9.¨Ubung zur Algebra

9. Übung zur Algebra
Dr. L. Iancu, SoSe 2013
Aufgabe 1.
(Schriftlich, 5 Punkte) Sei p eine Primzahl und Fp = Z/pZ der Körper mit p
Elementen. Sei 0 6= f ∈ Fp [X] normiert, irreduzibel und K = Fp [X]/(f ). Nach dem Satz von
Kronecker ist K ein Körper und es gilt f (α) = 0 wobei α := X ∈ K.
(a) Zeigen Sie: Ist Grad(f ) = n ≥ 1, so hat K genau pn Elemente.
(b) Nun ist K × eine zyklische Gruppe nach Satz 8.10. Das Polynom f heißt Erzeuger-Polynom
wenn K × = hαi gilt. Zum Beispiel ist f = X 2 + 1 ∈ F3 [X] irreduzibel, aber kein Erzeuger-Polynom
(denn es gilt α2 + 1 = 0 also hat α Ordnung 4 in K × , aber |K × | = 8).
(i) Finden Sie alle Erzeuger-Polynome vom Grad ≤ 4 in F2 [X].
(ii) Sei f = X 4 + X + 1 ∈ F2 [X]. (Diese Polynom müsste in der Liste in (i) vorkommen.)
Sei K = F2 [X]/(f ) und α = X, wie oben. Dann ist also jedes Element in K × eindeutig
darstellbar als αi mit 1 ≤ i ≤ 15. Finden Sie solche Darstellungen für die Elemente
(1 + α)−1 ,
1 + α3 ,
1 + α5
und
α2 + α5 + α10 .
Bemerkung: Es ist weiterhin möglich, Erzeuger-Polynome mit speziellen Eigenschaften zu definieren,
die sogenannten Conway-Polynome; mit Hilfe dieser Polynome lässt sich sehr effizient in endlichen
Körpern rechnen. Siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Conway_polynomial_(finite_fields).
Aufgabe 2.
(Zum Votieren) Sei K ein Körper und 0 6= f ∈ K[X] normiert, irreduzibel mit
Grad(f ) = n ≥ 1. Dann ist L = K[X]/(f ) ein Körper; sei α = X ∈ L. Nach dem Satz von
Kronecker lässt sich jedes Element von L eindeutig schreiben als c0 + c1 α + . . . + cn−1 αn−1 mit
ci ∈ K.
(a) Sei K = Q und f = X 3 − X + 1 ∈ Q[X]. Mit dem Reduktionskriterium (p = 2) sehen wir, dass
f irreduzibel ist. Finden Sie eindeutige Darstellungen (wie oben) für die folgenden Elemente in L:
3
1 2 1
3
4
−1
α +
α − α+2 .
α ,
(2 − α) ,
5
3
5
(b) Sei K = F3 := Z/3Z und f = X 4 + 2X 3 + 2 ∈ F3 [X]; nach Ü8, A4 ist f irreduzibel. Finden Sie
eindeutige Darstellungen (wie oben) für die folgenden Elemente in L:
(α2 + 1)(2α2 + α + 2),
(2α3 + α + 2)2 ,
α−1 ,
(2α + 1)−1 .
Aufgabe 3.
(Zum Votieren) Für n ≥ 1 sei Φn ∈ C[X] das n-te Kreisteilungspolynom mit
Grad(Φn ) = φ(n). Gemäss der Vorlesung ist Φn ∈ Z[X] und Φn irreduzibel in Z[X].
1
2
(a) Sei ζn = cos(2π/n) + i sin(2π/n) ∈ C und f ∈ Z[X] beliebig mit f (ζn ) = 0. Zeigen Sie, dass
dann Φn | f gilt.
(b) Sei m ≥ 1. Zeigen Sie Φnm | Φn (X m ).
[Hinweis zu (a): Zeigen Sie zuerst Φn | f in Q[X]. Dazu betrachten Sie den ggT von f und Φn in Q[X]; nach dem
Euklidischen Algorithmus können Sie diesen ggT als Kombination von f und Φn schreiben.]
Aufgabe 4. (Schriftlich, 5 Punkte) Für n ≥ 1 sei Φn ∈ Z[X] das n-te Kreisteilungspolynom mit
Grad(Φn ) = φ(n), wie in der Vorlesung.
(a) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie: Ist p | n, so gilt φ(pn) = pφ(n) und Φn (X p ) = Φpn . Ist p ∤ n,
so gilt φ(pn) = (p − 1)φ(n) und Φn (X p ) = Φpn Φn .
(b) Zeigen Sie: Ist n > 1 ungerade, so gilt Φ2n = Φn (−X).
(c) Finden Sie eine explizite Formel für Φn für den Fall, dass n eine Potenz von 2 ist.
(d) Sei n > 1. Zeigen Sie: Φn (0) = 1. Außerdem gilt: Φn (1) = p falls n = pi und p eine Primzahl
ist, und Φn (1) = 1 sonst.
[Hinweis: Die Formel X n − 1 =
Q
d|n
Φd wird sehr oft nützlich sein.]
Aufgabe 5. (Selbststudium) Es gibt eine Reihe von Kriterien, um die Irreduzibilität von Polynomen in Z[X] zu testen, bei deren Beweis die komplexen Nullstellen von f entscheidend benutzt
werden. Hier ist ein solches (relativ einfaches) Kriterium.
Sei n ≥ 2 und f = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X ± p ∈ Z[X] wobei p eine Primzahl ist. Zeigen Sie:
1 + |a1 | + |a2 | + . . . + |an−1 | < p
=⇒
f irreduzibel.
Beispiel: Ist p > 2 Primzahl, so ist f = X n + X + p irreduzibel.
[Hinweis: Über C gilt f =
Qn
i=1 (X −zi )
mit zi ∈ C. Sei f = gh mit g, h ∈ Z[X]. Dann gilt g(0) = ±1 oder h(0) = ±1.
Schliessen Sie daraus, dass es ein i mit |zi | ≤ 1 gibt. Betrachten Sie nun 0 = f (zi ) = zin + an−1 zin−1 + . . . + a1 zi ± p.]
Abgabe der schriftlichen Aufgaben: Montag, den 24.6, in den Übungsgruppen.