finite-element-methode - Die Otto-von-Guericke

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finite-element-methode - Die Otto-von-Guericke
FINITE-ELEMENT-METHODE
Teil I
(FEM-I)
U. GABBERT
Lehrstuhl für Numerische Mechanik
Institut für Mechanik
Nur zum Gebrauch an der Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg bestimmt !
Vorbemerkungen
III
Vorbemerkungen
Das Ziel des Teils I der Vorlesung zur FINITE-ELEMENT-METHODE besteht darin,
wichtige theoretische Grundlagen dieser Methode zur computergestützten Bauteilberechnung und deren qualifizierter Anwendung im Ingenieurwesen zu vermitteln, wobei
der Schwerpunkt auf statischen und dynamischen Problemen der Strukturmechanik
liegt. Einleitend wird ein kurzer Überblick über den Stand der Entwicklung und der
Anwendung der FEM gegeben. Kerngedanken der FEM werden an Hand einfacher
Modellprobleme (Stab, Balken) dargestellt. Nach einer kurzen Einführung in die Energiemethoden der Mechanik werden die Grundgleichungen der FEM für Probleme der
Elastostatik und -dynamik in allgemeiner Form abgeleitet. Es werden finite Elemente
für wichtige Modellklassen der Mechanik (2D, 3D, Schalen), das isoparametrische
Elementkonzept und die Substruktur-Superelement-Technik ausführlich behandelt. Ein
Kapitel zur Fehlerschätzung und Netzadaption, und ein Kapitel zu Fragen der Modellbildung beschließen den ersten Teil der Vorlesung.
Es werden weiterhin auch Grundkenntnisse über den prinzipiellen Aufbau, die
Struktur und die programmtechnische Realisierung von kommerzieller Berechnungssoftware vermittelt. Im Rahmen eines individuellen Semesterbelegs werden diese
Kenntnisse vertieft. Der Beleg umfaßt sowohl die Erarbeitung der theoretischen
Grundlagen als auch die Erstellen eines kompletten Computerprogramms, einschließlich Testung, Dokumentationen und Demonstration. Als Programmiersprache werden
Fortran’99 oder C empfohlen.
Praktische Erfahrungen in der Anwendung der FEM werden in einem Rechnerpraktikum an Hand von Testbeispielen - überwiegend statische und dynamische Probleme für unterschiedliche Modellklassen der Mechanik - vertieft. Dazu wird das
kommerzielle Programmsystems COSAR1 eingesetzt wird. Für individuelle Übungen
stehen im Rechnerlabor des Institutes für Mechanik auch andere kommerzielle Programmsysteme zur Verfügung
Der Vorlesungsinhalt beschränkt sich im Teil FEM I auf linear-elastische Probleme. Erweiterungen auf allgemeine Feldprobleme, die Berechnung von Mehrfeldproblemen (für intelligente oder adaptive Struktursysteme) und nichtlineare Aufgaben
sind Gegenstand des Teils II der Vorlesung.
Umfang und Voraussetzungen
Der Vorlesungsumfang beträgt 4 SWS (2V, 2Ü&P). Die Vorlesung gehört zum
Pflichtprogramm der Studienrichtung Angewandte Mechanik im Studiengang Maschinenbau. Sie ist offen für alle Studienrichtungen, wobei mindestens der erfolgreiche
Abschluß des Grundstudiums (Maschinenbau, Mechatronik oder Elektrotechnik) erforderlich ist. Weiterhin sind Grundkenntnisse auf den Gebieten Elastizitätstheorie,
Variationsrechnung, Computeranwendungen in der Mechanik (Programmierung),
Computer-Numerik und Flächentragwerke erwünscht. Fehlende Grundlagen sind gegebenenfalls individuell nachzuholen, wobei dafür gesonderte Vorlesungsskripte bzw.
Literaturempfehlungen zur Verfügung gestellt werden können.
1
COSAR ist ein Warenzeichen der Forschungsgesellschaft für Technische Mechanik FEMCOS mbH, siehe auch
http://femcos.de
IV
Literaturempfehlungen
Leistungsbewertung
Die Leistungsbewertung erfolgt auf der Grundlage einer mündlichen Prüfung (45
min.), die die beiden Fächer MNMM-I2 und FEM-I umfasst, wobei der Schwerpunkt
der Prüfung auf dem Gebiet FEM I liegt. Als Zulassungsvoraussetzung für die Prüfung
gilt der erfolgreiche Abschluß des Faches MNMM-I, die Anerkennung des Semesterbeleges im Fach FEM-I (wird benotet) und das Testat über die erfolgreiche Teilnahme
am FEM-Rechnerpraktikum. Die Note des Semesterbeleges in FEM-I und die Note im
Fach MNMM-I bilden die Vornote für die Prüfung, die zu 50% in die Abschlussnote
(MNMM-I+FEM-I) eingeht. 3
Literaturempfehlungen
[1] Zienkiewicz, O.C.: Methode der finiten Element. VEB Fachbuchverlag Leipzig. 1983; Carl Hanser Verlag 1984 (englisches Original: The Finite Element Method, McGraw Hill 1977).
[2] Bathe, K.-J.: Finite-Element-Methode. Springer 1990 (englisches Original: Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Prentice Hall, Inc. 1982).
[3] Szabo, B. A.; Babuška, I.: Finite-Element-Analysis. John Wiley & Sons 1991.
Eine Auswahl deutschsprachiger Bücher
[4] Schwarz, H. R.: Methode der finiten Elemente. Teubner Verlag, Stuttgart 1980.
[5] Schwarz, H. R.: FORTRAN-Programme zur Methode der finiten Elemente. Teubner Verlag, Stuttgart
1980.
[6] Hinton, Owen: FE-Programme für Platten und Schalen. Springer Verlag.
[7] Argyris, Mlejnek: Die Methode der FEM, Bd. I, II, III. Fridr. Vieweg Verlag, Wiesbaden, 1986, 1987,
1988.
[8] Autorenkollektiv: Die Methode der finiten Elemente in der Festkörpermechanik. VEB Fachbuchverlag, Leipzig 1982, Carl Hanser Verlag, 1982.
[9] Kämmel, G., Franeck, H.-J., Recke, H. G.: Einführung in die Methode der finiten Elemente. VEB
Fachbuchverlag, Leipzig 1988.
[10] Goering, H., Roos, H.-G., Tobiska, L.: Finite-Element-Methode. Akademie Verlag, Berlin 1993.
[11] Link, M.: Finite Elemente in der Statik und Dynamik, Teubner-Verlag, Stuttgart, 1989.
[12] Chung, T. J.: Finite Elemente in der Strömungsmechanik. VEB Fachbuchverlag, Leipzig 1982, Carl
Hanser Verlag, München 1982.
Fachzeitschriften (Auswahl)
[1] Technische Mechanik
[2] Int. Journal for Numerical Methods in Engineering
[3] Computers and Structures
[4] Structural Engineering and Mechanics
[5] Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering
[6] Computational Mechnics Adavances
[7] International Journal of Solids and Structures
[8] Engineering with Computers
[9] Finite Elements in Analysis and Design
[10] Engineering Computations
[11] Communications in Numerical Methods in Engineering
[12] Archives of Computational Methods in Engineering
[13] Finite Elements in Analysis and Design
[14] Engineering Computations – International Journal for Computer Aided Engineering and Software
2
Mathematische und numerische Methoden der Mechanik – Teil I
Auf Wunsch wird für jedes der beiden Fächer – MNMM-I und FEM-I auch eine separate Prüfungsbescheinigung ausgestellt.
3
Inhaltsverzeichnis
V
Inhaltsverzeichnis
Seite
1
1
10
15
17
27
33
41
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Elementare Einführung in die FEM
Anwendung der FEM
Einführung in die Grundlagen der FEM
Kommerzielle FEM-Softwareprodukte
Ein Einführungsbeispiel zur Statik von Stäben
Ein Einführungsbeispiel zur Dynamik von Stäben
Ein Einführungsbeispiel zur eindimensionalen Wärmeleitung
Kleiner historischer Rückblick in die frühen Anfänge der FEM
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Grundlagen der FEM für die Elastomechanik
Differentialgleichungen der linearen Elastostatik
Variationsformulierungen
Die Verschiebungsgrößenmethode
Steifigkeits-, Massen- und Belastungsmatrizen
Das Gesamtsystem
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Simplex-Elemente
Das 2-Knoten Stabelement
Das 2-Knoten Balkenelement ( Bernoulli-Balken)
Das 2-Knoten Rotationsscheibenelement
Das 2-Knoten Rotationsplattenelement
Das 3-Knoten Dreieckselement für Scheibenberechnungen
Das 4-Knoten Rechteckelement für Scheibenberechnungen
Das 4-Knoten Tetraederelement
Das 8-Knoten Hexaederelement
68
68
72
80
83
87
92
96
100
4
4.1
4.2
4.3
4.4
Interpolationsfunktionen als Ansatzfunktionen
Lagrangesche Polynome für C0 stetige Elemente
Hermitesche Polynome für C1 stetige Elemente
Legendresche Polynome als Basis für p-Elemente
Konstruktion von Ansatzfunktionen für finite Elemente
102
102
104
106
107
5
5.1
5.2
Das isoparametrische Elementkonzept
Iso-, sub- und superparametrische finite Elemente
Isoparametrische finite Elemente
111
111
113
6
6.1
6.2
6.3
Substruktur-Superelementtechnik
Motivation und Zielstellung
Die statische Kondensation
Anwendung auf dynamische Probleme - Gyan-Reduktion
117
117
117
120
7
7.1
7.2
7.3
Modellbildung und Fehleranalyse
Einführung
Fehlerquellen bei FEM-Analysen
Mathematische Grundlagen der Fehleranalyse in der FEM
123
123
124
128
43
43
48
52
58
62
Inhaltsverzeichnis
VI
7.4
7.5
7.6
7.7
A priori Fehleranalyse
A posteriori Fehleranalyse
Adaptive Finite-Element-Methoden
Zusammenfassung
131
136
145
146
Achtung: Ab hier wird die Vorlesung weiter aktualisiert!
8
8.1
8.2
8.2.1
8.2.2
8.3
8.4
8.5
Übersicht über wichtige Elementfamilien
C0-stetige 2D- und 3D-Finite Elemente
Platten- und Schalenelemente
Übersicht über Elementfamilien und Ansatzfunktionen
Die SemiLoof Schalenelemente
Elemente für Faserverbundstrukturen (CLT und Erweiterungen)
Koppelung unterschiedlicher Elementtypen mittels Penalty-Technik
Spezial- und Sonderelemente
147
1.1. Anwendung der FEM
1.
Elementare Einführung in die FEM
1.1
Anwendung der FEM
1
Bedeutung und Nutzen der FEM
Die FEM ist für den Berechnungsingenieur inzwischen zu einem unverzichtbaren
Auslegungs- und Simulationswerkzeug in nahezu allen Bereichen des Ingenieurwesens
geworden. Die Ursachen dafür liegen zum einen in den enormen Leistungssteigerungen auf dem Gebiet der Computertechnik und den Fortschritten, die vor allem in der
computerorientierten Mechanik, der numerischen Mathematik sowie der Informatik
und Softwareentwicklung erreicht wurden.
Die Anwendung einer FEM-Software stellt auf den ersten Blick scheinbar nur
geringe Anforderungen an die Bedienung und Nutzung (z.B. vergleichbar mit CADSystemen). Es lassen sich offensichtlich problemlos auch extrem komplexe und komplizierte Probleme berechnen ohne daß der Nutzer weitergehende Kenntnisse von den
der Berechnung zu Grunde liegenden Theorie zu haben braucht. So kann man auch in
renommierten Unternehmen häufig fachlich unzureichend qualifizierten Ingenieuren
erleben, die zum Beispiel physikalisch und geometrisch nichtlineare Berechnungen für
sicherheitsrelevante Bauteile durchführen ohne sich im mindesten über die den Berechnungen zugrundeliegende Modellannahmen oder die verwendeten numerischen
Lösungsmethoden im Klaren zu sein. Die Ergebnisse solchen Handels werden leider
nur manchmal bei spektakuläre Schadensfälle sichtbar. Die Lösung derartiger Probleme, die teilweise bis vor kurzem noch gar nicht möglich war, erfordert im Gegenteil
ein fundiertes theoretisches Wissen und gründliche Kenntnisse auf den unterschiedlichen Fachgebieten, die zur Erzielung eines brauchbaren Ergebnisses zusammenspielen
müssen. Dazu kommt, daß sich der
> Konstruktion (CAD)
Anwendungsbereich der FiniteElement-Methode ständig erweitert
hat und dadurch heute Lösungen
> Modell
und neue Erkenntnisse in nahezu
allen Bereichen des IngenierBerechnung (FEM)
wesens, der Physik, der Medizin,
der Biologie, der Umwelttechnik
usw. ermöglicht werden.
Bewertung
Der Schwerpunkt der Anwendungen liegen aber nach wie
vor auf dem Gebiet der StrukturBild 1.1-1 Zusammenspiel von Konstruktion
mechanik mit den Einsatzfeldern
und Berechnung
Maschinenbau, Bauwesen, Fahrzeugbau, Luft- und Raumfahrt.
Durch leistungsfähige Schnittstellen zu CAD-Systemen gelingt es zunehmend besser,
die bereits vorhandenen geometrischen Daten zu nutzen und daraus über leistungsfähige
Pre-Prozessoren
(automatische
Netzgeneratoren)
geeignete
FEMBerechnungsmodelle zu generieren (siehe Bild 1.1-1). Damit ist dieser arbeitsintensive
Anteil der FEM heute sehr stark vereinfacht worden. Entscheidend für die Qualität einer Berechnung ist aber immer noch die Modellbildung!
2
1. Elementare Einführung in die FEM
Einige Beispiele für die Anwendung der FEM
Die folgenden Beispiele zeigen eine kleine Auswahl von Anwendungen der FEM, die
aus Diplomarbeiten von Studenten der Studienrichtung Angewande Mechanik entnommen worden sind.
Im Bild 1.1-2 ist die Crash-Simulation eines PKW gezeigt. In der entsprechenden Diplomarbeit von Jens Grabau1 ging es um die Frage, ob trotz der größeren Dicke
von Bauteilen aus Aluminium im Vergleich zu Stahl noch die Nutzung von Schalenmodellen bei der Crash-Simulation zulässig ist oder ob zu 3D-Modellen übergegangen
werden muß. Systematische Untersuchungen, die Jens Grabau im Rahmen seiner Diplomarbeit durchgeführt hat, haben ergeben, daß auch bei dickeren Aluminiumbauteilen mit Schalenmodellen eine ausreichende Ergebnisqualität bei Crash-Simulationen
erreicht wird, so daß auf die wesentlich teureren 3D-Berechnungen (Modellaufbereitung, Speicherplatzanforderungen, Rechenzeit) verzichtet werden kann.
Verformte Fahrzeugstruktur 90 ms
nach dem Aufprall
Finite - Elemente - Modell des
Gesamtfahrzeugs
Längsträger mit Teilen des Vorderwagens für t = 0 und 25 ms
_________________________________________________ Quelle: VW AG aus ATZ 90 (1988) 11______
Bild 1.1-2 Crash-Simulation eines Pkw mit LS-DYNA3D
1
Grabau, Jens: Rechnerische Analyse dickwandiger Karosseriebauteile unter Crashbelastungen. Diplomarbeit,
Uni Magdeburg, Institut für Mechanik, 1993. (Aufgabenstellung Mercedes-Benz AG Sindelfingen).
1.1. Anwendung der FEM
3
Torsten Mann2 hat in seiner Diplomarbeit Untersuchungen zum Stabilitätsverhalten von Airbus-Rumpfschalen durchgeführt. Dabei ging es auch um die Bewertung
des kommerziellen Finite-Element-Programmsystems ABAQUS hinsichtlich seiner
Leistungsfähigkeit bei nichtlinearen Beulrechnungen unter Einbeziehung des Nachbeulverhaltens. Das Bild 1.1-3 zeigt den Aufbau einer solchen Rumpfschale, und das
Bild 1.1-4 vermittelt einen Eindruck von dem Aufbau des untersuchten Rumpfsegmentes.
Bild 1.1-3 Prinzipieller Aufbau eines Airbus
Rumpfsegmentes
Bild 1.1-4 Modell des Segmentes
Das Bild 1.1-5 zeigt das für die Berechnung verwendete Schalenmodell des Segmentes
der Rumpfschale.
Bild 1.1-5 FEM Modell der Rumpfsegmentes
Bild 1.1-6 Muster der ersten Beuleigenform
Die nahezu starren Enden der Schale (siehe Bild 1.1-5) wurden in das Modell
eingeführt, um definierte Lastsituationen in die Schale einleiten zu können. Sie
2
Mann, Torsten: Berechnung des Verformungsverhaltens einer Airbus-Rumpfstruktur-Sektion unter Einbeziehung geometrischer Nichtlinearitäten. Diplomarbeit, Uni Magdeburg, Institut für Mechanik, 1999. (Aufgabenstellung DLR Braunschweig, Dr. Zimmermann)
4
1. Elementare Einführung in die FEM
entsprechen beispielsweise auch den Lagerbedingungen, die bei Beulexperimenten in
einer Versuchsanlage realisiert werden können.3
Herr Mann hat in seiner Diplomarbeit
zunächst eine Reihe von einfacheren
Voruntersuchungen (Beulen von einfacheren
Schalenmodellen) durchgeführt, um Aussagen
über die Genauigkeit und die Qualität der
Berechnungsergebnisse zu erhalten. Diese
Ergenisse konnten teilweise noch mit
“exakten” Lösungen oder mit anderen
numerischen Methoden verglichen und
abgesichert werden.4 Ein Ergebnis der
Beuluntersuchungen an dem kompletten
Rumpfschalenmodell zeigt Bild 1.1-6. Für
eine
einfachere
Teilschale
ist
die
Beuleigenform im Bild 1.1-7 dargestellt. Die
Untersuchungen zum Nachbeulverhalten des
kompletten Rumpfschalensegmentes, wie es
in Bild 1.1-5 dargestellt ist, führten teilweise
Bild 1.1-7 Beuleigenform einer Teilzum Abbruch der Rechnungen oder zu völlig
schale eines Airbus A340
unbrauchbaren Ergebnissen. Trotz Einsatz
aller im FEM-System angeboteten Möglichkeiten zur Sicherung der Konvergenz, und
auch durch die Nutzung alternativer numerischer Methoden gelang es dem
Diplomanden nicht, eine brauchbare Lösung zu gewinnen. Weder die bei der DLR
vorhandenen Fachleute noch die Hotline des Softwareanbieters konnten das Problem
lösen.5
Heikko Rädiger6 hat sich in seiner Diplomarbeit mit der Beurteilung der
Betriebsfestigkeit von Motor-Lagerstühlen befaßt. Um die Eingangsdaten für die
Berechnungen zur Betriebsfestigkeit (diese erfolgte mit dem Programmsystem
FEMFAT7) zu gewinnen, wurde eine Vielzahl von FEM-Berechnungen mit ABAQUS
durchgeführt, um die Spannungen als erforderlich Basisdaten zu gewinnen. Das
Gesamtmodell dieser Berechnung bestehend aus Zylinderkopf, Kopfdichtung,
Kurbelgehäuse, Ölwanne, Zylinderbuchsen und weiteren Anbauteilen enthält etwa
170000 finite Elemente (überwiegend 3D Hexaeder- und Pentaederelement) mit etwa
330000 Knotenpunkten (ca. 980000 Freiheitsgrade). Es wurden in der Arbeit mit
diesem Modell - das Bild 1.1-8 zeigt nur einen Teil dieses Modells - für 36 Stellungen
der Kurbelwelle (von 12 Grad bis 702 Grad) komplette Rechnungen durchgeführt und
3
Das Deutsche Forschungszentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) Braunschweig verfügt beispielsweise über
eine entsprechende Versuchseinrichtung.
4
Ein interessantes Ergebnis ergab sich bei der Nachrechnung eines dieser Testfälle mit COAR. Das dafür in
COSAR genutzte SemiLoof Schalenelement zeigte eine deutlich höhere Genauigkeit als das in ABAQUS implementierte Schalenelement, d.h. mit einer sehr groben Vernetzung wurden mit dem SemiLoof schon wesentlich genauere Ergebnisse erzielt als mit dem feinsten getesteten Netz der ABAQUS Rechnung.
5
Es sollte hier angemerkt werden, daß ABAQUS auf dem Gebiet der nichtlinearen Berechnugen zu den weltweit
führenden FEM-Systemen zählt!
6
Rädiger, Heiko: Festigkeitsbeurteilung von Motor-Lagerstühlen auf der Basis der Finite Element Methode und
einfacher Prüfstandsversuche. (Aufgabenstellung von Steyr-Daimler-Puch AG, Dr. W. Steiner) Diplomarbeit,
Uni Magdeburg, Institut für Mechanik, 1999
7
FEMFAT - Finite Element Method Fatigue, eine spezielle Software für Betriebsfestigkeitsberechnung auf der
Grundlage von FEM Berechnungsergebnissen, die mit belieben anderen FE-Systemen ermittelt werden können.
1.1. Anwendung der FEM
5
aus den Ergebnisse mit entsprechenden Last-Zeitfunktionen für einen Zeitraum von
400 Stunden Vollastbetrieb des Motors die Datensätze (Spannungs-Zeitverläufe) für
die Betriebsfestigkeitsrechnungen generiert. Das Bild 1.1-9 zeigt als ein Ergebnis
dieser Berechnungen die Verformung des Lagerstuhl als Farbflächenbild.
Die
Betriebsfestigkeitsrechnungen geben schließlich einen
Überblick über die vorhandenen Sicherheiten gegen Dauerbruch. Deutlich lassen sich
bereits in einem sehr frühen
Stadium des Entwurfes diejenigen Bereiche identifizieren,
die schädigungsgefährdet sind.
Die
Computersimulationen
führen in Verbindung mit
experimentellen Untersuchungen im Labor zu einer deutlichen Verringerung der Entwicklungszeiten.
Bild 1.1-8 Teil des Lagerstuhles eines
Dreizylinder-Motors
Bild 1.1-9 Verformung des Lagerstuhl beim Zündlastfall 23
dargestellt als Farbflächenbild
Das Verformungs- und Tragverhalten moderner Pkw- und LKW-Reifen wird
wesentlich durch den Gürtelverband und die Karkasse geprägt. Diese Reifenbauteile
bestehen aus mehreren Lagen Gummi, in die Festigkeitsträger aus Stahl oder textilen
Materialien eingebettet sind. Für die statischen und dynamischen Berechnungen, die
hochgradig nichtlinear sind (große Verformungen und nichtlineares Material-
6
1. Elementare Einführung in die FEM
verhalten), werden meist firmeninterne FEM-Softwareentwicklungen eingesetzt, die
die hausinterne Kompetenz der großen Reifenkonzerne auf dem Fachgebiet
verkörpern.
Bild 1.1-10 Querschnitt durch einen
PKW Reifen
Bild 1.1-11 FE-Netz des Reifens
In seiner Diplomarbeit bei Continental hat Andreas Härtwig8 Untersuchungen
zur Modellierung durchgeführt. So hat er hat dabei zum Beispiel den Einfluß der
verwendeten Mischungsregeln (nach Chamis und Halpin-Tsai) und des RebarKonzeptes (das ist. die Berücksichtigung der Stahldrähte zur Bewehrung von Reifens
in Form von diskreten finiten Elementen) auf die Ergebnisse untersucht. Ebenso wurde
der Einfluß der Vernetzung, des Lagenaufbaus und der Modellierung der Gürtelkante
und anderes untersucht und bewertet. Das Bild 1.1-10 zeigt den Querschnitt durch
einen der untersuchten PKW-Reifen, und im Bild 1.1-11 ist eines der für die
Rechnungen benutzen FE-Modelle abgebildet.
Die Berechnung von ausreichend genauen Spannungen im Bereich von Kerben
ist bei vielen Bauteilen entscheidend, weil diese Spannung meist für die
Dimensionierung und Lebensdauerabschätzung des Bauteil relevant sind. Durch
unzureichende Vernetzungen9 werden die Spannungen im Kerbengrund teilweise
extrem a) überschätzt, wenn die Vernetzung eigentlich ausreichend fein ist aber
einspringende Ecken aufweist, die im Berechnungsmodell zu Spannungssingularitäten
führen oder b) unterschätzt, wenn die Vernetzung zu grob ist. Besonders die
Unterschätzung der tatsächlichen Spannungen kann zu fatalen Folgen führen, wie zum
8
Härtwig, Andreas: Modellierung der mechanischen Eigenschaften des Gürtelpaketes von Reifen. Diplomarbeit
Uni Magdeburg, Institut für Mechanik, 1995. (Aufgabenstellung Continental AG Hannover, Dr. Fornefeld).
9
Die Vernetzung hängt von der Qualität der verwendeten finiten Elemente und der Lösung (Regularität der
Lösung) ab, wobei das Problem im Bereich von Kerben der dort auftretende meist große Spannungsgradient ist.
1.1. Anwendung der FEM
7
Beispiel der Katastrophen mit der norwegischen Erdölplattform, die durch einen
derartigen Fehler zusam-mengebrochen und im Meer versunken ist.
Die Vielzahl von
FEM-Berechnungen
an
Bauteilen mit Kerben, die
bei der Entwicklung von
PKW’s
durchgeführt
werden,
haben
VW
bewogen, dieses Thema
einmal im Rahmen einer
Diplomarbeit
gründlich
untersuchen zu lassen.
Dabei sollte auch der Einfluß, der sich aus der Verwendung unterschiedlicher
Bild 1.1-12 PKW Kurbelwelle
Berechnungssoftware ergeben könnte, in den Betrachung einbezogen wer-den. Als charakteristisches Bauteil wurde sich für eine
Kurbelwelle entschieden (siehe Bild 1.1-12), wobei als einfachere Referenzlösung
auch noch eine biege- und torsionsbelastete Welle mit Absatz untersucht werden sollte
(siehe Bild 1.1-15).
Diese Aufgabe wurde von Sven Müller10 im Rahmen seiner Diplomarbeit
erfolgreich gelöst, wobei in die Untersuchungen die FEM-Systeme NASTRAN,
COSMOS, MECHANICA und PROCISION/EAM sowie das BEM-System BEASY
einbezogen wurden.
Bild 1.1-13 Ausschnitt aus derKurbelwelle
Bild 1.1-14 Spannungen in Kurbelwelle
Ein Segment der Kurbelwelle zeigt Bild 1.1-13, die berechneten Hauptspannungen
sind im Bild 1.1-14 dargestellt. Deutlich erkennbar sind die Spannungsextrema im
10
Müller, Sven: Bewertung unterschiedlicher FEM- und BEM-Techniken an Hand einer Kurbelwellenberechnung. Diplomarbeit, Uni Magdeburg, Institut für Mechanik, 1997. (Aufgabenstellung Volkswagen AG Wolfsburg, Dr. Stamerjohanns).
8
1. Elementare Einführung in die FEM
Kerbbereich. Ein entsprechendes Ergebnis für die einfache Welle ist im Bild 1.1-15
zu sehen.
Bild 1.1-15 Hauptspannungen in einer auf Biegung belasteten Welle
Mit den genannten Beispielen aus Diplomarbeiten konnte nur ein kleiner
Eindruck von den enormen Möglichkeiten der Finite-Element-Methode vermittelt
werden, wobei dabei auch bereits deutlich werden sollte, das die Anwendung nicht
immer ganz unproblematisch ist.
In 62 weiteren am Lehrstuhl für Numerische Mechanik seit 1992 betreuten
Diplom- und Studienarbeiten wurden viele interessante Aufgaben und Probleme unter
Nutzung der FEM gelöst, wobei neben der reinen Anwendung kommerzieller
Programmsystem vielfach auch die Erweiterung und Ergänzung vorhandener
Berechnungssoftware durch Neu- und Weiterentwicklungen, die Gestaltung von
Schnittstellen zum Datentransfer, die Realisierung spezieller Auswerteprogramme und
ähnliches Bestandteile der Aufgabenstellungen waren. Die Anwendungen reichten
dabei von der Auslegung eines Kometenlanders, Untersuchungen an Radiosatteliten,
Flugzeugflügeln und PKW Teilen, die Berechnung von Hüftgelenkprothesen und von
Kniegelenken, die Simulation von flexiblen von Endoskopen für die Gehirnchirurgie,
die Simulation des Langzeitverhaltens von Endlagerstätten im Salzgestein, die
Auslegung von geregelten (smarten oder adaptiven) Strukturen, das Bruchverhalten
von piezoelektrischen Materialien bis hin zu Methoden und Softwareentwicklungen
für die Nutzung von Parallelrechnern.
Einen Überblick über den Leistungsumfang unseres FEM-Systems COSAR
können Sie der Internetseite http://www.femcos.de entnehmen.
In einer Vielzahl von Anwendungsgebieten wird die FEM heute erfolgreich
eingesetzt. Einen nur unvollkommenden Eindruck von der Vielfalt dieser
Anwendungen vermittelt die folgende Zusammenstellung:
1.1. Anwendung der FEM
•
•
•
•
•
•
9
Berechnung von Bauwerken aller Art (Brücker, Hochhäuser, Fundamente, Staudämme, Eisenbahntunnel, Kühltürme, Atomkraftwerke mit Simulation der Folgen
von Flugzeugabstürzen und Erdbeben, Auslegung von Brennstofftransportbehältern, und vieles andere mehr.
Auslegung von Hörschall-Wandlern in Hörgeräten, Simulation des Verhaltens von
Knochen und Gelenken aller Art, Simulationen in der Orthopädie, Kiefer- und Gesichtschirurgie, Neurochirurgie, Auslegung von Hüftgelenkimplantaten, Zahnspangen, intraokularen Linsen, optimalen Auslegung von Herzschrittmachern, Simulation elektrischer Felder im menschlichen Herzen, und viele weitere Anwendungen
im Bereich der Medizin und Medizintechnik.
Entwicklung des optimalen Designs von Turnschuhsohlen, Tennisschlägern, Surfbrettern, Skiern, Golfschlägern, Segel-, Ruder und Paddelbooten, Turngeräten,
Bobschlitten und vielen weiteren Sportgeräten für den Spitzensport.
Thermische Berechnungen an Bügeleisen, dynamische Untersuchungen an
Waschmaschinen, Optimierung von Brillengestellen, Auslegung von Korkenziehern, Berechnungen von Waschbecken und viele weitere Anwendungen für Haushaltsgeräte.
In der Geophysik benutzt man die FEM zu Simulation des Langzeitverhaltes von
Endlagerstätten, untersucht das Auseinanderdriften der Kontinentalschollen, Ermittelt die Ausbreitung von Erdbebenwellen und ähnliches mehr..
Anwendung findet die FEM bei Untersuchungen zum Baumwachstums, zum Verhalten von Getreide, Kartoffeln, Äpfeln,…,. in Speichern, und viele weitere Anwendungen in der Biologie.
10
1. Elementare Einführung in die FEM
1.2. Einführung in die Grundlagen der FEM
Grundidee der Methode
Während sich bei den klassischen direkten Verfahren der Variationsrechnung, wie
dem Verfahren von Ritz oder dem Galerkin-Verfahren, die Ansatzfunktionen über das
gesamte Gebiet (z.B. eine Struktur) erstrecken, werden bei der FEM Ansatzfunktionen
gewählt, die jeweils nur in einem Teilbereich, einem sogenannten finiten Element, ungleich Null sind. In Bild 1.2-1 sind die einzelnen Schritte bei der Anwendung der FEM
übersichtlich dargestellt.11
F
F
Approximation
der Geometrie
durch finite
Elemente
Geometrische
Randbedingungen
und Belastungen
Ermittlung
der
Spannungen
Lösung des
Gleichungssystems
> Deformationen
Elementtypen
Elementsteifigkeitsmatrizen
Überlagerung der Matrizen
entsprechend der Elementknotenzuordnung
Bild 1.2-1 Schritte bei der Anwendung der FEM
Nach der Modellbildung wird zunächst die Geometrie der betrachteten Struktur in einzelne Teilgebiete (finite Elemente) zerlegt. Der in Bild 1.2-1 behandelte Kragbalken
wird hier beispielsweise als ebenes Scheibenproblem betrachtet (Modellbildung diskutieren). Man zerlegt die Mittelfläche des Kragbalkens in finite Elemente. Dies führt
zum sogenannten FE-Netz. Zur Vernetzung des Problems stehen verschiedene finite
Elementtypen zur Verfügung. Im vorliegenden Fall sind dazu Dreiecks- und Viereck2
Als eine simple Analogie soll nachfolgend die Berechnung der Kreisfläche A = r π dienen. Betrachtet man
einen Kreis mit dem Radius r = 1, so ist die exakte Lösung A = π. Ersetzt man den diesen Kreis durch ein n-Eck,
läßt sich der Kreisinhalt lediglich mit Kenntnis der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks approximieren.
Durch immer feinere Unterteilung (Vernetzung) in Dreiecke kann der Flächeninhalt beliebig genau angenähert
werden.
11
1
A =π
n=4
A=2
n=8
A = 2,828
Weitere Unterteilungen liefern: n=64: A=3.136; n=128: A=3.1400; n=256: A=3.1412; n=1000: A=3.1415.
1.2. Einführung in die Grundlagen der FEM
11
selemente verwendet worden. Das Steifigkeitsverhalten der Gesamtstruktur wird durch
die Summe der Steifigkeitsmatrizen der einzelnen finiten Elemente beschrieben. Diese
werden additiv zur Gesamtsteifigkeitsmatrix überlagert. In Verbindung mit den geometrischen Randbedingungen und den Belastungen ergibt sich dann aus der Gesamtsteifigkeitsmatrix ein lineares Gleichungssystem. Die zu berechnenden unbekannten Größen in diesem Gleichungssystem sind die Verformungen an den sogenannten Knotenpunkten. Aus den Verformungen lassen sich anschließend in jedem
einzelnen finiten Element unter Verwendung der Ansatzfunktionen Spannungen berechnen.
u1
u2
u3
Φ
ξ1
Rod
18
11
15
12
6
8
1
4
5
3
2
12
4
9
13
1
5
4
2
ξ2
Pentaeder
Anvil
u1
u2
u3
Φ
1
ξ1
3
4
9
6
4
3
2
5
6
7
Chisel
8
7
5
9
9
10
11
4
3
2
8
8
12
ξ3
ξ2
14
9
3
1
1
Layered shell elements
(semi-loof elements)
10
7
ξ1
15
5
6
ξ1
11
2
6
8
2
ξ2
u1
u2
u3
Φ
8
12
13
Hexaeder
7
3
7
1
ξ3
ξ2
Triangle
14
10
u1
u2
u3
Φ
10
7
11
ξ3
3
2
15
16
17
16
9
1
3
2
17
14
4
ξ1
Quadrilateral
18
20
13
6
4
ξ2
ξ1
u1
u2
Φ 1
1
19
ξ2
8
2
5
5
6
7
5
10
Tetraeder
6
13
ξ1
2
10
11
12
Layered elements
Wedge
Bild 1.2-2 Ein Auswahl finite Elemente des Programmsystems COSAR
Einige Standardelemente für die Strukturmechanik
Von großer Bedeutung bei der Anwendung der FEM ist die Wahl der bei der Vernetzung zu verwenden Elementtypen. Grundsätzlich unterscheidet man in der Strukturmechanik folgende Modelle:
•
•
•
•
•
•
•
•
Stabmodelle
Balkenmodelle
Scheibenmodelle (2D Modelle)
Plattenmodelle
Schalenmodelle (2.5D Modelle)
rotationssymmetrische und axialsymmetrische Modelle
Volumenmodelle (3D Modelle)
Spezialmodelle (z.B. für Rohleitungen, Stabschalen u.ä.)
Die verschiedenen Elemente, die für die Berechnung der oben genannten Strukturmodelle erforderlich sind, unterscheiden sich in der Geometrie, der Anzahl und der Art
der Freiheitsgrade und den Ansatzfunktionen. Das Bild 1.2-2 zeigt eine Auswahl von
finiten Elementen, die im Programmsystem COSAR zur Verfügung stehen.
Mathematische Formulierung
Die analytische Lösung einer Differentialgleichung, die ein Berechnungsproblem beschreibt, ist meist nur für Sonderfälle möglich. Der beiden wesentlichen Weg für die
numerische Lösung eines elastostatischen Problems - die Nutzung der FDM oder die
Nutzung der FEM - sind in Bild 1.2-3 dargestellt. Der linke Zweig der Darstellung
12
1. Elementare Einführung in die FEM
zeigt den Weg, der von der Lösung der Differentialgleichung11 ausgeht und über eine
Differenzenapproximation auf die Lösung eines Gleichungssystems führt. Bei der Finite-Elemente-Methode wird meist vom Prinzip der virtuellen Verschiebungen (Verrückungen) ausgegangen. Die Einführung von bereichsweise definierten Näherungsansätzen für die unbekannten Verschiebungen führt auf die Methode der finiten Elemente, die zur Berechnung der Unbekannten ebenfalls die Lösung eines Gleichungssystems erfordert.
Elastostatisches Problem
Differentialgleichungen
Grundgl. der Elastizitätstheorie
Gleichgew.-Bedingung
Extremalaussagen
Prinzip der virtuellen Verrückungen
- Gleichgewichtsbed. werden erfüllt
- Verträglichkeitsbed. nicht a priori
erfüllt
Verträglichkeitsbed.
Stoffgesetz
Stoffgesetz
DGL-System
Funktional
Numerische Lösung
Numerische Lösung
Finite Differenzen
Finite-Elemente
Bild 1.2-3. Die Näherungsverfahren FDM und FEM für elastostatische Probleme
In der Tabelle 1.2-1 sind die FEM und die FDM gegenübergestellt, wobei hier auch
noch die Randelementmethode (BEM) als weiteres wichtiges Verfahren aufgeführt ist.
Variationsformulierungen
Differentialgleichungen
Integralgleichungen
⇓
⇓
⇓
Unterteilung des Gebietes in Einführung eines Gitternetzes Unterteilung des Gebietsranfinite Elemente
mit Gitterpunkten
des in Randelement
⇓
⇓
⇓
Ansatzfunktionen in den Ele- Differenzenquotienten an den Ansatzfunktionen in den Ranmenten
Gitterpunkte
delementen
⇓
⇓
⇓
FEM
FDM
BEM
Randelement
e
Tabelle 1.2-1
11
Formuliert man das Problem in den Verschiebungen, so erhält man die Navier'schen Gleichungen, welche aus
drei partiellen Differentialgleichungen für die drei Verschiebungen im Raum bestehen. Führt man die Spannungen als Unbekannte ein, so erhält man die Beltrami-Gleichungen. Eine analytische Lösung der Differentialgleichungen ist nur für Sonderfälle möglich.
1.2. Einführung in die Grundlagen der FEM
13
Nachfolgend soll dieser Sachverhalt für die FEM noch etwas genauer dargestellt werden. Dazu betrachten wir ein beliebiges 2D Gebiet (siehe Bild 1.2-4).
q
y,v
x,u
Bild 1.2-4 2D-Gebiet mit einem Netz aus finiten Dreieckselementen
In den Dreiecken (siehe Bild 1.2-4) soll der Verschiebungszustand durch einen linearen Ansatz angenähert werden. In jedem Element gilt also für die Verschiebungen
u (x , y ) = a 1 + a 2 x + a 3 y
(1.2.-1)
v (x , y ) = a 4 + a 5 x + a 6 y
Eine bessere Näherung für den Verschiebungszustand wäre zum Beispiel die Nutzung
eines Polynoms höherer Ordnung, das für u(x,y) folgendermaßen geschrieben werden
kann
 a1 
a 
u (x , y ) = 1 x y x 2 xy y 2 ... ⋅  2 
(1.2-2)
 . 
 
a n 
[
]
Die Größen a1 bis an sind die unbekannten Koeffizienten des Ansatzes. Zur Ermittlung
dieser Unbekannten wird hier Prinzip vom Minimum des elastischen Potentials benutzt, das folgendermaßen formuliert werden kann:
Unter allen kinematisch zulässigen Verschiebungen nimmt das elastische Potential π
für die exakte Lösung einen minimalen Wert an.
Die Unbekannten werden also so bestimmt, daß das elastische Potential, das durch die
eingeführten Formfunktionen und Unbekannten ausgedrückt worden ist, einen minimalen Wert annimmt. Für eine Stab (Elastizitätsmodul E, Fläche A, Länge l), der
durch eine Volumenlast p belastet ist, lautet das elastische Potential beispielsweise:
2
1
du
π = ∫E A
 dx − ∫ A u p dx
l
2l
dx
(1.2-3)
Nach Einsetzen der Ansatzfunktionen und Integration wird π (a 1 , a 2 ,..., a n ) minimiert,
d.h. nach jeder einzelnen Unbekannten ai differenziert und das Ergebnis Null gesetzt
(Extremwertaufgabe). Es ergibt sich das Gleichungssystem
14
1. Elementare Einführung in die FEM
∂π
=0
∂a i
i=1,2,...n
(1.2-4).
Zusammenfassung
Gegeben ist eine Differentialgleichung bzw. ein Differentialgleichungssystem für eine
Funktion u (x , y, z ) . Die Finite-Elemente-Methode ist ein numerisches Verfahren, das
diese Differentialgleichung, die eine kontinuierlichen Lösung besitzt, in ein algebraisches Gleichungssystem mit endlich vielen Unbekannten (diskrete Lösung) überführt.
Die Differentialgleichung ist physikalisch betrachtet eine Gleichgewichtsaussage. Anstelle der Differentialgleichung wird eine duale Variationsaufgabe gelöst. Sie führt auf
ein algebraisches Gleichungssystem. In unserem Beispiel ist die Minimalforderung für
die potentielle Energie des elastischen Systems äquivalent mit der Gleichgewichtsaussage der Differentialgleichung. Das Variationsprinzip ist eine schwache Form des
Gleichgewichts, d.h. bei Nutzung zulässiger Ansatzfunktionen wird das Gleichgewicht
nur im integralen Mittel erfüllt, nicht aber lokal. Die gesuchte unbekannte Funktion
wird durch bereichsweise definierte Ansatzfunktionen approximiert (Bild 1.2-5), die
bestimmte Stetigkeits- und Kontinuitätsforderungen erfüllen müssen, sich aus der Variationsformulierung ergeben.1
Bild 1.2-5 Approximation einer Funktion in einem zweidimensionalem Gebiet
Zur Steigerung der Genauigkeit stehen mehrere Möglichkeiten zur Verfügung, z.B. die
h-Methode, die p-Methode oder die r-Methode. Unter dem Begriff h-Methode versteht
man die Steigerung der Anzahl der Elemente im Vernetzungsgebiet (h - ist ein Maß für
die Elementgröße). Unter der p-Methode versteht man die Steigerung des Polynomgrades der Ansatzfunktionen im Element (p - ist ein Maß für den Polynomgrad). Die
r-Methode schließlich hat die Verdichtung des Netzes bei gleichbleibender Anzahl von
Elementen in Bereichen hoher Spannungsgradienten zum Ziel. Die einzelnen Methoden können auch kombiniert werden. Entscheidend für die Auswahl einer Methode ist
deren Einfluß auf das Konvergenzverhalten der FE-Lösung. Durch die Verfügbarkeit
von Fehlerschätzern und unter Ausnutzung von a-priori Wissen läßt sich z.B. das FESystem so steuern, daß das Netz in Gebieten mit großen Fehlern automatisch verfeinert wird.
1
Siehe dazu die Kapitel zur Variationsrechnung und zu den Direkten Verfahren der Variationsrechnung der
Vorlesung Mathematische und numerische Methoden der Mechanik – Teil I.
1.3. Kommerzielle FEM-Softwareprodukte
15
1.3. Kommerzielle FEM-Softwareprodukte
Struktur von FEM-Software
Ein FEM-System besteht meist aus den folgenden drei Bestandteilen:
• Preprozessor (Dateneingabe)
• FEM-Analyse (Berechnung)
• Postprozessor (Ergebnisausgabe)
In der Regel gibt es für diese drei Teile separate kommerzielle Softwareprodukte, die
über Datenschnittstellen miteinander kommunizieren. Üblicherweise kann der Postprozessor ebenfalls über Datenschnittstellen Geometriedaten aus CAD-Systemen übernehmen.
Im Preprocessing (interaktiv) erfolgt im wesentlichen
• die Eingabe der Geometriedaten des Modells (häufig über CAD-Schnittstellen),
• die Vernetzung des Modells (Elementtypen, Anzahl der Elemente),
• die Eingabe von Materialdaten (z.B. Dichte, E-Modul, Querkontraktionszahl),
• die Beschreibung der Randbedingungen (z.B. Nullverschiebungen),
• die Eingabe der Belastungen (z.B. Einzelkräfte, Linienlasten, Flächenlasten)
• die Kontrolle der Eingabedaten.
Im FEM-Analyseteil erfolgt
• die Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen und Elementlastvektoren,
• der Aufbau der Struktursteifigkeitsmatrix,
• der Aufbau der Lastvektoren,
• die Einarbeitung der Randbedingungen,
• die Lösung des Gleichungssystems (Berechnung der Knotenverschiebungen),
• die Rücksortierung der Elementverschiebungen,
• die Berechnung der Dehnungen in den Elementen (falls gewünscht),
• die Berechnung der Spannungen in den Elementen.
Postprocessing
Nach der Berechnung werden die Ergebnisse im Postprocessing ausgewertet. Dabei
steht der Nutzer in der Regel im Dialog mit dem Rechner und entscheidet über die
Form der Ausgabe bzw. über eine Verwertung der Ergebnisse für eine erneute Berechnung (z.B. durch Netzmodifikation). Die Ausgabe der Ergebnisse kann sowohl grafisch als auch in Form von Listen erfolgen. Hierbei ist meist sowohl die Ausgabe von
Ergebnisdaten als auch von Modelldaten möglich.
16
1. Elementare Einführung in die FEM
Eine Auswahl von FEM-Software:
• General-Purpose Programmsysteme:
ABAQUS, ADINA, ANSYS, COSMOS, COSAR, MARC, MSC/NASTRAN,
NISA, PERMAS,
ALGOT, ANTRAS, ASAS, ASKA, BERSAFE, FEMAS, GFS-FEM, GIFTS,
LUSAS, Mosaic, SAP80, STARDYNE, STRUDL, SYSTUS, UAI/NASTRAN
• Pre- und Postprocessoren (teilweise auch mit eigener FEM-Analyse)
PDA/PATRAN, SDRC/SUPERTAB (CAEDS), FEMFAM, FEMAP
• CAD-Systeme mit integriertem FEM-Lösungsmodul (meist lineare Statik)
I-DEAS, BRAVO, CADDS-STRESSLAB, EUCLID, INTERGRAPH
• Spezialprogramme
Rohrleitungsberechnungen:
KEDRU, NUPIPE, PIPESTRESS, ROHR2
Crashsimulationen, Metallumformung:
LS-DYNA3D, LARSTRAN, MSC/DYNA, PAM-CRASH, RADIOSS
Akustik:
SYSNOISE, BEMAP
Magnetfeld:
ANSYS, FLUX, MAGNET, MAXWELL, MSC/EMAS, PROFI,
TOSCA
Strömung:
FIDAP, FIRE, FLOTRAN, MSC/PISCES
Spritzgußsimulation:
CADMOULD, MEFISTO, MOLDFLOW
1.4. Ein Einführungsbeispiel zur Statik von Stäbe
17
1.4. Ein Einführungsbeispiel zur Statik von Stäben1
Am Beispiel von Stabberechnungen wird nachfolgend die Methode der finiten Elemente erläutert. Die Differentialgleichungen der Stabstatik sind nachfolgend zur Erinnerung aufgeführt.
Zusammenhang zwischen Dehnungen und Verschiebungen:
ε=
∆l ∂u
=
∂x
l
(1.4-1)
Gleichgewichtsbedingungen:
∂σ
−p=0
∂x
(1.4-2)
Materialgesetz (Hookesches Geset)z:
σ = Eε .
(1.4-3)
Aus diesen drei Gleichungen folgt die Naviersche Differentialgleichung des Zugstabproblems:
∂  ∂u
E
 + p = 0.
∂x ∂x
(1.4-4)
Das vorliegende Problem ist dual zur Variationsformulierung2 in Form des Prinzips
vom Minimum des elastischen Potentials:
π=
n
1 T
e
E
dV
u
p
dV
ε
−
−
∑ u L FL → Min! ,
∫
2 V∫
L =1
V
(1.4-5)
das durch die Verschiebungen (1.4-1) ausgedrückt lautet:
2
n
1
∂u
π = E A ∫
d
x
−
A
u
p
d
x
−

∑ u L FL → Min!
∫
2
∂
x


L =1
(l )
(l )
(1.4-6)
Als finites Element wird ein Stabelement mit zwei Knoten gewählt (Bild 1.4-1).
u 1 , F1
1
x
2
u 2 , F2
l e =2l
x=-l
x=+l
Bild 1.4-1 Finites Stabelement
Die Verschiebungen im Element werden durch folgende Ansatzfunktion approximiert3
1
Diese sehr ausführliche Darstellung dient zur Einführung in die FEM für Studenten mit geringeren Eingangskenntnisse und dient dem besseren Verständnis der allgemeinen Ableitung der Grundgleichungen der FEM in
Matrizenschreibweise, wie sie im Abschnitt 2 erfolgt.
2
Siehe Vorlesung Mathematische und Numerische Methoden der Mechanik – Teil I, Abschnitt Variationsrechnung .
18
1. Elementare Einführung in die FEM
u (x ) = a 1 + a 2 x .
(1.4-7)
In diesem Polynomansatz lassen sich die Unbekannten a 1 und a 2 durch mechanisch
deutbare Größen - die Verschiebungen der Knotenpunkte 1 und 2 - ersetzen. Die Verschiebungen am linken und rechten Rand des Elements sind
u (x = −l ) = u 1 = a 1 − a 2 l
u (x = + l ) = u 2 = a 1 + a 2 l
(1.4-8a)
(1.4-8b)
Daraus folgt
1
(u1 + u 2 )
2
1
a 2 = (u 2 − u 1 )
2l
a1 =
(1.4-9)
Damit ergibt sich für den Verschiebungsansatz folgender Ausdruck:
1
x
1
x
u ( x ) = (1 − )u 1 + (1 + )u 2
2424
l
2424
l
1
3
1
3
N1 ( x )
N2 ( x )
(1.4-10)
N1(x) und N2(x) werden als Formfunktionen (engl. shape functions) bezeichnet. Die
Ableitung der Verschiebung im Element ergibt
∂ N2
∂ u ∂ N1
1
1
1
1
=
u1 +
u 2 = − u 1 + u 2 = (− u 1 + u 2 ) = (− u 1 + u 2 )
∂x ∂x
∂x
le
2l
2l
2l
(1.4-11)
Einsetzen des Verschiebungsansatzes in das Variationsproblem liefert für ein finites
Element
2
l
l
1
∂u
πe = A e E e ∫ 
 dx − A e ∫ u p dx − u 1F1 − u 2 F2
2
−l  ∂ x 
−l
πe =
=
1
1
AeEe 2
2
4l
∫ (u
l
−l
2
1
)
(1.4-12)
l
− 2u 1u 2 + u 22 dx − A e ∫ (N1u 1 + N 2 u 2 )pdx − u 1F1 − u 2 F2
(
)
−l
l
1
1
A e E e 2 le u 12 − 2u 1u 2 + u 22 − A e ∫ (N1u 1 + N 2 u 2 )pdx − u 1F1 − u 2 F2
2
le
−l
(
)
l
1 AeEe 2
2
=
u 1 − 2u 1u 2 + u 2 − A e ∫ (N1u 1 + N 2 u 2 )pdx − u 1F1 − u 2 F2
2 le
−l
Aus den partiellen Ableitungen des elastischen Potentials bezüglich der freien Parameter – d.h. den Knotenverschiebungen - ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
3
Warum ist diese Ansatzfunktion ausreichend?
1.4. Ein Einführungsbeispiel zur Statik von Stäbe
19
∂ πe Ae Ee
=
(u1 − u 2 ) − Ae ∫ N1pdx − F1 = 0
∂ u1
le
(l )
e
∂ πe AeEe
=
(− u 1 + u 2 ) − A e ∫ N 2 pdx − F2 = 0
∂ u2
le
(l )
(1.4-13)
e
In Matrizenschreibweise hat das Gleichungssystem folgende Form:
AeEe
le
 1 −1  u1   F1 
 N1 
− 1 1  u  = F  + A e ∫  N  pdx

 2   2 
(l )  2 
(1.4-14)
e
Mit den Abkürzungen Ke - Elementsteifigkeitsmatrix
Ke =
AeEe
le
 1 −1
 1 − 1
− 1 1  = α e − 1 1 




und fe - Elementkraftvektor
f e = F (e ) + Fp( e)
(1.4-15)
(1.4-16)
mit
F
( e)
 F1(e ) 
=  (e )  f e = F (e ) + Fp( e)
 F2 
(1.4-17)
für die Knoteneinzelkräfte und mit
 N1 
Fp(e ) = A l ∫   pdx
l N2 
(1.4-18)
e
für die Volumenlasten kann man Gl. (1.4-14) schreiben als
K e ⋅ ue = fe .
(1.4-19)
Dieser Ausdruck wird als Elementsteifigkeitsbeziehung bezeichnet.
Falls beispielsweise der Kraftvektor infolge Schwerkraft in x – Richtung ermittelt
werden soll, ergibt sich mit
p = ρ ⋅g x ,
(1.4-20)
aus Gl. (1.4-18)
 x
1−
1  l
1 2l 
Fp = A e ∫ ρ g x ⋅ ⋅ 
dx = A eρ g x  

2 1 + x 
2 2l 
−l
(1.4-21)
 l
1
1
= le A e ρ g x  
2
1
In diesem Fall teilt sich also die Gesamtkraft je zur Hälfte auf die Knoten auf.
l
20
1. Elementare Einführung in die FEM
Wir untersuchen jetzt das Zusammenwirken der Einzelelemente im Gesamtsystem.
Das gesamte elastische Potential berechnet sich aus der Summe der n Elementbeiträge
zu
n
π gesamt = ∑ πe
(1.4-22)
e =1
Die Minimierung des elastischen Gesamtpotentials liefert
∂ πgesamt
∂ ui
∂ πe
e =1 ∂ u i
n
=∑
(1.4-23)
Setzt man hier die Elementbeiträge entsprechend Gleichung 1.4-13 ein und nimmt an,
daß eine aufsteigende Nummerierung der Knotenpunkte vorliegt, dann ergibt sich für
n=3 das Gleichungssystem (1.4-27).4 Das gleiche Ergebnis läßt sich auch über das
Kräftegleichgewicht an jedem Knotenpunkt herleiten (siehe Bild 1.4-2).
e+1
e
k+1
k
k-1
fk
- äußere Kraft am Punkt k
e
f 2e
e
f1
e+1
f 1e+1
fk
Bild 1.4-2 Kraftgleichgewicht am Knoten k
f e+1
2
Das Kraftgleichgewicht am Knoten k liefert:
f k = f 2e + f1e+1
= α e (− u k −1 + u k ) + α e +1 (u k − u k +1 )
(1.4-24)
= −α e u k −1 + (α e + α e+1 )u k − α e+1 u k +1
In Matrizenschreibweise lautet diese Gleichung
[− α e
α e + α e +1
u k −1 
− α e+1 ]  u k  = f k


u k +1 
(1.4-25)
Dies führt für das Beispiel mit n=3 Stäben, die durch die drei Elementsteifigkeitsmatrizen
 1 − 1  u 1   f1 
α1 ⋅ 
⋅  =  ,
− 1 1  u 2  f 2 
4
Beweisen Sie diese Behauptung.
(1.4-26a)
1.4. Ein Einführungsbeispiel zur Statik von Stäbe
21
 1 − 1 u 2  f 2 
α2 ⋅ 
 ⋅  =  ,
− 1 1   u 3  f 3 
 1 − 1  u 3   f 3 
α3 ⋅ 
⋅  =  ,
 − 1 1   u 4  f 4 
(1.4-26b)
(1.4-26c)
beschrieben werden, auf das Gesamtgleichungssystem
 α1
− α
 1
 0

 0
− α1
α1 + α 2
0
− α2
− α2
0
α 2 + α3
− α3
0   u 1   f1 
0  u 2  f 2 
⋅ =  .
− α 3  u 3  f 3 
    
α 3   u 4  f 4 
(1.4-27)
Die Knotennumerierung hat einen entscheidenden Einfluß auf die Struktur der Matrix.
Das Ziel muß es sein, eine minimale Bandweite der Matrix zu erhalten. Die in Bild
1.4-3 gezeigte nicht fortlaufende Knotennumerierung führt stattdessen auf die Gl.
(1.4-28).
f1
f2
1
1
4
2
f3
2
3
f4
3
Bild 1.4-3 Beispiel einer nicht fortlaufenden Knotennumerierung
 α1
 0

 0

− α 1
0
0
α2 + α3
− α3
− α3
α3
− α2
0
− α1   u 1   f1 
− α 2  u 2  f 2 
.
⋅
=
0  u 3  f 3 
    
α 1 + α 2   u 4  f 4 
(1.4-28)
Es ist zu erkennen, daß die Bandstruktur der Matrix hier verlorengegangen ist.
In Bild 1.4-4 ist ibw das Maß für die halbe Bandweite einer symmetrischen Matrix.
Diese kann aus folgender Formel bestimmt werden:5
ibw = n dof ⋅ d e max ,
(1.4-29)
wobei d e max die maximale Knotennummerndifferenz an einem Element ist, und ndof ist
die Anzahl der Unbekannten (Freiheitsgrade) pro Knoten. Die "Rechenzeit" bei Anwendung von direkten Verfahren zur Gleichungslösung läßt sich näherungsweise nach
folgender Formel bestimmen
t cpu ≅ c ⋅ n ⋅ (ibw )2 .
(1.4-30)
Dabei bezeichnet hier n die Gesamtzahl der Gleichungen, und c ist eine vom Prozessor
der Rechenanlage abhängige Konstante. Aus Gleichung (1.4-30) wird der Einfluß der
5
Zeigen Sie die Richtigkeit dieser Formel.
22
1. Elementare Einführung in die FEM
Bandweite auf die Rechenzeit ersichtlich. Es ist deshalb bei der Anwendung direkter
Verfahren zur Gleichungslösung6 unbedingt erforderlich, bei der Vernetzung auf die
Entstehung einer möglichst kleinen Knotennummerndifferenz zu achten, um die Rechenzeit gering zu halten7.
ibw
0
n
symm.
Bild 1.4-4 Definition der Bandweite ibw
Einarbeitung der Randbedingungen
Ein weiterer wichtiger Punkt bei der FEM-Analyse ist die Einarbeitung der geometrischen Randbedingungen. Ohne die Berücksichtigung von Verschiebungsrandbedingungen ist das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar – es ist singulär. Ein Bauteil
muß also so gelagert sein, dass mindestens die Starrkörperbewegungen unterdrückt
werden!
Im folgenden wird die Vorgehensweise zur Einarbeitung verschiedenen Randbedingungen aufgezeigt.
Verschiebung der Größe u i = 0 am Knoten i ist vorgeschrieben (Nullverschiebung)
a) Die i-te Zeile und Spalte werden aus dem Gleichungssystem gestrichen.
b) Setzen einer großen Zahlen k ii 10 p auf die i-te Hauptdiagonale:8
O
  M  M

 u  M
p
⋅
k
10
ii

  i =  

  M  M
O

  
O  M  M

(1.4-31)
Verschiebung der Größe u i = u ist vorgeschrieben
a) Die i-te Spalte wird mit u multipliziert und von der rechten Seite subtrahieren,
dann werden die i-te Zeile und Spalte gestrichen:
6
Siehe Vorlesung Computer-Numerik.
Dazu stehen in FEM-Programmen meist Verfahren zur Verfügung, die intern eine automatische Umnumerierung mit dem Ziel vornehmen, eine vorhandene Bandweite deutlich zu verringern. Ein einfaches Verfahren, das
garantiert das Minimumum liefert, gibt es leider nicht (es sei denn man prüft alle möglichen n! Permutationen
einzeln durch).
8
Überlegen Sie, wie groß p gewählt werden muß, um eine bestimmte Genauigkeit zu erreichen. Welche Probleme sind bei dieser Methode zu erwarten?
7
1.4. Ein Einführungsbeispiel zur Statik von Stäbe
L M M
 k 1i 
O
 






O

 M = M − u k 2i 
 M 

 M M
O
 

 
O M M
L
 k ni 
23
(1.4-32)
b) Setzen eines großen Zahlenwertes k ii 10 p auf die i-te Hauptdiagonale sowie
Ersetzen der rechten Seite durch f i = uk ii 10 p :
L  M   M 
O

 u   uk 10 p 
p
k ii 10

  i  =  ii






O
M
M 

  

O  M   M 
L
(1.4-33)
Sind die Randbedingungen eingearbeitet worden, kann das Gleichungssystem gelöst
werden. Dazu stehen mehrere Möglichkeiten von direkte oder iterative Verfahren zur
Verfügung, wie z.B. das Cholesky-Verfahren, das Gauß-Seidel Verfahren, CGVerfahren usw. (siehe dazu die Vorlesung Computer-Numerik).
Nach der Lösung des Gleichungssystems sind die Verschiebungen an den Knoten bekannt, und es lassen sich elementweise die Spannungen berechnen. Im folgenden ist
die Ableitung der Spannungen aus den Verschiebungen für ein eindimensionales Stabelement dargestellt (vergleiche Bild 1.4-1). Aus
σ = E⋅ε = E⋅
∂u
∂x
(1.4-31)
folgt mit den Ableitungen der Ansatzfunktionen Gl. (1.4-11) für die Spannung im
Element
E
σ = e (− u 1 + u 2 ) ,
(1.4-32)
le
die hier elementweise konstant sind.
Ein Beispiel
Abschließend soll noch ein vollständiges Beispiel vorgerechnet werden (siehe Bild
1.4-7).
Für
die
Elementsteifigkeitsmatrix
des
e-ten
Elementes
gilt
A ⋅E
 1 − 1
K (e ) = α e ⋅ 
, mit α e = e e . Mit den Eingabegrößen erhält man für αe:

le
− 1 1 
α1 = 1,6 ⋅104 N / mm, α 2 = 2,0 ⋅104 N / mm, α 3 = 2,0 ⋅104 N / mm .
24
1. Elementare Einführung in die FEM
Für die Gesamtsteifigkeitsbeziehung ergibt sich dann
4
l
l
3
3
E = 2 ,0 ⋅ 10 5 N / mm 2
µ = 0,3
3
F
2
2
2
A 1 = 40 mm 2
l1 = 500 mm
A 2 = 20 mm 2
l1 = 200 mm
A 1 = 10 mm 2
l1 = 100 mm
F = 2600 N
l1
1
x
Bild 1.4-7 Stabbeispiel
1
− 1,6
0
0   u1   0 
 1, 6

   

1,6 + 2, 0
− 2,0
0  u 2  − 2600
4 
10 ⋅
⋅
=
.

2,0 + 2,0 − 2,0 u 3   0 

   

2,0  u 4   0 
symm.
Die Lagerbedingungen lauten u 1 = 0, u 4 = 0 . Das Streichen der Zeile/Spalte 1, 4 liefert
0 
 3,6 − 2, 0  u 2 
−4 
⋅
=
10
⋅
− 2,0 4,0   u 
− 2600 =

  3


 0 
− 0,26


Für die Verschiebungen ergibt sich daraus
u2 = - 0,1 mm,
u3 = - 0,05 mm,
Für die Elementspannungen erhält man schließlich
E1
2,0 ⋅ 105
σ (1 ) =
⋅ (− u 1 + u 2 ) =
⋅ (− 0 − 0,1) = − 40 N / mm 2
l1
500
σ (2 )
E2
2, 0 ⋅105
=
⋅ (− u 2 + u 3 ) =
⋅ (+ 0,1 − 0,05) = 50 N / mm 2
l2
200
σ (3 )
E3
2,0 ⋅ 105
=
⋅ (− u 3 + u 4 ) =
⋅ (+ 0,05 + 0) = 100 N / mm 2
l3
100
Beliebige Lage eines Elementes in der Ebene
Das finite 2-Knotenelement ist natürlich auch für die Berechnung von ebenen und
räumlichen Fachwerksystemen geeignet. Dazu braucht das Element lediglich auf eine
1.4. Ein Einführungsbeispiel zur Statik von Stäbe
25
beliebige Lage im Raum transformiert zu werden. Für eine Transformation in der Ebene (vergleiche Bild 1.4-8) ergibt sich:
Bild 1.4-8 Transformation in der Ebene
Die Transformation vom globalen in das lokalen Koordinatensystem lautet
u 1 = u 1 ⋅ cos α + v1 ⋅ sin α
(1.4-33)
u 2 = u 2 ⋅ cos α + v 2 ⋅ sin α
In Matrizenschreibweise lautet dieses Gleichungssystemer
 u1 
0
0   v1 
 u1  cos α sin α
v= =
 ⋅  u  = Tv.
u
α
α
0
0
cos
sin

 2 
2
 
v 2 
(1.4-34)
Durch die T-Matrix kann die lokale Steifigkeitsbeziehung auf das globale Koordinatensystem transformiert werden. Man erhält
K⋅v =f
K ⋅T⋅ v = f
(1.4-35)
Multiplikation von links mit T T liefert eine symmetrische Steifigkeitsmatrix
T
T
⋅ K4
⋅3
T ⋅ v = TT ⋅ f = f ,
142
K
(1.4-37)
mit
cos 2 α sin α ⋅ cos α
− cos 2 α
− sin α ⋅ cos α 


sin 2 α
− sin α ⋅ cos α
− sin 2 α 

K=

cos 2 α
sin α ⋅ cos α 


sin 2 α 
 symm.
Mit dieser transformierten Steifigkeitsmatrix lassen sich beliebige ebene Fachwerksysteme berechnen.
26
1. Elementare Einführung in die FEM
Ein Beispiel
gegeben:
F
2
l
l
1
α
α = 45°
l , F, EA
−α
1
x
2
3
y
Bild 1.4-8 Ebenes Fachwerksystem
Für das Beispiel in Bild 1.4-8 ergeben sich mit cos 45°= sin 45° = 12 ⋅ 2 für die beiden Elemente 1 und 2 die folgenden Elementsteifigkeitsbeziehungen:
1 − 1 − 1  u 1 
 1

1 − 1 − 1  v1 
E⋅A 
⋅
K 1 v1 =
1 1  u 2 
2l 

  
1  v 2 
symm.
− 1 − 1 1  u 2 
 1

1 1 − 1  v 2 
E⋅A 
K 2v2 =
⋅
1 − 1  u 3 
2l 

  
1  v3 
symm.
Nach Einarbeitung der Randbedingungen folgt daraus das Gleichungssystem
E ⋅ A 1 0 u 2   0 
,
⋅
⋅
=
l 0 1  v 2   − F
dessen Lösung
Fl
u 2 = 0, v 2 = −
EA
lautet. Zur Spannungsermittlung muß eine Rücktransformation auf das lokale Stabsystem erfolgen.
Fl
u (21) = 12 2u 2 + 12 2 ⋅ v 2 = − 12 2
E⋅
(1)
u1 = 0
und man erhält
σ=
(
)
E (1)
E
Fl
1
F
u 2 − u1(1) = −
2
=−
2
l
2l
EA
2
A
1.5 Einführungsbeispiel - Dynamik von Stäben
27
1.5. Ein Einführungsbeispiel zur Dynamik von Stäben
In der Elastodynamik verwenden wir als Variationsprinzip das Hamiltonsche Prinzip
t1
∫ Ldt
⇒ stationär
(1.5-1)
t2
mit
L =T−π
(1.5-2)
und
2
1 du
1
2
T = ∫ ρ
 d V = Aρ ∫ u& d x
2V  dt 
2 (x)
(1.5-3)
Die Knotenverschiebungen, die in die Approximation des Verschiebungszustandes
eingehen, vergleiche Gleichung (1.4-10), sind jetzt zeitlich veränderlich, und es ergibt
sich
u (x , t ) = N1 (x )u 1 (t ) + N 2 (x )u 2 (t )
du
u& =
= N1u& 1 + N 2 u& 2
dt
(1.5-4)
(1.5-5)
Als Alternative wäre auch die Verwendung von Ansatzfunktionen im Raum-Zeit Bereich denkbar, d.h. NI(x,t), was im Fall des hier betrachteten geometrisch eindimensionalem Stabelementes zu einem „ebenen“ Raum-Zeit-Element für die Approximation
der Verschiebungen in Raum und Zeit führen würde.1 Diese Raum-ZeitDiskretisierung führt aber auf eine extreme Vergrößerung der Anzahl der Unbekannten
und wird daher nur selten genutzt. Wir gehen deshalb nachfolgend von dem Näherungsansatz (1.5-4) aus und setzen diesen in den Ausdruck für die kinetische Energie
(1.5-3) ein. Es ergibt sich
Te =
(
)
1
A e ρ e ∫ N12 ( x )u& 12 + 2 N1 ( x ) N 2 ( x )u& 1u& 2 + N 22 ( x )u& 22 d x
2
l
(1.5-6)
e
Die Auswertung der Integrale in (1.5-6) liefert
l
∫
−l
2
l
2
1 
x 
1 
x x 
x =  1 −   d x =
1 − 2 +   d x
2
l 
4 −l 
l  l  
−l  
l
N 12 d
∫
∫
l
=
1
1 2 1 1 3
1
2  2
 x − x + 2 x  =  2l + l  = l
4
l
3  3
l 3  −l 4 
l
2
1  x 
1
2  1
N1 N 2 d x =
1 −   d x =  2l − l  = l
4 −l   l  
4
3  3
−l
l
∫
∫
1
Der Verschiebungsansatz für ein solches Element mit linearem Ansatz im Zeitbereich (Elementlänge in der
Raumdimension ist 2a und in der Zeitdimension 2∆t) lautet:
u (x, t ) = N 1 (x, t ) ⋅ u 1 + N 2 (x , t ) ⋅ u 2 + N 3 (x, t ) ⋅ u 3 + N 4 (x , t ) ⋅ u 4
mit
 1  x   1 
 1  x   1 
t 
t 
N 1 / 2 =  1 ±  ⋅  1 −  , N 3 / 4 =  1 ±  ⋅  1 +  .
2
a
2
∆
t
2
a
2
∆
t 
  

  
 
 
28
1. Elementare Einführung in die FEM
l
∫N
2
2d
−l
2
x= l
3
Damit ergibt sich für die kinetische Energie eines Elementes
Te =
1
2
2
2

A e ρ e  lu& 12 + lu& 1 u& 2 + lu& 22 
2
3
3
3

(
1
= A e ρ e l u& 12 + u& 1u& 2 + u& 22
3
)
(1.5-7)
Die Bewegungsdifferentialgleichungen ergeben sich aus den Lagrangeschen Gleichungen
∂  ∂ Le  ∂ Le

−
=0
∂ t  ∂ u& i  ∂ u i
Mit
(1.5-8)
L e = Te (u& i ) − π e (u i )
(1.5-9)
1 T
= Te (u& i ) − v e K e v e + v Te f e
2
und
∂  ∂ Te  1
∂

 = A e ρ e l
(2u& 1 + u& 2 ) = 1 A e ρ e l (2&u&1 + &u& 2 )
∂ t  ∂ u& 1  3
∂t
3
∂  ∂ Te  1
∂
1

 = A e ρ e l (u& 1 + 2u& 2 ) = A e ρ e l (&u&1 + 2&u& 2 )
∂ t  ∂ u& 2  3
∂t
3
,
wobei 2 l = le ist, folgt aus (1.5-8)
M e ⋅ &v& e + K e ⋅ v e = f e
(1.5-10)
2 1 
1
M e = A e ρ e le 

6
1 2 
(1.5-11)
Dabei ist
die Massenmatrix des 2-Knoten-Stabelementes, und es gilt weiterhin
 &u& 
&v& e =  1 
&u& 2 
und
u 
ve =  1  .
u 2 
Im Unterschied zur Statik ist bei dynamischen Problemen ein Differentialgleichungssystem zu lösen. Das Gesamtsystem baut sich analog zur Statik auf (Einspeichern der
Elementmassen- und -steifigkeitsmatrizen in das Gesamtsystem), und es ergibt sich
M&v& + Kv = f
(1.5-12)
Falls noch eine geschwindigkeitsproportionale Dämpfung berücksichtigt wird, ergibt
sich
M&v& + Cv& + Kv = f
(1.5-13)
1.5 Einführungsbeispiel - Dynamik von Stäben
29
Für die Lösung dieses gewöhnlichen Differentialgleichungssystems (1.5-13/14) werden bevorzugt Zeitintegrationsverfahren eingesetzt (z.B. Zentrale Differenzen Methode, Newmark Verfahren oder Wilson Verfahren, siehe dazu die Vorlesung ComputerNumerik). Auch Lösungen im Modalraum oder im Frequenzbereich sind mögliche
Alternativen.
Von großer praktischer Bedeutung ist die Berechnung der freien, ungedämpften
Schwingungen, d.h. die Ermittlung der Eigenfrequenzen und –formen, die sich aus der
Lösung von (1.5-12) mit f = 0 ergeben. Mit dem Separationsansatz v(t ) = v0 cos ω t
und der 2. Ableitung dieses Ansatzes v&&(t ) = −v0 ω2 cos ω t ergibt sich aus (1.5-12) das
folgende Matrizeneigenwertproblem zur Bestimmung der Eigenfrequenzen ω
(K − ω
2
)
⋅ M ⋅ v0 = 0
(1.5-14)
Ein Beispiel
Als Beispiel wollen wir die Schwingungen eines einseitig gefesselten Stabes (siehe
Bild 1.5-1) betrachten.
x,u
ls
Bild 1.5-1 Freie Längsschwingung eines Stabes
geg. : A, ρ, l s , E
ges. : Eigenfrequenzen der Stablängsschwingungen
Die exakte Lösung ergibt sich aus der Lösung der Dgl. EAu ′′ = Aρ&u& .2
&& und u ′′ = U ′′T liefert dieser Ansatz
Mit dem Separationsansatz u (x , t ) = U(x )T(t ) sowie &u& = UT
&&
&& , und daraus folgt E ⋅ U ′′ = T = −ω 2 . Daraus ergeben sich die beiden gewöhnlichen Dgln.
EAU ′′T = AρUT
ρ U T
ρ
&& + ω 2 T = 0 und
T
U ′′ + ω 2 U = 0 mit den mit den Lösungen T = A cos ω t + B sin ω t und
E
ρ
ρ
U(x ) = C cos
ωx + D sin
ω . Aus der zweiten Gleichungen lassen sich die Eigenwerte berechnen. Die
E
E
Randbedingungen lauten
2
a) u (x = 0 , t ) = 0 , woraus C = 0 folgt und
b) FN (x = l s , t ) = 0 , woraus die Eigenwertgleichung
EA
du
dx
= EAD
ls
ρ
ρ
ωcos
ωl s = 0
E 142E43
0
ρ
folgt. Die Lösung von cos
ωl s = 0 liefert die Eigenwerte
E
ersten beiden Eigenfrequenzen
ω1 =
π
2l s
E 1.5708
=
ρ
ls
E
3π
, ω2 =
ρ
2l s
ρ
π 3
ωls = ; π ; ..... , Damit ergibt sich für die
E
2 2
E 4.7124
=
ρ
ls
E
.
ρ
30
1. Elementare Einführung in die FEM
Nachfolgend werden wir die Eigenfrequenzen mittels der FEM bestimmt. Zunächst
wird nur ein finites Element benutzt (Bild 1.5-3).
1
2
Bild 1.5-2 Approximation des Stabes mit einem finiten Element
Nach dem Aufstellen der Elementsteifigkeits- und Massenmatrix, sowie der Einarbeitung der Randbedingungen ergibt sich folgende Gleichung:
 EA

1

− ω 2 ρAls 2  u 2 = 0
6
 ls

(1.5-15)
mit der Lösung
ω1 =
3 E 1.73 E
=
.
ls ρ
ls
ρ
(1.5-16)
Der prozentuale Fehler ergibt sich aus
ε=
ω1 FEM − ω1 exakt
⋅ 100% = 10% .
ω1 exakt
Die Lösung mit zwei finiten Elementen (siehe Bild 1.5-3) ergibt:
1
1
0,5 l s
2
2
3
0,5 l s
Bild 1.5-3 Stab mit zwei finiten Elementen


 1 −1 0 
2 1 0  u 1 

 EA − 1 2 − 1 − ω2 1 ρA 1 l  1 4 1    u  = 0
s

  2 
1 
6  2 
0 1 2   u 3 
  ls   0 − 1 1 
2 

(1.5-17)
Um die Randbedingung u 1 = 0 zu berücksichtigen, werden die 1. Zeile und die 1.
Spalte gestrichen. Daraus resultiert folgendes Eigenwertproblem:
  2 − 1
4 1 u 2 
2 1 1 2 ρ 


 − 1 1  − ω 6 4 l s E 1 2    u  = 0 .





 3 
Mit der Abkürzung
schreiben:
β=
1 2ρ
ls
24 E
läßt sich das Eigenwertproblem folgendermaßen
1.5 Einführungsbeispiel - Dynamik von Stäben
31
  2 − 1
 4 1  u 2 
2

−
ω
⋅
β
⋅

1 2  ⋅  u  = 0 .
 −1 1



  3 

Die Eigenwerte ergeben sich aus
2 − 4 ⋅ β ⋅ ω2
− 1 − β ⋅ ω2
− 1 − β ⋅ ω2
1 − 2 ⋅ β ⋅ ω2
=0 .
Die charakteristische Gleichung lautet:
10 1 2 1 1
ω +
= 0.
7 ß
7 ß2
Mit ω 4 = a 2 erhält man daraus
ω4 −
a1/ 2 =
5±3 2
.
7ß
Die Eigenfrequenz ergibt sich aus
ω1/2 = a 1 / 2 .
Die ersten beiden Eigenwerte ergeben sich zu
ω1 =
1.6114 E
,
ls
ρ
der Fehler beträgt ε1 = 2,6 % .
ω2 =
5.6293 E
,
ls
ρ
der Fehler beträgt ε 2 = 19,4 % .
Die Eigenformen für die Vernetzung mit zwei Elementen lassen sich folgendermaßen
berechnen. Aus dem Eigenwertproblem
  2 − 1
4 1  u 2 
2 

−
ω
β


   u  = 0
 −1 1
1
2


  3 

folgt mit u 3 = 1 die Lösung
2u 2 − 1 − βω 2 (4u 2 + 1) = 0
und daraus
1 + βω 2
u2 =
2 − 4βω 2
32
Damit
βω12 =
1. Elementare Einführung in die FEM
ergibt
sich
für
die
1.
Eigenform
mit
ω1 =
2.59666 E
ls2
ρ
und
1 2 ρ 2.59666 E
ls
= 0.1082 die Lösung
24 E
l s2
ρ
u2 =
1 + 0.1082
= 0.7071
2 − 4(0.1082)
Analog ergibt sich für die 2. Eigenform mit ω 2 =
31.689 E
und βω 22 = 1.32
2
ls
ρ
die Lösung
u2 =
1 + 1.32
= − 0.707
2 − 4(1.32)
Anmerkungen zur Lösung von Eigenwertproblemen
•
Die Eigenwerte nähern sich stets von "oben " der exakten Lösung an,
d.h. ω FEM > ω exakt .
•
Die höheren Eigenwerte haben eine geringere Genauigkeit, d.h. die Genauigkeit
nimmt mit steigendem Eigenwert ab.
•
Die Anzahl der Eigenwerte ist gleich der Anzahl der Unbekannten. Die höheren
Eigenwerte werden durch die FE-Unterteilung bestimmt und sind daher nicht
sinnvoll. Die exakte Lösung hat unendlich viele Eigenwerte.
•
Die Eigenform (Eigenschwingform) kann nur bis auf einen konstanten Faktor
bestimmt werden, d.h. dieser Wert gibt nur das Verhältniswert zwischen den
einzelnen Amplituden an. Für die Darstellung der Eigenschwingform wird in
der Regel auf die maximale Amplitude normiert.
1.6. Ein Einführungsbeispiel zur eindimensionalen Wärmeleitung
33
1.6. Ein Einführungsbeispiel zur eindimensionalen Wärmeleitung
Die Lösung der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung wird nachfolgend als Beispiel für ein anderes Feldproblem – ein Temperaturfeld – betrachtet. Gleichzeitig wird
an diesem Beispiel die numerische Lösung eines zeitabhängigen Vorganges durch ein
einfaches Zeitintegrationsverfahren (zentrale Differenzenmethode) demonstriert.
Aus der Fourierschen Gleichung folgt für den eindimensionalen Fall die Differentialgleichung der Wärmeleitung
λ
∂ 2T
∂T
+ Q = ρc
in V
2
∂t
∂x
(1.6-1)
Die thermischen Randbedingungen lauten
T =T
∂T
λ⋅
+q=0
∂x
∂T
λ⋅
+ α ⋅ (T − T∞ ) = 0
∂x
Es bedeuten:
auf OT
(1.6-2a)
auf Oq
(1.6-2b)
auf Oα
(1.6-2c)
T - Temperatur in K
λ - Wärmeleitf ähigkeit i n
W
mm K
Ws
mm 3 K
kg
ρ - Dichte in
mm 3
ρc = µ in
c - spezif . Wärmekapazität in
Q - Wärmequell ergiebigke it in
J
kg K
W
mm 3
W
mm 2
W
α - Wärmeübe rgangszahl in
mm 2 K
T∞-Umgebungs temperatur in K
q − Wärmestrom dichte in
Als finites Element wird wieder ein eindimensionales Element mit zwei Knoten verwendet (siehe Bild 1.6-1).
x
l
l
le
Bild 1.6-1 Finites Element
Alle Ableitung erfolgen analog zum Stabelement (siehe Abschnitt 1.4). Der lineare
Ansatz für die Temperaturverteilung im Element lautet
34
1. Elementare Einführung in die FEM
T (x ) = N1 (x )T1 + N 2 (x )T2 ,
(1.6-3)
mit den Formfunktionen
1 x
N 1 = 1 − 
2
l
1 x
N 2 = 1 + 
2
l
(1.6-4)
Dieser Näherungsansatz entspricht einer elementweisen Approximation der Temperaturverteilung durch einen linearen Ansatz (d.h., T (x ) = a 1 + a 2 x ).
Für die Ableitung der FEM-Gleichungen wird als Ausgangsbasis keine Variationsformulierung benutzt, sondern die "Methode der gewichteten Residuen" verwendet (siehe
Vorlesungsskript Mathematische und Numerische Methoden der Mechanik - Teil I).
∫ R Dgl. WdV = 0 ,
(1.6-5)
V
wobei RDgl. das Residuum der Differentialgleichung der Wärmeleitung (1.6-1) bezeichnet. Wenn man für die Gewichtsfunktionen W jeweils die Ansatzfunktionen einsetzt, so entspricht dies dem Galerkinschen Verfahren.
 ∂2T
∂T
∫ A λ ∂ x 2 + Q − cρ ∂ t N1d x = 0

(x) 
2
 ∂ T
∂T
∫ A λ ∂ x 2 + Q − cρ ∂ t N 2 d x = 0

(x) 
(1.6-6)
Mit A wird die Elementfläche bezeichnet, und es wird für T(x) der Ansatz (1.6-3) eingesetzt. Vom Zusammenhang zwischen dem Ritzschen Verfahren (bzw. dem Galerkinschen Verfahren) und der FEM wissen wir, daß die Ansatzfunktionen bis zur (n-1)ten Ableitung stetig sein müssen (n bezeichnet die höchste unter dem Integral vorkommende Ableitung), damit die Konvergenz gesichert ist. Bei stückweise (elementweise) definierten Ansatzfunktionen in der FEM bedeutet dies, daß die Bedingung
auch zwischen benachbarten finiten Elementen erfüllt sein muß. Die Anwendung der
Gleichung (1.6-6) bedingt, daß die Ansatzfunktionen stetige erste Ableitungen haben
müssen und daher der Ansatz (1.6-3) eigentlich nicht geeignet ist. Durch partielle Integration läßt sich die Ordnung der Ableitung jedoch reduzieren. Es ergibt sich
 ∂ 2 T
∂T
∫  λ ∂ x 2 N I d x = λ ∂ x N I

(x) 
−
Rand
 ∂ T  ∂ NI
dx

x ∂x
(x)
∫  λ ∂
(1.6-7)
Der Randterm kann durch die Randbedingungen ausgedrückt werden und man erhält:
λ
∂ T
NI
∂ x
= − qN I
Rand
Oq
− α ⋅ (T − T∞ )N I
Damit lauten die Galerkinschen Gleichungen
Oα
(1.6-8)
1.6. Ein Einführungsbeispiel zur eindimensionalen Wärmeleitung
−
 ∂ T  ∂ NI
d x − qN I
∂
x
( x)
∫  λ ∂ x 
Oq
− α(T − T∞ )N I
Oα
35
+
(1.6-9)
∂T
+ ∫ QN Id x − ∫ ρc
NId x = 0
∂
t
( x)
( x)
mit I=1,2. Hier gehen nur noch die ersten Ableitungen des Temperaturfeldes ein, so
daß der lineare Ansatz (1.6-4) ausreichend ist. Die Ableitung des Ansatzes liefert
∂ T ∂ N1
∂ N2
1
1
=
T1 +
T2 = − T1 + T2 .
∂x
∂x
∂x
2l
2l
(1.6-10)
Somit ergibt sich für I =1 die Gleichung
l
1  1 
1 
 1
 1
− ∫ λ − T1 + T2  − d x− qN1 O − α − T1 + T2 N 1
2l
2l  2l 
2l  O
 2l
−l 
q
+ αT∞ N1 O + ∫ QN 1d x − ∫ ρc(N 1T&1 + N 2 T& 2 )N 1 d x = 0
α
l
l
−l
−l
α
Eine analoge Gleichung ergibt sich auch für I=2. Auswerten der Integrale und Zusamme nfassen liefert
(K + K α )T + CT& = f
(1.6-11)
mit der Wärmeleitfähigkeitsmatrix
K=
− 1
1 
λ1
l e − 1
(1.6-12)
und der Wärmeübergangsmatrix
 N1 0 
K α = α
(1.6-13)
 ,
 0 N2  O
die jedoch nur für solche Knoten auftritt, die zu einem Rand mit der Randbedingung
(1.6-2c) gehören. Mit C wird die Wärmekapazitätsmatrix
α
2 1
1
C = ρcle 

6
1 2
(1.6-14)
bezeichnet. Als Vektor der rechten Seite ergibt sich
 N1 
 N1 
1
1
f = −q   + αT∞   + Q le   ,
N2 O
 N2  O 2
1
q
(1.6-15)
α
wobei hier Q im Element als konstant angenommen wurde.
Nachfolgend wird die Anwendung an einem einfachen Beispiel, der instationären
Wärmeleitung in einer Wand (Bild 1.6-2), demo nstriert.
36
1. Elementare Einführung in die FEM
Instationäre Wärmeleitung in einer Wand
λ = 0,16 ⋅10 −3
Wand
ρc = 105 ⋅10 −9
A
W
mm K
Ws
mm 3 K
l = 1m
Bild 1.6-2 Wärmeleitung in einer Wand
Die Randbedingungen seien
T0 = T(x , t < 0 ) = 100°C
T(x = ± 0.5m, t ≥ 0 ) = 0°C
Das entspricht der Situation, daß eine auf 100 °C erwärmte Wand plötzlich auf 0 °C
abgekühlt wird. Es soll die zeitliche Änderung der Temperatur am Punkt A ermittelt
werden. Die exakte Lösung lautet (siehe Lehrbuch von Tautz):
πx  1 −
4  −  F 
T = T0 e  2   cos  − e 
π
l  3


 π
2
mit
F0 =
2
 3⋅π 
 F0
2 
0

3πx 


+
cos
L


l 



(1.6-16)
λ 4t
.
ρc l 2
Die FEM-Lösung wird mit nur zwei finiten Elementen unter Ausnutzung der Symmetrie ermittelt (siehe Bild 1.6-3).
l e = l /4
2
3
1
A
1
le
2
le
Bild 1.6-3 Berechnungsmodell
Die Wärmeleitfähigkeitsmatrix berechnet sich aus den beiden Elementbeiträgen zu
1.6. Ein Einführungsbeispiel zur eindimensionalen Wärmeleitung
K ges
37
 1 −1 0 
4λ 
=
− 1 2 − 1

l
 0 − 1 1 
Die Einarbeitung der Randbedingung T1 (t ≥ 0 ) = 0 ergibt
K ges =
4λ  2 − 1
.
l − 1 1 
Analog erhält man aus den Elementbeiträgen die Wärmekapazitätsmatrix
C ges
2 1 0
1 1 
= ρ c l 1 4 1  ,
6 4
0 1 2
und nach Einarbeitung der Randbedingung ergibt sich
1 1 4 1
C ges = ρ c l 
.
6 4 1 2
Somit erhält man ein gewöhnliches Dgl.-System 1. Ordnung
& = 0,
K ges T + C ges T
(1.6-17)
& eine einfadas durch eine Zeitintegration gelöst werden kann. Dazu führen wir für T
che Differenzenapproximation ein (siehe Bild 1.6-.4).
T
Ti +1
Ti +0,5
Ti
ti
t i + 0,5 ∆ t
t i +1
t
∆t
Bild 1.6-4 Differenzenapproximation der Temperaturableitung
Die zentrale Differenzenformel lautet:
Ti + Ti +1
2
T − Ti
= i +1
∆t
Ti + =
(1.6-18a)
T& i +
(1.6-18b)
1
2
1
2
38
1. Elementare Einführung in die FEM
Damit ergibt sich aus (1.6-17)
1
1
K ges (Ti + Ti +1 ) + C ges (Ti +1 − Ti ) = 0
2
∆t
(1.6-19)
und nach Umformung das Lösungsschema
1
1




 C ges + ∆tK ges Ti +1 =  C − ∆tK Ti ,
2
2




(1.6-20)
mit i = 1,2,... wird die Lösung an den Zeitschritten bezeichnet. Aus den Randbedingungen folgt der Startvektor
100
T0 =   .
100
Mit den Zahlenwerten für unser Beispiel und der Schrittweite ∆ t = 0,1s ergibt sich
ATi +1 = BTi
Ti +1 = A −1BTi
mit
A −1B
∆ t = 0 ,1s
0,989644 0,0062045
=

0,012409 0,989644 
Damit errechnet man folgende Lösungen:
Zeit
[s]
0
10
20
30
40
M
M
100
TA (t)
exakte Lösung
100,00
99,16
91,43
80,36
69,58
M
M
28,30
FE-Lösung
(2 Elemente)
100,00
100,04
87,52
75,02
64,08
M
M
24,8
Deutlich erkennbar ist ein für Wärmeschockprobleme typisches Oszillieren der Lösung, das seine Ursache in der Ungenauigkeit des numerischen Lösungsverfahrens hat
(siehe Bild 1.6-5).
1.6. Ein Einführungsbeispiel zur eindimensionalen Wärmeleitung
39
120
100
80
TA
60
40
20
0
0
5
10
15
20
30
40
50
60
70
80 90 100
t
Bild 1.4.3-5 Zeitlicher Verlauf der Temperatur am Punkt A der Wand
Schrittweitenabschätzung
Ein Problem bei der Anwendung von Zeitintegrationsschemen ist die Schrittweitenabschätzung, so daß eine ausreichende Genauigkeit der Lösung gesichert ist (siehe dazu
auch die Vorlesung Computer-Numerik). Es läßt sich zeigen, daß die Schrittweite bei
der Zentralen Differenzenmethode die Bedingung
∆t≤
2
ω
(1.6-21)
erfüllen muß, um eine stabile Lösung zu sichern. Dabei ist ω der größte Eigenwert
von C −1K , d.h.
(
)
(
)
ω = ωmax C−1K .
(1.6-22)
Bei Systemen mit vielen Freiheitsgraden (mehrere Millionen sind heute keine Seltenheit mehr) ist die Ermittlung dieses Eigenwertes extrem aufwendig. Man kann zeigen,
daß dieser Wert relativ einfach auf der Basis von Elementinformationen, d.h. mit K e
und C e , abschätzt werden kann. Es gilt
(
)
ω max C−1 K =
[ω max (K e )]
ω max (K ) max
≤ e
ω min (C) min [ω min (Ce )]
(1.6-23)
e
Für unseren eindimensionalen Fall ergibt sich aus den Elementgleichungen
ω max (K e ) = 2
λ
le
(1.6-24a)
1
ω min (C e ) = ρcle
6
(1.6-24b)
Damit liefert (1.6-23)
(
)
ωmax C −1 K ≤ 12
λ
,
ρcle2
(1.6-25)
40
1. Elementare Einführung in die FEM
woraus sich für die Schrittweite folgende Abschätzung ergibt:
∆t≤
1
1 λ
12
2 ρcle2
ρcle2
=
6λ
(1.6-26)
Aus dieser Gleichung wird ersichtlich, daß die Elementlänge le sowie die Materialkenngrößen λ und ρc Einfluß auf die Schrittweite haben.
1.7. Kleiner historischer Rückblick auf die frühen Anfänge der FEM
41
1.7. Kleiner historischer Rückblick in die frühen Anfänge der FEM
Als Beginn der Finite-Element-Entwicklung wird allgemein das Jahr 1956 angesehen,
in dem Turner, Clough, Martin und Topp eine Arbeit veröffentlichten, in der für den
ebenen Spannungszustand das Dreieckselement mit 3 Knoten und 6 Freiheitsgraden (2
je Knoten) abgeleitet, rechentechnisch realisiert wurde an an Beispielen getestet wurde
(nach einem Bericht von Clough wurde diese Arbeit bereits 1953 fertiggestellt aber
durch Turner erst ca. 3 danach zur Veröffentlichung eingereicht). Eine Reihe von
Nutzrechnungen
an
Deltaflügeln
von
Kampfflugzeigen
bewiesen
die
Leistungsfähigkeit des Verfahrens, auch wenn die Zahl der Unbekannten nur etwa 50
betrug.
Die Entwicklung der Matrizenmethoden der Stabstatik ( Langefors, Argyris) und
der Rechentechnik waren die wesentlichen Voraussetzungen für diese Pionierleistung
der Ingenieure. Das Verfahren war tatsächlich mehr ingenieurmäßig intuitiv als
mathematisch begründet. Das wird deutlich, wenn man die Ableitung der
Elementsteifigkeitsmatrix des Dreieckselementes betrachtet. Dazu wurde
angenommen, daß im Dreieck ein konstanter Verzerrungszustand vorliegt:
1
∂u
σ x − µσ y =
E
∂x
1
∂u
εy = b =
σ y − µσ x =
E
∂y
1
∂u ∂ u
γ xy = c = τ xy =
+
G
∂y ∂ x
εx = a =
(
)
(
)
(1.7-1)
Durch Integration lassen sich daraus die Verschiebungen ermitteln:
u = ax + A y + B
v = by + ( c − A ) x + C
(1.7-2)
A,B,C sind Integrationskonstanten (Starrkörperbewegung). Die 6 Konstanten in (1.72) lassen sich durch die Knotenverschiebungen ausdrücken, indem die
Knotenkoordinaten eingesetzt werden. Setzt man das so gefundene Ergebnis in (1.7-1)
ein, erhält man die Spannungen als Funktion der Knotenverschiebungen. Der
Zusammenhang zwischen den Spannungen und den Knotenkräften wird aus einfachen
Gleichgewichtsbetrachtungen am Dreieckselementen erhalten. Damit wurden die
Knotenkräfte näherungsweise durch die Knotenverschiebungen ausdrücken und man
erhielt so die bekannte Matrizengleichung für ein finites Element:
Kv = f
(1.7-3)
Für diesen Fall ist das Ergebnis identisch mit der Lösung, die sich über die
Minimierung des elastischen Potentials ergibt. Verbesserte Elemente sind auf dem
oben skizzierten Weg nicht ohne weiteres abzuleiten. Die Anwendung des Prinzips
vom Minimum des elastischen Potentials und die Erkenntnis des Zusammenhanges mit
dem Ritzschen Verfahren ermöglichte eine mathematische Fundierung und gezielte
Weiterentwicklung der Methode der finiten Elemente.
Bemerkenswert ist allerdings, daß diese Zusammenhänge längst erkannt und von
Courant in seiner hochinteressanten Arbeit über " Variationsmethoden zur Lösung von
statischen und dynamischen Problemen" bereits 1943 dargelegt wurden. In der Arbeit
42
1. Elementare Einführung in die FEM
würdigt Courant ausdrücklich die Verdienste von W. Ritz und widmet der Anwendung
des Ritzschen Verfahrens breiten Raum. Courant richtet in der Veröffentlichung
besonderes Augenmerk auf die Möglichkeiten der praktischen Nutzung des
Verfahrens. Er beginnt die Arbeit mit dem Zitat eines Ausspruchs von Henri Poincare,
das wegen seiner Aktualität hier wiedergegeben werden soll:
H. POINCARE: Die "Lösung eines mathematischen Problems" ist eine Phrase mit
unbestimmter Bedeutung. Reine Mathematiker sind irgendwann damit zufrieden, wenn
sie zeigen können, daß die Nichtexistenz einer Lösung einen logischen Widerspruch
enthält, während die Ingenieure ein numerisches Resultat als einziges vernünftiges
Ergebnis ansehen. Solch einseitigen Orientierungen scheinen mehr menschliche als
objektive Grenzen zu reflektieren. Die Mathematik ist in sich selbst eine unteilbare
organische Einheit, bestehend aus theoretischer Betrachtung und aktiver Anwendung.
Courant verweist dann auf Gauss und Thompson, die dafür echte Beispiele waren.
Courant selbst wendete das Ritzsche Verfahren zur Lösung eines Torsionsproblems
an, wobei er das betrachtete Gebiet trianguliert und für jedes Gebiet einen
Näherungsansatz einführt. Er betrachtet sogar verschiedene Ansatzfunktionen und
verschieden feine Versetzungen. Er weist abschließend darauf hin, daß er in einer
gesonderten Publikation die Anwendung dieser Methode auf Platten und andere
Probleme, die auch höhere Ableitungen enthalten, darlegen will. Es ist bedauerlich,
daß diese Arbeit so wenig Beachtung gefunden hat. Die Zeit der Veröffentlichung mag
ein Grund dafür sein. Die Kenntnis der Arbeit von Courant hätte sicher eine
Beschleunigung der Entwicklung der FEM ermöglicht, Fehlentwicklungen hätten
vermieden werden können.

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