5.3. Tilgungsrechnung Grundbegriffe Gegenstand der
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5.3. Tilgungsrechnung Grundbegriffe Gegenstand der
5.3. Tilgungsrechnung Grundbegriffe Gegenstand der Tilgungsrechnung ist ein von einem Gläubiger (z. B. Bank) an einen Schuldner ausgeliehener Geldbetrag S; Bezeichnung: S . . . Schuld, Darlehen, Kredit Es geht um die Rückzahlung von S einschließlich aller anfallenden Zinsen. Rückzahlungsmöglichkeiten: 1. am Ende der Kreditlaufzeit in voller Höhe + Zinsen (gesamtfällige Schuld =⇒ Zinsrechnung) 2. in unregelmäßigen Beträgen (Formel (*), später) 3. in regelmäßigen Beträgen (Bezeichnung: Annuitäten Ak ) Betrachtung des Falls von Rückzahlungen in regelmäßigen Zeitabständen (Tilgungsperioden) Für jede Tilgungsperiode ist ein Zinssatz ik festgelegt, so dass sich die k-te Annuität wie folgt zusammensetzt: Ak Zk Tk = Zk + Tk . . . Zinsanteil . . . Tilgungsanteil Zinsanteil: Zinsen für die Restschuld Sk−1 zu Beginn der k-ten Tilgungsperiode: Zk = Sk−1 · ik Damit ergibt sich Sk = Sk−1 − Tk 1 Bezeichnungen: n . . . Laufzeit des Kredits in Tilgungsperioden ik . . . Zinssatz pro Tilgungsperiode Zk . . . Zinsen für die k-te Tilgungsperiode, k ∈ {1, 2, . . . , n} Tk . . . Tilgungsbetrag für die k-te Tilgungsperiode, k ∈ {1, 2, . . . , n} = ˆ Betrag, um den sich die Schuld durch die Rückzahlung verringert Ak . . . Annuität für die k-te Tilgungsperiode, Ak = Tk + Zk , k ∈ {1, 2, . . . , n} Sk . . . Restschuld/Schuldenstand am Ende der k-ten Tilgungsperiode, k ∈ {1, 2, . . . , n} Wir unterscheiden: Annuitätentilgung Ratentilgung Ak = konst. = A k = 1, 2, . . . , n Tk = konst. = T k = 1, 2, . . . , n ⇓ ⇓ Zk & (da die Restschuld kleiner wird) Zk & (da die Restschuld kleiner wird) ⇓ ⇓ Tk % (konstante Belastung) Ak & (stärkste Belastung am Anfang) 2 Bezeichnung: Tilgungsplan: = Tabelle, die für jede Tilgungsperiode der Laufzeit des Kredits in übersichtlicher Form die Restschuld, die Annuität und die Zinsen darstellt. Beispiel: Tilgungsperiode k 1 2 3 4 5 Beispiel: S = 500.000, n = 5, i = 6% Ratentilgung: Rate Tk = T = 100.000 Restschuld Zinsen Annuität Restschuld am Anfang der am Ende der Tilgungsperiode Tilgungsperiode Sk−1 Zk = Sk−1 i Ak = T + Zk Sk 500.000 400.000 300.000 200.000 100.000 30.000 24.000 18.000 12.000 6.000 130.000 124.000 118.000 112.000 106.000 400.000 300.000 200.000 100.000 0 S = 500.000, n = 5, i = 6% Annuitätentilgung: Annuität Ak = A = 118.698, 20 ( berechnet über nachschüssigen Rentenbetrag einer 5-jährigen Rente für den Barwert R0 = 500.000: q n(q − 1) 1, 065 · 0, 06 R = R0 n = 500.000 = 118.698, 20 ) q −1 1, 065 − 1 Tilgungsperiode k 1 2 3 4 5 Restschuld Zinsen am Anfang der Tilgungsperiode Sk−1 Zk = Sk−1 i 500.000,00 411.301,80 317.281,71 217.620,41 111.979,43 30.000,00 24.678,11 19.036,90 13.057,22 6.718,77 3 Annuität A Restschuld am Ende der Tilgungsperiode Sk 118.698,20 118.698,20 118.698,20 118.698,20 118.698,20 411.301,80 317.281,71 217.620,41 111.979,43 0 Annuitätentilgung mit festem Zinssatz Annuität = Zinsen + Tilgung = konstant, d.h. A = Zk + Tk = konstant Aus den Formeln der Rentenrechnung folgt: Sk = Sq qk − 1 − A q−1 k Schuld ohne Tilgung Falls Rk A > Si = Z1 =⇒ Sk & =⇒ Tk % mit Tk = Sk−1 − Sk . Differenz Tk − Tk−1 ist Zinsersparnis, die durch die Tilgung Tk−1 verursacht wird: Tk − Tk−1 = Tk−1i , Tk = Tk−1 + Tk−1i = Tk−1q , Tk = T1q k−1 , k = 1, 2, 3, . . . Satz: Im Falle der Annuitätentilgung einer Schuld S durch die Annuität A (Voraussetzung A > Si) gelten allgemein folgende Gleichungen für k = 1, 2, 3, . . . qk − 1 Sk = Sq − A q−1 (3.1) Tk = T1q k−1 , (3.2) k T1 = A − Si Zk = A − Tk (3.3) 4 Vorgabe der Laufzeit n • gegeben n: Sn = 0 Die Schuld ist getilgt, wenn nach n Tilgungsperioden gilt: qn − 1 0 = Sn = Sq − A , q−1 n woraus folgt: q n(q − 1) A=S n q −1 (3.4) (Welche Rate muss man bezahlen, um ... ?) • qn − 1 S=A n q (q − 1) (Welche Schuld kann ich auf mich nehmen, wenn ... ?) 5 (3.5) Berechnung der Tilgungsdauer aus einer vorgegebenen Annuität Die Schuld ist getilgt, wenn nach n Tilgungsperioden gilt: qn − 1 n 0 = Sn = Sq − A , q−1 woraus – wie für die entsprechende Formel der Rentenrechnung – folgt: ¢ ¡ Si − ln 1 − A (3.6) n= ln q Beispiel: S = 50.000, i = 6% Jahreszinssatz, A = 4.500 am Jahresende µ ¶ 50.000 · 0, 06 − ln 1 − 4.500 =⇒ n = = 18, 85 ln 1, 06 Nach 18 Jahren beträgt die Restschuld q 18 − 1 18 S18 = Sq − A q−1 1, 0618 − 1 18 = 50.000 · 1, 06 − 4.500 = 3.641, 52 0, 06 Am Ende des 19. Jahres muss dieser Betrag einschließlich der anfallenden Zinsen gezahlt werden, also S19 = 3.641, 52 · 1, 06 = 3.860, 01 = A19 In einem solchen Fall spricht man von Annuitätentilgung mit verminderter Abschlussannuität (entsprechend: Annuitätentilgung mit erhöhter Abschlussannuität ). A18 = A + S18 = 8.141, 52 6 Effektivzinsberechnung Basis: Preisangabenverordnung (PAngV) vom 10.8.2000 (im Netz) Grundlagen: – durchgehend zinseszinsliche Rechnung – Berechnung von Zeitdifferenzen in Jahren mit 365 Tagen oder 12 gleichlangen Monaten ( à 30, 416 Tage) oder 52 Wochen Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik m X k=1 Ak (1 + i)tk 0 m X = k 0 =1 A0k0 t0 0 (1 + i) k Abgezinste Leistungen Abgezinste Leistungen des Gläubigers = des Schuldners (Kreditauszahlungen) (Tilgungszahlungen und Kosten) 7 (∗)