0.1 Barometrische Höhenformel - Didaktik der Chemie

0.1
Barometrische Höhenformel
Da, wie aus den bisherigen Überlegungen hervorgegeangen ist, Gase kompressibel sind,
kann deren Dichte nicht als konstant angesehen werden. Dies hat Konsequenzen auf den
Schweredruck der Luft unserer Erde. Es folgt daraus, dass höhere Luftschichten die unteren
zusammendrücken. Die Dichte % der Luft ist deshalb eine Funktion der Höhe.
% = %(h)
Betrachten wir nun allerdings eine unendlich dünne Luftschicht der Dicke dh,
h
6
dh
0 Erdoberfläche
so kann man innerhalb dieser Schicht die Dichte als konstant ansetzen. Damit ergibt
sich über diese Schicht eine Druckänderung von
dp = −% g dh
(1)
Da sich in der Tropossphäre (bis h ≈ 11 · 103 m) das Wettergeschehen der Erde abspielt,
kann man davon ausgehen, dass diese Schicht gut vermischt wird und daher die Zusammensetzung der Luft in dieser Schicht konstant ist. Unter dieser Voraussetzung lässt sich nun
die molare Masse der Luft (80 % Stickstoff, 20 % Sauerstoff, andere Beiträge, wie Edelgase,
seien hier vernachlässigt) berechnen.
M (Luft) = 0.8 M (N2 ) + 0.2 M (O2 )
kg
= 28.8 · 10−3
mol
Die Dichte berechnet sich damit aus der idealen Gasgleichung zu
pV
= n RT
= Mn
R
T
M
1
Mp
M
=
V
n RT
M
Mp
%=
=
Vm
RT
Vm :
molares Volumen von Luft
m3
= 2.48 · 10−2 mol
bei T = T
c = 298 K
und p = p−◦ = 1 · 105 Pa
Einsetzen in Gleichung (1) ergibt nun
Mp
g dh
RT
M
dp
= −
g dh
p
RT
dp = −
(2)
Temperaturunabhängige Lösung
betrachtet man die Temperatur über die Höhe als konstant (T = T
c ), was bekanntlich ja
falsch ist, ergibt sich folgende Lösung
Zp
dp
M
= −
g
p
RT
c
◦
p−
Zh
dh
h=0
p
ln p
◦
p−
p
ln −◦
p
M
g h
RT
c
M
= −
gh
RT
c
h
= −
h=0
e...
M
p(h) = p−◦ e− R Tc g h
−%
p(h) = p−◦ e
−
◦gh
◦
p−
barometrische Höhenformel
Hieraus ergibt sich nun z.B. der Luftdruck am Mount Everest (h = 8848 m) zu
p = 3.65 · 104 Pa
Temperaturabhängige Lösung
Hierbei muss man sich zunächst Gedanken über den Temperaturverlauf zu machen. Dieser
2
ist in der Tropossphäre linear abnehmend mit der Höhe und in der Stratossphäre konstant 1
T
6
T =T
c HH
HH
H
HH
H
HH
H
HH
H
HH
T = 227 K
- h
0 Tropossphäre
11 km
Tropopause
Stratossphäre
Beschäftigen wir uns mit der Tropossphäre, nur das soll hier behandelt werden, so ergibt
sich
dT
dh
= −a
wobei sich a aus der Literatur ergibt zu
a = 6.5 · 10−3
K
m
Für den Temperaturverlauf gilt daher
ZT
Zh
dT = −a
T =T
c
dh
h=0
T (h) = T
c − ah
Einsetzen in Gleichung (2) führt nun zu
Zp
dp
Mg
= −
p
R
◦
p−
1
dh
T
c − ah
h=0
p
ln p
Zh
◦
p−
Mg
= −
R
1
ln (cT − a h)
−a
1
R. Lux, Institut für Luftfahrt, TU Dresden;
URL http://www.ifl.tu-dresden.de/fach/pdf/ad kap12.pdf
3
h
h=0
ln
Mg
p
=
ln (cT − a h)
−
◦
p
aR
M g
p
T
c − a h aR
=
p−◦
T
c
p(h) = p−◦
ah
1−
T
c
g
M
aR
h
e...
h=0
barometrische Höhenformel
(temperaturabhängig)
Hieraus ergibt sich nun der Luftdruck am Mount Everest (h = 8848 m) zu
p = 3.26 · 104 Pa
also etwa 10 % geringer als bei der temperaturunabhängigen barometrischen Höhenformel.
p
Pa
105
1.0
6
0.8
0.6
temperaturunabhängig
0.4
1
temperaturabhängig
?
0.2
-
0
2
4
6
Abbildung 1: Höhenabhängigkeit des Luftdrucks
So nun zur eigentlichen Frage
4
8
10
h
103 m
1
Druckabhängigkeit der Siedetemperatur
des Wassers
Hierzu ist es wichtig die Clausius Clapeyron’sche Gleichung
−
◦
∆Hvap
p(T1 )
ln
=
p(T0 )
R
1
1
−
T0 T1
Gleichung von
Clausius Clapeyron
näher zu betrachten. Diese geht aus der Betrachtung des Phasengleichgewichts reiner Stoffe hervor. Eine weitere Herleitung sei hier nicht gegeben. Diese geht aus einschlägigen
Lehrbüchern sowie ausführlich aus 2 hervor.
Setzt man nun hier die Siedebedingung
Eine Flüssigkeit siedet, wenn ihr Dampfdruck
gleich dem Umgebungsdruck ist.
ein, so ergibt sich
−
◦
∆Hvap
p(T1 )
1
1
ln −◦
=
−
p
R
Tb T1
1
1
R
p(T1 )
−
=
ln
−
◦
Tb T1
∆Hvap
p−◦
1
1
R
p−◦
=
+
ln
−
◦
T1
Tb ∆Hvap
p(T1 )
−1
1
R
p−◦
T1 =
+
ln
−
◦
Tb ∆Hvap
p(T1 )
kJ
−
◦
Mit ∆Hvap
= 40.6 mol
und der Siedetemperatur Tb = 373 K bei Standardbedingungen
ergibt sich damit für die Siedetemperatur von Wasser am Mount Everest zu
346.3 K temperaturunabhängige
T1 =
barometrische Höhenformel
343.6 K temperaturabhängige
Da nun aber der tatsächliche Luftdruck am Mount Everest vom tatsächlichen Luftdruck
auf Meereshöhe und nicht von einem genormten Standardluftdruck p−◦ = 105 Pa abhängt,
2
W. Häfner, Physkalische Chemie für Lehramtsstudierende, Thermodynamik, Elektrochemie und Kinetik, Vorl. Skriptum, Universität Bayreuth PC II, 2002.
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ist die Siedetemperatur natürlich abhängig von den Wetterbedingungen. Bei einem Tiefbzw. Hochdruckgebiet kann der Luftdruck durchaus um ±10 % variieren. Dies führt zu
Änderungen der Siedetemperatur im Bereich von Graden. Es ist deshalb an dieser Stelle
nicht möglich zu entscheiden, liegt die Siedetemperatur aktuell ober- oder unterhalb von
70 ◦ C.
6