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Algebra ist Geometrie
ist Algebra
Paderborn
10. November 2006
Claus Michael Ringel
(Bielefeld)
Was ist Geometrie?
Punkte, Geraden, Ebenen, der drei-dimensionale Raum,
höher-dimensionale Räume.
Polyeder:
Flächen:
Sphäre
usw.
Torus
Möbius-Band
Was ist Algebra?
Zu allererst: Das Rechnen mit Variablen ("Platzhaltern",
"Unbestimmten", "Buchstaben").
Diese Variablen stehen für Zahlen, oder für ganz andere Dinge, für die sich
Mathematiker interessieren: Funktionen, Operatoren, usw.
Was sind Algebren?
Rechensysteme: Vorgegeben sind eine Reihe von
Variablen, und zugehörige Rechenregeln,
zum Beispiel Kommutativität: ab = ba,
oder Regeln, wie man mit dem "Kommutator" ab-ba zu
rechen hat (z.B.: a(ab-ba) = (ab-ba)a )
Man spricht dann von "nicht-kommutativen" Algebren.
oder Nilpotenz-Bedingungen, wie etwa a3 = 0, usw.
Studiert werden einerseits Folgerungen, die sich aus den Vorgaben ableiten
lassen,
vor allem aber die möglichen Realisierungen, die "Darstellungen"
("representations", "Moduln") einer derartigen Algebra.
Al-Khwarizmi schrieb das Buch:
Hisab al-jabr w'al muqabala
Ziel: das Lösen von Gleichungen
Lineare Gleichungen
Quadratische Gleichungen
Abu Ja'far Muhammead ibn Musa
Al-Khwarizmi
(um 780 (Baghdad) - um 850)
gleiche Terme auf beiden
Seiten addieren
(um negative Terme zu
al-jabr
eliminieren)
Auch: Das Multiplizieren
beider Seiten mit einem
Term.
Subtraktion gleicher
muqabala
Terme auf beiden Seiten
Beispiel: Gegeben
sei
x2 - 3x + 12 =
5x +2,
al-jabr liefert:
x2
+ 12 =
8x +2
mit al-muqabala
erhalten wir:
x2
8x
+ 10 =
al-jabr
→ ALGEBRA
Al-Khwarizmi → ALGORITHMUS
Geometrie
Pythagoras of Samos
(~ 569 - ~ 475)
Euclid of Alexandria
(~ 325 - ~ 265).
Zwei alte Handschriften der Elemente des Euklid
Ms, 880 u.Z.
Ältestes Ms, um 100 u.Z.
Mathematics in the 20th century:
Geometry versus Algebra.
"The battle
between
geometry and
algebra
is like the
battle
between the
sexes."
(Atiyah)
<
<
Atiyah:
Algebra is to
geometry what you
might call the
"Faustian Offer".
Algebra is the
offer
made by the devil
to the
mathematician.
The devil: "I will give you this powerful machine,
and it will answer any question you like. All you
need to do is to give me your soul: give up geometry
and you will have this marvelleous machine."
The danger to our soul is
there, because
when you pass over into
algebraic calculation,
essentially you stop
thinking;
you stop thinking
geometrically,
you stop thinking
about meaning.
Kant: Kritik der reinen Vernunft
Zur Erinnerung: Kant unterscheidet strikt zwischen analytischen und synthetischen
Urteilen: "Entweder das Prädikat B gehört zum Subjekt A als etwas, was in diesem
Begriff (versteckterweise) enthalten ist; oder B liegt ganz außerhalb dem Begriff
A, ob es zwar mit demselben in Verbindung steht. Im ersten Fall nenne ich das
Urteil analytisch, im andern synthetisch." (45)
"Mathematische Urteile sind insgesamt synthetisch - dieser
Satz scheint den Bemerkungen der Zergliederung der
menschlichen Vernunft bisher entgangen, ja allen ihren
Vermutungen gerade entgegengesetzt zu sein." (48*)
Für Kant gilt: Mathematische Sätze werden aus der Anschauung, nicht aus dem
Verstandesbegriff gezogen.
Rehberg (Brief 447): "In Ansehung der geometrischen hat dies wohl keinen
Zweifel ... .
In Ansehung der arithmetischen Wahrheiten aber scheint es nicht also beschaffen
zu sein."
Als Beispiel dient Rehberg die Unmöglichkeit, aus der Zahl 2 die Wurzel zu ziehen
(innerhalb der Menge der rationalen Zahlen).
In seiner Antwort (Brief 448) verweist Kant darauf, dass es ja gerade die
Geometrie ist, die es erlaubt, die Wurzel aus 2 zu konstruieren (die Quadratwurzel
sei eben "selbst keine Zahl, sondern nur die Regel der Annäherung").
Algebra ist Geometrie ist Algebra
a rose is a rose is a rose ...
Gertrude Stein (1874 - 1946)
Gertrude Stein. Amerikanerin, lebte ab 1903 in
Paris.
Ihr Pariser
Salon war
Treffpunkt für:
Cézanne,
Monet, Renoir,
Daumier,
Gauguin.
Matisse und
Picasso,
Georges
Braque.
Alfred Jarry,
Guillaume
Apollinaire.
Jean Cocteau,
Tristan Tzara,
Man Ray.
Ernest
Hemingway,
Ezra Pound,
Thornton
Wilder, T.S.
Eliot.
John Dos
Passos.
und viele
andere.
Pablo Picasso: Gertrude Stein (1906), Metropolitan Museum of Art, New York.
Gertrude Stein
und ihre
Lebensgefährtin
Alice B. Toklas
und ihre Hunde.
Umschlagsentwurf von G. Stein für
The Autobiography of Alice B. Toklas
Algebra ist Geometrie ist Algebra ...
Die Bedeutung des Worts "ist":
Gleichheit: a = b
oder Enthaltensrelation.
Sokrates ist ein Mensch. Alle Menschen sind sterblich.
Warnung: Auch das mathematische Gleichheitszeichen ist nur
vordergründig symmetrisch!
Gleichungsketten, die von links nach rechts gelesen offensichtlich sind,
brauchen dies nicht zu sein, wenn man sie von rechts nach links liest.
Beispiel:
3 × 7 = 21
Multiplikation
(einfach)
21 = 3 × 7
Faktorisierung
oft schwierig!
3 × 7 = 21, von links nach rechts gelesen: Informationsverlust, also
Zunahme von Entropie.
Beispiel
3980750 8642406493 7397125500 5503864911
9906436234
2526708406 3851895759 4638895726 1768583317
4727721 4610743530 2536223071 9730482246
× 3291469530
2097116459 8521711305 2071125636
3590397527
1881 9881292060 7963838697 2394616504
=
3980716356 3379417382 7007633564
2298885971 5234665485 3190606065
0474304531 7388011303 3967161996
9232120573 4031879550 6569962213
0516875930 7650257059
Jens Franke (Universität Bonn) fand 2003 diese Faktorisierung. - Es
handelt sich dabei um die Aufgabe RSA-576 (formuliert von RSA
Security als 10.000$-Aufgabe).
RSA steht für Rivest, Shamir und Adleman. Ihre Arbeit A method for
obtaining digital signatures and public-key cryptosystems (1978) ist die
Grundlage für viele Verschlüsselungen.
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Home: Other Activities: Cryptographic Challenges: The RSA Factoring Challenge
The RSA Challenge Numbers
Cryptographic Challenges
The RSA Factoring
Challenge
The RSA Laboratories
Secret-Key Challenge
DES Challenge III
CT-RSA 2007
A link to each of the eight RSA challenge numbers is listed below. The numbers
are designated "RSA-XXXX", where XXXX is the number's length, in bits. The
values are presented as decimal strings, with the most significant digit first. Also
listed are the number of digits, the decimal sum of the digits and the dollar
amount to be awarded for a successful factorization.
Each challenge number may be downloaded as an ASCII text file. The entire
challenge list may be downloaded, in ASCII text format, using the link below.
Challenge
Number
Prize ($US) Status
Submission Date Submitter(s)
RSA-576
$10,000
Factored
December 3,
2003
J. Franke et al.
RSA-640
$20,000
Factored
November 2,
2005
F. Bahr et al.
RSA-704
$30,000
Not
Factored
RSA-768
$50,000
Not
Factored
RSA-896
$75,000
Not
Factored
RSA-1024
$100,000
Not
Factored
RSA-1536
$150,000
Not
Factored
RSA-2048
$200,000
Not
Factored
Download All Challenge Numbers In Text Format
RSA-576
Prize: $10,000
Status: Factored
Decimal Digits: 174
18819881292060796383869723946165043980716356337941
73827007633564229888597152346654853190606065047430
45317388011303396716199692321205734031879550656996
221305168759307650257059
Digit Sum: 785
Download Text
RSA-640
The RSA Fa
Challenge
The RSA
Numbers
The RSA
Challenge
Factorizat
Submissio
RSA-640
RSA-200
RSA-576
RSA-160
RSA-155
RSA-140
"... she would carve on the tree Rose is a Rose is a Rose is a
it went all the way around."
(Gertrude Stein in The world is Round).
Rose is a Rose until
"... she would carve on the tree Rose
is a Rose is a Rose is a Rose is a Rose until it went all the
way around."
(Gertrude Stein in The world is Round).
Geometrische Interpretation algebraischer
Formeln
Beispiel:
(a+b)2 = a2 +
2ab + b2
Algebraische Beweise für geometrische Aussagen
Beispiel: Pythagoras - im rechtwinkligen Dreieck gilt
a2 + b2 = c2
Die grünen Dreiecke sind ähnlich,
also ist c : a = a : p.
Algebraische Umformung: a2 = cp
Also: die gelben Rechtecke den
gleichen Flächeninhalt.
Entsprechend gilt b2 = cq. Und c2 =
c(p+q) = cp + cq.
Ein alter Werbespruch für Reiseführer:
Man sieht nur, was man weiß.
Andererseits:
Man versteht nur, was man auch sieht.
Verwenden wir hier die vorläufige Abgrenzung
Algebra
= Formelsprache
Geometrie = Bilder und Diagramme
so ergibt sich:
Algebra als Reiseführer für Geometer,
Geometrie: Sichtbarmachung.
Descartes und die Einführung von
Koordinatensystemen
Die Punkte der Ebene werden als Paare (x,y) reeller Zahlen aufgefasst:
Geraden und Kurven können dadurch durch Gleichungen beschrieben
werden.
René Descartes
1596 - 1650
Algebraisierung der Geometrie.
Sei k ein Körper (also etwa k = Q, R, C)
Sei P = k[X1,...,Xn] die Menge der Polynome in den Variablen X 1,...,Xn.
Ist S eine Teilmenge von P, so sei V(S) die Menge der gemeinsamen
Nullstellen dieser Polynome
(sie liegen im n-dimensionalen affinen Raum kn).
Ist umgekehrt M eine Teilmenge von kn, so sei I(M) die Menge aller
Polynome f mit f(M) = 0.
V
David Hilbert
1862 - 1943
n
Polynommengen
Teilmengen im k
I
semiprime Ideale
affine Varietäten
Ist k algebraisch abgeschlossener Körper (also etwa k = C) so erhält man eine Bijektion:
Funktionenring
affine Varietäten
affine Algebren
Spektrum
Dabei handelt es sich um Funktoren - wir erhalten kategorielle Äquivalenzen.
Beispiel
Betrachten wir zum Beispiel das kubische
Polynom
f(X,Y) = X2 + Y2 -1
Man erhält als Nullstellenmenge gerade den
Einheitskreis K.
Auf K sind einige interessante Funktionen
definiert:
die Projektion in Richtung der x-Achse, auf
die y-Achse: diese Abbildung nennt man
sin(t),
die Projektion in Richtung der y-Achse, auf
die x-Achse bezeichnet man mit cos(t).
(Hier ist t ein Punkt auf dem Einheitskreis, oder aber der
Winkel zwischen der Ursprungsgeraden durch den
gegebenen Punkt und der x-Achse.)
Es ist leicht zu sehen, dass man den von den Funktionen sin und cos
erzeugten Unterring R[K] (im Ring aller Funktionen K → R) mit dem
Faktorring R[X,Y]/(f) identifizieren kann.
Zweites Beispiel: Wir betrachten das kubische Polynom
f(X,Y) = Y2 - X3 + X
und seine Nullstellen in der komplexen Ebene C2. Man erhält als
Nullstellenmenge eine elliptische Kurve C = V(f), dies ist eine affine Varität.
Der Funktionenring C[C] ist C[X,Y]/(f), dies ist eine affine Algebra.
Schemata wurden von Grothendieck eingeführt, als
geometrische Interpretation algebraischer Sachverhalte, die aus
dem Hilbertschen Rahmen herausfielen. Insbesondere:
Nilpotente Elemente in kommutativen Ringen
Algebren, die nicht endlich erzeugt sind.
Seit Grothendieck weiß man:
Kommutative
Ringtheorie
ist
Algebraische
Geometrie
Alexander Grothendieck
1928 -
Zwei Anmerkungen sind notwendig:
Das "ist" wird von verschiedenen Mathematikern verschieden interpretiert, etwa:
Kommutative Ringtheorie ist ein Teil der Algebraischen Geometrie: die lokale Theorie.
Die Ringtheorie (= Algebra) ist für die lokale Beschreibung zuständig,
die Geometrie widmet sich den globalen Fragen.
Bei der Hilbertschen Äquivalenz habe ich unterschlagen, dass die genannten Funktoren
kontravariant sind: die Kategorien sind nicht äquivalent, sondern zueinander dual.
Kommutative
Algebra
ist dual zur
(kommutativen)
Geometrie
Bisher dachten wir:
Sinnvoller ist aber folgende Vorstellung:
Dualität
Dualitätsfragen spielen eine wichtige Rolle in Algebra wie in Geometrie. Es gibt aber einen
gravierenden Unterschied:
Geometrie
Typisches Beispiel:
Die Zuordnung Pol - Polare in der
Ebene, wenn ein Kegelschnitt gegeben
ist.
Derartige Entsprechungen sind fast
immer überraschend und
tiefliegend.
Algebra
Dualität wird oft einfach als ganz formaler
Übergang zur entgegengesetzten Kategorie
angesehen:
die Komposition f·g zweier Morphismen f,
g ist zu ersetzen durch die umgekehrte
Komposition g·f - ein völlig harmloser und
unspektakulärer Vorgang.
In konkreten Kategorien erscheint dagegen
auch in der Algebra ziemlich jede Dualität
als ein recht dramatisches Unterfangen:
etwa in der linearen Algebra, die Dualität
Hom( - ,k) der endlich-dimensionalen
k-Vektorr&aum;ume. Unterräume sind
mengentheoretisch viel einfacher zu
überblicken als Faktorräume.
Auslander-Reiten-Theorie
Sei Λ eine endlich-dimensionale Algebra.
mod Λ ist die Kategorie der (endl.dim.) Darstellungen
von Λ.
Man konstruiert den Auslander-Reiten-Köcher
Γ(Λ),
dies ist ein "Köcher", also ein gerichteter Graph:
Die Ecken von Γ(Λ) sind die Isomorphie-Klassen
der unzerlegbaren Darstellungen;
Pfeile stehen für irreduzible Abbildungen.
Maurice Auslander
1926 - 1994
Ist umgekehrt ein Translationsköcher Γ wie zum
Beispiel Γ(Λ) gegeben, so sei k[Γ] die zugehörige
Maschenkategorie.
mod Λ
Γ(Λ)
k[Γ(Λ)]
Es zeigt sich: Die Maschenkategorie k[Γ(Λ)] ist
ein vereinfachtes Modell der Kategorie mod Λ.
Beispiel: Λ = k[X,Y]/(X2,Y2)
Idun Reiten
1942 -
Abelsche Kategorien, triangulierte Kategorien
Sie verhalten sich ganz verschieden:
abelsche Kategorien entsprechen der Denkweise der Algebraiker,
ein starres Korsett,
Eindeutigkeit der Faktorisierungen,
Redundanz.
triangulierte Kategorien der der Topologen und Geometer.
Flexible Konstruktionen,
Eindeutigkeit immer nur bis auf "Homotopie".
Derivierte Kategorie
Jede abelsche Kategorie A
ist einbettbar in triangulierte Kategorien, etwa in Db(A),
umgekehrt kann man natürlich jede triangulierte Kategorie T
in eine Funktorkategorie (A,mod Z) einbetten
(und dies ist eine abelsche Kategorie).
M. C. Escher (1898 - 1972): Relativität (1953)
Die komplexe projektive Gerade P1C
Ausgangspunkt: die reelle (affine) Gerade R. Zwei
Erweiterungen:
eine geometrische - der Übergang zu projektiven
Koordinaten.
In der affinen
Geometrie gilt: je zwei Geraden in der Ebene schneiden sich üblicherweise in
einem Punkt, dagegen schneiden sich parallele Geraden nicht.
Die projektive
Geometrie verwendet nun zusätzliche ("uneigentliche") Punkte als Schnittpunkte
paralleler Geraden.
Projektiv gilt also: Je zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt.
Die projektiven Gerade P1R entsteht aus der affinen Geraden R durch
Hinzufügung eines einzelnen Punkts, der mit ∞ bezeichnet wird.
eine algebraische - das Arbeiten mit komplexen Zahlen.
Ausgangspunkt ist die Tatsache, dass zum Beispiel das Polynome X2 + 1 keine
(reelle) Nullstelle hat. Beim Arbeiten mit komplexen Koordinaten werden
derartige Nullstellen zu R hinzugefügt.
Geometrische
Veranschaulichung von
P1 C
als 2-Sphäre
("Riemannsche
Zahlenkugel")
Bernhard Riemann
1826-1866
Vektorräume
Mathematische Grundstruktur, die algebraische
und geometrische Wesenzüge vereint.
Die Sprache ist stark geometrisch (Vektoren,
Räume, Dimension; Translationen). Grassmann
nannte dies die "Ausdehnungslehre".
Das Vorgehen ist dagegen algebraisch;
Grundoperationen sind eine (kommutative)
Addition und eine Skalarmultiplikation.
Hermann Grassmann
1809 - 1877
Vektorräume in
Algebra
Algebren und Moduln
Geometrie
Vektorbündel
Eine Familie von
Algebren: Vektorräume mit einer Vektorräumen, wie zum
zusätzlichen Multiplikation.
Beispiel die Tangentialebenen
der 2-Sphäre
Beispiel: die Kronecker-Algebra Λ
("Tangentialbündel")
= die
Wege-Algebra
,
des Köchers
= Matrizen-Algebra
Algebra
Geometrie
Sei Λ die Kronecker-Algebra,
mod Λ die Kategorie der Λ-Moduln
(Klassifikation: Kronecker 1890)
Db(mod Λ) die derivierte Kategorie.
Sei coh P1C die Kategorie der kohärenten
Garben über P1C
(Klassifikation: Grothendieck)
Db(coh P1C) die derivierte Kategorie.
Diese beiden Kategorien sind äquivalent:
Db(mod Λ) ≈ Db(coh P1C)
Diese Klassifikation spielt in der Mathematik eine große Rolle!
Elliptische Kurven
Zum Beispiel die Nullstellenmenge des Polynoms Y2 - Y2 + Y2
Reelle Nullstellen in der affinen Ebene
In der komplexen projektiven Ebene erhält man einen
Torus.
Die Klassifikation der algebraischen Vektorbündel über einer elliptischen Kurve
erfolgte 1957 durch Atiyah. Hier gibt es gleich drei verschiedene Parameter:
eine rationale Zahl (slope),
ein Punkt der Kurve, und
schließlich eine natürliche Zahl.
Gewichtete projektive Geraden und kanonische Algebren
Was ist eine gewichtete projektive Gerade? Gegeben sind folgende
Daten:
t Elemente λ1, λ2, ... , λt der projektiven Geraden P1C.
t natürliche Zahlen p1, p2, ... , pt ≥ 2.
Diesen Daten X kann man eine Algebra zuordnen,
die zugehörige kanonische Algebra Λ,
und demnach die Modulkategorie mod Λ,
und deren derivierte Kategorie Db(mod Λ).
Geigle und Lenzing haben zu X ein geometrisches Modell definiert,
die Kategorie coh X der "kohärenten Garben" auf X
(insbesondere gehören dazu Vektorbündel),
und sie haben die fundamentale Beziehung gezeigt:
Helmut Lenzing
Db(coh X) ≈ Db(mod Λ)
Als einfachsten Spezialfall erhält man die Kronecker-Grothendieck-Äquivalenz.
Und Lenzing hat gezeigt, dass in den "tubularen" Fällen den gewichteten projektiven Geraden
elliptischen Kurven zugeordnet werden können, sodass die Beschreibung der Derivierten
Db(mod Λ) gerade der Atiyah-Klassifikation entspricht.
- Ein Beispiel: der E8(1)-Fall mit t = 3 und (p1,p2,p3) = (6,3,2)
Helmut Lenzing
Das Plakat präsentiert einige Themenstellungen aus dem Umfeld der
gewichteten projektiven Geraden, die immer mit dem Namen Lenzing
verbunden bleiben werden:
1. Die fundamentale Beziehung
Db(coh X) ≈ Db(mod Λ)
2. In schwarz einige wichtige Vektorbündel und Morphismen zwischen ihnen.
3. Und im Hintergrund ist ein Teil einer Auslander-Reiten-Komponente angedeutet.
Das Hin- und Herspiel zwischen Formeln und Bildern durchzieht ziemlich die
ganze Mathematik.
Hier einige weitere Paarungen:
Zeichenreihen
Bildhaftigkeit
Formale Logik
Mengenlehre
Endliche Gruppen
Endliche Geometrien
Algebraische Gruppen
Gebäude
Lie-Algebren
Wurzelsysteme
Operator
Spektrum
usw.
Die beiden Hirnhälften
Man weiß, dass die linke und die rechte
Hirnhäfte unterschiedlich arbeiten und
verschiedene Aufgaben übernehmen. Hier einige
Zitate:
"Die linke Hirnhälfte ist verbal,
die rechte visuell orientiert."
"Die linke dient eher für
mechanische, gleichförmige
Tätigkeiten die rechte ist die kreative,
innovative Hälfte."
"algebra (left brain) pictures and figures (right
brain)."
Und es gibt zum Beispiel eine Untersuchung von Singh und O'Boyle:
Interhemispheric Interaction During Global-Local Processing in
Mathematically Gifted Adolescents, Average-Ability Youth, and
College Students. Neuropsychology 18 (2004).
These results suggest that enhanced interhemispheric
interaction is a unique functional characteristic of
the MG brain.
Für das mathematische Denken ist demnach der Informationenfluss
und Informationsaustausch zwischen den beiden Hirnhälften von
großer Bedeutung.
"... she would carve on the tree Rose
is a Rose is a Rose is a Rose is a Rose until it went all the way
around."
Algebra ist Geometrie ist Algebra ... Geometrie ist Algebra ist Geometrie ...
René Magritte (1898-1967): Ceci n’est pas une pipe, 1929
Algebra ist nicht Geometrie.
Geometrie ist nicht Algebra.
Eine Rose ist eine Rose ist eine Rose ...
Algebra ist Geometrie ist Algebra ...
Hemingway:
"a stone is a stein is a rock is a boulder is a pebble"
"an onion is an onion is an onion"
"a bitch is a bitch is a bitch is a bitch"
???
Ein Hasenohr ist ein Hasenohr ist ein Hasenohr
Dunhuang, Mogao-Höhlen (Deckengemälde, zwischen 366 und 1036 u.Z.)
Dunhuang, Mogao-Höhle 407 (Deckengemälde, zwischen 366 und 1036 u.Z.)
Felix Klein und Sophus Lie
Im "Erlanger Programm" postuliert Klein, dass
das Wesentliche an den verschiedenen
Geometrien gerade ihr Transformationsverhalten
ist:
Geometrie ist das Studium von
Transformationsgruppen (also zum Beispiel von
Lie-Gruppen) und deren Invarianten.
Felix Klein
1849 - 1925
Schon dies entspricht einer ersten
Algebraisierung der Geometrie.
Die klassischen Geometrien:
Geometrie
Lie-Algebra vom
Typ
affin
A
orthogonal, dim = 2n
B
orthogonal, dim =
2n+1
D
symplektisch
C
Die Zuordnung
Lie-Gruppe Lie-Algebra
liefert dann eine vollständige Algebraisierung.
Sophus Lie
1842 - 1899
Alfred North Whitehead
1861 - 1947
Bertrand Russell
1872 - 1970
Der Versuch einer vollständigen Algebraisierung der Mathematik (1910 - 1913)
M. C. Escher (1898 - 1972): Luft und Wasser I
M.C. Escher (1898 - 1972): Moebius Strip II
References
Euklid: http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/papyrus/ One of the oldest and most complete diagrams from Eucl id's Elements of Geometry is a fragment of papyrus found
among the remarkable rubbish piles of Oxyrhynchus in 1896-97 by the renowned expedition of B. P. Grenfell a nd A. S. Hunt. It is now located at the University of
Pennsylvania. The diagram accompanies Proposition 5 of Book II of the Elements, and along with other result s in Book II it can be interpreted in modern terms as a
geometric formulation of an algebraic identity - in this case, that ab + (a-b) 2/4 = (a+b)2/4 (although the relationship between Euclid's propositions and algebra, which he did
not possess, is controversial).
Euclid2Text page with diagrams from a manuscript of Euclid's Elements. Constantinople, 888 Bodleian Library , MS. D'Orville 301, fol. 46r
pipe.jpg http://membres.lycos.fr/reno3000/magrittegalerie.html
magritte-pfeife: http://www.ricardo-roth.de/bilder/magritte-pfeife.jpg
Rosen: http://iyi.yi.org/junoi/grafix/stereograms/rose800.jpg
Dunhuang: http://freetalk.cyberec.com/silkroad/wall_picture/dunhuang_17.jpg
http://www.owlnet.rice.edu/~psyc351/Images/Escher.jpg
http://members.tripod.com/vismath4/sequin/index.html
M.C. Escher's "Moebius Strip II" © 2000 Cordon Art B.V., Baarn, Holland
http://wahooart.com/A55A04/w.nsf/3e75729998cde7c6c1256dd20064bdfa/a7fd74c91ef4da84c1256ea7002ae201/$FILE/Es cher%20-%20Da%20Circle.jpg (circle)
http://www.artchive.com/artchive/e/escher/escher_sky_water2.jpg
http://members.tripod.com/family_black/images/Escher,M.C.-Sky_and_Water_I-1938%5B1%5D.jpg (in pink)
http://www.math.ku.dk/conf/cuj/pic/dinner/imagepages/IM002885.html Helmut Lenzing, Jan-Erik Roos, Anders Je nsen
http://www.mat.uni.torun.pl/frobenius/photos/norm/p9150006.jpg Lenzing+Reiten - Frobenius Algebras and Rela ted Topics Torun, Poland, September 11-17, 2003
http://deokjin.ms.kr/jart/picasso/images/stein.jpg Picasso: Stein Pablo Picasso (Spanish, 1881–1973) Gertru de Stein, 1906 Oil on canvas; H. 39-3/8, W. 32 in. (100 x 81.3
cm) Bequest of Gertrude Stein, 1946 (47.106) ©1999 Estate of Pablo Picasso/Artists Rights Society (ARS), Ne w York Along with her brother Leo, Gertrude Stein was
among the first Americans to respond with enthusiasm to the artistic revolution in Europe in the early year s of the twentieth century. The weekly salons she held in her Paris
apartment became a magnet for European and American artists and writers alike, and her support of Matisse, Braque, Gris, and Picasso was evident in her many acquisitions
of their work. For Picasso, this early patronage and friendship was of major importance. Picasso's portrait of the expatriate writer was begun in 1905, at the end of his
Harlequin period and before he took up Cubism. Stein is shown seated in a large armchair, wearing her favor ite brown velvet coat and skirt. Her impressive demeanor and
massive body are aptly suggested by the monumental depiction. In her book "The Autobiography of Alice B. To klas" (1932), Stein described the making of this picture:
"Picasso had never had anybody pose for him since he was sixteen years old. He was then twenty-four and Ger trude had never thought of having her portrait painted, and
they do not know either of them how it came about. Anyway, it did, and she posed for this portrait ninety t imes. There was a large broken armchair where Gertrude Stein
posed. There was a couch where everybody sat and slept. There was a little kitchen chair where Picasso sat to paint. There was a large easel and there were many canvases.
She took her pose, Picasso sat very tight in his chair and very close to his canvas and on a very small pal ette, which was of a brown gray color, mixed some more brown gray
and the painting began. All of a sudden one day Picasso painted out the whole head. I can't see you anymore when I look, he said irritably, and so the picture was left like
that." Picasso actually completed the head after a trip to Spain in fall 1906. His reduction of the figure to simple masses and the face to a mask with heavy lidded eyes
reflects his recent encounter with African, Roman, and Iberian sculpture and foreshadows his adoption of Cu bism. He painted the head, which differs in style from the body
and hands, without the sitter, testimony to the fact that it was his personal vision, rather than empirical reality, that guided him in his work. When someone commented that
Stein did not look like her portrait, Picasso replied, "She will." (From: http://www.metmuseum.org/Works_of _art/viewOne.asp?dep=21&viewmode=0&item=47.106)
1903 ging sie mit ihrem Bruder Leo nach Europa. In Paris eröffnete sie einen Salon, der sich zu einem Zentr um der schriftstellerischen Avantgarde entwickelte. Sie gehörte
der neuen revolutionären Generation an. Sie war jung genug, die Künstler zu verstehen, reif genug, um sie z u fördern und vermögend genug, um die Bilder zu kaufen. Und
so kaufte sie viele Bilder der damals noch verkannten Genies: Cézanne, Monet, Renoir, Daumier, Gauguin. Ihr erster Kauf von dem noch unbekannten Henri Matisse,
Femme au chapeau 1905, begründete ihre Freundschaft mit ihm. 1906 lernte sie Picasso kennen. Und obwohl ihr sein Bild Junges Mädchen mit dem Blumenkorb, das ihr
Bruder Leo kaufte, nicht gefiel, sollte sie Picasso auf dem Weg seines Berühmtwerdens begleiten. Beide Male r, Matisse und Picasso, begegneten sich das erste Mal in
Gertrude Steins „Salon“. Matisse beäugte die Freundschaft Steins mit Picasso argwöhnisch. Picasso portraiti erte Gertrude Stein - denkend und lauschend, wichtig und
gewichtig (das Bild hängt heute im Metropolitan Museum of Art, New York City). In Steins mondänen Zusammenk ünften traf man auch Max Jacob, Alfred Jarry, Guillaume
Apollinaire, André Salmon, Georges Braque. Man Ray photographierte Picasso. Man lebte die Freundschaften un d die Künstler ließen sich gegenseitig inspirieren: Picasso
liebte die Gedichte der Poeten und diese entflammten sich an seinen Bildern. 1907 lernte Stein ihre Lebensg efährtin Alice B. Toklas kennen. 1909 veröffentlichte sie ihr
erstes Buch Three Lives im Selbstverlag. Mit der Textsammlung Tender Buttons (1914) wendete sie sich verstä rkt der experimentellen Literatur zu. Gertrude Stein: The
Autobiography of Alice B. Toklas - So bekennt Toklas schon auf der dritten Seite, daß sie in ihrem Leben ge nau drei Genies kennenlernte: Gertrude Stein, Pablo Picasso und
Alfred Whitehead
http://collectionsonline.lacma.org/MWEB/about/modern_about.asp RENé MAGRITTE Belgium, 1898-1967 La Trahison des images (Ceci n’est pas une pipe), 1929 Oil on
canvas Overall: 25 3/8 x 37 in. (64.45 x 93.98 cm) 78.7
http://www.comenius-speepb.de/comenius04/Projekt/images/ProjekttreffeninPaderborn/images/Pb210064.jpg Dreih asenfenster
Stein+Freundin http://www.ellensplace.net/gstein5.html
http://www.cornwallcam.co.uk/bestofinland/beech.htm Baum
Escher Moebius http://members.tripod.com/vismath4/sequin/index.html Fig. 1: M.C. Escher's "Moebius Strip II " © 2000 Cordon Art B.V., Baarn, Holland [3]. M. C. Escher;
with permission from Cordon Art B.V., Baarn, Holland. All rights reserved.
"The battle between geometry and algebra is like the battle between the sexes." (Atiyah) ," said Sir Michae l Atiyah, honorary professor of mathematics at Edinburgh ...
www.boston.com/news/globe/ideas/articles/2006/09/10/the_man_who_saved_geometry/ Faust
http://images.google.de/imgres?imgurl=http://www.stavenhagen.net/stories/judge.jpg&imgrefurl=http://www.sta venhagen.net/stories/judge.html&h=348&w=483&sz=76&hl=
THE JUDGE AND THE DEVIL Faust conjures Mephistopheles. Woodcut from Die Historie van Docter Joh. Faustus, d ie een uitnemende grooten Tovenaer ende swerte
Constenaer was ("the story of Dr. Johannes Faust, who was an exceedingly accomplished magician and master o f the black arts"), Amsterdam, probably about 1600. The
Dutch translations of the famous Historia von D. Johann Fausten (Frankfurt, 1587) were the first illustrate d versions of the story.
http://static.flickr.com/40/101691192_e6ff46d76f_m.jpg Faust (klein, sw)
http://www.lexi-tv.de/pix/Begriffstextbild/2415_1859_Haupt.jpg (klein, bunt)
Werbespruch: Wohl Fontane.
Kant: Formulierung aus dem Brief 447 von Rehberg. Kant widerspricht nicht.
Hirn: http://content.apa.org/journals/neu/18/2/371.
http://members.shaw.ca/hidden-talents/brain/jpg/b-right.jpg
http://www.phy.duke.edu/~rgb/Class/phy41/phy41/node15.html
Riemannsche Zahlenkugel: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/0/03/RiemannKugel.jpg/180px-Riemann Kugel.jpg
Frucht der Platane http://www.hofter.de/Kugellex.htm
Aus: Okonek-Schneider-Spindler: Vector Bundles on Complex Projective Spaces.
The splitting theorem of Grothendieck has a long history. It is in fact equivalent to a
theorem on holomorphic invertible matrices on C*]. This theorem was proved by
Birkhoff in 1913, [19], [20]. But in fact it was already known to Plemelj [96] in 1908
and to Hilbert [61] in 1905.
[19] Birkhoff, G.D.: Singular points of ordinary linear differential equations. TAMS
10 (1909), 436-470.
[20] Birkhoff, G.D.: A theorem on matrices of analytic funktions. Math. Ann.
(1913), 122-133
[50] Grothendieck, A,: Sur la classification des fibres holomorphes sur la sphere de
Riemann. Amer. J. Math. 79 (1956), 121-138.
[96] Plemelj, J.: Riemannsche Funktionenscharen mit gegebener
Monodromiegruppe. Monatsh. Math. 19 (1908), 211-246.
[61] Hilbert, D.: Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen
Diffrentialgleichungen. Nachr. Wiss. Göttingen, math.nat. Klasse (1905), 307-338.
Kronecker: Algebraische Reduction der Scharen bilinearer Formen. Sitzungsber.
Akad. Berlin (1890), 1227-1237.
Gantmacher: Matrizentheorie.