Differential- und Integralrechnung auf Untermannigfaltigkeiten des RN

Kapitel 10
Differential- und
Integralrechnung auf
Untermannigfaltigkeiten des RN
Dozentin: Prof. Dr. Helga Baum
Nach Vorlesungen
– im Sommersemester 2002 (2. Teil von Analysis IV)
– im Wintersemester 2007/08 (1. Teil von Analysis IIIa)
– im Wintersemester 2012/13 (Teil von Analysis 3)
Letzte Korrekturen und Ergänzungen: 26.02.2013 (Helga Baum)
1
Inhaltsverzeichnis
10 Differential- und Integralrechnung auf Untermannigfaltigkeiten des RN
10.1 Untermannigfaltigkeiten des RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Untermannigfaltigkeiten ohne Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Untermannigfaltigkeiten mit Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Tangential- und Normalenräume an Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . .
10.3 Differenzierbare Abbildungen und ihr Differential . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Kanonische Basen und Kobasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Vektorfelder auf Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Orientierbare und nichtorientierbare Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . .
10.7 Die induzierte Riemannsche Metrik einer Untermannigfaltigkeit . . . . . . . .
10.8 Gradient, Divergenz und Laplace–Operator auf Untermannigfaltigkeiten . . .
10.9 Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9.1 Algebraische Vorbereitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9.2 Differentialformen und der Lokalisierungssatz . . . . . . . . . . . . . .
10.9.3 Rechenoperationen für Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9.4 Geschlossene und exakte Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . .
10.9.5 Die Volumenform einer orientierten Untermannigfaltigkeit . . . . . .
10.10 Integration von Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.10.1 Meßbare Teilmengen von Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . .
10.10.2 Definition des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.10.3 Eigenschaften und Berechnung des Integrals . . . . . . . . . . . . . .
10.10.4 Das Lebesque-Maß auf Untermannigfaltigkeiten, das Volumen von
Teilmengen und das Oberflächenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.11 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.11.1 Der Satz von Stokes für Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . .
10.11.2 Der Gaußsche Integralsatz und die Greenschen Formeln . . . . . . . .
10.11.3 Klassische Integralsätze im R2 und R3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.11.4 Drei typische Anwendungen des Satzes von Stokes . . . . . . . . . . .
10.12 Wiederholungsfragen zur Prüfungsvorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.13 Weitere Literatur zur Vorlesung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.14 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1
4
4
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64
64
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69
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80
Bisher haben wir in der Analysis-Ausbildung behandelt, wie man Abbildungen differenziert
und integriert, die auf offenen Teilmengen des Rn definiert sind. Für viele Bereiche der
Mathematik und für viele Anwendungen z.B. in der mathematischen Physik reicht das
nicht aus. Als mathematische Modelle treten oft Mengen auf, die nicht global durch n reelle
Koordinaten zu beschreiben sind, sondern nur lokal in der Nähe jedes Punktes. Solche
Mengen nennt man lokal Euklidische Räume bzw. Mannigfaltigkeiten, falls noch zusätzliche
“gute” Eigenschaften für die Übergänge von einem Koordinatensystem zu einem anderen
erfüllt sind. Als Beispiele für solche Objekte kann man sich gekrümmte Flächen, die durch
den Graph einer Funktion entstehen oder die Oberfläche eines Rotationskörpers vorstellen.
In dem letzten Kapitel des Grundkurses zur Analysis soll die Differential- und Integralrechnung auf solchen Mannigfaltigkeiten erklärt werden. Das wesentliche Ziel des Kapitels ist
der Beweis des Satzes von Stokes für Differentialformen, der einen Zusammenhang zwischen
Integralen über einer Menge M und Integralen über den Rand von M herstellt, wie wir
ihn in Spezialfällen z.B. bereits aus der Funktionentheorie kennen. Der Satz von Stokes hat
vielfältige Anwendungen in der Geometrie, Analysis und mathematischen Physik, die in
den Vorlesungen des Hauptstudiums behandelt werden.
Wir betrachten in dieser Vorlesung entsprechend dem Studienplan nur den Fall, dass die
Mannigfaltigkeit als Teilmenge eines reellen Raumes RN gegeben ist. Man spricht dann von
den sogenannten Untermannigfaltigkeiten des RN . Diese Einschränkung wäre nicht nötig,
hat aber den Vorteil, dass man sich die Konzepte und Objekte zumindest für den Fall von
Flächen im R3 gut anschaulich vorstellen kann. Ich werde hier alle Begriffe so einführen,
dass sie bei geeigneter Definition des Tangentialraumes wörtlich auf den Fall von abstrakten
Mannigfaltigkeiten übertragbar sind.
Als Vorbemerkung erinnern wir an einige Begriffe und Bezeichnungen aus der Differentialrechnung von Funktionen mehrerer reeller Variablen (siehe Kapitel 6).
Es sei F : U ⊂ Rn −→ Rm eine differenzierbare Abbildung von einer offenen Menge des Rn
in den Rm . Das Differential DFx : Rn −→ Rm dieser Abbildung im Punkt x ∈ U ist eine
lineare Abbildung, deren Wert auf einem Vektor a ∈ Rn durch die Ableitung von F entlang
der Geraden durch x in Richtung a gegeben ist
DFx (a) =
)
d(
F (x + ta) dt
t=0
,
a ∈ Rn .
Wendet man das Differential DFx auf den i. kanonischen Basisvektor ei des Rn an (ei hat in
der i. Komponente eine 1, alle anderen Komponenten sind Null), so erhält man die partielle
Ableitung von F nach der i. Koordinate
∂F
(x) = DFx (ei ).
∂xi
In diesem Kapitel werden wir alle linearen Abbildungen mit den ihnen bezüglich der kanonischen Basen entsprechenden Matrizen identifizieren. Wir identifizieren also das Differential
DFx der Abbildung F = (F1 , . . . , Fm ) im Punkt x ∈ U mit der Jacobi-Matrix von F im
Punkt x


∂F1
∂F1
(x)
·
·
·
(x)
∂xn
 ∂x1



.
..
.
.
DFx ≡ 
.
···
.




∂Fm
∂Fm
(x)
·
·
·
(x)
∂x1
∂xn
3
Existieren alle partiellen Ableitungen
∂kF
: U ⊂ Rn −→ Rm
∂xi1 . . . ∂xik
der Ordnung k und sind auf U stetig, so nennt man F k-fach stetig differenzierbar oder von
der Klasse C k . Die Menge dieser C k -Abbildungen wird mit C k (U, Rm ) bezeichnet. Ist F
eine C k -Abbildung für jedes k ≥ 1, so nennt man F eine glatte Abbildung oder von der
Klasse C ∞ .
Eine Abbildung F : U ⊂ Rn −→ V ⊂ Rn heißt Diffeomorphismus der Klasse C k von U auf
V , falls F : U −→ V bijektiv und F und F −1 k-fach stetig differenzierbar sind.
Ist F : U ⊂ Rn −→ V ⊂ Rn ein Diffeomorphismus und x ∈ U , so ist das Differential
DFx : Rn −→ Rn ein Isomorphismus. Andererseits gilt der Satz über den lokalen Diffeomorphismus: Ist F : U ⊂ Rn −→ V ⊂ Rn eine C k -Abbildung (1 ≤ k ≤ ∞), x ∈ U und das
Differential DFx : Rn −→ Rn ein Isomorphismus, so ist F ein lokaler Diffeomorphismus um
f⊂V
x, d.h. es existiert eine offene Umgebung W ⊂ U von x und eine offene Umgebung W
k
f ein C -Diffeomorphismus ist.
von F (x), so dass F |W : W −→ W
10.1
Untermannigfaltigkeiten des RN
Zuerst definieren die Grundobjekte der Betrachtungen dieses Kapitels, die Untermannigfaltigkeiten.
10.1.1
Untermannigfaltigkeiten ohne Rand
Definition. Eine Teilmenge M ⊂ RN heißt n–dimensionale Untermannigfaltigkeit des RN ,
falls es um jeden Punkt x ∈ M eine offene Umgebung U ∗ ⊂ RN und einen Diffeomorphismus
φ∗ : U ∗ −→ V ∗ von U ∗ auf eine offene Teilmenge V ∗ ⊂ RN gibt, so daß
φ∗ (U ∗ ∩ M ) = {y ∈ V ∗ | yn+1 = . . . = yN = 0} = V ∗ ∩ (Rn × {o}) .
gilt.
(o bezeichnet dabei den Nullvektor im Teilraum RN −n .)
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qx
.......................................
................
..........
..........
U ∗ (x)
S 1 = M ⊂ RN =2
φ
∗
q
.
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V ∗ ⊂ R2
Bemerkung: Sind alle Diffeomorphismen φ∗ aus der Definition der Untermannigfaltigkeit
von der Klasse C k , 1 ≤ k ≤ ∞, so nennt man die Untermannigfaltigkeit ”von der Klasse
C k ”. In dieser Vorlesung beschränken wir uns (in der Regel) auf den Fall, dass die Diffeomorphismen φ∗ von der Klasse C ∞ sind und lassen die Angabe der Klasse weg.
Den Diffeomorphismus φ∗ kann man sich als ”Glattbügeln” des ”krummen Teils” M ∩ U ∗
von U ∗ vorstellen (siehe Bild).
Wir identifizieren im folgenden den Unterraum Rn × {o} ⊂ RN = Rn × RN −n mit dem
4
Rn . Alle Teilmengen reeller Räume versehen wir mit der durch die Euklidische Metrik induzierten Topologie. Ist φ∗ : U ∗ −→ V ∗ ein Diffeomorphismus wie in der der Definition der
Untermannigfaltigkeit, so gilt
1. U := U ∗ ∩ M
Topologie,
ist eine offene Teilmenge von M bezüglich der auf M induzierten
2. V := V ∗ ∩ (Rn × {o}) ⊂ Rn ist im Rn offen,
3. φ := φ∗ |U : U −→ V ist ein Homöomorphismus zwischen U und V .
Durch φ werden jedem Punkt der Teilmenge U ⊂ M eindeutig n reelle Koordinaten
zugeordnet.
Definition. Sei φ∗ : U ∗ −→ V ∗ ein Diffeomorphismus wie in der Definition der Untermannigfaltigkeit. Dann heißt (U := U ∗ ∩ M, φ := φ∗ |U ) Karte von M um x ∈ M . Eine
Überdeckung von M durch Karten, d.h. eine Familie A = {(Uα , φα )}α∈Λ , wobei (Uα , φα )
∪
Karten sind und M =
Uα gilt, nennt man Atlas von M .
α∈Λ
Satz 10.1 Seien (U1 , φ1 ) und (U2 , φ2 ) zwei Karten der Untermannigfaltigkeit M n ⊂ RN
n
n
um den Punkt x ∈ M . Dann ist φ2 ◦ φ−1
1 : φ1 (U1 ∩ U2 ) ⊂ R −→ φ2 (U1 ∩ U2 ) ⊂ R eine
glatte Abbildung zwischen offenen Mengen des Rn .
Beweis: Gemäß Definition ist U1 = U1∗ ∩ M , U2 = U2∗ ∩ M , φ1 = φ∗1 |U1 und φ2 = φ∗2 |U2 ,
wobei φ∗1 : U1∗ −→ V1∗ und φ∗2 : U2∗ −→ V2∗ Diffeomorphismen zwischen offenen Mengen des
RN sind. Die Abbildung φ2 ◦ φ−1
1 ist die Einschränkung des Diffeomorphismus
φ∗2 ◦ φ∗−1
: φ∗1 (U1∗ ∩ U2∗ ) −→ φ∗2 (U1∗ ∩ U2∗ )
1
auf den Teilraum Rn des RN und somit ebenfalls ein Diffeomorphismus.
2
Die Abbildung φ2 ◦ φ−1
heißt Koordinatentransformation oder Kartenübergang zwischen
1
den Karten (U1 , φ1 ) und (U2 , φ2 ).
Offensichtlich ist jede offene Teilmenge U ⊂ RN eine N -dimensionale Untermannigfaltigkeit
des RN . Als Atlas kann man denjenigen nehmen, der nur aus der durch die Euklidischen
Koordinaten gegebenen Karte besteht: A = {(U, φ(x) = (x1 , . . . , xN )}.
Um zu entscheiden, ob eine Teilmenge M ⊂ RN eine Untermannigfaltigkeit ist, muss man
einen Atlas für diese Menge angeben. In der Regel wird ein solcher Atlas natürlich aus mehreren Karten bestehen. In vielen Fällen hat man noch andere Möglichkeiten zu überprüfen,
ob eine Menge M eine Untermanigfaltigkeit ist. Wir wollen als nächstes ein Kriterium kennenlernen, mit dem man entscheiden kann, ob durch Gleichungen definierte Teilmengen des
RN Untermannigfaltigkeiten sind.
Satz 10.2 (Charakterisierung von Untermannigfaltigkeiten durch Gleichungen)
Sei W ⊂ RN eine offene Teilmenge, n ≤ N und F : W ⊂ RN −→ RN −n eine glatte
Abbildung. Wir bezeichnen mit M := {x ∈ W | F (x) = o} die Nullstellenmenge der
Abbildung F . Dann gilt:
Ist der Rang der Jacobimatrix DFx von F in jedem Punkt x ∈ M maximal, d.h. N − n, so
ist die Menge M ⊂ RN eine n–dimensionale Untermannigfaltigkeit des RN .
5
Beweis: Als erstes bringen wir die Abbildung F durch eine Koordinatentransformation im
RN auf eine einfache Gestalt. Wir werden zeigen, dass es um jeden Punkt y ∈ M eine offene
Umgebung U ∗ ⊂ RN und einen Diffeomorphismus φ∗ : U ∗ → V ∗ auf eine offene Menge
V ∗ ⊂ RN gibt, so dass
(i) φ∗ (y) = 0 und
(
)
(ii) F (φ∗ )−1 (x1 , . . . , xN ) = (xn+1 , . . . , xN )
gilt:
Da der Rang der Jacobimatrix DFy von F im Punkt y nach Voraussetzung N − n ist,
können wir (evt. nach einer Permutation der Koordinaten im RN ) annehmen, dass die
letzten N − n Spalten von DFy linear unabhängig sind. Zur Abkürzung bezeichnen wir diese
letzten Spalten mit By , d.h.



By := 


···
∂F1
∂xN
..
.
···
..
.
∂FN −n
∂xn+1 (y)
···
∂FN −n
∂xN (y)
∂F1
∂xn+1 (y)
(y)



.


Sei G die glatte Abbildung
G : W ⊂ Rn × RN −n −→ Rn × RN −n
x = (x1 , . . . , xn , xn+1 , . . . , xN ) 7→ (x1 − y1 , . . . , xn − yn , F1 (x), . . . , FN −n (x)).
Dann gilt G(y) = 0 und die Berechnung der Jacobideterminante ergibt
(
det(DG y ) = det
In 0
∗ By
)
= det By .
Da die letzten N − n Spalten von DF x linear unabhängig sind, ist By invertierbar, also
det(DG y ) = det By ̸= 0. Wir können somit den Satz über den lokalen Diffeomorphismus
anwenden, der die Existenz einer offenen Umgebung U ∗ ⊂ RN von y und einer offenen
Umgebung V ∗ ⊂ RN von 0 garantiert, so daß φ∗ := G|U ∗ : U ∗ −→ V ∗ ein Diffeomorphismus
ist. Dann folgt (i) wegen φ∗ (y) = G(y) = 0 . Nach Definition von G gilt
(
)
G (φ∗ )−1 (x) =
(
)
= (φ∗ )−1 (x)1 − y1 , . . . , (φ∗ )−1 (x)n − yn , F1 ((φ∗ )−1 (x)), . . . , FN −n ((φ∗ )−1 (x)) . (+)
(
)
Es gilt außerdem G|U ∗ = φ∗ , also G (φ∗ )−1 (x) = x für jedes x ∈ V ∗ . Setzt man dies
(
)
in (+) ein, so folgt F (φ∗ )−1 (x1 , . . . , xN ) = (xn+1 , . . . , xN ) , womit die Behauptung (ii)
bewiesen ist.
Wir zeigen nun, dass der Diffeomorphismus φ∗ : U ∗ → V ∗ eine Karte um y ∈ U ∗ definiert.
Nach Konstuktion von φ∗ folgt
φ∗ (U ∗ ∩ M ) = φ∗ (U ∗ ∩ {w ∈ W | F (w) = o}) = φ∗ (U ∗ ) ∩ {v ∈ V ∗ | F ((φ∗ )−1 (v)) = o}
= V ∗ ∩ {vn+1 = . . . = vN = 0} = V ∗ ∩ {Rn × {o}}.
Folglich ist (U, φ) := (U ∗ ∩ M, φ∗ |U ∗ ∩M ) eine Karte um y ∈ M .
6
2
Beispiele für gleichungsdefinierte Untermannigfaltigkeiten
Beispiel 1: Die Sphäre.
Wir betrachten die Sphäre vom Radius r im Rn+1
Srn := {x ∈ Rn+1 | ∥x∥ = r}
Srn ist eine ist eine n–dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn+1 . Um dies zu zeigen,
betrachten wir die glatte Abbildung
F : Rn+1 −→ R
x 7→ ∥x∥2 − r2 .
Offensichtlich gilt Srn = F −1 (0). Für die Jacobimatrix von F in x gilt
DF x = (2x1 , . . . , 2xn+1 ) = 2x . Für x ∈ Srn ist rg(DF x ) = 1 . Somit ist Srn nach Satz 10.2
eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn+1 .
2
Beispiel 2: Der Graph einer Abbildung.
Sei U ⊂ Rn eine offene Teilmenge und h : U −→ Rm eine glatte Abbildung. Wir betrachten
den Graphen der Abbildung h
M := graph(h) = {(x, h(x)) | x ∈ U } ⊂ Rn+m .
M läßt sich als Nullstellenmenge der folgenden Abbildung F darstellen:
F : U × Rm ⊂ Rn+m −→ Rm
(x, y) 7→ h(x) − y,
Offensichtlich ist M = F −1 (o) und für die Jacobimatrix gilt


−1


..
,
DF(x,y) = 
.
⋆ 
−1
(mit n + m Spalten und m Zeilen). Da rg(DF(x,y) ) = m , ist M eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn+m .
2
Beispiel 3: Der Rotationstorus.
Wir betrachten den Rotationstorus im R3 .
Dies ist die auf folgende Weise definierte Menge T 2 :
z 6
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...................
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Es sei ein Kreis in der (x, z)–Ebene um
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(r1 , 0) mit Radius r2 gegeben, wobei
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.... ......
r
...
....
..........................................................................
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2
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2
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..... .....
0 < r2 < r1 . Sei T die Punktmenge ....
.........
r v .... ........
...
............
...
..........
...............
...
............ .....
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3
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..
r1
..
im R , die bei Drehung dieses Kreises ........
...
...
...
....
...
....
...
......
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.....
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..
........
...
.....
................................................
.....
...
um die z–Achse entsteht.
........
.....
.
........
........
...
.........
........
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2
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..
...........
T heißt Rotationstorus.
...
.............
..............................................................................
... ............................
................................................................
y
Wir zeigen daß
{
(
)
}
T 2 = (r1 + r2 cos v) cos u, (r1 + r2 cos v) sin u, r2 sin v | u, v ∈ R :
x
Der Kreis in der (x, z)–Ebene wird durch γ(v) := (r1 + r2 cos v, r2 sin v) parametrisiert. Bei
Drehung um die z-Achse bleibt die z-Koordinate unverändert. Vom Nullpunkt verschiedene
Punkte in der (x, y)–Ebene werden durch Polarkoordinaten in der Form
7
peiu = p(cos u + i sin u) = (p cos u, p sin u) beschrieben, wobei p ∈ R+ den Abstand vom
Nullpunkt und u den Winkel zur x-Achse beschreibt. Folglich gilt für die Koordinaten eines
Punktes des Rotationstorus’
x = (r1 + r2 cos v) cos u,
y = (r1 + r2 cos v) sin u,
bzw. z = r2 sin v. (∗)
Wir zeigen nun, daß T 2 eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R3 ist. Aus (∗) folgt
x2 + y 2 = (r1 + r2 cos u)2 , also
)2
(√
x2 + y 2 − r1 = r22 cos2 v = r22 (1 − sin2 v) = r22 − z 2 .
Somit gilt
T 2 = {(x, y, z) ∈ R3 | (
√
x2 + y 2 − r1 )2 + z 2 − r22 = 0}.
Sei nun die Abbildung F definiert durch
F : R3 −→ R
(x, y, z) 7→ (
√
x2 + y 2 − r1 )2 + z 2 − r22 ,
dann gilt T 2 = F −1 (0). Außerdem ist
( √
)
√
2( x2 + y 2 − r1 ) · x 2( x2 + y 2 − r1 ) · y
√
√
DF (x,y,z) =
,
, 2z
x2 + y 2
x2 + y 2
und es gilt DF (x,y,z) ̸= (0, 0, 0) für alle (x, y, z) ∈ T 2 . Nach Satz 10.2 ist T 2 eine 2–
dimensionale Untermannigfaltigkeit des R3 .
2
Wir haben den 2-dimensionalen Rotationstorus T 2 im Beispiel 3 durch zwei Parameter u
und v beschrieben. Wir betrachten nun Mengen im RN , die durch n Parameter beschrieben
sind und untersuchen, unter welchen Bedingungen an die Parametrisierung solche Mengen
Untermannigfaltigkeiten sind. Dies gibt uns ein weiteres Kriterium um zu entscheiden, ob
gewisse Mengen Untermannigfaltigkeiten sind.
Definition. Sei M eine Teilmenge des RN . Eine lokale Parametrisierung von M um den
Punkt p ∈ M durch n Parameter ist eine glatte Abbildung Φ : W ⊂ Rn −→ RN von einer
offenen Teilmenge W des Rn in den RN mit den folgenden Eigenschaften:
1. p ∈ Φ(W ) ⊂ M .
2. Φ ist injektiv.
∂Φ
∂Φ
3. Die Vektoren ∂x
(w), . . . , ∂x
(w) des RN sind linear unabhängig für alle w ∈ W
1
n
(d.h. die Jacobimatrix DΦw hat den Rang n für alle w ∈ W ).
4. Φ(W ) ist offen in M , d.h. es existiert eine offene Menge U ∗ ⊂ RN mit Φ(W ) = U ∗ ∩M
und die Abbildung Φ−1 : Φ(W ) −→ W ist stetig.
Beispiele:
1. Ist φ : U −→ V eine Karte einer Untermannigfaltigkeit M um x ∈ M , so ist
Φ := φ−1 : V ⊂ Rn −→ M ⊂ RN
eine lokale Parametrisierung von M um x.
8
2. Sei W = (u0 − π, u0 + π) × (v0 − π, v0 + π) ⊂ R2 und Φ : W −→ R3 die Abbildung
Φ(u, v) := ((r1 + r2 cos v) cos u, (r1 + r2 cos v) sin u, r2 sin v) , (u, v) ∈ W.
Dann ist Φ eine lokale Parametrisierung von T 2 um den Punkt Φ(u0 , v0 ).
Satz 10.3 Charakterisierung von Untermannigfaltigkeiten durch lokale
Parametrisierungen
N
Sei M ⊂ R . Um jeden Punkt x ∈ M existiere eine lokale Parametrisierung von M durch
n Parameter. Dann ist M eine n–dimensionale Untermannigfaltigkeit des RN .
Beweis: Sei x ∈ M und sei die Abbildung Φ : W ⊂ Rn −→ RN eine lokale Parametrisierung
um x. Unser Ziel ist es, aus Φ eine Karte um x zu konstruieren. Für den Rang der Jacobimatrix von Φ gilt rgDΦ w = n für jeden Punkt w ∈ W . OBdA können wir annehmen, daß die
ersten n Zeilen dieser Matrix linear unabhängig sind. (Dies erreicht man durch Umordnen
der Koordinaten und evt. durch verkleinern von W ). Es gilt also


∂Φ1
∂Φ1
∂x1 (w) · · · ∂xn (w)


..
..
..
 ̸= 0. (∗)
det 
.
.
.


∂Φn
∂Φn
(w)
·
·
·
(w)
∂x1
∂xn
Wir betrachten nun die Abbildung
G : W × RN −n ⊂ RN −→ RN
(a, b) 7→ Φ(a) + (o, b) = (Φ1 (a), . . . , Φn (a), b1 , . . . bN −n ).
Dann gilt



det DG(a,b) = 


∂Φ1
∂x1 (a)
..
.
∂Φn
∂x1 (a)
···
..
.
∂Φ1
∂xn (a)
···
⋆
∂Φn
∂xn (a)
..
.

0


.


IN −n
Mit (∗) folgt daher det DG(a,b) ̸= 0 für jedes (a, b) ∈ W × RN −n . Sei nun w0 ∈ W
das Urbild von x: Φ(w0 ) = x . Dann ist G(w0 , o) = x . Nach dem Satz über lokale Diffeomorphismen existiert eine offene Umgebung V1 ⊂ RN von (w0 , o) und eine offene Umgebung V2 ⊂ RN von x, so daß G|V1 : V1 −→ V2 ein Diffeomorphismus
ist. Nach Definition der Parametrisierung ist die Abbildung Φ−1 : Φ(W ) −→ W stetig
und bijektiv. Folglich sind Bilder offener Mengen unter Φ : W −→ Φ(W ) offen. Also
muß die Menge {Φ(a) | (a, o) ∈ V1 } = Φ(V1 ∩ (W × {o})) offen in Φ(W ) bezüglich der
durch RN induzierten Topologie sein. Dies bedeutet, daß eine offene Menge O ⊂ RN mit
{Φ(a) | (a, o) ∈ V1 } = O∩Φ(W ) existiert. Wir setzen nun V2∗ := V2 ∩O und V1∗ := G−1 (V2∗ )
und bezeichnen die Restriktion G−1 |V2∗ : V2∗ −→ V1∗ mit φ∗ . Wir behaupten, daß φ∗ eine
Karte der Untermannigfaltigkeit um x ∈ M definiert. φ∗ ist natürlich ein Diffeomorphismus
und es gilt
V2∗ ∩ M = M ∩ V2 ∩ O = {Φ(a) | (a, o) ∈ V1∗ } = {G(a, o) | (a, o) ∈ V1∗ } = G(V1∗ ∩ (Rn × {o})),
aufgrund der Definition von G. Also folgt φ∗ (V2∗ ∩ M ) = V1∗ ∩ (Rn × {o}).
9
2
Beispiel: Das Katenoid
Das Katenoid ist die Fläche, die entsteht, wenn man die Kettenlinie um die z-Achse dreht.
Sie wird beschrieben durch
M 2 := { Φ(u, z) = (cosh z cos u, cosh z sin u, z) | (u, z) ∈ R2 }
Das Katenoid M 2 ist eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R3 , denn
Φ : (u, z) ∈ (u0 − π, u0 + π) × R −→ Φ(u, z) ∈ M
ist eine lokale Parametrisierung um den Punkt Φ(u0 , z0 ) ∈ M für jedes (u0 , z0 ) ∈ R2
(Übungsaufgabe 10.3).
Beispiel: Die Wendelfläche
Die Wendelfläche ist die folgende Punktmenge
F 2 = {Φ(u, v) := (v cos u, v sin u, u) | v, u ∈ R, v > 0 }
Die Wendelfläche F 2 ist eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R3 , denn
Φ : (u, v) ∈ R × R+ −→ Φ(u, v) ∈ F
ist eine lokale Parametrisierung um den Punkt Φ(u0 , v0 ) ∈ F für jedes (u0 , v0 ) ∈ R2 .
10
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−2
−1
0
1
2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Abbildung 10.1: Wendelfläche geschnitten mit einer Ebene durch die z-Achse
In den Übungsaufgaben (siehe auch Abschnitt 10.14) und in den Übungen werden weitere
Beispiele für Teilmengen des RN behandelt, die Untermannigfaltigkeiten bzw. keine
Untermannigfaltigkeiten sind.
10.1.2
Untermannigfaltigkeiten mit Rand
Bisher haben wir Untermannigfaltigkeiten behandelt, die anschaulich gesprochen, keinen
”Rand” haben. Solch einfache Mengen, wie z.B. die Kreisscheibe im R2 , wurden durch die
bisherige Definition nicht erfaßt. Wir erweitern nun den Begriff der Untermannigfaltigkeit
und lassen auch Untermannigfaltigkeiten mit Rand, z.B. die Kreisscheibe, zu.
Definition. Rn+ := {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | xn ≥ 0} heißt Halbraum.
∂Rn+ := {x ∈ Rn+ | xn = 0} ≃ Rn−1 ist der Rand des Halbraumes.
Definition.∗ Eine Teilmenge M ⊂ RN heißt n–dimensionale Untermannigfaltigkeit mit
Rand, falls es um jeden Punkt x ∈ M eine offene Umgebung U ∗ ⊂ RN und einen Diffeomorphismus φ∗ : U ∗ −→ V ∗ von U ∗ auf eine offene Menge V ∗ ⊂ RN gibt, so daß eine der
beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist
1. φ∗ (U ∗ ∩ M ) = V ∗ ∩ (Rn × {0}), oder
2. φ∗ (U ∗ ∩ M ) = V ∗ ∩ (Rn+ × {0}) und für die n. Koordinate von φ∗ (x) gilt φ∗n (x) = 0.
Auch in diesem Fall heißt das Paar (U := U ∗ ∩ M, φ := φ∗ |U ∗ ) Karte um x ∈ M .
Wir veranschaulichen die beiden Fälle am Beispiel der Kreisscheibe im R2 (dabei ist
N = n = 2).
11
(2)
Beispiel:
(1)
∗
x2 .........V
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6 ............... .......................
.
...
..
..
..
..
...
...
..
.....
...
...
..
..
.
..
..
...
.
....
..
...
......
......
.........
.............................
x1
.......................................................
..........
........
.......
........
∗
.......
......
.....
......
.
.
.
...
..
.
.
.
..
.........................................
.
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.........
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... ....
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......
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.........
.........
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... ....
.............................
..
.. ....
.
.. ..
...
..
.. ..
..
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.. ..
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... ...
....
...
... ..........
....
...
................................
...
...
....
...
.
....
.
.
..
......
.....
......
......
.......
.......
.........
.........
............
.................................................
x2
U (x)
φ∗
................
..........
)
................................
........
x
∗
U (x)
q
q
.......................................................
.
..........
∗
φ
qx
6
..................................
.........
......
.....
......
....
...
...
...
.
..
..
.
...
....
...
...
..
...
..
..
∗
..
...
.
..
...
.
.
....
......
....
......
........
.....................................
q
φ (x)
x1
V ∗ ⊂ R2
M := {x ∈ R2 | ∥x∥2 ≤ 1}
Im ”Inneren” der Kreisscheibe gibt es eine Karte vom Typ (1), für den ”Rand” eine Karte
vom Typ (2). Wir zeigen nun, dass ein Punkt x einer Untermannigfaltigkeit entweder Karten
vom Typ (1) oder Karten vom Typ (2) hat.
Satz 10.4 Sei M n ⊂ RN eine n–dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand und x ∈
M n . Dann erfüllen die Diffeomorphismen φ∗ : U ∗ −→ V ∗ , die eine Karte um x definieren,
entweder alle die Bedingung 1. oder alle die Bedingung 2. aus der vorstehenden Definition∗ .
Beweis: Wir schließen indirekt und nehmen dazu an, daß ein Diffeomorphismus φ∗1 : U1∗ −→
V1∗ mit x ∈ U1∗ und φ∗1 (U1∗ ∩M ) = V1∗ ∩(Rn ×{0}) und ein Diffeomorphismus φ∗2 : U2∗ −→ V2∗
mit x ∈ U2∗ , φ∗2 (U2∗ ∩ M ) = V2∗ ∩ (Rn+ × {0}) und (φ2 )∗n (x) = 0 existiert. Wir setzen
O := U2∗ ∩ U1∗ . Dann ist φ∗1 (O ∩ M ) ⊂ Rn offen und
φ∗2 ◦ (φ∗1 )−1 : φ∗1 (O ∩ M ) −→ φ∗2 (O ∩ M ) ⊂ Rn+ ⊂ Rn
ist ein Diffeomorphismus, der φ∗2 ◦ (φ∗1 )−1 (φ∗1 (x)) = φ∗2 (x) erfüllt. Insbesondere ist
die Menge φ∗2 (O ∩ M ) offen im Rn . Es gilt aber φ∗2 (O ∩ M ) ⊂ Rn+ und φ∗2 (x) ∈
∂Rn+ , also kann φ∗2 (O ∩ M ) nicht offen im Rn sein. Dies ist ein Widerspruch.
2
Satz 10.4 erlaubt die folgende Definition:
Definition. Sei M n ⊂ RN eine n–dimensionale Untermannigfaltigkeit. Die Menge
∂M := {x ∈ M | ∃ Karte um x, die Bedingung 2. aus Definition∗ erfüllt }
heißt Rand von M . Die Menge
Int(M ) := {x ∈ M | ∃ Karte um x, die Bedingung 1. aus Definition∗ erfüllt }
heißt Inneres von M .
Die Untermannigfaltigkeit M ist die disjunkte Vereinigung des Inneren und des Randes:
M = Int(M ) ∪ ∂M .
Satz 10.5 Sei M ⊂ RN eine n–dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand. Dann ist
Int(M ) eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit ohne Rand und ∂M entweder leer oder
eine (n − 1)–dimensionale Untermannigfaltigkeit ohne Rand.
Beweis: Nach Definition ist Int(M ) eine n–dimensionale Untermannigfaltigkeit ohne Rand.
Sei ∂M ̸= ∅ und x ∈ ∂M . Dann existiert ein Diffeomorphismus φ∗ : U ∗ −→ V ∗ mit x ∈ U ∗
und φ∗ (U ∗ ∩ M ) = V ∗ ∩ (Rn+ × {0}). Ist dann y ∈ U ∗ ∩ ∂M , so folgt φ∗n (y) = 0. Ist nämlich
φ∗n (y) > 0, würde man durch Einschränkung des Diffeomorphismus φ∗ eine Karte vom Typ
(1) um y erhalten, was dem Satz 10.4 widerspricht. Somit erhalten wir
φ∗ (U ∗ ∩ ∂M ) = V ∗ ∩ (Rn−1 × {o}).
12
Ist (U, φ = (x1 , . . . , xn )) die von φ∗ definierte Karte um y ∈ M ∩ ∂M ⊂ M , so ist
(U ∩ ∂M, φ̂ := φU ∩∂M = (x1 , . . . , xn−1 )) eine Karte um y in der Teilmenge ∂M .
2
10.2
Tangential- und Normalenräume an Untermannigfaltigkeiten
Für eine differenzierbare Abbildung F : Rn −→ Rm ist das Differential im Punkt x ∈ Rn
eine lineare Abbildung DFx : Rn −→ Rm . Den Wert der Abbildung DFx angewendet auf
einen Vektor a ∈ Rn erhält man durch die Richtungsableitung von F in Richtung a, d.h.
durch die Ableitung von F entlang der Geraden durch x in Richtung a
DFx (a) =
)
d(
F (x + ta) |t=0
dt
Den Vektorraum Rn , auf dem das Differential DFx definiert ist, kann man als die Menge
der Tangentialvektoren an alle Geraden γ(t) = x + ta durch x in t = 0 betrachten.
Wir wollen dies in den folgenden beiden Abschnitten auf differenzierbare Abbildungen
F : M −→ N zwischen Untermannigfaltigkeiten verallgemeinern. Dazu definieren und untersuchen wir in diesen Abschnitt zunächst diejenigen Vektorräume, zwischen denen das
Differential von F abbilden soll, die sogenannten Tangentialräume. Die Rolle der Geraden
durch x übernehmen jetzt im Falle von Untermannigfaltigkeiten diejenigen glatten Kurven
γ : I −→ RN durch x, deren Bild auf der Untermannigfaltigkeit M liegt.
Im folgenden sei M n ⊂ RN eine n–dimensionale Untermannigfaltigkeit mit oder ohne Rand.
Definition. Sei x ∈ M . Die Menge der Vektoren
{
}
Tx M := v ∈ RN ∃ glatte Kurve γ : I −→ M mit γ(0) = x , γ ′ (0) = v,
wobei I = (−ε, ε), [0, ε) oder (−ε, 0]
heißt Tangentialraum von M im Punkt x. Die Elemente von Tx M heißen Tangentialvektoren
an M im Punkt x.
Satz 10.6 Der Tangentialraum Tx M einer n–dimensionalen Untermannigfaltigkeit
M n ⊂ RN im Punkt x ∈ M ist ein n–dimensionaler Unterraum des RN .
Beweis: Sei φ∗ : U ∗ −→ V ∗ ein eine Karte um x ∈ M definierender Diffeomorphismus. Dann
ist gemäß Definition φ∗ (U ∗ ∩ M ) = V ∗ ∩ (Rn × {o}), falls x ∈ Int(M ) oder φ∗ (U ∗ ∩ M ) =
V ∗ ∩ (Rn+ × {o}) und φ∗n (x) = 0, falls x ∈ ∂M . Da φ∗ ein Diffeomorphismus zwischen offenen
Teilmengen des RN ist, ist das Differential Dφ∗x : RN −→ RN ein Isomorphismus. Wir
werden zeigen, daß
(Dφ∗x )−1 (Rn × {o}) = Tx M.
(∗)
gilt. Weil lineare Isomorphismen n–dimensionale Vektorräume wieder auf ebensolche abbilden, folgt aus dieser Behauptung dann der Satz 10.6.
Sei zunächst w ∈ Rn × {o}. Die n. Koordinate des Vektors w sei mit wn bezeichnet. Wir
betrachten die glatte Kurve γ : I −→ U ∗
γ(t) := (φ∗ )−1 (φ∗ (x) + tw),
13
wobei I = (−ε, ε) falls x ∈ Int(M ) , I = [0, ε) falls x ∈ ∂M und wn > 0, und I = (−ε, 0]
falls x ∈ ∂M und wn < 0. Dabei wird ε so klein gewählt, daß φ∗ (x) + tw ∈ V ∗ für alle t ∈ I.
Also folgt φ∗ (x) + tw ∈ V ∗ ∩ (Rn × {o}) und daher
γ(t) = (φ∗ )−1 (φ∗ (x) + tw) ⊂ U ∗ ∩ M ⊂ M.
Außerdem erhalten wir γ(0) = x und mit der Kettenregel für differenzierbare Abbildungen
zwischen reellen Räumen
(
)
γ ′ (0) = Dφ∗−1 φ∗ (x) (w) = (Dφ∗x )−1 (w).
Gemäß der Definition von Tx M ist also (Dφ∗x )−1 (w) ∈ Tx M .
Sei nun v ∈ Tx M . Dann existiert eine glatte Kurve γ : I −→ M mit γ(0) = x und γ ′ (0) = v.
Wählen wir das Intervall I klein genug, so ist γ(t) ∈ U ∗ für alle t ∈ I. Also folgt φ∗ (γ(t)) ⊂
Rn × {o}. Ableiten in t = 0 und Anwenden der Kettenregel ergibt Dφ∗x (γ ′ (0)) ∈ Rn × {o}.
Wegen v = γ ′ (0) folgt also auch die umgekehrte Inklusion von (*).
2
Beispiel 1: Sei U ⊂ Rn eine offene Teilmenge und x ∈ U . Dann gilt Tx U = Rn .
Beispiel 2: Sei Srn := {x ∈ Rn+1 | ∥x∥ = r} die n-dimensionale Sphäre und x ∈ Srn . Dann
gilt
Tx Srn = {v ∈ Rn+1 | ⟨x, v⟩ = 0}.
Ist nämlich v ∈ Tx Srn , so existiert eine glatte Kurve γ : I −→ R3 mit γ(0) = x, γ ′ (0) = v
und ⟨γ(t), γ(t)⟩ ≡ r2 für alle t ∈ I.
................................................... @
..........
.................
........
.......
......
......
...
.
@
Durch Ableiten der letzten Gleichung nach t
.
....
...
...
... v
@ x .@
...
...
@
′
′
..
.
.
..
.
erhalten wir ⟨γ (t), γ(t)⟩ + ⟨γ(t), γ (t)⟩ = 0 .
..
..
..... ...... ...
..@
...... ..... ..... ..... .....@
..
... .....
.R @
..... .....
..
...... .... @
... ..... ......
@ .........
.
Für t = 0 ergibt sich ⟨v, x⟩ = 0 . Folglich
@
........
..
......
.....
@
.........
.........
n
n+1
.. ...........
.......... ....
.
..............
..
.
.
.
.
gilt Tx Sr ⊂ {v ∈ R
| ⟨x, v⟩ = 0} . Da bei.
.
.
.
.
.
.
..
...
............................
@
.. ..............................................
...
.
...
..
Tx M
..
...
...
....
de Vektorräume die gleiche Dimension haben
....
....
...
......
.
.
.
.......
...
.
.
.
.
.
.
........
.......
folgt die Behauptung.
M = S 2 ⊂ R3 .................................................................
Beispiel 3: Sei F = (F1 , . . . , FN −n ) : RN −→ RN −n eine C ∞ –Abbildung und M := F −1 (o)
die Nullstellenmenge von F . Die Jacobimatrix DF x habe maximalen Rang N − n für alle
x ∈ M . Dann ist M eine n–dimensionale Untermannigfaltigkeit und es gilt
(
)⊥
Tx M = span {grad F1 (x), . . . , grad FN −n (x)}
= {v ∈ RN | ⟨v, grad Fi (x)⟩ = 0 , i = 1, . . . , N − n}.
Da die beiden in der Behauptung auftretenden Unterräume des RN die gleiche Dimension
(
)⊥
haben, genügt es zu zeigen, daß Tx M ⊂ span {grad F1 (x), . . . , grad FN −n (x)} . Sei also
v ∈ Tx M . Dann existiert eine Kurve γ : I −→ M mit γ(0) = x und γ ′ (0) = v, so daß
Fi (γ(t)) ≡ 0 für alle t ∈ I und i = 1, . . . , N − n. Mit der Kettenregel erhalten wir
(DFi )x (v) = ⟨grad Fi (x), v⟩ = 0,
für alle i = 1, . . . , N − n. Daraus folgt die Behauptung.
Beispiel 4: Sei M n ⊂ Rn eine n–dimensionale Untermannigfaltigkeit und Φ : W ⊂ Rn →
RN eine lokale Parametrisierung um x = Φ(u) ∈ M . Dann gilt
}
{
∂Φ
∂Φ
(u), . . . ,
(u) .
Tx M = span
∂x1
∂xn
14
(
)
∂Φ
∂Φ
Da nach Voraussetzung die Jacobimatrix DΦu = ∂x
(u),
.
.
.
,
(u)
den Rang n hat,
∂xn
1
{
}
∂Φ
∂Φ
ist span ∂x
(u), . . . , ∂x
(u) ein n–dimensionaler Unterraum. Es genügt also zu zeigen,
n
{ 1
}
∂Φ
∂Φ
daß span ∂x1 (u), . . . , ∂xn (u) ⊂ Tx M gilt. Wir betrachten dazu die glatte Kurve γ(t) :=
Φ(u + tei ). Dann ist γ(0) = x und aus der Kettenregel folgt γ ′ (0) = DΦu (ei ) =
∂Φ
(u) ∈ Tx M und somit die Behauptung.
folgt ∂x
i
∂Φ
∂xi (u).
Es
Definition. Sei M n ⊂ RN eine Untermannigfaltigkeit und x ∈ M . Der zum Tangentialraum
Tx M orthogonale Vektorraum
Nx M := {w ∈ RN | w ⊥ Tx M } = (Tx M )⊥
heißt Normalenraum von M im Punkt x ∈ M . Die Elemente von Nx M heißen Normalenvektoren an M im Punkt x. Die n-dimensionale Ebene
Tan x M := x + Tx M ⊂ RN
heißt Tangentialebene von M in x ∈ M und die (N − n)-dimensionsale Ebene
Nor x M := x + Nx M ⊂ RN
heißt Normalenebene von M in x ∈ M .
Aus den Beispielen 3 und 4 erhält man folgende Möglichkeiten, die Normalenräume zu
berechnen:
1. Ist M n ⊂ Rn+1 und Φ : W −→ Rn+1 eine lokale Parametrisierung um x = Φ(u) ∈ M ,
dann ist
( ∂Φ
)
∂Φ
Nx M = R
(u) × . . . ×
(u) .
∂x
∂xn
| 1
{z
}
Vektorprodukt
2. Sei M n ⊂ Rn+1 eine gleichungsdefinierte Hyperfläche, d.h. M = F −1 (0) für eine
glatte Abbildung F : Rn+1 −→ R mit nichtverschwindendem Gradienten. Dann ist
Nx M = R · grad F (x).
Ein konkretes Beispiel:
Sei M 2 = S 2 die 2-dimensionale Sphäre im R3 . Dann gilt
T(0,0,1) S 2 = {(x, y, 0) ∈ R3 | x, y ∈ R}
N(0,0,1) S 2 = {(0, 0, z) ∈ R3 | z ∈ R}
Weitere Beispiele findet man in den Übungsaufgaben in Abschnitt 10.14.
10.3
Differenzierbare Abbildungen und ihr Differential
Wir definieren nun den Begriff der differenzierbaren Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten.
15
Definition. Seien M1n1 ⊂ RN1 und M2n2 ⊂ RN2 zwei Untermannigfaltigkeiten. Eine Abbildung F : M1 −→ M2 heißt differenzierbar von der Klasse C k , 1 ≤ k ≤ ∞, falls für jede
Karte (U, φ) von M1 die Abbildung
F ◦ φ−1 : φ(U ) ⊂ Rn1 −→ RN2
eine C k -Abbildung ist.
Mit C k (M ) bezeichnen wir den Ring aller reellwertigen C k -Abbildungen auf M . Mit
C k (M1 , M2 ) bezeichnen wir den Vektorraum aller C k -Abbildungen zwischen den Untermannigfaltigkeiten M1 und M2 .
Bemerkungen:
(1) In der Regel werden wir uns auf glatte, d.h. C ∞ -Abbildungen beschränken. Wenn der
Grad der Differenzierbarkeit nicht interessiert, so sagen wir auch kurz differenzierbare Abbildung (und lassen der Kürze halber die Angabe C k weg).
: φi (Ui ) −→ RN2 für einen
(2) Es genügt, die Differenzierbarkeit der Abbildungen F ◦ φ−1
i
Atlas A = {(Ui , φi )}i∈I zu überprüfen (Übungsaufgabe).
(3) Ist M1 ⊂ RN1 eine offene Teilmenge, dann stimmt der eben definierte Differenzierbarkeitsbegriff mit dem schon bekannten für Abbildungen zwischen reellen Vektorräumen
überein .
(4) Sei M n ⊂ RN eine Untermannigfaltigkeit der Klasse C k und (U, φ) eine Karte auf
M . Dann ist die Kartenabbildung φ : U −→ V ⊂ Rn differenzierbar von der Klasse C k
(Übungsaufgabe).
(5) Seien F : M1 −→ M2 und G : M2 −→ M3 differenzierbar, dann ist G ◦ F : M1 −→ M3
differenzierbar (Übungsaufgabe).
Definition. Ist F : M1n1 −→ M2n2 eine Abbildung zwischen zwei Untermannigfaltigkeiten.
Sei (U, φ) eine Karte um x ∈ M1 und (V, ψ) eine Karte um F (x) ∈ M2 . Dann heißt die
Abbildung
ψ ◦ F ◦ φ−1 : φ(U ∩ F −1 (V )) ⊂ Rn1 −→ ψ(V ) ⊂ Rn2
Kartendarstellung von F bzgl. der Karten (U, φ) und (V, ψ).
Ist speziell F : M1 −→ RN , so heißt F ◦ φ−1 : φ(U ) −→ RN Kartendarstellung von F bzgl.
der Karte (U, φ).
Die Abbildung F ist differenzierbar von der Klasse C k , wenn alle ihre Kartendarstellungen
C k -Abbildungen sind.
Das Differential einer differenzierbaren Abbildung F : M1 −→ M2 definiert man nun in
Analogie zu den Abbildungen zwischen reellen Räumen als Ableitung von F entlang von
Kurven:
Definition. Sei F : M1 −→ M2 eine differenzierbare Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten. Unter dem Differential der Abbildung F im Punkt x ∈ M1 versteht man die
Abbildung
dF x : Tx M1 −→ TF (x) M2
γ ′ (0) 7−→ (F γ)′ (0),
wobei γ : I −→ M1 eine glatte Kurve mit γ(0) = x ist.
16
Bemerkung 1: Die Definition von dFx ist korrekt, d.h. unabhängig von der Wahl von γ:
Sei v ∈ Tx M und sei γ eine beliebige glatte Kurve auf M1 mit γ(0) = x und γ ′ (0) = v .
Wir wählen eine Karte (U, φ) um x. Dann folgt aus der Kettenregel für differenzierbare
Abbildungen zwischen reellen Räumen, dass
(F γ)′ (0) = D(F ◦ φ−1 )φ(x) ((φγ)′ (0)).
Da die Kartenabbildung φ nach Definition durch Einschränkung eines lokalen Diffeomorphismus φ∗ im Einbettungsraum RN entsteht, folgt aus der Kettenregel weiterhin
(φγ)′ (0) = (φ∗ γ)′ (0) = Dφ∗x (γ ′ (0)) = Dφ∗x (v) und somit
(F γ)′ (0) = D(F ◦ φ−1 )φ(x) ◦ Dφ∗x (v).
(F γ)′ (0) hängt also nicht von der Wahl der Kurve γ ab.
Bemerkung 2: Sind M1 ⊂ RN1 und M2 ⊂ RN2 offene Teilmengen der reellen Vektorräume,
dann stimmt das soeben definierte Differential mit dem in Kapitel 6 definierten Differential
überein:
d
dF x (v) = F (x + tv )|t=0 = DFx (v).
dt | {z }
γ(t)
Satz 10.7 Seien F : M1 −→ M2 und G : M2 −→ M3 differenzierbar und x ∈ M1 .
1. Das Differential dF x : Tx M1 −→ TF (x) M2 ist eine lineare Abbildung zwischen den
Tangentialräumen.
2. Es gilt die Kettenregel: d(G ◦ F )x = dG F (x) ◦ dF x .
Beweis: Sei v ∈ Tx M1 und γ : I −→ M1 eine glatte Kurve mit γ(0) = x und γ ′ (0) = v.
Zu 1. Sei (U, φ) eine Karte um x. Nach der Definition des Differentials von F und der
Kettenregel für Abbildungen zwischen reellen Räumen folgt dann wie oben
dF x (v) = (F ◦ γ)′ (0) = [(F ◦ φ−1 ) ◦ (φ ◦ γ)]′ (0) = D(F ◦ φ−1 )φ(x) ◦ Dφ∗x (v),
Da die Differentiale differenzierbarer Abbildungen im RN linear sind, ist dF x als Komposition linearer Abbildungen wieder linear.
Zu 2. Anwenden der Definition ergibt
(dG)F (x) ◦ (dF )x (v) = (dG)F (x) ((F ◦ γ)′ (0)) = (G ◦ (F ◦ γ))′ (0) = ((G ◦ F ) ◦ γ)′ (0)
= d(G ◦ F )γ(0) (γ ′ (0)) = d(G ◦ F )x (v).
2
Die folgende Feststellung erleichtert oft den Nachweis, dass eine auf einer Untermannigfaltigkeit definierte Abbildung differenzierbar ist und gibt gleichzeitig einen Weg an, ihr
Differential zu berechnen. Den Beweis lassen wir als Übungsaufgabe.
Satz 10.8 Sei F : U ⊂ RN −→ Rk eine C k -Abbildung von einer offenen Teilmenge
U ⊂ RN in den Rk und sei M n ⊂ U ⊂ RN eine n–dimensionale Untermannigfaltigkeit.
Dann ist f := F |M : M −→ Rk eine C k -Abbildung von der Untermannigfaltigkeit M in
den Rk und es gilt df x = DFx |Tx M .
17
10.4
Kanonische Basen und Kobasen
Wie man aus der Algebra weiß, ist es oft nützlich, spezielle Basen in Vektorräumen zu
betrachten. Als Basis eines Tangentialraumes Tx M benutzt man häufig die durch eine Karte
um x definierte sogenannte kanonische Basis, die jetzt definiert werden soll.
Sei M n ⊂ RN eine Untermannigfaltgkeit und (U, φ = (x1 , . . . , xn )) eine Karte um x ∈ M .
Es bezeichne ei den i. kanonischen Basisvektor im Rn (die i. Komponente von ei ist 1, alle
anderen Komponenten von ei sind Null). Wir betrachten den Tangentialvektor im Punkt
x ∈ M , der durch die Ableitung der i. Koordinatenlinie φ−1 (φ(x) + tei ) durch x in t = 0
definiert wird:
)
d ( −1
∂φ−1
∂
(x) :=
= (dφ−1 )φ(x) (ei ) =
(φ(x)) ∈ Tx M
φ (φ(x) + tei ) ∂xi
dt
∂xi
t=0
...................................................................................................
.................................................
............
..................................................................................
........
∂
........
..
..
.....
........
............. .......... ...................................
..
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∂x
............................................................................ ...
..........................................
.....
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2
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... ∂
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..................
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......
...................
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......
......
.....
∂x..................................................................................................................
.....
.....
.....................1
..........
.....
.................................
......
....
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... ....
... ....
...
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.. ...
......
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....
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...
-
(x))
(x)
φ
U
...
.......................... ....................................
..........
.....
.....
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.....
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.....
.........
.....
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..................
.
.........................................
e
-2
e1 n
Für den Tangentialraum im Punkt x ∈ M gilt Tx M = dφ−1
φ(x) (R ) . Da die Abbildung
−1
dφφ(x) ein Isomorphismus ist, bilden die n Vektoren
)
(
∂
∂
(x), . . . ,
(x)
∂x1
∂xn
eine Basis im Tangentialraum Tx M . Diese Basis nennt man kanonische Basis in Tx M
bezüglich der Karte (U, φ).
Beispiel: Sei M = R2 . Wir bestimmen die kanonischen Basen der durch die Euklidischen
und durch die Polarkoordinaten definierten Karten:
Sei φ : R2 −→ R2 die durch die Euklidischen Koordinaten gegebene Karte φ(x) :=
(x1 , x2 ) . Für diese Karte gilt offensichtlich
∂
(x) = ei für jeden Punkt x = (x1 , x2 ) ∈ M.
∂xi
Die Polarkoordinaten auf R2 sind gegeben durch die Parametrisierung
Φ : R+ × (0, 2π) −→ U := R2 \ {(x, 0) | x ∈ R, x ≥ 0}
Φ(r, v) := (r cos v, r sin v).
Im Punkt x = (x1 , x2 ) = Φ(r, v) gilt dann für die durch die Parametrisierung Φ definierte
Karte (U, Φ−1 )
∂
∂Φ
1
(x) =
(r, v) = (cos v, sin v) = x
und
∂r
∂r
r
∂Φ
∂
(x) =
(r, v) = (−r sin v, r cos v) = (−x2 , x1 ).
∂v
∂v
18
6
..............................................@
I
....@
...........
........
.
........
.......
.......
......
......
.....
@
.
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....
I
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...
.
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... 6
@
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...
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∂
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∂v
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.. ....
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6
AK
A
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A
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Q
k
3
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Q ..............
6
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Q......
...
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I
@
@..........
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∂
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R
@
@
R
@
+
-
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....
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....
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......
.....
.......
.......
........
........
..........
.................... ..............................
.....
-
?
@
@
R
A
A
AU
Q
∂r
-
Q
s
Q
?
Wir beschreiben nun die Beziehung zwischen den kanonischen Basen zu zwei verschiedenen
Karten um einen Punkt einer Untermannigfaltigkeit.
Satz 10.9 (Transformationsformel für kanonische Basen) Sei M n ⊂ RN eine Untermannigfaltigkeit und x ∈ M . (U, φ = (x1 , . . . , xn )) und (V, ψ = (y1 , . . . , yn )) seien zwei
Karten um x. Dann gilt
n
∑
∂
∂
∂(ψ ◦ φ−1 )α
(x) =
(φ(x)) ·
(x),
∂xi
∂x
∂y
i
α
α=1
∂(ψ◦φ−1 )α
(φ(x))
∂xi
∂(ψ◦φ−1 )
(φ(x)) ist.
∂xi
wobei
die α–te Komponente des Vektors der i–ten partiellen Ableitung
Die Übergangsmatrix zwischen den kanonischen Basen von (U, φ) und (V, ψ) ist also die
Jacobimatrix des Kartenüberganges ψ ◦ φ−1 .
Beweis: Bezeichne (e1 , . . . , en ) die kanonische Basis des Rn . Die i–te Spalte der Jacobimatrix
n
∑
∂(ψ◦φ−1 )α
D(ψ ◦ φ−1 )φ(x) ist gegeben durch d(ψ ◦ φ−1 )φ(x) (ei ) =
· eα . Dann folgt per
∂xi
α=1
Definition, Kettenregel und Linearität des Differentials
∂
(x) = (dφ−1 )φ(x) (ei ) = d(ψ −1 ◦ ψ ◦ φ−1 )φ(x) (ei )
∂xi
= (dψ −1 )ψ(x) ◦ d(ψ ◦ φ−1 )φ(x) (ei )
)
(∑
n
∂(ψ ◦ φ−1 )α
(φ(x)) · eα
= (dψ −1 )ψ(x)
∂xi
α=1
=
n
∑
∂(ψ ◦ φ−1 )α
(φ(x)) · (dψ −1 )ψ(x) (eα )
∂x
i
α=1
=
n
∑
∂
∂(ψ ◦ φ−1 )α
(φ(x)) ·
(x).
∂xi
∂yα
α=1
2
Auf analoge Weise erhält man die Basisdarstellung des Differentials einer differenzierbaren
Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten bezüglich kanonischer Basen:
Satz 10.10 (Basisdarstellung des Differentials einer differenzierbaren Abbildung)
Sei F : M1 −→ M2 eine differenzierbare Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten und
x ∈ M1 . Sei (U, φ = (x1 , . . . , xn )) eine Karte um x ∈ M1 und (W, ψ = (z1 , . . . , zk )) eine
Karte um F (x) ∈ M2 . Dann gilt für die lineare Abbildung dF x : Tx M1 −→ TF (x) M2
dF x
k
) ∑
( ∂
∂(ψ ◦ F ◦ φ−1 )α
∂
(x) =
(φ(x)) ·
(F (x)).
∂xi
∂x
∂z
i
α
α=1
19
Die Matrix von dF x bezüglich der kanonischen Basen der Karte (U, φ) um x ∈ M1 und
(W, ψ) um F (x) ∈ M2 ist also die Jacobimatrix der Kartendarstellung ψ ◦ F ◦ φ−1 von F
in φ(x).
Beweis: Der Beweis erfolgt wie in Satz 10.9.
( ∂
)
dF x
(x) = dF x ((dφ−1 )φ(x) (ei )) = d(ψ −1 ◦ ψ ◦ F ◦ φ−1 )φ(x) (ei )
∂xi
= (dψ −1 )ψ(F (x)) ◦ d(ψ ◦ F ◦ φ−1 )φ(x) (ei )
(∑
)
k
∂(ψ ◦ F ◦ φ−1 )α
−1
= (dψ )ψ(F (x))
(φ(x)) · eα
∂xi
α=1
=
k
∑
∂(ψ ◦ F ◦ φ−1 )α
(φ(x)) · (dψ −1 )ψ(F (x)) (eα )
∂x
i
α=1
=
k
∑
∂
∂(ψ ◦ F ◦ φ−1 )α
(φ(x)) ·
(F (x)).
∂xi
∂zα
α=1
2
Aus der Algebra wissen wir, dass man jedem Vektorraum sein algebraisches Dual zuordnen
kann. Dies tun wir jetzt mit den Tangentialräumen an eine Untermannigfaltigkeit. Insbesondere wollen wir die dualen Basen zu den kanonischen Basen in den Tangentialräumen
beschreiben.
Definition. Sei M n ⊂ RN eine Untermannigfaltigkeit, x ∈ M und Tx M der Tangentialraum an x. Der Vektorraum
Tx∗ M := {L : Tx M −→ R | L linear }
heißt dualer Tangentialraum an M im Punkt x (oder auch Cotangentialraum).
Sei f : M −→ R eine differenzierbare reellwertige Abbildung und x ∈ M . Das Differential
df x : Tx M −→ Tf (x) R = R von f im Punkt x ist linear, also ist df x ∈ Tx∗ M .
Insbesondere sind die Koordinatenfunktionen xi : U −→ R einer Karte (U, φ = (x1 , . . . xn ))
glatte reellwertige Abbildungen. Also ist (dxi )x : Tx M −→ R linear und somit gilt
(dx1 )x , . . . , (dxn )x ∈ Tx∗ M .
Satz 10.11 Sei (U, φ = (x1 , . . . , xn )) eine Karte auf M um x mit kanonischer Basis
∂
( ∂x
(x), . . . , ∂x∂n (x)) in Tx M . Dann bilden die Differentiale ((dx1 )x , . . . , (dxn )x ) die duale
1
Basis im Cotangentialraum Tx∗ M , d.h.
( ∂
)
(dxi )x
(x) = δij
∀ i, j = 1, . . . n.
∂xj
Beweis: Einsetzen der Definition ergibt
( ∂
)
(d
)
d
(dxi )x
(x) = (dxi )x
(φ−1 (φ(x) + tej ) |t=0 = xi (φ−1 (φ(x) + tej ))|t=0
∂xj
dt
dt
d
=
(φ(x) + tej )i |t=0 = δij .
dt
2
Aus der Transformationsformel für duale Basen (siehe Lineare Algebra) erhalten wir die
folgende Transformationsformel für die dualen Basen
20
Satz 10.12 Sind (U, φ = (x1 , . . . , xn )) und (W, ψ = (y1 , . . . , yn )) zwei Karten auf M um x,
so gilt
n
∑
∂(ψ ◦ φ−1 )α
(φ(x)) · (dxi )x .
(dyα )x =
∂xi
i=1
10.5
Vektorfelder auf Untermannigfaltigkeiten
Definition. Ein glattes Vektorfeld auf einer Untermannigfaltigkeit M n ⊂ RN ist eine C ∞ –
Abbildung X : M −→ RN , so daß X(x) ∈ Tx M für alle x ∈ M gilt.
Bemerkung: Sei X(M ) die Menge aller glatten Vektorfelder auf M , dann gilt:
1. Sind X1 , X2 ∈ X(M ), so ist auch X1 + X2 ∈ X(M ).
2. Ist f ∈ C ∞ (M ) und X ∈ X(M ), so ist auch f X ∈ X(M ).
X(M ) ist also ein Modul über dem Ring C ∞ (M ) der glatten Funktionen.
Beispiel 1:
Die Abbildung X : S 2 −→ R3 definiert durch
..........................................
.......... ..................................... ..................
........
.......
.......
......
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... .................
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...... ...
... .....
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.......
.. ..........
........ ..
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........... ....
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..................
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............................................................
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...
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...
...
....
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.
....
.
..
......
......
.......
.......
........
........
..........
....................................................
-
HH
j
X(x, y, z) := (−y, x, 0)
ist ein glattes Vektorfeld auf der Sphäre
S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1} ⊂ R3 .
Die Glattheit von X folgt aus Satz 10.8.
Da ⟨X(p), p⟩ = 0 für p ∈ S 2 , ist X(p) ∈ Tp S 2 .
HH
j
H
:
- :
- Beispiel 2: Kanonische Basisfelder
Sei (U, φ = (x1 , . . . , xn ) eine Karte auf einer Untermannigfaltigkeit M und bezeichne
∂φ−1
∂
∂xi (x) =
∂xi (φ(x)) den im letzen Abschnitt definierten i. kanonischen Basisvektor der
Karte (U, φ) im Punkt x ∈ U . Da die Abbildungen
∂φ−1
∂xi
und φ glatt sind, ist die Abbildung
∂
: U ⊂ M −→ RN ,
∂xi
∂
die jedem Punkt x ∈ U den kanonischen Basisvektor ∂x
(x) zuordnet, ein glattes Vektorfeld
i
∂
auf dem Kartenbereich U ⊂ M . Das n-Tupel der Abbildungen ( ∂x
, . . . , ∂x∂n ) heißt kanoni1
sches Basisfeld bezüglich (U, φ).
Jedes Vektorfeld X ∈ X(M ) kann man über dem Kartenbereich U punktweise in der kanonischen Basis darstellen:
n
∑
∂
(x),
x ∈ U.
X(x) =
ξi (x)
∂x
i
i=1
Die Komponenten in dieser Basisdarstellung definieren glatte Funktionen ξi : U −→ R ,
i = 1, . . . , n, (Übungsaufgabe). Über U gilt also
X|U =
n
∑
i=1
ξi
∂
∂xi
(∗)
mit ξi ∈ C ∞ (U ). (*) heißt lokale Darstellung des Vektorfeldes X bezüglich der Karte (U, φ).
Die Kartendarstellungen der Koordinatenfunktionen ξi
ξi ◦ φ−1 : φ(U ) ⊂ Rn −→ R
21
heißen Komponenten von X bezüglich der Karte (U, φ).
Als nächstes übertragen wir die Definition der Richtungsableitung, die wir im Rn bereits
kennen, auf den Fall der Untermannigfaltigkeiten.
Definition. Sei M n ⊂ RN eine Untermannigfaltigkeit und F : M −→ Rm eine differenzierbare Abbildung mit Werten in einem reellen Vektorraum.
1. Sei v ∈ Tx M ein Tangentialvektor an M im Punkt x. Der Vektor
v(F ) := dF x (v) ∈ TF (x) Rm = Rm
heißt Richtungsableitung von F nach dem Vektor v.
2. Sei X ∈ X(M ) ein glattes Vektorfeld auf M . Die Abbildung X(F ) : M −→ Rm definiert
durch
X(F )(x) := dF x (X(x)),
heißt Richtungsableitung von F nach dem Vektorfeld X.
∂
∈ X(U ) ein kanonisches
Beispiel: Sei (U, φ := (x1 , . . . , xn )) eine Karte auf M und ∂x
i
Basisvektorfeld dieser Karte, dann gilt für die Richtungsableitung von F : M → Rm nach
∂
dem Vektorfeld ∂x
:
i
∂
∂(F ◦ φ−1 )
(F ) =
◦ φ.
∂xi
∂xi
Aus der Definition folgt nämlich mit der Kettenregel:
( ∂
)
∂(F ◦ φ−1 )
∂
−1
(F )(x) = dFx
(x) = dFx (dφ−1
(e
))
=
d(F
◦
φ
)
(e
)
=
(φ(x)).
i
i
φ(x)
φ(x)
∂xi
∂xi
∂xi
Den Beweis der folgenden Eigenschaften der Richtungsableitung lassen wir als Übungsaufgabe.
Satz 10.13 Sei M ⊂ RN eine Untermannigfaltigkeit, X, Y ∈ X(M ) glatte Vektorfelder,
F ∈ C ∞ (M, Rm ) und f ∈ C ∞ (M, R). Dann gilt:
1. (X + Y )(F ) = X(F ) + Y (F ).
2. (f X)(F ) = f · X(F ).
3. X(f · F ) = X(f ) · F + f · X(F ).
4. Sei (U, φ = (x1 , . . . , xn )) eine Karte von M und X =
n
∑
i=1
∂
ξi ∂x
die lokale Darstellung
i
von X bezüglich dieser Karte. Dann gilt für die Richtungsableitung:
X(F )|U =
n
∑
ξi ·
i=1
∂(F ◦ φ−1 )
◦ φ.
∂xi
5. X(F ) ∈ C ∞ (M, Rm ).
Abschließend wollen wir eine Methode kennenlernen, mit der man zwei Vektorfeldern auf M
ein neues Vektorfeld, den sogenannten Kommutator, zuordnen kann.
Nach Definition sind die glatten Vektorfelder auf M insbesondere glatte Abbildungen von
M mit Werten im reellen Vektorraum RN . Dass eine glatte Abbildung X : M → RN
tatsächlich ein Vektorfeld auf M beschreibt, drückt sich in einer zusätzlichen Eigenschaft
22
der Bilder dieser Abbildung aus: X(x) ist tangential an M im Punkt x. Man kann also ein
Vektorfeld X ∈ X(M ), betrachtet als glatte Abbildung X : M −→ RN , in Richtung eines
anderen Vektorfeldes Y ∈ X(M ) ableiten. In der Regel ist dann zwar Y (X) : M −→ RN eine
glatte Abildung, aber kein Vektorfeld auf M mehr, da die Werte Y (X)(x) nicht tangential an
M sind. Diese nichttangentiale ”Störung” kann man beseitigen, indem man die vertauschte
Richtungsableitung wieder abzieht. Es gilt der folgende Satz:
Satz 10.14 Seien X und Y zwei glatte Vektorfelder auf einer n-dimensionalen Untermannigfaltigkeit M ⊂ RN . Dann definiert die glatte Abbildung
[X, Y ] := X(Y ) − Y (X) : M −→ RN
ein Vektorfeld auf M . (Hierbei ist X(Y ) die Richtungsableitung der Abbildung Y : M −→ RN
nach dem Vektorfeld X und Y (X) die Richtungsableitung der Abbildung X : M −→ RN nach
dem Vektorfeld Y ). Sei (U, φ = (x1 , . . . , xn )) eine Karte von M bezüglich derer X bzw. Y
n
n
∑
∑
∂
∂
die lokalen Darstellungen X|U =
ξi ∂x
bzw. Y |U =
ηi ∂x
haben. Dann gilt
i
i
i=1
[X, Y ]|U =
i=1
n
∑
∂
.
(X(ηi ) − Y (ξi ))
∂x
i
i=1
Definition. Seien X und Y zwei glatte Vektorfelder auf einer Untermannigfaltigkeit M .
Das Vektorfeld [X, Y ] heißt Kommutator von X und Y .
Beweis von Satz 10.14: Um zu zeigen, dass [X, Y ] ein Vektorfeld auf M ist, müssen
wir zeigen, dass [X, Y ](x) ∈ Tx M für alle x ∈ M gilt. Dazu betrachten wir die lokalen
Darstellung der Vektorfelder X und Y bzgl. einer beliebigen Karte (U, φ = (x1 , . . . , xn ))
und zeigen, dass auch [X, Y ]|U sich durch die kanonischen Basisfelder dieser Karte darstellen
läßt.
Durch Anwendung der Produktregel für die Richtungsableitung erhält man
(∑
)
(∑
)
n
n
∂
∂
ηi
[X, Y ]|U = X
−Y
ξi
∂xi
∂xi
i=1
i=1
=
n [
∑
X(ηi ) − Y (ξi )
i=1
n [
( ∂ )]
] ∂
( ∂ )
∑
+
− ξi Y
.
ηi X
∂xi i=1
∂xi
∂xi
Es genügt also zu zeigen, daß die letzte Summe verschwindet. Wegen
n [
∑
i=1
n [
( ∂ )
( ∂ )]
∑
∂ ( ∂ )
∂ ( ∂ )]
ηi X
− ξi Y
=
ηi ξj
− ξi ηj
∂xi
∂xi
∂xj ∂xi
∂xj ∂xi
i,j=1
=
=
n
∑
i,j=1
n
∑
i,j=1
η i ξj
( ∂ ( ∂ )
∂ ( ∂ ))
−
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
η i ξj
[ ∂
∂ ]
,
∂xj ∂xi
∂
∂
bleibt zu beweisen, daß für den Kommutator von kanonischen Basisfeldern [ ∂x
, ∂x
]=0
j
i
gilt. Aus der Definition der kanonischen Basisfelder und der Formel für die Richtungsableitung einer Funktion nach einen Basisvektorfeld folgt
[ ∂
)
)
∂ ]
∂ (( ∂φ−1 )
∂ (( ∂φ−1 )
,
=
◦φ −
◦φ
∂xj ∂xi
∂xj
∂xi
∂xi
∂xj
∂ 2 φ−1
∂ 2 φ−1
◦φ−
◦ φ.
=
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
23
Da dies die üblichen partiellen Ableitungen sind und alle Abbildungen glatt sind, folgt die
Behauptung aus dem Symmetrie-Lemma von Schwarz. (Die gleiche Aussage gilt, falls die
Untermannigfaltgkeit und die Vektorfelder mindestens von der Klasse C 2 sind.
2
Folgerung. Für den Kommutator von kanonischen Basisfeldern auf einer C 2 -Untermannigfaltigkeit gilt
[ ∂
∂ ]
,
≡ 0.
∂xi ∂xj
Beispiel: Sei S 2 ⊂ R3 die 2-dimensionale Sphäre im R3 . Wir betrachten die folgenden drei
glatten Vektorfelder auf S 2 :
X(x, y, z) := (−y, x, 0)
,
Y (x, y, z) = (−z, 0, x)
,
Z(x, y, z) = (0, z, −y).
Dann gilt für die Kommutatoren: [X, Y ] = Z , [Y, Z] = X und [Z, X] = Y .
Wir zeigen dies hier nur für den ersten Kommutator: Die Vektorfelder X und Y auf S 2
entstehen durch die Einschränkung glatter Abbildungen auf R3 , die wir der Kürze halber
mit dem gleichem Symbol bezeichnen. In diesem Fall gilt nach Satz 10.8 in p = (x, y, z) ∈ S 2 :
[X, Y ](p) = X(Y )(p) − Y (X)(p) = dYp (X(p)) − dXp (Y (p)) = DYp (X(p)) − DXp (Y (p))


 

t 
t
0 0 −1
−y
0 −1 0
−z
0


 




=  0 0 0   x  −  1 0 0   0  =  z  = Z(p).
1 0 0
0
0 0 0
x
−y





 =
Das folgende nette Bild (es stammt von Thomas Neukirchner) veranschaulicht dies:
,
Den Beweis der folgenden Eigenschaften des Kommutators lassen wir als Übungsaufgabe.
Sie folgen durch stures Anwenden der Rechenregeln für die Richtungsableitung.
Satz 10.15 (Eigenschaften des Kommutators von Vektorfeldern)
Es seien X, Y, Z ∈ X(M ) glatte Vektorfelder und f, g ∈ C ∞ (M ) sowie F ∈ C ∞ (M, Rk )
glatte Funktionen auf einer Untermannigfaltigkeit M . Dann gilt
a) Die Abbildung [·, ·] : X(M ) × X(M ) −→ X(M ) ist R-bilinear und schiefsymmetrisch.
b) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0.
(Jacobi-Identität)
c) [f X, gY ] = f g[X, Y ] + f X(g)Y − gY (f )X.
d) [X, Y ](F ) = X(Y (F )) − Y (X(F )).
24
10.6
Orientierbare und nichtorientierbare Untermannigfaltigkeiten
Man unterscheidet zwei Typen von Mannigfaltigkeiten, die orientierbaren und die nichtorientierbaren. Für die orientierbaren Mannigfaltigkeiten sind viele Begriffe technisch einfacher
zu definieren und zu handhaben. Bevor wir diese beiden Typen von Untermannigfaltigkeiten
definieren, erinnern wir nochmal an den Begriff der Orientierung eines endlich-dimensionalen
reellen Vektorraumes, der aus der Algebra bekannt ist.
Sei V n ein n-dimensionaler reeller Vektorraum und B(V ) die Menge der Basen in V . Seien
(
)
a = (a1 , . . . , an ) und b = (b1 , . . . , bn ) zwei Basen in V und bezeichne Ma,b := Mij ihre
Übergangsmatrix, die durch
n
∑
aj =
Mij bi
i=1
definiert ist.
Wir nennen die Basen a und b gleichorientiert (und schreiben a ∼ b), falls die Determinante
der Übergangsmatrix Ma,b positiv ist. ∼ ist eine Äquivalenzrelation auf B(V ) und der
Faktorraum B(V )/ ∼ hat genau zwei Elemente.
Eine Orientierung OV von V ist eine Äquivalenzklasse OV := [a] von Basen.
Sei (V, OV ) ein orientierter Vektorraum. Eine Basis a = (a1 , . . . , an ) ∈ B(V ) heißt positiv
orientiert, falls a ∈ OV .
Im Vektorraum V = Rn fixieren wir die durch die kanonische Basis gegebene Orientierung
und bezeichnen sie mit ORn , d.h. ORn := [(e1 , . . . , en )] .
Ist speziell V = R2 , dann ist (a1 , a2 ) ∈ OR2 , falls a1 durch eine Drehung gegen den
Uhrzeigersinn um den Winkel φ, mit 0 < φ < π, in ein positives Vielfaches von a2 überführt
werden kann.
Ist V = R3 , so ist (a1 , a2 , a3 ) positiv orientiert, falls die “Rechte–Hand–Regel” gilt.
Ähnlich wie wir das bei den Vektorfeldern getan haben, werden wir den Begriff der
Orientierung nun auf Mannigfaltigkeiten übertragen. Unter einer Orientierung einer Untermannigfaltigkeit M werden wir eine Familie von Orientierungen in jedem Tangentialraum
Tx M von M verstehen, die in einem zu präzisierenden Sinne glatt vom Fußpunkt x des
Tangentialraumes abhängt.
Definition. Sei M n ⊂ RN eine Untermannigfaltigkeit. M n heißt orientierbar, falls eine
Familie von Orientierungen OM = {OTx M }x∈M in den Tangentialräumen existiert, die
lokal um jeden Punkt durch kanonische Basisfelder von Karten der Untermannigfaltigkeit
zu realisieren sind, d.h. für jedes x ∈ M gibt es eine Karte (U, φ = (x1 , . . . , xn )) um x mit
( ∂
)
∂
(y), . . . ,
(y) ∈ OTy M
∂x1
∂xn
für alle y ∈ U .
Eine solche Karte (U, φ) heißt positiv orientiert. Die Familie OM heißt Orientierung von
M . Das Paar (M, OM ) heißt orientierte Untermannigfaltigkeit.
Während jeder endlich-dimensionale reelle Vektorraum genau zwei Orientierungen besitzt,
müssen Mannigfaltigkeiten nicht notwendig orientierbar sein. Man hat das folgende Kriterium für Orientierbarkeit.
25
Satz 10.16 Eine Untermannigfaltigkeit M n ⊂ RN ist genau dann orientierbar, wenn ein
Atlas A auf M existiert, so daß für alle Karten (U, φ), (V, ψ) ∈ A mit U ∩ V ̸= ∅ gilt
(
)
det D(ψ ◦ φ−1 )u > 0
für alle u ∈ φ(U ∩ V )
(∗).
Beweis: (⇒) Sei M orientierbar. Wir definieren
A := {(U, φ) | (U, φ) ist positiv orientierte Karte auf M }.
Aus der Definition der Orientierbarkeit folgt, daß A die Mannigfaltigkeit M überdeckt. Sind
also (U, φ) und (V, ψ) zwei Karten aus A mit U ∩ V ̸= ∅, so ist die Determinante der
Übergangsmatrix der induzierten Basen in Tx M für x ∈ U ∩ V strikt positiv. Nach Satz 10.9
ist diese Determinante gerade durch die Jacobi–Determinante des Koordinatenübergangs
gegeben.
(⇐) Sei A ein Atlas mit der Eigenschaft (*) und (U, φ) ∈ A. Wir definieren Orientierungen
auf den Tangentialräumen durch
[(
)]
∂
∂
OTx M :=
(x), . . . ,
(x) ,
x∈U
∂x1
∂xn
Da die Determinante der Übergangsmatrix zwischen zwei kanonischen Basen von Karten aus
A strikt positiv ist, ist OTx M korrekt definiert und erfüllt die Forderung aus der Definition.
2
Für den Spezialfall von Hyperfächen M n ⊂ Rn+1 hat man das folgende leicht nachprüfbare
Kriterium für Orientierbarkeit:
Satz 10.17 Eine Untermannigfaltigkeit M n ⊂ Rn+1 ist genau dann orientierbar, wenn auf
M ein stetiges Einheitsnormalenvektorfeld existiert, d.h. eine stetige Abbildung
n : M n −→ Rn+1
x 7→ n(x) ∈ Nx M ⊂ Rn+1
mit ∥n(x)∥ = 1 für jedes x ∈ M .
Beweis: (⇒) Sei M orientiert. Sei x ∈ M und (U, φ = (x1 , . . . , xn )) eine positiv orien∂
tierte Karte um x. ∂x
(x) × . . . × ∂x∂n (x) bezeichne das Vektorprodukt der kanonischen
1
Basisvektoren der Karte im Rn+1 . Dann definieren wir
n(x) :=
∂
∂x1 (x)
∂
∥ ∂x
(x)
1
× ... ×
× ... ×
∂
∂xn (x)
.
∂
∂xn (x)∥
Entsprechend der Eigenschaften des Vektorproduktes steht der Vektor n(x) senkrecht auf
dem Tangentialraum Tx M . Die Definition ist korrekt, d.h. unabhängig von der gewählten
positiv orientierten Karte, da für das Vektorprodukt von jeweils n linear unabhängigen
Vektoren a1 , . . . , an bzw. b1 , . . . , bn im Rn+1 , die den gleichen n-dimensionalen Unterraum
aufspannen, gilt
b1 × . . . × bn
a1 × . . . × an
=
∥a1 × . . . × an ∥
∥b1 × . . . × bn ∥
⇐⇒
(a1 , . . . , an ) ∼ (b1 , . . . , bn ).
Die Abbildung n : M −→ Rn+1 ist stetig (sogar glatt), weil die Abbildungen
und ∥ · ∥ es sind.
26
∂
∂xi
=
∂φ−1
∂xi
◦φ
(⇐) Sei eine stetige Abbildung n wie oben gegeben. Wir definieren eine Orientierung
OM = {OTx M }x∈M auf M n durch
(v1 , . . . , vn ) ∈ OTx M
⇐⇒
(v1 , . . . , vn , n(x)) ∈ ORn+1 .
(∗∗)
Sei (U, φ = (x1 , . . . , xn )) eine Karte um x ∈ M mit zusammenhängendem Kartenbereich U .
Aus Stetigkeitsgründen hat die Determinante der (n + 1) × (n + 1) - Matrix
( ∂
)
∂
(y), . . . ,
(y), n(y)
∂x1
∂xn
in jedem Punkt y ∈ U das gleiche Vorzeichen. Ist dies Vorzeichen positiv, so ist die Karte
(U, φ) positiv orientiert. Ist dies Vorzeichen negativ, so ersetzt man die Karte (U, φ) durch
die Karte (U, φ̃ = (−x1 , x2 , . . . , xn )) und erhält dadurch eine positiv orientierte Karte.
Folglich definiert (**) tatsächlich eine Orientierung von M .
2
Beispiel 1: Die Sphäre
Die n–dimensionale Sphäre S n ⊂ Rn+1 ist orientierbar, denn die Abbildung
x
n : S n −→ Rn+1 , definiert durch n(x) = ∥x∥
, ist ein stetiges Einheitsnormalenvektorfeld
n
auf S .
Beispiel 2: Das Möbiusband
Nimmt man ein langes Band, verdreht eines der Enden einmal und klebt es dann zusammen, so entsteht das sogenannte Möbiusband im R3 . Dies ist eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand,
die nicht orientierbar ist. Um das zu sehen, betrachtet man die Mittellinie, die um das Möbiusband herumläuft. Nimmt man einen beliebigen Normalenvektor in einem Punkt dieser Mittellinie und schlendert entlang der Mittellinie einmal um das Möbiusband herum, wobei man den Normalenvektor stetig
mitführt, so landet man im Ausgangspunkt beim negativen Normalenvektor. Es kann also kein stetiges
Normalenfeld geben.
............................................................................
...............
...........
...........
........
.
.
.
.
.
.
......
.
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....
...
...
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......................
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....... .....
... .......
..... ..
.........
......
......
....
.......
.....
.
.
.
.
..........
.
.
.
..
..............
...........
................
..................
I
.........
...
............@
.
.
.
..
.
.
.
.
.
...... .....
....
@
...
.
.....
...
@
..............
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.....
..
...
......
R
.....
....@
........
.....
......
.....
.............................
...................................
Beispiel 3: Gleichungsdefinierte Hyperflächen
Sei U ⊂ Rn+1 offen, F : U −→ R eine C ∞ –Abbildung, M = F −1 (0) und dFx ̸= 0 für
alle x ∈ M . Dann ist M eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn+1 . Für den
Normalenraum gilt Nx M = R · gradF (x) (siehe Abschnitt 11.2). Die Hyperflache M ist
orientierbar, denn durch
n(x) :=
grad F (x)
∥grad F (x)∥
ist ein stetiges Einheitsnormalenvektorfeld auf M gegeben.
27
10.7
Die induzierte Riemannsche Metrik einer Untermannigfaltigkeit
Wie im Rn möchte man auch auf Untermannigfaltigkeiten ”Geometrie betreiben”, d.h. z.B.
Längen von Kurven, Abstände zwischen Punkten oder Volumen von Teilmengen definieren
und berechnen können. Grundlegend für alle geometrischen Begriffe und Untersuchungen ist
der Begriff der Riemannschen Metrik. Aus der Riemannschen Metrik kann man alles andere
definieren und herleiten. Man kann sehr verschiedene Riemannsche Metriken auf Mannigfaltigkeiten definieren. Für die Untermannigfaltigkeiten, die in diesem Kapitel studiert werden,
beschränken wir uns auf die sogenannte ”induzierte Riemannsche Metrik”, die aus dem Euklidischen Skalarprodukt des Einbettungsraumes entsteht.
Sei M n eine Untermannigfaltigkeit im RN . Auf dem RN ist das Euklidische Skalarprodukt
⟨a, b⟩ :=
N
∑
ai · bi
a = (a1 , . . . , aN ) , b = (b1 , . . . , bN )
i=1
gegeben. ⟨·, ·⟩ induziert ein Skalarprodukt auf jedem Unterraum Tx M ⊂ RN .
Definition. Sei M ⊂ RN eine Untermannigfaltigkeit und gx : Tx M × Tx M −→ R das
Skalarprodukt
gx (a, b) := ⟨a, b⟩.
Die Familie g = {gx }x∈M dieser Skalarprodukte heißt induzierte Riemannsche Metrik auf
M.
Definition. Sei (U, φ = (x1 , . . . , xn )) eine Karte auf M um x. Wir betrachten die symmetrische, positiv–definite (n × n)–Matrix
( ( ∂
(⟨ ∂
⟩)
(
)
))
∂
∂
gij (x) i,j := gx
(x),
(x)
=
(x),
(x)
.
∂xi
∂xj
∂xi
∂xj
i,j
i,j
Die Funktionen gij ◦ φ−1 : φ(U ) ⊂ Rn −→ R heißen lokale Koeffizienten der Metrik g
bezüglich der Karte (U, φ).
Beispiel 1: Die Matrix der induzierten Riemannschen Metrik in Euklidischen Koordinaten:
Sei M eine offene Teilmenge des Rn . Wir betrachten auf M die Karte, die durch die Euklidischen Koordinaten gegeben wird: φ(x) = (x1 , . . . , xn ). Für die kanonische Basis gilt dann
∂
n
∂xi (x) = ei ∈ Tx M = R . Folglich gilt
gij (x) = ⟨ei , ej ⟩ = δij ,
(
)
das heißt die Matrix der Metrik ist die Einheitsmatrix gij (x) = In .
Beispiel 2: Die Matrix der induzierten Riemannschen Metrik in Polarkoordinaten:
Wir betrachten Polarkoordinaten auf R2 .
Sei Φ : R+ × (0, 2π) −→ U = R2 \ {(x, 0) | x ∈ R≥0 } ⊂ R2 die Parametrisierung durch
Polarkoordinaten
Φ(r, u) = (r cos u, r sin u)
Für die Karte (U, Φ−1 ) gilt dann in x = Φ(r, u)
∂Φ
∂
(x) =
(r, u) = (cos u, sin u)
∂r
∂r
bzw.
28
∂
∂Φ
(x) =
(r, u) = (−r sin u, r cos u) .
∂u
∂u
Somit erhält man
⟨∂
⟩
⟨∂
⟩
⟨ ∂
⟩
∂
∂
∂
(x), (x) = 1,
(x),
(x) = 0 und
(x),
(x) = r2 .
∂r
∂r
∂r
∂u
∂u
∂u
Die Matrix der induzierten Riemannschen Metrik in Polarkoordinaten hat folglich die Gestalt
(
)
(
)
1 0
gij (Φ(r, u)) =
.
0 r2
Beispiel 3: Die Matrix der induzierten Riemannschen Metrik auf der Sphäre S 2 in sphärischen Koordinaten:
Seien Φ : (0, 2π) × (− π2 , π2 ) −→ S 2 die sphärischen Koordinaten
Φ(u, v) = (cos u cos v, sin u cos v, sin v).
Dann gilt in x = Φ(u, v) für die kanonischen Basisvektoren der durch diese Parametrisierung
definierten Karte Φ−1
∂Φ
∂
(x) =
(u, v) = (− sin u cos v, cos u cos v, 0) ,
∂u
∂u
∂
∂Φ
(x) =
(u, v) = (− cos u sin v, − sin u sin v, cos v) .
∂v
∂v
Somit erhält man
⟨ ∂
⟩
∂
(x),
(x) = cos2 v,
∂u
∂u
⟨ ∂
⟩
⟨∂
⟩
∂
∂
(x),
(x) = 0 und
(x),
(x) = 1.
∂u
∂v
∂v
∂v
Die Matrix der induzierten Metrik auf S 2 hat in sphärischen Koordinaten folglich die Gestalt
(
)
(
)
cos2 v 0
gij (Φ(u, v)) =
.
0
1
10.8
Gradient, Divergenz und Laplace–Operator auf
Untermannigfaltigkeiten
Die induzierte Riemannsche Metrik liefert in jedem Tangentialraum Tx M ein nichtausgeartetes positiv definites Skalarprodukt gx . Mit seiner Hilfe kann man in völliger Analogie
zum Rn den Gradienten von Funktionen, die Divergenz von Vektorfeldern und den Laplace–
Operator auf Funktionen auch für Untermannigfaltigkeiten definieren. Diese Begriffe werden
später in den Integralsätzen (siehe Abschnitt 10.11.) eine Rolle spielen.
Sei f : M −→ R eine glatte Funktion auf einer Untermannigfaltigkeit M . Dann ist das
Differential dfx : Tx M −→ R eine lineare Abbildung auf dem Euklidischen Vektorraum
(Tx M, gx ). Wie man aus der Linearen Algebra weiß, entspricht dieser linearen Abbildung
ein eindeutig bestimmter ”dualer” Vektor in Tx M . Dies definiert den Gradienten von f :
Definition. Sei M ⊂ RN eine Untermannigfaltigkeit mit ihrer induzierten Riemannschen
Metrik und f : M −→ R eine glatte reellwertige Funktion auf M . Der Gradient von f ist
das Vektorfeld
grad f : M −→ RN
auf M , das jedem Punkt x ∈ M den zur Linearform dfx dualen Vektor grad f (x) ∈ Tx M
zuordnet, d.h.:
gx (grad f (x), a) := df x (a)
∀ a ∈ Tx M.
29
Der folgende Satz gibt die lokale Darstellung des Gradienten in der kanonischen Basis einer
Karte an und zeigt insbesondere die Glattheit der Abbildung grad f .
Satz 10.18 Sei f ∈ C ∞ (M n ) und (U, φ = (x1 , . . . , xn )) eine Karte von M . Es bezeichne
(
)
fˆ := f ◦ φ−1
: φ(U ) −→ R die )Kartendarstellung von f und g ij (x) die inverse Matrix zu
(
(
)
( ∂
)
∂
gij (x) = gx ∂x
(x), ∂x
(x) . Dann gilt über dem Kartenbereich U
i
j
grad f |U =
n
∑
g ij ·
i,j=1
n
( ∂ fˆ
) ∂
∑
∂
∂
(f ) ·
=
g ij ·
◦φ ·
,
∂xi
∂xj
∂xi
∂xj
i,j=1
Beweis: Wir berechnen für x ∈ U und jedes α ∈ {1, . . . , n}
df x
n
( ∂
)
∑
∂(f ◦ φ−1 )
∂(f ◦ φ−1 )
(x) =
(φ(x)) =
(φ(x)) δiα
∂xα
∂xα
∂xi
i=1
=
n
∑
∂(f ◦ φ−1 )
(φ(x)) · g ij (x) · gjα (x)
∂x
i
i,j=1
n
( ∂
)
∑
∂(f ◦ φ−1 )
∂
(φ(x)) · g ij (x) · gx
(x),
(x)
∂xi
∂xj
∂xα
i,j=1
(∑
)
n
) ∂
∂ fˆ (
∂
ij
= gx
g (x) ·
φ(x) ·
(x),
(x) .
∂xi
∂xj
∂xα
i,j=1
=
Andererseits ist nach Definition
(
)
( ∂
)
∂
gx grad f (x),
(x) = df x
(x) .
∂xα
∂xα
Die Behauptung folgt dann aus der Nichtausgeartetheit des Skalarprodukts.
2
Beispiel 1: Der Gradient einer Funktion in Euklidischen Koordinaten:
Sei U eine offene Teilmenge des Rn und f : U −→ R eine differenzierbare Abbildung. Wir
bestimmen die Darstellung des Gradienten von f in der durch die Euklidischen Koordinaten
gegebenen Karte φ(x) = (x1 , . . . , xn ). Wie wir im vorigen Abschnitt gesehen haben, ist
die Martix der induzierten Riemannschen Metrik gezüglich dieser Karte die Einheitsmatrix:
(
)
(
)
∂
gij (x) = g ij (x) = In und ∂x
(x) = ei . Für den Gradienten gilt also in Euklidischen
i
Koordinaten
grad f (x) =
n
( ∂f
)
∑
∂f
∂
∂f
(x) ·
(x) =
(x), . . . ,
(x) .
∂xi
∂xi
∂x1
∂xn
i=1
Beispiel 2: Der Gradient von f : U ⊂ R2 −→ R in Polarkoordinaten:
Es sei Φ(r, u) := (r cos u, r sin u) die Parametrisierung durch Polarkoordinaten. Im letzten
Abschnitt haben wir die Matrix der induzierten Riemannschen Metrik in der durch diese Parametrisierung gegebenen Karte Φ−1 bestimmt. Sei x = Φ(r, u) und bezeichne zur
Abkürzung fˆ := f ◦ Φ die Kartendarstellung von f . Dann gilt
)
(
)
(
(
)
( ij
1 0
1 0
gij (x) =
und g (x)) =
0 r2
0 r12
und
grad f (x) =
∂
1 ∂ fˆ
∂
∂ fˆ
(r, u) ·
(x) + 2
(r, u) ·
(x).
∂r
∂r
r ∂u
∂u
30
Beispiel 3: Der Gradient einer Funktion f : S 2 −→ R in sphärischen Koordinaten:
Es sei Φ(u, v) := (cos u cos v, sin u cos v, sin v) die lokale Parametrisierung der Sphäre durch
sphärische Koordinaten. Sei x = Φ(u, v) und fˆ = f ◦ Φ die Kartendarstellung von f in
diesen Koordinaten. Für die Matrix der induzierten Riemannschen Metrik in der durch die
spärischen Koordinaten definierten Karte gilt entsprechend dem vorigen Abschnitt
(
)
(
)
1
(
)
cos2 v 0
2v 0
ij
cos
gij (x) =
und (g (x)) =
.
0
1
0 1
Für den Gradienten gilt folglich
grad f (x) =
1 ∂ fˆ
∂
∂ fˆ
∂
(u,
v)
·
(x)
+
(u, v) ·
(x).
cos2 v ∂u
∂u
∂v
∂v
Der Gradient ordnet jeder Funktion auf M ein Vektorfeld zu. Als nächstes betrachten wir
den umgekehrten Prozess. Wir ordnen jedem Vektorfeld eine Funktion zu.
Definition. Sei X ein glattes Vektorfeld auf der Untermannigfaltigkeit M n ⊂ RN . Die
Divergenz von X ist die Funktion div(X) ∈ C ∞ (M ), die jedem Punkt x ∈ M die Zahl
div (X)(x) :=
n
∑
⟨ai (X), ai ⟩,
i=1
zuordnet, wobei (a1 , . . . , an ) eine orthonormale Basis im Euklidischen Vektorraum (Tx M, gx )
ist und ai (X) ∈ RN die Richtungsableitung der Abbildung X : M −→ RN in Richtung des
Vektors ai bezeichnet.
Man überzeugt sich schnell davon, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der
orthonormalen Basis (a1 , . . . , an ) ist. Somit ist div (X) korrekt definiert.
Wir wollen auch die Divergenz durch lokale Koordinaten beschreiben. Um dies zu tun,
beweisen wir zunächst ein hilfreiches Lemma
2
Lemma. Sei U : I ⊂ R −→ GL(n, R) ⊂ Rn eine differenzierbare Abbildung mit Werten in
der Gruppe der invertierbaren Matrizen. Dann gilt
d
ln(det U (s)) = Spur (U −1 (s) ◦ U ′ (s))
ds
für alle s ∈ I.
Beweis: Aus der Vorlesung Analysis II* kennen wir das Differential der Determinatenfunktion (siehe Kapitel 6.1). In der Einheitsmatrix E ∈ GL(n, R) gilt
D(det)E (X) = Spur(X) für alle Matrizen X ∈ M (n, R).
(∗)
Aus der Kettenregel folgt dann für s0 ∈ I
)
[
])
d(
1
d(
KR
ln(det(U (s))) |s=s0 =
·
det U (s0 ) ◦ U (s0 )−1 ◦ U (s) |s=s0
ds
det(U (s0 )) ds
[
])
d(
=
det U (s0 )−1 ◦ U (s) |s=s0
ds
[
]
KR
= D(det)E U (s0 )−1 ◦ U ′ (s0 )
[
]
(∗)
= Spur U (s0 )−1 ◦ U ′ (s0 ) .
31
2
Folgerung. Sei (U, φ = (x1 , . . . , xn )) eine Karte einer Untermannigfaltigkeit M und bezeichne G := (gij ) : U → GL(n, R) die Matrix der induzierten Riemannschen Metrik bzgl.
dieser Karte. Dann gilt
(
)
∂
∂
(ln det(G)) = Spur G−1 ◦
(G) .
∂xi
∂xi
Beweis: Wir betrachten die i-te Kordinatenlinie γi : I → U durch x ∈ U mit γi (0) = x
∂
∂
d
(x). Dann gilt ∂x
(G)(x) = ds
und γi′ (0) = ∂x
(G(γi (s))|s=0 und die Behautpung folgt
i
i
durch Anwendung des gerade bewiesenen Lemmas auf die Matrizenkurve s ∈ I → U (s) :=
G(γi (s)).
2
Wir beweisen jetzt folgende lokale Formel für die Divergenz eines Vektorfeldes, die auch die
Glattheit von div(X) zeigt:
Satz 10.19 Sei X ein glattes Vektorfeld auf einer Untemannigfaltigkeit M . Wir betrachten
n
∑
∂
in einer Karte (U, φ = (x1 , . . . , xn )) von M die lokale Darstellung X|U =
ξ i ∂x
von
i
i=1
(
)
( ∂
)
∂
X, die Matrix der induzierten Riemannschen Metrik gij (x) = ⟨ ∂xi (x), ∂xj (x)⟩ und
(
)
(
)−1
ihre inverse Matrix g ij (x) := gij (x)
. Desweiteren bezeichne θ(x) := det (gij (x)) die
Determinante von (gij (x)). Dann gilt über dem Kartenbereich U
n
√
1 ∑ ∂
div (X)|U = √
(ξ i θ).
θ i=1 ∂xi
∂
Beweis: Sei x ∈ U und ( ∂x
(x), . . . , ∂x∂n (x)) die durch die gegebene Karte induzierte kanoni1
sche Basis in Tx M . Wir orthonormieren diese Basis mit dem Erhard-Schmidtschen Orthonormierungsverfahren und erhalten eine ON-Basis (a1 (x), . . . , an (x)) in (Tx M, gx ). Die Vektoren
n
∑
ai (x), x ∈ U , definieren ein glattes Vektorfeld ai ∈ X(U ). Es gilt ai (x) =
Aki (x) ∂x∂ k (x)
k=1
für eine Matrix A(x) = (Aki (x)). Sei weiterhin E die Einheitsmatrix und G(x) := (gij (x)) .
Die Matrizen G(x) und A(x) hängen folgendermaßen zusammen:
E = (g(ai , aj )) =
n
( ∑
)
Aki gkl Alj = At ◦ G ◦ A,
also G−1 = A ◦ At .
k,l=1
Insbesondere gilt
g ij = (A ◦ At )ij .
(∗)
Für die Divergenz erhalten wir nach Definition
div (X)|U =
n
n
⟨ ∂
∑
∑
∂ ⟩
⟨ai (X), ai ⟩ =
Aki
(X),
Ali
∂xk
∂xl
i=1
i,k,l=1
=
=
n (∑
n
∑
k,l=1
n
∑
k,l=1
)⟨ ∂
∂ ⟩
(X),
Aki Ali
∂xk
∂xl
i=1
(A ◦ At )kl
n
⟨ ∂
∂ ⟩ (∗) ∑ kl ⟨ ∂
∂ ⟩
(X),
=
g
(X),
.
∂xk
∂xl
∂xk
∂xl
k,l=1
Nun setzen wir für X die Basisdarstellung X =
n
∑
i=1
∂
ξ i ∂x
ein und benutzen die Recheni
regeln für die Richtungsableitung. Außerdem werden wir in der folgenden Rechnung die
Vertauschbarkeit der Richtungsableitungen von kanonischen Basisfeldern entsprechend der
Formel
[ ∂
∂ ]
∂ ( ∂ )
∂ ( ∂ )
,
=
−
=0
∂xk ∂xj
∂xk ∂xj
∂xj ∂xk
32
benutzen. Damit erhalten wir
n
(⟨ ∂
⟨ ∂ ( ∂ ) ∂ ⟩)
∑
∂
∂ ⟩
div (X)|U =
g kl
(ξj ) ·
,
+ ξj
,
∂xk
∂xj ∂xl
∂xk ∂xj ∂xl
=
=
j,k,l=1
n
[
∑
j,k,l=1
n
∑
j=1
⟨ ∂ ( ∂ ) ∂ ⟩]
∂
(ξj )g kl gjl + ξj g kl
,
∂xk
∂xj ∂xk ∂xl
n
n
⟨ ∂ ( ∂ ) ∂ ⟩
∑
∑
∂
g kl
(ξj ) +
ξj
,
(∗∗),
∂xj
∂xj ∂xk ∂xl
j=1
k,l=1
wobei wir in der vorletzten Zeile im 2. Summanden die Indizes j und k entsprechend dem
oben gesagten vertauscht haben. Den 2. Summanden formen wir weiter um. Dazu zerlegen
wir ihn in zwei gleiche Teile und benennen im 2. Teil die Indizes k und l um. Außerdem
benutzen wir die Symmetrie der Metrik, die Ableitungsregel für das Skalarprodukt von
vektorwertigen Funktionen und die vorhergehende Folgerung aus.
n
n
n
⟨ ∂ ( ∂ ) ∂ ⟩
∑
1 ∑ kl ⟨ ∂ ( ∂ ) ∂ ⟩ 1 ∑ lk ⟨ ∂ ( ∂ ) ∂ ⟩
kl
g
g
g
,
=
,
+
,
∂xj ∂xk ∂xl
2
∂xj ∂xk ∂xl
2
∂xj ∂xl ∂xk
k,l=1
1
2
=
1
2
=
1
2
=
Folg.
=
=
k,l=1
n
∑
k,l=1
n
∑
k,l=1
n
∑
k,l=1
l,k=1
n
⟨ ∂ ( ∂ ) ∂ ⟩ 1 ∑
⟨ ∂
∂ ( ∂ )⟩
g kl
g kl
,
,
+
∂xj ∂xk ∂xl
2
∂xk ∂xj ∂xl
l,k=1
g kl
∂ (⟨ ∂
∂ ⟩)
,
∂xj
∂xk ∂xl
g kl
(
)
∂
1
∂
(gkl ) = Spur G−1 ◦
(G)
∂xj
2
∂xj
1 ∂
(ln(det G))
2 ∂xj
√
1 ∂
∂
1 ∂ √
(ln(θ)) =
(ln θ) = √
( θ)
2 ∂xj
∂xj
θ ∂xj
Mit (∗∗) folgt schließlich
div (X)|U =
n [
∑
∂ √ ]
1 ∑ ∂ √
∂
1
(ξ j ) + √ · ξ i
( θ) = √ ·
( θ · ξ j ).
∂x
∂x
∂x
θ
θ
j
j
j
j=1
j=1
2
Wir betrachten auch wieder unsere 3 Beispiele:
Beispiel 1: Die Divergenz eines Vektorfeldes in Euklidischen Koordinaten:
Sei U ⊂ Rn offen und φ(x) = (x1 , . . . , xn ) die Euklidischen Koordinaten. Dann ist eine
∂
orthonormale Basis im Tangentialraum von x gegeben durch ∂x
(x) = ei , i = 1, . . . , n. Sei
i
n
∑
∂
X ein Vektorfeld auf U mit X = (ξ1 , . . . , ξn ) =
ξi ∂x
. Dann gilt
i
i=1
div (X)(x) =
n
∑
n
∑
i=1
i=1
⟨ei (X), ei ⟩Rn =
ei (ξi ) =
n
∑
∂ξi
(x).
∂x
i
i=1
Beispiel 2: Die Divergenz eines Vektorfeldes auf R2 in Polarkoordinaten:
Sei Φ(r, u) = (r cos u, r sin u) die Parametisierung durch Polarkoordinaten, x = Φ(r, u) und
∂
∂
X(x) = ξ1 (r, u) ∂r
(x) + ξ2 (r, u) ∂u
(x). Es gilt θ(x) = r2 . Folglich ist
(
)
∂(rξ2 )
∂ξ1
1
∂ξ2
1 ∂(rξ1 )
(r, u) +
(r, u) =
(r, u) + ξ1 (r, u) +
(r, u).
div (X)(x) =
r
∂r
∂u
∂r
r
∂u
33
Beispiel 3: Die Divergenz eines Vektorfeldes X auf der Sphäre S 2 in sphärischen Koordinaten:
Sei Φ(u, v) = (cos u cos v, sin u cos v, sin v) die Parametrisierung durch sphärische Koordi∂
∂
naten, x = Φ(u, v) und X(x) = ξ1 (u, v) ∂u
(x) + ξ2 (u, v) ∂v
(x) die lokale Darstellung des
Vektorfeldes X in den sphärischen Koordinaten. Dann gilt θ(x) = cos2 v . Folglich ist
(
)
1
∂(cos v ξ1 )
∂(cos v ξ2 )
div (X)(x) =
(u, v) +
(u, v)
cos v
∂u
∂v
∂ξ1
sin v
∂ξ2
=
(u, v) −
ξ2 (u, v) +
(u, v).
∂u
cos v
∂v
Als letztes definieren wir den Laplace-Operators für Funktionen auf Untermannigfaltigkeiten.
Definition. Sei M ⊂ RN eine Untermannigfaltigkeit und f : M −→ R eine glatte reellwertige Funktion auf M . ∆ sei der folgende Operator auf C ∞ (M ):
∆ : C ∞ (M ) −→ C ∞ (M )
f 7−→ div (grad f ).
Der Operator ∆ heißt Laplace–Operator.
In lokalen Koordinaten läßt sich der Laplace–Operator folgendermaßen ausdrücken.
Satz 10.20 Sei M ⊂ RN eine Untermannigfaltigkeit, (U, φ = (x1 , . . . , xn )) eine Karte auf
M und f ∈ C ∞ (M ). Dann gilt mit den gleichen Bezeichnungen wie in Satz 10.19
(
)
n
√
1 ∑ ∂
∂
ij
√
∆(f )|U =
θ·
(f ) · g
.
∂xi
θ i,j=1 ∂xj
Beweis: Gemäß Definition ist ∆(f ) = div (grad f ). Aus den Sätzen 10.18 und 10.19 (lokale
Darstellung von div und grad) folgt über dem Kartenbereich U
∆(f )|U = div
1
= √
θ
(
)
n
n
) ∂ )
∂
1 ∑ ∂ √ ∑ ij ∂
√
g
(f )
=
(f )
θ
g
∂xi
∂xj
∂xi
θ j=1 ∂xj
j=1 i=1
i=1
(
)
n
∑
√ ∂
∂
θ
(f )g ij .
∂xj
∂xi
i,j=1
(∑
n (∑
n
ij
2
Beispiel 1: Der Laplace–Operator in Euklidischen Koordinaten:
Sei M = Rn und seien φ(x) = (x1 , . . . , xn ) die Euklidischen Koordinaten. Dann gilt
∆(f ) =
n
∑
∂2f
j=1
∂x2j
.
Beispiel 2: Der Laplace–Operator in Polarkoordinaten auf R2 :
Seien Φ(r, u) = (r cos u, r sin u) die Polarkoordinaten, x = Φ(r, u) und fˆ := f ◦ Φ die
Kartendarstellung von f . Dann gilt
∆(f )(x) =
1 ∂ fˆ
1 ∂ 2 fˆ
∂ 2 fˆ
(r,
u)
+
(r,
u)
+
(r, u).
∂r2
r ∂r
r2 ∂u
34
Beispiel 3: Der Laplace–Operator auf S 2 in sphärischen Koordinaten.
Sei Φ(u, v) = (cos u cos v, sin u cos v, sin v) die Parametrisierung durch sphärische Koordinaten, x = Φ(u, v) und fˆ := f ◦ Φ die Kartendarstellung der Funktion f in den sphärischen
Koordinaten. Dann gilt
∆(f )(x) =
1 ∂ 2 fˆ
∂ 2 fˆ
∂ fˆ
(u,
v)
+
(u,
v)
−
tan
v
(u, v).
cos2 v ∂u
∂v
∂v
Abschließend beweisen wir einige Produktregeln für den Gradienten, die Divergenz und den
Laplace-Operator.
Satz 10.21 (Produktregeln) Sei M eine Untermannigfaltigkeit, f, h ∈ C ∞ (M ) und X
ein glattes Vektorfeld auf M . Dann gilt
1. grad (f · h) = f · grad (h) + h · grad (f ),
2. div (f · X) = f · div (X) + X(f ),
3. ∆(f · h) = f · ∆(h) + h · ∆(f ) + 2⟨ grad (f ), grad (h) ⟩.
Beweis: 1.) Sei Y ein beliebiges Vektorfeld auf M . Für die Richtungsableitung gilt dann
⟨ grad (f · h), Y ⟩ = Y (f · h) = h · Y (f ) + f · Y (h) = ⟨h · grad (f ) + f · grad (h), Y ⟩.
Die Behauptung folgt aus der Nichtausgeartetheit der durch ⟨·, ·⟩ induzierten Riemannschen
Metrik auf den Tangentialräumen von M .
2.) Wir wählen ein lokales orthonormales Basisfeld (a1 , . . . , an ) über einem Kartengebiet
n
∑
U ⊂ M . Dann läßt sich das Vektorfeld X über U in dieser Basis durch X|U :=
⟨X, ai ⟩ai
i=1
ausdrücken. Über der beliebig gewählten Karte U gilt dann nach den Produktregeln für die
Richtungsableitung
div (f · X) =
n
∑
⟨ai (f · X), ai ⟩ =
i=1
=
n
∑
n
∑
⟨ai (f ) · X + f · ai (X), ai ⟩
i=1
⟨X, ai ⟩ ai (f ) + f · ⟨ai (X), ai ⟩
i=1
= X(f ) + f · div (X).
3.) Es gilt
1.)
∆(f · h) = div (grad (f · h)) = div (h · grad (f ) + f · grad (h))
2.)
= grad (f )(h) + h · ∆f + grad (h)(f ) + f · ∆h
= 2⟨grad (h), grad (f )⟩ + h · ∆f + f · ∆h.
2
35
10.9
Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten
Auf die gleiche Weise wie bei den Vektorfeldern und Orientierungen kann man auch die
alternierenden multilinearen Abbildungen von Vektorräumen auf Mannigfaltigkeiten übertragen. Man erhält die sogenannten Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten, die wir in
diesem Abschnitt definieren und behandeln wollen. Mittels dieser Differentialformen werden
wir in den darauf folgenden Abschnitten Maße für orientierte Mannigfaltigkeiten definieren
und die Eigenschaften der dadurch entstehenden Integrale untersuchen. Differentialformen
spielen eine wichtige Rolle bei der Modellierung mathematischer und physikalischer Probleme. Man kann mit ihrer Hilfe z.B. Krümmungen in der Geometrie beschreiben oder auch
analytische Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten charakterisieren.
10.9.1
Algebraische Vorbereitungen
Bevor wir die Differentialformen definieren, stellen wir einige Begriffe und Fakten aus der
Linearen Algebra zusammen.
Sei V ein n–dimensionaler reeller Vektorraum. Eine alternierende k–Form auf V ist eine
Abbildung ω : V × . . . × V −→ R mit den Eigenschaften
|
{z
}
k−mal
1. ω ist multilinear, d.h. linear in jeder Komponente, und
2. ω ist alternierend, d.h. es gilt
ω(vπ(1) , . . . , vπ(k) ) = sgn(π) · ω(v1 , . . . , vk )
für jede Permutation π ∈ Sk und alle Vektoren v1 , . . . , vk ∈ V .
Insbesondere ändert sich das Vorzeichen, wenn man zwei in ω eingesetzte Vektoren
vertauscht.
Mit Λk V ∗ bezeichnet man den Vektorraum der alternierenden k–Formen auf V . Die Zahl
k heißt der Grad der alternierenden Form ω ∈ Λk V ∗ und wird mit deg(ω) bezeichnet. Für
die 1-Formen gilt Λ1 V ∗ = V ∗ .
Durch die folgende Operation kann man zwei alternierenden Multilinearformen eine neue
solche Form zuordnen:
Λk V ∗ × Λl V ∗ −→ Λk+l V ∗
7−→
(ω, σ)
ω∧σ
wobei
∑
1
sgn(π) · ω(vπ(1) , . . . , vπ(k) ) · σ(vπ(k+1) , . . . , vπ(k+l) )
k! · l!
π∈Sk+l
∑
=
sgn(π) · ω(vπ(1) , . . . , vπ(k) ) · σ(vπ(k+1) , . . . , vπ(k+l) ).
(ω ∧ σ)(v1 , v2 , . . . , vk+l ) :=
π∈Sk+l ,
π(1)<...<π(k),
π(k+1)<...<π(k+l)
(Sk+l bezeichnet hier die Gruppe der Permutationen der Zahlen 1, . . . , k + l.)
ω ∧ σ heißt das alternierende Produkt oder das wedge-Produkt von ω und σ. Es gilt
a) ∧ ist bilinear,
b) ∧ ist assoziativ,
c) ω ∧ σ = (−1)deg(ω)·deg(σ) σ ∧ ω.
Insbesondere gilt für 1-Formen σ1 , σ2 , σ ∈ Λ1 V ∗ : σ1 ∧ σ2 = −σ2 ∧ σ1 und σ ∧ σ = 0.
36
Sei (a1 , . . . , an ) eine Basis in V und bezeichne (σ 1 , . . . , σ n ) die dazu duale Basis in V ∗ , d.h.
es gelte σ i (aj ) = δij . Für i1 , . . . , ik ∈ {1, . . . , n} ist σ i1 ∧ . . . ∧ σ ik eine alternierende k-Form,
die verschwindet, wenn zwei der Indizes gleich sind. Sind alle Indizes i1 , . . . , ik voneinander
verschieden, so gilt
{
(
)
k
Permutation
sgn(π) wenn π := ji11 ···i
i1
ik
···jk
(σ ∧ . . . ∧ σ )(aj1 , . . . , ajk ) =
0
sonst.
Für zwei k-Formen ω, σ ∈ Λk V ∗ erhält man aus den Eigenschaften multilinear und alternierend:
ω = σ ⇐⇒ ω(ai1 , . . . , aik ) = σ(ai1 , . . . , aik ) ∀ 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n.
Insbesondere kann man jede k-Form ω ∈ Λk V ∗ in der Form
∑
ω=
ω(ai1 , . . . , aik ) · σ i1 ∧ . . . ∧ σ ik
(∗)
I=(1≤i1 <...<ik ≤n)
darstellen. Die k-Formen
{σ i1 ∧ . . . ∧ σ ik | 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n}
bilden somit eine Basis im Vektorraum der k-Formen Λk V ∗ . Insbesondere ist die Dimension
( )
des Raumes der k-Formen eines n-dimensionalen Vektorraumes durch dim Λk V ∗ = nk zu
berechnen. Die Zahlen ω(ai1 , . . . , aik ) =: ωi1 ...ik ∈ R in der Basisdarstellung (∗) heißen
Komponenten von ω bezüglich der Basis (σ 1 , . . . , σ n ) .
Wir werden im folgenden oft die folgende Abkürzung benutzen:
Ist I = (1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n) ein geordneter Multiindex. Dann bezeichne
ωI := ω(ai1 , . . . , aik )
und σ I := σ i1 ∧ . . . ∧ σ ik .
Wir schreiben also die Basisdarstellung von ω in der Kurzform
∑
ω=
ωI σ I .
I
Abschließend erinnern wir noch an die folgende Rechenregel für n-Formen eines ndimensionalen Vektorraumes:
Sei ω ∈ Λn V ∗ eine n-Form auf einem n-dimensionalen Vektorraum V , seien (a1 , . . . , an )
und (b1 , . . . , bn ) Basen in V und bezeichne B = (Bij ) die Übergangsmatrix zwischen diesen
∑
Basen, d.h. aj =
Bij bi . Dann gilt
i
ω(a1 , . . . , an ) = det(B) · ω(b1 , . . . , bn ).
10.9.2
Differentialformen und der Lokalisierungssatz
Wir wollen nun diese alternierenden Multilinearformen von Vektorräumen auf Untermannigfaltigkeiten M übertragen. Dazu liegt es nahe, wie bei den Vektorfeldern und den
Orientierungen, Familien von alternierenden Multilinearformen in den Tangentialräumen
Tx M von M zu betrachten, die in einem noch zu präzisierenden Sinne glatt vom Fußpunkt
x abhängen.
37
Definition. Eine Familie {ωx }x∈M von alternierenden k–Formen ωx ∈ Λk Tx∗ M heißt glatt,
falls die Funktion
x ∈ M −→ ωx (X1 (x), . . . , Xk (x)) ∈ R
glatt ist für alle glatten Vektorfelder X1 , . . . Xk ∈ X(M ).
Wir werden diese glatten Familien von alternierenden k-Formen jetzt auf eine andere Weise
beschreiben und mit dem Lokalisierungssatz dann feststellen, dass es sich um die gleichen
Objekte handelt.
Definition. Eine Differentialform vom Grad k (kurz k–Form) auf einer Untermannigfaltigkeit M ist eine Abbildung
ω : X(M ) × . . . × X(M ) −→ C ∞ (M ),
|
{z
}
k–mal
mit den Eigenschaften:
1. ω ist additiv in jeder Komponente,
2. ω(X1 , . . . , Xi−1 , f Xi , Xi+1 , . . . , Xk ) = f · ω(X1 , . . . , Xk ),
wobei f ∈ C ∞ (M ), X1 , . . . , Xk ∈ X(M ) und i ∈ {1, . . . , k},
3. ω(Xπ(1) , . . . , Xπ(k) ) = sgn(π) · ω(X1 , . . . , Xk )
für alle X1 , . . . , Xk ∈ X(M ) und alle Permutationen π ∈ Sk .
ω ist also alternierend und C ∞ (M )–multilinear.
Den Raum aller k-Formen von M bezeichnen wir mit Ωk (M ). Außerdem setzen wir
Ω0 (M ) := C ∞ (M ). Ωk (M ) ist ein Modul über dem Ring der glatten Funktionen C ∞ (M ).
Wir sehen uns die Beziehung zwischen den in den obigen Definitionen beschriebenen Objekten zunächst am Beispiel von 1-Formen an.
Beispiel: Sei f : M −→ R eine glatte Funktion auf M . Wir betrachten die folgende 1-Form
df ∈ Ω1 (M ), die durch die Richtungsableitung von f nach Vektorfeldern definiert wird:
df : X(M ) −→ C ∞ (M )
X 7−→ df (X) := X(f ).
Die 1-Form df ∈ Ω1 (M ) heißt das Differential von f .
Für jeden Punkt x ∈ M haben wir andererseits das Differential von f im Punkt x, d.h. die
lineare Abbildung dfx : Tx M −→ R , also ein Element df x ∈ Λ1 Tx∗ M . Die 1–Form df und
die glatte Familie der 1–Formen {df x }x∈M entsprechen sich wegen folgender Beziehung
(df (X))(x) := X(f )(x) = df x (X(x)).
Dieser Zusammenhang gilt allgemein, wie aus dem folgenden Satz folgen wird.
Satz 10.22 (Lokalisierungssatz für Differentialformen) Sei ω ∈ Ωk (M ) eine k–Form
auf M und X1 , . . . , Xk ∈ X(M ). Dann ist der Wert ω(X1 , . . . Xk )(x) in einem beliebigen
Punkt x ∈ M durch die Vektoren X1 (x), . . . Xk (x) in Tx M eindeutig bestimmt.
38
Beweis: Sei x ∈ M ein beliebiger fixierter Punkt und (U, φ = (x1 , . . . , xn )) eine Karte um
∂
x mit der kanonischen Basis ( ∂x
, . . . , ∂x∂n ). Wir wählen eine Funktion f ∈ C ∞ (M ) mit
1
f (x) = 1 und dem Träger in U . Seien nun X1 , . . . , Xk und X̃1 , . . . , X̃k zwei k-Tupel von
Vektorfeldern auf M mit Xi (x) = X̃i (x) für jedes i = 1, . . . , k. Wir wollen zeigen, daß dann
ω(X1 , . . . , Xk )(x) = ω(X̃1 , . . . , X̃k )(x)
gilt. Wir betrachten dazu die folgenden, auf ganz M definierten Vektorfelder Y1 , . . . , Yn :

f· ∂
auf U
∂xi
Yi :=
0
auf M \ U
Da der Träger der Funktion f in U liegt, sind die Vektorfelder Yi korrekt definiert und glatt.
Die Vektorfelder f Xj bzw. f X̃j lassen sich dann in der folgenden Form darstellen
f Xj =
n
∑
ξji Yi
und
f X̃j =
i=1
n
∑
ξ˜ji Yi ,
i=1
wobei ξji bzw. ξ˜ji glatte Funktionen auf M sind. Nach Voraussetzung ist ξji (x) = ξ˜ji (x) für
i = 1, . . . , n und j = 1, . . . , k. Nun folgt
(
)
ω(X1 , . . . , Xk )(x) = f k (x) · ω(X1 , . . . , Xk )(x) = (f k ω)(X1 , . . . , Xk ) (x)
= ω(f X1 , . . . , f Xk )(x)
n
∑
=
ξ1i1 (x) · . . . · ξkik (x) · ω(Yi1 , . . . , Yik )(x)
=
i1 ,...,ik =1
n
∑
ξ˜1i1 (x) · . . . · ξ˜kik (x) · ω(Yi1 , . . . , Yik )(x)
i1 ,...,ik =1
= ω(f X̃1 , . . . , f X̃k )(x) = . . . = ω(X̃1 , . . . , X̃k )(x).
2
Mit Hilfe von Satz 10.22 erhalten wir eine Beziehung zwischen den Differentialformen Ωk (M )
und den glatten Familien {ωx }x∈M von alterniernden k–Formen ωx ∈ Λk Tx∗ M .
Satz 10.23 Es besteht eine bijektive Beziehung zwischen den Differentialformen Ωk (M ) und
den glatten Familien {ωx }x∈M von alternierenden k–Formen ωx ∈ Λk Tx∗ M . Diese bijektive
Zuordnung ist folgendermaßen gegeben:
1. Ist ω ∈ Ωk (M ) eine k-Form auf M , so definieren wir eine glatte Familie {ωx }x∈M
von k–Formen ωx ∈ Λk Tx∗ M durch
wobei Xi ∈ X(M ) mit Xi (x) = vi ∈ Tx M .
ωx (v1 , . . . , vk ) := ω(X1 , . . . , Xk )(x) ,
(Der vorstehende Satz besagt, daß ωx (v1 , . . . vk ) korrekt definiert ist, weil unabhängig
von Wahl der Fortsetzung der Vektoren vi durch die Vektorfelder Xi ).
2. Sei andererseits {ωx }x∈M eine glatte Familie von k–Formen ωx ∈ Λk Tx∗ M . Dann
definieren wir eine k-Form ω ∈ Ωk (M ) durch
ω(X1 , . . . , Xk )(x) := ωx (X1 (x), . . . , Xk (x)) ,
X1 , . . . , Xk ∈ X(M ).
Definition. Sei U ⊂ M eine offene Teilmenge, ω ∈ Ωk (M ) eine k-Form und ω ={ω
b x }x∈M
k
die ω entsprechende glatte Familie. Unter der Einschränkung ω|U ∈ Ω (U ) von ω auf U
versteht man die k–Form, die der glatten Familie {ωx }x∈U entspricht.
39
10.9.3
Rechenoperationen für Differentialformen
(1) Zurückziehen von Differentialformen.
Sei F : M −→ N eine glatte-Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten. Man kann jede
Differentialform auf der Bildmannigfaltigkeit N mittels F auf M ”zurückziehen”.
F induziert eine Abbildung
F ∗ : Ωk (N ) −→ Ωk (M ),
ω 7−→ F ∗ ω
die folgendermaßen definiert ist: Sei ω eine k-Form auf der Bildmannigfaltigkeit N . Wir
definieren die mittels F induzierte k–Form F ∗ ω ∈ Ωk (M ) durch die folgende glatte Familie
von k-Formen {(F ∗ ω)x }x∈M
(F ∗ ω)x (v1 , . . . , vk ) := ωF (x) (dFx (v1 ), . . . , dFx (vk )) ,
v1 , . . . , vk ∈ Tx M .
Für Vektorfelder X1 , . . . , Xk auf M gilt also
(F ∗ ω)(X1 , . . . , Xk )(x) := ωF (x) (dFx (X1 (x)), . . . , dFx (Xk (x))).
Wir bemerken hier, dass für ein Vektorfeld X ∈ X(M ) und eine surjektive glatte Abbildung
F : M −→ N durch die Familie von Vektoren {dFx (X(x))}x∈M im allgemeinen kein
Vektorfeld auf N definiert wird.
(2) Das alternierende Produkt.
Wie im Falle der Vektorräume kann man auch für Differentialformen eine Zuordnung definieren, die zwei Differentialformen ω und σ wieder eine Differentialform ω ∧ σ, ihr sogenanntes
alternierendes Produkt oder wedge-Produkt zuordnet:
∧ : Ωk (M ) × Ωl (M ) −→ Ωk+l (M )
(ω, σ) 7−→ ω ∧ σ
Seien ω ∈ Ωk (M ) und σ ∈ Ωl (M ) mit k, l > 0. Dann ist ω ∧ σ ∈ Ωk+l (M ) wie folgt definiert
∑
(ω ∧ σ)(X1 , . . . , Xk+l ) :=
sgn(π) ω(Xπ(1) , . . . , Xπ(k) ) · σ(Xπ(k+1) , . . . , Xπ(k+l) ),
π∈Sk+l ,
π(1)<...<π(k),
π(k+1)<...<π(k+l)
Für f ∈ Ω0 (M ) = C ∞ (M ) und ω ∈ Ωk (M ) setzen wir
f ∧ ω = ω ∧ f := f · ω.
Analog wie für das alternierende Produkt von Multilinearformen in Vektorräumen erhält
man die folgenden Eigenschaften des alternierenden Produktes für Differentialformen, die
wir dem Leser als Übungsaufgabe überlassen.
Satz 10.24 Das alternierende Produkt ∧ von Differentialformen hat folgende Eigenschaften:
1. Sind ω ∈ Ωk (M ) und σ ∈ Ωl (M ), so ist ω ∧ σ ∈ Ωk+l (M ).
2. ∧ ist in jeder Komponente C ∞ (M )–linear, d.h.
(f ω) ∧ σ = ω ∧ (f σ) = f (ω ∧ σ) für f ∈ C ∞ (M ).
40
3. ∧ ist assoziativ.
4. Sind ω ∈ Ωk (M ) und σ ∈ Ωl (M ), so gilt ω ∧ σ = (−1)k·l (σ ∧ ω).
5. Sei F : M −→ N eine glatte Abbildung und ω ∈ Ωk (N ) und σ ∈ Ωl (N ) zwei Differentialformen auf der Bildmannigfaltigkeit N . Dann gilt
F ∗ (ω ∧ σ) = (F ∗ ω) ∧ (F ∗ σ).
2
(3) Das innere Produkt.
Sei X ein Vektorfeld auf M . Die Abbildung
iX : Ωk (M ) −→ Ωk−1 (M )
ω 7−→ iX ω
definiert durch
(iX ω)(X1 , . . . , Xk−1 ) := ω(X, X1 , . . . , Xk−1 )
heißt inneres Produkt von ω mit dem Vektorfeld X. Der folgende Satz beschreibt einige
Eigenschaften des inneren Produktes. Der Beweis wird durch formales Anwenden der Definitionen geführt (Übungsaufgabe).
Satz 10.25 (Eigenschaften des Inneren Produktes)
1. if X ω = iX (f ω) = f · iX ω, wobei f ∈ C ∞ (M ).
2. iX (ω ∧ σ) = (iX ω) ∧ σ + (−1)deg ω ω ∧ (iX σ).
3. Sei F : M −→ N eine glatte Abbildung, X ∈ X(M ) und Y ∈ X(N ) zwei Vektorfelder,
die durch F verknüpft sind, d.h. für die Y (F (x)) = dFx (X(x)) für alle x ∈ M gilt.
Ist ω ∈ Ωk (N ) , so gilt
F ∗ (iY ω) = iX (F ∗ ω).
2
(4) Die lokale Darstellung einer Differentialform.
∂
Sei (U, φ = (x1 , . . . , xn )) eine Karte um x ∈ M , ( ∂x
(x), . . . , ∂x∂n (x)) die von dieser Karte
1
definierte kanonische Basis in Tx M und ((dx1 )x , . . . , (dxn )x ) die zugehörige duale Basis
∂
Vektorfelder auf dem Kartenbereich U , die Differentiale dxi der
in Tx∗ M . Dann sind ∂x
i
Koordinatenfunktionen sind 1-Formen auf U .
Nach Definition gilt für das alternierende Produkt dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∈ Ωk (U )

)
(
( i1 ...ik )
k
( ∂
falls ji11 ...i
∂ )  sgn j1 ...jk
...jk ∈ Sk
.
=
,...,
(dxi1 ∧ . . . ∧ dxik )
)
(

∂xj1
∂xjk
0
falls i1 ...ik ̸∈ Sk
j1 ...jk
Wie die Basisdarstellung einer k-Form über einem Vektorraum erhält man die folgende
Darstellung einer Differentialform ω ∈ Ωk (M ) über dem Kartenbereich U :
∑
∑
ω|U =
ωi1 ...ik · dxi1 ∧ . . . ∧ dxik =:
ωI dxI ,
(∗)
I=(1≤i1 <...<ik ≤n)
I
41
wobei die Funktionen ωI := ωi1 ...ik ∈ C ∞ (U ) durch
( ∂
( ∂
)
∂ )
∂
ωi1 ...ik (x) = ω|U
,...,
(x) = ωx
(x), . . . ,
(x)
∂xi1
∂xik
∂xi1
∂xik
gegeben sind.
Wir nennen (*) die lokale Darstellung von ω bezüglich der Karte (U, φ = (x1 , . . . , xn )).
Die Abbildungen
ωi1 ...ik ◦ (φ−1 ) : φ(U ) −→ R
heißen lokale Koeffizienten der Form ω bezüglich (U, φ).
Die bisherigen Rechenregeln waren algebraische Rechenregeln, d.h. Regeln, die punktweise
gelten. Die folgende Operation beschreibt Ableitungsregeln für Differentialformen.
(5) Das Differential einer k–Form.
In Abschnitt 10.9.2 haben wir bereits das Differential einer glatten Funktion definiert. Dies
war die folgende Abbildung, die jeder Nullform (=Funktion) eine 1-Form zuordnet
d : C ∞ (M ) −→ Ω1 (M )
f
7−→ df
wobei df (X) := X(f ).
Die lokale Darstellung von df bezüglich einer Karte (U, φ = (x1 , . . . , xn )) ist gegeben durch
df =
n
∑
df
i=1
n
( ∂ )
∑
∂
dxi =
(f ) dxi .
∂xi
∂x
i
i=1
Wir definieren jetzt das Differential auf den k-Formen für k ≥ 1, das jeder k-Form eine
(k + 1)-Form zuordnet. Die Abbildung
d : Ωk (M ) −→ Ωk+1 (M ) ,
ω
7−→ dω
sei definiert durch
k
∑
(
)
bj , . . . , Xk )
dω(X0 , . . . , Xk ) :=
(−1)j Xj ω(X0 , . . . , X
j=0
+
∑
bα , . . . , X
bβ , . . . , Xk ).
(−1)α+β ω([Xα , Xβ ], X0 , . . . , X
0≤α<β≤k
bi , dass das entsprechende Vektorfeld
(Dabei bedeutet der ”Hut” auf einem Eintrag Xi , d.h. X
weggelassen wird.)
d heißt Differential auf dem Raum der k–Formen, dω heißt Differential von ω.
Als Spezialfälle erhält man beispielsweise für das Differential von 1- bzw. 2-Formen
1. Sei ω ∈ Ω1 (M ) eine 1-Form. Dann gilt
dω(X, Y ) = X(ω(Y )) − Y (ω(X)) − ω([X, Y ]).
2. Sei ω ∈ Ω2 (M ) eine 2-Form. Dann gilt
dω(X, Y, Z) = X(ω(Y, Z)) − Y (ω(X, Z)) + Z(ω(X, Y )
−ω([X, Y ], Z) + ω([X, Z], Y ) − ω([Y, Z], X).
42
Satz 10.26 (Eigenschaften des Differentials)
1. Die Abbildung d : Ωk (M ) −→ Ωk+1 (M ) ist korrekt definiert und R-linear.
2. Sei ω ∈ Ωk (M ) und (U, φ = (x1 , . . . , xn )) eine Karte auf M bezüglich derer ω die
∑
lokale Darstellung ω|U = ωI dxI habe. Dann gilt für die lokale Darstellung von dω
I
dω|U =
∑
dωI ∧ dxI .
I
3. d(ω ∧ σ) = dω ∧ σ + (−1)deg ω ω ∧ dσ.
4. ddω = 0 für alle ω ∈ Ωk (M ) und k ≥ 0.
5. Ist F : M −→ N eine glatte Abbildung und ω ∈ Ωk (N ), dann gilt
d(F ∗ ω) = F ∗ dω.
Beweis: Zu 1.) Nach Definition ist d offensichtlich linear. Dass dω alternierend ist, folgt aus
der Schiefsymmetrie des Kommutators [·, ·] und da ω alternierend ist. Die C ∞ –Linearität
von dω folgt aus den Rechenregeln für den Kommutator aus Satz 10.15. Man benutzt dazu
z.B. die Regel [f X, Y ] = f [X, Y ] − Y (f )X. Also ist dω ∈ Ωk+1 (M ).
Zu 2.) Die k-Form ω habe die lokale Darstellung
∑
ω|U =
ωI dxI .
I
Nach 1.) ist dω eine (k + 1)-Form, besitzt also eine lokale Darstellung der Form
∑
dω|U =
(dω)
(J=1≤j0 <...<jk ≤n)
Def.
=
k
∑[∑
J
(−1)α
α=0
( ∂
∂ )
,...,
· dxJ
∂xj0
∂xjk
∂b
∂ ))]
∂ ( ( ∂
ω
,...,
,...,
· dxJ + 0,
∂xjα
∂xj0
∂xjα
∂xjk
∂
wobei [ ∂x
, ∂ ] = 0 benutzt wurde. Es folgt durch Vertauschen der Differentiale
i ∂xj
∑
dω|U =
J=(I,jα )
=
∑
k (
n
[∑
)]
]
∑[∑
∂
∂
(ωI ) · dxjα ∧ dxI =
(ωI ) · dxj ∧ dxI
∂xjα
∂xj
α=0
j=1
I
dωI ∧ dx .
I
I
Zu 3.) Wir dürfen oBdA ω = f dxI und σ = g dxJ annehmen, da d linear und eine lokale
Operation ist. Dann folgt durch die bereits bekannten Rechenregln für Differentialformen
2.
d(ω ∧ σ) = d(f dxI ∧ g dxJ ) = d(f g dxI ∧ dxJ ) = d(f g) ∧ dxI ∧ dxJ
PR
10.24
= (g df + f dg) ∧ dxI ∧ dxJ = df ∧ dxI ∧ g dxJ + dg ∧ f dxI ∧ dxJ
2.
= df ∧ dxI ∧ σ + dg ∧ ω ∧ dxJ = (dω) ∧ σ + (−1)degω ω ∧ dσ.
Zu 4.) Wir beweisen die Behauptung zunächst für k = 0. Sei dazu f ∈ C ∞ (M ). Dann gilt
nach Definition des Differentials und unter Benutzung der Eigenschaften des Kommutators
aus Satz 10.15
Def .
d(df )(X, Y ) = X(df (Y ))−Y (df (X))−df ([X, Y ]) = X(Y (f ))−Y (X(f ))−[X, Y ](f ) = 0.
43
Sei nun k ≥ 1 und ω ∈ Ωk (M ) eine k-Form mit der lokaler Darstellung ω =
∑
ωI dxI .
I
Dann gilt
2.
d(dω) =
∑
d(dω I ∧ dxI ) =
∑
[d(dω I ) ∧ dxI − dωI ∧ d(dxI )].
I
∞
I
Da ω ∈ C (M ) und dx = dxik ∧ . . . ∧ dxik ist, folgt d(dω) = 0 aus dem Fall k = 0 und
unter Anwendung von 3.).
I
I
Zu 5.) Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über den Grad von ω. Sei k = 0 und
f ∈ C ∞ (N ) = Ω0 (N ). Dann gilt (F ∗ f )(x) = f (F (x)). Also folgt
(
)
KR
d(F ∗ f )x (v) = d(f ◦ F )x (v) = (df )F (x) dFx )(v) = (F ∗ df )x (v),
d.h. d(F ∗ f ) = F ∗ df .
Wir setzen nun voraus, dass die Behauptung bereits für k-Formen bewiesen ist und schließen
auf (k + 1)-Formen. Sei also ω eine (k + 1)-Form. Wie oben dürfen wir oBdA annehmen, daß
ω = f dxJ gilt, wobei J ein geordneter Multiindex J = (1 ≤ j0 < . . . < jk ≤ n) ist. In der
folgenden Rechnung bezeichnet I den Multiindex I = (j0 < . . . < jk−1 ) . Dann erhalten wir
aus den schon bekannten Rechenregeln und der Induktionsvoraussetzung
d(F ∗ ω) = d(F ∗ (f dxJ )) = d(F ∗ [(f dxj0 ∧ . . . ∧ dxjk−1 ) ∧ dxjk ])
= d(F ∗ (f dxI ) ∧ F ∗ dxjk )
10.24
= d(F ∗ (f dxI )) ∧ F ∗ dxjk + (−1)k F ∗ (f dxI ) ∧ d(F ∗ dxjk )
3.
= F ∗ (d(f dxI )) ∧ F ∗ dxjk + (−1)k F ∗ (f dxI ) ∧ (ddF ∗ xjk )
I .Vor .
4.&
10.24
= F ∗ (d(f dxI ) ∧ dxjk ) = F ∗ (d(f dxI ∧ dxjk )) = F ∗ dω.
3.
2
Die Beziehung zwischen Differential und innerem Produkt fehlt in der Liste von Satzes 10.26.
Sie führt auf den Begriff der Lie-Ableitung einer Differentialform.
Sei X ein Vektorfeld auf M . Die Abbildung
LX : Ωk (M ) −→ Ωk (M )
ω
7−→ LX ω
definiert durch
LX ω := d iX ω + iX dω
heißt Lie–Ableitung von ω nach dem Vektorfeld X.
10.9.4
Geschlossene und exakte Differentialformen
Definition. Eine k–Form ω ∈ Ωk (M ) heißt geschlossen, wenn dω = 0. Eine k–Form
ω ∈ Ωk (M ) heißt exakt, wenn eine (k − 1)–Form η ∈ Ωk−1 (M ) existiert, so daß dη = ω .
Da d ◦ d = 0 , ist jede exakte Differentialform geschlossen.
Beispiel 1: Wir betrachten die folgende 1–Form ω auf M = R2 in Euklidischen Koordinaten
(x, y):
ω = y dx + x dy.
44
a) ω ist geschlossen, da
dω = dy ∧ dx + dx ∧ dy = −dx ∧ dy + dx ∧ dy = 0.
b) ω ist exakt, da für die Funktion ϕ ∈ C ∞ (R2 ) mit ϕ(x, y) := x · y gilt
dϕ =
∂ϕ
∂ϕ
dx +
dy = y dx + x dy = ω.
∂x
∂y
Beispiel 2: Wir betrachten eine offene Menge U ⊂ R2 mit Euklidischen Koordinaten (x, y)
und eine 1-Form ω ∈ Ω1 (U )
wobei P, Q ∈ C ∞ (U ).
ω = P dx + Q dy,
Mit den Regeln dx ∧ dx = 0, dy ∧ dy = 0, dx ∧ dy = −dy ∧ dx erhalten wir
dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy
( ∂P
( ∂Q
∂P )
∂Q )
=
dx +
dy ∧ dx +
dx +
dy ∧ dy
∂x
∂y
∂x
∂y
( ∂Q ∂P )
=
−
dx ∧ dy.
∂x
∂y
Es gilt also
⇐⇒
dω = 0
∂Q
∂P
=
.
∂x
∂y
Andererseits ist ω exakt, d.h. es gibt eine glatte Funktion ϕ ∈ C ∞ (U ) mit dϕ = ω, genau
dann wenn
∂ϕ
∂ϕ
dx +
dy,
ω = P dx + Q dy = dϕ =
∂x
∂y
also
P =
∂ϕ
∂x
und
Q=
∂ϕ
.
∂y
(∗)
Beispiel 3: Auf R2 ist jede geschlossene 1-Form ω ∈ Ω1 (R2 ) auch exakt:
Um eine Funktion ϕ ∈ C ∞ (R2 ) mit dϕ = ω zu finden, integrieren wir die Funktion
der x-Variablen bzw. ∂ϕ
∂y nach der y-Variablen und benutzen das Kriterium (∗):
∫x
ϕ(x, y) =
∂ϕ
(t, y) dt + ϕ(0, y) =
∂x
nach
∫x
P (t, y) dt + ϕ(0, y)
0
0
∫y
ϕ(0, y) =
∂ϕ
∂x
∂ϕ
(0, s) ds + ϕ(0, 0) =
∂y
0
∫y
Q(0, s) ds + ϕ(0, 0).
0
Wir setzen deshalb
∫x
ϕ(x, y) :=
∫y
P (t, y) dt +
0
Q(0, s) ds.
0
ϕ ist glatt und erfüllt tatsächlich die Bedingung (∗): P = ∂ϕ
∂x gilt nach dem Hauptsatz der
benutzt
man
zusätzlich, dass ω geschlossen
Differential- und Integralrechnung. Für Q = ∂ϕ
∂y
ist:
∂ϕ
(x, y) =
∂y
∫x
∂P
(t, y) dt + Q(0, y)
∂y
0
dω=0
∫x
=
∂Q
(t, y) dt + Q(0, y)
∂x
0
= Q(x, y) − Q(0, y) + Q(0, y) = Q(x, y).
45
Ist die gschlossene 1-Form ω nicht auf ganz R2 definiert, so ist sie im allgemeinen nicht
exakt! Diese Eigenschaft hängt von der Art des Gebietes U ⊂ R2 ab, auf dem ω definiert
ist.
Beispiel 4: Die Windungsform.
Wir betrachten die 1-Form ω ∈ Ω1 (R2 \ {(0, 0)}):
ω=−
y
x
dx + 2
dy
x2 + y 2
x + y2
(W indungsf orm).
ω ist geschlossen, was man leicht wie im Beispiel 2 ausrechnet. ω ist aber nicht exakt. Um
dies einzusehen betrachten wir die Kurve γ : [0, 2π] → R2 \ {(0, 0)}
γk (t) := (r cos(kt), r sin(kt))
die k-mal um die Kreislinie vom Radius r herumläuft, wobei k ∈ Z. Wir betrachten das
Kurvenintegral von ω über γ:
∫
∫2π
ω :=
γ
0
Da γ ′ (t) = (−rk sin(kt), rk cos(kt)) und
ωγ(t) (γ ′ (t)) = −
Es folgt
ωγ(t) (γ ′ (t)) dt.
∂
∂x
= e1 ,
∂
∂y
= e2 , erhält man
r sin(kt)
r cos(kt)
(−rk sin(kt)) +
rk cos(kt) = k.
2
r
r2
∫
∫2π
ω=
γ
k dt = 2πk.
0
Das Kurvenintegral von ω über γ zählt also, wie oft γ um die Kreislinie herumläuft. Angenommen ω wäre exakt, d.h. es existiert eine Funktion ϕ ∈ C ∞ (R2 \ {(0, 0)}) mit dϕ = ω.
Dann wäre
ωγ(t) (γ ′ (t)) = dϕγ(t) (γ ′ (t)) = (ϕ ◦ γ)′ (t)
und für das Kurvenintegral würde folgen
∫
γ
∫2π
ω = (ϕ ◦ γ)′ (t) dt = ϕ(γ(2π)) − ϕ(γ(0)) = 0.
0
Dies ist ein Widerspruch für k ∈ Z und k ̸= 0.
Wir zeigen nun, dass für sternförmige offene Mengen U ⊂ Rn jede geschlossene k-Form
ω ∈ Ωk (U ) auch exakt ist. Zur Erinnerung: Eine Menge U ⊂ Rn heißt sternförmig bzgl.
x0 ∈ U , falls für alle x ∈ U die Strecke x0 x vollständig in U liegt.
Lemma von Poincare:
Auf einer offenen und sternförmigen Menge U ⊂ Rn ist jede geschlossene k-Form (k ≥ 1)
exakt.
Beweis: Wir geben hier einen direkten Beweis an, der auch das Rechnen mit Differentialformen demonstrieren soll. Wir führen den Beweis in 2. Schritten. Im ersten Schritt werden
wir zeigen, dass es ausreicht, die Behauptung für offene und bzgl. dem Nullvektor o ∈ Rn
46
sternörmige Mengen zu zeigen. Im zweiten Schritt zeigen wir das Lemma von Poincare dann
für geschlossene k−Formen auf offenen und bzgl. o sternförmigen Mengen.
1. Schritt: Angenommen die Behauptung des Lemmas von Poincare gilt für jede offene,
bzgl. o sternförmige Menge im Rn . Sei U ⊂ Rn eine beliebige offen und sternförmig Menge.
U sei sternförmig bezüglich x0 ∈ U . Wir betrachten dann die offene und bzgl. o sternförmige
Menge
Ũ := U − x0 = {x − x0 | x ∈ U } ⊂ Rn .
Sei nun ω ∈ Ωk (U ) geschlossen, d.h. es gelte dω = 0. Wir betrachten den Diffeomorphismus
ϕ : Ũ → U
x 7−→ x + x0
und ziehen ω mittels ϕ zurück. Dann gilt ϕ∗ ω ∈ Ωk (Ũ ) und d(ϕ∗ ω) = ϕ∗ dω = 0. Entsprechend unserer Annahme existiert dann eine (k − 1)−Form η̃ ∈ Ωk−1 (Ũ ) mit
dη̃ = ϕ∗ ω.
Für die Umkehrabbildung ϕ−1 und die dadurch induzierte Form η := (ϕ−1 )∗ η̃ ∈ Ωk−1 (U )
gilt dann:
dη = d((ϕ−1 )∗ η̃) = (ϕ−1 )∗ dη̃ = (ϕ−1 )∗ (ϕ∗ ω) = (ϕ−1 )∗ ◦ ϕ∗ ω = ω.
Also ist ω exakt auf U . Daher genügt es, die Behauptung des Lemmas von Poincare für
offene Mengen des Rn zu zeigen, die den Nullvektor o enthalten und sternförmig bzgl. o
sind.
2. Schritt: Sei nun U ⊂ Rn eine offene Menge, die den Nullvektor o enthält und sternförmig
bezüglich o ist. Zum Beweis der Behauptung im Lemma von Poincare definieren wir für jede
Stufe k ≥ 1 einen linearen Operator
Sk : Ωk (U ) −→ Ωk−1 (U )
und zeigen, dass für jede k-Form ω die Formel
ω = Sk+1 (dω) + dSk (ω)
gilt. Ist ω insbesondere geschlossen, d.h. dω = 0, so folgt für die (k − 1)-Form η := Sk (ω),
dass dη = ω gilt, und somit das Lemma von Poincare.
Sei ω eine k-Form auf U . Wir stellen ω in den Euklidischen Koordinaten (x1 , . . . , xn ) dar
∑
ω=
ωI dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ,
I:=(1≤i1 <...<ik ≤n)
(
wobei
ωI = ω|U
∂
∂
,...,
∂xi1
∂xik
)
∈ C ∞ (U ).
Wir definieren die (k − 1)−Form Sk (ω) ∈ Ωk−1 (U ) mittels der Koeffizienten ωI von ω durch

 1
∫
k
∑∑
d
Sk (ω)x :=
(−1)α−1  tk−1 ωI (tx)dt xiα ·dxi1 ∧ . . . ∧ dx
iα ∧ . . . ∧ dxik
I
α=1
|
0
{z
=:θ(x)∈C ∞
47
}
Da U sternförmig bezüglich o ist, ist ωI (tx) für alle t ∈ [0, 1] definiert und damit auch die
Form Sk (ω) korrekt gegeben. Offensichlich ist die Zuorndung ω 7→ Sk (ω) linear.
Für das Differential von Sk (ω) erhalten wir


k
n
∑∑
∑
∂θ
d
d Sk (ω)x :=
(−1)α−1 · 
(x)dxj  ∧dxi1 ∧ . . . ∧ dx
iα ∧ . . . ∧ dxik
∂x
j
j=1
I α=1
|
{z
}
=dθ
 1

∫
∂
d
 tk−1 ωI (tx)dt · xiα  dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dx
=
(−1)α−1 ·
iα ∧ . . . ∧ dxik
∂x
j
j=1
I α=1
0

 1
∫
k
n
∑
∑
∑
PR
d
 tk ∂ωI (tx)dt · xiα · dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dx
=
(−1)α−1 ·
iα ∧ . . . ∧ dxik
∂xj
j=1
I α=1
0
 1

k
k
∑∑
∑ ∫
d
 tk−1 ωI (tx)dt · dxiβ ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dx
+
(−1)α−1 ·
iα ∧ . . . ∧ dxik
∑
k
∑
α=1
I
=
k
∑∑
β=1
n
∑
(−1)α−1 ·
α=1
I
+
n
∑
∑
I




j=1
∫1
0

∂ω
I
d
(tx) dt · xiα · dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dx
tk
iα ∧ . . . ∧ dxik
∂xj

∫1
0
k · tk−1 ωI (tx)dt · dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
0
Für das Differentail von ω gilt
dω =
∑
dωI ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
I
=
n
∑∑
∂ωI
I
∂xj
{z
j=1
|
· dxj ∧dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
}
dωI
Wir ordnen nun der (k + 1)-Form dω durch die gleiche Prozedur wie oben die k-Form
Sk+1 (dω) auf U zu und erhalten:
)
n (∫ 1
∑∑
k ∂ωI
Sk+1 (dω)x =
t
(tx) dt xj dxi1 ∧ . . . ∧ dxik −
∂xj
0
j=1
I
(∫
k ∑
n
∑∑
α−1
−
(−1)
I
1
t
0
α=1 j=1
k ∂ωI
∂xj
)
d
(tx) dt xiα dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dx
iα ∧ . . . ∧ dxik
Durch Addition der Formeln für d Sk (ω) und Sk+1 (dω) folgt bei Benutzung der Kettenregel:

 1
∑ ∫
 k · tk−1 ωI (tx)dt · dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
dSk (ω) + Sk+1 (dω) =
I
+
0
n (∫
∑∑
I
=
∑ (∫
I
=
j=1
∑
0
1
0
1
t
k ∂ωI
∂xj
)
(tx) dt xj dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
) )
d(k
t ωI (tx) dt dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
dt
ωI (x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
I
2
= ω.
48
Im allgemeinen sind die exakten Differentialformen ein echter Unterraum der geschlossenen
Differentialformen:
(
)
Im dk−1 := d Ωk−1 (M ) ⊂ Ker dk := {ω ∈ Ωk (M ) | dω = 0 } .
Der Faktorraum
k
HDR
(M ) := Ker dk /Im dk−1
heißt k.- deRham-Kohomologiegruppe von M . Für offene und sternförmige Mengen U ⊂ Rn
gilt nach dem Lemma von Poincare
für alle k ≥ 1.
k
(U ) = 0
HDR
Die DeRham-Kohomologie und ihre Anwendungen in der Analysis und Geometrie werden
im Hauptstudium in Vorlesungen über Algebraische Geometrie, Differentialgeometrie bzw.
Globale Analysis behandelt. Sie enthalten wesentliche Informationen über analytische Eigenschaften der Mannigfaltigkeit M . Man kann z.B. die DeRham-Kohomologie der Sphäre
und der Kugel benutzen, um den Brouwerschen Fixpunktsatz zu beweisen. Wir erwähnen
hier ausblickend zwei weitere Anwendungen:
k
(M ) für kompakte Mannigfaltigkeiten M
Man kann zeigen, dass die Vektorräume HDR
endlich-dimensional sind. Deshalb kann man kompakten, n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten die folgende Zahl, die sogenannte Eulersche Charakteristik, zuordnen:
χ(M ) =
n
∑
k
(−1)k dim HDR
(M ).
k=0
Es gilt z.B.
1. Zwei kompakte, orientierbare, zusammenhängende 2-dimensionale Mannigfaltigkeiten
sind genau dann diffeomeomorph, wenn ihre Eulersche Charakteristik übereinstimmt.
2. Auf einer kompakten Mannigfaltigkeit M n existiert genau dann ein globales Vektorfeld
ohne Nullstellen, wenn die Eulersche Charakteristik verschwindet: χ(M ) = 0.
10.9.5
Die Volumenform einer orientierten Untermannigfaltigkeit
Wie wir in Abschnitt 10.6 gesehen hatten, unterscheidet man orientierbare und nicht-orientierbare Mannigfaltigkeiten.
Wir betrachten in diesem Abschnitt eine orientierte n-dimensionale Untermannigfaltigkeit
(M n , OM ) im RN mit der induzierten Riemannschen Metrik g und definieren darauf eine
spezielle, die Geometrie ’messende’ n-Form. Für jedes x ∈ M ist (Tx M, OTx M , gx ) ein
n-dimensionaler orientierter Euklidischer Vektorraum.
Definition. Die alternierende n-Form
√
(
)
dMx := det gx (vi , vj ) · σ 1 ∧ . . . ∧ σ n ∈ Λn (Tx∗ M ),
wobei (v1 , . . . , vn ) eine positiv orientierte Basis in Tx M und (σ 1 , . . . , σ n ) die dazu duale
Basis in Tx∗ M ist, heißt Volumenform von (Tx M, OTx M , gx ).
Bemerkungen:
(1) Die n-Form dMx ist korrekt definiert, d.h. sie ist unabhängig von der Wahl der orientierten Basis (v1 , . . . , vn ) in Tx M .
49
Um dies einzusehen, betrachten wir eine weitere positiv orientierte Basis (w1 , . . . , wn ) in
Tx M mit der dualen Basis (η 1 , . . . , η n ). Dann gilt für den Basisübergang
vi =
n
∑
Aki wk
und
σj =
k=1
n
∑
(A−1 )tlj η l ,
l=1
wobei die Übergangsmatrix A = (Aki ) eine positive Determinate hat. Wir erhalten
(
)
(∑
)
(
(
)
)
det gx (vi , vj ) = det
Aki Alj gx (wk , wl ) = det At ◦ gx (wk , wl ) ◦ A
k,l
(
)
= det(A)2 · det gx (wk , wl ) ,
(∗)
(
)
σ 1 ∧ . . . ∧ σ n = det (A−1 )t · η 1 ∧ . . . ∧ η n = (det(A))−1 · η 1 ∧ . . . ∧ η n ,
und somit
√
√
(
)
(
)
det gx (vi , vj ) · σ 1 ∧ . . . ∧ σ n = det gx (wi , wj ) · η 1 ∧ . . . ∧ η n .
(2) Für jede positiv orientierte Basis (v1 , . . . , vn ) in Tx M gilt:
√
(
)
dMx (v1 , . . . , vn ) = det gx (vi , vj ) .
Dies folgt aus der Formel für das alternierende Produkt. Für die zu (v1 , . . . , vn ) duale Basis
(σ 1 , . . . , σ n ) gilt
∑
(σ 1 ∧ . . . ∧ σ n )(v1 , . . . , vn ) =
sgn(π) · σ 1 (vπ(1) ) · . . . · σ n (vπ(n) )
π∈Sn
= σ 1 (v1 ) · . . . · σ n (vn ) = 1.
Damit folgt (2) aus der Definition von dMx .
(3) Geometrische Interpretation der Volumenform:
Für n = 1 beschreibt dMx (v) die Länge des Vektors v:
√
√
√
dMx (v) = det(gx (v, v)) = gx (v, v) = ⟨v, v⟩RN = ∥v∥RN .
Für n ≥ 2 beschreibt dMx (v1 , . . . , vn ) das Volumen des von den Vektoren v1 , . . . , vn aufgespannten Parallelotops
{ n
}
∑
Tx M
P
(v1 , . . . , vn ) :=
λi vi 0 ≤ λ1 , . . . , λn ≤ 1 ⊂ Tx M
i=1
im Euklidischen Vektorraum (Tx M, OTx M , gx ). Für n = 2 ist dMx (v1 , v2 ) insbesondere der
Flächeninhalt des von v1 und v2 aufgespannten Parallelogramms in Tx M .
Um dies einzusehen, identifizieren wir den Euklidischen Vektorraum (Tx M, OTx M , gx ) mit
(Rn , ORn , ⟨·, ·⟩Rn ) durch die Wahl einer positiv orientierten ON-Basis in Tx M und benutzen
die uns aus Kapitel 9.2 bekannte Beziehung zwischen dem Volumen eines Parallelotops und
der Determinante. Sei a = (a1 , . . . , an ) eine positiv orientierte ON-Basis in Tx M und τa der
lineare Isomorphismus
τa :
Tx M
∑
v = ξi ai
i
∑
= gx (v, ai )ai
−→
7−→
i
50

n
 R

ξ1
gx (v, a1 )
 .  

..
 . =
.
.
 .  

ξn
gx (v, an )
Der Isomorphismus τa ist eine orientierungserhaltende Isometrie. Für die Übergangsmatrix
A = (Aki ) von (v1 , . . . , vn ) zu (a1 , . . . , an ) gilt
vi =
n
∑
k=1
und somit
Aki ak =
n
∑
gx (vi , ak ) ak
k=1
(
) (
)
A = (Aki ) = gx (vi , ak ) = τa (v1 ) · · · τa (vn ) .
Aus der Formel (∗) in Bemerkung (1) und Bemerkung (2) erhalten wir dann
√
(
)
(2)
dMx (v1 , . . . , vn ) =
det gx (vi , vj )
(
)
(1∗)
= det τa (v1 ) · · · τa (vn )
)
n(
K.9.2
= VolR P(τa (v1 ), . . . , τa (vn ))
(
)
= VolTx M P(v1 , . . . , vn ) .
(4) dM := {dMx }x∈M ist eine glatte Familie von alternierenden n-Formen, definiert also
eine Differentialform dM ∈ Ωn (M n ):
Dazu betrachten wir eine positiv orientierte Karte (U, φ = (x1 , . . . , xn )) auf M mit den
∂
kanonischen Basisfeldern ∂x
, . . . , ∂x∂n ∈ X(U ) und den dualen 1-Formen dx1 , . . . , dxn ∈
1
1
Ω (U ). Dann ist die Funktion
√
( ( ∂
( ∂
)
))
∂
∂
x ∈ U 7−→ dMx
(x), . . . ,
(x) = det gx
(x),
(x)
∂x1
∂xn
∂xi
∂xj
√
(⟨ ∂
⟩ )
∂
∈ R
= det
(x),
(x)
∂xi
∂xj
RN
glatt, was die Behautpung zeigt.
Definition. Die n-Form dM ∈ Ωn (M n ) heißt Volumenform der orientierten Untermannigfaltigkeit (M, OM ) des RN .
Aus der Definition kann man dann unmittelbar die lokale Darstellung der Volumenform dM
bzgl. einer Karte ablesen:
Satz 10.27 (Lokale Darstellung der Volumenform)
Sei (M, OM ) eine orientierte Untermannigfaltigkeit des RN , (U, φ = (x1 , . . . , xn )) eine po( )
(⟨ ∂
⟩)
sitiv orientierte Karte auf M und gij := ∂x
, ∂
die Matrix der induzierten Riei ∂xj
mannschen Metrik bezüglich dieser Karte. Dann gilt
√
dM |U = det(gij ) dx1 ∧ . . . ∧ dxn .
Sind X1 , . . . , Xn ∈ X(M ) Vektorfelder auf M , so gilt
√
(
)
dM (X1 , . . . , Xn ) = det g(Xi , Xj ) .
Ist ω ∈ Ωn (M ) eine beliebige n-Form auf M , so existiert eine glatte Funktion f ∈ C ∞ (M ),
so dass ω = f · dM . Da der Vektorraum Λn (Tx∗ M ) 1-dimensional und dMx ein Basiselement
ist, gilt nämlich ωx = f (x) · dMx für eine Zahl f (x) ∈ R.
51
Beispiel 1: Die Volumenform von Rn
In den Euklidischen Koordinaten (x1 , . . . , xn ) des Rn gilt: dRn = dx1 ∧ dx2 ∧ . . . ∧ dxn .
In den Polarkoordinaten auf R2 : Φ(r, u) := (r cos(u), r sin(u)), r ∈ (0, ∞), u ∈ (0, 2π), gilt
dR2 = r · dr ∧ du.
Beispiel 2: Die Volumenform einer 1-dimensionalen Untermannigfaltigkeit
Sei M ⊂ RN eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit des RN (dh. eine Kurve). Dann gibt
es um jeden Punkt x ∈ M eine lokale Parametrisierung, die durch eine reguläre Kurve
γ : I = (a, b) −→ M ⊂ RN ,
γ(0) = x
gegeben ist. Für die Volumenform in dieser Parametrisierung gilt
dMγ(t) = ∥γ ′ (t)∥ dt.
In der “klassischen“ Literatur heißt dM |γ(I) das Bogenelement der Kurve.
Beispiel 3: Die Volumenform von Flächen im R3
Sei M 2 ⊂ R3 eine Fläche im R3 und Φ : U ⊂ R2 −→ M eine lokale Parametrisierung von
M . Dann wird oft die folgende klassische Schreibweise benutzt
⟨ ∂Φ ∂Φ ⟩
⟨ ∂Φ ∂Φ ⟩
⟨ ∂Φ ∂Φ ⟩
E := g11 =
,
, F := g22 =
,
und G := g12 =
,
.
∂u1 ∂u1
∂u2 ∂u2
∂u1 ∂u2
Damit erhält man
(
θ := det
g11 g12
g21 g22
)
(
= det
E G
G F
)
∂Φ
∂Φ 2
×
= EF − G2 = ∂u1
∂u2
und folglich ist
2
dMΦ(U
) =
∂Φ
√
∂Φ EF − G2 du1 ∧ du2 = ×
du1 ∧ du2 .
∂u1
∂u2
2
In der “klassischen“ Literatur nennt man die Volumenform dMΦ(U
) auch das “Oberflächenelement der Fläche“.
Für die Lie-Ableitung der Volumenform nach einem Vektorfeld X erhält man die folgende
Formel, die für die Integralsätze wichtig werden wird. Mit ihrer Hilfe kann man die Divergenz von eines Vektorfeldes X geometrisch als Volumenverzerrung beim Fluß entlang der
Integralkurven von X interpretieren.
Satz 10.28 Sei M n ⊂ RN eine orientierte Untermannigfaltigkeit und sei X ein Vektorfeld
auf M . Dann gilt für die Lie-Ableitung der Volumenform nach X
LX dM = div(X) dM.
Beweis: Da keine nichttriviale (n + 1)–Form auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit
existiert ist das Differential der Volumenform Null: ddM = 0. Wegen LX = d ◦ iX + iX ◦ d
folgt somit LX dM = d(iX dM ) . Um d(iX dM ) zu berechnen, drücken wir dM und X in
lokalen Koordinaten bzgl. einer positiv orientierten Karte aus:
dM |U =
n
∑
√
∂
θ dx1 ∧ . . . ∧ dxn und X|U =
ξi
.
∂x
i
i=1
52
Dabei bezeichnet θ := det(gij ). Dann gilt (über dem Kartenbereich U )
iX dM =
n √
∑
θξ i i
i=1
∂
∂xi
(dx1 ∧ . . . ∧ dxn ) =
n
∑
√
ci ∧ . . . ∧ dxn .
(−1)i−1 θ ξ i dx1 ∧ . . . ∧ dx
i=1
Somit folgt (über U )
d(iX dM ) =
n
∑
(−1)i−j
i,j=1
=
∂ √ i
ci ∧ . . . ∧ dxn
( θξ ) dxj ∧ dx1 ∧ . . . ∧ dx
∂xj
|
{z
}
=0, wenn i̸=j
n
n
∑
∂ √ i
1 ∑ ∂ √ i
( θξ ) dx1 ∧ . . . ∧ dxn = √
( θξ ) dM = div (X) dM.
∂xi
θ i=1 ∂xi
i=1
2
Abschließend untersuchen wir zur Vorbereitung auf die Integralsätze noch den Zusammenhang zwischen der Volumenform einer orientierten Mannigfaltigkeit mit Rand und der
Volumenform des Randes. Zu diesem Zwecke müssen wir festlegen, welche Orientierung wir
auf dem Rand wählen wollen.
Sei M n ⊂ RN eine n-dimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit mit Rand ∂M ̸= ∅.
∂M ist eine (n − 1)–dimensionale Untermannigfaltigkeit und für einen Randpunkt x ∈ ∂M
ist der Tangentialraum Tx ∂M von ∂M im Punkt x ein (n − 1)-dimensionaler Unterraum
des n-dimensionalen Tangentialraumes Tx M .
Definition. Die Abbildung x ∈ ∂M −→ ν(x) ∈ Tx M ⊂ RN mit
1. ν(x) ⊥⟨·,·⟩RN Tx (∂M ),
2. ∥ν(x)∥ = 1,
3. es existiert eine Kurve γ : (−ε, 0] −→ M mit γ(0) = x und γ ′ (0) = ν(x)
heißt Vektorfeld der äußeren Normalen auf dem Rand ∂M .
Definition. Sei (M, OM ) eine orientierte Untermannigfaltigkeit mit Rand ∂M ̸= ∅ und
ν : ∂M −→ RN das Vektorfeld der äußeren Normalen des Randes. Wir definieren eine
Orientierung O∂M auf dem Rand durch
(v1 , . . . , vn−1 ) ∈ OTx (∂M )
⇐⇒
(ν(x), v1 , . . . , vn−1 ) ∈ OTx M .
O∂M heißt die durch OM induzierte Orientierung.
Satz 10.29 Sei (M, OM ) eine orientierte n–dimensionale Untermannigfaltigkeit im RN mit
Rand ∂M ̸= ∅. Bezeichne ν : ∂M −→ RN das Vektorfeld der äußeren Normalen und O∂M
die induzierte Orientierung auf ∂M . Dann gilt für die Volumenformen
d(∂M ) = iν dM |∂M ∈ Ωn−1 (∂M ).
Beweis: Sei x ∈ ∂M und (e1 (x), . . . , en−1 (x)) eine positiv orientierte orthonormale Basis in
Tx (∂M ). Dann ist (ν(x), e1 (x), . . . , en−1 (x)) eine positiv orientierte orthonormale Basis in
Tx M und es folgt aus der Definition der Volumenform
d(∂M )x (e1 , . . . , en−1 ) = 1 = (dM )x (ν(x), e1 , . . . , en−1 ) = iν(x) dMx (e1 , . . . , en−1 ),
2
also ist d(∂M )x = iν(x) dMx .
53
10.10
Integration von Differentialformen
In diesem Abschnitt wollen wir eine Integrationstheorie für orientierte Mannigfaltigkeiten M
behandeln, die Differentialformen zur Konstruktion der Maße benutzt. Dies soll die klassischen Maße (Bogenlänge von Kurven, Oberflächenmaß von gekrümmten Flächen, LebesgueMaß im Rn ) als Spezialfall umfassen.
Sei also M eine n-dimensionale orientierte Mannigfaltigkeit und ω eine n-Form auf M mit
noch zu präzisierenden “guten“ Eigenschaften. Wir werden einen Maßraum (M, L(M ), µω )
auf der Grundmenge M definieren, wobei L(M ) eine σ-Algebra von meßbaren Teilmengen
von M und µω : L(M ) −→ [0, ∞] ein Maß auf dieser σ-Algebra ist, das von ω abhängt.
Benutzen wir dann für ω die Volumenform dM , so ergibt sich die klassische Bogenlänge
von Kurven, der klassische Oberflächeninhalt für gekrümmte Flächen M 2 ⊂ R3 bzw. das
Lebesgue-Maß für M = Rn .
10.10.1
Meßbare Teilmengen von Untermannigfaltigkeiten
Um ein Maß für eine möglichst große Menge von Teilmengen des Rn zu erhalten, das die
Vorstellung vom geometrischen Volumen dieser Teilmengen modelliert, hatten wir in Kapitel
9 das Lebesgue-Maß definiert. Wir wissen also, was eine Lebesgue-meßbare Teilmenge des
Rn ist. Wir übertragen diesen Begriff jetzt durch die Kartenabbildungen auf Mannigfaltigkeiten.
Definition. Sei M n eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Eine Teilmenge A ⊂ M
heißt meßbar (bzw. Nullmenge), wenn für jede Karte (U, φ) von M die Menge φ(A ∩ U ) ⊂
Rn Lebesgue–meßbar (bzw. eine Lebesguesche Nullmenge) ist.
Mit L(M ) bezeichnen wir die Menge aller messbaren Teilmengen von M .
Bemerkung: Zum Nachweis der Meßbarkeit einer Teilmenge A ⊂ M muß man die
Lebesgue-Meßbarkeit der Mengen φ(A ∩ U ) nicht für alle Karten (U, φ) von M überprüfen,
sondern kann sich auf die Karten eines beliebig fixierten Atlanten von M beschränken. Das
gleiche gilt für die Nullmengen. Dies folgt, da Lebesgue–meßbare Mengen und Lebesguesche
Nullmengen im Rn unter C 1 –Abbildungen in ebensolche übergehen und da die Kartenübergange zwischen zwei Karten der Mannigfaltigkeit M mindestens von der Klasse C 1 sind.
Aus der Definition folgt unmittelbar
Satz 10.30 L(M ) ist eine σ-Algebra auf M .
10.10.2
Definition des Integrals
Sei ω eine n-Form auf einer n-dimensionalen Untermannigfaltigkeit M und A ⊂ M eine
meßbare Menge. Wir wollen das Integral
∫
ω
A
von ω über A definieren.
Im folgenden bezeichne
ω|U = ωφ dx1 ∧ . . . ∧ dxn
mit ωφ (x) := ωx
54
)
( ∂
∂
(x), . . . ,
(x)
∂x1
∂xn
die lokale Darstellung von ω bzgl. einer Karte (U, φ = (x1 , . . . , xn )). Die Kartendarstellung
der Koordinatenfunktion, d.h. die Funktion ωφ ◦ φ−1 : φ(U ) −→ R ist eine glatte Funktion
auf dem Koordinatenbereich φ(U ) ⊂ Rn . Diese Funktion ist folglich Lebesgue-meßbar. Ist
z.B. ωφ nicht-negativ oder der Träger von ωφ kompakt, so existiert das Lebesgue-Integral
∫
ωφ ◦ φ−1 dλn
(∗)
φ(U ∩A)
in [0, ∞] bzw. in R (siehe Kapitel 9).
Möchte man nun ein Integral von ω über der Menge A definieren, so könnte man so vorgehen:
Man zerlegt A in “kleine“ Teilmengen, die jeweils in einem Kartenbereich enthalten sind,
betrachtet für diese kleinen Teilmengen die Lebesgue-Integrale (∗) und addiert diese. Im
folgenden werden wir zeigen, dass diese Idee (unter gewissen einschränkenden Bedingungen)
funktioniert.
Im folgenden sei M immer eine n-dimensionale, orientierte Untermannigfaltigkeit mit oder
ohne Rand. Wir betrachten die folgenden Klassen von n-Formen:
1. Die n-Formen mit kompaktem Träger:
Ωn0 (M ) := {ω ∈ Ωn (M ) | supp ω := cl {x ∈ M | ωx ̸= 0} ist kompakt },
2. Die positiven bzw. negativen n-Formen:
Ωn+ (M ) := {ω ∈ Ωn (M ) | ωx (a1 , . . . , an ) ≥ 0 ∀(a1 , . . . , an ) ∈ OTx M , x ∈ M }
und
Ωn− (M ) := {ω ∈ Ωn (M ) | ωx (a1 , . . . , an ) ≤ 0 ∀(a1 , . . . , an ) ∈ OTx M , x ∈ M }.
Für die Volumenform von M gilt immer dM ∈ Ωn+ (M ). Ist M kompakt, so ist
Ωn0 (M ) = Ωn (M ).
Wir definieren das Integral in zwei Schritten und rechtfertigen die Korrektheit der Definition
in den Sätzen 10.31 und 10.33. Zunächst betrachten wir den Fall, daß die Menge A in einem
Kartenbereich liegt.
Definition.[I1 ]
Sei ω ∈ Ωn0,± (M n ) eine n-Form auf M , die kompakten Träger hat oder positiv bzw. negativ ist. A bezeichne eine meßbare Teilmenge von M , die in einer Kartenumgebung U von
M enthalten ist. Es sei weiterhin (U, φ = (x1 , . . . , xn )) eine positiv orientierte Karte und
ω|U = ωφ dx1 ∧ . . . ∧ dxn die lokale Darstellung von ω bezüglich (U, φ). Wir definieren das
Integral von ω über A durch:
∫
∫
ω :=
ωφ ◦ φ−1 dλn ,
(I1 )
A
φ(A)
wobei dλn das Lebesgue–Maß des Rn ist.
Für ω ∈ Ω+ (M n ) bzw. ω ∈ Ωn− (M n ) ist ωφ nicht-negativ bzw. nicht-positiv, das Integral
(I1 ) existiert also in [0, ∞] bzw. in [−∞, 0]. Hat ω kompakten Träger und liegt dieser in in
U , so existiert (I1 ) ebenfalls und ist endlich. In Satz 10.33 werden wir zeigen, dass (I1 ) auch
für jede Form ω ∈ Ω0 (M n ) mit kompakten Träger existiert. Wir zeigen als erstes, dass der
Wert von (I1 ) nicht von der gewählten Karte abhängt.
55
Satz 10.31 Seien (U, φ) und (V, ψ) zwei positiv orientierte Karten von M mit A ⊂ U und
A ⊂ V . Wenn das Integral (I1 ) für eine der Karten existiert, so existiert es auch für die
andere und es gilt
∫
∫
ωφ ◦ φ−1 dλn =
φ(A)
ωψ ◦ ψ −1 dλn .
ψ(A)
Beweis: Sei also A ⊂ U ∩ V und seien φ = (x1 , . . . , xn ) und ψ = (y1 , . . . , yn ) zwei positiv orientierte Kartenabbildungen auf U ∩ V . Bezüglich dieser Karten hat ω die lokale
Darstellung
ω = ωφ dx1 ∧ . . . ∧ dxn = ωψ dy1 ∧ . . . ∧ dyn .
Nach Definition ist
ωφ := ω
( ∂
(
) ( ∂
∂ )
∂ )
,...,
= det D(ψ ◦ φ−1 )φ(x) ω
,...,
.
∂x1
∂xn
∂y1
∂yn
Wir bemerken, daß det(D(ψ ◦ φ−1 )φ(x) ) > 0 , denn die Jacobimatrix D(ψ ◦ φ−1 )φ(x) der
Koordinatentransformation T := ψ◦φ−1 : φ(U ) −→ ψ(U ) ist gerade die Übergangsfunktion
zwischen den kanonischen Basen der Karten φ = (x1 , . . . , xn ) und ψ = (y1 , . . . , yn ), die beide
positiv orientiert sind. Also ist
ωφ = | det(DT )φ | · ωψ
und somit
ωφ ◦ φ−1 = | det(DT )| · (ωψ ◦ ψ −1 ◦ T ).
(∗)
Aus der Transformationsformel für Lebesgue–Integrale im Rn (siehe Kapitel 9.6) ergibt sich
die Existenz beider Integrale sofern eines existiert sowie die Formel
∫
∫
∫
−1
n
−1
n (∗)
ωψ ◦ ψ dλ =
(ωψ ◦ ψ ◦ T ) · | det DT | dλ =
ωφ ◦ φ−1 dλn .
ψ(A)=T (φ(A))
φ(A)
φ(A)
2
Im allgemeinen liegt die meßbare Menge A allerdings nicht in einem Kartenbereich. Um
das Integral auch über einer solchen Menge korrekt definieren zu können, benutzt man die
sogenannte Zerlegung der 1.
Definition. Sei M n eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit und A ein Atlas von M .
Eine Zerlegung der 1 zum Atlas A ist eine höchstens abzählbare Familie {fα }α∈Λ von nichtnegativen glatten Funktionen fα : M −→ [0, 1] so daß
1. Die Träger von fα , dh. die Mengen suppfα := cl {x ∈ M | fα (x) ̸= 0} sind kompakt
und in einer Kartenumgebung von A enthalten.
2. {supp fα }α∈Λ ist eine lokal endliche Familie von Mengen, d.h. zu jedem x ∈ M existiert eine Umgebung U (x), so daß U (x) ∩ supp fα ̸= ∅ nur für endlich viele α.
∑
3.
fα (x) ≡ 1 für alle x ∈ M .
α∈Λ
Mit anderen Worten, die Funktionen fα zerlegen die Funktion f ≡ 1 in eine Summe von
Funktionen mit kompakten Trägern, die jeweils in einer Kartenumgebung liegen.
Aus der zweiten Eigenschaft der Zerlegung der 1 folgt insbesondere, dass für jede kompakte
Menge K ⊂ M die Menge der Indizes ΛK := {α ∈ Λ | K ∩ suppfα ̸= ∅} endlich ist.
56
Wir zitieren hier ohne Beweis den folgenden Satz (siehe Vorlesung über Differentialgeometrie
oder K. Jänich: Vektoranalysis, S. 158.)
Satz 10.32 Zu jedem Atlas A von M existiert eine Zerlegung {fα }α∈Λ der 1. Insbesondere kann man aus A immer einen höchstens abählbaren Atlas Ab = {(Uα , φα )}α∈Λ ⊂ A
auswählen mit suppfα ⊂ Uα .
Nun können wir das Integral für beliebige meßbare Mengen definieren:
Definition. [I2 ]
Sei A ⊂ M eine beliebige meßbare Teilmenge, ω ∈ Ωn0,± (M n ) und A = {(Uα , φα )}α∈Λ ein
positiv orientierter Atlas mit einer Zerlegung der 1, {fα }α∈Λ . Dann definieren wir
∫
∫
∑
ω :=
fα ω.
(I2 )
α∈Λ
A
A∩Uα
Das Integral (I2 ) existiert immer:
• Da die Menge supp(fα ω) ⊂ suppfα ⊂ Uα kompakt ist, ist fα ω eine n-Form mit
∫
kompaktem Träger in Uα . Das Integral
fα ω existiert somit immer nach (I1 )
A∩Uα
und ist endlich.
• Ist ω ∈ Ωn± (M ), so haben alle Integrale
existiert in [0, ∞] bzw. [−∞, 0].
∫
fα ω das gleiche Vorzeichen, d.h. (I2 )
A∩Uα
• Ist ω ∈ Ωn0 (M ), so ist die Menge der Indizes Λ′ := {α ∈ Λ | suppfα ∩ ω ̸= ∅} endlich.
In (I2 ) steht dann nur eine endliche Summe reeller Zahlen.
1. Das Integral (I2 ) ist unabhängig von der Wahl von A und {fα }.
Satz 10.33
2. Liegt A in einem Kartenbereich U von M , so existiert das Integral (I1 ) und stimmt
mit dem Integral (I2 ) überein.
Beweis: Sei Ab = {(Vβ , ψβ )} ein weiterer positiv orientierter Atlas von M mit zugehöriger
Zerlegung der 1, {gβ }. Wir müssen zeigen, daß
∑ ∫
∑ ∫
fα ω =
gβ ω .
α
Es ist fα =
∑
fα · gβ und gβ =
∑
Vβ ∩A
gβ · fα . Wegen supp(fα gβ ω) ⊂ Uα ∩ Vβ erhalten wir
α
β
∑ ∫
α
β
Uα ∩A
fα ω =
∑∑ ∫
α
Uα ∩A
=
(fα · gβ ) ω =
β U ∩A
α
∑ ∫
β V ∩A
β
∑∑ ∫
β
α
∑ ∫
∑
(fα · gβ ) ω =
α
(fα · gβ ) ω
Vβ ∩A
gβ ω,
β V ∩A
β
wobei wir im vorletzten Schritt Summe und Integral vertauschen durften, da die Summe
endlich ist, falls ω ∈ Ω0 (M ), oder eine monotone Folge, falls ω ∈ Ω± (M ).
Sei nun (U, φ) eine positiv orientierte Karte und A ⊂ U . Wir wollen zeigen, daß
∫
∑ ∫
−1
fα ω
ωφ ◦ φ dλn =
α
φ(A)
57
Uα ∩A
gilt. Für jedes α ist die Menge A ∩ Uα meßbar und in U enthalten. Nach Satz 10.31 ist der
∫
Wert
fα ω wohldefiniert und wir können zu seiner Berechnung eine beliebige positiv
A∩Uα
orientierte Karte auf U , z.B. φ, wählen. Daraus ergibt sich
∑ ∫
∑ ∫
∑
fα ω =
(fα ◦ φ−1 )(ωφ ◦ φ−1 ) dλn =
α
α
Uα ∩A
φ(Uα ∩A)
∫
(∑
=
)
fα ωφ ◦ φ−1 dλn =
α
φ(U ∩A)
α
∫
∫
(fα ◦ φ−1 )(ωφ ◦ φ−1 ) dλn
φ(U ∩A)
ωφ ◦ φ−1 dλn .
φ(A)
2
10.10.3
Eigenschaften und Berechnung des Integrals
Satz 10.34 (Elementare Eigenschaften des Integrals)
1. Es sei ω ∈ Ωn0,± (M ) und A ⊂ M meßbar. Ist A = A0 ∪
N
∪
Ai eine Zerlegung von
i=1
A in höchstens abzählbare viele, paarweise disjunkte, meßbare Mengen, wobei A0 eine
Nullmenge ist, so gilt
∫
N ∫
∑
ω=
ω.
i=1 A
A
i
2. Das Integral ist linear. Seien ω1 und ω2 n–Formen aus Ωn0 (M ) und λ1 , λ2 ∈ R, dann
gilt
∫
∫
∫
λ1 ω1 + λ2 ω2 = λ1 ω1 + λ2 ω2 .
A
A
A
3. Ist ω ∈
eine positive Form und f, g : M −→ R zwei stetige Funktionen mit
f ≤ g. Dann gilt
∫
∫
f ω ≤ gω.
Ωn0 (M )
A
A
4. Sei F : M −→ N ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus, A ⊂ M eine meßbare Menge und ω ∈ Ωn0,± (N ). Dann gilt
∫
∫
F ∗ω =
ω.
A
F (A)
5. −M bezeichne die Untermannigfaltigkeit M , versehen mit der entgegengesetzten Orientierung. Dann gilt
∫
∫
ω = − ω.
−A
A
Beweis: Zu 1. Dies folgt direkt aus den Eigenschaften des Lebesgue–Integrals:
∫
I
ω =2
∑ ∫
α
A
=
∑
α
A∩Uα
N
∑∑
α
I
fα ω =1
∫
i=1U ∩A
α
i
∫
(fα ωφα ) ◦ φ−1
α dλn =
α
φα (Uα ∩A)
fα ω =
N ∑∫
∑
i=1
α
N
∑∑
fα ω =
Ai
N ∫
∑
∑
i=1 A
α
i
58
i=0
fα ω =
∫
(fα ωφα ) ◦ φ−1
α dλn
φα (Uα ∩Ai )
N ∫
∑
i=1 A
i
ω,
wobei wir
φα (A ∩ Uα ) = φα (A0 ∩ Uα ) ∪
|
{z
}
Nullmenge
und die Endlichkeit bzw. Monotonie von
∑
N
∪
φα (Ai ∩ Uα )
|
{z
}
i=1
paarweise disjunkt
benutzt haben.
α
Zu 2. Folgt direkt aus der Definition.
Zu 3. Dies folgt aus der entsprechenden Eigenschaft der Lebesgue-Integrale.
Zu 4. Dies ist die koordinatenunabhängige Variante der Transformationsformel für das
Lebesgue-Integral. Nach 1. genügt es, die Behauptung für meßbare Mengen A ⊂ M mit
A ⊂ U und F (A) ⊂ V zu zeigen, wobei (U, φ) und (V, ψ) positiv orientierte Karten auf M
bzw. N sind. Es gilt
∫
∫
ωψ ◦ ψ −1 dλn .
ω =
F (A)
ψ(F (A))
Wir betrachten den Diffeomorphismus
T := ψ ◦ F ◦ φ−1 : φ(U ∩ F −1 (V )) ⊂ Rn −→ ψ(V ) ⊂ Rn .
Dann folgt aus der Transformationsformel für das Lebesgue-Integral (Kapitel 9.6)
∫
∫
∫
ω=
ωψ ◦ ψ −1 dλn =
(ωψ ◦ ψ −1 ◦ T ) · | det DT | dλn .
F (A)
T (φ(A))
φ(A)
Nun ist
( ∂
)
(
( ∂
)
( ∂
))
∂
(x), . . . ,
(x) = ωF (x) dFx
(x) , . . . , dFx
(x)
∂x1
∂xn
∂x1
∂xn
( ∂
)
∂
= det(D(ψ ◦ F ◦ φ−1 ))φ(x) · ωF (x)
(F (x)), . . . ,
(F (x))
∂y1
∂yn
|
{z
}
|
{z
}
=det DT
(F ∗ ω)φ (x) = (F ∗ ω)x
φ(x)
ωψ (F (x))
= det DTφ(x) · ωψ (F (x)),
wobei wir im letzten Schritt die Definition der kanonischen Basis und das Transformationsverhalten von Formen unter Koordinatenwechsel benutzt haben. Daraus folgt
(F ∗ ω)φ ◦ φ−1 = (det DT ) · (ωψ ◦ F ◦ φ−1 ) = (det DT ) · (ωψ ◦ ψ −1 ◦ T ).
Wir bemerken, daß det(D(ψ ◦ F ◦ φ−1 )) > 0, denn F ist orientierungserhaltend. Somit
erhalten wir
(F ∗ ω)φ ◦ φ−1 = | det DT | · (ωψ ◦ ψ −1 ◦ T )
∫
und deshalb ist
∫
ω=
F (A)
(F ∗ ω)φ ◦ φ−1 dλn =
∫
F ∗ ω.
A
φ(A)
Zu 5. Wie oben dürfen wir oBdA annehmen, daß A ⊂ U , wobei (U, φ = (x1 , . . . , xn ))
eine positiv orientierte Karte auf M sei. Dann ist (U, φ̂ = (−x1 , x2 , . . . , xn )) eine positiv
∂
, . . . , ∂x∂n ) = −ωφ̂ . Definieren wir T :=
orientierte Karte auf −M . Wir haben ωφ = ω( ∂x
1
φ ◦ φ̂−1 , dann ist det(DT ) = −1. Also gilt
∫
∫
∫
ω =
(ωφ ◦ φ−1 ) dλn =
(ωφ ◦ φ−1 ) dλn
A
φ(A)
T (φ̂(A))
∫
(ωφ ◦ φ
=
φ̂(A)
−1
∫
◦ T ) · | det D(T )| dλn = −
| {z }
=1
59
φ̂(A)
ωφ̂ ◦ φ̂−1 dλn .
Dann folgt aus der Definition
∫
∫
ω=
−A
ωφ̂ ◦ φ̂−1 dλn = −
∫
ω.
2
A
φ̂(A)
Bemerkung: Aus der Eigenschaft (1) des Integrals ergeben sich folgende Regeln zur Be∫
rechnung von Integralen ω:
A
1. Nullmengen kann man aus dem Definitionsbereich weglassen.
2. Man zerlegt A in eine disjunkte Vereinigung höchstens abzählbar vieler meßbarer MenN
∪
gen, die jeweils in einem Kartenbereich enthalten sind: A =
Ai , N ≤ ∞. Dann
i=1
gilt
∫
ω =
N ∫
∑
ω
i=1 A
i
a
und man kann die einzelnen Integrale über Ai nach Definition (I1 ) berechnen.
Satz 10.35 Sei L(M ) die σ–Algebra der meßbaren Teilmengen von M n und ω ∈ Ωn+ (M )
eine positive n-Form auf M . Dann ist
µω : L(M ) −→ [0, ∞]
∫
A 7−→
ω
A
ein Maß auf L(M ) und das (entsprechend Kapitel 9.4 definierte) Integral für den Maßraum
(M, L(M ), µω ) erfüllt
∫
∫
f dµω = f ω.
A
A
Satz 10.36 (Mittelwertsatz) Sei M eine orientierte, n-dimensionale Untermannigfaltigkeit, ω ∈ Ωn+ (M ) eine positive n-Form auf M und f : M −→ R eine stetige Funktion auf
M.
1. Sei A ⊂ M eine kompakte, zusammenhängende Teilmenge. Dann existiert ein Punkt
x0 ∈ A, so daß
∫
∫
f (x0 ) · ω =
f ω.
A
(
A
)
2. Sei x ∈ M und An (x) n∈N eine Folge von kompakten, zusammenhängenden Teil∫
mengen von M mit x ∈ An (x), diam(An (x)) → 0 und
ω ̸= 0 für alle n ∈ N.
An (x)
Dann gilt
∫
f (x) =
lim
n→∞
fω
An (x)
∫
An (x)
60
ω
.
Beweis: 1. beweist man durch wörtliche Übertragung des Beweises des Mittelwertsatzes für
bestimmte Integrale im R1 (siehe Kapitel 7.4, Satz 7.17). Man benutzt dabei lediglich die
Monotonie des Integrals, den Zwischenwertsatz für stetige Funktionen auf zusammenhängenden Mengen, sowie die Existenz von Maximum und Minimum einer stetigen Funktion auf
kompakten Mengen.
2. Sei xn ∈ An (x) eine Folge von Punkten mit
∫
∫
f (xn ) ·
ω=
An (x)
fω .
(∗)
An (x)
∩
Da diam(An (x)) → 0 und x ∈ n An (x), konvergiert die Folge (xn ) gegen x. Da f stetig, also
folgenstetig ist, gilt f (xn ) → f (x) und die Behauptung folgt aus (∗) durch Grenzübergang. 2
Wir vereinbaren noch die folgende Schreibweise:
Sei M n ⊂ RN eine n-dimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit des RN und ω n ∈
Ωn (W ) eine n-Form auf einer offenen Teilmenge W des Einbettungsraumes RN . Die Form
ω definiert uns eine n-Form auf der Untermannigfaltigkeit M n , indem wir in die n-Formen
ωx nur Vektoren einsetzen, die in x tangential an M n sind:
Tx M × . . . × Tx M −→ R
(v1 , . . . , vn )
7−→ ωx (v1 , . . . , vn ).
Diese n-Form auf M stimmt mit der n-Form überein, die aus ω ∈ Ωn (W ) durch Zurückziehen
mit der Einbettungsabbildung ι : M ,→ W ⊂ RN entsteht. Wenn wir im folgenden das
Integral von ω über einer meßbaren Teilmenge A ⊂ M schreiben, so verstehen wir darunter
immer das Integral dieser auf M zurückgezogenen Form (!):
∫
∫
ι∗ ω.
ω :=
A
A
Diese nicht ganz exakte Schreibweise hat sich in der Integrationstheorie eingebürgert, um
die Bezeichnungen einfach zu halten.
Wir bekommen damit auch eine Übereinstimmung mit dem in Abschnitt 10.9.4 betrachteten
Kurvenintegral. Sei Γ ⊂ RN eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit (d.h. eine Kurve im
RN ) und ω ∈ Ω1 (RN ) eine 1-Form auf dem RN oder auf einer offenen Umgebung der Kurve
Γ. Sei γ : [a, b] → Γ eine reguläre Parametrisierung von Γ (evt. bis auf endlich viele Punkte).
Das Kurvenintegral von ω über γ war definiert als
∫
∫
ω=
γ
b
ωγ(t) (γ ′ (t)) dt.
a
Andererseits ist die lokale Darstellung von ι∗ ω ∈ Ω1 (Γ) in der durch die Parametrisierung
γ gegebenen Karte ebenfalls
ι∗ ω = ω
(d)
dt = ωγ(t) (γ ′ (t)) dt.
dt
Folglich gilt mit der oben vereinbarten Schreibweise
∫
∫
ω=
Γ
b
′
∫
ωγ(t) (γ (t)) dt =
a
ω.
γ
61
10.10.4
Das Lebesque-Maß auf Untermannigfaltigkeiten, das Volumen von Teilmengen und das Oberflächenintegral
Wir betrachten jetzt als Spezialfall das Maß, das durch die Volumenform dM ∈ Ωn+ (M n )
einer orientierten Untermannigfaltigkeit M n ⊂ RN definiert wird.
Das Maß
λM : L(M ) −→ [0, ∞]
∫
A
7−→
dM
A
heißt das Lebesque-Maß auf M . Ist A ⊂ M meßbar, so heißt die Zahl
∫
Vol(A) := λM (A) =
dM
A
das Volumen von A ⊂ M (oder auch Flächeninhalt von A, wenn n = 2).
Eine Funktion f : A ⊂ M → R heißt Lebesgue-integrierbar über A ∈ L(M ), wenn das
Integral
∫
∫
f dλM =
A
f dM
(∗)
A
existiert und endlich ist. In diesem Fall nennt man das Integral (∗) das Oberflächenintegral
von f über A.
Bemerkung: Das Lebesgue-Maß kann man auch für nicht orientierbare Untermannigfaltigkeiten definieren. Dazu erinnern wir uns daran, dass bei Orientierungsänderung, also für
−M := (M, −OM ), folgende Formeln gelten:
∫
∫
∫
d(−M ) = −dM
und
dM = −
dM =
d(−M ).
−A
A
−A
Es ist also egal, ob man die Orientierung OM oder −OM für die Integraldefinition benutzt. Da man das Lebesgue-Integral auf die Integration über Teilmengen in Kartenbereichen zurückführen kann und jede Karte orientierbar ist, benötigt man in diesem Spezialfall
die Orientierung der gesamten Mannigfaltigkeit nicht.
Ist A in einem Kartengebiet U enthalten, φ = (x1 , . . . , xn ) eine beliebige Kartenabbildung
( )
auf U und gij die Matrix der induzierten Riemannschen Metrik bzgl. dieser Karte, so gilt
nach Definition der Volumenform für das Volumen von A
∫ √
∫ √
det(gij ) dx1 ∧ . . . ∧ dxn =
det(gij ) ◦ φ−1 dλn ,
Vol(A) =
A
φ(A)
und das Oberflächenintegral berechnet sich durch
∫
∫
(
) √
(
)
f dM =
f φ−1 (x1 , . . . , xn ) · det(gij ) φ−1 (x1 , . . . , xn ) · dλn (x1 , . . . , xn ).
A
φ(A)
Eine geometrische Interpretation des Volumens:
1. Für M = Rn stimmen die beiden Lebesgue-Maße und Volumenbegriffe überein:
Ist A ∈ L(Rn ) und sind φ = (x1 , . . . , xn ) die Euklidischen Koordinaten von Rn , so gilt
∫
∫
∫
Vol(A) = dRn = dx1 ∧ . . . ∧ dxn = dλn = λn (A).
A
A
A
62
2. Sei (U, φ = (x1 , . . . , xn )) eine Karte von M und bezeichne
x ∈ U −→ V (x) := Volumen des von
∂
∂
∂x1 (x), . . . , ∂xn (x)
aufgespannten
Parallelotops in Tx M
die von dieser Karte definierte Volumenfunktion. Für A ⊂ U ist das Volumen Vol(A) die
Mittlung der Volumenfunktion V über A:
∫
∫
(
)
V φ−1 (x1 , . . . , xn ) dλn (x1 , . . . , xn ).
Vol(A) = V dx1 ∧ . . . ∧ dxn =
A
φ(A)
3. Für Hyperflächen kann man die folgende geometrische Interpretation des Volumens beweisen: Sei M n eine orientierte Hyperfläche im Rn+1 mit der Normalenabbildung
n : M −→ Rn+1 . Sei W eine Teilmenge von M und x0 ein fixierter Punkt aus W . Wir
f die Projektion von W auf die Tangentialebene T anx M entlang n(x0 ).
bezeichnen mit W
0
Sei nun W = (W1 , . . . , Wk ) eine Unterteilung von A in disjunkte meßbare Mengen und
bezeichne
k
k
∑
∑
fi ) :=
fi ).
Vol(A, W) :=
Vol(W
λn (W
i=1
i=1
Die Norm der Unterteilung sei
∥W∥ := max{diam(Wi ) | i = 1, . . . , k}.
Sei (Wn ) eine Folge von Unterteilungen von A mit ∥Wn ∥ → 0 . Dann gilt
Vol(A) = lim Vol(A, Wn ).
n→∞
(Man findet einen Beweis dazu im Buch von M. do Carmo: Differentialgeometrie von
Kurven und Flächen.
Beispiel 1: Volumen von Kurven ( = Länge)
Sei M ⊂ RN eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit und sei γ : (a, b) −→ M eine
Kurve, die M bis auf endlich viele Punkte parametrisiert. Für die Volumenform gilt dann
dMγ(t) = ∥γ ′ (t)∥dt . Das Volumen von M ist also gerade die Länge der Kurve γ
∫
Vol(M ) =
∫b
dM =
M
∥γ ′ (t)∥dt = Länge(γ).
a
Beispiel 2: Volumen von Flächen im R3 (= Oberflächeninhalt)
Sei M 2 ⊂ R3 eine Fläche im R3 und Φ : U ⊂ R2 −→ M eine lokale Parametrisierung von
M . Bezeichne wie in Abschnitt 10.9.5
⟨ ∂Φ ∂Φ ⟩
⟨ ∂Φ ∂Φ ⟩
⟨ ∂Φ ∂Φ ⟩
E := g11 =
,
, F := g22 =
,
und G := g12 =
,
.
∂u1 ∂u1
∂u2 ∂u2
∂u1 ∂u2
Die Volumenform ist gegeben durch
2
dMΦ(U
) =
∂Φ
√
∂Φ EF − G2 du1 ∧ du2 = ×
du1 ∧ du2 .
∂u1
∂u2
63
Ist also A eine meßbare Teilmenge in Φ(U ) und A = Φ(W ), so gilt für den Flächeninhalt
von A
∫ √
∫ ∂Φ ∂Φ
2
Vol(A) =
EF − G du1 du2 = ×
du1 du2
∂u1
∂u2
W
W
Als Spezialfälle erhält man durch Berechnung von (gij ):
Flächeninhalt eines Graphen:
Sei h : U ⊂ R2 −→ R eine glatte Abbildung und
M 2 = graph(h) = {(u1 , u2 , h(u1 , u2 )) | (u1 , u2 ) ∈ U } der Graph von h. Dann gilt
∫ √
( ∂h )2 ( ∂h )2
2
Vol(M ) =
1+
+
du1 du2 .
∂u1
∂u2
U
Flächeninhalt einer Rotationsfläche:
Sei γ : [a, b] −→ R2 eine glatte reguläre Kurve mit γ1 > 0 und bezeichne
Mγ2 := { (γ1 (v) cos u, γ1 (v) sin u, γ2 (v)) | u ∈ R, v ∈ [a, b] }
die von γ erzeugte Rotationsfläche. Dann gilt
∫
Vol(Mγ2 )
∫b
′
γ1 (v) ∥γ (v)∥ dudv = 2π
=
a
(0,2π)×(a,b)
10.11
γ1 (v) ∥γ ′ (v)∥ dv.
Der Satz von Stokes
Für das Riemann-Integral kennt man die Formel
∫b
f ′ (x) dx = f (b) − f (a).
a
Unter gewissen Bedingungen an den Integranden kann man also das Integral durch Werte auf
dem Rand des Integrationsbereiches ausdrücken. Dies wollen wir nun auf Mannigfaltigkeiten
mit Rand verallgemeinern. Wir werden zeigen, daß man das Integral
∫
η
Mn
n
durch ein Integral über den Rand ∂M ausdrücken kann, falls die n-Form η exakt, d.h. von
der Form η = dω ist.
10.11.1
Der Satz von Stokes für Differentialformen
Satz 10.37 (Satz von Stokes für Differentialformen)
Sei M n eine n-dimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit, ∂M der Rand von M , versehen mit der induzierten Orientierung, und ω eine (n − 1)-Form mit kompaktem Träger
auf M . Dann gilt
∫
∫
dω =
M
ω,
(∗)
∂M
wobei ω auf der rechten Seite als (n−1)-Form über der Mannigfaltigkeit ∂M aufgefasst wird,
indem man für x ∈ ∂M nur Tangentialvektoren von Tx (∂M ) in ωx einsetzt.
64
Beweis: Sei A = {(Uα , φα )} ein Atlas auf M und {fα } eine Zerlegung der 1 zu A. Dann ist
∑
ω=
fα ω, wobei die Summe endlich ist, da supp ω kompakt und die Familie der Träger
α
{suppfα } lokal endlich ist. Da die linke und die rechte Seite von (∗) linear in ω ist, genügt
∫
∫
fα ω gilt. Deshalb können wir zum Beweis von (∗) oBdA
es zu zeigen, daß
d(fα ω) =
M
∂M
annehmen, daß der Träger von ω in einem Kartengebiet U von M liegt.
Wir werden (∗) nun durch direktes Ausrechnen beider Integrale beweisen.
∫
(1) Berechnung von
dω:
M
Sei (U, φ = (x1 , . . . xn )) eine positiv orientierte Karte mit φ(U ) ⊂ Rn+ . Bezüglich dieser
Karte ist ω durch
ω=
n
∑
ci ∧ . . . ∧ dxn , mit ωi = ω
ωi (x)dx1 ∧ . . . ∧ dx
i=1
( ∂
d
∂
∂ )
,...,
,...,
∂x1
∂xi
∂xn
gegeben. Wenden wir das Differential darauf an, so ergibt sich
dω =
n
∑
ci ∧ . . . ∧ dxn =
dωi ∧ dx1 ∧ . . . ∧ dx
i=1
n
∑
∂
ci ∧ . . . ∧ dxn
(ωi ) dxj ∧ dx1 ∧ . . . dx
∂x
j
i,j=1
n
∑
∂
=
(−1)i−1
(ωi ) dx1 ∧ . . . ∧ dxn = (dω)φ dx1 ∧ . . . ∧ dxn .
∂x
i
i=1
Durch Einsetzen und Umformen des Integrals erhalten wir
∫
∫
dω =
M
∫
(dω)φ ◦ φ−1 dλn
dω =
U
φ(U )
∫
n
∑
=
(−1)i−1
i=1
=
φ(U )
∫
n
∑
=
n−1
∑
Rn
+
φ(U )
∫
(−1)i−1
i=1
...
[0,∞)
∫
+ (−1)n−1
∫ (∫
)
∂(ωi ◦ φ−1 )
ci . . . dxn
(x1 , . . . , xn ) dxi dx1 . . . dx
∂xi
R
R
|
{z
}
∫ ( ∫
...
R
∂(ωi ◦ φ−1 )
dλn
∂xi
∂(ωi ◦ φ−1 )
(x1 , . . . , xn ) dx1 · · · dxn
∂xi
(−1)i−1
i=1
∫
n
∑
∂
(ωi ) ◦ φ−1 dλn =
(−1)i−1
∂xi
i=1
R
|
(∗∗)
∂(ωn ◦ φ
∂xn
[0,∞)
−1
)
)
(x1 , . . . , xn ) dxn dx1 . . . dxn−1
{z
}
(∗∗∗)
Da supp(ωi ◦ φ−1 ) ⊂ φ(U ), konnten wir beim vorletzten Schritt den Integrationsbereich
auf ganz Rn+ ausdehnen, in dem wir ωi ◦ φ−1 glatt durch Null auf Rn+ fortsetzen. Die letzte
Identität gilt aufgrund des Satzes von Fubini.
Für 1 ≤ i < n erhalten wir
∫
∂(ωi ◦ φ−1 )
(x1 , . . . , xn ) dxi
∂xi
R
(
)
= lim ωi φ−1 (x1 , . . . , , xi , . . . , xn ) −
(∗∗) =
xi →∞
65
(
)
lim ωi φ−1 (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) = 0,
xi →−∞
da der Träger supp(ωi ◦ φ−1 ) ⊂ φ(U ) kompakt ist.
Falls i = n, so gilt
∫∞
∂(ωn ◦ φ−1 )
(x1 , . . . , xn ) dxn
∂xn
0
(
(
)
)
= lim ωn φ−1 (x1 , . . . , , xi , . . . , xn ) − lim ωn φ−1 (x1 , . . . , xi , . . . , xn )
(∗ ∗ ∗) =
xn →∞
xn →0
= −ωn (φ
−1
(x1 , . . . , xn−1 , 0)).
Daraus folgt
∫
∫
dω = (−1)n
(
)
ωn φ−1 (x1 , . . . , xn−1 , 0) dλn−1 (x1 , . . . , xn−1 ).
Rn−1
M
(2) Berechnung von
∫
ω:
∂M
Ist U ∩ ∂M = ∅, so gilt φ(U ) ⊂ Int(Rn+ ). Somit verschwindet ωn ◦ φ−1 auf dem Rand von
∫
Rn+ und wir erhalten dω = 0. Da der Träger von ω in U liegt, ist dann auch ω|∂M = 0,
M
∫
also
ω = 0. In diesem Fall gilt also die Formel (∗).
∂M
Sei nun U ∩ ∂M ̸= ∅. Da supp ω ⊂ U , ist supp ω|∂M ⊂ ∂M ∩ U . Ist (U, φ = (x1 , . . . , xn ))
eine Karte von M , so ist (U ∩ ∂M, φ
e := φ|U ∩∂M = (x1 , . . . , xn−1 )) eine Karte von ∂M , da
der Rand durch xn = 0 charakterisiert ist. Wir wollen nun die Orientierungen der Karten
(U, φ) und (U ∩∂M, φ)
e miteinander vergleichen. Sei dazu ν : ∂M −→ T M das Vektorfeld der
äußeren Normale des Randes. Die folgenden Basen von Tx M in einem Randpunkt x ∈ ∂M
sind gleichorientiert:
(
ν(x),
)
( ∂
)
∂
∂
∂
(x), . . . ,
(x) ∼
(x), . . . ,
(x), (−1)n−1 ν(x)
∂x1
∂xn−1
∂x1
∂xn−1
( ∂
)
∂
∂
∼
(x), . . . ,
(x), (−1)n
(x)
∂x1
∂xn−1
∂xn
da die Vektoren ∂x∂n (x) und ν(x) nach Definition in verschiedene Richtungen bezüglich
Tx ∂M zeigen, ν(x) nach außen und ∂x∂n (x) nach innen. Also ist die Karte (U ∩ ∂M, φ)
e des
Randes positiv orientiert, falls n gerade ist und negativ orientiert, falls n ungerade ist.
Für die lokale Darstellung von ω|U ∩∂M als (n − 1)-Form auf dem Rand ∂M bzgl. der
Randkarte (U ∩ ∂M, φ)
e gilt
ω|U ∩∂M = ωφe dx1 ∧ . . . ∧ dxn−1 ,
wobei
( ∂
∂ )
,...,
∂x1
∂xn−1
n
∑
(
)( ∂
∂ )
ci ∧ . . . ∧ dxn
,...,
=
ωi · dx1 ∧ . . . ∧ dx
∂x1
∂xn−1
i=1
(
)
(
) ∂
∂
= ωn · dx1 ∧ . . . ∧ dxn−1
,...,
∂x1
∂xn−1
= ωn ,
ωφe = ω
da dxn
(
∂
∂xj
)
= 0 , wenn j ̸= n. Wir erhalten also für ω, betrachtet als (n − 1)-Form auf ∂M :
ω|U ∩∂M = ωn · dx1 ∧ . . . ∧ dxn−1 ∈ Ωn−1 (∂M ).
66
(a) Sei n gerade. Dann ist
∫
∫
ω =
ωn dx1 ∧ . . . ∧ dxn−1 =
U ∩∂M
∂M
∫
=
∫
ωn ◦ φ
e−1 dλn−1 (x1 , . . . , xn−1 )
φ(U
e ∩∂M )
(
)
ωn φ−1 (x1 , . . . , xn−1 , 0) dλn−1 (x1 , . . . , xn−1 ).
Rn−1
(b) Ist n ungerade, so ist
∫
∫
10.34
ω = −
(
)
ωn φ−1 (x1 , . . . , xn−1 , 0) dλn−1 (x1 , . . . , xn−1 ).
Rn−1
∂M
∫
Damit ist die Behauptung
dω =
M
10.11.2
∫
2
ω bewiesen.
∂M
Der Gaußsche Integralsatz und die Greenschen Formeln
In diesem Abschnitt leiten wir weitere Integralsätze auf Mannigfaltigkeiten aus dem Satz
von Stokes ab. Im gesamten Abschnitt sei M n ⊂ RN eine zusammenhängende, kompakte,
orientierte Untermannigfaltigkeit mit Rand ∂M und ν : ∂M −→ RN das Vektorfeld der
äußeren Normalen auf ∂M .
Satz 10.38 (Divergenz–Formel/Gaußscher Integralsatz)
Es sei X ein glattes Vektorfeld auf M und f ∈ C ∞ (M ) eine glatte Funktion. Dann gilt
∫
∫
1.
div(X) dM =
⟨X, ν⟩ d(∂M ).
M
∂M
∫
∫
f · div(X) dM +
2.
M
∫
f · ⟨X, ν⟩ d(∂M ).
X(f ) dM =
M
∂M
Beweis: Wir wissen aus Satz 10.28 bereits, daß
div(X) dM = LX dM := d(iX dM ) + iX ddM = d(iX dM )
gilt. Somit folgt aus dem Satz von Stokes
∫
∫
div(X) dM =
iX dM.
M
∂M
Wir wollen nun die Form ω := iX dM als (n − 1)-Form auf dem Rand näher beschreiben.
Für x ∈ ∂M zerlegen wir den Vektor X(x) ∈ Tx M in eine Normalen– und eine Tangentialkomponente an ∂M :
X(x) = ⟨X(x), ν(x)⟩ ν(x) +
|
{z
}
∈ Tx M , ⊥Tx ∂M
X ∗ (x)
| {z }
∈Tx (∂M )
und erhalten
ωx = ιX(x) dMx = ⟨X(x), ν(x)⟩ · ιν(x) dMx + ιX ∗ (x) dMx .
67
Für Vektoren v1 , . . . , vn−1 ∈ Tx (∂M ) gilt dann
(
)
ωx (v1 , . . . , vn−1 ) = ⟨X(x), ν(x)⟩ · ιν(x) dMx (v1 , . . . , vn−1 ) + dMx (X ∗ (x), v1 , . . . , vn−1 )
{z
}
|
linear abhängig
(
)
⟨X(x), ν(x)⟩ · ιν(x) dMx (v1 , . . . , vn−1 ) + 0
=
10.29
=
⟨X(x), ν(x)⟩ · (d∂M )x ((v1 , . . . , vn−1 ).
Betrachtet man ω als (n − 1)-Form auf ∂M , so gilt folglich
ω = ⟨X, ν⟩ d(∂M ) ∈ Ωn−1 (∂M )
∫
und somit
∫
⟨X, ν⟩ d(∂M ).
div (X) dM =
M
∂M
Die zweite Formel folgt aus der ersten mit der Produkregel
div(f X) = f div(X) + X(f )
2
für die Divergenz (siehe Satz 10.21).
Satz 10.39 (Greensche Formeln)
Seien f und h glatte Funktionen auf M . Dann gilt
∫
∫
∫
h · ∆(f ) dM + ⟨grad f, grad h⟩ dM =
h · ν(f ) d(∂M ),
1.
M
M
∫
∫
(h · ∆(f ) − f · ∆(h)) dM =
2.
M
∂M
(
)
h · ν(f ) − f · ν(h) d(∂M ).
∂M
Beweis: Gemäß Definition gilt ∆(f ) = div (grad f ). Die Anwendung des Gaußschen Integralssatzes liefert
∫
∫
∫
∫
(
)
h · ∆(f ) dM =
h · div (grad f ) dM =
h · ⟨grad f, ν⟩ d(∂M ) −
grad f (h) dM
M
M
∫
∂M
∫
h df (ν) d(∂M ) −
=
dh(grad f ) dM
M
∂M
∫
∫
h ν(f ) d(∂M ) −
=
M
⟨grad h, grad f ⟩ dM.
M
∂M
Die zweite Formel folgt durch zweimaliges Anwenden des soeben bewiesenen.
2
Als Anwendung der Greenschen Formeln sehen wir uns zwei weitere Eigenschaften des
Laplace-Operators ∆ : C ∞ (M ) → C ∞ (M ) an. Auf dem Vektorraum der glatten Funktionen
C ∞ (M ) betrachten wir das L2 -Skalarprodukt:
∫
⟨f, h⟩L2 := f · h dM,
f, h, ∈ C ∞ (M ).
M
∞
Eine Funktion f ∈ C (M ) heißt harmonisch, wenn ∆(f ) = 0 gilt. Es gibt i.a. sehr viele
harmonische Funktionen. Z.B. ist der Realteil und der Imaginärteil jeder holomorphen
Funktion f : U ⊂ C → C harmonisch. Der nächste Satz zeigt, dass im Gegensatz dazu jede
harmonische Funktion auf einer zusammenhängenden kompakten Mannigfaltigkeit ohne
Rand konstant ist.
68
Satz 10.40 Sei M n eine kompakte, orientierte Untermannigfaltigkeit ohne Rand. Dann gilt
1. ⟨∆(f ), h⟩L2 = ⟨f, ∆(h)⟩L2 für alle f, h ∈ C ∞ (M ).
(Man sagt dazu: Der Laplace-Operator ∆ ist formal selbstadjungiert)
2. Ist ∆(f ) ≥ 0 und M zusätzlich zusammenhängend, so ist f konstant. Insbesondere ist
jede harmonische Funktion auf M konstant.
Beweis: Die erste Behauptung folgt unmittelbar aus der 2. Greenschen Formel, da ∂M = ∅.
Sei nun f ∈ C ∞ (M ) eine glatte Funktion mit ∆(f ) ≥ 0. Aus der formalen Selbstadjungiertheit des Laplace-Operators folgt
⟨∆(f ), 1⟩L2 = ⟨f, ∆(1)⟩L2 = 0
∫
0 = ∆(f ) dM.
und somit
M
Da ∆(f ) ≥ 0 und dM eine positive n-Form ist, folgt daraus ∆(f ) = 0. Das Anwenden der
1. Greenschen Formel ergibt
∫
∫
0 = f ∆(f ) dM = − ⟨grad f, grad f ⟩ dM = −∥grad f ∥2L2 .
M
M
Folglich ist grad f = 0 und damit df = 0. Da M zusammenhängend ist, muß f also konstant
sein.
2
10.11.3
Klassische Integralsätze im R2 und R3
In diesem Abschnitt leiten wir aus dem Satz von Stokes einige klassische Integralsätze im
R2 und R3 ab, wie man sie oft in Büchern über Vektoranalysis findet. Zunächst ein Satz für
Gebiete im R2 :
Satz 10.41 Sei G ⊂ R2 eine kompakte 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit dem Rand
∂G = Γ und bezeichne X = (ξ1 , ξ2 ) : G −→ R2 ein Vektorfeld auf G. Desweitern sei
ν = (ν1 , ν2 ) : ∂G −→ R2 das Vektorfeld der äußeren Normalen auf ∂G. Dann gilt
)
∫ (
∫ (
)
∂ξ2
∂ξ1
1.
−
dx1 dx2 =
ξ1 dx1 + ξ2 dx2 .
∂x1
∂x2
G
∫ (
2.
G
Γ
∂ξ1
∂ξ2
+
∂x1
∂x2
)
∫ (
dx1 dx2 =
)
ξ1 ν1 + ξ2 ν2 dΓ.
Γ
Beweis: Wir betrachten die 1-Form ω := ξ1 dx1 + ξ2 dx2 ∈ Ω1 (G). Dann gilt
(
)
∂ξ2
∂ξ2
∂ξ1
∂ξ1
dx2 ∧ x1 +
dx1 ∧ x2 =
−
dx1 ∧ dx2 .
dω =
∂x2
∂x1
∂x1
∂x2
Die erste Behauptung folgt dann aus dem Satz von Stokes. Für die Divergenz des Vektorfeldes X gilt
∂ξ1
∂ξ2
div(X) =
+
.
∂x1
∂x2
Die 2. Formel folgt somit ein Spezialfall der Divergenzformel.
69
2.
Vor der Formulierung der klassischen Integralsätze im R3 erinnern wir nochmal an die Beziehungen zwischen den Operatoren Divergenz, Gradient und Rotation im R3 . Sei W ⊂ R3
eine offene Teilmenge und X : W ⊂ R3 −→ R3 ein glattes Vektorfeld mit den Komponenten
X = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) . Die Rotation von X ist ein neues Vektorfeld auf W , das durch
(
rot (X) :=
∂ξ3
∂ξ2 ∂ξ1
∂ξ3 ∂ξ2
∂ξ1
−
,
−
,
−
∂x2
∂x3 ∂x3
∂x1 ∂x1
∂x2
)
definiert ist. Die Divergenz von X ist durch
div(X) =
∂ξ2
∂ξ3
∂ξ1
+
+
∂x1
∂x2
∂x3
gegeben. Für den Gradienten einer glatten Funktion f : W ⊂ R3 −→ R gilt
gradf =
( ∂f ∂f ∂f )
,
,
.
∂x1 ∂x2 ∂x3
Aus Kapitel 6 kennen wir die folgenden Eigenschaften für die Rotation, die man schnell
nochmal nachrechnet:
1. div (rot (X)) = 0
für alle X ∈ X(W ),
2. rot (grad f ) = 0
für alle f ∈ C ∞ (W ),
3. rot (f · X) = f · rot (X) + grad f × X.
Mit dem Lemma von Poincare erhält man für ein Vektorfeld Y auf sternförmigen Mengen
W ⊂ R3 darüber hinaus:
4. div(Y ) = 0 genau dann, wenn rot(X) = Y für ein Vektorfeld X auf W .
5. rot(Y ) = 0 genau dann, wenn Y = gradf für eine Funktion f auf W .
Satz 10.42 (Klassischer Satz von Stokes für Flächen im R3 )
Sei M 2 ⊂ R3 eine kompakte, orientierte Fläche im R3 mit Rand ∂M . Es bezeichne
n : M2
x
−→
S 2 ⊂ R3
7→ n(x) ⊥ Tx M 2
das der Orientierung von M entsprechende Einheitsnormalenvektorfeld von M und
t : ∂M −→ T (∂M ) das tangentiale Einheitsvektorfeld der 1–dimensionalen Mannigfaltigkeit
∂M , das der induzierten Orientierung des Randes entspricht. Sei W ⊂ R3 eine offene
Umgebung von M und X ein auf W definiertes glattes Vektorfeld. Dann gilt
∫
∫
⟨rot (X), n⟩ dM =
⟨X, t⟩ d(∂M ).
M2
∂M 2
Beweis: Wir betrachten die zu X duale 1-Form
ω=
3
∑
ξi dxi ∈ Ω1 (W )
i=1
70
und wenden darauf den Satz von Stokes an. Mit rot(X) = (R1 , R2 , R3 ) bezeichnen wir zur
Abkürzung die Rotation von X. Dann gilt
dω = dξ1 ∧ dx1 + dξ2 ∧ dx2 + dξ3 ∧ dx3
= ∂2 (ξ1 )dx2 ∧ dx1 + ∂3 (ξ1 )dx3 ∧ dx1 + ∂1 (ξ2 )dx1 ∧ dx2
+ ∂3 (ξ2 )dx3 ∧ dx2 + ∂1 (ξ3 )dx1 ∧ dx3 + ∂2 (ξ3 )dx2 ∧ dx3
= (∂2 (ξ3 ) − ∂3 (ξ2 ))dx2 ∧ dx3 + (∂3 (ξ1 ) − ∂1 (ξ3 ))dx3 ∧ dx1
+ (∂1 (ξ2 ) − ∂2 (ξ1 ))dx1 ∧ dx2
= R1 dx2 ∧ dx3 + R2 dx3 ∧ dx1 + R3 dx1 ∧ dx2 .
Wir zeigen nun
dω = ⟨rot(X), n⟩ dM ,
(∗)
ω|∂M = ⟨X, t⟩ d(∂M ) ∈ Ω (∂M ).
1
(∗∗)
Sei dazu Φ : U ⊂ R2 −→ M eine lokale Parametrisierung von M . Dann gilt für das
Normalenfeld
∂Φ
∂Φ
(u) × ∂u
(u)
1
2
n(Φ(u)) = ∂u
∈ R3 ,
u = (u1 , u2 ),
∂Φ
∂Φ
∥ ∂u1 (u) × ∂u2 (u)∥
und für die Volumenform
∂Φ
∂Φ dM = ×
du1 ∧ du2 .
∂u1
∂u2
Nach Definition des alternierenden Produktes und des Vektorproduktes folgt außerdem für
die 1. Komponente des Vektorproduktes
( ∂Φ
(
)( ∂Φ ∂Φ ) ∂Φ2 ∂Φ3
∂Φ3 ∂Φ2
∂Φ )
,
dx2 ∧ dx3
,
=
·
−
·
=
×
∂u1 ∂u2
∂u1 ∂u2
∂u1 ∂u2
∂u1
∂u2 1
d.h. es gilt
dx2 ∧ dx3 =
( ∂Φ
∂u1
×
∂Φ )
du1 ∧ du2 .
∂u2 1
Analog rechnet man für die anderen Komponenten und erhält mit n = (N1 , N2 , N3 ),
N1 dM = dx2 ∧ dx3 ,
N2 dM = dx3 ∧ dx2 ,
N3 dM = dx1 ∧ dx2 .
Folglich ist ⟨rot(X), n⟩ dM =
3
∑
Ri Ni dM = dω
und (∗) gezeigt.
i=1
Sei nun t = (T1 , T2 , T3 ). Da t ein der Orientierung entsprechendes Einheitsvektorfeld auf
dem Rand ∂M ist, folgt wegen dxi (t) = Ti und d(∂M )(t) = 1
Ti d(∂M ) = dxi
(als 1-Form auf ∂M ).
Wir erhalten also für die Form ω|∂M , betrachtet als 1-Form auf ∂M , die Formel (∗∗):
ω|∂M =
3
∑
i=1
ξi dxi =
3
∑
ξi Ti d(∂M ) = ⟨t, X⟩ d(∂M ).
i=1
2
71
Wir wollen abschließend eine Reihe von Integralsätzen in einer Notation angeben, wie man
sie in einigen Büchern zur klassischen Vektoranalysis findet. Dort werden oft die folgenden
Bezeichnungen verwendet:


dx1


d⃗s :=  dx2  ∈ Ω1 (W, R3 )
dx3
heißt das vektorielle Linienelement auf W ,


dx2 ∧ dx3


dF⃗ :=  dx3 ∧ dx1  ∈ Ω2 (W, R3 )
dx1 ∧ dx2
heißt das vektorielle Flächenelement auf W und die übliche Volumenform
dV := dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∈ Ω3 (W )
heißt das Volumenelement von W .
Ist X = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) ein Vektorfeld auf W ⊂ R3 , so bezeichnen X · d⃗s bzw. X · dF⃗ die 1bzw. 2-Formen
X · d⃗s := ξ1 dx1 + ξ2 dx2 + ξ3 dx3 ∈ Ω1 (W )
X · dF⃗ := ξ1 dx2 ∧ dx3 + ξ2 dx3 ∧ dx1 + ξ3 dx1 ∧ dx2 ∈ Ω2 (W ).
Die zu X duale 1-Form ω =
3
∑
ξi dxi und ihr Differential dω schreiben sich dann in der Form
i=1
ω = X · d⃗s,
dω = rot(X) · dF⃗ .
Der Satz von Stokes ergibt dann
Satz 10.43 Ist X ein glattes Vektorfeld auf einer offenen Menge W ⊂ R3 und M 2 ⊂ W
eine Fläche, so gilt
∫
∫
rot(X) · dF⃗ =
X · d⃗s.
M2
∂M 2
Aus dem Mittelwertsatz erhalten wir:
Folgerung: Sei W ⊂ R3 eine offene Menge, n ein Einheitsvektor im R3 , x0 ∈ W ein
fixierter Punkt und Kε (x0 ) die Kreisscheibe vom Radius ε um x0 in der zu n orthogonalen
Ebene durch x0 . Dann gilt für die Rotation eines glatten Vektorfeldes X auf W
1
ε→0 πε2
∫
X · d⃗s
⟨rot(X), n⟩(x0 ) = lim
∂Kε (x0 )
Diesen Grenzwert nennt man auch die Wirbelstärke von X um n und rot(X)(x0 ) selbst
auch Wirbeldichte von X in x0 . Ein Vektorfeld X heißt wirbelfrei, wenn rot(X) = 0 gilt.
Ein Vektorfeld X auf einer sternförmigen Menge W ⊂ R3 ist genau dann wirbelfrei, wenn
es eine glatte Funktion f auf W mit X = gradf gibt. (siehe oben).
Man kann auch die Wirbeldichte selbst als den Grenzwert eines Integrals ausdrücken. Wir
vereinbaren dazu die folgende Notation:
72
Ist V 3 eine 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit im R3 (d.h. ein Körper) und B =
(B1 , B2 , B3 ) ein Vektorfeld auf V 3 . Dann bezeichne


∫
∫
∫
∫
B dV :=  B1 dV , B2 dV ,
B3 dV  .
V
V
V
V
Satz 10.44 Sei V 3 ⊂ R3 eine 3–dimensionale Untermannigfaltigkeit des R3 mit dem Rand
∂V 3 = M 2 . Sei X ein Vektorfeld auf V 3 und ν : ∂V 3 = M 2 −→ R3 das Vektorfeld der
äußeren Normalen des Randes von V . Dann gilt
∫
∫
rot(X) dV = − (X × ν) dM.
V3
M2
Beweis: Sei X = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) . Wir definieren auf V eine 2–Form ω mit Werten in R3 durch:
(
)
ω := − ξ3 dx1 ∧ dx3 − ξ2 dx1 ∧ dx2 , ξ1 dx1 ∧ dx2 − ξ2 dx2 ∧ dx3 , ξ2 dx2 ∧ dx3 + ξ1 dx1 ∧ dx3 .
Dann rechnet man leicht aus, daß
dω = rot(X) dV = rot(X) dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 .
Wir haben zu zeigen, daß
ω|M = −(X × ν) dM
(als 2-Form auf M = ∂V ).
Nach Definition stimmt das Vektorfeld der aüßeren Normale ν : M −→ R3 mit dem Einheitsnormalenvektorfeld n = (N1 , N2 , N3 ) : M −→ R3 von M 2 ⊂ R3 überein. Aus dem
Beweis von Satz 10.42 wissen wir deshalb bereits, dass
N1 dM = dx2 ∧ dx3
,
N2 dM = dx3 ∧ dx1
und N3 dM = dx1 ∧ dx2 .
Setzen wir dies in die Definition von ω ein, so erhalten wir
ω|M = (ξ3 N2 − ξ2 N3 , ξ1 N3 − ξ3 N1 , ξ2 N1 − ξ1 N2 ) dM = −(X × n) dM.
2
Nun folgt die Behauptung aus dem Satz von Stokes.
Aus dem Mittelwertsatz folgt
Folgerung: Sei X ein Vektorfeld in einer Umgebung von x0 ∈ R3 und bezeichne Sε2 (x0 )
die Sphäre um x0 vom Radius ε. Dann gilt
∫
3
rot(X)(x0 ) = − lim
(X × ν) dSε2 .
ε→0 4πε3
Sε2 (x0 )
Analog zu Satz 10.43 können wir auch die Divergenzformel aus Satz 10.38 in der klassischen
Form schreiben und erhalten
Satz 10.45 Sei V 3 eine 3–dimensionale Untermannigfaltigkeit des R3 mit dem Rand ∂V 3 =
M 2 und X = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) ein glattes Vektorfeld auf V . Dann gilt
∫ (
∫
∂ξ1
∂ξ2
∂ξ3 )
+
+
dV = X · dF⃗
∂x1
∂x2
∂x3
V
M
73
Aus dem Mittelwertsatz folgt
Folgerung: Sei x0 ∈ R3 und X ein glattes Vektorfeld, das auf einer Umgebung von x0
definiert ist. Bezeichne Sε2 (x0 ) die Sphäre um x0 vom Radius ε. Dann gilt
div(X)(x0 ) = lim
ε→0
∫
3
4πε3
X · dF⃗ .
Sε2 (x0 )
Interpretiert man X als das Geschwindigkeitsfeld einer strömenden, inkompressiblen Flüssig∫
keit, dann ist
X · dF⃗ die Flüssigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit vom Strömungsfeld X
∂V
durch den Rand ∂V transportiert wird und die Zahl
1
Vol(V )
∫
X · dF⃗
∂V
beschreibt die Ergiebigkeit des Feldes X in V . Nach der vorstehenden Folgerung mißt also
div(X)(x0 ) die “Quelldichte” von X. Ein Vektorfeld X heißt quellenfrei, falls div(X) = 0
gilt. Wirbelfelder rot(B) sind quellenfrei. Ein auf einem sternförmigen Gebiet W definiertes
Vektorfeld X ist genau dann quellenfrei, wenn es ein Vektorfeld B auf W mit X = rot(B)
gibt (siehe oben).
Aus dem Gaußschen Integralsatz (Satz 10.38) folgt ein weiterer klassischer Integralsatz,
nämlich
Satz 10.46 Sei V 3 eine 3–dimensionale Untermannigfaltigkeit des R3 mit Rand ∂V = M 2 ,
ν = (N1 , N2 , N3 ) das Vektorfeld der äußeren Normalen auf M 2 und f eine glatte Funktion
auf V . Dann gilt
∫
∫
∂f
3
dV =
f · Ni dM.
∂xi
V
M
Beweis: Wir wenden die 2. Formel von Satz 10.38 auf das Vektorfeld X =
für dieses Feld div(X) = 0 gilt, erhalten wir
∫
∂f
dV =
∂xi
V
∫
∂
∂xi
= ei an. Da
∫
f · ⟨ei , ν⟩ d∂V =
f · Ni dM
M
∂V
2
Aus dem Mittelwertsatz folgt dann
Folgerung: Es sei x0 ∈ R3 , Sε2 (x0 ) die Sphäre um x0 vom Radius ε, ν die Abbildung der
äußeren Normale auf Sε2 und f eine glatte Funktion auf einer Umgebung von x0 . Dann gilt
3
grad f (x0 ) = lim
ε→0 4πε3
∫
f · ν dSε2 .
Sε2
2
74
10.11.4
Drei typische Anwendungen des Satzes von Stokes
Der Satz von Stokes ist einer der zentralen Sätze in der Integrationstheorie. Er hat
sehr vielfältige Anwendungen in Geometrie, Analysis und mathematischer Physik. Drei
Anwendungen werden wir jetzt zeigen. In den Vorlesungen des Hauptstudiums (z.B.
Differentialgeometrie) wird man weiteren Anwendungen mit wichtigen inhaltlichen Konsequenzen begegnen.
Berechnung des Volumens der Sphäre:
Sei Drn ⊂ Rn die Vollkugel vom Radius r in Rn , also Drn = {x ∈ Rn | ∥x∥ ≤ r} und
Srn−1 = {x ∈ Rn | ∥x∥ = r} ihr Rand, die n − 1-dimensionale Sphäre vom Radius r. In
Kapitel 9.8 haben wir bereits das Volumen der Kugel berechnet
 n n
2

falls n gerade
 π( n r)! ,
2
n
Vol(Dr ) =
n+1
n−1

 2 2 π 2 rn , falls n ungerade .
1·3·5·...·n
Satz 10.47 Für das Volumen der Sphäre gilt
n
· Vol(Drn ).
r
∫
dSrn−1 . Wir betrachten auf Drn die
und Vol(Srn−1 ) =
Vol(Srn−1 ) =
Beweis: Es gilt ∂Drn = Srn−1
Srn−1
Euklidischen Koordinaten (x1 , . . . , xn ). Dann ist die Volumenform von Drn gegeben durch
dDrn = dx1 ∧ . . . ∧ dxn
und das Vektorfeld der äußeren Normalen auf dem Rand Srn−1 von Drn durch
x
1∑
∂
=
xj
(x)
r
r j=1 ∂xj
n
ν(x) =
x ∈ Srn−1
Aus Satz 10.29 folgt nun
(dSrn−1 )x = iν(x) (dDrn )x
n
∑
(
)
xj
=
i ∂ dx1 ∧ . . . ∧ dxn
∂xj
r
j=1
=
n
(
( ∂ ))
1 ∑
dj ∧ . . . ∧ dxn
(−1)j−1 xj dxj
dx1 ∧ . . . ∧ dx
r j=1
∂xj
| {z }
=1
n
1 ∑
dj ∧ . . . ∧ dxn
=
(−1)j−1 xj dx1 ∧ . . . ∧ dx
r j=1
Bezeichne ω die (n − 1)-Form
ω=
n
∑
dj ∧ . . . ∧ dxn
(−1)j−1 xj dx1 ∧ . . . ∧ dx
j=1
Für ihr Differential gilt
dω =
n
n
∑
∑
dj ∧ . . . ∧ dxn =
(−1)j−1 dxj ∧ dx1 ∧ . . . ∧ dx
dx1 ∧ . . . ∧ dxn = n dDrn
j=1
j=1
75
Somit erhalten wir mit dem Satz von Stokes für das Volumen der Sphäre
∫
∫
∫
∫
1
1
n
n
n−1
n−1
Vol(Sr ) =
dSr
=
ω=
dω =
dDrn = Vol(Drn )
r
r
r
r
Srn−1
Drn
Srn−1
Drn
2
Für eine weitere geometrische Anwendung des Satzes von Stokes erinnern wir an den Begriff
der homotopen Abbildungen.
Definition. Seien f0 und f1 : M −→ N zwei glatte Abbildungen zwischen den Untermannigfaltigkeiten M und N . f0 und f1 heißen glatt–homotop zueinander, falls eine
C ∞ –Abbildung H : [0, 1] × M −→ N existiert, so daß H(0, x) = f0 (x) und H(1, x) = f1 (x)
gilt. Das heißt, man hat eine Schar von Abbildungen ft : M −→ N mit ft (x) = H(t, x), die
f0 in f1 überführen. Bezeichnung: f0 ∼H f1 .
Satz 10.48 Seien M n und N n kompakte, orientierte Untermannigfaltigkeiten ohne Rand
und ω eine n–Form mit kompaktem Träger auf N . Sind f0 , f1 : M −→ N zwei glatt-homotope
Abbildungen, so gilt
∫
∫
f1∗ ω.
f0∗ ω =
Mn
Mn
Beweis: Sei I = [0, 1]. Der Rand der Untermannigfaltigkeit I × M ist gegeben durch
∂(I × M ) = M ∪ (−M ), wobei −M die Untermannigfaltigkeit M mit entgegengesetzter
Orientierung ist. Also folgt aus f0 ∼H f1 , daß
∫
∫
∫
∫
∫
H ∗ ω = f0∗ ω +
f1∗ ω = f0∗ ω − f1∗ ω.
−M
M
∂(I×M )
M
M
Andererseits ergibt das Anwenden des Satzes von Stokes
∫
∫
∫
H ∗ω =
d(H ∗ ω) =
H ∗ dω = 0,
I×M
∂(I×M )
I×M
da dω ∈ Ωn+1 (N n ) = {0}. Somit erhalten wir
∫
M
f0∗ ω =
∫
f1∗ ω.
2
M
Wir zeigen jetzt, dass man “einen Igel nicht kämmen kann“.
Satz 10.49 (Igelsatz) Jedes Vektorfeld X auf einer Sphäre S 2n ⊂ R2n+1 gerader Dimension hat mindestens eine Nullstelle, d.h. es existiert ein x ∈ S 2n mit X(x) = 0.
Bemerkung: Auf Sphären ungerader Dimension ist dieser Satz falsch; man betrachte etwa
das Vektorfeld X(x1 , . . . , x2n+2 ) := (x2 , −x1 , x3 , −x4 , . . . , x2n+2 , −x2n+1 ).
Beweis von Satz 12.38: Sei X ein Vektorfeld auf S n . Angenommen X habe keine Nullstelle. Mit τ bezeichnen wir die sogenannte antipodale Abbildung, definiert durch τ (x) := −x.
Da X keine Nullstelle hat, erhalten wir durch
H(t, x) := cos(πt) x + sin(πt)
X(x)
∥X(x)∥
eine glatte Homotopie zwischen der Identität und der antipodalen Abbildung τ . Aus Satz
10.48 folgt dann
∫
∫
dS n = τ ∗ dS n . (∗)
Sn
Sn
76
Wir drücken jetzt die n-Form τ ∗ dS n durch die Volumenform der Sphäre aus. Die Orientierung auf der Sphäre S n sei durch das Einheitsnormalenfeld n(x) = x festgelegt, d.h. es
gilt
(a1 , . . . , an ) ∈ OTx S n ⇐⇒ (a1 , . . . , an , x) ∈ ORn+1
(∗∗)
Sei nun (e1 , . . . , en ) eine positiv orientierte orthonormale Basis in Tx S n . Dann ist (e1 , . . . , en )
auch eine orthonormale Basis in T−x S n , die wegen (**) negativ orientiert ist. Wir erhalten
also für die n-Form τ ∗ dS n
n
n
(τ ∗ dS n )x (e1 , . . . , en ) = dS−x
(−e1 , . . . , −en ) = (−1)n dS−x
(e1 , . . . , en )
= (−1)n+1 = (−1)n+1 dSxn (e1 , . . . , en ).
Somit gilt
τ ∗ dS n = (−1)n+1 dS n
und für das Volumen der Sphäre würde aus (*) folgen
∫
∫
∫
Vol(S n ) = dS n = τ ∗ dS n = (−1)n+1
dS n = (−1)n+1 Vol(S n ).
Sn
Sn
Sn
Dies ist für gerade Dimensionen n ein Widerspruch.
77
2
10.12
Wiederholungsfragen zur Prüfungsvorbereitung
Die folgenden Fragen fassen den in Kapitel 10 behandelten Stoff zusammen. Sie sollen die
Vorbereitung auf die Analysisprüfung erleichtern. Bei der Beantwortung der Fragen sollten
Sie folgendes beachten: Zu getroffenen Aussagen sollten Sie Beweise bzw. kurze Beweisideen kennen, mathematische Begriffe sollten Sie an Beispielen bzw. Gegenbeispielen erläutern
können. Außerdem sollten Sie den Vorlesungsstoff auf die Lösung von Aufgaben anwenden können (wie in der Übung behandelt bzw. in den wöchentlichen Hausaufgaben gestellt
wurden).
1. Definieren Sie den Begriff der Untermannigfaltigkeit (UMF) des Rn (mit und ohne
Rand). Welche Eigenschaften haben das Innere und der Rand einer Untermannigfaltigkeit? Welche Beispiele kennen Sie? Wie kann man Untermannigfaltigkeiten beschreiben
(durch Gleichungen, Graphen oder lokale Parametrisierungen)?
2. Definieren Sie den Tangentialraum und den Cotangentialraum einer Untermannigfaltigkeit M in einem Punkt x ∈ M . Welche Eigenschaften haben diese Räume? Wie
kann man sie berechnen?
3. Definieren Sie den Begriff einer differenzierbaren (C k , C ∞ ) Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten. Welche Eigenschaften haben differenzierbare Abbildungen?
4. Definieren Sie das Differenzial einer differenzierbaren Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten. Welche Eigenschaften hat dieses Differenzial? Warum verallgemeinert
es das Differenzial einer differenzierbaren Abbildung f : U ⊂ Rn → Rm , wie es in
Kapitel 6 definiert wurde?
5. Was versteht man unter der kanonischen Basis im Tangentialraum Tx M bezüglich
einer Karte um x ∈ M ? Wie erhält man die duale Basis in Tx∗ M dazu (Beweis)?.
Wie lauten die Transformationsformeln zwischen kanonischen Basen bzw. Cobasen zu
verschiedenen Karten?
6. Was versteht man unter einem Vektorfeld auf einer Untermannigfaltigkeit? Definieren
Sie die Richtungsableitung einer Funktion nach einem Vektorfeld. Was ist der Kommutator zweier Vektorfelder und welche Eigenschaften hat er?
7. Was versteht man unter der induzierten Riemannschen Metrik einer Untermannigfaltigkeit? Was sind ihre lokalen Koeffizienten? (Beispiele)
8. Definieren Sie die Begriffe Gradient, Divergenz und Laplace-Operator für Funktionen bzw. Vektorfelder einer Untermannigfaltigkeit. Nennen Sie Eigenschaften dieser
Operationen (Produktregeln, lokale Formeln).
9. Was versteht man unter einer k-Form auf einer Untermannigfaltigkeit? Welche Operationen für k-Formen kennen Sie (Induzieren, alternierendes Produkt, lokale Darstellung, Differenzial einer k-Form, inneres Produkt, Lie-Ableitung)? Nennen Sie deren
wichtigste Rechenregeln.
10. Was versteht man unter einer Orientierung auf einer Untermannigfaltigkeit? Welche
Kriterien für die Orientierbarkeit von Untermannigfaltigkeiten kennen Sie? Nennen Sie
Beispiele für orientierbare und nicht orientierbare Untermannigfaltigkeiten.
78
11. Definieren Sie die Volumenform einer orientierten Untermannigfaltigkeit. Welche Eigenschaften hat diese Form (lokale Darstellung, Beziehung zwischen der Volumenform
von M und der Volumenform des Randes ∂M )?
12. Definieren Sie das Integral einer n-Form über einer meßbaren Teilmenge einer ndimensionalen Untermannigfaltigkeit. Welche Eigenschaften hat dieses Integral? Wie
kann man es berechnen?
13. Definieren Sie das Volumen einer meßbaren Teilmenge einer Untermannigfaltigkeit.
Geben Sie für die Definition eine geometrische Interpretation. Wie berechnet man
dieses Volumen?
14. Formulieren und beweisen Sie den Satz von Stokes (für Integrale von Formen über
UMF). Welche Anwendungen kennen Sie?
15. Nennen und beweisen Sie spezielle Integralsätze, die aus dem Satz von Stokes folgen.
Welche Eigenschaften des Laplace-Operatores erhält man aus diesen Sätzen?
10.13
Weitere Literatur zur Vorlesung
• K. Königsberger: Analysis 2, Springer, Kapitel 11, 13.
• Th. Bröcker: Analysis III, Kapitel IV -VI, Wissenschaftsverlag 1992.
• O. Forster: Analysis III, Vieweg-Teubner, Kapitel 14 ff, insb. 19-21
• K. Jänich: Vektoranalyis. Springer 1992
• H. Flanders: Differential forms. With applications to physical sciences. Academic
Press, 1963
• M. P. Do Carmo: Differential forms and applications. Springer, Berlin 1994.
• I. Agricola, T. Friedrich: Vektoranalysis. Differentialformen in Analysis, Geometrie
und Physik, Vieweg-Teubner 2010
79
10.14
Übungsaufgaben
Aufgabe 10.1
Zeigen Sie, dass der Zylinder Z = { (x, y, z) ∈ R3 ∥ x2 + y 2 = 1 } eine 2-dimensionale
Untermannigfaltigkeit des R3 ist. Geben Sie lokale Parametrisierungen an, die den Zylinder
überdecken.
Aufgabe 10.2
Sei f : (a, b) → R+ eine C ∞ -Funktion. Beweisen Sie, dass die Rotationsfläche
M 2 = { (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = f (z)2 }
eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R3 ist. (Skizze)
Aufgabe 10.3
Beweisen Sie, dass das Kathenoid
M 2 = { (cosh u cos v, cosh u sin v, u) ∈ R3 | (u, v) ∈ R2 }
eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R3 ist. (Skizze)
Aufgabe 10.4
a) Zeigen Sie, dass der Kegel
K = { (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = z 2 }
keine Untermannigfaltigkeit des R3 ist. (Skizze)
b)∗ Zeigen Sie dass die Neilsche Parabel
P = { (x, y) ∈ R2 | x3 = y 2 }
keine Untermannigfaltigkeit des R2 ist. (Skizze)
Aufgabe 10.5
2
Zeigen sie, dass folgende Gruppen G ⊂ gl(Rn ) Untermannigfaltigkeiten des Rn ≃ gl(Rn )
sind. Bestimmen Sie ferner deren Dimension und die Tangentialräume im Einselement.
a) G = SL(n, R) = { M ∈ gl(Rn ) | det M = 1 } (spezielle lineare Gruppe)1 .
b) G = O(n) = { M ∈ gl(Rn ) | M · M t = id } (orthogonale Gruppe).
Aufgabe 10.6
Betrachte die Wendelfläche
M 2 := { Φ(u, v) := (v cos u, v sin u, u) ∈ R3 | v, u ∈ R, v > 0 }
Sei u0 ∈ R fixiert und bezeichne φ(v) den Winkel zwischen der Tangentialebene
T anΦ(u0 ,v) M 2 und der z-Achse. Beweisen Sie,
φ(v) = arctan(|v|)
1 Wird
in der Übung besprochen.
80
Aufgabe 10.7
Sei h : U ⊂ R2 → R eine C ∞ -Funktion und M 2 ⊂ R3 die 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit M 2 :=graph(h). Zeigen Sie, dass die Tangentialebene durch einen Punkt
p = (u0 , v0 , h(u0 , v0 )) ∈ M 2 gegeben ist durch
{
}
∂h
∂h
3
Tanp M = (x, y, z) ∈ R (x − u0 ) (u0 , v0 ) + (y − v0 ) (u0 , v0 ) = z − h(u0 , v0 )
∂u
∂v
Aufgabe 10.8
Seien X, Y : S 2 → R3 definiert durch
X(x, y, z) = (−y, x, 0),
Y (x, y, z) = (−z, 0, x)
a) Zeigen Sie, dass X und Y glatte Vektorfelder auf S 2 sind.
b) Berechnen Sie den Kommutator von X und Y .
c) Geben Sie die Komponenten des Vektorfeldes X bezüglich der durch die sphärischen
Koordinaten gegebenen Karte an.
d) Berechnen Sie die Richtungsableitung X(f ) für die Funktion f : S 2 → R, f (x, y, z) =
z.
e) Zeigen Sie: Es existiert keine Funktion h : S 2 → R mit X = grad(h).
Aufgabe 10.9
Seien X, Y, Z Vektorfelder und f, g Funktionen auf einer Untermannigfaltigkeit.
Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften für den Kommutator von Vektorfeldern:
a) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0
(Jacobi-Identität)
b) [f X, gY ] = f g[X, Y ] + f X(g)Y − gY (f )X
c) [X, Y ](f ) = X(Y (f )) − Y (X(f ))
Aufgabe 10.10
a) Sei U ⊂ R3 eine offene Teilmenge. Sei F = (F1 , F2 , F3 ) : U → R3 ein Vektorfeld auf
U , so definieren wir dessen Rotation als ein neues Vektorfeld auf U durch
(
)
∂F3
∂F2 ∂F1
∂F3 ∂F2
∂F1
rot(F ) :=
−
,
−
,
−
∂x2
∂x3 ∂x3
∂x1 ∂x1
∂x2
Beweisen Sie folgende Formeln, wobei f ∈ C ∞ (U, R):
(
)
• div rot(F ) = 0
(
)
• rot grad(f ) = 0
• rot(f · F ) = f · rot(F ) + grad(f ) × F
81
b) Sei M ⊂ RN eine Untermannigfaltigkeit, f, h ∈ C ∞ (M ) und V ∈ X(M ). Wir definieren
den Laplace-Operator ∆ als
(
)
∆(f ) := div grad(f )
Beweisen Sie die folgenden Produktregeln:
• grad(f · h) = f · grad(f ) + h · grad(f )
• div(f · V ) = f · div(V ) + V (f )
⟨
⟩
• ∆(f · h) = f · ∆(h) + h · ∆(f ) + 2 grad(f ), grad(h)
Aufgabe 10.11 (Stereographische Projektion)
a) Bezeichne N = {(0, ..., 0, 1)} den Nordpol der Sphäre S n und sei h : S n \ N → Rn die
auf folgende Weise definierte Abbildung:
h(x) :=
{
Gerade durch N und x
}
∩
{
Ebene xn+1 = 0
}
Geben Sie Formeln für h und h−1 und zeigen Sie, dass h−1 eine Parametrisierung von
S n \ N ist.
b)∗ Beschreiben Sie das Bild unter h−1 von Hyperebenen E n−1 ⊂ Rn bzw. Hypersphären
S n−1 ⊂ Rn .
c) Geben Sie die Koeffizienten der Riemannschen Metrik, den Gradienten einer Funktion
f ∈ C ∞ (S n ), die Divergenz eines Vektorfeldes X ∈ X(S n ) und den Laplace-Operator
von f in der durch die stereographische Projektion h gegebenen Karte auf S n \ N an.
Aufgabe 10.12
Bestimmen Sie alle nur vom Abstand zum Nullpunkt r(x) = d(x, 0) = ||x|| abhängenden
Funktionen f : Rn \{0} → R, die die Gleichung ∆f = 0 erfüllen (harmonische Funktionen).
Aufgabe 10.13
a) Berechnen Sie das äußere Differential folgender Formen im R3 :
1) ω 1 = ex cos(y) dx − ex sin(y) dy
2) ω 2 = xy dx ∧ dy + 2x dy ∧ dz + 2y dx ∧ dz
3) ω 2 = z dx ∧ dy + x dy ∧ dz + y dx ∧ dz
b) Sei ω 1 = f (x, y) dx + g(x, y) dy ∈ Ω1 (R2 ) eine 1-Form auf R2 . Beweisen Sie:
ω 1 ist geschlossen
⇐⇒
∂f
∂g
=
∂y
∂x
Bestimmen Sie alle Funktionen α ∈ C ∞ (R2 ) die dα = ω 1 erfüllen, sowie alle 1-Formen
η 1 mit dη 1 = y dx ∧ dy.
c) Finden Sie ein analoges Kriterium für Geschlossenheit einer 1-Form auf dem Rn .
82
(
)
d) Sei σ ∈ Ω1 R2 \ {0} die 1-Form
σ=−
x
y
dx + 2
dy
x2 + y 2
x + y2
Beweisen Sie, dass σ geschlossen, aber nicht exakt ist auf R2 \ {0}. Geben Sie eine
offene Teilmenge U von R2 \ {0} an, auf der σ exakt ist (U möglichst groß!).
Aufgabe 10.14 (Lemma von Poincare)
Eine Teilmenge A ⊂ Rn heisst sternförmig, falls ein Punkt x0 ∈ A existiert, so dass ∀ x ∈ A
auch die Strecke xo x in A liegt. Beweisen Sie:
Auf einer offenen und sternförmigen Menge U ist jede geschlossene k-Form exakt
(k ≥ 1).
Hinweis: OBdA kann man x0 = 0 wählen. Betrachten Sie die (k-1)-Form Iω auf U , definiert
durch
 1

∫
k
∑ ∑
d
Iω (x) :=
(−1)α−1  tk−1 ωi1 ...ik (tx) dt · xiα dxi1 ∧ ... ∧ dx
iα ∧ ... ∧ dxik
i1 <...<ik α=1
0
und zeigen Sie, dass dIω = ω gilt.
Aufgabe 10.15
Sei U ⊂ R3 eine offene sternförmige Menge und X ein Vektorfeld auf U . Beweisen Sie:
rotX = 0
⇐⇒
es existiert f ∈ C ∞ (U ) mit gradf = X
Hinweis: Wenden Sie Aufgabe 9.14 auf die 1-Form ωX , definiert durch ωX (Y ) = ⟨X, Y ⟩ , an.
Aufgabe 10.16 (Maxwell-Gleichungen)
Zur Beschreibung zeitabhängiger elektromagnetischer Vorgänge im Vakuum werden folgende
mathematisches Begriffe benutzt:
• E=
3
∑
i=1
• B=
3
∑
i=1
∂
Ei (x, t) ∂x
i
∂
Bi (x, t) ∂x
i
(elektrisches Feld)
(magnetisches Feld)
• ρ(x, t)
• J=
3
∑
i=1
(Ladungsdichte)
∂
Ji (x, t) ∂x
i
(Stromdichte)
Die Relationen zwischen diesen Feldern sind durch die experimentell begründeten MaxwellGleichungen gegeben, die bei geeigneter Normierung der physikalischen Konstanten folgendes besagen:
(1)
div(B) = 0
(B besitzt keine Quelle)
(2)
rotE +
(3)
rotB − J −
∂
∂t (E)
(4)
divE = ρ
(Gauss-Gesetz)
∂
∂t (B)
=0
(Faraday-Gesetz)
=0
(Ampére-Gesetz)
∂
∂
Wir setzen ∂x
= ∂t
und betrachten E, B, J ∈ X(R4 ) als glatte Vektorfelder auf R4 sowie
4
∑3
∂
ρ ∈ C ∞ (R4 ). Ferner definieren wir für ein Vektorfeld F = i=1 Fi (x, t) ∂x
∈ X(R4 ) und
i
2
2
4
eine 2-Form α ∈ Ω (R ) :
83
1. ωF1 :=
3
∑
Fi dxi ∈ Ω1 (R4 )
i=1
2. ωF2 := F1 dx2 ∧ dx3 + F2 dx3 ∧ dx1 + F3 dx1 ∧ dx2 ∈ Ω2 (R4 )
{
)
(
4 ∑
4
∑
−1
∂
∂
2
2 ∂
j
3. δ(α ) :=
κi ∂xi α ( ∂xi , ∂xj ) dx
wobei κi =
1
i=1 j=1
für i = 1, 2, 3
für i = 4
Zeigen Sie dann, dass für die 2-Form η 2 ∈ Ω2 (R4 ) definiert durch
1
2
η 2 := ωE
∧ dt + ωB
folgendes gilt:
1. dη 2 = 0 ⇐⇒ 1) und 2)
(in der Übung behandelt)
2. δη 2 = ωJ1 − ρdt ⇐⇒ 3) und 4)
Aufgabe 10.17
Berechnen Sie die lokale Darstellung der Volumenform für folgende Flächen im R3 :
a) Rotationsfläche
(
)
Rf (a, b) = { f (z) cos(v), f (z) sin(v), z ∈ R3 | (v, z) ∈ R × (a, b) },
(
)
wobei f ∈ C ∞ (a, b) und f > 0.
b) Rotationstorus
(
)
T 2 = { (r1 + r2 cos u) cos v, (r1 + r2 cos u) sin v, r2 sin u | (v, u) ∈ R2 },
wobei r1 > r2 > 0 .
c) Wendelfläche
(
)
W = { r cos v, r sin v, v ∈ R3 | (v, r) ∈ R × R+ }.
d) Sphäre vom Radius r > 0
(
)
S 2 (r) = { r cos v cos u, r sin v cos u, r sin u ∈ R3 | (v, u) ∈ R2 }
e) Graph einer Funktion F ∈ C ∞ (R2 )
(
)
Γ(F ) = { u, v, F (u, v) ∈ R3 | (u, v) ∈ R2 }
Aufgabe 10.18
Beweisen Sie die folgende Formel für die Volumenform auf der Einheitssphäre S n ⊂ Rn+1
(wobei S n durch das nach außen zeigende Normalenvektorfeld orientiert sei) :
dSxn (v1 , . . . , vn ) = ⟨x, v1 × . . . × vv ⟩,
v1 , . . . , vn ∈ Tx S n
Aufgabe 10.19
Berechnen Sie die Oberflächen der folgenden Flächen:
a) Rotationstorus
(
)
T 2 = { (r1 + r2 cos u) cos v, (r1 + r2 cos u) sin v, r2 sin u | (v, u) ∈ R2 },
wobei r1 > r2 > 0 .
84
b) Sphäre vom Radius r > 0
(
)
S 2 (r) = { r cos v cos u, r sin v cos u, r sin u ∈ R3 | (v, u) ∈ R2 }
c) Wendelfläche
(
)
W = { r cos v, r sin v, v ∈ R3 | (v, r) ∈ [0, 4π] × (0, 2) }.
d) Kegel
K := {(r cos θ, r sin θ, r) ∈ R3 | 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 1}.
Aufgabe 10.20
Berechnen Sie die Fläche des Graphen der Funktion f : [0, 1] × [0, 1] ⊂ R2 → R
3
2 3
(x 2 + y 2 )
3
f (x, y) :=
Aufgabe 10.21
Bestimmen Sie die Oberflächen der folgenden Rotationsflächen Rf (a, b) (vgl. 11.17a):
• f (z) = z, 0 < a < b.
• f (z) = e−z , (a, b) = (0, ∞).
• f (z) = z −α , (a, b) = (1, ∞). Für welche α > 0 ist die Oberfläche endlich?
Aufgabe 10.22
a) Berechnen Sie das Volumen des Viviani-Körpers, also des Durchschnitts des Vollzylinders
Z := {(x, y, z) ∈ R3 | (x − R2 )2 + y 2 ≤ ( R2 )2 } mit der Kugel B 3 := {(x, y, z) ∈
R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 }.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Viviani-Fläche, also des Durchschnitts des Vollzylinders
Z wie in a) mit der Sphäre S 2 := {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = R2 }.
Aufgabe 10.23
Es sei K = Rcosh2 z (−∞, +∞) das Katenoid und T 2 der Rotationstorus. Berechnen Sie
folgende Integrale:
∫
∫
1
dK
und
b) z dx ∧ dy.
a)
(x2 + y 2 )2
T2
K
Aufgabe 10.24
Sei η = z 2 dx ∧ dy eine 2-Form im R3 , und sei S = {(x, y, z) ∈ S 2 | z > 0} die obere Hälfte
der orientierten Einheitssphäre S 2 ⊂ R3 . Berechnen Sie das Integral
∫
η
S
85
Aufgabe 10.25
Sei S die orientierte Fläche S := {(u + v, u2 − v 2 , u · v) | u, v ∈ [0, 1]}. Berechnen Sie das
Integral
∫
x dy ∧ dz + y dx ∧ dy
S
Aufgabe 10.26
Berechnen Sie das Integral
∫ √
x2
y2
z2
+
+
dE ,
a4
b4
c4
E
wobei E die Ellipsoidfläche E := {(x, y, z) ∈ R3 |
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 } bezeichne.
Aufgabe 10.27
T sei der Körper, der durch die xy-Ebene, die xz-Ebene, die yz-Ebene und die Ebene 2x +
3y + 6z = 12 begrenzt ist. Berechnen Sie
∫
F1 dx ∧ dy + F2 dy ∧ dz + F3 dz ∧ dx
∂T
direkt und nach dem Satz von Stokes2 für:
a) F1 = 3y, F2 = 18z, F3 = −12
b) F1 = z, F2 = x2 , F3 = y
Aufgabe 10.28
Gegeben sei das Vektorfeld F ∈ X(R3 ) mit F(x, y, z) := (2x, y 2 , z 2 ). Ferner bezeichne S 2 ⊂
R3 die 2-dimensionale Sphäre vom Radius 1. n sei das Vektorfeld der äußeren Normalen.
Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Stokes das Integral
∫
< F, n > dS 2
S2
Aufgabe 10.29
Berechnen Sie mit Hilfe des Stokesschen Satzes das Integral
∫
−y 3 dx + x3 dy − z 3 dz
C
C ist die Schnittmenge des Zylinders x2 + y 2 = 1 mit der Ebene x + y + z = 1, die
Orientierung enspricht der Bewegung gegen den Uhrzeigersinn in der xy-Ebene.
2 Bemerkung: ∂T ist KEINE glatte Untermannigfaltigkeit, lässt sich aber aus solchen zusammengesetz∫
ten. Der Satz von Stokes darf hier trotzdem angewendet werden indem man das Integral ∂T für die einzelnen
glatten Randstücke berechnet.
86
Aufgabe 10.30
Verifizieren Sie den Stokesschen Integralsatz für die Fläche B = {(x, y, z) ∈ R3 | z =
x2 − y 2 , x2 + y 2 ≤ 1} und das Vektorfeld X(x, y, z) = (x, y, z), d.h. zeigen Sie durch direkte
Rechnung, dass gilt
∫
∫
rot(X) · dF⃗ =
X · d⃗s.
B
∂B
Aufgabe 10.31
Es sei D ⊂ R2 ein ebenes beschränktes Gebiet mit glattem Rand ∂D. Mit γ : [a, b] −→ ∂D
bezeichnen wir die einfache, reguläre, auf Bogenlänge parametrisierte Kurve, die den Rand
von D in Richtung seiner Orientierung parametrisiert. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt
Area(D) := λ2 (D) des Gebietes D folgende Formel gilt:
1
Area(D) =
2
∫b
(
)
x(t) y ′ (t) − y(t)x′ (t) dt
a
87
, wobei
γ(t) = (x(t), y(t))