Vermessungskunde I - Beuth Hochschule für Technik Berlin

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Vermessungskunde I
Vorlesung für das 1. Semester
Bachelor Vermessungswesen
Wilfried Korth
HINWEIS:
Das nachfolgende Skript soll die Lehrveranstaltung unterstützen. Es ist nicht auszuschließen, dass sich noch Fehler
eingeschlichen haben. Ich bin für Hinweise zu solchen Fehlern, aber auch für andere Anmerkungen und Verbesserungsvorschläge dankbar.
Ausschlaggebend für die Klausur am Semesterende ist nicht
dieses Skript, sondern der in der Vorlesung vermittelte und in
den Übungen vertiefte Stoff!
INHALTSVERZEICHNIS
2
Inhaltsverzeichnis
1 Entwicklung des Vermessungswesens, Berufsbild
4
1.1
Historische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Aufgaben und Organisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2 Grundlagen der Geodäsie
8
2.1
Geodätische Maßeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2
Bezugssysteme & Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2.1
Vorbemerkungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2.2
Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2.3
Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3 Einfache Lagemessungen
17
3.1
Fluchten von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.2
Streckenmessung mit dem Stahlmessband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.2.1
Messverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.3
Absetzen rechter Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.4
Aufnahmeverfahren und -objekte (DIN 18702) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.4.1
Das Rechtwinkelverfahren (Orthogonalaufnahme) . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.4.2
Das Einbindeverfahren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.4.3
Weitere Koordinatenberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.5
Vermessungspunkte, Vermarkungen, Einmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.6
Registrierung von Vermessungszahlen, Vermessungsrisse . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4 Fehlerlehre
28
4.1
Fehlerarten und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.2
Häufigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.3
Streuungsmaße
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.4
Fehlergrenzen und Vertrauensbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.5
Varianzfortpflanzungsgesetz für lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.6
Gewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.7
Ausgleichung direkter Beobachtungen gleicher und ungleicher Genauigkeit . . . . . . .
35
4.8
Standardabweichung aus Beobachtungsdifferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
5 Herstellung von Lageplänen (Kartierungen)
41
5.1
Übersicht über großmaßstäbige Karten und Pläne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.2
Zeichenträger und Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.3
Herstellung von Karten und Plänen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 6. Oktober 2009)
INHALTSVERZEICHNIS
3
6 Einfache Absteckungen
45
6.1
Gebäudeabsteckungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6.2
Absteckung von Kreisbögen (kleine Radien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
6.2.1
Grundlagen der Kreisbogenabsteckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
6.2.2
Grundgleichungen für die Hauptpunkte eines Kreisbogens . . . . . . . . . . . .
46
6.2.3
Absteckung von Zwischenpunkten auf dem Kreis . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.2.4
Kreisbogenabsteckung ohne Theodolit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
7 Flächenberechnungen/Flächenteilungen
51
7.1
Flächenberechnungen aus Maßzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
7.2
Grafische Flächenermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
7.2.1
Grafische Flächenermittlung mit Anlegemaßstab . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
7.2.2
Flächenermittlung aus Koordinaten, die durch Digitalisierung ermittelt werden .
52
7.3
Weitere Möglichkeiten grafischer Flächenermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
7.4
Flächenteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
7.4.1
Flächenteilungen im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
7.4.2
Flächenteilungen im Viereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
8 HÖHENMESSUNGEN
8.1
60
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
8.1.1
Arten von Höhen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
8.1.2
Definition von Höhensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
8.1.3
Höhenfestpunktfelder (Amtliche Festpunktfelder) . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Das geometrische Nivellement/Ingenieunivellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
8.2.1
Geometrisches Nivellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
8.2.2
Nivellierinstrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
8.2.3
Ingenieunivellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
8.2.4
Prüfung von Nivellierinstrumenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
8.2.5
Genauigkeit des Nivellements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Feinnivellement (Präzisionsnivellement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
8.3.1
Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
8.3.2
Fehlereinflüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
8.3.3
Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
8.4
Strom- und Talübergangsnivellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
8.5
Barometrische Höhenbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
8.5.1
Messung des Luftdrucks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
8.5.2
Ermittlung von Höhenunterschieden aus Barometermessungen . . . . . . . . .
74
8.5.3
Ermittlung von Höhenunterschieden aus Altimetermessungen . . . . . . . . . .
75
8.5.4
Genauigkeit der barometrischen Höhenmessung . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
Hydrostatisches Nivellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
8.2
8.3
8.6
INHALTSVERZEICHNIS
4
9 Geländeaufnahmen
9.1
9.2
9.3
78
Längs- und Querprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
9.1.1
Längsprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
9.1.2
Querprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
9.1.3
Darstellung von Längs und Querprofilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
Rostaufnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
9.2.1
Aufbau des Rasters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
9.2.2
Höhenaufnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
9.2.3
Höhenlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Erdmassenermittlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
9.3.1
Erdmassenberechnungen aus Querprofilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
9.3.2
Erdmassenberechnungen aus Flächennivellements . . . . . . . . . . . . . . . .
87
9.3.3
Erdmassenberechnungen aus Höhenlinien
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
9.3.4
Digitales Geländemodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
1 ENTWICKLUNG DES VERMESSUNGSWESENS, BERUFSBILD
1
Entwicklung des Vermessungswesens, Berufsbild
1.1
Historische Entwicklung
Die nachfolgende Tabelle gibt einen kurzen Überblick der Geschichte der Geodäsie.
Zeitpunkt
3000 vor Christus
1800 vor Christus
1160 vor Christus
900-800 vor Christus
488-428 vor Christus
550 vor Christus
340 vor Christus
200 vor Christus
150 vor Christus
130 vor Christus
820 nach Christus
1525
1552
1578
1608
1614
1614
1642
1656
1661
1670-1690
1715
1730
1798
1799
Ereignis
Beginn systematischer astronomischer Beobachtungen in
Mesopotanien, Ägypten, Indien und China
Ägyptisches Mathematikbuch mit Darstellung von
Feldmesskunst und Flächenrechnung
Magnetstein als Kompass bei den Chinesen
Homer: Erde ist konvexe, vom Oceanus umspülte Scheibe
Anaxagoras schreibt Buch Dioptrik (optische
Vermessungskunde)
Pythagoras erkennt Kugelgestalt der Erde
Aristoteles beweist Kugelgestalt der Erde
Erathostenes bestimmt den Halbmesser der Erde aus der
Länge des Bogens Alexandria-Syene (Assuan) und
Sonnenhöhen (R = b/α)
Hipparchos benutzt Astrolabium
Einsatz der Wasserwaage
Arabische Gradmessung unter Kalif Al Mamun,
Längenmessung mit Holzlatten
erste europäische Gradmessung Paris-Amiens durch Jean
Fernel
Leonhard Digges verwendet erstmalig den Namen
Theodelitus für ein Scheibeninstrument mit um den
Mittelpunkt drehbarem Diopterlineal
Tycho Brahe wendet zum ersten Mal das Prinzip der
Triangulation an
Hans Nipperley erfindet das Fernrohr
Neper veröffentlicht Logarithmentafel
Snellius wendet Triangulation bei Gradmessung an
Pascal baut erste Rechenmaschine
Das Wort Kataster wird erstmalig in Hessen erwähnt
Erfindung der Röhrenlibelle
französische Gradmessung Paris-Amiens durch Jean Picard,
Quadrant mit Zielfernrohr und Fadenkreuz, 4m-lange
Holzlatten
L. C. Sturm: erste Schrift über Nivelliere
Sisson in England baut erste moderne
Feldmesser-Theodolite“
”
Alois Senefelder erfindet das Steindruckverfahren
Meter in Frankreich gesetzliche Längeneinheit
4
Zeitpunkt
1800
1850
1941
4.10.1957
1980
1994
1.2
5
Ereignis
C. F. Gauß und A. M. Legendre entwickeln unabhängig voneinander die
Methode der kleinsten Quadrate
Einführung der Photogrammetrie
Konrad Zuse entwickelt das erste programmgesteuerte Rechengerät
Start Sputnik 1 – Beginn des Satellitenzeialters
Marktreife der ersten Personalcomputer
Vollständiger Aufbau des Global Positioning System (GPS)
Aufgaben und Organisation
Die Geodäsie ist die Wissenschaft von der Ausmessung und
Abbildung der Erdoberfläche
F. R. Helmert
Teildisziplinen:
• Erdmessung (Satellitengeodäsie)
Figur und Form der Erde, Referenzsystem
• Landesvermessung
Vermessungsgrundlagen eines Staates/Landes; Schaffung und Laufendhaltung von
Lage-, Höhen- und Schwerenetzen
• Katastervermessung
Gliederung und Aufteilung der Erdoberfläche zu Eigentum; Katasterkartenwerke
• Bodenordnung
Bodenbewertung; Planung künftiger Zustände
Neueinteilung landwirtschaftlicher Flächen: Flurbereinigung
Erschließung von Baugelände: Umlegung
• Photogrammetrie
Form, Lage und Größe von Gegenständen aus photographischen/digitalen Bilddaten
−→ berührungslose Vermessung
• Kartographie
Abbildung der Erdoberfläche in (maßstäblichen) Karten oder Informationssystemen
• Ingenieuvermessung
Vermessungen im Zusammenhang mit Baugeschehen/Industrie/. . .
• Markscheidewesen
bergmännisches Vermessungswesen
• Seevermessung (hydrographische Vermessung)
6
VERMESSUNGSKUNDE ?
Die Vermessungskunde befasst sich mit der Vermessung und Berechnung größerer und
kleinerer Teile der Erdoberfläche und ihrer Darstellung in Karten und Plänen. Dazu
gehören:
- Erdmessung
- Landesvermessung
- Land- und Feldmessung
• Unterteilung vermessungstechnischer Arbeiten in Horizontal- oder Lagemessungen
und Vertikal- oder Höhenmessungen.
Mit dem Einsatz von Satellitenmethoden (Global Positioning System) auch in der
einfachen Feldmessung lässt sich diese klare Aufteilung jedoch nicht mehr länger
aufrechterhalten.
=⇒ dreidimensionale Geodäsie
• Messung: einzelner Messungsvorgang
Vermessung: die Summe aller für die Erfassung eines Objektes notwendigen Messungen
Bei der Vermessung wird dabei jedoch die Realität nicht im Verhältnis 1:1 übernommen, sondern es erfolgt eine Modellbildung“, die die Realität in vereinfachter,
”
bearbeitbarer Form abbildet.
• Die wichtigste Aufgabe der Vermessungstechnik besteht darin grundsätzliche (geometrische) Informationen zur Erdoberfläche zur Verfügung zu stellen.
Bisher: Weitergabe dieser Informationen mit der Bereitstellung von analogen Kartenwerken.
Heute: Bereitstellung von digitalen Grunddaten für Geoinformationssysteme (GIS)
• (Karten-)Maßstäbe: größere bis 1:5000 und kleinere ab 1:5000
– Bereich bis 1:5000 umfasst vorwiegend die Katasterangaben mit den
rechtmäßigen Grenzen und der Einzelbebauung wie bei der Liegenschaftskarte oder im digitalen Bereich bei der Automatisierten Liegenschaftskarte
(ALK)
– Bereich ab 1:5000 gibt die Geländedarstellung als topographische Karte
wie bei der analogen DGK im Maßstab 1:5000 oder dem digitalen Verfahren ATKIS (Automatisiertes topographisch-kartographisches Informationssystem) wider
– Daneben gibt es Fachanwendungen als analoge Spezialkartenwerke für Siedlungsräume, Verkehrsanlagen, Wasserbauten . . . oder digitale Anwendungen
mit Fachdaten auf der Grundlage der Vermessungsdaten.
• Neben diesen kataster- und landesvermessungstechnischen Aufgaben ist der Vermessungsingenieur auch mit der vorbereitenden, der baubetreuenden und des abschließenden Vermessung von Ingenieurbauten befasst.
Diese werden generell nicht anders angelegt als die o.g. Vermessungen. Im einzelnen wird oftmals eine sehr hohe Genauigkeit verlangt.
7
Organisation des Vermessungswesens
• Internationale und nationale Einrichtungen
Internationale Organisation der Geodäsie: IAG (International Association for Geodesy)
Internationale Zusammenschluss der Vermessung: FIG (Fédération Internationale
des Géomètres)
• In der Bundesrepublik Deutschland liegt die Zuständigkeit für das Vermessungswesen bei den Bundesländern.
Deutsche Geodätische Kommission (DGK): bundesweit im Hochschulbereich tätig.
Einzige Bundesbehörde: Bundesamt für Kartographie und Geodäsie (BKG, früher:
Institut für Angewandte Geodäsie (IfAG))
• Zuständigkeiten und die Aufgaben der Vermessungsverwaltungen sind in Ländergesetzen geregelt.
In den meisten Bundesländern gliedert sich die Vermessungsverwaltung in eine
ministerielle Behörde, das Landesvermessungsamt und die kommunalen Vermessungsämter.
– Aufgaben der ministeriellen Behörde: Vorschriftengebung und Fachaufsicht
über die nachgeordneten Verwaltungen
– Landesvermessungsämter: Grundlagenvermessung (Lage-, Höhen- und
Schwerefestpunktfeld), Fortführung und Erneuerung des Liegenschaftskatasters und Herstellung des amtlichen Kartenwerks in analoger und digitaler
Form
– Kommunalen Vermessungsämter: übertragene hoheitliche
Grundstücksbewertung und kommunale Vermessungsaufgaben
Aufgaben,
• Öffentlich bestellter Vermessungsingenieur (ÖbVI): Mitwirkung an den hoheitlichen Aufgaben
• Ingenieurbüros: privatrechtlicher Charakter; beschäftigen sich mit sonstigen Vermessungsaufgaben außerhalb der hoheitlichen Aufgaben
• Sondervermessungsstellen: bei Wasser- und Schiffahrtsverwaltung, Bundeswehr
(Militärgeographischer Dienst), Deutschen Bahn AG, Forstverwaltung, Energieversorgungsunternehmen, Nahverkehrsunternehmen, Straßenbauämtern und Flurbereinigungsämter
2 GRUNDLAGEN DER GEODÄSIE
2
8
Grundlagen der Geodäsie
2.1
Geodätische Maßeinheiten
Grundlage ist das Système International d’Unités“ (SI).
”
In der Bundesrepublik Deutschland sind die Maßeinheiten durch das Gesetz über die
Einheiten im Messwesen vom 2.7.1969 und die Ausführungsverordnung zu diesem Gesetz
vom 26.6.1970 festgelegt.
• Das SI basiert auf den 7 Basiseinheiten:
für die Länge
für die Masse
für die Zeit
für die elektrische Stromstärke
für die thermodynamische Temperatur
für die Lichtstärke
für die Stoffmenge
das Meter
das Kilogramm
die Sekunde
das Ampère
das Kelvin
die Candela
das Mol
=m
= kg
=s
=A
=K
= cd
= mol
• Daraus ableiten lassen sich die kohärenten Einheiten des SI wie z. B.:
für die Fläche
m2
für die Geschwindigkeit ms−1
für die Beschleunigung ms−2
für die Kraft
m kg s−2 (genannt Newton (N))
für den Druck
m−1 kg s−2 = N m−2
• Nichtkohärente Einheiten können mit einer ganzzahligen Potenz von 10 oder einer
anderen Zahl zusammengesetzt werden wie z. B.:
für die Fläche
für den Druck
für den Druck
100 m2 = 1 a
105 m−1 kg s−2 = 1 bar
101325 m−1 kg s−2 = 1 atm
• Aus den vorgenannten Einheiten lassen sich durch Vorsätze dezimale Vielfache und
Teile bilden. Kennzeichnung durch folgende Vorsatzzeichen:
Faktor
Vorsatz
Vorsatzzeichen
Faktor
Vorsatz
Vorsatzzeichen
101
102
103
106
109
1012
Deka
Hekto
Kilo
Mega
Giga
Tera
da
h
k
M
G
T
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
Dezi
Zenti
Milli
Mikro
Nano
Piko
d
c
m
µ
n
p
9
SI-Einheit der Länge: das Meter (m)
• seit 1868 in Deutschland gebräuchlich und seit 1872 verbindlich
• Definition des Meters geht auf die Festlegung der französischen Nationalversammlung aus dem Jahre 1791 zurück: Der zehnmillionste Teil eines Erdmeridianquadranten ist das Meter.
Zu dieser Festlegung ist ein Prototyp mit X-förmigen Querschnitt aus PlatinIridium hergestellt worden, der in Breteuil (Frankreich) aufbewahrt wird. Eine
Kopie liegt in Braunschweig (PTB) liegt.
• Angesichts der steigenden Genauigkeitsansprüche wurde diese Definition mehrfach auf der Grundlage von physikalischen und chemischen Zusammenhängen abgeändert.1
• 1967 Definition der Atomsekunde“ mit Cäsiumatom 133 (Zeitmessungen auf
”
10−13 –10−14 )
=⇒ Lichtgeschwindigkeit c = 299792458m/s
=⇒ gültige Meterdefinition
Das Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im leeren Raum während
der Dauer von 1/299792458 Sekunden durchläuft.
SI-Einheiten des ebenen Winkelmaßes
• Sexagesimalteilung: 1 Vollkreis = 360◦
1◦ = 60’
1’= 60”
• Zentesimalteilung: 1 Vollkreis = 400gon
1gon = 1000mgon
• Bogenmaß:
1 Vollkreis = 2π
(Grad)
DEG/DMS
(Minuten)
(Sekunden)
(Neugrad, Gon) GRD
(Milligon)
(Radiant)
RAD
b =
1m
1 ra
d
r= 1m
Das Bogenmaß ist das Verhältnis von Bogenlänge zu
Radius (im Einheitskreis mit r = 1).
1
Z.B. 1960 Definition bezüglich der 1 650 763,73fachen Wellenlänge der von den Atomen des
Nuklids 86 Kr, eines Isotops des Edelgases Krypton mit der Masse 86, beim Übergang vom Zustand 5d
zum Zustand 2p10 ausgesandten Strahlung.
10
Umrechnungen von Winkeln W :
• Sexagesimal in Dezimalgrad:
W ◦ [dezimal]= W ◦ + W ′ /60 + W ′′ /3600
z. B.: 13,51466194◦ = 13◦ 30’ 52,783”
• Dezimalgrad in sexagesimal:
W ◦ = int(W ◦ [dezimal])
W ′ = int(W ◦ [dezimal]−int(W ◦ [dezimal])·60)
W ′′ = (W ◦ [dezimal]−int(W ◦ [dezimal])−W ′ · 60) · 3600
z. B.:
W ◦ = 13,51466194◦
W ′ = int(0, 51466194 · 60) = 30′
W ′′ = (0, 01466194) · 3600 = 52, 783′′
• Gon in Grad:
• Grad in Gon:
•
•
•
•
Bogenmaß in Gon:
Bogenmaß in Grad:
Gon in Bogenmaß:
Grad in Bogenmaß:
W ◦ [dezimal]= W [gon]·9/10
W [gon]= W ◦ [dezimal]·10/9 = (W ◦ + W ′ /60 + W ′′ /3600) · 10/9
W [gon]= W [rad]·200/π = W [rad]·ρ[gon]
W ◦ = W [rad]·180/π = W [rad]·ρ◦
W [rad]= W [gon]·π/200 = W [gon]/ρ[gon]
W [rad]= W ◦ · π/180 = W ◦ /ρ◦
Mit den Konstanten:
• ρ[gon]= 63,66197723676
• ρ◦ =
57,29577951308
Abgeleitete SI-Einheiten für den Druck: das Pascal (Pa)
• wird in der Vermessungstechnik vor allem bei der barometrischen Höhenmessung
(siehe 2. Semester) gebraucht
• Ein Pascal entspricht dem Druck einer auf eine Fläche von 1m2 gleichmäßig senkrecht wirkenden Kraft von 1 Newton (Pascal ist kohärente SI-Einheit).
Einheit Bar (bar) ist nichtkohärente Einheit (1 bar = 105 Pa).
Die Einheiten technische Atmosphäre (at), physikalische Atmosphäre (atm), Torr
(torr), Meter Wassersäule (mWs), Millimeter-Quecksilbersäule (mm Hg) stellen
keine SI-Einheiten dar und sind dementsprechend nicht mehr zulässig aber vereinzelt noch gebräuchlich.
SI-Einheiten für die termodynamische Temperatur (T ): das Kelvin (K)
• In Deutschland ist die Celsius-Temperatur (t mit dem Einheitenzeichen ◦ C) gebräuchlich. Gegenüber der Kelvintemperatur gilt nach DIN 1301:
t = T − 273, 15K
SI-Einheiten für die Zeit: die Sekunde (s)
• mit den abgeleiteten Einheiten Minute (min), Stunde (h), Tag (d), Jahr (a)
• 1min = 60s; 1h = 60min = 3600s; 1d = 24h = 1 440min = 86 400s
2.2
2.2.1
11
Bezugssysteme & Koordinatensysteme
Vorbemerkungen
• Informationen in geodätischen, kartographischen oder GIS-Produkten liegen normalerweise georeferenziert vor.
Georeferenzierung bedeutet, dass einzelnen Punkten Koordinaten zugewiesen sind
bzw. werden können.
=⇒ Notwendigkeit eines geeigneten Bezugssystems
• Das Referenz- bzw. Bezugssystem kann sich dabei für einzelne Produkte/Anwendungen erheblich unterscheiden:
– globale Bezugssysteme, die mit Satellitenverfahren (z.B. GPS) realisiert werden können
– regionale Referenzsysteme für einzelne Länder (oder Erdteile)
– lokale (ebene) Systeme z.B. für Ingenieurvermessungen
• Es können verschiedenste Koordinatansysteme (Abbildungsvorschriften) verwendet
werden
• Zu jeder Koordinatenangabe ist daher auch die Kenntnis von Referenzsystem
und Koordinatensystem notwendig!
• Auf Karten der deutschen Landesvermessung sind z.B. derartige Angaben in der
Legende enthalten.
• Bezugssystem / Referenzsystem
Physikalisch definiertes grundlegendes Bestimmungssystem. Zur Erfassung,
Speicherung, Darstellung und Nutzung von topographischen Sachverhalten in
Verbindung mit thematischen Informationen auf, unter oder über der Erdoberfläche wird es als Ordnungssystem benötigt. Es gestattet die gegenseitige
räumliche Zuordnung von Informationen zueinander.
Die praktische Realisierung erfolgt durch die Festlegung der Koordinaten von
(vermarkten) Punkten.
• Koordinatensystem
Mathematische Abbildungsvorschrift zur Beschreibung der Lage von Punkten im
Raum.
Jedes Bezugssystem kann in unendlich viele (krummlinige) Koordinatensysteme
abgebildet werden.
Innerhalb eines Bezugssystems kann zwischen verschiedenen Koordinatensystemen
beliebig umgerechnet werden
(⇒ Koordinatenumformung)
Punkte eines Festpunktfeldes, die ein bestimmtes Referenzsystem realisieren, werden in ein Koordinatensystem abgebildet.
12
• Koordinatentransformation
Umrechnung von Punktkoordinaten von einem Bezugssystem in ein anderes.
• Koordinatenumformung
Umrechnung von Punktkoordinaten von einem Koordinatensystem in ein anderes
innerhalb eines Bezugssystems mittels a-priori per Definition bekannter Beziehungen und Formeln.
2.2.2
Bezugssysteme
• (früher) Unterscheidung der Bezugssysteme für Lage und Höhe
• Höhenbezugsfläche: Niveaufläche des Schwerefeldes der Erde (oder gute Näherung)
Eine solche Niveaufläche (eine Fläche, die in jedem Punkt rechtwinklig zur jeweiligen Richtung der Schwerkraft verläuft) ist das Geoid (freie, mittlere, ruhende
Oberfläche der Weltmeere, von Gezeiten, Strömungen und weiteren Störungen
befreit und unter den Kontinenten fortgesetzt). Da die Massenverteilung im Erdinnern Unregelmäßigkeiten aufweist, ist die Geoidoberfläche keine regelmäßige
mathematisch berechenbare Fläche.
Für Lagemessungen nicht geeignet!
• Lagebezugssytem: Rotationsellipsoid (Bessel, Krassowski, GRS80,. . . )
bestmögliche Anpassung an die wahre Figur der Erde
• für kleinräumige oder lokale Anwendungen auch Kugel oder Ebene als Bezugssystem
• Heute: geozentrische dreidimensionale Systeme (3D-Messverfahren)
2.2.3
Koordinatensysteme
Jedes Bezugssystem kann theoretisch in unendlich viele Koordinatensysteme abgebildet
werden. Nur wenige sind gebräuchlich:
• für lagemäßige Vermessungen mit geringen Ausdehnungen oder zur vereinfachten
ebenen Berechnung: die Ebene
z.B. als Abbildung des Ellipsoids in die Ebene2
2
Die beiden gebräuchlisten Abbildungen sind die Soldner- (ordinatentreu) und die Gauß-KrügerAbbildung (konform). Damit sind die Berechnungen in der Ebene durchführbar, wenn die auf der gekrümmten Erdoberfläche durchgeführten Messungen entsprechend der Abbildungsart korrigiert werden.
13
Kartesisches 2D-System
X
P
Kartesische Koordinaten eines Punktes P :
P (x, y)
s
t
Polares 2D-System
Polarkoordinaten eines Punktes P :
P (t, s)
Kartesisches 3D-System
Y
Abb.: Ebene kartesische
und polare Koordinaten.
Z
P
r
Kartesische Koordinaten eines Punktes P :
P (x, y, z)
λ
Polares 3D-System
Kugelkoordinaten eines Punktes P :
P (ϕ, λ, r)
ϕ
Y
X
Abb.: Räumliche kartesische
und
polare
Koordinaten.
Ellipsoidisches Koordinatensystem
Ellipsoidische (oder geodätische) Koordinaten eines
Punktes P :
P (B, L, H)
Die ellipsoidische Breite B ist der Winkel zwischen
Ellipsoidnormale in P und Äquatorebene.
Die ellipsoidische Länge L ist der Winkel zwischen
Nullmeridian und Meridian von P
Die ellipsoidische Höhe ist der metrische Abstand des
Punktes P von der Ellipsoidoberfläche (P ′ ) entlang
der Ellipsoidnormalen.
Die Ellipsoidnormale in P enthält i.a. nicht den Ellipsoidmittelpunkt! (Ausnahmen: Pole und Äquator)
Ellipsoidnormalen sind i.a. windschief zueinander.
H
P
P
P'
B
L
P
Abb.: Ellipsoidische Koordinaten.
Verebnete Koordinaten Für die praktische Verwendung als (amtliches) Gebrauchssystem sind ellipsoidische Koordinaten nicht geeignet.
Es erfolgt daher eine geeignete VEREBNUNG der ellipsoidischen Koordinaten.
Problem: Es treten bei einer Verebnung zwangsläufig Verzerrungen auf!
14
Gauß-Krüger Koordinaten
PN
3˚(6˚)
• querachsiger elliptischer Zylinder (Meridianellipse)
• Mittelmeridian (Berührungsmeridian) wird längentreu
abgebildet
−→ X-Achse
PS
Koordinatenursprung
Abb.: Prinzip der GK-Abbildung
• GK-Abbildung ist winkeltreu
(konform)
Als Koordinaten werden Hochwert und Rechtswert bezüglich des Ursprungs eingeführt.
Zum Rechtswert werden 500 km addiert, um negative Koordinaten zu vermeiden.
Die Gesamtfläche des Ellipsoides wird in mehrere 3◦ oder 6◦ breite Streifen abgebildet,
die mittels einer Streifenkennzahl unterschieden werden, die dem Rechtswert vorangestellt wird.
In der deutschen Landesvermessung sind/waren Gauß-Krüger-Koordinaten als amtliche
Koordinaten in Gebrauch.
Sie sollen in der Zukunft durch UTM-Koordinaten abgelöst werden.
Gauß-Krüger-Koordinaten sind aus ellipsoidischen Koordinaten streng berechenbar!
UTM-Koordinaten
(engl.: Universal Transverse Mercator Coordinates)
• entspricht in den mathematischen Abbildungsgleichungen EXAKT einer 6◦ -GaußKrüger-Abbildung
• Unterschied: Maßstabsfaktor m = 0.9996 (-40 cm pro Kilometer!)
• Der Maßstabsfaktor wird angebracht, um die zum Rand eines Meridianstreifens
hin steigenden Verzerrungen im gesamten Streifen gleichmäßig zu verteilen.
Soldner-Koordinaten
Rechtwinklige ellipsoidische Oberflächenkoordinaten:
Soldnersche Koordinaten (Johann Georg von Soldner, 1776–1833)
Koordinatenursprung:
O → TP 1. Ordnung
X-Achse:
Meridian durch O
=⇒ ordinatentreue Abbildung
Verwendung:
15
ältere Katastersysteme
Koordinatensystem in Berlin
amtliches Landessystem in Baden-Würtemberg vor 1990
Wie findet man sich in der Vielfalt zurecht?
• die Unterscheidung der verschiedenen Koordinaten- und Bezugssysteme erfolgt
durch den Lagestatus“ bzw. den Höhenstatus“
”
”
• für Lagekoordinaten sind folgende Systeme mit den zugehörigen Lagestatusangaben in Berlin und in den meisten anderen Bundesländern in gleicher Art und Weise
definiert (bis auf einige wenige Berliner Besonderheiten)
Tabelle: Beispiele für Lagesysteme:
Lagestatus
0
50
100
130
140
150
200
389
400
489
500
600
640
650
660
700
850
834
Koordinatensystem
vorläufige Gauß-Krüger-Koordinaten; erneuertes Lagefestpunktfeld (Bessel-Ellipsoid,
Zentralpunkt Rauenberg)
vorläufige Soldner-Koordinaten; erneuertes Festpunktfeld (Bessel-Ellipsoid,
Gauß-Krüger-Koordinaten; erneuertes Lagefestpunktfeld (Bessel-Ellipsoid,
Gauß-Krüger-Koordinaten im System 40/83; 3◦ -Streifen (Bessel-Ellipsoid,
Gauß-Krüger-Koordinaten im System 42/83; 6◦ -Streifen (Krassowski-Ellipsoid,
Zentralpunkt Pulkowo)
Gauß-Krüger-Koordinaten im System 42/83; 3◦ -Streifen (Krassowski-Ellipsoid,
Zentralpunkt Pulkowo)
Gauß-Krüger-Koordinaten; altes Lagefestpunktfeld (Bessel-Ellipsoid, Zentralpunkt
Rauenberg)
dreidimensionale Koordinaten (hier X,Y) im ETRS89
UTM-Koordinaten (Hayford-Ellipsoid)
UTM-Koordinaten (GRS80-Ellipsoid)
Soldner-Koordinaten; erneuertes Lagefestpunktfeld (bezogen auf einen fiktiven
Koordinatennullpunkt 40000 m westlich und 10000 m südlich vom
Koordinatenanfangspunkt Müggelberg)
Soldner-Koordinaten; altes Lagefestpunktfeld (bezogen auf Müggelberg)
konforme Koordinatenim bezogen auf Müggelberg (Reinickendorf/Pankow)
Soldner-Koordinatenim bezogen auf Götzer Berg
konforme Koordinatenim bezogen auf Rathausturm
örtliches System
geographische Koordinaten auf dem Bessel-Ellipsoid
geographische Koordinaten auf dem GRS80-Ellipsoid
Höhensysteme
• für praktischen Gebrauch sind schwerefeldbezogene Höhen notwendig (ruhende
Wasserfläche hat einen Höhenwert)
16
=⇒ Höhenbezugsfläche ist Niveaufläche des Schwerefeldes (Geoid3 )
• Höhenanschluss erfolgt an den mittleren Meeresspiegel“ mittels langjähriger Pe”
gelmessungen
• verschiedene Systeme unterscheiden sich durch:
a) Pegel, an den angeschlossen wurde (z.B. Pegel Amsterdam, Pegel Kronstadt)
b) (physikalische) Höhensystemdefinition (z.B. orthometrische Höhen, Normalhöhen)
• in Deutschland:
a) (normal-)orthometrische Höhen; Pegel Amsterdam −→ Höhen über NN
b) Normalhöhen; Pegel Kronstadt −→ Höhen über HN
c) Normalhöhen; Pegel Amsterdam −→ Höhen über NHN (amtliches System!)
• SATELLITENGEODÄSIE (z.B. GPS): ellipsoidische Höhen (rein geometrisch definiert!)
Tabelle: Beispiele für Höhensysteme:
Höhenstatus
0
16
100
140
150
160
384
389
(500)
(589)
800
Höhensystem
vorläufige Höhe im erneuerten Höhenfestpunktfeld (normalorthometrische Höhe bezogen
auf NN)
vorläufige Normalhöhe im System DHHN 92
Höhe im System DHHN 92
Normalorthometrische Höhe im System des DHHN 85
Normalhöhe im System des SNN 76
Normalhöhe im System des DHHN 92
dreidimensionale Koordinaten (hier Z) im WGS84
dreidimensionale Koordinaten (hier Z) im ETRS89
ellipsoidische Höhe auf dem Bessel-Ellipsoid
ellipsoidische Höhe auf dem GRS80-Ellipsoid
örtliches System
Tabelle: Beispiele für Koordinaten und Höhenangaben:
Lagestatus
500
100
600
640
630
150
400
384
850
834
Koordinaten
Y=21676.354m; X=24325.580m
Rechts=4592046.244m; Hoch=5824485.591m
Y=*81676.354m(-18323.646m); X=14325.580m
Y=*81676.329m(-18323.671m); X=14325.580m
Y=51676.274m; X=34325.684m
Rechts=4592069.904m; Hoch=5825074.064m
East=33388543.414m; North=5823201.627m
Y=897854.474m; X=3781877.469m
Länge=13◦ 21’25.414963”; Breite=52◦ 32’49.536370”
Länge=13◦ 21’19.158896”; Breite=52◦ 32’44.455108”
Höhensystem
140
Höhe
bzw. Z
H=60.589m
384
140
Z=5040036.675m
H=60.589m
3
Die tatsächliche Höhenbezugsfläche weicht vom Geoid geringfügig ab. Das liegt daran, dass einerseits an Vereinfachungen und Annahmen bei der Realisierung der Höhenbezugsfläche, andererseits an
der begrenzten Möglichkeit ihrer messtechnischen Bestimmung.
3 EINFACHE LAGEMESSUNGEN
3
17
Einfache Lagemessungen
3.1
Fluchten von Geraden
• Zum Fluchten von Geraden werden Fluchtstäbe (Baken) benötigt.
(Stangen aus Eschen- oder Kiefernholz oder Aluminium; 28mm stark und 2m lang;
von 0,5m zu 0,5m abwechselnd weiß und rot gestrichen; mit eiserner Spitze zum
Einstoßen in die Erde)
Lotrechtstellung mit Hilfe eines Schnurlotes, mit einer anklemmbaren Libelle oder
mit einem Lattenrichter; auf hartem Untergrund benutzt man eiserne Fluchtstabhalter
• Absteckung einer Gerade: beide Endpunkte der Geraden mit Fluchtstäben ausgestecken und Zwischenpunkte über diese beiden Punkte eingefluchten
Einweisung von Zwischenpunkten von der dem Beobachter gegenüberliegenden
Seite bis zum Beobachtungsstandpunkt hin (Geraden bis 200m können mit bloßem
Auge ausfluchtet werden, für größere Entfernungen mit optischen Hilfsmitteln wie
z. B. ein Feldstecher)
• Genauigkeit: in ebenem Gelände bei sorgfältiger Arbeit Zwischenpunkte auf 2 bis 3
Stabdicken einfluchtbar; für höhere Genauigkeitsforderungen oder in schwierigem
Gelände ⇒ Theodolit zur Herstellung der Geraden erforderlich
• gegenseitiges Einweisen wird erforderlich, wenn die beiden Endpunkte der Geraden
unzugänglich z. B. als Hausecken sind oder wegen einer Bodenerhebung nicht
gegenseitig sichtbar sind (zwei Beobachter fluchten sich gegenseitig ein)
A
1
2
A
4
3
B
B
• Fluchten bei verbauten Messungslinien: mit Hilfe einer im Abstand a parallel zur
ursprüglichen Linie durchgefluchteten Geraden
CD = C1 D1
bzw. Umgehung oder Überquerung von Hindernissen mit Hilfslinie (Strahlensatz):
18
(CD)2 = (C1 D1 )2 + (d − c)2
3.2
AB = BC
BD
DE − BC
Streckenmessung mit dem Stahlmessband
Auch wenn die mechanische Streckenmessung4 stark an Bedeutung verloren hat, nachfolgend die wichtigsten Korrektionen und Reduktionen:
• Messung aufliegend
– Reduktion auf die Horizontale
– Korrektion wegen thermischer Ausdehnung
– Bandkorrektion
• Messung freihängend Messung bei gleichen Höhen der Endpunkte: Reduktion auf
die Horizontale kann entfallen
– Korrektion wegen thermischer Ausdehnung
– Korrektion wegen Durchhang
– Bandkorrektion
• Bandkorrektion
Im allgemeinen beschränkt sich die Bandkorrektion bei Messbändern (im Gegensatz
zu eltrooptischen Entfernungsmessern) auf die Berücksichtigung eines Maßstabes
gegeben:
gemessene Strecke l
Sollänge des Messbandes L
Abweichung der Messbandlänge von der Sollänge bei 20◦ C dL
gesucht:
korrigierte Streckenlänge l0 bzw. Bandkorrektion kE
dL
l0 = l 1 +
L
!
= l · M = l + kE
mit
kE = l ·
dL
L
• Temperaturkorrektion
Berücksichtigung der Ausdehnung des benutzten Materials des Messbandes
(für Stahl ist der Ausdehnungskoeffizient α
=0,0115 10−3 m/K)
gegeben: korrigierte Strecke l0
Ausdehnungskoeffizient α
Temperatur des Messbandes t
gesucht:
korrigierte Streckenlänge l1 bzw. Temperaturkorrektion kT
l1 = l0 (1 + α · (t − 20◦ C)) = l0 + kT
mit
kT = l0 · α · (t − 20◦ C)
4
Die mechenische Streckenmessung mit Invarbändern oder -drähten ist immer noch eine hochgenaue
Möglichkeit der Streckenmessung im Nahbereich.
19
Beispiel: Für ein 20m-Stahlmessband ergibt sich bei 10◦ C Temperaturänderung
eine Temperaturkorrektion von 2,3mm
• Korrektion wegen Durchhang
Unterschied zwischen der Sehne und der Länge des durchhängenden Messbandes;
man geht davon aus, dass sich das durchhängende Messband wie ein homogenes,
biegsames und nicht dehnbares Seil verhält =⇒ Die entstehende Kettenlinie entspricht einer Hyperbelkosinusfunktion mit gleichhohen Auflagepunkten
(Funktion der Schwerkraft und der Zugkraft bzw. Funktion des Durchhangs)
Durchhang des Messbandes d
gesucht:
korrigierte Streckenlänge l2 bzw. Korrektion wegen Durchhang kD
2
l2 = l1 + kD
kD ≈ −
8d
3l1
Durchhang und Korrektion für ein 400 g schweres
Stahlmessband bei Zugspannung 50 N:
10
15
20
l[m]
d [cm]
5
11,2 20
kD [mm] -0,7 -2,3 -5,3
Verminderrung der Auswirkung des Durchhangs:
(a): wird Zugspannung verdoppelt, halbiert sich der Durchhang d
(b): Unterstützung des Messbandes in der Mitte =⇒ Korretionsbetrag vermindert
sich auf kD /4
• Reduktion auf die Horizontale
Berücksichtigung des Höhenwinkels (Neigungsmesser) oder des Höhenunterschieds
der Streckenendpunkte
Höhenwinkel β bzw. Höhenunterschied der Endpunkte ∆H
gesucht:
korrigierte Streckenlänge l3 bzw. Korrektion wegen Neigung kN
l3 = l2 cos β =
q
l22 − ∆H 2 = l2 + kN
kN = l2 (cos β − 1) =
q
l22 − ∆H 2 − l2
Beispiel: Ein Höhenunterschied von 1m ergibt für eine 20 m lange Strecke eine
Korrektion von 25 mm .
• Korrektion wegen elastischer Dehnung
Die Korrektur wegen elastischer Dehnung muss im allgemeinen nicht berücksichtigt werden, wenn die Sollzugspannung eingehalten wird (z.B. Spannungsmesser
im Griff).
Sollen Streckenmessungen aus der Örtlichkeit in ein Gebrauchskoordinatensystem (z.B.
Gauß-Krüger-Koordinaten) übertragen werden, ergeben sich weitere Korrektionen:
• Reduktion wegen Höhe (Reduktion auf das Meeresniveau)
Auswirkung nur bei langen Strecken!
20
gegeben:
korrigierte Strecke l3
mittlere Höhe Hm
mittlerer Erdradius R
gesucht:
korrigierte Streckenlänge l4 bzw. Korrektion wegen Höhe kH
l4 = l3 · 1 −
Hm
R
= l3 + kH
kH = −l3
Hm
R
Beispiel: Für eine mittlere Höhe von 40 m und einen mittleren Erdradius von
6370 km ergibt sich für eine 20m-lange Strecke ein Korrekturwert von -0,1mm.
• Projektionsverzerrung
Da die Streckenmessungen auf der Erdoberfläche durchgeführt werden, müssen
die Verzerrungen der Strecken in der Abbildungsebene berücksichtigt werden. Als
Abbildugen treten z.B. die Gauß-Krüger-Abbildung oder die Soldner-Abbildung
auf.
mittlerer Abstand vom Bezugsmeridian ym
mittlerer Erdradius R
gesucht:
korrigierte Streckenlänge l5 bzw. Abbildungskorrektion kA
l5 = l4 + kA
kA;Gauß−Krüger
2
ym
= l4 2
2R
kA;U T M
2
ym
= l4 (0, 9996+ 2 )
2R
kA;Soldner
2
ym
= l4 2 cos t
2R
Beispiele:
Für einen mittleren Abstand von 100 km vom Mittelmeridian (Gauß-KrügerKoordinatenwert von 4 600 000m) und einem Erdradius von 6370 km erhält man für
eine 20 m lange Strecke einen Korrekturwert von 2,5mm. Für die UTM-Abbildung
ergibt sich ein Korrekturwert von -5,5mm.
Für einen mittleren Abstand von 20 km vom Koordinatenursprung (SoldnerKoordinatenwert von 20 000m) und einem Erdradius von 6370km erhält man für
eine 20m lange Strecke in Nord-Süd-Richtung (t=0gon) einen Korrekturwert von
0,1mm.
Es verbleiben als zu berücksichtigende Korrektionen/Reduktionen im allgemeinen nur die
Bandkorrektion kE , die Temperaturkorrektion kT , die Reduktion wegen Durchhangs kD ,
die Reduktion auf die Horizontale kN sowie bei ungünstiger Lage bzw. UTM-Abbildung
die Projektionsverzerrung kA .
3.2.1
Messverfahren
Messverfahren in geneigtem Gelände:
– Staffelmessung (freihängend)
– Reduktionsverfahren (aufliegend)
21
Staffelmessung
Bei der Staffelmessung mit freihängendem Messband wird das Messband in
die Horizontale gebracht und an beiden
Endpunkten abgelotet. Die Genauigkeit
dieses Messverfahrens ist stark von der
Güte der Ablotung abhängig.
Reduktionsverfahren
Bem Reduktionsverfahren mit aufliegendem Messband ist neben der Messbandlänge
der Neigungswinkel zur Reduktion in die Horizontale zu bestimmen (Neigungs- oder
Gefällmesser).
3.3
Absetzen rechter Winkel
• Zum absetzen rechter Winkel oder zum Aufwinkeln seitwärts liegender Punkte auf
eine Messungslinie dienen Diopterinstrumente, Winkelscheiben5 und Winkelprismen.
Winkelprismen (geschliffene Glaskörper): Fünfseitprisma oder Pentagon, Wollastonprisma (es lassen sich rechte Winkel zu einer abgesteckten Linie herstellen).
• Fehlerquellen: Schliffehler, Anzielfehler und Zentrierfehler; für den Winkelfehler
kann man von etwa ±40 mgon und für den Zentrierfehler von etwa ±2 cm ausgehen
Abbildung: Strahlengang
im Pentaprisma
• Prismenkreuze bestehen aus zwei der obigen Prismen (sie erlauben das Absetzen
von rechten und gestreckten Winkeln)
Genauigkeit entsprechend den obigen Annahmen ausgehen.
5
Diopterinstrumente und Winkelscheiben sind wegen ihres Konstruktionsprinzips heute kaum noch
im Einsatz
3.4
22
Aufnahmeverfahren und -objekte (DIN 18702)
• in Abhängigkeit von der Zielstellung: Aufnahme des Objektes durch Messung von
Strecken und Winkeln, so dass das Objekt maßstäblich aufgetragen werden kann
=⇒ als Stückvermessung bezeichnet
3.4.1
Das Rechtwinkelverfahren (Orthogonalaufnahme)
• Aufbau eines lokalen Koordinatensystems
durch eine Messungslinie
Die seitswärts liegenden Objekte werden auf
diese Messungslinie rechtwinkelig durch Rechtwinkelmessgeräte (meistens Winkelprismen)
aufgenommen.
(Messungslinie: Abzisse; seitwärts abgehenden
Strecken: Ordinaten)
• Kontrolle: z.B. Messen von Streben (Verbindungen zwischen Messungslinienpunkten und
Objektpunkten), Spannmaßen (Streben von
vermarkten Messungslinienpunkten)
• direkte Umsetzung in eine graphische Darstellung oder Ablegen von (absoluten) Koordinaten
• Umsetzung lokaler Koordinaten in das Landeskoordinatensystem:
Zur Kontrolle und zur Anpassung des Maßstabes wird die Strecke zwischen
dem koordinatenmäßig bekannten Anfangs- und Endpunkt der Messungslinie
gemessen. Die Berechnung der Punkte erfolgt wie die von Kleinpunkten6 .
A) Berechnung der Koordinaten von Punkten F auf der Messungslinie AE:
E
X
E
SF
F
gegeben:
Koordinaten von A und E
gemessen: Strecken sAF und sF E
F
tA
SA
XF-XA
E
A
gesucht:
Koordinaten des Punktes F
YF-YA
Y
sAF
· ∆XAE
sAF + sF E
SAE
= XA +cos(tAE )
sAF = XA +a·sAF
sAF + sF E
XF = XA +
XF = XA +
6
SAE
∆XAE
sAF
SAE
sAF + sF E
siehe VO Geodätisches Rechnen
23
sAF
· ∆YAE
sAF + sF E
SAE
= YA + sin(tAE )
sAF = YA + o · sAF
sAF + sF E
YF = YA +
YF = YA +
SAE
∆YAE
sAF
SAE
sAF + sF E
B) Berechnung der Koordinaten von seitwärts der Messungslinie AE liegenden
Punkten P :
E
X
E
SF
F
SF
F
P
SA
tA
E
P
gegeben:
berechnet:
gemessen:
Koordinaten von A und E
Koordinaten von F
Strecken sAF , sF E und sF P
gesucht:
Koordinaten des Punktes P
A
Y
SAE
SAE
sF P = XF −sin(tAE )
sF P = XF −o·sAF
XP = XF +cos(tAE +100[gon] )
sAF + sF E
sAF + sF E
SAE
SAE
sF P = YF +cos(tAE )
sF P = YF +a·sAF
YP = YF +sin(tAE +100[gon] )
sAF + sF E
sAF + sF E
Für links der Messungslinie liegende Punkte verändert sich der Richtungswinkel
um weitere 200gon.
In diesem Fall drehen sich in den trigonometrischen Funktionen die Vorzeichen
um. Damit lassen sich die Strecken zu den seitwärts liegenden Punkten als Koordinaten in einem lokalen Koordinatensystem auffassen und für rechts von der
Linie liegende Punkte positiv und links von der Linie negativ in die vorstehenden
Formeln einführen.
Allgemein ergeben sich folgende Formeln:
XP = XA + a · sAF − o · sF P
YP = YA + o · sAF + a · sF P
3.4.2
24
Das Einbindeverfahren
• Es werden Messungslinien entlang der einzubindenden Objekte gelegt und der Anfangs- und
der Endpunkt dieser Messungslinien in vorhandene Messungslinien eingebunden.
• Dann werden auf den neu entstandenen Linien
die Strecken gemessen und die Abstände des
Anfangs- und Endpunktes auf den Linien, in die
eingebunden wird. Zur Kontrolle werden weitere Objektseiten gemessen.
• Eine graphische Darstellung und Koordinaten
lassen sich über die Messungselemente erzeugen. Es können die Formeln der Kleinpunktberechnung für Punkte auf der Messungslinie
verwendet werden.
3.4.3
Weitere Koordinatenberechnungen
Es können weiterhin notwendig werden:
• Koordinatenberechnungen als Schnittpunkte (Geradenschnitte)
• Koordinatentransformationen von lokalen in das übergeordnete Koordinatensystem
(Landeskoordinatensystem)
X
X'
gegeben:
Koordinaten von A und B in beiden Systemen
Koordinaten von P im System (X ′ ; Y ′ )
B
"
dX
A
gesucht:
Koordinaten von P im System (X; Y )
Transformationsparameter α, M , dX und dY
P
dY
Y'
Y
Grundgleichungen (vgl. Kleinpunktberechnung):
Xi = dX + M · cos(α)Xi′ − M · sin(α)Yi′
Yi = dY + M · sin(α)Xi′ + M · cos(α)Yi′
Lösung für die unbekannten Transformationsparameter (eindeutige Lösung über 2
Punkte):
q
2
2
∆XAB
+ ∆YAB
SAB
= ′
M=q
′2
′2
SAB
+ ∆YAB
∆XAB
α = arctan
25
′
∆YAB
∆YAB
− arctan
′
∆XAB
∆XAB
dX = XA − M · cos(α)XA′ + M · sin(α)YA′
dY = YA − M · sin(α)XA′ − M · cos(α)YA′
Zahlenbeispiel:
Gegebene Koordinaten:
Punktnummer
A
B
P
Y in Meter X in Meter
24243,12
22368,79
24362,49
22456,67
Transformationsparameter:
3.5
Y ′ in Meter
-10,09
5,87
0,07
Maßstab M =
Rotation α =
=
Translation dX =
dY =
X ′ in Meter
0,00
147,39
50,32
0,999853428
59,5995gon - 6,8668gon
52,7327gon
22361,36m
24249,94m
Kontrolle über die Grundgleichung:
XA = 22368,79m
YA = 24243,12m
Neupunkt P über die Grundgleichung:
XP = 22395,33m
YP = 24287,06m
Vermessungspunkte, Vermarkungen, Einmessungen
Unterscheidung der Vermessungspunkte in:
•
•
•
•
•
•
Lagefestpunkte
Höhenfestpunkte
Grenzpunkte
Gebäudepunkte
topographische Punkte
sonstige Punkte
Bei Festpunktfeldern kann nach der Hierarchiestufe der Netze unteschieden werden7 :
• Trigonometrische Punkte
• Aufnahmepunkten
7
Spezielle Bezeichnungen für einzelne Hierarchiestufen wie z. B. das Übergeordnete Lagefestpunktfeld oder das Übergeordnete Höhenfestpunktfeld in Berlin sind denkbar.
26
Die Art des Punktes wird in dem Punktkennzeichen durch eine einstellige Schlüsselzahl
gekennzeichnet.
Punktkennzeichen = Punktnummer / Numerierungsbezirk / Punktart
(Die Punktnummer ist fünfstellig, der Numerierungsbezirk achtstellig und die Punktart
einstellig.)
• Der Numerierungsbezirk ist bei den übergeordneten Festpunktfeldern die Einteilung der TK 1:25 000 und bei den anderen Punktarten der Blattschnitt der Karte
1:1000. (Da in Berlin der fünfstellige Soldnerblattschnitt benutzt wird, sind im
Gegensatz zur Gauß-Krüger-Numerierung 5 Stellen ausreichend.)
Nachfolgend ist die Punktart in der Festlegung für das Verfahren ALK-Berlin dargestellt.
Inhalt
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Bedeutung
Trigonometrischer Punkt
Aufnahmepunkt
Grenzpunkt
Gebäudepunkt
Topographischer Punkt
Sonstiger Punkt / Zwischenpunkt
übergeordneter Lagefestpunkt
Aufnahmehöhenfestpunkt
Schwerepunkt
Nivellementspunkt
• Nicht in allen Ländern ist die Punktart Bestandteil des Punktkennzeichens. (In
Berlin ist früher noch eine Unterscheidung nach Punktnummernbereichen für unterschiedliche Punktarten vorgenommen worden.)
• Punktnummernbereiche für unterschiedliche Punktarten im
Punktart
Punktnummernbereich
Gebäudepunkt
1 bis 59999
Grenzpunkt
1 bis 59999
topographischer Punkt
1 bis 59999
Schwerepunkt
89001 bis 89999
Aufnahmehöhenfestpunkt
60001 bis 69999
Übergeordneter Höhenfestpunkt 80001 bis 88999
Aufnahmelagefestpunkt
70001 bis 79999
Übergeordneter Lagefestpunkt
90001 bis 99999
Land Berlin:
Vorschrift
keine
keine
keine
Rundschreiben
AV Höhefestpunktfeld
AV Höhefestpunktfeld
AV Lagefestpunktfeld
AV Lagefestpunktfeld
• Bis auf die Gebäudepunkte und die topographischen Punkte weisen die Punkte
keine natürlichen Vermarkungen auf.
−→ Sie müssen durch Steine oder Rohre künstlich vermarkt werden!
• in Abhängigkeit von der Bedeutung der Punkte unterschiedlich sichere und aufwendige Vermarkungen
– bei trigonometrischen Punkten mit Granitpfeilern und untenlegten Platten
27
– auch übergeordnete Höhenfestpunkte werden durch sehr tief gehende Rohre
bzw. Pfeiler sehr aufwendig vermarkt
– Aufnahmelagefestpunkte sind genauso wie die Grenzpunkte durch Steine oder
durch Rohre vermarkt (eventuell auch noch Untervermarkungen)
– Aufnahmehöhenfestpunkte sind in urbanen Gebieten meistens durch Mauerbolzen vermarkt
• die Festpunkte sollten auch von großen Entfernungen einsehbar und gut zugänglich
sein
• Die Punkte sind einzumessen! (für die Kontrolle von Lageänderungen sind Maße
zu topographischen Gegenständen oder zu Hilfspunkten erforderlich)
Einmessungen werden in Vermessungsvordrucken8 protokolliert! (kleine Skizze;
Zahlenwerte der Such- und Kontrollmaße; Koordinatenwerte oder Höhe; bei Lagefestpunkten Strecken und Richtungen zu benachbarten Festpunkten; Punktkennzeichen)
Bei der Nutzung von Festpunkten für den Anschluss an das Lage- oder Höhenfestpunktfeld sind wenigstens so viele Kontrollmaße zu messen, dass sichergestellt wird, dass der
Festpunkt keine Lage- oder Höhenänderung erfahren hat. Sollte eine Änderung nachgewiesen werden, so ist die zuständige Vermessungsdienststelle zu benachrichtigen.
⇒ Mit dem Einsatz satellitengestützter GPS-Verfahren zur absoluten Positionierung
werden die Festpunktfelder an Bedeutung verlieren und zukünftig nicht mehr
flächendeckend durch vermarkte Punkte vorhanden sein.
3.6
Registrierung von Vermessungszahlen, Vermessungsrisse
• früher fast ausschließlich manuell in Vermessungsvordrucken9
Nachtteil: es traten leicht Übertragungsfehler auf, Übertragung sehr arbeitsintensiv!
• Ablösung durch den DV-gestützten Datenfluss
−→ Erfassung der Zahlenwerte im Felde automatisch und Übertragung zu
Auswerteprogrammen DV-gestützt (z.B. selbstregistrierenden Tachymeter mit
Datenfluss bis zu geodätischen Berechnungen und von dort weiter über Punktdatei
bis zur ALK)
• Neben der Erfassung der Zahlenwerte: graphische Darstellung der Vermessung im
Feld −→ Vermessungsriss (DIN 18 702)
Diese graphischen Darstellungen haben auch mit der Einführung der selbstregistrierenden Tachymeter ihre Bedeutung nicht verloren, da auch in diesem Fall
8
In Berlin wird der Vermessungsvordruck 39 im Format A6 und der Vordruck 49 im Format A4
benutzt. Die Anzahl und die Genauigkeit der Kontrollmaße ist in den entsprechenden Vorschriften
geregelt.
9
Z.B. Vordrucke für: Horizontal- und Vertikalwinkelmessung, Orthogonalaufnahme, Polygonierung,
Streckenmessung, geometrisches Nivellement
4 FEHLERLEHRE
28
die Vermessung zusammenhängend dargestellt werden muss! Erst beim Einsatz
grafischer Feldrechner kann sich das ändern.
4
Fehlerlehre
• bei Messungen jedweder Art sind Ungenauigkeiten unvermeidbar
(Mängel der Messgeräte, Unvollkommenheit der menschlichen Sinne)
• Bei der Auswertung von Messungen ergeben sich zwei Aufgaben:
– Ableitung einer möglichst guten Näherung für den wahren Wert aus den
Beobachtungen
– Ableitung von Genauigkeitsmaßen für die Beobachtungen und der ermittelten
Größe
4.1
Fehlerarten und Begriffe
• grobe Fehler sind Irrtümer (grob fehlerhafte Ablesungen, Zielverwechslungen u.ä.)
Als grob unrichtig erkannte Messwerte dürfen im Messprotokoll berichtigt werden. Aber keine
Abänderung auf den letzten Stellen der Messwerte!
Das Streichen von nicht passenden“ Messwerten aus einer Reihe hat i.d.R. zu unterbleiben.
”
• Elementarfehler sind die elementaren Fehlereinflüsse, die bei einem Messvorgang
auftreten können:
instrumentelle: Exzentrizitäten; Spiel; Dejustierungen; lang-, mittel- und
kurzperiodische Teilungsfehler; Rundungsfehler bei der
Ablesung; usw.
physiologische: Sehschärfe; Ermüdung; Beleuchtungseinflüsse; usw.
persönliche:
Bevorzugung bestimmter Interpolationsfälle; asymmetrische
Koinzidenzeinstellung; usw.
äußere:
Stativ-(Pfeiler-)drehung durch Sonneneinstrahlung;
Refraktion; usw.
• systematische Fehler wirken regelmäßig (oft nach erkennbaren Gesetzen)
4 FEHLERLEHRE
29
• zufällige Fehler tritt regellos auf (nicht vorhersagbar)
Summe aller wirkenden Elementarfehler (nach Ausscheiden grober und systematischer Fehler)
Es lassen sich aber Regeln über die Häufigkeit seines Auftretens angeben.
• Im Sinne der mathematischen Statistik können Messungen als Zufallsereignisse
(Zufallsprozesse) betrachtet werden. Die erhaltene Maßzahl ist entsprechend eine
Zufallsgröße (stochastische Größe) mit einem zufälligen Fehler.
Annahme:
beliebig viele Beobachtungen unter gleichen Messbedingungen
sind möglich
• das mathematische Modell beschreibt die Beziehungen der Zufallsgrößen zueinander mathematisch.10
Ziel sollte es sein, das mathematisches Modell so zu wählen, dass die Modellfehler
im Rahmen der Aufgabenstellung ohne bzw. von geringer Bedeutung sind.
• der wahrer Fehler ε ist die Differenz zwischen Messwert und wahrem Wert (IstSoll); er ist normalerweise nicht zugänglich, da der wahre Wert meist nicht bekannt
ist
• die Verbesserung ist die Differenz zwischen wahrem Wert und Messwert (Soll-Ist)
• die scheinbare Verbesserung v ist die Differenz zwischen Mittelwert und
Messwert vi = x − xi
4.2
Häufigkeitsverteilung
• geodätischen Beobachtungen verhalten sich nach dem von C. F. Gauß ermittelten
und nach ihm benannten Fehlergesetz11
(Auf den mathematischen Beweis wird hier verzichtet!)
• Jedem Ereignis A ist die Wahrscheinlichkeit P (A) zugeordnet. (Sie liegt zwischen
0 für das unmögliche Ereignis und 1 (100%) für das sichere Ereignis.)
0 ≤ P (A) ≤ 1
• die Wahrscheinlichkeit zufälliger Fehler unterliegt der Normalverteilung
10
Je nach der Wahl des mathematischen Modells kann die Übereinstimmung mit der Wirklichkeit
besser oder schlechter sein. Man spricht von Modellfehlern oder von systematischen Fehlern. Diese
Fehler lassen sich durch eine Verbesserung des Modells minimieren/verringern.
11
Z.B. Ergebnis empirischer Untersuchungen zu den Häufigkeitsverteilungen der wahren Fehler.
4 FEHLERLEHRE
30
Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung (Gauß’sche Glockenkurve):
0,4
ϕ(x) =
1
√
sx 2π
e
−(E(x)−x)2
2s2
x
0,2
(1)
E(x) wahrer Wert oder Erwartungswert und
sx
Standardabweichung (bzw. Varianz s2x )
E(x)-sx
E(x)
E(x)+sx
(normierte) Wahrscheinlichkeitsdichte
R∞
ϕ(x)dx (Fläche
Das Integral ∞
unter der Kurve) ist =1
• Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Zufallsveränderlichen im Bereich
zwischen a und b entspricht
der Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
R
zwischen a und b ( ab ϕ(x)dx).
• Durch Integration von ϕ(x) ergibt sich die Verteilungsfunktion12 der Normalverteilung. Es kann die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Zufallsveränderlichen
berechnet werden.
Φ(x) =
Z
∞
∞
ϕ(x)dx =
1
√
sx 2π
Z
∞
∞
e
−(E(x)−x)2
2s2
x
dx
Beispiele für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten P :
Wa,b =
PE(x)−sx ,E(x)+sx =
PE(x)−2sx ,E(x)+2sx =
PE(x)−3sx ,E(x)+3sx =
Φ(b) − Φ(a)
Φ(E(x) + sx ) − Φ(E(x) − sx ) = 0, 6826 = 68, 26%
Φ(E(x) + 2sx ) − Φ(E(x) − 2sx ) = 0, 9544 = 95, 44%
Φ(E(x) + 3sx ) − Φ(E(x) − 3sx ) = 0, 9974 = 99, 74%
• Die Werte für Φ(x) können Statistikprogrammen oder Tafeln entnommen werden13 .
4.3
Streuungsmaße
• Standardabweichung: wichtigstes Streuungsmaß mit der Definition
und aus scheinbaren Verbesserungen
aus wahren Fehlern
v
s
u
n
u1 X
[εε]
σx = t
ε2 =
n i=1
n
(2)
v
u
u
sx = t
n
1 X
v2 =
n − 1 i=1
s
[vv]
n−1
(3)
12
Funktion, welche für jedes x die Wahrscheinlichkeit P angibt, dass eine Zufallsgröße X nicht größer
als x ist.
13
Bei der Ermittlung der Werte ist jedoch darauf zu achten, dass mit E(x) und sx die wahren Werte
gegeben sein müssen und nicht die zugehörigen Schätzungen.
4 FEHLERLEHRE
31
• die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung s2 ; Sie ist allgemein definiert
als
s2x = E(x2 ) − E(x)2 = E (x − E(x))2 = E(ε2 )
(4)
• andere Streuungsmaße (in der Geodäsie nicht gebräuchlich)
wahrscheinlicher Fehler ρ (der Fehler,
dem eine Wahrscheinlichkeit von 50%
zugeordnet ist)
Durchschnittlicher Fehler τ
τ=
|ε|
n
Φ(E(x) + ρ) − Φ(E(x) − ρ) = 0, 5
Für unabhängige normalverteilte Zufallsveränderliche ergeben sich folgende Zusammenhänge:
τ = 0, 80s = 1, 18ρ
s = 1, 25τ = 1, 47ρ
ρ = 0, 85τ = 0, 67s
• Da im Normalfall nur eine begrenzte Anzahl von Stichproben (Messungen) aus der
Grundgesamtheit (aller möglichen Messungen) zur Verfügung stehen, müssen für
den Erwartungswert und die Varianz Schätzungen ermittelt werden.
Für die Schätzungen sind drei Kriterien maßgebend:
1. konsistente Schätzung = passende Schätzung
Die Schätzungen sollen so vorgenommen werden, dass für eine unendlich große Anzahl die Schätzungen
in den wahren Wert übergehen.
2. erwartungstreue Schätzung
Die Erwartungstreue der Stichprobe soll auf die Schätzung übergehen.
3. effiziente Schätzung = wirksame Schätzung
Die Abweichungen des Schätzwertes von der Stichprobe (Messung) sollen zum Minimum werden. Diese
Forderung ist gleichbedeutend mit der Forderung der Ausgleichungsrechnung als Methode der kleinsten
”
Quadrate“.
P
(mit vi = X −li Verbesserung (Residuum) als Differenz zwischen Schätzwert und Beobachtung
vi vi →
M inimum)
4.4
Fehlergrenzen und Vertrauensbereich
In vielen Vorschriften des Vermessungswesens sind Fehlergrenzen für geodätische Messungen angegeben. Diese Fehlergrenzen orientieren sich an den Genauigkeitanforderungen für das Ergebnis der Vermessungen.
Fehlergrenzen werden für direkte Angaben des Ergebnisses oder für abgeleitete Größen
der einzelnen Messung angegeben. Z.B.:
- für eine direkte Angabe:
in der Ausführungsvorschrift für die Herstellung des Lagefestpunktfeldes“ des Lan”
des Berlin die Fehlergrenze für die Standardabweichung von Aufnahmefestpunkten
von weniger als ±15mm
4 FEHLERLEHRE
32
- für eine abgeleitete Größe:
in der Vorläufigen Ausführungsvorschriften für die Grenzvermessung im erneuer”
ten Lagefestpunktfeld und über das Koordinatenkataster“ die zulässige Differenz
zwischen zwei Streckenmessungen zu d[m] = 1/3(0, 05 + 0, 0003 · s + 0, 008s1/2 );
Streckenlänge s in Metern.
Bei Kenntnis der Verteilungsfunktion einer Zufallsveränderlichen kann aus den bekannten Werten der Wahrscheinlichkeitsdichte das Vertrauensintervall (der Vertrauensbereich
oder Konfidenzbereich) abgeleitet werden.
• Der Vertrauensbereich überdeckt mit einer Wahrscheinlichkeit P (von z.B. 95%)
den wahren Wert.
Oder: Der wahre Wert liegt mit der Wahrscheinlichkeit P zwischen der unteren
”
Cu und oberen Grenze Co des Vertrauensbereiches“
• Berechnung der Grenzen des Vertrauensbereiches mit Hilfe der sog. Quantilen uS
(Tafeln!):
Cu = E(x) − uS · σ
Co = E(x) + uS · σ
Quantilen der Normalverteilung:
statistische Sicherheit S
Quantil uS
50
0,68
68,3
1,00
90
1,64
95 95,45
1,96 2,00
99 99,73
2,58 3,00
• Beispiel:
Standardabweichung
σx = ±2 cm
Erwartungswert
E(x) = x = 10 m
Vertrauensintervall für S = 95% Cu = 10 − 1, 96 · 0, 02 und Co = 10 + 1, 96 · 0, 02
P (9, 96m ≤ E(x) ≤ 10, 04m) = 95%
• Obige Beziehungen gelten nur für bekannte Standardabweichung σ!
in der Praxis meist nur Schätzung s (empirische Standardabweichung aus n
Messwerten)
=⇒ es muss für die Berechnung der Grenzen Cu und Co anstelle der Normalverteilung die t-Verteilung (Student-Verteilung) genutzt werden
Auswahl von Quantilen der t-Verteilung:
statistische Sicherheit S 68,3
n = 2; f = 1
1,84
n = 3; f = 2
1,32
n = 4; f = 3
1,20
n = 6; f = 5
1,11
n = 11; f = 10
1,05
n = 21; f = 20
1,02
n = 31; f = 30
1,02
n = ∞; f = ∞
1,00
(f ist Anzahl der überschüssigen
90
95
98
99
99,9
6,31 12,71 31,80 63,66 636,62
2,92 4,30 6,96 9,92 31,60
2,35 3,18 4,54 5,84 12,94
2,02 2,57 3,36 4,03
6,86
1,81 2,23 2,76 3,17
4,58
1,72 2,09 2,53 2,85
3,85
1,70 2,04 2,46 2,75
3,65
1,64 1,96 2,33 2,58
3,29
Beobachtungen =⇒ Freiheitsgrad)
4 FEHLERLEHRE
33
• Beispiel:
Standardabweichung
Freiheitsgrad
Erwartungswert
Vertrauensintervall für S = 95%
4.5
sx = ±2 cm
f =5
E(x) = x = 10 m
Cu = 10 − 2, 57 · 0, 02 und Co = 10 + 2, 57 · 0, 02
P (9, 95m ≤ E(x) ≤ 10, 05m) = 95%
Varianzfortpflanzungsgesetz für lineare Funktionen
Problem: Wie berechnet man die Varianz (bzw. Standardabweichung) einer linearen
Funktion von mehreren Zufallsgrößen (Messwerten), wenn die einzelnen zugehörigen
Standardabweichungen gegeben sind?
• Aus der Definition der Varianz nach Gleichung (4) lässt sich die Varianz einer
linearen Funktion von mehreren Zufallsveränderlichen bestimmen.
Eine lineare Funktion ist allgemein in folgender Form definiert:
F (xi ) = f0 + f1 x1 + f2 x2 + · · · + fn xn
(5)
• Nach der Definition der Varianz (s2x = E ((x − E(x))2 )) ergibt sich die Varianz
der Funktion F (xi ):
s2F = E [F (xi ) − E(F (xi ))]2 =
(6)
f12 E{(x1 − E(x1 ))2 }
+
f1 f2 E{(x1 − E(x1 ))(x2 − E(x2 ))}
+···+
f1 fn E{(x1 − E(x1 ))(xn − E(xn ))}+
f2 f1 E{(x2 − E(x2 ))(x1 − E(x1 ))}
.
..
fn f1 E{(xn − E(xn ))(x1 − E(x1 ))}
+
f22 E{(x2 − E(x2 ))2 }
.
..
fn f2 E{(xn − E(xn ))(x2 − E(x2 ))}
+···+
f2 fn E{(x2 − E(x2 ))(xn − E(xn ))}+
.
..
2
fn E{(xn − E(xn ))2 }
+
+···+
• E{(xi − E(xi ))2 } ist gleich der Varianz der Zufallsvariablen xi
die gemischten Glieder E{(xi − E(xi ))(xj − E(xj ))} für i 6= j sind die sog.
Kovarianzen
• Damit lässt sich in allgemeiner Form wie folgt darstellen:
s2F =
f12 s2x1
+ f1 f2 cov(x1 , x2 ) + · · · + f1 fn cov(x1 , xn )+
f2 f1 cov(x2 , x1 ) +
..
.
f22 s2x2
..
.
+ · · · + f2 fn cov(x2 , xn )+
..
.
fn f1 cov(xn , x1 ) + fn f2 cov(xn , x2 ) + · · · +
fn2 s2xn
(7)
• Bei unabhängigen Beobachtungen werden die Kovarianzen Null und es ergibt sich:
Varianzfortpflanzungsgesetz für lineare Funktionen unabhängiger Zufallsvariablen:
s2F = f12 s2x1 + f22 s2x2 + · · · + fn2 s2xn
(8)
4 FEHLERLEHRE
34
• Beispiele:
– Widerspruch bei der Winkelmessung im ebenen Dreieck:
w = 200gon − α − β − γ
f0 = 200gon; f1 = −1; f2 = −1; f3 = −1
s1 = ±1mgon; s2 = ±2mgon; s3 = ±3mgon
sw = {(1 + 4 + 9)mgon2 }1/2 = ±3, 7mgon
– Arithmetisches Mittel von 3 Streckenmessungen:
S = (s1 + s2 + s3)/3
f0 = 0; f1 = 1/3; f2 = 1/3; f3 = 1/3
s1 = s2 = s3 = ±2cm
sS = {(4 + 4 + 4)/9cm2 }1/2 = ±1, 2cm
4.6
Gewichte
• Das Gewicht ist eine (fingierte) Wiederholungszahl. Es ist folgendermaßen definiert:
s2
(9)
pi = 02
si
• si ist die Standardabweichung der Messgröße xi
• s0 ist die Standardabweichung einer (fiktiven) Messgröße mit dem Gewicht p0 = 1
(sog. Gewichtseinheit)
• Beispiel:
Die Zufallsveränderliche x ist arithmetisches Mittel aus n gleichgenauen Beobachtungen xi
s2
s2
Varianz: s2x = n ni2 = ni
Gewicht: p =
s2i
s2x
• Das Gewicht ist umgekehrt proportional zur Varianz. Wegen der Definition als
Verhältnis von Varianzen können auch nichtganzzahlige Gewichte auftreten.
Beispiel:
Die Zufallsveränderlichen x1 und x2 weisen die Varianzen s1 und s2 auf.
s2
Gewichte: p1 = 1 und p2 = s12 ; mit z.B. s1 = 5mm und s2 = 7mm ergibt sich:
2
25
p2 = 49
= 0, 51
• Das Gewicht wird im Sinne der Statistik als fehlerfreie Größe behandelt und
müssten dementsprechend aus der fehlerfreien Varianz s2i und einer beliebigen
Konstanten s20 berechnet werden.
In der Praxis werden jedoch häufig die Schätzungen für die Varianzen in die Berechnungen der Gewichte eingeführt.
4 FEHLERLEHRE
35
• Eine Beobachtung ist das Ergebnis einer Stichprobe für eine Zufallsveränderliche,
die durch den Erwartungswert und die Standardabweichung definiert ist.
Im Sinne der Ausgleichungsrechnung lassen sich die Modellannahmen im funktionalen und im stochastischen Modell beschreiben. Das stochastische Modell beschreibt
die Genauigkeiten der Zufallsveränderlichen (bekannte Werte oder Schätzungen für
die Standardabweichungen).
4.7
Ausgleichung direkter Beobachtungen gleicher und ungleicher Genauigkeit
• Direkte Beobachtungen liegen vor, wenn die gleiche Größe mehrfach gemessen
(beobachtet) wird.
Z.B. mehrfache Messung einer Strecke (da es dieselbe Strecke ist, ist auch der
Erwartungswert gleich)
Bei der Ausgleichung direkter Beobachtungen liegen Zufallsveränderliche vor, die alle den gleichen Erwartungswert
aufweisen.
• Gleiche Genauigkeit =⇒ Zufallsveränderliche (Messungen) weisen gleiche Varianzen auf
Ungleiche Genauigkeiten =⇒ Zufallsveränderliche (Messungen) weisen unterschiedliche Varianzen auf
Bei direkten Beobachtungen geht man von unabhängigen Zufallsveränderlichen
aus (Kovarianzen =0), d.h. unabhängige Wiederholungen der Messungen
• Nach dem Prinzip der Ausgleichung14 erhält man das einfache bzw. das gewogene
arithmetische Mittel x als Schätzwert für den Erwartungswert aus n unabhängigen
Beobachtungen li .
gewogenes arithmetisches Mittel
einfaches arithmetisches Mittel
x=
x0
li
Pn
i=1 li
n
= x0
Pn
i=1 (li
n
− x0 )
x=
frei wählbarer Näherungswert
Beobachtung i
Pn
i=1 pi li
Pn
i=1 pi
pi
n
= x0
Pn
i=1
pi (li − x0 )
i=1 pi
Pn
(10)
Gewicht der Beobachtung i
Anzahl der Beobachtungen
• Die Schätzung der Standardabweichung einer Beobachtung
bei gleicher Genauigkeit erfolgt wieder nach Gleichung 3:
v
u
u
sx = t
n
1 X
v2 =
n − 1 i=1 i
s
[vv]
n−1
mit
vi = x − li = (x − x0 ) − (li − x0 )
mit den Kontrollen:
n
X
i=1
14
n
X
vi = n·x−
i=1
li = 0
[v] = 0
n
X
vi2
i=1
=
n
X
i=1
2
i=1 li )
Pn
(
li2 −
n
P
Methode der kleinsten Quadrate ( vi vi → M inimum)
[vv] = [ll]−
[l]2
n
4 FEHLERLEHRE
36
• Die Schätzung der Standardabweichung für das arithmetische Mittel ergibt sich
nach dem Varianzfortpflanzungsgesetz:
sx =
s
s22
s2n
s0
s21
+
+
.
.
.
+
=√
2
2
2
n
n
n
n
• Die Schätzung der Standardabweichung einer Beobachtung mit dem Gewicht p = 1
bei ungleicher Genauigkeit:
v
u
u
s0 = t
n
1 X
pi v 2 =
n − 1 i=1 i
s
[pvv]
n−1
mit
vi = x − li = (x − x0 ) − (li − x0 )
und mit der Kontrolle:
n
X
pi vi = [pv] =
i=1
n
X
i=1
pi · x −
n
X
pi li = 0
i=1
• Die Schätzung der Standardabweichung für das allgemeine arithmetische Mittel
ergibt sich wieder nach dem Varianzfortpflanzungsgesetz:
v
u
u
p2 s2
sx = t Pn1 1
p22 s22
p2n s2n
s0
qP
+
Pn
2
2 + . . . + Pn
2 =
n
( i=1 pi )
( i=1 pi )
( i=1 pi )
i=1 pi
Beispiel 1:
Streckenmessung mit Beobachtungen gleicher Genauigkeit:
Arithmetisches Mittel:
x = 203, 156/10 = 20, 3156m
Anzahl der überschüssigen Messungen:
f =n−1=9
Probe für [vv]
2
[vv] = [ll] − [l]n
= 4127, 236164 −
0, 00013040m2
203,1562
n
=
Standardabweichung einer Einzelbeobachtung:
q
= ±3, 8mm
si = 130,40
9
Standardabweichung des Mittelwertes:
= ±1, 2mm
sx = √3,8
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Summe
Messwert
li [m]
20,316
20,309
20,316
20,313
20,318
20,318
20,317
20,318
20,310
20,321
203,156
Verbesserung
vi [mm]
-0,4
6,6
-0,4
2,6
-2,4
-2,4
-1,4
-2,4
5,6
5,4
0,0
vi2
[mm2 ]
0,16
43,56
0,16
6,76
5,76
5,76
1,96
5,76
31,36
29,16
130,40
4 FEHLERLEHRE
37
Beispiel 2:
Allgemeines arithmetisches Mittel eines nivellitisch bestimmten Höhenpunktes:
Die Höhe eines Neupunktes ist durch geometrisches Nivellement von 6 Festpunkten aus
bestimmt worden. Wegen unterschiedlicher Nivellementswege ergeben sich unterschiedliche Gewichte.
Für die Gewichtswahl kann man von unabhängigen Beobachtungen mit den nachfolgenden Zusammenhängen ausgehen:
Varianz für die Beobachtung i: s2i = m · s2 =
mit m
s2
Li
Z
Li 2
s
2Z
Anzahl der Standpunkte beim Nivellement
gleichbleibende Varianz pro Standpunkt
Nivellementsweg für die Beobachtung i
Zielweite (gleichbleibend)
Gewicht der Beobachtung i: pi =
Festpunkt
1
2
3
4
5
6
Summe:
Höhe
[m]
49,048
51,171
47,398
50,421
50,876
50,002
Höhenuntersch.
[m]
1,266
-0,864
2,904
-0,104
-0,560
0,307
s20
s2i
=
L0
Li
mit L0 = 1km
Höhe des
Neupkts.
[m]
50,314
50,307
50,302
50,317
50,316
50,309
Niv.weg
[km]
2,5
4,0
5,0
0,9
1,0
1,8
Gewicht
pi
pi li
0,4
0,2
0,2
1,1
1,0
0,6
3,5
20,1256
10,0614
10,0604
55,3487
50,3160
30,1854
176,0975
Allgemeines arithmethisches Mittel:
HN =
176, 0975
= 50, 31357 = 50, 314m
3, 5
Standardabweichung einer Beobachtung mit dem Gewicht p = 1:
s0 =
s
66, 857
= ±3, 66mm für p = 1 oder L = 1km
5
Standardabweichung des allgemeines arithmethischen Mittels:
3, 66
= ±1, 96mm
sHN = √
3, 5
Verb.
vi
[mm]
-0,43
6,67
11,57
-3,43
-2,43
4,57
pvi
pvi vi
[mm]
-0,17
1,31
2,31
-3,77
-2,43
2,74
-0,01
[mm]
0,074
8,633
26,773
12,941
5,905
12,531
66,857
4 FEHLERLEHRE
4.8
38
Standardabweichung aus Beobachtungsdifferenzen
• Die Berechnung der Standardabweichung nach
s=
s
[εε]
n
erfordert die Kenntnis der wahren Fehler εi und damit der wahren Werte der Messgrößen.
Diese sind i.a. nicht bekannt und es erfolgt daher die Berechnung mit den wahrscheinlichsten Werten (z.B. arithmetisches Mittel):
s=
s
[vv]
n−1
bzw.
s=
s
[pvv]
n−1
• Eine Ausnahme stellen die sog. Doppelmessungen dar:
Es liegen paarweise Beobachtungen vor, die paarweise die gleichen Erwartungswerte
haben.
Der Sollwert der Differenz zweier zusammengehöriger Messungen ist Null!
i
Ergebnis der 1. Messung L′i
Ergebnis der 2. Messung L′′i
Differenz di = L′i − L′′i
1
L′1
L′′1
L′1 − L′′1
2
L′2
L′′2
L′2 − L′′2
...
...
...
Der wahre Fehler lautet dann: −εi = (L′i − L′′i ) − 0 = di
n
L′n
L′′n
L′n − L′′n
• Die Standardabweichung (der Differenz) aus Doppelmessungen ergibt sich damit
zu:
s
[dd]
sd =
n
• Die Anwendung des Varianzfortpflanzungsgesetzes liefert für die Standardabweichung eines Messwertes:
s2d = (+1)2 · s′2 + (−1)2 · s′′2 = 2s2
s=
s
[dd]
2n
bzw. für ungleichgewichtige Messungen
s=
s
[pdd]
2n
• Für den Mittelwert aus den zusammengehörigen Einzelmessungen ergibt sich ebenfalls nach dem Varianzfortpflanzungsgesetz:
s
s= √
2
4 FEHLERLEHRE
39
Beispiel 1: Brechungswinkel in einem Polygonzug
Nr.
1
2
3
4
5
Brechungswinkel
[gon]
1. Satz
2. Satz
206,2347 206,2342
213,6582 213,6596
198,8846 198,8833
201,1005 201,0984
204,5869 204,5887
Differenz
[mgon]
di
0,5
-1,4
1,3
2,1
-1,8
0,7
n = 5 Doppelmessungen
gleicher Genauigkeit
Standardabweichung
Messwertes:
[mgon2 ]
di di
0,25
1,96
1,69
4,41
3,24
11,55
s=
s
eines
11, 55
= ±1, 07mgon
2·5
Standardabweichung des Mittels
aus zwei Messungen:
1, 07
s = √ = ±0, 76mgon
2
Beispiel 2: Doppelnivellement
n = 5 Doppelmessungen ungleicher Genauigkeit; als Gewicht wird angesetzt: pi =
Nr.
Strecke
si [km]
1
2
3
4
5
Höhenunterschied
∆h [m]
Hinniv. Rückniv
6,471
-6,468
7,035
-7,039
-2,498
2,500
5,604
-5,608
-0,490
0,485
2,3
3,0
1,9
3,4
2,5
Differenz
[mm]
di
+3
-4
+2
-4
-5
1
si
[mm2 ]
di di
si
3,9
5,3
2,1
4,7
10,0
26,0
Standardabweichung eines Messwertes mit dem Gewicht p = 1:
(Standardabweichung eines einfachen Nivellements von s0 =1 km Länge)
s0 =
s
26, 0
= ±1, 6mm
2·5
Standardabweichung des Mittels aus Hin- und Rücknivellement: (Standardabweichung
eines doppelten Nivellements von s0 =1 km Länge)
1, 6
s1 km = √ = ±1, 1mm
2
Standardabweichungen der einfach gemessenen Höhenunterschiede:
Nr. i
si [mm]
1
±2,4
2
±2,8
3
±2,2
4
±3,0
5
±2,5
Standardabweichungen der doppelt gemessenen Höhenunterschiede:
Nr. i
si [mm]
1
±1,7
2
±2,0
3
±1,6
4
±2,1
5
±1,7
4 FEHLERLEHRE
40
• Wenn die Messungen einen konstanten (systematischen) Fehleranteil beinhalten,
können die Formeln für Doppelmessungen nicht verwendet werden (Erwartungswert nicht Null!).
An die Stelle des bekannten wahren Wertes für die Differenz (d = 0) tritt der
wahrscheinlichste Wert (Mittelwert aus zwei Messungen).
• Kriterium für die Möglichkeit des Vorhandenseins eines konstanten Anteils:
a) gleichgewichtige Messungen:
d ≥ sd
[d]2 ≥ [dd]
=⇒
b) ungleichgewichtige Messungen:
d ≥ sd
n · [pd]2
≥ [pdd]
[p]
=⇒
Beispiel 3: Streckenmessung mit Stahlmessbändern
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Streckenmessung
[m]
1. Messg. 2. Messg.
t1 = 30◦ C t2 = 15◦ C
141,367
141,399
168,439
168,449
163,672
163,692
144,458
144,493
168,123
168,160
154,345
154,368
142,463
142,491
164,768
164,776
168,946
168,967
Differenz
[mm]
di
32
10
20
35
37
23
28
8
21
214
Das Kriterium für das Vorhandensein eines konstanten systematischen Anteils
ist erfüllt:
2142 > 5936
Schätzung des konstanten systematischen Anteils:
214
d=
= 24mm
9
Standardabweichung einer Differenz:
sd =
s
848
= ±10, 3mm
9−1
[mm ]
di di
Verbesserung
[mm]
v i = d − di
[mm2 ]
vi vi
1024
100
400
1225
1396
529
784
64
441
5936
-8
14
4
-11
-13
1
-4
16
3
2
64
196
16
121
169
1
16
256
9
848
2
Standardabweichung des konstanten systematischen Anteils:
10, 3
sd = √ =
9
s
848
= ±3mm
9 · (9 − 1)
Standardabweichung einer einmal gemessenen Strecke:
10, 3
ss = √ = ±7mm
2
Standardabweichung des Mittels aus zwei
Messungen:
10, 3
ss = √ = ±5mm
4
5 HERSTELLUNG VON LAGEPLÄNEN (KARTIERUNGEN)
5
41
Herstellung von Lageplänen (Kartierungen)
• Gegenstand: Rahmenkartenwerke, kommunale Karten und Pläne, andere Kartenwerke
• Rahmenkartenwerke (z.B. die Karte 1:1000 von Berlin) weisen einheitliche Darstellungsform auf
kommunale Kartenwerke und andere Kartenwerke nicht (Projektbezogene Vorschriften)
• Mit dem zunehmenden Einsatz der elektronischen Datenverarbeitung auch im Bereich der Karten- und Planherstellung werden auch die kommunalen Planwerke
einheitlicher.
5.1
Übersicht über großmaßstäbige Karten und Pläne
• Im Vermessungswesen wird zwischen groß- und kleinmaßstäbigen Karten unterschieden
Ursache: Darstellungsmöglichkeiten in den einzelnen Maßstabsbereichen
– In kleinmaßstäbigen Karten muss auf die Darstellung von Einzelobjekten verzichtet werden. Objekte sind durch Generalisierung vereinfacht darzustellen.
– Darstellung von Eigentumsverhältnissen ist nur im großmaßstäbigen Bereich
möglich.
• In Ballungsräumen (z.B. in der Stadt Berlin) liegt ein Kartenwerk im Maßstab
1:1000 vor
- eigenständige Grundkarte
- Als Flurkarte −→ Eigentumsverhältnisse
- Als Stadtkarte −→ Grundlage für weitere Spezialkartenwerke
• Ausgestaltung dieses Kartenwerkes ist im Fall der Flurkarte als Teil des Katasters
durch Katastervorschriften geregelt
und für den Fall der Stadtkarte stark an diese Vorschriften angelehnt.
• Kartenschnitt der Karten im Maßstab 1:1000 ist meistens lokal orientiert
(in Berlin ist ein Kartenblatt 1:1000 800 · 600m groß und am Berliner Koordinatenursprung, dem Müggelberg, orientiert.
Bezeichnungsweise der Kartenblätter15 :
- enthält in der ersten Stelle den Koordinatenquadranten
- in den nächsten beiden Stellen die mit Null beginnende Numerierung in NordSüd- bzw. Süd-Nord-Richtung
- in den letzten beiden Stellen die mit Eins beginnende Numerierung in Ost-WestRichtung bzw. West-Ost-Richtung.
15
was bei den Punktkennzeichen auch dem Numerierungsbezirk entspricht
42
• Beispiel:
Y = 38534,213m; X = 8956,256m; Lagestatus = 500 (Soldner-Berlin)
Numerierungsbezirk = 30102
• Berliner Blattschnitt ist Ausnahme! (wegen des Einsatzes von SoldnerKoordinaten)
Sonst wird ein Blattschnitt von 1*1km benutzt
Verwendung der jeweils ersten vier Stellen der Koordinatenwerte der Gauß-KrügerKoordinaten als Numerierungsbezirk (auch im Punktkennzeichen).
• Beispiel:
Rechts = 5405129,301m; Hoch = 5809199,713m; Lagestatus = 100 (GaußKrüger-Koordinaten auf dem Bessel-Ellipsoid)
Numerierungsbezirk = 54055809 oder = 54580509 (in den einzelnen Bundesländern unterschiedlich)
• In weiten Teilen der Bundesrepublik auch in Berlin: Aufbau der ALK
(Automatisierte Liegenschafts Karte)
−→ Kartenwerke nicht mehr nur analog (Papierform) sondern auch (und in Zukunft ausschließlich) in digitaler Form
• für das digitale Kartenwerk sind besondere Vorschriften notwendig. (für Datenweitergabe in digitaler Form; für die Darstellung):
- zusammengehörige Darstellungsteile (wie z. B. Flurstücke, Landesgrenzen oder
Gebäude) werden als Objekte betrachtet.
- für Objekte sind beschreibende Informationen nötig, da sie nur in der graphischen
Darstellung aber nicht im digitalen Datenbestand erkannt werden können.
Der Aufbau von Objekten und die notwendigen Informationen sind im Objektabbildungskatalog (OBAK) beschrieben. Bundesweit liegt ein Muster für diesen Objektabbildungskatalog vor. Für Berlin → spezieller, auf die Berliner Verhältnisse abgestimmter Objektabbildungskatalog Berlin (OBAK Bln). Da sich in DV-Anlagen
nicht alle Angaben in Klarschrift (z.B. ausführlicher Text) beschreiben lassen, die
Beschreibung aber eindeutig sein soll, werden viele Angaben verschlüsselt.
In einem Objektschlüsselkatalog sind die Bedeutungen der Schlüssel festgelegt.
(Auch für diesen Katalog steht ein bundeseinheitliches Muster und für Berlin der
OSKA Bln bereit.)
Die ALK ist folienorientiert als Zusammenfassung gleicher Objekttypen aufgebaut.
• Beispiel:
Nachfolgend ist für eine Gebäude die Objektbildung und die Verschlüsselung
dargestellt:
Beschreibung des Objekts (Gebäude) durch ein bundeseinheitliches Gebäudekennzeichen:
hier −→ 11000023—34567—0016—000A—001
11000023
34567
0016 000A 001
Gemeinde
Straßen- Haus- ZuLaufende Nummer des Gebäudes
(Land bis Bezirk) schlüssel nr.
satz bei mehreren Geb. auf dem Flurst.
• Beschreibung des Gebäudes erfolgt in digitaler, nichtredundanter Form
43
• Symbole und zeichnerischen Ausgestaltungen werden anhand der Schlüsselzahlen
durch das graphische Softwaresystem erzeugt (nicht durch Zeichenelemente im
Datenbestand hinterlegt)
Beispiel: die Schraffur des obigen Gebäudes, das aus der Information für ein Wohngebäude in der Ausrichtung und dem Abstand sowie der Strichstärke von der Graphiksoftware automatisch erzeugt wird.
Die Ausgestaltung für diese Systeme ist in Zeichenvorschriften Automation
(ZVAut) wieder bundeseinheitlich und speziell für Berlin in der ZVAut Bln geregelt.
• Digitale Weitergabe von Informationen −→ bundeseinheitlich definierte
Einheitliche Datenbankschnittstelle (EDBS)
Diese Schnittstelle ist unabhängig von der eingesetzten Software und ermöglicht
den Austausch von Grafikinformation und logischer Information zu den Objekten
und Grafikelementen.
• Auch im Vermessungsamt werden Karten und Pläne hergestellt (Fachanwendungen).
Im kommunalen Bereich
Karten
Lagepläne, Fluchtlinienpläne, Straßenbestandspläne
und bezirkliche Sonderkarten (Radkarten und
Bezirkskarten)
orientieren sich meist an den Kartengrunddaten im Maßstab
1:1000
Lagepläne orientieren sich im Maßstab und der Ausgestaltung am
Verwendungszweck.
Im Lageplan (meist in den Maßstäben 1:250, 1:500 oder 1:1000
hergestellt) ist ein Zusammenhang mit dem Koordinatensystem in
Form eines Rahmens mit Koordinatenangaben herzustellen
zeichnerische Ausgestaltung −→ DIN 18 702.
5.2
Zeichenträger und Materialien
• für Baupläne und sonstige einfache Zeichnungen von begrenzter Lebensdauer −→
transparentes Papier
• für Zeichnungen mit größere Anforderungen an Maßhaltigkeit und Lebensdauer
−→ maßbeständige transparente Folie, Zeichenkarton
• bei höchsten Anforderungen −→ Zeichenkarton mit Aluminiumeinlage.
Maßhaltig und transparent sind Folien auf PVC-Basis (z.B. Astralon), auf PolykarbonatBasis (z.B. Pokalon) und auf Polyester-Basis (z. B. Hostaplan oder Saphir PE).
Damit die Zeichnungen auf den Folien haften, muss eine Spezialtusche verwendet werden.
Eine andere Methode ist die Gravur in eine auf einem maßhaltigen Träger (Glas, Kunststoffolie) aufgetragene Schicht.
5.3
44
Herstellung von Karten und Plänen
Kartierung per Hand (nur noch selten):
• Handwerkszeug für kleinere Reinzeichnungen auf Karton oder Folie:
- Anlegemaßstab
- Tuschefüller und/bzw. eine Zeichennadel
- gutes Stahllineal
- zwei Zeichendreiecke (aus Kunststoff)
(Es gibt in zahlreichen Ausführungen Kleinkartiergeräte, die eine schärfere Einstellung und Markierung der abzusetzenden Punkte und Maße ermöglichen.)
• Bei sorgfältiger Arbeit lassen sich mit diesem Instrumentarium Genauigkeiten von
≤ ±0,2mm erreichen (entspricht im Maßstab 1:250 ±0,05m; im Maßstab 1:500
±0,10m; im Maßstab 1:1000 ±0,20m in der Örtlichkeit)
• Auszeichnung und die Beschriftung: =⇒DIN 18 702
Die wichtigsten in dieser Norm festgehaltenen Regeln sind:
– Reinzeichnung/Plot in schwarzer Tusche (um die Vervielfältigung zu erleichtern)
– Eigentumsgrenzen werden mit Strichen von 0,3mm Stärke, Flurgrenzen und
Gebäudeumrisse mit etwas feinerer Strichstärke gezeichnet
– Wohngebäude und öffentliche Gebäude werden unter 50 gon Neigung zu den
Begrenzungslinien, Wirtschaftsgebäude parallel zur kürzeren Seite schraffiert
– Wichtige Messungspunkte werden durch einen Kreis mit beigeschriebener
Punktnummer, die Kreuzungspunkte des Quadratnetzes durch kleine Kreuze
dargestellt
– Gemeinde- und Flurnamen werden in senkrechter, Gebäudebezeichnungen
und Punktnummern in rechtsgeneigter Schrift parallel zum unteren Blattrand
geschrieben. Wegenamen werden in rechtsgeneigter, Gewässernamen in linksgeneigter Schrift in die Laufrichtung gesetzt. Die Größe der Schrift soll der
Bedeutung des Gegenstandes entsprechen.
Meist werden anstelle der manuellen Erstellung von Plänen und Karten EDV-Programme
zur Erstellung eingesetzt (z.B. Geograf, BAV-GRAPH, SICAD-DIGSY oder AutoCAD).
Diese Programme wie können auch zur Konstruktion über die aufgenommenen Messungselemente benutzt werden oder es können direkt die berechneten Koordinaten zum
Aufbau des Planes oder der Karte benutzt werden. Werkzeuge zur Konstruktion eines
Rahmens und der Beschriftung stehen direkt in der Software zur Verfügung.
Die Sicherung auf maßhaltigen Zeichenträgern kann entfallen, da die Zeichnungen DVgestützt gesichert werden können. Die analoge Bereitstellung der Zeichnungen erfolgt
über Plotter (bis hin zu Präzisionszeichenanlagen).
6 EINFACHE ABSTECKUNGEN
6
45
Einfache Absteckungen
Absteckung: Übertragung von projektierten Daten (Koordinaten) in die Örtlichkeit.
Als Absteckungsverfahren kommen wie bei den Aufnahmeverfahren (Abschnitt 3.4) das
Rechtwinkelverfahren (Orthogonalaufnahme, Koordinatenverfahren), das Einbindeverfahren und hauptsächlich das Polarverfahren zum Einsatz.
Die ersten beiden Verfahren werden (wurden!) mit Streckenmessbändern und Rechtwinkelprismen durchgeführt.
Das Polarverfahren wird heute mit elektronischen Tachymetern durchgeführt (Streckenbestimmung und Horizontal- und Vertikalwinkelmessung mit ein und demselben Gerät;
selten auch mit dem Theodolit und Messbändern).
6.1
Gebäudeabsteckungen
Bei kleineren Gebäuden gelegentlich noch Rechtwinkelverfahren und Einbindeverfahren
Da bei der Planung von Gebäuden die Abstände zu den Grenzen, die Lage innerhalb des Flurstücks
und die Größe des Gebäudes die beschreibenden Größen der Absteckung darstellen, können diese Maße
direkt zur Absteckung des Gebäudes nach den beiden obigen Verfahren benutzt werden.
C
D
15,00
5,00
0,00
B
A
22,00
5,00
0,00
Beispiel:
Abzustecken ist ein rechtwinkeliges
Gebäude mit den Außenmaßen
10m*17m. Die Gebäudefront soll
parallel zur Flurstücksgrenze AB
und möglichst nahe zu ihr und
zur Grenze AC liegen und zu allen
Grenzen mindestens 5m Abstand
aufweisen.
Lösungsmöglichkeit mittels Absteckung nach dem Einbindeverfahren:
- Die untere Einbindung des Gebäudes beginnt mit 0, 00m auf der Grenze AB,
weist am Gebäude die Maße 5, 00m und 22, 00m auf und schneidet die Ordinate
unter 5, 00m Abstand zur Grenze AB.
- Die obere Einbindung schneidet die Ordinate unter 15, 00m. Sie beginnt mit dem
Maß 0, 00m auf der Grenze AC.
- Die Schnittpunktsmaße mit der Grenze AC müssen aus deren Neigung ermittelt
werden. Der Abstand der Ordinate zum Gebäude entspricht dem auf der unteren
Einbindung.
- Zur Komtrolle lassen sich nach der Absteckung die Diagonalen messen und gegenrechnen (in diesem Fall also für das abzusteckende Gebäude).
6.2
46
Absteckung von Kreisbögen (kleine Radien)
Kreisbögen werden nur in einzelnen Punkten abgesteckt. Dabei werden nach den
nachfolgenden Grundgleichungen wenige Hauptpunkte bestimmt. Zwischen diesen
werden dann Zwischen- oder Kleinpunkte nach einfachen Verfahren eingeschaltet.
6.2.1
Grundlagen der Kreisbogenabsteckung
T
F
"
$
h "/2
s/2
h
s/2
Abb.: Geometrische Elemente des Kreisbogens
t
S
A
S
E
M
T
H
r
t
s
m
h
β
s/2
A
H
E
r
r
"/2
"
M
6.2.2
$
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Bogenanfang
Scheitel, Bogenmitte
Bogenende
Kreismittelpunkt
Tangentenschnittpunkt
Sehnenmittelpunkt
Radius
Tangente
Sehne
Scheitelabstand
Pfeilhöhe, Scheitelordinate
Tangentenschnittwinkel
Grundgleichungen für die Hauptpunkte eines Kreisbogens
Zentriwinkel α
= 200 gon−β
Tangente T A = t = r · tan α/2
Sehne AE
= s = 2 · r · sin α/2
1
cos α/2
Scheitelabstand T S
= m = TM − r = r ·
Scheitelabzisse AF
= AH = 1/2 · AE = s/2 = r · sin α/2
Scheitelordinate SF
Bogen ASE
−1
= Pfeilhöhe SH = h = r · (1 − cos α/2)
= b=r·
π·α[gon]
200[gon]
gon]
= r · α[
ρ[gon]
Berechnungs- und Absteckverfahren richten sich nach den gegebenen Stücken:
47
• gegeben: Punkt T mit den Richtungen der beiden Tangenten; Radius r
→ Rechenweg:
– Bestimmung des Tangentenschnittwinkels β
– Berechnung von α
– Berechnung aller weiteren Größen über r und α
• gegeben: Punkt T mit den Richtungen der beiden Tangenten und den Längen T A
und T E
→ Rechenweg:
– Bestimmung des Tangentenschnittwinkels β
– Berechnung von r
• gegeben: Die Richtungen der beiden Tangenten; Radius r; Punkt T unzugänglich
→ Rechenweg:
– Bestimmung des Tangentenschnittwinkels β aus einer Hilfsfigur:
T
$
R
e1
ent
g
Tan
H1 T =
R
2
1
H1
H1 H2
sin β
H2
· sin ψ2 und H2 T =
Ta
n
ge
H1 H2
sin β
nte
2
· sin ψ1
β = 200[gon] − ψ1 − ψ2
• gegeben: Punkt T mit den Richtungen der beiden Tangenten; Zwangspunkt K auf
dem Kreisbogen
→ Rechenweg:
– Messung von T L und T K
– Berechnung von LA nach folgender Formel
2
LA = r2 − (r − LK)2 = 2rLK − LK
2
r = T A · tan β/2 = (LT + LA) · tan β/2
2
LA = 2(LT + LA) · tan β/2 · LK − LK
2
48
2
LA = LA · 2LK · tan β/2 + 2LT · LK · tan β/2 − LK
LA1/2 = (LK · tan β/2) ±
q
2
(LK · tan β/2)2 + 2LT · LK · tan β/2 − LK
T A1/2 = T L ± LA
;
2
r1/2 = T A1/2 · tan β/2
T
$
L
t
S
K
A
H
E
r
r
r
"/2
M
"
$
6.2.3
Absteckung von Zwischenpunkten auf dem Kreis
A) gesucht: rechtwinklige Koordinaten bezüglich der Tangente
• gegeben: Hauptpunkte/-elemente des Kreisbogens
→ Koordinatenrechnung:
x
Kreisgleichung für M {0, 0}:
x2 + y 2 = r 2
YK
Kreisgleichung für M {a, b}:
K
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
r
b
Berechnung der Ordinaten y bei vorgegebenen Abzissen x (vgl. Abb.)
√
y = r − r 2 − x2
XK
A
y
b
xK = r·sin
r
!
;
q
yK = r− r2 − x2K
49
B) gesucht: rechtwinklige Koordinaten bezüglich der Tangente mit fester Bogenlänge
b zwischen den Kreispunkten
x
Y3
X3
2T
Y2
s
2T
T
T
T
r
2T
A
;
s = 2r sin ω
y1 = s · sin ω
x2 = s · cos(3ω) y2 = s · sin(3ω)
s
X1
Y1
b
2r
x1 = s · cos ω
s
X2
ω=
r
r
M
x3 = s · cos(5ω) y3 = s · sin(5ω)
..
..
.
.
y
C) gesucht: rechtwinklige Koordinaten bezüglich einer Sehne (z.B. Sehne zwischen
Bogenanfang A und Bogenende E)
x
xK = r · [cos(ω − α/2) − cos α/2]
K
XK
"/2
r
M
6.2.4
y
YK
T
r
r
yK = r · [sin(ω − α/2) − sin α/2]
"
Der Winkel ω ergibt sich aus einer vorgegebenen Bogenlänge zwischen den abzusteckenden Kreisbogenpunkten
∆ω = b/r
Kreisbogenabsteckung ohne Theodolit
• Zur Absteckung von Kreisbögen z.B. bei Wegebauten steht mitunter kein Theodolit
zur Verfügung.
=⇒ der Tangentenschnittwinkel kann nicht direkt gemessen werden.
=⇒ polare Absteckung ist nicht möglich
A) Tangentenrichtungen und Radius sind gegeben
– Absetzen von Parallelen zu den Tangenten im Abstand r; Schnittpunkt ist
M
– Fußpunkte von M auf die Tangenten sind A und E
– Kontrolle: Abstand T A = T E
B) Tangentenrichtungen
50
und
Kreisbogenanfang
T
sind
gegeben
– Messen der Strecke t = T A und absetzen von t auf der zweiten Tangenten → Punkt ist E
nurkreis"
"Sch
– Schnittpunkt der Lote von A und E
aus ergibt M
E
A
r
A
– Kontrolle: Abstand M A = M E
r
– Auf dem mit dem Radius r vom Mittelpunkt M aus gezogenen Schnur”
kreis“, können beliebig viele Zwischenpunkte bestimmt werden.
M
C) Kreismittelpunkt M nicht zugänglich (oder z.B. wegen Bewuchs für Schnurkreis
nicht nutzbar)
– Messung der Tangentenlänge
t = T A = T E und der Sehne
s = AE
T
– Berechnung des Zentriwinkels α
cos α/2 = s/2t
t
h
A
"/2
h
"/2
α = 2 arccos(s/2t)
– Berechnung des Radius r
S
E
s/2
r
−→
r
r
t
=q
s/2
t2 − (s/2)2
→
r=q
t · s/2
t2 − (s/2)2
– Berechnung der Pfeilhöhe h
M
h=r−
q
r2 − (s/2)2
Kontrolle: Aufwinkeln von S auf eine Tangente (Ordinatenlänge= h!)
– Absteckung der Zwischenpunkte des Kreisbogens von der Tangente oder der
Sehne aus
– oder Absteckung mit Pfeilhöhen über der Sehne zwischen
jeweils zwei bereits
q
2
abgesteckten Kreisbogenpunkten (mit hi = r − r − (si /2)2 )
– Wenn s < r/5 Näherungsformel zur Berechnung der Pfeilhöhen möglich
h'
h''
s'/2
s/2
h
h′ ≈ h/4
h′′ ≈ h′ /4
7 FLÄCHENBERECHNUNGEN/FLÄCHENTEILUNGEN
7
51
Flächenberechnungen/Flächenteilungen
Bei Flächenberechnungen können nachfolgende drei Verfahren, die in Abhängigkeit vom
Aufmaß und der geforderten Genauigkeit angewendet werden, unterschieden werden:
• Flächenberechnung aus Maßzahlen
• halbgraphische Flächenberechnung
• graphische Flächenberechnung
7.1
Flächenberechnungen aus Maßzahlen
a) Berechnung über Messungselemente
Flächen werden auf Dreiecke oder Trapeze zurückgeführt; Anwendung der bekannten Flächenberechnungsformeln
h
Dreieck:
h
g
g
1
F = g·h
2
Trapez:
h2
h2
1
F = g · (h1 + h2 )
2
a
g
b
h1
g=a+b
verschränktes Trapez:
1
F = g · (h1 − h2 )
2
h 1 h
h
2
2
h1
Flächenformel nach Heron für Dreiecke (alle drei Seiten gemessen):
F =
q
s(s − a)(s − b)(s − c),
mit s =
a+b+c
2
b) Berechnung über Koordinaten (Gaußsche Flächenformeln)
Nummerierung der Eckpunkte einer Fläche aufeinanderfolgend und rechtsläufig
(bei rechtsläufigem Koordinatensystem)
Vereinbarung: Punkt (n + 1) = Punkt 1 (Wiederholung)
n
n
1X
1X
(xi − xi+1 ) · (yi + yi+1 ) =
(xi + xi+1 ) · (yi+1 − yi )
F =
2 i=1
2 i=1
F =
n
n
1X
1X
xi · (yi+1 − yi−1 ) =
yi · (xi−1 − xi+1 )
2 i=1
2 i=1
52
X
3
y3
x3
x4
4
y4
y2
x2
2
positiver doppelter Flächeninhalt:
2F = (x4 − x1 )(y4 + y1 )
+(x1 − x2 )(y1 + y2 )
+(x2 − x3 )(y2 + y3 )
+(x3 − x4 )(y3 + y4 )
rec
hts
läu
Nu
fige
mm
eri
eru
ng
y1
x1
1
Y
7.2
Grafische Flächenermittlung
Voraussetzung: maßstäblich kartierter Lageplan (Karte,. . . )
Genauigkeit ist von Maßstab und Kartiergenauigkeit abhängig.
7.2.1
Grafische Flächenermittlung mit Anlegemaßstab
• Zerlegung der Gesamtfigur im Lageplan durch Verbinden der Eckpunkte in
Dreiecke (oder Rechtecke bzw. Quadrate)
• Abgreifen der Maße für Grundlinien und Höhen
• Berechnung nach elementaren Formeln
• eventueller Papierverzug in x- (px ) und y-Richtung (py ) muss berücksichtigt werden
F = F ′ · (px · py ) mit px =
7.2.2
xSoll
,
xIst
py =
ySoll
yIst
Flächenermittlung aus Koordinaten, die durch Digitalisierung ermittelt
werden
• Bestimmung der Koordinaten aus einer Kartierung durch Digitalisierung
(⇒ Digitizer)
• Berechnung der Fläche nach Koordinaten (Gaußsche Flächenformeln)
• bei krummlinigen Flächen (z.B. von Höhenlinien umgebene Flächen) ⇒ Bestimmung von Punkten in geeigneten kleinen Abständen
7.3
53
Weitere Möglichkeiten grafischer Flächenermittlung
• Quadratglastafel (veraltet)
– Glastafel mit Millimeter- bzw.
Zentimeterquadratnetz
– streifenweises Anlegen an die
Figur
– Auszählen der Quadrate
– Flächenbestimmung
(unter
Berücksichtigung des Maßstabes)
• Planimeterharfe (veraltet für langgestreckte Flächen)
– Transparent mit Schar von Parallelen im Abstand h
– Anlegen an die Figur
– Messung der Mittellinien mi der
entstehenden Streifen
m
– Flächenbestimmung
(unter
Berücksichtigung
des
Maßstabes und Beachtung
überstehender
Stücke
am
Anfang und Ende)
h
• Polarplanimeter (z.T. noch verwendet)
– mechanisches oder elektronisches Integrationsinstrument, mit dessen Hilfe eine graphische Fläche durch Umfahren der Begrenzungs-linie bestimmt werden
kann
– Anzahl der Umdrehungen einer Integrierrolle wird entweder mechanisch oder
elektronisch bestimmt
– Vorteil: Flächen können beliebige Begrenzungslinien besitzen
– bei modernen elektronischen Geräten
ist eine automatische Berücksichtigung
des Maßstabsfaktors sowie eine Durchschnittsbestimmung bei mehrmaliger
Umfahrung möglich
– Genauigkeit abhängig vom Kartenmaßstab, der Zeichengenauigkeit und der
Genauigkeit bei der Umfahrung der
Flächen
Pol
Messwer
k
Lupe
7.4
54
Flächenteilungen
(siehe auch LV Geodätische Rechenverfahren“)
”
Teilungen von Flurstücken stellen eine der Hauptaufgaben im Kataster dar. Bei Flächenteilungen werden in der Regel zwei Forderungen gestellt:
A) Das abzutrennende Flurstück soll einen bestimmten Flächeninhalt haben.
B) Die neue Grenze soll bestimmte Bedingungen erfüllen:
1. Sie soll eine oder beide alten Grenzen in einem vorgegebenen Verhältnis teilen(Proportionalteilung).
2. Sie soll parallel zu einer alten Grenze sein (Parallelteilung).
3. Sie soll senkrecht auf einer alten Grenze stehen.
4. Sie soll durch einen gegebenen Punkt (oder mehrere gegebene Punkte) verlaufen.
Als Flächenformen für Flurstücke sollen nachfolgend das Dreieck und ein beliebig geformtes Viereck betrachtet werden.
7.4.1
Flächenteilungen im Dreieck
◦ Betrachtung der vier obigen Fälle für das Dreieck
◦ der Flächeninhalt für das abzutrennende Flurstück wird als bekannt vorausgesetzt
I) Proportional- und Parallelteilung im Dreieck
(Im Dreieck entprechen sich die beiden Forderungen der Proportional- und der
Parallelteilung.)
– gegeben: Abzutrennende Fläche F ∗ und die Beschreibung des Dreiecks; hier
die Seiten a, b und c
– gesucht: Grundlinie z und Seitenlinien x und y der abzutrennenden Fläche
Gesamtfläche:
F =
q
s(s − a)(s − b)(s − c) mit s =
a+b+c
2
Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke folgt:
x
a
F*
z
c
y
F∗
x2
y2
z2
= 2 = 2 = 2
F
a
b
c
b
F
Lösung:
s
F∗
x=a
F
s
F∗
y=b
F
z=c
s
F∗
F
55
II) Senkrechtteilung im Dreieck
die Seiten a, b und c
– gesucht: Grundlinie z und Seitenlinien x und y der abzutrennenden Fläche
Gesamtfläche F und Teilfläche F ′ :
F =
a
b
F'
h
s(s − a)(s − b)(s − c) mit s =
2F
h=
c
p=
y
x
F*
z
q
q
b2 − h2 =
F′ =
s
b2 −
4F 2
c2
p·h
2
Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke folgt:
p
c
√
a+b+c
2
F∗
x2
y2
z2
=
=
=
F′
h2
b2
p2
Lösung:
s
F∗
x=h
F′
s
F∗
y=b
F′
z=p
s
F∗
F′
III) Gegebener Punkt K im Dreieck (auf dem Umring)
die Seiten a, b und c sowie der Punkt K d.h. die Strecke z
– gesucht: Höhe h∗ und Seitenlinien x und y der abzutrennenden Fläche
Gesamtfläche F und Höhe h:
F =
a
b
h
x
F
c
s(s − a)(s − b)(s − c) mit s =
h=
2F
c
h∗ =
2F ∗
z
Lösung:
y
h*
z
K q
q
F*
p
b
h
= ∗
y
h
p=
q
y 2 − h∗ 2
x=
7.4.2
=⇒
q
y=
b · h∗
h
q =z−p
q 2 + h∗ 2
Flächenteilungen im Viereck
◦ Wiederum Betrachtung der vier Fälle für das Viereck
a+b+c
2
56
◦ der Flächeninhalt für das abzutrennende Flurstück wird als bekannt vorausgesetzt
◦ Die abzutrennende Fläche soll wieder ein Viereck sein
I) Proportionalteilung im Viereck
– gegeben: Abzutrennende Fläche F ∗ und ein Teilungsverhältnis (oder beide
Teilungsverhältnisse m und n) sowie die Beschreibung des Vierecks; hier die
Koordinaten der Punkte A, B, C und D
(Anmerkung: Von den drei Bestimmungsstücken F ∗ , m und n sind nur zwei
Größen erforderlich, da sich die jeweils dritte Größe aus den anderen beiden
ermitteln lässt).
– gesucht: Die Koordinaten der neuen Punkte E und F
X
C
m=
F
B
xE − xA
yE − yA
AE
=
=
(11)
AD
xD − xA
yD − yA
(xD 6= xA ; yD 6= yA )
F*
D
n=
E
A
Y
xF − xB
yF − yB
BF
=
=
BC
xC − xB
yC − yB
(xC 6= xB ; yC 6= yB )
2F ∗ = (xA − xF )(yE − yB ) + (xB − xE )(yF − yA )
xE
yE
xF
yF
=
=
=
=
xA + m(xD − xA )
yA + m(yD − yA )
xB + n(xC − xB )
yB + n(yC − xB )
(12)
(13)
Werden die Gleichungen (13) in (12) eingesetzt, ergibt sich nach einigen
Umformungen:
2F ∗ = n · m [(xC − xB )(yD − yA ) + (xD − xA )(yC − yB )]
+m [(xB − xA )(yD − yA ) + (xD − xA )(yA − yB )]
+n [(xC − xB )(yA − yB ) + (xB − xA )(yC − yB )]
(14)
Mit den Abkürzungen
a1 = (xC − xB )(yD − yA ) + (xD − xA )(yC − yB )
a2 = (xB − xA )(yD − yA ) + (xD − xA )(yA − yB )
a3 = (xC − xB )(yA − yB ) + (xB − xA )(yC − yB )
erhält man schließlich
F∗ =
m
n
m·n
a1 + a2 + a3
2
2
2
(15)
57
Und eine Umstellung nach m bzw. n ergibt:
m=
2F ∗ − n · a3
n · a 1 + a2
;
n=
2F ∗ − m · a2
m · a1 + a3
(16)
FALL 1: F ∗ und m (bzw. n) gegeben:
(1) Berechnung von n (bzw. m) nach (16)
(2) Berechnung der Punkte E und F nach (13)
FALL 2: n und m gegeben:
(1) Berechnung von F ∗ nach (14)
FALL 3: F ∗ gegeben und Bedingung m = n:
(1) Berechnung von m = n als Lösung einer quadratischen Gleichung,
die sich aus (16) ergibt
II) Parallelteilung im Viereck
– gegeben: Abzutrennende Fläche F ∗ und die Forderung, dass die neue Grenze
EF parallel zu der vorhandenen Grenze CD sein soll, sowie die Beschreibung
des Vierecks; hier die Koordinaten der Punkte A, B, C und D
(Anmerkung: Hier wird davon ausgegangen, dass die abzutrennende Fläche
F ∗ über die Dreiecksfläche F ′ hinausreicht)
– gesucht: Die Koordinaten der neuen Grenzpunkte E und F
X
C
Anstiege der Vierecksseiten AD und CD
F
B
F*
m1 =
yD − yA
xD − xA
m2 =
yD − yC
xD − xC
F'
D
F''
A
E
P
Y
Berechnung des Hilfspunktes P durch Geradenschnitt von AD und BP wobei
der Anstieg von BP gleich m2 ist
xP = xA +
(yB − yA ) − m2 (xB − xA )
m1 − m2
yP = yA + m1 (xP − xA )
Berechnung der Fläche F ′′ aus den Koordinaten der Punkte A, B und P
(z.B. nach der Gaußschen Flächenformel)
1
F ′′ = [xA (yB − YP ) + xB (yP − yA ) + xP (yA − yB )]
2
58
Berechnung der verbleibenden Fläche F ′
F ′ = F ∗ − F ′′
Proportionalteilung der Vierecks P BCD über F ′ und gleiche Teilungsverhältnisse auf P D und BC nach (13) mit
b
m=n=− ±
2a
s
2F ′
b
+ ( )2
a
2a
mit 0 < m < 1 und
a = (xC − xB )(yD − yP ) + (xD − xP )(yB − yC )
b = (xB − xP )(yD − yP + yC − yB ) + (xD − xP + xC − xB )(yD − yP )
III) Senkrechtteilung im Viereck
EF senkrecht zu der gegebenen Grenze AD sein soll, sowie die Beschreibung
des Vierecks; hier die Koordinaten der Punkte A, B, C und D
(Anmerkung: Es wird davon ausgegangen, dass sich die neue Grenze EF in
dem neu entstehenden Viereck P1 BCP2 befindet)
– gesucht: Die Koordinaten der neuen Grenzpunkte E und F
X
C
F
Anstieg der Vierecksseite AD
B
F*
m1 =
P2
F''
A
F'
D
yD − yA
xD − xA
E
P1
Y
Berechnung der Hilfspunktes P1 und P2 durch Geradenschnitt von AD und
BP1 (bzw. BP2 ) wobei BP1 und BP2 senkrecht auf AD stehen
x P1 = x A +
m1 (yB − yA ) + (xB − xA )
m21 + 1
yP1 = yA + m1 (xP1 − xA )
x P2 = x A +
m1 (yC − yA ) + (xC − xA )
m21 + 1
yP2 = yA + m1 (xP2 − xA )
Berechnung der Fläche F ′′ aus den Koordinaten der Punkte A, B und P1
(z.B. nach der Gaußschen Flächenformel)
1
F ′′ = [xA (yB − YP1 ) + xB (yP1 − yA ) + xP1 (yA − yB )]
2
Berechnung der verbleibenden Fläche F ′
F ′ = F ∗ − F ′′
59
Proportionalteilung der Vierecks P1 BCP2 über F ′ und gleiche Teilungsverhältnisse auf P1 P2 und BC nach (13) mit
b
m=n=− ±
2a
s
b
2F ′
+ ( )2
a
2a
mit 0 < m < 1 und
a = (xC − xB )(yP2 − yP1 ) + (xP2 − xP1 )(yB − yC )
b = (xB − xP1 )(yP2 − yP1 + yC − yB ) + (xP2 − xP1 + xC − xB )(yP2 − yP1 )
IV) Teilung durch einen gegebenen Punkt im Viereck
EF durch den gegebenen Punkt E verlaufen soll, sowie die Beschreibung des
Vierecks; hier die Koordinaten der Punkte A, B, C und D
(Anmerkung: Es wird davon ausgegangen, dass sich die neue Grenze EF in
dem neu entstehenden Viereck P1 BCP2 befindet)
– gesucht: Die Koordinaten des neuen Grenzpunktes F
X
C
F
Berechnung der Teilungsverhältnisse m nach (11) und n nach (16)
B
F*
Berechnung der Koordinaten von
F nach (13)
D
E
A
Y
8 HÖHENMESSUNGEN
8
8.1
8.1.1
60
HÖHENMESSUNGEN
Grundlagen
Arten von Höhen
P
E
rd
ob
Horth
e rf
in Ruhe befindlicher
Meeresspiegel
l ä ch
e
G eo i d
orthometrische Höhe:
Höhe über dem Geoid (nicht
praktisch realisierbar!)
normalorthometrische Höhe (NN):
Näherungsweise Höhe über dem
Geoid (zusätzliche Annahmen)
Das Geoid ist eine Niveaufläche des Schwerefeldes der Erde.
Es ist allerdings nicht hypothesenfrei bestimmbar.
P
E
rd
ob
Hn
Meeresspiegel
e rf
l ä ch
Quasig
e
Normalhöhe: Höhe über
Quasigeoid (HN, NHN)
e oi d
dem
G eo id
(Referenz-)
Ellipso
i
d
Das Quasigeoid ist eine hypothesenfrei bestimmbare Bezugsfläche. Es ist keine Niveaufläche, sondern eine exakte
Rechenfläche, geglättetes Geoid“.
”
P
E
rd
Meeresspiegel
ob
e rf
l ä ch
e
Hell
Quasig
eoi d
ellipsoidische Höhe:
Höhe über dem Bezugsellipsoid
(Referenz-)
Ellipso
id
Das Ellipsoid ist keine Niveaufläche! Es ist eine mathematisch einfache“ Fläche für Rechnungen in der (Landes”
)Vermessung. Moderne satellitengeodätische Verfahren liefern geozentrische 3D-Koordinaten und daraus ellipsoidische
Höhen.
Zur Umrechnung ellipsoidischer Höhen in Normalhöhen oder
Normalorthometrische Höhen benötigt man den vertikalen Abstand zwischen Ellipsoid und Quasigeoid bzw. Geoid, die sogenannten Undulationen. Diese Werte liegen in entsprechenden
Modellen“ (Raster, funktionale Ansätze) vor.
”
8 HÖHENMESSUNGEN
8.1.2
61
Definition von Höhensystemen
Höhensysteme sind durch
• die Art der Höhe (siehe Punkt 8.1.1) und durch
• das Höhendatum, also den Nullpunkt des Netzes definiert.
NULLPUNKTSDEFINITIONEN:
Amsterdamer Pegel16 Normalhöhenpunkt (Höhennullpunkt), der mit dem
langjährigen Mittelwasser der Nordsee zusammenfällt
Normal Null17
Seit 1879 ist die NN-Fläche die Höhenbezugsfläche für
Deutschland. Sie ist die Bezugsfläche, die 37,000 m unter
dem Normalhöhenpunkt an der alten Berliner Sternwarte
liegt.
Höhen Null
Der Normalhöhenpunkt Hoppegarten war auch der Nullpunkt
des ostdeutschen Systems der Normalhöhen (HN) nach
1945. Dieses System ist durch Nivellements an das langjährig
beobachtete Mittelwasser am Kronstädter Pegel
angeschlossen.
(Dieser Höhenbezug liegt etwa 15 cm über dem Pegel von Amsterdam.)
FÜR BERLIN DEFINIERTE HÖHENSYSTEME (Beispiele aus NivP-Erlass)
Höhenstatus
0
16
100
140
150
264
460
760
800
900
Höhensystem
vorläufige Höhe im erneuerten Höhenfestpunktfeld (normalorthometrische Höhe
bezogen auf NN)
vorläufige Normalhöhe im System DHHN 92
Höhe im System DHHN 92
Normalorthometrische Höhe im System des DHHN 85
Normalhöhe im System des SNN 76
Höhe im alten Festpunktfeld (Netz 64) (normalorthometrische Höhe im System
des DHHN 12)
Geopotentielle Kote (gpu) im System DHHN 92
Undulation; ellipsoidische Höhe über dem GRS 80-Ellipsoid minus Normalhöhe
im DHHN 92
örtliches System
historische Höhe (Reichsamt für Landesaufnahme, System DHHN 12)
16
Der alte Amsterdamer Pegel existiert nicht mehr. Der Höhennullpunkt ist heute durch eine Gruppe
von Nivellementsfestpunkten 1. Ordnung realisiert.
17
1912 wurde der Normalhöhenpunkt wegen des Abrisses der Sternwarte nach Hoppegarten (östlich
von Berlin bei Müncheberg) verlegt. Die Definition des Nullpunktes der normalorthometrischen Höhen
blieb unverändert. Sie stimmt auf ±10 cm mit dem Amsterdamer Pegel überein. Nach 1945 wurde
in der BRD ein neuer Normalhöhenpunkt bei Wallenhorst in Niedersachsen geschaffen und an den
Amsterdamer Pegel angeschlossen.
8 HÖHENMESSUNGEN
8.1.3
62
Höhenfestpunktfelder (Amtliche Festpunktfelder)
• Das amtliche Festpunktfeld ist hirarchisch vom Netz 1. Ordnung (Haupthöhennetz)
bis zum Aufnahmenetz aufgebaut.
• Punkte des Aufnahmenetzes stellen die Anschlusshöhen für praktische Höhenbestimmungen zur Verfügung
• Nach der Wiedervereinigung der beiden deutschen Staaten erfolgte eine gemeinsame Neuausgleichung der beiden Haupthöhennetze im Anschluss an das EUVN.
(Ergebnis: Normalhöhen mit dem Bezugsniveau Normal Null (Pegel Amsterdam)
- Höhenstatus 100)
• Folgenetze niederer Ordnung (bis hin zum Aufnahmenetz) müssen in das
Haupthöhennetz eingerechnet werden um Höhen unter dem gleichen Höhenstatus zu erhalten.
• Nivellementsnetze bstehen aus Schleifen, Nivellementslinien zwischen den Knotenpunkten und Nivellementsstrecken zwischen den Festpunkten (1 bis 1,5 km).
Netz
1. Ordnung
2. Ordnung
3. Ordnung
4. Ordnung
AUFBAU DER HÖHENNETZE
Schleifendurchmesser
30 bis 80 km
höchstens 20 km
höchstens 10 km
mit Nivellementslinien nicht länger als 4 km
VERMARKUNG VON HÖHENFESTPUNKTEN
Mauerbolzen (MB)
Höhenbolzen in Bauwerken oder Fels
Pfeilerbolzen (PB)
Höhenbolzen in Granit- oder Betonpfeilern
Rammpfahlbolzen (RB) Höhenbolzen in eingerammten Schleuderbetonpfählen
Rohrfestpunkte (RF)
Höhenbolzen auf Stahlrohren, die bis in den tragfähigen
Untergrund reichen
Das Berliner Höhenfestpunktfeld gliedert sich hierarchisch in:
• das Übergeordnete Höhenfestpunktfeld
• und das Aufnahmefestpunktfeld.
Die Höhenfestpunkte sind in der Stadt mit Mauerbolzen und in Ausnahmefällen mit
Pfeilerbolzen (Steinen) vermarkt.
Der Nachweis erfolgt in den Vermessungsämtern mit Vermessungsvordruck 39 (VV 39). Es liegen
Netzübersichten vor. Nach den Ausführungsvorschriften über die Herstellung des Höhenfestpunktfeldes
liegt die Zuständigkeit für das Höhenaufnahmefestpunktfeld bei den bezirklichen Vermesungsämtern.
Die Höhenpunkte werden mit einer Genauigkeit von ±2 mm zur Verfügung gestellt.
8 HÖHENMESSUNGEN
8.2
8.2.1
63
Das geometrische Nivellement/Ingenieunivellement
Geometrisches Nivellement
Abb.: Grundprinzip des geometrischen Nivellements
horizontale Ziellinie
a
b
Der Höhenunterschied c zwischen A und B ergibt
sich aus Differenz der lotrechten Abstände a und
b von einer horizontalen Ziellinie.
c=a−b
c
B
Bezeichnet man a als Ablesung im Rückblick R
und b als Ablesung im Vorblick V erhält man den
Höhenunterschied zwischen A und B nach:
A
∆h = R − V
HB = HA + ∆h = HA + R − V
Berücksichtigt man den Einfluss von Erdkrümmung und Brechung des Zielstrahls in der
Athmosphäre (Refraktion) ergibt sich:
Lichtkurve
dRR
dRV
Erdkr
ümm
ung
R
dER
V
dEV
HV
HR
HR + R + dRR − dER
HV =
mit: HR , HV
R, V
dRR , dRV
dER , dEV
=
HV + V + dRV − dEV
HR + (R − V ) + (dRR − dRV ) − (dRV − dEV )
Höhen in den beiden Zielpunkten (Rück- und Vorblick)
Lattenablesungen im Rück- und Vorblick
Einfluss durch den gekrümmten Lichtweg (Refraktion)
Einfluss der Erdkrümmung
Unter den Voraussetzungen, dass
• die Niveauflächen durch konzentrische Kugelschalen angenähert werden können
• die Lichtkurven symmetrisch zur Stehachse gekrümmt sind
gilt bei gleichen Zielweiten wieder:
HV = HR + (R − V )
8 HÖHENMESSUNGEN
64
Wird der Höhenunterschied zwischen zwei Punkten A und B mittels mehrerer Instrumentenaufstellungen bestimmt ergibt sich:
HB = HA + (ΣRi − ΣVi )
Der Einfluss von Erdkrümmung und Refraktion in Abhängigkeit von der Zielweite si kann
folgendermaßen näherungsweise berechnet werden (R ≈ 6370 km):
• Erdkrümmung
dE =
s2i
2R
• Refraktion (gekrümmter Lichtweg)
dR =
k · s21
s2i
=
2r
2R
Durch den Einfluss der Erdkrümmung werden die Ablesungen zu groß, die Refraktion
vermindert diesen Effekt um etwa 1/8 (mittlerer Wert, im Einzelfall sind starke Schwankungen der Refraktion möglich). Der Refraktionseinfluss wird durch den Refraktionskoeffizienten k ausgedrückt: k = R/r ≈ 0, 125.
Bei kleinen Zielweiten (< 50 m) ist der Einfluss sehr gering.
8.2.2
Nivellierinstrumente
Klassifizierung nach der erreichbaren Genauigkeit
(Standardabweichung für 1 km Doppelnivellement):
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Nivelliere
Nivelliere
Nivelliere
Nivelliere
Nivelliere
niederer Genauigkeit
mittlerer Genauigkeit
hoher Genauigkeit
sehr hoher Genauigkeit
höchster Genauigkeit
> 10 mm/km
≤ 10 mm/km
≤ 3 mm/km
≤ 1 mm/km
≤ 0, 5 mm/km
(1) und (2) für einfache technische Höhenmessungen auf Baustellen, für Flächenaufnahmen und kurze Anschlussnivellements ( Baunivelliere“)
”
(3) und (4) in der Ingenieurvermessung ( Ingenieurnivellier“)
”
(5) Herstellung von Höhenfestpunktfeldern und Aufgaben mit höchsten Genauigkeitsforderungen ( Präzisions-“ bzw. Feinnivellier“)
”
”
8.2.3
Ingenieunivellement
• bei allen Nivellierverfahren wird aus der Mitte nivelliert; dadurch Elimination von:
– Erdkrümmung
– symmetrischer Anteil der Refraktion
8 HÖHENMESSUNGEN
65
– restliche Justierfehler des Instrumentes
• Höhenübertragung erfolgt schrittweise über sogenannte Wechselpunkte von einem
höhenmäßig bekannten Punkt aus
• Abschluss an einem bekannten Punkt
– entweder weiterer bekannter Punkt (Linie)
– oder Nivellement zum Ausgangspunkt (Schleife)
• Verteilung des Abschlusswiderspruchs zwischen Sollhöhenunterschied und gemessenem Höhenunterschied proportional auf die einzelnen Höhenunterschiede (Standpunkte)
∆HA,E = ∆h1 + ∆h2 + · · · + ∆hn
= (R1 − V1 ) + (R2 − V2 ) + + · · · (Rn − Vn )
=
n
X
i=1
Ri −
n
X
i=1
Vi = [R] − [V ]
w = HE − HA − ∆HA,E = HE − HA −
vi = w/n
mit:
Ri
Vi
n
HA
HE
n
X
i=1
Ri −
n
X
i=1
Vi = HE − HA − [R] − [V ]
Ablesung der rückwärtigen Latte (Rückblick)
Ablesung der vorderen Latte (Vorblick)
Anzahl der Standpunkte
bekannte Höhe im Anfangspunkt A
bekannte Höhe im Endpunkt E
Hinweis:
Da die Ablesegenauigkeit beim Ingenieurnivellement nur 1 mm beträgt, werden die Abschlusswidersprüche (meist) auch nur anteilig in ganzen Millimeterbeträgen verteilt. Da
w/n i.a. nicht ganzzahlig ist, muss entschieden werden, welche Einzelhöhenunterschiede
verbessert werden. Möglich ist z.B.:
- die größten Einzelhöhenunterschiede erhalten vorzugsweise Verbesserungen
- die Einzelhöhenunterschiede mit den längsten Zielweiten erhalten vorzugsweise
Verbesserungen.
8 HÖHENMESSUNGEN
8.2.4
66
Prüfung von Nivellierinstrumenten
(=⇒ VO Instrumentenkunde“)
”
- Festlegung der Punkte A und B mit zwei Lattenuntersätzen (oder Plöcken)
- die Punkte müssen bei der Prüfung unverändert bleiben!
I: Aus der Mitte“ (Näherungsverfahren)
”
• 2 Lattenstandpunkte (A, B) in
30. . . 40 m Abstand
ca. 2 m
)
"
2
)
b1
b2
)h+b2
"
S1
a1
B
ca. 30...40 m
A
∆h1 = a1 − b1
∆h1 = (a∗1 + ∆) − (b∗1 + ∆)
∆h1 = a∗1 − b∗1
• Instrumentenstandpunkt S1 in
der Mitte
=⇒ fehlerfreier Soll”
höhenunterschied“
• Instrumentenstandpunkt S2 an
Latte B
=⇒ fehlerbehafteter Ist”
höhenunterschied“
)h
a2
"
)
S2
∆h2 = a2 − b2
∆h2 = (a∗2 + 2∆) − b∗2
Sollwert für a2 :
∆h2 − ∆h1 = 2∆
a∗2 = b2 + ∆h1
a∗1 , b∗1 , a∗2 und b∗2 sind die fehlerfreien Sollablesungen“
”
a1 , b1 , a2 und b2 sind die fehlerbehafteten Ablesungen
II: Verfahren nach Kukkamäkie“
”
4)
"
S1
"
S2
)
B
A
ca. 10 m
ca. 10 m
∆h1 = a1 − b1
∆h1 = (a∗1 + ∆) − (b∗1 + ∆)
∆h1 = a∗1 − b∗1
b2
)h
a1
b1
a2
)
"
2)
ca. 20 m
∆h2 = a2 − b2
∆h2 = (a∗2 + 4∆) − (b∗2 + 2∆) ∆h2 − ∆h1 = 2∆
Sollwert für a2 : a∗2 = a2 − 4∆
Sollwert für b2 : b∗2 = b2 − 2∆
8 HÖHENMESSUNGEN
67
III: Verfahren nach Näbauer“
”
2)
"
S2
"
2)
b1
)
B
)h
a1
S1
b2
a2
)
A
ca. 15 m
ca. 15 m
ca. 15 m
∆h1 = a1 − b1
∆h1 = (a∗1 + ∆) − (b∗1 + 2∆)
∆h1 = a∗1 − b∗1 − ∆
∆h2 = a2 − b2
∆h2 = (a∗2 + 2∆) − (b∗2 + ∆)
∆h2 = a∗2 − b∗2 + ∆
Sollwert für a1 :
Sollwert für b1 :
Sollwert für a2 :
Sollwert für b2 :
∆h2 − ∆h1 = 2∆
a∗1 = a1 − ∆
b∗1 = b1 − 2∆
a∗2 = a2 − 2∆
b∗2 = b2 − ∆
IV: Verfahren nach Förstner“
”
"
)
a2
S2
"
"
2)
b1
S1
)h
a1
)
b2
"
2)
A
ca. 15 m
ca. 15 m
ca. 15 m
∆h1 = a1 − b1
∆h1 = (a∗1 + ∆) − (b∗1 + 2∆)
∆h1 = a∗1 − b∗1 − ∆
B
∆h2 = a2 − b2
∆h2 = (a∗2 + 2∆) − (b∗2 + ∆)
∆h2 = a∗2 − b∗2 + ∆
Sollwert für a1 :
Sollwert für b1 :
Sollwert für a2 :
Sollwert für b2 :
∆h2 − ∆h1 = 2∆
a∗1 = a1 − ∆
b∗1 = b1 − 2∆
a∗2 = a2 − 2∆
b∗2 = b2 − ∆
Berechnung der Neigung der Ziellinie aus den Lattenablesungen:
∆
tan α = Strecke
bzw.
∆∗ρ
α = Strecke
8.2.5
mit ρ = 63, 6620 gon
Genauigkeit des Nivellements
• Annahmen:
– die einzelnen Fehlereinflüsse auf allen Standpunkten sind gleich
8 HÖHENMESSUNGEN
68
– nur diese Einflüsse gehen in den Gesamtfehler einer Nivellementslinie ein
– etwa gleiche Zielweiten
• Es ergibt sich für den Fehler der Linie sL folgender einfacher Zusammenhang:
sL =
mit: s
L
z
n
q
s21
+
s22
+ ··· +
s2n
=
√
n·s=
q
L/(2z) · s
Standardabweichung je Instrumentenaufstellung
Länge der Nivellementslinie
Zielweite
Anzahl der Standpunkte
• Drückt man den Zusammenhang mit der Standardabweichung für einen Kilometer
Nivellement aus, ergibt sich:
sL = sN iv/1 km ·
q
L[km]
=⇒Die Standardabweichung einer Nivellementsstrecke oder -linie wächst mit der
Wurzel aus der nivellierten Länge der Strecke oder Linie.
• Standardabweichung für 1 km Nivellement
– aus den Differenzen di zwischen Hin- und Rückweg der n Einzelstrecken mit
den Streckenlängen Ri
sN iv/1 km
v
"
u
u 1
t
=
dd
2n R[km]
#
– aus den Widersprüchen wi beim Anschluss an zwei (fehlerfreie) Festpunkte
oder bei geschlossenen Nivellementsschleifen
sN iv/1 km
v
"
#
u
u 1
ww
t
=
2n L[km]
• Den Fehler für 1 km Doppelnivellement (Mittel aus Hin- und Rückweg) erhält man
nach:
sN iv/1 km
√
sDN iv/1 km =
2
• Sinnvoll ist ein Vergleich der Ergebnisse der Fehlerrechnungen aus Hin- und Rückweg und aus Schleifenschlüssen.
Erhält man aus den Schleifenschlüssen abweichende (größere) empirische Standardabweichungen, ist davon auszugehen, dass noch systematische Fehlereinflüsse
wirken.
8 HÖHENMESSUNGEN
8.3
8.3.1
69
Feinnivellement (Präzisionsnivellement)
Messung
Für genaueste Messungen müssen geeignete Instrumente eingesetzt werden:
• 40 fache Vergrößerung, Objektivdurchmesser 50 mm
• Nivellierlatten mit auf Invarband aufgetragenen Teilungen (zwei versetzte Teilungen)
Bei der Messung müssen bestimmte Bedingungen eingehalten werden:
• der Zielstrahl soll mindestens 50 cm vom Boden entfernt sein
• strenges nivellieren aus der Mitte (Zielweitenunterschied < 1 m ⇒ Stationierung)
• Verwendung von zwei Latten mit je zwei Lattenteilungen und grundsätzlich Hinund Rücknivellement
8.3.2
Fehlereinflüsse
SYSTEMATISCHE FEHLEREINFLÜSSE
Fehlereinfluss
einseitige Schätzfehler beim Ablesen
Bekämpfung
Verwendung von Planplattenmikrometern
Lattenfehler (Maßstab, Teilung, Nullpunkt)
Schiefhalten der Latte
regelmäßiges Überprüfen
Kontrolle der Lattenlibelle; Abstützen mit
Stäben
Temperatureinflüsse auf die Messausrüstung
Einsinken des Instrumentes während der
Messung
Temperierung; Schutz vor Sonneneinstrahlung
Kompensationsreste bei selbsthorizontierenden Instrumenten
Horizontierung des Instrumentes in alternierenden Richtungen auf den einzelnen
Standpunkten
Einseitiger Einfluss der Refraktion
schnelle Messung; Mindestabstand des Zielstrahls vom Boden einhalten; Bergstrecken
möglichst zu günstigen Zeiten (kleiner Temperaturgradient) beobachten
nur auf festem Untergrund; Benutzung beider
Lattenteilungen zweier Latten in der Reihenfolge RI , VI , VII , RII
8 HÖHENMESSUNGEN
70
ZUFÄLLIGE FEHLEREINFLÜSSE
Fehlereinfluss
Luftflimmern
Bekämpfung
Messung bei günstigen Wetterlagen (bedeckt);
an heißen Tagen morgens oder abends
Einsinken und sonstige Lageänderungen
der Latten
sorgfältiges Festlegen der Lattenuntersätze
(Unterlegplatten); Sauberhalten der Lattenfüße
und -untersätze
ungleiche Zielweiten
Ausmessung der Entfernungen (Distanzfäden)
oder vorherige Stationierung; Abweichungen
auf anderen Standpunkten ausgleichen
Fehler der Lattenaufsatzflächen
Latten mit der gleichen Stelle aufsetzen (Lattenschuhe); Nullpunktsdifferenz des Lattenpaares berücksichtigen oder mit der Latte abschließen, mit der begonnen wurde
Nachziehen der Libellenachse
Libelle vollständig zur Ruhe kommen lassen
Bei sorgfältiger Messung und Beachtung obiger Vorschriften lässt sich für eine aus Hinund Rücknivellement gemittelte Strecke eine Standardabweichung von 0,2–0,5 mm/km
erreichen.
8.3.3
Auswertung
• für den Datenfluss vom Feld bis zum Rechner stehen verschiedene elektronische
Systeme zur Verfügung
• durchgehenden Datenfluss ermöglichen digitale Strichcodenivelliere, die mit Strichcodelatten auf Invarband auch für Nivellements höchster Genauigkeit eingesetzt
werden können
• Bestimmung der Höhen der einnivellierten Punkte durch Ausgleichung der Beobachtungen nach der Methode der kleinsten Quadrate (MKQ)
• Korrektion der Lattenfehler (Teilung, Maßstab, Nullpunkt) =⇒ Vorprogramme
• an den beobachteten Höhenunterschieden werden Schwerekorrektionen“ ange”
bracht, die der Variabilität der Schwerebeschleunigung und deren Auswirkung auf
die Nivellementsergebnisse Rechnung tragen
– um normalorthometrische Höhenunterschiede zu erhalten ⇒ Korrektionen
wegen Normalschwerefeld“ (Modell) erforderlich
”
– um Normalhöhenunterschiede zu erhalten ⇒ ist zusätzlich die Kenntnis von
Schwerewerten entlang der Nivellementslinie erforderlich
8 HÖHENMESSUNGEN
8.4
71
Spezialfall: Strom- und Talübergangsnivellement
Beim Übergang über Flüsse oder Täler können sehr große Zielweiten auftreten. Ein
Nivellieren aus der Mitte ist i.a. nicht möglich.
=⇒ spezielle Messausrüstung und -anordnung!
Ziel: Realisierung eines wahren Horizontes mit Kompensatornivellieren unabhängig von
Kompensationsrestfehlern.
Lösungsprinzip:
• Werden zwei in geringem Höhenunterschied aufgestellte (auf Unendlich fokussierte) Nivellierinstrumente in gegenseitige Kollimation gebracht, sind ihre Ziellinien
parallel.
Das heißt, dass das eine Instrument in bezug auf den wahren (mittleren) Horizont
genausoviel nach unten wie das andere nach oben zielt.
• Durch die Kompensatoren bleibt die einmal eingestellte Neigung der Ziellinie auch
bei Drehung des Instrumentes erhalten.
• Das Mittel der beiden Kippachshöhen stellt den wahren Horizont dar.
Messausrüstung:
Für Übergänge von bis zu 2 km steht z.B. eine Talübergangsasrüstung der Firma Carl
Zeiss Oberkochen zur Verfügung. Sie besteht aus folgenden Elementen:
• zwei Grundplatten mit je zwei selbsthorizontierenden Ingeniernivellieren Ni 2;
• jedes der vier Ni 2 ist mit einem Drehkeilvorsatz ausgerüstet, der eine messbare
kleine Neigung der Ziellinie ermöglicht;
• zwei Paar Zieltafeln oder Beleuchtungsreflektoren;
• je eine Nivellierlatte zum Höhenanschluss an Festpunkte an den beiden Ufern.
Messungsdurchführung:
1. Herstellung der Kollimation für die beiden auf einer Grundplatte befindlichen
Nivelliere mittels der Drehkeilvorsätze (Ablesungen n1 und n2 ).
2. Bestimmung der Kippachshöhen der beiden Nivelliere durch Anzielen der Nivellierlatte auf einem Festpunkt.
3. Am anderen Ufer werden zwei Zieltafeln aufgebaut und deren vertikaler Abstand
b bestimmt (vertikale Basis).
4. Die beiden Zieltafeln werden mit beiden Instrumenten angezielt und es werden die
Neigungen zur oberen (o1 , o2 ) und unteren (u1 , u2 ) Zieltafel an den Drehkeilskalen
abgelesen.
8 HÖHENMESSUNGEN
72
Auswertung:
Der Höhenunterschied von der mittleren Kippachse zur unteren Zieltafel kann folgendermaßen berechnet werden. Dabei ist zu beachten:
• Drehkeilablesungen sind Richtungen (Kippung nach oben positiv)
• Differenzen von Drehkeilablesungen sind Winkel!
Nach der Bogenformel:
Zo
b
o1-u1 ; o2-u2
Ziellinie N1
n1-u1
N1
N2
wahrer Horizont
n2-u2
Ziellinie N2
h2
Zu
s
h1
o1 − u1
1
n 1 − u1
= =
b
s
h1
n 1 − u1
h1 =
b
o1 − u1
n 2 − u2
b
h2 =
o2 − u2
1
h = (h1 + h2 )
2
Es wird die Höhe der unteren Zieltafel unter dem
wahren Horizont berechnet:
h=
b n 1 − u1 n 2 − u 2
+
2 o1 − u1
o2 − u2
Zur Eleminierung des Einflusses von Erdkrümmung und Refraktion müssen die Messungen von beiden Ufern aus gemittelt werden und die Beobachtungen müssen zeitgleich
erfolgen um Refraktionsänderungen auszuschalten.
Wenn sich die Zielweiten unterscheiden, ist zusätzlich eine Korrektion wegen Erdkrümmungs- und Refraktionseinfluss erforderlich (siehe Abschnitt ??: Trigonometrische
”
Höhenmessung“):
dh =
1−k
S · dS
R
mit: dh
k
S
dS
R
Höhenkorrektion
Refraktionskoeffizient
Zielweite
Unterschied der beiden Zielweiten
Erdradius
Bei 6 bis 8 Sätzen lässt sich mit dem Verfahren auf eine Entfernung von etwa 1 km eine
Standardabweichung des Mittels von ±10 mm erreichen.
8.5
Barometrische Höhenbestimmung
Die barometrische Bestimmung von Höhenunterschieden basiert auf der Änderung des
Luftdrucks mit der Höhe. Die Methode weist im Gegensatz zu den anderen geodätischen
Verfahren (geometrisches und trigonometrisches Nivellement) eine bedeutend geringere
Genauigkeit auf. Sie wird daher nur in Bereichen eingesetzt, wo die geodätischen nicht
einsetzbar oder nicht erforderlich sind (Expeditionen (Geologie, Geophysik), Ergänzung
8 HÖHENMESSUNGEN
73
zu GPS-Navigationssystemen bei Land- und Luftfahrzeugen, Alpinismus, Spezialaufgaben).
UMRECHNUNGSTABELLE FÜR DRUCKEINHEITEN
Pa
hPa
bar
mbar
Torr
2
N/m
mm Hg
760
Pa
1
10−2
10−5
10−2
101325
8.5.1
hPa
100
1
10−3
1
bar
105
103
1
103
mbar
100
1
10−3
1
760
1013.25
760
1.01325
760
1013.25
Torr
101325
760
1013.25
760
1.01325
760
1013.25
760
1
Messung des Luftdrucks
Quecksilberbarometer An der Rohablesung sind die folgenden Korrektionen anzubringen:
Bkorr = B0 + kt + kk + kφ + kH + kStand
B·t
mit Temperatur t in ◦ C
kt = − 6140
•
kt
Temperaturkorrektion
•
kk
Kapilardepression
•
kφ
breitenabhängige Schwerekorrektion kφ = −0.00264 cos(2φ)B
•
•
kH
kStand
höhenabhängige Schwerekorrektion
Standverbesserung
Die Kapilardepression lässt sich im
Vergleich zu einem Hg-Barometer mit
einem Röhrendurchmesser von mindestens 20 mm empirisch bestimmen
(Gerätekonstante)
kH = −0.0000003HB
kann durch Vergleich des bis hierher korrigierten Lufdruckwertes durch Vergleich
mit einem Normalbarometer bestimmt
werden
Quecksilberbarometer eignen sich nicht für Feldmessungen. Sie dienen als Normalbarometer zur Überprüfung von Aneroidbarometern.
Aneroidbarometer (Barometer mit Membrandose und Gegenfeder) An der Rohablesung von Aneroidbarometern müssen Temperatur-, Teilungs- und Standverbesserung angebracht werden:
Bkorr = B0 + kt + kT + kStand = B0 + a · t + b · (1013.25hPa − B) + c
Die Konstanten a, b und c können durch Vergleich mit einem Quecksilberbarometer im
Rahmen einer Gräteüberprüfung ermittelt werden. Diese Bestimmung sollten periodisch
wiederholt werden, um Alterungserscheinungen der Feder zu erfassen.
8 HÖHENMESSUNGEN
74
Anstelle von Membrandosen mit Gegenfeder werden heute meist elektrische Systeme
(piezoelektrische Drucksensoren) mit digitaler Messwertanzeige eingesetzt, die auch als
Präzisionsinstrumente zur Verfügung stehen.
8.5.2
Ermittlung von Höhenunterschieden aus Barometermessungen
Zur Ermittlung von Höhenunterschieden zwischen zwei Punkten aus Luftdruckmessungen
kann die Barometerformel von W. Jordan verwendet werden:
!
2Hm
em
B1
(1 + β cos 2φm ) 1 +
(1 + αtm ) 1 + 0.377
∆h = 18400 · lg
B2
pm
R
mit: Konstanten
B1 , B2
tm
em
pm
φm
Hm
α = 0.003665, β = 0.00264, R = 6370000 m
korrigierte Luftdruckwerte an den beiden Punkten.
mittlere Temperatur in ◦ C
mittlerer Partialdruck des Wasserdampfes der Luft
mittlerer Luftdruck
mittlere geographische Breite
mittlere Höhe
Mit den Annahmen φm = 50◦ , Hm =500 m, em /pm = 1/100 lässt sich für Mitteleuropa
eine Näherungsformel angeben:
∆h = 18464(1 + 0.0037 · tm )(lg B1 − lg B2 )
Voraussetzungen für die Anwendung obiger Formel sind, dass der Luftdruck an beiden
Punkten gleichzeitig gemessen wird und dass die Temperatur von unten nach oben
gleichmäßig abnimmt. Diese Vorausetzungen sind nicht streng erfüllt. Außerdem
wirkt bei räumlich ausgedehnten Messgebieten die Neigung der Isobarenflächen als
Fehlereinfluss.
Die Messung muss daher so angelegt werden, dass meteorologische Einflüsse entweder
durch Anschluss an feste Punkte umgangen oder durch Beobachtungen an einem (oder
mehreren) ortsfesten Barometern in Rechnung gestellt werden können.
Die nachfolgend prinzipiell skizzierten speziellen Beobachtungsverfahren sind dazu
bestimmt, die Trägheit der Federbarometer und die etwaigen Änderungen des Lufdrucks
infolge der sich ändernden Großwetterlage zu eleminieren.
STAFFELVERFAHREN (mit zwei Barometern)
Messpunkte
⇓
⇓
⇓
⇓
⇓
Zeit
A
I II
II
1
I
II
2
I
II
3
I
II
B
I
II I
8 HÖHENMESSUNGEN
75
SPRUNGVERFAHREN (mit zwei Barometern, mit gegenseitigem Überholen)
Messpunkte
⇓
⇓
⇓
⇓
⇓
Zeit
8.5.3
A
I II
II
1
I
I
2
II
II
3
I
I
B
II
I II
Ermittlung von Höhenunterschieden aus Altimetermessungen
Altimeter sind Barometer mit einer metrischen Höhenskala. Es handelt sich meist um
Aneroidbarometer oder um piezoelektrische Geräte.
Mit Altimetern werden sogenannte Normhöhen bestimmt, die ihre Definition aus der
Norm- oder Standardatmosphäre erhalten.
Die Physikalische Normatmosphäre wurde 1924 von der Commission Internationale de
Navigation Aerienne (CINA) festgelegt:
Luftdruck in Meereshöhe (Jahresmittel)
p0 = 1013.25 hPa = 760 Torr
Lufttemperatur in Meereshöhe
t0 = 15◦ bzw. T0 = 288K
Temperaturgefälle je km für Höhen bis 11 km
a = 6.5 K/km
Dichte der Luft bei einem Kohlensäuregehalt von 0.03% ρ0 = 0.001226 g/cm3
Schwerebeschleunigung
g0 = 980.62 cm/s2
Die Normhöhe hN A lässt sich unter Benutzung einer Normbeziehung zwischen Luftdruck
und Normhöhe folgendermaßen direkt berechnen:
hN A

T0 
p
=
1−
a
p0
!1
n

mit
n=
=⇒ hN A = 44307.69 − 11874.31p0.190259
g0 T0 ρ0
ap0
hN A in m, p in mbar
Da die Verhältnisse der Normatmosphäre nicht streng und durchgehend erfüllt sind, muss
ein mit Altimetern gemessener Normhöhenunterschied wegen Dampfdruck, Schwerebeschleunigung und Höheneinfluss korrigiert werden (vgl. barometrische Höhenformel):
∆h = ∆hN A
tm − t0 + ahm
1+
TE
mit: Konstanten
tm
em
pm
φm
Hm
!
!
em
2Hm
1 + 0.377
(1 + β cos 2φm ) 1 +
pm
R
TE = 273 K, β = 0.00264, R = 6370000 m
mittlere Temperatur in ◦ C
mittlerer Partialdruck des Wasserdampfes der Luft
mittlerer Luftdruck
mittlere geographische Breite
mittlere Höhe
In dieser Beziehung sind alle Größen direkt messbar oder berechenbar. Den Dampfdruck
e erhält mittels Aspirations-Psychometermessungen nach (Sprungsche Formel):
e = E′ − c
t − t′
p
755
8 HÖHENMESSUNGEN
mit: E ′
c
t, t′
p
8.5.4
76
Sättigungsdampfdruck (z.B. als Angabe des Deutschen Wetterdienstes)
Konstante mit den Werten 0.5 über Wasser und 0.43 über Eis
Trocken- und Feuchttemperatur
Luftdruck
Genauigkeit der barometrischen Höhenmessung
Nach dem Varianzfortpflanzungsgesetz gilt (bei Vernachlässigung der Fehleranteile des
Dampfdrucks, des mittleren Luftdrucks und der mittleren Höhe):
s2∆h =
8019
B1
2
s2B1 +
8019
B1
2
s2B1 + (0.0037∆h)2 s2tm
Für einen Höhenunterschied ∆h = 100 m und eine Standardabweichung für die Temperaturmessung von st = 1 K beträgt der Fehleranteil des letzten Gliedes 0.37 m.
Der Fehleranteil der Luftdruckbestimmung beträgt für sB = 0.1 Torr≡ 0.13 hPa 1.1 m
bei einem mittleren Luftdruck.
Für die Standardabweichung eines Höhenunterschiedes ergibt sich daraus s∆h = 1.6 m.
Bei speziellen Messanordnungen und Interpolation zwischen bekannten Höhen können
Genauigkeiten von etwas unter einem halben Meter erreicht werden.
8.6
Hydrostatisches Nivellement
Das hydrostatisches Nivellement arbeitet nach dem Prinzip der kommunizierenden
Röhren. Es kann zur Höhenübertragung zwischen zwei und mehreren Punkten eingesetzt
werden.
Nach diesem Prinzip sind die einfachsten Nivellierinstrumente, die Kanalwaagen
aufgebaut. Ersetzt man das Verbindungsrohr durch einen Schlauch und bringt an den
beiden Enden Standgläser mit Millimeterteilung an, erhält man die Schlauchwaage.
Solche Instrumente werden vorwiegend in schlecht einsehbarem Gelände in der Ingenieurvermessung für Straßen-, Brücken- und Kanalisationsbau eingesetzt. Weiterhin
findet man sie als Präzisionsschlauchwaage in der Bauwerksüberwachung und im
Bergbau.
Im Idealfall befinden sich die Flüssigkeitsspiegel (Menisken) in den Standgläsern in ein
und derselben Niveaufläche. Abweichungen enstehen jedoch durch:
• Einflüsse äußerer Kräfte (Temperatur- und Luftdruckunterschiede, Schwereänderungen)
• innere Kräfte (Kapillarkräfte)
• Einflüsse dynamischer Art (Kapilarkräfte)
• Einflüsse unsachgemäßer Schlauchfüllungen (Luftblasen)
Nach Bestimmung der Nullpunktskorrektion durch Nebeneinanderhalten der beiden
Standgläser und dem darauffolgenden Ablesen der Standgläser an den beiden Messstellen lässt sich der Höhenunterschied bestimmen. Dies sollte erst nach Beruhigung des
8 HÖHENMESSUNGEN
77
Wassers im Schlauch geschehen und mehrfach wiederholt werden.
Mit einfachen Schlauchwaagen lassen sich Höhenunterschiede mit einer Standardabweichung von s∆h = 1 mm bestimmen. Mit Präzisionsschlauchwaagen sind Genauigkeiten
von einigen 0.001 mm erreichbar.
9 GELÄNDEAUFNAHMEN
9
9.1
78
Geländeaufnahmen
Längs- und Querprofile
Für die Trassierung von Verkehrsbauten werden häufig Längs- und Querprofile oder
digitale Geländemodelle aufgenommen.
Ein Längsprofil ist ein Vertikalschnitt durch die Erdoberfläche längs einer eventuell auch
gekrümmt oder geknickt verlaufenden Leitlinie. Diese Leitlinie stellt bei Straßen- oder
Eisenbahnwegen meist die Achse des künftigen Bauwerkes und bei Wasserwegen eine
Parallele zu dieser Achse dar.
Querprofile sind Vertikalschnitte durch die Erdoberfläche, die normal zur Leitlinie
abgesteckt werden. Bei geraden Strecken verlaufen sie also im rechten Winkel, bei
Knickpunkten in der Winkelhalbierenden und in Kurven in radialer Richtung.
9.1.1
Längsprofile
Die Aufnahme beginnt mit der Stationierung und Verpfählung der Leitlinie.
In Abständen von 25, 50 oder 100 m je nach dem Gelände und dem Zweck und zusätzlich bei Gefällewechseln und Schnitten mit Wegen oder Wasserläufen, werden Nummernpfähle und erdbodengleiche Grundpfähle eingebracht.
Die Stationierung erfolgt in Hektometern, so daß die Stationspunkte z.B. in folgender
Art dargestellt werden:
0+50 für 50 m; 2+75 für 275 m.
Die Art der Absteckung richtet sich nach der geforderten Genauigkeit und kann durch
einfaches Fluchten und Meßbandmessung bis zum Einsatz elektrooptischer Tachymeter
vorgenommen werden.
Im Vertkalschnitt des Längsprofils sind die vorhandene Geländeoberfläche und die geplante Trassenachse zueinander darzustellen.
Die Trassenpunkte sind höhenmäßig durch Nivellement zu bestimen. Dabei ist das
Höhenniveau im Anfangs- und im Abschlußpunkt durch Anschluß an Höhenfestpunkte zu realisieren.
Die Höhenbestimmung innerhalb des Profils erfolgt über die im Abstand von 100 m stehenden Grundpfähle als Wechselpunkte und zu den weiteren Grundpfählen und sonstigen
wichtigen Punkten als sogenannte Zwischen- oder Seitenblicke.
Der Abschlußfehler, der sich aus dem Anschluß an zwei Höhenfestpunkte oder aus
Hin- und Rückmessung ergibt, wird wie beim einfachen Nivellement proportional zur
Streckenlänge (umgekehrt proportional zum Gewicht) auf die einzelnen Abschnitte verteilt.
79
BEISPIEL FÜR EINE LÄNGSPROFILAUFNAHME
Punkt
Zielweite RückSeitenVorblick
(m)
blick
blick
Instr.horizont
Höhe
über
NN
Verbess.
(mm)
HP 1
W1
0+00
0+25
0+50
0+75
+00
1
1+25
1+50
1+75
+00
2
W2
50
50
45
45
50
1.415
49.675
1.290
1.655
49.955
2.040
51.295
48.565
46.780
47.000
49.360
+6
+6
+6
+6
49.255
49.750
48.060
50.475
+9
+9
+9
+9
50.880
+12
49.795
+15
50.430
50.448
0.773
+18
0.415
1.005
2.090
51.885
1.870
1.235
HP 2
8.140
7.385
0.755
9.1.2
+3
0.700
1.545
3.235
0.820
50
30
30
40
40
49.800
50.220
1.390
3.175
2.955
0.595
50
50
51.090
0.420
51.665
Ist:
Querprofile
Querprofile sind Vertikalschnitte orthogonal zur Leitlinie. Sie dienen der Erarbeitung des
Entwurfs und zur Erdmassenberechnung. Daher sind sie überall dort aufzunehmen, wo
sich Geländeneigung oder die Richtung der Leitlinie ändern.
Die Herstellung der Querprofillinie wird analog zum Längsprofil in Abhängigkeit von
der geforderten Genauigkeit mit einfachen Verfahren (Winkelprisma, Meßband) oder
genaueren Verfahren (elektronische Tachymeter) durchgeführt. Die seitliche Ausdehnung schwankt zwischen 20 und 30 m (abhängig vom Zweck der Aufnahme und vom
Gelände). Die seitlichen Entfernungen können i.d.R. auf Dezimeter gerundet bestimmt
werden.
Die Höhenbestimmung der Profilpunkte erfolgt mit einem Nivellierinstrument im
Anschluß an die Höhe des Achspunktes möglichst mit einer Instrumentenaufstellung.
Die Höhen werden auf einen Zentimeter genau bestimmt.
Die Aufnahme des Querprofils ist in einem Handriß zu dokumentieren.
80
Beispiel Längsprofil (aus Kahmen, 1997)
9.1.3
Darstellung von Längs und Querprofilen
• Darstellung der Geländeoberfläche und der Planung des Verkehrsbandes relativ
zueinander
• =⇒ heute häufig EDV-Programme inclusive graphischer Ausgabe
Bei manueller Bearbeitung der Daten und Darstellung der Ergebnisse ist nachfogendes
zu beachten:
A: Längsprofile
- in Längsprofilen wählt man unterschiedliche Maßstäbe für Höhen und Entfernungen
(markantere Darstellung von Höhenänderungen)
- über Bezugslinie (gerader Höhenwert) werden Gelände und Entwurfshöhen abgetragen
- Bezugslinie, Ordinaten (Höhen), Geländelinie, Stationszahlen und Höhenangaben
der Punkte
−→ schwarz
- alle Angaben zu Wasserlinien −→ blau
- Dartstellung des Entwurfs −→ rot (Zinnober)
B: Querprofile
- in Querprofilen wählt man gleiche Maßstäbe für Höhen und Entfernungen
(Vermeidung verzerrter Darstellungen)
81
- über einer Bezugslinie werden wiederum Gelände und Entwurfshöhen abgetragen
- Darstellung der Geländeoberfläche bezüglich Ausgangslinie (Grundpfahl mit dazugehöriger Höhe)
- Ordinaten (Höhen), Geländelinie, Höhenangaben der Punkte −→ schwarz
- Dartstellung des geplanten Regelprofils (Entwurfs) −→ blaßrot
Beispiel Querprofil (aus Kahmen, 1997)
9.2
Rostaufnahme
• Längs- und Querprofile reichen zur Erfassung der Topographie des Geländes z.B.
für die Ermittlung von Höhenlinien nicht aus
• für Lagepläne mit Höhenlinien oder digitale Geländemodelle (DGM) erfolgt daher
eine sog. Rostaufnahme (Flächennivellement, Rasteraufnahme)
• in schwach geneigtem Gelände kann die Höhenbestimmung nivellitisch erfolgen,
bei stärkeren Neigungen und Höhenunterschieden tachymetrisch
9.2.1
Aufbau des Rasters
Die lagemäßige Festlegung und Bestimmung der Punkte soll an der Höhengestaltung des
Geländes ausgerichtet werden.
Es sind folgende Fälle unterscheidbar:
• Auswahl von koordinaten- und höhenmäßig bekannten Punkten und ggf. Verdichtung des Punktrasters von diesen bekannten Punkten ausgehend (in flachem
Gelände)
• liegen lediglich für den Umring des aufzunehmenden Geländes bekannte Punkte
vor:
Einbindung von Profilen in den bekannten Umring
82
• ohne Vermessungsgrundlage:
Absteckung von sich rechtwinklig schneidenden Geraden (Quadratrost, Rechteckrost)
Abstand ist abhängig von Art des Geländes und von Abstufung der zu ermittelnden
Höhenlinien
zwischen die Rostpunkte fallende etwaige charakteristische Geländepunkte sind mit
einzumessen
• in bewegterem Gelände kann gleichzeitige Bestimmung von Lage und Höhe der
Punkte (mit Tachymetern) erfolgen
Aufnahme Geripplinen: Rücken- und Muldenpunkte, Geländeknicke (Gefällwechsel,
Böschungskanten)
ERFAHRUNG NÖTIG!
9.2.2
Höhenaufnahme
• entweder tachymetrische Bestimmung der Lage und Höhe der Punkte (Polarverfahren)
• oder einfache Absteckung der Punkte und Höhenbestimmung mit Nivellieren einfacher Genauigkeit
- Anschluß des Nivellements an zwei bekannte Höhenpunkte (Kontrolle)
- Rostaufnahme über die notwendigen Wechselpunkte und auch Seitenblicke
- lange Zielweiten möglich (≤ 300 m), da Genauigkeitsforderung gering
9.2.3
Höhenlinien
• =⇒ Computerprogramme
Bei manueller Bearbeitung:
1. lagemäßige Kartierung der Punkte und Kennzeichnung der Höhen (Höhenzahlen)
2. Interpolation der glatten Höhenwerte zwischen diesen Punkten
Abstände (0.1), 0,5, 1,0 m (flaches Gelände); 2,5, 5,0 m (bewegtes Gelände)
−→ gelände- & maßstabsabhängig
immer Nutzung der Punktverbindungen mit dem stärksten Gefälle
3. Konstruktion der Höhenlinien:
glatter Verlauf außer bei tatsächlichen Geländeknicken
Zur Klärung von Zweifeln oder Unstimmigkeiten ist im Feld ein geeigneter Handriß
anzufertigen!
Darstellung der charakteristischen Geländeformen und -linien im Handriß.
Höhenlinien werden gewöhnlich in brauner Farbe (Sepia) dargestellt und in geeigneten
83
Abständen eindeutig beziffert.
Haupthöhenlinien werden z.B. durch höhere Strichstärke hervorgehoben.
4
C
2
3
B
A
4
2
1
A
B
3
1
C
Beispiel Profileinbindung (links)
Beispiel Rostaufnahme (rechts)
(aus Kahmen, 1997)
9.3
Erdmassenermittlungen
• mit allen Ingenieurbauwerken sind Erdmassenbewegungen verbunden
• schon bei der Planung soll voraussichtlicher Erdmassenanfall minimiert werden
• Erdmassenausgleich soll angestrebt werden
Erdmassenberechnungen beruhen auf den Zusammenhängen der Stereometrie.
- Simpsonsche Regel, Guldinsche Regel
- Formeln zur Berechnung des Rauminhaltes von Prismen und Prismatoiden
Vermessungstechnische Grundlage sind Längs- und Querprofile, Flächennivellements
bzw. topographische Geländeaufnahmen.
Die Erfassung der Unregelmäßigkeiten der Erdoberfläche mit mathematischen Körpern
kann nur mit vereinfachenden Annahmen erfolgen.
Die dadurch auftretenden Fehler lassen sich über diese Annahmen gut abschätzen.
=⇒ EDV-Programme zur Massenberechnung als Bestandteil von Projektierungssoftware!
9.3.1
Erdmassenberechnungen aus Querprofilen
• Tritt z.B. bei der Anlage von Dämmen, Anschnitten und Einschnitten für Verkehrstrassen auf.
84
• Grundlage sind die Ergebnisse von Querprofilaufnahmen in denen die Geländeoberfläche bezüglich des geplanten Querschnitts des Verkehrsweges dargestellt ist.
• Anwendung der Kepplerschen Faßregel und der Simpsonschen Regel für geraden
Trassenverlauf und der Guldinschen Regel für Abschnitte in Bögen
Kepplersche Faßregel/Simpsonsche Regel
(Mathemetik =⇒ einfache Regel zur numerischen Integration)
1
V = (F1 + 4Fm + F2 ) · l
6
F1 und F2
Fm
Querschnittsflächen benachbarter Profile
Querschnittsfläche in der Mitte zwischen den Profilen
Wird Fm = 12 (F1 + F2 ) gesetzt, ergibt sich die Vereinfachung:
1
V = (F1 + F2 ) · l
2
(∗)
Die Formeln gelten unter Beachtung der Vorzeichen für Auftrag (Damm) [+], Einschnitt
[-] und Anschnitt [+/-] (beim Anschnitt: aufgetragene Massen positiv, abgetragene
negativ → Differenzfläche).
Die Verallgemeinerung für n Querprofile liefert (Simpsonsche Regel):
dazu Unterteilung von l in n − 1 gleichlange Abschnitte (d.h. n ungerade)
V =
1
(F1 + 4(F2 + F4 + . . . + Fn−1 ) + 2(F3 + F5 + . . . + Fn−2 ) + Fn ) · l
3(n − 1)
oder mit der Vereinfachung Fm = 21 (F1 + F2 ) für jedes Teilstück die Verkettung von (*):
V =
Auftrag (A),
Einschnitt (C),
Anschnitt (B)
F2 + F3
Fn−1 + Fn
F1 + F2
l1 +
l2 + . . . +
ln−1
2
2
2
B
A
C
Die Querschnittsflächen gewinnt man aus den Koordinaten und Höhen oder manuell
durch ausplanimetrieren der graphischen Darstellungen.
Gaußsche Flächenformel (Fläche aus Koordinaten):
F =
1
[(s1 − s2 )(H1 + H2 ) + (s2 − s3 )(H2 + H3 ) + · · · + (sn − s1 )(Hn + H1 )]
2
si
Hi
85
Abstände zur Trassenleitlinie
Höhen der für die gegen den Uhrzeigersinn nummerierten Punkte
Anwendung der Gaußschen Flächenformel und der Simpsonschen Regel auf Querprofile
2
3
4
8
5
F1
2
F2
9
1
6 7
3
4
8
5
F3
F4
6 7
1
Punkt im
Profil 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Abstand von
der Trassenleitlinie
[m]
-4.3
-3.0
0.0
3.0
4.2
4.7
5.2
5.8
0.8
Höhe
[m]
33.16
35.76
35.67
35.58
33.78
33.03
33.03
33.92
33.49
Punkt im
Profil 2
1
2
3
4
5
6
7
8
Abstand von
der Trassenleitlinie
[m]
-4.3
-3.0
0.0
3.0
4.2
4.7
5.2
5.8
Höhe
[m]
31.91
34.2
34.43
34.34
32.43
31.69
31.69
32.60
l = 25m, F1 = 16.12m2 , F2 = 0.86m2 , F3 = 16.38m2 , F4 = 0.86m2
VD = 12 (F1 + F3 )l = 406.25m3
VE = 21 (F2 + F4 )l = 21.50m3
V = (VD − VE ) = 384.75m3
Guldinsche Regel
Verallgemeinerung der Simpsonschen Regel
Rotiert ein ebenes Flächenstück um eine Gerade, die höchstens
Randpunkte mit der Fläche gemeinsam hat, so ist das Volumen des
entstehenden Rotationskörpers gleich dem Produkt aus dem
Flächeninhalt und der Länge des Weges ihres Schwerpunktes.
86
V =Querschnittsfläche·Weg ihres Schwerpunktes
Der Schwerpunkt wird i.a. nicht mit der Mittelachse der Trasse zusammenfallen
(unsymmetrische Querschnittsflächen)!
Genauigkeitsbetrachtung
Für Prismen und Prismoide liefern die Kepplersche Faßregel und Simpsonsche Regel
exakte Ergebnisse!
Unterschied zwischen exakter Berechnung (Ergebnis V ) und Näherungslösung (Ergebnis
V ):
Fall 1: Gerade oder schiefe Prismen
F1 = F2 = Fm
und damit
V =V
Fall 2: Gerade oder schiefe Pyramiden
1
Fm = F1
4
Allgemein gilt der Zusammenhang:
F1 > 0,
F2 = 0,
−→
1
V = F1 ·l,
3
und damit
1
V = F1 ·l,
2
V ≤V
da alle praktisch möglichen Fälle (Prismoide) zwischen diesen Extremen liegen.
Praktische Erfahrungen zeigen, daß der relative Fehler
zwischen 1 und 5% liegt.
∆V
V
bei Erdmassenberechnungen
Genauigkeitsbetrachtung Guldinsche Regel
Bei der Guldinschen Regel ist der Fehler des Radius R des Bogens b, den der Schwerpunkt
beschreibt, zu betrachten.
Mit b (fehlerhafte Bogenlänge) und R (fehlerhafter Radius) erhält man:
b−b=b
R−R
R
∆V = F (b − b) = F · ∆b = F · b
R−R
R
Und für den relativen Fehler ergibt sich:
∆V
∆V
R−R
=
=
V
F ·b
R
Das heißt, der relative Fehler des Radius (oder der des Bogens) geht auf die Volumenbestimmung über.
Allgemeine Genauigkeitsaussagen
• Voraussetzung für eine gute Erdmassenberechnung ist gute Erfassung des Geländes
durch die Profile (Fehler 1 bis 4%)
1
∆V = V
6
87
• Für die Anwendung der Formeln ergibt sich daraus ein Fehler für die Volumen von
bis zu 5%
• Die systematischen Fehler lassen sich durch kürzere Profilabstände verringern
9.3.2
Erdmassenberechnungen aus Flächennivellements
• Flächennivellements oder Rostaufnahmen dienen zur Erfassung der Oberflächen
für kleine Bereiche
• es kann ein rechtwinkliges Raster (ebenes Gelände) oder auch eine unregelmäßige
Punktverteilung (bewegtes Gelände) vorliegen
• daher Unterteilung der Geländeoberfläche in Rechtecke und/oder Dreiecke möglich
⇒ Ableitung von Höhenplänen und Massenberechnungen möglich
• Zerlegung des Volumens in dreieckige oder Viereckige Prismen
• Berechnung der Teilvolumen V aus den Grundflächen F und den gemessenen
Höhen h über der Grundfläche
Volumen von Prismen (Ebenen als Deckflächen):
Volumen eines dreieckigen Prismas
Volumen eines viereckigen Prismas
V = FDreieck
h1 + h2 + h3
3
V = FV iereck
h1 + h2 + h3 + h4
4
Grundflächenberechnung aus den elementaren Formeln für Dreieck oder Viereck.
Beim Vorliegen von rechtwinkligen Koordinatenwerten für die Rasterpunkte kann die
Gaußsche Flächenformel verwendet werden:
F =
1
[(X1 − X2 )(Y1 + Y2 ) + (X2 − X3 )(Y2 + Y3 ) + . . . + (Xn − X1 )(Yn + Y1 )]
2
Flächenberechnung aus Polarkoordinaten:
n
1X
F =
si−1 si sin(αi − αi−1 )
2 i=1
Dreiecksroste können dem Gelände besser angepaßt werden als Quadratroste.
Exemplarisch läßt sich dies für ein Qadratrost zeigen:
A: Berechnunmg als Quadrat:
VQuadrat = FQuardat ·
h1 + h2 + h3 + h4
4
B: Berechnung über zwei Dreiecke:
VQuadrat = VDreieck1 + VDreieck2 =
FQuardat (h1 + h2 + h3 ) FQuardat (h2 + h3 + h4 )
+
6
6
88
VQuadrat = FQuardat
h1 + h4 h2 + h3
+
6
3
4
4
2
3
2
1
A
!
3
1
B
C
Veranschaulichung der verschiedenen möglichen Fälle:
A: Berechnung als Quadrat möglich (ebene Deckfläche)
B: Deckfläche mit Grat“ zwischen Punkt 2 und Punkt 4
”
C: Deckfläche mit Einschnitt“ zwischen Punkt 1 und Punkt 3
”
• Der zu erwartende relative Fehler
bei 0.5%
∆V
V
für die Massen liegt für geübte Beobachter
• Voraussetzung: gute Anpassung des Rasters an die Geländeformen
9.3.3
Erdmassenberechnungen aus Höhenlinien
Rückführung des Problems auf die Berechnung von Massen aus Längs- und Querprofilen
oder aus Flächennivellement.
• entweder: Ableitung von Längs- und Querprofilen aus dem Höhenlinienbild und
Massenberechnung nach den entsprechenden Formeln
• oder: Interpolation von Höhenrastern aus dem Höhenlinienbild und Weiterverarbeitung des Rasters
Beide Verfahren enthalten zusätzlich die Fehler der Höhenlinienbestimmung!
• Bestimmung der Flächen zwischen zwei Höhenlinien mit einem Planimeter und
Volumenberechnung mit der mittleren Höhe zwischen den Höhenlinien
Die erreichbare Genauigkeit
9.3.4
∆V
V
beträgt erfahrungsgemäß 1%.
Digitales Geländemodell
• nicht nur für rechnergestützte Durchführung sondern auch für Planung von Baumaßnahmen
• Dreidimensionale Aufnahme eines erweiterten Streifens um die mögliche Trassenführung
=⇒ Variantenrechnungen möglich
89
• Interpolation von Höhen zwischen den gemessenen Höhenpunkten z.B. über
Polynomansätze:
H(X,Y ) = a0 + a11 X + a12 Y + a21 X 2 + a22 XY + a23 Y 2 + · · ·
Die Koeffizienten aij können aus den gemessenen Höhen in einer Ausgleichung
bestimmt werden.

Vermessungskunde I - Beuth Hochschule für Technik Berlin

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