Was sind Rotationskörper

Referat im Fach Mathematik
Thema: Berechnung von Rotationskörpern mit
klassischen Methoden und mit
Integralrechnung am Beispiel von Kegel,
Kugel und Rotationsellipsoid.
Verfasser: Ruben Faller
Inhaltsverzeichnis
1.
Was sind Rotationskörper?
2.
Zum Prinzip der Volumenberechnung von Rotationskörpern
mit Integralrechnung
S. 1
S. 1
3.1. Volumenberechnung des Kegels klassisch
S. 3
3.2. Volumenberechnung des Kegels mit Integralrechnung
S. 4
3.3. Rechenbeispiel zur Berechnung eines Kegels
S. 5
4.1. Volumenberechnung der Kugel klassisch
S. 6
4.2. Volumenberechnung der Kugel mit Integralrechnung
S. 7
4.3. Rechenbeispiel zur Berechnung einer Kugel
S. 7
5.
S. 8
Volumenberechnung beim Rotationsellipsoid
Quellenverzeichnis
1. Was sind Rotationskörper?
Rotationskörper entstehen durch die Rotation eines Graphen bzw. eines Graphenabschnitts um die 1. Achse (Rotationen um die 2. Achse sind auch möglich, sollen hier
aber nicht behandelt werden). Die Querschnittsflächen der so entstandenen Körper sind
Kreise. Der Radius dieser Kreise wird durch die Funktionswerte der Randfunktion
bestimmt. Die Randfunktion begrenzt den Körper. Das soll am Beispiel des einfachsten
Rotationskörpers, dem Zylinder, erläutert werden.
Der Graph einer konstanten Funktion f (x) = c über dem Intervall [ a, b] rotiert um die 1.
Achse (blauer Graphenabschnitt). Er umschließt mit der x – Achse und den Geraden x =
a und x = b eine Rechteckfläche. Durch die Rotation entsteht ein Zylinder mit dem Radius
c und der Höhe h, wobei h = b – a.
Für das Volumen dieses Zylinders ergibt sich durch
V = Grundfläche ∗ Höhe
V = π ∗ c2 ∗ ( b – a )
Ziel ist nun, mit Hilfe der Randfunktion und der Integralrechnung das Volumen von
Rotationskörpern zu berechnen und am Beispiel von Kegel, Kugel und Rotationsellipsoid
auch die klassische Volumenberechnung dieser Körper aufzuzeigen.
2. Zum Prinzip der Volumenberechnung von Rotationskörpern mit Integralrechnung
Das Verfahren zur Bestimmung des Volumens von Rotationskörpern mit Hilfe der
Integralrechnung basiert auf der Flächenberechnung unter Graphen.
Das Verfahren möchte ich am Beispiel der Funktion f (x) = x erklären. Aus der Abbildung
geht hervor, dass der Flächeninhalt A = 8.
Man unterteilt das Intervall (hier [ 0,4] ) in gleich breite Rechtecke und bildet so die
Untersumme Un der Fläche. Vergrößert man n, so nähert man sich dem gesuchten
1
Flächeninhalt immer genauer. Deshalb unterteilt man das Intervall in immer kleinere
Teilintervalle und untersucht die Untersumme auf einen Grenzwert für
n → ∞ . So gilt:
Un =
Un =
4
4
4
4 
0 + + 2 ∗ + ... + ( n − 1) ∗ 

n
n
n
n 
16
n
2
[1 +
2 + 3 + ... + ( n − 1) ]
Wegen 1+2+3+… ( n − 1) =
Un =
1
n ( n − 1) folgt
2
16 n n − 1
∗ ∗
2 n
n
=8
n− 1
n
1

= 8 1− 
n

Grenzwert, so ist :
lassen wir n über alle Grenzen wachsen und bilden den
lim
n→ ∞
Un = 8
das Gleiche kann man mit der Obersumme machen
Eine stetige Funktion f hat für jede Produktsumme Sn einen Grenzwert für n → ∞
Dieser Grenzwert ist der gesuchte Flächeninhalt. Der Grenzwert lim
Sn heißt das
n→ ∞
Integral der Funktion f zwischen den Grenzen a und b.
lim S n =
n→ ∞
b
∫ f ( x)
dx
a
Bei der Bestimmung des Volumens von Rotationskörpern mit Hilfe der
Integralrechnung unterteilt man das Intervall [ a, b] wieder in n gleich lange
Teilintervalle und betrachtet die einbeschriebenen und umbeschriebenen
Treppenfiguren aus Rechtecken. Lässt man diese ebenfalls um die x – Achse
rotieren, so gibt es zu jedem Teilintervall einen Zylinder, der den Körper von außen
2
und von innen berührt. Man muss sich den Körper jetzt aus unendlich vielen kleinen
Zylinderscheiben unendlich kleiner Höhe (Dicke) vorstellen. Man wählt nun xk im
kten Teilintervall so, dass f(xk ) genau zwischen dem inneren und dem äußern
Zylinderradius liegt. Damit ist das Volumen dieses Rotationskörpers K Summe der
unendlich vielen Einzelzylinder.
Vn = Π (f(x1))2 ∗ h + Π (f(x2))2 ∗ h + … + Π (f(xn))2 ∗ h
Für n → ∞ ergibt diese Summe das Integral mit dem sich alle Rotationskörper
berechnen lassen:
a
V= Π
2
∫ ( f ( x))
dx
b
3.1. Volumenberechnung des Kegels klassisch
Grundlegend für die klassische Volumenberechnung des Kegels ist die Volumenberechnung der Pyramide, wonach man z.B. einen Würfel in drei gleiche
Pyramiden zerlegen kann. Die Pyramiden haben gleiche Grundflächen und Höhe.
Wichtig für die Volumenberechnung des Kegels ist nun der Satz des Cavalieri
(1598 – 1647), wonach zwei Körper, die gleiche Grundfläche und in gleicher Höhe
gleiche Parallelquerschnitte zur Grundfläche haben das gleiche Volumen besitzen.
Die Grundfläche einer Pyramide ist ein regelmäßiges Vieleck. Wenn man die
Eckzahl dieses Vielecks immer mehr vergrößert, so nähert sich dieses Vieleck
3
einem Kreis. Dadurch entsteht aus einer Pyramide ein Kegel mit der Grundfläche G
und der Höhe h.
V =
1
3
VKegel =
G
1
3
mit G = Π
h
Π
r2
r2
h
3.2. Volumenberechnung des Kegels mit Integralrechnung
Durch Rotation des Graphen der Funktion f (x) = mx mit der Steigung m =
r
h
entsteht ein Kegel, wobei h die Höhe und r der Radius des Grundkreises ist. Die
Kegelspitze liegt im Ursprung und der Mittelpunkt des Grundkreises bei (h/0). In der
Elementargeometrie berechnet man das Volumen mit V =
1
Π r2 h. Bei der
3
Bestimmung des Volumens mit Hilfe der Integralrechnung unterteilt man das
Intervall [ 0,4] wieder in n gleich lange Teilintervalle und betrachtet die
einbeschriebenen und umbeschriebenen Treppenfiguren aus Rechtecken. Lässt
man diese um die x – Achse rotieren, so gibt es zu jedem Teilintervall einen
Zylinder, der den Kegel von außen und von innen berührt. Man kann sich nun den
Kegel wieder zusammengesetzt aus unendlich vielen kleinen Zylinderscheiben
unendlich kleiner Höhe (Dicke) vorstellen.
Radius eines unendlich kleinen Zylinders:
r
∗ x
h
(Strahlensatz)
r
r2
2
Volumen eines unendlich kleinen Zylinders: ( ∗ x) ∗ Π ∗ dx = 2 ∗ Π ∗ x2 ∗ dx
h
h
4
Das gesamte Volumen des Kegels entspricht allen unendlich kleinen Zylindern. Zur
Volumenberechnung bildet man das Integral mit den Intervallgrenzen 0 und h.
2
r
∫
h
h
V =
∗Π ∗
2
0
V =
r
V =
r
V =
r
2
∗Π
h
2
∗Π
h
2
2
2
∗Π
h
2
x
2
r
∗ dx =
2
∗Π
h
2
h
∗
∫ x dx
2
0
 3
∗x
 3 
3
 3

h
0


∗
−
 3
3 

3
∗ h
3
Dies ergibt die bekannte Volumenformel für den Kegel aus der
Elementargeometrie:
V =
1
∗
3
r
2
∗Π ∗h
3.3. Rechenbeispiel zur Berechnung eines Kegels
Um ein Rechenbeispiel zur Volumenberechnung eines Kegels nach klassischer
Methode und mit Integralrechnung zu zeigen, nehmen wir einen Kegel mit h = 5
und r = 2.
Klassisch
VKegel =
1
∗ Π
3
VKegel =
1
∗ Π
3
Integralrechnung
Der Kegel entsteht durch Rotation des
2
Graphen der Funktion f(x) = x im
5
[
5
,
0
]
Intervall
5
∗ 22 ∗ 5
V= Π
2
∫ ( f (0,4 x))
0
5
∗ 20
V= Π
∫ 0,16 x
2
dx
0
VKegel = 20, 94
3
 0,16
∗ x
V = Π
 3

0,16
3
∗5
V = Π ∗
3
VKegel = 20,94
5
dx
4.1. Volumenberechnung der Kugel klassisch
Die klassische Berechnung der Kugel geht zurück auf das 3. Jahrhundert vor Chr.
auf Archimedes von Syrakus. Er fand heraus, dass das Volumen einer Halbkugel
gleich zwei Drittel eines Zylinders mit gleichem Radius und Höhe entspricht.
Archimedes stellte das Volumen der Halbkugel dem Volumen des Restkörpers, aus
dem wie in der linken Abbildung dargestellt ein Kegel ausgeschnitten wurde,
gegenüber. Dabei stellte er fest, dass die Halbkugel und der Restkörper gleiches
Volumen hatten.
V Restkörper
= VZylinder - VKegel
V
= Π r2 r -
V
=
1
Π r2 r
3
2
Π r3
3
Beweis: Durch einen ebenen Schnitt in der Höhe x ergibt sich beim Restkörper ein
Kreisring und bei der Halbkugel eine Kreisfläche (rechte Abbildung).
A1 = Π ( r2 – x2)
Flächeninhalt des Kreisringes: r1 = x
Flächeninhalt der Kreisfläche:
Es gilt:
r
2
2
= r2 – x2 A2 = Π ( r2 – x2)
A1 = A2 für alle x.
Nach dem Satz von Cavalieri haben die beiden Körper das gleiche Volumen, weil
beide Schnittflächen gleich groß sind.
V Halbkugel =
2
Π r3
3
verdoppelt
V Kugel =
4
Π r3
3
Das Kugelvolumen lässt sich auch experimentell ermitteln und so die Volumenformel bestätigen, indem eine Kugel in Wasser eingetaucht und das verdrängte
Wasservolumen gemessen wird.
6
d = 6,6 cm → r = 3,3 cm
Wasserhöhe im Zylinder
Kugel eintauchen
V = 650 – 500
= 150 cm3
4.2. Volumenberechnung der Kugel mit Integralrechnung
Eine Kugel entsteht durch Rotation eines Halbkreises um die x – Achse. Der
2
r−x
Halbkreis ist der Graph der Funktion f(x) =
2
,
a
∫ ( f ( x))
Formel für Rotationskörper: V = Π
2
dx
b
r
∫( r − x )
V= Π
2 2
2
dx
−r
r
V= Π
∫ (r − x )
2
2
dx
−r
1 3
 2
V = Π  (r x − x 
3 

3
V = Π ( (r −
V=
4
Π
3
r
1 3
) − (−
3r
3
4.3. Rechenbeispiel zur Berechnung einer Kugel
Gegeben sei eine Kugel mit dem Radius r = 4.
7
r
3
+
1 3
)
3r
klassisch
4
V Kugel = Π r3
3
Integralrechnung
a
dx
b
4
Π 43
3
V Kugel =
2
∫ ( f ( x))
V= Π
Pythagoras:
x2 + y2 = r2
V Kugel = 268,08
2
y =±
r−x
2
Somit hat der rotierende Halbkreis die
2
r−x
Funktion f(x) =
4
V= Π
2
∫ 4−x
2
2
2 dx
−4
∫ (16 − x ) dx
4
V= Π
2
−4
1 3

V = Π  16 x − x 
3 

3

1 3 
1
 
V = Π  64 − 4 −  − 64 − ( − 4 )  
3
3

 

64
64 

+ 64 −
V = Π  64 −
3
3 

V = 268,08
5. Volumenberechnung beim Rotationsellipsoid
Ein Rotationsellipsoid entsteht durch die Rotation einer Ellipse um eine der beiden
Koordinatenachsen, hier um die x - Achse. Im Gegensatz zum allgemeinen
Ellipsoid haben beim Rotationsellipsoid zwei der 3 Ellipsenachsen die gleiche
Länge.
Durch die Mittelpunktsgleichung einer
Ellipse erhält man:



2
2
x  y
 +  =1
a  b
2
8
y
2

2
= b  1−





x

a
2





Die Randfunktion über der x – Achse hat also die
Funktionsgleichung:
y= ±
b 
b −  x
a 
2
2
f ( x) =
b 
b −  x
a 
2
2
Herleitung der Volumenformel durch
Für das Rechenbeispiel sei
Integralrechnung:
a = 4 und b = 2
2
b 
∫ b 2−  x 
a 
a
V= Π
2
V= Π
dx
−a

 2
V = Π ∫ b −
− a

a
 2
V = Π ∫ b −

− a
a
b 
 x
a 
2
b x
a
2
2
2


 dx


2
dx
2
 2
1b 3

−
V = Π b a−
3 a2 a

4
∫ 4− x 2
16
2
4
V= Π
dx
−4
4
V =Π

4

∫  4 − 16 x  dx
2
−4
1 4 3

V = Π  4x − ∗
3 16 x 

2
 2
1 b 3

V = Π b x −
3 a 2 x 


−


2
b
2

1 4
1 4


∗ 64 −  − 16 + ∗
∗ 64  
V = Π  16 − ∗
3 16
3 16



2
1 b 3  

a+
3 a 2 a  

1
2
16
16 

+ 16 −

V = Π  16 −
3
3


b a − 3 b a 
32 


V = Π  32 −
3

2 2 
2

V = Π  2b a − b a 
3


V = Π
2
−4

 dx


1 2
 2
V = Π b a− b a+
3

2 
∫ 22 −  x 
4 
4
V = 67,02
4 2
a
3b
9
Quellenverzeichnis
Griesel, Heinz, Elemente der Mathematik 11, Schroedel Verlag, Hannover 1999
Griesel, Heinz, Elemente der Mathematik 12, Schroedel Verlag, Hannover 2000
Aits, Dieter, Zahlen und Größen 10, Cornelsen Verlag, Berlin 2002
Koullen, Reinhold, Zahlen und Größen 9, Cornelsen Verlag, Berlin1994
Koullen, Reinhold, Zahlen und Größen 10, Cornelsen Verlag, Berlin1995
Freudigmann, Hans, Analysis, Klett Verlag, Stuttgart, 2005
http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper
http://www.mathematik.de/spudema/spudema_beitraege/beitraege/mak/dateien/21.htm
http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=901&ref=http%3A%2F%2Fww
w.google.com%2Fsearch%3Fsourceid%3Dnavclient%26aq%3Dt%26ie%3DUTF8%26rls%3DIRFA%2CIRFA%3A200643%2CIRFA%3Aen%26q%3DRotationsk%25c3%25b6rper
http://wase.urz.uni-magdeburg.de/harbich/rotationskoerper.php
http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsellipsoid