen den Punkten P und Q entsteht also eine Spannung, die Hallspannung U H .
09a_zus_magnetfelder
3/6
UH
LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
16.08.2012
Durch die Überschussladungen entsteht im Innern des Plättchens ein elektrisches Feld der
Feldstärke E, das auf die Elektronen eine elektrische Kraft nach oben bewirkt. Nach kurzer Zeit
stellt sich ein stationärer Zustand ein, in dem sich die Lorentzkraft FL und die elektrische Kraft Fel
gegenseitig aufheben. Hat das Plättchen die Höhe h und fließen die Elektronen mit der Driftgeschwindigkeit vs , dann gilt:
Fel = FL
eE = evs B
E = vs B
UH
= vs B
h
U H = hvs B
Merke: U H ∼ B
Den Proportionalitätsfaktor bestimmt man, indem man die Hallspannung U H in einem Magnetfeld
bekannter Flussdichte B misst.
N
. Hier ist eine andere
Am
Einheit zweckmäßiger (die auch in der Formelsammlung angegeben wird):
J
1
2
N
J
VC
VC
Vs
m =1
=1
=1 2 .
1
1
1
=
2 =
2
C 2
Am
Am
A⋅m
A⋅m
m
⋅m
s
J
J
1: 1 J = 1 Nm , also 1 N = 1
; 2 : 1 V = 1 , also 1 J = 1 VC
C
m
Die Einheit der magnetischen Flussdichte B ist bekanntlich 1 T = 1
Den Halleffekt nutzt man in einem Teslameter zur Messung des Betrags der magnetischen Flussdichte.
Magnetfeld einer langgestreckten Spule und magnetische Feldkonstante
Man weist experimentell nach, dass das Magnetfeld im Innern einer langgestreckten stromdurchflossenen Spule (näherungsweise) homogen ist.
Für Experten: An den Spulenenden ist die magnetische Flussdichte nur halb so groß wie im Innern,
was man sich anschaulich überlegen kann.
Man weist experimentell nach, dass der Betrag B der magnetischen Flussdichte im Innern einer
stromdurchflossenen langgestreckten Spule
• unabhängig vom Spulenquerschnitt ist;
• proportional zur Stromstärke I ist; (Diese Stromstärke nenn man auch die Erregerstromstärke.)
• proportional zur Anzahl n der Windungen ist;
• umgekehrt proportional zur Länge l der Spule ist.
Die beiden letztgenannten Abhängigkeiten kann man zusammenfassen: B ist proportional zur
n
Windungsdichte .
l
09a_zus_magnetfelder
4/6
LGÖ Ks
Also gilt B ∼
Ph 12 4-stündig
16.08.2012
n
n
I bzw. B = Proportionalitätsfaktor ⋅ I .
l
l
Vs
Vs
⋅m
2
Bl
Tm
Vs
hat die Einheit 1
Der Proportionalitätsfaktor
=1 m
=1 m =1
.
nI
A
A
A
Am
Definition: Dieser Proportionalitätsfaktor heißt magnetische Feldkonstante µ 0 ; es ist
Tm
Vs
µ 0 = 1, 26 ⋅ 10−6
= 1, 26 ⋅ 10−6
.
A
Am
Vs
.
Für Experten: Der genaue Wert ist µ0 = 4π ⋅ 10−7
Am
Bestimmung der magnetischen Feldkonstanten µ 0 :
Schließe eine langgestreckte Spule der Länge l mit n Windungen an eine Spannungsquelle an und
miss die Stromstärke I (mit einem Amperemeter). Miss mit einem Teslameter die magnetische
n
Bl
Flussdichte B im Innern der Spule. Es ist B = µ0 I , also µ0 =
.
nI
l
Füllt man das Innere der Spule mit einem ferromagnetischen Stoff, dann wird dieser magnetisiert,
und die magnetische Flussdichte wird größer. Wie stark sie sich vergrößert, hängt vom Stoff ab.
Für Experten: Auch andere als ferromagnetische Stoffe verändern die magnetische Flussdichte ein
wenig.
Definition: Die Permeabilitätszahl µ r eines Stoffes gibt an, auf das Wievielfache sich die magnetische Flussdichte im Vergleich zu Vakuum vergrößert.
In Luft gilt µr ≈ 1 .
Also hat die magnetische Flussdichte im Innern einer langgestreckten Spule der Länge l mit
n Windungen, die mit einem Stoff der Permeabilitätszahl µ r gefüllt ist und durch die ein Strom der
Stärke I fließt, den Betrag
n
B = µ0 µ r I .
l
Für Experten
Herleitung des Betrags FL der Lorentzkraft:
In einem Leiterstück der Länge s seien N Elektronen frei
beweglich. Sie strömen mit der (durchschnittlichen) Drifts
geschwindigkeit v in der Zeit t = durch den (im Bild
v
dunkel schraffierten) Leiterquerschnitt am Ende des
Leiterstücks und tragen durch ihn die Ladung Q = Ne .
Also ist die Stromstärke
Q Ne Nev
.
I= =
=
s
t
s
v
09a_zus_magnetfelder
5/6
s
LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
16.08.2012
Das Leiterstück erfährt in einem Magnetfeld der Flussdichte B, dessen Feldlinien senkrecht zum
Leiter sind, die Kraft
Nev
F = IBs =
⋅ Bs = NevB .
s
Diese Kraft ist die Summe der Lorentzkräfte auf die N Elektronen im Leiterstück. Also ist die
Lorentzkraft auf ein einzelnes Elektron
F NevB
FL = =
= evB .
N
N
Analog erfährt ein Teilchen der Ladung q eine Lorentzkraft vom Betrag
FL = qvB .
09a_zus_magnetfelder
6/6