Circunferência e círculo - Professor Clayton Palma
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Circunferência e círculo - Professor Clayton Palma
Circunferência e círculo A evolução da humanidade foi acelerada por algumas descobertas e invenções. Entre elas, podemos citar a imprensa de Johannes Gutenberg (1400-1468), na Alemanha, por volta de 1450, que permitiu a disseminação dos conhecimentos em maior escala, por intermédio dos livros. Outras invenções, tais como a bússola, que facilitou as Grande Navegações, e a máquina a vapor, que permitiu a incrementação das ferrovias, possibilitaram uma considerável evolução do conhecimento humano. Circunferência Se O é um ponto do plano e r um número real positivo, chama-se circunferência de centro O e raio r o lugar geométrico dos pontos do plano que estão à distância r do ponto O. A B P r r r r O r r E D C Elementos P A O r r O Q Corda PQ C= 2π πr Diâmetro AB D = 2r B Elementos B Arco AMB N M A Arco ANB Arcos e ângulos A≡B arco completo A≡B arco nulo Arcos e ângulos B O Arco de meia volta (Semicircunferência) A Círculo O conjunto constituído por uma circunferência e pelos pontos interiores a ela é chamado círculo ou disco. O r Área do Círculo 2 Área: é dada por: S = πR R => 2πR S = 2 πR.R 2 2 => S = πR Posições relativas de ponto e circunferências P O r B A O ponto A é interno à circunferência dOA < r O ponto B pertence à circunferência dOB = r O ponto P é exterior à circunferência dOP > r Posições relativas de reta e circunferências r é tangente à circunferência dOP = r r r P ⇔ O r e a circunferência têm um único ponto comum. Posições relativas de reta e circunferências A P B s é secante à circunferência dOP < r O ⇔ s s e a circunferência têm dois pontos comuns. Posições relativas de reta e circunferências t é exterior à circunferência dOP > r ⇔ O P t t e a circunferência não têm ponto comum. Propriedades da reta tangente à circunferência Uma reta é tangente a uma circunferência se, e somente se, ela é perpendicular ao raio no ponto de tangência. r O r P Por um ponto de uma circunferência, podese traçar uma única tangente a essa circunferência. Propriedade da reta secante à circunferência Uma reta secante que passa pelo centro da circunferência é perpendicular a uma corda se, e somente se, divide essa corda ao meio. s B O M A s ⊥ AB por O ⇔ AM = MB Consequência Um diâmetro perpendicular a uma corda divide essa corda ao meio. C B O M D A CD ⊥ AB por O ⇔ AM = MB Posições relativas de duas circunferências C2 C1 A R r B C1 é externa C2 Todos os pontos de C1 são externos a C2 ⇔ dAB > r + R Posições relativas de duas circunferências C2 C1 B A R r P C1 e C2 são tangentes externamente em P C1 e C2 têm um só ponto comum e não têm ponto interior comum ⇔ dAB = r + R Posições relativas de duas circunferências C2 C1 B A r R C1 e C2 são secantes Têm dois pontos comuns ⇔ R – r < dAB < R + r Posições relativas de duas circunferências C2 C1 P A B C1 e C2 são tangentes internamente em P Têm um só ponto comum e os demais pontos de C1 são interiores a C2 ⇔ dAB = R – r Posições relativas de duas circunferências C2 C1 A B C1 é interna a C2 Todos os pontos de C1 são interiores a C2 ⇔ 0 ≤ dAB < R – r Ângulos na circunferência Ângulo central Chama-se de ângulo central de uma circunferência todo ângulo que tem como vértice o seu centro. B C β O α D γ A E F A cada ângulo central corresponde um arco, interseção do ângulo com a circunferência. Ângulo central Um ângulo central tem a mesma medida do arco correspondente. A AÔB é ângulo central O α m(AÔB) = m(AB) = α B Unidade de ângulo e arco Representação Medida em graus Arco completo 360º Arco de meia volta 180º Arco de ¼ de volta 90º Arco nulo 0º Ângulo Inscrito Chama-se ângulo em uma circunferência todo ângulo cujo vértice é um de seus pontos e cujos lados são secantes a ele. A APB é ângulo inscrito O α P B m(APB) = α = AB 2 Ângulo Inscrito - Propriedade Ângulos inscritos em um mesmo arco são congruentes. Q P R Os ângulos inscritos de vértices P, Q e R são congruentes B A m(APB) = m(AQB) = m(ARB) = AB 2 Ângulo Inscrito - Propriedade Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. M N A B P AB diâmetro da circunferência, os ângulos de vértices M, N e P são retos, porque o arco AB mede 180o. Ângulo Inscrito - Propriedade Todo triangulo inscrito numa semicircunferência e retângulo. M r A r r B Como conseqüência a mediana relativa a hipotenusa tem medida igual a metade da hipotenusa. Conexão Para você fazer – p. 45 A área circular da praça é de S =πR² = 3,14 . 35² = 3846,5 m². Como a cada m deveriam estar quatro pessoas, podemos multiplicar a área circular da praça por 4 para obter uma estimativa da quantidade de pessoas presentes sobre a área circular: 3846,5 . 4 = 15 386 Logo, aproximadamente 15 386 pessoas estariam presentes à apresentação e sobre a área circular. Para você fazer – p. 46 Em um círculo de centro O e raio medindo 4 cm, considere um setor circular de 30º e um triângulo AOB: Área do setor circular(S seg ) área π 42 S set 16π S set S set = ângulo → → = 360º 30º 360º 30º 4π cm 2 3 Área do triângulo(Stri ) Área do segmento circular(S seg ) Sseg = S set − Stri 1 Stri = OA.OB.sen( AÔB) 4π 4π 12 − 4 → S seg = − Sseg = 2 3 3 3 1 4π − 12 4(π − 3) Stri = 4.4.sen(30º ) → Sseg = Sseg = 3 3 2 4 Stri = 4cm2 Sseg = (π − 3)cm 2 3 Para você fazer – p. 49 α = 2β ⇒ β = α 2 α 160º β = → 5θ = 2 2 80º 5θ = 80º → θ = 5 θ = 16º Para você fazer – p. 49 Para cada dois pontos escolhidos como vértices do triângulo, que são também extremidades de um mesmo diâmetro, existem quatro opções de escolha. Por exemplo, se escolhermos os pontos M e N como dois dos três vértices do triângulo retângulo (MN será a hipotenusa), existem quatro opções para escolher o terceiro vértice: A, B, C ou D. Mas podemos escolher a hipotenusa de três maneiras diferentes (AB, CD ou MN). Se para cada escolha da hipotenusa existem possibilidades, podemos escolher o terceiro vértice de quatro maneiras diferentes. Então existem 3 x 4 = 12 triângulos retângulos que podem ser construídos com vértices nos pontos destacados.
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