)( yfx = x e x x 1 1 )) (ln( exp` 1 )(ln` = = = xxf = )( e e xxf )( = = =

Mathematik 2 – WIW – Übungsblatt 4
***LÖSUNGEN***
Themen:
Differentialrechnung – Weitere Funktionen und
Aufgaben
Umfang:
5 Aufgaben
Hilfsmittel:
Sind keine notwendig. Eine Formelsammlung und ein nicht programmierbarer
Taschenrechner können aber verwendet werden.
Aufgabe A1 (Ableitungen, Umkehrfunktionen):
Berechnen Sie die Ableitungen.
a) arctan(x )
b) ln( x)
c) arccos(x )
Lösung:
Verwende Formel f
1
1
' ( y)
f ' f 1 ( y)
. Die Ableitung der Umkehrfunktion ergibt sich
somit, indem wir f ' berechnen und dann an der entsprechenden Stelle x
f
1
( y) den
Kehrwert bilden.
a) arctan' ( x)
b) ln' ( x )
1
tan' (arctan( x ))
1
exp' (ln( x))
c) arccos' ( x)
1
e
ln( x )
1
cos' arccos( x )
1
1 tan (arctan( x ))
2
1
.
1 x2
1
.
x
1
sin arccos( x)
sin( x )
1 cos 2 ( x )
1
2
1
1 cos arccos( x )
1 x2
Aufgabe A2 (Implizites Differenzieren):
Leiten Sie die Funktion f ( x )
x x ab. Tun Sie dies auf zweierlei Arten:
1) Verwenden Sie die Kettenregel und die Tatsache, dass e ln x
x ist.
2) Logarithmieren Sie beide Seiten und differenzieren Sie dann implizit.
Lösung:
1)
Es ist f ( x )
xx
e ln x
x
e x ln x . Wir leiten mit der Kettenregel nach x ab:
DHBW STUTTGART – WIW MATHEMATIK 2
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MATHEMATIK 2 – STUDIENGANG: WIW – ÜBUNGSBLATT 4 – LÖSUNGEN
f ' ( x)
2)
Wir setzen f ( x )
ln x
1
x
x
e x ln x
ln x 1 x x .
x x und logarithmieren beide Seiten. Es ist dann (mit dem 3.
y
Logarithmusgesetz)
ln y
x ln x .
Wir leiten beide Seiten nach x ab: y '
1
y
ln x
x
1
x
ln x 1 . Da wir y kennen,
erhalten wir
y'
ln x 1 y
ln x 1 x x .
f ' ( x)
Aufgabe A3 (Differenzieren mit allen Regeln):
Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung nach x .
a)
f ( x)
e x cos x
c)
f ( x)
arctan
e) y 2
sin x
ln x 3 1
f ( x)
d)
f ( x)
0
f)
f ( x)
4
x2
h)
f ( x)
x 4 e x cosh x
j)
f ( x)
x arctan x
1 x
1 x
ln x
x2
b)
g)
f ( x)
ln 4 x
i)
f ( x)
cosh x sinh x
e
2
1 x
x
x2
x
Lösungen:
a) Mit Ketten- und Produktregel erhalten wir
e x cos x 1 cos x x sin x
f ( x)
cos x x sin x e x cos x .
b) Hier verwenden wir die Produktregel und für beide Faktoren die Kettenregel:
f ( x)
2x e
x2
ln x 3 1
e
1
x2
x
3
1
3x 2
3x 2
x3 1
2 x ln x 3 1
e
x2
.
c) Die Kettenregel mit der Ableitung für den Tangens hilft uns hier weiter:
1
f ( x)
1
1 x
1 x
2
1 1 x
2
1 x
1 x
1 x
2
1
1 x
2
1 x
2
1 x
1 1 x
2
2
1 x
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2
2
2 2x 2
1 x
2
2
1 x
2
2
1
1 x2
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MATHEMATIK 2 – STUDIENGANG: WIW – ÜBUNGSBLATT 4 – LÖSUNGEN
ln y
d) Über die Tatsache, dass e
y gilt und über die Produktregel kommen wir hier
zum Ziel (Achtung: Zusätzliche Kettenregel in der Produktregel versteckt, daher das
Minus!):
1
x
x
ln 2
f ( x)
e
f ( x)
1
x
1 x 1
x
2
1
x
x
ln 2
e
1
x
ln 2
x
1
2
2
1
x
x ln 2
1
x
1 x
x
2
e) Der gleiche Trick wir in d) findet hier Verwendung, wobei wir die Funktion vorher
umformen:
1
y
sin x
1
sin x
2
2
ln x
ln x
e
1
ln x
2
ln sin x
y
e
1
ln x
cos x
sin x
2
ln sin x
1
ln x
2
1
ln x
cos x
sin x
2
1
ln sin x
2x
1
ln sin x .
2x
f) Hier kommt die Kettenregel mehrmals zum Einsatz:
f ( x)
1
4
x2
2
1
2x
2 x
x
1
4x
1
x
.
x2
x
g) Auch hier kann die Kettenregel weiterhelfen:
1
f ( x)
1
4x x
2
2
4x x
2 x
.
4x x2
4 2x
2
h) Die Produktregel in zweifacher Ausführung kann hier angewandt werden:
4 x 3 e x cosh x
f ( x)
x 3 e x 4 cosh x
x3 e x
4
x 3 2e 2 x
i)
e
x
x
2
x e2x
x sinh x
ex
e
x
ex
2
x3 e2x
x
e
2
x 2
2.
Nur die Produktregel bringt uns hier vorwärts:
f ( x)
sinh x sinh x cosh x cosh x
2e 2 x
2e
2x
e2x
4
j)
x cosh x
ex
2
x 4 e x cosh x x 4 e x sinh x
e
ex
e
x
2
2
ex
e
x
2
2
2x
cosh(2 x).
2
Und noch einmal die Produktregel:
f ( x)
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1
2 x
arctan x
x
1
.
1 x2
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Aufgabe A4 (Vollständige Induktion (Trockenübung), Ableitungsregeln):
Gegeben sei die Funktion
x2 1 ex 2 .
f ( x)
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die n -te Ableitung der Funktion f (x )
gegeben ist durch
( n)
f
mit n
x2
( x)
2nx n n 1
1 ex
2
ex
x2
1,2,3,... .
Lösung:
Induktionsanfang:
Wir wählen n
1 für die Formel und erhalten
f (1) ( x)
ex
2
x2
2 1 x 1 1 1
1
2
2x 1 .
Nun leiten wir f (x ) von Hand mit der Produktregel und der Kettenregel ab:
ex
f ' ( x)
Da f
(1)
( x)
2
x2 1
2x e x
2
ex
2
x2
2x 1 .
f ' ( x) gelingt der Induktionsanfang.
Induktionsschritt:
Wir beginnen wieder mit der Formel. Wir setzen anstatt n die nächste Zahl n 1 ein. Es ist
dann
f ( n 1) ( x)
Nun leiten wir f
f ( n) ' ( x)
( n)
ex
ex
2
x2
2 n 1 x n n 1
1.
( x) von Hand ab. Dadurch erhalten wir
2
x2
2nx n n 1
ex
2
x2
2nx 2 x
ex
2
x2
2 n 1 x n n 1
Damit ist gezeigt, dass f
n n 1
( n 1)
( x)
1
2n 1
ex
2
ex
2 x 2n
2
x2
2 n 1 x n n 1 2
1
1.
f ( n ) ' ( x) ist.
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MATHEMATIK 2 – STUDIENGANG: WIW – ÜBUNGSBLATT 4 – LÖSUNGEN
Induktionsschluss:
Da durch den Induktionsanfang die Formel für n
1 gilt und der Induktionsschritt den
2,3, 4,5, 6,... zulässt, ist die angegebene Formel gültig für alle n und
Schluss auf n
bewiesen.
Aufgabe A5 (Grenzwerte bestimmen):
Bestimmen Sie die Grenzwerte:
x2
a) lim
x
c) lim
x
0
e) lim
x
x2
x 1
x
x sin 2 x
sinh 2 x
3x
lim
d)
0
x
2x
1 tan x
x
lim x sin x
f)
x
x
0
2 3x
x
b) lim 1
5
0
Lösungen:
a) Ergänzen mit der dritten Binomischen Formel liefert hier ohne l’Hospital den Wert
1
2
(siehe hierzu Übungsblatt 1 z.B.).
0
ln 1
2 3x
x
b) Wir schreiben um: 1
e
2
3x
x
und betrachten die Hochzahl, welche vom Typ
. Wir schreiben nochmal um:
2
x
ln 1
ln 1
3x
1
3x
2
x
.
Nun funktioniert l’Hospital:
1
ln 1
lim
2
x
1
3x
x
1
lim
x
2
x
2
2x
1
x
3
lim
x
2
6
1
1
2
x
6.
Damit haben wir insgesamt den Grenzwert e 6 , wenn wir in die ursprüngliche
Gleichung einsetzen.
c) Auch hier funktioniert l’Hospital (Produkt- und Kettenregel nicht vergessen), allerdings
brauchen wir ihn zwei Mal:
lim
x
0
4
2
x sin(2 x )
sinh 2 x
sin(2 x ) 2 x cos( 2 x)
0
2 sinh( x ) cosh(x )
lim
x
2 cos 2 x 2 cos(2 x ) 4 x sin( 2 x)
0
2 sinh 2 x 2 cosh 2 x
lim
x
2.
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MATHEMATIK 2 – STUDIENGANG: WIW – ÜBUNGSBLATT 4 – LÖSUNGEN
d) Das ist der Fall
Grenzwert:
e
0
. Behandelt man ihn wie in der Vorlesung, so ergibt sich 1 als
ln 1x tan x
1
cos2 x
tan x
ln x tan x
1
ln x
1
ln 2 x
0,
1
x
da
der
Logarithmus
langsamer als alle anderen Funktionen wächst (das Argument wäre natürlich auch
schon früher gegangen). Damit haben wir e 0
1 als Grenzwert.
e) Wieder l’Hospital:
lim
x
0
3x
2x
x
lim
x
ln 3 3 x
0
ln 2 2 x
1
ln 3 ln 2 .
f) Hier formen wir um und erhalten e ln x sin x . Untersuchen wir den Term, dann finden wir
den Grenzwert 0 (analog der Vorgehensweise in den vorherigen Aufgaben und in
der Vorlesung) und erhalten daher e 0
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1 als Grenzwert.
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