ÜBER DIE TRÄGHEITSFORMEN EINES MODULSYSTEMS Das

A. KÉRIM (Stambul - Turchia)
ÜBER DIE TRÄGHEITSFORMEN EINES MODULSYSTEMS
Das Vorliegende Thema behandelt (auf Anregung des Herrn Prof. E. F I S C H E R )
die von Hurwitz in seiner Abhandlung « Annali di Matematica » (serie IÏI>
tomo XX) aufgestellte Trägheitsformen eines Modulsystems.
« Eine Form T der Variablen und der unbestimmten Koeffizienten des Grundformensystems fi,...., fn heisst eine Trägheitsform, wenn eine ganze Zahl ju vorhanden ist, so dass für jedes Potenzprodukt X^ der Variablen die Kongruenz
X^T=Q
(modd. fi, f2,....,
4)
erfüllt ist, wobei die Kongruenz sowohl auf die Variablen als auf die Koeffizienten
zu beziehen ist ».
Den kleinsten zulässigen Wert von ju nennt man die Stufe der Trägheitsform
Die Trägheitsformen 0 ter Stufe sollen uneigentliche, die übrigen Trägheitsformen
aber eigentliche heissen.
In dieser Arbeit nehme ich den speziellen Fall des Zugrundeliegenden Modulsystems, welches aus zwei Formen m ten grades von zwei Variablen mit unbestimmten
Koeffizienten besteht. Zu erst sei einige Eigenshaften der Trägheitsformen kurz
zitiert.
I. Es sei T eine eigentliche Trägheitsformen von der juteT Stufe,
ja^r^O,
dann sind die Formen
Xrl,
wo XT alle Potenzprodukte r ten Grades durchläuft, sämtlich Trägheitsformen sind
von (fi—r)ter oder niedrigerer Stufe und mindestens eine unter ihnen ist genau
von der (ju—r)^ Stufe.
II. Bezeichnen f, g Formen der Variablen x, y vom Grade m mit unbestimmten
Koeffizienten, so ist jede Trägheitsform der ersten Stufe des Moduls M=(f, g)
vom Grade
_
_
Q=2m — 2.
III. Bezeichnen f, g Formen der Variablen x, y vom Grade m mit unbestimmten
Koeffizienten und ist T eine eigentliche Trägheitsform oter Stufe und @ten Grades
des Moduls M=(f, g), so gilt die Gleichung
Q + o=2m — 1.
52
COMUNICAZIONI
IV. Die Funktionaldeterminante J der Funktionen f, g, im bezug auf die
Variablen x, y, ist eine Trägheitsform erster Stufe des Modulo (/*, g).
V. Eine Identität von der Gestalt
AJ+Aif+A2g=0,
in welcher A, Aiy A2 Formen und A eine Form vom Grade Null ist, kann
nicht anders bestehen, als wenn ^4=0 ist.
VI. Jede Trägheitsform T erster Stufe des Moduls (/", g) lässt sich darstellen :
T=AJ+Aifi
+ A2g,
wenn unter A, Aiy A2 passend gewählte Formen verstanden werden. Darin sind
T und J vom Grad r—1, A ist vom nullten Grad, AL, A2 vom Grad r — m — 1.
(r=2m — l ist).
Hurwitz, nachdem Mertens die Trägheitsform der höchstmöglichen Stufe
bestimmt hatte, hat den Ausdruck irgend einer Trägheitsform des Modulsystems
fi, f2,...., fn, (jLt^m) Stufe aufgestellt, (im welchem m der niedrigste Grad von
fi, f2,...., fn bedentet).
Nun bestimmt vorliegende Arbeit für den speziellen Fall des Modulsystems,
welches aus zwei formen mtm Grades von zwei Variablen mit unbestimmten
Koeffizienten besteht, alle Trägheitsformen der Stufe m + 1.
Bevor wir allgemein die Trägheitsform von der (ra + l) t e n Stufe des Moduls
(/*, g) bestimmen, werden wir zunächst den folgenden vorbereitenden Satz aufstellen :
VII. Das Gleichungssystem sei
aQl0 + ajji + .... + amlm=0
bolo+ bJi+ .... +amlm=0,
wo a0,...., am, bo,.-, bm unbestimmte und von einander unabhängige Koeffizienten
sind, sind l0,...., lm ganze rationale Funktionen derselben und Lösungen der
Gleichungen (1), dann ist der Ausdruck
toh + tih + .... + tmlm=L(a,
b, t),
worin t0,...., tm unabhängige Parameter bedeuten, in folgender Form darstellbar :
L(a, b, 0 = 2 F * ( « , b)
i<j<Jc
a%
aj
a>k
bi
bj
bk
tt
h
h
(i, j , k=0,
1,...., m)
wo Vijjc(a, b) ganze rationale Funktionen in (a, b) sind, und zwar geben beliebige
solche Funktionen stets eine Lösung (20,...., lm) zu (1).
A.
KéRIM:
Über die Trägheitsformen
eines
Modulsystems
53
Jetzt versuchen wir die Trägheitsform von (m + l) t e r Stufe herzustellen für
das Modulsystem (f, g) vom 2 Formen mten Grades von x, y.
Nehmen wir irgend eine Trägheitsform des Moduls (f, g) von ( m + l ) t e r Stufe,
der Grad Q der Trägheitsform ist nach Satz 3 :
Q=m—2.
Wir denken uns dabei den wert m beliebig, nur zur Vereinfachung der Schreibweise nehmen wir m = 4 .
Für eine gegebene Trägheitsform T von der (m + l) = 5 ten Stufe gelten nach
Satz I und Satz VI folgende Kongruenzen:
T>xA = lo>J
T-x3y = li-J
oder
(modd. f, g)
T- (t0x* + .... + Uy') = L(t). J
(modd. f, g).
a
Nun multiplizieren wir diese Kongruenzen bezw mit a0,...., *
addieren, dann wird:
un(
^ &o >••••> b*
un(
i
T-(a0xA + .... + a4yi) = (a0l0 + .... +aJ4)J
T-(b0x*+ .... +b4y*) = (b0lo+ .... +bJ4)J
(modd. f, g)
(a0l0+ .... + aJ4)J=0
(bQlo+....+bJA)J=0
(modd. f, g)
also ist :
nach dem Satz V
a0l0+ .... +a4h=Q
b0lQ+....+b4l4=0,
dabei sind l0, h,...., lm==4c ganze razionale Funktionen von a, b.
Nach Hilfssatz ist der Ausdruck
L(t)=L(a,
b, f) = toh+....
+Uh
in dieser Form darstellbar :
L(a, b, t)=V(a,
b)
0,1,2
«1
a2
bi
b~t
h
h
4-
TioA
uei 'er [nii Lai
v
o
0
"i
»0
v
l
v
f>2
h
V
*>i
v
2
Vi
»a
n
0
V
v*
*4
0
0
0
X2
ay
vs
v
z
y"
0
TTa4
0
0
+ •...
h
h
0
0
»i
2
wo v0, Vi, v2, v3 unbestimmte Parameter sind.
0
0
0
i
54
COMUNICAZIONI
Wie leicht ersichtlich ist, ist J eine Trägheitsform u n d zwar von m + l = 5 t e r
oder militer Stufe. Folglieh bestehen die Kongruenzen:
Z-x* = q0 • J
(modd. f, g)
Z-y"=q, 'J
also
(modd. f, g).
Z(toX*+ .... +t4- y*)^c-j
auszudrücken :
a0
r
c=
k
b0
v0
0
v
o
(-D"^1
m2
a
2
a3
b2
&3
«4
&4
v
2
v
3
0
h
h
t4
Vi
v2
v3
(hier m = 4 )
Entwicklen wir die Determinanten XE u n d C nach Potenzprodukten von v:
(DQoV2 + DoiVQVi + ....)yj(t)=z(A'V2-A'VoVi
234
+ ....)J
(modd. f, g)
134
dabei s i n d :
\p(t) = t0x* + tiX*y + .... + Uy\
Mjk =
a%
b%
z=- 16
bh
Daraus ergibt sich
Doo'^p(f)=Z'AJ
234
Doi'ip(t)
= — zA-J
D02-yj(t)
=
134
(modd. /, g)
z(A-A)J
134
234
Von diesem Kongruenzen k a n n m a n (auch im Falle eines behebigen m) solche
lineare Combination büden, dass rechte n u r immer ein A Faktor von J ist :
Q'tp(t)=Z'A'J
234
234
Q>yj(t)=Z'A'J
134
134
wobei die Q^ entweder eine den D^ oder lineare homogene Ausdrücke von
Dij sind. Q,..., nennen wir Basis, sie sind nach obigen vollkommen bestimmt,
234
(m + l)m(m — 1)
ihre Anzahl
3!
Jetzt kehren wir zurück zu der Gleichung, welche sich auf irgend eine T r ä g heitsform bezog.
A.
KéRIM:
Über die Trägheitsformen
eines Modulsystems
55
Wenn wir die obigen Kongruenzen multiplizieren mit den Koeffizienten, welche
in der Gleichung der L(f) als Koeffizienten der entsprechende A^ vorkommen
und dann Seite zu Seite addieren, so wird:
( F . Q+ V' Q + ....)y>(t)=z(V-A + ....).J
234 234
134 134
(modd. f, g).
234 234
Aber infolge der Gleichung
L(t)=V.A+V-A
234 234
+ ....
134 134
ist schliesslich:
(V.Q + ....)yj(t)=z.L(t)-J
(modd. f, g).
234 234
Wenn wir mit der Kongruenz
T. (t0x* + .... + *4y*) = L(t). J
(modd. /, g)
vergleichen, wird :
(V.Q + ....)ip(t)=z.T-yj(t)
(modd. f, g)
234 234
-oder :
(zT- V-Q + ....)xp(t) = 0
(modd. f, g).
234 234
Da aber \p(t) von a, b unabhängig und t0,.... t4 Parameter sind, folgt:
zT-V-Q-V.Q....
234 234
(y)
134 134
ist eine Trägheitsform vierter oder militer Stufe. Von (m=4) t e r Stufe kann sie
nach Satz III nicht sein, denn der Ausdruck y hat den Grad (m —2=2), also
ist er von nullter Stufe.
MltMn
zT- V-Q-V.Q234 234
.... = 0
(modd. /, g).
134 134
Die linke Seite hat hier Grad g=m—2, die rechte Seite mindestens Grad m,
folglich ist
-YJ=[V.Q+VQ+....\10
234 234
134 134
Ebenso erhält man den Satz :
Für f, g von m ten Grade gibt es gewisse Trägheitsformen Q,.„. von der
234
Stufe m + l = 5 (Grad m—2=2),
und die allgemeinste Trägheitsformen lautet:
r=F-Q + ....
234 234
worin V,.... beliebige ganze rationale Funktionen der a, b bedenten.
234