Matemática II

Matemática II
AULA
Prof. Sérgio Tambellini
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Medida de ângulo em radiano
Tópicos da aula
 Ângulo central
 Comprimento de uma circunferência
 Comprimento de um arco de circunferência
 Medida de um arco de circunferência
 Medida em radiano
360 o
2..18

o
l
30
l=
Medida de um arco de circunferência:
A medida de um arco de circunferência é igual à medida
do ângulo central que o determina, na mesma unidade de
medida.
Exemplo:
Um arco de circunferência determinado por um ângulo
central de medida 50o mede também 50o.
A
l

O
360 o
l = 3 cm
Resumo teórico
Ângulo central:
Definição: ângulo central é o ângulo cujo centro coincide
com o centro da circunferência.
r
30 o .2..18


 = 50o  med( AB ) = 50o
B
O : centro da circunferência 
AÔB : ângulo central
NÃO CONFUNDA: comprimento
de arco e medida de arco

AB : arco de circunferência determinado pelo ângulo
central AÔB
r : comprimento do raio da circunferência 
 : medida do ângulo central
Comprimento de arco é o tamanho do arco, linearmente, e
sua unidade de medida é o metro, centímetro, polegadas,
ou qualquer outra unidade de comprimento, e em geral é
utilizada uma régua ou trena para calcular seu
comprimento.
Medida de arco é o valor do ângulo central que determina
o arco, e sua unidade de medida é o grau, radiano ou
grado, e para calcular a medida do arco mede-se com um
transferidor a medida do ângulo central.

l : comprimento do arco AB
Comprimento de uma circunferência:
O comprimento de uma circunferência é dado, em função
do comprimento de seu raio r, pela relação C = 2..r.
Exemplo:
O comprimento de uma circunferência de raio r = 8,5 cm é
igual a C = 2..8,5 = 17 cm.
Medida em radiano:
A medida de um ângulo (ou arco) , em radiano, é a
RAZÃO, entre o comprimento do arco e o comprimento
do raio da circunferência, ambos na mesma unidade de
comprimento.
Comprimento de um arco de circunferência:
l
O comprimento de um arco de circunferência é calculado
por meio de regra de três simples, com relação à medida
do ângulo central.
Ângulo
360o
---------------
Comprimento
2..r

---------------
l

Exemplo:
A medida, em radiano, de um arco de circunferência de
raio 3 cm, cujo comprimento do arco é de 18 cm é igual a
comprimento do arco 18 cm


 6 radianos
comprimento do raio
3 cm
Exemplo:
O comprimento de um arco
comprimento do arco
comprimento do raio
l de uma circunferência de
Obs.: para a medida de arco em radiano omite-se a unidade
de medida, ou seja,  = 6 equivale a  = 6 radianos.
raio r = 18 cm e ângulo central de medida 30o é igual a:
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Exercícios de aula
1) Calcule a medida, em radianos, de um arco de
circunferência cujo comprimento do arco é de 10cm,
sabendo que o raio da circunferência tem comprimento de
4 cm.
7) Um arco tem sua medida em radiano igual à
5
, dê sua
12
medida em graus.
8) Calcule quantos graus mede, com aproximação de uma
casa decimal, um arco de medida 1 radiano.
(use  = 3,14)
2) Calcule a medida, em radianos, de uma volta completa
de uma circunferência de raio 8cm.
9) Calcule em radianos as medidas equivalentes dos
ângulos de 30o, 45o e 60o.
3) Calcule a medida, em radianos, de uma volta completa
de uma circunferência de raio 13cm.
4) Com relação aos resultados obtidos nos exercícios (2) e
(3) dados anteriormente complete a sentença abaixo:
A medida em radianos de uma circunferência
Tarefa de casa
1) (FUVEST-SP) Convertendo-se 30o15’ para radianos,
obtém-se ( = 3,14):
a) 0,53.
b) 30,15.
c) 1,10.
d) 3,015.
e) 0,26.
é sempre igual a ................
5) Dê as medidas, em radianos, equivalentes às medidas
em graus dadas abaixo:
2) Determine, em radianos, a medida do menor ângulo
formado pelos ponteiros de um relógio quando este está
marcando 4 horas.
360o equivale à medida, em radianos, de 2.
180o equivale à medida, em radianos, de .......
3) (ETF-RJ) Quando o comprimento de uma
circunferência aumenta de 8cm para 14cm, o raio da
circunferência aumenta de

3

a) cm.
b) cm.
c) cm.
6

3
d) 1,5 cm.
e) 3 cm.
90o equivale à medida, em radianos, de .......
270o equivale à medida, em radianos, de .......
6) Por regra de três simples é possível transformar uma
medida dada em graus para uma medida em radianos, e
vice e versa. Dê a medida, em radiano, de um arco de 9o.
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Questão de raciocínio lógico
Daniel tem 3 netos: um recém nascido, uma criança e um
adolescente. Seus nomes são Adriano, Bruno e Carlos.
Sabe-se que um dos netos tem olhos verdes, o outro olhos
azuis e o outro olhos castanhos. Se o mais novo tem olhos
castanhos, o adolescente se chama Bruno e Carlos tem
olhos verdes, marque a afirmativa correta:
a) O neto de olhos verdes é o mais velho.
b) Carlos é recém nascido.
c) Adriano tem olhos castanhos.
d) Bruno não tem olhos azuis.
e) A criança não tem olhos verdes.