Prinzip von Cavalieri Beispiel - JP-G.de

Mathematik für Physiker 2b
WS 2010/2011
Prinzip von Cavalieri
Sei M ⊆ Rp × Rq Lebesgue-messbar ⇒ Für fast jedes y0 ∈ Rq ist My0 messbar.
My0 = {x ∈ Rp | (x, y0 ) ∈ M }
Und es gilt:
Z
µp×q (M ) =
Rq
µp (My )dy
Beispiel
Sei K ⊆ R3 ein Kegel mit dem Einheitskreis als Grundfläche und Höhe h > 0.
1.0
0.5
0.0
-0.5
1.0
0.5
-1.0
0.0
-1.0
-0.5
-0.5
0.0
0.5
-1.0
1.0
Abbildung 1: Kegel
Sinnvollerweise schneidet man den Kegel horizontal, d. h. Kz0 := (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ h − z0
und damit ist:
Z
vol3 (K) =
[0,h]
1
π(h − z)2 dz = πh
3
[0,h]
Z
vol2 (Kz )dz =