Arrow`s Unmöglichkeitstheorem

Arrow’s Unmöglichkeitstheorem
Literatur: Peter C. Ordeshook, Game Theory and Political Theory:
An Introduction, Kapitel 2
Das Modell
• X Menge an Alternativen (x, y, z) oder (x1 , x2 , x3 , ...).
• N Menge der Individuen (1, ..., n).
• Individuelle Präferenzen: Jedes Individuum i hat eine Präferenzordnung Ri
über X
Notation:
x Âi y: Individuum i präferiert x gegenüber y strikt.
x ºi y: Individuum i präferiert x gegenüber y schwach.
x 'i y: Individuum i ist indifferent zwischen x und y.
• Soziale Präferenzordnung: R =(R1 , ..., Rn )
Das Modell (Fortsetzung)
• Soziale (gesellschaftliche) Präferenzen:
– G(R, X) = RG ist eine soziale Präferenzordnung, die die soziale
Präferenzrelation RG zwischen jedem Alternativenpaar in X festsetzt.
– G(R, X) → X ist eine soziale Entscheidungsfunktion, die individuelle
Präferenzen in ein Ergebnis aus X als soziales Ergebnis überführt.
– Zusammenhang von sozialer Präferenzordnung und sozialer
Entscheidungsfunktion:
G(R, {x, y}) = x ⇔ x ÂG y (x wird genau dann ausgewählt, wenn x
gegenüber y vorgezogen wird)
G(R, {x, y}) = {x, y} ⇔ x 'G y (x und y werden genau dann ausgewählt,
wenn es soziale Indifferenz zwischen x und y gibt)
Beispiel (für Intransitivität)
• X = {x, y, z}
• n=3
• individuelle Präferenzen
R1 : x Â1 y Â1 z
R2 : z Â2 x Â2 y
R3 : y Â3 z Â3 x
• R: x ÂG y falls x Âi y für mindestens 2 Individuen
x ÂG y
z ÂG x
y ÂG z
Arrow’s Anforderungen an die soziale Präferenzfunktion
(A1) Kollektive Rationalität
• Die soziale Präferenzfunktion G soll vollständig und transitiv sein.
(A2) Universelle Gültigkeit
• G(R1 ,...,Rn ) muss für alle möglichen Kombinationen von individuellen
Präferenzordnungen definiert werden.
(A3) Pareto-Prinzip
• Falls x Âi y ∀i, dann muss gelten: x ÂG y.
(A4) Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen
• sei x ÂG y für Präferenzprofile R1 , R2 , ..., Rn
• und seien R10 , ..., Rn0 andere Präferenzprofile für die gilt:
xRi y = xRi0 y
• dann muss gelten: x ÂG y.
(A5) Nicht-Diktatur
• Eine Gruppe g (oder ein Individuum i) ist bestimmend für x gegen y, wenn
G(R, {x, y}) = x ÂG y für jedes zulässige Präferenzenprofil R, in dem alle
Mitglieder von g (oder i) x gegenüber y präferieren, wohingegen alle anderen y
gegenüber x vorziehen.
• Nicht-Diktatur heißt, dass kein Individuum i für jedes Paar von Alternativen
bestimmend ist.
D.h. es gibt kein Individuum i ∈ {1,...,n}, so dass für alle Kombinationen
individueller Präferenzen und für alle Paare x, y gilt:
Falls x Âi y und x ≺−i y ⇒ x ÂG y.
Arrow’s Unmöglichkeitstheorem
Falls X mindestens 3 Elemente enthält und n ≥ 3, dann sind die einzigen sozialen
Präferenzfunktionen G(R1 , ..., Rn ), die (A1) - (A4) erfüllen, solche die (A5)
verletzen, d.h. die diktatorisch sind.
Kommentar:
Allgemeiner gilt: Wenn beliebige 4 der 5 Axiome erfüllt sind, dann ist das fünfte
verletzt. Zum Beispiel können Entscheidungsregeln, die (A2) - (A5) genügen, nicht
garantieren, dass die soziale Präferenzfunktion G vollständig und transitiv ist. Das
bedeutet aber nicht, dass dann alle Präferenzen zu einer intransitiven sozialen
Präferenzfunktion führen, sondern nur dass für jede Institution, die (A2) - (A5)
erfüllt, individuelle Präferenzen existieren, so dass die soziale Präferenzfunktion
intransitiv ist.
Bedeutung
• Arrow’s Theorem besagt, dass es keine soziale Entscheidungsregel gibt, die
seine 5 Axiome erfüllt.
• Dies ist ein erstaunliches Ergebnis! Seine Bedingungen scheinen auf den ersten
Blick nicht miteinander in Konflikt zu stehen.
• Schlimmer noch: Dies ist nur eine kurze Liste von wünschenswerten Kriterien
für eine soziale Entscheidungsregel. Vieles mehr könnte gefordert werden:
– Eine einelementige Ergebnismenge (G soll definitiv sein)
– Anreize für Individuen ihre wahren Präferenzen anzugeben (Keine
Manipulierbarkeit)
– Individuen sollten das Recht haben, einzelne Alternativen zurückzuweisen,
z.B. könnte gewünscht werden, dass Individuen das Recht haben ein Amt
abzulehnen
• Aber wenn es keine Entscheidungsregel gibt, die alle 5 Axiome von Arrow
erfüllt, dann gibt es erst recht keine, die diese 5 und noch weitere Bedingungen
erfüllt!
Beweisidee
• Beweisschritt 2:
Falls (A1) - (A4) gelten, dann gibt es ein Individuum i und ein
Alternativenpaar x und z, so dass i für x und z bestimmend ist.
• Beweisschritt 1:
Wenn ein Individuum i bestimmend ist für 2 Alternativen x und z, dann ist es
bestimmend für jedes Paar y und w, d.h. i ist ein Diktator.
Beweis (Teil I)
(B1) Gegeben sei ein Präferenzenprofil R bei dem Individuum i x gegenüber y
vorzieht, während alle anderen y gegenüber x präferieren. Wenn dort x ºG y
gilt, dann gilt x ºG y für jedes Präferenzenprofil R0 in dem i x gegenüber y
vorzieht und alle anderen y gegenüber x vorziehen.
Begründung: Dies folgt direkt aus der Unabhängigkeit von irrelevanten
Alternativen (A4), da die Präferenzen zwischen x und y für alle Individuen in
beiden Präferenzenprofilen gleich sind.
Beweis (Teil II)
(B2) Wenn i bestimmend für x gegen y ist, dann ist i auch bestimmend für x gegen
jedes z 6= x.
Begründung:
– Gemäß der universellen Gültigkeit (A2) ist folgendes Präferenzenprofil
zulässig:
Individuum i: x Âi y Âi z
Individuum k aus N-{i}: y Âk z Âk x
– Da i bestimmend für x gegen y ist, gilt x ÂG y.
– Weiter gilt wegen des Pareto-Prinzips (A3) y ÂG z.
– Also gilt wegen der kollektiven Rationalität (A1) x ÂG y ÂG z.
– Somit ist nach (B1) i bestimmend für x gegen z.
Beweis (Teil III)
(B3) Wenn i bestimmend für x gegen y ist, dann ist i auch bestimmend für jedes
z 6= y gegen y.
Begründung:
– Gemäß der universellen Gültigkeit (A2) ist folgendes Präferenzenprofil
zulässig:
Individuum i: z Âi x Âi y
Individuum k aus N − {i}: y Âk z Âk x
– Nach dem Pareto-Prinzip (A3) gilt z ÂG x.
– Da i bestimmend ist, gilt x ÂG y.
– Also gilt nach der kollektiven Rationalität (A1) z ÂG y.
– Somit ist nach (B1) i bestimmend für z gegen y.
Beweis (Teil IV)
(B4) Wenn i bestimmend für x gegen y ist, dann ist i auch bestimmend für jedes z
gegen jedes w 6= z.
Begründung:
– Nach Annahme gibt es eine Alternative t, die sich von x und z
unterscheidet (da X mindestens 3 Elemente enthält).
– Wenn i nun bestimmend für x gegen y ist, dann ist i nach (B2) bestimmend
für x gegen t, nach (B3) bestimmend für z gegen t und schließlich nach (B2)
bestimmend für z gegen w.
Beweis (Teil V)
(B5) Ein Individuum ist bestimmend für jedes Paar voneinander verschiedener
Alternativen, womit die Nicht-Diktatur (A5) verletzt ist.
Begründung:
– Sei g die kleinste bestimmende Menge zwischen x und y. Dann gilt ∀i ∈ g,
dass g − {i} nicht bestimmend ist. Nach dem Pareto-Prinzip (A3) ist g 6= ∅,
da N bestimmend ist.
– Gemäß der universellen Gültigkeit (A2) ist folgendes Präferenzenprofil
zulässig:
Ein bestimmtes Individuum i aus g: x Âi y Âi z
Jedes Individuum j aus g − {i}: z Âj x Âj y
Jedes Individuum k aus N − {g}: y Âk z Âk x
Beweis (Teil VI)
– Da g bestimmend ist, gilt x ÂG y.
– Wenn z ÂG y wäre, dann wäre nach (B1) g − {i} bestimmend für z gegen y,
was der Annahme widerspricht, dass g − {i} nicht bestimmend ist. Folglich
muss y ºG z gelten.
– Aber nach der kollektiven Rationalität (A1) gilt dann x ÂG y ºG z und
x ÂG z.
– Nach (B1) ist i bestimmend für x gegen z. Nach (B4) ist i bestimmend für
jedes Paar voneinander verschiedener Alternativen, womit (B5) und somit
das Arrow-Theorem bewiesen sind.
q.e.d.
Intuitive Erklärung des Theorems
• Es gibt keine soziale Entscheidungsregel, die alle 5 Axiome erfüllt.
• Begründung dafür:
– Wegen (A4) ist nur paarweiser Vergleich der Alternativen erlaubt.
– Andererseits wird aber Transitivität gefordert.
– Es ist aber nur in einem Fall möglich sicherzustellen, dass ein paarweiser
Vergleich zu transitiven Ergebnissen führt, und zwar im Fall einer Diktatur
(dort können Präferenzen vollständig konsistent aggregiert werden).
– Somit wird eins der Axiome verletzt.
Folgerungen aus Arrow’s Unmöglichkeitstheorem
• Normative Äußerungen bezüglich sozialer Wohlfahrt müssen der Analyse
individueller Präferenzen folgen. Im Gegensatz zu individuellen Präferenzen
sind aber soziale Präferenzen eventuell nicht transitiv. Somit gibt es nicht
unbedingt eine eindeutige beste Wahl für die Allgemeinheit.
• Gruppen unterscheiden sich von Individuen. Um gemeinsames Handeln zu
verstehen, müssen Prozeduren, Institutionen und die Entscheidungen von
Individuen in solchen Umgebungen analysiert werden.