Vergleichsarbeiten 2016 8. Jahrgangsstufe (VERA
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Vergleichsarbeiten 2016 8. Jahrgangsstufe (VERA
Vergleichsarbeiten 2016 8. Jahrgangsstufe (VERA-8) Mathematik – Didaktische Handreichung Modul C Didaktischer Aufgabenkommentar Testheft 2 Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 Von links wie von rechts ......................................................................................... 2 Aufgabe 2 Fußballtabelle .........................................................................................................4 Aufgabe 3 Mauer aus Zahlen ...................................................................................................7 Aufgabe 4 Null Komma Acht .................................................................................................. 10 Aufgabe 5 Steile Straße .........................................................................................................13 Aufgabe 6 Bistroumfrage........................................................................................................17 Aufgabe 7 Glückssäckchen ....................................................................................................19 Aufgabe 8 Werbemarkt ..........................................................................................................23 Aufgabe 9 Gummibären .........................................................................................................25 Aufgabe 10 Winkelwürfel........................................................................................................27 Aufgabe 11 Würfelturm ..........................................................................................................30 Aufgabe 12 Tankinhalt ...........................................................................................................34 Aufgabe 13 Maßstabsleiste ....................................................................................................36 Aufgabe 14 Ungewöhnlicher Mittelwert .................................................................................. 37 Aufgabe 15 Trapezvariation ...................................................................................................39 Aufgabe 16 Verlauf des Graphen ........................................................................................... 42 Aufgabe 17 Wo liegt C? .........................................................................................................44 Aufgabe 18 Dreiecke ergänzen .............................................................................................. 47 Aufgabe 19 Zwei Kreise .........................................................................................................50 Aufgabe 20 Der Stern.............................................................................................................53 Aufgabe 21 Schokolinsen.......................................................................................................56 Aufgabe 22 Nashorn ..............................................................................................................60 Aufgabe 23 Flächengleich oder nicht? ................................................................................... 63 Wussten Sie, dass Sie viele VERA-Aufgaben und Didaktische Materialien auch online finden können? www.iqb.hu-berlin.de/vera/aufgaben 1 Aufgabe 1 Von links wie von rechts Teilaufgabe 1.1 Auswertung Angabe einer 4-stelligen Palindromzahl: 3883 ODER 8338 UND RICHTIG Angabe einer 5-stelligen Palindromzahl: Beispiel(e) • 48384 [Anm.: Auf welchen der 5 Stellen der Palindromzahl die vorgegebene "38" steht, ist unerheblich, z. B. 38183 oder 13831 oder 18381.] Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 1. Zahl Probleme mathematisch lösen (K2) I 2 Teilaufgabe 1.2 Auswertung RICHTIG 4. Kästchen wurde angekreuzt Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 1. Zahl Probleme mathematisch lösen (K2) II 5 2 Aufgabenbezogener Kommentar Die Aufgabe ist der Leitidee Zahl (L1) zuzuordnen, da Schülerinnen und Schüler eine sinntragende Vorstellung der Palindromzahlen nutzen, um eigenständig eine solche Zahl darzustellen (siehe hierzu auch die allgemeinen Erläuterungen zur Leitidee Zahl in Modul B). Bei Teilaufgabe 2 müssen Schülerinnen und Schüler zudem kombinatorische Überlegungen durchführen, um die Anzahl der möglichen Palindromzahlen zu bestimmen. In beiden Teilaufgaben wird die Kompetenz Probleme mathematisch lösen (K2) gefordert, da heuristische Prinzipen, wie etwa systematisches Probieren sowohl zum Auffinden einer neuen Palindrom-Zahl als auch zum Ermitteln der Anzahl der verschiedenen vierstelligen Palindromzahlen, angewendet werden müssen. Während Teilaufgabe 1 nur aus einer einfachen mathematischen Aufgabenstellung besteht, bei der die naheliegende Strategie „Ausprobieren“ gewählt wird, erfordert die Teilaufgabe 2 eine Lösungsstrategie, bei der systematisch die verschiedenen Möglichkeiten ausprobiert und ausgezählt werden. Daher ist Teilaufgabe 1 dem Anforderungsbereich I zuzuordnen, Teilaufgabe 2 hingegen Anforderungsbereich II. Anregungen für den Unterricht In der zweiten Teilaufgabe soll ermittelt werden, wie viele Möglichkeiten es für vierstellige Palindromzahlen gibt. Es geht also um das allgemeine Zählprinzip der Kombinatorik. Da je zwei Ziffern von insgesamt vier Ziffern identisch sind, handelt es sich um ein zweistufiges Baumdiagramm. Es muss insbesondere berücksichtigt werden, dass die erste und die letzte Ziffer keine Null sein darf. Hierfür lassen sich sowohl eine tabellarische Aufstellung (Liste) als auch eine Baumdiagrammdarstellung nutzen. Damit erhält man für eine der beiden Stufen neun Verzweigungen, auf der anderen zehn. Es sind also insgesamt 90 Pfade im Baumdiagramm. Das allgemeine Zählprinzip sollte zunächst anhand von Realsituationen mit wenigen Ereignissen durch Listen (Tabellen) oder Pfade in einem Baumdiagramm veranschaulicht werden. Folgende Fragen können als Anregung dienen: • In einer Kantine kann man aus 2 Vorspeisen, 3 Hauptgerichten und 2 Desserts ein Menü erstellen. Wie viele mögliche verschiedene Menüs ergeben sich daraus? • Jan hat für das Fußballtraining 3 Trikots, 2 kurze Hosen und 4 Paar Stutzen zur Auswahl. Aus wie vielen Outfits kann er für das Fußballtraining wählen? • Tina kann im Ferienlager aus den Vormittagsaktivitäten Klettern oder Akrobatik wählen. Bei den Nachmittagsaktivitäten kann sie zwischen Jonglieren, Nähen und Zaubern wählen. Wie viele verschiedene unterschiedliche Möglichkeiten bieten sich ihr im Ferienlager, um ihren Tag zu gestalten? 3 Aufgabe 2 Fußballtabelle Teilaufgabe 2.1 Auswertung Angabe aller Möglichkeiten: 0, 1, 2, 3, 4, 6 Punkte RICHTIG [Anm.: Die Antwort wird auch als richtig gewertet, wenn die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 6 ohne "Punkte" genannt werden.] Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 1. Zahl Probleme mathematisch lösen (K2) Mathematisch modellieren (K3) Mathematisch kommunizieren (K6) I 3 Teilaufgabe 2.2 Auswertung Begründung, mit der gezeigt wird, dass nach drei Spielen nicht die Summe von 8 Punkten entstehen kann, wenn eine Mannschaft pro Spiel jeweils 0, 1 oder 3 Punkte erhält. RICHTIG Beispiel(e) • Mit drei Siegen hätte sie bereits mehr als 8 Punkte erhalten. Die Mannschaft müsste also zwei Spiele gewonnen haben. Dann bleiben für das dritte Spiel noch 2 Punkte übrig. Diese können in einem Spiel jedoch nicht erreicht werden. • Bei zwei gewonnenen Spielen erhält die Mannschaft 6 Punkte. Für die zwei noch fehlenden Punkte benötigt die Mannschaft noch mindestens zwei weitere Spiele, die unentschieden ausgehen müssten. Das sind aber vier statt drei Spiele. Bei einem weiteren Sieg hätte die Mannschaft bereits neun Punkte erreicht. 4 Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 1. Zahl Mathematisch argumentieren (K1) Probleme mathematisch lösen (K2) Mathematisch modellieren (K3) Mathematisch kommunizieren (K6) II 3 Teilaufgabe 2.3 Auswertung Angabe aller Möglichkeiten: 6, 7, 8 Spiele RICHTIG [Anm.: Die Antwort wird auch als richtig gewertet, wenn die Zahlen 6, 7, 8 ohne "Spiele" genannt werden.] Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 1. Zahl Probleme mathematisch lösen (K2) Mathematisch modellieren (K3) Mathematisch kommunizieren (K6) II 5 Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe wird der Leitidee Zahl (L1) zugeordnet, da in konkreten Situationen kombinatorische Überlegungen angestellt werden (siehe hierzu auch die allgemeinen Erläuterungen zur Leitidee Zahl in Modul B). Zur Bearbeitung aller drei Teilaufgaben ist der Eingangstext jeweils interpretierend zu lesen. In Teilaufgabe 1 werden dem Text zunächst die relevanten Informationen über die Anzahl der Spiele, die vom betreffenden Spielausgang abhängige Punktzahl sowie der Hinweis auf die erforderliche Addition aller erzielten Punkte entnommen (K6). Anschließend ist eine elementare Strategie zu entwickeln, die sicherstellt, dass alle möglichen Fälle von Spielausgängen bei zwei Spielen erfasst werden (K2). Zur Lösung aller Teilaufgaben ist eine Übersetzung zwischen Realität und Mathematik notwendig. Daher erfordern alle Teilaufgaben Modellierungskompetenzen (K3). Schließlich sind die bei allen denkbaren Kombinationen von Spielausgängen erreichbaren Punktzahlen zu addieren und abschließend aufzulisten (K6). Zur Bearbeitung der Teilaufgaben 2 und 3 sind dem Eingangs- sowie dem Aufgabentext zunächst ebenfalls die relevanten Informationen zu entnehmen (K6). Die gestellten (Umkehr-)Fragen können durch systematisches Variieren der beiden gegebenen Bedingungen (Anzahl der Spiele bzw. Anzahl der insgesamt erzielten Punkte) gelöst werden (K2). Dabei sind nur einfache Rechnungen auszuführen. Bei Teilaufgabe 2 ist zusätzlich mit 5 Bezug auf die vorangegangenen Variationen explizit zu begründen, dass eine Mannschaft in drei Spielen nicht acht Punkte erzielt haben kann (K1). In Teilaufgabe 1 wird ein einfaches Problem mit bekannten – auch experimentellen – Verfahren gelöst, so dass diese dem Anforderungsbereich I zugeordnet wird. Die Teilaufgaben 2 und 3 können dem Anforderungsbereich II zugeordnet werden, da das Lösen des gestellten Problems die Anwendung mehrschrittiger heuristischer Strategien erforderlich macht. Anregungen für den Unterricht Alle Teilaufgaben der Aufgabe „Fußballtabelle“ zielen auf die allgemeine Kompetenz Probleme mathematisch lösen (K2) ab. Diese Kompetenz kommt immer dann zum Tragen, wenn Aufgaben gestellt werden, für deren Bearbeitung Schülerinnen und Schüler nicht auf ihnen vertraute Verfahren zurückgreifen können. Daher ist mit Verfahren zu rechnen, die nicht zielführend sind. Im Folgenden wird dies für die einzelnen Teilaufgaben verdeutlicht. Zu Teilaufgabe 1. Alle Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5 und 6 werden unkritisch als mögliche Spielstände aufgelistet, wie die nachstehende Schülerlösung zeigt (siehe Abbildung 1). Dabei wird im Kontext außer Acht gelassen, dass eine Mannschaft nach zwei Spielen nicht fünf Punkte haben kann. Im Unterricht könnte die Strategie des systematischen Variierens thematisiert werden, um solche Fehler zu vermeiden. Abbildung 1: Schülerlösung Zu Teilaufgabe 2. Nur gleichartige Spielausgänge, z. B. zwei Siege, werden berücksichtigt, und nicht alle Kombinationen werden - zumindest gedanklich - durch systematisches Variieren ermittelt. Zu Teilaufgabe 3. Es wird nicht beachtet, dass alle Möglichkeiten anzugeben sind. Stattdessen wird wie in der folgenden Schülerlösung z. B. nur ermittelt, dass acht Siege bei 26 Punkten möglich sind (siehe Abbildung 2). Abbildung 2: Schülerlösung Für Teilaufgabe 3 bieten sich zwei systematische Herangehensweisen an: Man ermittelt zunächst die minimal mögliche Anzahl an Siegen, um auf 26 Punkte zu kommen. Und ersetzt dann die Unentschieden schrittweise durch Siege, bis 26 Punkte mit Sicherheit überschritten werden (systematisches Durcharbeiten von Klein nach Groß). Oder man wählt den umgekehrten Weg und ermittelt zunächst die maximal mögliche Anzahl an Siegen. Und ersetzt dann die Siege schrittweise durch Unentschieden (systematisches Durcharbeiten von Groß nach Klein). Beide Strategien zur Problemlösung können in ähnlichen Situationen angewendet werden. 6 Im Unterricht bietet es sich an, Methoden des Problemlösens anhand von Beispielen sichtbar zu machen, um sie anschließend auf einer Meta-Ebene zu systematisieren. Dazu gehören z. B. heuristische Hilfsmittel wie Tabellen oder Gleichungen.1 Bezogen auf Teilaufgabe 3 könnten die heuristischen Hilfsmittel wie folgt aussehen: Tabelle: Siege Unentschieden Niederlagen Gesamtpunktzahl 9 0 5 27 8 2 4 26 7 5 2 26 6 8 0 26 5 9 0 24 Gleichung(en): s:= Siege; u:= Unentschieden; n:= Niederlagen s + u + n = 14 3s + u = 26 Aufgabe 3 Mauer aus Zahlen 3⋅7 Teilaufgabe 3.1 1 Bruder, R. & Collet, C. (2011). Problemlösekompetenzen fördern. Berlin: Cornelsen Scriptor. 7 Auswertung 1 RICHTIG [Anm.: Die Steine der Zahlenmauer müssen nicht ausgefüllt werden. Als richtig ist es auch zu werten, wenn die Lösung in ein mit x gekennzeichnetes Feld eingetragen wird.] Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 1. Zahl Probleme mathematisch lösen (K2) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) II 2 Teilaufgabe 3.2 Auswertung 4 ODER -4 RICHTIG [Anm.: Die Steine der Zahlenmauer müssen nicht ausgefüllt werden. Als richtig ist es auch zu werten, wenn die Lösung in ein mit x gekennzeichnetes Feld eingetragen wird.] Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 1. Zahl Probleme mathematisch lösen (K2) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) II 2 Weitere Teilaufgabe (nur im Testheft 1) Auswertung RICHTIG FALSCH Alle anderen fehlerhaften, unvollständigen oder falschen Antworten. Insbesondere, wenn nur zwei statt drei Steine (richtig) ausgefüllt wurden. 8 Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 1. Zahl Probleme mathematisch lösen (K2) I 1a Aufgabenbezogener Kommentar Die Aufgabe ist der Leitidee Zahl (L1) zugeordnet, da Schülerinnen und Schüler hier durch Ausprobieren und Ausrechnen zur Lösung gelangen (siehe hierzu auch die allgemeinen Erläuterungen zur Leitidee Zahl in Modul B). Es handelt sich dabei um eine Strategie des Abzählens. Bei allen drei Teilaufgaben wird die Kompetenz Probleme mathematisch lösen (K2) gefordert, da stets heuristische Prinzipien, wie etwa „Vom Ergebnis her rückwärts arbeiten“, angewandt werden. Dabei wird das Ergebnis stets durch den obersten Baustein der Zahlenmauer dargestellt. In den Teilaufgaben 1 und 2 rechnen Schülerinnen und Schüler mit einer Unbekannten und arbeiten (mental) mit Termen und deren Umformungen. Somit erfordern diese beiden Teilaufgaben die Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5). Die weitere Teilaufgabe erfordert nur das Lösen einer einfachen mathematischen Aufgabenstellung durch die Identifikation der vorgegebenen Strategie, also das direkte Anwenden der Formel, und ist somit Anforderungsbereich I zuzuordnen. Die Teilaufgaben 1 und 2 hingegen erfordern eine eigene mehrschrittige Lösungsstrategie. Anregungen für den Unterricht Alle drei Teilaufgaben zielen auf die Problemlösekompetenzen von Schülerinnen und Schüler ab. Im Unterricht können anhand der Aufgabe „Mauer aus Zahlen“ verschiedene Problemlösestrategien verdeutlicht werden. In der weiteren Teilaufgabe und Teilaufgabe 1 gelangen Schülerinnen und Schüler durch systematisches Probieren oder über die Kombination von Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten zur Lösung. So wird in Teilaufgabe 1 zunächst 2 ⋅ 5 = 10 gerechnet (vorwärts) und dann die Gleichung x ⋅10 = 140 gelöst (rückwärts). Beide Strategien können an ähnlichen Problemen im Unterricht angewandt und geübt werden. In Teilaufgabe 2 können sowohl die oben angeführten heuristischen Strategien, als auch heuristische Hilfsmittel (wie z. B. Tabellen) genutzt werden. In diesem konkreten Fall könnte das ein Term bzw. eine Gleichung oder eine Tabelle sein. Eine systematische Darstellung heuristischer Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien findet sich bei Bruder und Collet2. (siehe auch Modul B der didaktischen Handreichungen zu VERA8-2012). 2 Bruder, R. & Collet, C. (2011). Problemlösekompetenzen fördern. Berlin: Cornelsen Scriptor 9 Die heuristischen Hilfsmittel sollten im Unterricht als solche gekennzeichnet werden. Im Folgenden sind sie exemplarisch dargestellt: Gleichung: x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = 256 Graph: Tabelle: x x2 x4 1 1 1 2 4 16 3 9 81 4 16 256 Aufgabe 4 Null Komma Acht Teilaufgabe 4.1 8: = 0,8 = 0,8 0,8 : Auswertung RICHTIG von oben nach unten: 10 UND 1 Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 1. Zahl Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) I 2 10 Teilaufgabe 4.2 : 8 = 0,8 : 0,8 = 0,8 Auswertung RICHTIG von oben nach unten: 6,4 UND 0,64 Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 1. Zahl Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) I 3 Aufgabenbezogener Kommentar Die Aufgabe ist der Leitidee Zahl (L1) zuzuordnen, da Schülerinnen und Schüler zur Lösung der Aufgabe den Zusammenhang zwischen der Rechenoperation Division und ihrer Umkehrung Multiplikation nutzen (siehe hierzu auch die allgemeinen Erläuterungen zur Leitidee Zahl in Modul B). Gleichzeitig rechnen die Schülerinnen und Schüler mit natürlichen und rationalen Zahlen. In beiden Teilaufgaben wird die Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) gefordert, da konzeptuelle Zusammenhänge zu den Operationen systematisch genutzt werden. Dabei werden nur einfache mathematische Werkzeuge genutzt, so dass beide Teilaufgaben dem Anforderungsbereich I zuzuordnen sind. Anregungen für den Unterricht Die Beschreibung unterrichtspraktischer Maßnahmen konzentriert sich hier auf den Variablenbegriff. Zunächst werden Möglichkeiten zur Beschreibung unterschiedlicher Aspekte des Variablenbegriffs vorgestellt: Freudenthal3 klassifiziert Variablen nach der Art ihrer Verwendung, bzw. nach der Frage, wofür eine Variable (in einer Aufgabe) steht. Sie kann (1) wie in dieser Aufgabe als Unbekannte verwendet werden. Dabei steht die Variable für ein Objekt, das zwar unbekannt jedoch prinzipiell bestimmbar ist. Eine Variable kann (2) als Unbestimmte verwendet werden. Dabei steht die Variable für ein unbekanntes Objekt, dessen Bestimmung nicht weiter von Belang ist. Dies ist z. B. immer dann der Fall, wenn Variablen in einer Aussage auftauchen, die stets wahr ist, unabhängig davon, welche Zahl für die Variable eingesetzt wird. Eine Variable kann schließlich (3) als Veränderliche verwendet werden. Dies ist zumeist in funktionalen Zusammenhängen der Fall, in denen tatsächlich die Zahl variiert, die durch die Variable repräsentiert wird. 3 Freudenthal, H. (1973). Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Stuttgart:Klett, 256ff 11 Eine andere Unterscheidung von Variablen schlägt Malle4 vor. Er unterscheidet zunächst Einzelzahl- und Bereichszahlaspekt. Die Variable als (1) Einzelzahl bedeutet, dass man sie im Sinne Freudenthals als Unbekannte verwendet. Es handelt sich dann um die Repräsentation einer beliebigen, jedoch festen Zahl aus einem bestimmten Bereich (siehe Beispiel 2). Der (2) Bereichszahlaspekt besagt, dass nicht nur genau eine bestimmte Zahl aus einem Bereich repräsentiert wird, sondern jede Zahl des Bereichs. Dieser Aspekt tritt in zwei Varianten auf. Der (2.1) Simultanaspekt tritt dann hervor, wenn alle Zahlen eines Bereichs gleichzeitig repräsentiert werden; der (2.2) Veränderlichenaspekt tritt dann hervor, wenn alle Zahlen aus einem bestimmten Bereich nicht simultan repräsentiert, sondern durchlaufen werden (siehe Beispiel 1). Schülerinnen und Schülern, die die allgemeine Hochschulreife anstreben, können bereits in der Sekundarstufe I die verschiedenen Verwendungen bzw. Aspekte des Variablenbegriffs bewusst gemacht werden. So können z. B. zur Frage „Was ist eine Variable?“ verschiedene Aufgaben Verwendung finden, in denen die Variable jeweils eine spezifische Rolle spielt. Einen Mehrwert bietet ein solches Vorgehen, wenn im Laufe der Schulzeit auf die verschiedenen Verwendungsweisen und Aspekte von Variablen rekurriert werden kann. So kann beispielsweise der Unterschied zwischen einer Geraden als geometrisches Objekt und einer Geradengleichung (y = mx + b) auf der einen Seite und einer Geraden als Funktionsgraph und einer Funktionsgleichung (f(x) = mx + b) auf der anderen Seite anhand der verschiedenen Verwendungsweisen und Aspekte von Variablen verdeutlicht werden. Ebenso kann dieser Gedankengang auch in der analytischen Geometrie wieder aufgegriffen werden, wenn beispielsweise ein Parameter einer Geradengleichung simultan für alle reellen Zahlen steht (Gerade als geometrisches Objekt) oder veränderlich den Bereich der reellen Zahlen durchläuft (Bewegung auf einer Geraden). Beispiel 1: g: y = 2x - 4 und f(x) = 2x – 4 Wird eine Gerade als Ganzes betrachtet, wie hier die Gerade g, so überwiegt der Simultanaspekt der Variable. x steht dann für einen ganzen Bereich möglicher Werte. In der Gleichung zur Funktion f wird hingegen nicht ein ganzer Bereich möglicher x-Werte betrachtet; im Vordergrund steht der Veränderlichenaspekt der Variable. Beispiel 2: f(x) = 2x - 4 und 0 = 2x – 4 Wird nach einem bestimmten x-Wert gefragt, wie in diesem Beispiel nach der Nullstelle, so verschiebt sich der Fokus vom Bereichszahlaspekt auf den Einzelzahlaspekt. Nun kann x nicht mehr für ganz verschiedene Zahlen stehen, sondern steht stellvertretend für eine einzige Zahl. 4 Malle, G. (1993). Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Braunschweig: Vieweg, 80 12 Aufgabe 5 Steile Straße Teilaufgabe 5.1 Auswertung RICHTIG eine Zahl aus dem Intervall [32; 33] Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 1. Zahl Mathematisch modellieren (K3) Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Mathematisch kommunizieren (K6) II 4 Teilaufgabe 5.2 Die steilste Straße der Welt liegt in Neuseeland und heißt „Baldwin Street“. Ein sehr steiler Abschnitt der Straße überwindet bei einer Horizontalstrecke von 154 m einen Höhenunterschied von 47 m. Wie viel Prozent Gefälle hat die Straße auf diesem Abschnitt? Das Gefälle beträgt ca. %. Auswertung RICHTIG eine Zahl aus dem Intervall [30; 31] Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 1. Zahl Mathematisch modellieren (K3) Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) Mathematisch kommunizieren (K6) II 4 13 Teilaufgabe 5.3 Auswertung 45 UND Lösungsweg, bei dem der Winkel 45 ° berechnet oder argumentativ bzw. zeichnerisch hergeleitet wird. RICHTIG Beispiel(e) • Aus 100 % Höhenunterschied folgt, dass das Dreieck gleichschenklig ist. Daraus folgt α = 45° . • Der Schüler zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck bei dem An- und Gegenkathete gleich lang sind und misst den Winkel nach. • tan(α ) = 1 α = 45° [Anm.: Das Beispiel zur Lösung mittels der Tangensfunktion dient nur der Korrektur und ist nicht Teil der erwarteten Lösung.] Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 1. Zahl Probleme mathematisch lösen (K2) Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Mathematisch kommunizieren (K6) II 5 Aufgabenbezogener Kommentar Die Aufgabe ist der Leitidee Zahl (L1) zuzuordnen, da Schülerinnen und Schüler Prozentrechnung sachgerecht verwenden (siehe hierzu auch die allgemeinen Erläuterungen zur Leitidee Zahl). 14 Zunächst werden dem Eingangstext die nötigen Informationen entnommen, insbesondere die Erläuterung, was x % Gefälle bedeutet. Auch aus den Aufgabentexten und den Zeichnungen werden die relevanten Informationen herausgefiltert. Schließlich wird in Teilaufgabe 3 ein Lösungsweg dokumentiert. Dies erfordert jeweils die Kompetenz Mathematisch kommunizieren (K6). In Teilaufgabe 1 und 2 wird zwischen außermathematischen Realsituationen (der Straße zwischen zwei Orten) und mathematischen Begriffen, Resultaten und Methoden (Höhenunterschied, Prozentrechnung) hin- und hergewechselt. Das gegebene Modell (das Dreieck als Modellierung des Straßenanstiegs) muss verstanden und in einer konkreten Realsituation angewandt werden. Daher erfordern die ersten beiden Teilaufgaben die Kompetenz Mathematisch modellieren (K3). Da bei Teilaufgabe 2 zudem Operationen mit Zahlen und an geometrischen Objekten, nämlich am Dreieck, gefordert sind, wird auch noch die Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) gefordert. Bei Teilaufgabe 3 wird dann zusätzlich zu den in den vorherigen Teilaufgaben bereits verwendeten Größen ein Winkel betrachtet. Zur Lösung der Teilaufgabe müssen Schülerinnen und Schüler einen geeigneten Lösungsweg oder eine geeignete Lösungsstrategie finden und anwenden. Somit wird die Kompetenz Probleme mathematisch lösen (K2) gefordert. Dabei wird die heuristische Strategie „Verwenden einer Skizze“ bereits durch die Abbildung nahegelegt. In allen Teilaufgaben wird eine mathematische Darstellung, das Steigungsdreieck, verwendet und interpretiert. Somit zielen alle Teilaufgaben auch auf die Kompetenz ab, mathematische Darstellungen zu verwenden (K4). Da alle drei Aufgabenteile ein mehrschrittiges Vorgehen erfordern und über einfache Routineaufgaben hinausgehen, sind die Aufgaben dem Anforderungsbereich II zuzuordnen. Anregungen für den Unterricht Die Aufgabe „Steile Straße“ zeigt eine Möglichkeit an, wie der mathematische Steigungsbegriff im Unterricht eingeführt werden kann. Dieses Vorgehen bietet sich beispielsweise an, wenn Graphen linearer Funktionen thematisiert werden. Negative Änderungsraten von Graphen linearer Funktionen können mithilfe des Straßenschilds „Gefälle“ zunächst als Gefälle in Prozent interpretiert werden. Im Anschluss daran folgt die Angabe eines Gefälles als Winkel. Ebenso kann mit positiven Änderungsraten mithilfe des Straßenschilds „Steigung“ verfahren werden. Der Begriff der durchschnittlichen Änderungsrate im mathematischen Sinne kann im Unterricht dann als eine Zusammenfassung dieser beiden Realitätsbezüge (Straßenschild Gefälle und Straßenschild Steigung) den Schülerinnen und Schülern näher gebracht werden. Sie können so den mathematischen Begriff der durchschnittlichen Änderungsrate als eine Zusammenfassung der beiden bereits quantifizierten Eigenschaften von Straßen, Gefälle und Steigung, verstehen. Weiterhin ist es sinnvoll, an dieser Stelle verschiedene Darstellungen des Steigungsbegriffs nebeneinanderzustellen und hier Vorteile der Darstellung als Zahl gegenüber der Darstellung als Winkel oder Prozentsatz zu verdeutlichen. 15 Der Realitätsbezug „Straßenschild“ kann so verstanden im Sinne der ersten Winterschen Grunderfahrung5 genutzt werden. Auf diese Grunderfahrung kann auch zur Differenzierung zwischen durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate in höheren Klassenstufen zurückgegriffen werden. So kann auf einem konkreten Straßenverlauf verwiesen werden, der nicht über eine einheitliche Steigung bzw. ein einheitliches Gefälle verfügt. Die Fragen lautet dann: Welche Steigung bzw. welches Gefälle würde ein Straßenschild anzeigen? Welche Steigung lässt sich auf einen stark eingegrenzten Abschnitt des Streckenverlaufs ermitteln? Ebenso ist es möglich im Kontext Straßenverkehr eine Geschwindigkeitsmessung für die besagte Differenzierung zu nutzen. Der Kontext „Straßenverkehr“ bietet neben den hier genannten Möglichkeiten viele weitere Facetten für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht. Im Folgenden seien nur einige Beispiele für die Sekundarstufe I genannt: • Jahnke, Th. (1996). Wie viele Gänge hat ein 21-Gang-Fahrrad?. In Bardy et al, Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht. Schriftenreihe der ISTRON-Gruppe. Band 3 (S. 23-29). Franzbecker: Hildesheim • Öffentliche Verkehrsmittel, ab Klasse 6: Vernay, R. (1995). Bruchrechnen in der Straßenbahn und im Intercity, mathematik lehren, 69, 8-11. • Radarfalle, ab Klasse 6 (Proportionalität): Maaß, J. (2007). Schülerinnen entwickeln eine `Radarfalle In Herget et al, Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht. Schriftenreihe der ISTRON-Gruppe. Band 10, (S. 91-98). Franzbecker: Hildesheim • Fahrpläne, ab Klasse 8 (Lineare Funktionen): Unterrichtseinheit Eisenbahn. In Becker et al. (1997), Anwendungsorientierter Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I, (S. 79-95). Klinkhardt: Bad Heilbrunn. • „Brückenbau“ in Greefrath, G. (2007) Modellieren lernen mit offenen realitätsnahen Aufgaben (S. 80-85). Aulis Verlag Deubner: Berlin • Jahnke, Th. (1997). Stunden im Stau – eine Modellrechnung. In: Blum et al. Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht. Schriftenreihe der ISTRON-Gruppe. Band 4 (S. 70-81). Franzbecker: Hildesheim • Die Aufgaben „Fahrrad“, „Benzinkosten“, „Reisekosten“, „Monatskarte“, „Pendler“, „Straßenbahn“, „Car Check“, „Straßenschild“, „Autobahnschild“, „ICE“, „Neun Stunden im Stau“, „Autobahnauffahrt“, „Erdgasauto“, „Porsche“ und „Schwarzfahren“ In Maaß, J. (2007). Mathematisches Modellieren. Aufgaben für die Sekundarstufe I. Cornelsen Scriptor: Berlin. • Reale Probleme aus dem Wirklichkeitsbereich „Verkehr und Mobilität“ auf dem Bildungsserver Südtirols: http://www.blikk.it/angebote/modellmathe (letzter Zugriff am 22.09.2015). 5 Winter, H. (1996). Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik, 61, 37- 46. 16 Aufgabe 6 Bistroumfrage Teilaufgabe 6.1 Auswertung RICHTIG Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 5. Daten und Zufall Mathematisch kommunizieren (K6) I 2 17 Teilaufgabe 6.2 Auswertung RICHTIG 4. Kästchen wurde angekreuzt Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 5. Daten und Zufall Mathematisch modellieren (K3) Mathematisch kommunizieren (K6) II 3 Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe ist der Leitidee Daten und Zufall (L5) zugeordnet, da von den Schülerinnen und Schüler gefordert ist, den Ablauf und die Umfrage einer statistischen Erhebung zu planen. In beiden Teilaufgaben ist es wichtig, Informationen aus dem jeweiligen Text zu entnehmen, sodass die Kompetenz Mathematisch kommunizieren (K6) zum Lösen der Aufgabe abgefragt wird. In Teilaufgabe 2 ist es außerdem notwendig, Teilprozesse des mathematischen Modellierens (K3) zu durchlaufen, da durch das Ankreuzen passender Fragen Annahmen getroffen werden müssen und somit die Teilkompetenz des Modellierens Vereinfachen erforderlich ist. In Teilaufgabe 1 müssen die Informationen in kurzen, leicht verständlichen Texten identifiziert werden. Daher gehört diese Teilaufgabe in den Anforderungsbereich I. Teilaufgabe 2 hingegen ist dem Anforderungsbereich II zugeordnet, da für das Auswählen der passenden Fragen tieferes Verständnis gefordert ist. Anregungen für den Unterricht In der Aufgabe „Bistroumfrage“ wird angedeutet, wie in der Schule Stochastikunterricht gebunden an eine konkrete Untersuchung unterrichtet werden kann. Dabei geht es in Teilaufgabe 1 um die Planung der Untersuchung. In Teilaufgabe 2 soll dann eine geeignete Frage zum aufgeworfenen Problem gefunden werden. Fragen, die Schülerinnen und Schüler im Zusammenhang mit eigenen Untersuchungen an die Lehrkraft herantragen, können wie folgt lauten: Wann ist die Stichprobe einer Grundgesamtheit repräsentativ? Wie müssen Merkmale definiert sein, damit sie möglichst wenig Interpretationsspielraum enthalten? Welche Merkmale sollen überhaupt erfasst werden? 18 Auf solche und viele weitere Fragen gehen beispielsweise Eichler und Vogel6 in ihrem Buch Leitfaden Stochastik ein. Dort finden sich neben den Erläuterungen zu Begriffen und Verfahren vertiefende Aufgaben, die teilweise auch Schülerinnen und Schüler im Unterricht gestellt werden können. Auf der Homepage www.leitideedatenundzufall.de stellen die Autoren zudem Zusatzmaterialien bereit, so z. B. Lösungen zu den im Buch gestellten Aufgaben oder Datensätze in Tabellen-Dateien, falls man keine eigenen Erhebungen von Daten durchführen möchte. Aufgabe 7 Glückssäckchen Teilaufgabe 7.1 Auswertung A UND RICHTIG Begründung mit vergleichendem Bezug auf die Anteile weißer Kugeln in den Säckchen, der bei A am höchsten ist. Beispiel(e) • Der Anteil der weißen Kugeln ist bei Beutel A am höchsten, nämlich 50 %, bei B sind es nur 40 % und bei C nur 42,8 %. 6 Eichler, A. & Vogel, M. (2011): Leitfaden Stochastik. Für Studierende und Ausübende des Lehramts. Wiesbaden: Vieweg+Teubner. Springer Fachmedien 19 • Bei Beutel A sind es genauso viele weiße wie schwarze Kugeln. Bei den beiden anderen Säckchen sind es mehr schwarze als weiße Kugeln. • In A sind mehr weiße Kugeln als in B, aber gleich viele schwarze Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist bei A also größer als bei B. In A sind gleich viele weiße Kugeln wie in C, jedoch weniger schwarze Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist bei A also größer als bei C. • (Grenzfall) A: 3 2 3 , B: , C: ; ohne Anmerkung zum Vergleich 6 5 7 Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 5. Daten und Zufall Mathematisch modellieren (K3) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) II 3 Teilaufgabe 7.2 Auswertung 4 9 RICHTIG Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 5. Daten und Zufall Mathematisch modellieren (K3) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) II 4 Teilaufgabe 7.3 n1 + n2 m n1 ⋅ n2 m n1 + n2 2⋅m n1 ⋅ n2 2⋅m Auswertung RICHTIG 4. Kästchen wurde angekreuzt 20 Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 5. Daten und Zufall Mathematisch argumentieren (K1) Probleme mathematisch lösen (K2) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) Mathematisch kommunizieren (K6) III 4 Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe ist der Leitidee Daten und Zufall (L5) zugeordnet, da Schülerinnen und Schüler Wahrscheinlichkeiten in Zufallsexperimenten bestimmen und beurteilen. In beiden Teilaufgaben müssen einfache Routineverfahren zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit angewandt werden. Daher ist die Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) erforderlich. In der Aufgabe muss zudem zwischen der realen Situation des Zufallsexperiments und einer stochastischen Methode zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit hin- und her gewechselt und somit mathematisch modelliert (K3) werden. Beide Teilaufgaben gehören in den Anforderungsbereich II, da es sich jeweils um mehrschrittige Prozesse zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten handelt. Teilaufgabe 3 wird dem Anforderungsbereich III zugeordnet, da Terme zur allgemeinen Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in ähnlich gelagerten Situationen untersucht werden sollen. Anregungen für den Unterricht Anhand der folgenden Schülerlösungen zur Teilaufgabe 1 der Aufgabe „Glückssäckchen“ in Abbildung 1 soll illustriert werden, wie die Ergebnisse kompetenzorientiert ausgewertet und für einen kompetenzorientierten Unterricht nutzbar gemacht werden können. Bei beiden hier vorgestellten Schülerlösungen lassen sich sowohl Kompetenzen identifizieren, über die der Schüler bereits verfügt, als auch Kompetenzen, die es weiter auszubauen gilt. Abbildung 1: Schülerlösung 1 Die Schülerin kreuzt die korrekte Antwort A an und bestimmt ebenso die Gewinnwahrscheinlichkeit im Säckchen A gemäß der gegeben Situation richtig. 21 Es ist demnach davon auszugehen, dass die Schülerin bezogen auf Modelle zur LaplaceWahrscheinlichkeit über Modellierungskompetenzen (K3) verfügt. Von der Schülerin werden die Wahrscheinlichkeiten zu Säckchen B und C wie folgt angegeben: Im Zähler befindet sich die Anzahl an weißen Kugeln. Im Nenner befindet sich nun jedoch nicht die Gesamtzahl an Kugeln, sondern die Anzahl an schwarzen Kugeln. Verglichen mit der korrekt angegebenen Wahrscheinlichkeit bei Säckchen A müsste Säckchen A ihren Angaben gemäß dasjenige mit der geringsten Gewinnwahrscheinlichkeit sein. Offenbar hat die Schülerin Wahrscheinlichkeiten und Chancenverhältnisse zumindest beim Aufschreiben verwechselt. Die Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) sollte in dieser Hinsicht weiter gefördert werden. Auch in Schülerlösung 2 zur Teilaufgabe 1 wird deutlich, dass die Schülerin mit den realen Gegebenheiten korrekt umgehen kann (siehe Abbildung 2). Die Schülerin verfügt bezogen auf einfache Zufallsexperimente über Modellierungskompetenzen (K3). Abbildung 2: Schülerlösung 2 In ihrer Begründung argumentiert sie über Chancen, was im Rahmen dieser Aufgabe auch sinnvoll ist. Sie geht dabei jedoch nicht auf das dritte Glückssäckchen ein und formuliert so eine unvollständige Argumentation. Die Überprüfung, ob eine Argumentation vollständig ist, kann als Metastrategie im Unterricht thematisiert werden, um so die Kompetenz Mathematisch argumentieren (K1) zu fördern. Im Unterricht könnte Schülerlösung 2 thematisiert werden, um zum einen den Unterschied zwischen der mathematischen Notation von Chancen und Wahrscheinlichkeiten deutlich zu machen und zum anderen, um deutlich zu machen, wann eine Argumentation vollständig ist. 22 Aufgabe 8 Werbemarkt Die folgende Grafik stellt die Gesamtausgaben für Werbung in den Jahren 2010 bis 2015 dar. 25,0 in Mrd. Euro 20,0 15,0 10,0 5,0 0,0 2010 2011 2012 2013 2014 2015 Nimm an, dass sich die Gesamtausgaben für Werbung in den nächsten Jahren ähnlich weiterentwickeln. Gib unter dieser Voraussetzung eine Prognose ab, wie hoch die Gesamtausgaben für Werbung im Jahr 2018 ungefähr sein werden. Ungefähre Höhe der Gesamtausgaben für Werbung im Jahr 2018: Mrd. € Notiere deinen Lösungsweg. Auswertung eine Zahl aus dem Intervall [24; 28] UND Überlegungen, bei denen die kontinuierliche und fast gleichmäßige Zunahme der Werbeausgaben in den Jahren 2010 bis 2015 auf die folgenden drei Jahre bis 2018 fortgesetzt wird. RICHTIG Beispiel(e) • Die Aufwendungen im Werbebereich sind in 5 Jahren um etwas mehr als 5 Mrd. € gestiegen. Das sind pro Jahr ungefähr 1 Mrd. €. Im Jahr 2018 werden dann also etwa 25 Mrd. € für Werbung aufgewendet. • Die Zunahme der Aufwendungen im Werbebereich ist fast linear. Wenn man die Säulenspitzen mit einer Strecke verbindet und diese entsprechend verlängert, kann man die Werbekosten für das Jahr am Diagramm ablesen. Sie betragen im Jahr 2018 etwa 25 Mrd. € . Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 5. Daten und Zufall Probleme mathematisch lösen (K2) Mathematisch modellieren (K3) Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Mathematisch kommunizieren (K6) III 4 23 Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe ist der Leitidee Daten und Zufall (L5) zugeordnet, da sich die Schülerinnen und Schüler mit der Interpretation von statistischen Daten auseinandersetzen. Zunächst muss die gegebene reale Situation modelliert werden (K3). Es muss eine geeignete Lösungsstrategie entwickelt werden, um den Wert für das Jahr 2018 abzuschätzen. Daher ist auch die Kompetenz Probleme mathematisch lösen (K2) erforderlich. Zur Bearbeitung der Aufgabe ist es außerdem notwendig, mit einer statistischen Darstellung umzugehen (K4). Die Kompetenz Mathematisch kommunizieren (K6) wird ebenfalls gefordert, da zunächst Informationen aus der Graphik und dem Text entnommen werden und die Überlegungen schließlich dargelegt werden müssen. Schülerinnen und Schüler gehen in beiden Teilaufgaben mit Mathematik technisch um (K5), indem sie beispielsweise schätzen, Punkte in einem Diagramm ablesen und Geraden zeichnen. In der Aufgabe werden jedoch vornehmlich andere Kompetenzen fokussiert, weshalb diese Kompetenz (K5) hier nicht zugeordnet wird. Die Aufgabe gehört in den Anforderungsbereich III, da es sich bei der Grafik um eine unvertraute Darstellung handelt und die Schülerinnen und Schüler ihre Überlegungen bzgl. der Werte für das Jahr 2010 in einem Argumentationsprozess darlegen müssen. Anregungen für den Unterricht Die Kompetenz Mathematische Darstellungen verwenden (K4) ist über den Mathematikunterricht hinaus bedeutsam. Sie wird in zahlreichen Studiengängen vorausgesetzt und spielt auch in der Lebenswelt vieler Menschen eine bedeutsame Rolle. Man denke an dieser Stelle an die Vielzahl von Diagrammen, Schaubildern, Graphen und Tabellen, die uns täglich in Medien, in Aushängen oder in der Arbeitswelt begegnen. All diese Darstellungen sind auch mathematische Darstellungen, wenngleich sie sehr häufig von den im Mathematikunterricht üblichen Darstellungsweisen abweichen. Der verständige Umgang mit der Vielzahl von Darstellungen, die Möglichkeit diese zu deuten oder womöglich verfälschende Darstellungen zu kritisieren beinhaltet die Kompetenz Mathematische Darstellungen verwenden (K4), wie sie in den Bildungsstandards gefordert wird. Soll Mathematikunterricht allgemeinbildend sein und sollen Schülerinnen und Schüler zu (bürgerlicher) Mündigkeit befähigt werden, so gilt es insbesondere diese Kompetenz zu fördern. In der Aufgabe „Werbemarkt“ wird lediglich verlangt, begründet eine Prognose über künftige Werbeausgaben abzugeben. In diesem Fall wird die mathematische Darstellung nicht kritisch hinterfragt. Vielmehr wird davon ausgegangen, dass sich ein Muster, welches sich in der Darstellung zeigt, auch in kommenden Jahren fortsetzen wird. Die beispielhaften Antworten aus den Lösungshinweisen belegen das. An dieser Stelle kann man durchaus vom Induktionsproblem sprechen, das immer dann auftritt, wenn von einer endlichen Anzahl von Fällen (hier die Ausgaben für Werbung bezogen auf wenige Jahre) auf Ereignisse in der Zukunft (Aufgaben für Werbung in kommenden Jahren) geschlossen wird. 24 Es muss im Unterricht deutlich werden, dass es sich dabei stets um sehr vage Prognosen handelt. Anhand der Aufgabe „Werbemarkt“ könnte überlegt werden, welche äußeren, nicht unbedingt vorhersehbaren Ereignisse die Aufgaben für Werbung beeinflussen können. Zu nennen wäre beispielweise die Finanz- und Wirtschaftskrise im Jahre 2008. Des Weiteren kann die Verlässlichkeit der Daten, welche der Darstellung zugrunde liegen, auf Plausibilität geprüft werden. Es wäre zu bedenken, wie überhaupt weltweite Ausgaben für Werbung ermittelt werden können oder ob es sich dabei nicht zwangsläufig um grobe Abschätzungen handeln muss. Ebenso kann die Darstellung Gegenstand kritischer Betrachtung werden. Zu fragen wäre, welche Ungenauigkeiten sich aus der gegebenen Darstellung ergeben. Wie eben geschildert, lässt sich eine solche Darstellung kritisch beleuchten. Dies soll als Anregung dafür dienen, im Mathematikunterricht vermehrt echte Darstellungen und damit verbundene Aussagen aus Zeitungen und Internetseiten für eine kritische Analyse zu verwenden. Aufgabe 9 Gummibären Teilaufgabe 9.1 Auswertung 1 6 RICHTIG Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 5. Daten und Zufall Mathematisch modellieren (K3) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) Mathematisch kommunizieren (K6) I 3 Teilaufgabe 9.2 Auswertung RICHTIG 3. Kästchen wurde angekreuzt 25 Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 5. Daten und Zufall Mathematisch modellieren (K3) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) Mathematisch kommunizieren (K6) II 4 Aufgabenbezogener Kommentar Diese realitätsbezogene Aufgabe gehört zur Leitidee Daten und Zufall (L5), da es hier zum einen um das Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten von Elementarereignissen (Teilaufgabe 1) und zum anderen um das verständnisorientierte Beschreiben und Beurteilen von Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen (Teilaufgabe 2) geht. Bei allen Teilaufgaben muss die beschriebene Situation verstanden werden (K6). Teilaufgabe 1 erfordert zudem die Berechnung des Anteils einer bestimmten Teilmenge, der anschließend in Form einer Wahrscheinlichkeit angegeben werden muss (K5). Dazu ist nur der Umgang mit einem vertrauten und direkt erkennbaren stochastischen Modell notwendig (K3), was eine Einordnung dieser Teilaufgabe in den Anforderungsbereich I nahelegt. Bei Teilaufgabe 2 steigt die Anforderung an das Modellieren (K3), da das mathematische 1 Resultat ( 83 ) im Gegensatz zu Teilaufgabe 1 nicht direkt in die Realität übertragen werden 3 kann, sondern hier noch eine angemessene Rundung zu vollziehen ist (K5). Es erscheint eine Einordnung dieser Teilaufgabe in Anforderungsbereich II sinnvoll. Anregungen für den Unterricht Beide Teilaufgaben der Aufgabe „Gummibären“ verlangen von Schülerinnen und Schülern Kompetenzen im Bereich Mathematisch modellieren (K3), Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) und Mathematisch kommunizieren (K6). Bezüglich jeder Kompetenz können bestimmte Schwierigkeiten beim Lösen der Teilaufgaben auftreten. Dies soll im Folgenden anhand der Analyse von Schülerlösungen verdeutlicht werden. Schwierigkeiten bezüglich des mathematischen Modellierens (K3) werden deutlich, wenn z. B. ein nicht geeignetes Wahrscheinlichkeitsmodell angenommen wird. Dies ist der Fall, 1 angegeben wird. Vermutlich wurde dann wenn in Teilaufgabe 1 die Wahrscheinlichkeit mit 5 in die Überlegungen lediglich einbezogen, dass fünf verschiedene Farben in einer Tüte sind. In Teilaufgabe 2 könnte die Fehllösung 20 darauf hinweisen, dass die gegebenen Zahlen einfach auf irgendeine Weise miteinander verknüpft worden sind (z. B. 1000:(5 ⋅ 10) ), ohne auf einen sinnhaften Zusammenhang mit dem Aufgabentext zu achten. Es handelt sich um eine Ausweichstrategie, deren Auftreten hier darauf hinweist, dass die Kompetenz Mathematisch modellieren (K3) weiter gefördert werden sollte. Die Kompetenz des mathematischen Kommunizierens (K6) sollte weiter gefördert werden, 1 wenn in Teilaufgabe 1 die Wahrscheinlichkeit mit angegeben wird. Hier ist zu vermuten, 3 dass die Wahrscheinlichkeit für rote Gummibären angegeben worden ist. Dass jedoch nach der Wahrscheinlichkeit für Himbeergeschmack gefragt worden ist, wird nicht berücksichtigt. 26 Ist in Teilaufgabe 2 die Zahl 160 angekreuzt, verweist dies auf einen ähnlichen Umstand. Dieses Resultat ergibt sich, wenn von 1000 Gummibären ausgegangen wird und die Information, dass 5 Gummibären zusammen 10 g wiegen, unberücksichtigt bleibt. Aufgabe 10 Winkelwürfel Teilaufgabe 10.1 Auswertung 1. Kästchen wurde angekreuzt (1. Zeile) RICHTIG UND 3. Kästchen wurde angekreuzt (2. Zeile) Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 5. Daten und Zufall Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Mathematisch kommunizieren (K6) II 2 27 Teilaufgabe 10.2 Auswertung 5 Zahlen, deren Summe 1 ergibt UND gleiche Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse "1" und "2" bzw. für "3" und "5" Beispiel(e) RICHTIG Alle anderen Antworten. Beispiel(e) FALSCH [Anm.: Nur die relativen Häufigkeiten werden ermittelt.] Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 5. Daten und Zufall Probleme mathematisch lösen (K2) Mathematisch modellieren (K3) Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) II 5 28 Aufgabenbezogener Kommentar Die Aufgabe ist der Leitidee Daten und Zufall (L5) zugeordnet, da Schülerinnen und Schüler Zufallserscheinungen beschreiben und Wahrscheinlichkeiten in Zufallsexperimenten bestimmen. In Teilaufgabe 1 müssen die Abbildungen der Würfel verglichen und interpretiert werden, sodass die Kompetenz Mathematische Darstellungen verwenden (K4) gefordert ist. Außerdem gehört zu dieser Teilaufgabe die Kompetenz Mathematisch kommunizieren (K6), da zunächst Informationen aus dem Text über die Art der Winkelwürfel entnommen werden müssen, um die Aufgabe zu bearbeiten. Für Teilaufgabe 2 gehen Schülerinnen und Schüler ebenfalls mit mathematischen Darstellungen um (K4), da die Tabelle Informationen enthält, die zur Bearbeitung der Aufgabe ergänzt werden sollen. Zusätzlich muss eine Strategie entwickelt werden, um die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse zu bestimmen. Aufgrund dieser Strategiefindung ist die Kompetenz Probleme mathematisch lösen (K2) notwendig. In der Teilaufgabe spielt außerdem das mathematische Modellieren (K3) eine Rolle, weil Ergebnisse einer realen Situation mithilfe von Mathematik interpretiert werden. Zur Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten ist zudem die Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) wichtig. Die gesamte Aufgabe ist dem Anforderungsbereich II zugeordnet. Dies ist dadurch begründet, dass in beiden Teilaufgaben gefordert ist, die entsprechende Darstellungsform verständig zu interpretieren bzw. zu ergänzen. Teilaufgabe 1 gehört auch deshalb in den Anforderungsbereich II, weil Informationen aus einem Text selektiert werden müssen und die Bilder der Winkelwürfel nicht unbedingt einen einfachen Sachverhalt darstellen. Für Teilaufgabe 2 ist das Finden eines Lösungswegs für die Ergänzung der Tabelle notwendig. Dies rechtfertigt ebenfalls den Anforderungsbereich II, da es sich nicht um eine unmittelbar naheliegende Strategie handelt (Anforderungsbereich I), sie aber wiederum nicht so komplex ist, dass man von einem Anforderungsbereich III sprechen kann. Anregungen für den Unterricht Die für die Aufgabe verwendeten Winkelwürfel erinnern an Riemer und die nach ihm benannten Riemer-Würfel7. So lässt sich ausgehend von der Aufgabe „Winkelwürfel“ im Unterricht mit echten Winkelwürfeln ein wie in den Teilaufgaben angedeutetes Unterrichtsvorhaben realisieren. Dieses Unterrichtsvorhaben soll nach Riemer dazu beitragen, dass Schülerinnen und Schüler einen Wahrscheinlichkeitsbegriff erwerben, der sowohl den Laplace’schen als auch den frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff umfasst. Riemer weist darauf hin, dass bei der ausschließlichen Verwendung von völlig symmetrischen Objekten wie Würfel, Münzen oder Glücksrädern der falsche Eindruck entstehen könnte, dass sich Wahrscheinlichkeiten stets genau bestimmen ließen (Laplace’sche Wahrscheinlichkeit). Andererseits, bei der Beschränkung auf völlig unsymmetrische Objekte wie Reißnägel oder Knöpfe, muss die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses stets als relative Häufigkeit interpretiert werden, mit der es in einer großen Anzahl gleicher, wiederholter, voneinander unabhängiger Zufallsexperimente eintritt (frequentistische Wahrscheinlichkeit). 7 Riemer, W. (1988). Riemer-Würfel. Spannende und lehrreiche Experimente mit ungewöhnlichen Objekten, Stuttgart: Klett (online: http://www.riemer-koeln.de/mathematik/quader/riemer-wuerfel-klett.pdf ) 29 Würde ausschließlich die frequentistische Wahrscheinlichkeit im Unterricht behandelt, so könnten Schülerinnen und Schüler glauben, dass vor solchen Zufallsexperimenten keine Aussagen über zu erwartende Wahrscheinlichkeiten sinnvoll getätigt werden können. Riemer geht davon aus, dass mit seinen teilweise symmetrischen Würfeln beide Vorstellungen entwickelt und vertieft werden können. Die Würfel erlauben es nämlich zum einen, schon vor jedem Versuch Prognosen über relative Häufigkeiten zu machen. Zum anderen können im Anschluss daran diese Prognose durch Versuche überprüft werden. Arbeitet man im Unterricht zudem mit verschiedenen Varianten von Riemer-Würfeln, so können weitere Hypothesen getestet werden. Solche Hypothesen können wie folgt lauten: (1) Je größer die Auflagefläche einer Lage desto „wahrscheinlicher“ ist diese Lage. Der Quotient zweier Wahrscheinlichkeiten ist gleich dem Quotient aus dem Flächeninhalt zweier Auflageflächen. (2) Je höher der Schwerpunkt desto „unwahrscheinlicher“ ist diese Lage. Der Quotient zweier Wahrscheinlichkeiten gleicht dem Kehrwert aus dem Quotient der Höhe der Schwerpunkte. Wie Riemer zeigen konnte, liefert eine Mischung aus beiden Annahmen sehr gute Voraussagen. Aufgabe 11 Würfelturm Teilaufgabe 11.1 Auswertung RICHTIG 3. Kästchen wurde angekreuzt Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 3. Raum und Form Probleme mathematisch lösen (K2) Mathematische Darstellungen verwenden (K4) I 2 30 Teilaufgabe 11.2 Auswertung RICHTIG Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 4. Funktionaler Zusammenhang Probleme mathematisch lösen (K2) Mathematische Darstellungen verwenden (K4) II 3 Teilaufgabe 11.3 Auswertung RICHTIG n⋅4+1 [Anm.: Äquivalente Terme und rekursive Formulierungen (A(n) = A(n - 1) + 4; A(1) = 5) sind auch als richtig zu werten.] Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 4. Funktionaler Zusammenhang Probleme mathematisch lösen (K2) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) Mathematisch kommunizieren (K6) III 3 31 Aufgabenbezogener Kommentar Teilaufgabe 1 ist der Leitidee Raum und Form (L3) zugeordnet, da ein geometrischer Körper im Raum untersucht wird. Schülerinnen und Schüler müssen in dieser Aufgabe mit einer räumlichen Darstellung umgehen, daher ist die Kompetenz Mathematische Darstellungen verwenden (K4) besonders gefordert. Außerdem ist es zur Bestimmung der Anzahl der Würfelseitenflächen erforderlich, heuristische Prinzipien zu verwenden wie beispielsweise das systematische Probieren. Daher ist auch die Kompetenz Probleme mathematisch lösen (K2) erforderlich. Die erste Teilaufgabe wird dem Anforderungsbereich I zugeordnet, da eine einfache Aufgabenstellung durch eine naheliegende Strategie gelöst wird. Die Teilaufgaben 2 und 3 gehören zur Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4). Es geht in beiden Teilaufgaben um eine funktionale Beziehung zwischen der Anzahl der gestapelten Würfel und der Anzahl der sichtbaren Würfelseitenflächen. Auch in diesen beiden Teilaufgaben ist die Kompetenz Probleme mathematisch lösen (K2) gefordert, da Lösungsstrategien angewendet werden. In Teilaufgabe 2 müssen Schülerinnen und Schüler zudem – genau wie in Teilaufgabe 1 – mit einer räumlichen Darstellung umgehen, da die Anzahl der sichtbaren Seitenflächen bestimmt werden soll. Für Teilaufgabe 3 ist es erforderlich, einen allgemeinen Term mit Variablen zu erstellen (K5) und durch das Erstellen einer solchen Vorschrift die eigenen Überlegungen darzulegen (K6). Teilaufgabe 2 ist dem Anforderungsbereich II zugeordnet, da die räumliche Darstellung der Würfel ein verständiges Interpretieren erfordert und die Problemstellung, die Tabelle nach und nach zu ergänzen, mehrschrittig gelöst wird. In Teilaufgabe 3 muss eine verallgemeinerte Aussage über die Anzahl der sichtbaren Würfelseitenflächen getroffen werden. Daher ist diese Teilaufgabe dem Anforderungsbereich III zugeordnet. Anregungen für den Unterricht Um in der Aufgabe „Würfelturm“ den funktionalen Zusammenhang zu erkunden, werden Schülerinnen und Schüler durch die ersten beiden Teilaufgaben geleitet. In Teilaufgabe 1 wird die Frage nach den sichtbaren Seitenflächen eines Würfelturms bestehend aus zwei Würfeln anhand einer konkret gegebenen Darstellung beantwortet. In Teilaufgabe 2 wird ebenso nach einer konkreten Anzahl von sichtbaren Seitenflächen gefragt. Allerdings ist die Anzahl der sichtbaren Seitenflächen für einen Würfelturm aus zehn Würfeln nicht mehr mithilfe der gegebenen Darstellung zu ermitteln. In Teilaufgabe 3 wird nun nach einem allgemeinen Zählprinzip für die Anzahl sichtbarer Seitenflächen gefragt. Im Unterricht kann der induktive Aufbau der Aufgabe übernommen werden, um ebenfalls solche oder ähnliche Würfeltürme hinsichtlich eines funktionalen Zusammenhangs zu thematisieren. Schülerinnen und Schüler können beispielsweise in Kleingruppen mit gewöhnlichen Spielwürfeln experimentieren und Würfeltürme wie aus dieser Aufgabe oder Würfeltürme beruhend auf anderen Konstruktionsprinzipien untersuchen (Die Augenzahlen auf den Würfeln bleiben dabei unberücksichtigt.). Zwei solcher Konstruktionsprinzipien sollen hier kurz dargestellt werden. 32 Abbildung 1: Liegender Würfelturm In Abbildung 1 wird ein liegender Würfel-„Turm“ für n = 3, n = 4 und n = 5 gezeigt. Bei gleichlautender Fragestellung führt das Konstruktionsprinzip dieses Würfelturms zur Funktionsgleichung A(n)= 3n + 2. Abbildung 2: Doppelter Würfelturm In Abbildung 2 wird ein doppelter Würfelturm gezeigt. Auch hier erhält man die Funktionsgleichung A(n)= 3n + 2, die Funktion ist jedoch nur für gerade n definiert. Im Unterricht könnte die weiterführende Aufgabe gestellt werden, zu einer bestimmten Funktionsgleichung ein weiteres Konstruktionsprinzip zu finden, das zu dieser Funktionsgleichung führt. 33 Aufgabe 12 Tankinhalt Auswertung RICHTIG eine Zahl aus dem Intervall [49; 50] Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 4. Funktionaler Zusammenhang Mathematisch modellieren (K3) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) Mathematisch kommunizieren (K6) I 5 Aufgabenbezogener Kommentar In dieser Aufgabe müssen sich Schülerinnen und Schüler mit der Mathematisierung eines realen Kontextes auseinandersetzen. Da es um die Beziehung zwischen dem Durchschnittsverbrauch und dem aktuellen Tankinhalt eines Autos geht, ist die Aufgabe der Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4) zugeordnet. Schülerinnen und Schüler entnehmen dazu notwendige Informationen aus dem Text und der Abbildung und zeigen so ihre Kompetenz im Bereich Mathematisch kommunizieren (K6). Aus den Angaben des Bordcomputers wird ein passendes mathematisches Modell konstruiert (K3), um die Frage zu beantworten, wie viel Liter Kraftstoff im Tank sind. Außerdem ist die Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) erforderlich, da Operationen mit Zahlen ausgeführt werden müssen. Schülerinnen und Schüler benutzen zur Lösung der Aufgabe den vertrauten Dreisatz, somit ist die Aufgabe dem Anforderungsbereich I zugeordnet. 34 Anregungen für den Unterricht Bei der Bearbeitung der Aufgabe „Tankinhalt“ können Probleme auftreten. Schülerlösung 1 in Abbildung 1 zeigt, wie die restlichen Kilometer durch den durchschnittlichen Verbrauch in Liter auf 100 Kilometer geteilt werden. Abbildung 1: Schülerlösung 1 In Schülerlösung 2 hingegen wird die Anzahl an verbleibenden Kilometern mit dem durchschnittlichen Verbrauch korrekt multipliziert (siehe Abbildung 2). Dabei wird jedoch außeracht gelassen, dass sich der durchschnittliche Verbrauch auf 100 Kilometer bezieht. Es hätte demnach entweder der durchschnittliche Verbrauch auf den Verbrauch pro Kilometer umgerechnet oder die restliche Strecke in die Einheit 100 Kilometer umgerechnet werden müssen. Abbildung 2: Schülerlösung 2 Beide Fehllösungen hätten mit geeigneten Validierungsstrategien vermieden oder zumindest bemerkt werden können. Eine unterrichtliche Förderung kann an dieser Stelle ansetzen. Eine erste Validierungsstrategie besteht darin, das Ergebnis hinsichtlich seines Realitätsgehalts zu prüfen. Ein Tank mit einem Fassungsvermögen von 170 Liter wäre für einen PKW bereits sehr ungewöhnlich. Ein Füllvermögen von 4968 Liter erreichen nicht einmal LKW. Schülerinnen und Schüler, die über ein solches Wissen verfügen, sollten angeregt werden, es bei der Bearbeitung von Modellierungsaufgaben auch einzusetzen. Eine zweite Validierungsstrategie besteht darin, die angegebenen Maßeinheiten zu nutzen. In Schülerlösung 1 müsste sich bei gleicher Rechnung, jedoch korrekter Verwendung der 2 Maßeinheit 100 ⋅ km ergeben. Auch wenn die falschen Maßeinheiten aus der Rechnung l verwendet werden, erhält man anschließend die Maßeinheit km , und nicht wie erwartet die l Maßeinheit l. In Schülerlösung 2 erhält man beim Rechnen mit den eigentlich zu verwendenden Maßeinheiten die Maßeinheit l . Rechnet man hingegen mit den 100 tatsächlich verwendeten Maßeinheiten, so erhielte man die Maßeinheit km ⋅ l . So wird durch diese Validierungsstrategie, bekannt aus dem Physikunterricht, ebenso deutlich, dass die angegebenen Lösungen nicht stimmen können. Beide Validierungsstrategien sollten im Unterricht im Nachgang zu dieser Aufgabe thematisiert werden. 35 Aufgabe 13 Maßstabsleiste Auswertung RICHTIG 3. Kästchen wurde angekreuzt Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 4. Funktionaler Zusammenhang Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) II 5 Aufgabenbezogener Kommentar In dieser Aufgabe geht es um eine Zuordnung zwischen mathematischen Größen in Form der Maßstabrechnung. Daher ist sie der Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4) zugeordnet. Schülerinnen und Schüler müssen mit einer Darstellung aus dem Atlas umgehen (K4) und diese interpretieren. Um zu beurteilen, welcher Maßstab passend ist, wird von Zentimeter in Meter umgerechnet und somit eine Operation mit Maßeinheiten ausgeführt (K5). Die Schülerinnen und Schüler müssen einen mehrschrittigen Lösungsweg bewältigen, da das Verhältnis zweier Größenangaben als Maßstab interpretiert wird. Daher ist die Aufgabe dem Anforderungsbereich II zugeordnet. Anregungen für den Unterricht Im Unterricht könnte die Aufgabe dahingehend vertieft werden, dass eine gegebene Länge auf einer Landkarte mithilfe der Maßstabsleiste in eine reale Länge umgerechnet wird. Weiterhin könnten Schülerinnen und Schüler dazu aufgefordert werden, zu einem gegebenen Maßstab eine Maßstabsleiste zu erstellen. Die Aufgabe könnte dahingehend geöffnet werden, dass weder Maßstabsleiste noch Maßstab zu einer Landkarte (z. B. von Deutschland) angegeben werden und Schülerinnen durch Abschätzungen den verwendeten Maßstab ermitteln. 36 Aufgabe 14 Ungewöhnlicher Mittelwert P= 2⋅s + m 3 Teilaufgabe 14.1 Auswertung RICHTIG 11 Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 4. Funktionaler Zusammenhang Mathematisch kommunizieren (K6) II 2 Teilaufgabe 14.2 Auswertung RICHTIG Grenzfall • 7 oder 9 für Schüler 2 Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 4. Funktionaler Zusammenhang Probleme mathematisch lösen (K2) Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Mathematisch kommunizieren (K6) II 4 37 Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe ist der Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4) zugeordnet, da sich Schülerinnen und Schüler mit einer Formel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge auseinandersetzen. Zur Bearbeitung beider Teilaufgaben müssen Schülerinnen und Schüler dem Aufgabentext zunächst die benötigten Informationen zur Formel und zu den verwendeten Variablen entnehmen (K6). Zur Lösung der Teilaufgabe 2 ist es zusätzlich notwendig, die relevanten Informationen bzw. gegebenen Werte der Tabelle zu entnehmen (K4) und hierauf aufbauend die jeweils fehlende Punktzahl zu berechnen. Die Anwendung der Problemlösestrategie „Rückwärtsarbeiten“ – unter Verwendung der angegebenen Formel – liegt hier nahe (K2). Insbesondere wegen der Anforderungen an das Kommunizieren können beide Teilaufgaben dem Anforderungsbereich II zugeordnet werden. Bei Teilaufgabe 2 ist diese Einordnung zusätzlich aufgrund der Nutzung einer Problemlösestrategie in Verbindung mit der Mehrschrittigkeit des Lösungsweges gerechtfertigt. Anregungen für den Unterricht In Teilaufgabe 1 müssen Zahlen lediglich in die gegebene Formel eingesetzt werden. Sollte dies nicht gelingen, kann überprüft werden, ob sinnentnehmendes Lesen, Kopfrechnen oder der Umgang mit gewichteten Mittelwerten zu fördern ist. In Teilaufgabe 2 können Umformungsfehler auftreten, die jedoch bei einer geeigneten Validierung an den realen Gegebenheiten entdeckt werden können. Die folgende Schülerlösung (siehe Abbildung 1) zeigt Umformungsfehler beim Umgang mit der Tabelle und der Formel und lässt erkennen, dass die Lösung nicht validiert worden ist. Bei der Ermittlung der bei Schüler 1 fehlenden Punktzahl wurde nicht reflektiert, dass die Summe der beiden Teilpunktzahlen sogar kleiner als die Gesamtpunktzahl ist. Bei der Ermittlung der bei Schüler 2 fehlenden Punktzahl hingegen wurde anscheinend erkannt, dass die Punktzahl im mündlichen Prüfungsteil nicht negativ sein kann, weshalb das Minuszeichen des Endergebnisses weggelassen worden ist. Abbildung 1: Schülerlösung 38 Abseits von diesen Teilaufgaben, in denen kalkülhaft mit einer gegebenen Formel umgegangen werden kann, lassen sich weitere Aufgaben im Kontext formulieren, bei denen Problemlöse- oder Argumentationskompetenzen gefordert werden. Auch in diesen beiden Aufgaben verwenden Schülerinnen und Schüler eine gegebene und unveränderte Formel zur Notenvergabe. Dabei bietet es sich an, über eine solche Formel im Mathematikunterricht zu reflektieren und eventuell Schülerinnen und Schüler selbst einen Vorschlag in Form einer Formel zur Notenvergabe erstellen zu lassen. In dieser Formel könnten dann weitere Faktoren zur Notenvergabe berücksichtigt werden. Die entwickelten Formeln würden dann den anderen Klassenmitgliedern vorgestellt und die eigenen Entscheidungen begründet dargelegt werden. Auf diese einfache Weise erhielte man ein echtes Modellierungsproblem, das zudem die Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler tangiert. Die Möglichkeit, Formeln selbst zu erstellen, die nicht im Vorhinein durch mathematische Gegebenheiten determiniert sind, zielt auch auf die Überzeugungen von Schülerinnen und Schüler zur Rolle von Mathematik in der Welt ab. Zumeist erfahren Schülerinnen und Schüler im Unterricht Mathematik als einen bereits festgelegten Sachverhalt. Hier aber wird es möglich mit Mathematik auf kreative Weise umzugehen und z. B. Fragen der Gerechtigkeit in Mathematik zu übersetzen. Aufgabe 15 Trapezvariation A= (a + c ) ⋅ h 2 39 Teilaufgabe 15.1 Auswertung RICHTIG 2. Kästchen wurde angekreuzt Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 4. Funktionaler Zusammenhang Probleme mathematisch lösen (K2) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) Mathematisch kommunizieren (K6) II 3 Teilaufgabe 15.2 Auswertung Ja UND Begründung (auch anhand eines Beispiels) über die gleichbleibende Summe der Seitenlängen a und c. Beispiel(e) RICHTIG • (1 + 2) ⋅ 4 =6 2 ; (2,8 + 0, 2) ⋅ 4 =6 2 • Wenn man die Seitenlängen a und c so verändert, dass deren Summe gleich bleibt, bleibt auch der Flächeninhalt gleich. • (Grenzfall) Man kann sie so verändern, dass es am Ende ein Rechteck wird und somit ist der Flächeninhalt gleich, da nichts weggenommen oder vergrößert wurde. • (Grenzfall) Man kann die Seitenlängen a und c vertauschen. 40 Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 4. Funktionaler Zusammenhang Mathematisch argumentieren (K1) Probleme mathematisch lösen (K2) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) III 4 Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe ist der Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4) zugeordnet, weil sich Schülerinnen und Schüler mit einer Formel und dem Aspekt Größenänderungen befassen. Die heuristische Strategie „systematisch probieren“ kann in beiden Teilaufgaben auf die Formel angewendet werden, um das Problem mathematisch zu lösen (K2). Außerdem müssen Operationen mit einem Bruchterm ausgeführt werden. Somit spielt auch die Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) eine Rolle. Weil in Teilaufgabe 1 zunächst Informationen aus dem Text entnommen werden, müssen die Schülerinnen und Schüler Mathematisch kommunizieren (K6). In Teilaufgabe 2 ist zusätzlich die Kompetenz Mathematisch argumentieren (K1) erforderlich, da eine eigene adäquate mathematische Argumentation entwickelt werden muss. Teilaufgabe 1 ist in den Anforderungsbereich II eingeordnet, da die Schülerinnen und Schüler mit einem Term im Kontext umgehen und eine Äußerung zur Veränderung dieses Terms interpretieren müssen. In Teilaufgabe 2 muss ein komplexerer Argumentationsprozess entwickelt werden und somit fällt die Aufgabe in den Anforderungsbereich III. Anregungen für den Unterricht Beide Teilaufgaben zur Aufgabe „Trapezvariation“ können im Unterricht mithilfe einer dynamischen Geometriesoftware (DGS) behandelt werden. Dabei können mithilfe eines Schiebereglers oder mithilfe des Zugmodus Seitenlängen eines Trapezes dynamisch verändert werden. Veränderungen am Flächeninhalt infolge veränderter Seitenlängen werden so sofort sichtbar. Als Beispiel für Teilaufgabe 1 soll Abbildung 1 dienen, bei der in der verwendeten DGS-Datei ein Schieberegler für die Höhe des Trapezes erstellt wurde. Abbildung 1: Teilaufgabe 1 41 Zur Teilaufgabe 2 (siehe Abbildung 2) wurde eine DGS-Datei erstellt, bei der durch Schieberegler die Seitenlängen a und c des Trapezes variiert werden können. Abbildung 2: Teilaufgabe 2 Diese einfachen Beispiele zeigen auf, wie dynamische Geometriesoftware zur Veranschaulichung funktionaler Zusammenhänge genutzt werden kann. Umfassend werden die Möglichkeiten dynamischer Geometriesoftware im Buch „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“ von den Herausgebern Rainer Kaenders und Reinhard Schmidt8 ausgelotet und anhand konkreter unterrichtlicher Beispiele verdeutlicht. Dabei werden Unterrichtsinhalte der Sekundarstufe I und II betrachtet. Aufgabe 16 Verlauf des Graphen Teilaufgabe 16.1 y = 5x − 5 Auswertung RICHTIG 8 Kaenders, R. & Schmidt, R. (Hrsg.) (2014): Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen. Beispiele für die Förderung eines tieferen Mathematikverständnisses aus dem GeoGebra Institut Köln/Bonn, Heidelberg: Springer Spektrum. 42 Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 4. Funktionaler Zusammenhang Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Mathematisch kommunizieren (K6) I 4 Teilaufgabe 16.2 y = mx + n Auswertung RICHTIG Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 4. Funktionaler Zusammenhang Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Mathematisch kommunizieren (K6) III 5 Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe ist der Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4) zugeordnet, da sich Schülerinnen und Schüler mit den Eigenschaften des Graphen einer linearen Funktion auseinandersetzen. Zur Bearbeitung beider Teilaufgaben ist es erforderlich, mit einer gegebenen mathematischen Darstellung umzugehen (K4), da der Graph einer linearen Funktion auf bestimmte Eigenschaften geprüft werden soll. Außerdem müssen Schülerinnen und Schüler in dieser Aufgabe entsprechende Überlegungen in Form von „wahr“ oder „falsch“ anstellen, somit sind beide Teilaufgaben der Kompetenz Mathematisch kommunizieren (K6) zugeordnet. Teilaufgabe 1 gehört in den Anforderungsbereich I, da die Schülerinnen und Schüler mit einer für sie bekannten Standarddarstellung konfrontiert sind und einfache mathematische Sachverhalte darlegen müssen. Bei Teilaufgabe 2 hingegen muss aufgrund der vorliegenden allgemeinen Form der Gerade die symbolisch formale Darstellung verstanden und interpretiert werden. Daher wird diese Teilaufgabe dem Anforderungsbereich III zugeordnet. 43 Anregungen für den Unterricht In beiden Teilaufgaben muss gedanklich der Darstellungswechsel von einer Funktionsgleichung zur Geraden im Koordinatensystem vollzogen werden (K4). Ob dieser Übergang Schülerinnen und Schülern gelingt, wird mithilfe von zu bewertenden Aussagen überprüft. In diesem Zusammenhang können die Schülerergebnisse diagnostisch genutzt werden, um Ansatzpunkte für den weiteren Unterricht z. B. in Differenzierungsphasen zu finden. In Teilaufgabe 1 ist eine konkrete Gerade durch eine Gleichung gegeben. Die Aussage „Die Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung (0|0).“ prüft, ob Schülerinnen und Schüler den y-Achsenabschnitt mittels der Geradengleichung identifizieren können und ob sie in der Lage sind, den y-Wert zu einem gegebenen x-Wert zu berechnen. Die Aussage „Die Gerade hat eine positive Steigung.“ verlangt, dass Schülerinnen und Schüler die Steigung in der Geradengleichung identifizieren können. Die letzte Aussage „die Gerade schneidet die xAchse im Punkt (5|0).“ kann von Schülerinnen und Schüler auf verschiedene Weise überprüft werden. Sie können beispielsweise durch Einsetzen und Ausrechnen zur Erkenntnis gelangen, dass die Aussage falsch ist. Oder sie folgern aus dem y-Achsenabschnitt -5, dass nur eine Steigung von 1 den Schnittpunkt mit der x-Achse bei (5|0) liefern würde. In Teilaufgabe 2 wird nicht mehr eine konkrete Gerade, sondern eine Geradenschar, gegeben durch eine Funktionsgleichung, betrachtet. So zielt die erste Aussage „Die Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung (0|0).“ darauf ab, dass Schülerinnen und Schüler den y-Achsenabschnitt mittels der Geradengleichung identifizieren und zusätzlich die Einschränkung n ≠ 0 deuten können. Auch bei der zweiten Aussage „Die Gerade hat eine positive Steigung.“ wird neben dem bereits in Teilaufgabe 1 geprüftem Verständnis getestet, ob die Einschränkung m < 0 korrekt gedeutet wird. Die dritte Aussage „Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0|n).“ fordert von Schülerinnen und Schülern entweder, dass sie den y-Achsenabschnitt mittels der Geradengleichung identifizieren können oder dass sie durch Einsetzen des x-Werts 0 in die Geradengleichung die Aussage herleiten bzw. bestätigen. Aufgabe 17 Wo liegt C? Teilaufgabe 17.1 44 Auswertung Passender Punkt C1 eingezeichnet UND Angabe der Koordinaten von C1 : RICHTIG C1 ( 3 | 1 ) ODER C1 ( 6 | 7 ) ODER ein Punkt auf dem Thaleskreis [Anm.: Die Orientierung des Dreiecks ABC1 muss nicht berücksichtigt werden. Der Hinweis auf den Thaleskreis dient nur der Korrektur und ist nicht Teil der erwarteten Lösung.] Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 3. Raum und Form Mathematische Darstellungen verwenden (K4) I 3 Teilaufgabe 17.2 45 Auswertung Passender Punkt C2 , der auf der Geraden mit der Gleichung y= 1 2 x − 2 liegt. y 8 A 7 6 5 4 3 RICHTIG 2 B 1 -2 -1-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x -2 [Anm.: Toleranz bei x und y um jeweils ± 0,2] UND Angabe der Koordinaten von C2 Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 3. Raum und Form Probleme mathematisch lösen (K2) Mathematische Darstellungen verwenden (K4) II 3 Aufgabenbezogener Kommentar Die Aufgabe ist der Leitidee Raum und Form (L3) zuzuordnen, da Schülerinnen und Schüler geometrische Figuren im Koordinatensystem darstellen, und dazu auch Sätze der ebenen Geometrie bei der Konstruktion anwenden müssen. Beide Teilaufgaben erfordern Kompetenzen im Bereich Mathematische Darstellungen verwenden (K4), da sowohl mit den gegebenen Darstellungen der Punkte im Koordinatensystem umgegangen als auch eine neue Darstellung eines dritten Punktes erzeugt werden muss. Dabei soll der Punkt in das System eingezeichnet und seine Koordinaten als Tupel angegeben werden. Teilaufgabe 2 erfordert zudem Kompetenzen im Bereich Probleme mathematisch lösen (K2), da heuristische Strategien, wie etwa das Einzeichnen einer Hilfslinie zwischen Punkt A und B, angewandt werden. Teilaufgabe 1 erfordert nur die Anfertigung und Nutzung von Standarddarstellungen mathematischer Objekte (Punkt im Koordinatensystem und Tupel) und ist daher dem Anforderungsbereich I zuzuordnen. Teilaufgabe 2 hingegen stellt wegen des mehrschrittigen Vorgehens erhöhte Anforderungen und ist daher dem Anforderungsbereich II zuzuordnen. Anregungen für den Unterricht In beiden Teilaufgaben von „Wo liegt C?“ wird nach einer möglichen Lösung gefragt. Auf diese Frage aufbauend könnte im Unterricht die Frage gestellt werden, wie alle möglichen Lösungen zu ermitteln sind. In Teilaufgabe 1 führt die Lösung des Problems auf den Satz 46 von Thales. Alle möglichen Lösungen befinden sich demnach auf einer Kreislinie, die durch A und B verläuft. In Teilaufgabe 2 gelangt man zur Lösung über die Gleichung einer zur Gerade durch A und B orthogonalen Geraden. Die Teilaufgabe könnte demnach dazu genutzt werden, um auf das Verhältnis der Änderungsraten zweier Graphen linearer Funktionen einzugehen, wenn diese orthogonal zueinander verlaufen. Die didaktische Strategie, von einer speziellen Lösung zur Beschreibung aller Lösungen fortzuschreiten, kann im Unterricht der Koordinatengeometrie an diversen Stellen angewendet werden. So kann man z. B. aus der Frage nach einer Gerade, die zu einer gegebenen Gerade parallel verläuft, die Einführung von Geradenscharen motivieren. Aufgabe 18 Dreiecke ergänzen Auswertung RICHTIG Zwei dieser drei Lösungen müssen vorhanden sein. [Anm.: Zeichentoleranz: ± 1 mm] Grenzfall • Parallelogramme wurden in das Innere des Dreiecks gezeichnet. Dabei werden mindestens zwei Seiten des Dreiecks genutzt. 47 Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 3. Raum und Form Probleme mathematisch lösen (K2) Mathematische Darstellungen verwenden (K4) I 4 Aufgabenbezogener Kommentar Die Aufgabe ist der Leitidee Raum und Form (L3) zuzuordnen, da die Schülerinnen und Schüler eine geometrische Figur unter Verwendung von Geodreieck oder Lineal konstruieren und dabei die Beziehung zwischen Dreieck und Parallelogramm nutzen. Dazu sind Kompetenzen im Bereich Probleme mathematisch lösen (K2) erforderlich, da eine geeignete Strategie zur Lösung des gestellten Prinzips gefunden werden muss. Dabei helfen heuristische Prinzipien, etwa das Nutzen der durch das Dreieck vorgegebenen Linien. Zudem müssen mathematische Darstellungen verwendet werden (K4), da aus der gegebenen Darstellung eine neue mathematische Darstellung, nämlich das Parallelogramm, entwickelt wird. Da die Aufgabenstellung mit einer naheliegenden Strategie (dem Nutzen gegebener Hilfslinien) lösbar ist, ist die Aufgabe dem Anforderungsbereich I zuzuordnen. Anregungen für den Unterricht Eine wesentliche Hürde zur Lösung der Aufgabe „Dreiecke ergänzen“ besteht darin, Wissen über Parallelogramme in eine Zeichnung zu übersetzen. Abbildung 1 zeigt beispielsweise eine (unvollständige) Schülerlösung, bei der auf eine bekannte Visualisierung zur Flächeninhaltsberechnung bei Parallelogrammen zurückgegriffen wird. Abbildung 1: Schülerlösung 1 Weiterhin kann die Aufgabe gelöst werden, indem die Eigenschaft der gleichlangen Seiten von Parallelogrammen strategisch genutzt wird. In Abbildung 2 ist eine Schülerlösung zu sehen, bei der mit Zirkel und Lineal gearbeitet und nicht auf die Gitternetzlinien zurückgegriffen worden ist. Es wurde dabei ausgenutzt, dass die gegenüberliegenden Seiten im Parallelogramm gleichlang sind. 48 Abbildung 2: Schülerlösung 2 Die Aufgabe „Dreiecke konstruieren“ kann im Unterricht folglich zum Anlass genommen werden, um mithilfe von Konstruktionen mit Zirkel und Lineal auf die Eigenschaften von Figuren gezielt einzugehen. Dazu sollte zunächst die Aufgabe leicht abgeändert werden, sodass nur noch ein Dreieck ohne Gitternetzlinien zu sehen ist. In einem weiteren Schritt kann dann im Unterricht die Aufgabe dahingehend erweitert werden, dass auch auf das Messen von Längen oder von Winkeln verzichtet wird (klassische Konstruktionen mit Zirkel und Lineal). Die Aufgabe erhält so eine Progression im Schwierigkeitsgrad und es wird zunehmend die Leitidee Raum und Form (L3) fokussiert, während das Messen (L2) in den Hintergrund tritt. Es lassen sich viele weitere Konstruktionsaufgaben finden, die derart aufgebaut werden können. Die folgende Aufgabe soll als Anregung dienen: Ergänze das gegebene gleichschenklige Dreieck zu einer Raute (einem Rhombus). 49 Aufgabe 19 Zwei Kreise r = | AB | Teilaufgabe 19.1 Auswertung Aussage wahr falsch Alle Winkel im Dreieck ABH sind gleich groß. Das Dreieck BFH ist gleichseitig. RICHTIG Das Dreieck DFH ist gleichschenklig. Im Dreieck AHD sind alle drei Winkel unterschiedlich groß. Der Winkel beträgt 60°. [Anm.: Ein Punkt wird bereits vergeben, wenn 4 der 5 Kreuze richtig gesetzt wurden.] Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 3. Raum und Form Probleme mathematisch lösen (K2) Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Mathematisch kommunizieren (K6) III 3 50 Teilaufgabe 19.2 Auswertung Ja UND Begründung, die auf die gleiche Höhe beider Dreiecke und die dreifache Länge der Grundseite des Dreiecks DFH im Vergleich zur Grundseite des Dreiecks ABH abzielt. RICHTIG Beispiel(e) • Die beiden Dreiecke haben die gleiche Höhe, aber bei einem Dreieck ist die Grundseite dreimal länger. • AABH = 1 ⋅ 4,5 ⋅ 5 = 11, 25 FE 2 ; ADFH = 1 ⋅ 4,5 ⋅15 = 33, 75 FE 2 Antworten mit fehlender oder unvollständiger Begründung. Beispiel(e) FALSCH • Die drei Grundseiten Grundseite DA , AB und BF sind jeweils gleich lang und ergeben zusammen die DF . [Anm.: Hier fehlt der Bezug zu den Höhen.] Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 3. Raum und Form Mathematisch argumentieren (K1) Probleme mathematisch lösen (K2) Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Mathematisch kommunizieren (K6) III 5 Aufgabenbezogener Kommentar Die Aufgabe gehört primär zur Leitidee Raum und Form (L3), da diverse Dreiecke auf begrifflicher Ebene zu analysieren sind. Teilaufgabe 2 enthält zusätzlich Aspekte der Leitidee Messen (L2), da Flächeninhalte von Dreiecken miteinander verglichen werden. In Teilaufgabe 1 müssen dem einleitenden Text zunächst wichtige Informationen zur dargestellten Figur entnommen werden (K6, K4). 51 Um anschließend zu überprüfen, ob die zu dieser Figur formulierten Aussagen korrekt sind, müssen diese Aussagen zunächst inhaltlich verstanden werden (K6). Dem Verstehen der mathematischen Begriffe, z. B. „gleichseitig“ oder „gleichschenklig“, kommt hier besondere Bedeutung zu. Dazu ist es naheliegend, die Figur gedanklich in Teilfiguren zu unterteilen (K2, K4). Diese Problemlösestrategie kann auch bei Teilaufgabe 2 angewendet werden; insofern sind bei deren Bearbeitung dieselben Kompetenzen wie bei Teilaufgabe 1 involviert. So kann nach einer Unterteilung des Dreiecks DFH in die drei Dreiecke DAH, ABH und BFH sowie der Betrachtung der jeweiligen Grundseitenlängen und der zugehörigen Höhen Sonjas Behauptung als richtig ausgewiesen werden (K1). Abschließend ist die Begründung nachvollziehbar darzulegen (K6). Beide Teilaufgaben werden dem Anforderungsbereich III zugeordnet, da in beiden Teilaufgaben Aussagen nicht nur interpretiert, sondern auch bewertet werden. Anregungen für den Unterricht Beide Aufgaben verlangen von Schülerinnen und Schülern aus einer gegebenen Konstruktion Merkmale von Dreiecken abzuleiten. Zur korrekten Lösung von Teilaufgabe 1 muss beispielsweise erkannt werden, dass das Dreieck ABH gleichseitig ist, worauf die Behauptung „Alle Winkel sind gleich groß.“ folgt. Es muss erkannt werden, dass F und H auf einem Kreis um B liegen und daher das Dreieck BFH gleichschenklig ist. In Teilaufgabe 2 führt die Erkenntnis zur Lösung, dass die Grundseite des Dreiecks DFH dreimal so lang ist wie die vom Dreieck ABH und sich bei gleicher Höhe ein dreimal so großer Flächeninhalt ergibt. Die Aufgabe bietet demnach Anlass über die Konstruktionseigenschaften der Dreiecke ohne Rückgriff auf Maßangaben nachzudenken. Die Grafik zur Aufgabe wurde mit einer dynamischen Geometriesoftware erstellt. Dies erlaubt es, auf sehr schnelle und anschauliche Weise geometrische Figuren zu variieren. Dadurch kann von Schülerinnen und Schülern z. B. untersucht werden, welche Strukturmerkmale der Figur erhalten bleiben, wenn der Radius des Kreises verändert wird. Alternativ können in der gegebenen Figur weitere Teildreiecke und deren Eigenschaften untersucht werden, um so Vernetzungen zu anderen Themengebieten, wie z. B. den Winkelsätzen am Kreis, herzustellen. Dabei eröffnen sich auf natürliche Weise weitere Gelegenheiten für Argumentationen, etwa um zu begründen, dass die Dreiecke AFH und DBH rechtwinklig sind. 52 Aufgabe 20 Der Stern Auswertung RICHTIG 3. Kästchen wurde angekreuzt Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 2. Messen Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) II 2 Aufgabenbezogener Kommentar Die Aufgabe ist der Leitidee Messen (L2) zuzuordnen, da der Flächeninhalt einer Figur bestimmt werden soll. Dazu muss der gegebenen Figur die Maßangabe von 1 cm pro Kästchen entnommen und zur weiteren Berechnung verwendet werden. Das Lösen der Aufgabe erfordert Kompetenzen im Bereich Mathematische Darstellungen verwenden (K4). Denn die Schülerinnen und Schüler müssen mit der gegebenen mathematischen Darstellung umgehen und ggf. neue Darstellungen erzeugen, um die Frage zu beantworten. Dazu ist es zudem notwendig, dass sie mit den geometrischen Objekten und den errechneten Größen Operationen vornehmen, was Kompetenzen im Bereich Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) erfordert. Die Aufgabe erfordert das verständige Interpretieren und Verändern der gegebenen Darstellung, sowie die mehrschrittige Anwendung von mathematischen Prozeduren (beispielsweise Zerlegen, Flächenberechnung, Zusammenfassen) und den Umgang mit Termen. Daher ist die Aufgabe dem Anforderungsbereich II zuzuordnen. 53 Anregungen für den Unterricht Wurde in der Aufgabe „Der Stern“ die Figur von Schülerinnen und Schülern konkret beschriftet, erhöht sich der diagnostische Wert der Schülerlösung. In Abbildung 1 ist eine Schülerlösung zu sehen, bei der die Teilflächen des Sterns mit Maßzahlen versehen worden sind. Die angekreuzte Lösung lässt erkennen, dass der Schüler das Prinzip der Flächenberechnung, eine unbekannte Figur in bekannte Figuren zu zerlegen, beherrscht. Er nutzt dabei die mathematische Darstellung (K4). Zum falschen Ergebnis gelangt der Schüler, weil er offensichtlich den Flächeninhalt der Dreiecksflächen nicht korrekt bestimmt hat. Sofern der Schüler versucht hat, die Dreiecksflächeninhalte mittels einer Formel zu berechnen, sollte die Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) in dieser Hinsicht weiter gefördert werden. Wenn der Schüler versucht hat, die Dreiecksflächen in der Abbildung mental neu zu organisieren, um so auf den Flächeninhalt zu schließen, so sollte an dieser Stelle die Kompetenz Mathematische Darstellungen verwenden (K4) weiter gefördert werden. Eine Intervention seitens der Lehrkraft könnte sich die vorhandene Kompetenz im Umgang mit der mathematischen Darstellung zunutze machen, um Kompetenzen im Bereich des technischen Arbeitens weiter zu fördern. Da der Schüler verstanden hat, dass zur Berechnung des Flächeninhalts einer unbekannten Figur diese in bekannte Figuren zerlegt werden kann, ist anzunehmen, dass er ebenso versteht, dass eine „unbekannte“ Figur wie das Dreieck zu einer bekannten Figur wie dem Rechteck erweitert werden kann. Auf diesem Wege erhält der Schüler die Möglichkeit, die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks argumentativ-anschaulich zu erschließen. Abbildung 3: Schülerlösung Will man im Unterricht darüber hinaus Strategien zur Berechnung von Flächeninhalten unbekannter Figuren trainieren, bietet es sich an, die Aufgabe „Der Stern“ durch die folgende Beispielaufgabe zu ergänzen. Sofern die Seitenlänge der Zacken, die diagonal zu einem einzelnen Kästchen verlaufen, weder rechnerisch (Satz von Pythagoras) noch durch Messen (Zeichnung nicht maßstabsgerecht) ermittelt werden kann, besteht eine naheliegende 54 Strategie darin, von der Gesamtfläche des Gitters all solche Flächen abzuziehen, die nicht zum gegeben Zackenstern gehören. Auf das Gitterpapier ist ein 8-zackiger Stern gezeichnet. 1 cm (nicht maßstabsgerecht) Gib den Flächeninhalt dieses Sterns an. cm2 Soll der Flächeninhalt hingegen „vorwärts“ berechnet werden, d. h. ohne von der Gesamtfläche Flächeninhalte abzuziehen, so erfordert dies eine komplexere mentale Neuorganisation bei den „kleinen“ Zacken des 8-zackigen Sterns. Im Unterricht kann jedoch auch auf eine näherungsweise Bestimmung des Flächeninhalts verweisen werden. Schülerinnen und Schüler würden dann zunächst ganze Quadrate zählen, die zur Figur gehören, und dann überlegen, wie groß der Flächeninhalt ist, der von Dreiecksflächen nur teilweise ausgefüllt wird. Flankierend können in die Bestimmung des Flächeninhalts Überlegungen zur Symmetrie der Figur aufgenommen werden. Es müsste dann lediglich der Flächeninhalt eines Viertels des Zacken-Sterns bestimmt werden. Eine weitere Strategie zur Bestimmung des Flächeninhalts könnte darin bestehen, die Figur neu und dann maßstabsgerecht zu zeichnen. Ein solches Vorgehen erlaubt es, die Diagonale in einem Kästchen (Grundseite der „kleinen“ Zacken) zu messen. Es muss nicht auf den Satz von Pythagoras zurückgegriffen werden. Um Problemlösekompetenzen im Unterricht bezüglich der Flächeninhaltsberechnung zu fördern, sollten möglichst verschiedene Strategien erarbeitet und systematisiert werden. 55 Aufgabe 21 Schokolinsen Schätze, wie viele Schokolinsen auf diesem Foto abgebildet sind. Du kannst dafür eine der abgebildeten Figuren verwenden. Das Foto zeigt etwa Schokolinsen. Beschreibe dein Vorgehen. Auswertung eine Zahl aus dem Intervall [200; 800] UND Eine Beschreibung, in der auf einen geeigneten Repräsentanten verwiesen wird und aus der die angegebene Anzahl folgerichtig hervorgeht. RICHTIG Beispiel(e) • Im eingezeichneten Quadrat sind ca. 30 Schokolinsen. Das Quadrat passt ca. 12-mal in das Foto. Also sind es insgesamt 360 Schokolinsen. • Im eingezeichneten Rechteck sind ca. 32 Schokolinsen. Das Rechteck passt ca. 15-mal in das Foto. Also sind es insgesamt 480 Schokolinsen. • Auf dem Foto sind in der Breite ca. 30 Schokolinsen zu sehen und in der Höhe ca. 20. Also sind es insgesamt ca. 600 Schokolinsen. [Anm.: Die Annahmen, dass die Schokolinsen gleichverteilt und nur in der Fläche verteilt sind, müssen nicht explizit erwähnt werden.] Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 2. Messen Mathematisch modellieren (K3) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) Mathematisch kommunizieren (K6) III 3 56 Aufgabenbezogener Kommentar Die Aufgabe ist der Leitidee Messen (L2) zuzuordnen, da mit Hilfe von Vorstellungen über Repräsentanten (den abgebildeten Figuren) eine Größe (die Anzahl der Schokolinsen auf dem Foto) geschätzt werden muss. Durch das Auszählen der Linsen innerhalb einer dieser Figuren entnehmen Schülerinnen und Schüler Maßangaben aus dem Quellenmaterial und führen damit die Berechnung der Gesamtanzahl der Linsen durch. Zur Lösung dieser Aufgabe ist die Kompetenz Mathematisch modellieren (K3) erforderlich, da Schülerinnen und Schüler zwischen der gegebenen Realsituation (den Schokolinsen auf dem Foto) und den mathematischen Begriffen und Methoden (Zerlegung des Bildes mit einer geometrischen Figur) hin- und herwechseln müssen. Zur Lösung der Aufgabe muss die gegebene Situation dadurch vereinfacht werden, dass nur ein Teilbereich und nicht das gesamte Bild ausgezählt wird. Dazu ist es zudem nötig, dass mögliche Modelle (Quadrat, Dreieck, Rechteck oder Kreis) bezüglich ihrer Tauglichkeit bewertet werden. Da mit den geometrischen Objekten sowie mit der Anzahl der Linsen in einer der Figuren Operationen ausgeführt werden müssen (Bestimmen der Anzahl, wie oft eine der Figuren in das Bild passt, Multiplikation dieser Anzahl mit der Anzahl der Linsen in einer dieser Figuren), erfordert die Aufgabe zudem auch die Kompetenz Mit Mathematik symbolisch/ formal/technisch umgehen (K5). Außerdem sollen die Schülerinnen und Schüler ihr Vorgehen beschreiben, somit sind sie dazu aufgefordert, mathematisch zu kommunizieren (K6). Sie sollen ihre Überlegungen und Resultate schriftlich darlegen und strukturiert wiedergeben. Die Aufgabe erfordert eine elaborierte Strategie sowie implizit auch die Reflektion über verschiedene Lösungswege durch die zweckgerichtete Beurteilung der verschiedenen Darstellungsformen. Schließlich eignet sich theoretisch jede eingezeichnete Figur zum Abschätzen, die Schülerinnen und Schüler sollen aber eine Auswahl der Figur treffen, die ihnen am besten geeignet erscheint. In dieser Aufgabe müssen also mehrere Modelle gegeneinander abgewogen und das geeignetste ausgewählt werden, es muss der Teilbereich innerhalb der ausgewählten Figur ausgezählt werden, es muss abgeschätzt werden, wie oft die ausgewählte Figur in das gesamte Bild passt und dann anhand dieser Zahlen die Gesamtzahl der Linsen abgeschätzt werden. Aufgrund der Vielzahl an Schritten in der Modellierung, der Komplexität der zu modellierenden Situation und der Auswahl (Bewertung) verschiedener möglicher Modelle wird die Aufgabe dem Anforderungsbereich III zugeordnet. Anregungen für den Unterricht Anhand der folgenden Schülerlösungen in den Abbildungen 1 und 2 soll illustriert werden, wie die Ergebnisse zur Aufgabe „Schokolinsen“ ausgewertet und für einen kompetenzorientierten Unterricht nutzbar gemacht werden können. Bei beiden hier vorgestellten Schülerlösungen lassen sich sowohl Kompetenzen identifizieren, über die der Schüler bereits verfügt, als auch Kompetenzen, die es weiter auszubauen gilt. 57 Abbildung 1: Schülerlösung 1 Der Schüler kann Grundideen der Flächenberechnung (Zerlegen und Erweitern) auf einen ihm unbekannten Kontext anwenden. Der Schüler schildert seinen Lösungsweg vollständig und in ganzen Sätzen. Lediglich die Anzahl der Schokolinsen in den einzelnen Quadraten wird nicht genannt. Demnach sind Kompetenzen im Bereich des mathematischen Kommunizierens (K6) nachgewiesen. Der Schüler zeigt außerdem auf basalem Niveau, dass er mit einfachen Formeln der Flächenberechnung und den dazugehörigen Grundrechenarten vertraut ist (K5). Weiterhin lässt die Lösung erkennen, dass der Schüler über Modellierungskompetenzen (K3) verfügt. So werden z. B. Annahmen bzw. Abschätzungen zur realen Situation auf dem Foto getroffen – die Anzahl an Schokolinsen wird in der Fläche bestimmt und die Anzahl an Schokolinsen in einem Quadrat abgezählt. Dann wird ein mathematisches Modell aufgestellt (Zerlegung des Bildes in Quadrate) und innermathematisch weitergearbeitet. Die Lösung lässt vermuten, dass der Schüler im Quadrat ca. 46 Schokolinsen gezählt hat. Er geht davon aus, dass nur sechs Quadrate insgesamt in das rechteckige Foto passen. Diese Abschätzung weicht stark ab von den realen Gegebenheiten. Das Abschätzen von Größen und das in einem Kontext sinnvolle Anwenden von Überschlagsrechnungen gehört zur umfassenderen Modellierungskompetenz. Diese Teilkompetenzen des Modellierungsprozesses sollten demnach gefördert werden. Dass die Lösung stark abweicht von den realen Gegebenheiten, wäre womöglich aufgefallen, wenn der Schüler am Ende seines Lösungsweges Rückschau gehalten hätte. Der Teilprozess Validieren des Modellierungsprozesses wird noch nicht genügend beherrscht. Im Unterricht könnten Abschätzungen und Überschlagsrechnungen mit ähnlichen Aufgaben (z. B. Fermiaufgaben) behandelt werden. Auch das Erstellen von Tabellen mit Vergleichsgrößen kann in diesem Zusammenhang hilfreich sein. Wichtig ist, dass die hieraus resultierenden ungenauen Lösungen nicht als weniger mathematisch und damit als weniger wertvoll erachtet werden. Der Teilschritt des Validierens kann anhand vergleichbarer Aufgaben erläutert werden. Die Lehrkraft kann z. B. in einer Plenumsphase diesen Teilschritt explizit einfordern, fremde Lösungswege können (schriftlich) bewertet und das Validieren in Leistungsüberprüfungen gefordert werden. 58 Abbildung 2: Schülerlösung 2 Auch der Schüler aus der zweiten Schülerlösung kann Grundideen der Flächenberechnung (zerlegen und erweitern) auf einen ihm unbekannten Kontext anwenden. Das Ergebnis und der Lösungsweg lassen erkennen, dass der Schüler über Modellierungskompetenzen verfügt. So entspricht das Ergebnis sehr gut den realen Gegebenheiten. Die Aufzählung der Schritte des Lösungswegs lässt erkennen, dass der Schüler insbesondere das Aufstellen von und Arbeiten mit mathematischen Modellen beherrscht. Die dazu nötigen (basalen) Rechenschritte und der Umgang mit (basalen) Formeln der Flächenberechnung werden vom Schüler beherrscht. Die Dokumentation des Lösungswegs erfolgt allerdings stichpunktartig. Insbesondere lassen Begriffe wie „messen“, „zählen“ und „ausrechnen“ großen Interpretationsspielraum und müssten vom Schüler konkretisiert werden. An keiner Stelle werden konkrete Zahlen genannt. Es sollte daher insbesondere die Kompetenz des mathematischen Kommunizierens (K6) gefördert werden. Im Unterricht könnte zunächst verstärkt darauf Wert gelegt werden, dass zu konkreten Aufgaben verschiedene Lösungswege thematisiert werden. Anhand verschiedener Lösungswege kann z. B. ein Katalog mit Kriterien für die Dokumentation von Lösungswegen erarbeitet werden. Um isoliert Kommunikationskompetenzen zu fördern, können den Schülerinnen und Schülern bereits vorgefertigte Lösungswege vorgelegt werden, die dann anhand des Kriterienkatalogs zu bewerten sind. Weiterhin können Lösungswege gegenübergestellt werden, die sich hinsichtlich der verwendeten mathematischen Darstellungsweise unterscheiden. So könnten z. B. das Für und Wider einer grafischen Lösung gegenüber einer rein rechnerischen thematisiert werden. Letztlich sollte sowohl im Bereich der sonstigen Mitarbeit als auch in schriftlichen Leistungsüberprüfungen die Dokumentation von Lösungswegen mit in die Benotung einfließen. 59 Aufgabe 22 Nashorn 60 Auswertung eine Länge aus dem Intervall [75 cm; 110 cm] UND Lösungsweg, bei dem aus dem Verhältnis von Schulterhöhe zu horizontalen Längen von der gegebenen Schulterhöhe von 60 cm auf die Gesamtlänge des Nashorn-Babys geschlossen wird. RICHTIG Beispiel(e) • Das Verhältnis von Schulterhöhe zur Länge des Nashorn-Babys ist auf dem Foto etwa 2 zu 3. Bei einer Schulterhöhe von 60 cm muss das Nashorn-Baby dann etwa 90 cm lang sein. • Der Rumpf des Nashorn-Babys ist etwa 60 cm lang. Für den Hals und den Kopf müssen ungefähr noch einmal 20 cm (ein Drittel von 60 cm) dazugerechnet werden. Das Nashorn-Baby ist somit ungefähr 80 cm lang. • Der Pfeil auf dem Foto ist ungefähr so lang wie zwei meiner Finger breit sind. Die Länge des Babys auf dem Foto entspricht etwa drei Fingerbreiten. Also ist das Baby etwa 90 cm lang. • Gegenüberstellung: Bild Wirklichkeit 2,5 cm 60 cm 1 cm 24 cm 3,5 cm 84 cm Das Nashornbaby ist etwa 84 cm lang. • Vom Po bis zum Hals sind es 60 cm. Somit ist der Kopf 30 cm lang, also das gesamte Nashorn 90 cm. [Anm.: Wird die Länge der Pfeile nicht von Spitze zu Spitze, sondern nur die Strecke zwischen den Enden gemessen, ergibt sich eine Länge von ca. 1,7 cm. Wird mit diesem Messfehler folgerichtig weitergerechnet, so kann die Aufgabe als richtig bewertet werden.] Alle unvollständigen, fehlerhaften oder falschen Antworten. FALSCH Beispiel(e) • Das Nashorn-Baby ist etwa 90 cm lang. • Das Nashorn-Baby ist etwa 90 cm lang, da anhand des Fotos zu erkennen ist, dass die Schulterhöhe kleiner ist als die Körperlänge des Babys. • 60 cm abmessen und das Nashorn abmessen. Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 2. Messen Mathematisch modellieren (K3) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) Mathematisch kommunizieren (K6) I 4 Aufgabenbezogener Kommentar Die Aufgabe ist der Leitidee Messen (L2) zuzuordnen, da Schülerinnen und Schüler aus dem Quellenmaterial (dem Foto) Maßangaben, nämlich die Schulterhöhe des Nashornbabys, entnehmen und damit eine Berechnung einer Länge durchführen. Es wird zwischen einer Realsituation und mathematischen Begriffen bzw. Resultaten hinund hergewechselt, dazu muss die gegebene Situation verstanden und vereinfacht werden. Die Aufgabe ist folglich der Kompetenz Mathematisch modellieren (K3) zuzuordnen. Beispielsweise steht das Nashornbaby auf dem Foto leicht gedreht, die perspektivische Verzerrung kann bei der Berechnung vernachlässigt werden. Es muss ein geeignetes Modell zur Bestimmung der Länge des Tieres gewählt werden. Möglich ist etwa, durch die gegebenen Maße einen Maßstab zu errechnen und dann auf dem Foto die Strecke vom 61 Kopf des Nashornbabys bis zu seinem Hinterteil zu messen und entsprechend umzurechnen. Da dabei Operationen mit den gemessenen und gegebenen Größen sowie, je nach Lösungsstrategie, mit den Teilstrecken der Körperlänge durchgeführt werden müssen, erfordert die Aufgabe zudem Kompetenzen im Bereich Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5). Außerdem soll der Lösungsweg schriftlich dargestellt werden, so sind auch Kompetenzen im Bereich Mathematisch kommunizieren (K6) nötig. Insgesamt wird allerdings nur eine einfache mathematische Aufgabenstellung durch die Identifikation einer naheliegenden Strategie (Vergleich der Länge mit der Schulterhöhe) gelöst, die nur elementare Lösungsverfahren und einfache mathematische Werkzeuge erfordert. Daher ist die Aufgabe dem Anforderungsbereich I zuzuordnen. Anregungen für den Unterricht Mit der Aufgabe „Nashorn“ wird angedeutet, wie das Erstellen eines Maßstabs mit den Proportionen bei Tieren in Verbindung gebracht werden kann. Diese Überlegungen können auch auf den menschlichen Körper übertragen werden. In einem Unterrichtsvorhaben können Schülerinnen und Schüler - mit Maßbändern ausgestattet - Proportionen am eigenen Körper ermitteln und tabellarisch festhalten. Folgende Proportionen können z. B. in den Blick genommen werden: Das Verhältnis von … • …Länge des Unterschenkel zur Länge des Oberschenkels beträgt ca. 1 : 1, • …Körpergröße zur Spannweite der Arme beträgt ca. 1 : 1, • …Länge der Beine zur übrigen Körpergröße beträgt ca. 1 : 1, • …Länge des Kopfes zur gesamten Körpergröße bei 12 Jährigen beträgt ca. 1 : 7, • …Länge von Kopf bis zum Ende der heruntergelassenen Arme zum Rest der Beine beträgt ca. 9 : 5, • …Länge von Kinn bis Nasenunterseite zum Rest der Kopflänge beträgt ca. 1 : 3. Mithilfe solcher und ähnlicher Proportionen können Schülerinnen und Schüler dann von einer gemessenen Länge auf andere Längen am Körper schließen und die so ermittelten Proportionen für zeichnerische Zwecke nutzen. Im Unterricht würde so das Erstellen und Arbeiten mit Maßstäben als eine lebensnahe Praxis erfahren. 62 Aufgabe 23 Flächengleich oder nicht? Teilaufgabe 23.1 Auswertung RICHTIG 20 Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 2. Messen Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) I 4 Teilaufgabe 23.2 In der Abbildung sind zwei Parallelogramme dargestellt. a a || b b Ist der Flächeninhalt der beiden Parallelogramme gleich groß? Kreuze an. Ja Nein Begründe deine Antwort. 63 Auswertung Ja UND RICHTIG Begründung mit Hinweis auf die gleiche Länge von Höhe und Grundseite beider Parallelogramme Beispiel(e) • Die Grundseiten und die Höhen der beiden Parallelogramme sind gleich lang. • Rechnerische Begründung, bei der die Fläche mithilfe gemessener Längen konkret bestimmt wird. Merkmale Leitidee Allgemeine Kompetenzen Anforderungsbereich Kompetenzstufe 2. Messen Mathematisch argumentieren (K1) Mathematische Darstellungen verwenden (K4) III 5 Aufgabenbezogener Kommentar Beide Teilaufgaben sind der Leitidee Messen (L2) zuzuordnen, da Aussagen über die Flächeninhalte von Parallelogrammen getroffen werden müssen. Teilaufgabe 1 erfordert dabei die Operation mit den gegebenen Längenangaben und damit Kompetenzen im Bereich Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5). In beiden Teilaufgaben werden mathematische Darstellungen von Parallelogrammen verwendet (K4). In Teilaufgabe 2 soll eine situationsadäquate mathematische Argumentation entwickelt werden. Somit werden auch Kompetenzen im Bereich Mathematisch argumentieren (K1) gefordert. Während die Teilaufgabe 1 nur elementare Lösungsverfahren und das direkte Anwenden einer Formel erfordert und daher dem Anforderungsbereich I zuzuordnen ist, muss in Teilaufgabe 2 eine überschaubare mehrschrittige Argumentation erläutert und entwickelt werden, weswegen diese Teilaufgabe dem Anforderungsbereich II zuzuordnen ist. Anregungen für den Unterricht In der ersten Teilaufgabe wird neben den für die Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms notwendigen Angaben der Länge der Grundseite und der Länge der Höhe noch die vernachlässigbare Angabe zur Länge einer weiteren Seite gemacht. Die überflüssige Angabe einer Größe zwingt dazu, aus den gegebenen Angaben die relevanten Angaben sinnvoll zu entnehmen. Eine weit verbreitete Ausweichstrategie besteht bei solchen Aufgaben darin, alle gegebenen Zahlen auf irgendeine Weise miteinander zu verrechnen. In Abbildung 1 ist eine solche Schülerlösung zu sehen. Der Schüler verrechnet vermutlich die angegebenen Maßzahlen wie folgt: 5 ⋅ 4 ⋅ 4,5 = 90 . 64 Abbildung 1: Schülerlösung 1 Beide Teilaufgaben zielen auf die Bestimmung des Flächeninhalts eines Parallelogramms ab. In Teilaufgabe 1 kann dies kalkülhaft geschehen. In Teilaufgabe 2 wird hingegen eine Begründung verlangt, und somit ein verständiger Umgang mit Flächenberechnungen gefordert. Schülerlösungen zu beiden Aufgaben eignen sich in der Zusammenschau daher gut dafür, Fehlvorstellungen im Umgang mit Parallelogrammen zu diagnostizieren. Zwar ist es aus unterrichtspraktischer Sicht erwartbar, dass zumeist Teilaufgabe 1 gelöst werden kann, Schwierigkeiten hingegen in Teilaufgabe 2 auftreten. Dass dies nicht immer der Fall sein muss, soll durch folgende Schülerlösung in Abbildung 2 illustriert werden. 65 Abbildung 2: Schülerlösung 2 Schülerlösung 2 ist insofern interessant, als dass es der Schülerin gelingt, in Teilaufgabe 2 eine adäquate Antwort zu geben. Gleichzeitig lässt die von ihr angefertigte Skizze in Teilaufgabe 1 vermuten, dass sie das Prinzip der Flächeninhaltsberechnung eines Parallelogramms kennt. Dennoch führt dies nicht zur korrekten Berechnung des Flächeninhalts in Teilaufgabe 1. Vermutlich hat die Schülerin auf die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken zurückgegriffen. Dieser Fehler führt in Teilaufgabe 2, folgerichtig angewendet, dazu, dass trotzdem eine schlüssige Begründung gegeben werden kann. Eine individuelle Förderung könnte zunächst hier ansetzen. In einem Gespräch könnte in Erfahrung gebracht werden, ob tatsächlich fälschlicherweise auf die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken anstelle von Parallelogrammen zurückgegriffen worden ist. Sodann könnte die Schülerin entlang der erkennbaren Potenziale, die ihre Schülerlösung sichtbar machen, zur korrekten Berechnung des Flächeninhalts geleitet werden. 66