PDF - thèse - Université Toulouse III

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PDF - thèse - Université Toulouse III
THÈSE
En vue de l’obtention du
DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
Délivré par l’Université Toulouse III – Paul Sabatier
Spécialité: Didactique des Mathématiques
Présentée et soutenue par Jane FRIDMAN BITTENCOURT
Le 29 septembre 2008
ANALYSE DIDACTIQUE COMPARÉE DES RAPPORTS À
L’ENSEIGNER :
ÉTUDE DE CAS DE DEUX ENSEIGNANTS EN
MATHÉMATIQUES AU BRÉSIL
JURY:
Mme Chantal AMADE-ESCOT, Professeur, Université Paul Sabatier, Examinatrice
M. André ANTIBI, Professeur, Université Paul Sabatier, Directeur de thèse
M. Guy BROUSSEAU, Professeur Emérite, Université de Bordeaux, Président
M. Pierre ETTINGER, Professeur Emérite, Université Paul Sabatier, Examinateur
M. Daniel JUSTENS, Professeur, Haute Ecole F. Ferrer, Irem de Bruxelles, Rapporteur
M. Jean-Claude REGNIER, Professeur, Université Lumière de Lyon, Rapporteur
Ecole Doctorale CLESCO
Laboratoire DiDiST : Didactique des Disciplines Scientifiques et
Technologiques
Directeur de thèse: M. André Antibi
THÈSE
En vue de l’obtention du
DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
Délivré par l’Université Toulouse III – Paul Sabatier
Spécialité: Didactique des Mathématiques
Présentée et soutenue par Jane FRIDMAN BITTENCOURT
Le 29 septembre 2008
ANALYSE DIDACTIQUE COMPARÉE DES RAPPORTS À
L’ENSEIGNER :
ÉTUDE DE CAS DE DEUX ENSEIGNANTS EN
MATHÉMATIQUES AU BRÉSIL
JURY:
Mme Chantal AMADE-ESCOT, Professeur, Université Paul Sabatier, Examinatrice
M. André ANTIBI, Professeur, Université Paul Sabatier, Directeur de thèse
M. Guy BROUSSEAU, Professeur Emérite, Université de Bordeaux, Président
M. Pierre ETTINGER, Professeur Emérite, Université Paul Sabatier, Examinateur
M. Daniel JUSTENS, Professeur, Haute Ecole F. Ferrer, Irem de Bruxelles, Rapporteur
M. Jean-Claude REGNIER, Professeur, Université Lumière de Lyon, Rapporteur
Ecole Doctorale CLESCO
Laboratoire DiDiST : Didactique des Disciplines Scientifiques et
Technologiques
Directeur de thèse: M. André Antibi
Remerciements
Je remercie avant tout mon directeur de thèse, André.Antibi, de m'avoir
accepté comme étudiante en thèse, et aussi pour l'encouragement, le respect,
la tolérance et la patience qu'il a toujours eu envers moi.
Je remercie le Laboratoire Didist et toute l'équipe de l'IREM pour l'accueil
toujours réceptif et solidaire, en particulier Muriel Soleillant, qui m'a
toujours aidé, avec beaucoup de compréhension, dans les démarches
administratives.
Je remercie tous les membres du jury, et en particulier les deux rapporteurs,
Daniel Justens et Jean Claude Regnier.
Je remercie les deux enseignants qui ont accepté de participer à cette
recherche, Diogo Castanho Sant'Ana et Sandra Maria Olsson, pour leur
confiance et bonne volonté.
Je remercie ma famille pour l'encouragement permanent, et tous mes
collègues du Centre de l'Éducation de la Universidade Federal de Santa
Catarina, au Brésil, qui m'ont accordé les possibilités de suivre cette
formation.
Je remercie finalement mes amis les plus proches et particulièrement
Laurent Perrussel et sa famille, par l'accueil chaleureux à Toulouse.
5
6
Table des matières
Première Partie
Introduction .....................................................................................................13
Chapitre 1. Encadrement général de la recherche ......................................19
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Formation, pratiques et savoirs ...........................................................................20
Savoirs ou rapports? ...........................................................................................21
La question des savoirs dans les recherches en didactique ................................24
Précisions sur la notion de rapports aux savoirs adoptée ...................................26
Rapports aux savoirs et action ............................................................................28
La notion d'activité .............................................................................................29
L'action enseignante ...........................................................................................30
Les dimensions des rapports à l'enseigner ..........................................................31
Synthèse du chapitre: les questions de recherche ...............................................34
Chapitre 2: Outils théoriques et démarche méthodologique ......................37
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Point de vue sur l'analyse des pratiques ..............................................................38
Précisions sur les notions théoriques utilisées ....................................................39
Les variables de contexte: écoles et savoirs .......................................................44
Démarche méthodologique .................................................................................48
La visée collaborative de la recherche ................................................................53
Les enseignants ...................................................................................................56
Chapitre 3. Le concept de fraction et son enseignement:
l'enjeu du savoir .............................................................................................67
1.
2.
3.
4.
5.
Aperçu historique ...............................................................................................68
Difficultés conceptuelles ....................................................................................73
Concepts et représentations ................................................................................83
L'enseignement des fractions au Brésil ..............................................................86
Conclusions ........................................................................................................89
7
Chapitre 4. Analyse a priori des approches choisies par les
enseignants .....................................................................................................93
1.
2.
3.
4.
5.
Les deux approches choisies par les enseignants ...............................................94
L’aspect rapport sur des figures: analyse a priori ...............................................95
L’aspect opérateur sur des quantités: analyse a priori ........................................98
L’enquête ..........................................................................................................100
Conclusions .......................................................................................................105
Deuxième Partie
Chapitre 5. Analyse didactique: le cas de l'enseignante experte ...........111
1. Analyse didactique générale .....................................................................................112
2. Analyse didactique détaillée .....................................................................................127
3. Conclusions ..............................................................................................................149
Chapitre 6. Analyse didactique: le cas de l'enseignant novice.................151
1. Analyse didactique générale .....................................................................................152
2. Analyse didactique détaillée .....................................................................................163
3. Conclusions ..............................................................................................................189
Chapitre 7. Conclusions ...............................................................................199
1. Analyse comparée ...................................................................................................200
2. Bilan de l'étude et contributions ..............................................................................210
3. Conclusions finales et prolongements envisagés ....................................................214
Bibliographie .................................................................................................217
Annexes .........................................................................................................223
Annexe 1 – Entretiens préalables ..............................................................................225
Transcription originale – Enseignante experte .............................................................226
Traduction des transcriptions – Enseignante experte ...................................................231
Transcription originale – Enseignant novice ................................................................235
Traduction des transcriptions – Enseignant novice ......................................................239
8
Annexe 2 – Transcription des séances ......................................................................243
Transcription originale – Enseignante experte .............................................................244
Traduction des transcriptions – Enseignante experte ...................................................274
Transcription originale – Enseignant novice ................................................................302
Traduction des transcriptions – Enseignant novice ......................................................336
Annexe 3 – Entretiens d’autoconfrontation .............................................................369
Transcription originale – Enseignante experte .............................................................370
Traduction des transcriptions – Enseignante experte ...................................................380
Transcription originale – Enseignant novice ................................................................388
Traduction des transcriptions – Enseignant novice ......................................................400
Annexe 4 – Tableau de l’ensemble des séances ........................................................409
Annexe 5 – Tableaux de déroulement des séances ..................................................411
Annexe 6 – Contrôles..................................................................................................417
Annexe 7 – Fiches de l’enquête .................................................................................421
9
10
PREMIÈRE PARTIE
11
12
Introduction
Les questionnements qui caractérisent cette recherche ont leur origine dans mon
parcours professionnel en tant que formatrice au Centre d’Education de l’Universidade
Federal de Santa Catarina, au Brésil. Actuellement, la formation initiale des
enseignants pour l’enseignement primaire et pour le secondaire a lieu à l’Université, et
elle est composée de disciplines spécifiques, assurées par les départements d’origine, et
de disciplines dites pédagogiques, assurées par les professeurs du Centre d’Éducation.
Parmi ces disciplines pédagogiques, on trouve la didactique et celles que l’on appelle
les ‘méthodologies de l’enseignement’, qui correspondent, dans le contexte français,
aux didactiques spécifiques. L’équipe de didactique, dont je fais partie, s’occupe de la
formation des futurs enseignants de tous les domaines disciplinaires. En raison de ma
formation initiale, de mon expérience antérieure comme enseignante de mathématiques
à l’école primaire, et aussi de mon domaine de recherche jusqu’à présent, c’est-à-dire,
l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques, je m’occupe souvent de la
didactique destinée aux étudiants en mathématiques, futurs enseignants. Dans ce cas,
l’objet principal de l’étude est le phénomène ‘enseignement/apprentissage’, analysé à
partir des apports théoriques de la sociologie de l’éducation, de la psychologie de
l’apprentissage, ou bien des théories du curriculum. Toutefois, comme dans le domaine
de la didactique nous étudions aussi la dynamique du travail de l’enseignant, nous
prenons souvent en considération les outils théoriques et méthodologiques issus de la
recherche en didactique d’origine française.
Cette approche, assez récente dans le domaine de ce que nous appelons ‘la
didactique’, n’est pas partagée par toute la communauté de professeurs-chercheurs en
didactique, qui l’interrogent de deux façons: d’une part, à propos de la validité de
l’utilisation des outils développés fréquemment par la didactique des mathématiques ou
la didactique des sciences dans l’analyse des situations concernant d’autres champs
disciplinaires. D’autre part, cette mise en question concerne les fondements
philosophiques et épistémologiques implicites dans l’approche des didactiques
disciplinaires. La considération des situations didactiques surtout à partir de l’enjeu du
savoir spécifique est mise en question par rapport au rôle des aspects sociaux et
culturels qui pèsent sur les pratiques effectives.
13
Ces deux remarques critiques doivent être comprises dans le cadre du
développement historique des recherches en éducation au Brésil, fortement marqué par
des aspects politiques. En effet, la recherche en éducation au Brésil est
traditionnellement de nature sociale et politique, et, plus récemment, très influencée par
des approches culturelles. Cependant, depuis les dix dernières années, plusieurs
professeurs universitaires ont fait leur formation au niveau doctoral à l’étranger, souvent
en France, et l’influence des idées issues de ces recherches en didactique, surtout en
didactiques des mathématiques, sur plusieurs tendances de recherche au Brésil est
facilement identifiable. Toutefois, dans le domaine de la formation des enseignants et
surtout de l’analyse des pratiques effectives, cette influence est encore assez peu visible.
Dans ce contexte, l’objectif principal de cette recherche est celui d’analyser les
pratiques enseignantes à l’aide des outils théoriques et méthodologiques de la didactique
française, de façon à contribuer à la compréhension des besoins des professeurs à la
formation initiale et continue d’enseignants.
Notre expérience dans la formation initiale d’enseignants, dans tous les
domaines disciplinaires, nous permet de constater, par exemple, que les enseignants
sont souvent confrontés aux difficultés d’apprentissage des élèves en mathématiques,
mais ils les conçoivent de façon assez superficielle. Souvent, même des enseignants
experts n’ont pas les moyens de les affronter. Nous constatons aussi que les résultats des
recherches en didactique, qui ont déjà une assez longue trajectoire dans le monde
académique, n’arrivent pas à influencer les pratiques effectives. Ces constats sur les
pratiques enseignantes au Brésil, même si l’on prend en compte l’organisation assez
particulière du système scolaire, sont également mis en évidence dans les contextes
français, canadien ou nord-américain. Il paraît que des questions assez semblables,
comme c’est le cas du problème de l’écart entre la théorie et la pratique dans les
processus de formation, touchent plusieurs contextes et modalités de formation.
En effet, à partir des années 80, plusieurs démarches de restructuration
curriculaire et institutionnelle dans la formation des enseignants dans plusieurs pays
commencent à être envisagées. Il semble évident, à ce moment, que les structures et les
organisations des cours de formation d’enseignants ne répondent plus de façon
satisfaisante aux nouvelles attentes sociales, au moins du point de vue des respectives
politiques éducatives. On pourrait souligner quelques phénomènes qui mettent en
question la formation en fonction des nouvelles fonctions sociales de l’école, comme les
enjeux économiques d’ordre global, qui incident sur les systèmes éducatifs; le fort
14
développement des technologies d’information et communication, ou encore la
réorganisation politique mondiale, avec des échanges interculturels accrus.
Dans ce contexte vaste et complexe, on peut comprendre les nouvelles questions
qui ont été récemment posées à la formation et à l’école, notamment la
professionalisation enseignante, souvent liée au développement de compétences. Ces
principes ont été effectivement à la base de plusieurs démarches de réorganisation
curriculaire aux États Unis, en Europe et aussi en Amérique Latine. Comme affirme le
rapport Bancel (1989), qui institue la création des IUFM en France, la question
fondamentale pour la formation des enseignants devient: “comment articuler des
connaissances théoriques et des connaissances pratiques pour construire des
compétences professionnelles?”
Ce débat autour de la professionnalisation se trouve aussi au niveau de la
recherche en éducation, où les relations entre théorie et pratique dans les parcours de
formation occupent, les dernières décennies, le centre du débat. En effet, plusieurs
chercheurs ont identifié les inconvénients des modèles traditionnels de formation,
caractérisés par la ‘rationalité technique’. Ils ont en effet constaté l’écart entre la
formation et la pratique en ce qui concerne la pertinence des connaissances scientifiques
enseignées par rapport aux exigences de l’exercice du métier (Gauthier et al, 1997;
Paquay et al. 1996; Nóvoa, 1995 ; Tardif, 2002 ). Les dernières années, les recherches,
dans une perspective plus investigatrice que prescriptive, se sont tournées vers de
nouveaux dispositifs de formation, ce qui a demandé une révision des relations entre les
centres formateurs et les écoles, ou bien entre les formateurs, généralement des
professeurs chercheurs, et les enseignants.
Au Brésil, où la formation initiale des enseignants est effectivement très
marquée par la dissociation entre la théorie et la pratique, ces travaux ont eu une grande
répercussion, comme montrent bien, par exemple, les recherches menés par Lüdke
(1994) ou Pereira (2000). Ayant comme point de repère des expériences déjà installées
dans d’autres pays, ou bien les résultats des recherches sur les pratiques, on a envisagé,
depuis quelques années, des changements dans les cours de formation . Ces résultats
mettent en évidence, comme le montrent les travaux de Develay, 1992; Tochon, 1995;
Tardif, Lahaye et Lessard, 1991, la complexité de la pratique qui mobilise, de la part de
l’enseignant, plusieurs ressources. De façon à mieux comprendre les pratiques
enseignantes, tout en considérant à la fois sa complexité, aussi bien que l’enjeu du
savoir dans l’action enseignante en classe, comme c’est le cas des recherches en
15
didactique, nous avons défini la problématique principale de cette recherche, ainsi que
ses choix méthodologiques.
Nous avons considéré comme repère théorique initial la notion de rapports aux
savoirs, que nous avons spécifié à l’aide d’autres notions comme l’approche
comparatiste, ou l’action située. Comme il nous intéresse d’étudier les pratiques des
enseignants experts et novices, de façon à analyser le rôle de l’expérience
professionnelle dans leurs rapports aux savoir, nous avons délimité cette recherche à la
considération des pratiques de deux enseignants, dans une approche d’étude de cas.
Notre objet principal d’étude est la pratique effective de deux enseignants en
mathématiques, à propos desquelles nous avons défini deux niveaux d’analyse, de façon
à identifier des aspects génériques et spécifiques de l’action enseignante. Il s’agit donc
d’une analyse comparée dans plusieurs sens, soit par l’approche comparée définie à
partir des deux échelles d’analyse des pratiques, soit par la prise en compte des rapports
différentiels aux savoirs selon l’expérience professionnelle des deux enseignants. Notre
objectif est de comprendre la dynamique entre rapports à l’enseigner et la pratique, dans
une perspective comparée, qui puisse, en plus, nous permettre d’analyser des rapports
différentiels des deux enseignants, selon leur expérience professionnelle.
De façon à mieux cerner notre objet d’étude - les pratiques effectives - nous
avons délimité quelques variables, comme la définition d’un objet d’enseignement,
d’une année scolaire et d’un type d’école qui soient communs aux deux enseignants.
Les séances des deux enseignants, sur la notion de fractions équivalentes, l’addition et
la soustraction de fractions, ont été observées, enregistrées et transcrites. Il s’agit de
séances de la cinquième année scolaire 1 , qui correspond à des élèves agés d’environ 11
ans. Les analyses ont été faites d’un point de vue externe, à partir des repères théoriques
établis, et aussi d’un point de vue interne, qui prend en compte, par des entretiens
d’autoconfrontation, les points de vue des enseignants sur leurs actions.
Parallèlement au déroulement de la recherche, nous avons développé un travail
de collaboration avec les deux enseignants, dans le but de les intégrer dans une activité
d’investigation sur le même objet d’enseignement considéré par la recherche, les
fractions en cinquième année scolaire.
[1] Depuis 2006 au Brésil, le système d'enseignement a changé avec le but d'introduire une nouvelle
année scolaire, nommée la ‘première année’, pour les élèves âgés de 6 ans. La cinquième année, où ce
travail est placé, est nommée, à présent, la sixième année de l'enseignement fondamental. Comme
l’observation et les entretiens avec les enseignants ont eu lieu pendant les années 2005 et 2006, quand le
nouveau systhème n’était pas encore totalement mis en place, nous avons gardé l’ancienne dénomination.
16
L’organisation de la thèse
Ce travail est organisé en deux parties. La première partie concerne les questions
théoriques et méthodologiques de la recherche, ainsi que les études directement liées au
savoir en jeu.
Le premier chapitre est dédié aux questions théoriques et méthodologiques qui
sont au coeur de ce travail. On définit surtout les relations entre la notion de savoir et de
rapports aux savoirs, et on étudie la perspective comparatiste, ce qui nous a permis
d’énoncer les questions de recherche et d’établir nos hypothèses d’investigation.
Dans le deuxième chapitre, on précise les outils théoriques et la démarche
méthodologique qui ont guidé la recherche, et l’on spécifie également toutes les
variables de contexte qui nous permettent de mieux comprendre les enseignements
considérés.
Dans le troisième chapitre, on étudie, à partir d’autres recherches déjà publiées,
l’enjeu concernant l’enseignement des fractions à l’école primaire. Cette analyse
s’organise selon trois points de vue:
a) une étude historique qui nous a permis de suivre l’évolution des tâches et de
techniques concernant les fractions;
b) une étude épistémologique qui cherche à comprendre les obstacles
épistémologiques concernant le concept de fraction et de nombres
rationnels;
c) une étude de nature cognitive, qui cherche à identifier les difficultés
d’apprentissage des fractions dans les modèles didactiques plus courants.
Dans ce chapitre on étudie aussi, dans une analyse curriculaire, les présentations
des fractions à l’école brésilienne. Cette étude nous a aidé à comprendre les possibilités
et les limitations didactiques de cet objet d’enseignement.
Finalement, dans le quatrième chapitre, on développe une analyse a priori à
partir de deux approches choisies par les enseignants. Cela s’est montré bien pertinent,
car ils ont effectivement choisi deux modèles assez différents, et leurs choix ont eu des
conséquences importantes sur l’avancement du savoir dans les séances observées. Dans
cette analyse, dans le but de mieux comprendre les raisons de leurs choix, on prend
aussi en considération les points de vue des enseignants. Pour étudier la question des
options didactiques des deux enseignants d’un autre point de vue, celui des étudiants en
licence, en France, qui sont des futurs enseignants, on a réalisé une enquête basée sur un
17
questionnaire qui prend en compte les séquences didactiques des deux enseignants. Les
résultats de cette enquête sont présentés aussi à la fin de ce chapitre.
La deuxième partie du travail est dédiée à l’analyse didactique des pratiques
selon les catégories établies. On présente d’abord l’analyse didactique des pratiques de
l’enseignante experte, et ensuite de l’enseignante novice. Dans chaque cas, nous avons
développé une analyse didactique générale et une analyse détaillée. L’analyse générale
prend en compte des rapports personnels et institutionnels à l’enseigner, ainsi que la
structuration et l’avancée du savoir en question dans l’ensemble des séances
considérées. L’analyse didactique détaillée est centrée sur des épisodes significatifs,
extraits de quelques unes des séances observées. On a identifié, au détail, les
mécanismes de régulation didactique menés par chaque enseignant dans des situations
spécifiques de ruptures de contrat, ou bien de difficultés conceptuelles.
Finalement, aux conclusions, on a développé une analyse comparée des
pratiques selon la perspective comparatiste adoptée. La conclusion est basée sur l’apport
des outils théoriques et des démarches méthodologiques qui caractérisent ce travail par
rapport aux questionnements proposés initialement. Ces conclusions concernent donc la
contribution de l’ensemble des analyses réalisées aux recherches sur les pratiques
enseignantes, ainsi que la contribution du présent travail au développement
professionnel des sujets concernés par cette recherche, soit, les deux enseignants et la
chercheuse.
18
Chapitre 1
Encadrement général de la recherche
Comme nous l’avons déjà signalé des questionnements sur les pratiques
enseignantes et sur la formation sont au coeur de ce travail. De façon à définir le cadre
théorique qui est à la base de la recherche, on considère d’abord la question des savoirs
enseignants. Il s’agit effectivement d’une question assez importante à propos des
pratiques et de la formation et qui est traitée depuis quelques années dans le contexte
des recherches en éducation, et, plus récemment, dans les recherches en didactique des
mathématiques. À partir de ce point de départ, on considère dans ce chapitre les repères
théoriques qui nous ont permis de définir l’encadrement général de la thèse. À la fin du
chapitre les questions de recherche sont énoncées.
19
1. Formation, pratiques et savoirs
La quête d’une base de connaissances qui puisse nous permettre de mieux
comprendre les pratiques, ainsi que les rapports entre pratique et formation, ont déjà une
assez longue trajectoire dans les recherches en éducation. Parmi ces recherches,
Schulman (1986, 1987), par exemple, a mis en évidence les processus de transformation
des savoirs effectué par les enseignants pour enseigner un contenu. L’auteur a considéré
que l’enseignant s’appuie sur plusieurs types de savoirs rassemblés autour de la notion
centrale de Pedagogical Content Knowledge (PCK). Cette notion a beaucoup contribué
à la compréhension de l’influence des savoirs définis par d’autres instances sociales,
comme les savoirs disciplinaires ou curriculaires, sur les savoirs d’expérience.
D’autres recherches ont repris les idées de Schulman et ont essayé de classifier
les savoirs selon leur origine ou leur utilisation. Dans un effort de simplifier et
rassembler les plusieurs classifications des savoirs qui ont été proposés les dernières
années par plusieurs chercheurs, Tardif, Lessard e Lahaye (1991) ont considéré trois
genres de savoirs, identifiés dans les programmes de formation, qui proviennent de trois
origines sociales différentes:

Les savoirs disciplinaires, issus du développement des disciplines et
sélectionnés par la société de façon à s’adapter aux systèmes
d’enseignement;

Les savoirs curriculaires, présents dans les programmes scolaires,
organisés surtout par le Ministère de l’Éducation avec l’aide de
spécialistes;

Les savoirs de formation professionnelle de nature multidisciplinaire
composés par les apports théoriques des sciences humaines et sociales,
comme l’éducation ou la didactique.
Les auteurs affirment que les enseignants entretiennent une relation assez critique
à l’égard de ces savoirs, tout en mettant en valeur les savoirs d’expérience, c’est-à-dire,
des savoirs acquis dans l’exercice quotidien de l’enseignement, dans le contexte
institutionnel de l’école. Le rôle des savoirs d’expérience considéré dans ces travaux a
été souvent identifié à partir de la comparaison entre les pratiques des enseignants
novices et expérimentés.
20
Comme synthétise Tochon (1995) à ce propos, les savoirs d’expérience des
enseignants experts mettent en évidence une plus grande capacité d’adaptation aux
élèves et aux circonstances, ce qui relève d’une compétence acquise à long terme.
Cependant, cette même compétence tend à se figer rapidement, dans le cas des
enseignants experts, par des routines, en fonction du degré de l’expertise. Par contre, la
dynamique assez complexe entre routine et improvisation est présente dans les deux cas,
chez les enseignants experts et les novices.
Comme le suggèrent Paquay et Al.(1996), ces études exemplifient la richesse de
la question concernant les ‘savoirs des enseignants’ aussi bien que la diversité selon
laquelle ces savoirs peuvent être classifiés: savoirs professionnels, savoirs pratiques,
savoirs d’expérience, entre autres. Les auteurs remarquent que cette diversité met en
question la validité de ces catégories par rapport aux découpages possibles des
pratiques.
Il y a un aspect assez partagé, comme l’on peut le constater à partir de plusieurs
analyses sur la question des savoirs (Paquay et Al.,1996 ; Perrenoud,1995; Gauthier et
Al.,1997), consistant à la fois à leur multiplicité et à l’évidence de la relation complexe
entre ces multiples savoirs. Les auteurs sont d’accord aussi sur le fait que les savoirs
s’articulent au cours de l’action, et se solidifient en tant qu’expérience tout au long de
l’exercice professionnel. Par ailleurs, les savoirs sont difficiles à cerner en raison de leur
nature au même temps impondérable, interactive et routinière et qui caractérisent la
pratique effective. L’articulation entre les savoirs d’expérience et d’autres savoirs
constitue effectivement un important programme de recherche qui pourrait éclaircir
certains défis des programmes de formation.
Nous remarquons encore que, dans ces recherches, les multiples savoirs sont
considérés plus ou moins équivalents en ce qui concerne la logique de fonctionnement
de la pratique. La question du rôle différentiel que jouent ces différents savoirs et leurs
respectifs objets, comme la maîtrise du contenu, les pré-requis des élèves, ou les outils
didactiques, n’a pas été suffisamment étudiée. Pourtant, c’est une question de recherche
assez pertinente, si l’on prend en compte le parti pris par les didactiques, c’est-à-dire,
que le savoir spécifique serait la composante principale qui fait fonctionner le système
didactique.
***
21
À partir de l’ensemble des recherches sur les pratiques enseignantes ici
commentées, on retient comme point de départ pour la délimitation du cadre théorique
de la recherche les considérations suivantes:

la multiplicité de savoirs présents dans les pratiques enseignantes;

les relations d’articulation entre ces différents savoirs;

la complexité de la pratique;

l’expérience de l’enseignant comme une dimension importante à
l’évolution des pratiques.
À partir de ces considérations initiales on va approfondir le débat autour de la
notion de savoir de façon à construire un cadre théorique qui puisse nous permettre
d’analyser la pratique enseignante d’un point de vue didactique.
2. Savoirs ou rapports?
Comme nous avons exemplifié auparavant, un grand nombre de recherches
récentes en éducation se sont occupées de la question des pratiques enseignantes,
souvent centrées sur la notion de ‘savoir enseignant’. Par contre, selon la recherche
menée par Gauthier et al. (1997), la diversité d’approches autour de cette notion, ainsi
que des multiples tentatives de classifier les savoirs, sont des indications d’une
nécessaire réorganisation conceptuelle.
Effectivement, les auteurs, après avoir analysé un grand nombre de recherches
sur les pratiques enseignantes, suggèrent que les savoirs enseignants concernent deux
genres d’actions: la gestion de la classe et la gestion de la matière. Ils affirment, de
façon à mieux préciser la notion de savoir, qu’il s’agit d’un ensemble d’arguments,
discours, actions, idées, pensées, utilisés par le sujet pour donner une justification
rationnelle à son action.
Cette définition proposée par Gauthier et al.(1997) et reprise par Tardif (2002) est
intéressante, car elle se différencie des tendances qui considèrent un savoir comme une
représentation interne d’un individu, ainsi que des tendances qui considèrent un savoir
comme une idée préconçue, dont le sujet pourrait s’emparer. Ils mettent en évidence la
nature impondérable, subjective et contextuelle de tout savoir. En plus, cette conception
22
s’éloigne également, en fonction du besoin de rationalité, de la considération des savoirs
du point de vue du sens commun, où tout ce que l’enseignant pense, ressent et dit est
considéré comme un savoir. En effet, comme le soulignent Gauthier et al (1997) à partir
de cette analyse critique, lorsque l’on attache le besoin de rationalité à la notion de
savoir cela signifie que l’on considère cette notion d’un point de vue argumentatif et
social, ce qui renforce l’idée selon laquelle les savoirs seraient plutôt des ‘raisons
pratiques’, développées à l’intérieur d’une situation et d’une culture partagée. Dans ce
sens, on pourrait considérer la formation, initiale ou continue, comme un des lieux où
les savoirs s’organisent et se diffusent, en conformité avec un certain habitus
socioculturel.
Ce point de vue sur la notion de savoir nous permet donc de traiter quelques
difficultés théoriques présentes dans plusieurs tendances de recherche en sciences de
l’éducation, comme c’est le cas de la validation des savoirs enseignants:
« un savoir serait valide en vertu de sa capacité de persuader et non en
vertu d’un absolu perçu comme vérité. Ainsi, s’il n’est pas sans lien avec
eux, le savoir ne se réduit pas au sujet pensant, ni à l’extraction de lois
contenues dans un objet. Le savoir est plutôt le fruit d’une interaction
entre les sujets, le fruit d’une interaction langagière inscrite dans un
contexte. Par ce fait même, le savoir renvoie donc à quelque chose qui
est intersubjectivement acceptable pour les parties en présence. En outre,
la validation du savoir variera selon la nature du rapport au monde dans
lequel s’inscrivent les sujets ». (Gauthier et Al.,1997, p. 249)
Cette remarque nous permet d’approcher ce point de vue sur les savoirs de ce qui
Chevallard (1997), dans le cadre des recherches en didactique, a nommé les ‘rapports
aux savoirs’. Dans ce cas, il s’agit d’une pluralité d’objets de savoir, ainsi que des
respectifs rapports à ces objets inscrits dans un contexte institutionnel, donc,
socioculturel. Ce rapprochement nous intéresse, car le glissement conceptuel de la
notion de ‘savoir’ dans le cadre présenté auparavant à la notion de ‘rapports aux
savoirs’, nous permettra de poser la problématique de la pratique enseignante d’une
façon particulière: au lieu d’analyser les savoirs mis en place par les enseignants
dans leurs pratique, ou bien, les savoirs cachés et dévoilés par l’analyse des
pratiques, on considère, d’un autre point de vue, la pratique comme l’instance
23
d’actualisation des multiples « rapports aux savoirs ». Cela constituera notre
première hypothèse théorique, et nous précisons ensuite la définition que nous adoptons
de cette notion.
3. La question des savoirs dans les recherches en didactique
En didactique, la question des savoirs a été traitée initialement par la notion de
transposition didactique depuis le travail de Chevallard (1985), qui a considéré la
distinction entre savoir savant, savoir à enseigner et savoir enseigné. Cette analyse a mis
en relief les différentes origines des savoirs, ainsi que la spécificité du savoir scolaire,
dans le cadre des recherches en didactique des mathématiques. La notion de
transpostion didactique, souvent reprise par d’autres champs de recherche, et surtout par
les didactiques des savoirs disciplinaires, a été utilisée pour expliquer surtout les
transformations entre savoir savant et savoir à enseigner. En outre, la notion de
détransposition (Antibi et Brousseau, 2000) concerne le fait que tout savoir enseigné,
soumis à une transposition, doit être ensuite détransposé, de façon à subir d’autres
modifications qui favorisent son évolution conceptuelle. La transposition interne des
savoirs, c’est à dire, les transformations du savoir à enseigner au savoir effectivement
enseigné, où le rôle du professeur émerge de façon importante, a été étudiée
postérieurement en didactique, à l’aide d’autres outils théoriques.
On remarque que la prise en compte du savoir disciplinaire comme le seul qui
compte dans les processus de transposition interne peut expliquer l’écart qui s’est
produit les dernières années entre les recherches en didactique et en éducation, surtout
en ce qui concerne la prise en compte du pôle ‘enseignant’ du système didactique. Si le
PCK de Schulman, par exemple, étudie ce que nous pourrions appeler le processus de
‘transposition interne’, c’est à partir de la considération d’une multiplicité de savoirs en
jeu, tandis que la notion de transposition didactique, au moins dans sa première
approche, n’envisageait que le savoir spécifique en question. Par contre, les didactiques,
intéressées aussi par le rôle de l’enseignant, ont beaucoup avancé autour de la question
de la dynamique interne des savoirs disciplinaires dans les pratiques enseignantes.
En effet, comme souligne Margolinas (1999) dans son analyse de synthèse à
propos des recherches en didactique sur les pratiques, même si l’enseignant a toujours
24
été présent dans les travaux en didactique par le regard ternaire qui lui est propre, sa
pratique n’a pas été prise comme objet central de recherche que depuis les années 90.
Dans ces recherches, la question des savoirs est traitée par plusieurs concepts et
cadres théoriques, comme c’est le cas du concept de milieu ou de rapport au savoir.
Cependant, la question s’est historiquement posée autrement en didactique: il ne s’agit
pas de comprendre quels savoirs on pourrait identifier par l’analyse des pratiques,
comme c’est le cas dans la plupart des recherches en éducation. Il s’agit plutôt
d’expliquer comment les pratiques fonctionnent à partir de la dynamique dérivée de
l’enjeu du savoir spécifique.
Toutefois, il est important de remarquer aussi que cette problématique s’est
développée considérablement les dernières années face à l’évidence de la complexité
des pratiques, ce qui a poussé la production d’une diversité de cadres explicatifs, ainsi
que l’émergence de nouvelles approches. C’est le cas, par exemple, de l’explicitation
des différents niveaux de la notion de milieu, et aussi des plusieurs usages de la notion
de rapport au savoir.
Les recherches sur les pratiques des enseignants qui utilisent la notion de rapport
au savoir l’associent aux notions de routines, régulation et régularités, souvent repérées
par un découpage de la pratique à partir de l’étude des tâches.
Le travail de Lenfant (2002), par exemple, cherche à comprendre l’évolution des
rapports à l’algèbre de professeurs stagiaires, à partir de l’étude de la cohérence interne
des ces pratiques. Dans ce cas, la multiplicité des savoirs de Schulman présente dans les
références de ce travail est considérée comme étant les composantes épistémologiques,
cognitives et didactiques propres à l’enseignement de l’algèbre. Ce choix s’explique par
rapport au but de la recherche: il s’agit de comprendre l’évolution de la « compétence
professionnelle en algèbre », et non le PCK, qui a une visée plus large.
Un autre exemple, à partir du cadre théorique de l’approche antropologique, c’est
le travail de Coppe et al.(2002), dont l’enjeu est d’analyser les pratiques afin de repérer
les savoirs professionnels en jeu, ce qui leur permet de comprendre l’articulation des
différents types de savoirs. Les tâches et les techniques du professeur ont été
rassemblées autour de routines dont la technologie, c’est-à-dire, la façon comme le
professeur explique son action, est envisagée comme un outil pour identifier les
multiples savoirs présents.
Tisseron (2002), dans sa synthèse à partir de plusieurs travaux en didactique
autour du thème « Routines et régulation », remarque que:
25
« Ces termes peuvent être utilisés dans chacune des conceptions
théoriques ou empiriques sur des systèmes formellement différents car
correspondant à des approches différentes. L’ambition forte dont ils
témoignent est de permettre à la formation de favoriser intégration
(plutôt que juxtaposition) des divers types de savoirs apportés par la
formation et qui devront être mobilisés par les enseignants. Cette
intégration étant facilitée par l’explicitation des formes de travail qui
permettent à l’enseignant de gérer simultanément et le mieux possible
toutes les dimensions de la relation didactique. Le terme didactique étant
pris ici au sens large dans toutes ses dimensions ».
Cette citation nous remet au coeur de la question posée auparavant à propos des
savoirs ou des rapports: comment définir les dimensions du didactique?
4. Précisions sur la notion de rapports aux savoirs adoptée
Ayant pour but de répondre à cette question, Chevallard a développé le cadre
théorique de ‘l’antropologie du didactique’. Il considère que la théorisation à propos du
concept de rapport au savoir, dans ce cadre, serait un élargissement et au même temps
un approfondissement de la notion de transposition (Chevallard, 1989).
L’auteur propose la redéfinition de cette notion (Chevallard, 1989), tout en
considérant que le ‘rapport au savoir’ serait un système conceptuel qui concerne deux
aspects: l’objet et le rapport à l’objet. Il considère d’abord que tout objet est un objet
institutionnel, et tout rapport s’établit à partir des relations institutionnelles entre les
individus et les institutions. À partir de ces principes, il définit les deux dimensions,
personnelle et institutionnelle, des rapports aux savoir, comme:
« un système essentiel des conditions et des contraintes sous lesquelles
se forme et évolue le rapport personnel à l’objet de savoir des acteurs de
l’institution. Inversement, ce sont les rapports personnels des acteurs qui
– dès lors qu’ils sont suffisamment idoines aux rapports institutionnels
correspondants - ‘soutiennent’ les rapports institutionnels, lesquels, à
26
leur tour, ‘soutiennent’ l’écologie du savoir S dans l’instituion I. »
(Chevallard, 1989, p.214).
Dans le cas de l’institution scolaire, selon cette approche, l’auteur propose la
prise en compte du système d’objets et de rapports qui constituent un « savoir
pratique ». Le maintien et l’évolution de ces rapports sont assurés par des contrats
didactiques, ici nommés des ‘contrats institutionnels’ (p.214) à propos de l’objet
institutionnel.
Chevallard avance dans la théorisation de cette approche dans l’article
« Approche anthropologique du rapport au savoir et didactique des mathématiques »
(2003), où il définit les quatre notions fondamentales: objet, approche, personne et
institution. Il propose de considérer l’objet comme toute entité, matérielle ou
immatérielle, ou toute activité humaine, qui existe pour un individu, tandis que le
‘rapport’ est définit tant que système de relations établies entre individus et les objets de
savoir, dans le cadre d’une institution. Dans ce cas, connaître un objet signifie avoir un
rapport à l’objet.
Ce point de vue peut être approché de l’analyse pédagogique sur les savoirs
enseignants, qui considère que l’épistémologie de l’action enseignante est composée par
une diversité de savoirs, où le savoir spécifique de la matière, n’occupe pas forcément la
place déterminante dans la logique qui guide l’action enseignante. On peut considérer
que l’avantage de prendre en compte des rapports au lieu des savoirs enseignants est la
possibilité de traiter la question de la pratique enseignante comme un système de
relations, à la fois personnelles et institutionnelles, à des multiples objets de savoirs.
***
À partir de ces considérations, il nous intéresse de retenir les contributions de
Gauthier et al (1997), dans le cadre des recherches en sciences de l’éducation sur les
pratiques enseignantes, ainsi que la contribution de Chevallard (1989), dans le cadre de
l’anthropologie du didactique, de façon à définir le sens utilisé dans la présente
recherche à la notion de rapports aux savoirs. Nous considérons que:

Les savoirs enseignants, multiples, n’appartiennent pas à un sujet, ne
pouvant pas être extraits d’un objet. Ils sont produits par des interactions
27

Les rapports aux savoirs sont personnels et institutionnels, selon les
différents lieux où les interactions sociales se produisent;

Les rapports aux savoirs changent et évoluent à l’aide de la dynamique des
contrats, selon l’avancement du temps didactique.
5. Rapports aux savoirs et action
Comme nous avons vu auparavant, la notion de « savoir enseignant » porte la
dissociation entre savoir et action: est-ce que c’est la logique de l’action qui relève des
savoirs du sujet, ou bien ce sont les savoirs qui dirigent l’action du sujet et lui
impriment une certaine régularité?
Par contre, la notion de rapports aux savoirs nous permet de poser ces questions
autrement, car, dans ce cas, il s’agit plutôt de comprendre la co-émergence des savoirs
en action, ce qui ne se fait voir quà partir d’un certain découpage parmi une multiplicité
de situations possibles. Cela veut dire que, dans ce sens, les rapports aux savoirs
pourraient être repérés d’un point de vue externe, centré sur l’action. Néanmoins, nous
supposons que ce genre d’analyse ne suffise pas pour rendre compte de la signification
de l’action, ce qui nous amène à considérer la contribution des théories de l’action
centrées sur la réflexivité du sujet.
En effet, Giddens (2003), par exemple, suggère dans sa théorie sociale qu’il faut
considérer le rôle de l’action, de la signification et de la réflexivité pour comprendre un
fait social du point de vue du sujet. Il propose de considérer, comme des éléments
constitutifs de l’action, une conscience pratique et une conscience discursive, produites
par la rationalisation de l’action par le sujet. Il fait une remarque à propos du constat
qu’il y a souvent un décalage entre l’action, les raisons qui justifient l’action, et le
discours de l’acteur sur l’action. Il suggère que ce décalage résulte du fait que les
composantes motivationelles de l’action possèdent une logique interne qui pourrait
échapper à une analyse externe de son action.
Ces observations nous situent dans le coeur des recherches centrées sur l’action
dans l’étude des pratiques professionnelles, comme c’est le cas des courants situés de la
cognition et de l’action. Clot et Béguin (2004) analysent comment les courants de
28
l’action située conçoivent la relation sujet-situation, selon trois différentes approches:
l’approche interactionniste, écologique et culturelle. Malgré leurs différences, ces trois
approches considèrent, différemment de la psychologie cognitive classique, la
détermination de l’action par des variables de la situation. D’ailleurs, ces approches
prennent en compte la dimension historico-culturelle de l’action, et considèrent les
contextes matériels, symboliques et sociaux comme des éléments constitutifs de
l’action.
6. La notion d’activité
Dans cette perspective, Clot (2004) suggère que la notion d’activité, plus large
que la notion d’action, constitue une importante catégorie d’analyse, car l’activité est
l’action exercée dans un milieu défini, qui constitue l’ensemble symbolique et
technique qui lui confère un terrain de signification. Au même temps, l’activité
serait définie par des contraintes propres aux situations sociales, mais elle serait aussi
créée au moment même de la réalisation des tâches qui définissent le genre d’action.
D’ailleurs, la notion d’activité nous permet de considérer encore un autre aspect
concernant l’action, comme affirme Clot (1999, p.119):
« Le réel de l’activité est aussi ce qui ne se fait pas, ce qu’on ne peut pas faire, ce
qu’on cherche à faire sans y parvenir – les échecs – ce qu’on aurait voulu ou pu faire, ce
qu’on pense et qu’on rêve pouvoir faire ailleurs ». Cette affirmation indique la prise en
compte, dans ce cadre théorique, de la subjectivité, comme l’aspect qui nous permet
effectivement de comprendre l’action.
Clot (2004) définit la subjectivité à partir des travaux de Vygotsky, pour qui
l’enjeu de la psychologie sociale consisterait à expliquer les rapports entre le monde
externe et le monde interne, dans le développement cognitif des sujets. L’hypothèse de
la théorie historico-culturelle est que les deux dimensions sont inséparables du contexte
socioculturel, et changent de place tout au long du développement et de l’apprentissage
à l’aide des processus de médiation. Une fonction psychologique apparaît d’abord au
niveau social, et après au niveau intérieur du sujet, par un processus d’internalisation de
nature interpersonnelle.
Dans cette direction, Clot justifie son point de vue de l’analyse psychologique du
travail et définit son approche méthodologique. L’auteur affirme que l’étude de
29
l’activité est toujours l’analyse du sujet, d’un groupe, dans une situation ou dans un
milieu, car l’action « se réalise dans un double fond, opératoire et intersubjectif » (1999,
p.173), d’où le rôle des mobiles de l’action dans l’analyse de l’activité.
Ces remarques sur la théorie historico-culturelle sont importantes car elles
permettent de justifier le choix fait par plusieurs approches situées autour de deux traits
caractéristiques des recherches dans ce cadre: le but d’expliquer et de comprendre
l’activité et le rapport entre le chercheur et l’objet de recherche.
À ce propos, Clot affirme que toute analyse du travail est en fait une co-analyse,
car le fait observé n’est ni pré-constitué par le sujet, ni décrété par le chercheur:
« Ni explication externe par le chercheur, ni simple description du vécu par le
sujet, l’analyse associe explication et compréhension lorsque la même activité est redécrite dans un nouveau contexte » (1999, p.137).
Dans cette approche, l’analyse du travail est inséparable de la transformation de
ce dernier, ce qui est un trait caractéristique des recherches qualitatives. Clot évoque
Bahktin pour affirmer que comprendre c’est penser le fait dans un autre contexte, et que
l’approfondissent du sens ne peut se faire que par des distances contextuelles, d’où le
rôle de l’autoconfrontation comme méthode.
Par contre, expliquer exige un cadre conceptuel pour analyser la structuration de
l’action. Ce cadre est externe au sujet qui réalise l’action et centré sur des concepts
scientifiques, qui sont, comme suggère Vygotsky, éloignés des concepts spontanés. Les
deux peuvent se joindre par des échanges communicatifs, ce qui serait justement le rôle
des pratiques de recherche en collaboration. Clot (1999, p.141) suggère que:
« les concepts scientifiques doivent servir à faire germer vers le haut les concepts
quotidiens. C’est d’ailleurs ainsi qu’ils peuvent trouver occasion à renouvellement».
Cela nous permet de justifier un trait important des recherches qualitatives: seule une
compréhension active fondée à la fois sur des hypothèses explicatives, sur le recueil des
traces et sur une analyse de sa propre activité dans la situation peut parvenir à la
transformer ».
L’autoconfrontation émerge dans ce cadre comme un outil qui a la fonction de
permettre l’émergence de la réflexivité du sujet par l’analyse de son activité, susceptible
de se transformer en fonction de cet exercice interprétatif. Dans ce cas, le langage est
considéré non pas comme un simple outil, mais comme une activité en soi qui permet
de penser l’activité autrement.
30
7. L’action enseignante
Nous considérons que ces remarques à propos de l’action située et du rôle d’une
activité réflexive de la part du sujet sont assez importants pour l’analyse didactique. En
effet, comme affirme Sensevy (2001), dans le but de développer une théorisation sur
l’action didactique, l’action enseignante est une action adaptée aux situations et placée
dans un cadre institutionnel. L’action didactique s’adapte aux situations selon les
contrats didactiques mis en place, étant contrainte par le contexte institutionnel. Dans
les deux cas, l’analyse de l’action didactique devrait, selon l’auteur, permettre de voir la
structure de l’action, qui est inséparable de sa signification:
« si l’on veut analyser l’action, il faut comprendre comment le rapport de l’acteur
à l’action (notamment le rapport discursif) peut permettre, dans la plupart des cas, de la
redéfinir et de la redéployer concrètement en fonction des fins que l’acteur se désigne à
lui même » (p.204).
Cet ensemble théorique, synthétisé par Sensevy (2001), est, du point de vue
épistémologique, assez proche des hypothèses générales de l’action située: la
coproduction de l’action du sujet/milieu; la subjectivité comme composante
fondamentale de l’action; et le but d’expliquer et de comprendre l’activité.
***
Cet ensemble de notions et de perspectives théoriques sur les rapports aux savoirs
et sur l’action nous permettent de justifier le choix de la focale de cette recherche
centrée sur le pôle enseignant du système didactique: les rapports des enseignants à
l’enseigner, que nous définissons comme:
l’ensemble de principes, croyances, connaissances, choix méthodologiques des
enseignants concernant l’enseigner, et qui peuvent être repérés à partir de
l’analyse de l’action enseignante, ainsi que de sa justification par l’enseignant.
De façon à préciser le point de vue adopté pour l’analyse didactique des rapports
à l’enseigner qui sera déveoppée, il faut considérer ensuite la question des dimensions
du didactique.
31
8. Les dimensions des rapports à l’enseigner
Pour étudier les rapports à l’enseigner d’un point de vue didactique nous
considérons les contributions de Chevallard (1999) à propos de la dialectique entre
généricité et spécificité. Il considère relative la distinction entre ce qui est spécifique de
l’enjeu didactique et ce qui ne l’est pas, pouvant telle distinction être comprise par la
relation entre ‘généricité’ et ‘spécificité’. La prise en compte de ces deux aspects,
imbriqués dans une relation de nature fractale, renvoie à des différents niveaux
d’analyse de ce qu’on pourrait appeler ‘le didactique’.
L’auteur considère, en plus, que les aspects génériques concernant un système
didactique relèvent des aspects ‘pédagogiques’, généralement en dehors des champs de
questionnement de la didactique des mathématiques. Il propose de traiter la totalité des
aspects, puisqu’ « une organisation didactique comporte donc de multiples niveaux de
spécification, dont aucun ne saurait être négligé et dont tous relèvent à certains égards
au moins, de la didactique » (p.246)
Il est très important d’ajouter à l’hypothèse suivie dans cette thèse les
éclaircissement apportés par les recherches comparées sur la questions des plusieurs
niveaux d’échelle d’analyse d’un phénomène. Effectivement, le positionnement
théorique de Chevallard s’approche des questions traitées les dernières années par
d’autres champs de recherche qui essayent également de comprendre les relations entre
les plusieurs dimensions où s’inscrit un phénomène social.
Les recherches comparées en sciences humaines et sociales étudient la
dynamique des sociétés, où l’on peut identifier un double mouvement: d’un côté des
tendances qui cherchent à généraliser l’explication des phénomènes sociaux à l’aide des
grandes catégories, comme c’est le cas de l’« histoire générale », et, à l’opposé, des
tendances plus récentes, qui essayent de centrer l’analyse sur le singulier. Selon Revel
(1996), à partir des recherches en histoire comparée, toute analyse sociale, surtout de
nature historique, donc temporelle, concerne le choix d’un rapport entre ce qui est
particulier à une situation ou à un groupe social, et ce qui pourrait être une tendance
sociale globale. Dans ce cas, les questions qui se posent sont: comment établir le rapport
entre le global et le particulier? Dans quel mesure le particulier, situé dans un certain
cadrage temporel, est significatif par rapport au phénomène, pris dans sa dimension
globale? Dans quelle mesure cette dimension globale contient la particularité du
phénomène, pris dans sa spécificité, ou dans une de ces spécificités possibles?
32
À ce propos, l’auteur affirme que le parti pris par les micro-historiens consiste à
affirmer que l’on ne devrait pas considérer l’existence d’un contexte unifié et homogène
auxquel les acteurs sociaux seraient soumis, mais qu’il faudrait prendre en considération
la « multiplicité des expériences et des représentations sociales, en partie
contradictoires, en tout cas, ambiguës, à travers lesquelles les hommes construisent leur
monde et leurs actions » (Revel, 1996, p.26).
L’analyse de l’univers micro nous permet donc de dévoiler des permanences,
c’est à dire, des régularités, qui seraient l’expression d’une certaine logique d’une
dynamique globale. Ou bien, à l’opposé, on pourrait distinguer les contradictions que la
dimension micro met en relief, par rapport au phénomène pris dans son contexte macro.
De façon à traiter théoriquement la relation entre micro et macro analyses, Revel (1996)
propose de considérer la multiplicité de niveaux d’observation.
Giddens (2003) y ajoute une contribution assez pertinente quand il suggère la
prise en compte, dans l’analyse sociale, des contradictions évidentes dans des situations
d’interaction sociale, identifiées au niveau micro, et qui remettent à des fissures dans la
dynamique du macro social. Il suggère encore que ces fissures, souvent pas évidentes
d’un point de vue macro, sont réglées par des mécanismes de cohertion au niveau micro,
ce qui contribue à assurer le fonctionnement des institutions.
À partir de ces considérations force est de constater qu’il ne s’agit pas de passer
du particulier au global, mais de tenir l’analyse à des niveaux variables, du plus local au
plus global. Cette perspective ne renouvelle pas complètement le débat entre macro et
micro, car les deux catégories persistent, mais suggère le remplacement de l’opposition
simple par la prise en compte d’une multiplicité d’échelles d’observation.
***
À partir de ces contributions on définit deux dimensions d’analyse des pratiques,
soit une analyse générale et une analyse détaillée, étant envisageable de considérer
l’imbrication entre ces deux dimensions. Nous définissons ainsi le premier axe de
comparaison de la recherche.
Nous y ajoutons un deuxième axe de comparaison pour la démarche
comparative des pratiques, définie à partir de l’objectif d’étudier les rapports à
l’enseigner, ainsi que les processus d’évolution des rapports, ce qui concerne
particulièrement les questionnements sur la formation. De façon à atteindre ce but, nous
33
prenons en compte l’expérience professionnelle des enseignants comme un des
facteurs de différentiation des leurs rapports à l’enseigner.
9. Synthèse du chapitre
Les aspects commentés jusqu’à présent rendent possible la délimitation de
l’encadrement général de la thèse autour des notions et des perspectives théoriques
suivantes:

la notion de rapports aux savoirs dans le cadre de l’antropologie du didactique,
comme outil pour étudier les pratiques, en particulier la notion de rapports à
l’enseigner, défini comme l’ensemble de principes, croyances, connaissances,
choix méthodologiques des enseignants concernant l’enseigner, et qui peuvent
être repérés à partir de l’analyse de l’action enseignante, ainsi que de sa
justification par l’enseignant.

le rapport entre action et signification, en cohérence avec les hypothèses
générales de l’action située;

les hypothèses des recherches comparées concernant le besoin de considérer
plusieurs échelles d’analyse d’un phénomène social, ainsi que l’imbrication
complexe de ces échelles, qui se mettent en place par des contradictions et
parfois des ruptures;
En synthèse, nous faisons les hypothèses suivantes:

l’enseignant exerce deux fonctions de base, la gestion de la classe et la gestion
de la matière, qui caractérisent la dynamique des rapports à l’enseigner. Ces
rapports peuvent être étudiés sous différentes perspectives, parmi elles
l’approche didactique comparée, à travers laquelle l’analyse des pratiques se
développe à partir de la définition de certains axes de comparaison, soit: un
premier axe de comparaison qui concerne deux échelles d’analyse, l’analyse
globale et l’analyse détaillée, ainsi que deux points de vue, l’analyse externe,
34
faite par la chercheuse, et l’analyse interne, de la part de l’enseignant sur sa
pratique. Un deuxième axe de comparaison est défini à partir de la considération
de l’expérience professionnelle comme facteur de différentiation des rapports à
l’enseigner. L’enjeu du didactique concerne la prise en compte de la dynamique
de l’objet de savoir mathématique en jeu, étudié dans la relation fractale entre
des aspects génériques et spécifiques.
À partir de ces principes et hypothèses, ce chapitre ce termine en énonçant les
questions de recherche:
Comment les rapports des enseignants à l’enseigner se constituent et sont mis en
action dans les pratiques effectives?
En quoi consiste la différentiation entre des rapports à l’enseigner des
enseignants novices et des enseignants expérimentés dans les situations
didactiques en question?
Comment pourrait-on caractériser l’évolution des rapports à l’enseigner à partir
de la prise en compte de l’expérience professionnelle des enseignants?
Selon les considérations faites auparavant, il s’agit maintenant d’éclairer les
outils théoriques et méthodologiques choisis pour développer les deux axes d’analyse
comparée proposés, et aussi de préciser le contexte institutionnel où s’est développée la
présente recherche.
35
36
Chapitre 2
Outils théoriques et démarche méthodologique
Dans ce chapitre, on précise les outils théoriques et les options méthodologiques
que l’on utilise de façon à développer l’analyse des pratiques ordinaires. Il s’agit
d’abord de détailler les notions théoriques utilisées, et d’ensuite présenter des éléments
de contexte, considérés importants dans la compréhension de l’activité enseignante. On
précise également la démarche méthodologique, ainsi que la visée collaborative de la
recherche.
37
1. Point de vue sur l’analyse des pratiques
Cette recherche est placée dans l’ensemble d’études concernant la didactique,
qui prennent en compte le système didactique à partir de différents axes d’analyse, selon
deux entrées principales: les systèmes conceptuels et théoriques concernant les
didactiques des disciplines et les différentes délimitations institutionnelles, qui sont des
lieux possibles du didactique.
La première approche, concernant les systèmes théoriques,
« renvoie aux objets d’étude des différentes didactiques, à leurs disciplines
de référence (et aux soubassements épistémologiques qu’elles véhiculent)
et aux conditions institutionnelles et académiques de production des
savoirs. Elle renvoie également à l’étude de phénomènes dont nous faisons
l’hypothèse qu’ils sont génériques tout en se déclinant spécifiquement
selon les objets de savoir » (Schubauer-Leoni et Leutenegger 2002,
p.231).
La deuxième approche concerne
« l’étude des objets et des pratiques portant, à la première vue, sur les
savoirs du même ordre (...) par le jeu articulé de comparaisons, c’est
alors à la fois la nature des objets culturels qui est explorée, la
specificité/généricité des intentions institutionnelles qui les contraignent
et les font exister, les positions d’acteur qui les font vivre en fonction
des projets personnels et institutionnels » (Schubauer-Leoni et
Leutenegger, 2002, p.232).
Dans cette perspective, l’enjeu de la recherche serait de nous permettre à la fois
de repérer l’enseignement dans son propre fonctionnement, dans le but de l’expliquer, et
aussi de donner du sens à ce phénomène, par l’exercice interprétatif, ce qui nous
permettrait de le comprendre. Des précisions méthodologiques, comme on trouve dans
les travaux de Leutenegger (2001), suggèrent des procédures de recherche qui associent
le but d’expliquer et de comprendre à une démarche qui lie le clinique et l’expérimental.
38
Dans
cette
direction,
l’approche
clinique,
centrée
sur
l’analyse
de
l’enseignement dans des classes ordinaires, est un choix qui a déjà une certaine
trajectoire dans les recherches en didactiques de mathématiques. D’un point de vue
comparé, plus récent, l’étude des pratiques ordinaires suggère la possibilité d’analyser le
fonctionnement du système didactique à partir des traces qui se font voir, et qui se
transforment, par l’exercice interprétatif du chercheur, en signes, dont la nature
générique/spécifique demande d’être éclairée. Comme suggèrent Schubauer-Leoni et
Leutenegger (2002): il s’agit de reconstruire « des contraintes expérimentales pour
produire des faits », de façon à identifier « des phénomènes relatifs au fonctionnement
du système didactique ».
En didactique, cette approche est un champ de recherche émergeant, dont la
problématique principale est, selon Schubauer-Leoni e Leutenneger (2002, p.229):
« L’intention d’enseigner tel savoir spécifique coexiste avec les
intentions attribuées à l’enseignement d’autres objets de savoir. Le
chercheur peut alors se poser la question suivante : la relation
didactique qui se noue (ou est censée se nouer) entre partenaires de
l’enseignement et l’apprentissage est-elle strictement spécifique de
chaque matière ou tisse-t-elle des formes d’ordre générique qui
relèveraient du didactique ? Posée comme hypothèse de travail, cette
question est un des enjeux majeurs de l’approche comparatiste actuelle
en didactique ».
La question théorique et méthodologique posée concerne donc la façon d’établir
une analyse didactique du phénomène « enseignement/apprentissage », tout en
considérant la dimension générique de ce phénomène. Pour cela, dans le cas de la
présente recherche, deux échelles d’analyse des rapports à l’enseigner sont définies,
l’analyse globale et l’analyse détaillée, étudiées à l’aide de quelques outils théoriques et
des dispositifs méthodologiques définis ensuite.
2. Précisions sur les notions utilisées
2.1. Contrat didactique
39
On utilise la notion de contrat didactique, défini par Brousseau (1986), dans le
cadre de la théorie des situations, dans une approche systémique. L’auteur considère que
dans les situations didactiques il y a un partage des responsabilités autour du contenu à
enseigner, qui se développe à partir de plusieurs types de contrats. L’auteur entend que
chaque contrat dépend, pour son évolution, des assujettissements de l’enseignant et des
élèves, aussi bien que des régulations qui se mettent en place en fonction du milieu, ce
qui assure le maintient de la relation didactique.
Parmi la typologie de contrats identifiée par Brousseau (1995), il nous intéresse
de distinguer les contrats faiblement et fortement didactiques portant sur un savoir
‘nouveau’. Dans les contrats faiblement didactique, l’émetteur assume des
responsabilités sur le message, mais ne contrôle pas ses effets. C’est le cas des contrats
suivants: contrat d’information; contrat d’utilisation des connaissances; contrat
d’initiation ou de contrôle, contrat d’instruction ou de direction d’études.
Dans le cas des contrats fortement didactiques, la responsabilité est centrée sur
l’un des pôles du système didactique. Si c’est l’enseignant qui prend la responsabilité,
nous avons, par exemple, le contrat de reproduction formelle; le contrat de
conditionnement;
la
maïeutique
socratique;
les
contrats
constructivistes,
d’apprentissage;de conditionnement, ou des contrats d’apprentissages empiristes, où la
connaissance est supposée s’établir par le contact de l’élève avec les éléments du milieu,
comme des notions ou des propriétés.
D’autre part, il faut considérer aussi, à propos de la notion de contrat, la
distinction entre contrats locaux et contrat global, ce que l’on peut approcher des
résultats de recherche de Hersant (2001), selon lesquels on peut distinguer trois niveaux
de structuration du contrat didactique: le macro-contrat, le méso-contrat et le microcontrat. Ces différents niveaux permettent de « caractériser ce qui se passe dans la
classe, respectivement, à l’échelle de l’enseignement d’une notion, d’une activité au
moins et de l’épisode » (p.498). L’auteur remarque que plusieurs aspects
caractéristiques des contrats, comme le style d’enseignement ou le genre d’interaction,
peuvent rester stables à un certain niveau de contrat, et moins stables à un autre niveau,
selon l’enjeu des régulations mis en place dans le système milieu-élève.
Il s’agit donc de considérer ces deux échelles de structuration des contrats, le
contrat global et des contrats locaux, que l’on définit ici par rapport au temps
d’enseignement concernant l’unité de savoir. Dans ce cas les contrats locaux portent sur
un exercice ou une explication, et ils seront identifiés par l’analyse de quelques épisodes
40
choisis parmi l’ensemble des séances considérées, tandis que le contrat global concerne
l’ensemble des séances considérées correspondant à l’enseignement d’une notion.
2.2. La notion de décalage
Les situations de dysfonctionnement des contrats, aux deux échelles de
structuration, seront traitées à l’aide de la notion de décalage. Selon Antibi (2007), le
décalage didactique se doit au fait que l’enseignement se déroule à partir des certitudes
de la part des enseignants, qui souvent ne se rendent pas compte, soit des difficultés des
élèves, soit du degré d’intérêt que les élèves portent sur les objets d’enseignement.
L’auteur analyse dix formes de décalage liées à l’évaluation de l’apprentissage et à
l’enseignement en général. Comme l’objet central de cette recherche est l’enseignement,
nous considérons deux de ces formes, soit le décalage de motivation et le décalage de
compréhension.
Comme montre Antibi (2003) à partir de nombreuses études, la motivation joue
un rôle essentiel dans l’apprentissage, et souvent s’impose sur des éventuelles
difficultés conceptuelles ou sur des obstacles. D’autre part, le décalage de
compréhension « peut avoir des conséquences très importantes sur l’efficacité de
l’enseignement et, bien sûr, sur les rapports entre le professeur et les élèves » (p.134).
Dans le cas de la présente recherche, nous considérons que, dans la dynamique de
chaque contrat, le fonctionnement d’un système didactique, ou bien son
dysfonctionnement, dépend de l’émergence et de la régulation des ces décalages. De ce
point de vue, l’analyse didactique ici développée nous permettra d’identifier ce
phénomène, de l’exemplifier, mais aussi de le comprendre en fonction de l’expérience
professionnelle de l’enseignant.
2.3. Outils pour la caractérisation des échelles d’analyse
Dans le but de caractériser le contrat global identifié à partir de l’ensemble des
séances observées, nous repérons deux grandes catégories d’analyse: la structuration
et l’avancée du savoir et l’épistémologie de l’enseignant, car, comme suggère Sarrazy
(1995), tout contrat est porteur d’une épistémologie.
41
On suppose, en plus, que toute pratique a une cohérence interne qui caractérise un
style d’enseignement qui se stabilise, à son tour, par la mise en place d’une routine.
Comme le soulignent Mercier et Schubauer-Leoni (2002), la théorie didactique
n’est pas étrangère à la question des routines et régulations. Les routines nous renvoient
à:
« des sortes de patterns partagés (ou du moins partageables) des coactions didactiques permettant une forme d’économie dans la gestion
rationnelle
des
informations
et
actions
d’enseignement
et
apprentissage ».
Parmi les plusieurs approches de recherche en didactique qui utilisent cet outil
théorique, on considère un sens qui est assez partagé, comme indique la synthèse de
Tisseron (2002): une routine serait une activité de nature régulière, répétée, pas et
explicitement prévue. Dans l’enseignement, les routines assurent la stabilité des
pratiques et, du point de vue de l’élève, peuvent favoriser l’apprentissage.
La structuration et l’avancée du savoir est étudiée donc par l’identification du
processus de mise en place d’une routine, qui concerne directement la structuration du
savoir. En ce qui concerne la façon de gérer l’avancée du savoir, on envisage les deux
mécanismes qui mettent en évidence la dynamique des contrats, les mécanismes
topogénétiques et chronogénétiques, définis, selon Leutennegger (2001), d’après les
travaux de Chevallard, Schubauer-Leoni et Margolinas, comme:
« la topogenèse renvoie à la manière dont se constitue, dynamiquement, le
système de places respectives, de l’enseignant et de l’élève (leur topos), dans la relation
didactique » (p.81)
« la chronogenèse a trait, dans le contrat didactique, à l’avancement des savoirs
au cours du temps » (p.81).
Il faut considérer encore, comme élément constitutif des rapports à l’enseigner,
l’épistémologie de l’enseignant, repérée par l’ensemble de conceptions et formes de
discours de l’enseignant, pas nécessairement conscients, sur les connaissances
mathématiques. On définit, à partir de l’ensemble de ces outils théoriques, l’analyse
42
générale et l’analyse détaillée des deux cas analysés, c’est-à-dire, la pratique d’un
enseignant novice et d’un enseignant expérimenté.
Analyse générale
L’analyse générale a pour but d’étudier la globalité des enseignements observés
dans chacun des cas, de façon à identifier, à travers la dynamique du contrat global en
jeu, des rapports à l’enseigner. Les catégories utilisées pour caractériser cette analyse,
sont:

les objectifs de l’ensemble des séances observées

la structuration et l’avancée du savoir, à partir de l’étude :


de la mise en place d’une routine

des mécanismes chronogénétiques

des mécanismes topogénétiques
L’épistémologie de l’enseignant
À ce niveau de l’analyse, il s’agit de construire et illustrer ces catégories, et, pour
ce faire, nous considérons des extraits des séances choisis parmi la totalité des séances
observées, ainsi que les épisodes respectifs issus des entretiens d’autoconfrontation.
L’analyse détaillée
L’analyse détaillée a pour but de préciser, au détail, les aspects considérés dans
l’analyse générale, à partir de l’étude détaillée des mécanismes de régulation que
l’enseignant met en place dans des contrats locaux. Pour cela, on choisit seulement des
épisodes emblématiques tirés de quelques unes des séances observées, où deux des
aspects fondamentaux de l’action enseignante, soit, la gestion de la classe et la gestion
du savoir, sont mis en question. L’analyse détaillée considère donc surtout des
situations de dérèglement ou de dysfonctionnement, qui ne sont pas les mêmes pour les
deux cas analysés.
43
On souligne aussi que, dans les deux cas, il s’agit d’une analyse externe, faite par
la chercheuse, et d’une analyse interne, faite par les enseignants, avec le but de
comprendre l’activité enseignante, de façon à repérer la sémantique interne des
situations, par rapport à une organisation macro de l’ensemble des séances considérées.
3. Les variables de contexte: les écoles et les savoirs
Cette recherche s’est développée au Brésil dans le cadre de l’enseignement
public. La justification de ce choix est dû, d’une part, à l’objectif principal de ce travail,
c’est-à-dire, de contribuer, par l’analyse des pratiques, à l’éclaircissement des questions
sur la formation, champ de travail d’enseignement et de recherche de la chercheuse.
Comme le système éducatif brésilien est assez différent du système français, surtout par
des raisons d’organisation de la société et de la culture, la compréhension des pratiques
enseignantes et de la formation est liée, de très près, aux contraintes institutionnelles
particulières.
D’autre part, ce choix se justifie aussi par l’intention de vérifier la pertinence des
outils théoriques et méthodologiques issus des recherches en didactique française pour
l’analyse des pratiques, dans un cadre institutionnel assez différent de la France. Cette
question est importante, si l’on considère une tendance assez forte dans les pays
d’Amérique du Sud d’importer des cadres théoriques sans l’adéquation nécessaire aux
variables de contexte.
Les aspects relatifs à l’organisation de l’école et à l’exercice professionnel de
l’enseignant jouent un rôle considérable dans la compréhension des pratiques
enseignantes, d’où le besoin de les préciser, ce que nous ferons ensuite.
3.1. L’organisation du système scolaire au Brésil
L’éducation scolaire brésilienne s’organise selon des principes annoncés par la
loi des directives et bases de l’éducation nationale (LDB), datée de 1996. Le système
44
scolaire est divisé en deux niveaux 2 : l’éducation de base, composée par l’éducation
enfantine (enfants de 0 à 5 ans), l’enseignement fondamental (enfants de 6 à 14 ans) et
l’enseignement moyen (jeunes de 15 à 17 ans).
L’enseignement fondamental est divisé en deux, les années initiales de
l’enseignement fondamental, 3 et les quatre dernières années, selon le tableau suivant:
Organisation de l’Éducation de base
Étape de la scolarisation
Âge des élèves
Éducation enfantine
Enseignement fondamental
0 à 5 ans
Années
6 à 10 ans
initiales
Enseignement moyen
Dernières
11 à 14
années
ans
15 à 17 ans
L’éducation supérieure concerne les universités dans deux modalités de
formation supérieure : le ‘bacharelado’ , qui a pour but la formation des cadres
supérieurs dans les différents domaines de connaissances, ainsi que l’initiation à la
recherche, et la ‘licenciatura’, destinée à former les enseignants pour toute l’éducation
de base.
L’éducation de base, prévue par la loi nationale, est obligatoire et publique.
L’universalisation de l’accès à l’école publique s’est amélioré considérablement les
dernières années, et aujourd’hui la majorité de la population a accès à l’enseignement
fondamental. L’étendue de l’enseignement moyen accroît aussi rapidement, surtout
grâce aux nouvelles politiques de diversification de la formation, avec des filières
techniques et professionnelles.
2
Pour décrire le système éducatif, on va utiliser le mot traduit en français lorsque la traduction permet de
garder une proximité de sens et l’italique en portuguais, quand il n’ y a pas d’équivalent en langue
française, comme c’est le cas pour ‘bacharelado’ et ‘licenciatura’.
3
Comme nous avons déjà souligné, l'inclusion de la nouvelle première année, pour les élèves de 6 ans,
est récente. Jusqu'à 2006, les années initiales de l'enseignement fondamental correspondaient à seulement
quatre années, au lieu des cinq actuelles, destinées aux élèves de 7 à 10 ans.
45
L’enseignement public au Brésil s’est organisé à la fin des années trente,
parallèlement à l’enseignement privé, qui était lié, initialement, surtout à des
organisations éducatives religieuses. L’école publique à cette époque n’accueillait que
les enfants des classes moyennes et une partie des enfants des classes sociales plus
élevées.
Les classes sociales moins favorisées n’ont eu accès à l’enseignement public
qu’à partir de la fin des années cinquante, en fonction de l’avancée de l’industrialisation
dans les grands centres urbains, ainsi que de la pression des intellectuels en faveur de la
démocratisation de l’école. Depuis ce mouvement d’ouverture de l’école aux classes
populaires, les taux d’échec scolaire ont augmenté considérablement, au même temps
qu’il y a eu un mouvement de migration des enfants des classes moyennes et élevées
vers le réseau privé.
Le mouvement politique des années soixante, caractérisé par la dictature
militaire, a contribué considérablement à l’approfondissement des différences entre les
deux genres de scolarisation, surtout en fonction des subventions aux secteurs privés.
Dès lors, comme analyse Cunha (1985), il s’est instauré un débat sur le manque de
qualité de l’école publique, où les taux d’échec scolaire et de redoublement mettent en
évidence les difficultés qui caractérisent l’enseignement public brésilien, dans un
contexte d’instabilité économique et de différentiation des classes sociales.
Aujourd’hui l’école publique brésilienne reçoit, dans la large majorité des cas,
des enfants d’origine populaire, et son défi est celui d’accomplir leur scolarisation de
façon à leur permettre l’accès au savoir et à une certaine l’émancipation sociale.
Toutefois, malgré les nouvelles politiques d’inclusion sociale et de discrimination
positive, qui ont pour but d’améliorer l’intégration des élèves des classes populaires
dans l’école publique, ainsi que de favoriser l’accès de la majorité de la population à
l’enseignement supérieur, l’enseignement public affronte encore des problèmes graves
d’échec et d’évasion scolaire, surtout dans les années initiales de l’enseignement
fondamental.
Il est important d’ajouter encore, pour la compréhension du contexte éducatif où
se déroule la recherche, que chaque école publique est organisée de façon à accueillir
les enfants et les jeunes qui habitent à sa proximité. En fonction du manque de stabilité
économique de leurs familles, les élèves changent fréquemment d’école au long de
l’année, ou s’absentent pendant de longues périodes. En plus, d’après les politiques
d’intégration scolaire actuellement en vigueur, les écoles accueillent des enfants
46
porteurs de difficultés d’apprentissage, intégrés aux classes selon leur âge, mais souvent
avec un décalage cognitif considérable. Comme il n’y a pas, dans l’école, de service
d’accompagnement scolaire pour ces élèves, les enseignants doivent s’occuper aussi de
leur adaptation, et de leur favoriser le mieux possible l’apprentissage.
Dans les deux cas considérés dans la recherche, il s’agit de classes peu
nombreuses, ayant environ vingt élèves présents dans les séances observées et une
moyenne de deux élèves absents par séance. Dans les deux cas, même pendant une
courte période de temps d’observation - d’environ 5 semaines - nous avons assisté à
l’arrivée de nouveaux élèves qui avaient changé d’école ou qui, dans la condition
d’élève porteur de difficultés d’apprentissage, essayaient de s’adapter à une nouvelle
classe.
3.2.
La formation et la condition de travail des enseignants à
l’école
La formation des enseignants au Brésil se déroule à l’université selon deux
modalités: le cours de Pédagogie, destiné à la formation des enseignants polivalents,
pour les cinq années initiales de l’enseignement fondamental ; et les cours de
‘licenciatura’, d’une durée moyenne de quatre ans, destiné aux enseignants des
dernières années de l’enseignement fondamental jusqu’à fin de l’enseignement moyen.
Dans ce cas, il s’agit d’enseignants spécialistes dans un champ disciplinaire. La présente
recherche prend particulièrement en considération la cinquième année, car il s’agit
d’une année de changement dans la culture scolaire, les élèves ayant, pour la première
fois, plusieurs enseignants différents, sachant qu’il n’est pas rare que ces professeurs ne
connaissent ni les programmes, ni la dynamique de l’enseignement des années
précédentes.
Le programme des cours de ‘licenciatura’ est composé par des matières du
domaine spécifique qui constituent la majorité des disciplines et un ensemble de
disciplines dites ‘pédagogiques’, parmi lesquelles il y a la didactique et le stage
professionnel. Le stage a une durée très courte, et il consiste à des moments
d’observation des cours et à une période d’enseignement effectif par le stagiaire, ce qui
totalise une expérience de stage en classe d’environ deux semaines. Ce modèle de
formation, souvent critiqué par les professionnels de l’éducation, est en train de subir
47
des modifications importantes, surtout en ce qui concerne le besoin d’intégrer de la
théorie et de la pratique tout au long de la formation.
La formation continue des enseignants est assurée par l’Etat, ce qui se fait de
façon occasionnelle, rarement en rapport avec l’université. L’écart entre l’université, qui
est l’endroit où l’on a la formation initiale et aussi où l’on fait de la recherche en
didactique et en sciences de l’éducation, et les écoles, où travaillent les enseignants
formés à l’université, est reconnu comme un des problèmes majeurs en ce qui concerne
l’avancement de la qualité de l’enseignement scolaire.
Les enseignants qui travaillent dans l’enseignement public deviennent, après
avoir réussi dans un concours national, des fonctionnaires attachés à l’un des deux
systèmes scolaires: les écoles liées à l’administration des villes, ou les écoles liées à
l’administration de la région. Parfois les enseignants peuvent choisir d’être à mi-temps
dans chacun des systèmes scolaires, car assez souvent ils ne trouvent pas assez de postes
à temps complet dans un seul type d’école, ce qui les oblige à travailler dans deux
établissement différents pendant une même journée.
Chaque mi-temps dans une école totalise environ 20 leçons par semaine, ce qui
correspond à presque la totalité de la période des cours dans une semaine. Le temps
complet dans une seule école correspond à 40 heures, et deux mi-temps, dans le cas où
l’enseignant travaille dans deux types d’école, dédoublent l’emploi du temps, ce qui
correspond donc à 40 heures de cours dans deux périodes différentes de la journée.
Il faut préciser encore que les cours à l’école se déroulent seulement dans une des trois
périodes : le matin, l’après-midi ou le soir. Dans chaque période scolaire les élèves ont 5
cours, chaque leçon durant 45 minutes. Le salaire mensuel des enseignants dans les
deux systèmes éducatifs est assez bas, et les conditions de travail (matériaux didactiques
disponibles; temps de préparation des cours; accès aux bibliothèques et aux réseaux
informatisés; formation continue) sont précaires. Dans le cas de l’enseignement
primaire, les classes ont entre 20 et 30 élèves.
L’on constate donc que pour compléter leur journée de travail et d’améliorer
ainsi leur salaire, la plupart des enseignants travaille dans deux écoles différentes. Cette
contrainte sur la condition de travail des enseignants joue un rôle important, car il s’agit
de professionnels qui ont un emploi du temps très chargé. Il faut ajouter aussi que,
d’habitude, le temps de travail des enseignants dans une école est complètement occupé
par les heures de cours, et il n’existe pas de moment réservé à l’organisation du travail
pédagogique ou au travail collectif entre les collègues.
48
3. 3. L’objet de savoir et les séances observées
De façon à fixer les variables de contexte, nous avons délimité, pour les deux
cas, la même année scolaire et le même objet de savoir. Toutefois, ce choix a été
directement soumis aux contraintes concernant l’emploi du temps des enseignants qui se
sont montrés intéressés à la problématique de la recherche et qui ont accepté d’occuper
leur temps libre, assez limité, dans une activité de nature formative.
À partir de ces contraintes, nous avons choisi d’accompagner les séances sur
l’enseignement des fractions, au début de l’année scolaire, ce qui s’est montré bien
adapté à l’organisation des cours prévue par les deux enseignants, ainsi que à la
disponibilité des deux écoles de nous accueillir pendant l’étape d’observation. Nous
avons considéré aussi le fait qu’il s’agit d’un objet d’enseignement déjà très étudié par
les recherches en didactique, et d’autre part, comme nous verrons dans l’analyse de
l’enjeu du savoir, il s’agit d’un objet de savoir assez complexe d’un point de vue
conceptuel.
Il est important de considérer que les élèves étudient les fractions à partir de la
quatrième année scolaire, souvent à l’aide des figures où ils identifient les rapports entre
l’entier et les parts. L’addition et la soustraction de fractions de même dénominateur
sont enseignées à la cinquième année, mais les calculs généralisés, avec n’importe
quelles fractions, ainsi que la multiplication et la division, sont prévus dans les
programmes de cinquième année, ce qui constitue l’objectif des deux enseignants dans
l’ensemble des séances observées.
Avant les fractions, les élèves étudient, au début de la cinquième année scolaire,
les multiples et les diviseurs d’un nombre naturel, ainsi que la notion de ‘plus petit
commun multiple’ (PPCM). Ce calcul sera utilisé ensuite, lors de l’apprentissage des
fractions, pour trouver une fraction équivalente à deux fractions données, et pouvoir
effectuer l’addition ou la soustraction de fractions qui ont des dénominateurs différents.
Nous avons accompagné donc les séances des deux enseignants depuis la
présentation de la notion de fractions équivalentes, jusqu’à l’addition et soustraction de
fractions, ce qui correspond à environ 10 séances de cours.
La notion de fractions équivalentes, qui constitue l’objet de la première partie
des séances observées des deux enseignants, est déjà connue par les élèves de cinquième
année. Toutefois, la notion est souvent reprise à la cinquième année, quand on enseigne
en plus une méthode pratique de trouver des fractions équivalentes à une fraction
49
donnée. Cette étude préliminaire des fractions servira, ensuite, à l’étude des nombres
rationnels, qui constitue l’objet principal de la cinquième année scolaire.
4. Démarche méthodologique
D’un point de vue méthodologique général, il s’agit d’une recherche qualitative
basée sur l’étude clinique de deux cas. Comme souligne Mosconi (2003) à propos des
recherches qualitatives, « la compréhension des activités sociales nécessite l’analyse des
significations et de leur contexte social et culturel ». Cette approche nous mène à
considérer la subjectivité, en ce qui concerne l’interprétation des observables par le
chercheur, mais aussi l’interaction entre chercheur et observé comme partie de l’enjeu
méthodologique de la recherche. L’auteur éclaire les critères de validation des
recherches qualitatives, comme l’étude de cas, autour des principes de validité interne,
externe, et de fiabilité.
La validité interne « se reconnaît à la profondeur et à l’exhaustivité interne de la
théorie ou de la description élaborée et à sa capacité d’apporter un nouvel éclairage à
l’activité et donc éventuellement à la faire évoluer » (Mosconi, 2003). La validité
externe concerne le transfert des résultats d’une recherche à une autre contexte, avec le
but de vérifier la pertinence des aspects singuliers que l’étude de cas peut éclairer. La
fiabilité, généralement assurée par la stabilité, cohérence et exactitude des résultats,
dans le cas de recherches quantitatives, change de focus dans les recherches du type
clinique: « les approches cliniques mettent plutôt l’accent sur la multiplicité des
perspectives possibles dans l’appréhension des phénomènes. Et leur enjeu est la
congruence des résultats qui implique leur non-contradiction, sinon leur synergie et leur
complémentarité ».
Les considérations théoriques présentées auparavant constituent le cadre à partir
duquel on définit les choix méthodologiques qui caractérisent cette recherche.
L’approche clinique, selon les précisions données par Leutenegger (2001), considère
que les observables sont des signes soumis à l’interprétation que fait le chercheur. Cette
interprétation est basée sur une mise en correspondance des plusieurs pièces du corpus
de la recherche, par triangulation, ce qui permet la réduction progressive de
l’incertitude. En plus, comme suggère l’auteur, « il s’agit d’articuler ces informations
50
aux caractéristiques des tâches mathématiques concernées, sachant que ces
caractéristiques sont mises à jour par une analyse a priori » (2001, p.83).
La démarche méthodologique a donc pour but de permettre l’articulation entre les
phénomènes considérés et des dispositifs de production de traces. Nous suivons
quelques indications méthodologiques de Schubauer-Leoni et Leutenegger (2002) à
propos de l’observation, l’enregistrement et la transcription de séances ordinaires, ainsi
que le rôle du croisement entre ces différents systèmes de traces des faits observés.
Dans ce sens, notre corpus est constitué par les matériaux suivants:
Transcription des séances observées :
Dans les cas de deux enseignants, nous avons délimité l’étape d’observation à la
première séance d’introduction à la notion de fractions équivalentes, jusqu’à la fin de
l’étude des opérations d’addition et soustraction des fractions. Comme la notion de
fractions équivalentes est étudiée d’abord, de façon à l’utiliser dans les calculs, la
totalité des séances observées et transcrites portent sur un concept et sur son application,
ce qui nous a permis, à posteriori, de découper deux parties dans le déroulement de
l’ensemble des séances.
Nous n’avons pas discuté avec les enseignants quels seraient leurs approches sur
l’objet d’enseignement en question, en l’occurrence, l’équivalence des fractions, car
nous avions l’intention d’accompagner les pratiques ordinaires sans l’influence d’une
organisation externe des savoirs.
Nous avons prévu donc de suivre dix séances d’observation ayant deux moments
intermédiaires réservés à des exercices de contrôle, comme c’est l’habitude des deux
enseignants. Les séances ont été enregistrées, et ensuite transcrites4 , selon le mode de
transcription suivant:
4
Toutes les parties du corpus qui renvoient à des transcriptions de séances ou d'entretiens sont
présentés, en annexe, de deux façons: la transcription originale, en portugais, et ensuite la traduction des
transcriptions, en français.
Toutes les parties du corpus qui renvoient à des transcriptions de séances ou
d'entretiens sont présentés, en annexe, de deux façons: la transcription originale, en
portugais, et ensuite la traduction des transcriptions, en français. Pour cette raison, le
51

le rythme de la parole des enseignants et des élèves est marqué par les
traits /, // ou ///, selon leurs longueurs. Une pause plus longue ou une
interruption sont indiquées par (...) ;

nous avons préservé les signes d’exclamation et d’interrogation dans leur
sens habituel, et avons ajouté les signes ↑ et ↓ pour indiquer les montées
et les descentes de la voix. Les caractères gras marquent des mots qui son
prononcés avec plus d’importance ;

les actions de l’enseignant, ou des observations qui sont importantes pour
assurer la compréhension de l’action, sont indiquées entre parenthèses, en
italiques ;

Le tour de parole des enseignants est indiqué par ‘P’, et des élèves par ‘E’.
Nous avons indiqué les prénoms des élèves, dans le cas où cette
information était importante pour mieux comprendre les situations.
Nous n’avons pas eu des moyens de suivre les indications de Schubauer- Leoni et
Leutenegger (2002) concernant les entretiens pré et post séance, car l’organisation du
temps de travail des deux enseignants ne nous permettait pas d’avoir des moments libres
entre les séances observées. Toutefois, quelques commentaires que les enseignants ont
fait tout de suite après les séances ont été pris en compte, quand ils ont été enregistrés, à
la fin de la séance, encore en classe.
Entretien préalable :
De façon à avoir un premier aperçu du parcours professionnel des deux
enseignants, nous avons organisé un entretien préliminaire, à partir de quelques
questions ouvertes à propos:

de leur formation
numéro de la page de l'annexe qui est indiqué au long du texte et qui correspond, par
exemple, aux séances, est indiqué deux fois: un premier numéro que correspond à la
page de la traduction des transcriptions citée, et un deuxième, qui correspond à la page
de la respective transcription originale (t.o.).
52

de leur expérience professionnelle
Pour repérer aussi déjà quelques éléments concernant leur rapport à l’enseigner,
et particulièrement à l’enseignement des fractions, nous y avons ajouté des questions
sur:

l’organisation du travail pédagogique

l’enseignement des fractions em cinquième année
Le contenu de cet entretien, qui porte déjà des éléments importants des rapports
personnels et institutionnels à l’enseigner, sera approfundi dans l’analyse des séances.
L’autoconfrontation :
Le point de vue de l’enseignant est pris en compte dans l’analyse à partir des
entretiens d’autoconfrontation, réalisés après l’étape d’observation. L’autoconfrontation
simple est définie par Clot (2004), qui met l’accent sur le rapport dialogique entre
l’activité et le discours sur l’activité, dans la perspective du développement
professionnel. Selon Clot et Faïta (2000), l’autoconfrontation permet d’engager l’acteur
et le chercheur dans une démarche de co-analyse, par la possibilité d’accompagner les
enseignants dans le processus de repérage de gestes professionnels susceptibles d’être
mis en question.
Cette analyse de l’activité permet la prise de conscience des possibilités de
l’action, ce qui contribue au développement de l’expérience professionnelle individuelle
et collective. Dans le cas de cette recherche, on utilise l’autoconfrontation simple, qui
consiste à placer le professionnel devant la transcription des séances enregistrées. Le
questionnement du chercheur permet que le sujet développe ses réactions, qu’il justifie
ou explique son action.
Les éléments issus de l’autoconfrontation pris en compte dans les deux niveaux
d’analyse nous ont aidé à donner du sens à l’activité enseignante, parfois en conformité
et parfois en contradiction avec l’analyse externe.
L’analyse de l’enjeu du savoir et l’analyse a priori :
53
De façon classique en didactique, nous développons une analyse de l’enjeu du
savoir où nous avons considéré des aspects historiques, épistémologiques et cognitifs
concernant les fractions et les nombres rationnels. Ces aspects nous aideront, ensuite, à
comprendre à la fois les choix didactiques des enseignants sur leurs approches, ainsi que
les difficultés des élèves face aux tâches qui leur ont été proposées par les enseignants.
Comme nous avons identifé deux approches assez différentes choisies par les
enseignants pour présenter les fractions, nous avons développé aussi une analyse a
priori sur deux aspects et leurs implications. Notre objectif dans cette analyse est
d’identifier, a priori, les caractéristiques du déroulement de l’enseignement selon les
possibilités et les limitations de ces deux choix.
L’enquête :
Comme le choix des enseignants sur les deux approches est une question assez
importante dans cette analyse, et comme il nous intéresse d’explorer les relations entre
pratique et formation, nous avons décidé d’explorer l’avis des étudiants en licence, en
France, à ce propos.
Avec cet objectif, nous avons proposé une enquête développée à partir d’un
questionnaire pré-établi qui prend en compte l’organisation didactique de la totalité des
séances des deux enseignants. Ce questionnaire a été proposé aux étudiants d’une classe
de licence, ayant été répondu par 46 étudiants.
L’analyse des résultats a été faite selon une méthodologie classique d’analyse de
contenu, comme indiquent par exemple les travaux de Bardin (2004) ou Franco (2005).
Ces indications suggèrent comme première étape une analyse flottante, à partir de
laquelle nous identifions des catégories qui puissent nous permettre de classifier
l’information par des mots-clés, et au même temps de les organiser selon une certaine
cohérence. Ensuite les catégories sont traitées de façon quantitative mais aussi
qualitative en ce qui concerne l’inférence faite à partir des catégories établies, dans le
but de leur donner du sens.
***
Le corpus de cette recherche est constitué donc par les matériaux suivants:

Entretiens préalables avec chaque enseignant (annexe 1)
54

Transcription des séances observées et enregistrées, sous la forme des
protocoles d’observation (annexe 2)

Transcription des entretiens d’autoconfrontation (annexe 3)

Fiches de réponses aux questionnaires de l’enquête (annexe 67)
Nous avons considéré aussi, lors de l’analyse des séances, les deux contrôles que
les enseignants ont proposés aux élèves au cours de la période d’observation (annexe 7).
Dans le but de compléter le cadre théorique et méthodologique de cette
recherche, et de façon à être cohérent avec l’intention de contribuer à la réflexion sur les
pratiques et sur la formation, une autre dimension a été ajoutée à la recherche, soit, sa
visée collaborative, que nous allons caractériser ensuite.
5. La visée collaborative de la recherche
La visée collaborative de cette recherche s’inscrit dans l’ensemble des tendances
récentes de recherche en éducation, centrées sur l’enseignant et son développement
professionnel, souvent basées sur les principes de la recherche-action ou des recherches
participatives.
En effet, depuis les années soixante, on trouve un ensemble de tendances de
recherche qui ont pour but de favoriser le développement de la pratique enseignante et,
au même temps, de fournir des éléments qui puissent permettre de réorganiser les
pratiques de formation. À partir des années quatre-vingt, avec l’influence des travaux de
Schön (1983), le savoir d’expérience de l’enseignant est pris comme un des composants
de ce qui serait une épistémologie de la pratique. Ce fait passe donc à attester
l’importance de la participation de l’enseignant dans les recherches tant que partenaire,
et non comme celui qui applique des résultats de recherches produites par le chercheur.
Ce changement de point de vue sur l’enseignant va caractériser une grande partie
des recherches collaboratives pendant les années quatre-vingt-dix. En effet, comme
remarquent Bednarz et Al (2001), ces recherches s’inscrivent dans la perspective de la
formation continue, ayant pour but la contribution au développement professionnel à
partir d’une activité réflexive des praticiens sur leur pratique.
D’autre part, ces recherches visent aussi rapprocher les chercheurs et les
enseignants, en réponse aux critiques à propos du décalage entre savoirs savants et
55
savoirs d’action, ou bien entre théorie et pratique. En effet, la formation des enseignants
s’est progressivement éloignée des pratiques effectives de l’école, comme le soulignent
un grand nombre de travaux dans plusieurs pays (Shulman, 1986; Barbier, 1996). Au
Brésil cet éloignement est aussi très évident, comme l’on constate à travers les travaux
de Lüdke (1994).
Dans ce contexte, les perspectives collaboratives sont devenues, depuis les
années quatre-vingt, un moyen de rétablir la communication entre les chercheurs qui
appartiennent à des communautés de recherche, et les praticiens de l’école, dans un
processus de co-construction basé sur le partage de connaissances et de ses respectifs
contextes. Dans ce processus le chercheur inclut le point de vue du praticien et tient
compte des variables de contexte pour comprendre l’action enseignante, et, au même
temps, le praticien peut éclairer son point de vue sur la pratique à partir des repères
théoriques du chercheur.
À ce propos, les remarques de Clot (2004), commentées auparavant, à propos du
rapport entre les concepts spontanés et les concepts scientifiques à partir des idées de
Vygotsky, peuvent éclairer la nature de ce processus de collaboration. En effet, les
concepts, fruits de la production académique, peuvent aider le praticien à développer
une analyse réflexive sur son action par les échanges communicatifs autour d’une zone
proximale, ce qui contribue au développement professionnel.
Néanmoins, comme soulignent Bednarz et Al. (2001), il y a plusieurs approches
collaboratives selon les différences de rapport de collaboration établies entre chercheurs
et praticiens. Dans le cas de cette recherche, on adopte l’approche suggérée par les
auteurs qui prend en compte le fait que le chercheur et le praticiens ont des buts
différents par rapport à l’activité de recherche.
Cette différentiation est établie à partir des commentaires de Belleirot (1991),
qui fait la distinction entre être « en recherche » et « faire de la recherche »: « par la
première expression, on désigne toute personne qui réfléchit au problèmes, ou aux
difficultés qu’elle rencontre, ou bien au sens qu’elle tente de découvrir, que ce soit dans
sa vie personnelle ou dans la vie sociale (...) à l’inverse, « faire de la recherche »
implique d’autres démarches, notamment celles qu’impose le verbe « faire »: trouver les
moyens d’une objectivation des questions et des préoccupations, pour pourvoir les
étudier »(p.19). Selon ces précisions, dans le cas du praticien, il n’est pas concerné par
les trois conditions qui caractérisent le processus de la recherche, soit: une production
de
connaissance
nouvelle;
une
démarche
d’investigation
rigoureuse,
et
la
56
communication des résultats. Par contre, chercheur et praticiens s’intéressent à
l’investigation sur la pratique, ce qui peut constituer le point de convergence d’un projet
de collaboration qui se déploie en deux dimensions, la recherche formelle, et le
questionnement pratique.
5.1. Le projet de collaboration
Selon les considérations faites auparavant à propos du genre de collaboration
envisagée par cette recherche nous avons défini le projet de collaboration à partir des
catégories suggérés par Bernardz et Al. (2001) pour l’explicitation du projet: la
thématique générale; la double dimension recherche et formation; l’activité réflexive et
les retombées.
La thématique générale est centrée sur l’enseignement des fractions en
cinquième année. Comme les fractions sont liées aux nombres rationnels, tant du point
de vue épistémologique comme du point de vue de l’organisation des programmes, la
thématique établie initialement pour le travail de collaboration s’est élargie à
l’enseignement des rationnels et des nombres décimaux. La double dimension recherche
et formation a été assurée par la prise en compte de l’intérêt des enseignants à analyser
plus profondément leur propre pratique à l’aide des concepts et des résultats des
recherches en didactique. L’activité réflexive a été, depuis le début, le moteur des
rencontres, marquées par le va et vient entre théorie et pratique.
Le projet de collaboration est constitué donc par l’investigation menée par la
chercheuse et les enseignants autour d’une thématique générale: comment enseigne-t-on
les fractions en cinquième année scolaire et quelles sont les difficultés des élèves
concernant cet objet d’étude?
Une première analyse à propos de cette question nous a mené à préciser un point
de départ à la démarche collaborative: l’analyse curriculaire de l’objet de savoir. Cette
étape nous a semblé nécessaire à partir du constat que les enseignants ne connaissaient
pas les indications actuelles des programmes sur les fractions et les rationnels à
l’enseignement primaire.
Ensuite, nous avons défini qu’il serait nécessaire, dans une deuxième étape,
d’étudier des questions épistémologiques et historiques sur les nombres rationnels de
façon à mieux comprendre les difficultés qui se posent à priori à cet objet
57
d’enseignement. À partir de ces deux étapes, nous pourrions mieux analyser les séances
observées de manière à suggérer des changements et éventuellement d’autres séquences
didactiques.
La démarche collaborative s’est développée parallèlement au déroulement de
l’observation et de l’analyse des pratiques, selon le tableau suivant:
Période
Activité
Avril 2005
Organisation
des
conditions
d’observation
Entretien préalable avec les enseignants
Mai 2005
Début du travail de collaboration
Observation des séances (enseignant D)
Juin 2005
Septembre/ Octobre 2005
2006
Décembre 2006
Observation des séances (enseignante S)
Entretiens d’autoconfrontation
Elaboration du document de thèse
Conclusion du travail de collaboration
Aux conclusions finales de la thèse on présente un bilan des résultats de la
démarche collaborative.
6. Les enseignants
Le premier critère qui a guidé la quête de deux enseignants qui pourraient
participer à la recherche a été leur expertise, défini selon le temps d’expérience. Selon
les travaux de Tochon (1995) et Nóvoa (1995) sur le développement professionnel des
enseignants, les trois premières années constituent, en moyenne, un temps d’intégration
de l’enseignant à l’institution, après lequel sa pratique devient considérablement stable.
Les deux enseignants qui finalement se sont intéressés au projet de la recherche
désignés par ‘S’ et ‘D’ sont donc, respectivement, une enseignante experte et un
58
enseignant novice. L’enseignante experte S, âgée de 33 ans quand nous l’avons
contactée, avait travaillé pendant deux ans dans une école privée, où elle a eu sa
première expérience professionnelle. Ensuite elle a eu la possibilité, après avoir réussi le
concours public, de travailler dans une des grandes écoles publiques de la ville, où elle
travaillait depuis quatre ans quand nous avons accompagné ses séances.
L’enseignant novice, D, âgé de 28 ans quand nous l’avons contacté, travaillait
depuis un an dans l’école où nous avons fait la recherche. Il s’agit d’une école assez
petite, où il est le seul enseignant en mathématiques.
Il est important de signaler, à propos des deux enseignants qui ont participé à la
recherche, que, même si nous pouvons considérer qu’il y a, certes, des degrés
d’expertise, comme serait le cas d’un enseignant expert avec beaucoup plus de six ans
d’exercice professionnel, nous avons considéré que, dans le cas de cette enseignante, il
ne s’agissait sûrement pas d’une enseignante novice, comme le déroulement des
analyses de la pratique le montre bien. De façon à accomplir notre but - l’analyse
comparée qui prend en compte l’expérience professionnel - la différence entre être
novice et ne pas l’être, comme c’est le cas, a été considéré un élément suffisant pour
justifier la participation de cette enseignante. En plus, la considération d’un enseignant
qui serait ‘très expert’ aurait introduit un autre facteur qui échappe au but de cette
recherche, c’est-à-dire, la caractérisation des degrés d’expertise.
Les deux enseignants ont suivi la même formation initiale, en mathématiques, à
la même université, l’Université Federal de Santa Catarina. Ils n’ont pas été en
formation au même temps, mais ils ont eu l’occasion de se rencontrer dans une des
écoles où s’est déroulée la recherche, pendant une courte période de temps, car
l’enseignant novice a fait son son stage de formation dans l’école où travaille
l’enseignante experte.
Les deux enseignants ont passé le concours public après la conclusion de leur
cours de formation. La réussite aux concours assure aux diplômés la condition de
fonctionnaires à l’enseignement public, ce qui leur octroie certains avantages
professionnels concernant le salaire, la retraite et la stabilité de leur poste, constituant
des rapports institutionnels assez particuliers.
On présente ensuite une synthèse des réponses des enseignants dont la
transcription se trouve à l’annexe (1). Nous en avons extrait des phrases significatives
qui illustrent les aspects mis en relief.
59
6.1. L’enseignante experte (S)
Formation :
L’enseignante a choisi les mathématiques en fonction d’un ensemble de convenances: il
s’agissait du champ des sciences exactes, qu’elle a toujours préféré; l’accès à
l’université était assez facile dans ce domaine, au contraire du cours d’architecture, qui
aurait été son premier choix. En plus, la condition sociale de sa famille lui imposait le
besoin d’aller dans une grande ville pour suivre une formation professionnelle. Le choix
de devenir enseignante en mathématiques a été donc le résultat de toutes ces conditions,
ainsi que du fait qu’elle a toujours envisagé d’être enseignante: «quand j’étais petite,
j’ai toujours voulu être enseignante ». À propos de sa formation, elle considère que les
disciplines spécifiques ont été assez importantes, car elles lui ont apporté une
connaissance plus large, « sinon il suffirait de conclure l’enseignement secondaire pour
pouvoir enseigner au primaire ». Par rapport aux disciplines pédagogiques, elle croit
que cela n’a pas vraiment contribué à sa formation, d’une part parce qu’elle ne s’est pas
vraiment intéressée, et d’autre part parce que les matières mathématiques étaient bien
plus difficiles, ce qui lui demandait donc plus de temps d’étude: « je ne pouvais pas
passer toute l’après-midi à lire des textes en didactique, alors qu’en math j’avais trop
de choses à étudier ». Son stage de formation a été superficiel, elle considère n’avoir
reçu que des conseils concernant surtout l’organisation du travail pédagogique.
Expérience professionnelle:
Sa première expérience professionnelle a eu lieu dans une école privée. Elle considère
que cette expérience a effectivement contribué à sa formation, car « il y avait un
moment prévu pour l’étude et la planification des cours ». Les échanges avec des
collègues y étaient enrichissants, « ce qui n’existe pas à l’école publique ». Elle
l’exemplifie justement dans le cas des fractions: « je travaillais comme ça: deux
cinquièmes, je divise en cinq, je somme, je divise, je multiplie... je n’avais jamais
travaillé la notion d’équivalence, c’était très mécanique, ce que je fais n’est peut-être
pas une merveille, mais avant je n’avais pas cette notion, maintenant je sais qu’il y a
des choses que je peux faire différemment... alors quand je peux, je change, alors j’ai
acquis cette notion énorme... ». Elle a passé le concours public après avoir terminé sa
formation et travaille à présent dans deux écoles publiques différentes, matin et soir.
60
Dans l’école où on a réalisé l’observation, elle travaille toujours dans les classes de
cinquième année. Ce choix est dû au fait qu’elle est l’enseignante la plus récente de
l’école, alors elle fait son choix des classes après tous les autres enseignants. Elle assure
ainsi, dans cette école, des cours de mathématiques à toutes les trois classes de
cinquième année (pour les élèves de 11 ans) , ce qui lui permet d’avoir une certaine
expertise sur les pratiques et savoirs propres à la cinquième année scolaire. Le soir elle
travaille dans l’enseignement secondaire dans une autre école publique. Dans cette
école, il n’y a pas vraiment de projet pédagogique, ni de formation continue.
L’organisation du travail pédagogique:
À propos de la façon d’organiser le travail pédagogique elle fait le commentaire suivant:
« par exemple, je vais commencer à enseigner les fractions, alors j’étudie un peu, je
vois comment je vais travailler... je fais une étude des fractions, j’étudie son idée
générale... je vais travailler ceci... après je m’organise à la veille, je vais travailler ceci,
il y a ces exercices là ». À propos des cours, elle dit: « les cours, ça fonctionne comme
ça, les élèves font des exercices en classe, je leur demande de me les rendre... parfois je
fais aussi un contrôle portant sur chaque thème qui a été étudié. Par exemple, si j’ai
travaillé les multiples, alors je vais leur proposer un exercice ». Les élèves ont le
manuel toujours avec eux en salle, mais elle choisit souvent des exercices d’un autre
manuel, plus ancien, mais qui contient des exercices intéressants. L’usage qu’elle fait du
manuel se restreint au choix d’exercices. À propos de la façon d’enseigner, elle affirme:
« j’observe aussi beaucoup les élèves, je sais exactement ce qu’il font, je peux les
suivre, en général....je donne un exercice, je vois s’il sont en train de le faire, alors je
prends des notes, celui qui le fait, celui qui ne le fait pas... ». Elle ajoute aussi qu’elle
essaye toujours de faire mieux: « même en étant assez certaine de ma démarche je crois
qu’on peut toujours améliorer les choses... je suis plus critique qu’avant ». Ce qui
marque son style d’enseignement c’est, selon elle: avoir une bonne maîtrise de la
gestion de la classe; connaître bien les savoirs en jeu et avoir la conscience que ce qu’on
fait n’est jamais définitif. Elle affirme qu’elle aime beaucoup enseigner, mais « parfois
je me sens fatiguée, en raison du bruit, cela me dérange beaucoup, je n’arrive pas à
enseigner avec du bruit, quand je parle... le salaire aussi, parfois je perds la motivation,
mais j’aime beaucoup enseigner, j’adore! ».
61
L’enseignement des fractions en cinquième année:
L’enseignante enseigne tous les ans les fractions dans des classes de cinquième année.
Elle croit que les élèves ont beaucoup de difficultés à l’apprentissage des fractions, mais
elle ne sait pas préciser de quoi il s’agit: « je n’y ai jamais vraiment pensé ». Elle
travaille maintenant les fractions sur des quantités, ayant choisi elle même cette
approche car « j’ai trouvé que c’était plus intéressant, plus courant ».
***
À partir de ces éléments préalables, on conclut qu’il s’agit d’une enseignante qui
se croit experte, et qui affirme avoir une bonne maîtrise de la classe et du savoir. Elle est
effectivement très concernée par l’apprentissage des élèves, et essaye d’accompagner le
développement de chaque élève de très près. L’organisation de son travail se fait selon
ses principes et possibilités, et elle travaille seule. Même si elle aime enseigner, le bruit
et l’agitation des élèves la dérangent. Cette enseignante semble être bien adaptée à
l’exercice du métier, mais elle a envie de changement et d’améliorer son travail.
6.2. L’enseignant novice (D)
Formation:
Les mathématiques en tant que champ de connaissance n’ont pas été son premier choix,
car il a voulu d’abord étudier le génie ou l’informatique. Pour des raisons personnelles
et familières, il a été obligé de faire un autre choix, et, comme il « aimait les
mathématiques », il a finalement décidé de s’inscrire au cours de formation
d’enseignants de mathématiques. Il aurait préféré la licence en mathématiques, qui
n’assure pas la formation pour l’enseignement primaire, mais comme il s’agit d’un
cours qui occupe toute la journée il a finalement choisi le cours de formation, et ce,
« pour des raisons d’emploi du temps », car il travaillait déjà dans le commerce.
L’idée de devenir enseignant lui est venue tardivement: « je n’avais jamais envisagé
d’être enseignant, cette idée m’est venue plus tard, à partir de la moitié du cours ». Il a
pris contact avec l’école à la fin du cours, lors du stage de formation. Il considère que
cette expérience de stage a été insuffisante, car: « dix séances, c’est très peu...même si
on a déjà de l’expérience, on n’arrive pas à faire grand chose ». Il considère que les
62
disciplines pédagogiques, surtout celles « dont l’objet c’est la relation entre maître et
élève », ont été très utiles. À propos de son développement professionnel, il considère
que le temps d’expérience est très important: « le temps, l’expérience, c’est très
important... même quand on a deux classes de la même année, comme j’ai deux classes
de cinquième, la leçon d’aujourd’hui n’est pas la même que la suivante, quelques jours
après... les élèves posent des questions, alors je vois les questions, les difficultés, je me
rends compte que j’aurais dû expliquer d’une autre façon, ou bien je fais exprès, je
lance une question, car je sais ce qui va se passer... même d’une classe à l’autre.. je
prévois...alors avec plus d’expérience, il arrive un moment où cela s’améliore... ». À la
conclusion de l’entretien, il affirme qu’« avec l’expérience il arrive un moment où ça
s’amélior. On peut prévoir aujourd’hui une question qu’on ne voit pas comme une
difficulté. Quand ils arrivent en huitième année, s’ils ne savent pas faire des calculs
avec les fractions, alors on va se rendre compte qu’il manque quelque chose de la
cinquième ou cinquième année... Alors je crois qu’avec le temps, avec la pratique elle
même, surtout la pratique ... la tendance est d’améliorer ». Il se croit un enseignant en
formation, prêt à apprendre à partir de la pratique. Il sait qu’il ne connaît pas toutes les
difficultés et les possibilités du travail pédagogique, mais il croit que la pratique
s’améliore selon le temps d’expérience.
Expérience professionnelle:
Après avoir terminé la formation, il a réussi le concours public, et a pris un poste dans
cette école. Pour améliorer son salaire il travaille aussi l’après-midi dans une autre école
publique. Il travaille depuis un an dans l’école où il a eu sa première expérience
professionnelle et où nous avons accompagné les séances. Comme c’est une école assez
petite, qui n’a qu’une classe par année, il est le seul professeur de l’école, et doit assurer
les cours de mathématiques à toutes les classes, de la sixième à la neuvième année.
L’organisation du travail pédagogique:
À propos de la façon comme il organise son travail, il dit: « ce que je fais, c’est...je ne
prends pas un manuel spécifique, j’en prends deux ou trois collections, j’étudie
l’organisation des matières, et je fais ma planification, comme ça, par intuition » (...). Il
ajoute: « je travaille un thème, pas forcément un chapitre du manuel, des périodes assez
courtes, deux semaines, alors je fais une évaluation... je fais plusieurs contrôles par
semestre, cinq ou six, et j’ajoute aussi une note qualitative, qui prend en compte la
63
participation de l’élève en salle ». Néanmoins, il considère que son travail s’est
beaucoup amélioré depuis l’année dernière, qui a été sa première année de travail à
l’école. Il dit: « cette année c’est mieux car j’ai déjà travaillé avec toutes les classes,
alors l’habitude, le fait de connaître l’enseignant... ils savent déjà comment je travaille,
jusqu’où ils peuvent aller... l’année dernière je faisais des essais... ils parlent beaucoup,
on change cela peu à peu... je suis sûr que l’an prochain ça ira mieux pour cette
classe ». Il remarque encore que la classe de cinquième année est la seule qui ne le
connaissait pas encore, car il n’était pas leur enseignant avant, au contraire des autres
classes de l’école. Il s’attend à des difficultés en raison de ce fait. Il considère sa
pratique ‘traditionnelle’, ce qu’il traduit comme: « expliquer un savoir, donner un
exemple. J’explique deux, trois fois.. ». Cependant, il considère qu’il pourrait agir
autrement: «simplement je n’arrive pas encore, je n’arrive pas à échapper à cela,
concept, application du concept... inverser cet ordre, proposer une situation, et
suggérer qu’ils travaillent le concept, vérifier que cela se répète dans plusieurs
situations, et arriver à des conclusions ». Il paraît que, même s’il a étudié dans le cours
de formation initiale des possibilités didactiques pour le traitement du savoir, il n’arrive
pas à les intégrer: « l’étude de la didactique, ça m’a aidé, surtout les questions sur les
relations avec les élèves, mais je n’ai pas encore réussi à transformer ces idées en
pratique, peut-être un peu, quelques fois, pas toujours... ».
L’enseignement des fractions en cinquième année:
Il a enseigné les fractions une seule fois, l’année dernière, dans cette école. Il n’a jamais
réfléchi aux objets de savoir et il s’attend à des difficultés: « Ce genre de réflexion sur
les savoirs, en réalité, je n’y ai jamais pensé ; j’ai peut-être pensé à une chose ou autre,
mais je pense qu’à la cinquième année c’est le moment de développer les opérations
avec les fractions, je ne sais pas... je pense que, même en cinquième année, ils ont du
mal à faire des opérations avec les nombres naturels, alors ils auront du mal à en faire
aussi avec les fractions... »
***
À partir de ces commentaires, il en ressort qu’il s’agit d’un enseignant novice,
dont la formation initiale a été très superficielle. Il travaille dans une école petite, qui
n’a pas de projet pédagogique très clair. Il se débrouille donc tout seul, et n’a pas
souvent l’occasion de réfléchir aux questions pédagogiques ou didactiques avec des
64
collègues, car son emploi du temps est très chargé. Il enseigne de façon spontanée, sans
planification, ce qui ne lui semble pas poser des problèmes. Il reconnaît quelques
difficultés concernant la cinquième année (les élèves parlent trop; ils ne le connaissent
pas encore), mais il sait que le terrain est l’endroit où il va apprendre et pourra améliorer
sa pratique.
Ces éléments nous fournissent déjà des pistes à propos de leurs rapports
personnels et institutionnels à l’enseigner qui seront approfondis ensuite, à la deuxième
partir du travail.
65
66
Chapitre 3
Le concept de fraction et son enseignement: l’enjeu du
savoir
Dans ce chapitre, on présente une étude de l’enjeu du savoir en question, centrée
sur le concept de fraction. Cette étude concerne trois aspects: l’aspect épistémologique
de nature historique; l’aspect cognitif, et l’analyse curriculaire. Ces éléments,
indissociables, constituent des repères importants qui nous aideront à mieux placer les
choix des enseignants pour enseigner les fractions en sixième année, ainsi que pour
comprendre les implications des approches choisies par les deux enseignants.
67
Pour mieux comprendre l’enjeu du savoir, on considère, comme le suggère
Artigue (1990), à propos des relations entre épistémologie et didactique, que l’analyse
épistémologique nous permet de repérer l’évolution des conceptions, ainsi que l’usage
des représentations à travers le temps. Il s’agit donc d’une analyse qui interroge d’abord
l’histoire des connaissances, pour y identifier le parcours génétique des concepts
mathématiques.
On considère ensuite, de façon à composer cette étude, les difficultés
conceptuelles associées à l’apprentissage des fractions dans le contexte de
l’enseignement des nombres rationnels d’après plusieurs recherches dans ce domaine.
Nous mettons en évidence les modèles enseignés à l’école, ainsi que les questions
directement liées au problème des représentations. Cette étude est justifiée par le fait
que la première partie des séances considérées porte sur la notion de fractions
équivalentes, où l’enjeu entre concept et représentation est assez important.
En plus, de façon à mieux comprendre les enseignements suivis, par rapport aux
indications nationales prévues dans les programmes, nous étudions les tendances
présentes dans quelques manuels scolaires. Au Brésil, l’usage des manuels par les
enseignants est très répandu, même s'ils en font un usage assez sélectif, comme c’est le
cas des deux enseignants. Néanmoins, cette analyse nous permettra de distinguer
quelques tendances annoncées dans les programmes officiels, pour ainsi mieux placer
les choix qu'ont fait les enseignants à ce sujet.
On considère que ces trois aspects, l’aspect épistémologique de nature
historique; l’aspect cognitif, et l’analyse curriculaire, sont indissociables et constituent
des repères assez importants pour toute l'analyse didactique.
1. Aperçu historique
Pour développer cette analyse, nous prenons en compte l’ensemble
tâche/technique/technologie/théorie, suggéré par Chevallard (1999, 2002), dans le cadre
de la théorie antropologique du didactique, où l’activité mathématique est considérée
comme une des activités humaines et sociales. Les tâches sont des actions qui supposent
un objet précis, et qui prennent leurs sens dans des institutions: ce sont donc des
‘construits institutionnels’ (1999, p.224). Les techniques concernent les manières
68
d’accomplir une tâche, et les technologies sont des discours sur la technique, ayant pour
but de justifier rationnellement la technique. Les théories sont un niveau supérieur de
justification-explication-production, par rapport à la technologie.
Cette approche nous intéresse, car elle considère un concept comme un
processus, qui dépend d’un contexte social et d’un champ institutionnel de signification.
Dans cette perspective, nous identifions des tâches et des respectives techniques, dans
des situations sociales où naissent la notion et l’utilisation des fractions.
D’un point de vue historique, l’utilisation des fractions est liée à des tâches de
mensuration, comparaison et distribution. Chez les peuples de l’antiquité on constate
déjà le besoin d’exprimer des rapports non entiers, souvent pour résoudre des problèmes
de la vie courante. On voit parmi les égyptiens, les babyloniens, les indiens ou les
chinois, le besoin de calculer et de représenter le résultat du partage, dans le cas de
collection d’objets, et du rapport, dans le cas de problèmes de mensuration et de calculs
géométriques.
En Égypte ancien, par exemple, on utilisait les fractions, surtout les unitaires, de
numérateur 1, représentées par une ellipse au dessus du dénominateur. Les fractions non
unitaires, à l’exception de 1/2, 1/3, 1/4 et de la fraction 2/3, étaient composées par des
calculs partiels à l’aide de fractions unitaires. Comme les égyptiens opéraient toujours
par des calculs successifs, leurs techniques devenaient assez lourdes, ce qui explique le
fait qu’ils se servaient de tables de calculs, qui fournissaient plusieurs résultats. Ces
tables étaient utilisées pour une diversité de tâches, comme: diviser de façon
proportionnelle une certaine quantité; exprimer le rapport entre mesures pour calculer
l’aire de figures, et même pour découvrir une quantité fractionnaire inconnue.
En Mésopotamie, où s’est répandue l’utilisation de fractions sexagésimales, on
trouve également des problèmes arithmétiques de mesures fractionnaires, et des
problèmes assez abstraits, de nature algébrique. Les chinois et les indiens employaient
aussi des fractions dans une grande diversité de tâches, de façon assez proche des
égyptiens, le plus souvent pour le partage, les calculs géométriques et des rapports de
proportionnalité. Du point de vue numérique, les babyloniens utilisaient souvent les
fractions pour approximer des mesures, comme c’est le cas pour le calcul du nombre .
Il est intéressant de souligner que les fractions unitaires étaient préférées par des
peuples de l’antiquité. Sierpinska (1988) considère, dans le contexte du débat autour du
concept d’obstacle épistémologique, qu’il y a souvent une culture mathématique qui
69
imprime une façon de penser et qui sert comme obstacle, comme c’est le cas des
fractions unitaires.
En effet, même les grecs, qui ont été très tôt mis en face de l’irrationalité
utilisaient les fractions unitaires, ce qui a persisté jusqu’au Moyen Âge. Même dans
l’oeuvre Liber Abaci, de Fibonacci, datée de 1202, le système décimal, qui est
recommandé à ce moment, n’est pas appliqué aux fractions. Selon l'analyse de Boyer
(1974) à ce propos, Fibonacci semble effectivement toujours préférer les fractions
unitaires, ayant même élaboré des tables de conversion de fractions ordinaires en
fractions unitaires. Dans son oeuvre, les nombreux problèmes de calculs sur des
transactions monétaires sont traités par composition d’additions partielles de fractions
unitaires, ce qui rend ces calculs assez compliqués.
C’est dans le Liber Abaci qu’on trouve la représentation fractionnaire avec la
barre et les désignations de numérateur et dénominateur comme on l'utilise de nos
jours. En effet, les peuples de l’antiquité ont employé plusieurs représentations pour les
fractions, souvent avec des symboles, comme c’est le cas de l’ovale des égyptiens. La
barre de séparation était utilisée par les arabes, et a été adopté par Fibonacci, mais son
usage a été vraiment reconnu seulement au XVI ème siècle, avec De Morgan.
Il est remarquable, comme souligne Boyer (1974), que l’un des plus importants
avantages du système numérique décimal, c’est a dire, son applicabilité aux fractions,
ait complètement échappé aux européens jusqu’à la Renaissance. En effet, les
techniques de calculs avec des fractions continuaient à être assez lourdes, jusqu’à
l’utilisation des décimaux mise en place à partir de l’adoption du système métrique, au
XVIII
ème
siècle, lors de la réforme des systèmes de mesure. Cela a eu effectivement
comme conséquence l’allègement des techniques ainsi que la progressive organisation
des rapports entre les fractions et les décimaux. Cette approche va permettre de faire
correspondre chaque fraction à un point sur la droite numérique, ce qui aboutit au
traitement numérique des rapports. Plus tard, l’affrontement de aspects topologiques
concernant la droite va contribuer à l’organisation d’une technologie à propos des
nombres rationnels et irrationnels, et, finalement, à la définition de l’ensemble des
nombres réels, à la fin du XIX ème siècle, avec Dedekind (1831-1916).
C’est donc effectivement à partir du XVIII ème siècle, dans une époque de grands
changements politiques en Europe, que l’on trouve un nouveau traitement donné aux
fractions, poussé par le besoin de transmettre les connaissances mathématiques par
l’enseignement. En France, c’est dans les oeuvres destinées à l’enseignement dans les
70
Écoles Militaires et Polytechniques, comme c’est le cas des textes de Bézout, et plus
tard, les oeuvres de Laplace et Lagrange, que l’on identifie une technologie à propos des
fractions. Dans l’oeuvre de Laplace (1749-1827), par exemple, la fraction a/b est définie
comme la division de ‘a’ pour ‘b’, ce qui est au coeur de la définition des nombres
rationnels enseignée postérieurement. Laplace explore aussi les rapports entre les
nombres naturels et les décimaux, et souligne que, si a/b désigne le quotient entre deux
nombres, cela peut donner comme résultat un nombre naturel, un rationnel ou un
irrationnel.
Le texte de Bézout (1739-1783), Cours de mathématiques, très utilisé aux
XVIIIème et au XIXème siècles, qui a été écrit pour servir comme base à la préparation
pour l’École de la Marine, présente les fractions de façon assez proche des manuels
scolaires actuels. Selon l’analyse de Valente (2002), qui a étudié les origines et le
développement historique de l’enseignement de mathématiques au Brésil, dans le traité
de Bézout on voit le rapprochement entre deux significations de la représentation
fractionnaire, rapport et opérateur. L’auteur cite l’exemple donné par Bézout: 5/7 d’une
quantité c’est le même que la septième part de cette quantité. Valente considère que ce
texte a eu une grande influence en Europe, et surtout au Portugal, d’où son influence,
plus tard, à l’enseignement au Brésil.
Selon Valente (2002), les premiers textes didactiques adoptés au Brésil
surgissent autour de 1830 suite à l’organisation de l’enseignement secondaire. Les
oeuvres de Lacroix et Bézout étaient, à l'époque, les références préférées, selon
l’habitude installée au Portugal de suivre le modèle d’enseignement français. Les textes
de Bourdon, Élements d’Algébre et Élements d’Arithmétique, ont été aussi très utilisés
jusqu’à la fin du XIXème siècle, et l’édition de 1817 définit la fraction comme une
division. Valente (2002) remarque que cette définition, qui a un but didactique, est
reprise par Euclides Roxo, dans son texte Curso de Matemática Elementar, de 1929. Ce
texte est important aussi parce que l’auteur, dans un effort d’expliquer et d’exemplifier
le savoir, a définit la fraction comme étant le rapport entre les parts et l’unité. Il donne
également l’exemple du cas où l’unité est un segment. Cette préférence par le rapport
dans un cadre géométrique a eu une grande influence sur les manuels scolaires qui ont
été publiés depuis, jusqu’à nos jours. Effectivement, l’approche des fractions par le
rapport, à l’aide de dessins de figures géométriques, est devenue la façon classique de
présenter les fractions. Même si on n’arrive pas a récupérer toutes les traces de cette
71
approche, il est certain, d’après une analyse historique, que c’est le résultat d’une
création didactique.
Vizcarra et Sallan (2005), dans leur étude de l’enseignement espagnol à propos
des obstacles didactiques autour de l’aspect ‘rapport’ sur les figures, considèrent que,
comme la genèse historique des fractions est liée à des tâches de mensuration ou de
partage assez éloignés du simple rapport sur des aires de figures, il s’agit sûrement d’un
outil didactique. Ils considèrent que les raisons de ce choix sont dues à une recherche
d’économie de temps associée à une simplification conceptuelle.
Cet aperçu historique nous permet d’accompagner l’évolution de l’ensemble
tâches/techniques concernant les fractions: autour de tâches multiples et assez
semblables, les fractions étaient répandues dans plusieurs cultures depuis l’antiquité. Le
noyau du concept de ce qu’on appellera plus tard les nombres rationnels, représentés par
des fractions, a toujours été la mensuration directe d’une grandeur continue, ou bien sa
division ou partage. Les fractions servaient à s’approcher d’une grandeur non entière,
souvent des mesures.
Ces quatre significations principales - rapport, opérateur, proportion et division peuvent être identifiées déjà pendant l’antiquité, à travers plusieurs tâches, de nature
arithmétique, géométrique, et souvent aussi de nature algébrique. Les techniques, assez
élaborées, restaient lourdes en raison de la persistance de l’usage des fractions unitaires,
qui a constitué un obstacle historique à la définition des fractions comme un nombre, ou
un ensemble de classes d’équivalences, comme sera le cas plus tard, avec la définition
des nombres rationnels. La représentation des fractions avec la barre qui sépare deux
nombres naturels est assez tardive et conventionnelle. L’usage du modèle parties/entier
est lié à un besoin didactique très éloigné des problèmes réels dont les multiples aspects
associés à la notion de fraction ont toujours été porteurs.
Il s'avère également important de signaler, du point de vue de l’analyse
historique, que même si les fractions ont été utilisées depuis l’antiquité, souvent dans la
résolution de problèmes assez élaborés, son intégration, qui correspond à ce qu’on
appelle a posteriori le concept de fraction, a pris beaucoup de temps. Cela a été dû à une
rupture: l’adoption du système métrique décimal. Cette nouvelle approche s’est
répandue à travers les textes didactiques, ce qui aboutit à la praxéologie actuelle autour
des nombres rationnels.
Cet aperçu historique nous permet de comprendre le processus de construction
historique du concept de fraction. Toutefois, la présentation des fractions à l’école ne
72
suit pas son développent historique, bien au contraire. La manière classique d’enseigner
les fractions se fait souvent à partir de la définition d’une fraction comme un rapport
entre les parts prises et l’entier, et ce, souvent à l’aide de figures. Une présentation
devenue assez classique aussi a été celle de la définition d’une fraction a/b comme la
division de ‘a’ pour ‘b’. Cette approche, issue des phénomènes de transposition, est une
construction conceptuelle assez complexe et tardive du point de vue de son
développement historique, et peut devenir un obstacle didactique important, qui
empêche les élèves de s’approcher de la signification réelle des fractions. L’étude des
difficultés conceptuelles des fractions des élèves lors de l’apprentissage, au primaire,
peut nous aider à comprendre, d’un point de vue cognitif, ce qui se cache derrière ce
genre de présentation a posteriori des nombres rationnels.
2. Difficultés conceptuelles
Plusieurs recherches menées depuis les années 70, dans des contextes nordaméricain, français et brésilien, montrent que les élèves ont beaucoup de mal à
comprendre la notion de nombre rationnel. La plupart des ces difficultés est liée au
manque de compréhension et d’habilitée à manipuler les fractions. Même si la notion de
fraction, selon la manière comme elle est traditionnellement enseignée dès l’école
primaire, semble être assez simple, l’analyse historique de la genèse de son utilisation
nous donne l’indication qu’il s’agit, effectivement, d’une notion composée par plusieurs
domaines de significations différentes, d’où sa complexité conceptuelle.
Dans le contexte de la production nord-américaine le réseau Rational Number
Project étudie depuis plus de vingt ans les difficultés d’apprentissage de l’enseignement
des rationnels. Plusieurs recherches menées par les membres du Projet montrent que
seulement un tiers des enfants âgés de 13 ans arrivent à résoudre correctement
l’opération 1/2 + 1/3, tandis que deux tiers des enfants âgés de 16 ans réussissent à cette
tâche.
Même s’il ne considèrent pas dans leurs recherches les variables didactiques,
sûrement importantes pour comprendre ce résultat, le grand volume de recherches et la
quantité de donnés analysées nous suggèrent qu’il y a une vraie difficulté conceptuelle.
Behr, M. et Al. (1983), par exemple, considèrent que ces résultats sont indicatifs de la
73
richesse du concept en question, ce qui constitue l’un des arguments pour justifier son
enseignement.
Selon ces auteurs, malgré des difficultés dont l’origine est souvent difficile à
cerner, l’enseignement des fractions est important, car, d’un point de vue cognitif, la
complexité de la notion exige le développement de plusieurs structures de pensée chez
les élèves. En plus, d’un point de vue mathématique, la notion de nombre rationnel
assure
une
base
pour
les
nombreuses
opérations
algébriques
enseignées
postérieurement. Les auteurs signalent aussi que, dans le cas de fractions, il y a la
particularité du fait que la représentation interagit avec le concept. Si cela constitue une
difficulté face à l’apprentissage, c’est particulièrement intéressant du point de vue du
développement cognitif du sujet, car c’est un contexte privilégié pour l’investigation sur
les processus d’acquisition de concepts mathématiques, le but principal des recherches
du Projet nord-américain.
Pour essayer de comprendre les difficultés d’apprentissage, plusieurs recherches
liées au Projet se sont intéressées à identifier le fonctionnement du concept de nombre
rationnel. Behr et Al. (1983) identifient, d’un point de vue de l’analyse cognitive, cinq
différentes significations pour le concept: rapport, quotient, proportion, opérateur et
mesure. D’autres chercheurs en ajoutent d’autres aspects comme: la mesure
fractionnaire; le rapport entre deux variables différentes; les décimaux, et les
coordonnées linéaires.
De toute façon, comme l'atteste l’analyse historique, quatre aspects parmi les
cinq identifiés par Behr et Al. (1983), c’est à dire, le rapport, le quotient, la proportion
et l'opérateur, semblent être des aspects majeurs, car on peut les identifier facilement
par leurs respectives tâches dans une analyse historique.
Kieren (1981) est un des chercheurs qui adopte cette classification en ajoutant le
besoin de considérer l’équivalence et la partition tant que opérations mentales qui
permettent d'opérer sur ces quatre aspects, permettant ainsi la construction d’un système
de techniques autour de la notion de nombre rationnel.
Parmi ces aspects identifiés dans les recherches, le rapport constitue le noyau du
concept de fraction dans les deux cas: quand il s’agit des divisions d’une longueur,
comme ça a été souvent le cas dans l’historie, lors de la résolution des problèmes
géométriques, ou bien quand il s’agit du partage d’une quantité d’objets.
D’un point de vue strictement cognitif, la notion de rapport entre un entier et ses
parts, dans des tâches de partage, a été largement étudiée dans le cadre théorique
74
piagétien, comme l'indique l’analyse faite par Lima (1990), à partir des travaux de
Piaget et Inhelder. Les auteurs ont rassemblé les difficultés conceptuelles liées au
développement cognitif de l’enfant, celles qu’on pourrait considérer comme des
obstacles ontogenétiques. Ils annoncent sept conditions nécessaires à la compréhension
de la notion de fraction, toutes liées à la notion de conservation de quantités:
1. accepter l’existence d’une totalité divisible: pour les enfants de moins de 6
ans, la division d’un entier en parts signifie qu’il cesse d’exister tant qu’un entier;
2. accepter le rapport entre les parties et l’entier: il est nécessaire, dans le cas de
fractions, que la totalité des parties soit distribuée ou prise. Les enfants plus petits ont
une tendance à distribuer les parts, sans en prendre compte de la totalité. Dans les cas de
quantités discrètes, il faut que le nombre d’éléments de la collection soit divisible de
façon à constituer des sous collections.
3. comprendre le rapport entre le nombre de parts et les divisions: si la consigne
est de diviser une figure, les enfants confondent le nombre de traits nécessaires pour
faire la division et le nombre des parties obtenues.
4. accepter la division égale des parts: il faut établir à la fois des rapports entre
les les parts et l’entier ainsi qu'entre les parts entre elles.
5. accepter l’idée qu’une fraction peut être divisée à nouveau, pour constituer
une nouvelle fraction.
6. accepter le principe d’invariance: la totalité des fractions d’un entier, quand
réunie, doit reconstituer l’entier. Les petits enfants ont du mal à comprendre que ce qui
a été divisé peut redevenir pareil à la grandeur existante avant la partition.
Lima (1990) suggère, à partir de ces conditions, que la notion de fraction résulte
de l’acceptation de chaqu'une, mais surtout de la la coordination entre elles, ce qui
s’établit au long du processus de développement cognitif de l’enfant, à partir de l’âge de
7 ans. Aux premières années scolaires, on peut donc espérer que les élèves ont acquis le
concept de rapport, même si on rencontre encore plus tard des difficultés conceptuelles
de ce genre, surtout quand il s’agit d’un changement de cadre, du modèle des figures au
modèle de la collection d’objets.
L’auteur souligne aussi qu’il y a une différence considérable concernant la
réussite des enfants assez petits, de moins de 7 ans, dans des tâches de partage
concernant des quantités discrètes et des quantités continues, comme les figures, car la
conservation des quantités discrètes est acquise environ un an avant la la conservation
75
des quantités continues. En plus, la quantité discrète correspond à la manipulation
d’objets d’une collection, où les enfants peuvent utiliser des stratégies de comptage
assez simples, comme la correspondance, pour résoudre les problèmes. À partir de ces
éléments, on peut supposer que l’étude des fractions sur des quantités serait,
effectivement, plus accessible aux élèves, puisqu’il s’agit d’un cadre où le concept de
rapport est acquis plus rapidement.
2.1.
Les modèles enseignés à l’école
La notion de rapport est enseignée à l’école à l’aide d’un de ces trois modèles:
les figures, la collection d’objets, et la droite numérique.
À propos de la collection d’objets, les recherches menées par Hiebert et
Tonnessen (1975) montrent que les tâches de partage sur des quantités discrètes sont
plus simples pour les enfants, car ils peuvent les résoudre par des partitions partielles,
tandis que la partition de la figure exige une anticipation de l’action qui suppose la
conservation de l’aire. Dans le modèle géométrique la perception visuelle de la figure
peut, d’ailleurs, engendrer de fausses réponses, comme c’est le cas dans les tâches de
l’équivalence basés sur la figure. Les auteurs affirment que dans les deux cas il est
important de considérer que les structures cognitives en jeu sont assez différentes.
Dans le cas du modèle géométrique, représenté par des figures, la fraction
indique le rapport entre les parties considérées et l’entier, c’est-à-dire, toute la figure.
Kieren (1981), qui a étudié la compréhension des enfants de 10 et 11 ans dans des
tâches de partage d’une surface et la représentation fractionnaire correspondante,
affirme que, dans ce cas, la compréhension du rapport est directement lié à la
compréhension de la notion d’aire. Cette remarque est importante car, du point de vue
scolaire, l’enseignement de deux notions, celle d’aire des surfaces et celle de fractions,
ne vont pas toujours ensemble, ce qui nous permet de comprendre la difficulté des
enfants en raison de ce décalage.
Et pourtant ce modèle est le plus courant à l’école primaire, servant souvent
comme présentation initiale des fractions à l’aide des dessins qui représentent des
morceaux d’une pizza ou des barres de chocolat. Ces exemples ne sont pas rares,
aujourd’hui encore, dans des manuels scolaires au Brésil.
76
Comme l'affirme Brissiaud (1998) dans son article sur l’enseignement des
fractions, des recherches nord-américaines et françaises attestent que ce modèle est
aussi assez courant dans l’enseignement des fractions dans plusieurs pays. Les travaux
de Perrin (1984) montrent effectivement que le partage de galettes constitue la référence
majoritaire et presque unique à propos des nombres rationnels chez les élèves de CM2
en France.
Selon ce qui a été vu, les figures constituent un modèle développé
postérieurement pour représenter les fractions, n'ayant été utilisé que lors de
l’élaboration de textes didactiques destinés à l’enseignement, à la fin du XIXème siècle.
Néanmoins, différemment des problèmes historiques qui considéraient les rapports sur
des mesures des figures, cette approche, introduite avec le but de permettre la
visualisation, peut apporter des difficultés conceptuelles dont on souligne ici le fait que
le rapport sur des figures sans prendre en compte leurs mesures peut le transformer en
un concept de fraction assez éloigné de sa signification en tant que nombre rationnel. En
effet, après avoir désigné la fraction par le rapport sur des figures, comment peut-on
redéfinir la fraction a/b comme étant la division de ‘a’ par ‘b’? Dans ce cas, la détransposition (Antibi et Brousseau, 2000) serait considérablement coûteuse, car les deux
aspects en question, le rapport et le quotient, ont des statuts épistémologiques très
différents.
Le modèle de la droite numérique, contrairement au modèle des figures, permet
d’utiliser les fractions de façon à exprimer la mesure d’une longueur. Cette approche
nous permet, d'une part, de prendre en considération l’aspect ‘quotient’, mais, d’autre
part, doit faire face aux particularités des propriétés topologiques de la droite. En effet,
faire correspondre une fraction à un point sur la droite nous amène à la problématique
autour des nombres rationnels: peut-on faire correspondre tout point sur la droite à une
fraction? Peut-on trouver la localisation exacte d’une fraction quelconque sur la droite
numérique? Ces questions ont été affrontées, historiquement, assez tôt, puisque les
grecs, par exemple, acceptaient facilement l’existence des nombres irrationnels, mais sa
formalisation théorique est assez récente. Son affrontement à l’école primaire exigerait
des connaissances mathématiques élaborées, normalement destinées au collège.
77
2.2.
L’ambiguïté conceptuelle des fractions: les aspects ‘rapport’
et ‘quotient’
L’aspect ‘quotient’ de la notion de fraction se présente lorsque la fraction a/b est
définie comme la division a  b. Cette présentation, comme il a été explicité lors de
l’analyse historique, est une construction assez tardive dérivée de l’adoption du système
décimal. Considérer la fraction comme une division permet d’évaluer sa valeur
numérique et décimale, ce qui, historiquement, a facilité énormément les calculs.
Selon l'analyse Brousseau (1981), le développement historique du concept de
rationnel montre que même si cette équivalence a été largement utilisée dans plusieurs
tâches, la structure conceptuelle qui soutient sa cohérence ne s’est organisée qu' qu au
XVIème siècle. À partir de ce moment la fraction, en tant qu’un quotient, sera à la base
de la définition de l’ensemble des classes d’équivalence, avec des propriétés de groupe
qui définissent l’ensemble des nombres rationnels.
Une analyse plus profonde de la définition d’une fraction comme étant une
division met en évidence la plus grande difficulté conceptuelle dans l’apprentissage de
la notion de fraction: son ambiguïté. Brissiaud (1998) éclaircit cette difficulté:
« le fait que ‘3 divisé par 4’ soit égal a ‘trois quarts’ ne va pas de soi, et
constitue un obstacle fondamental dans l’apprentissage des fractions et
des rationnels. La difficulté, dans ce cas, se trouve autour de ce qu’on
considère comme l’unité: dans le premier cas, s’il s’agit de partager 3
objets pour 4 personnes, on peut prendre la moitié de la moitié de
chaque objet, ce qui correspond, d’un point de vue opératoire, à diviser
chaque entier par 4 et à prendre un morceau (1/4) de chaque objet, dans
un total de 3 morceaux. Dans ce cas, il s’agit de la partition de la
pluralité. Dans le second cas, 3/4 désigne le partage d’une quantité
discrète ou continue en 4 parties, dont on prend 3 morceaux, il s’agit
donc du partage de l’unité».
Dans ces deux cas, la difficulté concerne l’idée même d’unité, car, dans le
premier cas, il y a 3 unités à être partagées. Dans le second cas, lorsqu’on divise 3 par 4,
le résultat est une grandeur entre 0 et 1. Cette double signification, que la maîtrise des
décimaux aide à comprendre, constitue une ambiguïté conceptuelle importante, surtout
78
si la notion de la partition a été exprimée seulement à l’aide de figures géométriques,
sans aucun sens numérique. Passer de la division concrète d’une figure pour représenter
les 2/3, par exemple, peut paraître effectivement assez différent de diviser le numéro 2
par 3, arrivant ainsi à une quantité non naturelle, plus petite que 1. En plus, si on revient
au modèle de la figure, cette quantité trouvée, 0,666..., doit correspondre à une certaine
partie d’une figure, et l’élève peut, avec beaucoup de pertinence, se demander laquelle.
Comme les nombres naturels ont une signification toujours unique, le fait que la
notion de fraction contienne cette ambiguïté justifie l’affirmation selon laquelle les
nombres naturels peuvent faire obstacle à la compréhension des nombres rationnels. À
ce propos, Brissaud (1998) fait une observation sur les fractions unitaires:
«C’est seulement dans le cas des fractions unitaires, que les deux sens
coïncident de manière évidente: 1 divisé par 2, c’est, par définition, 1
demi; de même, 1 divisé par 3, c’est, par définition, un tiers, etc. Dès
qu’on n’est plus dans le cas des fractions unitaires, l’équivalence entre la
partition de la pluralité et le geste mental consistant en un
fractionnement de l’unité, ne va plus de soi. Or cette équivalence est
celle qui « fonde » le concept de fraction: elle justifie le fait que les deux
gestes mentaux précédents soient désignés de la même façon, par la
barre de fraction, et qu’on puisse lire indifféremment 13/4 comme ‘13
divisé par 4’ ou comme ‘13 quarts’, c’est-à-dire, à loisir, substituer un
geste à l’autre.»
Cette considération nous ramène au fait historique de la permanence de
l’utilisation des fractions unitaires, ce qui a souvent été considéré comme un obstacle
épistémologique au développement du concept de nombre rationnel. Il se peut que la
raison de cette persistance se trouve dans la difficulté conceptuelle de concevoir le
passage du rapport entre deux grandeurs à la division d’une par l’autre. Cela s’ajoute au
fait que la division aboutit à une grandeur non entière, représentée par une nouvelle
façon, la représentation décimale, ce qui peut être considéré comme un changement de
registre assez important. Cet enjeu entre l’existence de grandeurs non naturelles, la
représentation fractionnaire, et l’ambiguïté conceptuelle des fractions, est évident dans
le développement historique du concept de nombre rationnel. Toute solution didactique
à cet enjeu doit faire face à ces difficultés conceptuelles.
79
Il faut signaler aussi que l’aspect quotient, assez difficile du point de vue
conceptuel, est celui qui est plus proche de la signification réelle des fractions. C'est
ainsi que plusieurs ingénieries se sont développées avec le but de proposer des
séquences didactiques à fin de permettre à l’élève d’établir le rapport entre la
représentation fractionnaire d’une mesure et son aspect quotient, comme c’est le cas des
ingénieries proposées par Douady et de Brousseau. Comme affirme Brissiaud (1998),
dans son analyse comparée sur ces deux propositions, ces ingénieries ont en commun
l’objectif de permettre de traiter un problème mathématique qui a une longue histoire:
comment approcher d’aussi près la mesure d’une grandeur continue?
Toutefois, selon la conclusion de Brousseau (1988) dans son analyse à propos
des obstacles épistémologiques de l’enseignement des décimaux, on doit considérer le
décalage entre le développement historique et les approches didactiques, car, dans
l’enseignement, il ne s’agit pas de suivre le cheminement historique, mais de pouvoir
reconnaître et confronter les obstacles historiques face à des choix didactiques
inévitables.
2.3.
Les autres aspects: ‘proportion’ et ‘opérateur’
L’aspect ‘proportion’ de la notion de fraction se présente quand il y a un rapport
entre deux quantités ou entre deux variables de natures différentes. La manipulation de
cet aspect rend possible la résolution de problèmes très intéressants de la vie courante
rencontrés dans plusieurs problèmes de distribution d’objets pendant l’antiquité.
Comme montrent les recherches de Behr et al (1983), cet aspect est important, car c’est
une des notions centrales dans l’enseignement du pourcentage. Les auteurs montrent
que, dans ce cas aussi, on peut traiter de situations continues ou discrètes, ayant
différents degrés de difficulté.
Le cas ‘opérateur’ désigne des situations où la fraction opère sur une quantité ou
une mesure, ce qui révèle d’une interprétation algébrique assez courante historiquement
dans le contexte de la production mathématique de l’antiquité. Dans ce cas, la fraction
a/b transforme des figures géométriques en figures a/b plus grandes, ou bien, elle
transforme un ensemble d’objets dans un autre ensemble, ayant a/b fois d’éléments.
Dans les deux cas, il s’agit d’opérer de façon multiplicative sur la grandeur considérée.
80
Des recherches menées sur cet aspect montrent que les mécanismes inhérents à
l’accomplissement de ces tâches sont l’équivalence et la partition, comme par exemple
dans le cas d’établir que le rapport entre 2 et 6 peut se faire par l’opérateur 1/3. Les cas
de fractions non unitaires sont plus compliqués, comme dans le cas de 2/3 qui
transforme 90 en 60. D’une part, l’exploration de cet aspect nous amène à des tâches
très élaborées qui permettent la liaison entre la pensée arithmétique et algébrique,
comme il s'est passé dans le développement de l’usage des fractions chez les égyptiens,
babyloniens et grecs. Par contre, du point de vue de l’apprentissage, la notion de
fraction comme opérateur peut se heurter à la difficulté de coordonner la partition et
l'équivalence, ou bien, de développer une pensée multiplicative, certainement plus
élaborée que le raisonnement additif.
La question de l’équivalence entre fractions, ainsi que la comparaison entre
fractions, constituent des activités importantes dans le cadre de l’enseignement des
fractions, présentant aussi quelques particularités. L’étude de Post et Al. (1985), qui est
très complète à ce propos, affirme que la compréhension du nombre m/n ne dérive pas
simplement de la compréhension du sens naturel du m et du n, mais du rapport entre les
deux, dénoté, pour mettre en évidence le nouveau sens, comme (m)/n. Dans ce cas, le m
désigne les parties prises d’une objet qui a été divisé en n parties, ou bien les quantités
m prises dans un ensemble n. Comme on le sait, la compréhension de ce concept de
rapport dépend de la compréhension de comment cela fonctionne dans les trois modèles
possibles (figure, collection et droite numérique).
Pour procéder à la comparaison entre fractions, par exemple, Post et Al. (1985)
affirment qu’il faut comprendre que si on prend 2/5 et 2/3, le nombre 2 ne signifie pas la
même quantité dans les deux cas, c’est à dire, il a un sens relatif par rapport à l’entier
considéré. Pour réussir à la tâche de comparaison, l’enfant doit:
1. faire la translation entre 2/5 et (2)/5, et garder cette opération mentale en
mémoire ;
2. faire le même dans le cas de 2/3 et (2)/3 ;
3. juger les rapports entre les deux, (2)/3 et (2)/5 ;
4. coordonner les informations antérieures pour arriver à comparer 2/3 et 2/5.
81
À partir de la coordination de toutes ces opérations mentales les enfants arrivent
à comprendre cette idée, ce qui peut être rendu plus facile à l’aide de la manipulation de
différents modèles où les fractions peuvent fonctionner.
Pour effectuer d’équivalence, il faut être capable de faire des transformations
dans le système symbolique désigné par la fraction, ce qui est fait par des opérations sur
des systèmes d’objets qui la représentent. Par exemple, pour résoudre la sentence
ouverte ?/6 = 2/3, cela exige des opérations physiques et mentales de répartition et
transformation:
(4)
6
(2)
3
Comme montre le schéma, la difficulté est centrée, encore une fois, sur la
considération de l’unité: dans le premier cas, l’unité est l’ensemble des six ronds, et,
dans le second cas, l’unité devient chaque groupe de deux ronds pris ensemble. Les
enfants ont tendance a juger 4 et 6, 2 et 3 séparément, alors que la solution finale va
exiger une comparaison relative de ses valeurs, (4)/6 et (2)/3. D'après les auteurs, à
partir d’une perspective constructiviste, les enfants comprennent l’équivalence , quand
ils acquièrent une indépendance progressive du matériel de référence pouvant ainsi
opérer sans l’aide d’un dispositif concret de manipulation des quantités.
Cette remarque sur l’équivalence est assez pertinente, car on constate que les
élèves réussissent souvent aux tâches à propos de l’équivalence sans en avoir
effectivement compris le sens. Cela aboutit souvent à un enseignement ostensible,
comme on verra dans l’analyse détaillée des séances.
Pour conclure cette analyse sur la complexité de la notion de fraction, on
simplifie le tableau suggéré par Behr et Al. (1983, p.8), de façon à considérer seulement
les 4 aspects majeurs suivants:
82
Rapport
Opérateur
Proportion
Quotient
Quantité
discrète
Quantité
continue
Cette matrice exprime la complexité de la notion de fraction, où la première
ligne indique les aspects conceptuels, et les colonnes, les deux types de grandeur.
Comme indiquent les recherches, chaque cellule contient des difficultés spécifiques
dues au croisement entre l’aspect considéré et le type de grandeur. On doit considérer en
plus le fait que chaque approche peut être traitée à l’aide d’un de trois modèles: l’aire de
figures, l’exemple classique pour le cas d’une grandeur continue; la droite numérique,
dont le traitement exige la combinaison des deux représentations, fractionnaire et
décimale; ou bien la collection d’objets, dans le cas d’une quantité discrète.
Les difficultés conceptuelles exprimées par cette matrice suggèrent donc la
nécessité, de la part de l’enseignant, de choisir un cadre qui lui permettra d’approcher
cette complexité tout en considérant que chaque cellule indique des possibilités (et des
limitations) qui pèsent sur la compréhension du concept. On ajoute à cela les difficultés
apportées par la notion d’équivalence, qui rend opérationnel le concept de fraction.
Ces observations sont importantes car elles relèvent de la complexité
conceptuelle de la fraction, ou bien des nombres rationnels. Néanmoins, il faut
souligner, comme affirme Schubauer-Leoni (1988), dans sa contribution au débat sur les
obstacles épistémologiques, que si d’une part, «le sujet didactique ne peut se passer
d’une certaine composante cognitive», d’autre part, «le sujet didactique n’est pas
réductible au sujet cognitif ». Alors on peut supposer que s’il y a effectivement, comme
nous l'indique la présente analyse, des difficultés conceptuelles et des obstacles, les
choix didactiques des enseignants, ainsi que les situations mises en place par des
contrats, jouent aussi un rôle significatif dans l’apprentissage de la notion de fraction.
On passe à considérer ensuite la problématique de la notion de fraction du point
de vue de la représentation, car ce point de vue sera important lors de l’analyse
didactique des séances.
83
3. Concepts et représentations
Comme il a été souligné auparavant la fraction a la particularité de combiner une
représentation particulière, la représentation fractionnaire, avec un concept complexe, ce
qui nous suggère la pertinence de l’étude des rapports entre les objets mathématiques et
leurs représentations.
Dans une approche assez différente de l’analyse antérieure, qui est centrée sur
les concepts, les hypothèses de Duval (1993) considèrent que les représentations
sémiotiques jouent un rôle fondamental dans l’activité mathématique tout comme dans
l’apprentissage des concepts. L'auteur affirme que dans le cas des mathématiques
l’acquisition du concept ne se fait que par ses représentations, il étant donc important de
considérer la nature de chaque représentation sémiotique, car elles contiennent des
contraintes de signifiance et de fonctionnement. La possibilité d’effectuer des
traitements sur les objets mathématiques dépend alors directement du système de
représentation sémiotique utilisé. Dans l’enseignement, il est donc important de prendre
en compte soit les systèmes de registres en jeu, soit les problèmes de conversion entre
les différents registres.
Dans le cas de l’enseignement des rationnels, Duval (1999) met en évidence
l’importance de trois registres de représentation pour les nombres rationnels: le registre
numérique, qui peut être fractionnaire ou décimal; le registre figuratif et la langue
naturelle. Il montre que plusieurs difficultés associées à l’apprentissage des rationnels
sont dues aux difficultés de conversion entre ces trois registres. La non congruence, par
exemple, entre les registres figuratif et numérique, ou bien entre la représentation
décimale et fractionnaire d’une grandeur sont au coeur de la plupart des difficultés des
élèves.
Dans cette étude, il nous intéresse d’analyser les caractéristiques des registres
figuratif, fractionnaire et en langue naturelle, ainsi que la coordination entre eux. En
effet, les séances observées portent sur les fractions, les démarches des deux enseignants
concernant souvent la particularité des ces représentations.
Le registre figuratif, selon l’approche de Duval (1993), ne peut représenter que
des états ou des configurations, les figures n'étant pas capables d’exprimer les actions
ou les transformations. Le rapport entre les parties et l’entier, qui est l’opération mentale
à la base de la notion de fraction, n’est pas évidente sur cette représentation.
84
Une autre caractéristique de cette représentation est le fait que, pour désigner la
fraction, la figure doit être divisée également, ce qui va exiger des connaissances sur
l’aire des figures. En plus, le dessin d’une figure fait au tableau qui ne prend pas en
compte les mesures, peut induire à des doutes sur la fraction représentée. Ce fait
s’aggrave quand il s’agit de la comparaison entre deux fractions représentées par deux
figures, ou bien quand la figure doit être sous-divisée pour représenter une autre fraction
équivalente. Le registre figuratif a donc l’avantage de permettre la visualisation, mais a
des inconvénients du point de vue de ce que Duval (1993) appelle le traitement.
D’autre part, la représentation fractionnaire est assez intéressante du point de
vue du traitement, car elle permet d’effectuer les opérations de façon assez pratique, à
l’aide de la notion d’équivalence. Grâce à cette représentation, les peuples de l’antiquité
ont pu résoudre des problèmes très abstraits, et ont fait de bons calculs par
approximation. Seule la représentation décimale permettra encore plus d’économie au
niveau des opérations arithmétiques et algébriques.
Toutefois, si la fraction représentée par deux nombres naturels a des avantages
du point de vue du traitement, elle a l’inconvénient d’être un registre conventionnel,
dont la signification n’est pas évidente. On verra plus bas que les élèves, même à la fin
d’une suite de plusieurs séances, continuent à poser la question pour savoir si le nombre
qui est en bas représente les parties que l’on a, ou si c’est le contraire.
En plus, la représentation fractionnaire a la particularité d’utiliser un nombre
naturel avec une signification relative, c’est-à-dire, par exemple, que le numéro 2 sur la
fraction 2/3 ne représente pas la même quantité que le même numéro dans le cas de la
fraction 2/5. Cette particularité introduit des contradictions, car d’habitude le numéro
naturel a toujours une valeur absolue. Dans des tâches de comparaison, par exemple,
pour arriver à comparer deux fractions, même dans le cas le plus simple, de même
dénominateur, il faut établir un rapport de valeur assez compliqué: si on veut comparer
2/3 et 2/5, il faut considérer que plus on le divise, c’est-à-dire, plus le dénominateur est
grand, plus petit sera chaque morceau, même si on le représente par le même numéro.
Il faut considérer aussi le cas particulier des fractions impropres, qui permettent
une autre présentation de la représentation fractionnaire, en présentant des difficultés
quand on utilise les figures comme représentation. Pour représenter, par exemple, 5/3, il
faut accepter de prendre plus qu'une figure, qui doit aussi être divisée en trois parties.
S’il s’agit d’une quantité discrète, comme 5/3 de 6 objets, il faut supposer que l'on
dispose de plus de 6 objets, ou bien la question n’a pas de sens.
85
Le recours à la langue naturelle, comme souligne Duval (1993), est aussi
fondamentale que les autres registres dans le cadre de l’enseignement des
mathématiques. Dans le cas des fractions, les énoncés permettent de décrire des
procédures mentales qui doivent être effectuées pour établir le rapport entre les parties
et l’entier, aussi bien que les transformations nécessaires pour composer les opérations.
Cette représentation va servir donc, comme on verra dans les séances, de liaison entre la
figure et la représentation fractionnaire d’une fraction. Par exemple, le discours va
permettre d’établir un codage pour passer de la figure à son registre fractionnaire: « j’ai
l’entier, je le divise en cinq parts égales, c’est le dénominateur, et j’en prends quatre, le
numérateur ». Si on part donc de la figure, ce sens du codage est assez simple, mais le
sens inverse n’est pas aussi évident, car pour passer de la fraction 4/5 à son registre
figuratif, on doit d’abord se demander quel est la figure, et on pourrait effectivement
avoir plusieurs figures pour représenter une même fraction donnée. Dans ce cas, comme
dans la question étudiée par Duval (1993), de l’irréductibilité entre les représentations
graphique et algébrique d’une relation, la règle de codage n’est pas suffisante pour
assurer le changement de registre. Il s’agit donc d’une conversion, et non d’un codage,
langue naturelle servant comme le registre qui va permettre la coordination entre les
deux représentations.
Dans le cas du modèle de quantités discrètes, la langue maternelle va permettre
d’interpréter les symboles de façon à effectuer un calcul. Le discours va décrire, pas à
pas, la suite de calculs nécessaires pour résoudre, par exemple, 2/3 de 30. Cet exemple
nous permet de remarquer deux caractéristiques de ce registre: sa nature temporelle et
très peu économique, contrairement à ce qui se passe lors du registre symbolique.
La coordination entre ces trois principaux registres va être au coeur des séances
observées, comme on verra ensuite, lors de l’analyse du choix didactique des
enseignants. Le fait qu’il y ait des particularités propres à chaque représentation
échappe souvent aux enseignants, qui risquent de se voir confrontés à des choix
didactiques dont il ne contrôlent pas les implications. Ces observations sur les
caractéristiques, avantages et inconvénients des représentations s’ajoutent aux
difficultés conceptuelles présentées auparavant, et constituent un cadre qui nous
permettra de comprendre l’évolution du savoir, ainsi que le sens de l’action enseignante
en classe.
86
4. L’enseignement des fractions au Brésil
L’enseignement des fractions se fait, du point de vue curriculaire, dans le
contexte de l’introduction de nouveaux nombres, les rationnels. Dans l’histoire de cet
enseignement au Brésil, on identifie trois moments: un premier moment, jusqu’aux
années 80, où l’approche des mathématiques modernes a eu une grande influence ; un
deuxième moment à partir du début des années 80 jusqu’à la fin des années 90, quand il
y a un moment de révision de principes, et finalement, dans les années 2000 quand il y a
des reformes des programmes au niveau national, dont les implications commencent à
se faire voir dans les manuels scolaires plus récents.
Les années 70 sont marqués par l’influence du développement des
mathématiques autour de la théorie des ensembles, des structures algébriques et de la
méthode axiomatique. Dans plusieurs pays, notamment aux États Unis, et aussi en
France, les programmes ont été reformulés de façon à organiser les connaissances
mathématiques scolaires selon cette approche. Au Brésil, à cette même époque, les
fractions étaient étudiées très superficiellement, toujours selon l’aspect `rapport’, à
l’aide de figures, dans les troisièmes et quatrièmes années scolaire, quand les élèves
sont âgés de 9 ou 10 ans. À la cinquième année scolaire les fractions étaient présentées
dans le but d’introduire un nouvel ensemble, les nombres rationnels. Les fractions
étaient définies comme un quotient, dans le contexte de l’ensemble des rationnels, et on
trouve dans les textes didactiques de cette époque les définitions dans le langage formel
de la théorie des ensembles. Dans cette approche, les décimaux étaient étudiés après les
fractions, et traités comme un cas spécial, c’est-à-dire, les fractions décimales.
A partir des années 80, ont peut identifier plusieurs critiques à cette approche sur
le savoir mathématique scolaire, la plupart d’entre elles basées sur des considérations
socio-constructivistes. Au même temps, on remarque l’émergence d’autres tendances de
recherche sur l’enseignement des mathématiques, comme c’est le cas des approches
culturelles et des recherches en didactique. À la fin des années 80, il y a eu au Brésil une
réorganisation dans plusieurs programmes scolaires régionaux, où l'on identifie
l’influence de ces nouvelles tendances, avec l’indication d’un changement d’approche
pour l’enseignement des mathématiques en général.
De façon à analyser ce parcours avec plus de détail, surtout en ce qui concerne
l’enseignement des rationnels, on a examiné deux collections de manuels scolaires, des
87
années 90 et de 2000 5 . Notre objet d’étude a été la présentation des fractions à la
cinquième année scolaire, l’année considérée par la présente recherche, dans le but
d’identifier des changements et des permanences dans les manuels.
En général, on identifie, dans les reformes des années 80, l’indication d’une
approche plus thématique et moins conceptuelle pour le savoir scolaire, où il est suggéré
que les nombres soient étudiés à partir des problèmes qui ont été historiquement à
l’origine de leur utilisation. L’étude du concept de fraction est indiquée à partir de la
troisième année du primaire jusqu’à la cinquième année, de façon simple d’abord, et
toujours suivie par l’apprentissage des décimaux. A la cinquième année on devrait
étudier les opérations avec les fractions et y intégrer les deux représentations,
fractionnaire et décimale.
On identifie dans les manuels analysés, publiés au début des années 90,
l’influence de ces indications, surtout en ce qui concerne l’exclusion de la théorie des
ensembles, et un langage plus proche de la vie courante. À partir de la fin des années 90,
la réforme nationale des programmes scolaires, qui a aboutit à la publication d’un
programme national 6 , met en évidence trois aspects pour l’enseignement des
mathématiques:

l’interdisciplinarité, principe selon lequel les mathématiques devraient
être présentées par ses rapports avec les autres disciplines;

la contextualisation du savoir surtout par l’étude de l’histoire des
mathématiques,

l’intégration interne, c’est-à-dire, l’intégration entre les différents
domaines qui composent les mathématiques scolaires (nombres, algèbre,
géométrie, mesures et traitement des données).
En ce qui concerne les fractions, il est recommandé de traiter les plusieurs
significations des fractions (rapport, quotient, opérateur et proportion), avec des
quantités discrètes et continues. Il est suggéré aussi qu’on travaille les deux
5
Ce travail a constitué la première étape de l’activité de collaboration développée avec les deux
enseignants qui participent à cette recherche. Nous avons analysé les manuels intitulés Matemática e
Realidade ( éditions de 1991 et de 2000), et Matemática na Medida Certa (éditions de 1994 e 2002).
6
Il s'agit des Parâmetros Curriculares Nacionais, un document publié par le Ministère de l'Éducation
avec le but d’unifier des références curriculaires à l’échelle nationale. Ce document a été élaboré avec la
collaboration des chercheurs en éducation et en didactique, et s’organise autour de certains principes
pédagogiques comme le développent des compétences, la contextualisation des savoirs et
l'interdisciplinarité scolaire.
88
représentations, fractionnaire et décimale, au même temps, de façon à favoriser la
compréhension de la notion de nombre rationnel. L’ensemble des nombres rationnels
s’introduit de façon formelle, selon les nouveaux programmes, seulement à la septième
année scolaire.
L’analyse des manuels publiés dans les années 2000 montre que l’aspect
‘rapport’ continue à être l’aspect préféré, malgré l’indication de l’importance d’autres
aspects. Les fractions sur des quantités discrètes, qui n’étaient pas présentes dans les
années précédentes, sont traitées par des problèmes de la vie courante concernant la
distribution d’objets. Les fractions sont toujours présentées d’abord et exemplifiées à
l’aide de figures géométriques. Ensuite, les manuels proposent l’étude de l’équivalence
et des quatre opérations avec les fractions, suivie de l’enseignement des décimaux,
malgré l’indication d’un traitement plus intégré de deux représentations. La
proportionnalité est traitée comme un autre thème à la fin de la plupart des manuels de
cinquième année n'étant pas intégrée en tant que notion de fraction. La droite
numérique n’est pas explorée.
Nous avons conclu donc que la présentation des fractions en cinquième année a
changé très peu par rapport à celle des années 90, car le rapport entre la représentation
fractionnaire et décimale n’est pas exploré de façon à permettre d’approcher la
définition des nombres rationnels, comme le suggère le programme national.
En plus, ni l’aspect ‘quotient’ ni la mesure associés aux fractions sont abordés,
et les problèmes historiques, qui on été à l’origine de l’étude des nombres rationnels, ne
sont pas proposés dans les manuels analysés. Effectivement, les trois tendances
indiquées - l’approche historique, l’interdisciplinarité et l’intégration interne - sont très
peu incorporées. La seule vraie modification concerne le changement de langage, qui
devient moins formel, avec un certain allègement conceptuel.
5. Conclusions
Nous concluons cette analyse de l’enjeu du savoir en essayant de réunir les
aspects les plus importants de l’aperçu historique, de l’analyse conceptuelle concernant
les difficultés d’ordre cognitif et l’analyse du point de vue curriculaire.
Nous avons identifié la complexité du concept de fraction à l’aide d’une analyse
historique sur son développement, où l'on identifie des obstacles. Cette complexité se
89
présente aussi au niveau cognitif, ce qu’on peut considérer comme des obstacles
ontogénetiques. On observe néanmoins que la nature des obstacles historiques, comme
c’est le cas de la persistance des fractions unitaires, n’est pas la même des obstacles liés
aux représentations, comme c’est le cas, par exemple, de l’articulation entre l’aspect
‘rapport’ et l’aspect ‘quotient’ des fractions. Cela se doit au processus de transposition
didactique, où sont définis des choix qui vont jouer un rôle important pour
l’enseignement et l’apprentissage, comme on voit, par exemple, par le choix privilégié
de l’aspect ‘rapport’, ou bien la persistance de la représentation figurative.
En effet, si la complexité du concept de fraction ou de nombre rationnel est
évidente, attestée par son développement historique, la présentation didactique peut
rester assez classique, comme c’est le cas des manuels analysés, même les plus récents,
des années 2000. Il semble que la complexité conceptuelle des rationnels n’est pas
affrontée, au moins en ce qui concerne les textes didactiques. Il paraît que c’est le cas
aussi des pratiques en classe.
L’affrontement des difficultés conceptuelles pourrait se faire par une approche
plus historique qui considère les problèmes autour du noyau du concept de rationnel,
c’est-à-dire, la tâche de mensuration d’une grandeur continue, comme le montre le
travail de Brousseau (1981) sur la didactique des décimaux. Néanmoins, cela exigerait
de vrais changements curriculaires, avec l’enjeu du rapport entre l'économie du temps
didactique et le gain conceptuel, un dilemme fondamental de tout système éducatif.
Dans l’étude des changements des programmes et des manuels scolaires, nous
avons identifié certaines caractéristiques des processus de transposition didactique sur la
notion de fraction. En effet, même si aujourd’hui toutes les écoles reçoivent des
manuels approuvés par le Ministère de l’Éducation et selon les programme actuels,
comme nous avons vu, ces manuels n’arrivent pas à incorporer toutes les
recommandations curriculaires. Bien au contraire, ces textes didactiques renforcent la
présentation classique et ont du mal à changer d’approche. En plus, il faut considérer
aussi que les enseignants ont beaucoup d’autonomie par rapport aux manuels scolaires,
en organisant souvent leurs choix didactiques selon d’autres variables qui ne prennent
pas toujours en compte les indications des programmes.
Finalement, pour comprendre de façon encore plus profonde le contexte où se
place l’action enseignante, il faut considérer les caractéristiques de la formation initiale.
La formation initiale des enseignants en mathématiques n’a pas changé depuis plusieurs
90
années, surtout en ce qui concerne ce que Schulman (1986) a nommé la connaissance
pédagogique du contenu.
Si, au niveau de la recherche, on identifie des progrès, et, comme nous avons
signalé, il y a eu quelques changements au niveau des programmes scolaires, ces deux
éléments n’ont pas encore eu de vraies retombées sur la formation. En plus, la formation
continue, assurée par l’État, n’est pas, jusqu’à présent, organisée de façon à contribuer
effectivement à la réflexion sur la pratique, ce qui pourrait aboutir à des changements.
Ce contexte explique le fait que les deux enseignants concernés par cette recherche
n’avaient pas de réflexion a priori sur les difficultés d’apprentissage des fractions et des
rationnels.
En effet, les pratiques de formation initiale et continue devraient accompagner
ces changements, de façon à permettre aux enseignants d’avoir des outils pour faire des
choix didactiques adéquats. Cela exigerait une amélioration des rapports entre recherche
et formation, pour aboutir effectivement aux pratiques enseignantes.
Ensuite, nous allons approfoundir, à partir des repères ici identifiés, l’analyse sur
les deux approches adoptées par les enseignants concernés par cette recherche, et nous
en étudions les implications.
91
92
Chapitre 4
Analyse a priori des approches choisies par les enseignants
Dans ce chapitre l’on considère, par rapport à l’étude précédente, les approches
choisies par deux enseignants pour enseigner les fractions et, particulièrement, le
fonctionnement de la notion d’équivalence dans les deux cadres, ce qui nous permettra
de comprendre a priori les difficultés affrontées par les enseignants dans les séances
observées.
À fin de vérifier, d’un point de vue externe, la pertinence du choix sur les deux
aspects choisis, ‘rapport’ et ‘opérateur’, une enquête a été faite avec des étudiants en
licence, en France, des futurs enseignants, dont voici le déroulement et les résultats.
93
1. Les deux approches choisies par les enseignants
Comme il a été signalé dans le chapitre précédent, l’objet d’enseignement
‘fractions’ porte une multiplicité d’aspects, dont voici les quatre plus importants:
rapport, opérateur, proportionnalité et quotient. Ces aspects peuvent fonctionner dans
trois différents contextes: les figures géométriques, la collection d’objets, ou bien la
droite numérique. D’ailleurs, nous avons signalé aussi le rôle joué par les différents
registres de représentations, ainsi que les problèmes de conversion et codage qui leur
sont associés.
Dans le cas des deux enseignants, chacun a choisi un aspect et un modèle:
l’enseignant débutant D a choisi l’aspect ‘rapport’ sur des figures géométriques, tandis
que l’enseignante experte S, a choisi l’aspect ‘opérateur’ sur des quantités discrètes.
Comme l’on peut constater à partir de leurs affirmations dans l’entretien préalable, leur
choix est dû à des raisons assez différentes. L’enseignante experte, qui avait déjà
enseigné les fractions plusieurs fois en cinquième année scolaire, a connu l’approche
‘opérateur’ quand elle a travaillé dans une école privée. À partir de cette expérience, elle
a conclu que les fractions sur des quantités discrètes avaient l’avantage de permettre aux
élèves de manipuler des objets et des situations de la vie courante. Alors ensuite elle a
décidé de changer d’approche, de l’aspect rapport dans le cadre des figures, à l’aspect
opérateur, dans le cadre des collections.
L’enseignant novice a choisi l’aspect ‘rapport’ sur des figures, surtout par
habitude. Lors de l’entretien d’autoconfrontation, quand on a analysé sa première
séance, il a commenté qu’il avait fait ce choix car c’était la façon comme il avait étudié,
et comme il croit qu’on étudie les fractions à l’école: «en réalité, je n’ai jamais pensé à
faire autrement, je crois que je fais comme ça parce que c’est la façon comme ils (les
élèves) ont étudié avant...quand on va étudier les fractions, je pense que tout ce qu’on
étudie c’est le rapport, alors c’est quelque chose pour eux de ....(connu)». 7
On souligne que, dans les deux cas, il ne s’agit pas d’un choix issu d’une analyse
didactique sur le savoir. Même S, qui a beaucoup d’expérience dans l’enseignement des
fractions, n’arrive pas à identifier ni à prévoir quels seraient les difficultés des élèves.
7
Comme il s'agit de la langue parlée, qui est assez contextuelle, nous avons ajouté des mots entre
parenthèses, quand il était important de compléter la phrase de façon à mieux permettre la compréhension
de son sens.
94
Selon ce que mentionne le chapitre 2, à l’entretien préalable elle affirme n’y avoir
jamais vraiment pensé.
L’enseignant prévoit que les élèves auront des difficultés d’opérer avec les
fractions, car il reconnaît qu’ils ont déjà du mal à opérer des nombres naturels. Il
n’arrive pas non plus à préciser quels seraient les difficultés concernant l’apprentissage
des fractions, mais il suggère que la comparaison de fractions peut introduire des
problèmes, comme il affirme: «la comparaison préoccupe le plus, car il faut qu’ils
comprennent vraiment que les numéros sont là, mais ils ne représentent pas la même
partie de l’entier».
Aucun des deux enseignants ne prévoit les implications de leurs choix sur leurs
approches, n’éprouvant pas le besoin d’adapter leurs objectifs d’enseignement par
rapport à ces deux cadres. De façon à éclaircir ces implications, force est-il de
développer une analyse à priori sur les deux aspects, rapport et opérateur, dans chacun
des cadres choisis par les enseignants. Nous considérons aussi de quelle façon la notion
d’équivalence fonctionne dans chaque cadre, car il s’agit du concept le plus important
dans l’ensemble des séances observées.
2. L’aspect rapport sur des figures: analyse à priori
Comme nous avons vu dans le chapitre précédent, l’aspect rapport est à la base
de la notion de fraction, étant porteur d’obstacles épistémologiques assez importants.
Tout d’abord, indépendamment du cadre choisi, il faut signaler deux difficultés
inhérentes à la fraction en tant qu’objet d’enseignement, soit:

la notion de rapport, qui est représentée par la fraction, dont la signification doit
être le résultat d’une construction mentale assez complexe;

l’aspect conventionnel de la représentation fractionnaire, où le numéro qui est
en bas désigne les parts divisées et celui qui est en haut désigne les parts prises.
Même si les élèves en cinquième année connaissent déjà la fraction, il est
supposable que ces deux aspects posent encore des problèmes, surtout si l’on admet que
dans les classes considérées les élèves ont eu un parcours scolaire assez instable.
95
L’option du modèle de figures géométriques, souvent des rectangles ou des
ronds, constitue l’approche traditionnelle dans l’enseignement des fractions, ayant
l’avantage de permettre la visualisation de l’entier et des parts.
Toutefois, il faut souligner que, dans ce cadre, les figures, sont souvent associées
à des morceaux de pizzas ou des barres de chocolats étant cependant prises sans
mesures. La division des parts des figures dépend, quand il s’agit de les dessiner au
tableau, de la précision du dessin fait par le professeur. Les parts correspondent
effectivement à des aires de la figure, qui est divisée de façon à préserver le principe
fondamental d’une fraction, soit l’égalité des parts. Ainsi est-il que les ronds sont
forcément divisés différemment des rectangles, et la compréhension de ce fait dépend,
comme nous avons signalé auparavant, d’une certaine familiarité avec la notion d’aire
d’une figure.
En plus, si le rapport entre les parts prises et l’entier représenté par une fraction
peut être facilement identifié à l’aide d’un dessin sans mesures, la comparaison entre
deux fractions, par exemple, devient une tâche dont le traitement est assez difficile dans
ce cadre. Des dessins imprécis faits au tableau deviennent une représentation fragile
pour justifier la différence d’aires entre deux figures, alors il faut avoir recours à
d’autres outils didactiques.
L’approche ‘rapport’ dans le cadre des figures constitue donc une approche
visuelle, mais pas vraiment géométrique. Toutefois, il serait possible de traiter le rapport
entre l’entier, c’est à dire, l’aire totale, et les parts, les aires partielles, de façon
géométrique, si on a l’intention de prendre en compte les mesures. Dans ce cas, on
aurait un gain conceptuel significatif, car, d’un côté cela permettrait d’approcher le vrai
sens d’une fraction, mais, de l’autre, cela demanderait un coût didactique assez
important.
En effet, le mesurage des longueurs pour exprimer des rapport entre les deux
surfaces représentées par une fraction demande l’étude de la représentation décimale
associée au système métrique. En plus, cela exige l’affrontement du fait qu’il y a des
mesures commensurables et incommensurables, ce qui n’est pas prévu dans le
programme de la cinquième année scolaire. Le traitement de cet aspect des fractions, la
mesure, est donc d’habitude évité, et la figure sert à illustrer les rapports avec très peu
de rigueur.
96
2.1. Le fonctionnement de la notion d’équivalence dans ce cadre
La visualisation de la notion de fractions équivalentes dans le cadre des figures
dépend de la précision du dessin. Pour justifier le fait, par exemple, qu’un tiers est
équivalent à 3/9, à l’aide de d’un dessin, il faut soit diviser progressivement la même
figure, ou bien comparer deux figures divisées en trois et en neuf parts, de façon assez
précise. Souvent, comme il est difficile de dessiner au tableau des figures pareilles, on
utilise des feuilles pliées successivement, de façon à illustrer cette notion. Grâce au
pliage on peut donc échapper au manque de précision du dessin, mais l’écart entre la
démonstration visuelle, dans le cas d’une fraction et d’une autre équivalente, et la
construction mentale du concept reste toujours le même.
Dans ce cas, il paraît assez pertinente la suggestion de Duval (1993) à propos de
l’importance de la conversion entre registres, de façon à favoriser la compréhension
d’un concept. L’enjeu entre les registres figural, fractionnaire et en langue naturelle, est
à la base de l’introduction à la notion de fraction et de nombre rationnel, où le choix des
exercices et des outils didactiques pourraient favoriser l’articulation entre le concept et
les représentations.
On souligne d’ailleurs que l’usage des figures est le principal outil didactique
dans l’enseignement des fractions, surtout en ce qui concerne l’illustration du concept
d’équivalence, peut rendre encore plus difficile la compréhension du rapport en ajoutant
des obstacles didactiques à une notion déjà assez complexe. Le changement d’aspect sur
le même concept, comme c’est le cas de l’aspect opérateur sur des collections d’objets,
pourrait favoriser l’acquisition de la notion de fractions équivalentes.
En plus, le but de l’enseignement est de passer de la notion de fractions
équivalentes au calcul de fractions équivalentes à une fraction donnée, ce qui sera utilisé
plus tard dans les opérations entre fractions de dénominateurs différents. Les élèves
doivent comprendre la notion de fractions équivalentes par la généralisation du concept,
ce qui justifie les calculs pour transformer des fractions dans d’autres fractions
équivalentes. Ces calculs sont assez importants quand on doit aboutir à deux fractions
de même dénominateur, et surtout quand il s’agit de la simplification de fractions.
Il est supposable, si on considère que la notion de rapport est déjà assez abstraite
s’agissant d’une fraction, que la transformation d’une fraction dans une autre
équivalente concerne un nouvel ensemble de difficultés, comme:
97

l’existence d’une infinité de fractions équivalentes à une fraction donnée, ce qui
diffère considérablement de l’unicité d’un nombre naturel;

le fait que deux paires de nombres naturels différents, écrits en leur
représentation fractionnelle, peuvent désigner un même rapport,

Ce rapport, qui peut être représenté par des nombreuses fractions, peut désigner
au même temps une même quantité, dans le cas d’une collection, comme c’est le
cas, par exemple, de 1/3 de 12; 2/6 de 12, 3/9 de 12,....ou bien la même aire,
dans le cas de la division successive d’une figure.
Ces difficultés concernent en fait la complexité des nombres rationnels par
rapport au nombres naturels, ce qui constitue le défi le plus important de la cinquième
année scolaire.
Le calcul pour trouver une fraction équivalente à une autre est assez simple,
mais doit respecter l’exigence de multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur
de la fraction donnée par le même numéro.
Une particularité de ce calcul concerne la liste de fractions équivalentes à une
fraction donnée, c’est à dire, la classe d’équivalence, comme dans l’exemple suivant:
1 est équivalent à 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , ....
2
4 6 8 10 12 14 16
La multiplication doit se faire toujours à partir de la première fraction, car les
fractions équivalentes à la première ne sont pas forcement équivalentes entre elles. Cette
construction, de nature est assez abstraite, n’est pas prévue dans les programmes de la
cinquième année, même si on la trouve, sous la forme d’exercices, dans quelques
manuels scolaires.
3. L’aspect opérateur sur des quantités: analyse a priori
Comme nous avons vu, l’aspect ‘opérateur’ permet effectivement de travailler
avec du matériel concret sur des problèmes de la vie courante, ce qui était justement
l’intention de l’enseignante experte. La compréhension de la notion de fraction, dans ce
98
cadre, est facilitée en fonction de la possibilité de manipuler des objets, et de raisonner
sur des parts d’une collection.
Par contre, il y a deux inconvénients assez importants dans le choix de cette
approche. D’une part, l’aspect opérateur exige que l’on associe la représentation
fractionnaire à un geste mental assez complexe, car il contient plusieurs calculs. Par
exemple, 3/4 de 40 signifie que on divise la collection de 40 objets en 4 sous collections
(ce qui indique le dénominateur), chacune avec 10 objets. Et qu’on prenne ensuite un
certain nombre de ces sous collections (ce qui indique le numérateur), dans ce cas, 3, ce
qui signifie qu’on prend 30 objets, le résultat de 3/4 de 40 ou bien, 30 objets.
Cette approche nous oblige donc à bien articuler la représentation fractionnaire
avec un discours en langue naturelle. Dans ce cas, la langue naturelle sert d’instrument
de codage, dont le processus, basé sur un raisonnement multiplicatif, doit être
internalisé par les élèves, de façon à bien comprendre le fonctionnement d’une fraction
en tant que ‘opérateur’.
D’autre part, la tâche de comparaison entre deux fractions dans ce cadre devient
assez compliquée. L’exercice sur cette tâche, comme c’est le cas pour tous les exercices
concernant ce cadre, doit toujours considérer les quantités sur lesquelles les fractions
opèrent, comme dans l’exemple: 2/3 de 30 est-il plus grand que 1/5 de 30? Pour
répondre à cette question, soit on vérifie d’abord le résultat de l’opération d’une des
fractions sur une quantité, et ensuite le résultat de l’autre fraction sur une même
quantité, pour pouvoir ensuite les comparer, ou bien on a recours directement à la notion
d’équivalence, et l’on cherche à réduire les deux fractions à deux autres, de même
dénominateur. Mais, dans ce cas, nous n’aurons plus besoin de la quantité, car si deux
fractions sont équivalentes, elles le seront toujours sur une même valeur.
Nous concluons donc que l’aspect opérateur remplace la notion de rapport par un
calcul, ce qui a des avantages concernant la possibilité de manipuler des quantités, ayant
comme grand inconvénient celui de ne pas permettre la généralisation de la notion de
fraction sans le repère de la quantité.
Pour cette raison, cette approche nous semble encore plus éloignée de la
signification d’une fraction en tant qu’une représentation d’un nombre rationnel que
l’approche des figures. Quel sens peut avoir le numéro 3/4 si on ne sait que lui donner
du sens à partir d’une quantité? Comment passer de cette approche à la notion de
rapport entre le numérateur et le dénominateur? Comment passer de cette approche à la
division du numérateur par le dénominateur? Il est prévisible que la détransposition
99
didactique, nécessaire à l’apprentissage des nombres rationnels, posera encore plus de
difficultés que l’approche ‘rapport’ sur des figures.
3.1. Le fonctionnement de la notion d’équivalence dans ce cadre
Comme nous avons vu, la question de la généralisation de la notion de fraction
concerne la tâche de comparaison mais aussi la notion d’équivalence, dans le cadre de
l’aspect opérateur. Comment peut-on affirmer qu’une fraction est équivalente à une
autre, s’il nous faut toujours calculer à partir d’une quantité donnée? Comment l’élève
va résoudre, par exemple, l’exercice suivant «les fractions 2/3 et 4/5 sont
équivalentes?», s’il ne sait pas sur quelles quantités ces fractions opèrent ?
Dans ce cas, si on ne change pas d’approche, on doit mener l’enseignement de
façon que les élèves arrivent à la généralisation du concept, c’est à dire, qu’ils concluent
que le fait d’être équivalent dépend du maintient du même rapport entre l’entier et
les parts.
Il serait donc plus simple d’introduire d’abord cette définition des fractions
équivalentes pour travailler ensuite l’équivalence sous son aspect opérateur. Cela
éviterait à s’attendre à une généralisation à partir d’une définition implicite plus
restreinte.
4. L’enquête
La question du choix didactique des enseignants dans le cas de la présente
recherche c’est montrée assez importante, car chaque choix les a conduits à des
cheminements assez différents. En plus, il s’agit de deux modèles bien distincts, chacun
avec ses avantages et inconvénients. Il nous a donc paru intéressant d’analyser l’avis des
étudiants en licence, en France, des élèves-professeurs, à propos de ces deux approches
pour enseigner les fractions: la figure et les quantités.
Pour permettre de mieux comprendre le contexte d’enseignement en
considération, nous avons fourni aux étudiants un tableau concernant le cheminement
général des séances des deux enseignants (annexe 4). Les informations sur ce tableau
ont été commentées rapidement par le professeur responsable du cours.
100
Nous avons proposé le questionnaire suivant à une classe de licence, auquel 46
étudiants ont répondu.
Questionnaire
Deux approches vous ont été présentées à propos de la notion de fractions
équivalentes:
1 La notion de fractions équivalentes à partir du rapport entre le
numérateur et le dénominateur dans le cadre des figures (à l’aide
d’une feuille pliée ou bien des figures dessinées au tableau)
2.La notion de fractions équivalentes à partir du calcul de la valeur
d’une fraction sur une quantité
I) À priori, laquelle des deux approches vous semble la mieux adaptée
pour introduire cette notion*:
approche (1) approche (2)
Justifiez votre réponse
je ne sais pas
II)À votre avis, laquelle des deux approches vous semble-t-elle donner le
plus de sens à cette notion *:
approche (1) approche (2)
Justifiez votre réponse
je ne sais pas
101
Analyse des résultats
Les étudiants ont entre 20 et 22 ans et ont comme diplôme antérieur le DEUG
(Diplôme d’études universitaires générales) situé dans des filières assez diverses comme
BGSTU (Biologie Générale Sciences de la Terre et de l’Univers), STAPS (Sciences et
Techniques des Activités Physiques et Sportives) ou Sciences du langage. Les fiches de
réponses sont à l’annexe 7.
Le tableau suivant montre le résultat général concernant les deux questions
posées:
Approche 1
Approche 2
Je ne sais pas
Question I
40 (87%)
4 (8,7%)
1 (2,2 %)
Question II
23 (50%)
15 (32,6%)
8 (17,4%)
Comme nous indiquent ces résultats, l’approche 1, celle des figures, est
largement préférée par les étudiants lorsqu’on leur demande qu’elle est la plus adaptée
à l’enseignement. Par contre, la deuxième question, centrée sur le sens, a une
distribution moins tranchée entre les deux approches, et avec plus de réponses
indéfinies.
L’analyse de leurs justifications, à partir d’un dépouillement fait sur des motsclés, nous permet de mieux comprendre cette différence. À partir des fiches qui ont
choisi l’approche 1 à la première question, nous avons identifié les cinq mots-clés
suivants, selon le tableau qui indique aussi la fréquence selon laquelle chacune de ces
catégories apparaît:
Catégories
Fréquence
visualisation / géometrie
21
concret/ manipulation
21
simple/ facile
19
ludique/motivation
3
vie courante/ utile
2
102
Les trois premières catégories sont très fréquentes, et les fiches suivantes
exemplifient bien leur combinaison de façon à composer une justification:
«la méthode utilisée est plus concrète donc plus abordable par les
élèves qui découvrent cette notion. L’élève, grâce au pliage de la feuille
de papier, peut se représenter visuellement une fraction» (fiche 14)
« il me semble que l’utilisation géométrique est plus facile à
comprendre que les calculs. Une démonstration concrète, comme la
feuille pliée, me semble plus pertinente que de simples calculs » (fiche 1)
Il est donc évident que, pour ces étudiants, l’aspect géométrique des figures,
associé à la possibilité de visualiser la fraction, semble être une approche plus facile.
Curieusement, ces deux fiches où l’on trouve les trois mots-clés les plus fréquents dans
les argumentations, ont choisi la réponse ‘je ne sais pas’ à la deuxième question. La
fiche (1) justifie quel est le doute:
«la première approche me semble meilleure mais en pratique, elle peut
être moins bien expliquée que la seconde».
Parmi ceux qui ont choisi l’approche 2, même s’il sont peu nombreux (4 fiches),
on remarque que quelques caractéristiques de l’approche par le concept d’opérateur
sont effectivement identifiées:
Caractéristiques
Fréquence
nombres/calculs
2
Confère de la certitude/ logique
2
mathématique
Concret/ manipulation d’objets
1
Simple
1
103
Le fait que cette approche nous permette de calculer, et de cette façon, d’éviter
l’erreur, est signalé, par exemple, dans le texte suivant (fiche 37):
«l’approche ‘sensible’ peut induire une erreur, ce qu’on perçoit ne
correspond pas forcément à la réalité scientifique. Un calcul, en revanche,
est irréfutable ».
L’analyse de la deuxième question à propos du sens de la notion de fraction
nous apporte quelques pistes de plus sur l’avis des étudiants. On remarque d’abord la
différence entre le choix concernant la première et la deuxième question: même si la
première approche est certainement plus adéquate, la deuxième approche peut donner
aussi du sens au concept, comme nous indiquent les données suivantes:
Approche 1
Approche 2
Je ne sais pas
23 (50 %)
15 (32,6%)
8 (17,4%)
Question II
Pour ceux qui ont choisi la deuxième approche à la deuxième question, nous
avons identifié à quels mots-clé le sens est, dans ce cas, lié. Il s’agit donc de 15 fiches
sur la totalité:
Catégories
Fréquence
calcul/concret/manipulation de nombres
9
raisonnement mathématique
3
clarté/facilité
3
applicabilité/utilité/vie courante
2
approche réfléchie/complèxe
2
Comme indiquent les mots-clés, le sens est, dans la plupart des fiches, associé à
la possibilité de manipuler des nombres, ce qui constituerait une approche plus
104
mathématique par la certitude qu’elle permettrait. Ce résultat était déjà présent lors de
l’analyse des réponses dont l’approche 2 avait été choisie à la première question. On
remarque néanmoins que, malgré cet avantage, l’approche 1, de nature géométrique, est
encore préféré, comme indique l’argumentation de la fiche (32), qui choisit l’approche
1 à la première question, et l’approche 2 à la seconde, et qui exemplifie bien cette
contradiction:
Question I (choix sur l’approche 1):
« le visuel de l’approche géométrique paraît adapté pour introduire la
notion de fractions équivalentes, mais seulement pour l’ introduire. Je
pense que l’enfant comprend mieux quand l’équivalence est montrée
concrètement. De plus la manipulation du pliage d’une feuille permet de
visualiser et donc d’ancrer plus facilement la notion, on retient mieux ».
Question II (choix sur l’approche 2):
« elle donne du sens car dans l’exemple 1, on comprend bien ce que
représente 2/5 de 10. La numération permet de comprendre les
opérations qu’on exécute. De plus, la manipulation numérique renforce
cette idée et permet de donner du sens à cette notion, une application
concrète ».
5. Conclusions
Ces résultats nous permettent d’avancer quelques conclusion sur l’avis des
élèves professeurs à propos du choix didactique des enseignants. D’abord, la tendance à
choisir l’approche géométrique est en conformité avec l’usage habituel de
l’enseignement, comme indiquent les travaux considérés auparavant. L’usage des
figures pour représenter la fraction est effectivement très courant, en raison de son
potentiel de mettre apparemment en évidence le sens.
Comme nous avons signalé, cette idée contrarie le fait que la relation entre les
parts et l’entier est une construction mentale, et qui exige de l’élève un effort personnel
d’abstraction. Néanmoins, dans le cas des étudiants qui ont participé à cette enquête, la
présence ce cette conception empiriste sur le savoir mathématique est assez claire,
105
surtout par le fait que l’expérimentation du pliage joue un rôle important dans leur
choix sur l’approche 1. On peut donc supposer qu’ils auraient la tendance à enseigner
selon cette conception.
On remarque aussi que le principal avantage de l’approche 2, le fait qu’elle
permette de travailler sur des problèmes de la vie courante, n’apparaît pas comme une
justification importante parmi ceux qui ont choisi l’approche 2 à la première question.
Par contre, c’est l’argument qui a pesé sur le choix qui a fait l’enseignante experte, qui
a changé d’approche après une expérience qu’elle a eu en classe. Il est donc pertinent
de se poser la question sur le rôle de l’expérience professionnelle concernant les choix
didactiques des enseignants, même s’ils ont des inconvénients, comme nous avons
signalé.
Dans le cas ce cette enquête, il est évident que les étudiants associent les figures
à l’expérience du concret, accordant plus de signification à la démonstration du concept
de fraction par une feuille pliée ou par la manipulation visuelle des figures que dans le
cas du raisonnement sur une collection d’objets. On peut effectivement supposer qu’il y
a une ambiguïté à propos du sens du ‘concret’, car cette catégorie apparaît dans le cas
du choix des deux approches. Nous supposons donc que la même catégorie, ‘concret’, a
un sens assez différent dans chaque cas: dans le cas de l’approche 1, le mot ‘concret’
désigne la représentation, grâce à laquelle on ‘voit’ la fraction, alors que dans cas de
l’approche 2, l’usage du mot ‘concret’ désigne la manipulation d’objets.
La confusion est donc assez pertinente car, si l’aspect opérateur permet
effectivement de manipuler des quantités concrètes, le raisonnement nécessaire au
traitement des fractions, comme celui de calculer 2/3 de 27, exige une pensée
multiplicative assez complexe, qui est loin d’être concrète. Les étudiants n’ont pas
conscience de la contradiction qu’il y a entre le concret associé à la manipulation des
objets et le concret associé à la visualisation. Alors l’aspect concret lié à une apparente
simplicité des rectangles divisés, ou de la démonstration sur le pliage, prend l’avantage.
Les conclusions de cette enquête illustrent bien le rôle important que joue
l’analyse à priori du savoir dans le contexte de la formation des futurs enseignants. En
effet, les conceptions des élèves professeurs relèvent d’un manque de réflexion a priori,
comme c’est le cas des deux enseignants concernés par la recherche.
D’autre part, ces résultats indiquent la pertinence de ce genre d’analyse de façon
à préparer les futurs enseignants à bien choisir face aux nombreuses possibilités
didactiques et aux contradictions qu’ils auront à affronter à partir de ces choix.
106
Ensuite, nous analysons de façon détaillée le déroulement des séances, ce qui va
nous permettre de vérifier comment les deux approches fonctionnent dans des pratiques
effectives.
107
108
DEUXIÈME PARTIE
109
110
Chapitre 5
Analyse didactique: le cas de l’enseignante experte
Dans ce chapitre on analyse les éléments identifiés auparavant dans l’étude sur
l’enjeu du savoir et dans l’analyse a priori des deux approches dans le contexte des
pratiques effectives, à l’aide de d’un double point de vue: l’analyse générale et l’analyse
détaillée.
Comme il a déjà été signalé, l’analyse didactique générale a pour but
d’approfondir les éléments concernant les rapports à l’enseigner à partir de la prise en
compte de la globalité des séances observées. Ensuite, dans l’analyse didactique
détaillée, La dynamique spécifique d’évolution du savoir dans quelques épisodes
emblématiques sera étudiée. Le cas de l’enseignante experte sera considéré d’abord.
111
1. Analyse didactique générale
Les éléments du corpus utilisés pour le développement de cette analyse sont
issus de la transcription des séances (annexe 2), des entretiens d’autoconfrontation
(annexe 3), et du contrôle proposé par l’enseignante (annexe 5).
Dans la classe considérée, les objectifs des enseignements de S par rapport aux
programmes prévus pour la sixième année consistent à:

comprendre la notion de fractions équivalentes

simplifier les fractions

additionner et soustraire des fractions
À partir de ces objectifs, on peut distinguer, dans l’ensemble des séances
observées, deux parties, ce qui constitue un premier découpage des séances. La
première partie concerne le premier objectif, où le concept de fraction équivalente est
développé surtout dans le cadre choisi par l’enseignante, soit les quantités discrètes. La
deuxième partie concerne l’application de cette notion dans des calculs d’addition et de
soustraction de fractions. Selon son habitude, l’enseignante propose aux élèves un
contrôle entre la première et la deuxième partie, après avoir conclu les enseignements
sur le premier objectif. Nous identifions donc l’organisation suivante de la globalité des
séances:
Première partie
Séances 1 à 5: Notion de fractions équivalentes
Séance 6 8 : contrôle
Deuxième Partie
Séances 7 à 10: Notion de simplification de fractions
Addition et soustraction de fractions
Il est important de souligner aussi qu’avant de commencer l’observation
l’enseignante avait déjà travaillé la notion de fractions équivalentes dans une séance
précédente, dans laquelle elle avait suggéré aux élèves des exercices de partage à partir
8
La séance 6 est une séance double.
112
de collections d’objets 9 . Les élèves avaient donc déjà appris à calculer une fraction sur
une quantité, à partir de la manipulation d’objets concrets.
Le but de l’enseignante est de travailler la notion de fraction et de fraction
équivalente dans le cadre des collections, selon l’aspect ‘opérateur’. Toutefois,
l’enseignante a montré à ses élèves dans cette séance une feuille pliée en deux et,
ensuite, en quatre parts, pour exemplifier la même notion dans le cadre des figures. On
peut supposer qu’elle l’ait fait dans le but de rappeler les éléves la notion de rapport,
qu’ils avaient probablement étudié dans les années précédentes. À partir de la première
séance observée, la séance 1, elle va approfondir la notion d’équivalence.
1.1. La structuration et l’avancée du savoir
L’ensemble des tâches concernant les dix séances observées s’organise selon le
tableau (tableau 1/ annexe 7), qui montre les tâches et les séquences didactiques
correspondant à chaque séance.
L’analyse des séquences didactiques de l’ensemble des séances indique la
structuration de l’action enseignante suivante:

l’explication sur la notion en jeu, exemplifiée par une tâche

l’explication sur la technique opératoire pour mettre en oeuvre les
tâches proposées

des exercices d’application étant chaque élève accompagné par
l’enseignante lors de cette activité.

La correction des exercices au tableau
Le tableau en bas illustre la distribution du temps d’une séance par rapport à ces
actions:
9
Même si, dans le contrat de collaboration que nous avions établi, il était clair que le début de
l’observation correspondrait à leur première séance sur la notion d’équivalence, les deux enseignants ont
effectivement commencé une séance avant le prévu. Nous supposons qu’ils l’ont fait pour se montrer,
dans une deuxième séance, déjà plus rassurés en classe.
113
explication
(concept/
tâche)
explication
(technique
opératoire)
exercices d’application avec explication
individuelle
correction
Il en sort que le temps d’explication du concept en jeu illustré à travers une tâche
est assez bref, ainsi que le temps d’explication de la technique opératoire. Le temps
réservé à l’exercice est assez long, et constitue effectivement le moment le plus
important en ce qui concerne l’avancement du savoir.
1.2. La mise en place d’une routine
Cette séquence d’actions est assez stable et nous pouvons l’identifier autour des
trois objetifs de l’ensemble des séances. On considère donc qu’il s’agit d’un ensemble
d’actions routinières qui pourrait bien caractériser la dynamique de la totalité des
enseignements. Dans le but de bien exemplifier cette routine, on présente ensuite son
déroulement dans le cas de l’objectif ‘simplifier des fractions’.
Ce choix est dû au fait que la simplification est basée sur l’enseignement des
fractions équivalentes, qui s’est déroulé dans les cinq premières séances. Comme
l’enseignante suppose que cette notion a été acquise par les élèves, l’objectif suivant
consiste à apprendre à simplifier des fractions, ce qui n’occupe que le temps d’une seule
séance, la séance 7. Dans cette séance, on accompagne la mise en place de toutes les
étapes de cette routine illustrées ici à l’aide de quelques épisodes:
Première étape: Explication du concept ou la tâche
[séance 6]
P: on va commencer à étudier la simplification des fractions↑ qu’est-ce que
ça signifie ’simplifier ’? (personne ne répond) qu’est ce que ça pourrait
être?
E: je ne sais pas
P: un chemin/ quand je simplifie un chemin/ qu’est-ce que serait
« simplifier »?
E: former?
P: les fractions ici↑ c’est écrire de façon réduite↑par exemple/ 2/4 et 1/2/
vous vous souvenez de fractions équivalentes qu’on a travaillé? Au lieu de
multiplier/ on va toujours diviser↑ je regarde le 8 et le 10/ par quel numéro
je peux diviser le 8 et le 10?
114
E: par 8
P: combien? Deux↑ je peux diviser les deux par deux? Deux↑ 8 divisé par
2?
E: 4
P: 10 divisé par deux?
E: 5
P: je peux diviser encore le 4 et le 5 par un numéro quelconque?
E: oui
E: non
P: je peux? Par lequel?
E: par deux
P: le 5 n’est pas divisible par deux↑ alors 8/10 je peux simplifier et j’arrive
au numéro? 4/5/ c’est ça simplifier↑ c’est aussi une fraction équivalente/ il
faut que ça soit une fraction équivalente/ mais on va diviser↑ pour simplifier
je ne peux que? Diviser↑ (...)
Dans ce cas, il faut remarquer d’abord que son explication est centrée sur une
tâche: simplifier c’est trouver des fractions équivalentes, ce qui a déjà été étudié.
Ensuite, l’enseignante renforce la technique pour simplifier des fractions.
Deuxième étape: Explication sur la technique opératoire
P: le 15/25/ je peux diviser par quel numéro?
E: 3
P: le 15/25 je peux diviser par 3? non↑ par cinq↑ 15 divisé par 5 c’est? 3↑ 25
divisé par 5 c’est? 5↑ Natalia/ laisse le stylo maintenant/ sinon tu n’iras pas
comprendre après↑ je vais laisser tout au tableau↑ /// le 12 sur 20 je peux
diviser par combien?
(...)
L’enseignante montre encore la simplification de la fraction 12/20 et conclut.
ensuite son explication:
P: (...) alors quand je vais simplifier/ il n’importe pas par quel
numéro je commence la simplification/ si je simplifie par un numéro plus
grand/ qu’est-ce qui se passe? J’arrive plus rapidement au résultat ↑ si je
commence par un numéro plus petit/ il faudra simplifier encore une fois↑
maintenant ici/ 4/8 je peux simplifier par combien? (...)
E: deux
P: il y a- t-il un numéro plus grand pour simplifier?
E: 4↑
115
L’enseignante termine l’exercice et explique encore la simplification de 8/16.
Les élèves suivent bien son explication, alors elle décide qu’il est temps de passer à
l’exercice individuel.
Troisième étape: Résolution d’exercices avec explication individuelle
P: (...) maintenant vous pouvez copier↑ (...) (elle attend que les élèves
copient n’écrivant qu’ensuite)
Exercices
Simplifier les fractions suivantes:
a) 9/15 =
b) 8/12 =
c) 20/30 =
d) 12/18 =
e) 22/33 =
f) 35/42 =
C’est le moment d’accompagner individuellement le travail des élèves pendant
un temps assez long. L’enseignante répond aux questions, corrige le travail d’une élève
et reprend l’explication, quand elle voit que quelqu’un n’arrive pas à résoudre
l’exercice. Quelques minutes avant la fin de la séance, elle annonce qu’il est temps de
corriger.
Quatrième étape: Correction des exercices
P: on va corriger le ‘a’↑ le ‘a’ et le ‘b’ ↑ si je n’arrive pas à terminer/ on
attendra// personne ne sort/ allez↑ le 9 et le 15/ pour simplifier je peux/ je
peux diviser par combien?
(...)
Il est important de remarquer que la routine identifiée se déroule dans une
ambiance de respect de la part des élèves à l’égard de l’enseignante, avec très peu de
moments de bruit en salle, même pendant l’étape de travail individuel, quand les élèves
ont le droit de changer de place pour travailler avec un collègue, ou bien de se lever
quand ils veulent.
Concernant la structuration du savoir basée sur cette routine on remarque l’usage
assez spécifique que fait l’enseignante du tableau: elle y prend d’abord des notes,
pendant son explication, et interdit aux élèves de copier. Ensuite, elle efface ce premier
116
tableau, réorganise ses notes et alors autorise les élèves à copier. Elle justifie cette
démarche à l’entretien d’autoconfrontation correspondant à la séance 1 :
P: si j’écris tout, ils vont tout copier, et alors ils ne font pas attention, parce
qu’ils veulent copier, alors je fais un brouillon, personne ne copie, ils
écoutent, ils savent qu’il ne faut pas copier parce que je vais tout changer...
et ensuite je fais un nouveau tableau d’où ils vont copier... et en plus je
n’arrive pas à faire tout bien organisé au premier coup...
Ent: et ensuite tu organises le tableau pour qu’ils copient parce que ce qu’ils
auront sur leurs cahiers c’est ce qu’ils vont étudier?
P: oui, ils n’utilisent pas le manuel, ils n’ouvrent jamais le manuel pour
étudier, alors il faut qu’ils aient tout bien organisé (...)
Ces remarques montrent bien la maîtrise de l’enseignante sur la gestion de la
classe en ce qui concerne spécialement les élèves de cinquième année.
Par ailleurs, on identifie dans son discours un autre élément important de ces
rapports à l’enseigner : une conception préalable qu’elle semble avoir sur le travail des
élèves, qu’elle va exprimer dans d’autres épisodes d’autoconfrontation: le fait qu’ils
n’étudient pas hors classe (‘ils n’ouvrent jamais les manuels pour étudier’). C’est la
raison pour laquelle l’enseignante ne propose presque jamais des devoirs aux élèves.
1.3. Des mécanismes chronogénétiques
Nous avons mis en évidence l’organisation de l’avancée du savoir dans le temps
qui caractérise la dynamique de structuration du savoir. La routine identifiée est assurée
par l’alternance entre un moment bref d’explication sur la tâche proposée et un temps
plus long dédié à la réalisation d’exercices d’application. Pendant le temps de résolution
des exercices l’enseignante reprend plusieurs fois l’explication, mais cette fois,
individuellement. Ce genre d’action la mène à répéter plusieurs fois les mêmes
arguments, au lieu de parler plus longuement à toute la classe. À l’entretien
d’autoconfrontation sur la transcription de la première séance, l’enseignante se rend
compte de ce mécanisme chronogénétique assez particulier:
P: c’est trop répétitif!
Ent: mais il paraît que tu ne le remarques pas, pendant le cours...
P: oui, mais c’est parce que... même si je répète... je veux tellement qu’ils
réussissent....je veux tant voir....
117
Ent: tu ne te rends pas compte peut-être...
P: si, je vois que je répète l’explication, mais je ne vois pas d’autre moyen
de les faire comprendre... si j’arrive, quelques fois... si j’arrive à attirer leur
attention, et s’ils font l’exercice, c’est une merveille!
Toutefois, on considère que d’autres éléments identifiés à l’entretien préalable
nous aident à comprendre ce mécanisme chronogénétique. Il s’agit d’une enseignante
qui parle très bas et n’aime pas tenir de longs discours. Elle avait effectivement affirmé
que le bruit en classe la dérange, alors la stratégie de réserver une longue période pour
le travail des élèves, avec des explications individuelles, lui convient très bien.
En plus, à l’entretien d’autoconfrontation, elle y ajoute une justification: elle
croit que les élèves n’arrivent pas à suivre des explications pendant plus de 10 minutes:
« c’est parce que, si on parle... moi même, je n’arrive pas à me concentrer.
Si je vais à une conférence de quatre heures, je n’arrive plus à suivre, alors
l’élève, il est là, l’enseignant parle beaucoup de temps....alors je sais que
plus que quinze minutes... il n’arrive plus à suivre... alors j’essaye de
prendre cinq, au maximum dix minutes pour l’explication.... ».
Par contre, si elle explique individuellement, elle croit « qu’ils seront obligés de
m’écouter ».
À propos des mécanismes chronogénétiques qui assurent l’avancée du savoir,
on remarque encore que le rappel est utilisé rapidement, surtout au début des séances,
pour situer les élèves par rapport aux séances précédentes. Souvent, il y a des étudiants
qui étaient absents la séance antérieure, ou bien des élèves qui ont changé d’école et
viennent d’arriver dans la classe. Même dans ces cas, le temps de rappel est assez
rapide, probablement en fonction de la grande quantité d’exercices que l’enseignante va
suggérer sur chaque tâche, toujours accompagnés d’explications individuelles, ce qui
permettra aux élèves de reprendre ce qu’ils ont éventuellement raté.
En effet, ce mécanisme se justifie par le fait que dans la salle il y a une grande
diversité d’élèves: ceux qui font les exercices rapidement et qui terminent assez vite,
ceux qui ne le font que quand l’enseignante reprend la correction au tableau, ceux qui
viennent d’arriver en classe et ne suivent pas les exercices.
D’ailleurs, dans un style d’enseignement centré sur une longue période de temps
dédiée à la résolution des exercices, la dynamique de travail des élèves est un élément
assez important pour assurer l’avancée du savoir. L’enseignante a la responsabilité de
coordonner le travail des élèves et ainsi, de maîtriser le temps didactique.
118
1.4. Des mécanismes topogénétiques
Le système des places établi entre l’enseignante et les élèves peut être identifié
clairement pendant l’étape de correction des exercices, quand elle utilise une technique
topogénétique assez particulière: comme elle accompagne de très près le travail de
chaque élève, elle sait qui a terminé l’exercice, qui a trouvé la bonne réponse et qui n’a
toujours pas compris. Elle appelle donc ceux qui n’ont pas fini, de façon à les inviter à
participer. Ou bien ceux qui ont terminé, de façon à ce qu’ils puissent montrer aux
autres ce qu’ils ont fait. Il lui arrive souvent aussi de poser des questions aux élèves qui
sont distraits et qui ne suivent pas le cours pour les obliger à participer. À ce propos,
concernant un épisode où elle a appelé au tableau un élève qui n’avait pas commencé
l’exercice au moment de la correction (séance 2):
Ent: tu appelles cet élève, pourquoi?
P: parce c’est un élève qui n’a rien fait
Ent: tu as cette impression?
P: j’en suis certaine! J’en suis absolument sûre!
À l’épisode suivant, au début de la séance 2, l’enseignante corrige les exercices
proposés à la séance 1:
[séance 2]
P: (...) je vais faire la correction/ avec vous/ (...) je vais prendre les valeurs
ici // (elle écrit au tableau tous les exercices de la séance antérieure)
Correction
a) 2/7 et 6/21
P: alors on va voir/ on va vérifier si elles sont équivalentes/ attention↑//alors
on va vérifier ici↑ deux fois trois/ ça fait six/ et ici/ sept fois trois ça fait?
Vingt et un↑ alors ça veut dire quelles sont quoi? (...) équivalentes↑
E: on peut marquer ‘correct’?
P: oui↑ on peut écrire ‘ correct’↑
E: le mien était correct↑
P: bien/ alors met ‘correct’ (...) (elle passe au « b », 5/9 et 15/18) ici je
multiplie fois trois/ ici fois? Deux/ alors (elle écrit « non » au tableau) celle
là↑ ( il s’agit du « c », 16/10 et 8/5) j’ai divisé par? // deux↑ je divise ici
aussi par deux/ comme les valeurs sont pareilles/ ça veut dire qu’elles sont
quoi? équivalentes↑
E: le mien est correct↑
P: ici (il s’agit maintenant du « d », 8/4 et 2/1) je divise ici par 4/ et ici je
divise aussi par? quatre↑ elles aussi sont?// équivalentes↑
E: celle-là ne l’est pas↑
E: elle ne l’est pas↑
119
E: et la prochaine est équivalente↑
P: ici ( il s’agit de 2/9 et 4/10) je multiplie par deux/ et ici je multiplie par
combien? Est-ce que c’est vraiment 10 ou c’est 18?
E: dix↑
P: ici on ne peut pas multiplier par un nombre naturel/ pour que ça donne 10/
donc ici elles ne sont pas quoi? // elles ne sont pas équivalentes↑ (...) ici (il
s’agit de la dernière, 5/16 et 10/32) je multiplie par deux/ et ici je multiplie
par deux/ ça veut dire qu’elles sont? // équivalentes↑
Lors de l’entretien sur cet épisode, l’enseignante est étonnée de se rendre
compte de la façon comme elle organise son discours d’explication: elle pose des
questions qu’elle même répond tout de suite. Cette stratégie lui assure le contrôle du
temps de la correction, et au même temps illustre bien des mécanismes topogénétiques
que l’enseignante utilise pour donner l’impression de partager le savoir avec les élèves.
On remarque dans cet extrait des échanges avec les élèves sur ce qu’ils doivent
faire. Elle jusitifie ce comportement:
« oui, parce qu’il s’agit d’une sixième année. C’est le moment de
commencer à être indépendant, parce que jusqu’à présent, jusqu’à la
cinquième année, il y avait une enseignante qui imposait des règles, alors ils
demandent s’il faut écrire avec un crayon, s’il faut que ça soit avec un stylo,
s’il faut marquer ‘ correct’ »
Sa remarque confirme effectivement un aspect assez particulier de ces rapports
à l’enseigner, que nous avions déjà souligné, le fait qu’elle connaît très bien les
habitudes des élèves de cette année, ce qui contribue effectivement à une bonne gestion
de la classe.
1.5. L’épistémologie de l’enseignante
Comme nous avons souligné, la présentation des concepts de la part de
l’enseignante est toujours associée à des tâches, et son explication est basée sur la
résolution une tâche par des calculs, plutôt que sur le concept en question. Cela
nous indique une approche surtout opérationnelle des connaissances, ce qui a été
remarqué depuis la première séance.
Dans cette séance l’enseignante reprend l’exemple de la feuille pliée
qu’elle avait utilisée à la séance précédente. C’est une feuille divisée en deux
120
parts, l’une des parts est hachurée. Elle la montre aux élèves, ensuite elle dessine
des rectangles au tableau et passe tout de suite au modèle des collections, qui sera
son approche pendant les autres séances:
[séance 1]
P: comment je lis cette fraction?
(les élèves hésitent un peu)
P: il y a une division en deux parts/ une d’entre elles étant hachurée/ alors?
(plusieurs répondent au même temps: un demi)
L’enseignante montre une autre feuille, divisée en quatre parts, où deux sont
hachurées. Elle montre les deux feuilles au même temps et pose la même
question.
P: c’est pareil? Elles correspondent à la même taille?
(plusieurs disent « non », quelques uns disent « oui », mais ils n’en sont pas
très sûrs)
P: si c’était à manger/ ça serait la même chose?
(ils ne répondent pas. L’enseignante insiste, et montre que les parts
considérées sont pareilles. Elle se rend compte qu’ils ne se sont pas
convaincus, mais l’enseignante conclut)
P: c’est ce qu’on appelle des fractions équivalentes (...) il y a une méthode
pour trouver des fractions équivalentes/ on n’a pas besoin du dessin (...) si
j’ai un demi/ si je divise en quatre (l’enseignante hachure la moitié du
rectangle pour représenter le demi et divise en quatre parties celui qui est
dessiné en bas) (...) si je divise au milieu/ j’ai un demi/ si je divise en quatre
parts/ il faudrait prendre combien? (au tableau)
1 = __
2 4
(les élèves ne répondent pas. Elle marque le numéro deux sur le numérateur)
P: ici j’ai multiplié par deux/ donc il faut multiplier en haut aussi// voyons
maintenant si je voudrais diviser en huit (au tableau)
1 = __
2 8
P: j’ai multiplié par 4/ il faut le multiplier par 4 aussi (elle écrit le résultat, 4.
Un élève suggère le 12, l’enseignante accepte sa suggestion)
P: si je prends le 12? (elle écrit:)
1 = ___
2 12
(Elle marque « x6 » à coté du 2)
P: j’ai multiplié par 6/ il faut multiplier par 6 (elle écrit le résultat, 6) (...)
maintenant le contraire/ j’ai divisé par 14/ combien faudrait-il prendre? (elle
fait un rectangle et divise en 14 parts et écrit:)
7 = __
14 2
(silence. Les élèves réfléchissent, quelques uns répondent: 7, 2....On voit
qu’ils n’ont pas compris de quoi il s’agit) (...)
P: j’ai divisé par combien?
(plusieurs répondent au même temps: 7, 8, 2,...)
121
P: j’ai divisé par 7/ le résultat est le 2/ donc il faut diviser par 7/ ça donne 1/
alors// comment est-ce que je fais?
E: on multiplie ou on divise
P: et les numéros doivent être?
E: égaux
P: maintenant je vais organiser le tableau et vous pouvez copier
(...)
L’enseignante réorganise le tableau, et propose une liste d’exercices sur
l’équivalence.
On remarque d’abord que, même si l’enseignante a l’intention de travailler
l’aspect ‘opérateur’, elle revient à la figure dans cette première présentation de la notion
de fractions équivalentes. À l’autoconfrontation, elle le justifie:
Ent: même si on ne travaille pas la figure, on exemplifie avec la figure...
pourquoi?
P: parce que j’ai cru que c’était plus rapide, que montrer 1/2 de 8, on
pourrait aussi, mais commencer par le dessin, ça m’a paru plus simple de
visualiser
Ent: et alors tu as passé directement à la représentation fractionnaire,
n’est-ce pas? Tu as dit que tu avais travaillé très peu la figure, mais tu
exemplifies avec la figure...
P: oui parce qu’ ils peuvent voir facilement, j’ai choisi le dessin...
On remarque, en plus, à partir de cet extrait, que le passage de l’explication sur
la notion d’équivalence à la technique opératoire pour trouver une fraction équivalente à
une fraction donnée s’est fait très vite, ce qui nous permet de supposer qu’ il n’y a pas
eu assez de temps pour assurer aux élèves la compréhension de la notion en question.
On commente ce fait à l’autoconfrontation:
Ent: (...) on a cette impression, pas toi?
P: oui (elle hésite), peut être que quelques élèves ont compris, d’autres
non....
Ent: peut-être que c’est ta façon de travailler...
Ent: oui, en effet, en réalité, je voulais qu’ils comprennent plus au moins ce
que c’est qu’une fraction équivalente, et qu’ils voient plusieurs façons de
faire l’équivalence, alors j’ai essayé de passer à l’exercice pratique pour être
sûre qu’ils avaient bien compris...
(...)
122
La remarque de l’enseignante nous indique un rapport assez particulier aux
savoirs: les concepts ne sont pas des notions qu’on s’efforce d’enseigner, mais
l’apprentissage d’un concept et le résultat de sa manipulation opératoire. On suppose
qu’il s’agisse d’un élément important de son épistémologie, et, ainsi, de ses rapports à
l’enseigner.
Nous pourrions supposer, toutefois, que cette approche calculatrice et technique
à propos de la notion d’équivalence est favorisée par le choix de l’aspect ‘opérateur’ des
fractions. Le déroulement de la séance 8, à propos de l’addition et la soustraction de
fractions de dénominateurs différents, vient effectivement renforcer la caractérisation de
son épistémologie:
[séance 8]
(...)
P: maintenant je vais vous apprendre la somme avec des dénominateurs
différents↑
(par écrit au tableau)
Exemple:
a) 1/3 + 3/4 =
b) 3/4 - 1/2 =
E: il faut copier?
P: il faut copier seulement la première/ pas les autres↑(...) alors, qu’est-ce qui
se passe maintenant avec les dénominateurs? Ils sont?
E: additionnés
P: différents↑ je vais expliquer ce qu’il faut faire↑
E: on met le zéro↑
P: je veux que tout le monde ait finit de copier/ attention↑ (elle organise la
classe et attend) qu’est-ce que je fais quand les dénominateurs sont différents?
Qu’est-ce que je disais avant? Que pour sommer/ les dénominateurs devaient
être?
E: pareils
P: pareils↑ alors je vais écrire les fractions ici/ avec des dénominateurs?
Pareils↑ vous vous souvenez qu’on avait étudié les fractions équivalentes? Par
exemple/ 1/3 (elle écrit 1/3 au tableau) y a-t-il quelqu’un qui se souvient d’une
fraction équivalente à 1/3? comment est-ce qu’on fait pour trouver des
fractions équivalentes?
E: on somme
P: on multiplie/ on ne somme pas↑ on doit multiplier le numérateur et le
dénominateur par le même numéro↑ par exemple/ on peut multiplier le
numérateur et le dénominateur par 2/ 1 fois 2/ deux/ 3 fois 2/ 6// 2/6 est
équivalent à 1/3/ ici on va faire la même chose↑ mais j’ai....
E: pour quoi?
P: parce que pour sommer/ les dénominateurs doivent être pareils↑ mais
comment on va être sûrs que les dénominateurs sont pareils? On va écrire une
fraction équivalente à 1/3 et une autre équivalente à? 3/4↑ comment va-t-on
trouver le nouveau dénominateur?
123
E: en multipliant
P: mais on n’a pas besoin de multiplier tout le temps/ parce qu’on ne va pas
toujours que réussir à trouver le plus petit dénominateur/ alors pour le trouver/
pour trouver qui sera mon dénominateur/ je calcule le plus petit dénominateur
commun des? Dénominateurs↑ attention↑ ici on peut diviser par 2/ on ne peut
diviser que par les nombres premiers/qui sont 2/3/5/7 et 11/ et d’autres/ n’estce pas?
E: oh la la...
P: le 3 n’est pas divisible par 2/ alors en bas/ maintenant on peut diviser par?
3↑ ça fait un/ un/ maintenant il suffit de multiplier↑(elle écrit le calcul du
ppcm) deux fois deux? 4/ 4 fois 3? 12↑ alors mon nouveau dénominateur
sera?
E: douze
(...)
L’enseignante continue le calcul du dénominateur commun, remplaçant ensuite
les deux fractions par deux fractions équivalentes pour en faire alors la somme.
L’entretien d’autoconfrontation sur cet épisode est le suivant:
Ent: tu as tout de suite calculé le nouveau dénominateur....
P: oui, je ne voulais pas ajouter encore une difficulté, ce qui importe c’est
l’opération
Ent: tu n’accordes pas d’importance au fait qu’ils ne comprennent pas le
sens, tu veux qu’ils apprennent à faire?
P: oui, parce qu’au début j’ai essayé de leur expliquer le sens, mais je me
suis sentie un peu... inutile, et comme ça prend trop de temps, je suis passée
directement à l’opération...
Cette épistémologie pratique concernant le savoir a comme résultat un
enseignement ostensif, où la compréhension est moins importante que la capacité des
élèves à résoudre les exercices proposés comme l’enseignante leur a montré. Les élèves
en ont l’habitude, comme bien l’exemplifie l’épisode suivant, suite du précédent.
L’enseignante va donner un autre exemple, 1/2 + 4/5:
[séance 8]
P: les dénominateurs sont différents↑ Cristiano va m’aider↑ qu’est-ce qu’il
faut que je fasse/ Cristiano/ quand les dénominateurs sont différents?
(Cristiano ne répond pas) si les dénominateurs ne sont pas pareils/ qu’est-ce
qu’on doit faire? On doit rendre les dénominateurs...?
E: pareils
P: pareils↑qu’est-ce qu’il faut faire pour les rendre pareils?
E: (Lucas) il faut mettre deux petits carreaux là/ et deux traits
P: deux traits entre les fractions
(écrit au tableau: 1 + 4 = __ + __ )
124
2 5
E: (Lucas) maintenant prend...
P: et maintenant? Comment je fais pour trouver les dénominateurs?
E: (Lucas) met le 2 et le 5
P: le 2 et le 5
E: et passe un trait à coté
(...)
L’enseignante continue le calcul, et remplit ensuite les blancs qui composent la
somme pour enfin l’effectuer.
Il est important de remarquer que cette épistémologie se déroule dans le
contexte d’un macro contrat qu’on pourrait caractériser comme un contrat de
conditionnement, dans le cadre des contrats fortement didactiques portant sur un savoir
nouveau. Dans ce cas, comme souligne Brousseau (1995), l’enseignant prend à sa
charge une proposition d’exercices assez répétitifs et gère ainsi l’apprentissage,
indépendamment des savoirs du sujet.
1.6. D’autres aspects concernant les rapports à l’enseigner
De façon à mieux caractériser les rapports à l’enseigner de l’enseignante experte,
dont quelques pistes ont déjà été identifiées, on analyse aussi deux événements
importants et imprévus, qui ont eu lieu pendant l’étape d’observation. Ces événements
concernent des contraintes externes à la pratique de l’enseignante, mais qui contribuent
à mieux comprendre les rapports de nature sociale et institutionnelle à l’enseigner.
Le premier événement a eu lieu à la séance 2, quand le directeur de l’école est
entré en salle et a parlé aux élèves pendant quelques minutes. L’école avait récemment
eu des problèmes d’agression entre les élèves, ce qui a poussé la direction à décider
d’isoler les classes pendant les pauses entre les cours.
Comme quelques élèves avaient désobéit à cette règle, le directeur a décidé
d’interrompre les cours pour leur parler à ce sujet. Il leur parle d’une façon très dure, les
élèves l’écoutent en silence, et ils sont assez tendus. Il termine son discours et s’en va.
L’enseignante ne fait aucun commentaire à propos de la visite du directeur et reprend
tout de suite son explication. On remarque que les élèves ne sont pas contents, ils
parlent entre eux, ils font des commentaires. Voici l’épisode de la séance où le directeur
s’est introduit:
125
[séance 2]
P: (...) pour prouver qu’elles sont vraiment équivalentes/ on va faire cela↑ //
ne copiez pas/ d’accord? (écrit)
2/5 de 40 4/10 de 40
P: regardez ici↑ si on regarde ces deux valeurs ici↑ on va vérifier si elles sont
équivalentes? Sans faire la multiplication↑ c’est combien 2/5 de 40? allez↑
c’est quoi 2/5 de 40?
(le directeur de l’école entre et interrompt l’enseignante pour parler
quelques minutes aux élèves) (...) ( il sort et l’enseignante reprend tout de
suite après)
P: on va voir combien c’est 2/5 de 40↑ c’est 40 divisé par...? Maira↑ c’est
quarante divisé par...?
(personne ne répond, ils sont agités, distraits, plusieurs discutent entre eux à
propos de ce qu’a dit le directeur)
P: 40 divisé par 5 c’est combien? // 40 divisé par 5 c’est..? C’est combien 40
divisé par 5?
E: c’est quelque chose↑
P: huit↑ et huit fois deux c’est combien?
E: seize↑
P: seize↑ (marque le 16 et l’entoure) voyons si 2/5 de 40 c’est/ regardez la
question↑ 2/5 est équivalent à 4/10? alors je vais faire 2/5 de 40/ je verrai
combien ça donne/ et ensuite je vais faire 4/10 de...? // 40↑
La réponse de l’élève, « c’est quelque chose », indique que ce n’est pas cette
question qui leur intéresse. Mais l’enseignante insiste sur le savoir, en arrivant
finalement à les mener de nouveau au jeu question/réponse.
Lors de l’entretien on lit cet épisode de l’intervention du directeur.
L’enseignante ne fait aucun commentaire:
Ent: dans cette séance il y a le directeur, il y a un tumulte, tu reprends...
P: (elle ne dit rien)
Ent: tu n’accordes pas beaucoup d’importance...
(elle ne répond pas)
L’autre événement important a eu lieu à la séance 5, un jour après une très forte
tempête en ville, quand tous les cours ont été interrompus. Le quartier près de l’école,
où la plupart des élèves habitent, a été assez endommagé. C’est le premier cours de la
journée, et plusieurs élèves sont absents. Il y a une ambiance tendue, les élèves sont
tristes, préoccupés et silencieux.
L’enseignante commence le cours avec l’intention de reprendre la séance
antérieure, quand la plupart d’entre eux étaient absents, et annonce qu’il y aura un
contrôle le lendemain:
126
[séance 5]
P: on ouvre les cahiers↑tout le monde↑(...) je vais vous rappeler un peu ce
qu’on a vu hier↑hier beaucoup de monde a été absent/ alors je vais vous
rappeler↑voyons ici↑
E: c’est une correction?
P: non/ non↑c’est pour se souvenir↑(...) voyons// vous vous rappelez
comment est-ce qu’on fait pour vérifier si les fractions sont équivalentes?
(...) voyons ici↑c’est pour se rappeler↑comment on fait pour vérifier si deux
fractions sont équivalentes ou non?
(personne ne répond. silence)
P: comment je fais? Comment je fais pour savoir/ si deux fractions sont
équivalentes ou non? Par exemple/ 2/3// est-ce que c’est équivalent à 4/6?
(écrit au tableau: 2/3 de 12 et 4/6 de 12) allons vérifier? 2/3 est équivalent à
4/6? voyons↑(silence assez long) d’abord il faut calculer 2/3 de 12/ voyons
qui se souvient comment est-ce qu’on calcule 2/3 de 12? (personne ne
répond)
À l’entretien d’autoconfrontation, la lecture de la transcription de cette séance
met en évidence le comportement des élèves: des élèves très silencieux, sans réponses,
dans une ambiance tendue. On suggère qu’il s’agit peut être de la situation qu’ils ont
vécu la veille. Apparemment, l’enseignante ne fait aucun lien entre les deux faits, elle
affirme qu’elle ne se souvient même pas de ce jour spécifique, et ajoute: «d’habitude ils
sont très tranquilles quand c’est le premier cours de la journée ».
Ces deux épisodes mettent en évidence une façon d’agir très peu sensible au
contexte de l’école, ainsi qu’aux problèmes personnels des élèves. Ce comportement
nous permet de supposer , d’une part, qu’il s’agit d’une action très bien adaptée aux
contraintes et aux règles de l’institution, qui exigent que les enseignants soutiennent les
points de vue et les décisions de la direction. D’autre part, il serait possible d’avancer
l’hypothèse selon laquelle ce comportement renforce certains rapports des élèves au
savoir mathématique conçu comme une connaissance isolée et indépendante du monde
social et de la réalité vécue.
2. Analyse didactique détaillée
On passe donc à l’analyse détaillée des aspects précédents dans le but d’étudier,
dans une autre échelle, la routine mise en place par l’enseignante. Dans ce sens, on
analyse les régulations didactiques qui, construites au quotidien par des interactions
127
didactiques, nous fournissent d’autres éléments sur les rapports à l’enseigner du
professeur.
Pour atteindre cet objectif le découpage des séances prend donc en
considération:

Les régulations didactiques autour des situations où l’on identifie des
difficultés, soit sur la notion en jeu, soit sur l’approche choisie ou sur ses
implications;

Des situations nous permettant d’identifier, au détail, la construction des
mécanismes chrono et topogénétiques qui caractérisent sa routine
Dans cette échelle d’analyse, on ne considère que la première partie de
l’enseignement, soit les séances de 1 à 6. Ce choix se justifie, car c’est dans cette partie
que la notion de fractions équivalentes est travaillée, alors que dans les autres séances il
s’agit d’une application de cette notion. En plus, comme il a déjà été souligné,
l’approche de l’enseignante est opérationnelle, ce qui nous permet de supposer que les
régulations didactiques les plus importantes concernent sûrement les séances centrées
sur le concept.
Comme il en sort de l’analyse générale, la routine de l’action enseignante se
caractérise par un temps très court dédié à l’explication et un temps assez long dédié au
travail des élèves. Les régulations didactiques pouvant être identifiées surtout dans les
moments d’interaction individuelle, quand l’enseignante accompagne le travail des
élèves.
2.1.
Des
difficultés
conceptuelles
concernant
la
notion
d’équivalence
Comme il s’agit d’une approche qui privilégie la façon de résoudre l’exercice en
détriment de la compréhension du concept, il est difficile d’identifier les difficultés
conceptuelles des élèves, car la plupart du temps les difficultés et les questions posées,
ainsi que les régulations didactiques respectives que l’enseignante met en place
concernent les façons de faire l’exercice suggéré. En plus, les élèves peuvent apprendre
à faire le calcul sans comprendre le concept en question. L’ extrait suivant, de la séance
128
1, quand l’enseignante essaye de changer d’exemple, nous permet de supposer que c’est
bien le cas:
[séance 1]
P: (...) ici j’ai multiplié par deux/ donc il faut multiplier en haut aussi//
voyons maintenant, si je voudrais diviser en huit (écrit:)
1 = __
28
P: j’ai multiplié par 4/ il faut multiplié par 4 aussi (écrit le résultat, 4. Un
élève suggère le 12, l’enseignante accepte sa suggestion)
P: si je prends le 12? (écrit:)
1 = ___
2 12
(marque « x6 » à coté du 2)
P: j’ai multiplié par 6/ il faut multiplier par 6 (écrit le résultat, 6) (...)
maintenant le contraire/ j’ai divisé par 14/ combien faudrait il prendre?
(dessine un rectangle et divise en 14 parts. Écrit:)
7 = __
14 2
(grand silence. Les élèves réfléchissent, quelques uns répondent: 7, 2....On
voit qu’ils n’ont pas comprit de quoi il s’agit)
P: voyons un exemple qui correspond à un dessin qu’on a, où ça devient
plus facile à visualiser (écrit:)
4 = __
82
P: si je divise par 4/ il faut diviser par 4// (...)
À ce moment, on remarque la stratégie principale de l’enseignante pour gérer la
difficulté autour du concept d’équivalence: remplacer l’explication conceptuelle, basée
sur le rapport, par le calcul. Elle remplace la question: ‘qu’est-ce que c’est une fraction
équivalente?’ par la question: ‘comment trouve-t-on une fraction équivalente?’ Cet
enjeu constitue un bon exemple d’un glissement métacognitif, selon la définition de
Brousseau (1986), car il s’agit bien du remplacement d’une connaissance par un modèle
ou une description en métalangage. Cet effet, visible dans des contrats locaux, montre
bien le fonctionnement de ce que nous avons identifié auparavant comme une
épistémologie pragmatique.
On remarque encore qu’elle utilise rapidement la représentation figurale de
façon à illustrer le concept et à donner du sens à ce calcul, mais elle n’insiste pas assez
sur la compréhension basée sur la figure, car son but est de généraliser l’opération. La
suite de la séance le montre bien:
129
[séance 1]
P: (...) alors je peux soit multiplier/ soit diviser/ il faut que ça soit le même
numéro/ ( marque « ÷ 4 » à côté du 8 et marque le résultat, 1. ‘Elle reprend
donc l’exemple antérieur:)
7 = __
14 2
P: j’ai divisé par combien?
(plusieurs répondent au même temps: 7, 8, 2,...)
On peut supposer que les élèves se demandent de quel calcul il s’agit, car il
y a deux numéros à diviser et ils ne comprennent pas bien quel est ce nouveau genre
de division.
La suite de la séance montre comment l’enseignante institutionnalise vite la
technique opératoire, « on multiplie ou on divise par le même numéro », alors le
questionnement sur le concept perd effectivement son importance.
(...)
P: j’ai divisé par 7/ le résultat est le 2/ donc il faut diviser par 7/ ça donne 1/
alors// comment est-ce qu’on fait?
E: on multiplie ou on divise
P: et les numéros doivent être...?
E: égaux
P: maintenant je vais organiser et vous pouvez copier
L’extrait suivant, situé à l’étape de correction des exercices, au début de la
séance suivante, montre bien l’usage de l’effet topaze, assez fréquent comme forme de
régulation didactique et qui permet à l’enseignante de faire avancer le savoir
rapidement:
(...)
P: bien/ alors marque ‘correct’ (...) (elle passe au « b », 5/9 et 15/18) ici je
multiplie par trois/ ici ...fois? Deux/ alors (écrit « non » au tableau) celle-là↑
(il s’agit du « c », 16/10 et 8/5) j’ai divisé par...? // deux↑ je divise ici aussi
par deux/ comme les valeurs sont pareilles/ ça veut dire qu’elles sont...?
équivalentes↑
E: le mien est correct↑
P: ici (il s’agit maintenant du « d », 8/4 et 2/1) je divise ici par 4/ et ici je
divise aussi par...? quatre↑ elles aussi, elles sont...?// équivalentes↑
E: celle-là n’est pas↑
E: elle n’est pas↑
E: et la prochaine, oui↑
130
P: ici (il s’agit de 2/9 et 4/10) je multiplie par deux/ et ici je multiplie par
combien? Est-ce que c’est vraiment 10 ou c’est 18?
E: dix↑
P: ici on ne peut pas multiplier par un nombre naturel/ pour que ça donne 10/
donc ici elles ne sont pas équivalentes? // non, elles ne sont pas
équivalentes↑ (...) ici (il s’agit de la dernière, 5/16 et 10/32) je multiplie par
deux/ et ici je multiplie par deux/ ça veut dire qu’elles sont...? //
équivalentes↑ (...)
(...)
On identifie ensuite des extraits qui correspondent aux mécanismes de
régulation autour des difficultés gérées par le choix des exercices que l’enseignante
propose aux élèves pour explorer la notion d’équivalence.
2.2. Des difficultés concernant le choix de tâches proposées
aux élèves
Pour mieux suivre cette analyse, on identifie d’abord, dans l’ordre
chronologique développé par le professeur, la séquence de tâches proposées aux élèves,
avec un exemple d’exercice correspondant à chacune des tâches:
Tâche
Exemple d’exercice
1. trouver deux fractions équivalentes à
partir d’une égalité donné
1 = ..?..
2
4
2. Vérifier
équivalentes
si
deux
fractions
sont
Vérifier si 2/7 est équivalente à 6/21
3. vérifier l’équivalence de deux fractions
sur une même quantité donnée
3/5 de 30 a la même valeur que 6/10 de
30?
4. trouver des fractions équivalentes à une
fraction donnée
Trouver des fractions équivalentes à 2/3
Il est intéressant d’observer d’abord que chaque tâche a sa particularité: la
première n’est pas un calcul sur des quantités, il s’agit plutôt de la notion de rapport, qui
remet directement au concept d’équivalence. Nous avons déjà vu comme l’enseignante
gère cette notion, à l’aide de la tâche proposée.
131
La tâche suivante concerne aussi la notion de rapport, mais sa résolution dépend
d’un inversement du raisonnement précédent, que nous pourrions exprimer par ‘si on
peut multiplier les deux numéros qui composent la première fraction par un même
numéro, de façon à trouver la deuxième, il s’agit de deux fractions équivalentes’. Dans
le cas contraire, il ne s’agit pas de fractions équivalentes.
La troisième tâche concerne l’aspect opérateur, et l’exercice proposé induit au
calcul de la valeur de la fraction sur la quantité donnée pour vérifier ensuite
l’équivalence. Déjà la quatrième tâche revient à l’aspect rapport, indépendamment des
quantités.
Ce mélange entre les deux aspects - rapport et opérateur - ainsi que la séquence
de tâches proposées par l’enseignante, vont introduire plusieurs ambiguïtés dans le
déroulement des séances. Les élèves seront confrontés à ces difficultés, et vont essayer,
dans le déroulement des 5 premières séances, de discerner les différents objectifs
inhérents aux tâches proposées.
Au détail, ont suit ensuite le déroulement de ces exercices, où les régulations
didactiques utilisées par l’enseignante de façon à gérer ces difficultés imprévues ont été
identifiées. Au même temps, on identifie la façon comme, grâce aux interactions
didactiques, l’enseignante va se rendre compte de l’enjeu du savoir dans les exercices
proposés.
Analyse de la séquence de tâches
Nous avons déjà considéré les implications de la première tâche (remplir le
blanc sur une égalité donnée), utilisée pour introduire la notion de fractions
équivalentes. Après avoir institutionnalisé cette notion à l’aide de l’opération pour
trouver deux fractions équivalentes, l’enseignante propose aux élèves la tâche suivante:
[séance 1]
(...)
P: je vais vous passer des exercices (par écrit)
Vérifier se les fractions sont équivalentes:
a) 2/7 et 6/21
b) 5/9 et 15/18
c) 16/10 et 8/5
d) 8/4 et 2/1
e) 2/9 et 4/10
f) 5/16 et 10/32
132
P: je vais résoudre le ‘a’ avec vous/ (il s’agit du 2/7 et 6/21) qu’est-ce que
vous remarquez ici? Pour que ce soit équivalent/ je divise ou bien il faut...?
(...) multiplier↑ (écrit ‘x3’ à côté du 7 et à côté du 2)
On observe qu’il s’agit en effet d’une tâche assez différente de la première, où
il s’agissait d’une égalité de fractions déjà donnée. Dans cette nouvelle tâche, il y a
deux fractions dont on ne connaît pas le rapport, et les élèves ont du mal à savoir ce
qu’il faut faire.
On peut supposer que l’enseignante croit que les élèves, ayant compris la
notion d’équivalence, sauraient comment résoudre ce nouveau genre de tâche, où il
faut appliquer le raisonnement inverse: si on arrive à multiplier ou à diviser la première
fraction par le même numéro, de façon à trouver la deuxième, alors on peut affirmer
qu’il s’agit effectivement de deux fractions équivalentes. Elle ne donne qu’un exemple,
et suggère tout de suite une liste d’exercices semblables. L’enseignante suit les élèves
en train de résoudre les exercices, et explique plusieurs fois, individuellement. C’est
l’étape de dévolution de sa routine, d’habitude assez longue.
L’enregistrement nous permet d’identifier quelques unes des questions posées
par les élèves: un élève dit: « je ne sais pas faire ces calculs », elle va vers lui et lui
explique. Un autre élève demande: « comment je peux savoir s’il faut multiplier ou
diviser? ». Cette question montre bien le doute qui a été introduit par l’exercice, car
dans ce cas, les deux fractions sont déjà donnés. L’explication de l’enseignante renvoie
au raisonnement qu’elle avait fait avant (« pour que ce soit équivalent on multiplie ou
on divise par le même numéro »). On conclut donc que cet exercice introduit des
difficultés de compréhension, au lieu d’aider les élèves à comprendre la notion de
fraction équivalentes.
À propos de cette séance on remarque aussi que le temps de résolution
d’exercices est très long, et l’enseignante semble ne pas être pressée. Nous avons
l’impression qu’elle n’a pas envie d’avancer, comme si elle avait besoin de réfléchir
avant de continuer, même si elle a remarqué que la plupart des élèves a finit l’exercice.
C’est le premier moment qui nous permet de supposer que le fait de se trouver dans
une séance observée pose des contraintes à l’enseignante. Finalement, la séance se
termine et elle n’a pas eu le temps de faire la correction.
Un deuxième exemple de difficulté concernant le choix des tâches
correspond à la tâche suivante. À la séance 2 l’enseignante revient au modèle des
fractions sur une quantité. Elle a l’intention de travailler l’équivalence dans ce
133
modèle. Elle propose donc un nouvel exercice, qui correspond à la tâche (3) du
tableau:
P: (...) pour prouver qu’elles sont vraiment équivalentes/ on va faire cela↑ //
ne copiez pas/ d’accord? (écrit)
2/5 de 40 et 4/10 de 40
P: regardez ici↑ si on regarde ces deux valeurs ici↑ on va vérifier si elles sont
équivalentes/ sans faire la multiplication↑ (...)
L’enseignante veut bien dire: ‘sans faire la multiplication comme dans
l’exercice précédent’ , car elle veut changer d’approche pour traiter l’équivalence dans
le cadre des quantités. Ce changement de cadre n’est pas évident.
La suite de l’extrait montre à nouveau le glissement métacognitif dont
l’enseignante s’en sert pour gérer la difficulté introduite par la nouvelle tâche.
L’enseignante remplace, encore une fois, la compréhension de la notion de fractions
équivalentes, maintenant dans un nouveau cadre, par un calcul:
(...)
P: c’est combien 2/5 de 40? allez↑ c’est quoi 2/5 de 40? (...) on va voir
combien c’est 2/5 de 40↑ c’est 40 divisé par..? Maira↑ c’est quarante divisé
par? (...) 40 divisé par 5 c’est combien? // 40 divisé par 5 c’est? C’est
combien 40 divisé par 5?
E: c’est quelque chose↑
P: huit↑ et huit fois deux c’est combien?
E: seize↑
P: seize↑ (marque le 16 et l’encercle) voyons si 2/5 de 40 c’est/ regardez la
question↑ 2/5 est équivalent à 4/10? alors je vais faire 2/5 de 40/ je verrai
combien ça donne/ et ensuite je vais faire 4/10 de? // 40↑
P: (...) 40 divisé par 10 c’est combien?
E: 4↑
P: et quatre fois quatre ça donne?
E: huit↑
P: seize↑ c’est à dire/ 2/5 de 40 c’est le même résultat que 4/10 de?
E: 10↑
P: quarante↑ c’est à dire/ on calcule le dixième de 40/ c’est à dire que les
deux fractions sont...? // équivalentes↑ voyez comment on avait fait avant/
regardez↑ (écrit les deux fractions, 2/5 et 4/10 dans un coin du tableau)
comment avez vous fait avant? Ici vous faisiez fois deux/ deux fois deux/
quatre/et cinq fois deux ça donne?
E: dix
P: dix↑ ici on le confirme↑ / 2/5 de 40 fait 16/ et 4/10 de 40 fait? 16↑
L’enseignante institutionnalise la façon de résoudre cette tâche:
134
(...)
P: maintenant je vais vous proposer quelques exercices/ sur les fractions
équivalentes↑ pour vérifier/ lesquelles sont équivalentes/ par ce calcul-là↑ si
les résultats sont pareils/ c’est qu’elles sont...? équivalentes↑ si les résultats
sont différents?
E: elles ne le sont pas
E: comme ça c’est plus difficile↑
La remarque de l’élève est pertinente, car il se rend compte qu’il y a eu un
changement d’approche, même s’il est difficile d’identifier quelle est la différence
entre les deux tâches proposées. Comme nous avons souligné à l’analyse a priori, il
s’agit de la difficulté inhérente au traitement de la notion d’équivalence dans l’aspect
‘opérateur’. Si les deux fractions sont équivalentes, à quoi nous sert de les calculer sur
une même quantité? C’est bien le cas des deux fractions, 2/5 et 4/10. L’enseignante,
qui n’a pas l’habitude de planifier les cours de façon à bien choisir les exercices, sera
confrontée à ses choix.
À propos du choix sur cette tâche, à l’autoconfrontation, l’enseignante
reconnaît qu’il s’agit d’un autre genre d’exercice:
Ent: tu veux montrer qu’elles son équivalentes à partir du résultat, c’est
une autre approche?
P: oui, sans avoir à les comparer
Ent: c’est un autre exercice?
P: oui, comme on a vu à la fin de la séance dernière, peut être qu’ils
n’avaient pas compris le concept, alors j’ai repris...
Ent: cet élève, il se rend compte qu’il s’agit d’un autre exercice...
P: oui
Ent: il note qu’il y a une difficulté
P: oui, il y a un calcul de plus
Ent: c’est ça la difficulté?
P: (ne répond pas, elle semble réfléchir)
Ensuite, l’enseignante donne encore un autre exemple de la même tâche et écrit
ensuite au tableau:
Vérifier si les fractions sont équivalentes:
a) 2/3 de 30 ont la même valeur que 4/6 de 30?
b) 3/5 de 45 ont la même valeur que 6/15 de 45?
c) 10/12 de 24 ont la même valeur que 5/6 de 24?
135
Nous remarquons qu’elle a changé un peu la présentation de l’exercice, pour
mieux le placer dans le contexte ‘opérateur’. C’est le moment de suivre le travail des
élèves. Elle s’arrête chez des élèves qui posent des questions, ou bien chez ceux qui ne
sont pas en train de faire l’exercice, soit parce qu’ils ont besoin d’aide pour les
résoudre, soit parce qu’ils ne s’y intéressent pas. À l’enregistrement nous avons donc
plusieurs échanges entre l’enseignante et quelques élèves.
Parmi ces échanges, l’épisode suivant exemplifie le moment où l’élève met en question
le sens de l’exercice:
E: ici il faut avoir// ça peut être n’importe quoi alors?
P: ici le résultat doit être le même// bien sûr qu’il faut que ça soit 30 et 30
E: ici ça peut être n’importe quel numéro?
P: oui↑ n’importe lequel↑ mais tu // ça ne sera pas toujours équivalent↑tu vas
le vérifier/ si c’est équivalent/ ça peut être n’importe quel numéro/ mais cela
ne signifie pas que ce sera équivalent
E: d’accord/ si c’est pareil ici/ c’est équivalent?
P: quand est-ce qu’une chose est équivalente à l’autre? Quand une chose
équivaut à l’autre/ quand elle a la même valeur/ si la valeur ici est pareille à
l’autre/ 2/3 de 30 équivaut à la valeur de?
E: 4/6 (....) ce n’est pas
P: alors ce n’est pas équivalent↑mais je crois que tu n’as pas divisé
correctement/ voyons combien ça vaut 2/3 de 30? ça fait 20↑4/6 de 30/ c’est
combien 4/6 de 30? c’est combien 30 divisé par six? Cinq/ cinq fois quatre?
Vingt↑
À l’autoconfrontation, on va essayer de comprendre quel est le doute de l’élève.
Peut être qu’il s’est aperçu que si les fractions sont équivalentes, elles le seront toujours
sur une même quantité. L’enseignante le sait bien, car elle dit: « si c’est équivalent/ ça
peut être n’importe quel numéro, mais cela ne signifie pas que ça sera équivalent » .
Apparemment, aucun élève jusqu’à présent s’en était aperçu. L’enseignante réfléchit
sur le sens de cet épisode, mais n’arrive à aucune conclusion.
La correction de l’exercice est intéressante, car on remarque une façon assez
particulière et incorrecte, d’écrire la suite de calculs pour trouver la valeur d’une
fraction sur une quantité:
[séance 2]
P: on va résoudre↑ le premier↑je commence par la lettre « a »// ça y est?
Maira/ Natania/ regardez↑vous terminez pendant que je fais le « a »/
136
d’accord? (...) allez↑ regardez ici↑je vais demander à Maira/ de voir si elle
le sait↑ comment je sais quand deux fractions sont équivalentes
E: quand une est/// quand ça donne le même résultat↑
P: le même résultat de quoi? (...) comment je fais pour savoir si c’est la
même valeur? Comment je fais pour savoir si elles ont la même valeur?///
allez↑ je vais faire 2/3 de 30/ d’accord? Si c’est la même valeur que 4/6 de
30 cela veut dire quoi? Que les fractions sont? équivalentes↑numéros/
fractions différentes/ correspondent à la même valeur/ cela veut donc dire
que les fractions sont? Équivalentes↑ comment je fais 2/3 de 30? Luciane/
voyons si tu te souviens↑
E: non/ maîtresse↑
P: tu ne te souviens pas? 30 divise en combien de groupes?
E: trois
E: ça va faire 10
P: ça fait 10// fois deux↑parce que j’ai deux groupes/ ça fait? Vingt (elle
écrit les opérations au tableau)
2/3 de 30 = 30 ÷3 = 10 x 2 = 20
P: ici/4/6 de 30/ je vais diviser trente en? Six groupes/ ça fait/ 5↑et je
prends? Six/ ça fait? cinq↑combien de groupes de cinq il faut prendre ici?
E: quatre↑
P: quatre↑ici↑quatre fois cinq ça fait? Vingt↑ des fractions écrites avec des
numéros différents/ et qui arrivent à la même valeur/ cela veut dire qu’elle
sont? Équivalentes↑(...)
À l’entretien sur cet épisode, on lit la sentence mathématique, mais
l’enseignante n’identifie aucun problème. On comprend ce manque de rigueur si
l’on prend en compte que son but est, comme elle l’avait affirmé, qu’ils sachent
faire l’exercice.
À la séance suivante, la troisième, l’enseignante propose encore deux exercices.
Le premier ressemble à l’exercice corrigé, mais le second reprend l’égalité des fractions
équivalentes sans le repère de la quantité:
1. Répondez:
a) 5/7 de 70 ont la même valeur que 10/14 de 70?
b) 2/3 de 108 ont la même valeur que 10/12 de 108?
2.Remplissez les blancs de façon à trouver des fractions équivalentes:
a) 2/5 = ..../10
b) 3/4 = 9/....
c) 12/10 = 6/....
d) 3/8 = ..../40
e) .../20 = 2/5
f) 18/12 = 6/...
137
L’enseignante a donc mélangé deux tâches: celle de vérifier si deux fractions
sur une quantité sont équivalentes, et celle de trouver des fractions équivalentes à une
fraction donnée. On considère ensuite un échange avec un bon élève, qui a du mal à
comprendre la différence entre les deux exercices proposés.
Voici l’échange avec l’élève à propos de la première tâche, exercice ‘b’ (2/3 de
108 ont la même valeur que 10/12 de 108?):
(...)
P: ça fait 9/ 9 fois 12/ 108
E: j’ai divisé par 9↑
P: tu as divisé? Alors il faut faire 9 fois/ dix↑ça fait 90↑ c’est correct↑
E: mais tu avais dit que c’était faux↑
P: non↑ j’avais dit que si les valeurs ne sont pas pareilles/ les fractions ne
sont pas équivalentes↑ c’est ça ce que j’avais dit↑ tu comprends?
E: elles sont équivalentes ici?
P: non↑ au second↑ au premier je demande si elles le sont↑ elles ne sont
pas↑ le premier/ regarde la question↑ elles ont la même valeur? Je ne sais
pas↑ tu vas calculer↑ au second/ au second/ je veux que tu trouves
l’équivalence↑ au premier non↑
E: elles ne sont pas équivalentes↑
P: non↑ ta réponse sera non↑ elles n’ont pas la même valeur/ alors elles ne
sont pas équivalentes↑
E: mais//
P: au premier↑celui ci c’est le second↑ elles ne sont pas équivalentes/ n’ont
pas la même valeur↑ je ne veux pas la même valeur ici/ je veux la même
valeur ici/ au second↑ celui-ci c’est le premier↑
Cet échange exemplifie des situations où la difficulté est due au choix que
l’enseignante a fait des exercices proposés. Elle n’avait évidemment pas réfléchi à ce
propos, ce qui peut expliquer le temps trop long dans la première séance, pendant
laquelle l’enseignante essayait de tarder la décision sur les exercices à proposer. Comme
elle a un emploie du temps très chargé, probablement elle n’est pas arrivé à une
organisation des exercices de façon plus convenable. Toutefois, même si l’enseignante
n’avait pas prévu et ne s’était pas rendue compte de la différence entre les deux
exercices suggérés, elle va en prendre conscience au fur et à mesure que les élèves lui
posent des questions. En effet, à l’entretien, quand on lui demande si elle avait prévu
cette difficulté à propos des deux genres d’exercices, elle affirme:
« Non. Je savais que les deux travaillaient des aspects différents... mais je
ne croyais pas qu’ils allaient...en réalité j’aurais dû travailler bien la
138
quantité et après montrer que, si la quantité n’est pas donnée, il faut
vérifier si elles sont équivalentes ou pas...de cette façon ça n’a pas été
très...réussi...ils aiment faire toujours de la même façon... ils ne lisent pas
l’énoncé, il y a ça aussi. »
Ensuite, l’enseignante propose deux nouveaux exercices. Encore une fois, les
deux genres d’exercice proposés sont différents et vont à nouveau confondre les élèves:
3. Compléter: 5/9 = __/27
4. Trouver trois fractions équivalentes à 3/5
Dans le cas du premier, il suffit de vérifier par combien on a multiplié ou divisé
l’une des fractions, pour trouver le numéro qui manque. Le fait de donner les trois
numéros fonctionne comme une contrainte sur le choix de celui qui manque. Dans
l’autre cas, au contraire, on peut multiplier ou diviser les deux numéros de la fraction
par n’importe quelle numéro.
Les dialogues suivants montrent à la fois les difficultés des élèves à gérer ces
deux situations, ainsi que la façon comme l’enseignante agit à partir de cette contrainte
imprévue.
Il s’agit de la suite de la séance 3 après la correction des deux premiers
exercices. C’est à nouveau le temps de résoudre des exercices:
(...)
E: c’est comme ça/ maîtresse?
P: non↑ce n’est pas ça ; 5/9 de 27↑27 est le dénominateur de cette
fraction↑dénominateur 27↑tu as multiplié par combien? Il faut multiplier ici↑
E: ah↑ il faut écrire ces calculs?
P: oui↑ des fractions équivalentes↑ j’affirme qu’elles sont équivalentes↑je
ne suis pas en train de faire 5/9 de 27↑
(...)
P: pour trouver des fractions équivalentes on ne multiplie pas par le même
numéro? Ici on a 27/ ici on n’a pas le choix↑ ici je pouvais multiplier par
deux/ par trois// le résultat ne doit pas être pareil↑il ne sera pas pareil↑ce
qu’il faut être pareil c’est le numéro par lequel on multiplie↑une fois par le
deux/ l’autre par le trois/ l’autre par le cinq↑
139
On remarque que, grâce à l’interaction avec les élèves, l’enseignante
commence à se rendre compte de la différence entre deux tâches: trouver une fraction
équivalente à une fraction donnée et vérifier si deux fractions données sont
équivalentes. On voit bien l’émergence d’une prise de conscience sur la différence
entre les deux genres d’exercices quand elle affirme « ici on n’a pas le choix ».
Lors de la séance suivante, la dernière de la première partie, quand
l’enseignante va corriger l’exercice, elle reprend les deux tâches et arrive à une
conclusion qui sert à éclaircir la difficulté au même temps à soi-même et aux élèves:
P: (...) pour vérifier si elles sont équivalentes/ je fais le calcul suivant/ estce que 2/3 est équivalente à 4/6? alors le calcul c’est celui ci (elle montre au
tableau les multiplications sur l’égalité de fractions) maintenant ma question
c’est la suivante↑je vous donne la fraction 15/20 et je veux que vous trouviez
une autre fraction équivalente/ qu’est-ce qu’il faut faire? // Il faut multiplier
par le même numéro/ ou il faut...diviser ?↑je ne pouvais pas ici diviser les
deux par le même numéro? (ils ne répondent pas) je peux diviser ici 15/20/
les deux/ par le même numéro? Par quel numéro pourrais-je diviser ici?
E: cinq
P: cinq↑je pourrais diviser les deux par? Cinq↑15 divisé par 5 c’est? 5/ 20
divisé par 5?
E: 4
P: 4↑ alors quinze vingtièmes sera équivalent à?
E: trois
P: 3/4↑// si je vous donne // 3/4 = ..../12/ je suis en train d’affirmer qu’elles
sont équivalentes↑ j’affirme/ d’accord? Et je veux que vous trouviez
d’autres fractions équivalentes↑ quel numéro faut-il avoir en haut? // vous
vous souvenez de ce qu’on avait fait?
E: 9
P: ici/ voyez↑ par combien j’ai multiplié ici le 4// pour trouver des fractions
équivalentes il faut multiplier les deux ou..diviser ?↑ alors j’ai multiplié par?
3↑ je vais donc multiplier par 3/ 3 fois 3/ cela fait..? 9↑ neuf douzièmes↑ ici
vous pouviez multiplier ou diviser par un numéro quelconque/ d’accord? Ici
non↑ ici on doit multiplier exactement par 3/ parce que le dénominateur
c’est? // 12↑ maintenant je vais vous donner des exercices/ d’accord? Vous
allez vérifier si les fractions sont équivalentes/ et après vous allez trouver
d’autres fractions équivalentes/ d’accord? Et demain on fera notre contrôle/
d’accord? (...)
2.3. Des difficultés concernant la notion d’équivalence dans
l’aspect opérateur
On a souligné, à l’analyse a priori sur les deux approches que le traitement de la
notion d’équivalence dans l’aspect opérateur introduit le problème de la généralisation:
140
comment comparer deux fractions sans le repère de la quantité, si on définit la fraction
comme un opérateur?
En général, on a déjà affirmé que le problème concerne le fait que la fraction,
définie dans l’approche ‘opérateur’, acquiert un sens assez différent de sa signification
principale, c’est à dire, la représentation d’un nombre rationnel. Par conséquent la
généralisation du sens d’une fraction devient assez difficile.
Apparemment, l’enseignante ne se rend pas compte de ce problème pendant les
exercices, mais elle sera confrontée directement à ce problème quand, au contrôle
réalisé à la fin de la sixième séance (annexe 5), elle propose aux élèves un problème où
la quantité sur laquelle la fraction opère n’est pas donnée. Il s’agit d’un problème de
comparaison entre deux fractions qui n’avait pas été travaillé en classe. Alors
l’enseignante le propose comme un défi qui pourrait assurer aux élèves 1 point de plus
sur la note obtenue au contrôle.
L’énoncé est le suivant:
Dans un contrôle de mathématiques, Susana a réussi 2/5 des questions et
Juliana a réussi 5/10. Qui a réussi plus de questions? Justifiez votre réponse.
Pendant la réalisation du contrôle, en salle, l’enseignante passe, selon son
habitude, par les élèves pour répondre à leurs questions. À propos du défi, elle finit par
donner des indications sur la façon de résoudre le problème, comme on voit dans les
extraits de la séance 6, où il s’agit de plusieurs échanges avec les élèves qui essayent de
résoudre le défi:
E: cela fait douze?
P: à vous de le savoir/ je ne peux pas vous donner la réponse↑
E: mais il n’y a pas de numéro ici pour ///
P: alors tu choisis
E: comment je peux savoir? Il faut inventer un numéro?
P: oui↑ regarde les numéros ici/ tu avais 2/5 et 5/10/ que ferais-tu avec ces
fractions?
E: ici? Il faut multiplier le numérateur//
P: mais ici tu n’as pas// tu ne connais pas la quantité de questions qu’ il y a//
E: alors//
P: essaye d’une autre façon↑
(...)
E: viens voir ici↑ (l’élève appelle l’enseignante, elle vient regarder son
contrôle)
141
P: mais peu importe combien de questions on a/ si on a 30 ou 40/ ou 50↑ qui
aurait réussi à plus de questions?
E: non// je ne sais pas↑ mais c’est 2/5 de// 18?
P: je ne sais pas↑ de n’importe quelle valeur↑
E: ah↑ ça peut être n’importe quelle valeur?
P: je ne sais pas combien de questions a le contrôle/ mais s’il y a un certain
nombre/ qui aurait réussi à plus de questions? // pense à une possibilité que
te permette de résoudre↑ je ne sais pas combien de questions il y a/ et je
veux savoir qui a réussi plus↑
(...)
E: je ne comprend pas cette question↑
P: regarde↑ il y a un certain nombre de questions dans ce contrôle/ je ne sais
pas combien de questions il y a/ je sais que quelqu’un a réussi 2/5 et l’autre
5/10/ quelle des deux a réussi plus?
E: elle↑
P: alors explique pour quoi penses tu que c’est celle là↑
E: le deux/ on ne peut pas diviser par cinq↑
(...)
E: je n’ai pas compris celle là
P: alors regarde/ 2/5/ quelqu’un a réussi 2/5 des questions/ et l’autre 5/10/
si tu demande combien de questions il y a/ je ne sais pas↑ un certain
nombre de questions/ il y a 20/ il y a 40/ n’importe↑ mais laquelle des
deux a réussi les plus?
(...)
E: ici/ il faut faire deux fois cinq?
P: si tu crois que c’est ce calcul qu’il faut faire/ il faut trouver une
possibilité↑
(...)
On remarque que le fait de supposer un nombre de questions, comme suggère
l’enseignante, ne résout pas le problème, car pour chaque nombre choisi, on aura une
réponse différente. Alors pour arriver à la réponse du problème, il faut choisir le même
nombre pour calculer les deux fractions, et ensuite faire la généralisation pour comparer,
c’est a dire, pour arriver à comprendre que dans n’importe quel cas, 5/10 est toujours
plus grand que 2/5. Cet aspect constitue une vraie difficulté quand on approche les
fractions seulement en tant qu'opérateur, comme l'on voit dans ces dialogues avec les
élèves. Toutefois, pris dans l’effet ‘âge du capitaine’ (Brousseau, 1998), les élèves vont
essayer de trouver un calcul.
Lors de l’entretien d’autoconfrontation, quand on demande à l’enseignante si
elle croyait qu’ils arriveraient à résoudre problème, elle affirme qu’elle espérait que
142
quelques élèves pourraient y arriver, mais on remarque qu'elle n’a pas vraiment réfléchi
à la dimension de la difficulté proposée.
L’analyse de la correction du contrôle indique que, parmi les 21 élèves de la
classe, seulement 14 ont trouvé une réponse au problème, ou bien ont essayé d’en
trouver une, comme montrent leurs calculs. Les autres ne l’ont pas fait. Le tableau
suivant montre les résultats trouvés par ces 14 élèves:
Réponse correcte
justification
avec
calcul
et
2
Réponse correcte sans calcul et sans
justification
4
Réponse correcte basée sur un calcul
incorrect
2
Sans réponse, avec des calculs sur deux
quantités différentes pour chaque fraction
3
Sans réponse, avec des calculs qui
trouvent une autre fraction équivalente aux
deux fractions données
Réponse incorrecte, avec un calcul qui
cherche l’équivalence de deux fractions
données
2
1
Seulement deux élèves ont trouvé la bonne réponse et l’ont justifiée. L’un a
calculé sur 10 questions, l’autre sur 20, comme a suggéré l’enseignante. Observons
comment un des élèves justifie sa réponse: « j’ai fait ainsi car l’enseignante nous a
demandé de résoudre. Elle voulait qu’on arrive à un résultat ». Les deux qui ont fait les
calculs correctement et ont trouvé la bonne réponse sont considérés de bons élèves.
Il y en a 6 qui ont marqué la bonne réponse, mais ils n’ont pas fait de calcul, ou
bien les calculs étaient incorrects. Comme les élèves ont la tendance à comparer
directement les nombres sans considérer leur rapport exprimé par la fraction, on peut
supposer qu’ils ont cru que la réponse correcte était Juliana, car les numéros qui
composent la fraction 5/10 sont plus grands que les autres deux, 2 et 5 (fraction 2/5).
Parmi les 6 qui ont essayé de résoudre, mais n’ont pas trouvé la bonne réponse
(classés ‘réponse incorrecte’ et ‘sans réponse’), on remarque que 3 ont simplement fait
des calculs sur n’importe quelles fractions, mais pas la même dans les deux cas, comme
il fallait, alors ils n’ont pas eu des moyens de les comparer. On remarque aussi que les 3
143
autres ont fait des calculs, mais sur l’équivalence, qui était justement l’objet de ce
contrôle. Comme cela n’aboutit pas à la comparaison, deux d’entre eux n’ont pas
répondu, et une élève s’est trompée en affirmant que les deux fractions sont
équivalentes. Curieusement, il s’agit d’une très bonne élève, qui a fait correctement
toutes les autres questions du contrôle.
2. 4. Des mécanismes chronogénétiques au détail
Comme nous avons signalé, les moments d’accompagnement du travail
individuel des élèves sont toujours assez longs, et ils sont effectivement assez
importants du point de vue des régulations qui vont assurer l’apprentissage individuel.
À propos de ces moments d’explication individuelle, nous avons déjà signalé
que l’enseignante est obligée de répéter plusieurs fois la même explication. Prenons des
épisodes d’explication individuelle de la séance 2 comme exemple. Il s’agit de
l’exercice de vérifier si deux fractions sont équivalentes sur une même quantité donnée.
P: tu te souviens comment on calcule 2/3 de 30?
E: je sais
P: alors il faut calculer↑vérifie combien ça fait 2/3 de 30↑
E: je ferai plus tard
P: plus tard// 4/6 de 30/ tu sais combien ça fait? Il faut savoir le résultat↑si
les résultats sont pareils/ ça veut dire que les fractions sont équivalentes↑ si
les résultats sont différents/ elles ne sont pas équivalentes↑
E: ah↑ c’est ça?
(...)
P: tu te souviens comment on calcule 2/3 d’un numéro?
E: 2/3 d’un numéro?
P: par exemple/ 2/3 de 30? comment on calcule?
E: c’est (...) 3 fois 30
P: non↑c’est quoi 2/3? c’est un numéro divisé en 3 parts↑ alors je vais
diviser le 30 en trois parts↑ dix pour chaque part↑ combien de parts il faut
prendre?
E: deux
P: dix fois deux/ ça fait?
E: vingt
P: maintenant il faut faire 4/6 de 30/ et vérifier combien ça donne↑
E: 4/6 de 30?
P: oui↑ et vérifier le résultat↑
144
(...)
P: alors ici il faut faire quoi? Vérifier combien c’est 2/3 de 30/ tu te souviens
comment est-ce qu’on fait 2/3 de 30? tu te souviens? Voyons//pour que ça
soit équivalent/ qu’est-ce qu’il faut arriver? 2/3 de 30 doit avoir la même
valeur que 4/6 de 30/ il faut donc calculer/ combien ça vaut 2/3 de 30/ et 4/6
de 30/ d’accord? Si les valeurs sont pareilles/ 2/3 est équivalent à 4/6↑
calcule d’abord 2/3 de 30↑
(...)
P: comment je sais quand une fraction est équivalente à une autre?
E: (ne répond pas)
P: il faut que ça représente la même part de l’entier/ n’est-ce pas? Des
numéros différents représentent la même part↑ c’est a dire/ combien ça fait
2/3 de 30? est-ce que c’est la même valeur que 4/6 de 30? si elles sont
équivalentes/ ça doit représenter la même part/ tu te souviens? /// 1/2
représente la même que de 4/8? alors↑ 2/3 de 30/ il faut vérifier combien ça
fait↑ après il faudra venir ici/ et calculer 4/6 de 30/ si elles sont équivalentes/
qu’est-ce qui va se passer? La valeur sera...?
E: égale
P: alors il faut calculer/ 2/3 de 30 et 4/6 de 30
(...)
P: Comment je fais 2/3 d’un numéro? C’est quoi 2/3 d’un numéro? (...) c’est
30 divisé en trois parts/ combien revient a chaque part? dix↑combien faut il
prendre?
E: deux
P; deux fois dix?
E: vingt↑
P: alors 2/3 de 30 c’est?
E: vingt↑
P: maintenant il faut calculer 4/6 de 30
(...)
Ce sont cinq dialogues très semblables. Quand on demande à l’enseignante de
commenter cette façon d’agir, elle justifie:
P: c’est parce qu' il y a des élèves qui passent une semaine sans venir...alors
je fais un résumé rapide
Ent: tu fais toujours comme ça? Expliquer plusieurs fois la même chose,
individuellement?
P: oui, toujours, sinon toute la classe échoue!
Effectivement, dans la classe il y a des élèves qui étaient absents les derniers
jours, ou bien qui ont changé d’école et viennent d’arriver dans cette classe. Il y en a qui
145
résolvent rapidement les exercices, et d’autres qui sont présents, mais qui n’ouvrent pas
leur cahiers pendant toute la séance.
L’épisode suivant illustre le cas d’un élève qui était absent pendant plusieurs
séances:
P: ça fait combien de temps que tu ne viens pas à l’école?
E: depuis/ depuis hier
P: non↑je veux dire avant le congé↑
E: j’ai été absent/ environ quatre jours↑
P: alors voyons comment on fait ici↑2/3 de 30? on va calculer 2/3 de 30
E: il faut multiplier?
P: tu te souviens de cette leçon avec le matériel concret? On faisait des
calculs/ te souviens-tu que je vous donnais des pièces pour diviser? Je vous
donnais 2/3 de 30/ qu’est-ce que vous faisiez? Vous divisiez 30 en 3
groupes/ d’accord?
E: d’accord
P: ça faisait 10 en chaque/ alors combien de groupes de dix je vais prendre?
E: deux
P: deux/ dix fois deux?
E: vingt↑
P: alors 2/3 de 30 c’est combien?
E: vingt
P: maintenant on va voir combien ça fait 4/6 de 30/ on va vérifier si ça fait le
même/ on le divise en combien de groupes?
E: six
P: six/ ça va faire? cinq↑combien de groupes de cinq il faut prendre?
E: quatre
P: c’est la même valeur? oui↑donc 2/3 est équivalent à 4/6
On observe, toutefois, que, même si l’enseignante répète plusieurs fois la
même explication, si on l’analyse au détail, on remarque qu’il y a de petites
différentes dans ses arguments.
2.5. La répétition de l’explication: une action bien adaptée
On identifie, au détail, l'est l’enjeu de ce mécanisme chronogénétique qui
caractérise son enseignement. On remarque que l’explication, qui semble être toujours
la même, est effectivement le fruit d’une adaptation aux besoins de chaque élève,
comme l’enseignante avait suggéré.
Cet enjeu est clairement identifiable par des épisodes extraits des séances 3 et 4.
On a enregistré 13 dialogues entre l’enseignante et les élèves pendant le temps de
146
résolution. Même si ces échanges sont apparemment très semblables, on peut distinguer
effectivement trois genres d’explication:
1. l’explication qui rassure le raisonnement de l’élève qui avait déjà compris la
question et qui doit corriger légèrement les calculs;
2. l’explication qui reprend le savoir depuis la notion d’équivalence,
parfois depuis le concept de fraction;
3. l’explication qui ajoute un détail, et ainsi propose un avancement.
L’épisode suivant illustre le premier cas:
P: combien de fois 8 fait 40? (il s’agit de: 3/8 = __/40)
E: cinq
P: ici tu avais fait 8//
E: ah↑// d’accord/ d’accord↑
L’épisode suivant illustre le deuxième cas. C’est souvent le cas des élèves qui ont
changé d’école et viennent d’arriver en classe, comme Juliano:
P: Juliano/ tu as déjà étudié les fractions équivalentes? Où est ton cahier?
Où est le crayon?// si les fractions sont équivalentes/ 5/7 de 70 aura la
même valeur que 10/14 de? 70↑ c’est quoi des fractions équivalentes? Ce
sont des fractions qu’on écrit différemment et (un autre élève vient lui poser
une question, elle interrompt l’explication à Juliano et la reprend
ensuite)(...) pour qu’elles soient équivalentes/ on va mettre ici/ 5/7// pour
qu’elles soient équivalentes/ il faut que ça donne la même valeur/ allons
donc calculer 5/7 de 70/ tu te souviens comment on calcule? C’est combien
5/7 de 70? Celui-ci est le numérateur/ et l’autre le dénominateur/ alors il
faut diviser 70 en combien de groupes? Tu te souviens quand on a travaillé
avec le matériel doré? 70 divisé par 7/ il faut que ça donne...? 10/ combien
de groupes de 10 il faut prendre? Cinq/ alors cinq fois dix/ cela fait? 50/
alors voyons si cela va faire le même résultat/ il faut diviser 70 en combien
de groupes?
E: (ne répond pas)
P: 14↑c'est toujours le dénominateur qu’il faut diviser/ 70 divisé par 14 cela
fait...? cinq↑combien de groupes de 5 il faut prendre? 10↑cela fait...? 50/ les
valeurs sont les mêmes...? oui↑cela veut dire qu’elles sont...? Équivalentes↑
d’accord? Alors maintenant il faut faire le même avec celles-là↑
L’épisode suivant illustre bien le troisième cas, où l’enseignante va en profiter
pour ajouter à l’explication une observation sur la relation entre cet exercice et celui où
il fallait calculer la fraction sur une quantité donnée:
147
P: ici↑il faut découvrir quel sera ce numéro-là↑on utilise les fractions
équivalentes↑ correct? Tu te souviens? Tu te souviens qu’on faisait ceci?
Alors regarde↑ il faut multiplier les deux par le même numéro/ ou bien il
faut...? Diviser↑ n’est-ce pas? Cinq fois combien fait dix?
E: deux
P: deux/ cinq fois deux/ fait dix/ alors il faut multiplier aussi par...? Deux/
deux fois deux?
E: quatre
P: alors 2/5 est équivalent à?
E: 4/10
P: c’est à dire/ si je voulais 2/5 d’une valeur/ par exemple 2/5 de 20
gâteaux/ c’est le même que 4/10 de? 20 gâteaux↑ tu as compris comment il
faut faire?
Apparemment, l’enseignante fait cette adaptation de façon spontanée, non
réfléchie. C’est sûrement le fruit de son habilité à bien observer les élèves, comme elle
affirme dans les épisodes d’autoconfrontation sur ces échanges:
(...)
P: quand on connaît l’élève, on sait ce qu’il sait faire et ce qu’il ne sait pas
faire, s’il sait faire un calcul, s’il a la notion...
(...)
P: j'observe très bien mes élèves en classe, je sais exactement ce qu’ils
savent, ce qu’il ne comprennent pas, ce qu’ils ont copié, je ne reste jamais
assise!
On observe d’ailleurs que cette adaptation est le résultat aussi du fait que
l’enseignante affronte des contraintes institutionnelles, comme c’est le cas de l’arrivée
constante de nouveaux élèves, ou bien des contraintes d’origine sociale, comme c’est le
cas des élèves absents, souvent parce qu’ils sont obligés d’aider leurs parents à la
maison ou au travail. On peut supposer donc que ce genre de régulation est le résultat
d’un effort de l’enseignante à gérer toutes ces contraintes, et au même temps d'assurer
l’apprentissage au niveau individuel.
L’enseignante doit effectivement gérer des rythmes d’apprentissage assez
différents, comme elle même affirme:
« parfois ça suffit de donner une indication et l’élève conclut par soi
même... parfois je pose des questions, et je suis obligée de tout reprendre...
148
parfois je réponds presque.... il y en a qui terminent rapidement... il y en a
qui, si je ne suis pas à côté d’eux, ils ne font rien... ».
Ces arguments montrent bien que l’enseignante est consciente du phénomène de
décalage de compréhension, et qu’elle a développé, au long de son expérience
professionnelle, des stratégies pour mieux gérer ce décalage.
3. Conclusions
Notre objectif a été de caractériser les rapports à l’enseigner de chaque
enseignant, par l’étude de la dynamique de structuration et d’avancée du savoir, à partir
d’une analyse externe, centrée sur l’action, et d’une analyse interne, de la part de
l’enseignante, sur son action, reconstituée par des protocoles d’observation.
En synthèse, les deux niveaux d’analyse nous permettent d’identifier les aspects
suivants, concernant les rapports à l’enseigner de l'enseignante S:
Il s’agit d’une action située dans le contrat global de conditionnement, organisée
selon une routine caracterisée par quatre moments, dans lesquels:

La présentation du savoir, le premier moment de la routine, est
caractérisée par la tendance à remplacer la notion en jeu par une tâche;

Le moment de réalisation d’exercices est le plus long et le plus important
du point de vue des régulations didactiques à propos des difficultés des
élèves concernant le savoir en jeu ou le choix qui fait l’enseignante sur
l’approche et les tâches, ce que nous avons pu identifier au détail.
À la base de cette routine, on peut identifier:

Une épistémologie pratique, où un concept est conçu tant que le résultat
de sa manipulation opératoire ;

Des rapports personnels et institutionnels à l’enseigner concernant:
149
* Le malaise de l’enseignante devant le bruit dans la classe, ce qui la pousse
à diminuer le temps d’explication
* Une idée pré-conçue de l’enseignante à propos du manque d’intérêt et de
capacité de compréhension des élèves
* Un positionnement neutre par rapport aux conditions de vie des élèves,
ainsi qu’aux règles imposées par l’institution
* Une très bonne connaissance des caractéristiques des élèves en sixième
année.

Des mécanismes chrono et topogénétiques, caractérisés par:
* un usage particulier du tableau, qui lui assure un mécanisme de gestion au
même temps de la classe et du savoir pendant le temps d’explication;
* un usage très bref du rappel, remplacé par la répétition individuelle de
l’explication. Au détail, on remarque que ce mécanisme relève d’une grande
adaptation de l’action enseignante aux conditions et aux besoins des élèves;
* des régulations didactiques basées sur des effets de contrat comme l’effet
Topaze et le glissement métacognitif repérés au détail, aux moments de
l’explication.
On peut encore remarquer que cet ensemble d’aspects mis en évidence par les
deux niveaux d’analyse, ainsi que par l’analyse externe et interne de l’action
enseignante, sont interdépendants, et constituent ce que nous avons défini comme ‘des
rapports à l’enseigner’.
Dans le cas considéré, ces rapports correspondent à un équilibre stable entre la
gestion de la classe et la gestion du savoir, ce que nous supposons être la conséquence
la plus évidente de l’expérience professionnelle de l’enseignante.
150
Chapitre 6
Analyse didactique: le cas de l’enseignant novice
Dans ce chapitre nous développons, comme dans le chapitre précédent
pour l’enseignante S, l’analyse didactique générale et détaillée du cas de
l’enseignant novice.
151
1. Analyse didactique générale
Comme dans le cas de l’enseignante experte, les éléments du corpus utilisés
pour le développement de cette analyse sont issus de la transcription des séances
(annexe 2), des entretiens d’autoconfrontation (annexe 3), et du contrôle proposé par
l’enseignant (annexe 5).
Dans la classe en question, les objectifs des enseignements de D concernent, par
rapport aux programmes prévus pour la sixième année:

La compréhension de la notion de fractions équivalentes

La comparaison de deux fractions

L’addition et la soustraction des fractions
Comme dans le cas précédent, à partir de ces objectifs on peut distinguer deux
parties dans l’ensemble des séances observées, ce qui constitue un premier découpage
des séances. La première partie concerne les deux premiers objectifs.
Le concept de fractions est développé uniquement dans l’aspect ‘rapport’, basé
sur des figures (des rectangles dessinés au tableau, des rectangles sur une feuille ou des
figures sur le manuel), sans considérer les mesures. La comparaison de fractions est
proposée comme une tâche associée à la notion d’équivalence.
La deuxième partie concerne l’application de cette notion dans des calculs
d’addition et de soustraction de fractions. L’enseignant propose aussi un contrôle entre
les deux parties des séances.
On identifie l’organisation suivante sur la globalité des séances:
Première partie
Séances 1 à 5: notion d’équivalence associée à la tâche de comparaison
Séance 6: contrôle
Deuxième Partie
Séances 7 à 10: addition et soustraction de fractions
Avant de commencer l’observation, l’enseignant avait travaillé la notion de
fractions et de fractions équivalentes à l’aide de figures dessinées, ou d’une feuille pliée.
152
À la première séance observée l’enseignant reprend la comparaison entre deux fractions
qu’il avait déjà commencé à expliquer concernant des fractions de même dénominateur.
1.1.La structuration et l’avancée du savoir
L’ensemble des tâches concernant les dix séances observées s’organise selon le
tableau (tableau 2/ annexe 7), qui montre les tâches et les séquences didactiques de
chaque séance.
L’analyse des séquences didactiques de l’ensemble des séances indique la
structuration suivante:

explication / rappel sur le concept inhérent à la tâche

explication sur les techniques opératoires pour résoudre la tâche

quelques exercices d’application
Le tableau suivant illustre la distribution de ces tâches en plusieurs séances, car
cette séquence se déroule rarement en une seule séance.
explication/rappel du concept
explication
(techniques)
exercices
d’application
Il faut remarquer, toutefois, que cette organisation ne se met pas en place en
séquence, mais dans un mouvement circulaire de va-et-vient entre le calcul et
l’explication du concept en jeu, caractérisant de la sorte la structuration du savoir dans
les séances observées. La difficulté de l’enseignant à faire évoluer cette séquence de
tâches pendant le déroulement des séances est due à deux raisons majeures:
l’interruption très fréquente de la leçon pour demander du silence, et le cheminement
choisi par l’enseignant pour traiter la notion d’équivalence. L’interruption de la leçon
est effectivement assez fréquente, car, à l’exception des séances de contrôle et de
correction du contrôle, l’enseignant interrompt au moins trois fois le cours pour
négocier avec les élèves des règles de comportement, sur lesquelles ils avaient été
d’accord au début de l’année. Le bruit dans la classe empêche effectivement le
153
déroulement des explications et l’oblige à revenir plusieurs fois sur la même explication
et les mêmes exemples.
En plus, le cheminement choisi par l’enseignant est assez compliqué: il part de
la comparaison entre deux fractions pour justifier le besoin de l’établir l’équivalence,
alors que cette tâche n’est pas vraiment nécessaire pour l’étude de l’équivalence. Ce
choix rend le déroulement des séances assez compliqué car il est marqué par un ordre
logique dont les élèves ont du mal à saisir le sens. La deuxième partie des séances
concerne l’application du concept, ce qui rend la structuration du savoir plus évidente.
1.2. La mise en place d’une routine
Comme il a déjà été signalé, même dans une structure générale assez stable,
l’avancée du savoir remet plutôt à un mouvement de va-et-vient sur les mêmes
explications. Toutefois, à la séance 4, l’enseignant a l’intention de faire une révision sur
la tâche de comparaison dans le but de préparer les élèves au contrôle. Nous remarquons
qu’il fait un effort de synthèse à partir de tout ce qu’il avait expliqué pendant les trois
premières séances, ce qui lui oblige à mieux organiser le savoir. Dans cette séance,
donc, qui est la plus organisée du point de vue du temps didactique, on peut distinguer
le processus de mise en place effective d’une routine. Nous allons ensuite suivre les
étapes de son déroulement.
Première étape: explication/rappel sur le concept
Il s’agit de la notion de rapport, appliquée à la tâche de comparaison.
L’enseignant part de la question qui avait était posée depuis la première séance:
comment peut-on comparer deux fractions? Il s’agit de comparer maintenant deux
fractions de dénominateurs différents, 4/6 et 5/8. Il veut savoir quelle est la plus grande.
Il va donc reprendre l’explication sur le rapport entre numérateur et dénominateur, pour
convaincre les élèves du fait qu’il y a une difficulté à comparer si on prend en compte
tout simplement les rapports représentés par les parts d’une figure.
Les trois séances précédentes ont été centrées sur ce même sujet, alors il s’agit
maintenant d’en faire une synthèse et arriver à une conclusion.
154
[séance 4]
P: (...)je veux comparer ces deux fractions/ quatre sur six et cinq sur huit (il
écrit les deux fractions au tableau: 4/6 et 5/8) // par exemple/ maintenant je
veux comparer/ c’est un autre exercice↑ alors↑voyons quelle est le rapport/
on va comprendre l’exercice↑
(...) j’ai divisé l’objet en six morceaux/ et j’en ai pris quatre/ ici ça signifie
que j’ai pris le même entier/ je l’ai divisé en huit morceaux/ pas six/ en
huit↑alors chaque petit morceau ici est plus petit que l’autre/ chaque petit
morceau ici/ est plus petit/ parce qu’il a été divisé en plus de morceaux/
correct? Le plus je divise/ plus petit sera le morceau
E: mais ici c’est plus grand
P: mais ici j’ai pris 4 et là j’ai pris cinq↑ alors je ne sais pas↑(...) allez↑ on va
comprendre↑ celui-ci est un autre exercice qui sera retrouvé dans
l’évaluation/ Emanuela↑si je veux comparer deux fractions qui ont le même
dénominateur↑ (...) celles-là↑ (écrit 2/7 et 4/7 au tableau) si je veux
comparer ces deux-là// deux sur sept et quatre sur sept↑ je sais quelle est la
plus grande?
(plusieurs élèves parlent au même temps)
P: laquelle?
E (Felipe): quatre sur sept
P: alors je le sais déjà↑ quatre est plus grand que deux/ j’ai pu faire cela
parce qu’en bas c’est la même chose/ le dénominateur est le même/ on divise
en plusieurs parts de la même taille↑ le morceau est de la même taille/ ici
j’en ai pris deux/ ici j’en ai pris quatre↑ bien sûr qu’ici j’ en ai pris plus↑ ici
je n’ai pas de doute↑ parce qu’ils sont de la même taille↑ ici ils sont de la
même taille?
E: oui↑
P: ici j’ en ai pris deux/ ici j’ en ai pris un// alors ici j’ai pas de doute/ celleci était facile/ celle-ci j’arrive à décider↑ici je n’arrive pas à décider parce
qu’ils sont différents/ d’accord? Alors je peux pas faire l’exercice? Ou
j’arrive à le faire?
E: oui↑
P: oui↑ Je peux le faire↑comment je vais arriver à le faire? Bruna↑
E: fractions équivalentes↑
P: les fractions équivalentes↑ justement↑(...)
On remarque dans cet épisode que, différemment des séances précédentes,
l’enseignant est pressé, car il a l’intention de faire une synthèse des deux techniques
qu’il avait enseignées pour accomplir la tâche de comparaison. Le contrôle va avoir lieu
le lendemain celle-ci étant donc sa dernière chance de se faire comprendre.
Deuxième étape: l’explication de la technique mise en oeuvre pour accomplir la
tâche
155
En vue de résoudre la comparaison il reprend ensuite une des techniques pour
trouver des fractions équivalentes. Il avait déjà expliqué la technique de construction
d’une liste de fractions équivalentes, alors il explique la technique du calcul direct du
nouveau dénominateur commun:
(...)
P: je veux comparer ces deux fractions↑ je veux comparer ces deux
fractions↑ je ne sais pas décider laquelle est la plus grande
E: (Emanuela) celle-là
P: on verra↑ bien/ Emanuela↑ peut être↑ si c’est bien celle-là/ très bien↑ (...)
je veux trouver une fraction équivalente à celle-là/ et une autre équivalente à
celle-ci/ je veux trouver deux autres fractions équivalentes// n’importe
lesquelles? Bruna↑
(Bruna est distraite, elle n’a pas entendu la question de l’enseignant)
E (Bruna): pardon/ maître?
P: je peux choisir une fraction équivalente ici? (...) ma question est// je peux
choisir n’importe quelle fraction équivalente ici?
(Felipe pose encore une question sur le numérateur, il veut savoir comment
on va arriver à trouver le numérateur de la nouvelle fraction)
P: en bas↑ en haut on fait cela/ Felipe/ cela ↑ (...) Qu’est-ce que je vais
écrire en bas/ Emanuela? (...) (elle ne répond pas, ils parlent tous au même
temps) (...) un à la fois/ s’il vous plaît↑// si je faisais une liste de fractions
équivalentes ici/ et une liste ici/ et si je cherche le dénominateur pareil/ je la
trouverai// mais cette façon prend beaucoup de temps/ il y a un autre
moyen/ l’autre moyen/ Leonardo↑ l’autre moyen c’est le dénominateur
commun↑ si je fais le dénominateur commun de ces deux-là/ regarde/ le
dénominateur commun entre six et huit (au tableau il prépare le calcul du
dénominateur commun) calculez↑ quel sera le premier que vous connaissez?
On peut prendre les deux ici?
E: oui
P: encore par deux?
E: trois↑
(il continue le calcul, les élèves le suivent)
P: on arrive au 1/ c’est fini// quel est le dénominateur commun?
E (Amado): deux plus...
P: multiplier↑ il faut multiplier↑ deux fois deux quatre fois deux huit/ huit
fois trois? Huit fois trois? (il attend, car les élèves ne répondent pas
immédiatement) / dix-huit/ vingt-et-un/ vingt-quatre↑ (il écrit le 24)
maintenant comment je vais découvrir celui d’en haut? Celui qui est en bas
je sais/ c’est le plus petit commun multiple↑ et celui qui est en haut?
E: (Amado): il faut diviser par 24↑ (Felipe intervient et parle avec
l’intention de déranger Amado)
(...)
Ensuite, à partir d’une question d’une élève qui ne comprend pas le calcul du
dénominateur commun, l’enseignant reprend l’autre technique, celle de la liste de
fractions équivalentes:
156
P: l’autre façon de faire est comme ça/ regarde↑ c’est comme Monique a dit
qu’elle préfère↑ on fait une liste ici/ une liste là/ quand je faisais la liste// (au
tableau, il écrit les deux fractions, l’égalité et ajoute des fractions
équivalentes)/ j’ai multiplié par deux trois quatre/ alors j’ai remarqué/ que
les numéros qui apparaissent en bas/ sont les multiples/on multiplie par
deux↑par trois↑ par quatre↑ vous voyez? C’est la table de multiplication↑
six/ douze/ dix huit/ vingt-quatre/ trente six// ce sont les multiples de six↑
les numéros qui vont apparaître ici en bas sont les multiples de six↑ les
numéros qui vont apparaître en bas sont les multiples de huit↑ huit/ seize/
vingt-quatre (au tableau on a:)
4 = 8 = 12 = 16
6 12 18 24
5 = 10 = 15 = 20
8 16 24 32
E: quatre/ huit/ douze
P: aussi↑ ça va apparaître↑douze est un numéro↑ mais on s’occupe d’abord
du dénominateur↑ parce qu’on arrive à faire la comparaison quand ils sont
pareils/ je vais trouver celui d’en haut par l’autre méthode comme j’avais
fait avant/ c’est pour ça que j’avais fait l’exercice antérieur/ pour que vous
arriviez à trouver le numéro d’en haut//
E: il faut faire quatre un trois//
P: oui/ ça dépend du numéro/ ça dépend du numéro (...)
Troisième étape: exercices d’application
La séance sera bientôt finie. L’enseignant se dépêche de passer un exercice avec
le but de les aider à se préparer pour le contrôle:
P: allez la classe↑ copiez rapidement↑ c’est un exercice pour demain↑ il n’y
aura pas de cours↑ pour s’entraîner↑vite// encore un exercice pour trouver//
un exercice de comparaison// il faut comparer ces deux fractions là// je vais
écrire ici// en haut/ (il écrit au tableau) / il faut décider// laquelle est la plus
grande et laquelle est la plus petite/ ces deux-là// il faut trouver une fraction
équivalente ici/ il faut décider↑ si vous réussissez à faire celui-là/ vous allez
réussir à résoudre celui du contrôle// (...) demain il n’y a pas de cours mais
je vous ai passé l’exercice// ouvrez le cahier/ lisez la leçon///
1.3.
Des mécanismes chronogénétiques
L’aspect le plus important en ce qui concerne l’avancée du savoir dans les
séances observées est le mouvement de va-et-vient autour d’un même concept soutenu
par le discours de l’enseignant, lequel occupe la plupart du temps des séances. Ce
157
discours constitue effectivement le principal mécanisme chronogénétique de l’ensemble
des enseignements observés.
On peut considérer que son discours a un double objectif: expliquer la notion en
jeu et, au même temps, convaincre les élèves, à partir d’un raisonnement logique
souvent assez compliqué. Cela est très clair quand il s’agit, par exemple, du
cheminement qu’il a pris pour expliquer pourquoi on n’arrive pas à comparer les
fractions 3/4 et 5/6 à partir de la considération du rapport entre leurs numérateurs et
dénominateurs:
[séance 1]
P: j’ai divisé en six parts↑ chaque part est plus petite que l’autre/ c’est
évident/ n’est-ce pas? Si je divise en plusieurs parts/ plus on divise/ plus
petites seront les parts/ si je divise en vingt parts/ ce sera comme ça (il
montre un petit morceau avec ses doigts) si je divise en cent/ ce sera comme
ça/ très petit (il montre à nouveau avec ses doigts) plus je divise le même
entier/ plus petit sera le morceau/ alors quelle est ma difficulté/ (...) on
revient// je veux comparer ces deux fractions/ je n’arrive pas/
E: le plus grand est le trois/// le six↑
P: je ne sais pas↑je n’y arrive pas/ parce que les morceaux sont différents/
vous voyez?// regardez la taille de celui ci/ c’est plus grand qu’un de ceuxlà/ un d’ici/ bien sûr↑ ici j’ai divisé en quatre/ ici j’ai divisé en six/ encore↑
plus je divise/ plus petite sera la part (...)
Il est intéressant d’observer aussi l’utilisation que l’enseignant fait du
tableau: il y prend des notes, de façon assez désorganisée, pendant son explication,
et les élèves copient tout le temps. Dans les premières séances, l’enseignant n’écrit
pas de titres, il ne sépare pas les exemples et les exercices, et n’écrit pas les
conclusions importantes. Alors l’usage du tableau, qui pourrait constituer un
mécanisme chronogénétique assez important, n’aide pas à faire avancer le savoir.
Nous pouvons même supposer qu’en fonction de ce genre d’usage du tableau les
élèves n’ont pas un cahier bien organisé qui pourrait les aider dans les études.
En effet, nous pouvons supposer que l’enseignant ne se rend pas compte,
par manque d’expérience, de l’importance du tableau comme un outil pour
organiser le savoir dirigé aux élèves, surtout dans le cas des élèves de sixième
année, qui sont habitués à un genre de présentation du savoir assez bien organisé
par les enseignants des années précédentes. Nous pouvons supposer donc qu’il
croit que les élèves ont assez d’autonomie pour choisir ce qu’il faut copier, et
qu’ils seront capables d’organiser leurs cahiers. D’ailleurs, on suppose aussi qu’il
158
croit que l’explication verbale doit suffire pour que les élèves internalisent les
concepts et sachent résoudre les exercices, ce qui renforce le manque de familiarité
de la part de l’enseignant à l’égard des élèves de sixième année.
On remarque, toutefois, que, lors d’une rencontre entre les deux
enseignants pour le travail de collaboration, l’enseignante S remarque l’usage
qu’elle fait du tableau en sixième année, et son souci d’organiser le savoir pour les
élèves. L’enseignant ne dit rien, mais cet échange a une conséquence immédiate,
qui va marquer un changement dans l’organisation du savoir par l’enseignant D
dans la séance 8, comme le remarque l’élève:
[séance 8]
P: allez↑ on va continuer à faire des opérations/ (il écrit un titre: Opérations
avec des fractions: addition et soustraction) alors on va tout d’abord étudier
l’addition et la soustraction↑ copiez↑ c’est important ça↑ ouvrez vos
cahiers↑ la fraction qu’on avait c’était/ 3 sur 9 et 5 sur 9 (il écrit les
fractions, et entoure avec une craie en couleur les dénominateurs)
3+5=
9 9
E: (Aline) cela fait huit sur 9// l’enseignant a colorié↑(...)
Cette action montre que l’enseignant reconnaît facilement ses limitations, et
qu’il est prêt à changer de comportement, ce qui est en consonance avec son avis sur le
développement professionnel, comme il l’a exprimé à l’entretien préalable.
L’usage du rappel marque aussi ces mécanismes chronogénétiques, car il revient
tout le temps à la même explication sur la notion de rapport. Selon l’enseignant, comme
il exprime dans l’entretien d’autoconfrontation, le rappel est nécessaire, car les élèves
oublient très facilement les choses, surtout quand il s’agit de la séance du lundi.
En plus, comme il ne planifie pas les leçons, et ne prend pas des notes sur les
séances, il ne sait jamais quels étaient les exemples et les exercices travaillés, alors il se
sert du rappel au début de toutes les séances, pour reprendre la séquence de ces
enseignements. Comme il travaille dans toutes les classes de l’école, dans des
différentes années, il n’est pas difficile de supposer qu’il a vraiment du mal à se
souvenir de la séance précédente dans chaque classe.
159
1.4. Des mécanismes topogénétiques
En ce qui concerne des mécanismes topogénétiques, on remarque que
l’enseignant met en place un enjeu assez particulier: dans son discours, il se met à la
place de l’élève avec l’intention de partager le savoir, comme on le remarque par
l’usage du ‘je’ et ‘nous’ dans ces deux extraits:
[séance 1]
P: .... quel a été notre problème? Si je voulais comparer deux fractions qui
ne sont pas/ qui n’ont pas le même dénominateur/ alors ça deviendra
difficile/ le dessin ne va pas m’aider/ vous vous souvenez que j’ai fait ça?
Par exemple/si je veux comparer ici// maintenant↑ (il réfléchi et finalement
choisit les fractions et écrit 3/4 et 5/6 au tableau) // je veux comparer 3/4 et
5/6 / alors la situation est/ je pouvais essayer de faire de la même façon/ j’ai
un entier↓par exemple/ une feuille/ un chocolat/ n’importe quoi/ j’ai pris
l’entier et je l’ai divisé en quatre morceaux/ regardez↑ un deux trois quatre
/(...)
[séance 1]
P: je ne sais pas↑je n’y arrive pas/ parce que les morceaux sont différents/
vous voyez?// regardez la taille de celui-ci/ c’est plus grand qu’un de ceuxlà/ un d’ici/ bien sûr↑ ici je l’ai divisé en quatre/ ici je l’ai divisé en six/
encore↑ plus je divise/ plus petite sera la part/ quelle est ma difficulté? Ma
difficulté est: ces trois morceaux ici/ seront-ils plus grands/ ou pareils/ à ces
cinq morceaux-là? (...)
Malgré la difficulté de l’enseignant à maintenir le silence et l’attention des
élèves pendant son explication, cette façon d’organiser son discours a pour
conséquence de l’approcher des élèves, qui le considèrent comme un collègue.
Toutefois, comme nous remarquons dans l’épisode suivant, extrait de la
séance 1, les élèves savent que cette relation est en fait un jeu de contrat:
P: ce qu’on va voir demain/ aujourd’hui on n’aura pas le temps/ c’est/// c’est
une autre façon de trouver ces fractions/ parce qu’ici/ ça prend beaucoup de
temps/ n’est-ce pas?
E: non↑
P: je fais une liste↓ une autre liste↓ pour chercher/ n’y a-t-il pas un autre
moyen de les trouver// ces fractions-là/ sans faire la liste?
E: je crois que oui
P: est-ce que quelqu’un a une idée? Une idée? Leonardo?
E: non
E: le maître le sait↑
160
On remarque aussi, parmi les mécanismes topogénétiques, une stratégie dont il
se sert fréquemment: l’appel à la bonne élève de la classe, Bruna. Ce mécanisme a deux
buts: d’une part, cela sert à attester qu’il ne s’agit pas d’un savoir trop difficile, car il y
a quelqu’un parmi les élèves qui sait tout répondre et qui a bien compris.
D’autre part, il appelle la bonne élève aussi dans les moments de rappel, de
façon à attester que, si quelqu’un sait répondre correctement, il s’agit sûrement d’un
savoir déjà étudié, donc tous les autres devraient s’en souvenir.
L’épisode suivant exemplifie bien ces deux stratégies:
[séance 4]
P: ici je n’arrive pas à décider parce qu’elles sont différentes (il s’agit de
deux fractions de dénominateurs différents, il faut les comparer)// d’accord?
Alors je ne peux pas faire l’exercice? Ou je peux?
E: on peut
P: oui// alors je peux le faire↑ comment je vais le faire? Bruna↑
E: par les fractions équivalentes↑
P: fractions équivalentes↑ exactement↑Bruna↑ Felipe↑je vais utiliser les
fractions équivalentes pour résoudre mon problème↑ alors je vais prendre
une fraction équivalente à celle-ci ; maintenant vient ta question/ Felipe↑
Bruna a parlé de fractions équivalentes↑ (Felipe pose plusieurs questions,
l’enseignant lui répond et finalement il revient à toute la classe) Bruna a dit
que je dois utiliser les fractions équivalentes↑ pour quoi faire?
E: (Bruna) il faut faire le ppcm pour ....
P: (interropt l’élève) pour trouver le même résultat↑ le ppcd en bas/ on fait le
ppdc pour trouver en bas...
(...)
1.5. L’épistemologie de l’enseignant
Ces extraits nous permettent déjà de remarquer que son enseignement est basé
sur des discours d’explication assez longs, dans lesquels on identifie la tendance à
montrer le savoir, comme si le fait d’expliquer un concept ou de le montrer à partir
d’une représentation pourrait suffire pour en assurer la compréhension.
L’extrait suivant, à propos de la notion d’équivalence, exemplifie bien la
tendance à montrer le savoir par l’usage fréquent des verbes ‘montrer’, ‘regarder’ et
‘voir’:
[séance 1]
161
P: vous vous souvenez que je vous avais fait un dessin/ je vous avais montré
avec une feuille↑ regardez↑j’ai un entier/ je le divise en deux morceaux/ (il
montre la feuille) il y a une feuille ici/ je l’ai divisée en deux morceaux/ au
milieu/ j’avais fait ce dessin/ j’ai pris la même feuille et je l’ai divisée
maintenant en quatre morceaux/ regardez les 4 morceaux ici/ la même
feuille/ vous vous souvenez?(il dit “la même feuille” mas en fait il en montre
deux, l’une pliée au milieu, et l’autre en quatre)
A: l’autre est plus grande parce que la feuille est plus grande
P: non!/ regardez/ dans cette feuille j’ en ai pris deux/ remarque/ Ademir↑ces
deux morceaux que j’ai pris/ ces deux morceaux/ si je réunis ces deux-là/
cela résulte// cela est un morceau/ regardez la moitié ici/ vous voyez la
moitié ici? (il tient les feuilles sur le tableau pour leur montrer les feuilles, il
y a beaucoup de bruit dans la salle) cinq minutes↑ je vais vous passer des
exercices/ tout de suite/ s’il vous plaît/ attendez un peu/// j’ai divisé en deux
morceaux et j’ai pris un (il interrompt à nouveau son discours, car les élèves
parlent tous au même temps, l’enseignant attend pour reprendre)
P: regardez/ ce morceau et ces deux-là/ quand je les réunis/ cela donne
exactement celui-là/ c’est-à-dire/ il sont...? Équivalents! C’est la même chose
si je vous dis/ donnez-moi un seul morceau/ donnez-moi une moitié ou deux
quarts/ je vais recevoir quelle quantité? la même quantité↑
A: mais l’autre est plus petit↑
P: non/ chaque morceau ici est plus petit/ mais ces deux morceaux ensemble
sont pareils à ceux là/ vous vous en souvenez? (il montre encore une fois les
deux feuilles) ces deux morceaux ici/ ensemble/ c’est égal à un morceau/// ils
équivalent/ ils représentent la même quantité (...)
Comme nous avons souligné à l’analyse sur l’enjeu du savoir, la notion de
rapport concerne une opération mentale assez complexe, qui doit être établie par le
sujet. La tendance à montrer le savoir concerne une épistémologie empiriste, qui
fonctionne à la base d’un contrat global que Brousseau a nommé un contrat
d’apprentissage empiriste , dans le contexte des contrats fortement didactiques, où « le
professeur montre un objet et l’élève est supposé y voir les notions, les concepts, les
propriétés, etc. » , avec l’idée que « c’est la répétition des contacts directs avec le milieu
qui enseigne ». (Brousseau,1997, p.52). L ’auteur ajoute que ce genre de contrat peut
conduire souvent à des stratégies didactiques d’ostention.
Nous remarquons encore qu’il s’agit d’une épistémologie spontanée, dont
l’enseignant ne se rend pas compte, et n’arrive pas à la justifier. Cet aspect met en
évidence le phénomène du décalage de compréhension, très présent dans ce cas. Nous
avançons l’hypothèse que le décalage est dû, d’une part, à un rapport académique aux
connaissances mathématiques, qui est évident dans son genre de discours, très proche
du raisonnement théorique et logique qui caractérise le traitement des mathématiques à
162
l’université. L’enseignant n’arrive pas à reconnaître qu’il faut adapter l’explication. Son
discours d’explication, conceptuel et abstrait, très éloignée des besoins des élèves, met
en évidence le manque d’adaptation de son action à la situation et, dans ce cas, encore
plus par rapport aux élèves de sixième année, comme l’analyse de l’usage du tableau le
montre bien.
2. Analyse didactique détaillée
Comme dans le cas précédent, nous considérons les aspects évoqués dans
l’analyse générale et nous détaillons le déroulement des tâches selon l’organisation du
temps didactique et des interactions établies entre l’enseignant et les élèves dans des
situations spécifiques.
Concernant l’étude des régulations didactiques, il est important d’observer que
les séances se déroulent, comme nous avons signalé dans l’analyse générale, dans le
cadre d’un contrat global d’apprentissage empiriste, qui fonctionne dans un contrat
fortement didactique. Son enseignement est centré sur l’apprentissage du concept,
surtout le concept de fraction et d’équivalence.
Pour étudier les régulations didactiques, nous allons considérer:

Des situations où l’on identifie des difficultés qui portent sur plusieurs
aspects de la routine;

Des situations qui nous permettent de préciser, au détail, la dynamique
des mécanismes chrono et topogénétiques.
Afin d’analyser plus profondément chacun de ces facteurs, nous allons les
exemplifier dans quelques épisodes significatifs, parmi la première partie de ces
enseignements. Comme dans le cas précédent, il s’agit des séances sur le concept en jeu,
où nous trouvons plus d’indices sur des rapports à l’enseigner. Dans ces séances, de la
séance 1 à la séance 5, la tâche principale est la comparaison.
On sait déjà que cette tâche choisie par l’enseignant comme point de départ pour
l’étude de fractions équivalentes n’est pas essentielle à la compréhension de cette
notion, qui est le vrai objet de savoir de l’enseignant. Néanmoins, l’enseignement a
choisi ce cheminement, car il considère, comme il affirme à l’entretien
d’autoconfrontation, que cette tâche peut servir comme une situation qui va permettre,
163
plus tard, de justifier le besoin de trouver des fractions équivalentes lorsqu’il s’agira
d’additionner deux fractions dont les dénominateurs sont différents.
En fonction de cette double approche, soit, la comparaison qui exige la
compréhension de l’équivalence, et l’équivalence qui est exemplifiée par la
comparaison, on a l’impression que l’avancée du savoir se fait dans un mouvement
circulaire.
Les situations où l’on identifie des régulations autour des difficultés concernent:

des difficultés inhérentes au concept d’équivalence dans l’aspect rapport
sur des figures

des difficultés concernant les arguments de l’enseignant pour expliquer
le concept ou la tâche

des difficultés concernant l’organisation des exercices

des difficultés concernant les techniques opératoires
2.1. Des difficultés conceptuelles autour de la notion de rapport
À propos des difficultés conceptuelles, c’est à la première séance que l’on
distingue une difficulté autour de la notion de rapport. L’enseignant avait exemplifié la
notion de fraction à partir du rapport entre les parts d’une figure, et ensuite il avait
introduit la comparaison entre deux fractions de même dénominateur. C’est ce qu’il
reprend à la séance 1.
[séance 1]
(Il s’agit de la comparaison entre 2/5 et 3/5)
P: ... bien/ alors pour moi ici c’est facile/ de comparer les deux/ pourquoi? Parce
que les dénominateurs sont égaux/ ce morceau est égal à l’autre/ n’est-ce pas?
C’est correct?
E: oui!
P: si ici/ j’ai divisé en cinq parts et j’en prends deux/ ici j’ai divisé en cinq et
j’en ai pris trois/ ou est-ce que j’en ai pris de plus? Ou est-ce qu’il y a une
plus grande quantité?
E: trois
P: dans ce cas↑ alors quand les dénominateurs sont égaux/ en réalité/ il suffit
d’observer qui?
E: le plus grand!
P: le numérateur! Celui qui a le plus grand numérateur/ d’accord?/ celui
qui a le plus grand numérateur sera la plus grande fraction/ parce que les
164
dénominateurs sont égaux// j’ai divisé par la même quantité de parts/ j’ai
pris trois et j’ai pris deux/ trois est plus grand que deux/ donc 3/5 est plus
grand que 2/5/ cela vous avez fait/ nous avons vu ça/ cela c’est facile à faire/
ok?
L’enseignant a rapidement corrigé l’élève, comme s’il reconnaissait qu’il y avait
un danger dans cette réponse. L’épisode d’autocronfrontation est le suivant:
Ent: ... l’élève dit que c’est le plus grand, mais cette réponse n’est pas bonne,
n’est-ce pas?
P: oui, je crois qu’il veut dire «le numérateur», parce que celui d’en bas est
égal, alors ça doit être celui d’en haut... ou bien il ne s’est pas souvenu du
mot...
Ent: ou bien il pense que plus grand est le nombre plus grand, il compare
seulement le nombre, parce qu’il regarde comment tu réagis...
(nous lisons la transcription)
P: je mets très en évidence la question du dénominateur, n’est-ce pas?
Ent: pourquoi donc? y a-t-il une erreur? pourquoi est-ce que tu fais cela?
(s’il ne s’agit pas d’une erreur mais d’un oubli...)
P: oui (reconnaît-il), parce que bientôt on va changer le dénominateur, et ils
vont comparer le plus grand nombre... alors j’essaye de minimiser le
malaise, mais peut être que ça n’aide pas....
On remarque dans son discours une contradiction: l’enseignant affirme que
l’élève s’est simplement trompé ou qu’il a oublié le mot correct, numérateur. Cependant
il réagit à la réponse de l’élève en la corrigeant rapidement et ensuite il en répète la
justification. Il a du mal à reconnaître que la réponse de l’élève peut être porteuse d’une
difficulté conceptuelle sur le rapport part/entier. Par contre, l’enseignant sait que les
élèves ne comprennent pas tout à fait la comparaison simple, car il affirme que cela
deviendra encore plus difficile quand il s’agira de dénominateurs différents. Comme il
ne sait pas exactement de quelle difficulté il s’agit, il n’a pas des moyens pour faire ce
qu’il désire, c’est à dire, « minimiser le malaise ». En fait, il le dit « mais peut être que
ça n’aide pas ».
L’échange suivant entre l’enseignant et les élèves montre encore une fois la
difficulté qu’ils ont à comprendre le rapport entre l’entier et les parts d’une figure.
L’enseignant prend une feuille pliée pour essayer de leur montrer le rapport:
[séance 1]
165
P: vous vous souvenez que je vous avais fait un dessin//je vous avais montré
avec une feuille↑ regardez↑j’ai un entier/ je l’ai divisé en deux morceaux/ (il
montre la feuille) il y a une feuille ici/ je l’ai divisée en deux morceaux/ au
milieu/ j’avais fait ce dessin/ j’ai pris la même feuille et je l’ai divisée
maintenant en quatre morceaux/ regardez les 4 morceaux ici/ la même
feuille/ vous vous souvenez?(il dit “la même feuille” mas en fait il en montre
deux, une pliée au milieu, et l’autre en quatre)
A: l’autre est plus grand parce que la feuille est plus grande
P: non!/ regarde/ dans cette feuille j’en ai pris deux/ remarque/ Ademir↑ces
deux morceaux que j’ai pris/ ces deux morceaux/ si je réunis ces deux là/
cela résulte// cela est un morceau/ regarde la moitié ici/ vous voyez la moitié
ici? (il tient les deux feuilles à la main pour leur montrer, il y a beaucoup de
bruit dans la salle) cinq minutes↑ je vais vous passer des exercices/ tout de
suite/ s’il vous plaît/ attendez un peu/// j’ai divisé en deux morceaux et j’ai
pris un (il interrompt à nouveau son discours, car les élèves parlent tous au
même temps, l’enseignant est obligé d’attendre pour reprendre) (...)
P: regardez/ ce morceau et ces deux-là/ quand je les réunis/ cela donne
exactement celui-là/ c’est-à-dire/ il sont...? Équivalents! C’est la même chose
si je vous dis/ donnez-moi en un seul morceau/ donnez-moi une moitié ou
deux quarts du morceau/ je vais recevoir quelle quantité? La même quantité↑
A: mais l’autre est plus petit↑
P: non/ chaque morceau ici est plus petit/ mais ces deux morceaux ensemble
sont pareils à ceux là/ vous vous en souvenez? (il montre encore une fois les
deux feuilles) ces deux morceaux ici/ ensemble/ c’est égal à un morceau/// ils
équivalent/ ils représentent la même quantité
(il demande la collaboration des élèves, la classe est très agitée)
Nous remarquons que, à partir d’un contrat empiriste, il est difficile de
surmonter la difficulté du concept de rapport soit par des figures dessinées, soit par des
figures représentées à l’aide d’une feuille pliée.
L’épisode suivant illustre encore la difficulté concernant la notion de rapport, et
la tendance à comparer directement les nombres:
[séance 1]
(il s’agit de la comparaison entre 3/4 et 5/6)
P: on revient ici// je veux comparer ces deux fractions/ je n’arrive pas/
E: le plus grand c’est le trois// le six↑
P: je ne sais pas↑je n’y arrive pas/ parce que les morceaux sont différents/
vous voyez?// regardez la taille de celui-ci/ c’est plus grand qu’un de ceuxlà/ un d’ici/ bien sûr↑ ici j’ai divisé en quatre/ ici j’ai divisé en six/ encore↑
plus je le divise/ plus petite sera la part/ quelle est ma difficulté? Voilà ma
difficulté: est-ce que ces trois morceaux ici/ seront plus grands/ ou pareils/ à
ces cinq morceaux-là? (il revient au dessin sur le tableau, où sont
représentés les fractions 3/4 et 5/6)
E: plus grand
E: c’est plus petit
P: La réponse est/ je ne sais pas↑....
166
L’épisode suivant, extrait de la séance 4, où l’enseignant fait une synthèse de
tout ce qui avait été étudié jusqu’au moment, illustre encore la difficulté des élèves
concernant la notion de rapport:
[séance 4]
P: (...)je veux comparer ces deux fractions/ quatre sur six et cinq sur huit (il
écrit les deux fractions au tableau: 4/5 et 5/8) // par exemple/ maintenant je
veux comparer/ c’est un autre exercice↑ alors↑voyons quelle est le rapport/
on va comprendre l’exercice↑
E: comment on va savoir quelle en est la plus grande?
P: je ne sais pas/ tu le sais?
E: le cinq et le huit↑
P: pourquoi? Pourquoi penses-tu que c’est celle-là?
E: parce qu’un numéro est plus grand que l’autre↑
P: peut-être. Parce que cinq est plus grand que le quatre?
E: oui↑
P: non↑ Emanuela↑ ici cela signifie que j’ai pris l’entier/ je l’ai divisé en six
morceaux/ et j’en ai pris quatre/ ici ça signifie que j’ai pris le même entier/
je l’ai divisé en huit morceaux/ pas six/ en huit↑alors chaque petit morceau
ici est plus petit que l’autre/ chaque petit morceau ici/ est plus petit/ parce
que je les ai divisés en plus de morceaux/ correct? Plus je divise/ plus petit
sera le morceau
E: mais ici c’est plus grand
P: mais ici j’en ai pris 4 et là j’en ai pris cinq↑ alors je ne sais pas↑
On remarque que la difficulté de compréhension de la notion de rapport est très
évidente, même après plusieurs séances d’explication. En fait, cette difficulté avait été
identifiée lors de l’analyse a priori: le fait selon lequel les nombres naturels font
obstacle à la compréhension des fractions, où les deux composantes, numérateur et
dénominateur, acquièrent une valeur relative.
La tendance à comparer directement les nombres est également évidente au
contrôle (annexe 7) réalisé par l’enseignant à la cinquième séance. La question
concernant la comparaison a eu 50% de réussite, mais aucun élève n’a justifié sa
réponse, même si l’enseignant leur a demandé de le faire. Il s’agit de l’énoncé suivant:
Debora dépense 2/5 de son salaire pour payer le loyer et 1/4 pour payer
l’électricité. Avec quoi dépense-t-elle le plus, avec le loyer ou l’électricité?
Ensuite, à la séance de correction, l’enseignant a demandé à quelques élèves de
justifier leur réponse, puisque personne n’avait écrit la justification. Mais aucun élève
167
n’est arrivé à justifier sa réponse, même quand l’enseignant les pousse à y réfléchir,
comme exemplifie l’extrait suivant, d’un élève qui a choisi la fraction 2/5:
P: et là, pourquoi est-ce que tu as écrit cette fraction? Quelle était ton idée?
Où sont les calculs? Pourquoi penses-tu que celle-ci est plus grande que
l’autre?
E: parce que les numéros (et il montre les numérateurs) ....
P: je divise en cinq/ et j’en prends deux/ je divise en quatre/ et j’en prends
un/ comment sais-tu que cet ‘un morceau’ est plus petit que l’autre?
E: (ne dit rien)
P: il n’y a pas de calcul? Comment as-tu comparé les deux fractions?
E: (...)
P: non/ ce n’est pas correct/ je vais corriger et tu verras↑
Ces nombreux exemples nous permettent de conclure que les élèves n’ont
toujours pas vraiment compris la notion en jeu, même à la fin de la première partie des
séances. D’ailleurs, des aspects directement associés à l’usage des figures jouent un rôle
assez important dans l’ensemble des difficultés concernant les séances observées,
comme nous analysons ensuite.
2.2. Des difficultés dérivées de l’approche rapport sur des figures
Comme nous l’avons déjà signalé à l’analyse a priori des choix des approches,
les figures (dessinées au tableau; celles du manuel, ou bien les figures issues du pliage
d’une feuille), ajoutent des difficultés à la notion de rapport, déjà assez complexe.
En effet, les séances observées portent sur des problèmes de conversion de
registres, établis par l’enjeu entre le registre figuratif, le registre fractionnaire et le
registre en langue naturelle, c’est-à-dire, le discours de l’enseignant. En plus, dans la
tâche de comparaison, cet enjeu devient un vrai obstacle didactique. Observons donc
l’exemple de la séance 1:
[séance 1]
P: .... quel a été notre problème? Si je voulais comparer deux fractions qui
ne sont pas/ qui n’ont pas le même dénominateur/ alors ça deviendra
difficile/ le dessin ne va pas m’aider/ vous vous souvenez que j’ai fait ça?
Par exemple/si je veux comparer ici// maintenant↑ (il réfléchit et finit par
choisrt les fractionst 3/4 et 5/6 qu’il écrit au tableau) // je veux comparer
3/4 et 5/6 / alors la situation est// je pouvais essayer de faire de la même
168
façon/ j’ai un entier↓par exemple/ une feuille/ un chocolat/ n’importe quoi/
j’ai pris l’entier et je l’ai divisé en quatre morceaux/ regardez↑ un deux trois
quatre /(il dessine un rectangle et le divise en quatre parts, la dernière part
est plus grande que les autres)
E: ce n’est pas pareil
P: vous voyez que le dessin n’est pas très bon? Ce n’est pas pareil↑
vraiment↑ comme je n’ai pas de règle/ ce morceau là est plus grand/ n’est-ce
pas? (il essaye de corriger le dessin, il efface et partage à nouveau le
rectangle, plusieurs élèves parlent au même temps, disent que ce n’est
toujours pas pareil)
P: à peu près/ n’est-ce pas?/ à peu près...
Cet épisode est intéressant parce que l’enseignant ne s’attendait pas à ça, il avait
l’intention d’illustrer le rapport entre les fractions à l’aide des figures, sans se rendre
compte qu’il tomberait dans un piège imprévu.
Interrogé à propos du problème concernant la figure, il retombe dans une
contradiction: le problème avec la figure consiste, d’abord, dans le fait que l’on n’arrive
pas à représenter correctement l’égalité des parts, et encore moins à comparer des parts
différentes.
Comme nous l’avons vu, un élève identifie ce problème et l’indique à
l’enseignant. L’enseignant reconnaît le problème, mais essaye tout de même de refaire
la figure pour que la représentation soit plus correcte. Interrogé à propos du sens de cet
épisode, il affirme:
Ent: tu dis, «le dessin n’ira pas m’aider»..et pourtant, tu te sers toujours du
dessin...
P: ....(il réfléchit) oui, mais je l’ai fait pour qu’ils voient que ça ne va pas
m’aider....
Ent: (ne croyant pas à cette argumentation, car l’enseignant a corrigé le
dessin pour qu’il soit plus correct, on insiste sur la question) c’est vraiment
ton intention? de montrer que cela devient difficile avec le dessin?
P: oui
Si celle-là avait été sa vraie intention, c’est-à-dire, de montrer que le problème
ne pouvait pas être résolu à l’aide des figures, il aurait fait le dessin d’un rectangle audessous de l’autre, pour essayer vraiment de comparer les parts. Mais cela n’a pas été le
cas. Il dessine un rectangle loin de l’autre, et pas du tout pareil, montrant clairement que
le dessin n’est pas fiable pour la comparaison. Mais il n’est pas fiable non plus comme
représentation d’une seule fraction, car on n’arrive pas à dessiner les parts tout à fait
169
pareilles. L’épisode qui suit est très intéressant car l’élève va lui poser à nouveau la
question du dessin en exposant le malentendu:
[séance 1]
(il s’agit toujours de la comparaison entre 3/4 et 5/6)
P:... j’ai pris combien ici?
E: trois!
P: alors j’ai pris le même entier/ de la même taille/ (il dessine un autre
rectangle, loin du premier, et essaye de le diviser comme l’autre)
E: divisé en cinq!
P: divisé en?
E: six!
P: six/ un deux trois quatre cinq/ six/ et maintenant j’ai pris?
E: cinq!
P: cinq parts/ (il compte les parts) même si j’avais mis les deux/ l’un
dessous l’autre/ comme on faisait avant/ ce serait difficile de dire où j’en ai
plus et ou j’en ai moins/ pourquoi est-ce que ce serait difficile?
E: parce que le dessin... (l’élève essaye d’expliquer)
P: oui (l’élève l’ interrompt )/ malgré le fait que mon dessin ne soit pas
parfait/ les tailles/ je sais qu’elles ne sont pas pareilles// j’ai un morceau de
papier ici/ si je le divise en quatre parts/ je l’ai divisé au milieu/ si je le
divise en quatre/ je l’ai divisée en deux/ deux/ divisé en quatre/ chaque
morceau est comme ça (il divise la feuille en la pliant et montre les parts)/
j’avais un entier/ je l’ai divisé en quatre/ chaque morceau était comme ça/ si
je prends le même entier/ et le divise en six parts/ chaque part sera de quelle
taille? Ça sera plus petit/ sera plus petit/ correct? Je vais prendre une autre
feuille/ je vais la diviser en six (il essaye de diviser la feuille en la pliant)/
regarde/ je l’ai divisée en six↑
(il interrompt l’explication pour parler à quelques élèves ; il demande du
silence et reprend)
P: je l’ai divisé en six parts↑ chaque part est plus petite que l’autre/ c’est
évident/ n’est-ce pas? Si je le divise en plusieurs parts/ plus je le divise/ plus
petites seront les parts/ si je le divise en vingt parts/ ça sera comme ça (il
montre un petit morceau avec ses doigts) si je le divise en cent/ce sera
comme ça/ très petit (montre à nouveau avec ces doigts) plus je divise le
même entier/ plus petit sera le morceau/ alors quelle est ma difficulté/ ici?
Ademir↑ si c’était un seul morceau/ si c’était un seul/ celui-ci (...)
Nous remarquons encore, à propos de l’imprécision des figures, que, lorsque
l’enseignant reconnaît que le dessin n’est pas parfait, il le justifie « car je n’ai pas de
règle ». À la séance 2, une élève prend cette remarque au sérieux, elle se lève, avec
l’intention de l’aider à résoudre ce problème, et lui apporte une règle. L’enseignant ne
la prend même pas à la main, il ne fait aucun commentaire et continue son explication.
Comme il devient claire pour l’enseignant, au long des deux premières séances,
qu’il a fait un mauvais choix didactique, il va essayer de remplacer la comparaison à
170
partir de la figure par un raisonnement logique sur les parts. Il évoque alors un principe
logique (plus je divise un même entier, plus petites seront les parts) qui est, pour lui,
très évident, ce qui n’est pas le cas pour les élèves. Il paraît assez difficile pour les
élèves d’arriver à cette généralisation sur les rapports.
Il est important de souligner aussi que son argumentation sur l’impossibilité de
comparer à partir de la figure n’est pas tout à fait correcte, car on pourrait arriver, par
mesurage, à comparer effectivement les parts. L’impossibilité est due à l’usage de
figures dessinées sans mesures, et non au fait qu’on utilise des figures pour représenter
les fractions. Toutefois, l’enseignant n’a pas l’intention de considérer l’aspect mesure
d’une fraction, alors il va essayer de détourner l’attention sur cette question de façon à
essayer d’exprimer autrement l’équivalence. Il se sert de l’impossibilité de dessiner
correctement pour justifier le besoin de faire la comparaison par le calcul, à l’aide de la
notion d’équivalence. Il s’agit en effet d’un glissement métadidactique (Brousseau,
1986), car l’enseignant va déguiser la vraie difficulté, qui est due au fait qu’on n’arrive
pas à comparer sans prendre en compte les mesurer des figures, et va s’en servir de
façon à justifier le besoin du calcul.
2.3. Les figures du manuel
Comme nous avons vu, les figures dessinées au tableau posent des problèmes
pour la tâche de comparaison, et le fait de montrer une feuille pliée n’a pas vraiment
aidé. Alors l’enseignant va se servir, à la séance 2, des figures qui sont dans le manuel.
Il s’agit du chapitre sur la comparaison entre fractions, où il y a des cercles colorés,
divisés en plusieurs parts, qui représentent des fractions équivalentes.
L’enseignant a l’intention de renforcer son raisonnement de la séance dernière: à
partir de la comparaison simple, on arrive à l’impossibilité de comparer des fractions de
dénominateurs différents en se servant de la figure. Mais à présent il aura l’appui des
figures bien dessinées.
L’enseignant a conclut aussi, à partir de son expérience de la première séance,
qu’il faudrait, pour rendre plus facile la compréhension, considérer une étape
intermédiaire dans le raisonnement à propos de la comparaison: il faut d’abord
comprendre la relation part/tout à partir de la comparaison d’une seule part, dans le cas
171
de même numérateur («plus je divise, plus petites sont les parts»), pour ensuite
généraliser cette relation dans le cas de plusieurs parts considérées.
Comme nous le verrons les élèves ont du mal à établir le rapport entre les parts
pour en faire la comparaison même à partir des figures divisées correctement.
[séance 2]
(l’enseignant tient un manuel à la main et les élèves regardent leur
manuels)
P: alors on va observer cette figure// je peux faire la division de l’entier le
nombre de parts je veux/ et /c’est sur ↑ à chaque fois que je divise/ plus je
divise l’entier// par exemple/ j’ai cet entier/ je l’ai divisé en deux parts/ c’est
la figure jaune que vous voyez/ d’accord? Vous vous souvenez? Le
dénominateur représente le nombre de parts de la division// alors le
dénominateur est deux ↑j’ai divisé en deux parts/ si j’avais sélectionnée une
seule part/ cette part unique serait le numérateur// chaque part ici c’est un
demi/ c’est pour cela qu’il écrit ici/ dans la figure// ici c’est un demi/ la
moitié/ ici c’est l’autre moitié/ vous regardez dans le livre/ après il continue
à diviser (...) alors/ c’est sûr↑ plus je divise l’entier/ plus petites seront///
chaque part/ j’avais un entier/ j’ai le même entier/ n’est-ce pas? (il montre
effectivement deux cercles, mais il veut dire qu’il a le même l’entier, car il
s’agit en fait de deux figures pareilles, de même aire) d’accord? de même
taille/ comme si j’avais mangé deux pizzas/ dont l’une avait été divisée à la
moitié/ regardez la taille du morceau ici/ l’autre/ j’ai divisé en quatre
morceaux/ j’avais un entier/ je l’ai divisé maintenant en quatre morceaux/
regardez la taille de ce morceau ici↑ regardez la taille de ce morceau là↑
d’un morceau/ c’est plus petit que l’autre/ correct? Alors on s’aperçoit que//
plus on divise/ chaque morceau devient...?
E: plus petit↑
P: plus petit↑ alors les morceaux sont?
E: plus petits↑
P: ils sont plus petits↑ différents↑ d’accord? Cette taille/ est différente
d’une petite taille là/ qui est différente de celle qui a été divisée en cinq
parts/ qui est différente du six/ du dix/ alors plus je divise/ plus petit est le
morceau/ d’accord?
E: d’accord ↑
E: d’accord ↑
P: la première chose qu’il va comparer ici/ en bas/ les fractions qu’il montre/
c’est justement ça/ la comparaison entre chaque petit morceau/ c’est ce qui
est facile/ n’est-ce pas? Il voulait savoir// si j’ai un entier// j’ai divisé à la
moitié/ j’ai ce morceau// j’ai pris le même entier/ et je l’aidivisé en quatre
quarts/ j’ai ce morceau-là/ ce morceau est plus petit que l’autre alors/ alors si
je voulais comparer les fractions avec un petit morceau’/ ça ne serait pas si
difficile// il suffit de regarder/ si j’ai divisé en peu de morceaux/ chaque
morceau est plus grand// si je divise en plusieurs morceaux/
évidemment↑c’est plus petit/ plus je le divise/ plus petit est le morceau//
172
L’enseignant suppose toujours que le fait de regarder la figure va assurer la
compréhension du concept. Lors de l’entretien d’autoconfrontation sur cet épisode
l’enseignant commence à se douter du rapport entre l’observation et la compréhension:
Ent: tu es en train de leur démontrer que plus on divise...
P: oui
Ent: et ils observent les figures...
P: oui, je suis revenu sur ce morceau-là, j’ai mis cela au milieu de cette
comparaison, j’ai séparé une part, je focalise la part
Ent: oui, et ton raisonnement devient compliqué, difficile à suivre, plus on
divise, moins,...
P: oui, mais dans ce cas ils ont la figure, ils regardent le dessin...
Ent: oui, mais tu vois qu’il y a une difficulté quand même
P: oui, maintenant que je lis, cette difficulté.. . je ne m’étais pas rendu
compte, j’ai... plus au moins montré, je pensais qu’ils allaient s’en
apercevoir en regardant la figure, mais c’est vrai que ... je n’ai pas beaucoup
travaillé cela...
L’enseignant se rend compte de l’écart entre voir et comprendre: comme les
figures sur le tableau posaient des problèmes, il croyait qu’il suffirait de leur montrer le
rapport sur des figures bien dessinés pour assurer la compréhension de la notion de
rapport. On remarque, toutefois, que, même si l’enseignant insiste sur le même
raisonnement, il y a très peu d’élèves qui le comprennent. C’est le cas de Bruna, qui est
impatiente, car elle a déjà compris le raisonnement de l’enseignant sur la comparaison,
et aussi la technique pour trouver la nouvelle fraction. Alors elle veut que l’enseignant
avance, mais il croit que ce n’est pas encore le moment:
P: quelle était ma difficulté? Quand les dénominateurs étaient différents/
vous vous souvenez? Je prenais pas un petit morceau de chaque/ j’en
prenais// à différentes tailles/ j’ai tout divisé en quatre et j’en ai pris trois/
j’ai fait la division en cinq parts et j’en ai pris deux/ alors là commençait ma
difficulté/ parce qu’un morceau/ on arrivait à comparer/ n’est-ce pas?
E:(Bruna) maître↑
P: oui?
E: il faut faire les fractions équivalentes jusqu’à ce qu’on trouve le
dénominateur pareil/ n’est-ce pas?
P: oui/ c’est ce qu’on va voir↑ c’est ce qu’on va remarquer↑ parce que
quand le dénominateur est différent/ si je veux comparer un seul morceau/
cela n’est pas difficile/ un morceau ici avec un morceau là/ je sais lequel est
le plus grand/ celui-ci/ n’est-ce pas? un morceau// la difficulté commence/
quand on prend plus d’un morceau/ deux/ trois morceaux/ quatre/cinq/ alors
ça commence à devenir difficile de décider/ qui est le plus grand et le plus
173
petit// si on regarde la figure// alors on commence à l’aborder // la question
des fractions équivalentes/
Ensuite l’enseignant va montrer sur le manuel plusieurs cercles qui représentent
les mêmes fractions équivalentes:
P: (...) regardez le haut de la page il y a une pizza/ il y a des ronds/ regardez
en haut/ (en haut de la page, il y a plusieurs ronds, tous de même aire,
colorés différemment selon le nombre de sous divisions) il a pris le premier/
il l’a divisé à la moitié/ voyez? Il a pris le jaune/ il l’a divisé en deux et a
pris un morceau/ un sur deux// l’autre// il a divisé en quatre/ il a pris deux
morceaux/ alors il a deux quarts/ l’autre il a divisé en six/ il a pris trois/
l’autre il a divisé en huit/ il a pris quatre/ et ensuite// alors/ il est en train de
diviser l’entier en différentes parts/ mais/ pour compenser/ il prend des
quantités différentes aussi// regardez/ d’abord il a pris un morceau// après il
en a pris deux// après trois/ quatre/ cinq/// si on regarde la figure/ qu’est-ce
que vous remarquez? Finalement/ est-ce qu’il y a une différence/ de la
première à la dernière? Du jaune au gris/ dans la quantité totale qu’il a
pris?
E: oui↑
P: la quantité totale?
E: il a divisé en plus de morceaux et il en a pris plus
On essaye de comprendre ce qui se passe dans cet épisode. C’est la première
fois que l’enseignant va mettre en question l’approche basée sur l’observation de la
figure:
Ent: l’élève répond «oui»...
P: peut être qu’il pense toujours au petit morceau
Ent: mais même si tu leur montres la figure, s’ils regardent sur la figure?
P: oui, d’abord ils regardent la figure, mais après.... ça fonctionne, en
regardant seulement la figure?
Ent: c’est une difficulté à laquelle tu es confronté, tu crois qu’il seront
convaincus à partir de l’observation, comme si l’observation rendait, par elle
même, les gens capables de comprendre cette abstraction...
P: (hésitant) peut être qu’on n’arrive pas à faire comprendre le concept, mais
ils peuvent se convaincre...
Il répète encore une fois l’explication sur les fractions équivalentes représentées
par des ronds, et ensuite il va institutionnaliser la notion d’équivalence, à l’aide du texte
du manuel:
P: maintenant est-ce que quelqu’un pourrait nous lire/ page 153↑
174
E: moi ↑(Felipe)
P: tu peux lire/ Felipe↑ ce morceau en jaune/ voyez? On va suivre la lecture
de Felipe↑
E: (lit) «les parts qui représentent la même part de l’entier s’appellent
fractions équivalentes»
P: vous voyez? Ici le livre nous donne une définition que je vous avais déjà
donné avec d’autres mots/ mais finalement c’est ce qu’il dit/ deux ou
plusieurs fractions/ c’est ce qu’il montre dans la figure ici/ page 152↑ en
haut/ il montre cinq fractions qui représentent la même fraction de l’entier/
un demi ou deux quarts/ trois sixièmes/ quatre octaves/ cinq dixièmes/
représentent la même quantité de l’entier/ alors ces fractions sont...?
Équivalentes↑ c’est ce qu’il dit ici à propos des fractions équivalentes//
2.4. La question de la division de la figure
L'utilisation des figures du manuel introduit encore une nouvelle difficulté: la
façon de diviser une figure. Les cercles que l'enseignant montre aux élèves sont divisés
de la façon habituelle, c'est à dire, des rayons qui partent du centre. Il y a un élève qui
ne comprend pas le sens de cette division, et demande si on ne peut pas diviser des
cercles verticalement, comme l’enseignant avait toujours fait avec les rectangles.
Cette remarque de l’élève, assez pertinente, exemplifie l'écart entre les
connaissances des élèves sur les aires des figures, et l’usage du modèle géométrique
pour représenter les fractions, comme avait l’indiqué l’analyse a priori. C'est un épisode
de la séance 2, où un élève, Felipe, pose une question sur la façon de diviser l’entier, ce
qui permet à l’enseignant de se rendre compte du problème géométrique de la division
d'une figure:
P: (...) maintenant je vais diviser en six
E: mais on ne peut pas diviser comme ça? (Felipe montre par un geste la
division à l’horizontale)
P: je pourrais diviser comme ça/ je pourrais diviser comme ça/ je peux
diviser de plusieurs façons/ la façon dont je divise a l’intention de vous
rendre plus facile la visualisation / c’est pour vous montrer que ce morceau
est vraiment égal à l’autre/ à l’autre/ j'aurais pu prendre cet entier/ et au lieu
de le diviser en quatre/ j'aurais pu faire quatre longs morceaux// mais dans
ce cas/ peut être ça ne serait pas aussi// aussi facile de se rendre compte qu’il
s’agit de la même taille/ mais j'aurai pu/ et ce serait de la même taille aussi/
bien sûr↑c'est pareil↑ l’important c'est de remarquer cela↑ regarde/ Felipe↑
ce morceau est égal à l’autre/ qui est égal à l’autre
E: mais cette façon est meilleure?
E: tu as compris? (un autre élève se dirige directement à Felipe)
175
P: il demande de faire la division comme ça (il montre des lignes
horizontales sur le rectangle et justifie aux autres élèves le fait qu’il est en
train d’expliquer seulement à Felipe) je pourrais↑ ici j'ai fait la division en
quatre et j'en ai pris deux/ c'est pareil/ ce morceau est égal à l’autre/ je peux
diviser aussi comme ça↑
E: (Felipe) mais quelle est la meilleure façon de le faire?
P: non↑ il n’y a pas de meilleure façon↑ j'ai préféré comme ça parce que je
crois que c'est plus facile pour vous/ pour voir que c'est pareil↑ mais ça peut
être comme ça↑ c'est correct↑ c'est la même taille↑
(...)
P: (...) ensuite↑ je vais diviser en?
E: six
P: six↑
E (Felipe) (il montre le manuel et pose une question, mais il parle très bas,
seul l’enseignant l’entend)
P: non↑ il faut diviser les morceaux également/ une pizza comme cela/ ça
sera difficile de diviser la pizza et faire de façon à de que ce morceau ici/ qui
est le contour/ soit égal à l’autre/ qui est au milieu/ après cet exemple/ on
verra un exemple dans le manuel/ regarde ici la pizza/ on verra un exemple
dans le manuel où il y a la pizza/ regarde comme il divise la pizza↑
E: et comme ça aussi...
P: oui/ c'est pareil/ comme ça/ ou comme ça/ mais ça sera difficile/ c'est plus
facile comme ça/ normalement c'est comme ça/ comme on divise une pizza↑
E: des demi lunes? des triangles?
P: oui↑ presque des triangles↑ parce que le contour ici est rond (...)
On s’aperçoit que l’enseignant a du mal à lui répondre, il dit que ça peut être
divisé n’importe comment. En fait, il n’a pas l’intention de prolonger cette discussion à
propos des formes de diviser un rond, car cela le détourne de l’avancée du savoir vers
sont but, le calcul du dénominateur commun. Lors de l’entretien il dit, à propos de cet
élève: «parfois je m'aperçois quand il s’agit d’un doute, parfois il pose une question
pour avoir un contact, ce sont des choses banales, je réponds une fois, après je le sais
déjà...»
2.5. Des difficultés concernant l’argumentation de l’enseignant
Nous avons souligné jusqu'à présent des difficultés conceptuelles sur la notion
de rapport associées au modèle des figures et à la tâche de comparaison. Toutefois, il est
important de considérer aussi les aspects associés à la façon comme l'enseignant
organise son explication.
176
Nous remarquons que, même si l'enseignant n'avait pas réfléchit à propos de la
tâche de comparaison, grâce aux interactions avec les élèves, il est poussé à développer
son explication, ce qui nous met en contact avec le processus par lequel il comprend
qu'il y a, effectivement, au moins un cas particulier concernant la comparaison: le cas
des fractions unitaires. Comme il n’a pas le temps d’y réfléchir pendant les séances, il
finit par les mélanger. Cela devient très évident à la séance 4, quand l’enseignant fait
une synthèse de la question concernant la comparaison:
[séance 4]
P: (...)je veux comparer ces deux fractions/ quatre sur six et cinq sur huit (il
écrit les deux fractions au tableau: 4/5 et 5/8) // par exemple/ maintenant je
veux comparer/ c'est un autre exercice↑ alors↑voyons quelle est le rapport/
on va comprendre l’exercice↑
E: on doit le faire?
P: non/ je vais le faire↑
E: comment on va savoir quelle est la plus grande?
P: je ne sais pas/ tu le sais?
E: cinq sur huit↑
P: pourquoi? Pourquoi penses-tu que c'est celle-là?
E: parce qu’un numéro est plus grand que l’autre↑
P: qui le sait? Parce que cinq est plus grand que quatre?
E: oui↑
P: non↑ Emanuela↑ ici cela signifie que j'ai pris l’entier/ je l'ai divisé en
quatre morceaux/ et j'en ai pris quatre/ ici ça signifie que j'ai pris le même
entier/ je l'ai divisé en huit morceaux/ pas en six/ en huit↑alors chaque petit
morceau ici est plus petit que l’autre/ chaque petit morceau ici/ est plus petit/
parce que j'ai divisé en plus de morceaux/ ça va? plus je le divise en
morceaux/ plus petit sera le morceau
E: mais ici c'est plus grand
P: mais ici j'ai pris 4 et là j'ai pris cinq↑ alors je ne sais pas↑
Il s'agit toujours de la difficulté concernant la notion de rapport. Pour
contrecarrer la pensée de l’élève l’enseignant renforce son argument explicatif: plus je
divise, plus petite sera chaque part. Toutefois, ce raisonnement est valable pour une part
prise, c'est à dire, quand il s’agit de dénominateurs différents et numérateurs unitaires.
On distingue effectivement trois cas:

même dénominateur/ numérateurs différents (ex: 1/6 et 5/6)

dénominateurs différents/ numérateurs unitaires (ex: 1/6 et 1/8)

dénominateurs différents/ numérateurs différents (ex: 4/6 et 5/8)
177
Le premier est le plus simple, car les parts de deux fractions sont pareilles, alors
la comparaison dépend seulement du nombre de parts prises, indiquées par les
numérateurs. C'est l’argument que l’enseignant a utilisé dans la première séance, quand
il s’agissait de la comparaison simple.
Dans le deuxième cas, la comparaison exige qu’on prenne en compte le
raisonnement de l’enseignant: plus je divise, plus petite sera chacune des parts. Le
troisième cas est le plus général, où il est difficile d’arriver à une conclusion définitive à
partir d’un raisonnement sur le rapport entre les parts: un huitième est plus petit qu’un
sixième, mais on ne peut rien affirmer sur 5 huitièmes et 4 sixièmes.
Curieusement, on remarque qu’à la suite de cet extrait l’enseignant revient à
l’explication sur le premier cas (même dénominateur et numérateurs différents). Alors
l’argument « plus je divise, plus petites sont les parts » ne s’applique pas, car il s’agit de
la comparaison simple. Ce déplacement du raisonnement rend l’explication encore plus
difficile à suivre.
P: allez↑ on va comprendre↑ celui-ci est un autre exercice qui sera présent à
l’évaluation/ Emanuela↑si je veux comparer deux fractions qui ont le même
dénominateur↑ (...) celle-là↑ (il écrit 2/7 et 4/7 au tableau) si je veux
comparer ces deux-là// deux sur sept et quatre sur sept↑ je sais quelle est la
plus grande?
(plusieurs élèves parlent au même temps)
P: laquelle?
E (Felipe): quatre sur sept
P: alors je le sais déjà↑ quatre est plus grand que deux/ j'ai pu faire cela
parce qu’en bas c‘est la même chose/ le dénominateur est le même/ je divise
en plusieurs parts de la même taille↑ le morceau est de la même taille/ ici
j'en ai pris deux/ ici j'en ai pris quatre↑ bien sûr, ici j'en ai pris plus↑ ici je
n’ai pas de doute↑ parce qu’ils sont de la même taille↑ ici ils sont de la
même taille?
E: oui↑
P: ici j'en ai pris deux/ ici j'en ai pris un// alors ici j'ai pas de doute/ celle-ci
était facile/ `a propos de celle-ci j'arrive à décider↑ici je n’arrive pas à
décider parce qu’ils sont différents/ d’accord? Alors je peux pas faire
l’exercice? Ou j'arrive à le faire?
E: oui↑
P: oui↑ Je peux le faire↑comment je vais arriver à le faire? Bruna↑
E: par les fractions équivalentes↑
On observe donc que l’enseignant a effectué une déviation sur les arguments,
due sûrement au fait qu’il ne se rend pas compte des trois cas concernant la
comparaison. Malgré le fait que le cheminement de son raisonnement n’est pas tout à
178
fait cohérent, il arrive à son but, qui est de montrer l’impossibilité de comparer. C'est à
partir de cette conclusion qu’il va justifier le besoin de la fraction équivalente.
L’enseignant se rend compte que les élèves ne comprennent pas bien son
explication. Interrogé à propos de ce qui se passe, il réfléchit et conclut qu’il aurait dû
avoir traité d’abord le cas des fractions unitaires, où son argument sur les parts
fonctionne bien. Voyons ce qu’il dit à propos de la comparaison entre 1/4 et 1/6:
«j'étais en train de faire une chose, et j'ai voulu aussi en montrer une autre ;
j'avais montré que plus je divise plus petit cela devient, mais maintenant j'ai
commencé à introduire la comparaison d’une seule part... j'aurais dû avoir
commencé par la comparaison d’une part... alors ils auraient compris... j'ai
voulu montrer qu’avec une part, c'est facile, mais si c'est plus qu’un...
j'aurais pu avoir fait comme ça, c’est-à-dire, leur expliquer la question de la
part, pour les préparer à la comparaison ».
2.6. Des difficultés concernant l’organisation de l’exercice
Puisque, à la deuxième séance, l’enseignant se rend compte que son discours de
persuasion ne convainc pas facilement, il propose une activité pratique, avec deux
rectangles divisés. Il les avait préparé ; il les distribue. Ce sont deux rectangles, dessinés
l’un à coté de l’autre, divisés en un certain nombre de parts. Comme les deux rectangles
ne sont pas séparés, on peut comprendre qu’il s’agit d’un seul entier, comme nous le
montre l’exemple:
1
2
Les paires de rectangles qu’il distribue à chaque élève représentent des fractions
différentes. Les élèves doivent trouver la fraction équivalente qui correspond à la
première déjà marquée, située à gauche. Dans l’exemple, c'est le 1/2. Les élèves ne
comprennent pas tout de suite l’activité:
[séance 2]
P: (...) j'ai préparé des feuilles// j'ai divisé ici et là/ c’est pareil/ ce morceau
ici est pareil à l’autre (il montre les deux rectangles, l’un à coté de l’autre)
E: une seule figure?
179
P: regarde/ce morceau est pareil à l’autre/ je veux dire/ à l’entier/ le morceau
de papier est petit/ je vais montrer ici sur le tableau/ pour vous faire
visualiser/ j'ai ici/ j'avais/// j'ai laissé l’un à coté de l’autre/ mais c'est comme
si c'étaient deux entiers↑ il sont tout près (...)
E: alors ce sont deux↑
P: oui/ j'aurais pu les séparer/ c'est comme si c'était comme ça/ (il dessine
deux rectangles, séparés, en essayant de les dessiner ayant le même aire)
l’un ici/ l’autre là// regarde/ celui-ci c'est un entier/ celui-là/ un autre/
d’accord? Mais mon dessin// pour économiser/// du crayon (...)
Grâce à cette intervention de l’élève, il se rend compte qu’il a fait un mauvais
choix en laissant les deux rectangles à côté l’un de l’autre. Son argument sur l’économie
de crayon n’est pas convaincante. En fonction de cette difficulté, il sera obligé
d’expliquer plusieurs fois qu’il s’agit en fait de deux rectangles différents. La directrice
entre dans la salle pour vérifier quels élèves sont absents. L’enseignant en profite pour
distribuer les rectangles. Quand elle sort, il reprend.
P: (...) regardez↑ j'ai fait l’autre ici/ celui-là c'est un autre entier/ qu’est-ce
qui va se passer? J'ai divisé différemment/ par exemple/ celui-ci/ je l’ai
divisé à la moitié/ et l’autre j'ai divisé comme ça/ un deux trois quatre parts/
la feuille que vous allez recevoir sera comme ça/ d’un côté j'ai rempli/ d’un
côté j'ai fait/ par exemple// je suis arrivé ici/ j'ai pris celui-là/ j'ai écrit la
fraction/ un sur deux (on va comprendre l’activité/ chacun a reçu sa feuille//
ils sont différents/ d’accord? Vous avez des rectangles différents/ alors/
encore↑on reprend↑ j'ai deux entiers ici/ un à côté de l’autre/ d’accord? D’un
côté j'ai fait la fraction↑(il montre son rectangle)
E: le mien n’est pas pareil↑
P: il n’est pas pareil à quoi? Au mien? Oui↑ je donne seulement un
exemple↑ il est possible qu’un de vos rectangles ne soit pas comme le mien/
mais il sont, pour la plupart différents↑ chacun a gagné un différent de
l’autre↑ regardez↑ alors je l’ai divisé en deux/ je l’ai divisé en deux/ et j'en
ai pris un/ qu’est-ce que je veux que vous fassiez? Je veux que vous fassiez
ceci// de l’autre côté ici/ vous allez faire la fraction qui est équivalente à
celle que je vous ai donnée// c'est-à-dire/ vous devez regarder en combien de
parts je l’ai divisée/ et combien je devrais en prendre pour que ce soit pareil/
ça doit être la même quantité de l’entier(...) (la classe est très agitée, il
changent de place pour s’asseoir à côté d’un collègue, plusieurs élèves se
lèvent et parlent au même temps)
P: alors/ ici↑ deux minutes↑encore↑je vais vous l’expliquer↑ je vous ai
donné un entier/ je l’ai divisé en deux parts/ j'en ai pris une/ alors celui-ci/
cette fraction que j'ai pris correspond à un sur deux/ mais vous avez un
autre entier/ de l’autre côté/ vous voyez? Je l’ai déjà divisé en 'x' parts/ ça
peut être deux/ quatre/ huit/ douze/ je ne sais pas↑ ce qu’il faut faire c'est/ il
faut savoir combien de parts de celui-ci je dois prendre pour qu’il soit
équivalent au premier? (il montre sa feuille)
E: une↑
180
P: est-ce que si je prends une part/ ce sera équivalent?
E: non
P: c'est-à-dire/ une part correspond à la même quantité ici?
E: non
P: alors je veux que vous découvriez combien de parts je dois prendre/ dans
ce cas/ combien dois-je en prendre?
E: deux
P: deux↑ si je prends deux morceaux ici/ ce sera équivalent/ alors vous
marquez sur vos feuilles et vous écrivez la fraction en bas/ on doit marquer
combien il en faut/ je veux que ce soit pareil// (il prend une autre feuille et
la montre) si je marque un/ ce sera pareil?
E: non↑
P: et si je marque deux?
E: non
P: et trois?
E: non↑
P: quatre?
E: non↑
P: non↑alors il y aura une quantité// si je viens ici et je la marque/ il sera
pareil↑ correct? Alors vous devez regarder le votre et vérifier/ je ne sais pas
s’il faut marquer un/ deux/ trois/ vous allez voir/ le dessin/ je veux qu’un
côté soit égal à l’autre/ je veux que les deux côtés représentent la même
quantité (il passe par la classe pour regarder et expliquer. Il répète
plusieurs fois l’explication concernant la fraction: on prends le même
nombre de fois que l’on divise)
Lors de l’entretien, l’enseignant reconnaît que ces difficultés sont dérivées de la
façon comme il a organisé l’exercice. Mais il attribue le problème surtout à une
incapacité des élèves:
Ent : pourquoi est-ce que tu dois expliquer tant de fois?
P: je crois qu’ils ont déjà vu ça dans les autres années, mais on ne travaille
jamais comme ça
Ent: c'est pour ça donc que tu as décidé de faire cette activité?
P: d’une part c’est parce que j'ai vu qu’ils avaient une difficulté quand
j'explique... alors peut être que s’il le font... ils avaient déjà eu l’explication,
le manuel, peut être que s’ils le font...
Ent: mais dans ce cas il faut bien expliquer l’activité parce que...
P: oui, je craignais qu’ils allaient faire comme le mien (il a un exemple ou la
fraction hachurée a déjà été trouvée)
Ent: parce qu’ils imitent?
P: oui
Ent: alors tu répètes parce que tu crois qu’ils ont tendance à t’imiter, ou bien
parce que tu n’a pas l’habitude de travailler comme ça, alors...
P: non, c'est parce que ils sont comme ça, ils ne sont pas capables, cette
activité, n’est pas différente de l’autre, mais ils vont continuer sans le
comprendre, l’année suivante...ils ne sont pas capables...c'est la grande
difficulté qu’ils ont en mathématiques, le concept, la procédure, savoir que
181
cette technique sert à... beaucoup d’exercices, je suis en train d'en faire un,
ils n’arrivent pas à le faire à partir d’un exemple...
Ent: tu veux dire, dans ce cas? Ces élèves?
P: non, tout le monde, tous!
Dans cet extrait, nous mettons en évidence un rapport personnel à l'enseigner,
basé sur une idée pré-conçue qu’a l'enseignant sur l'incapacité des élèves à comprendre
les mathématiques. Nous remarquons, toutefois, qu'il y a de bons élèves dans cette
classe qui comprennent bien les concepts, et qui montrent de l'intérêt pour les
mathématiques, comme c'est le cas de Bruna et de Felipe.
2.7. Des difficultés concernant les techniques opératoires
Pour accomplir la tâche de comparer deux fractions aux dénominateurs
différents, l’enseignant passe à la construction d’une technique basée sur la classe
d’équivalence d’une fraction. Son intention consiste à faire que les élèves construisent
d'abord deux listes différentes de fractions équivalentes à une fraction donnée, pour
choisir, sur les deux listes, les deux fractions ayant le même dénominateur. Ensuite il
suffira de comparer à partir de deux nouvelles fractions équivalentes.
L’épisode suivant montre, au détail, comment l’enseignant a développé cette
technique opératoire:
[séance 1]
(Il s’agit de trouver la liste de fractions équivalentes à 3/4 et à 5/6)
P: je vais faire ces deux-là/ alors /// quelle est la première? (il écrit au
tableau)
A: deux↑
P: et ensuite?
A: 3/ 6/ 9/ 12 (Bruna)
(au tableau on voit: 3/4 = 6/ = 9/ = 12/ = / = )
P: ensuite?
A: maître↑ je ne comprends pas ce que vous êtes en train d’expliquer!
P: j'ai multiplié la première par deux/ l’autre par trois/ selon un ordre/ l’autre
je multiplie par combien? Par 4// encore↑ il faut suivre cette ordre?
A: non! (tous ensemble)
P: je fais dans l’ordre parce que c'est plus facile/ par deux/ par trois/ par
quatre/ regarde/ qu’est-ce qu’il y a en haut? La table de multiplication du 3//
3/ 6/ 9/ 12/ 15/ voyez? Et ça continue// qu’ est-ce qu’ il y aura en bas?
A: vingt/
182
P: 4/ 8/ 12/ 16/ 20/ et ça continue/ ça pourrait être n’importe quel numéro//
n’importe lequel↑
(il interrompt l’ explication pour aller parler à un élève)
(au tableau on voit: 3/4=6/8 =9/12=12/16=15/20=......)
Il fait de même pour la fraction 5/6 et conclut ainsi la construction de la
technique. Comme nous avons signalé lors de l'analyse a priori le problème avec cette
technique consiste `a devoir toujours multiplier la première fraction, successivement,
alors toutes les fractions que l’on obtient sont équivalentes à la première, n’étant
cependant pas équivalentes entre elles, comme on pourrait croire `a travers cette suite
d’égalités.
L’enseignant ne fait pas cette remarque, mais à la séance 3, il y a un épisode où
l’élève expose cette difficulté:
[séance 3]
(il s’agit de la comparaison entre 1/2 et 2/3. L’enseignant est en train de
construire des fractions équivalentes à 2/3. La liste de fractions équivalentes
à 1/2 est déjà au tableau )
E: quatre↑ six↑
P: (il écrit 2/3 = 4/6) encore une↑ par trois↑ deux fois trois six/ trois fois
trois neuf/ et ça continue// je pourrais en trouver plusieurs ici/ autant que je
voudrais/ si je change le numéro/ je trouve d’autres fractions équivalentes
(...)
(au tableau on voit les deux listes)
1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 ...
2/3 = 4/6 = 6/9 = ....
(Une élève ne comprend pas cette construction, et pose une question sur la
fraction 2/4 par rapport à la 2/3 , inaudible)
P: non↑ regarde Manuela↑ je suis là↑ je ne fais plus celle-là↑(il veut dire
qu’il avait terminé les calculs sur la fraction 1/2 et il s’agit maintenant de
2/3) une fois deux deux/ une fois trois trois/ une fois quatre quatre?
E: deux fois un?
P: en bas? oui↑ deux/ regarde↑ en haut j'ai multiplié par deux/ en bas j'ai
multiplié par deux / c'est qu’ ici le deux était en bas/ maintenant le deux est
en haut↑ en bas c'est maintenant le trois↑
E: quatre fois deux/ quatre fois trois
P: oui↑ si je veux continuer↑ ce serait↑ fois quatre/ mais je ne le fais pas/ je
pourrais continuer// c'est correct↑ mais je vais faire seulement ces deux-là↑
(...)
Lors de l’autoconfrontation sur cet 'épisode, l’enseignant l’analyse et affirme:
P: la difficulté c'est que je construis la classe d’équivalence à partir de la
première, alors la troisième, je pars de la première, sinon je perds.....
Ent: c'est celle-là la difficulté de l’élève? Elle veut le faire différemment?
183
P: oui, mais je veux faire apparaître la table de multiplication!
Cette technique présente aussi la difficulté sur le choix de la fraction qui
convient, et encore le fait que le processus peut être assez long. L’épisode suivant,
extrait de la séance 2, exemplifie ces deux aspects. Il s’agit de listes de fractions
équivalentes à 3/4 et à 5/6:
[séance 2]
(...)
P: pareil ↑ parce qu’alors je saurai comparer/ alors ce sera facile/ bien ↑ 3/4
est égale à toutes les autres/ regarde// Felipe/ c'est le même/ écrire 3/4 ou 6
sur 8 ou 9 sur12/ d’accord? Voyons// (Felipe est très attentif, mais semble ne
rien comprendre, alors l’enseignant va lui diriger la parole) les fractions
équivalentes représentent la même quantité/ Felipe/ j'avais un entier/ je l'ai
divisé en six morceaux et j'en ai pris 5/ je peux prendre le même entier/ le
diviser en 12/ et en prendre dix/ ce sera la même quantité/ finalement// ce
sera la même quantité/ Felipe/ regardons maintenant/ ça va ici?
équivalentes/ je veux donc comparer ces deux-là/ d’accord? j'arrive à les
comparer? (personne ne répond)/ j'arrive à comparer les deux? (...) non/
pourquoi? parce que le dénominateur est...?
A: différent
P: différent/ alors je vais chercher dans cette liste deux autres avec le même
dénominateur/ ok?
A: le 12!
P: le 12! le 12 c'est une// il y a le 12 ici et le 12 là// regardez l’avantage↑ 3
sur 4 est égal à quoi? à 9 sur 12/ alors 3/4 est égal à 9/12!
A: mais on peut prendre n’importe qui/ puisque c'est pareil↑
La réponse de l’élève expose une contradiction sur le discours de l’enseignant:
les fractions sont toutes pareilles, mais pas tout à fait, car il ne s’intéresse qu’à une
fraction sur chaque liste. Il corrige tout de suite l’élève pour préciser l’objectif de cette
liste:
P: Non! pas n’importe quoi! Si je prends celui-ci et celui-lá (il montre une
fraction sur chaque une des listes)/ j'arriverais à les comparer? Ces deux-là?
Celle-ci et celle-là?
A: non
P: pourquoi?
A: parce que c'est différent?
P: parce que le dénominateur est différent↑ je peux prendre n’importe
laquelle/ mais ce n’est pas n’importe laquelle qui va m'aider/ il n’y a que
celles qui ont le même dénominateur qui vont m'aider / c'est pour ça que je
les cherche / celle-ci et celle-là (il marque les deux dont le dénominateur est
le 12)
184
A: et si ça prend trop de temps?
P: oui// alors on va apprendre une autre façon/ plus rapide///
L’avantage de cette technique c'est sûrement le fait d’explorer la notion
d’équivalence, au contraire de la technique plus pratique, de calculer directement le
nouveau dénominateur commun. Comme le choix de l’enseignant est d’assurer la
compréhension du concept, il présente d’abord cette technique, plus conceptuelle, et
ensuite l’autre, qui est plus rapide.
À la séance 4, quand l’enseignant reprend tout ce qui a été étudié à propos de la
comparaison, on peut suivre une synthèse de l’explication sur les deux techniques:
[séance 4]
(...)
P: je veux comparer ces deux fractions↑ je veux comparer ces deux
fractions↑ je ne sais pas quelle en est la plus grande
E: (Emanuela) celle-là
P: on verra↑ bien/ Emanuela↑ peut être↑ oui, c'est bien celle-là/ très bien↑
(...) je veux trouver une fraction équivalente à celle-là/ et une autre
équivalente à celle-ci/ je veux trouver deux autres fractions équivalentes//
n’importe lesquelles? Bruna↑
(Bruna est distraite, elle n’a pas entendu la question de l’enseignant)
E (Bruna): pardon/ maître?
P: je peux choisir une fraction équivalente ici? (...) ma question est// je peux
choisir n’importe quelle fraction équivalente ici?
(Felipe pose encore une question sur le numérateur, il veut savoir comment
on va arriver à trouver le numérateur de la nouvelle fraction)
P: en bas↑ en haut on fait cela/ Felipe/ cela↑ (...) Qu’est-ce que je vais écrire
en bas/ Emanuela? (...) (elle ne répond pas, ils parlent tous au même temps)
(...) un à la fois/ s’il vous plaît↑// si je faisais une liste des fractions
équivalentes ici/ et une liste ici/ et si je cherchais le dénominateur pareil / je
le trouverai// mais cette façon prend beaucoup de temps/ il y a un autre
moyen/ l’autre moyen/ Leonardo↑ l’autre moyen c'est le dénominateur
commun↑ si je cherche le dénominateur commun à ces deux-là/ regarde/ le
dénominateur commun entre six et huit (au tableau, il prépare le calcul du
dénominateur commun) calculez↑ quel est le premier que vous connaissez?
On peut prendre le deux ici?
68 2
34
E: oui
P: encore par deux?
E: trois↑
(il continue le calcul, les élèves le suivent)
P: on arrive au 1/ c'est fini// quel est le dénominateur commun?
E (Amado): deux plus...
185
P: multiplier↑ il faut multiplier↑ deux fois deux quatre fois deux huit/ huit
fois trois? Huit fois trois? (il attend, car les élèves ne répondent pas
immédiatement) / dix-huit/ vingt-et-un/ vingt-quatre↑ (il écrit le 24)
maintenant comment je vais découvrir celui d’en haut? Celui qui est en bas
je sais/ c'est le plus petit commun multiple↑ et celui qui est en haut?
E: (Amado): il faut diviser par 24↑ (Felipe intervient et parle avec
l’intention de déranger Amado)
P: Felipe↑ silence↑ quand tu poses une question/ je te réponds/ il a une
question/ il faut respecter le copain↑ (les autres approuvent l’attitude de
l’enseignant. La classe devient agitée, l’enseignant doit interrompre pour
demander du silence)
Cette technique dépend d’un savoir qui a déjà été étudié au début de l'année, les
multiples et les diviseurs d’un nombre. Plusieurs élèves s’en souviennent, mais ce n’est
pas le cas de quelques uns qui ont changé d’école et n’ont jamais étudié le calcul du
plus petit commun multiple (ppcm). Alors une nouvelle élève, Aline, se fait des soucis:
E: (Aline) quel sera l’objet du contrôle?
P: ça// les fractions équivalentes// la comparaison de fractions
E (Aline) le ppcm?
P: non↑si je veux comparer des fractions de dénominateurs différents/ une
méthode pour le faire/ c'est d’utiliser le ppcm↑ vous préférez faire une liste
et chercher?
E: (Aline) (elle fait un signe de tête, montrant qu’elle est d’accord)
P: oui↑ ça dépend du numéro que je vous donne/ je peux vous donner un
numéro qui soit trop grand pour résoudre sans le ppcm/ l’idéal c'est comme
ça// l’idéal c'est de connaître plusieurs méthodes// ça dépend de l’exercice/
on utilise chaque méthode selon le cas/ si le dénominateur est petit/ et que je
veux résoudre par la liste/ est-ce qu’on peut? On peut↑ si le numéro est
grand et je veux faire par le ppcm/ je peux? On peut↑ alors l’idéal c'est ça/
c’est de connaître plusieurs méthodes/ connaître plusieurs méthodes/ et
pouvoir choisir/ de quelle façon je veux faire l’exercice↑ (...) Aline↑ tu as
compris pourquoi j'ai calculé le ppcm?
E: (Aline) oui↑
P: l’autre façon de faire c'était comme ça/ regarde↑ c'est comme Monique a
dit qu’elle préfère↑ on fait une liste ici/ une liste là/ quand j’ai fait la liste//
(au tableau, il écrit les deux fractions, l’égalité, et ajoute des fractions
équivalentes)/ j'ai multiplié par deux trois quatre/ alors j'ai remarqué/ que les
numéros qui apparaissent en bas/ ce sont des multiples/ multipliez par
deux↑par trois↑ par quatre↑ vous voyez? C'est la table de multiplication↑
six/ douze/ dix huit/ vingt-quatre/ trente six// ce sont les multiples de six↑
les numéros qui vont apparaître ici en bas sont les multiples de six↑ les
numéros qui vont apparaître en bas sont les multiples de huit↑ huit/ seize/
vingt-quatre (au tableau on a :)
4 = 8 = 12 = 16
6 12 18 24
5 = 10 = 15 = 20
8 16 24 32
186
E: quatre/ huit/ douze
P: aussi↑ on aura↑douze est un numéro↑ mais je m'occupe d’abord du
dénominateur↑ parce que j'arrive à comparer quand ils sont pareils/ je vais
trouver celui d’en haut par l’autre méthode comme je l’ai fait avant/ c'est
pour ça que j'avais fait l’exercice antérieur/ pour que vous arriviez à trouver
le numéro d’en haut//
E: il faut faire quatre un trois//
P: oui/ ça dépend du numéro/ ça dépend du numéro (...)
Lors de l’entretien, l'enseignant va commenter cette approche basée sur le choix
d'une entre les deux techniques possibles. L’enseignant justifie:
« ça peut confondre, il y a ce problème que quand on leur présente une
méthode et et après ça change, il y a des élèves qui trouvent que c'était plus
facile par la première méthode, mais en fait c'est parce qu’ils avaient déjà
compris, alors c'est comme si c'était pas nécessaire de connaître un autre
chose, si j'ai déjà compris. Mais finalement je crois qu’ils comprennent les
deux et choisissent le ppcm, lors de l’évaluation ils choisissent le ppcm ».
On remarque que l’enseignant accorde beaucoup d’importance à la question du
choix, même s’il se rend compte qu’il serait plus facile d’enseigner une seule technique.
On peut supposer que cela se doit au fait que l’enseignant considère le concept plus
important que le calcul, alors si l’élève a vraiment compris le concept d’équivalence il
pourra vraiment choisir la technique. On observe que ce n’est pas vraiment le cas, car
les élèves ont déjà du mal à comprendre la notion d’équivalence, et le fait d'avoir deux
possibilités de résoudre le même problème y ajoute encore un degré de difficulté.
La suite de cette séance, encore à propos du choix sur les techniques, est assez
intéressante, car elle met en question, en plus, la difficulté de l’enseignant face à une
caractéristique de l'école: la diversité des élèves. Aline est une élève qui vient d’arriver
dans cette école, et qui n’avait pas encore étudié le ppcm, alors elle insiste sur la
question du dénominateur commun:
(...)
P: alors le vingt-quatre est multiple de six et le vingt quatre est multiple de
huit↑ c'est le multiple commun↑ c'est le plus petit multiple commun↑ alors/
regardez/ je fais le multiple commun pour ne pas être obligé de chercher sur
une liste↑ parce que je trouverai justement le vingt-quatre↑
(Aline dit qu’elle n’a jamais étudié le ppcm, car elle est venue d’une autre
école)
P: Calculer le ppcm? Tu n’as jamais fait le calcul de le ppcm? Parce que
l’on a déjà étudié cela avant/ tu sais comment faire la liste? Tu écris une
fraction et tu fais la liste? Tu réussis? Tu réussis à faire de cette façon? Fais
comme ça↑ après on va y revenir/ on n’aura pas le temps de t'expliquer
comment on fait ce calcul/ il faudra un peu plus de temps/ je vais// je vais te
187
passer des exercices/ il faut le faire séparément/ j'avais déjà expliqué à tout
le monde quand tu es arrivée/ tu te souviens que vous êtes arrivés après? (il
s’agit de deux élèves, Aline et Amado) alors c'est normal que vous ayez des
difficultés/ tu ne comprends pas ce que je suis en train de dire//(il réfléchit
un peu et reprend, pour commencer à expliquer le calcul du ppdm (...) je
suis en train de diviser↑je divise par deux/ mais je ne divise pas par
n’importe quoi/ je vais diviser par les nombres premiers↑(...)
À l’entretien, on lui demande s’il va vraiment accompagner l’élève séparément:
Ent: tu réussis à faire cet accompagnement, en parallèle?
P: non, parfois je n’arrive pas à le faire ... c'est difficile, quand c'est le même
objet d’étude, parfois je dois revenir en arrière en fonction de ces élèves.
Dans ce cas, même si ce n’est pas l’intention de l’enseignant, la possibilité
d’avoir deux techniques pour résoudre l’exercice peut permettre d’inclure des élèves
qui sont en décalage par rapport au reste de la classe. Cet épisode confirme aussi
l’affirmation de l’enseignant sur la difficulté de gérer le savoir en fonction d’une
question d’ordre institutionnelle.
2.8. Des mécanismes chronogénétiques au détail
Comme nous pouvons observer à partir des difficultés exemplifiées jusqu’à
présent, l’enseignant essaye de régler les difficultés et de faire avancer le savoir par trois
stratégies: montrer, expliquer et convaincre. Son but est celui de faire comprendre le
concept aux élèves, ce qui est très clair, dans son discours, par la tendance à justifier
l'exercice, comme on remarque à l’extrait de la séance 2, où l’enseignant insiste sur le
« pourquoi ». Il s’agit de la justification de la technique opératoire de la liste de
fractions équivalentes:
[séance 2]
(...)
E: pourquoi est-ce que j'ai fait ça?
E: pour arriver au dénominateur commun (Bruna)
P: oui↑ je ne peux le résoudre que si le dénominateur est le même/
pourquoi? Parce qu’ ils ont la même grandeur/ ok? Pourquoi est-ce que je
n’arrive pas ici? Parce que la la grandeur n’est pas la même↑ Je voudrais
trouver deux autres fractions qui auraient quoi...?
E: le dénominateur....
188
P: le dénominateur quoi...?
E: pareil
P: pareil ↑ parce qu’alors je saurai comparer/ ce sera alors/ bien ↑ 3/4 est
égale à toutes les autres/ regarde// Felipe/ c'est le même/ écrire 3/4 ou 6 sur
8 ou 9 sur12/ d’accord? Voyons// (Felipe est très attentif, mais semble ne
rien comprendre, alors l’enseignant va lui diriger la parole) les fractions
équivalentes représentent la même quantité/ Felipe/ j'avais un entier/ je l'ai
divisé en six morceaux et j'en ai pris 5/ je peux prendre le même entier/ le
diviser en 12/ et en prendre dix/ ce sera la même quantité/ finalement// ce
sera la même quantité/ Felipe/ regardons maintenant/ ça va ici?
équivalentes/ je veux donc comparer ces deux-là/ d’accord? j'arrive à les
comparer? (personne ne répond)/ j'arrive à comparer les deux? (...) non/
pourquoi? parce que le dénominateur est...?
A: différent
P: différent/ (...)
Comme nous avons signalé, montrer le savoir paraît ne pas être suffisant pour en
assurer la compréhension, ainsi que la stratégie d’expliquer plusieurs fois avec les
mêmes arguments. Alors, comme il a affirmé, « peut être qu’on n’arrive pas à faire
comprendre le concept, mais ils peuvent en être convaincus », son discours devient
souvent un discours de persuasion. L’épisode suivant l’exemplifie bien. L’enseignant
veut insister sur le fait que la technique de la liste n’est pas très pratique, qu’il y a une
autre façon de résoudre la comparaison. Comme il revient sur la comparaison, il va
essayer de convaincre les élèves aussi sur l’impossibilité de comparer les parts à partir
de la figure:
[séance 1]
P: (...) ça c'est un moyen/ ça marche? ça marche/ mais ce n’est pas pratique/
mais ça marche/ je vais réussir à comparer ces fractions? oui↑mais je
voudrais trouver un autre moyen plus rapide/ plus pratique// on va
apprendre↑cela a un rapport avec ce qu’on a étudié avant/ vous vous
souvenez qu’on a appris les diviseurs? Le diviseur commun/ vous vous en
rappelez? Multiple/ multiple commun/ vous vous en rappelez? On va se
servir de cette connaissance/ pour trouver un moyen plus facile de comparer
(...) regarde/ Felipe↑// ces deux-là par exemple/ un sur deux et deux sur trois
(il écrit 1/2 et 2/3 au tableau)/ encore cette fois/ le dessin ne m'aide pas/
pourquoi? Parce que j'ai divisé en morceaux qui sont différents/ qu’est-ce
que je dois faire? C'est déjà fait/ regardez/ on prend la première/ un sur deux/
et on trouve des fractions équivalentes à elle/ on prend l’autre fraction/ deux
sur trois/ on trouve quelques fractions équivalentes à elle/ ensuite on cherche
le dénominateur égal/ c'est lui qui va m'aider à résoudre/ d’accord? (...) je
veux qu’ici et là/ ce soit le même numéro/ alors je pourrai comparer/ comme
ça/ je ne sais pas comparer/ alors on écrit ici la fraction/ on cherche les
fractions équivalentes à elle/ et on cherche le dénominateur/ en bas/ il faut
que ce soit le même (il écrit au tableau une fraction à côté de l’autre, ensuite
189
il écrit le signe d’égalité pour chaque fraction et encercle l’endroit où doit se
placer le nouveau dénominateur de chaque fraction)
3=_
4
5=_
6
A: je vais en faire le dessin/ c' est plus facile↑
P: tu peux en faire le dessin/ mais cela n’ira pas t'aider/ si le dénominateur
est pareil ça aide/ mais ici c'est différent/ le dessin n’est pas parfait/ on aura
des doutes↑ tu peux faire le dessin mais cela ne va pas beaucoup t’aider/ il
faut être sûr/ regarde ↑par le calcul des nombres/ j’en suis certain↑
La réponse de l’élève est une rupture par rapport au discours de persuasion de
l’enseignant, car il est clair que l’élève n’est pas convaincu des limitations du dessin.
Situé à la fin d’une séance, où l’enseignant a beaucoup argumenté et expliqué, cette
remarque de l’élève confirme le rôle de la figure tant qu’une représentation, comme
nous l’a indiqué aussi l’enquête analysée au chapitre 4.
2.9. Échanges et régulations
Comme nous avons vu, le principal moyen utilisé par l’enseignant pour assurer
l’avancée du savoir est son discours explicatif, souvent de nature persuasive. Toutefois,
l’enseignant se sert aussi des échanges avec les élèves comme un moyen de mettre en
place des régulations. C'est ce qu’on remarque à la séance 3, centrée sur la notion de
fractions équivalentes, où l’enseignant corrige un exercice qui avait été proposé comme
devoir à la séance 2, la comparaison entre 1/2 et 2/3. À l’extrait suivant, il veut
exemplifier le rapport entre la propriété d’équivalence, qui consiste à multiplier le
numérateur et le dénominateur par le même numéro, et ce qui se passe au niveau de la
représentation figurale de la fraction:
[séance 3]
P: on va voir ce qui se passe ici↑ on va regarder ce qui se passe// quand je
fais ces multiplications// comment serait la figure// un sur deux est celle-là/
je vais le dessiner encore ici (il fait un rectangle divisé en deux parts) / j'ai
un entier/ je l’ai divisé à la moitié/ et j'en ai pris un morceau (...) bien↑ les
deux quarts sont équivalents à celui-ci/ c'est a dire/ il faut que ça représente
la même quantité/ il faut représenter la même quantité ici/ ça c'est la
quantité représentée par un sur deux// j'ai pris l’entier/ je l’ ai divisé en deux/
et j'en ai pris un/ alors cette fraction doit représenter la même quantité/
190
bien↑ ici j'ai divisé en deux et j'ai pris un/ ici je divise en quatre/ c'est
comme si je prenais cette figure/ le même entier (il dessine en fait deux
rectangles à peu près de la même aire) / je divisais en deux/ j'avais pris cette
part/ regardez↑ Marina↑ maintenant au lieu de diviser en deux/ je vais
diviser en quatre↑ regardez ici↑Manuela↑ je l’ ai divisé en deux// divisé en?
E: quatre↑ (un autre élève répond, mais l’enseignant explique
principalement à Manuela, qui a posé la question et suit l’explication)
P: quatre morceaux↑ regardez/ un deux trois quatre↑
E: cinq six sept huit
P: j'ai pris cet entier/ qui est le même que celui-ci/ j'avais divisé en deux/ et
j'en avais pris une/ ici je l'ai divisé en quatre/ regarde/ un deux trois quatre/
et j'en ai pris?
E: et j'en ai pris deux
P: deux↑ un// deux// (il montre chaque part considérée pour chaque un des
rectangles) mais c'est exactement la même quantité/ la quantité n’a pas
changé/ qu’est-ce qui a changé ici?
E: la division
P: oui↑ ce qui a changé c'est en combien de parts on a divisé l’entier/ et
aussi combien de parts j'ai pris/ ici j'ai divisé en deux/ et j'en ai pris un/ ici
j'ai divisé en quatre/ et j'en ai pris deux/ mais finalement/ je vérifie que j'ai
exactement...?
E: la même grandeur↑
P: la même quantité↑ ce morceau-là est égal à l’autre↑ l’aire de cette figure
est égale à l’aire de ces deux ensemble↑ (...)
Par deux fois dans cet extrait l’enseignant reprend la réponse de l’élève et la
modifie de façon à la corriger légèrement: quand l’élève répond «la division»,
l’enseignant la remplace par «en combien de parts j'ai divisé», et lorsque l’élève répond
«la même grandeur», il remplace cette réponse par «la même quantité». Cette stratégie
de régulation permet l’avancée du savoir, tout en respectant la participation de l’élève.
L’enseignant se sert aussi de ce genre de régulation pour repérer les difficultés
des élèves, les corriger et aussi les convaincre. Dans ce cas, il se sert de l’argument de
l’élève pour valider ses arguments, comme on observe à l’extrait de la même séance, la
séance 3, quand l’enseignant est en train de comparer 1/2 et 2/3:
[séance 3]
(...)
P: (...) j'ai un entier et je le divise en deux/ j'ai le même entier et je le divise en
trois/ ce morceau ici/ est plus grand que ce morceau-là/ maintenant je pose la
question suivante/ est-ce que ces deux morceaux ici sont plus grands que cet
«un morceau »- là?
E: oui↑
E: non↑
191
P: voyez comme on n’arrive pas à se décider?
(plusieurs élèves parlent au même temps)
P: du calme↑ du calme↑ peut être↑ peut être que oui/ on va le confirmer/ ce
que je veux dire ici c'est que/ de cette façon/ avec ces figures/ c'est difficile/ ça
devient difficile/ ce n’est pas difficile? L’un a dit que c'était/ l’autre a dit que
ce n’était pas/ pourquoi?
E: parce qu’ un se divise en deux et...
P: oui↑ c'est parce que les grandeurs ici sont différentes/ (...)
À propos de la séance 3, il est important de souligner aussi que l’enseignant
avait proposé un devoir: comparer les fractions 1/2 et 2/3. L’enseignant annonce, au
début de la séance, qu’il y avait un exercice à résoudre. Ensuite, il reprend plusieurs fois
toute l’explication sur la notion d’équivalence et seulement à la fin de la séance il arrive
à la correction de l’exercice.
Au moment de la correction, il est intéressant de remarquer que plusieurs élèves
avaient fait l’exercice à la maison et suivent très bien la correction, au contraire de ce
que l'enseignant suppose, que les élèves n'étudient jamais à la maison. Alors la
régulation sur les réponses des élèves fonctionne bien, car ils avaient vraiment essayé de
résoudre l'exercice.
Ce fait nous permet d’avancer deux conclusions: d’une part, que l’enseignant
aurait pu avancer plus vite au lieu de reprendre l’explication depuis la notion
d’équivalence. D’autre part, on remarque que l’affirmation de l’enseignant à l’entretien
préalable, sur le besoin qu’il a à reprendre souvent la même explication, car les élèves
n’ont pas l’habitude d’étudier en dehors de la classe, ne correspond peut être pas à la
réalité. Nous pouvons supposer, si l’on considère aussi son jugement à propos de
l’incapacité des élèves à comprendre les exercices, que nous avions déjà souligné, qu’il
s’agit en fait d'un rapport personnel à la condition sociale des élèves, plutôt que le
résultat de l’observation sur leur intérêt pour les études.
2.10. Des dérèglements concernant l’ordre dans la classe
Jusqu’à présent nous avons analysé de façon détaillée des épisodes qui illustrent
des situations didactiques spécifiques, situées dans un contrat général, et qui concernent
soit des difficultés d’origine conceptuelle, soit des difficultés dues aux choix
didactiques de l’enseignant, et, souvent, des difficultés concernant un mélange entre ces
deux facteurs. Nous y ajoutons l’analyse des difficultés de l’enseignant à gérer la classe.
192
Effectivement, pendant toutes les séances observées, il y a plusieurs moments
d’interruption, l’enseignant devant faire des efforts pour gérer le bruit et la collaboration
des élèves. L'extrait de la séance 1 met cela en évidence:
[séance 1]
P: (...) voyons/ dans cette feuille j'ai pris deux/ observez/ Ademir↑ces deux
morceaux que j'ai pris/ ces deux morceaux/ si je les réunis ces deux-là/ cela
résulte// cela est un morceau/ regardez la moitié ici/ vous voyez la moitié
ici? (il tient les feuilles à la main pour leur montrer le rapport entre les
parts, il y a beaucoup de bruit dans la salle) cinq minutes↑ je vais vous
passer des exercices/ tout de suite/ s’il vous plaît/ patientez un peu/// j'ai
divisé en deux morceaux et j'en ai pris un (il arrête à nouveau de parler, car
les élèves parlent tous au même temps, l’enseignant attend pour reprendre)
P: regardez/ ce morceau et ces deux-là/ quand je les réunis/ cela donne
exactement celui-là/ c'est-à-dire/ il sont...? Équivalents! C'est la même
chose si je vous dis/ donnez-moi un seul morceau/ donnez-moi une moitié
ou deux quarts de ça/ je vais recevoir quelle quantité? La même quantité↑
A: mais l’autre est plus petit↑
P: non/ chaque morceau ici est plus petit/ mais ces deux morceaux
ensemble sont pareils à ceux-là/ vous vous en souvenez? (il montre encore
une fois les deux feuilles) ces deux morceaux ici, ensemble/ c'est égal à un
morceau/// ils s’équivalent/ ils représentent la même quantité.
(il interrompt et demande la collaboration des élèves) (...)
À la séance 2, quand l’enseignant avait proposé une activité pratique où les
élèves devaient travailler en petits groupes, on remarque la difficulté qu’il a à gérer ce
genre d’activité:
[séance 2]
P: gardez donc les papiers/ collez-les sur les cahiers si vous voulez/ vous
pouvez les coller (...) alllez↑alors on a vu/ qu’on arrive à trouver des
fractions équivalentes/ si on regarde// quand je mets une figure à côté de
l’autre/ ou au-dessous de l’autre/ si je prends la même quantité ici/ je
découvre la fraction équivalente/ mais il y aura un problème/ regardez↑ on
suppose qu’on a un entier ici/ je l'ai divisé en cinq parts/ ça va? Comme j'ai
déjà dit/ vous avez l’exemple sur le manuel/ mon dessin n’est pas parfait↑ je
n’ai pas de règle// mais on va supposer/ je l'ai divisé en cinq morceaux/ et
j'en ai pris une ici/ regardez sa grandeur↑ celle-ci↑ je l'ai divisée en cinq/ j'en
ai pris une↑ un sur cinq (...) (il arrête pour demander à plusieurs élèves plus
de silence, ils ne s’intéressent pas à son explication) maintenant↑ si je
commence à modifier ce dessin/ si je commence à diviser ce morceau en
d’autres morceaux/ je vais arriver à trouver d’autres fractions équivalentes↑
c'est ce qu’il fait ici dans les deux cas/ retournez/ page 153/ ces deux
premiers cas/ accompagnez/ s’il vous plaît↑ je vous donne un exemple
différent↑ (...) si je prends ça et je le divise au milieu/ au milieu ici (...)
193
j'avais cinq morceaux avant/ regardez/ un deux trois quatre cinq/ maintenant
j'en ai...?
E: dix↑
P: dix morceaux/ n’est-ce pas? Un deux trois quatre cinq six sept huit neuf
dix/ j'ai dix morceaux/ je l'ai divisé en dix/ celui que j'avais avant/ ils sont
devenus combien maintenant?
E: deux↑
E: dix↑
P: deux↑ voyez? deux sur dix↑ vous voyez? Je l'ai divisé en plusieurs parts
et j'ai toujours la même quantité de l’entier (il arrête pour discuter avec un
élève) (...) cette organisation en deux ne marche pas (...) s’il vous plaît↑ (...)
La difficulté de l’enseignant à gérer le groupe et au même temps les questions
individuelles est un autre aspect du dérèglement concernant l'ordre dans la classe. À
l'extrait suivant, par exemple, un élève pose plusieurs fois la même question, et
l’enseignant lui accorde une longue explication, pendant que le reste de la classe devient
très agité:
[séance 4]
P: (...) pour trouver le même numéro↑ le dénominateur commun en bas/ je
fais le dénominateur commun pour trouver le numéro qui sera en bas/
Felipe↑ Felipe ne comprend pas pourquoi il s’agit seulement de trouver le
dénominateur, il veut savoir comment on va arriver à trouver le numérateur.
L’enseignant se dirige à lui (inaudible). Les autres s’aperçoivent que
l’enseignant parle seulement à Felipe. Emanuela se plaint (inaudible)
L'enseignant se justifie.
P: Felipe est en train de parler parce qu’il n’a pas compris↑ (il attend que
tout le monde se calme, Felipe pose encore la même question) (...) je vais
expliquer encore une fois et alors tu poseras ta question↑je veux comparer
ces deux fractions↑ je veux comparer ces deux fractions↑ je ne sais pas
décider quelle est la plus grande (...)
À la séance 4, quand l'enseignant justifie le fait d’avoir changé d’avis sur le jour
du contrôle, il met en évidence son point de vue sur l'avancée du savoir et le
comportement des élèves:
[séance 4]
P: la classe↑ attention↑ je vous avais dit hier que j'allais vous proposer un
contrôle/ mais je pense que ce ne serait pas très juste/ qui a tout compris/ qui
sait le faire/ c'est bien↑ ça confirme pour ceux qui savent/ ceux qui sont
prêts/ pour ceux-là il n’y a pas de problème/ je m'inquiète pour ceux qui ne
comprennent pas↑ alors je m'inquiète pour ceux qui ne sont pas en train
194
d’apprendre/ il y en a qui ne comprennent pas encore (bruit) je vous avais
dit la séance dernière// j'expliquais/ et vous parliez tout le temps// si
j'explique/ je donne l’exercice/ tout le monde sait le faire/ je propose le
contrôle/ je ne veux pas entrer/ faire l’évaluation/ la moitié le sait/ l’autre
moitié ne le sait pas
E: alors ça va prendre trop de temps↑
P: oui/ ça va prendre un an↑ mais si je pense// si je fais ce que j’ai à faire/ ça
va aller mieux? Si, je pense/ si je suis attentif/ si tout le monde pense comme
ça/ ça n’ira pas prendre un an// le problème c'est que vous vous occupez
toujours des autres (...) si j'explique/ et vous comprenez/ on fait le contrôle
ensuite/ jeudi// demain il n’y a pas de cours à l’école/ n’est-ce pas? Vous en
profitez aujourd’hui/ je vais vous passer des exercices/ vous essayez de les
faire/ comme mercredi il n’y a pas de classe/ vous faites l’exercice/ et alors
jeudi tout le monde sera bien préparé/ d’accord?
E: oui↑ (plusieurs élèves parlent au même temps, discutent sur le
changement de date. Dix minutes se sont passés)
L'idée du partage des responsabilités est très claire dans son discours: ça dépend
de lui-même, l’enseignant (« j'explique »), ça dépend de chacun (« si je fais ce que j’ai à
faire, ça va aller mieux ») et de tous (« tout le monde sait le faire »). Son discours
montre bien qu'il s'agit d'un enseignant très concerné par l’apprentissage des élèves, il
veut être sûr que tout le monde ait bien compris, ce qui explique aussi l'importance qu'il
accorde à l'explication du concept. En plus, nous pouvons supposer qu'il se rend compte
qu'il y a une différence parmi les élèves, et il a l'intention d'insérer tous dans le
processus d'apprentissage. Toutefois, il sait que l’avancée du savoir dépend du maintien
de l’ordre dans la classe, ce qui n'est pas encore tout à fait bien réglè.
3. Conclusions
Les deux niveaux d'analyse nous permettent d'identifier les aspects suivants,
concernant les rapports à l'enseigner de enseignant D:
Dans un contrat global empiriste, il y a une routine en processus de
construction, où l'avancée du savoir est caractérisée par un mouvement circulaire entre
le concept et la tâche proposée. La construction de la routine est assurée par:

un long discours d'explication et de persuasion, basé sur le concept en
jeu, organisé autour d'une séquence de raisonnements logiques

très peu d'exercices
195

des difficultés à gérer au même temps la classe et le savoir
À la base de cette routine en construction, on identifie:

un contrat global d'apprentissage empiriste

une action peu adaptée aux élèves et à cette année scolaire

des rapports académiques aux connaissances mathématiques, qui
s'éloignent considérablement des besoins des élèves de cinquième année.
Des mécanismes topo et chronogénétiques caractérisés par:

l’usage du tableau qui ne sert pas à organiser le savoir;ni à favoriser
l'étude

l’usage fréquent du rappel comme une aide à l'organisation du travail,
d'une séance à l'autre

l’intention de mettre en évidence le partage du savoir par un genre de
discours qui met l'enseignant à la place des élèves

l’usage de la 'bonne élève' pour aider l'enseignant à faire avancer le
savoir

des effets de contrat du type glissement métadidactique
Nous avons mis en évidence aussi des multiples régulations didactiques autour
de plusieurs types de difficultés affrontées par l'enseignant, qui sont:

des difficultés d'ordre conceptuelle autour du choix de l'approche ou du
choix sur le déroulement des tâches et les exercices proposés;

des difficultés concernant les arguments de l’enseignant pour expliquer
le concept ou la tâche;

des difficultés concernant l'organisation des exercices;

des difficultés concernant les techniques opératoires;

des difficultés à gérer la classe

des difficultés à gérer au même temps la classe et le savoir
Ces régulations se déroulent autour, d'une part, d'un genre de discours centré sur
des arguments logiques et abstraits qui essayent de gérer l'enjeu entre montrer le savoir,
expliquer et convaincre. Dans cet enjeu, l'action enseignante se montre assez mal
196
adaptée aux besoins des élèves de sixième année. D'autre part, les régulations
didactiques se déroulent autour des échanges avec les élèves, où l'enseignant corrige ou
modifie la réponse de l'élève de façon à arriver à son but.
Nous supposons que cet ensemble d'aspects caractérisent des rapports à
l'enseigner de l'enseignant D, marqués par l'équilibre difficile entre la gestion de la
classe et la gestion du savoir. En général, nous identifions des rapports à l'enseigner
marqués par une approche académique aux mathématiques, centrée sur l'apprentissage
du concept en jeu, où le phénomène de décalage de compréhension est très évident.
Nous y ajoutons des rapports personnels qui concernent l'idée préconçue de
l'enseignant sur l'incapacité et le manque d'intérêt des élèves à l'égard des études et de
l'école. Nous avançons l'hypothèse selon laquelle ces éléments correspondent au
processus de développement professionnel d'un enseignant novice, dont nous avons
identifié quelques traits.
197
198
Chapitre 7
Conclusions
Les conclusions du présent travail s’organisent, d’abord, autour de l’analyse
comparée, selon l’approche comparatiste définie auparavant. Ensuite, nous reprenons
les questions de recherche, ainsi que les aspects méthodologiques, de façon à faire un
bilan de la démarche générale qui a caractérisé cette recherche, mais aussi pour
présenter ses contributions. Finalement, nous identifions des limitations et des
prolongements envisagés.
199
1. Analyse comparée
L’analyse des pratiques ici développées selon l’approche comparatiste énoncée
auparavant, a pour but d’identifier des éléments qui répondent à deux genres de
questionnements:

comment caractériser les rapports à l’enseigner des deux enseignants ;

en quoi ces rapports diffèrent dans les deux cas considérés, selon
l’expérience professionnelle des enseignants.
Comme nous avons commenté dans la présentation du cadre théorique de la
recherche, il s’agit d’une démarche comparée définie à partir de plusieurs axes de
comparaison:
I. la comparaison entre les deux pratiques selon les catégories d’analyse
utilisées;
II. la comparaison entre les deux pratiques selon l’axe ‘expérience
professionnelle’ ;
III. l’approche comparée concernant les deux échelles d’analyse utilisées
pour comprendre les pratiques dans leur complexité.
Ensuite, nous considérons les conclusions concernant chacun des trois aspects
qui définissent l’analyse comparée.
I. Comparaison des pratiques selon les catégories considérées dans
l’analyse des cas
Du point de vue de la structuration et l’avancée du savoir, nous remarquons que,
dans le cas de l’enseignante experte, la routine est stable dans les deux parties des
séances observées: les séances qui portent sur la notion d’équivalence, et les séances sur
les opérations. La stabilité est associée à la bonne gestion de la classe, même si on peut
identifier un enseignement ostensif centré plus sur la façon de résoudre l’exercice que
sur la compréhension du concept en question. La stabilité, malgré les difficultés
affrontées par l’enseignante concernant surtout ses propres choix didactiques, nous
200
permet de supposer que cette routine ne dépend pas de l’objet de savoir, et constitue
effectivement son style d’enseignement.
Dans le cas de l’enseignant novice, nous avons identifié une routine qui est en
train de se construire autour de la boucle notion d’équivalence/ tâche de comparaison/
notion d’équivalence. Cette circularité, où la place du concept est mise en évidence,
empêche l’avancée du savoir et n’assure pas, au contraire de ce que l’enseignant croit, la
compréhension du concept.
Les mécanismes chronogénétiques qui caractérisent l’avancée du savoir de
l’enseignante experte sont directement associés à un rapport personnel à l’enseigner qui
explique les brefs moments de l’explication et les moments assez longs de résolution
d’exercices. Toutefois, nous remarquons aussi que cet aspect est inséparable de
l’approche opérationnelle qui caractérise sa routine. En plus, nous avons identifié aussi
des rapports institutionnels qui concernent les éléments d’adaptation à la classe et à
l’année scolaire, ainsi qu’un rapport aux connaissances mathématiques. Cet ensemble de
rapports nous permet de comprendre les mécanismes chronogénétiques mis en action
par l’enseignante.
Dans l’autre cas, celui de l’enseignant novice, les mécanismes chronogénétiques
sont plus directement liés au rapport académique aux connaissances mathématiques, ce
qui atteste aussi d’un manque d’adaptation de l’action au contexte de la classe.
Dans les deux cas, même si le contrat global est assez différent, nous avons
identifié des effets de contrat comme le glissement métacognitif et métadidactique,
ayant pour but, dans les deux cas, de déplacer l’explication et faire avancer le savoir.
En plus, comme les contrats sont différents, les épistémologies qui sont à leur
base sont aussi assez différentes, et cette différentiation est due à la façon de concevoir
le concept: dans le cas de l’enseignante experte, le concept ne peut pas être transmis, car
son acquis serait le résultat de l’application du concept dans des exercices assez variés.
Pour l’enseignant novice, on peut conclure, par l’analyse des pratiques, que le concept
est l’aspect le plus important de l’apprentissage, d’où l’importance qu’accorde
l’enseignant à la justification de la façon de résoudre l’exercice.
Du point de vue des mécanismes topogénétiques, on identifie chez l’enseignant
débutant un plus grand effort de partager le savoir, même dans le cadre d’un contrat
fortement didactique, et d’une épistémologie empiriste. Dans le cas de l’enseignante, le
partage est développé au moment de la dévolution et de la correction d’exercices, même
s’il s’agit effectivement d’un contrat global de conditionnement.
201
Dans les deux cas, on a identifié des régulations didactiques associées aux
difficultés présentes dans le déroulement des séances. Il est évident que l’enseignant
novice affronte plus de difficultés que l’enseignante experte, si on centre l’analyse sur le
savoir et aussi sur la gestion de la classe. À propos de cet aspect on identifie une
différence considérable entre les pratiques des deux enseignants: les régulations que
l’enseignante experte met en place, assurées par une routine stable, ont pour but de
permettre l’avancée du savoir, selon son projet d’enseignement. Même si elle affronte
des difficultés dérivées de ses choix didactiques sur l’approche choisie ou sur le
cheminement des exercices, elle les résout assez facilement, par des jeux de contrats.
Dans l’autre cas, l’enseignant novice a beaucoup plus de mal à mettre en place les
régulations nécessaires pour faire avancer le savoir, car il doit au même temps gérer la
classe. Le bruit dans la classe est, effectivement, un aspect qui joue un rôle très
important dans les séances observées, et qui empêche le développement de cette double
fonction de l’action enseignante.
Nous remarquons aussi qu'il y a, dans les deux cas, des rapports institutionnels à
l’enseigner qui concernent les préjugés des enseignants sur le travail, l’intérêt et la
capacité des élèves. Ces rapports relèvent d’un positionnement des enseignants face à la
condition sociale des élèves des écoles publiques, ce qui peut constituer effectivement
un aspect important de leur pratiques. Dans le cas de l’enseignante experte, ce genre de
rapport a certainement influencé son approche technique, tandis que, dans le cas de
l’enseignant novice, ce rapport est présent dans la façon comme il justifie les difficultés
qu’il a à se faire comprendre. En effet, il en sort de plusieurs épisodes
d’autoconfrontation que l’enseignant novice remet les difficultés de compréhension à
l’incapacité des élèves, car il croit que son approche conceptuelle devrait favoriser la
compréhension. L’enseignante experte, qui agit bien conformément à l’institution, croit
aussi à l’incapacité des élèves, mais elle semble considérer qu’il s’agit d’une condition
inhérente à l’enseignement public, à laquelle il faut mieux s’adapter, par un genre
d’enseignement où la compréhension perd un peu de place.
Ces aspects qui exemplifient la multiplicité des rapports à l’enseigner des deux
enseignants sont effectivement assez différents. Pour mieux comprendre cette
différenciation on fixe ensuite l’analyse sur le facteur ‘expérience professionnelle’.
202
II. Comparaison des pratiques selon l’axe ‘expérience professionnelle’
Si nous prenons en compte l’expérience professionnelle des deux enseignants,
leurs rapports à l’enseigner sont effectivement assez différents, surtout en ce qui nous
avons considéré comme les deux dimensions de la pratique: la gestion de la classe et la
gestion du savoir. On remarque d’abord que la pratique de l’enseignant novice est
beaucoup plus concernée par l’enjeu du savoir que la pratique l’enseignante experte, où
la gestion de la classe assure à l’enseignante la maîtrise sur les difficultés directement
associées aux savoirs. Cet aspect est la trace la plus évidente de la différentiation entre
leurs rapports à l’enseigner, et nous fournit une piste importante à propos de la
formation d’enseignants. En effet, les aspects concernant l’enjeu du savoir en situation,
le principal objet des recherches en didactique, sont importants, mais l’enseignant
novice se voit plus confronté initialement aux défis de la gestion de classe.
En général on signale trois repères constitutifs des différentiations de leurs
rapports à l’enseigner selon l’axe ‘expérience professionnelle’, soit: la stabilité des
pratiques; le décalage didactique et l’adaptation de l’action.
La stabilité des pratiques
Nous pouvons effectivement conclure que la stabilité des pratiques est un aspect
des rapports à l’enseigner directement lié à l’expérience professionnelle. Comme nous
l’avons signalé la pratique de l’enseignante experte est assez stable, ce qui est
constatable par la stabilité de sa routine, tandis que les mécanismes chrono et
topogénétiques mis en place par l’enseignant novice ont du mal à assurer l’avancée du
savoir, l’apprentissage, et, au même temps, le maintient de l’ordre dans la classe. Sa
routine est en train de se construire, ce qui se produit souvent à l’aide des interactions
didactiques avec les élèves.
Nous remarquons, d’ailleurs, que la stabilité des pratiques concerne aussi un
autre aspect, soit la résistance au changement. En effet, si l’action de l’enseignante S est
stable, elle ne change pas facilement, même face à des contraintes assez fortes, aussi
bien du point de vue interne aux pratiques, que du point de vue externe. On peut
voirdans plusieurs épisodes d’autoconfrontation que l’enseignante ne reconnaît pas
facilement que certaines difficultés des élèves concernent ses choix didactiques, et ne
203
change pas pour autant son approche. Face à des épisodes externes assez importants,
comme les deux imprévus, dont la visite du directeur, sa routine ne se laisse pas
modifier.
Dans le cas de l’enseignant novice, nous pouvons identifier une plus grande
acceptation de l’évidence des difficultés lors des entretiens d’autoconfrontation, même
si l'on a pu constater que l’enseignant a également du mal à y reconnaître sa part,
préférant transférer aux élèves la responsabilité concernant leurs difficultés
d’apprentissage. On a signalé, toutefois, que l’enseignant a modifié son action
concernant, par exemple, l’utilisation du tableau, ou bien l’introduction d’un autre genre
d’activité pour essayer de se faire mieux comprendre, même si ce changement lui
retarde un peu le déroulement du cours. Il est possible de supposer que s’il ne change
pas d’approche, de même pour l’enseignante experte, c’est beaucoup plus par manque
d’autres possibilités, que par le fait de tenir à sa routine ou bien au contrôle du temps
didactique. Il nous semble que le temps d’expérience lui permettrait de mieux gérer la
classe et le savoir, stabilisant ainsi sa pratique.
Le décalage didactique
Des phénomènes de décalage didactique sont directement liés aux contrats
didactiques mis en place par les enseignants, et constituent aussi un aspect important de
leurs rapports à l’enseigner. Dans les cas considérés, les deux genres de décalage, le
décalage de motivation et celui de compréhension, sont plus évidents dans le cas de
l’enseignant novice. Il ne se rend pas compte, par exemple, des difficultés des élèves
concernant l’écart entre la représentation et le concept. Il faut en plus observer que, dans
ce cas, si les décalages de compréhension sont assez importants, ils sont naturellement
suivis des décalages de motivation, qui sont sûrement la raison de la difficulté pour
l’enseignant de maintenir l’ordre dans la classe pendant ses explications. Nous pouvons
affirmer donc que l’action de l’enseignant novice est contrainte par les deux décalages
sus-mentionnés, ce qui constitue, justement, les caractéristiques des rapports à
l’enseigner de l’enseignant novice.
Dans le cas de l’enseignante experte, même s’ il y a souvent des difficultés de
compréhension de la part des élèves, il ne s’agit pas pour autant de décalage de
compréhension ou de motivation. Tout au contraire: comme l’enseignante est experte,
204
elle se rend compte des difficultés des élèves, même si elle n’arrive pas à les préciser.
Toute son action est organisée effectivement de façon à gérer ces difficultés, sans les
affronter directement, au moins pas du point de vue conceptuel.
Il est néanmoins important de signaler que si cette conclusion est valable d’un
point de vue externe, il n’en est pas de même du point de vue des enseignants. Que ce
soit par manque d’expérience, comme c’est le cas de l’enseignant novice, soit par une
grande adaptation de l’action au contexte de l’école, comme c’est le cas de
l’enseignante experte, la prise en compte du phénomène de décalage est peu évidente
pour les enseignants. Tout ce qui concerne les difficultés d’apprentissage des élèves est
remis à leur incapacité d’apprendre, ce qui nous permet d’avancer l’hypothèse selon
laquelle dans un cas ou dans l’autre, malgré la différence d’expérience professionnelle,
leur rapports à l’enseigner sont peu réflexifs.
Cette remarque est importante du point de vue de la formation, car on peut en
concluer que ni la formation initiale, en ce qui concerne l’enseignant novice, ni la
formation
continue,
concernant
l’enseignante
experte,
n’ont
contribué
au
développement d’une pratique réflexive où les phénomènes de décalage seraient pris en
compte.
L’adaptation de l’action
Selon ce qui a déjà été exemplifié dans plusieurs extraits, la stabilité de l’action
enseignante se différencie, dans les deux cas, selon le degré d’adaptation des
enseignants aux contextes et aux contraintes qui se présentent dans le quotidien de la
classe. Les deux niveaux d’analyse, général et détaillé, nous permettent d’affirmer que
l’action de l’enseignante experte est plus adaptée aux multiples contraintes auxquelles
les deux enseignants sont confrontés et qui concernent surtout l’hétérogénéité des
classes et les contraintes institutionnelles.
Si l’on considère, par exemple, l’hétérogénéité des classes, l’action de
l’enseignante experte est la plus adaptée, sa façon d’organiser les cours lui permettant
de bien gérer les difficultés individuelles. Effectivement, dans ce cas, le temps
didactique est soumis aux besoins individuels des élèves tout en respectant, au même
temps, l’avancée du savoir de façon collective.
205
Malgré la bonne intention de l’enseignant novice de prendre en compte les
questions et les difficultés d’apprentissage des élèves, quand il le fait, il y a un
dérèglement soit du temps didactique, soit de l’ordre de la classe.
Nous remarquons, toutefois, que les deux enseignants affrontent des difficultés
concernant leurs choix didactiques des approches et des tâches proposées aux élèves.
Du point de vue du savoir, les deux enseignants ont dû régler des situations didactiques
conséquentes de leur manque d’étude préalable sur le savoir, l’enseignant novice les
affrontant plus, il faut le remarquer. L’enseignante experte règle effectivement assez
bien les situations didactiques d’où émergent des difficultés d’apprentissage si l’on
considère le fait que les élèves arrivent à résoudre les exercices proposés comme
l’enseignante leur a indiqué de faire. Cependant, ce réglage coûte le prix d’un
enseignement où la compréhension du concept est mise de côté. Dans le cas de
l’enseignant novice, les situations de difficulté qu’il affronte sont réglés difficilement,
par l’effort qu’il fait d’expliquer le concept, et de convaincre.
En effet, l’insistance sur le concept ou sur la technique, qui caractérisent
respectivement l’action de l’enseignant novice et de l’enseignant experte, peut être
comprise aussi à partir de l’adaptation de l’action selon leur expérience professionnelle.
Dans le cas de l’enseignante, il est très évident que son choix concerne des rapports
personnels, comme c’est le cas de son préférence par des explications très courtes, mais
c’est également fruit du constat, issu de son expérience, selon lequel ce genre d’action,
basée sur une approche opératoire et sur l’accompagnement individualisé des élèves,
fonctionne bien dans ce contexte.
De même nous pourrions supposer que les discours longs de la part l’enseignant
novice, ainsi que sa difficulté à accepter le décalage qu’il y a entre voir le concept et le
comprendre, relève d’un manque d’expérience d’enseignement, surtout en ce qui
concerne la prise en considération des processus d’apprentissage des élèves de
cinquième année.
On peut donc affirmer que l’adaptation de l’action enseignante du point de vue
du savoir concerne la prise en compte des caractéristiques des élèves, selon leur âge et
l’année scolaire, ce qui exige une adéquation du savoir en jeu. Les discours très longs de
la part de l’enseignant novice, basés sur des raisonnements logiques et abstraits,
relèvent d’un rapport académique au savoir en jeu, alors que le langage assez simple, et
parfois, comme nous l’avons remarqué, peu rigoureux de la part l’enseignante experte,
relève d’un rapport scolaire au savoir en jeu.
206
On peut donc supposer que l’adaptation de l’action selon le temps d’expérience
professionnelle mène les enseignants à trouver un langage et une manière de présenter
le savoir qui leur paraît bien adapté aux nécessités et aux capacités des élèves. Cette
adaptation résulte, selon ce que l’on a vu, de leurs rapports à propos de la condition
sociale des élèves, plutôt que de l’analyse effective de ce qui se passe en classe. Ces
remarques nous indiquent que l’action enseignante se constitue par des mécanismes
d’adaptation aux contextes, ce qui caractérise le processus d’évolution des
pratiques et de transformation des rapports à l’enseigner.
On ajoute à ces deux facteurs la gestion de la classe et du savoir et l’adaptation
de l’action des enseignants à la logique de l’institution, très évidente dans le cas de
l’enseignante experte. L’enseignant novice présente aussi des éléments qui relèvent
d’un certain rapport social avec les élèves et l’école, en ce qui concerne son avis sur
l’incapacité des élèves à apprendre, ou sur leur manque d’intérêt aux études. Toutefois,
le fait de ne pas abandonner son intention de leur faire apprendre le concept, ou bien le
fait qu’il insiste sur plusieurs possibilités de résoudre les exercices, de façon à ce que les
élèves soient autonomes, constituent des pistes permettant de supposer qu’il croit que
l’enseignement et l’apprentissage sont des outils qui aident élèves à affronter leurs
difficultés, qui sont en fait d’origine sociale. Le comportement de l’enseignante experte
est plus conformiste, ce qui nous fait croire que l’adaptation de son action, y compris
son style d’enseignement, résulte sûrement du temps d’expérience en classe, aussi bien
que du temps d’insertion dans l’école.
***
Nous concluons donc que, dans les deux cas analysés, en considérant comme
axe de comparaison l’expérience professionnelle, l’adaptation de l’action enseignante
est effectivement un facteur différentiel de leurs rapports aux savoirs. Ces rapports,
comme nous avons signalé, concernent la gestion de la classe, la gestion du savoir,
aussi bien que l’insertion institutionnelle des enseignants.
D’un point de vue subjectif, ces rapports, différenciés selon l’expérience
professionnelle des enseignants, leur confèrent différents degrés de certitude à propos de
leur activité. L’enseignant experte est assez sûre d’elle même, comme on le remarquer
dans plusieurs épisodes d’autoconfrontation. Nous avons identifié, cependant, un seul
moment où nous avons l’évidence que sa certitude est mise en question, quand le fait
207
d’être observée l’oblige à attarder la conclusion de l’exercice de façon à avoir le temps,
jusqu’à la prochaine séance, de mieux réfléchir.
Nous remarquons donc que la certitude est le résultat de la stabilité de l’action,
qui est à son tour le résultat de l’expérience. Cet aspect est très clair dans la façon
comme l’enseignante experte justifie son action à partir de l’expérience, tandis que
l’enseignant novice n’a que son avis personnel pour justifier son action, ou bien les
références sur le savoir qu’il a eu en tant qu’étudiant en mathématiques à l’université.
On identifie facilement ses références dans la présentation de la technique basée sur les
classes d’équivalences, et, en général, dans son genre de discours et même dans la
structuration de ses raisonnements.
Nous pouvons affirmer, à partir de ces considérations, que le développement
professionnel des enseignants suppose l’acquis d’un certain degré de certitude
confirmé par l’expérience. Par contre, l’expérience même fonctionne comme un
facteur de résistance aux changements, d’où l’importance de la réflexion critique sur la
pratique. Les activités de formation continue ou des projets de recherche en
collaboration pourraient contribuer à l’analyse de l’expérience acquise, et,
éventuellement, déséquilibrer les pratiques.
Nous ajoutons encore que l’expérience professionnelle de l’enseignant confirme
le sens de l’action, et la renforce, pouvant jouer un certain rôle aussi dans la définition a
priori de l’action, comme c’est le cas du choix de l’approche que fait l’enseignante
experte sur le modèle de quantités discrètes, qui est basé sur son expérience antérieure.
Dans cette perspective, l’enseignant novice, qui n’a, en principe, pas d’expérience
préalable, n’a comme repères que son histoire personnelle en tant qu’ élève à l’école, ou
bien en tant qu’étudiant dans le contexte académique. Il le dit, d’ailleurs, quand il
affirme que le modèle des figures lui parait plus évident, car c’est ainsi qu’il a étudié à
l’école. Son action fonctionne donc selon des rapports personnels et académiques
aux savoirs, alors que l’action de l’enseignante experte relève des rapports personnels
et scolaires. À partir de cette remarque nous identifions un des rôles de la formation
d’enseignants: produire des changements, des rapports académiques à des rapports
scolaires aux savoirs, plutôt que de transmettre des connaissances sur l’enseignement.
208
III. Considérations sur les deux échelles d’analyse des pratiques
Ce dernier sens de l’analyse comparée rejoint, comme nous avons signalé à la
présentation des repères théoriques, les préoccupations des tendances récentes de
recherche dans les sciences sociales où la complexité du phénomène étudié est très
évidente, comme c’est le cas des phénomènes sociaux, l’enseignement en faisant partie.
Nous avons eu comme hypothèse le fait que l’enjeu entre les échelles
micro/macro, dans l’étude d’un phénomène social, relève des discontinuités entre la
dimension globale du phénomène, définie à partir dans un certain cadre temporel, et la
dimension du quotidien. Ces discontinuités sont exprimées par des contradictions et par
la complexité des multiples aspects en jeu. Un des buts de la présente recherche a été
effectivement d’explorer l’imbrication de deux échelles d’analyse dans une étude de
cas.
Nous concluons, à ce propos, que:

l’analyse
globale
nous
a
permis
d’identifier
l’organisation
de
l’enseignement, caractérisée par un contrat global, porteur d’une
épistémologie. Toutefois, c’est l’analyse détaillée des mécanismes
chronogénétiques et topogénétiques spécifiques qui nous a permis
d’identifier, au détail, l’avancement du savoir en classe;

la dynamique entre généricité et spécificité qui caractérise les approches
comparées est traitée par l’enjeu entre la routine, associée au contrat global,
et les régulations didactiques utilisées pour gérer les deux aspects de la
pratique, la gestion de la classe et la gestion du savoir. L’analyse détaillée
nous permet effectivement de séparer les aspects concernant la gestion de
classe de la gestion du savoir, même si, à l’analyse générale, leur
inséparabilité est évidente, ce qui constitue l’exemple de l’imbrication entre
les deux échelles d’analyse;

l’analyse détaillée nous permet d’identifier des fissures dans le contrat
global, comme c’est le cas des régulations didactiques face aux plusieurs
difficultés considérées à l’analyse détaillée. Nous remarquons aussi que,
malgré ces fissures, constituées généralement par des ruptures de contrat, la
routine générale est préservée, surtout quand est est stable, comme c’est le
cas de la pratique de l’enseignante experte ;
209

Les contradictions de l’action enseignante, si on l’analyse selon les deux
échelles, sont évidentes aussi. Par exemple, la routine de l’enseignante S,
basée sur la répétition de l’explication, au détail, nous permet d’identifier
qu’il s’agit plus d’une adaptation de l’action que d’une simple répétition. Un
autre exemple de relations de contradictions de l’action est l’analyse
détaillée du discours de l’enseignant novice, où l’on voit que son discours
d’explication se transforme souvent, si on le regarde de près, en discours de
persuasion.
Nous soulignons, en plus, que l’imbrication des deux échelles d’analyse est un
outil important pour prendre en compte la complexité des pratiques, qui peut être définie
par la multiplicité d’aspects en jeu, mis en place dans des relations de contradictions,
ce qui caractérise les rapports à l’enseigner.
Le point de vue du comparé est ainsi important pour mettre en évidence les
besoins complexes et contradictoires de la formation des enseignants, qui, comme nous
avons souligné, échappent à l’analyse des pratiques centrées simplement sur l’enjeu du
savoir spécifique. Nous avons montré aussi comment l’aspect ‘expérience
professionnelle’ joue un rôle différentiel assez important concernant les rapports à
l’enseigner, mais relatif, surtout en ce qui concerne l’action réflexive. Ce serait
effectivement l’objectif principal de la formation continue des enseignants.
2. Bilan de l’étude et contributions
Nous reprenons ensuite les questions théoriques et méthodologiques qui ont
guidées la recherche, et nous les reprenons en fonction des résultats déjà présentés, de
façon à synthétiser les contributions principales de ce travail.
Action, rapports et expérience
Comme enjeu théorique de la recherche, nous avons proposé la notion de
rapport à l’enseigner, à la place de la notion de savoir enseignant, à fin de constituer
un outil théorique pour expliquer et comprendre les pratiques enseignantes. Nous avons
210
justifié ce choix dans la délimitation du cadre théorique. Les conclusions discutées
auparavant nous permettent de confirmer la pertinence de ce choix, ce qui constitue, à
notre avis, une première contribution de ce travail.
En effet, la notion de rapport à l’enseigner nous a permis à la fois de caractériser
l’action enseignante et de mettre en évidence sa complexité. Comme nous avons analysé
à l’aide des trois dimensions du comparé, l’action enseignante peut être conçue comme
le lieu de la mise à jour d’une multitude de rapports à l’enseigner. En plus, l’action
produit de l’expérience, ce qui la renforce. Cette boucle entre action/ expérience/
action, exprimée par des rapports à l’enseigner, est facilement identifiable dans le cas
de l’enseignante experte, et est en processus de construction, dans le cas de l’enseignant
novice, car il est justement en train d’acquérir de l’expérience.
L’action, définie par des processus de mise en place et de constitution des
rapports est inscrite dans des situations didactiques spécifiques, comme nous avons
exemplifié à l’aide du niveau d’analyse détaillée. Ce fait confirme effectivement les
hypothèses de l’action située, soit, que l’action est contextuelle, co-produite par
l’interaction entre les sujets et les situations, et sa signification dépend d’une activité de
nature réflexive.
D’ailleurs, les situations didactiques de rupture de contrat, ou bien les situations
où les difficultés conceptuelles ou d’apprentissage sont évidentes, sont des moments où
le sens de l’action peut être mis en question. C’est le cas, par exemple, de la prise de
conscience, de la part de l’enseignante experte, des difficultés apportées par ces choix
sur les exercices proposés aux élèves. Ou bien, dans le cas de l’enseignant novice, de la
prise de conscience du décalage entre le fait de montrer le savoir et comprendre le
concept. Dans les deux cas, nous remarquons, cependant, que le fait d’affronter des
difficultés, même dans le cas de ruptures, ne suffit pas pour rendre évidente la difficulté
en question, et encore moins pour produire un changement de comportement.
À propos de la différentiation des rapports à l’enseigner, en ce qui concerne
l’expérience professionnelle, nous concluons que la boucle action/ expérience/ action,
soutenue par un ensemble complexe de rapports qui caractérisent l’action enseignante,
est plus stable dans le cas d’un enseignant expert, étant encore en construction dans le
cas d’un enseignant novice. La rupture de cette boucle par la réflexion sur l’action
pourrait effectivement constituer un facteur de développement professionnel, où
l’autoconfrontation a certainement un rôle a jouer.
211
L’autoconfrontation, qui a pour but d’identifier ce que Clot (1999) a nommé les
‘mobiles de l’action’, a été utilisée, dans ce travail, comme un outil méthodologique
capable de mettre en évidence le sens de l’action. Nous remarquons que
l’autoconfrontation a fonctionné mieux dans le cas de l’enseignant novice que dans le
cas de l’enseignante experte. En effet, même si l’enseignant novice n’a souvent pas
d’arguments pour expliquer son action en raison du manque de réflexion sur le savoir en
jeu, ou simplement par manque d’expertise en ce qui concerne la classe et les élèves,
l’autoconfrontation le rend perplexe par moments: il commence à se demander ce qui ne
va pas, même s’il ne trouve pas de réponse. Dans le cas de l’enseignante experte, il y a
de la perplexité aussi, mais son effet heurte fortement la stabilité de sa pratique, et d’un
point de vue subjectif, ces certitudes, c’est-à-dire, à ces habitus.
Nous concluons donc que, dans ce travail, cet outil méthodologique a été un
facteur pas seulement de prise de conscience, mais de production de nouveaux
rapports à l’enseigner, ce qui nous considérons une deuxième contribution de ce
travail. Nous y avons ajouté, d’ailleurs, un autre élément qui a servi à la production de
nouveaux rapports à l’enseigner: la dimension collaborative de la recherche. Cette
démarche, qui est elle aussi une contribution de ce travail, s’est montrée intéressante,
surtout si l’on prend en compte que des changements de comportement peuvent être le
résultat d’une réflexion sur l’action, mais seulement si l’activité réflexive arrive à
modifier des rapports. Comme nous avons vu, l’expérience professionnelle joue un
rôle dans la stabilité et l’adaptation de l’action, mais elle joue également un rôle
dans l’affirmation de l’action, qui résiste aux changements. On peut en conclure
donc que les processus de production ou de modification des rapports peuvent prendre
du temps.
Les résultats de la démarche collaborative
La démarche collaborative s’est développée à partir de la deuxième année du
déroulement de cette recherche, pendant l’étape de transcription des séances observées.
Le fait que les enseignants n’avaient fait aucune référence, dans les séances observées,
aux nombres rationnels, nous a incité à étudier les rapports entre l’enseignement des
fractions et des nombres rationnels à l’école primaire. Notre manque de connaissances à
propos des indications des nouveaux programmes et des manuels didactiques sur ce
212
sujet nous a poussé à définir comme première étape du travail une analyse de nature
curriculaire. Les questions d’investigation ont été les suivantes:

Quel a été le développement historique de la présentation des fractions à
l’école élémentaire?

Quelle est aujourd’hui la place de l’enseignement des fractions à l’école
élémentaire?

Quelle est la représentation actuelle du rapport entre les nombres
rationnels et les fractions dans les programmes et dans les manuels?
Pour le développement de cette étape, nous avons sélectionné le Programme
National pour l’enseignement primaire, et trois manuels didactiques de différentes
époques. Du point de vue des repères théoriques de notre analyse, nous avons étudié la
notion de transposition didactique et de médiation. Comme nos rencontres ont été
organisées selon la disponibilité de temps de tous, cette investigation nous a pris toute
une année de travail.
Les résultats de cette étude ont été développés sous la forme de l’article
« Transposition et Médiation didactique dans l’enseignement des fractions » 10 . Parmi
les conclusions de cette analyse, nous avons identifié le fait que l’enseignement des
fractions aujourd’hui s’est beaucoup éloigné de l’étude des nombres rationnels. La
présentation la plus courante des fractions dans les manuels didactiques les plus utilisés
dans les écoles, est toujours le modèle des figures l’aspect ‘mesure’ des fractions n’étant
pas pris en compte.
Ces résultats, qui concernent des phenomènes de transposition, nous ont mené à
un questionnement autour de l’origine historique des fractions et de la définition de
l’ensemble des nombres rationnels, ce qui a contribué à la définition de la deuxième
étape, l’étude épistémologique et historique des nombres rationnels.
De façon à développer cette étape du travail, nous avons sélectionné des livres
d’histoire des mathématiques ainsi que des recherches en sciences cognitives et en
didactique sur le concept de fraction et de nombres rationnels. La grande diversité de
matériel d’analyse nous a permis de repérer le fait qu’il y a une multiplicité d’aspects
10
Cet article, écrit en collaboration, intitulé « Tranposição e Mediação didática no ensino de frações »
(Transposition et médiation didactique dans l'enseignement des fractions) a été publié à la Revue Bolema
(Boletim de Educação Matemática), Editora da Universidade Estadual Paulista de Rio Claro, n.27, p. 7191, 2007.
213
concernant l’étude d’un concept, soit, des aspects historiques, épistémologiques et
cognitifs. La plus grande contribution de cette analyse a été le constat de l’importance
de la prise en compte de cette multiplicité de facteurs, qui constituent d’habitude les
analyses a priori pour comprendre les pratiques. Nous avions l’intention, ensuite,
d’analyser les séances observés, de façon à identifier des éléments épistémologiques et
cognitifs étudiés par rapports aux situations didactiques effectives. À partir de cette
étape nous pourrions donc envisager d’élaborer de projets d’enseignement basés sur les
conclusions des étapes précédentes. Malheureusement, l’enseignante S a changé
d’activité à l’école, et cette contrainte lui a empêché de continuer le travail de
collaboration.
Cette première expérience de travail collaboratif nous a apporté comme résultat
le constat que l’échange entre professeurs de l’université et des écoles peut
effectivement contribuer à l’enrichissement professionnel et personnel. Nous
espérons que la continuité et l’approfondissement de ce genre d’activité puissent
contribuer à l’établissement de nouveaux rapports à l’enseigner et à l’apprendre de la
part de deux collectifs, les enseignants des écoles et les formateurs.
3. Conclusions finales et prolongements envisagés
La démarche collaborative décrite a été un des enjeux théoriques de cette
recherche, de même pour sa démarche didactique comparée. Comme nous l’avons
signalé, la démarche comparatiste nous a permis de mettre en évidence la complexité
des pratiques par l’enjeu entre la multiplicité des rapports. Par exemple, en ce qui
concerne l’épistémologie de l’enseignant, (ce que nous pourrions appeler aussi ses
rapports au savoir spécifique), paraît constituer un élément assez stable qui confère de la
régularité à la pratique. Au détail nous pouvons identifier la façon comme cette
épistémologie est mise à l’épreuve dans une diversité des situations. Nous pouvons
supposer, à partir de l’analyse du cas de l’enseignante experte, que cet aspect de l’action
est aussi le fruit d’un processus d’adaptation au double défi, celui de faire avancer le
savoir et assurer l’apprentissage selon les contraintes d’un certain contexte.
Nous considérons donc que ce regard sur les pratiques nous permet de mieux les
comprendre, ainsi que les défis posés par la formation des enseignants, que nous avons
déjà commenté. En général, les résultats présentés nous permettent d’avancer
214
l’hypothèse que ce que nous appelons l’expérience professionnelle constitue en fait
la dynamique de changement des rapports à l’enseigner, qui se trouvent sous la
contrainte de plusieurs facteurs. A titre d’exemple, l’analyse du temps d’expérience,
dans le cas de l’action de l’enseignant novice, pourrait nous permettre effectivement de
mieux comprendre ce phénomène, et constitue un prolongement possible de ce travail.
Du point de vue méthodologique il s’agit d’une recherche de nature qualitative,
basée sur l’étude de deux cas. Les approches qualitatives ont l’avantage de permettre
l’étude approfondie des phénomènes par la prise en compte des leurs significations et
des particularités des contextes. En vue d’assurer la validité interne de cette analyse
dans une perspective clinique et selon la suggestion de Mosconi (2003), nous avons mis
l’accent sur une multiplicité de perspectives dans l’appréhension des phénomènes en
question. Pour ce faire nous avons pris en compte des aspects a priori concernant le
savoir en jeu, ainsi que les choix didactiques des enseignants. Pour approfondir cette
question nous y avons ajouté l’analyse des deux modèles choisis par les enseignants
dans un autre contexte, celui des futurs professeurs. Les résultats de cette analyse nous
confirme l’hypothèse des rapports différentiels des enseignants novices et experts. Nous
pouvons supposer effectivement que la persistance du modèle des figures chez les
étudiants, ainsi que chez l’enseignant novice, remet à des rapports personnels et moins
adaptés aux contexte scolaire. L’étude de cette question sur une population plus grande
d’étudiants encore en formation pourrait constituer aussi un autre prolongement
possible de cette recherche.
Finalement, si on revient à un questionnement de fond de cette recherche, les
lieux du didactique, nous pouvons affirmer que l’ensemble des résultats ici présentés
nous permettent d’avancer quelques pistes.
D’abord, qu’il y a effectivement une multiplicité de rapports à l’enseigner en jeu
dans les pratiques, comme supposent la plupart de recherches en éducation sur les
pratiques enseignantes, mais il est difficile de les cerner. En effet, comme le suggère
Tardif (2002), l’action enseignante concerne au moins deux aspects - la gestion du
savoir et la gestion de la classe - et nous avons donné des exemples pour montrer que
ces deux aspects relèvent effectivement d’une multiplicité de rapports. Comme nous
avons essayé de montrer, plus l’action est experte, plus ces deux aspects sont
imbriqués, ce qui nous confirme l’évidence du fait selon lequel les rapports se
transforment dans et à partir des situations spécifiques, dans la dimension temporelle du
quotidien.
215
Cette conclusion nous valide la pertinence de la prise en compte de la notion de
rapports à l’enseigner, ainsi que de l’hypothèse de l’action située. Toutefois, de façon à
les prendre en considération dans l’analyse des pratiques, il est nécessaire de prendre en
compte plusieurs échelles d’analyse, selon les exemples auparavant donnés concernant
l’analyse générale et l’analyse détaillée. En fait, en vue d’analyser les rapports à
l’enseigner parmi une diversité de découpages possibles de cette réalité complexe,
l’établissement d’un découpage du phénomène ‘enseignement’ se fait nécessaire.
Dans le cas présent nous avons centré l’analyse comparée sur l’enjeu du savoir
en question. Ce choix s’est aussi montré assez pertinent, car, comme les épisodes de
l’analyse détaillée l’exemplifient bien, le moteur de l’action enseignante est
effectivement l’avancée du savoir, même si cet aspect est inséparable de la gestion de la
classe. Nous espérons avoir affronté ainsi la difficulté à prendre au même temps en
compte ces deux aspects, et ce, dans une analyse de nature didactique. Il s’agit de ce que
l’on considère comme étant la contribution théorique la plus importante de cette
recherche: exemplifier, à l’aide de la notion de rapports à l’enseigner, une analyse des
pratiques qui explore les différents lieux du didactique. Cette approche pourrait être
explorée dans d’autres cas, comme l’enseignement d’autres objets de savoir en
mathématiques, ou bien l’enseignement d’autres disciplines scolaires, ce qui
constitueraient des prolongements intéressants de la recherche.
Finalement, l’une des motivations de cette recherche concernait la possibilité
d’étudier en profondeur les pratiques enseignantes dans l’école publique brésilienne, à
l’aide des outils théoriques et méthodologiques issus, pour la plupart d’entre elles, des
recherches françaises en didactique. Nous espérons que les résultats ici présentés
attestent de la pertinence de ces outils de recherche dans un contexte qui présente des
contraintes institutionnelles propres, comme cette recherche l’a montré.
Nous avons eu aussi l’intention de contribuer au débat sur la formation des
enseignants, surtout en ce moment où nous sommes au Brésil en train de définir d’autres
démarches de formation. Nous croyons que les résultats indiqués par la recherche
pourront effectivement nous fournir de nouvelles pistes.
Nous concluons ce travail dans l’espoir que ce premier lien établi entre mon
département d’origine et le laboratoire d’accueil de cette thèse, puisse se développer
dans l’avenir à partir de projets futurs de collaboration entre les deux lieux de recherche
et formation, de façon à continuer à valider et à approfondir les résultats de ce travail.
216
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221
222
ANNEXES
223
224
ANNEXE 1
ENTRETIENS PRÉALABLES
225
Entretien préalable - Transcription originale
Enseignante experte
Primeiro as questões sobre a formação. O que você fez como formação, se fez bacharelado
ou licenciatura, por que matemática, o que tu fizeste?
Eu fiz matemática na UFSC, licenciatura, eu fiz matemática porque eu sempre gostei da área
das exatas, mas também porque, como eu vim de muito longe, do interior do Rio Grande do Sul,
ou eu passava no primeiro vestibular, ou eu não, eu ia voltar, eu tive a oportunidade de morar
com um casal de amigos dos meus pais, e fazer faculdade aqui, na minha cidade não tinha,
próximo, então eu tinha que passar no primeiro vestibular, todo o mundo falava faz matemática,
para ser professora, faz, enfim...
E você já escolheu logo a licenciatura?
É, também pelo campo, que seria um campo de trabalho.
Então você não escolheu a licenciatura porque queria ser professora?
Também, quando eu era criança eu sempre queria ser professora, mas depois eu gostei muito da
área da arquitetura, mas eu mal pude fazer cursinho, não teria conseguido, então eu não
arrisquei, também não tive incentivo de ninguém, então eu fiz licenciatura.
Na licenciatura a gente tem uma formação que é pedagógica e uma formação do
conhecimento específico, que são as disciplinas da matemática, então como você avalia a
tua formação, já que você foi ser professora depois?
A parte específica da matemática mesmo, teve várias disciplinas que me auxiliaram, me
auxiliam muito hoje em dia, para saber, por exemplo, para você ter noção de números reais, e
conseguir entender que entre zero e um é infinito, porque se você faz só ensino médio, você
poderia dar aula para a quinta, mas teu conhecimento fica mais, não é tão amplo, então acho que
ajudou bastante nisso, várias disciplinas, tem disciplinas que eu fiz e não acho, até hoje, não
teve sentido, com a escola, não sei com o que tem... enfim, na área de educação, eu fiz Didática,
Estrutura, por exemplo, assim, eu poderia ter eu ter aproveitado mais, e poderia ter sido de
forma diferente, eu não sei, só sei que na matemática eu estudava muito, muito e tirava seis, na
Didática por exemplo, eu lia o texto, sublinhava, e tirava nove dez, então, eu nunca, para mim,
eu não podia ficar a minha tarde ficar lendo três textos de didática, se na matemática eu tinha
um monte de coisas para estudar, eu ia ler ali, eu ia conseguir discutir o assunto, sem mesmo ter
discutido, só escutando os outros falarem...
E em relação a como tu trabalha hoje, como professora, não tem nada que você identifica
na tua formação do terreno do pedagógico, que tu acha que tem uma relação de como tu é
como professora, como tu entende a escola, entende os alunos, você não faz nenhuma
relação?
Não, muito mais os cursos que eu fiz fora, de repente eu não aproveitei muito também, os textos
que eram oferecidos, eu não lia, porque lá era cobrado, lá eu estudava uma hora aqui estudava
um minuto e eu conseguia compensar isso, eu trabalhava também, e como para mim aquilo era
tão fácil, era só ler.
E o estágio?
O estágio eu fiz no Colégio Hilda Teodoro, com um professor, que eu esqueci o nome, e com o
Sergio, eu fiz ali na Escola Getúlio Vargas, por exemplo, assim... no Getúlio eu gostei um
pouquinho mais do estágio ainda, porque o Sergio ajudou a gente bastante, deu algumas... ele
também era novo, tinha acabado de se formar, ele deu algumas dicas, já na outra escola, o
professor era bem durão, toda a hora mudava, a avaliação, e eu achei também o estágio, não
achei que contribuiu, algumas coisas sim, questão de organização.
Ao mesmo tempo que você fez o estágio você já era professora, você já dava aula?
Sim, eu já tinha dado aula, não me lembro se eu estava dando aula naquela época, já dava aula
sim, também eu não sei qual é a finalidade exatamente do estágio... mas o que mais me auxiliou
foi questão de organização, porque a sensação que eu tinha no estágio, era se eu estou apagando
na forma certa, algumas coisas assim, eu acho que é importante a gente saber organizar o
226
quadro, colocar a data, mas foi enfatizando umas coisas assim que, não sei... é importante a
forma que eu vou apagar o quadro?
E você fez um tcc 11 em matemática?
Eu fiz sobre mosaicos, porque eu achei mais... como no meu curso sempre , a área de educação
sempre era mais...
Você não fez nada relacionado com o ensino? Você fez um estudo da matemática
envolvida no mosaico?
É.
E por que você se interessou por esse assunto?
Porque eu sempre gostei da área de geometria, eu já queria fazer arquitetura, então uma
realização minha, pequenininha, aí eu uni as duas coisas.
E tu falou que faz vários cursos, então na formação continuada, como tu tem te situado?
Eu faço na prefeitura, agora não tenho ido muito, e eu fiz bastante tempo na escola particular
também.
Tu faz por interesse teu?
Na prefeitura sim, na particular não, o interesse era salarial, a gente ia.
Não era pelo tema?
Não, às vezes a gente nem sabia, e lá a gente fazia também, como tem uma colega minha, a
gente discutia muito, mesmo que em duas, a gente fazia uma certa formação, a gente sempre
estava discutindo tudo, dos alunos, como ela trabalhava lá...
Mais do que o curso em si, mais a oportunidade de ter alguém com quem estar
conversando?
É, lá eles trabalham muito com materiais, então como trabalhar...
Coisas que você não teve na formação?
É, na formação a gente não teve, acredito que a formação ajudou para você não ser bitolado, ter
uma noção geral de tudo, ter uma mente mais aberta, agora a questão do ensino mesmo, eu
considero que eu fiz fora, com colega, no grupo a gente se reunia, discutia.
Na tua escola mesmo, vocês tem um esquema de trabalho pedagógico?
Não, na minha escola não, na escola particular, onde eu trabalhei um ano, de quinta a oitava, e
até hoje, aí fiquei outro ano como reforço, e continuava tendo esta discussão, então eu fiquei
quase dois anos.
E qual era a diferença? Você tinha um tempo de trabalho pedagógico na escola
particular?
Toda terça feira, das sete as nove, um dia era planejamento, todo o dia das sete as nove, tinha
planejamento.
Na área de matemática ou entre as áreas?
Entre áreas, por série, varia, hoje em dias eles dividiram em áreas disso, grupo disso.
E essa experiência foi bem rica porque toda hora tu fala, na escola particular. Você
considerou esse tempo mais rico do que esse tempo de experiência?
Tudo, muito rico.
Por que? Por que teve mais materiais diferentes, tinha tempo?
Não, foi uma questão de visão, de ver, porque eu trabalhava assim dois quintos dividia em cinco
partes, soma, divide, multiplica, eu nunca trabalhava com equivalência, eu trabalhava bem
mecânico, não que eu trabalho uma maravilha, mas eu tenho noção que eu tenho que melhorar,
antes eu não tinha, nem essa noção, eu tenho noção que algumas eu posso mudar... algumas
coisas eu faço, não é tudo, que eu consegui ainda mudar, algumas coisas quando eu posso eu
mudo, mas eu tive essa noção enorme, então contribuiu bastante
Você é uma pessoa que analisa que está sempre em formação?
É, na verdade assim, quando eu posso fazer um curso, esse ano eu não estou conseguindo
porque é quarta de tarde e eu trabalho no Estado, e teve um ano também que eu fiz na prefeitura,
meio semestre, mas não foi direcionado ao ensino, foi mais tipo pesquisa, eu não consigo
lembrar agora, não consigo lembrar o que era, mas sendo bem sincera, o que mais contribuiu
para mim foram esses dois anos na escola particular, com essa amiga, com o grupo de lá, porque
11
Trabalho de Conclusão de Curso
227
a gente discutia todo o dia, a gente discutia no almoço, ou por telefone, para mim o melhor foi
isso, porque ela me chamava muita atenção em algumas coisas...
E aí depois que tu te formou, quando tu te efetivou?
Meu estágio probatório terminou agora, eu me formei em 2000 e agora em 2005, ficou um ano
sem concurso, eu fiz em seguida e logo fui chamada.
Então você já trabalhava antes de se formar, você sempre trabalhou como professora, ou
já teve outras atividades?
Não, eu já fui bolsista na universidade na editora, e já trabalhei na auxilio a lista.
Mas você gosta de trabalhar como professora?
Gosto, mas eu não gosto de... eu fico muito desmotivada por causa de barulho, isso me
desmotiva muito para dar aula, eu não consigo com barulho, a hora que eu estou falando... a
questão salarial também, as vezes seu fico bem desmotivada, mas eu gosto muito de dar aula,
adoro!
E como foi tua inserção na escola, quando tu te efetivou?
Do Estado eu sou efetiva, do município eu já trabalhava lá, daí eu saí para ir para ir trabalhar
numa escola particular, daí quando eu ia sair, a diretora falou, fica que ela ia conseguir, eu não
ia esperar um mês, então ela falou, eu vou lá, tentar para você ficar, daí eu me efetivei antes.
E a escola onde você trabalha, você falou que não tem um trabalho pedagógico especifico,
mas por outro lado, a escola tem uma perspectiva bem forte, que varias vezes você já
comentou, porque a escola tem essa tendência, que você trabalha com uma professora da
tarde?
É, esse ano, eu e ela começamos a trabalhar.
Mas não é da escola, uma política da escola?
Não, é uma política da escola, mas ninguém faz.
Mas a escola não tem um projeto?
Tem, entre aspas, mas é assim, professores de matemática, eu e ela planejamos, e depois tem
outro bem antigo, mais tradicional, ele não faz nada com a gente, aí tem eu e essa professora da
tarde, formada há pouco tempo, então talvez por isso tem mais vontade...
Da escola, não tem um trabalho pedagógico organizado? Tem coordenação, supervisão,
Você não vê um trabalho pedagógico da escola?
Não, por exemplo assim, eu não vejo, sinceramente, mas tem, assim por vários fatores, assim a
gente entrega o planejamento, só que aconteceu de alguns anos tudo ser entregue e a equipe
pedagógica não lê nada, então isso revoltou um monte de professores, e eles não entregam mais
nada.
Então tem um projeto, uma política clara, mas você não identifica?
É, eu estou falando isso porque eu já trabalhei numa escola que tem, então eu identifico
claramente, mas eu acho que tem que organizar o grupo de professores...
E isso você não identifica nessa escola?
A gente se reúne, mas...
Não tem uma diretriz pedagógica clara, uma maneira de trabalhar, uma orientação por
exemplo sobre a avaliação?
Não.
Cada um faz a sua maneira?
Não, a única coisa que faz é recuperação paralela, coisas básicas, mas assim como avaliar...
Vocês trabalham entre áreas, não tem projetos interdisciplinares?
Não, tem alguma coisa assim, tem, mas se eu não for atrás, por exemplo, eu tentei fazer um
projeto com o professor de ciências, aí tem certas coisas, mas não é tão forte.
Porque você disse uma vez que tem uma coisa de respeitar o tempo do aluno, que é
importante esperar, não precisa ter pressa, é importante que eles aprendam, isso é uma
diretriz da escola? Não é? Pedagógica? ou é uma coisa tua, pessoal?
Não, é minha, de outro...mas não tem assim, do conjunto de professores, a minha escola é uma
briga muito grande, então na escola que eu trabalhei, particular, é isso, não tinha opção de não
querer, era para trabalhar aquilo, então a gente seguia, ia atrás, não pode ser mecânica, então
dentro da minha escola tem muitas linhas, então a gente procurava, mas aqui é muito difícil, tem
muitas correntes, muitas divergências, e aí também a supervisão também não... se eu te dou um
228
trabalho de avaliação de um aluno, eu espero resultado, eu nunca recebi, mas se não tem, nos
meus planejamentos nunca veio nenhuma resposta, nunca veio, eu não falo nem de mim só, eu
tenho que ser puxada a orelha, para entregar muita coisa escrita, mas eu tenho vários colegas
que entregam, nunca foi lido, então isso criou com aqueles, criou divergência, então é briga,
supervisão e professores, a idéia da minha escola, a supervisão não faz nada, não consegue unir,
eu tento entrar assim, no ritmo da escola, mas não são todos.
Por que você está sempre com as quintas series? Desde que você entrou na escola? São
quantas quintas?
Três quintas. Porque é o professor mais antigo que escolhe.
Voltando então para a quinta série, você tem uma perspectiva de ensino, assim clara, que
você pode dizer, eu trabalho desta maneira, que eu acho que assim que é certo, que eu
gosto de trabalhar de certa maneira?
Não, às vezes eu acho que tem que construir o conhecimento com eles...
Como que tu organiza as aulas, por exemplo?
Eu faço assim, por exemplo, eu vou começar a estudar frações, aí eu vou lá e dou uma estudada,
eu vejo como é que eu vou trabalhar, eu faço um estudo de frações, uma idéia geral, vou
trabalhar com isso, depois eu me organizo sempre um dia antes, vou trabalhar isso, tem esse
exercício do livro...
E o esquema geral das aulas é como? Você organiza como, avalia como?
Eu faço assim, conforme for o ritmo deles.
Em função da classe? Mas pensa um bimestre por exemplo?
Tem que fazer uma prova, uma avaliação geral, depois tenho que fazer exercícios, para eles me
entregarem durante a aula, não é sempre definido, única coisa definida é que eu vou pedir uma
avaliação de cada assunto que eu trabalhei, por exemplo, eu trabalhei mínimo múltiplo, eu vou
pedir um exercício para eles me entregarem.
É por conteúdo então?
Isso, depois de outro assunto, outra avaliação.
Então cada conceito, tem uma avaliação e aí no conjunto?
Depois eu faço uma com todos os conceitos, por exemplo, eu agora vou trabalhar frações, eu
poderia então dar uma avaliação de frações equivalentes e comparação, depois uma só de
operações, depois uma geral, mas daí eu continuo, sempre que eu consigo, que eu venço, o que a
gente faz em sala de aula, por exemplo, o aluno tem dificuldade de escrever mas ele de vez em
quando produz muito.
E vocês tem recuperação paralela, funciona como?
Ou com avaliação ou através da observação, eu faço muito através da observação.
Como assim através da observação, você anota?
Não, mas eu consigo saber exatamente o que ele faz,
Dos alunos que tem dificuldade? Ou todos?
Por exemplo assim, eu sei falar, um acompanhamento geral eu consigo.
Mas você registra isso como avaliação?
Registro, de preferência eles querem isso.
Mas você faz um relatório do aluno, por escrito?
Não, mas eu tenho que dar uma nota, por exemplo, então eu olho, por exemplo, ele tirou cinco,
mas durante a aula, durante os exercícios, ele faz tudo direitinho em sala de aula, na recuperação
paralela pode ser feita isso, tanto no Estado como na prefeitura, é uma observação do professor,
eu estou sempre observando.
E você acha que é de fato uma recuperação?
É, mas recuperação paralela seria de tarde, mas não existe isso, para você fazer a recuperação
paralela daquele teu bimestre a cada avaliação, só que a recuperação não é de prova, é de
conteúdo, ela não precisa ser através de provas.
Você considera que esta observação do andamento, do acompanhamento do aluno durante
as aulas, é suficiente
É, por exemplo, eu dou uma atividade para eles e deixo eles fazerem, aí todo o mundo está
fazendo, e eu estou anotando, eu não anoto o aluno...
E você chega a alterar a nota do aluno?
229
É, mas isso no Estado a gente faz também.
E eles têm dificuldade em matemática, os alunos, na quinta série?
Tem, muito.
E do conteúdo que a gente vai trabalhar, as frações, você já trabalhou frações outras
vezes, como você vê esse conteúdo, funciona, não funciona, o panorama do conteúdo?
Eu acredito que eles acham muito difícil, e cada vez que eu vou trabalhar frações, para mim, é...
um jeito novo, é como se eu não soubesse, eu nunca sei qual é a maneira certa.
Por que às vezes você tenta mudar?
É, por exemplo agora eu tento trabalhar mais com a parte.... discreta, mas eu nunca tenho
certeza se essa é a melhor.
Por que você resolveu? Você achou que era mais interessante?
Porque eu achei que era mais interessante, mais do dia a dia deles, tudo bem a visualização, mas
a parte... eu acreditei por isso, mas eu não tenho nada...
Não tem nada especifico sobre ensino de frações que a gente já poderia estar prevendo,
que vão acontecer, por que você já deu aula sobre isso, e daí você já tem em mente?
Não.
Porque decerto já aconteceu, mas você nunca pensou?
Não, nunca pensei.
A idéia que você tem, a idéia geral, é que os alunos tem dificuldade, não compreendem
bem?
É, não compreendem bem.
Você sempre trabalha frações na quinta serie?
Sempre, sempre a gente acaba mudando um pouquinho, um pouco sempre acaba mudando, às
vezes você trabalha mais com material concreto, uma outra linha, às vezes acha que não dá
certo, eu nunca trabalho exatamente igual.
Você tem uma ênfase bastante na aplicação, problemas, situações, isso vem da tua
experiência ou uma coisa que tu pensa do ensino?
Acho que as duas coisas, da experiência também, porque os alunos cobram muito, para que eu
vou usar isso, então para eles acharem isso importante, se eu posso ensinar um conteúdo de uma
maneira que é só visualização ou de outras que para eles vai ser mais interessante, eu tento
trabalhar com essa, mas tem anos que eu preparo conforme está o meu tempo, tem anos que eu
preparo materiais, mais elaborado, tem anos que acaba sendo mais...
Mas olhando hoje, tu é professora faz um tempo, você se formou faz um tempo, tu é
professora efetiva de uma escola, tem um vinculo institucional com uma escola, como tu é
hoje em relação a quando você começou a dar aula? Ou quando tu era aluna? como tu te
vê hoje como profissional? foi esse desenvolvimento profissional, como foi essa trajetória?
Não sei, eu tento estar sempre melhorando, eu nunca acredito que... apesar de eu passar uma
certa segurança, eu sempre acredito que alguma coisa possa melhorar, e que eu não fiz porque
alguma coisa não deu.
E esse percurso de você chegar a ser professora? Como foi até agora? O que foi esse
percurso?
Eu sou muito mais crítica do que eu era antes, eu sou muito crítica com meu trabalho, mesmo
que eu erro, eu sou muito crítica comigo.
Isso quer dizer exigência?
É, mas as vezes eu sou crítica mas não sou exigente, eu consegui ver meu erro, mas eu estou
cansada, eu não consigo... eu vi que eu errei mas eu fui lá e não fiz
Então o que marca o teu perfil como professora é a coisa da crítica? De ter um olhar
crítico da tua prática? É isso que marca a tua trajetória?
É, e um conhecimento maior, e a segurança de lidar com os alunos, e ter segurança com o
conteúdo, mas quando eu falo ter uma certa segurança, é não achar que aquilo é definitivo, eu
tenho consciência que tem uma maneira melhor de ensinar, só que eu não sei como, mas de
repente eu não fui atrás, eu tenho consciência de que aquilo não é definitivo.
230
Entretien préalable – Traduction des transcriptions
Enseignante experte (S)
D’abord des questions sur la formation. Qu’est-ce que tu as fait comme formation, tu as
choisis le cours de formation d’enseignants? Pour quoi as tu choisis les mathématiques?
J’ai suivi le cours de mathématiques à l’Universidade Federal de Santa Catarina, j’ai fait la
formation d’enseignants... j’ai choisi les maths parce que j’ai toujours aimé les sciences exactes,
mais aussi parce que je viens de loin, de la région du Rio Grande do Sul, alors ou je réussissais à
l’examen pour entrer à l’université, ou bien j’étais obligée de rentrer chez moi, alors j’ai eu
l’occasion d’habiter chez des amis de mes parents ici, et d’être à l’université ... chez moi il n’y
avait pas d’université proche, alors il fallait venir habiter ici... tout le monde me parlait des
mathématiques... devenir prof, enfin...
Et tu as choisi le cours de formation d’enseignants?
Oui, aussi en fonction du travail, comme une possibilité de travail.
Alors tu voulais être enseignante?
Aussi. Quand j’étais petite je voulais être enseignante, mais après, je voulais étudié
l’architecture, mais je n’avais pas les moyens, je n’aurais pas réussi l’examen, alors je n’ai pas
pris des risques, en plus personne m’a jamais soutenu... alors j’ai choisi le cours de formation
d’enseignants.
Dans le cours de formation, nous avons une partie qui est une formation pédagogique, et la
formation dans le domaine spécifique, qui sont les disciplines des mathématiques, alors
comment tu analyses ta formation, pour devenir enseignante?
Les matières spécifiques, on a eu beaucoup de disciplines qui ont contribué, beaucoup même,
par exemple, pour savoir, pour avoir une notion de nombres réels, et comprendre que entre zéro
et un c’est infini, parce que si tu as fait seulement l’école secondaire, tu pourrais enseigner en
cinquième année, mais tes connaissances sont.... ne sont pas très larges... alors je pense que la
formation a beaucoup aidé, plusieurs disciplines, mais il y en a que je pense que non, n’ont pas
eu de sens, par rapport à l’école, enfin.... dans le domaine de l’éducation, la didactique,
l’organisation scolaire, par exemple, moi, j’aurais pu en profiter beaucoup plus, ça aurait pu être
différent, je ne sais pas...mais je sais que dans les mathématiques j’étudiais beaucoup, beaucoup,
et j’avais toujours six 12 , en didactique par exemple, je lisais le texte, et j’avais neuf, dix, alors
jamais je...pour moi, je ne pouvais pas passer l’après midi à lire des trois textes en didactique, si
j’avais tant de choses à étudier en mathématiques, je lisais un peu, on discutait en classe...
Par rapport à la façon comme tu travaille aujourd’hui, il n’y a rien que tu identifies dans
ta formation, qui a un rapport avec ton travail, l’école, les élèves?
Non. Beaucoup plus les cours que j’ai fait dehors, mais je n’ai pas su en profiter, les textes, je ne
lisais pas, ou je lisais rapidement et j’arrivais à m’en sortir, et je travaillais aussi...
Et le stage?
Le stage, j’ai fait avec un enseignant, j’ai oublié comment il s’appelle .... j’ai aimé, un peu, le
stage, mais parce que l’enseignant m’a aidé, il m’a donné des pistes, mais il était assez novice
aussi, dans une autre école, le stage, l’enseignant était très dur, tout le temps il changeait d’avis,
je ne pense pas que cella a contribué, des choses comme l’organisation...
Quand tu as fait ton stage, tu travaillais déjà?
Oui, j’avais déjà commencé à enseigner, je ne me souviens pas bien, mais je pense que oui, je ne
comprends bien à quoi sert le stage... mais ce qui m’a aidé a été la question de l’organisation des
cours, parce que dans le stage l’impression que j’avais était, si j’efface le tableau correctement,
des choses comme ça... je pense que c’est important de savoir comment on efface le tableau,
qu’il faut écrire la date... est-ce que c’est important?
Et tu as fais ton mémoire de conclusion de cours sur quel sujet?
J’ai fait un mémoire sur les mosaïques, parce que j’ai cru que c’était plus....
12
Au Brésil, les notes vont de zéro à dix.
231
Ce n’était pas sur l’enseignement? Tu as fait une étude des mathématiques des mosaïques?
Oui
Et d’où vient ton intérêt pour ce sujet?
Parce que j’ai toujours aimé la géométrie, j’aurais aimé faire de l’architecture, alors c’était
comme un petit lien, une façon d’approcher les deux choses...
Et tu as fait des cours de formation continue?
Quelquefois, mais pas souvent.
Cela ne t’intéresse pas? Ou ça dépend du sujet du cours?
Parfois on ne sait même pas d’avance de quoi il s’agit, mais j’avais une collègue avec qui je
discutais beaucoup, tout le temps on discutait, dans l’école privée ... ils travaillaient avec du
matériel concret, comment travailler...pendant la formation nous n’avons pas eu ça, je crois que
la formation nous a aidé a ne pas être limité, connaître un peu tout, l’esprit plus ouvert... mais
des questions sur l’enseignement, je crois que j’ai appris dehors, avec ma collègue, on travaillait
ensemble, on discutait ensemble...
Dans l’école où tu travailles, vous avez un travail pédagogique?
Non, pas dans mon école, mais dans l’école privée, j’ai travaillé un an dans une école privée, de
la cinquième à la huitième année scolaire, et encore un an, avec des cours d’accompagnement
des élèves en difficulté, alors on avait du temps réservé pour le travail pédagogique, un jour était
dédié à la planification du travail...
Et cette expérience a été riche pour toi, à l’école privée?
Oui, beaucoup.
Parce que il y avait plus de temps? Des conditions?
Non. C’était une question de vision, de comment on conçoit... je travaillais comme ça, deux
cinquièmes, on divise en cinq parts, multiplie, je ne travaillais jamais avec l’équivalence, c’était
bien mécanique, je ne crois pas que ce que je fasse soit une merveille, mais j’ai la notion qu’il
faut que ça s’améliore, je n’avais pas cette notion avant, j’ai la notion que je peux changer,
certaines choses, pas tout, des choses que j’arrivais à changer, quand je peux je change, mais j’ai
eu cette notion énorme, ça a beaucoup contribué...
Tu te considères toujours en formation?
Oui, en effet, quand j’ai l’occasion de faire un cours... cette année je n’arrive pas en fonction de
mon emploie du temps, mais un an j’ai fait un cours d’un semestre, c’était sur la recherche, je ne
me souviens bien, je ne me souviens bien.... vraiment, ce qui a beaucoup contribué a été l’école
privée, avec la collègue, le groupe, parce que on discutait tout le temps, pendant la pause, au
téléphone, pour moi, c’est ça qui a compté, ma collègue m’indiquait tant de choses...
Et après la formation, tu as passé le concours?
Oui, j’ai finis en 2000 et on m’a appelé tout de suite après le concours.
Et tu a eu d’autres activités avant de travailler comme enseignante?
Non, j’ai une bourse pendant l’université
Mais ça te plaît d’être enseignante?
Oui, mais je n’aime pas... parfois je me sens fatiguée, à cause du bruit, cela me dérange
beaucoup, je n’arrive pas à enseigner avec du bruit, quand je parle... le salaire aussi, parfois je
perds la motivation, mais j’aime beaucoup enseigner, j’adore!
Et ton insertion à l’école?comment c’est passé?
Je travaillais dans une école d’abord, j’ai changé pour aller travailler à l’école privée, après la
directrice m’a demandé d’y rester, mais on m’a appelé au service public avant.
Et l’école où tu travaille maintenant, n’a pas de projet pédagogique?
L’école a un projet, mais je ne vois pas... on fait la planification des cours, cela m’est arrivé une
fois, l’équipe pédagogique ne lit même pas ce qu’on fait, alors, on ne le fait plus.
Alors vous travaillez de façon isolé, chacun a sa façon?
Oui, à peu près, oui... dans l’école il y a une dispute.. à l’école privée où j’ai travaillé, on n’avait
pas le choix, il fallait suivre les principes de l’école, mais dans mon école, non, il y a plusieurs
tendances, c’est très difficile, il y a beaucoup de divergences...
Et tu travailles toujours avec les cinquièmes années? Depuis que tu as commencé dans
cette école? Il y a combien de classes de cinquième?
Il y en a trois. C’est parce que c’est l’enseignant le plus ancien qui choisit d’abord.
232
Et tu peux dire que tu as une idée claire de comment travailler, une perspective?
Non, parfois je pense qu’il faut construire les connaissances avec les élèves...
Tu organises tes cours comment?
Je fais comme ça, par exemple, je vais commencer à travailler les fractions, alors j’étudie un
peu, je regarde comment je vais travailler, je fais une étude des fractions, une idée générale, je
vais travailler ceci, alors après je m’organise la veille, je vais faire ceci, il y a cet exercice dans
le manuel..
Et la séquence des cours, c’est comment? L’évaluation tu fais comment?
Je fais comme ça, selon leur rythme... il faut avoir une évaluation principale, après il faut que je
fasse des exercices aussi, il me les rendent pendant le cours, ce n’est pas défini... la seule chose
qui est définie c’est qu’il faut avoir un contrôle pour chaque contenu, par exemple, j’ai travaillé
les multiples, alors je vais leur proposer un exercice là dessus... après je fais un calcul de la
totalité des contrôles, par exemple, je vais travailler les fractions, je peux donc faire une
évaluation sur les fractions équivalentes et la comparaison, après une autre sur les opérations,
ensuite une plus générale, mais je considère aussi ce que l’élève fait en classe, par l’observation.
Tu observes l’élève et tu prends des notes?
Non, mais j’arrive à savoir ce qu’il fait, j’arrive à les accompagner... il faut que je leur donne
une note, je regarde par exemple, il a eu cinq, mais pendant le cours, les exercices, il faut tout
correctement, alors on peut revoir ça, c’est une observation de l’enseignant, je les observe tout
le temps.
Et les élèves ont des difficultés en mathématiques? À la cinquième année?
Oui, beaucoup.
Sur les fractions, tu as déjà enseigné les fractions avant, comment tu vois ce objet
d’enseignement?
Je crois qu’ils ont beaucoup de difficultés, à chaque fois que je vais travailler les fractions, pour
moi, c’est nouveau, c’est comme si je ne savais pas, je ne sais jamais comment il faut faire...
Et parfois tu changes d’approche?
Oui, par exemple, maintenant j’essaye de travailler l’approche... discrète, mais je ne suis jamais
sûre si c’est le meilleur choix.
Pour quoi tu as choisi cette approche?
Parce que j’ai trouvé que c’était plus intéressant, plus courant, bien sûr il y la visualisation,
mais.... c’est pour ça que j’ai cru que... mais ce n’est pas très sûr.
Il y a quelque chose sur l’enseignement des fractions qu’on pourrait prévoir comme
question, comme difficulté?
Non... je n’y ai jamais pensé.
Tu as une idée, quelle est la difficulté des élèves, qu’est-ce qu’il ne comprennent bien?
Ils ne comprennent pas bien.
Tu travailles toujours les fractions en cinquième année?
Toujours. On change toujours un peu aussi, on finit par changer, parfois avec du matériel
concret, une autre approche, parfois on croit que cela ne marche pas, je ne travaille jamais
pareil.
Mais tu préfère l’application, les problèmes, les situations, cela vient de ton expérience, ou
d’un point de vue sur l’enseignement?
Je crois que c’est les deux, de mon expérience aussi, parce que les élèves posent beaucoup de
questions, pour quoi est-ce que je vais utiliser cela? Alors pour qu’il donnent de la valeur, si je
peux enseigner quelque chose de façon à permettre la visualisation, ou bien dans une autre
approche qui sera plus intéressante, je vais travailler celle-là, mais des fois je prépare les cours
quand j’ai le temps, parfois je prépare du matériel plus élaboré, parfois moins...
Quand tu regardes aujourd’hui, tu travailles depuis plusieurs années, comment tu
analyses ta pratique, le développement de ton activité professionnelle?
Je ne sais pas, j’essaye d’améliorer toujours, je ne crois jamais que c’est bien comme ça, même
si je semble être sûre de moi même, je crois qu’on peut toujours améliorer...
Et ton parcours jusqu’à présent? Comment c’est passé?
Je suis beaucoup plus critique que avant, je suis très critique à propos de mon travail, je suis très
critique avec moi même...
233
Cela veut dire que tu es exigeante?
Oui, mais parfois je suis critique mais je ne suis pas exigeante, j’arrive à identifier mon erreur,
mais je suis fatiguée, je n’arrive pas... je vois que j’ai fait une erreur, mais je n’ai rien fait...
Alors on pourrait dire que ce qui marque ton profil comme enseignante c’est la capacité
d’être critique?
Oui, c’est une plus grande connaissance, et la sûreté de me mettre en rapport avec les élèves, et
d’âtre sûre du contenu, mais quand je parle d’une certitude, ce n’est pas de penser que c’est
définitif, j’ai conscience qu’il y a une autre façon d’enseigner, mais parfois je ne sais pas
comment...parfois je n’ai pas cherché à savoir...
234
Entretien préalable - Transcription originale
Enseignant novice
Então, primeiro sobre a formação, o que tu fez como formação, tu sempre escolheu
matemática, foi tua primeira escolha de graduação?
Não, na verdade não, eu sou de São Paulo, então a primeira que eu fiz... foi, eu tentei
Engenharia, em São Paulo mesmo, daí eu não passei, então como eu já trabalhava com
computador, eu fui fazer processamento de dados, daí eu me formei em São Paulo, aí quando eu
vim para cá, eu sempre gostei das cadeiras de Matemática, do curso, daí eu vim para cá para
prestar Matemática... eu ia até fazer bacharelado, mas como eu também trabalhava aqui e o
bacharelado pegava dois turnos, eu optei pela licenciatura, mais por uma questão de horário (...)
Aí eu fiz a licenciatura, e durante o curso de licenciatura, eu fui gostando exatamente... das
cadeiras pedagógicas, eu nunca pensei assim em ser professor, eu praticamente comecei a ter
essa idéia da metade do curso em diante.
Você nunca tinha dado aulas antes de formado? Só teve a experiência de estágio?
É, foi no estagio...
E como foi a experiência do estágio? Tu fizeste em qual série?
Eu fiz na sétima série e no segundo colegial. É meio assim, um pouco traumatizante, pelo fato
de eu nunca ter dado aula, e a própria situação do estágio, quer dizer, nunca ter dado aula pela
primeira vez, se fosse só você e os alunos já era complicado, ainda tem o professor da cadeira,
você fica... não sei, mais pressionado, mais...o conteúdo em si não assusta, porque quem faz
Matemática aqui na UFSC 13 , não tem problema, é mais como lidar mesmo com a sala, com os
alunos, quais situações que vão acontecer, você não tem idéia do que possa acontecer na sala de
aula, mais por isso, como você vai reagir, determinadas coisas...
Depois de te formar você fez o concurso, há dois anos atrás?
É, eu fiz o concurso antes de me formar, em 2000, eu me formei em 2001, mas eles demoraram
dois anos para me chamar, então eu fui dando algumas aulas como professor substituto, no
Estado e na Prefeitura. Meu concurso foi no Estado, comecei a dar aula em 2002, na Prefeitura,
como substituto, daí me efetivei no Estado no ano passado, passei, e continuei dando aula como
substituto na prefeitura, fiz o concurso na prefeitura, passei e espero que eles me chamem no
ano que vem, como efetivo.
Então tua experiência do estágio, tu acha que teve importância para a tua prática hoje ?
A experiência que vale é exatamente de depois, você como professor da turma já ter passado
pela experiência de algumas situações de sala de aula, não, o estágio em si, porque o estágio
como a gente fez, em dupla, eu dava dez aulas e meu amigo dava dez aulas, então quer dizer,
dez aulas eu acho que é, pouquíssimo, você não consegue... e também por ser uma coisa rígida,
fechada, mesmo que você tenha uma experiência grande, e quer tentar fazer alguma outra coisa,
não dá tempo.
E em relação aos conteúdos que você estudou na graduação, o que você estudou, o que
contribuiu?
É, na verdade, a grande maioria da matemática que a gente estuda na graduação é diferente, até
aparece, como eu dei aula, para a quinta à oitava não, mas no segundo grau tem, nos
laboratórios a gente trabalha conteúdos de no segundo grau, mas do primeiro grau não,
principalmente quinta série, sexta série, nada disso serve, é bem diferente, mas eu vejo mais o
aproveitamento das... das pedagógicas mesmo, como vai ser sua relação com o ensino com o
aluno, e não as cadeiras da matemática, até por isso as cadeiras que eu fiz como optativas, foram
voltadas para a educação, eu fiz história da educação, filosofia da educação, sociologia da
educação.
Isso tu acha que ajudou, mesmo sendo conteúdos mais teóricos?
Ajudou! Era um pouco difícil porque, você vai pegar uma cadeira dessas, filosofia da educação,
é do curso da filosofia, eles já estão na oitava fase, eles têm todo um conteúdo para as
13
Universidade Federal de Santa Catarina
235
discussões, você fala pouco mas escuta muito, isso é legal, você aprende bastante, é outra
dinâmica de aula, a gente não está acostumado na matemática, a gente está acostumado com
sentar, ver a explicação, fazer o exercício. Ali é discussão, lê isso aqui para a próxima aula, é
discussão, eu li isso aqui, eu acho isso, não é assim, até para a gente tentar, verificar que tem
uma outra possibilidade de aula, né? realmente dialogada...
E como foi tua inserção na escola? Você chegou como o professor novo da escola, o único
professor de matemática da escola?
É, eu cheguei, tinha um substituto, eu acho que nos últimos dois anos era substituto, então
provavelmente o professor deve ter se aposentado, não tenho certeza agora, mas nos últimos
dois anos eram substitutos, e aí era ruim porque não sei também se o professor não ficava o ano
todo, às vezes tinha dois três professores no ano, mas eu cheguei no começo do ano, o problema
é que até eu conseguir me apresentar, eu praticamente perdi toda aquela primeira fase de
discussão, as reuniões pedagógicas, eu perdi a discussão do projeto político-pedagógico, então
eu praticamente cheguei no final de fevereiro, começo de março já para dar aula, um pouco
complicado, porque eu não tinha relação com os professores, minha carga horária é 20 horas
cheia, então eu vou quatro dias na semana e dou as cinco aulas, eu saio de uma aula vou para
outra, a gente tem praticamente só o recreio mesmo para sentar e conversar com os outros
professores, não tem uma aula vaga, é muito corrido.
Então você esta na escola há um ano e meio? E, neste período, que outras atividades
aconteceram na escola, fora esta tua rotina, de tu ir lá, chegar, dar aula, que permitiram
tua inserção profissional?
Tem, tem os encontros pedagógicos, da escola, que são, que eram bem espaçado, esse ano a
gente está tentando fazer um a cada quinze dias ou um a cada mês.
Tem um só professor de área então?
É, na verdade tem dois de português e dois de história, o resto é um só, um de geografia, um de
ciências, o grupo de professores é pequeno, são sete oito professores no máximo.
E tem uma coordenação, tem alguém que trabalha junto com os professores, ou tu não
identificaste um trabalho pedagógico na escola?
Tem a... que é a coordenadora, como tem a supervisora, mas eu acho que está se tentando fazer
esse... tipo de trabalho, no ano passado, esse ano já está melhor, mas, muito, muito distante
assim... não tinha, tu não enxerga claramente o papel da coordenação na questão da articulação
entre os professores.
Mas a escola tem um projeto pedagógico, que você conhece?
Tem, conheço. Desse ano, esse ano eu pude pegar desde o começo, então nas reuniões do
começo do ano a gente sentou, elaborou, discutiu, mas desse ano, porque esse ano eu pude pegar
desde o começo do ano, então este ano a gente discutiu.
E esse projeto chega a caracterizar a escola, o ensino, de alguma maneira ?
Teoricamente tem... tem algumas coisas escritas até no projeto, como a caracterização da
comunidade que está ali, este perfil e os projetos de temas do que vai ser trabalhado, mais
teoricamente, porque na prática da sala de aula, você pode não perceber isso claramente, mas o
projeto ainda não, acho que vai demorar um tempo, nosso projeto está sempre em modificação,
acho que vai aparecer ainda, daqui a uns três anos, até os professores acreditarem naquilo....
E atividades de formação continuada, você não participou ?
A gente recebe convite, mas fora isso a escola faz parte do Fórum do Maciço, de 9 escolas, que
fazem parte do Morro do Maçiço, que acho que o Padre Wilson que organiza isso, a gente tem
encontros mensais, cursos de aperfeiçoamento que são oferecidos pelo fórum, varias áreas,
projetos, como o projeto de contar histórias. Normalmente tem oito ou nove, tem cursos de ano
todo, quinzenais, fora os encontros do Maciço, organizados pelo Maciço, ligado à Secretaria,
que financia os cursos, mas quem vai atrás dos professores para os cursos é o Fórum. O ano
passado foi um pouco prejudicado, uns cursos não aconteceram...
E como tu começou a organizar as aulas, então, chegando na escola e com pouca
experiência?
Praticamente eu fiz assim, apesar de não adotar um livro didático específico, eu peguei umas
duas ou três coleções, vi a organização dos conteúdos e organizei meu plano anual, mais por
intuição, alguns livros têm outra organização, principalmente a geometria, mas eu ainda não
236
consegui assimilar isso muito bem, como esse livro do Bigode, alterna o tempo todo os
conteúdos, mas eu acho que simplesmente jogar ali o conteúdo não resolve....
E as aulas mesmo, o que você faz normalmente nas aulas ?
Normalmente eu trabalho um assunto, não necessariamente um capítulo do livro, não
necessariamente, normalmente por assunto, períodos pequenos, duas semanas, eu vejo se o
assunto cabe nesse período e tento fazer uma avaliação, uma retomada deste período, isso dentro
do bimestre. Então em algumas semanas, eu procuro fazer varias avaliações, trabalhos, para
casa, na escola mesmo. Eu tento fazer o máximo possível de avaliações escritas, cinco ou seis.
Fora isso eu dou uma nota mais qualitativa, de participação na aula, se não falta muito.
E assim está caminhando bem?
Do ano passado para esse, já melhorou bastante, porque fora a quinta série, para todos eu já dei
aula o ano passado, então pelo costume do aluno com o professor, de eu me acostumar com ele
e ele se acostumar comigo, ele já sabe como eu trabalho, até onde pode ir, até onde não pode ir,
quando tem que prestar atenção, então no ano passado era muito ainda um modo de ir testando,
sempre no limite, eles querem sempre ver a parte deles e não vêem a parte do outro, bastante
conversa, a gente vai mudando isso e vai ajeitando isso, com certeza o ano que vem vai ser
melhor, para essas turmas, por exemplo, para essa turma que eu vou dar aula no ano que vem.
Você tem tido muita reprovação, ou não tem tido, ou a escola tem uma política de não
reprovação forte?
Não tem tido, não tem nenhuma indicação implícita ou não, que a gente sinta isso no conselho
de classe, tem pouca reprovação porque eles acompanham mesmo....acontece, tem caso da
quinta seria, de aluna que estava fora a escola, a gente já sabia, que ela ia fazer de novo a quinta
seria. O que acontece mais é que aqueles que iam reprovar abandonam a escola, faltam muito, a
gente tenta ir atrás, não sei porque que eles estão deixando, precisam trabalhar, não sei, eles
seriam reprovados. Se eles não acompanham a aula, não tem como... então eles seriam
reprovados, não porque não tenham capacidade de entender....
E esse conteúdo específico que a gente vai acompanhar, você já trabalhou no ano passado?
Em frações, eu não comecei ainda esse ano, mas acho que até eles vão ter um entendimento
melhor do que a turma do ano passado. Da quarta seria, o que eles vêm é o inteiro a parte, o
denominador, numerador, o conceito, eles sabem o que representa aquilo, mas para fazer conta
com isso, isso tudo eles vão ver agora, e essa parte, esta relação, a comparação é que talvez
preocupe mais, eles conseguirem realmente entender, que apesar dos números estarem ali, não
representam a mesma parte do inteiro.
E como você vê esse conhecimento especifico?
Este tipo de reflexão dos conteúdos, eu na verdade nunca parei muito para pensar, só uma coisa
ou outra, das frações em si, acha que a quinta série é um bom local, não sei se eles teriam
maturidade para desenvolver operações com frações, não sei, eu até sinto que na quinta seria
eles tem dificuldade nas operações com números naturais, então eles teriam também dificuldade
nas operações com frações, eles têm que fazer também a operação em si, com números naturais.
Operações, ou é o problema da tabuada ?
É, a divisão e a multiplicação, eles têm essa dificuldade, principalmente com números maiores,
acho que a tabuada, até eles dominam, um ou outro, mas tem dificuldade em dividir os números
maiores, do resto acho eles têm dificuldade com números naturais, na quinta série...
Pensando no currículo, você vai voltar ainda nas frações ?
Sim, na sexta serie, com números racionais, a gente volta, para estar relembrando, isso aparece
depois, tem problemas que envolvem frações, para enxergarem onde aparece aquilo, que
situações vai aparecer a fração,na hora de fazer uma divisão.
Em relação ao que tu estudou na metodologia do ensino de matemática, como você se
situaria ?
Eu acho que na prática em si, eu ainda estou mais para o que chamam de tradicional, explicar
um conteúdo, dar exemplo, eu explico duas, três vezes, basicamente eu ainda não, não consigo
fugir muito daquilo, conceito, aplicação do conceito... inverter a ordem, dar a situação, e eles
tentarem trabalhar o conceito, ver que aquilo se repete em determinadas situações, então a regra
é essa, a definição é essa, fora isso, acho que essas metodologias, me ajudam , me ajudaram
237
mais na questão da relação com o aluno, ainda não consegui transformar isso em prática mesmo,
talvez num ponto ou outro, mas não como uma constante...
E tem alguma coisa que tu acha que contribuiria para aprimorar ou modificar tua prática,
já teve a experiência de alguma coisa que provoca, uma leitura, uma atividade, uma
conversa..
As leituras ajudam, o que eu sinto dificuldade é que traz muita teoria mas tem poucos relatos de
prática, dessas tendências, tem muitas aplicações, mas a pessoa simplesmente aplica ali, mas
depois as pessoas não têm oportunidade de acompanhar aquilo.
Mais algum comentário ?
Na situação da escola, a questão do tempo, da experiência é uma coisa importante, em relação
ao ano passado, ou até quando a gente tem duas turmas da mesma série, quando a gente tem
duas quintas séries, a aula que eu dou numa hoje não é a mesma, porque as vezes tem diferença
de dois, três dias, então aquela aula que eu dei primeiro, na segunda, pelas perguntas dos alunos,
pela dificuldade que aparece, eu já sei que devia ter explicado de outra maneira, ou eu faço de
propósito, eu já lanço a pergunta para eles, já sei o que vai acontecer, mesmo de uma aula a
outra, de uma turma para outra, então as dificuldades que surgiram ali, eu já vou abordar de uma
outra maneira, eu já estimulo eles, eu já previ, claro, podem aparecer outras, mas aquelas você
vai dar um jeito de tentar minimizar, então com mais experiência chega um momento que você
vai melhorando, você pode prever, hoje uma coisa que eu não enxergo como sendo uma
dificuldade, daqui a dois ou três anos, eu vou enxergar isso como uma dificuldade, eu vou
chegar na oitava série, e eles não sabem fazer operações com frações na oitava serie, daí eu vou
ver, acho que ficou alguma coisa na quinta ou na sexta então o que acontece, por que de um ano
para o outro eles não conseguem levar, fazer associações do que aprende, acho que com o
tempo, na prática mesmo, fora os cursos, mas principalmente a prática.
238
Entretien préalable – Traduction des transcriptions
Enseignant novice
À propos de ta formation, tu as choisi les mathématiques pour quoi, est-ce que ça a été ton
premier choix?
Non, en réalité, je viens d’une autre ville, alors j’ai suivi d’abord un cours d’informatique, mais
quand j’ai déménagé, j’ai toujours aimé les disciplines des mathématiques, alors j’ai décidé de
commencer le cours de maths, je voulais faire le ‘bacharelado’, mais comme je travaillais, et le
cours prend toute la journée, j’ai fait la formation d’enseignants, surtout en fonction de
l’emploie du temps... pendant le cours, j’ai commencé à aimer les disciplines pédagogiques, je
n’avais jamais envisagé d’être enseignant, cette idée m’est venue à partir de la moitié du cours.
Et tu as commence à travailler comme enseignant à partir de la conclusion du cours de
formation? Ta seule expérience a été le stage?
Oui, le stage.
Et le stage, s’est passé comment?
Le stage a été un peu... problématique, le fait qu’il s’agissait d’une première expérience, et la
situation du stage, c’est à dire, entrer une première fois en salle, si ce n’était que nous et les
élèves, ça va, mais il y a encore le tuteur, on devient... je ne sais pas... stressé..ce n’est pas la
matière qui fait peut, si on a étudié des mathématiques à l’université, il n’y a pas de problème,
mais comment gerer la classe, les élèves, qu’est-ce qui va se passer, on n’a pas d’idée sur ce qui
va se passer en classe, comment tu vas réagir, certaines choses...
Et tout de suite après tu as passé le concours?
Oui, j’ai fini le cours en 2001, mais ça a pris deux ans pour qu’ils m’appellent, alors j’ai
commencé vraiment l’année dernière.
Quel a été donc l’importance du stage?
Ce qui compte est l’expérience qui vient après, tant que enseignant d’une classe, le fait d’avoir
été déjà en salle, mais pas le stage, parce que le stage, comme nous avons fait, seulement 10
cours, je pense que c’est très peu, tu n’arrives pas...
Et par rapport à ta formation initiale, ce que tu as étudié à l’université?
La plupart des maths qu’on étudie à l’université est différent... cela apparaît, mais comme je
travaille de la cinquième à la huitième année, pas beaucoup, mais au secondaire... mais au
primaire non, ce qu’on étudie, on ne voit pas, c’est très différent, mais je vois plutôt la
contribution des disciplines pédagogiques, sur les relations avec les élèves, plus que les
disciplines des mathématiques, comme l’histoire de l’éducation, la sociologie de l’éducation...
Et tu crois que cela t’ai aidé, même si ce sont des disciplines plus théoriques?
Oui! C’était un peu difficile parce que, un cours comme la philosophie de l’éducation,
appartient au cours de philosophie, ils savent discuter, on parle très peu et on écoute beaucoup,
mais c’est bien, on apprend, c’est un cours différent,on n’a pas l’habitude en mathématiques,
d’habitude on s’assit, on écoute l’explication et on fait l’exercice, alors que là c’est le débat, on
lit des textes, on discute, je pense comme ça, alors on voit qu’il y a une autre possibilité, c’est le
dialogue.
Et ton insertion à l’école, c’est passé comment?
Je suis arrivé et j’étais le premier enseignant concoursé, je suis arrivé au début de l’année, j’ai
perdu la discussion qu’il y a eu avant la rentrée, les réunions, le projet pédagogique, c’est
compliqué...je ne connaissait pas les enseignants, et je passe d’une salle à l’autre, on n’a que la
pause pour se parler, c’est trop pressé.
Alors tu est dans cette école depuis un an? Et dans ce temps, il y eu d’autres activités de
formation?
Il y a des rencontres pédagogiques, parfois chaque quinze jours...
Tu est le seul enseignant en mathématiques?
Oui, l’equipe d’enseignants est très petite, sept ou huit enseignants.
239
Et il y a-t-il une coordination, quelqu’un qui travaille avec les enseignants?
Il y a un travail pédagogique, mais c’est loin, je ne vois pas trop quel est le rôle de la
coordination dans le travail avec les enseignants.
Mais l’école a un projet pédagogique?
Oui, cette année j’ai pu participer aux discussions, les réunions au début de l’année.
Et ce projet est sur le fonctionnement de l’école, des cours?
En principe, il y a des choses écrites dans ce projet, sur la communauté, le profil des élèves, des
thèmes, mais dans la classe, on ne le reconnaît pas clairement, je crois que ce projet, ça va
prendre du temps, dans quelques années, peut être.
Et tu as participé aux activités de formation continue?
Il y a un forum, avec d’autres 9 écoles, nous avons des rencontres, des cours aussi, des projets.
Comment tu as fait pour organiser le travail, quand tu es arrivé dans cette école, sans
expérience?
Ce que j’ai fait c’est, même si je n’utilise pas un manuel spécifique, j’ai pris deux ou trois
collections, j’ai regardé l’organisation des contenus, et j’ai fait une planification annuelle, par
intuition, il y a des livres qui organisent les contenus différemment, mais je ne suis pas encore
arrivé à bien comprendre cette organisation, ça change d’ordre tout le temps, je crois que
changer simplement les contenus, ça ne donne aucun résultat.
Et les cours, tu les organise comment?
Normalement, je travaille un thème, pas toujours un chapitre d’un livre, pas toujours, mais un
thème, pendant deux semaines, et je fait un petit contrôle. Alors on a plusieurs contrôle à la fin
du semestre. Il y a aussi une note destinée à la participation des élèves en classe, s’ils sont
toujours là, s’ils travaillent bien.
Et tu as l’impression que ça marche bien?
Depuis l’année dernière oui, ça va mieux, parce que les élèves me connaissent déjà, de l’année
dernière, alors l’habitude qui a l’élève par rapport à l’enseignant, je le connais, il me connait, il
sait comment je vais travailler, qu’est-ce qu’on peut faire, qu’est-ce que on ne peut pas faire,
l’année dernière a été difficile parce qu’il testent jusqu’à la limite, ils pensent chacun à soi
même, pas aux autres, ils parlent trop, mais on change ça peu à peu, je suis sur que cette année
ça va aller mieux.
À propos de ce que nous allons accompagner, les fractions, tu as déjà enseigné les fractions
l’année dernière?
Je crois qu’ils vont mieux comprendre cette année. À la quatrième année ils étudient l’entier, les
parts, le numérateur, le dénominateur, le concept, ils savent ce que cella représente, mais ils ne
savent pas calculer, cela va venir cette année, le rapport, la comparaison, c’est ça que peut poser
des problèmes, qu’il puissent comprendre que les nombres sont là mais ils ne représentent pas la
même part de l’entier.
Et comment tu vois cet objet d’enseignement?
Ce genre de réflexion sur les contenus, en réalité, je n’y ai jamais pensé, peut être une chose ou
autre, mais je pense que à la cinquième année, c’est le moment de développer les opérations
avec les fractions, je ne sais pas... je pense que, même en cinquième année, ils ont du mal à faire
des opérations avec les naturels, alors ils auront du mal à le faire aussi avec les fractions...
Le problème c’est l’opération, ou les résultats des tables?
La division, la multiplication, il y a cette difficulté, surtout avec les nombres plus grands, les
tables de multiplication, ils connaissent bien, mais diviser.... ils ont des difficulté avec les
naturels en cinquième année.
Par rapport à la façon comme tu enseigne, tu te vois comment?
Je me considère plutôt un enseignant traditionnel, expliquer un contenu, donner un exemple,
j’explique une, deux, trois fois, je n’arrive pas à changer cela, concept, application du concept....
et inverser l’ordre, proposer une situation, et ils doivent travailler le concept, verifier si le
concept se répète dans plusieurs situations, et alors conclure la règle, la définition... je pense que
le cours de didactique, ça m’a aidé, plus à propos des relations avec les élèves, mais je n’ai
toujours pas réussi à modifier la pratique, peut être un aspect ... mais pas toujours.
Tu veux faire d’autre commentaires?
240
Dans l’école, le temps, c’est important, l’expérience c’est quelque chose d’important, par
rapport à l’année dernière, ou même quand nous avons deux classes, quand nous avons deux
classes de cinquième année, le cours que je donne dans une classe n’est pas le même que dans
l’autre, parce qu’il y a une différence de deux, trois jours, alors le cours que j’ai donné d’abord,
à la deuxième fois, en fonction des questions des élèves, ou des difficultés présentées, je me
rends compte que j’aurais du expliquer autrement, ou bien je fais exprès, je leur pose d’avance
une question, et je peux prévoir ce qui va se passer, même d’un jour à l’autre, d’une classe à
l’autre, je les motive, je prévois, bien sûr, d’autres difficultés peuvent apparaître, mais celles là,
on essaye de les minimiser, alors avec plus d’expérience il y a un moment où tu t’améliores, tu
peux prévoir, aujourd’hui une question que je ne vois pas comme une difficulté, dans deux ou
trois ans, je vais identifier cette question comme une difficulté, quand je vais arriver à la
huitième année, et que je remarque qu’ils ne savent pas faire les opérations avec des fractions,
alors je vais me rendre compte, que quelque doute est là depuis la cinquième ou la sixième
année, alors qu’est-ce qui se passe, pour quoi d’une année à l’autre ils n’arrivent pas à transférer
les connaissances, à faire des relations sur ce qu’ils apprennent, je pense qu’avec le temps, dans
la pratique, malgré les cours, mais surtout par la pratique.
241
242
ANNEXE 2
TRANSCRIPTIONS DES SÉANCES
243
TRANSCRIPTION ORIGINALE
ENSEIGNANTE EXPERTE
Aula 1
02/08/2005
P: A gente estava estudando frações, quem lembra? Vamos lembrar....
Escreve: 2/5 de 10 =
P: O que vai ser o dois quintos?
Os alunos têm dúvida, alguém menciona "divide":
P: Divide↑ Divido 10 em 5 partes. Vai dar...(escreve)
2
2
2
2
2
P: Pego dois, dá 4 (...)
P: A gente vai trabalhar frações equivalentes. O que será fração equivalente? Equivalente? Quer dizer o que?
Os alunos não tem muita idéia, fazem algumas sugestões. A professora adianta:
P: equivalente pode ser que tem o mesmo?
Escreve o título "Frações Equivalentes", e diz que vai organizar o quadro depois, que não precisava copiar por
enquanto.Mostra uma folha dividida em dois e uma parte hachurada, pergunta:
P: Como leio essa fração?
Os alunos hesitam um pouco, a professora ajuda indicando que tem uma divisão em dois e uma parte pintada, assim
os alunos acabam chegando no um meio. Mostra outra folha dividida em 4 partes, pintadas duas, questiona
novamente, um aluno sugere 2/4.
P: É o mesmo tamanho? Corresponde ao mesmo tamanho? Muitos alunos respondem "não", "são diferentes", tem
muita dúvida.
A professora decide usar outro argumento:
P: Se fosse de comer, ia ser a mesma coisa?
Os alunos ficam em dúvida. A professor insiste, procurando mostrar que são iguais. Para isso, sobrepõem as duas
folhas. Mesmo não muito convencidos, a professora concluiu:
P: Isso se chama frações equivalentes.
A professora faz o desenho no quadro, dois retângulos, tenta fazer de mesmo tamanho, afirma que devem ser do
mesmo tamanho. Uma aluna observa que não estão iguais, a professora passa rapidamente por esse problema.
Desenha também dividido em 8.
Afirma:
P: tem um método de encontrar frações equivalentes, para não precisar fazer o desenho. Eu tenho ½, se eu dividir
em 4, teria que pegar quantos?
Escreve: ½ = /4
Explica:
P: aqui eu multipliquei por 2, tenho que multiplicar também// vamos ver agora se eu quiser dividir em 8
Escreve
½ = /8
P: multipliquei por 4// tenho que multiplicar por quatro.
Um aluno sugere por 12, a professora considera a proposta.
P: se quiser por 12? Escreve ½ = /12 (escreve pequeno x6) multipliquei por seis/ (escreve em cima pequeno x6)
tenho que multiplicar por 6 (coloca o resultado).
P: agora ao contrário, dividi em 14, quanto eu vou ter que colorir?
Escreve 7/14 = /2
Ninguém compreendeu. Os alunos respondem 7, 2....
A professora percebe que eles não compreenderam e volta atrás.
P: Vamos ver com um que já tem o desenho, aqui fica fácil de visualizar:
4/8 = /2
P: se eu dividi por quatro, tenho que dividir por 4// então posso tanto multiplicar ou dividir, desde que seja o mesmo
número// anota o pequeno dividido por 4 e completa o resultado. Voltando então ao exercício, escreve de novo:
7/14 = /2 Dividi por quanto?
Alunos dizem 8, 7. A professora completa, explicando
P: dividi por 7/ deu 2/ tenho que dividir por 7/ dá 1. Então como eu faço mesmo?
A: multiplica ou divide
P: e os números tem que ser sempre?
A: iguais
P: agora vou organizar para copiarem (apaga o quadro e escreve)
Exemplo:
a) ½ = 2/4
b) ½ = 4/8
c) 4/8= ½
d)7/14=1/2
244
Enquanto os alunos copiam, a professora folheia o livro, olhando os exercícios.
P: vou passar uns exercícios para vocês! Escreve:
Verifique se as frações são equivalentes:
a)
2/7 e 6/21
b)
5/9 e 15/18
c)
16/10 e 8/5
d)
8/4 e 2/1
e)
2/9 e 4/10
f)
5/16 = 10/32
P: vou resolver a letra a com vocês.
a) 2/7 e 6/21
P: o que vocês observaram aqui? Para serem equivalentes/ eu divido ou multiplico pelo mesmo número// tem que
multiplicar ou tem que? (...) dividir!
(Escreve x 3 pequeno)
A professora aguarda os alunos fazerem os exercícios, bastante tempo, parece saber que e, breve será o final da aula e
não deseja retomar os exercícios. Alguns se levantam, brincam, a professora anda pela classe, um aluno afirma ‘eu
não sei fazer essas contas aí’, outra aluna pergunta ‘como faz para saber que é de multiplicar ou de dividir’? A
professora responde pessoalmente. Pergunto se a professora acha que os alunos compreenderam o conceito de
equivalência, a professora responde: alguns sim, outros não.Pergunto por que a professora preferiu iniciar com a esta
abordagem, pela figura, já que até então os alunos tinham trabalhando somente com fração de quantidade. A
professora diz que ‘pareceu melhor’. Afirma que vai trabalhar equivalência com quantidades na próxima aula, mas
que teve dificuldade quando, em outra turma, foi trabalhar a comparação pelas quantidades.
Aula 2
04/08/2005
P: Abrindo o caderno, eu vou fazer a chamada//(faz a chamada) (...) eu vou fazer a correção/ com vocês/ e vamos ver
mais alguma coisa/ de frações equivalentes, ta? // vou pegar os valores aqui// (anota no quadro todos os exercícios da
aula anterior)
Correção:
a)2/7 e 6/21
P: então vamos ver aqui/ vamos verificar se elas são equivalentes/ atenção aqui↑// então vamos verificar aqui↑duas
vezes três/ dá seis/ e aqui/ sete vezes três/ dá? / vinte e um↑então isso quer dizer que elas são o que?// equivalentes↑
A: pode colocar certo?
P: pode↑pode colocar certo↑
A: acertei/ professora↑
P: então coloca certo↑
(passa ao exercício seguinte)
a) 5/9 e 15/18
P: aqui eu multiplico vezes três/ aqui vezes? Dois/ então/// (escreve não no quadro)
c) 16/10 e 8/5
P: essa aqui↑ divido aqui por?// dois↑ divido aqui por dois/ como os valores aqui são iguais/ então quer dizer que elas
são? Equivalentes↑
A: eu acertei também↑
d) 8/4 e 2/1
P: aqui/ divido aqui por quatro/ e aqui também divido por? Quatro↑também são? Equivalentes↑
A: essa não é↑
A: é/ não é↑
A: e a outra é↑
e) 2/9 e 4/10
P: aqui multiplico por dois/ e aqui por que eu multiplico? É dez aqui mesmo ou é dezoito?
A: dez↑
P: aqui não tem como multiplicar por um numero natural/ que dá dez/ então aqui não?/ são equivalentes↑
e) 5/16 e 10/32
P: aqui/ multiplico por dois/ e aqui eu multiplico por dois/ então quer dizer que elas são?// equivalentes↑só para
comprovar que são equivalentes/ vamos fazer uma coisa aqui↑//não é para copiar isso aqui/ tá? (...) (escreve no
quadro)
2/5 de 40
4/10 de 40
P: aqui ó/ olhando para esses dois valores aqui/ ó↑vamos verificar se elas são equivalentes? Sem fazer essa
multiplicação aqui↑// quanto é que vai dar dois quintos de quarenta? Vamos lá↑O que que é dois quintos de 40?
(o diretor interrompe a aula para dar um aviso)
P: vamos ver o que é dois quintos de 40↑é 40 divido em? Maia↑é quarenta dividido em? (os alunos discutem entre si
a respeito do aviso que o diretor deu) quarenta dividido por cinco é quanto? //quarenta dividido por cinco é? Quanto
que é 40 divido por 5?
A: alguma coisa↑
P: oito↑e oito vezes oito é quanto?
245
A: dezesseis↑
P: dezesseis↑vamos ver se 2/5/ olha a pergunta↑2/5 será que é equivalente a 4/10? Então eu vou fazer 2/5 de 40/ vou
ver quanto é que dá↑ e depois fazer 4/10 de? 40↑/40 dividido por 10 é quanto?
A: 4↑
P: quatro vezes quatro vai dar?
A: oito↑
P: dezesseis↑ou seja/ 2/5 de 40 deu o mesmo resultado que 4/10 de?
A: dez↑
P: quarenta↑ou seja/ eu faço os décimos aqui de 40/ isso quer dizer que as duas frações são? Equivalentes↑quer ver
como a gente tava fazendo antes? ó↑ (escreve as frações num canto do quadro) como é que vocês estavam fazendo
antes? aqui vocês faziam vezes dois/ dois vezes dois/ deu quatro/ e cinco vezes dois deu?
A: Dez
P: Dez↑aqui a gente ta confirmando↑/ 2/5 de 40 deu 16/ e 4/10 de quarenta é? 16↑// agora eu vou dar alguns exercício
para vocês/ de frações equivalentes/ para vocês verificarem/ quais são equivalentes/ fazendo esse cálculo aqui↑/ se os
resultados derem iguais/ é porque elas são? Equivalentes↑se eles derem diferentes?
A: não são
A: assim é mais difícil↑
(a professora pensa um pouco e escreve no quadro)
3/5 de 30
6/10 de 30
P: mais essa aqui para verificar se são equivalentes/ mais uma↑(...) vamos ver↑3/5 de 40↑ Lucas↑como é que eu faço
3/5 de 40?
A: 3/5 de 30?
P: ah/ é de 30↑3/5 de 30/ não é de 40↑
A: divido
P: divido 30 por quanto?
A: cinco↑
P: 30 dividido por cinco dá quanto?
A: cinco↑
P: seis↑seis vezes três vai dar quanto?
A: doze↑
P: dezoito↑ ninguém mais sabe a tabuada↑vamos ver aqui/ para elas serem equivalentes/ vai ter que dar quanto?
A: dezoito
P: vamos ver↑30 dividido em 10 partes dá quanto?
A: três
P: três vezes seis?
A: dezoito
P: então quer dizer que elas são? Equivalentes↑3/5 de 30 é equivalente a 6/10 de? 30↑ vamos lá agora para os
exercícios↑
A: não/ professora↑
P: sim↑(vai escrevendo no quadro)
Verifique se as frações são equivalentes:
a) 2/3 de 30 tem o mesmo valor que 4/6 de 30?
b) 3/5 de 45 tem o mesmo valor que 6/15 de 45?
c) 10/12 de 24 tem o mesmo valor que 5/6 de 24?
P: duas linhas vão ser suficiente/ tá?
A: vai ter prova de matemática?
P: vai↑assim que a gente concluir esse conteúdo aqui e das operações↑
A: vai cair isso daí?
P: vai↑(...) (a professora acaba de escrever, os alunos copiam os exercícios)
P: copiem que eu vou resolver com vocês a letra a/ copiem rapidinho para eu poder explicar↑
(a professora passa pelos alunos para explicar individualmente)
......
Diálogos com os alunos pelos quais a professora passa para verificar se estão fazendo e explicar:
P: você sabe calcular 2/3 de 30?
A: sei
P: então tem que calcular↑vê quanto é que dá 2/3 de 30?
A: depois eu calculo
P: depois// 4/6 de 30/ você sabe quanto dá? Então tem que saber o resultado↑se os resultados forem iguais/ quer dizer
que as frações são? Equivalentes↑ se os resultados forem diferentes/ elas não são equivalentes↑
A: ah↑é assim?
(...)
P: você lembra como é que se calcula 2/3 de um número?
A: 2/3 de um número?
P: por exemplo/ 2/3 de 30? Como é que calcula?
A: é/// 3 vezes 30
246
P: não↑ o que que é 2/3? É um número dividido em três partes↑então eu vou dividir o 30 em três partes/ que vai dar?
Dez em cada grupo↑quantos grupos eu tenho que pegar?
A: dois
P: dez vezes dois/ que vai dar?
A: vinte
P: agora tem que fazer 4/6 de 30/ e ver quanto é que vai dar↑
A: 4/6 de 30?
P: isso↑aí vai ver o resultado que vai dar///
(...)
P: então aqui você vai ter que fazer o que? Verificar quanto que é 2/3 de 30/ lembra como é que faz 2/3 de 30?
Lembra? Então vamos ver aqui// para elas serem equivalentes/ o que que vai ter que acontecer? 2/3 de 30 tem que dar
o mesmo valor que 4/6 de 30/ então tem que fazer a conta/ ver quanto que vale 2/3 de 30/ e 4/6 de 30/ ta? Se os
valores forem iguais/ 2/3 é equivalente a 4/6↑primeiro calcula 2/3 de 30↑
(...)
P: Como é que eu sei que uma fração é equivalente a outra?
A: (não responde)
P: tem que representar a mesma parte/ não é? números diferentes representam a mesma parte↑ou seja/ quanto que é
2/3 de 30? Será que é o mesmo valor que 4/6 de 30? Se elas forem equivalentes/ tem que representar a mesma parte/
lembra?// ½ representa a mesma parte de 4/8? Então↑ 2/3 de 30/ tem que verificar quanto é que dá↑ depois você vai
ter que vir aqui/ e calcular 4/6 de 30/ se elas forem equivalentes/ o que que vai acontecer? O valor vai ser?
A: igual
P: então tem que calcular/ 2/3 de 30 e 4/6 de 30
(...)
P: como é que eu faço 2/3 de um número? O que que é 2/3 de 30?/// é 30 dividido em três partes/ quanto tem cada
parte? Dez/ quantas partes destas tem que pegar?
A: duas
P: duas vezes dez?
A: vinte↑
P: então 2/3 de 30 é?
A: Vinte
P: agora tem que calcular 4/6 de 30
(...)
P: o que que é 2/3? Lembra que a gente fazia? 2/3 de 30// quando a gente tinha material dourado/ eu dava 30 peças
para vocês e pedia 2/3/ o que que vocês faziam? Dividiam trinta em quantos grupos?
A: três
P: então vamos dividir trinta em três grupos/ vai dar quantos para cada grupo? Dez/ quantos grupos de dez eu tenho
que pegar?
A: dois
P: dois/ então vezes dois/ que vai dar? Vinte↑agora tem que fazer 4/6 de 30/ será que vai dar o mesmo valor? Se der o
mesmo valor é porque as frações são? Equivalentes↑são números diferentes/ que vão representar o mesmo valor/
então vamos ver↑o que são 4/6 de 30? Trinta dividido agora em quantos grupos?
A: seis
P: seis↑vai dar quanto em cada grupo?
A: cinco
P: quantos grupos eu tenho que considerar agora?
A: quatro
P: quatro↑cinco vezes quatro vinte/ 2/3 de 30 dá o mesmo valor que 4/6 de 30?
A: é
P: é↑então quer dizer que as frações são? equivalentes↑então 2/3 é equivalente a?
A: 4/6
(...)
A: aqui eu tenho que ter// qualquer número daí?
P: aqui o resultado tem que ser o mesmo// claro que aqui tem ser 30 e aqui tem que 30
A: aqui pode ser qualquer número?
P: pode/// pode↑ só que você/ nem sempre vai ser equivalente/ você vai verificar/ se vai ser equivalente/ pode ser
qualquer número/ mas não significa que vai ser equivalente/
A: ta/ daí se der igual aqui/ é equivalente?
P: quando uma coisa é equivalente a outra? Quando uma coisa equivale a outra/ tem o mesmo valor/ se o valor desse
for o mesmo desse/ 2/3 de 30 equivale ao valor de?
A: 4/6 (...) não deu
A: então não são equivalentes↑ mas acho que você não dividiu correto/ vamos ver quanto é 2/3 de 30? Dá 20↑
correto↑4/6 de 30/ quanto que é 4/6 de 30? Quanto é 30 divido por seis? Cinco/ cinco vezes quatro? Vinte↑
(...)
P: faz quanto tempo que você não vem na aula?
A: desde/ desde ontem
P: não/ antes das férias↑
A: eu só faltei/ só uns quatro dias↑
247
P: então vamos ver como é que faz aqui↑2/3 de 30? Vamos calcular 2/3 de 30
A: é de vezes/ professora?
P: lembra daquela aula com material dourado/ que tinha aquelas continhas/ lembra que eu dava para vocês dividirem/
eu dava 2/3 de 30/ e o que que vocês faziam? Dividiam 30 em 3 grupos/ certo?
A: é
P: dava dez em cada/ daí quantos grupos de dez eu vou pegar?
A: dois
P: dois/ dez vezes dois?
A: vinte↑
P: então 2/3 de 30 é?
A: vinte
P: agora vamos ver 4/6 de 30/ vamos verificar se dá o mesmo/ divido em quantos grupos?
A: seis
P: seis/ vai dar? Cinco↑ quantos grupos de cinco eu tenho que pegar?
A: quatro
P: deu o mesmo valor? Deu↑Então 2/3 é equivalente a 4/6
(...)
P: o resultado foi o mesmo?
A: foi
P: Então 2/3 de 30 tem o mesmo valor que 4/6 de 30/ correto?
A: sim
P: então as frações são diferentes/ mas têm o mesmo valor/ equivale ao mesmo valor/ então isso quer dizer que 2/3 é
equivalente a 4/6
(...)
A: dá para dividir/ professora?
P: dá↑para dividir dá/ mas não é divisão exata↑eu coloquei divisão exata↑vocês não sabem tabuada do cinco?
(...)
A: acabei de copiar↑
P: então vamos começar a fazer↑
A: como é que faz?
P: vamos lá↑Lucas↑como é que eu sei se as frações são equivalentes ou não?
A: valores iguais
P: se as frações são equivalentes/ o que que tem que acontecer no final? Os valores têm que ser?
A: o mesmo
P: então↑tem que fazer 2/3 de 30/ e 4/6 de 30/ vamos ver↑2/3 de 30 e 4/6 de 30/ como é que eu faço 2/3 de 30? 30
tem que dividir em quantos grupos?
A: três
P: três/ 30 divido por 3 vai dar quanto?
A: dez
P: quantos grupos de dez eu tenho que pegar?
A: dois
P: dois/ duas vezes dois vai dar? Vinte↑agora 4/6 de 30/ é o trinta dividido em quantos grupos?
A: quatro
P: não↑sempre o denominador↑sempre↑sempre o denominador↑a gente estabeleceu que o que divide é o
denominador/ ta? O denominador é o que divide↑tá? 30 dividido por seis↑cinco↑ quantos grupos de cinco eu tenho
que pegar?
A: quatro
P: quatro vezes cinco vai dar? Vinte↑então isso quer dizer que elas são? Equivalentes↑
(faltam dez minutos para terminar a aula, a professora retorna ao grupo)
P: vamos fazer aqui↑a letra a ainda↑eu começo pela letra a// deu? (...) Olha só↑até que o pessoal termine eu vou
fazendo a letra a/ tá? (...) Prestar atenção aqui↑pergunta para Maia/ ver se a Maia sabe↑como é que eu sei quando
duas frações são equivalentes?
A: quando uma é/// dá o mesmo resultado↑
P: mesmo resultado do que? (...) Como é que eu faço para saber o mesmo valor aqui? O que eu faço para ver se tem o
mesmo valor? 2/3 de 30/ eu vou fazer/ e?/ 4/6 de 30/ se eles tiverem o mesmo valor// presta atenção aqui↑eu vou
fazer 2/3 de 30// ta?/ se ele tiver o mesmo valor que 4/6 de 30/ quer dizer o que? Que as frações são?
equivalentes↑números/ frações diferentes/ correspondem ao mesmo valor/ então quer dizer que as frações são?
Equivalentes↑como é que eu faço 2/3 de 30? Luciane/ vamos ver se você lembra↑
A: não/ professora
P: não lembra? 30 dividido em/ quantos grupos?
A: três
A: vai dar dez
P: vai dar dez// vezes dois↑por que eu tenho dois grupos/ vai dar? / vinte/ (escreve no quadro a operação)
2/3 de 30 = 30  3 = 10 x 2 = 20
P: aqui/ 4/6 de 30/ eu vou dividir trinta em? seis grupos/ que vai dar/ cinco↑ e pegar? seis/ vai dar? Cinco↑quantos
grupos de cinco eu tenho que pegar aqui?
A: quatro
248
P: quatro↑aqui ↑quatro vezes cinco vai dar? Vinte↑frações escritas com números diferentes/ dá o mesmo valor/ então
quer dizer que as frações são? Equivalentes↑(...) vamos verificar se aqui elas são equivalentes (se refere ao item b)
A: qual/professora?
P: alguma dúvida? você está fazendo qual?
A: o b
P: então eu vou fazer só até b/ aí enquanto você termina de fazer/ já fizeste?
A: não
P: então vai fazendo/ enquanto termina de fazer eu faço aqui↑tá? //vamos ver quanto é que é 3/5 de 45 e quanto que é
6/15 de 45// Maia/ como é que fica aqui? 45 dividido em quantos grupos?
A:cinco
P: cinco↑quanto que é 45 dividido por 5? Nove↑quantos grupos de nove?
A: três
P: três↑que vai dar? Vinte e sete/ aqui o 45/ Rafael↑o 45 tem que dividir em quantos grupos aqui?
A: quinze
P: Quinze↑que vai dar quanto? Seis↑quantos grupos de seis?
A: três
P: três↑que vai dar? Dezoito↑essas frações correspondem ao mesmo valor?
A: não
P: não/ 3/5 é igual a 27/ 6/15 é igual a? 18/então isso quer dizer que elas não são equivalentes↑
A: professora↑a c não é também↑
A: é
A: não é↑
A: é
P: vamos ver? (...) eu vou fazendo aqui enquanto a Michele termina de fazer// 24/ eu vou dividir em quantos grupos
aqui?
A: dois?
P: dois↑/ vai dar quanto? Dois↑Quantos grupos de dez? quantos grupos de dois? Dez/ já falei/ né? Dois↑essa eu
quero que o Lucas Vinicius me ajude↑como é que tem que fazer aqui/ Lucas? O que que é 5/6? // como é que eu faço
isso aqui? O que que é o 5/6?
A: divide em //
P: a gente estabeleceu que o denominador é o número de partes que a gente vai dividir/ lembra com o material
dourado? / Que a gente pegava//eu dizia 5/6/ a gente pegava 24 pecinhas e dividia em//
A: 6
P: seis grupos↑tá? Então aqui eu tenho que dividir 24 em seis grupos/ daria quanto em cada grupo? Quatro em cada
grupo/ aí quantos grupos de quatro eu tenho que pegar aqui?
A: três
A: cinco
P: cinco↑então vezes cinco/ que vai dar? Vinte/ então 10/12 tem o mesmo valor que?// 5/6↑
A: tem
P: então quer dizer que as frações são?
A: equivalentes↑
A(Marcos): mas aí ta dividindo↑
P: porque esse é o número de partes que eu divido↑o denominador↑
A: mas não era de vezes?
P: não↑o denominador é o número de partes que eu divido/ 30 dividido em 6 grupos/ que vai dar? Cinco↑quantos
grupos eu tenho que pegar? Quatro↑Como tu fizeste? (olha o caderno do aluno) mas está certo aqui↑
(sinal)
Aulas 3 e 4
(aulas duplas)
5/08/2008
P: Ariel↑ é o primeiro dia de aula? Já conhece todo o mundo? Ele se chama Ariel↑(...) A Natânia vai recolher as
carteirinhas↑todo o mundo pegando as carteirinhas↑vamos lá↑ todo o mundo com as carteirinhas na mesa↑(a
professora faz a chamada) vamos pegar o caderno para continuar↑ vamos continuar↑(...) pegaram o caderno? Eu
corrigi os três exercícios ontem?
A: corrigiu
P: corrigi?
A: corrigiu↑
P: Eu vou passar mais exercícios aqui no caderno/ para vocês copiarem no caderno↑ ontem foi até a letra c/ já
colocou a data?
A: já
(a professora escreve no quadro, os alunos copiam)
1) Responda:
a) 5/7 de 70 tem o mesmo valor que 10/14 de 70?
b) 2/3 de 108 tem o mesmo valor que 10/12 de 108?
2) Substitua o espaço em branco de modo a formar frações equivalentes:
a) 2/5 = /10
249
b) 3/4 = 9/...
c) 12/10 = 6/....
d) 3/8 = ..../40
e) ..../20= 2/5
f) 18/12 = 6/....
A: professora/ quantas linhas?
P: aqui duas/ duas ou três linhas é suficiente
(...)
A: é para ver se é equivalente ou não?
P: é/ é para verificar se elas têm o mesmo valor↑
A: professora/ posso copiar de caneta vermelha?
P: pode↑
(a professora passa pelos alunos para explicar)
A: professora↑como é que é que para fazer lá?
P: onde? aqui?
A: é
(a professora explica para todos)
P: eu estou afirmando o que? que as frações são? equivalentes↑como é que eu faço o cálculo para achar frações
equivalentes? Eu multiplico as duas pelo mesmo número ou eu? divido ↑(...) por quanto eu multipliquei o cinco aqui?
(se refere ao exercício 2/5 = ? /10) Por dois↑então aqui dois vezes dois/ quatro↑tem que descobrir o número↑
(...)
A: então ali/ ó?
P: na letra e? na letra e (exercício ? /20 = 2/5)/ do cinco para chegar no vinte ali/ eu multipliquei por quanto?
A: por quatro
P: por quatro↑então tem fazer quatro vezes?
A: dois
P: que vai dar?
A: Oito
P: então ali é oito↑
(explica para uma aluna)
A: mas esse número aqui/ ó↑
P: aqui/ ó↑a gente tem que descobrir quem que vai ter que ser esse número aqui↑ usando fração equivalente↑correto?
lembra que a gente fazia isso aqui? Então agora olha só↑eu tenho que multiplicar as duas pelo mesmo número/ ou eu
tenho que? Dividir↑não é? cinco vezes quanto que dá dez?
A: dois
P: dois/ cinco vezes dois/ dá dez/ então eu tenho que multiplicar também por? dois/ duas vezes dois?
A: quatro
P: então 2/5 é equivalente a?
A: 4/10
P: ou seja/ se eu quisesse 2/5 dá um valor/ por exemplo 2/5 de 20 balas/ é a mesma coisa que 4/10 de? 20
balas↑entendeu como que é para fazer?
(...)
A: professora/ acabei↑(20 minutos)
P: acabaste?
(...)
A: professora/ aqui tá errado?
P: é que setenta dividido por sete/ pode dar um? Eu tenho 70 balas/ divido por sete pessoas/ dá uma bala para cada
um?
A: não
P: Esqueceu do zero↑
(...)
P: por que são iguais? Você entendeu como é que a gente faz para achar frações equivalentes?
A: entendi
P: quando é que duas frações são equivalentes?
A: quando o valor de uma é igual ao valor da outra
P: isso↑então agora aqui/ cinco vezes quanto dá dez? (se refere a 2/5 = ? /10)
A: dois
P: dois↑então tem que multiplicar aqui também por?
A: dois/ dá quatro
P: aí 2/5 é equivalente a?
A: ah/ tá↑
(...)
P: quantas vezes oito que dá quarenta? (se refere a 3/8 = ? /40)
A: cinco
P: aqui você fez oito vezes///
A: ah/ tá/ tá/ tá↑
(...)
250
P: aqui é 70 dividido por 14/ e não 14 dividido por 70↑70 dividido por 14↑quantas vezes 14 dá 70?
A:.?...
P: por dois? Dois é muito baixo/ tem que ser um pouquinho maior que 2↑tenta ver que número se aproxima↑
(...)
P: aqui não é 5/6/ é 5/7↑(se refere ao exercício: 5/7 de 70 tem o mesmo valor que 10/14 de 70?) será que 5/7 de 70
tem o mesmo valor que 10 quatorze avos de 70?
A: vai ter
P: então/ mas tem que fazer a conta↑como é que eu faço 5/7?
A: ah?
P: como é que eu faço 5/7 de alguma coisa?
A: eu// eu pego/ ponho//
P: divido em sete grupos/ e depois vou pegar quantos grupos?
A: cinco
P: quanto/ quantos objetos eu tenho? Setenta↑então setenta dividido em?
A: sete partes?
P: Então vamos fazer↑
(...)
P: quando as frações são equivalentes/// Como é que eu vou fazer para saber se as frações são equivalentes?
A: a gente divide
P: é/ mas olha só↑quando as frações são equivalentes/ eu consigo multiplicar ou dividir pelo mesmo número/ olha
só↑dois vezes dois? quatro/ três vezes dois? seis/ quando eu multiplico ou divido pelo mesmo valor/ quer dizer que
elas são? Equivalentes↑então aqui está feito a conta/ eu tenho certeza que o valor ia dar o mesmo/ eu posso fazer
direto aqui/ quantas vezes dois dá quatro?
A: dois
P: aqui eu multipliquei por dois também/ isso significa que elas são?
A: equivalentes
P: então para você encontrar outras frações equivalentes/ você tem que multiplicar as frações pelo mesmo número/
ou você tem que? dividir pelo mesmo número↑
A: ah↑entendi/ professora↑
P: então aqui↑pega dez/ (se refere a 4/10 e 2/5) por quanto que eu multiplico?
A: cinco
P: dois↑
A: ah/ é↑dois↑
P: então tem que multiplicar por dois também↑então 4/10 é equivalente a 2/5↑só que aqui você tem que fazer a
conta↑você poderia fazer direto/ se você quisesse// quer ver? Será que 5/7 é equivalente a 10 quatorze avos? Por
quanto eu multiplico o cinco?
A: dois
P: dois↑vezes dois/ deu o mesmo valor/ não deu? Então ela é equivalente↑quando você tem certeza/ se não/ você vem
aqui e faz/ para ver quanto é que vai dar o valor↑e aqui você vem aqui e faz/ 10 quatorze avos///
A: mas professora/ não tem outra maneira de fazer a conta?
P: não
A: tem a rápida também/ professora?
P: é/ mas tem as duas situações↑
(...)
A: professora↑três vezes três dá nove/ agora quatro vezes três dá 12↑não é equivalente? (se refere ao exercício ¾ = 9/
)
P: são equivalentes↑fração equivalente/ por exemplo/ se duas frações forem equivalentes/ quando você faz a conta/ os
valores tem que ser iguais/ mas quando te dão uma fração/ para encontrar outras frações equivalentes/ vai ter que
multiplicar tudo pelo mesmo número/ se você multiplicar pelo mesmo número/ elas serão equivalentes↑
A: se multiplicar por três/ 9///
(...)
P: Ariel↑o que que você estava estudando antes disso?
A: ...
P: estava estudando a tarde aqui? A tarde ou de manhã? De manhã?
A: lá em Freiburgo
P: ah↑uma cidade bem diferente/// você já estudou alguma coisa de fração? Lá da quarta série? Você lembra alguma
coisa de fração? Uma fração/ ó/ esse é o numerador/ e esse aqui é o// denominador↑ numerador e denominador↑então
esse aqui se chama denominador/ eu dividi em três partes e peguei? dois/ (por causa do barulho, se volta para toda a
turma) deu/ vamos corrigir?
A: (em coro) não↑(alguns dizem "sim")
(...)
P: Rafael/ cadê o caderno/ Rafael? você nem terminou de copiar ainda? Senta aqui na frente e copia rapidinho↑os
outros já terminaram tudo↑
(...)
P: eu te dou uma fração/ para você encontrar outras frações equivalentes/ eu te dou uma fração/ para você encontrar
mais frações equivalentes/ você multiplica pelo mesmo número/ ou você? Divide↑então olha aqui/ eu já coloquei um
número aqui/ o dez/ por quanto eu multiplico o cinco para dar dez?
251
A: dois
P: então eu tenho que multiplicar também por? dois// dois vezes dois?
A: quatro↑
P: três vezes quanto que dá 9?
A: três
P: então aqui também eu tenho que multiplicar por? três↑
(...)
A: eu quero saber se é equivalente/ professora?
P: não/ ela é↑eu quero encontrar frações equivalentes/ para encontrar/ olha só↑eu quero que você escreva a fração
equivalente/ para encontrar frações equivalentes/ eu tenho que multiplicar pelo mesmo número↑você multiplicou pelo
mesmo número? Então você não vai encontrar frações equivalentes↑
(...)
P: Juliano/ já viu alguma coisa de fração equivalente? Cadê o caderno? Cadê o lápis? // Se as frações são
equivalentes/ 5/7 de 70 vai dar o mesmo valor que 10/14 de?// 70↑o que que são frações equivalentes? São frações
que se escrevem de forma diferente/ (...)
(vários alunos vão até a professora e pedem explicações/ ela interrompe a explicação ao Juliano)
A: é 9 e 27
P: então elas não são equivalentes/ se deu valores diferentes↑se elas são equivalentes/ tem que dar valores iguais↑
A: mas não são equivalentes?
P: não sei↑eu quero saber↑eu quero saber↑eu quero saber se é o mesmo valor↑olha a pergunta↑ no número dois que
eu quero equivalentes↑ no número um eu não sei↑
(retoma a explicação ao aluno novo)
P: para elas serem equivalentes/ vamos colocar aqui/ 5/7 (toca o sinal) / para elas serem equivalentes/ tem que dar o
mesmo valor/ então vamos calcular 5/7 de 70/ se lembra como é que calcula isso? Quanto é 5/7 de 70? Esse é o
numerador/ e o? (alguém interrompe, pedindo para sair)/// então tem que dividir o 70 em quantos grupos? Lembra
que a gente fazia com o material dourado? 70 divido por 7/ tem que dar? Dez/ quantos grupos de dez eu tenho que
pegar? Cinco/ então cinco vezes dez/ que vai dar? 50/ então vamos ver se esse aqui vai dar o mesmo resultado/ eu
tenho que dividir 70 em quantos grupos? Em?
A:..?.
P: 14↑é sempre o denominador que tem que dividir/ 70 dividido por 14 vai dar? Quinze↑ quantos grupos de quinze
eu tenho que pegar? 10↑que vai dar? 50/os valores foram os mesmos? Foram↑então quer dizer que elas são?
Equivalentes↑tá? Agora tem que fazer a mesma coisa aqui/ com essa aqui↑
(...)
P: para encontrar frações equivalentes/ eu tenho que multiplicar ou eu tenho que? dividir pelo mesmo número↑por
exemplo// 2/5/ eu posso multiplicar tudo por 3/ ou eu posso multiplicar tudo por 4/ por 5/ o que importa é que os
números forem iguais↑tá? Aqui ó/ do cinco eu cheguei no dez (se refere a 2/5 = /10) para o cinco chegar no dez/ aqui
no denominador/ eu sei que eu multipliquei por? Por dois/ como eu multipliquei por dois/ eu tenho que multiplicar
aqui também por? Dois↑dois vezes dois é? Quatro↑para o três chegar no nove/ eu multipliquei por? Três/ então aqui
eu tenho que multiplicar também por? Três↑4 vezes 3? Doze↑aqui/ ó/ o numerador é três/ eu tenho que descobrir
quanto que é esse número↑tá?
(...)
P: deu 9/ 9 vezes 12/ 108/
A: eu dividi por 9↑
P: dividiu? agora tem que fazer 9 vezes? Dez↑dá 90↑está certo↑
A: mas você disse que tava errado↑
P: não↑eu falei que se os valores não eram iguais/ as frações não eram equivalentes↑isso que eu te falei↑entendeu?
A: elas não são equivalentes aqui?
P: não↑no número dois↑no número um eu estou perguntando se elas são↑então não são↑no número um/ olha a
pergunta↑têm o mesmo valor? Não sei↑você vai calcular↑no número dois / no número dois/ eu quero que você
encontre a equivalência↑no número um não↑
A: não são equivalentes↑
P: não↑a tua resposta vai ser não↑não tem o mesmo valor/ então não são equivalentes↑
A: mas...
P: no número um↑esse aqui é o número dois↑não são equivalentes/ não tem o mesmo valor↑eu não quero o mesmo
valor nessa/ eu quero o mesmo valor/ no número dois↑esse aqui é o número um↑
(Michele vai ao quadro fazer a primeira questão. Daniela a ajuda e vai corrigindo)
P: sentem que eu vou explicar↑deixa eu explicar o número um↑ deu? Vamos sentar↑olha só↑tem que prestar atenção
aqui na pergunta↑o que que é a questão número um? Eu estou perguntando se tem o mesmo valor↑Luan↑Luan não↑
Jonas↑desculpa↑Jonas↑ presta atenção↑quando eu estou fazendo uma pergunta/ se eles têm o mesmo valor? Não quer
dizer que no final/ eles vão ser equivalentes↑eu fiz 5/7 de 70/ e vi que deu quanto? Que deu?
A: 50
P: 50↑depois eu vim aqui no 10/14 de 70/ e descobri que deu?
A: 50↑
P: eles têm o mesmo valor?
A: tem↑
P: então quer dizer que elas são o que? /// são equivalentes↑tem que por a resposta↑elas têm o mesmo valor↑//
(escreve "sim") aqui elas tem o mesmo valor↑ na letra b↑eu vou mostrar para vocês// tem alguns alunos que fizeram/
252
5/7 e 10/14/ (escreve no quadro) lembra que eu falei para vocês/ que para encontrar frações equivalentes/ eu podia
multiplicar pelo mesmo número/ ou eu poderia?dividir↑aqui/ se eu faço 5 vezes 2/ eu encontro? Presta atenção aqui↑e
se eu fizer 7 vezes dois eu também teria encontrado? 14/ não é? Vamos ver essa aqui↑aqui eu encontrei 2/3 de 108/
eu encontrei 72/ e 10/12 de 108 eu encontrei? 90/ aqui têm o mesmo valor?
A: não
P: não↑elas seriam frações equivalentes? 2/3 e 10/12? Não↑então não têm o mesmo valor↑
A: professora/ deixa eu fazer?
P: deixo↑ deixa eu só explicar aqui↑então aqui/ como é que eu faço/ Rafael↑Rafael Souza↑para saber se elas são
equivalentes aqui/ se tem o mesmo valor/ eu sei que elas são equivalentes/ mas se eu te dou uma fração/ por exemplo/
2/5↑como é que eu faço para encontrar outras frações que sejam equivalentes a ela? // Juliano? Lembra? de ontem?
Quem consegue responder? o que que eu tenho que fazer? Fala↑ Michele↑
A: duas vezes cinco é/ dez/ aí duas vezes// o// dois/ vai dar o resultado↑(se refere a 2/5 = ? /10)
P: ou seja/ toda vez que eu multiplicar por algum número/ eu tenho que? Dividir↑desde que os dois sejam
iguais↑números sejam iguais↑Rafael↑agora copia↑para encontrar frações equivalentes eu tenho que multiplicar/ ou eu
teria que? Dividir↑então agora vocês que vão fazer↑ pode fazer a primeira/ Mateus↑a primeira e a segunda↑
A: deixa eu fazer outra/ professora↑(Michele)
P: pode fazer a c e a d↑
(os alunos Mateus e Michele vão ao quadro e colocam as respostas no exercício 2. A professora corrige o item a)
P: aqui/ ó↑eu já tinha colocado o denominador dez/ aí eu fiz/ quantas vezes cinco dá dez? dá dois↑então eu tenho que
multiplicar por dois também↑mesma coisa aqui↑
(...)
P: Agora vocês vão pegar os livros de vocês///
A: esqueci↑(vários dizem que esqueceram) eu combinei com vocês ontem↑então vão ter que copiar do quadro/
depois a gente vê o livro↑// aqui/ ó↑eu tinha o doze e o seis/ (se refere a 12/10 = 6/ ?) como o número aqui diminuiu/
quer dizer que eu fiz o que? Dividi↑agora vamos ver as outras duas últimas↑quem quer vir fazer as outras últimas?
A: eu↑ (Mateus)
(...)
(a professora vai corrigindo o aluno no quadro)
P: levanta a mão quem é que trouxe o livro↑(conta os alunos) não tem como fazer o trabalho↑
A: de dupla↑
P: tem que ser dupla de três e quatro↑ não tem como↑// essa vai ser nossa última aula agora↑página 155↑
A: pode copiar do livro/ professora?
P: pode↑quem quiser copiar do livro/ página 155/ é o 6//
(escreve no quadro)
3) Completar: 5/9 = .../27
4) Encontrar três frações equivalentes a 3/5.
(...)
(a professora explica para alguns alunos)
A: o denominador qual é?
P: o de baixo↑o denominador é o de baixo↑
(...)
P: deu? Vamos ver quem já fez? (...) olha só o primeiro aqui↑ o denominador é o número que está abaixo do traço da
fração↑ (...)
(...)
A: é de dividir estas contas aqui?
P: não vou te dizer se é de dividir ou multiplicar/// onde está o caderno? Não copiaram ainda? Termina de copiar↑
(...)
A: é assim/ professora?
P: não↑ não é 5/9 de 27↑27 é o denominador desta fração aqui↑denominador 27↑ por quanto você multiplicou aqui?
Tem que multiplicar aqui↑
A: Ah↑ tem que armar aquelas contas?
P: isso↑frações equivalentes↑ eu estou dizendo que elas são equivalentes↑ eu não estou fazendo 5/9 de 27↑
(...)
P: para encontrar frações equivalentes você não multiplica pelo mesmo número? Aqui tem 27/ aqui não tem
escolha↑aqui você podia multiplicar por dois/ por três/// o resultado não tem que ser igual↑não pode ser igual↑o que
tem que ser igual o número que você multiplica↑uma vez por dois/ outra por três/ outra por cinco↑
(...)
P: olha aqui↑ eu quero três frações equivalentes↑por exemplo/ eu posso multiplicar as duas por três/ três vezes três
nove/ (...) deu? Vamos sentar↑ vamos corrigir↑(...) (organiza os alunos) mais uma vez/ relembrando/ letra a eu quero
corrigir/ mais uma vez eu vou explicar↑eu quero uma fração equivalente a 5/9 e que seja equivalente a 27/ muitos
fizeram/ quando eu dei esse exercício/ 5/9 de 27// eu não perguntei quanto que era 5/9 de 27↑eu pedi uma fração
equivalente a 5/9/ e que tivesse denominador ? 27↑aí / olha↑ 9 para chegar no 27 eu multipliquei por?
A: três↑
P: então eu multipliquei aqui por 3/ que vai dar? Quinze↑// aqui eu quero uma fração equivalente a 11/3 que tenha
numerador 44/ quantas vezes 11 que dá 44?
A: 4
P: então eu faço 3 vezes 4?
253
A: doze
P: doze↑Mateus↑escreve três frações equivalentes para a gente↑a Taiane outra e a Cristiane outra↑cada um faz uma↑
pronto↑
(os alunos escrevem no quadro)
P: finalizando aqui a explicação↑eu pedi as 3 frações equivalentes↑ poderiam ser outras↑quem fez aqui as frações
equivalentes? Mateus↑o Mateus achou multiplicando por 4/ então tem que lembrar↑multiplicou o numerador por 4/
tem que multiplicar também o denominador↑a Cristiane multiplicou por 3/ 3 vezes 3 nove/ cinco vezes 3/ quinze/ e a
Taiane achou fração equivalente multiplicando por 5/ 3 vezes 5 quinze/ 5 vezes 5 / 25/ alguém poderia achar fração
equivalente multiplicando por 100/ ou por 10/ só não pode esquecer↑se eu multiplico o numerador/ eu tenho que
multiplicar também o? denominador↑tá? Ou nesse caso aqui não dá para eu dividir/ mas eu poderia também achar
fração equivalente dividindo numerador e denominador/ no caso desse aqui não é possível↑ agora eu vou colocar aqui
um dever para vocês/ tá?
(a professora escreve no quadro)
P: deu↑ só essas duas↑
(sinal)
Aula 5
11/08/2005
(não teve a aula passada por causa das chuvas)
P: vamos abrir os cadernos↑ todo o mundo↑ (...) então nós temos amanhã uma atividade de frações equivalentes↑
A: amanhã?
P: é/ amanhã↑sexta feira/ temos duas aulas↑ então eu vou relembrar vocês um pouquinho↑ como na outra aula
bastante gente faltou/ então eu vou relembrar↑ vamos ver aqui↑
A: é correção/ professora?
P: não não↑é só para relembrar↑(...) vamos ver// vocês lembram como é que a gente faz para ver se as frações são
equivalentes? (organiza a classe) vamos ver aqui↑só para relembrar↑como é que eu faço para saber se duas frações
são equivalentes ou não?
(ninguém responde)
P: como é que eu faço/ para// como é que eu faço para saber/ se duas frações são equivalentes ou não? Por exemplo/
2/3// será que é equivalente a 4/6? (escreve no quadro: 2/3 de 12 e 4/6 de 12) vamos verificar? 2/3 é equivalente a
4/6? Então vamos ver↑ primeiro eu tenho que calcular 2/3 de 12/ vamos ver quem é que lembra como é que calcula
2/3 de 12↑
A: dividindo por 4/ vezes 4///
P: doze divido por?
A: três
P: Três↑ então eu faço? Doze divido por três/ que vai dar? Quatro↑quantos grupos de quatro que eu tenho que pegar?
A: dois↑
P: dois↑4 vezes 2?
A: oito
(escreve: 2/3 de 12 = 12 3= 4 x 2= 8 )
P: oito↑para ser equivalente/ quanto que ter que dar esse resultado aqui? (se refere a 4/6 de 12) (não respondem) //
para ser equivalente/ quanto que tem que dar aqui essa conta?
A: oito↑
P: oito↑para ser equivalente/ 2/3 de 12 tem que representar a mesma quantidade que 4/6 de? doze↑presta atenção/ que
amanhã vai ter essa atividade aqui↑então 4/6 de 12/ o 12 eu vou dividir em quantos grupos?
A: seis
P: seis↑Rafael↑presta atenção aqui/ Rafael↑// se eu dividir 12 em 6 grupos/ vai dar quanto em cada grupo?
A: dois↑
P: dois↑quantos grupos de dois eu tenho que pegar?
A: quatro
P: então vezes quatro/ que vai dar?
A: oito
(vai escrevendo: 4/6 de 12= 12 6= 4x 2= 8)
P: oito↑as quantidades são as mesmas aqui?
A: são↑
P: são↑então quer dizer que as frações são?
A: equivalentes
P: equivalentes↑// agora vamos ver outra aqui↑(escreve 2/3 de 12 e 5/6 de 12) 2/3 de 12/ será que é equivalente a 5/6
de 12? Será que é equivalente? Vamos fazer? Vamos ver↑12 dividido em 3 grupos/ não é? que vai dar?
Quatro↑quantos grupos de 4 eu tenho que considerar aqui? Dois↑quatro vezes dois? oito/ (escreve: 2/3 de 12= 12 3
= 4x2= 8) vamos ver aqui / se 5/6 de 12 é equivalente a 2/3 de 12↑5/6 de 12/ eu tenho que dividir em? seis grupos/
que vai dar? Dois↑quantos grupos de dois tenho que pegar?
A: cinco↑
P: cinco↑então 2 vezes 5/ que vai dar? 10↑ (vai escrevendo 5/6 de 12 = 12 6 = 2x5= 10) oito é o mesmo valor que o
dez?
A: não↑
254
P: então quer dizer que não são? equivalentes↑(escreve "não são equivalentes") esse tipo de conta aqui eu faço/ para
verificar se elas são equivalentes/ agora se eu falar para vocês/ se eu fizer a seguinte pergunta/ é//// encontre//
encontre outras frações equivalentes a 2/3↑agora eu quero saber como é que faço para encontrar frações
equivalentes↑Rafael↑
A: forma os grupos?
P: tá↑não↑/// aqui eu estou verificando se elas são equivalentes↑tá? Eu estou verificando se elas são
equivalentes↑agora se eu quero encontrar mais frações equivalentes/ como é que eu faço? Uma outra fração
equivalente a 2/3/ (escreve 2/3 = ) como é que eu faria? para encontrar? (não respondem) lembram como é que eu
faço para encontrar frações equivalentes? Eu tenho que multiplicar pelo mesmo número/ ou eu tenho que?
Dividir↑sempre que eu quero encontrar outras frações equivalentes/ aqui eu dei uma/ ó↑mas eu teria outras↑sempre
que eu quiser encontrar outras frações equivalentes/ eu tenho que multiplicar o numerador e o denominador/ por um
mesmo número↑por exemplo/ eu poderia multiplicar por 3/ duas vezes 3/ seis/ 3 vezes 3/ 9 (escreve as multiplicações
e o resultado: 2/3 = 6/9)/ 6/9 tambem é equivalente a 2/3/ então sempre que eu peço para vocês/ encontrem outra
fração equivalente/ o que que vocês teriam que fazer? Multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo
número/ ou?// dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número↑//vamos ver essa aqui↑(escreve 15/20 = )
eu quero outra fração equivalente↑mas eu quero que seja dividida em menos partes↑como é que eu tenho que fazer?
Dividir por dois ou multiplicar por dois?
A: dividir↑
A: multiplicar↑
P: multiplicar por dois↑poderia multiplicar as duas por 2↑ 15 vezes 2/ 30/ 20 vezes 2/ 40
A: não deu↑
P: é// mas como é que eu faço para encontrar fração equivalente?
A: tem que dar número igual↑
P: dou um número/ eu tenho que multiplicar as duas?/// ó↑para eu verificar se elas são equivalentes/ eu faço a
seguinte conta será que 2/3 é equivalente a 4/6? Aí eu tenho esse cálculo aqui↑Agora a minha pergunta é a
seguinte↑eu estou dando a fração 15/20 e eu quero que você encontre outra fração equivalente↑para encontrar outra
fração equivalente/ o que que tem que fazer? // tem que multiplicar pelo mesmo número/ ou teria que? dividir↑eu não
poderia dividir aqui as duas pelo mesmo número? (não respondem) posso dividir aqui 15/20/ as duas/ pelo mesmo
número? Por qual número que eu posso dividir aqui?
A: cinco
P: cinco↑poderia dividir as duas por? Cinco↑15 dividido por 5 é?
P: 3/ 20 dividido por 5 é?
A: 4
P: 4↑então 15 vinte avos vai ser equivalente a?
A: 3
P: ¾↑// e se eu der para vocês assim/// ¾ = ?/12/ eu estou afirmando que elas são equivalentes↑eu estou afirmando/
tá? E eu quero que vocês encontrem outras frações equivalentes↑que número será que tem que vir aqui em cima? // /
vocês lembram que a gente fez?
A: 9
P: aqui/ ó↑por quanto que eu multipliquei aqui o 4 para// para encontrar frações equivalentes tem que multiplicar as
duas ou? Dividir↑então multipliquei por? 3↑então aqui eu vou multiplicar por 3/ 3 vezes 3/ vai dar? 9↑9 doze
avos↑aqui vocês tinham liberdade para multiplicar ou dividir pelo número que vocês queriam/ ta? aqui não↑aqui eu
tenho que multiplicar exatamente por 3/ porque eu tenho denominador?// 12↑agora eu vou dar uns exercícios para
vocês relembrarem/ tá? Vocês vão verificar se as frações são equivalentes/ e depois vocês vão encontrar outras
frações equivalentes↑tá? e amanhã nós vamos fazer a nossa avaliação/ ta?
A: avaliação amanhã/ já?
P: nós estamos trabalhando isso há várias semanas↑isso tudo vocês todo o mundo tem no caderno/ não precisa copiar/
todos esses exemplos/ ta? é só para relembrar↑ (apaga o quadro e começa a escrever)
a) 5/7 = ?/35
b) 3/5 = 18/?
c) 20/30 = 2/3
d) 12/ 14 = 6/7
e) 2/4 = ?/2
f) 8/9 = 16/ ?
g) 3/8 = 9/?
P: amanhã vocês não esqueçam de trazer o livro↑amanhã tem duas aulas/ eu quero trabalhar no livro com vocês↑
(a professora espera os alunos copiarem, faz a chamada e em seguida passa pela classe para explicar)
Diálogos com alunos:
P: lembra como que a gente faz? como é que eu faço quando as frações são equivalentes? por exemplo aqui// 7/ e
aqui eu tenho 35/ por quanto eu multipliquei o 7 para chegar no 35?
A: 5
P: 5↑então eu tenho que multiplicar aqui também por?
A: 5
P: daí faz 5 vezes 5/ que vai dar? // cinco vezes cinco é quanto? Vinte e?
A: 25
255
P: a mesma coisa você vai verificando nas outras↑porque eu quero outras frações equivalentes↑então como é que a
gente faz para encontrar frações equivalentes? eu multiplico tudo pelo mesmo número ou eu? divido↑// mas não é
porque aqui é cinco/ tá?
(...)
P: aqui ó↑para eu verificar se elas são equivalentes/ eu tenho que fazer aqui a seguinte conta aqui↑ ó↑ ¾ de 40/ e/// 8//
você não veio em nenhuma aula? É tua primeira aula? /// vou te explicar então desde o início↑equivalência/ ta? para
eu saber se duas frações são equivalentes/ eu tenho que fazer a seguinte conta/ olha só↑3/4 de 16 e 6/8 de 16/ será que
elas são equivalentes? ¾ é diferente de 6/8/ não é? 3/4/6/8↑Mas elas podem ser equivalentes↑vamos verificar? lembra
como é que a gente faz aqui? O 16 eu tenho que dividir em? quatro grupos↑16 dividido por 4/ que vai dar? 4↑mas
quantos grupos de 4 eu tenho que pegar?
A: 3
P: 3↑então 4 vezes 3/ que vai dar? 12↑ou seja/ 3/4 de 16 balas dariam? 12 balas↑agora vamos ver 6/8 de 16 quanto é
que vai dar↑16 eu vou dividir em? 8 partes/ que vai dar? Dois↑quantos eu tenho que pegar? 6↑duas vezes seis/
doze↑6/8 de 16 balas/ doze balas↑ou seja/ o resultado tem que ser o mesmo↑isso quer dizer que ¾ é equivalente a 6/8/
ta? Isso aqui é o tipo de conta que eu faço para verificar se elas são equivalentes↑ agora se eu te falo assim/ se eu te
falo/ eu quero outra fração equivalente a 3/4/ para encontrar outra fração equivalente a 3/4/ eu tenho que multiplicar/
ou dividir as duas pelo mesmo número/ por exemplo/ eu poderia multiplicar por exemplo aqui por 3/ 3 vezes 3/ vai
dar 9/ 4 vezes 3vai dar 12/ 9 doze avos é equivalente a 3/4/ então nessa aqui você vai fazendo// só que nessa aqui
você não pode multiplicar por qualquer número↑aí você vai ter que descobrir o número↑ por quanto eu multipliquei o
7 para achar no 35?
A: cinco
P: então aqui eu tenho que multiplicar também por? Cinco↑ cinco vezes cinco? Vinte e cinco↑
(...)
P: quero ver quem terminou de fazer↑
A: eu/ eu↑
P: então eu vou corrigir a letra a↑(....)
(...)
P: aqui ó↑ 7 para chegar no 35/ você multiplicou por quanto?
A: cinco
P: então aqui você tem que multiplicar também por? cinco↑ você tem que descobrir↑aqui diminuiu↑ 14 para 7/ então
isso quer dizer que eu? // dividi↑dividi por dois↑14 dividido por dois? Sete↑ o que você faz no denominador/ tem que
fazer no numerador também↑
(...)
A: eu não consigo fazer oito vezes três↑
P: por que? Oito aonde? Vezes três↑oito vezes três vinte é quatro↑termina que eu quero corrigir a letra a↑
(...)
P: deixa eu ver↑como é que está fazendo? // isso↑só que aqui na verdade está diminuindo↑aqui você divide por
dois↑// quando o numero diminui assim/ é porque você dividiu↑ 14 dividido por dois é que dá sete/ não é? Então aqui
você divide também por dois↑que vai dar? Seis↑ entendeu?
(...)
A: aqui eu não consigo↑
P: porque é dividido↑por qual número eu divido o 20 que dá 2?
A: dez
P: então aqui tem que dividir também↑30 dividido por dez dá quanto?
A: três
(...)
P: por quanto eu multiplico o 7 para dar 35? // Sabe a tabuada?
A: de cabeça?
P: olha↑do sete para dar 35 eu tenho que multiplicar por? 5↑ então aqui tem que multiplicar por cinco↑
(se dirige a todos)
P: deu↑vamos corrigir a primeira aqui↑vamos ver a letra a? eu quero encontrar frações equivalentes↑só que aqui/
ó↑eu não tenho liberdade de multiplicar ou dividir por qualquer número↑para o 7 chegar no 35/ por quanto eu tenho
que multiplicar?
A: por cinco↑
P: então aqui eu multiplico também por? Cinco↑ cinco vezes cinco? vinte e cinco↑do três para chegar no 18/
Natânia↑eu multiplico por?
A: seis↑
P: por seis↑eu tenho que multiplicar por seis também o? denominador↑5 vezes 6? 30↑// agora aqui/ ó↑o número
diminuiu↑eu tinha 20 trinta avos e agora/ de 20/ em vez de pegar 20 / eu tenho que pegar quantos? Dois↑diminuiu
então a quantidade↑então quer dizer que eu tenho que? Dividir↑por qual número que eu divido aqui? Vinte dividido
por dois?
A: dois
P: vinte dividido por dois não dá dois↑
A: por dez↑
P: por dez↑trinta dividido por dez dá?
A: três↑
A: vai corrigir todas?
256
P: algumas↑até a letra d aqui↑ a letra d aqui é? 14 dividido por quanto que dá 7?
A: dois↑
P: dois↑ então aqui eu tenho que dividir aqui também por? Dois↑12 dividido por 2 vai dar? Seis↑agora vão
terminando de fazer aqui/ que eu vou dar mais um exercício aqui para quem já terminou↑quem não terminou vai
fazendo e vai conferindo↑ (escreve os exercícios 2 e 3)
2) Encontre três frações equivalentes a ¾
3) Responda:
a) 2/7 de 42 tem o mesmo valor que 6/21 de 42?
b) 2/10 de 100 tem o mesmo valor que 8/50 de 100?
(...)
(uma aluna vem perguntar uma dúvida no quadro, sobre o exercício 2)
A: por quanto?
P: aqui você faz vezes dois também↑//
(se dirige a todos)
P: aqui vocês tem liberdade de multiplicar ///posso dividir por algum número aqui? Não/ né? 3 e 4 são primos entre
si↑
(...)
(a professora termina de escrever e passa pelos alunos)
Diálogo com alunos
P: você entendeu como é que é para fazer? Como é que eu faço essa então? Essa aqui↑
A: divide por dois?
P: oito dividido por dois dá 16? Não↑vezes dois↑então aqui eu faço também vezes dois↑
(...)
A: professora↑oito mais oito?
P: dezesseis↑mas aqui eu tenho que multiplicar/ e não somar↑
(...)
P: quatro? Tem que ver o denominador↑quatro dividido por quatro dá dois? (se refere ao exercício 2/4 = ?/2)
não↑por quanto que eu tenho que dividir? Por quanto que eu tenho que dividir?
A: um
P: Quatro dividido por um dá dois?
A: não
P: então por quanto eu tenho que dividir? Por?
A: três
P: dois↑quatro dividido por dois dá dois↑
(...)
(sinal)
P: pessoal↑ não esqueçam de estudar e de fazer isso para amanhã↑
Aula 6
(aulas dupla 6/7)
12/08/2005
P: bom dia↑ (a professora faz a chamada, uma aluna recolhe as carteirinhas) vou pegar o teu nome↑ (tem um aluno
novo na turma) (...) vamos sentar↑ peguem o caderno de vocês↑ vamos fazer a correção da aula passada↑ (...)
primeiro eu vou fazer a correção/ depois a avaliação↑vamos lá↑o caderno aqui↑
(escreve os exercícios da aula anterior novamente no quadro)
P: olha só↑Juliano/ vira para frente↑Jonas/ não comprou material ainda? // eu encerrando aqui esta correção/ a gente
vai fazer aquela atividade que eu combinei com vocês↑tá? Então vamos ver↑ eu estou aqui querendo frações
equivalentes↑Cristiane/ você lembra como é que a gente faz para encontrar frações equivalentes?
A (Cristiane): pera aí/ professora↑
A: (outro aluno responde) dividindo ou multiplicando
P: dividindo ou? Multiplicando↑// aqui ó↑eu coloquei o número 35↑
A: a professora já corrigiu/ só faltou///a (e) e a (f)
P: então eu vou fazer rapidinho↑aqui vai dar 7 vezes 5/ então aqui 5 vezes 5/ que vai dar? 25↑aqui para o 3 chegar em
18/ eu multipliquei por?
A: 6
P: então eu tenho que multiplicar por? 6↑então 5 vezes 6/ 30/ para quem não veio na aula/ já vai aproveitando para
pegar a explicação↑para o 20 chegar no dois/ eu dividi por? 10↑ então aqui 30 dividido por dez vai dar? 3↑14 para
chegar no 7/ eu dividi por? Dois↑então aqui eu divido por dois↑12 dividido por 2? 6↑
A: professora/ ta indo muito rápido↑
P: é que eu já tinha corrigido tudo↑faltou só a (e) e a (f)/ né? / para o 4 chegar no 2/ eu dividi por?
A: dois
P: dois/ então aqui eu divido por 2/vai dar?
A: um
P: para o 8 ao 16/ quer dizer que eu multipliquei por?
A: dois
P: dois↑oito vezes dois que é 16/ então 9 vezes 2 vai dar?
A: 18
P: 18↑3 aqui para o 9/ quer dizer que eu multipliquei por?
257
A: 3
P: três↑então aqui 8 vezes 3? 24↑// no número dois/ eu quero três frações equivalentes a ¾ // aqui vocês não tinham
liberdade de escolher/ qual seria a fração equivalente/ aqui vocês podem escolher/ várias frações equivalentes↑uma
fração equivalente/ eu poderia multiplicar por qual número?
A: cinco↑
P: cinco↑se eu multiplicar o 2 por 5/ vai dar? 5 vezes 3?
A: 15
P: 5 vezes 4?
A: 20
(escreve 15/20)
P: poderia multiplicar por qual outro número?
A: nove
P: nove↑vamos ver por 9↑3 vezes 9/27/ 4 vezes 9?
A: 36
P: 36/ (escreve 27/36) eu poderia multiplicar também/ por dois// eu vou multiplicar por 2↑duas vezes 3 seis/ duas
vezes 4? Oito↑tá? // aqui tem uma pergunta↑será que 2/7 é equivalente a 6/21? // Então primeiro eu vou fazer 2/7 de
42/ o que que é 2/7 de 42? 42 dividido em? sete grupos/ não é? Que vai dar?
A: 6
P: quantos grupos de seis?
A: dois
P: dois↑que vai dar? 12↑(escreve: 2/7 de 42 = 42 7 = 6 x 2= 12) depois/ 6/21 de 42/ vou dividir 42 por 21/ que vai
dar? Dois/ quantos grupos de dois?
A: seis
P: seis (escreve 6/21 de 42 = 42 21 = 2x6=12) elas têm o mesmo valor aqui?
A: tem↑
P: tem↑então as frações são equivalentes?
A: tem↑
(...)
P: então vamos fazer aqui 2/10 de 100↑eu vou dividir o 100 em? 10 partes↑quanto que dá 100 dividido por 10?
A: dez
P: Quantos grupos de dez aqui?
A: dois
P: que vai dar?
A: vinte
P: vinte↑
(escreve 2/10 de 100 = 100 10 = 10 x 2= 20)
P: agora 8 cinqüenta avos/ como é que vai ficar o 8 cinqüenta avos? 100 dividido por? 50↑
A: vai dar dois
P: vai dar dois↑quantos grupos de 2?
A: oito
P: oito/ oito vezes dois?
A: 16
P: 16↑os valores são iguais?
A: (vários) não↑
P: as frações são equivalentes?
A: não
P: não/// agora corrijam/ quem corrigiu já pode guardar/ fechar o caderno↑eu preparei uma avaliação aqui para vocês↑
(...) eu vou apagar o quadro↑acabaram? Vou apagar bem devagar↑(...) eu vou entregar a atividade agora↑
(a professora distribui as folhas)
P: eu vou ler aqui/ olha só↑primeira questão↑não esqueçam de botar o nome↑a turma↑ hoje é dia 12/ 12 do 8 de
2005// primeira questão/ responda/ 2/3 de 12 tem o mesmo valor que 4/6 de 12?
A: tem
P: vocês vão fazer a conta/ e depois vocês vão responder/ as frações são equivalentes? Vão dizer se são ou não
equivalentes/ ta? Tem que fazer 2/3 de 12/ e 4/6 de 12/ como a gente viu agora/ agora a pouco↑letra b/ 2/5 de 20 tem
o mesmo valor que 6/10 de vinte? As frações são equivalentes? // número 2/ substitua o espaço em branco de modo a
formar frações equivalentes/// tá? nesse espaço em branco ali/ vocês tem que encontrar o número/ de modo que a
fração seja equivalente/ o número 3 é um desafio/ ta? Numa avaliação de matemática/ Susana acertou 2/5 das
questões/ e Juliana acertou 5/10/ quem acertou mais questões? Explique como chegou a esse resultado/ ó↑é um ponto
extra para quem fizer essa questão aqui e acertar/ o desafio↑
A: pode fazer de lápis?
P: pode↑lápis ou caneta↑
A: professora/ hoje é dia 12?
P: é/ dia 12
A: posso ir no banheiro/ professora/ antes de começar?
P: pode
A: posso apontar o lápis/ professora?
258
P: deixa eu ver o teu lápis↑ dá para escrever ainda↑dá sim↑ pode voltar/ Mateus↑pode voltar/ Mateus↑dá para
escrever↑
A: esse daqui é diferente daquele que a senhora passou ontem?
P: então faz esse aqui primeiro↑
(...)
A: professora/ pode ser qualquer número?
P: depende da conta/ pode ser qualquer um↑
(...) (iniciam às 9:20)
A: pode olhar a tabuada?
P: pode↑pode olhar a tabuada↑ quem quiser pode olhar a tabuada↑
(a professora passa pelos alunos para explicar as dúvidas)
Diálogo com alunos (sobre o desafio):
A: aqui tem que dar doze?
P: você tem que fazer/ eu não posso dar a resposta↑
A: mas não tem nenhum número aqui para///
P: aí você que escolhe///
A: como é que eu vou saber? Tem que inventar um número?
P: tem↑olhando para os números aqui/ você tinha 2/5 e 5/10/ o que que você faria em relação as frações?
A: aqui? Tem que multiplicar o numerador///
P: mas aqui não tem↑você não tem quantas questões tem↑
A: por isso///
P: tenta ver uma outra maneira↑
(...)
A: aqui eu vou ter que fazer a conta/ ou vou ter que falar quem fez mais?
P: vou ter que falar quem fez mais↑
(...)
P: vamos fazer o seguinte↑eu vou caminhando pela sala/ assim vocês não precisam chamar a professora↑só que eu
não vou dar a resposta das questões↑são vocês que tem que fazer↑ eu vou ajudar uma pequena dúvida↑ não precisa
chamar↑
(...)
A: professora↑ como é que eu divido aqui?
P: ah/ não sei↑ é como a gente fez ontem↑ não prestou atenção? Lembra quando a gente falava o que que era 2/3 de
12/ e você sabia como fazer?
(....)
P: esse é desafio↑ se eu falar como é que se faz/ não é desafio↑// é para vocês tentarem↑
(...)
A: professora/ olha aqui↑ (Michele)
P: mas não importa quantas questões tem/ se são 30/40 ou 50↑quem que teria acertado mais questões?
A: não/ professora/ eu sei↑mas é 2/5 de // 18?
P: não sei↑de qualquer valor↑
A: ah↑ pode ser qualquer valor?
P: eu não sei quantas questões tem a prova/ mas se tiver um certo número de questões/ quem teria acertado mais?///
crie uma alternativa que você consiga resolver↑eu não sei quantas questões tem/ eu quero saber quem acertou mais↑
(...)
A: professora/ aqui tem que fazer a conta?
P: tem uma conta/ você tem que ver como é que você vai fazer↑ é um desafio↑eu quero ver como é que você vai
fazer↑
(...)
A: professora/ eu não estou entendendo esse aqui↑
P: olha só↑ tem um certo número de questões essa prova/ eu não sei quantas questões tem↑sei que uma pessoa
acertou 2/5 e outra acertou 5/10/ qual das duas será que acertou mais?
A: ela↑
P: então explica por que que você acha que é ela↑
A: dois não dá para dividir por cinco↑
(...)
A: me explica como é que eu faço essa conta↑
P: lembra como é que faz para encontrar frações equivalentes? Quando eu quero encontrar frações equivalentes/ o
que que eu tenho que fazer com o numerador/ e o denominador?
(...)
A: eu não entendi essa aqui
P: então olha só/ 2/5/ uma pessoa acertou 2/5 das questões/ e a outra 5/10/ se você perguntar quantas questões
tinham? Não sei↑ um certo número de questões↑tem 20/ tem 40/ não importa↑mas qual das duas acertou mais
questões?
(sinal)
Aula 7
(...)
22/06/2005
259
P: mais dez minutos e eu vou recolher↑
(muitos já terminaram, começam a brincar)
A: essa aqui/ eu faço dois vezes 5?
P: se você achar essa uma alternativa boa/ faz assim↑você tem que achar uma alternativa↑(...) ninguém tem livro para
ler/ neste tempo?
(recolhe as avaliações 9:45)
P: deu↑peguem o caderno novamente↑(...) vamos lá/ com o caderno↑(...) (escreve no quadro "Simplificação de
frações")
A: o que que é / professora?
P: vou explicar agora↑/// ó↑copia uma de baixo da outra↑(escreve no quadro)
Exemplo
a) 8/10 =
b) 15/25 =
c) 12/20 =
d) 4/8 =
e) 8/16 =
P: terminaram de copiar/ para eu explicar? (...) já começou a copiar? (...) deu? Agora/ virando para cá/ quem não
terminou de copiar/ larga a caneta e lápis↑não dá para esperar todo o mundo↑nós vamos começar a trabalhar/ hoje/
simplificação de frações↑ o que que vocês entendem por simplificar? (ninguém responde) o que que poderia ser
simplificar?
A: não sei↑
P: um caminho/ quando eu simplifico um caminho/ eu tenho duas formas de tratar/ o que que seria o simplificado?
A: formar?
P: em frações aqui/ é escrever de uma forma reduzida↑por exemplo/ 2/4 e 1/2/ vocês lembram aquelas frações
equivalentes que a gente trabalhava? Só que em vez de multiplicar/ a gente terá sempre que dividir↑eu olho o 8 e o
10/ por qual número que eu posso dividir o 8 e o 10?
A: por 8
P: por quanto? Dois↑posso dividir os dois por? Dois↑8 dividido por 2?
A: 4
P: 10 dividido por 2?
A: 5
P: posso dividir mais alguma vez o 4 e o 5 por algum número?
A: pode
A: não
P: posso? Por qual?
A: por 2
P: o 5 não é divisível por 2↑então 8/10 eu consigo simplificar e chegar no número? 4/5/ isso aqui é simplificar↑ é
também uma fração equivalente/ tem que ser uma fração equivalente/ só que a gente vai sempre dividir↑para
simplificar eu só posso? Dividir↑/// o 15/25?
A: e eu não posso multiplicar?
P: aí você vai encontrar uma fração equivalente/ só que você não simplificou ela// ta? você pode multiplicar ela/ só
que você é uma simplificação↑para simplificar tem que só ? Dividir↑tá? Porque para uma fração equivalente/ que a
gente fez hoje/ era só multiplicar ou? Dividir↑só que para simplificar a fração/ tem que só? Dividir↑o 15/ 25/ eu
posso dividir por qual número?
A: 3
P: o 15/25 eu posso dividir por 3? Não↑por cinco↑15 dividido por 5 é? 3↑25 dividido por cinco é? 5↑Natalia/ larga o
lápis agora/ se não depois tu não vai entender↑eu vou deixar tudo aqui no quadro↑///o 12 vinte avos eu posso dividir
por quanto?
A: dois?
P: por dois↑o 12 vinte avos dividido por dois vai dar quanto? 6/10↑eu posso simplificar mais uma vez?
A: pode↑
P: posso↑divido por quanto?
A: dois
P: por dois↑6 dividido por 2?
A: 3
P: 10 dividido por 2? 5↑esse mesmo número aqui↑12/20 / eu poderia ter simplificado por outro número que não é o
2?
A: sim
P: por qual?
A: cinco↑
P: por 5 não↑por 4↑muito bem/ Cristiane↑por 4↑12 dividido por 4? 3/ 20 dividido por 4? 5↑cheguei no mesmo
resultado?
A: cheguei↑
P: então quando eu vou simplificar/ não importa por qual número eu começo a simplificação↑se eu simplificar por
um maior/ o que que acontece? Eu chego no resultado/ mais rápido↑se eu começar por um menor/ eu vou ter que
simplificar mais vezes↑agora aqui/ 4/8 eu posso simplificar por quanto?
A: dois
260
P: tem um número maior que eu possa simplificar?
A: 4↑
P: 4↑divido aqui por 4/ vai dar quanto? Um/ 8 dividido por 4?
A: 4↑
P: dois↑8 dividido por 4 é 2↑
A: é assim? e acabou?
A: (Mateus): que fácil↑
P: 8 dezesseis avos/ por quanto que eu posso dividir aqui?
A: por 2
P: por dois↑ vamos ver↑poderia ser também por 4/ não é? Mas vamos começar por dois↑8 dividido por 2? 4/ 16
dividido por 2? 8↑posso multiplicar ainda?
A: pode
P: Por qual número?
A: dois
P: por dois/ poderia ser por outro?
A: por 4
P: vamos fazer por 4 que vai mais rápido↑8 dividido por 4? Desculpa/ 4 dividido por 4? Um/ oito dividido por 4?
A: dois
P: dois/ olha só uma maneira que teria sido mais rápido↑ vocês falaram aqui por dois/ tem um número maior que 2/
que eu poderia simplificar?
A: oito
P: oito↑o 8 chegaria no resultado mais rápido↑
A: 16
P: não/ 16 não dá↑8 por 8/ 1/ 16 por 8/ 2// agora vocês podem copiar↑(...) /// agora podem copiar↑(espera todos
copiarem e escreve
Exercícios:
Simplifique as frações abaixo:
a) 9/15 =
b) 8/12=
c) 20/30=
d) 12/18=
e) 22/33=
f) 35/42=
(passa pelos alunos)
P: deu? Quem terminou de copiar/ é para fazer↑vamos lá↑ copia↑(...) eu vou olhar os cadernos↑é para fazer
agora↑(...) é para resolver↑
A: eu não sei↑
P: como é que eu fiz para encontrar as frações?
A: dividiu↑
P: então↑você tem que verificar que número que pode dividir o 12 e o 20↑`
A: tá↑para chegar em qualquer número?
P: é↑eu quero encontrar frações equivalentes/ mas eu quero que elas sejam/// eu quero que elas sejam simplificadas↑
A: então divide por 2↑
P: mas o 15 não dá↑
A: aqui vai dar//
P: só que aqui não dá/ então não pode ser por 2↑0 15 não é divisível por 2↑o 9 e 0 15/ eu posso dividir por qual
número?
A: o 9 e o 15?
P: Estão na tabuada de qual número?
A: do 9?
P: do 3↑9 dividido por 3/ 3/ 15 dividido por 3/ 5/ você tem que descobrir↑você tem que saber a tabuada? Você tem a
tabuada? Tem que saber a tabuada↑tem que estudar a tabuada↑
P: essas são frações equivalentes/ só que eu quero simplificada↑números menores↑para encontrar frações
equivalentes/ eu tenho que multiplicar ou dividir pelo mesmo número/ mas como eu quero simplificar/ então eu tenho
que dividir↑aí tem que olhar↑ o 9 e o 5 estão na tabuada de quem/ no caso? Tabuada do? 3↑então eu posso dividir os
dois por? 3↑
A: só isso?
P: só↑então eu só posso dividir/ eu não posso mais multiplicar↑
A: ta bom↑
P: vamos corrigir a letra a↑a letra a e a letra b↑se bater o sinal/ enquanto eu não corrigir/ ninguém vai sair/ então
presta bem atenção↑o 9 e o 15/ para eu simplificar/ eu posso dividir por quanto?
A: 3↑
P: 3↑9 dividido por 3 é?
A: 2↑
P: 3↑15 dividido por 3 é? 5↑letra b/ 8 e 12/ eu posso dividir por quanto?
A: dois
P: 8 dividido por 2? 4↑12 dividido por 2? 6↑posso simplificar mais uma vez?
261
A: pode
P: posso↑4 dividido por 2 é? 2/ seis dividido por dois é? 3/ quem simplificou por 4 aqui/ chegou nesse resultado mais
rápido/ não é para apagar↑tem várias formas de simplificar↑quanto maior é o número/ mais fácil a simplificação/ tá?
E agora é para ir continuando/ a hora que bater o sinal/ vocês podem guardar o material↑
(...)
A: eu não consigo fazer/ professora↑
P: cadê a tua tabuada? Tem que ir olhando a tabuada↑mas olha o que que acontece↑você não sabe a tabuada↑daí tem
dificuldade↑o 20 e o 30↑vem aqui na tabuada↑onde é que está o 20 e o 30? 20 e o 30 aparecem aqui? Então dá para
dividir por cinco↑20 dividido por 5 é? 4/ 30 dividido por 5 é? 6↑// 20 dividido por 5 aqui é 4↑voce colocou errado↑20
dividido por cinco é? 4/ e 30 dividido por 5 é 6/ tem que colocar 4 sobre 6/ é assim que tem que ir olhando↑
P: deu? Vamos corrigir aqui↑(...) sentando↑Mateus/ vira para a frente↑Bruna/ Shaiane↑ Cristiano↑Guilherme↑eu vou
terminar a correção aqui↑
(sinal)
Aula 8
23/06/2005
(os alunos estão muito agitados, o diretor entra para dar um aviso sobre a permanência de alunos fora da sala. A
professora organiza a classe, pede para os alunos sentarem, pede silêncio várias vezes)
P: vamos fazer a correção↑ // na letra a qual era a fração? Cristiano↑ agora você senta para ouvir↑ a letra a e a b eu
corrigi/ não é? (a professora escreve os exercícios no quadro)
Correção
c) 20/30 =
d)12/18 =
e) 22/33 =
f) 35/42 =
P: na última aula nós vimos simplificação de frações/ ta? Para a gente simplificar fração/ a gente sempre faz o que? A
gente divide numerador e denominador pelo mesmo número↑a gente continua trabalhando com frações equivalentes/
só que a gente vai fazer o que? Vai reduzir agora↑aí/ para isso/ Lucas↑ vira para a frente↑(...) o 20 e o 30/ por quais
números que eu posso dividir o 20 e 0 30/ que a divisão é exata?
A (Juliano): dois
P: poderia começar com outro número/ eu vou fazer como o Juliano falou↑ por dois↑ se eu dividir por 2/ vai dar? Vai
dar 10/ e 15↑posso continuar simplificando? (vai escrevendo a simplificação)
A: não
A: pode↑
P: posso↑posso dividir agora por? Cinco↑10 dividido por 5 é?
A (Juliano) : 2
P: 10 dividido por cinco é dois/ e 15 dividido por 5 é 3↑quem simplificou de forma diferente/ ou seja/ dividiu por
outros números/ no final tem que dar também? 2/3↑quem dividiu por 10/ chegou na simplificação mais rápido↑20
dividido por 10? 2↑30 dividido por 10? 3↑ ta? (anota este calculo no canto do quadro) O 12 e o 18/ por quais
números eu posso dividir/ que dê divisão exata?
A: por 3 (liliam)
P: Cristiano?
A: (outro aluno) : dois
P: dá por dois/ se eu dividir os dois por dois/ aqui vai dar 6/ e aqui vai dar?
A: (Juliano) oito
A (liliam): 9
P: nove↑6 e o 9/ por quais números que eu posso dividir agora?
A: (Liliam) 3
P: por 3↑6 dividido por 3 dá?
A: 2
P: 2/ 9 dividido por 3 é? 3↑lembrando que poderia ter simplificado por outro número/ no caso aqui poderia ter
simplificado pelo número? 6/ e seria mais rápido a simplificação/ ta? Cristiano/ de novo você↑quando você olhar para
prestar atenção/ eu vou parar de falar teu nome/ ta? O 22 e o 33/ Cristiano/ por qual número eu posso dividir?
A: (Cristiano pensa um pouco): dois?
P: o 33 é número par?
A: não
P: não↑
A: (Lucas) cinco↑cinco↑cinco↑
P: quando é que um número é divisível por 5? Quando termina em zero ou? cinco↑esse daqui não termina nem em
zero nem em cinco↑
A (vários): 11↑
P: é por 11↑// é por 11↑vai dar 2 e vai dar? 3↑// o 35 e o 42?
A (liliam): por 7
P: posso dividir por? 7↑35 dividido por 7?
A (liliam): 5
P: 42 dividido por 7? Seis↑tá?
262
(a professora espera os alunos corrigirem. A professora parece não ter pressa, vai apontar um lápis, enquanto isso
os alunos conversam bastante)
P: quem terminou a correção (...) (escreve os exercícios no quadro)
2) Simplifique as seguintes frações:
a)
12/14 =
b)
16/20 =
c)
8/32 =
d)
9/18 =
e)
26/24 =
P: rapidinho↑eu já vou corrigir↑
(a professora espera os alunos copiarem, faz a chamada e começa a passar pela classe para ver se os alunos estão
fazendo)
Diálogos com os alunos:
(...)
A: professora↑dá por 4?
P: 32 é divisível por 4?
A: é
P: Então dá por 4↑
(...)
A: professora↑aqui não dá mais, né?
P: dá↑dá por 2↑
(...)
P: se você não copiar/ eu vou ter que encaminhar para supervisão
A: o que: professora? que supervisão?
P: supervisão é// conversar com o Marcos
A: ah/ tá/ com o Marcos↑meu Deus↑
P: é↑pega teu material↑
A: já vou pegar/ professora↑mas eu não vou copiar a correção/ só vou copiar///
P: sim↑copia o exercício↑é isso que eu quero que copie↑
(passaram 25 minutos de aula)
P: vamos ver o primeiro aqui↑pessoal↑olha só a correção↑(muitos pedem para ir ao banheiro, a professora justifica
que não vai mais ser possível) só vão sair para o banheiro agora/ a hora que bater o sinal↑eu combinei com vocês o
seguinte/ quando tiver o exercício organizado/ todo o mundo pode ir no banheiro/tomar água/ mas se vocês não se
organizarem/ só na hora do banheiro↑(...) a letra a aqui↑(...) eu posso dividir por qual número aqui/ na hora de
simplificar?
A: dois↑
P: dois↑12 dividido por 2 é? 6/ 14 dividido por 2 é? 7↑
A: acertei↑
P: o 16 e o 20/ eu posso dividir por quanto?
A: (Shaiane) : 4↑
P: posso dividir por 4/ se eu dividir por 4/ eu vou chegar no resultado mais rápido/ olha só↑se eu dividir por 4/ 16
dividido por 4 vai ser?
A (Liliam): 4
P: quatro↑20 dividido por 4 é?
A (Sh): 5
P: cinco↑ quem simplificou por 2/ simplificou por 2 duas vezes/ e no final reduziu até chegar em? quatro? Quintos↑/
aí agora não tem mais como simplificar↑
A: (Shaiane) professora↑tá certo?
P: chegou em 4/5?
A: (Sh) não↑
P: é que tem que simplificar mais uma vez↑
A (Sh): mas não dá↑
P: simplifica por dois// dá↑olha só↑// quem simplificou por dois/ chegou em 8/10/ aí eu simplifico por 2 de novo/ vai
dar? 4/5 (vai escrevendo este calculo no quadro)(...) 8 trinta e dois avos/ dá por quanto?
A: (Liliam) por 4
P: por 4/ mas tem um número que é mais rápido?
A: (liliam) oito
P: quem simplificar por 4/ vai ter que simplificar mais uma vez↑quem simplificar aqui/ dividir por 8/ vai ficar como?
8 dividido por 8? Um/ 32 por oito?
A: (Liliam e Shaiane): 4
P: 4↑// aqui/ ó↑o 9↑Lucas↑por favor↑(...) 9 e o 18? // não tem como fazer a explicação com barulho↑(pede silêncio
para vários alunos) não tem como continuar a correção/ explicando para três↑(...) 9 e 18/ se eu simplificar por 3/ vai
ficar como?
A: (Liliam) três sextos↑
P: três sextos↑// tres sextos↑aí eu posso simplificar novamente por? Tres↑por 9 é melhor↑tá? Então vai dar um meio/
Quem simplificou por 9// a Shaiane está falando que é melhor porque vai dar resultado melhor
A: (Sh): mais rápido↑
263
P: o 26 vinte e quatro avos/ por quanto eu simplifico?
A: (Liliam): dois/ professora↑
P: dois↑se eu dividir por 2/ vai dar quanto? 13 doze avos/ tá? (...)
a professora pergunta a hora para uma aluna, apaga o quadro)
P: ó↑começar a copiar aqui↑(demora para apagar e escrever, parece refletir sobre o que fazer e finalmente escreve)
Adição e Subtração de números fracionários
Exemplo:
a)
1/6 + 4/6 =
b)
2/7 + 3/7 =
c) ¾ - ¼ =
P: já vou explicar↑agora é só copiar/ enquanto isso vocês vão se acalmando↑para na hora da explicação ter bastante
silêncio↑copiar uma abaixo da outra↑
A: (liliam) eu já aprendi isso/ professora↑na terceira série↑
P: na terceira série? (...) deu↑Jonas↑vai se acalmando/ um pouquinho// vão copiando/ um abaixo do outro↑(...) o que
eu vou desenhar aqui não precisa copiar↑é só explicação↑
A: (Lucas) um mais quatro/ dá cinco?
P: é↑mas eu vou explicar↑(...) o desenho não precisa copiar↑
A: eu já estudei /mas eu não me lembro mais///
P: não precisam copiar↑ porque os desenhos tem todos no livro↑(desenha retângulos divididos nas partes que
correspondem às frações) aqui não está dividido nada parecido↑
A: é duas aulas/ professora?
P: é uma aula↑
A: tem que copiar isso dali?
P: não↑é só copiar a/ b/ e c↑
( a professora espera os alunos copiarem, passa pelas carteiras para ver se copiaram)
P: olha só↑como é que a gente vai fazer↑quem não terminou de copiar// aguarda/// eu quero somar duas frações↑1/6
mais 4/6↑ como é que vai ficar?
A (liliam) 5/6
P: eu dividi/ em quantas partes que é dividido aqui?
A: seis
P: seis partes/ e vou considerar uma/ então↑eu dividi em seis partes/ e se eu pintar uma vai ser? Isso aqui/ que vai ser?
Um? Sexto↑aí quanto mais tem que somar?
A: 4
P: quatro↑então↑um/ dois/ três/ quatro↑quanto que deu aqui?
A: um↑
A: cinco sextos (Lucas)
P: um/dois/três/quatro/ 5↑cinco o que?
A: (Mateus) cinco sextos↑
P: cinco sextos↑então o que que eu percebo? Quando os denominadores forem iguais/ ou seja/ quando eles estão
divididos no mesmo número de partes/ por exemplo/ ¾ está dividido em quantas partes? quatro partes↑5/7 está
dividido em quantas partes? 7↑quando os denominadores forem iguais/ eu vou somar os numeradores e conservar o?
denominador↑porque ele continua sendo dividido? No mesmo número de partes↑aqui / ó↑2/7 mais 3/7/ aqui eu dividi
em? 7 partes↑eu vou/ quantos eu tenho que pintar aqui?
A: dois
P: Duas↑aí eu tenho que somar mais quantos?
A: três
P: três↑aí quanto que deu aqui?
A: Cinco?
P: cinco?
A: sétimos
P: Sétimos↑o que que aconteceu? Eu somei o numerador/ dois mais três/ cinco/ e ficou o que? Cinco sétimos↑ fala
agora/ o que que você quer saber/ Maia?
A: professora↑soma aqui///
P: isso↑essa aqui↑ eu tenho ¾ aqui/ que eu colori/ eu tenho que tirar quantos? Tenho que tirar? uma↑tirei uma/
quando eu tirar uma/ o que que sobrou? Sobrou? Sobrou dois? quartos↑eu conservei o denominador e subtraí o
numerador↑
A: professora↑esse aí eu não entendi↑
P: olha só↑eu tinha ¾ pintada/ eu tinha que tirar quantas?
A: uma
P: uma↑quando eu tiro uma/aqui ó/ vai ficar quantas?
A: duas↑
P: duas↑ então/ ó↑eu conservei o denominador/ que é 4/ e fiz 3 menos 1? Dois↑
A: e quando for diferente aqui em baixo?
P: aí nós vamos chegar lá↑isso só vale quando forem? Iguais↑copiem/ completem/// (verifica a hora com a aluna)
(a professora escreve no quadro "Exercícios" )
A: professora↑ não vai dar tempo↑
264
P: então façam assim↑// falta quanto para tocar? // na próxima aula eu continuo↑pode guardar o material↑não é para ir
para a porta↑é para ficar nos seus lugares↑
(sinal)
Pergunto por que estavam tão agitados. A professora comenta que deve ter acontecido alguma coisa na aula anterior.
Comenta que no início do ano a turma era bem agitada, então tem dias que eles estão assim. Comenta também que
tem alguns alunos que não estão vindo. Pergunta sobre a abordagem par introduzir as operações, comenta que ficou
em dúvida, e estudou, já que estamos acompanhando estas aulas, mas não achou outra maneira melhor para introduzir
a adição. Pergunto se havia pensado em introduzir com frações de quantidades, comenta que não, que só tinha
pensado nisso mesmo.
Aula 9
24/06/2008
(a professora faz a chamada)
P: quem é que lembra o que que a gente fez na aula passada? O Rafael lembra↑ vamos pegar o caderno↑ vamos↑
rápido↑(...) caderno↑ caderno↑ bom dia↑ (...) não é para copiar isso aqui/ tá? (escreve no quadro)
a) 3/5 + 1/5 =
b) 3/8 + 4/8 =
c) 8/9 - 1/9 =
P: só para relembrar o que a gente viu na aula passada↑ na aula passada a gente somou números fracionários/ e aí o
que (interrompe para chamar atenção de alguns alunos) //aqui/ ó↑ Maira/ você já sabe fazer? Então presta atenção↑
Cristiano↑ você já sabe fazer? presta atenção↑ como é que eu faço para somar/ quando os denominadores são iguais?
Como é que a gente fazia? // Olha só↑
A: (Lucas) botava 5 quadradinhos/
P: um/ dois /três//um dois/ três/ quatro/cinco/ olha só↑
A: daí tem que pintar 3↑
P: aí tem que somar/ olha só↑3/5 mais 1/5/ então eu tenho 3/
A: pintar 3
P: dois/ três/ e tenho que somar mais quanto?
A: mais um/ pinta mais um↑
P: mais um/ então vai ficar quanto? // vai ficar quantos pintados? Quatro/ cinco/
A ( Lílian): é de menos quando não é divisível?
P: não↑tem que olhar o sinal aqui↑aí olha só↑só relembrar uma coisa aqui↑só que a gente não vai fazer o desenho/
toda a vez que a gente vai somar↑Maira↑masa o que que eu tenho que entender? Que quando eu somo denominadores
iguais/ o que que acontece? Continua dividido pelo mesmo número de partes↑então aqui quando eu somo/ eu sei que
eu dividi em 8 partes aqui/ não é? Então é só somar/ 3 mais 4/ sete↑fala/ Maira↑
A: (Maira): mas assim/ ó/ todo o mundo vai saber/ porque todos os números de baixo são iguais↑
P: exatamente↑então aqui ia ficar quanto? Se eu pintar oito/ e apagar um/ vai ficar quanto?
A: setembro
P: sete↑tá? Então aqui/ ó↑
A: (Lucas) professora/ por exemplo/ aqui em cima é mais/ aí vamos supor/ embaixo é menos/daí//
P: como assim embaixo? Não↑é mais/ é um traço entre o numerador e o denominador↑
A: ah↑
P: aqui é para copiar só quem não veio na aula ontem/ terça↑(a professora escreve o título Adição e Subtração de
números fracionários) no exercício anterior. Para quem não veio na aula na terça feira/ copia isso aqui↑quem veio na
aula na terça/ pessoal↑vou repetir de novo↑para quem não veio na terça/ eu coloquei o conteúdo novamente no
quadro/ para eles terem no caderno/ quem veio na terça/ eu só vou colocar o exercício aqui/ para vocês copiarem↑
A: eu vim na terça↑
(a professora apaga o quadro e escreve)
Exercícios
1)
Resolva:
a)
5/9 + 3/9 =
b)
6/7 – 5/7 =
c)
4/10 + 5/10 – 3/10 =
A: é para copiar?
P: é↑// aqui ó↑ é para fazer essas três/ e depois eu vou relembrar uma pergunta que vocês fizeram na terça feira↑
A: (Maira) professora↑faz um para nós↑
A: (Michele) esse aqui é para nós↑
(a professora espera os alunos copiarem)
P: deu? Quem terminou de copiar? (passa pela classe para verificar se os alunos copiaram) mais dois minutinhos e
eu vou corrigir↑ tem gente que nem copiou ainda↑(...)
A (Cristiano): professora↑não precisa fazer aqueles quadradinhos?
P: não↑é só fazer a conta↑ não precisa desenhar↑(...) deu↑ vamos ver a primeira aqui↑ Maira↑o denominador é igual/
então aqui vai ficar quanto?
A: (Mariel): 9
P: nove↑cinco mais três?
A (Mariel): 8
P: oito↑tá? quem não copiou/ está pegando a explicação direto/ vai ficar ruim/ não é? Natalia?
265
A: Natalia: professora↑eu to copiando↑
A (Natany): deu↑eu já fiz↑
P: Pois é//aqui/ ó↑o denominador é igual/ é 7↑como é que eu faço? // eu dou tempo/ mas tem que copiar↑enquanto
vocês estavam brigando por causa de uma folha/ todo o mundo copiou↑6 menos 5 é quanto?
A: um
P: 4 mais 5 é quanto?
A: 9
P: 9↑o que que vem depois? Menos 3↑9 menos 3? Seis↑ então o que que acontece? Quando os denominadores são
iguais/ o denominador aqui eu conservo/ e faço o que com os numeradores? Somo ou diminuo↑
A: quando é o mesmo número?
P: quando é o mesmo denominador↑agora eu vou ensinar com denominadores diferentes↑
A: Lucas: vai ter que fazer vezes também?
P: eu vou explicar↑
(a professora escreve)
Denominadores diferentes
Exemplo:
a) 1/3 + ¾ =
b) ¾ - ½ =
P: deu? Terminaram de copiar aqui?
A: é para copiar/ professora?
P: é só a primeira aqui que é para copiar↑as outras não↑
A: essa daí também/ professora?
P: só essa daqui↑`
A: é para copiar?
P: é↑essa aqui eu vou explicar↑//então o que que acontece agora com os denominadores? Eles são?
A: somados↑
P: diferentes↑eu vou explicar o que que tem que acontecer↑
A: bota o zero↑`
P: eu quero que todo o mundo tenha copiado/ para prestar atenção↑(aguarda os alunos copiarem) deu? Vamos ver
aqui↑(uma aluna, Cristiane, chega atrasada) a Cristiane agora só vai prestar atenção↑pode deixar até a mochila
fechada/ para prestar atenção↑quemnão terminou de copiar/ dá um tempo/ depois termina↑// o que que eu faço
quando os denominadores são diferentes? Natany↑o que que eu percebia? Que para eu somar/ o que que acontecia?
Os denominadores tinham que ser?
A: iguais
P: iguais↑entaõ eu vou ter que reescrever essas frações aqui/ com os denominadores? Iguais↑voces lembram que a
gente trabalhava antes/ com frações equivalentes? Por exemplo/ um terço (vai escrevendo no canto do quadro) /
alguém lembra uma fraçlão equivalente a 1/3? O que que eu fazia para encontrar frações equivalentes?
A: somava///
P: multiplicava↑não somava↑ eu multiplicava o numerador e o denominador pelo mesmo número↑por exemplo/ eu
podia multiplicar o numerador e o denominador? pelo mesmo número/ por exemplo/ eu podia multiplicar aqui por 2/
1 vezes 2/ dois/ 3 vezes 2/ 6/ 2/6 é equivalente a 1/3/ aqui a gente vai fazer a mesma coisa↑só que eu tenho///
A: por que?
P: por que para somar/ os denominadores tem que ser iguais↑mas como é que eu vou garantir/ que os denominadores
serão iguais? Então eu vou escrever/ uma fração equivalente a 1/3/ e vou escrever outra fração equivalente a?
¾↑como que eu faço para descobrir quem é que vai ser meu novo denominador?
A: multiplicando
P: só que eu não vou precisar multiplicar todas as vezes/ porque nem sempre que eu multiplicar/ eu vou achar o
menor denominador possível/ então para achar isso/ para encontrar quem que vai ser o meu denominador/ eu tiro o
mínimo múltiplo comum dos? Denominadores↑prestem atenção↑aqui eu posso dividir por 2/ eu só posso dividir
pelos números primos aqui/ que são 2/3/5/7/ e 11/ e outros/ né?
A: poxa↑
P: o 3 não é divisível por 2/ então eu baixo/ 4 dividido por 2? 2/ divido novamente por 2/ dá 1/ abaixo/ agora dá para
dividir por? 3↑dá um/ dá um/ agora é só multiplicar↑(vai escrevendo o cálculo do mmc) 2 vezes 2? 4/ 4 vezes 3?
12↑então meu novo denominador será?
A: 12
P: doze↑aí eu vou trabalhar com frações equivalentes↑
A: não entendi↑
P: é a primeira que eu estou explicando↑eu vou explicar mais duas↑calma↑aí eu olho↑lembra que a gente fazia na
avaliação? Eu vou trazer para vocês amanhã/ que eu já corrigi/ ta? Por exemplo/ eu dava aqui 1/3 e aqui 12// (escreve
1/3 = ? /12) como é que vocês faziam para descobrir aqui? Eu olhava/ por quanto que eu multipliquei aqui/ para
chegar no 12?
A: 4
P: por 4/ então eu tenho que multiplicar aqui também por? 4↑então é assim que eu vou fazer↑quantas vezes 3 que dá
12? 4↑então aqui eu multiplico por? (vai completando as frações no exercício)
1/3 + ¾ = 4/12 + 9/12 = 13/12
P: uma vezes 4? Quatro/ ou seja/ 4 doze avos é equivalente a? 1/3/ agora eu tenho que fazer/ com essa fração
aqui↑quantas vezes 4 que dá 12?
266
A: 3↑
P: 3↑vezes 3/ 3 vezes 3 vai dar? 9↑agora os denominadores s~]ao iguais/ não é? Então agora eu posso somar↑4 mais
9 dá quanto?
A: é// 14↑
A: 13
P: 13↑agora eu posso somar↑antes de vocês copiarem esperem↑esperem↑// que eu vou colocar outra aqui↑nem
copiem se não depois eu não tenho como esperar todos↑eu vou deixar no quadro/ e vou dar tempo para copiar/ ta?
(escreve outro exemplo)
c) ¾ - ½ =
P: essa aqui como é que eu vou fazer? Os denominadores são diferentes/ o que que vai ter que acontecer? Eu vou ter
que reescrever essa fração/ de maneira que os denominadores sejam? Iguais↑como é que eu faço para encontrar o
novo denominador? Natany↑como é que eu faço par a encontrar o novo denominador? O que que eu fiz aqui?
Mínimo múltiplo comum↑quem que é o mínimo múltiplo comum de 2 e 4? É o? 12↑aqui entre o 2 e o 4/ quem que
vai ser o múltiplo comum?
A: o dois
P: o dois é múltiplo de 2?
A: é
P: e do 4? Dois é múltiplo de 4?
A: é↑
P: não↑então vamos ver aqui↑seria o 4/ mas vamos ver aqui para vocês terem certeza↑ como eu não consegui ver que
o 4 é o múltiplo comum do 2 e do 4/ eu vou fazer aqui/ 2 dividido por 2? Um/ 4 dividido por 2? Um↑posso dividir
novamente por? 2/ dois vezes dois? Quatro↑(vai escrevendo o cálculo do mmc) agora eu olho/ quantas vezes 4 que eu
multiplico e o resultado dá 4?
A: (Jonas) duas↑
A: um
P: então aqui vezes um vai dar? duas vezes um vai dar? 3↑Lucas↑quantas vezes dois que dá 4?
A: (Jonas): quantas vezes dois que dá 4?
P: duas↑uma vezes dois? Dois↑agora que os denominadores são iguais/ é só diminuir↑3 menos 2? Um↑tá? Copiem
essas duas rapidinho/ que eu já vou fazer mais outras aqui↑
A (Maira): muito complicada essa conta/ professora↑
P: copia rapidinho↑
A (Lucas): a professora ainda vai querer que nós faz isso daí↑
P: que nós faz? Que nós fazemos↑
(a professora apaga o quadro e escreve)
c) ½ + 4/5 =
d) ¾ + 5/6 – 1/6 =
P: deu/ Natalia? Michele↑ eu já quero apagar aqui↑(...) Lucas↑chega de apontar esse lápis↑ empresta uma caneta aqui
para eu anotar quem veio↑// tem que copiar o mmc/ tá?
A: tem que copiar o mmc?
P: tem que copiar o mmc/ para saber de onde veio aquele número↑tem que copiar tudo que está no quadro↑
(espera os alunos copiarem, ajuda um aluno com o lápis)
P: deu↑ olha aqui↑ Natalia↑ você não copiou de novo/ né? Deu? (...) Natalia/ eu estou aguardando↑
A: professora/ eu já copiei esse lado lá↑
A: explica de novo para mim?
P (para todos): eu vou explicar↑estou só esperando terminar de copiar↑(...) deu? Gente/ olha só↑ agora espera um
pouquinho/ eu vou explicar essas duas mais/ depois vocês terminam de copiar de novo/ ta? Natalia↑ Natalia e
Maira↑// Olha só↑Cristiano↑ me ajuda aqui/ Cristiano↑//os denominadores são diferentes↑o Cristiano vai me ajudar↑o
que que eu tenho que fazer/ Cristiano/ quando os denominadores? /(Cristiano não responde)/ se os denominadores
não são iguais/ qual é a primeira coisa que eu tenho que A: A: iguais
P: iguais↑o que que eu tenho que fazer para tornar os denominadores iguais?
A (Lucas): botar dois quadradinhos ali/ daqueles compridinhos//
P: dois traços de frações// (escreve = / + / ) o que que serão encontrados aqui?
A (Lucas): agora pega///
P: e agora? o que que eu faço para encontrar os denominadores?
A(Lucas): bota o 2 e o 5
P: o 2 e o 5///
A: o 2 e o 5/ daí faz o risco do lado///
P: quem é que sabe o que que eu vou fazer aqui/ com o 2 e o 5? ///
A: faz o cálculo
P: mas que cálculo? Como é que é o nome disso aqui? Vai ser o novo? Denominador↑mas aqui eu faço? O mínimo
múltiplo comum↑eu vou dividir pelos números? Primos↑posso dividir por? Dois/ dá um/ o cinco eu abaixo/ dá um/ dá
um/ duas vezes cinco vai dar?
A: Michele e Maira: dez↑
P: dez↑quantas vezes 2 que dá dez? cinco↑então aqui em cima eu multiplico por? Cinco↑duas vezes cinco?
Dez↑vamos ver quem vai me ajudar agora↑é// Michele↑agora eu vou encontrar uma fração equivalente a
essa↑quantas vezes 5 que dá dez?
A (Michele): cinco↑
267
A: duas↑
A(Michele se corrige): não/ duas↑
P: dois↑então aqui eu vou multiplicar por? Dois↑4 vezes dois? 8↑/ agora oq eu que eu tenho que fazer?
A: somar
P: somar↑vai ficar/ 5 mais 8?
A (lucas): embaixo vai dar dez↑
P: quanto é 5 mais 8?
A: 13↑
P: 13↑não copia ainda↑eu vou perguntar↑Maira↑os denominadores são todos diferentes aqui↑o que que eu vou ter
que fazer? (se refere ao exercício ¾ + 5/6 – 1/6 = ...)
A: (Maira): pegar o 4/ e fazer aquela conta//
P: e fazer/ encontrar um novo denominador/ através do mínimo múltiplo comum↑faltou o 6↑essa aqui que eu dei para
vocês resolverem/ tem três denominadores/ então o 6 também tem que vir aqui↑
A: Jonas: é muito fácil/ professora↑
P: aí eu começo a dividir↑posso dividir por dois aqui?
A: posso
P: fica dois/ 4 dividido por 2 dá 2/ 2 dividido por 2 dá 1/ 6 dividido por 2? Vai dar 3/ divido novamente por 2/ agora
eu só posso dividir por? 3↑vai dar 1/ 1/agora eu só posso dividir por? 3↑dá 1/dá1/dá1/ duas vezes dois/quatro/ quatro
vezes 3? Doze↑agora olha só↑vou colocar o primeiro traço da fração que é equivalente a ela/ depois mais/ mais um
traço da fração/ menos/ igual↑o novo denominador será o?
A: dois
P: tem que cuidar a ordem aqui↑primeira fração/ mais a segunda fração/ menos/ a terceira fração↑não pode mudar a
ordem/ a gente vai trabalhar só com equivalente↑então aqui ser o doze/ Rafael vai me ajudar↑Rafael↑por quanto que
eu multipliquei o 4 para chegar em 12? (Rafael não responde)
A: 3
P: 3↑então eu vou multiplicar aqui por 3↑3 vezes 3? Nove↑Natalia↑por quanto que eu multipliquei o 2 para chegar
em seis?
A: em doze/ né/ professora?
P: é↑eu falei a resposta↑por quanto que eu multiplico o 2 para chegar em 12?
A: ah?
P: seis↑ eu já falei a resposta/ né? Então eu multiplico aqui por seis↑cinco vezes seis? Trinta↑quantas vezes seis que
dá doze?
A: Natalia: duas
P: duas↑ então eu multiplico 1 vezes 2? Dois↑agora é só eu? Somar↑9 mais 30 vai dar? 39↑aí 39 menos 2?
A: 27
P: 37↑deu↑agora podem copiar as duas↑eu vou dar uma para vocês tentarem fazer/ ta?
(escreve no quadro)
Exercícios:
d)
5/3 + ½ =
(a professora espera os alunos copiarem, passa pela classe para ajudar)
P: vamos ver quem aprendeu↑(...)
P: o que der para você copiar/ você copia↑ (fala com o aluno novo, Juarez) tem que tentar fazer para aprender↑
A:Juarez: mas eu não consigo fazer o risco↑uma vez eu fiz errado↑
P: não↑é assim mesmo↑tá certo↑ninguém faz certinho↑
(Liliam vem mostrar o caderno, a professora diz que está certo)
A: professora/ eu nem sei fazer essa conta de baixo ali↑
A (Michele): já vai bater o sinal↑
P: olha só↑ para quem não fez esse aqui/ vai ter que terminar em casa↑
(Natany vem mostrar o caderno, a professora a corrige)
(sinal)
Aulas 10 e 11
(aulas duplas)
29/06/2008
P: deu? Virar para a frente↑ (organiza a classe) (...) vamos lá↑ vamos abrir o caderno↑vamos lá↑Mateus↑pegar o
caderno↑o caderno aberto↑(...) começar a copiar↑eu já vou relembrar com vocês alguma coisa que gente fez na aula
de ontem↑ nós vamos pegar alguns desse aqui e depois do livro de vocês/ tá? Primeiro eu vou pegar alguns desse
aqui↑
A (Shaiane): é correção?
P: não↑a gente vai começar os exercícios/ lembra? Que eu passei exemplos para vocês/ e hoje eu vou começar os
exercícios↑
A: não↑ainda tinha aqui///
P: sim/ mas eu terminei de fazer↑
A: não↑
A (Lucas): não/ lembra que a professora não corrigiu↑
P: ah↑eu passei///ainda tinha um (...) então eu vou corrigir agora↑(...)deu? Mateus↑(a professora escreve no quadro)
5/3 + ½ =
268
P: vamos corrigir esse aqui↑(chama atenção de vários alunos, organiza a classe) olha só↑ para eu poder somar//
Mateus/ olha só↑você não veio na aula de ontem/ não é? Isso você não aprendeu ainda/ vamos ver↑para eu poder
somar/ o que a gente aprendeu? O que que tem que acontecer aqui? Os denominadores precisam ser? Iguais↑eles não
são iguais/ então/ eu vou ter que tornar os denominadores iguais↑para encontrar quem é o novo denominador/ a
primeira coisa que eu vou fazer é tirar o mínimo múltiplo comum entre o 3 e o? 2↑
A (Lucas) : então↑bota 3 vírgula 2//
P: posso dividir/ começar a dividir por 2↑o 2 dividido por 2/ dá um/ o 3 eu baixo/ dá por 3 agora/ da 1/ (Lucas vai
acompanhando o calculo da professora) duas vezes três?
A (Lucas): seis
P: então agora aqui/ primeiro o traço de fração da equivalente a essa/ mais a outra fração equivalente à segunda/ com
denominador?
A: seis
A: Lucas: o de cima é 10↑
P: seis↑quantas vezes 3 que dá 6?
A: (Liliam) duas
P: duas↑ então aqui eu multiplico por? Dois↑duas vezes cinco?
A: (Lucas) dez
P: dez↑quantas vezes 2 que dá 6?
A: 3
P: 3↑então aqui eu faço vezes? 3↑uma vezes 3?
A: 3
P: 3↑agora que os denominadores são iguais/ eu faço? 10 mais 3?
A: igual a 13
A: professora/ eu só não fiz o ....
P: não tem problema/ como vocês fizeram também está correto↑agora eu vou passar exercício para vocês/ ta?
A: é para copiar/ professora?
P: é↑para copiar↑
(escreve no quadro)
Exercícios
1)
Calcule:
a)
3/2 – 2/3 =
b)
3/4 + ½ =
c)
3/5 + ½ + 7/10 =
P: na primeira aula a gente faz as atividades individual/ na segunda aula em dupla↑
A (Natany): quantas linhas é para deixar/ professora?
P: vocês vão copiando uma abaixo da outra/ e depois vai deixando espaço de ladinho↑
(...)
A: (um aluno faz uma pergunta para a professora) inaudível
P: faz↑totalmente diferente↑porque/ ó↑ 3/5 você divide em 5 partes e pega 3/ 5/3 quer dizer que você divide em 3
partes e vai pegar? 5↑tá? Completamente diferente↑
(a professora faz a chamada. Depois passa pela classe para explicar)
(...)
P: você tem que tirar o mínimo múltiplo comum dos denominadores/ entre 2 e o 3/ por dois/ dá um/ dois vezes 3?
Seis↑então o novo denominador vai ser?
A: seis
P: aí eu olho↑por quantas vezes eu multiplico o numero 2 para em 6? São frações equivalentes↑
A: 3
P: quantas vezes 2 que dá 6?// 3↑duas vezes 3 dá 6/ então eu multiplico por 3↑3 vezes 3? 9↑quantas vezes 3 que dá 6?
Então aqui é dois↑duas vezes dois? quatro↑9 mais 4?
A: 13
(se dirige a todos)
P: vocês querem que eu relembre para vocês/ mais uma?
(vários falam ao mesmo tempo)
P: querem que eu relembre mais uma?
A: (em coro) não↑
P: olha só↑eu vou fazer uma aqui↑eu vou fazer a letra a/ para relembrar↑eu vou refazer e explicar aqui no quadro//
deu? olha só↑eu consigo somar direto aqui/ já? Diminuir? não↑por que? Mateus↑porque os denominadores são?
diferentes↑então para eu poder subtrair/ primeiro os denominadores terão que ficar iguais↑eu faço uma fração
equivalente a essa/ e outra fração equivalente à segunda/ para encontrar quem é esse novo denominador/ eu faço?
A (Lucas): mínimo múltiplo comum↑
P: entendeu/ Luan? Jonas↑eu preciso escrever frações equivalentes/ porque os denominadores são diferentes↑para
encontrar esse novo denominador/ eu tenho que fazer?
A (Lucas): o mínimo múltiplo comum
P: entre quem?
A (Lucas): dois e três↑
P: então eu vou fazer o mínimo múltiplo comum do 2 e do 3/ que eu já fiz aqui↑então aqui eu vou botar aqui tudo o
número 6↑lembra que frações equivalentes eu multiplico os dois pelo mesmo número/ ou? Divido↑então olha aqui/
269
ó↑quantas vezes dois que dá seis? Três/ então aqui eu multiplico por 3↑3 vezes 3? 9↑tem que ir na ordem↑ a↑primeiro
aqui↑ aqui eu multiplico por 3 também↑só que se eu multiplico o denominador por 3/ eu tenho que multiplicar
também o? numerador↑aí eu olho↑se eu multipliquei o denominador aqui por 3/ eu tenho que multiplicar também o?
numerador↑2 vezes 2?
A (Lucas): quatro
P: agora é só diminuir↑9 menos 4? 5↑
A (Mateus): eu não entendi↑
P: deu↑agora vocês que têm que fazer↑
A (Mateus): eu não consigo↑
P: o que que você não consegue fazer? O que eu fiz ali? (vai explicar para o Mateus, o Lucas vem ajudar)
A (Lucas): tem que ver que número que ta aqui/ aí tu pega/ não é número igual/ bota esse e esse aqui de ladinho/ aí tu
faz o que eu fiz/ vai dividindo/ por 2/ por 3/ até chegar no 1/ entendeu?
P: aqui ele fez o mmc/ ele fez o mmc entre o 3 e o 2/ vai dividindo até chegar em 1/entendeu?
A: entre esse número aqui/ o 5 e o 1?
P: não↑entre o denominador↑
A (Mateus): o 3 e o 2?
A (Lucas): é↑ tem que fazer isso daqui que eu fiz aqui/
A (Mateus): ah/ tá↑
A (Lucas): aí até chegar o 1/ aí tens que colocar o número//
P: não/ aí você// até chegar em 1/ e quando chegar em 1/ você multiplica aqui↑ eu vou colocar aqui para ele entender/
tá? Aí você vem aqui e multiplica/ o 2 e o 3↑2 vezes 3? 6↑aí coloca o 6 aqui em baixo/ e esse aqui/ os numeradores
você ainda não sabe/ vai ter que descobrir↑como é que ele faz para descobrir/ Lucas? Como é que vai ser esse número
aqui de cima? Lembra?
A (Lucas): fazendo vezes/ não é?
P: isso↑ele olha assim/ ó↑quantas vezes 3 que dá 6?
A (Mateus): duas
P: isso↑então você multiplicou aqui por 2/ aqui tem que multiplicar por 2↑
A (Lucas): multiplica aqui por 2//
P: não↑pera aí↑é que você tem outro número aqui↑outra conta↑não é a mesma lá do quadro↑você não copiou
certo↑aqui é 3/2↑tá Lucas? quer que arruma? Então é// 3 vezes 2 que dá 6/ você multiplica por 2/ 5 vezes 2?
Dez↑quantas vezes 2 que dá 6?
A(Mateus): 3
P: então você multiplica por 3↑uma vezes 3? Três↑10 mais 3? 13↑agora tenta fazer↑fica do lado dele///
(Os alunos fazem os exercícios. Liliam ajuda Bruna, Shaiane e Natany. A professora passa pela classe)
P: (explica para o Jonas) você quer encontrar o novo denominador/ não é? Então você tem que fazer o mmc do 4/ do
2/ e do 6↑
A: ãh?
P: você quer encontrar novos denominadores/ não é? Então o mínimo múltiplo comum de quem é que você vai tirar?
Do 4/ 2/ e 6/ olha só↑como é que eu fiz aqui? Para somar/ os denominadores não ter que ser iguais? Então a primeira
coisa é encontrar os novos denominadores/ para isso tem que tirar o mínimo múltiplo do 4/2/ e 6/ aqui↑aí o mínimo
múltiplo que você encontra aqui/ vai ser o novo denominador↑aí você vai olhar↑4 vezes quanto que deu esse
resultado? Por quanto que eu multipliquei aqui/ eu vou multiplicar pelo? Numerador↑então o primeiro passo é
encontrar o novo denominador↑para isso você pega aqui os? Denominadores↑tá?
(...)
P: tá com alguma duvida? Qual é a primeira coisa que tem que fazer aqui/ Rafael?
A: achar o número aqui//
P: não↑você não sabe quem é o denominador↑olha só↑os denominadores são todos diferentes/ né? Então você vai ter
que encontrar quem é o novo? denominador↑para isso você vai ter que tirar o mmc do 4/ do 2/ e do 6↑
(...)
P: alguém tem um lápis para emprestar para o// Lucas?
(...)
A: aqui/ professora/ está certo?
P: você somou? Deixa eu ver↑// não↑aqui/ ó↑quantas vezes 10 dá 10? 1/ não é? Então você multiplica por 1↑1 vezes
7? 7↑
A: 7 aqui?
P: tá errado↑aqui/ ó↑eu já vi o que que tu tá errando↑ ta errando aqui↑porque olha↑quantas vezes 4 que dá 12? 3/ não
é? Então aqui você multiplica por 3↑3 vezes 3? 9↑e não 42↑ quantas vezes 2 que dá 12? 6↑
(alguém chama a professora lá fora. Como a professora demora um pouco, os alunos vão parando de fazer o
exercício e começam a brincar. A professora retorna)
P: deu↑eu vou fazer a letra b↑// eu vou corrigir aqui/ a letra b/ e vocês vão prestar atenção↑quem tem dúvida/ vai
tirando as dúvidas↑como os denominadores são diferentes/ a primeira coisa que eu vou fazer/ é encontrar o novo/ o
novo denominador/ de maneira que fiquem todos iguais↑então vamos ver quem vai ser↑como é que eu faço para
encontrar o novo denominador? Natalia↑você lembra? Natalia↑você lembra como é que faz/ Natalia/ para encontrar
o novo denominador aqui?
A: doze?
P: ah↑você já encontrou? // como é que a Natalia fez para encontrar? Lucas Vinicius? A Natalia disse que encontrou
12↑como é que ela encontrou 12?
270
A (Lucas): o 3 e o 5↑
P: não↑ela tirou o mínimo múltiplo do 4/ do 2/ e do? 6↑então ficaria assim / o 4/ o 2/ e o 6↑(escreve o calculo do
mmc)/ o 4/ 0 2/ e o 6/ são números pares↑
A (Lucas): então divide por 2↑
P: divido por 2↑2 dividido por 2/ 1/ 6 dividido por 2/ 3/ Cristiano↑não risca na carteira↑
A (Lucas): abaixa o um
P: presta atenção aqui↑agora eu posso dividir por? 2↑agora/ ó↑eu posso dividir por? Por 3/ agora↑2 vezes 2/ 4/ 4
vezes 3? Rafael↑(...) 12↑então aqui vai ser o número? 12↑aí eu olho↑quantas vezes 4 que dá 12?
A (Shaiane): 3↑
P: qual é o número que multiplicado por 4/ que dá 12? Lucas↑
A: 3
P: 3↑então aqui eu multiplico pelo número?
A (Shaiane): 3↑
P: 3↑3 vezes 3? Nove↑quantas vezes dois/ qual é o número que eu multiplico por 2 que dá 12? Qual é o número que
eu multiplico por 2 que dá 12 o resultado?
A: 6
P: seis↑agora eu olho↑qual é o número que eu multiplico por 6 que dá 12?
A (Shaiane): 2↑
P: dois↑se eu multipliquei aqui por 2/ eu tenho que multiplicar aqui também por? 2↑5 vezes dois? Dez↑9 mais 6? 15/
mais 10? 25↑vamos lá↑
(a professora passa pela classe para verificar se os alunos estão fazendo)
P: depois dessa eu tenho que mandar chamar a tua mãe↑você não está fazendo nada↑eu corrigi a letra a/ corrigi a letra
b/ e você não fez nada↑você não copiou a letra c/ não copiou a letra d↑hein/ Cristiano↑
A: eu estava apagando↑
P: não↑você não estava apagando/ estava brincando↑Lucas↑deixa eu ver a tua↑
(...)
P: ó a letra e aqui↑(vai escrevendo mais exercícios no quadro, os alunos reclamam)
d)
½ + 1/3 + 5/6 =
e)
5/6 – ½ + 1/3 =
(toca o sinal)
A: professora/ é duas aulas?
P: é↑eu deixo sentar em dupla/ mas se tiver barulho// eu separo↑
(a professora passa pela sala, muitos brincam)
(...)
P: querido/ você já copiou?
A (Juarez): não/ eu não///
P: mas faz do jeito que você conseguir/ se não fizer reto/ ninguém faz retinho como eu↑ // isso mesmo↑tá certo↑
A (Juarez): mas está torto↑
P: mas não faz mal↑ não faz mal que está torto↑ eu também não faço retinho↑
(os alunos juntam as carteiras para trabalhar em duplas)
(...)
P: Andressa↑está conseguindo fazer? Eu vou te explicar agora↑você tem que pegar aqui/ o denominador/ e tirar o
mínimo múltiplo comum↑(...) olha aqui↑ tem que tirar o mínimo múltiplo entre 5/ 2 e 10/ daí divide por 2/ 2 dividido
por 2? 1↑10 dividido por 2? 5/ daí 5 dividido por 5/ 1/ 10 dividido por 5? 2↑aí eu olho/ entendeu? Você olha/ quantas
vezes 5 que dá 10? Qual é o número que eu multiplico?
A (Andressa): dois
(tem muito barulho na classe, a professora organiza)
P: olha só↑não tem condição nesse barulho/ de fazer atividade↑eu quero o Mateus fazendo/ as atividades↑
A (Mateus): eu to fazendo/ professora↑
P: não↑ está copiando↑
P: Rafael/ quantos que você já fez? Vira para frente↑vamos fazer↑a caneta/ dá aqui↑dá aqui a caneta↑vamos lá↑
P: Natalia↑está conseguindo fazer? (...)
(...)
A: (Jonas) eu não sei fazer essas contas/ professora↑eu não sei fazer↑eu não vim na aula quando a senhora explicou
isso aqui↑
P: tá/ eu vou explicar↑(...) então olha aqui↑deixa eu te explicar↑posso dividir por dois/ 6 divido por 2/dá 3/ o 3 não dá
para dividir/ abaixa/ o 6 dividido por 2? 3/ agora outra vez por 2/ dá 1 e dá 1/
(...)
A (Lucas): 2 dividido por 2/ é 1↑
P: é vezes aqui↑3 vezes 2↑é 6 vezes 5↑A Natalia sabe fazer também↑ senta com ela↑
(...)
P: Mariel↑ quantos você já fez/ Mariel? Já fez tudo? (...) Cristiano↑senta/ Juarez↑(...) Cirstiano↑senta↑(...) então aqui/
quantas vezes dois que dá 6?
A (Mariel): duas //
P: 3↑uma vezes 3? 3/ quantas vezes 3 que dá 6? Duas↑quantas vezes 6 que dá 3? Uma vezes cinco/ cinco/ agora é só
somar↑
(...)
271
A: (Lucas) pode ser cinco? O cinco dividido por dois?
P: não↑ó↑aqui é 1/ por 2 não dá/ abaixa↑10 dividido por 5 é dois↑
A: ah/ viu? Eu ia dizer dois/ você disse que era cinco↑
P: aí encerrou aqui/ divide por 2/ dá tudo 1/ aí acabou↑aí é só fazer duas vezes cinco↑
(...)
P: Shaiane↑ ela podia fazer contigo/ né? quer fazer sozinha? // vamos ver↑(explica para Andressa) essa aqui você já
fez sozinha↑ 5 vezes 2 não é 13↑é 10↑ ta? Depois você arruma↑ é que uma vezes 3/ é 3/ e uma vezes 2/ é? 2/ você
não multiplicou↑deixa eu apagar para ti↑
(se dirige a todos)
P: eu vou corrigir a letra c e a letra d/ ta? (...) deu↑Aline↑Natany↑é a última vez que eu vou pedir para parar/ os
meninos/ com a brincadeira de ficar batendo nas costas↑ não importa quem começou/ agora encerrou↑eu vou fazer
agora a correção da letra c e da letra d/ vocês vão aguardar em silêncio↑Cristiano/ senta direito↑vou corrigir a letra c
e a letra d/ e vou colocar mais duas/ ta? Mariel↑ pega o teu caderno e abre↑(...) qual é a primeira coisa// eu vou
corrigir aqui↑deu↑turma↑(...) qual é a primeira coisa (...) a primeira coisa que eu vou fazer é tirar o mínimo múltiplo
comum de 5/ do 2/ e do 10/ eu quero que o Lucas Vinicius presta atenção/ o Mariel/ o Rafael/ / / Rafael↑Rafael↑qual
é a primeira coisa que eu tenho que fazer aqui/ Rafael?
A: (Rafael): é// dividir por cinco↑
P: a hora que eu vou tirar o mínimo múltiplo comum aqui↑as duplas↑ só um pouquinho agora/ se não eu não consigo
falar↑/// Jonas↑por favor↑por qual número eu divido aqui?
A (Aline): por dois
P: dois dividido por dois?
A: um
P: dez por dois?
A: cinco↑
P: Rafael e Crsitiano↑ vocês não fizeram nenhum até agora/ sozinhos/ e não prestaram atenção nenhuma vez quando
eu estou explicando↑// agora eu posso dividir por qual número aqui/ Rafael↑olhar para o quadro↑
A (Rafael): dois↑
A: (Aline e Liliam): cinco↑
P: cinco↑dá um/ dá um e dá um/ agora eu vou multiplicar/ duas vezes 5? dez↑agora aqui/ eu vou escrever duas
frações equivalentes a essas/ vai ficar/ mais/ mais/ igual a/ (vai escrevendo os traços de fração e os sinais) e meu
novo denominador será? Dez↑Jonas↑eu já pedi várias vezes///
A: (Jonas): ela que fala comigo/ professora↑
P: mas agora eu estou explicando↑// agora aqui↑quantas vezes 5 que dá 10? Qual é o número que eu multiplico por 5
que dá 10?
A: dois
P: dois/ então aqui eu multiplico também por? 2↑3 vezes 2? 6↑quantas vezes dois que vai dar dez?
A: cinco↑
P: cinco↑então eu multiplico aqui por cinco/ aqui por cinco/ uma vez cinco? Cinco↑quantas vezes dez que vai dar
dez?
A: Um
P: um↑então aqui dividido por 1/ 7 vezes 1? Sete↑agora eu somo↑6 mais cinco? // 6 mais 5? Onze↑onze mais 7?
A: 18
P: 18↑vamos ver a letra d↑na letra d/ eu tenho que tirar o mínimo múltiplo comum de 5 e do? 3↑tá? Então aqui fica 5
e? 3↑o 5 e o 3/ Rafael↑por qual número eu divido? ///o 5 e o 3 são ímpares↑não dá para dividir por 2↑
A: (Aline e Liliam): por 3↑
P: por 3↑dá um/ o 5 eu abaixo/ dá por 5/ dá um e dá um/ 3 vezes 5 é? 15↑então aqui eu vou colocar o número?
15↑Rafael↑eu não quero que você corrija/ nenhuma dessas/ ta? deixa em branco/ que depois eu vou falar para você o
que que é para fazer/ ta? (...) aí eu olho/ quantas vezes 5 que dá 15?
A: (Aline e Liliam): 3
P: 3↑então aqui/ 6 vezes 3? 18↑quantas vezes 3? 5↑uma vez cinco/ vai ser? 5↑18 menos 5 vai dar? 13↑//(vai falar
com o Rafael) o que você não faz/ você não vai corrigir em classe/ vai terminar lá em casa/ lá no Sesc/ e na próxima
aula/ eu vou olhar o teu caderno↑você não fez nenhuma/ você não vai fazer nenhuma/ ta? Eu combinei isso com a tua
mãe↑(pergunta a hora para uma aluna e começa a escrever mais exercícios no quadro, os alunos reclamam)
2) Para fazer um trabalho escolar, Daniel usou 2/3 de uma folha de cartolina e sua irmã usou ¼ da folha. Que
fração dessa folha os dois usaram?
A: professora↑ mais?
P: só mais uma↑// mais uma↑
3) Uma pessoa gasta ¼ do seu salário com o aluguel da casa onde mora e 2/5 com atividade de lazer. Responda:
a) que fração do salário ela gasta em aluguel e lazer?
b) sabendo que o salário é de R$ 800,00, qual a quantia do seu salário que sobrou?
P: encerrou a conversa↑ eu disse que eram mais dois exercícios/ se continuar o barulho eu vou colocar mais
exercícios↑
(a professora aguarda os alunos copiarem, falta pouco tempo para o final da aula)
P: vamos fazer a atividade↑vamos lá↑(...) já teve vários que já fizeram o número dois↑
(...)
A: professora↑como é que faz aquele ali/ professora? (explica para Liliam e Michele)
272
P: olha só↑ ele gastou 13/10/ vamos ver quanto que ele gastou? O que que é 13/20? Eu vou ter que fazer 13/20 de
quantos? De 800↑para ver quanto que ele gastou↑com essa conta eu vou descobrir quanto é que ele gastou/ depois é
só diminuir do valor/ vai descobrir quanto sobrou//
(sinal)
273
TRADUCTION DES TRANSCRIPTIONS
ENSEIGNANTE EXPERTE - S
Séance 1
02/08/2005
P: on était en train d'étudier les fractions, vous vous rappelez? On va se rappeler (écrit 2/5 de 10)/ ça sera quoi le 2/5?
(ils ne sont pas très sûrs, mais quelqu'un dit « divise »)(...) On divise↑ je divise 10 en cinq parts/ ça donne
(écrit au tableau:)
2
2
2
2
2
P: je prends deux/ ça fait 4 (...) on va travailler fractions équivalentes. Qu'est-ce que c'est qu'une fraction équivalente?
équivalent/ ça veut dire quoi? (...) (les élèves ne savent pas, l'enseignante attend et finalement conclut) équivalent/ ça
peut être qui a le même? (personne ne répond,. l'enseignante écrit au tableau le titre «Fractions équivalentes» et
affirme qu'il ne faut pas copier pour l'instant, elle va organiser le tableau plus tard)
P: comment je lis cette fraction?
(les élèves hésitent un peu)
P: il y a une division en deux parts/ et une d'elles est hachurée/ alors?
(plusieurs répondent au même temps: un demi)
L'enseignante montre une autre feuille, divisée en quatre parts, où deux sont hachurées. Elle montre les deux feuilles
et pose la même question.
P: c'est pareil? Elles correspondent à la même taille?
(plusieurs disent « non », quelques uns disent « oui », mais ne sont pas très sûrs)
P: si c'était à manger, ça serait la même chose?
(ils ne répondent pas. L'enseignante insiste, elle montre que les parts considérées sont pareils. Elle s'aperçoit qu'ils
ne se sont pas convaincus, mais elle conclut:)
P: c'est ce qu'on appelle fractions équivalentes.
(elle dessine deux rectangles, un dessus l'autre, dit qu'il faut que ça soit pareil. Mais une élève remarque que ce n'est
pas tout à fait pareil, l'enseignante continue)
P: il y a une méthode pour trouver des fractions équivalentes/ on n'a pas besoin du dessin (...) si j'ai un demi/ si je
divise en quatre (hachure la moitié du rectangle pour représenter le demi et divise en quatre parts celui qui est
dessiné juste au dessous) (...) si je divise au milieu/ j'ai un demi/ si je divise en quatre parts/ il faudrait prendre
combien? (écrit:)
1 = __
2 4
(marque le deux sur le numérateur)
P: ici j'ai multiplié par deux/ donc il faut multiplier en haut aussi// voyons maintenant si je voudrais diviser en huit
(écrit:)
1 = __
28
P: j'ai multiplié par 4/ il faut multiplié par 4 aussi (écrit le résultat, 4. Un élève suggère le 12, l'enseignante accepte sa
suggestion)
P: si je prends le 12? (écrit:)
1 = ___
2 12
(marque « x6 » à coté du 2)
P: j'ai multiplié par 6/ il faut multiplier par 6 (écrit le résultat, 6) (...) maintenant le contraire/ j'ai divisé par 14/
combien faudrait il prendre? (fait un rectangle et divise en 14 parts. Écrit:)
7 = __
14 2
(silence. Les élèves réfléchissent, quelques uns répondent: 7, 2....On voit qu'ils n'ont pas comprit de quoi il s'agit)
P: voyons ici un exemple qui correspond à un dessin qu'on a/ça devient plus facile de visualiser (écrit:)
4 = __
82
P: si je divise par 4/ il faut diviser par 4// alors je peux soit multiplier/ soit diviser/ il faut que ça soit le même numéro/
( marque « ÷ 4 » à coté du 8 et marque le résultat, 1. Reprend donc l'exemple antérieur:)
7 = __
14 2
P: j'ai divisé par combien?
(plusieurs répondent au même temps: 7, 8, 2,...)
P: j'ai divisé par 7/ le résultat est le 2/ donc il faut diviser par 7/ ça donne 1/ alors// comment est-ce que je fais?
E: on multiplie ou on divise
P: et les numéros doivent être?
274
E: égaux
P: maintenant je vais organiser et vous pouvez copier (efface le tableau et écrit:)
Exemples:
a) 1 = 2
2 4
b) 1 = 4
2 8
c) 4 = 1
8 2
d) 7 = 1
14 2
(pendant que les élèves copient, l'enseignante regarde le manuel, cherche des exercices)
Exemples:
a) 1/2 = 2/4
b) 1/2 = 4/8
c) 4/8= 1/2
d)7/14=1/2
P: je vais vous passer des exercices (écrit)
Vérifier se les fractions sont équivalentes:
a) 2/7 et 6/21
b) 5/9 et 15/18
c) 16/10 et 8/5
d) 8/4 et 2/1
e) 2/9 et 4/10
f) 5/16 et 10/32
P: je vais résoudre le « a » avec vous/ (il s'agit du 2/7 et 6/21) qu'est-ce que vous remarquez ici? Pour que ça soit
équivalent/ je multiplie ou bien il faut? (...) diviser↑ (écrit « x3 » à coté du 7 et à coté du 2)
(Les élèves copient et commencent à travailler. L'enseignante attends. Il reste assez de temps, mais elle ne paraît pas
être pressée, il paraît qu'elle n'a pas envie d'avancer. Quelques uns finissent de copier, se lèvent, l'enseignante se
promène par la salle. Un élève dit: « je ne sais pas faire ces calculs », elle va vers lui et lui explique. Une autre élève
demande: « comment je peux savoir s'il faut multiplier ou diviser? ». L'enseignante va lui expliquer (...) la séance se
termine)
Séance 2
04/08/2005
P: ouvrez les cahiers/ je vais faire l'appel (commence l'appel) (...) je vais faire la correction/ avec vous/ et on verra
encore un peu plus/ sur les fractions équivalentes/ d'accord? Je vais prendre les valeurs ici // (écrit au tableau tous les
exercices)
Correction
a) 2/7 et 6/21
P: alors on va voir/ on va vérifier si elles sont équivalentes/ attention↑//alors on va vérifier ici↑ deux fois trois/ ça fait
six/ et ici/ sept fois trois ça donne? Vingt et un↑ alors ça veut dire quelles sont quoi? (...) équivalentes↑
E: on peut marquer « correct »?
P: oui↑ on peut écrire « correct »↑
E: le mien était correct↑
P: bien/ alors marque 'correct' (...) (elle passe au « b », 5/9 et 15/18) ici je multiplie par trois/ ici fois? Deux/ alors
(écrit « non » au tableau) celle là↑ (il s'agit du « c », 16/10 et 8/5) j'ai divisé par? // deux↑ je divise ici aussi par deux/
comme les valeurs sont pareils/ ça veut dire qu'elles sont? équivalentes↑
E: le mien est correct↑
P: ici (il s'agit maintenant du « d », 8/4 et 2/1) je divise ici par 4/ et ici je divise aussi par? quatre↑ elles aussi sont?//
équivalentes↑
E: celle là n'est pas↑
E: elle n'est pas↑
E: et la prochaine est↑
P: ici (il s'agit de 2/9 et 4/10) je multiplie par deux/ et ici je multiplie par combien? Est-ce que c'est vraiment 10 ou
c'est 18?
E: dix↑
P: ici on ne peut pas multiplier par un nombre naturel/ pour que ça donne 10/ donc ici elles ne sont pas? // ne sont pas
équivalentes↑ (...) ici (il s'agit de la dernière, 5/16 et 10/32) je multiplie par deux/ et ici je multiplie par deux/ ça veut
dire qu'elles sont? // équivalentes↑ (...) pour prouver qu'elles sont vraiment équivalentes/ on va faire cela↑ // ne copiez
pas/ d'accord? (écrit)
2/5 de 40 4/10 de 40
P: regardez ici↑ si on regarde ceux deux valeurs ici↑ on va vérifier si elles sont équivalentes? Sans faire la
multiplication↑ c'est combien 2/5 de 40? allez↑ c'est quoi 2/5 de 40? (entre le directeur de l'école et parle quelques
minutes aux élèves. Il s'agit d'une punition assez sévère que tous les élèves ont reçu, qui les oblige à ne pas s'éloigner
de la salle entre deux séances. Le directeur parle d'une manière très dure, les élèves écoutent assez tendus. Il s'en va
275
et l'enseignante ne fait aucun commentaire, reprend tout simplement l'explication. Mais les élèves parlent entre eux,
il ne semblent pas contents)
P: on va voir combien c'est 2/5 de 40↑ c'est 40 divisé par? Maia↑ c'est quarente divisé par? (ils sont distraits car
plusieurs parlent à propos de la visite du directeur) 40 divisé par 5 c'est combien? // 40 divisé par 5 c'est? C'est
combien 40 divisé par 5?
E: c'est quelque chose↑
P: huit↑ et huit fois deux c'est combien?
E: seize↑
P: seize↑ (marque le 16 et l'encercle) voyons si 2/5 de 40 c'est/ regardez la question↑ 2/5 est équivalent à 4/10? alors
je vais faire 2/5 de 40/ je verrai combien ça donne/ et ensuite je vais faire 4/10 de? // 40↑ 40 divisé par 10 c'est
combien?
E: quatre
P: quatre fois quatre ça fait?
E: huit
P: seize↑ c'est à dire/ 2/5 de 40 c'est le même résultat que 4/10 de?
E: 10↑
P: quarente↑ c'est à dire/ je calcule le dixième de 40/ c'est à dire que les deux fractions sont? // équivalentes↑ voyez
comment on avait fait avant/ regardez↑ (écrit les deux fractions, 2/5 et 4/10 dans un coin du tableau) comment avez
vous fait avant? Ici vous faisiez fois deux/ deux fois deux/ quatre/et cinq fois deux ça donne?
E: dix
P: dix↑ ici on le confirme↑ / 2/5 de 40 fait 16/ et 4/10 de 40 fait? 16↑ // maintenant je vais vous proposer quelques
exercices/ sur les fractions équivalentes↑ pour vérifier/ quelles sont équivalentes/ par ce calcul là↑ si les résultats sont
pareils/ c'est qu'elles sont? équivalentes↑ si les résultats sont différents?
E: elles ne sont pas
E: comme ça c'est plus difficile↑
(elle réfléchit et finalement écrit)
3/5 de 30 6/10 de 30
P: encore celles là pour vérifier si elles sont équivalentes/ encore une↑ (...) voyons↑ 3/5 de 40↑ Lucas↑ comment je
fais 3/5 de 40? (elle se trompe, car c'était 30)
E: 3/5 de 30?
P: oui↑3/5 de 30↑ c'est pas 40↑
E: (Lucas) divise
P: je divise par combien?
E: cinq↑
P: six↑six fois trois ça va faire combien?
E: douze↑
P: dix huit↑personne ne connaît plus les tables↑
(...)
P: voyons ici/ pour qu'elles soit équivalentes/ ça doit faire combien?
E: dix huit
P: alors ça veut dire qu'elles sont? Équivalentes↑ 3/5 de 30 est équivalent à 6/10 de? 30↑ passons à l'exercice↑
E: non↑
P: oui↑(commence à écrire)
P: então quer dizer que elas são? Equivalentes↑3/5 de 30 é equivalente a 6/10 de? 30↑ vamos lá agora para os
exercícios↑
A: não/ professora↑
P: sim↑(vai escrevendo no quadro)
Vérifier si les fractions sont équivalentes:
a) 2/3 de 30 a la même valeur que 4/6 de 30?
b) 3/5 de 45 a la même valeur que 6/15 de 45?
c) 10/12 de 24 a la même valeur que 5/6 de 24?
P: deux lignes doivent suffire/ d'accord?
E: il y aura un contrôle de mathématiques?
P: oui↑dès qu'on aura conclu ce sujet et les opérations↑
E: c'est ça le sujet?
P: oui↑ (les élèves commencent à copier les exercices)(...) copiez vite et je vais expliquez↑
(...) (l'enseignante va passer pour accompagner le travail des élèves. À l'enregistrement, nous avons des échanges
individuelles)
P: tu te souviens comment on calcule 2/3 de 30?
E: je sais
P: alors il faut calculer↑verifie combien ça fait 2/3 de 30↑
E: je ferai plus tard
P: plus tard// 4/6 de 30/ tu sais combien ça fait? Il faut savoir le résultat↑si les résultats sont pareils/ ça veut dire que
les fractions sont équivalentes↑ si les résultats sont différents/ elles ne sont pas équivalentes↑
E: ah↑ c'est ça?
(...)
P: tu te souviens comment on calcule 2/3 d'un numéro?
276
E: 2/3 d'un numéro?
P: par exemple/ 2/3 de 30? comment on calcule?
E: c'est (...) 3 fois 30
P: non↑c'est quoi 2/3? c'est un numéro divisé en 3 parts↑ alors je vais diviser le 30 en trois parts↑ dix pour chaque
part↑ combien de parts il faut prendre?
E: deux
P: dix fois deux/ ça fait?
E: vingt
P: maintenant il faut faire 4/6 de 30/ et vérifier combien ça donne↑
E: 4/6 de 30?
P: oui↑ et vérifier le résultat↑
(...)
P: alors ici il faut faire quoi? Vérifier combien c'est 2/3 de 30/ tu te souviens comment est-ce qu'on fait 2/3 de 30? tu
te souviens? Voyons//pour que ça soit équivalent/ qu'est-ce qu'il faut arriver? 2/3 de 30 doit avoir la même valeur que
4/6 de 30/ il faut donc calculer/ combien ça vaut 2/3 de 30/ et 4/6 de 30/ d'accord? Si les valeurs sont pareils/ 2/3 est
équivalent à 4/6↑ calcule d'abord 2/3 de 30↑
(...)
P: comment je sais quand une fraction est équivalente à une autre?
E: (ne répond pas)
P: il faut que ça représente la même part de l'entier/ n'est-ce pas? Des numéros différents représentent la même
part↑ c'est a dire/ combien ça fait 2/3 de 30? est-ce que c'est la même valeur que 4/6 de 30? si elles sont équivalentes/
ça doit représenter la même part/ tu te souviens? /// 1/2 représente la même que de 4/8? alors↑ 2/3 de 30/ il faut
vérifier combien ça fait↑ après il faudra venir ici/ et calculer 4/6 de 30/ si elles sont équivalentes/ qu'est-ce qui va
arriver? La valeur sera?
E: égale
P: alors il faut calculer/ 2/3 de 30 et 4/6 de 30
(...)
P: Comment je fais 2/3 d'un numéro? C'est quoi 2/3 d'un numéro? (...) c'est 30 divisé en trois parts/ combien a chaque
part? dix↑combien faut il prendre?
E: deux
P; deux fois dix?
E: vingt↑
P: alors 2/3 de 30 c'est?
E: vingt↑
P: maintenant il faut calculer 4/6 de 30
(...)
P: c'est quoi 2/3? tu te souviens comment on faisait? 2/3 de 30// quand on avait le matériel concret/ je vous donnais
30 pièces et je demandais 2/3/ qu'est-ce que vous faisiez? Vous divisiez 30 en combien de groupes?
E: trois
P: alors on va diviser 30 en trois groupes/ ça fait combien pour chaque groupe? dix↑combien de groupes faut-il
prendre?
E: deux
P: deux/ alors fois deux/ça fait/ vingt↑maintenant il faut faire 4/6 de 30/ est-ce que ça va faire la même valeur? Si ça
fait la même valeur c'est parce que les fractions sont? Équivalentes↑ ce sont des numéros différents/ qui vont
représenter la même valeur/ alors voyons↑c'est quoi 4/6 de 30? trente divisé en combien de groupes?
E: six
P: six↑ ça fait combien en chaque groupe?
E: cinq↑
P: combien de groupes il faut considérer?
E: quatre
P: quatre↑ cinq fois quatre vingt/ 2/3 de 30 c'est la même valeur que 4/6 de 30?
E: oui
P: oui↑cela veut dire que les deux fractions sont? équivalentes↑alors 2/3 est équivalent à?
E: 4/6
(...)
E: ici il faut avoir// ça peut être n'importe quoi alors?
P: ici le résultat doit être le même// bien sûr qu'il faut que ça soit 30 et 30
E: ici ça peut être n'importe quel numéro?
P: oui↑ n'importe quel↑ mais tu // ça ne sera pas toujours équivalent↑tu vas le vérifier/ si c'est équivalent/ ça peut être
n'importe quel numéro/ mais cela ne signifie pas que ça sera équivalent
E: d'accord/ si c'est pareil ici/ c'est équivalent?
P: quand est-ce qu'une chose est équivalente à l'autre? Quand une chose équivaut à l'autre/ a la même valeur/ si la
valeur ici est pareil à l'autre/ 2/3 de 30 équivaut à la valeur de?
E: 4/6 (....) ce n'est pas
P: alors ce n'est pas équivalent↑mais je crois que tu n'as pas divisé correctement/ voyons combien ça vaut 2/3 de 30?
ça fait 20↑4/6 de 30/ c'est combien 4/6 de 30? c'est combien 30 divisé par six? Cinq/ cinq fois quatre? Vingt↑
(...)
277
P: ça fait combien de temps que tu ne viens pas à l'école?
E: depuis/ depuis hier
P: non↑je veux dire avant les vacances↑
E: j'ai été absent/ environ quatre jours↑
P: alors voyons comment on fait ici↑2/3 de 30? on va calculer 2/3 de 30
E: il faut multiplier?
P: tu te souviens de cette leçon avec le matériel doré? On faisait des calculs/ te souviens tu que je vous donnais des
pièces pour diviser? Je vous donnais 2/3 de 30/ qu'est-ce que vous faisiez? Vous divisiez 30 en 3 groupes/ d'accord?
E: d'accord
P: ça faisait 10 en chaque/ alors combien de groupes de dix je vais prendre?
E: deux
P: deux/ dix fois deux?
E: vingt↑
P: alors 2/3 de 30 c'est combien?
E: vingt
P: maintenant on va voir combien ça fait 4/6 de 30/ on va vérifier si ça fait le même/ divise en combien de groupes?
E: six
P: six/ ça va faire? cinq↑combien de groupes de cinq il faut prendre?
E: quatre
P: c'est la même valeur? oui↑donc 2/3 est équivalent à 4/6
(...)
E: j'ai fini de copier↑
P: alors on va commencer à résoudre↑
E: comment est-ce qu'on fait?
P: allez↑ Lucas↑comment est-ce que je sais si les fractions sont équivalentes ou non?
E: les mêmes valeurs
P: si les fractions sont équivalentes/ qu'est-ce qu'il faut arriver à la fin? Les valeurs doivent être?
E: les mêmes
P: alors↑il faut faire 2/3 de 30 et 4/6 de 30/ voyons↑2/3 de 30 et 4/6 de 30/ comment est-ce que je fais 2/3 de 30? 30 il
faut diviser en combien de groupes?
E; trois
P: trois/ 30 divisé par 3 ça fait combien?
E; dix
P: combien de groupes de dix il faut prendre?
E: deux
P: deux/ deux fois dix ça fait? vingt↑maintenant 4/6 de 30/ c'est le trente divisé en combien de groupes?
E; quatre
P: non↑ c'est toujours le dénominateur↑toujours↑toujours le dénominateur↑on a établi que celui qui divise c'est le
dénominateur/ d'accord? Le dénominateur est celui qui divise↑d'accord? 30 divisé par six↑ cinq↑combien de groupes
de cinq il faut prendre?
E: quatre
P: quatre fois cinq ça donne? vingt↑alors cela veut dire qu'elles sont? équivalentes↑
(Il reste dix minutes pour terminer la séance. Elle décide de commencer la correction)
P: on va résoudre↑ le premier↑je commencer par la lettre « a »// ça y est? Maira/ Natania/ regardez↑vous terminez
pendant que je fais le « a »/ d'accord? (...) allez↑ regardez ici↑je vais demander à Maira/ pour voir si elle le sait↑
comment je sais quand deux fractions sont équivalentes?
E: quand une est/// quand ça donne le même résultat↑
P: le même résultat de quoi? (...) comment je fais pour savoir si c'est la même valeur? Comment je fais pour savoir si
elles ont la même valeur?/// allez↑ je vais faire 2/3 de 30/ d'accord? Si c'est la même valeur que 4/6 de 30 cela veut
dire quoi? Que les fractions sont? équivalentes↑numéros/ fractions différentes/ correspondent à la même valeur/ cela
veut donc dire que les fractions sont? Équivalentes↑ comment je fais 2/3 de 30? Luciane/ voyons si tu te souviens↑
E: non/ maîtresse↑
P: tu ne te souviens pas? 30 divise en combien de groupes?
E: trois
E: ça va faire 10
P: ça fait 10// fois deux↑parce que j'ai deux groupes/ ça fait? Vingt (écrit l'opération au tableau:)
2/3 de 30 = 30 ÷3 = 10 x 2 = 20
P: ici/4/6 de 30/ je vais diviser trente en? Six groupes/ ça fait/ 5↑et je prends? Six/ ça fait? cinq↑combien de groupes
de cinq il faut prendre ici?
E: quatre↑
P: quatre↑ici↑quatre fois cinq ça fait? Vingt↑ des fractions qui s'écrivent avec des numéros différents/ donnent la
même valeur/ cela veut dire qu'elle sont? allons vérifier si elles sont équivalentes (c'est l'exercice 'b')
E: lequel?
P: tu as une question? Tu es en train de faire lequel? (demande à un élève assit à la première ligne)
E: le « b »
P: je vais donc faire jusqu'au « b »/ cependant tu termines les autres/ tu as déjà terminé?
E: non
278
P: continue donc/ pendant que tu termines/ je vais faire celui ci/ d'accord? Voyons combien ça vaut 3/5 de 45 et
combien c'est 6/15 de 45// Maira/ c'est combien ici? 45 divisé en combien de groupes?
E: cinq
P: cinq↑combien ça vaut 45 divisé par 5? neuf↑ combien de groupes de 9?
E: trois
P: trois↑ cela fait? Vingt sept↑ le 45 ici/ Rafael↑ le 45 il faut diviser en combien de groupes?
E: quinze
P: quinze↑ cela fait combien? six↑combien de groupes de six?
E; trois
P: trois↑cela fait? dix huit↑ces fractions correspondent à la même valeur?
E: non
P: non/ 3/5 c'est 27 et 6/15 est égal à? 18/ alors cela veut dire qu'elles ne sont pas équivalentes↑
E: Maîtresse↑ le « c » n'est pas non plus?
E: si
E: non
E: si
P: voyons (...) je vais résoudre ici pendant que Michele termine// 24/ je vais diviser en combien de groupes? ( il s'agit
de 10/12 de 24 et 5/6 de 24)
E: douze
P: douze↑ ça va faire combien? deux↑combien de groupes de dix? (l'enseignante se trompe et dit « dix » au lieu de
« douze ») Combien de groupes de douze? Dix↑ j'avais déjà dit/ n'est-ce pas? deux↑celle là je voudrais que Lucas
m'aide↑ comment est-ce qu'il faut faire ici Lucas? C'est quoi 5/6?
E: je divise en//
P: on a établi que le dénominateur c'est le numéro de parts qu'on divise/ vous vous souvenez avec le matériel doré?
Qu'on prenait// je disais 5/6/ on prenait 24 pièces et on les divisait en//
E: 6
P: six groupes↑d'accord? Alors ici il faut diviser 24 en six groupes/ cela fait combien par groupe? Quatre en chaque
groupe/ combien de groupes de quatre il faut prendre?
E: trois
E: cinq
P: cinq↑ fois cinq ça fait? Vingt↑ alors 10/12 a la même valeur que? // 5/6↑
E: oui
P: cela veut dire que les fractions sont?
E: équivalentes↑
E (Marcos) mais dans ce cas on divise↑
P: parce que cela c'est le nombre de parts qu'on divise↑ le dénominateur↑
E: mais il ne fallait pas multiplier?
P: non↑ le dénominateur c'est le nombre de parts que je divise/ 30 divisé en six groupes/ cela va faire? Cinq↑ combien
de groupes il faut prendre? Quatre↑ comment tu as fait? (regarde le cahier de cet élève) mais c'est correct↑
(La séance se termine)
Séances 3 et 4 (séances doubles)
5/08/2008
Il s'agit d'une double séance. Il y a un nouvel élève, qui vient d'arriver. Comme c'est le premier cours de la journée,
l'enseignante doit réunir toutes les cartes d'étudiants des élèves, c'est une règle de l'école pour contrôler leur présence.
P: Ariel↑c'est ton premier jour? Tu connais tout le monde? Il s'appelle Ariel↑ (...) Natania va rassembler toutes les
cartes↑ tout le monde cherche la sienne↑ allez↑tout le monde met les cartes sur la table↑ (l'enseignante en profite
pour faire l'appel) on va prendre les cahiers pour continuer↑allez↑ on continue↑(...) avez vous vos cahiers? J'ai tout
corrigé hier?
E: oui
P: j'ai corrigé?
E: oui↑
P: je vais vous passer encore des exercices/ il faut les copier sur les cahiers↑ hier on a travaillé jusqu'à la lettre « c »/
avez vous déjà mis la date?
E: déjà
(l'enseignante écrit au tableau, les élèves copient)
1. Répondez:
a) 5/7 de 70 a la même valeur que 10/14 de 70?
b) 2/3 de 108 a la même valeur que 10/12 de 108?
2. Remplissez les blancs de façon à trouver des fractions équivalentes:
a) 2/5 = /10
b) 3/4 = 9/
c) 12/10 = 6/
d) 3/8 = /40
e) /20 = 2/5
f) 18/12 = 6/
279
E: combien de lignes?
P: peut être deux/ deux ou trois ça doit suffire
E: il faut vérifier si elles sont équivalentes?
P: oui/ il faut vérifier si elles ont la même valeur↑
E: maîtresse↑je peux utiliser le stylo rouge?
P: tu peux oui↑
(elle commencer à passer pour accompagner le travail des élèves)
E: comment il faut faire?
P: où? Ici? (elle indique le deuxième exercice)
E: oui
(elle revient au tableau pour expliquer à tous)
P: qu'est-ce que j'affirme ici? Que le fractions sont? équivalentes↑comment je fais le calcul pour trouver des fractions
équivalentes? Je multiplie les deux par le même numéro ou bien? Je divise↑(...) j'ai multiplié par combien ici? (il
s'agit de 2/5 = ___ /10) par deux↑ alors deux fois deux/ quatre↑ il faut trouver le numéro↑
(...)
E: alors là?
P: la lettre 'e''? la 'e' (exercice ...../20 = 2/5)/ du cinq pour arriver au vingt/ j'ai multiplié par combien?
E: par quatre
P: par quatre↑alors il faut faire quatre fois?
E: deux
P: qui fait?
E: huit
P: alors ici c'est huit↑
(...)
(une élève vient lui montrer son cahier)
E: mais ce numéro là?
P: ici/ il faut découvrir quel sera ce numéro là↑avec des fractions équivalentes↑correct? Vous vous souvenez qu'on
faisait ici? Alors maintenant regardez↑ je dois multiplier les deux par le même numéro/ ou bien je dois?diviser↑n'estce pas? Cinq fois combien fait dix?
E: deux
P: deux/ cinq fois deux/ dix/ alors il faut multiplier aussi par? Deux/ deux fois deux?
E: quatre
P: alors 2/5 est équivalent a?
E: 4/10
P; alors/ si je voulais 2/5 d'une valeur/ par exemple/ 2/5 de 20 bombons/ c'est le même que 4/10 de? 20 bombons↑ tu
as compris comment il faut faire?
(...)
E: j'ai finit↑ (20 minutes depuis le début des exercices)
P: tu as fini?
(...)
P: pour quoi est-ce qu'elles sont pareils? Tu as compris comment on fait pour trouver des fractions équivalentes?
E: j'ai compris
P: quand est-ce que deux fractions sont équivalentes?
E: quand la valeur de une est pareil à la valeur de l'autre
P: c'est ça↑ alors là/ cinq fois combien fait dix? (c'est l'exercice 2/5 = .../10)
E: deux
P: deux↑ alors il faut multiplier ici aussi par?
E: deux/ cela fait quatre
P: alors 2/5 est équivalente à?
E: oui/ d'accord↑
(...)
P: combien de fois 8 fait 40? (il s'agit de: 3/8 = __/40)
E: cinq
P: ici tu avais fait 8 fois//
E: ah↑// d'accord/ d'accord↑
(...)
P: ici c'est 70 divisé par 14/ ce n'est pas 14 divisé par 70↑ 70 divisé par 14↑combien de fois 14 fait 70?
E: ....
P: par deux? Deux est trop bas/ un peu plus/ essaye de voir quel numéro s'approche↑
(...)
P: ici ce n'est pas 5/6/ c'est 5/7↑ (c'est l'exercice: 5/7 de 70 a la même valeur que 10/14 de 70?) est-ce que 5/7 a la
même valeur que 10/14 de 70?
E: oui
P: alors/ mais il faut le calculer↑comment je fais 5/7?
E: ....
P: comment je fais 5/7 de quelque chose?
E: je// je prends/ je fais....
280
P: je divise en sept groupes/ et après je vais prendre combien de groupes?
E: cinq
P:
combien/
combien
d'objets
j'ai?
Soixante-dix↑
alors
soixante-dix
divisé
en?
E: sept parts?
P: alors allons le faire↑
(...)
P: quand est-ce que deux fractions sont équivalentes? // comment je vais faire pour savoir si les fractions sont
équivalentes?
E: on divise
P: oui/ mais regarde/ quand elles sont équivalentes j'arrive à multiplier ou diviser par le même numéro/ regarde↑ deux
fois deux? Quatre/ trois fois deux? Six/ quand je multiplie ou je divise par la même valeur/ c'est à dire quelles sont?
Équivalentes↑ alors ici le calcul est fait/ je suis sûre que ça va donner le même résultat/ je peux faire directement/
combien de fois deux fait quatre?
E: deux
P: ici j'ai multiplié par deux aussi/ cela signifie qu'elles sont?
E: équivalentes
P: alors pour trouver d'autres fractions équivalentes/ il faut les multiplier par un même numéro/ ou bien il faut?
Diviser par un même numéro↑
E: j'ai compris↑
P: alors là/ on a le dix/ par combien j'ai multiplié? (c'est l'exercice: 4/10 et 2/5)
E: cinq
P: deux↑
E: ah↑ oui↑ le deux↑
P: alors il faut multiplier aussi par deux/ alors 4/10 est équivalente à 2/5↑ mais ici il faut faire le calcul↑ tu pourrais le
faire directement/ si tu voulais// tu veux voir? Est-ce que 5/7 est équivalente à 10/14? par combien j'ai multiplié le
cinq?
E: deux
P: deux↑ fois deux/ ça donne la même valeur/ n'est-ce pas? Alors elle est équivalente↑quand tu es sur/ si non/ tu viens
là et calcule↑ pour savoir combien ça va donner↑ tu viens là et tu fais/ dix quatorzièmes
E: mais maîtresse/ est-ce qu'il n'y a pas une autre façon de faire ce calcul?
P: non
E: il y a la façon rapide aussi↑
P: oui/ mais il y a deux situations↑
(...)
E: maîtresse↑ trois fois trois fait neuf/ alors quatre fois trois fait douze↑ elles ne sont pas équivalentes? ( c'est
l'exercice 3/4 = 9/...)
P: elles sont équivalentes↑fractions équivalentes↑ par exemple/ si deux fractions sont équivalentes/ quand tu fais le
calcul/les valeurs doivent être pareils/ mais quand on te donne une fraction/ pour trouver d'autres fractions
équivalentes/ alors il faudra multiplier par le même numéro/ si tu multiplie par le même numéro/ elles seront
équivalentes↑
E: si je multiplie par trois/ 9...
(...)
P: Mariel↑qu'est-ce que tu étudiais avant? (il vient d'arriver d'une autre école)
E: ...
P: c'était l'après midi? Le matin? Ici?
E: non/ à Freiburg
P: ah↑ une autre ville↑// est-ce que tu as déjà étudié des fractions? Te souviens tu quelque chose sur des fractions?
Une fraction// celui ci c'est le numérateur/ et celui ci c'est // le dénominateur↑ numérateur et dénominateur↑alors celui
ci s'appelle le dénominateur↑j'ai divisé en trois parts et j'ai pris? Deux (il y a beaucoup de bruit, elle se rend compte
qu'ils ont peut être terminé les exercices)/ alors/ on va corriger?
E: (plusieurs) non↑ (quelques uns disent oui)
(...)
P: Rafael/ où est ton cahier? Rafael↑tu n'a pas terminé de copier? Assis toi en face et copie vite↑ tout le monde a
terminé↑
(...)
(revient à Mariel)
P: si je te donne une fraction/ pour trouver d'autres fractions équivalentes/ tu multiplies par le même numéro/ ou bien
tu? Divise↑ alors regarde/ j'ai déjà écrit un numéro là/ le dix/ par combien faut-il multiplier le cinq pour trouver dix?
E: deux
P: alors il faut multiplier aussi par? Deux/ deux fois deux?
E: quatre↑
P: trois fois combien fait neuf?
E: trois
P: alors ici il faut aussi multiplier par? Trois↑
(...)
E: je veux savoir si c'est équivalent?
281
P: non/ elle est↑ je veux trouver des fractions équivalents/ pour ça/ regarde↑je veux que tu écrives la fraction
équivalente/ pour trouver des fractions équivalentes/ il faut multiplier par le même numéro↑ est-ce que tu as multiplié
par le même numéro? Alors tu n'iras pas trouver des fractions équivalentes↑
(...)
P: Juliano/ tu as déjà étudié les fractions équivalentes? Où est ton cahier? Où est le crayon?// si les fractions sont
équivalentes/ 5/7 de 70 aura la même valeur que 10/14 de? 70↑ c'est quoi des fractions équivalentes? Ce sont des
fractions qu'on écrit différemment (...) (plusieurs élèves viennent lui poser des questions, elle répond rapidement)
E: c'est 9 et 27
P: alors elles ne sont pas équivalentes↑si on a des valeurs différentes↑si elles sont équivalentes/ il faut avoir les
mêmes valeurs↑
E: mais elle ne sont pas équivalentes?
P: je ne sais pas↑ je veux savoir↑ je veux savoir↑je veux savoir si ça donne la même valeur↑regarde la question↑le
numéro deux je veux que ça soit équivalentes↑ au numéro un je ne sais pas↑
(...)
(reprend l'explication à Juliano)
P: pour qu'elles soient équivalentes/ on va mettre ici/ 5/7// (le premier cours se termine, l'enseignante continue)
pour qu'elles soient équivalentes/ il faut que ça donne la même valeur/ alors on va calculer 5/7 de 70/ tu te souviens
comment on calcule? C'est combien 5/7 de 70? celui ci est le numérateur/ et l'autre est le dénominateur/ alors il faut
diviser 70 en combien de groupes? Tu te souviens quand a travaillé avec le matériel concret? 70 divisé par 7/ il faut
que ça donne? 10/ combien de groupes de 10 faut il prendre? Cinq/ alors cinq fois dix/ cela fait? 50/ alors voyons si
cela va faire le même résultat/ il faut diviser 70 en combien de groupes?
E: (ne répond pas)
P: 14↑ c'est toujours le dénominateur qu'il faut diviser/ 70 divisé par 14 cela fait? cinq↑combien de groupes de 5 il
faut prendre? 10↑cela fait? 50/ les valeurs sont les mêmes? oui↑cela veut dire qu'elles sont? Équivalentes↑ d'accord?
Alors maintenant il faut faire le même avec celles là↑ pour trouver des fractions équivalentes/ il faut multiplier ou
diviser? Diviser par le même numéro↑ par exemple// 2/5 je peux multiplier par trois/ ou je peux multiplier par quatre/
par cinq/ ce qui est important c'est que ça soient les mêmes numéros↑ d'accord? Ici du cinq je suis arrivée au dix ( il
s'agit de: 2/5 = ..../10) pour passer du cinq au dix/ ici le dénominateur/ je sais que j'ai multiplié par? Par deux/ comme
j'ai multiplié par deux/ il faut multiplier ici aussi par? Deux↑ deux fois deux c'est? Quatre↑ du trois pour arriver au
neuf/ j'ai multiplié par? Trois↑ donc il faut multiplier aussi par? Trois↑ 4 fois 3? douze↑ici/ le numérateur est trois/ il
faut trouver combien c'est ce numéro là↑ d'accord?
(...)
P: ça fait 9/ 9 fois 12/ 108
E: j'ai divisé par 9↑
P: tu as divisé? Alors il faut faire fois 9? dix↑ça fait 90↑ c'est correct↑
E: mais tu avais dit que c'était faux↑
P: non↑ j'avais dit que si les valeurs ne sont pas pareils/ les fractions n'étaient pas équivalentes↑ c'est ça ce que j'avais
dit↑ tu comprends?
E: elles sont équivalentes ici?
P: non↑ au second↑ au premier je demande si elles le sont↑ elles ne sont pas↑ le premier/ regarde la question↑ elles
ont la même valeur? Je ne sais pas↑ tu vas calculer↑ au second/ au second/ je veux que tu trouves l'équivalence↑ au
premier non↑
E: ne sont pas équivalentes↑
P: non↑ ta réponse sera non↑ elles n'ont pas la même valeur/ alors elles ne sont pas équivalentes↑
E: mais//
P: au premier↑celui ci c'est le second↑ elles ne sont pas équivalentes/ n'ont pas la même valeur↑ je ne veux pas la
même valeur ici/ je veux la même valeur ici/ au second↑ celui ci c'est le premier↑
(Michele va au tableau pour résoudre les exercices. Daniela l'accompagne)
P: asseyez vous/ je vais expliquer↑je vais expliquer le numéro 1↑ ça y est? Allez↑ regardez↑ attention↑il faut faire
attention à la question↑(...) quel est la question au numéro 1? je demande si elles ont la même valeur↑ (c'est: 5/7 de
70 a la même valeur que 10/14 de 70?) Luan↑ Luan non↑ Jonas↑ (elle se trompe des prénoms de ces deux élèves)
excuse moi↑ attention↑quand je pose une question/ est-ce qu'elles ont la même valeur? Cela ne veut pas dire qu'à la
fin elles seront équivalentes↑ j'ai fait 5/7 de 70/ et j'ai vu combien ça fait? Ça fait?
E: 50
P: 50↑ ensuite j'ai fait 10/14 de70/ et j'ai découvert que ça fait?
E: 50
P: elles ont la même valeur?
E: oui↑
P: cela veut dire qu'elles sont?/// équivalentes↑ il faut écrire la réponse↑elles ont la même valeur↑ (écrit «oui») ici
elles ont la même valeur↑ la lettre «b»↑ je vais vous montrer// il y en a qui ont fait// 5/7 et 10/14 (écrit au tableau)
vous vous souvenez que je vous avais dit/ pour trouver des fractions équivalentes/ je pouvais multiplier par le même
numéro/ ou je pouvais? diviser↑ici/ si je fais 7 fois 2 j'aurais trouvé aussi? 14/ n'est-ce pas? (..) voyons celle là↑ (c'est:
2/3 de 108 a la même valeur que 10/12 de 108?) ici j'ai trouvé 2/3 de 108/ j'ai trouvé 72/ et 10/12 de 108 j'ai trouvé?
90/ ici elles ont la même valeur?
E: non
P: non↑elles seraient équivalentes? 2/3 et 10/12? non↑alors elles n'ont pas la même valeur↑
E: maîtresse↑ je peux faire?
282
P: oui↑ mais avant je vais expliquer↑comment je fais? Rafael↑ Rafael Souza↑pour savoir si elles sont équivalentes?
Mais si je donne une fraction/ par exemple/ 2/5↑ comment je fais pour trouver des fractions équivalentes? Juliano? Tu
te souviens? D'hier? Qui sait le faire? Qu'est-ce qu'il faut que je fasse? Dites↑ Michele↑
E: deux fois cinq c'est? Dix/ deux fois/ deux/ ça donne le résultat↑(il s'agit de 2/5 = __/10)
P: c'est à dire/ chaque foi que je multiplie par un numéro/ il faut? diviser↑si les deux sont équivalentes↑les numéros
doivent être les mêmes↑ Rafael↑ maintenant copie↑pour trouver des fractions équivalentes il faut multiplier/ ou bien?
Diviser↑ alors maintenant vous pouvez le faire↑ la première Mateus↑ la première et la seconde↑
E: je peux faire la suivante? (Michele)
P: oui/ tu peux faire le 'c' et le 'd' ↑ (Michele et Mateus vont au tableau et marquent les réponses)
P: ici/ j'avais déjà mis le dénominateur dix/ alors j'ai fait/ combien de fois cinq fait dix? Deux↑ alors il faut multiplier
aussi par deux↑ la même chose ici↑(...) maintenant prenez vos livres
E: j'ai oublié↑ (plusieurs)
P: je vous avais dit hier↑ alors il faudra copier/ après on regarde le livre↑regardez↑ j'avais le douze et le seize (c'est
l'exercice 12/10 = 6/...) comme le numéro a diminué/ qu'est-ce que j'ai fait? J'ai divisé↑ maintenant voyons les deux
dernières↑qui vient venir pour faire les deux dernières?
E: moi (Mateus)
(L'enseignante corrige au tableau)
P: lève la main qui a le manuel↑(compte les élèves) on ne pourra pas travailler↑
E: des groupes↑
P: il faut se mettre par trois ou quatre↑ il n'y a pas d'autre moyen↑// c'est notre dernière séance↑ page 155↑
E: on peut copier du manuel?
P: oui↑ si vous voulez copier du manuel↑page 155/ le six
(écrit au tableau)
3.Compléter: 5/9 = __/27
4.Trouver trois fractions équivalentes à 3/5
(elle passe par la classe)
E: le dénominateur c'est lequel?
P: celui qui est en bas↑ le dénominateur est en bas↑
(...)
P: c'est bon? Vous avez déjà fait? (...) le premier↑ le dénominateur est le nu'méro qui est au dessous de la barre de la
fraction↑(...)
E: ce sont des calculs de division?
P: je ne dirai pas s'il faut diviser ou multipler// où est ton cahier? Vous n'avez pas encore copiez? Terminez donc↑
(...)
(une élève va lui montrer son cahier)
E: c'est comme ça/ maîtresse?
P: non↑ce n'est pas 5/9 de 27↑27 est le dénominateur de cette fraction↑dénominateur 27↑tu as multiplié par combien?
Il faut multiplier ici↑
E: ah↑ il faut écrire ces calculs?
P: oui↑ fractions équivalentes↑ j'affirme qu'elles sont équivalentes↑je ne suis pas en train de faire 5/9 de 27↑
(...)
P: pour trouver des fractions équivalentes tu ne multiplies pas par le même numéro? Ici on a 27/ ici on n'a pas le
choix↑ ici je pouvais multiplier par deux/ par trois// le résultat ne doit pas être pareil↑il ne sera pas pareil↑ce qu'il faut
être pareil c'est le numéro qu'on multiplie↑une fois par le deux/ l'autre par le trois/ l'autre par le cinq↑
(...)
P: regarde↑je veux trois fractions équivalentes↑ par exemple/ je peux multiplier les deux par trois/ 3 fois 3/ 9/ (...)
d'accord? Allez/asseyez vous↑on va corriger↑ je vais expliquer encore une fois↑je veux une fraction équivalente à 5/9
qui soit équivalente à 27 / plusieurs ont fait/ quand je vous ai donné cet exercice/ je n'ai pas demandé combien c'était
5/9 de 27↑ j'ai demandé une fraction équivalente à 5/9/ avec dénominateur? 27↑ regardez donc↑du neuf pour arriver
au 27 j'ai multiplié par?
E: trois↑
P: alors j'ai multiplié ici par trois/ ça donne? quinze↑ici je veux une fraction équivalente à 11/3 avec numérateur 44/
combien de fois 11 donne 44?
E: quatre
P: alors je fais 3 fois 4?
E: douze
P: douze↑ Mateus↑ écris nous trois fractions équivalentes↑ Taiane écrit l'autre et Cristiane une autre↑ chacun fait
une↑ bien↑ (ils vont au tableau et écrivent des fractions)
(...)
P: on conclut l'explication↑je vous ai demandé trois fractions équivalentes↑il y en a plusieurs↑ qui a fait les fractions
équivalentes? Mateus↑ Mateus a multiplié par 4↑alors il faut vous rappeler↑si on multiplie le numérateur par 4/ il faut
multiplier aussi le dénominateur↑Cristiane a multiplié par 3/ 3 fois 3/ 9/ cinq fois 3/ 15/ Tatiane a trouvé une fraction
équivalente en multipliant par 5/ 3 fois 5/ 15/ 5 fois 5/ 25/ quelqu'un pourrait trouver une fraction équivalente en
multipliant par 100/ ou par 10// mais on ne peut pas oublier↑si je multiplie le numérateur/ il faut multiplier aussi le?
dénominateur↑d'accord? Dans ce cas je ne peux pas diviser/ mais je pourrais aussi trouver une fraction équivalente
par une division du numérateur et du dénominateur/ ici ce n'est pas possible↑ maintenant je vais vous passer un
devoir ici / d'accord? (commence à écrire) seulement ces deux là↑
283
(La séance est fini. Elle n'arrive pas à écrire le devoir. Les élèves sont fatigués, car ils n'ont pas eu de pause. Ils
sortent rapidement de la salle)
Séance 5
11/08/2005
P: on ouvre les cahiers↑tout le monde↑(...) je vais vous rappeler un peu↑hier beaucoup de monde a été absent/ alors je
vous vous rappeler↑voyons ici↑
E: c'est une correction?
P: non/ non↑c'est pour se souvenir↑(...) voyons// vous vous rappelez comment est-ce qu'on fait pour vérifier si les
fractions sont équivalentes? (...) voyons ici↑c'est pour se rappeler↑comment je vais pour vérifier si deux fractions sont
équivalentes ou non?
(personne ne répond)
P: comment je fais? Comment je fais pour savoir/ si deux fractions sont équivalentes ou non? Par exemple/ 2/3// estce que c'est équivalent à 4/6? (écrit au tableau: 2/3 de 12 et 4/6 de 12) allons vérifier? 2/3 est équivalent à 4/6?
voyons↑(...) d'abord il faut calculer 2/3 de 12/ voyons qui se souvient comment est-ce qu'on calcule 2/3 de 12?
E: on divise par quatre/ fois quatre
P: douze divisé par?
E: trois
P: trois↑ alors je fais? Douze divisé par trois/ qui fait? quatre↑combien de groupes de quatre faut-il prendre?
E: deux
P: deux↑quatre fois deux?
E: huit
(écrit 2/3 de 12 = 12 : 3 = 4 x 2 = 8)
P: huit↑ pour être équivalent / combien est-ce qu'il faut que le résultat soit? (c'est le 4/6 de 12) (personne ne répond)
pour que ça soit équivalente/ combien faut-il que cela donne?
E: huit↑
P: huit/ pour que ça soit équivalent/ 2/3 de 12 doit représenter la même quantité que 4/6 de? Douze↑ attention↑demain
on aura une activité↑alors 4/6 de 12/ le 12 je vais diviser en combien de groupes?
E: six
P: six↑Rafael↑fait attention↑Rafael↑// si je divise 12 en 6 groupes/ ça va faire combien dans chaque groupe?
E: deux
P: deux↑ combien de groupes de deux faut-il que je prenne?
E: quatre
P: alors fois quatre? Ça fait?
E: huit
(écrit 4/6 de 12 = 12 : 6 = 4 x2 = 8)
P: huit↑les quantités étaient les mêmes?
E: oui
P: oui↑alors c'est a dire que les fractions sont?
E: équivalentes↑
P: équivalentes↑ maintenant voyons une autre ici↑ (écrit 2/3 de 12 et 5/6 de 12) est-ce que 2/3 est équivalente à 5/6?
c'est équivalent? Voyons↑12 divisé en 3 groupes/ n'est-ce pas? Ça fait? quatre↑combien de groupes de quatre il faut
que je considère? Deux↑ quatre fois deux? Huit (écrit 2/3 de 12 = 12 : 3 = 4x2 = 8) voyons donc si 5/6 de 12 est
équivalent à 2/3 de 12↑5/6 de 12? il faut diviser en? Six groupes/ ça fait? Deux↑ combien de groupes faut il prendre?
E: cinq
P: cinq↑alors deux fois cinq/ ça fait? 10↑ (écrit 5/6 de 12 = 12: 6 = 2x5 = 10) huit c'est la même valeur que dix?
E: non
P: cela veut dire qu'elles ne sont pas? Équivalentes (écrit: ne sont pas équivalentes) (...) ce genre de calcul je fais pour
vérifier si elles sont équivalentes/ maintenant si je vous dis/ si je pose la question/// (réfléchi un peu) trouvez/ trouvez
d'autres fractions équivalentes à 2/3↑ maintenant je veux savoir comment je fais pour trouver des fractions
équivalentes↑ Rafael↑
E: on fait des groupes?
P: oui/ non↑ici je vérifie si elles sont équivalentes↑d'accord? Je vérifie si elles sont équivalentes↑maintenant si je
veux trouver des fractions équivalentes/ comment je fais? Une autre fraction équivalente à 2/3 (écrit 2/3 = .... )
comment je ferais? Pour trouver? (ils ne répondent pas) vous vous souvenez comment je faire pour trouver des
fractions équivalentes? Il faut multiplier par le même numéro/ ou bien il faut? diviser↑toujours quand je veux
trouver des fractions équivalentes/ ici je vous ai donné une/ voyez? Mais je pourrais avoir plusieurs d'autres↑toujours
si je veux trouver d'autres fractions équivalentes/ il faut multiplier le numérateur et le dénominateur/ par un même
numéro↑(...) par exemple/je pourrais multiplier par 3/ deux fois 3/ six/ 3 fois 3/ 9 (écrit les multiplications et le
résultat: 2/3 = 6/9)/ 6/9 est équivalente aussi à 2/3/ alors toujours quand je vous demande/ trouvez une autre fraction
équivalente/ qu'est-ce qu'il faut que vous faisiez? Multiplier le numérateur et le dénominateur par le même numéro↑
ou bien? Diviser le numérateur et le dénominateur par le même numéro↑// voyons celle ci (écrit 15/20 = ....) je veux
une autre fraction équivalente ↑ mais je veux que ça soit divisé en mois de parts↑ comment faut-il faire? Diviser par
deux ou multiplier par deux?
E: diviser↑
284
E: multiplier↑
P: multiplier par deux↑je pourrais multiplier par deux↑ 15 fois 2/ 30/ 20 fois 2/ 40
E: ça n'a pas marché↑
P: oui// mais comment je fais pour trouver une fraction équivalente?
E: il faut que ça donne le même numéro↑ je donne un numéro/ il faut multiplier les deux// voyez/ pour vérifier si
elles sont équivalentes/ je fais le calcul suivant/ est-ce que 2/3 est équivalente à 4/6? alors le calcul c'est celui ci
(montre au tableau les multiplications sur l'égalité de fractions) maintenant ma question c'est la suivante↑je vous
donne la fraction 15/20 et je veux que vous trouviez une autre fraction équivalente/ qu'est-ce qu'il faut faire? // Il faut
multiplier par le même numéro/ ou il faut? diviser↑je ne pouvais pas ici diviser les deux par le même numéro? (ils ne
répondent pas) je peux diviser ici 15/20/ les deux/ par le même numéro? Par quel numéro pourrais-je diviser ici?
E: cinq
P: cinq↑je pourrais diviser les deux par? Cinq↑15 divisé par 5 c'est? 5/ 20 divisé par 5?
E: 4
P: 4↑ alors quinze vingtièmes sera équivalent à?
E: trois
P: 3/4↑// si je vous donne // 3/4 = ..../12/ je suis en train d'affirmer qu'elles sont équivalentes↑ j'affirme/ d'accord? Et
je veux que vous trouviez d'autres fractions équivalentes↑ quel numéro faut il avoir en haut? // vous vous souvenez ce
qu'on avait fait?
E: 9
P: ici/ voyez↑ par combien j'ai multiplié ici le 4// pour trouver des fractions équivalentes il faut multiplier les deux
ou? Diviser↑ alors j'ai multiplié par? 3↑ je vais donc multiplier par 3/ 3 fois 3/ cela fait? 9↑ neuf douzièmes↑ ici vous
pouviez multiplier ou diviser par un numéro quelconque/ d'accord? Ici non↑ ici je dois multiplier exactement par 3/
parce que j'ai le dénominateur? // 12↑ maintenant je vais vous donner des exercices/ d'accord? Vous allez vérifier si
les fractions sont équivalentes/ et après vous allez trouver d'autres fractions équivalentes/ d'accord? Et demain on fera
notre contrôle/ d'accord?
E: demain/ déjà?
P: ça fait une semaine qu'on travaille là dessus↑tout le monde a ça dans le cahier/ on n'a pas besoin de copier/ tous ces
exercices↑ c'est pour qu'on se souvienne↑ (efface le tableau et écrit:)
a) 5/7 = ..../ 35
b) 3/5 = 18/ ....
c) 20/ 30 = 2/3
d) 12/14 = ..../7
e) 2/4 = ..../2
f) 8/9 = 16/...
g) 3/8 = 9/ ....
P: demain donc n'oubliez pas vos livres↑on a deux séances/ je veux travailler sur le livre avec vous↑
(elle attends qu'ils finissent de copier, fait l'appel et passe pour accompagner leur travail)
(...)
P: te souviens tu comment on faisait? Comment je fais quand les fractions sont équivalentes? Par exemple là/ 7/ ici
j'ai 35/ par combien est-ce que j'ai multiplié le 7 pour arriver au 35?
E: 5
P: 5↑ alors il faut que je multiplie là aussi par?
E: cinq
P: alors cinq fois cinq/ ça fait?// cinq fois cinq c'est combien? Vingt et?
E: cinq
P: la même chose on vérifier pour les autres↑ parce que je veux des fractions équivalentes↑ alors comment est-ce
qu'on fait pour trouver des fraction équivalentes? Je multiplie tout par le même numéro ou bien? Je divise↑// mais ce
n'est pas parce que ici on a le cinq/ d'accord?
(...)
P: pour vérifier si elles sont équivalentes/ il faut faire le calcul suivant/ regarde↑ 3/4 de 40/ et /// est-ce que tu n'a pas
participé à aucun cours? C'est ton premier cours? (...) alors je vais t'expliquer depuis le début↑l'équivalence/
d'accord? » pour savoir si deux fractions sont équivalentes/ il faut faire le calcul suivant/ regarde↑ 3/4 de 16 et 6/8 de
16/ est-ce qu'elles sont équivalentes? 3/4 est différent de 6/8/ n'est-ce pas? 3/4/6/8↑mais peut être qu'elles sont
équivalentes↑on va le vérifier↑ tu te souviens comme on 'faisait? Le 16 il faut diviser en? Combien de groupes? 16
divisé par 4? cela fait? 4↑ mais combien de groupes de 4 il faut prendre?
E: trois
P: trois↑ alors 4 fois 3/ ça fait? 12↑ c'est a dire/ 3/4 de 16 bombons ferait? 12 bombons↑maintenant voyons 6/8 de 16
combien ça donne↑ le 16 je vais diviser en? 8 parts/ cela fait? Deux↑ combien faut il que je prenne? 6↑ deux fois six?
Douze↑ 6/8 de 16 bombons/ douze/c'est à dire il faut que le résultat soit le même↑ c'est a dire que 3/4 est équivalente
à 6/8↑d'accord? C'est ce genre de calcul que je fais pour vérifier si elles sont équivalentes↑maintenant si je te dis/ je
veux une autre fraction équivalente à 3/4/ il faut multiplier / ou diviser les deux par le même numéro/ par exemple/ je
pourrais multiplier par 3/ 3 fois 3/ cela fait 9// 4 fois 3/ 12/ 9 douzièmes est équivalente à 3/4/ alors dans ce cas/ tu
fais// mais ici tu peux pas multiplier par n'importe quel numéro↑alors tu va découvrir quel était le numéro↑ par
combien j'ai multiplié le 7 pour trouver le 35?
E: cinq
P: alors ici je dois multiplier aussi par? Cinq↑ cinq fois cinq? Vingt-cinq↑ (...) je veux voir qui a terminé↑
E: moi
285
E: moi
P: alors je vais corriger le 'a'↑ (...)
(elle change d'avis et continuer de passer par la classe)
(...)
P: ici↑ du 7 pour arriver au 35/ tu as multiplié par combien?
E: cinq
P: alors ici il faut multiplier aussi par? cinq↑il faut trouver↑ ici ça diminue↑ du 14 au 7↑ alors cela veut dire que j'ai?
Divisé↑ j'ai divisé par deux↑ 14 divisé par deux? 7↑ ce que tu fais avec le dénominateur/ il faut le faire aussi pour le
numérateur↑
(...)
E: je n'arrive pas à faire 8 fois 3↑
P: pour quoi donc? Huit où? Fois trois? Huit fois trois c'est 24↑ terminez que je veux corriger le 'a'↑
(...)
P: voyons comment tu fais↑ qu'est-ce que tu es en train de faire? // c'est ça↑ mais ici en réalité on diminue↑ ici tu
divise par deux↑// quand le numéro diminue/ c'est parce que tu as divisé↑ 14 divisé par deux c'est le 7/ n'est-ce pas?
Alors ici tu divises aussi par deux↑ cela fait? Six↑ tu as compris?
(...)
E: ici je n'a↑ arrive pas↑ par quel numéro je divise le 20 pour que ça donne 2?
E: dix
P: alors ici il faut diviser aussi↑ 30 divisé par dix c'est combien?
E: trois
(...)
P: par combien j'ai multiplié le 7 pour arriver au 35? tu connais les tables?
E: par coeur?
P: regarde↑ du sept pour arriver au 35 il faut multiplier par? 5↑ alors ici il faut multiplier par 5↑
(...)
(à tous)
P: allez↑ on va corriger la première↑ voyons la lettre 'a'/ je veux trouver des fractions équivalentes↑ mais là/ je n'ai
pas la liberté de multiplier ou diviser par n'importe quel numéro↑ pour arriver du 7 au 35/ par combien faut il
multiplier?
E: par cinq↑
P: alors ici je multiplie aussi par? Cinq↑ cinq fois cinq? Vingt cinq↑ du 3 pour arriver au 18/ Natania↑ je multiplie
par?
E: six
P: par six↑ il faut que je multiplie par six aussi le? Dénominateur↑ 5 fois 6? 30↑// maintenant là/ regardez↑le numéro
a diminué↑ j'avais 20 trentièmes et maintenant/ de 20/ au lieu de prendre 20/ je dois prendre combien? Deux↑ la
quantité a diminué↑cela veut dire qu'il faut que? Je divise↑ par quel numéro faut il diviser là? Vingt divisé par deux?
E: deux
P: vingt divisé par deux ce n'est pas deux↑
E: par dix
P: par dix↑ trente divisé par dix?
E: trois
E: tu vas corriger tous?
P: quelques uns↑ jusqu'à la lettre 'd' ici↑ la lettre 'd' c'est? 14 divisé par 7 c'est combien?
E: deux↑
P: deux↑ alors ici il faut diviser aussi par deux? Deux↑ 12 divisé par 2 fait? Six↑ maintenant terminez l'exercice/ je
vais vous passer un autre pour ceux qui ont terminé↑ qui n'a pas terminé continue↑ (écrit deux nouveaux exercices)
2.Trouvez trois fractions équivalentes à 3/4
3.Répondez:
a) 2/7 de 42 a la même valeur que 6/21 de 42?
b) 2/10 de 100 a la même valeur que 8/50 de 100?
P: ici vous avez la liberté de multiplier (...) je peux diviser par un numéro là? Non/ n'est- ce pas? 3 et 4 sont des
nombres premiers entre eux↑
(elle passe par la salle)
(...)
P: tu as compris comment il faut faire? Comment je fais celle ci?
E: on divise par deux?
P: huit divisé par deux cela fait 16? non↑fois deux↑alors ici je fais aussi fois deux↑
(...)
P: quatre? Il faut regarder le dénominateur↑ quatre divisé par quatre cela fait deux? ( c'est l'exercice 2/4 = .../2) non↑
par combien faut il que je divise? Par combien faut il diviser?
E: un
P: quatre divisé par un fait deux?
E: non
P: alors par combien faut il diviser? Par?
E: trois
P deux↑ quatre divisé par deux fait deux↑
286
(....)
P: n'oubliez pas de terminer l'exercice et d'étudier pour demain↑
Séance 6
(séances doubles 6 et 7)
12/08/2005
P: bonjour↑ (elle fait l'appel) je vais prendre note de ton nom (il y a un nouvel élève) (...) allons vous asseoir↑(...)
prenez vos cahiers↑on va faire la correction de la séance dernière↑ (...) d'abord je vais faire la correction/ après le
test↑ allez↑ les cahiers↑
(écrit les exercices de la dernière séance au tableau)
P: regarde Juliano↑ Jonas↑ tu n'as toujours pas acheté le matériel? // quand je finis cette correction/ on va faire cet
activité que on avait dit/ d'accord? Voyons doc↑ ici je veux des fractions équivalentes↑ Cristiane/ te souviens tu
comment on fait pour trouver des fractions équivalentes?
E: (Cristiane) attends↑
E: on divise ou bien on multiplie
P: on divise ou? On multiplie? // ici j'ai mis le numéro 35↑
E: la maîtresse a déjà corrigé↑il en manque le (e) et le (f)
P: alors je corrige rapidement↑ ici c'est 7 fois 5/ alors qu'ici c'est 5 fois 5/ cela fait? 25↑ ici du 3 pour arriver au 18↑
j'ai multiplié par?
E: six
P: alors il faut que je multiplie par? 6↑ alors 5 fois 6/ 30/ pour ceux qui n'étaient pas là/ vous en profiter pour suivre
l'explication↑pour aller du 20 au 2/ j'ai divisé par? 10↑ alors ici 30 divisé par dix cela fait? 3↑ 14 pour arriver au 7/ j'ai
divisé par? Deux↑ alors ici je divise par deux↑12 divisé par 2? 6↑
E: maîtresse, vous allez trop vite↑
P: c'est parce que j'avais déjà enseigné cella↑ il ne restait que le 'e' et le 'f'/ n'est-ce pas? Du 4 pour arriver au 2/ j'ai
divisé par?
E: deux
P: deux/ alors ici je divise par 2/ cela fait?
E: un
P: du 8 pour arriver au 16/ j'ai multiplié par?
E: deux
P: deux↑ huit fois deux c'est 16/ alors 9 fois 2 cela fait?
E: 18
P: 18↑ 3 ici pour arriver au 9/ c'est à dire que j'ai multiplié par?
E: 3
P: 3↑ alors ici 8 fois 3? 24↑// au numéro 2 je veux trois fractions équivalente à 3/4// ici vous ne pouviez pas choisir /
quelle serait la fraction équivalente/ ici vous pouvez choisir plusieurs fractions équivalentes↑ une fraction
équivalente/ je pourrais multiplier par quel numéro?
E: cinq
P: cinq↑ si je multiplie le 2 par 5/ cela fait? 5 fois 3?
E: 15
P: 5 fois 4?
E: 20
(écrit 15/20)
P: est-ce que je pourrais multiplier par un autre numéro?
E: 9
P: 9↑ voyons par 9↑ 3 fois 9/27/ 4 fois 9?
E: 36
P: 36/ (écrit 27/36) je pourrais aussi multiplier/ par deux// je vais multiplier par 2↑ deux fois 3 six/ deux fois 4?
Huit↑d'accord? // ici il y a une question↑ est-ce que 2/7 est équivalent à 6/21? // alors d'abord je vais faire 2/7 de 42/
c'est combien 2/7 de 42? 42 divisé par? 7 groupes/ n'est-ce pas? Cela fait?
E: 6
P: combien de groupes de six?
E: deux
P: deux↑ cela fait? 12↑ (écrit 2/7 de 42 = 42÷7 = 6x2=12) alors/ 6/21 de 42/ je vais diviser 42 par 21/ cela fait?
Deux/ combien de groupes de deux?
E: six
P: six (écrit 6/21 de 42 = 42÷ 21= 2x6= 12) elles ont la même valeur ici?
E: oui↑
P: oui/ donc les fraction sont équivalentes?
E: oui↑
(...)
P: voyons ici 2/10 de 100↑ je vais diviser le 100 par? 10 pars↑ combien cela fait 100 divisé par 10?
E: dix
P: combien de groupes de dix ici?
E: deux
P: cela fait?
E: 20
287
P: 20↑ (écrit 2/10 de 100 = 100÷10 = 10x2 = 20) maintenant 8 sur 50/ c'est combien? 100 divisé par? 50↑
E: c'est deux
P: deux/ combien de groupes de deux?
E: huit
P: 8/ 8 fois 2?
E: 16
P: 16↑ les valeurs sont égales?
E:(plusieurs): non↑
P: les fractions sont équivalentes?
E: non
P: non/ maintenant corrigez/ qui a corrigé peut fermer le cahier↑ j'ai préparé un contrôle pour vous↑ (...) maintenant je
vais effacer le tableau↑ vous avez terminé? Je vais effacer tranquillement (...) et je vous distribue des feuilles↑
(...)
P: je vais lire ici/ regardez↑ la première question↑ n'oubliez pas d'écrire vos prénoms↑ aujourd'hui on est le 12/ 12 du
8 de 2005// la première question/ répondez/ 2/3 de 12 a la même valeur que 4/6 de 12?
E: oui
P: vous allez calculer/ et après vous allez répondre/ les fractions sont équivalentes? Il faut décider si elles sont
équivalentes ou non/ d'accord? Il faut calculer 2/3 de 12 et 4/6 de 12/ comme nous avons vu tout à l'heure/ maintenant
le 'b'/ 2/5 de 20 a la même valeur que 6/10 de 20? les fractions sont équivalentes? // numéro 2/ remplir le blanc de
façon à trouver le numéro/ de façon à ce que la fraction soit équivalente/ le 3 est un défi/ d'accord? Dans un contrôle
de maths Susana a réussi à 2/5 des questions et Juliana en a réussi 5/10/ qui a réussi à plus de questions? Expliquez
comment vous avez trouvé le résultat/ c'est un point de plus pour ceux qui ferons cette questions/ le défi↑
E: on peut utiliser le crayon?
P: oui/ crayons ou stylo↑
EL maîtresse/ on est le 12?
P: oui/ le 12
E: je peux aller aux toilettes?
P: oui
E: je peux tailler mon crayon?
P: montre le moi↑ on peut écrire encore comme ça↑ rentre à ta place/ Mateus↑ rentre↑
E: celui là est différent de celui que la maîtresse avait fait hier?
P: alors fait l'autre d'abord↑
(...)
P: maîtresse↑ ça peut être n'importe quel numéro?
P: ça dépend du calcul/ ça peut être n'importe quel↑
(...)
E: on peut regarder sur les tables?
P:oui↑ vous pouvez regardez↑
(l'enseignante passe par la classe pour regarder le travail des élèves)
Dialogues avez les élèves sur le défi:
E: ici il faut que ça soit 12?
P: il faut le faire/ je ne peux pas dire la réponse↑
E: mais il n'y a pas d'autre numéro ici pour///
P: alors c'est toi qui choisirais
E: et comment pourrais-je savoir? Il faut inventer?
P: oui↑ si on regarde les numéros ici/ tu avais 2/5 et 5/10/ qu'est-ce que tu aurais fait par rapport aux fractions?
E: ici? Il faut multiplier le numérateur/
P: mais ici il n'y en a pas↑ tu ne sais pas combien de questions on a↑
E: c'est pour ça
P: essaye de résoudre autrement↑
(...)
E: ici il faut faire le calcul/ il faut affirmer qui a fait plus?
P: oui/ on doit décider qui en a réussi plus↑
(...)
P: on fait faire comme ça/ je passe/ alors vous n'avez pas besoin de m'appeler/ mais je n'irai pas vous donner la
réponse↑ vous devez les faire↑je vous aide s'il y a des petites questions↑
E: maîtresse↑ comment je divise ici?
P: je ne sais pas↑ c'est comme on avait fait hier↑ tu te souviens quand on disait ce que c'était 2/3 de 12/ et tu savais
calculer?
(...)
P: c'est le défi↑ si je dis comment il faut faire/ ce n'est plus un défi↑ c'est pour vous↑
(...)
E: maîtresse/ regarde↑ (Michele)
P: il n'importe combien de questions on a/ si on a 30/ 40/ ou 50↑ qui aurait réussi à plus de questions?
E: non/ je sais/ mais c'est 2/5 de? 18?
P: je ne sais pas/ n'importe quoi↑
E: ah↑ il n'importe quelle valeur?
288
P: je ne sais pas combien de questions on a/ mais s'il y a un certain nombre de questions/ qui aurait réussi le plus? //
créez une possibilité que vous pouvez résoudre↑ je ne sais pas combien de questions on a/ et je veux savoir qui a
réussi le plus↑
(...)
E: maîtresse/ ici il faut faire le calcul?
P: il y a un calcul à faire/ il faut penser comment le faire↑ c'est un défi↑je veux savoir comment tu vas le faire↑
(...)
E: maîtresse↑ je ne comprends pas celui ci↑
P: regarde↑ il y a un certain nombre de questions/ je ne sais pas combien↑ je sais seulement que une personne a réussi
2/5 et l'autre 5/10/ lesquels de deux en a réussi plus?
E: elle↑
P: explique donc pour quoi↑ comment je fais ce calcul
E: le deux je ne peux pas diviser par cinq↑
(...)
E: expliquez moi comment je fais ce calcul?
P: tu te souviens comment on faisait pour trouver des fractions équivalentes? Quand je voulais trouver des fractions
équivalentes/ qu'est-ce qu'il faut faire avec le numérateur et le dénominateur?
(...)
E: je n'ai pas compris celle ci
P: regarde donc/ 2/5 / une personne a réussi à 2/5 des questions/ et l'autre à 5/10/ si tu veux savoir combien de
questions on avait? Je ne sais pas↑ un certain nombre de questions↑ 20/ 40/ il n'importe↑ mais quel des deux a réussi
le plus?
(une séance se termine)
(...)
Séance 7
12/08/2008
E: je n'ai pas fait celle là
P: alors regarde/ 2/5/ une personne a réussi 2/5 des questions/ et l'autre 5/10/ si tu poses la questions sur combien de
questions on avait/ je ne sais pas↑ un certain nombre de questions↑ 40/ n'importe↑ mais quel des deux en a réussi le
plus?
(...)
P: encore dix minutes et on termine↑
(plusieurs élèves ont déjà terminé)
(...)
E: celle ci/ je fais deux fois 5?
P: si tu penses que c'est une bonne idée/ il faut trouver une solution↑ (...) personne a un livre pour s'occuper?
(...)
P: allez↑ prenez vos cahier↑ (...) allons y↑les cahiers↑ (...) (écrit au tableau: « simplification de fractions »)
E: c'est quoi?
P: je vais expliquer maintenant↑ copiez une au dessous de l'autre↑ (écrit au tableau)
Exemple
a) 8/10 =
b) 15/25 =
c) 12/20 =
d) 4/8 =
e) 8/16 =
P: vous avez terminé de copier/ pour que j'explique? (...) maintenant/ regardez/ qui n'a pas encore copiez/ lâchez le
stylo et le crayon↑ on ne peut pas attendre tout le monde↑ on va commencer à étudier aujourd'hui/ la simplification de
fractions↑ qu'est-ce que vous comprenez pas simplifier? (personne répond) qu'est-ce que je pourrais simplifier?
E: je ne sais pas↑
P: un chemin/ quand je simplifie un chemin/ ça serait quoi simplifier?
E: former?
P: les fractions ici/ c'est écrire d'une façon réduite/ par exemple 2/4 e ½ / vous vous souvenez des fractions
équivalentes/ au lieu de multiplier/ il faudra toujours diviser↑ je regarde le 8 et le 10/ par combien je peux diviser le 8
et le 10?
E: par 8
P: par combien? Deux↑ je peux diviser le deux par? Deux↑ 8 divisé par 2?
E: 4
P: 10 divisé par 2?
E: 5
P: je peux diviser encore une fois le 4 et le 5 par un numéro?
E: oui
E: non
P: je peux? Lequel?
E: par 2
289
P: le 5 n'est pas divisible par 2↑ alors 8/10 j'arrive à simplifier et obtenir le numéro? 4/5 / c'est ça simplifier↑ c'est
aussi une fraction équivalente/ il faut que ça soit une fraction équivalente/ mais il faut toujours diviser↑ pour
simplifier je ne peux que diviser↑ (...) le 15/25?
E: je ne peux pas multiplier?
P: alors tu vas trouver une fraction équivalente/ mais tu ne l'a pas simplifié/ d'accord? Tu peux la multiplier/ mais on
veut simplifier/ pour simplifier il faut? Diviser↑ d'accord? On a vu que pour trouver une fraction équivalente on
pouvait multiplier ou bien? Diviser↑ mais pour simplifier on ne peut que? Diviser↑ le 15/25 je peux diviser par quel
numéro?
E: 3
P: le 15/25 je peux diviser par? 3↑ non↑ par cinq↑15 divisé par 5 c'est? 3↑ 25 divisé par 5 c'est? 5↑ Natalia↑ lâche le
crayon maintenant↑ après tu n'iras pas comprendre↑ je vais laisser tout ici sur le tableau↑ le 12 sur 20 je peux diviser
par combien?
E: deux
P: par deux↑ le 12 sur 20 divisé par 2 fait combien? 6/10 ↑ je peux simplifier encore une fois?
E: oui↑
P: je peux/ par combien?
E: deux
P: par deux↑ 6 divisé par 2?
E: 3
P: 10 divisé par 2? 5↑ le même numéro↑ 12 sur 20/ j'aurais pu simplifier par un autre numéro différent du 2?
E: oui
P: lequel?
E; 5
P: pas pour 5↑ pour 4↑ bien/ Cristiane↑ pour 4↑ 12 divisé par 4? 3 sur 20 divisé par 4? 5↑ je suis arrivé au même
résultat?
E: oui
P: alors quand je vais simplifier/ il n'importe par quel numéro je commence↑ si je prends un plus grand/ qu'est-ce qui
se passe? J'arrive au résultat plus rapidement↑ si je commence par un numéro plus petit/ il faudra simplifier plusieurs
fois↑ maintenant ici/ 4/8 je peux simplifier par combien?
E: deux↑
P: il y a un numéro plus grand pour simplifier?
E: 4↑
P: 4↑ je divise par 4/ cela fait combien? Un/ 8 divisé par 4?
E: 4↑
P: deux↑ 8 divisé par 4 c'est 2↑
E: c'est ça? C'est tout?
E (Mateus) : c'est tellement facile↑
P: 8 sur 16/ par combien je peux diviser ici?
E: par 2
P: par 2↑ voyons↑ ça pourrait être aussi par 4/ n'est-ce pas? Commençons par 2↑ 8 divisé par 2? 4/ 16 divisé par 2? 8↑
je peux multiplier encore?
E: oui
P: par quel numéro?
E: deux
P: par deux/ ça pourrait être un autre numéro?
E: par 4
P: faisons par 4 que ça ira plus vite↑ 8 divisé par 4? pardon/ 4 divisé par 4? un/ huit divisé par 4?
E: deux
P: deux/ regardez une façon plus rapide↑ vous avez dit 2/ il y a un numéro plus grand que 2? pour simplifier?
E: huit
P: huit↑le 8 permettrait d'arriver au résultat plus rapidement↑
E: 16
P: non/ le 16 ne marche pas↑ par 8/ 1/16 par 8/ 2// maintenant vous pouvez copiez↑ (...) vous pouvez copier↑ (attend
que tout le monde copie et écrit)
Exercices:
Simplifier les fractions suivantes:
a) 9/15 =
b)8/12=
c)20/30=
d)12/18=
e)22/33=
f)35/42=
(l'enseignante commence à passer par les élèves)
P; ça y est? Qui a terminé de copier/ il faut le faire↑ allons↑ copiez↑ (...) je vais regarder les cahiers↑il faut
commencer maintenant↑ (...) il faut résoudre↑
E: je ne sais pas↑
P: comment j'avais fait pour trouver les fractions?
290
E: diviser↑
P: alors↑ il faut vérifier quel numéro peut diviser le 12 et le 20↑
E: d'accord↑ pour arriver n'importe où?
E: oui/ je veux trouver des fractions équivalentes/ mais je veux qu'elles soient// je veux qu'elles soient simplifiées↑
E: divise donc par 2↑
P: mais le 15 ne marche pas↑
E: ici ça marche↑
P: mais pas là / alors il ne peut pas être le 2↑ le 15 n'est pas divisible par 2↑ le 9 et le 15/ je peux diviser par quel
numéro? Ils sont dans quel table?
E: du 9?
P: du 3↑ 9 divisé par 3/ 3/ 15 divisé par 3/ 5/ il faut le découvrir↑ il faut connaître les tables↑tu as les tables? Il faut le
savoir↑ il faut étudier les tables↑ (...) ce sont des fractions équivalentes/ mais je les veux simplifiées↑ des nombres
plus petits↑ pour trouver des fractions équivalentes/ je dois multiplier ou diviser par un même numéro/ mais comme
je veux simplifier/ alors il faut diviser↑ alors il faut regarder↑ le 9 et le 5 sont dans quelle table? Dans ce cas? Du 3↑
alors je peux diviser par? 3↑
E: c'est tout?
P: oui↑ alors je ne peux que diviser/ je ne peux pas multiplier↑
E: d'accord↑
P: allons corriger le 'a'↑ le 'a' et le 'b'↑ si ça sonne pendant que je corrige/ personne ne sort/ attention↑ le 9 et le 15↑
pour simplifier/ je peux diviser par combien?
E: 3↑
P: 3/ 9 divisé par 3 c'est?
E: 2↑
P: 3↑ 15 divisé par 3 c'est? 5↑ le 'b' / 8 et 12/ je peux diviser par combien?
E: deux
P: 8 divisé par 2? 4↑ 12 divisé par 2? 6↑ je peux simplifier encore une fois?
E: oui
P: je peux↑ 4 divisé par 2 c'est? 2/ 6 divisé par 2 c'est? 3/ qui a simplifié par 4 ici/ est arrivé plus rapidement au
résultat/ n'effacez pas↑ il y a plusieurs façons de simplifier↑ le plus grand c'est le numéro/ plus facile la
simplification/ d'accord? Maintenant il faut continuer/ quand la séance se termine/ vous pouvez sortir↑
(...)
E: je ne sais pas faire↑
P: c'est où ta table de multiplication? Il faut la trouver↑ mais regarde ce qui se passe↑ tu ne sais pas les tables↑ il y a
une difficulté↑ le 20 et le 30/ regarde sur la table/ ooù est-ce que je trouve le 20 et le 30/ ici? Alors on peut diviser par
5↑ 20 divisé par 5 c'est? 4/ 30 divisé par 5 c'est? 6↑ 20 divisé par 5 c'est 4↑ c'est faux ici↑ 20 divisé par 5 c'est? 4 et 30
divisé par 5 c'est? 6/ il faut écrire 4 sur 6/ il faut regarder↑
(...)
P: ça y est? Allons corriger↑ (...) assis↑ Mateus/ Bruna/ Shaiane↑ Cristiano↑ Guilherme↑ je vais terminer la
correction↑
(la séance se termine)
Séance 8
16/08/2005
(les élèves sont très agités, le directeur entre dans la salle pour parler à propos de leur permanence hors de la salle.
L'enseignante organise la classe, demande du silence)
P: on va faire la correction↑ le 'a' c'était quelle fraction? Cristiano↑ maintenant tu t'assois pour écouter↑ le 'a'et le 'b'
j'ai corrigé/ n'est-ce pas? (l'enseignante écrit les exercices au tableau)
Correction
c) 20/30 =
d)12/18 =
e) 22/33 =
f) 35/42 =
P: le dernier cours/ nous avons vu la simplification de fractions/ d'accord? Pour simplifier/ on fait quoi? On divise le
numérateur et le dénominateur par le même numéro↑ on travaille toujours la notion de fractions équivalentes/ mais
maintenant on va faire quoi? On va réduire↑ alors / Lucas↑ (...) le 20 et le 30/ par quels numéros je peux diviser le 20
et le 30? quelle division est exacte?
E: deux
P: je pourrais commencer par un autre numéro/je vais faire comme Juliano a proposé↑ par deux↑ si ne divise par
deux/ cela fait? 10/ et 15↑ je peux simplifier encore? (écrit la simplification)
E: oui
E: non
P: je peux↑ je peux diviser maintenant par? 5↑ 10 divisé par 5 c'est?
E: (Juliano) : 2
P: 10 divisé par cinq c'est 2/ et 15 divisé par 5 c'est 3↑ qui a simplifié différemment/ c'est à dire/ qui a divisé par un
autres numéros/ finalement il faut que ça donne? 2/3 aussi↑ qui a divisé par 10/ est arrivé plus rapidement↑ le 12 et le
18/ par quels numéros je pourrais diviser? Une division exacte?
291
E: (Liliam) par 3
P: Cristiano?
E: deux
P: par deux/ si je divise par deux/ ici cela fait 6/ et ici cela fait?
E: (juliano) huit
E: (Liliam) 9
P: neuf↑ 6 et 9/ par quels numéros je peux diviser maintenant?
E: (liliam) 3
P: par 3↑ 6 divisé par 3 cela fait?
E: 2
P: 2/ 9 divisé par 3? 3↑ on se souvient que je pourrais simplifier par un autre numéro/ dans ce cas/ par lequel? 6/ ça
serait plus rapide/ d'accord? Cristiano/ encore toi↑ quand tu seras plus attentif, j'arrête de t'appeler/ d'accord? Le 22 et
le 33/ Cristiano/ par quel numéro je pourrais diviser?
E: (Cristiano réflechit un peu) deux?
P: 33 est pair?
E: non
P: non↑
E: (Lucas) cinq↑ cinq↑
P: quand est-ce qu'un numéro est divisible par 5? quand il se termine par zéro ou? Cinq↑ celui ci ne se termine ni par
zéro ni par cinq↑
E: (plusieurs)11↑
P: c'est pour 11↑ cela fait 2 et? 3↑ le 35 et 42?
E: (Liliam) par 7
P: je peux diviser par? 7↑ 35 divisé par 7?
E: (Liliam) 5
P: 42 divisé par 7? 6↑ d'accord?
P: qui a terminé la correction (...) (écrit au tableau)
Simplifier les fractions suivantes:
a) 12/14 =
b) 16/20 =
c) 8/32 =
d) 9/18 =
e) 26/24 =
P: vite↑ je vais corriger↑
(l'enseignante attend, passe par la classe pour vérifier ce qu'ils sont en train de faire)
Dialogues avec les élèves:
(...)
E: maîtresse↑ par 4?
P; 32 est divisible par 4?
E: oui
P: alors on peut diviser par 4↑
(...)
E: maîtresse↑ ici on ne peut pas continuer/ n'est-ce pas?
P: si↑ par deux↑
(...)
P: si tu ne copies pas/ je vais appeler la direction
E: comment?
P: oui/ parler au directeur
E: mon dieu↑
P: oui/ dépêche toi↑
E: d'accord mais je vais copier
P: oui/ copie les résultats/ c'est ce qu'il faut copier↑
(25 minutes après)
P: voyons le premier/ allez↑ la correction↑ (plusieurs élèves demandent d'aller aux toilettes, l'enseignante ne leur
donne pas la permission) vous n'aller sortir que quand la séance sera terminée↑quand l'exercice sera bien organisé/
tout le monde peut aller aux toilettes/ aller boire de l'eau/ mais si vous ne vous organiser pas/ vous ne pourrez pas
sortir↑ (...) le 'a' ici (...) je peux diviser par quel numéro? Pour simplifier?
E: deux
P: deux↑ 12 divisé par 2 c'est? 6/ 14 divisé par 2 c'est? 7↑
E: j'ai réussi↑
P: le 16 et le 20/ je peux diviser par combien?
E: (Chaiane) 4
P: je peux diviser par 4/ je vais arriver au résultat rapidement/ regardez↑ si je divise par 4/ 16 divisé par 4?
E: (Liliam) 4
P: 4↑ 20 divisé par 4 c'est?
E: (Chaiane) 5
292
P: cinq↑ qui a simplifié par 2/ a simplifié deux fois/ et finalement est arrivé à combien? 4? cinquièmes↑alors on ne
peut plus continuer↑
E (Chaiane) maîtresse↑ c'est correct?
P; as tu trouvé le 4/5?
E: non
P: c'est parce qu'il faut continuer de simplifier↑
E: (Chaiane) mais on ne peut pas↑
P: simplifie par deux// regarde/ qui a simplifié par deux/ est arrivé à 8/10 / alors je simplifie encore une fois/ cela fait?
4/5 (écrit au tableau) 8 sur 32/ par combien?
E (Liliam) 4
P: par 4/ mais il y a un numéro plus rapide?
E: (Liliam) huit
P: qui veut simplifier par 4/ devra simplifier encore une fois↑ qui veut simplifier par 8/ cela fait combien? 8 divisé par
8/ 1/ 32 par 8?
E (Liliam e Shaiane) 4
P: 4↑ regardez↑le 9/ Lucas↑ s'il te plaît↑(...) je ne peux pas expliquer si vous parlez au même temps↑ (...) je ne peux
pas continuer la correction/ si j'explique à trois personnes↑ (...) 9 et 18/ si je simplifie par 3/ cela fait combien?
E (Lilian): trois sixièmes↑
P: trois sixièmes↑ // et alors je peux simplifier encore par? 3↑ par 9 c'est encore mieux/ d'accord? Alors cela fait un
demi/ qui a simplifié par 9// Shaiane a dit que c'est mieux parce que cela donne le meilleur résultat
E (Shaiane): plus rapide↑
P: le 26 sur 24/ par combien je simplifie?
E (Liliam): deux/
P: deux↑ si je divise par deux/ cela fait combien? 13 sur 12/ d'accord? (...)
(L'enseignante demande l'heure à une élève, efface le tableau)
P: on commence à copier↑ (prend du temps pour effacer le tableau, elle semble réfléchir et finalement écrit)
Addition et Soustraction de nombres fractionnaires
Exemple:
a) 1/6 + 4/6 =
b)2/7 + 3/7 =
c) 3/4 - 1/4 =
P: je vais expliquer tout de suite↑ maintenant il suffit de copier/ calmez vous↑ alors pendant l'explication on aura
beaucoup de silence↑ copiez une au dessous de l'autre↑
E: (Liliam): j'ai déjà étudié ça↑ à la troisième année↑
P: à la troisième? (...) Jonas↑ c'est bon↑ calme toi un peu// copiez/ un sous l'autre↑ (...) ce que je vais dessiner il ne
faut pas copier↑ c'est l'explication
E: (Lucas) un plus quatre/ c'est cinq?
P: oui↑ mais je vais expliquer↑ (...) le dessin il ne faut pas copier↑
E: j'ai déjà étudié ça mais je ne me souviens plus
P: ne copiez pas↑ parce que les dessin sont sur le manuel↑ (dessine des rectangles divisés selon les parts qui
correspondent aux fractions)
E: ce sont deux séances?
P: une seule↑
E: il faut copier?
P: non/ seulement le 'a' 'b' 'c'
(l'enseignante passe pour vérifier si les élèves copient)
P: voyons↑ comment on va faire↑ qui n'a pas terminé de copier/ attend/ je veux sommer deux fractions↑ 1/6 plus 4/6↑
comment on fait?
E (Liliam): 5/6
P: j'ai divisé/ en combien de parts ici?
E: six
P: six parts/ je vais en considérer une/ alors/ j'ai divisé en six parts/ et si j'en prends une? Cela sera? Un sixième↑
alors il faut prendre combien encore?
E: 4
P: 4/ alors un deux trois quatre↑cela fait combien?
E: un
E: cinq sixièmes (Lucas)
P: un deux trois quatre/ 5↑ cinq quoi?
E: (Mateus) cinq sixièmes↑
P: cinq sixièmes↑ alors qu'est-ce que je remarque? Que quand les dénominateurs sont pareils/ c'est à dire/ quand ils
sont divisés par le même numéro de parts/ par exemple/ ¾ est divisé en combien de parts? Quatre parts↑ 5/7 est divisé
en combien de parts? 7↑ quand les dénominateurs sont pareils/ je vais sommer les numérateurs et je maintien le?
dénominateur↑parce que c'est toujours divisé? Par le même numéro de parts↑ ici/ 2/7 plus 3/7/ ici je divise par? 7
parts↑ je vais// combien faut il prendre ici?
E: deux
P: deux↑ alors il faut sommer combien encore?
E: trois
293
P: trois↑ cela fait combien?
E: cinq
P: cinq?
E: septièmes
P: septièmes↑ que s'est-t-il passé? J'ai sommé le numérateur/ deux plus trois/ cinq/ et cela fait? Cinq septièmes↑ oui/
qu'est-ce que tu veux savoir/ Maira?
E: maîtresse↑ on somme ici?
P: oui/ celle ci/ j'ai 3/4/ que j'ai colorié/ il faut prendre combien? Combien faut-il prendre? Une↑ j'en ai pris une↑
quand j'en prends une/ combien est resté? Il est resté? Combien? Deux? Quarts↑ j'ai
maintenu le même dénominateur et j'ai soustrait le numérateur↑
E: maîtresse↑ celui là je n'ai pas compris↑
P: regarde↑ j'avais ¾ colorié/ il faut en prendre combien?
E: une
P: une↑ quand j'enlève une/ combien il en reste?
E: deux
P: deux / alors je maintiens le dénominateur/ le quatre/ et je fais 4 moins 1/ deux↑
E: et si en bas ce n'est pas pareil?
P: alors on verra↑ cela n'est valable que si ils sont? pareils↑copiez/ complétez (demande l'heure)
(écrit au tableau 'exercices')
E: maîtresse↑ on n'aura pas le temps↑
P: on a combien de temps? Je continue le prochain cours↑ vous pouvez attendre↑ restez assis↑
(je demande à l'enseignante pour quoi les élèves étaient aussi agités. Elle commente qu'il est arrivé quelque chose
dans le cours d'avant. Elle ajoute que la classe était très agitée au début de l'année, qu'il y a des élèves qui sont
absents, alors la classe est, en général, assez tranquille).
Séance 9
18/08/2005
(l'enseignante fait l'appel)
P: qui se souvient de ce que nous avions fait le dernier cours? Rafael se souvient↑ allez/ on prend les cahiers↑ vite↑
(...) le cahier↑ le cahier↑ bonjour↑ (...) ne copiez pas/ d'accord?
(écrit)
a) 3/5 + 1/5 =
b) 3/8 + 4/8 =
c) 8/9 - 1/9 =
P: pour se souvenir de ce que nous avions fait le dernier cours↑ nous avons sommé des numéros fractionnaires/ et
alors (interrompt pour organiser la classe) Maira↑ tu sais déjà comment résoudre? Alors↑ Cristiano↑ comment je
vais faire pour sommer/ quand les dénominateurs sont pareils? Comment on faisait? Regardez↑
E: on dessinait 5 carreaux
P: un/ deux/ trois// un deux trois/ quatre/ cinq/ regardez↑
E: alors il faut colorier 3↑
P; alors il faut sommer/ regardez↑ 3/5 plus 1/5/ alors j'ai 3
E: colorie 3
P: deux/ trois/ et il faut sommer encore combien?
E: encore un/ colorie encore un↑
P: encore un/ alors cela fait combien? // combien seront coloriés? Quatre? Cinq?
E: (Liliam) c'est une soustraction quand ce n'est pas divisible?
P: non/il faut regarder le signal↑ il faut se souvenir d'une chose ici↑ mais on ne va pas faire le dessin/ à chaque fois
qu'on va sommer↑ Maira↑ qu'est-ce qu'il faut que je comprenne? Que quand je somme des dénominateurs pareils/
qu'est-ce qui se passe? On continue de diviser par le même numéro de parts↑ alors ici quand je somme/ je sais que
c'est divisé en 8 parts ici/ n'est-ce pas? Alors il suffit de sommer/ 3 plus 4/ sept↑ oui/ Maira↑
E: (Maira) mais alors/ tout le monde va savoir/ parce que tous les numéros en bas sont pareils↑
P: justement↑ alors cela fait combien? Si je colorie huit/ et efface un/ cela fait combien?
E: sept
P: sept/ d'accord? Alors là↑
E: (Lucas) par exemple/ en haut c'est plus/ alors on suppose que en bas c'est moins/ alors...
P: comment en bas? Non↑ c'est un trait entre le numérateur et le dénominateur↑
E: ah↑
P: ici il faut copier seulement ceux qui étaient absents hier/ mardi (l'enseignante écrit le titre 'addition et soustraction
de nombres fractionnaires') ceux qui n'y était pas/ copiez↑ je vais repeter encore l'explication↑ pour ceux qui n'y
étaient pas mardi↑ j'ai écrit encore une fois au tableau/ pour que tout le monde ait cela dans les cahiers↑ qui était là
mardi/ il suffit de copier l'exercice
E: j'étais mardi↑
(l'enseignante efface le tableau et écrit)
Exercices
a) 5/9 + 3/9 =
294
b) 6/7 – 5/7 =
c) 4/10 + 5/10 – 3/10 =
E: il faut copier?
P: oui↑ il faut résoudre les trois/ et après je vais vous rappeler d'une question que vous aviez posé mardi↑
E (Maira) maîtresse↑ fait le premier pour nous↑
(l'enseignante attend que les élèves copient)
P: ça y est? Qui a terminé de copier? (passe par la classe pour vérifier s'ils ont copié) encore deux minutes et je vais
corriger↑ il y en a qui n'ont pas terminé de copier↑ (...)
E: (Cristiano) maîtresse/ faut- il faire des carreaux?
P: non↑ il suffit de faire le calcul↑ on n'a pas besoin de dessiner↑ (...) allez↑ voyons la première ici↑ Maira↑ le
dénominateur est égal/ alors il ça fait combien?
E: (Mariel) 9
P: neuf↑ cinq plus trois?
E (Mariel): 8
P: huit↑ d'accord? Qui n'a pas copié/ écoutez bien l'explication/ d'accord? Natalia?
E: (Natalia) je suis en train de copier↑
P: donc/ ici↑ le dénominateur est égal / c'est le 7↑ comment je fais? (...) je vous donne du temps/ mais il faut copier↑
tout le monde a finit sauf vous↑ six moins cinq c'est?
E: un
P: quatre plus cinq c'est combien?
E: 9
P: 9↑ et ensuite? Moins 3↑ 9 moins 3? six↑ alors qu'est-ce qui se passe? Quand les dénominateurs sont pareils? Le
dénominateur je le maintien/ et je fais quoi avec les numérateurs? Je somme ou je divise↑
E: quand c'est le même numéro?
P: quand c'est le même dénominateur↑ maintenant je vais expliquer avec des dénominateurs différents↑
E (Lucas): on va voir la multiplication aussi?
P: je vais expliquer↑
(écrit au tableau)
Dénominateurs différents
Exemple
a) 1/3 + 3/4 =
b) 3/4 - 1/2 =
P: ça y est? Vous avez terminé de copier?
E: il ne faut que copier?
P: oui/ la première ici↑ pas les autres↑ je vais expliquer↑ // alors qu'est-ce qui se passe maintenant avec les
dénominateurs? Ils sont?
E: sommés↑
P: différents↑ je vais expliquer ce qui va se passer↑
E: met le zéro↑
P: je veux que tout le monde ait terminé/ attention↑ (attend que les élèves copient) d'accord? Voyons↑ (une élève
arrive en retard) Cristiane va s'asseoir et écouter avec attention↑ qui n'a pas fini de copier/ attendez/ vous terminez
après↑ // qu'est-ce que je fais quand les dénominateurs sont différents? Natany↑ qu'est-ce que j'avais remarqué? Que
pour sommer/ qu'est-ce que j'avais? Les dénominateurs devraient être?
E: pareils
P: pareils↑ alors je vais écrire les fractions ici/ avec des dénominateurs? Pareils↑ vous vous souvenez qu'on avait
étudié des fractions équivalentes? Par exemple/ un tiers (écrit au tableau) qui se souvient d'une fraction équivalente à
1/3? comment je faisais pour trouver des fractions équivalentes?
E: on sommait?
P: on multipliait↑ on ne sommait pas↑ j'ai multipliais le numérateur et le dénominateur par le même numéro↑ par
exemple/ je pouvais multiplier le numérateur et le dénominateur? Par le même numéro/ par exemple/ je pouvais
multiplier ici par 2/ une fois deux/ deux/ trois fois deux/ 6/ 2/6 est équivalent à 1/3 / ici on va faire la même chose↑
mais...
E: pour quoi?
P: parce que les dénominateurs doivent être pareils↑ mais comment je vais savoir que les dénominateurs seront
pareils? Je vais écrire/ une fraction équivalente à 1/3/ et je vais écrire une autre fraction équivalente à? 3/4↑ comment
je fais pour découvrir qui sera mon nouveau dénominateur?
E: on multiplie
P: mais ce n'est pas toujours que je devrai multiplier/ parce que ce n'est pas dans tous les cas que si je multiplie/ je
trouverai le plus petit dénominateur possible/ alors pour le trouver/ pour trouver le plus petit/ je fais le calcul du plus
petit dénominateur commun/ entre les/ dénominateurs↑attention↑ ici je peux diviser par deux/ je ne peux que diviser
par
les
nombre
premiers/
qui
sont
2
3
5
7
et
11/
et
d'autre/
d'accord?
E: ah bon↑
P: le 3 n'est pas divisible par 2/ alors je le descend/ 4 divisé par 2? 2/ je divise encore par 2/ cela fait 1/ en bas/
maintenant on peut diviser par? 3↑ cela fait un/ maintenant il suffit de multiplier↑ (écrit le calcul du ppcd) 2 fois 2? 4/
4 fois 3? 12↑ alors mon nouveau dénominateur sera?
E: douze
P: douze↑ alors je vais travailler avec des fractions équivalentes↑
295
E: je n'ai pas compris↑
P: c'est la première fois que j'explique↑ je vais expliquer encore deux fois↑ du calme↑ alors je regarde/ vous vous
souvenez de ce qu'on faisait? Par exemple/ je vous donnais 1/3 et 12/... (écrit 1/3 = .../12) comment on faisait pour
trouver ici? Je regardais par combien j'ai multiplié ici/ pour arriver au 12?
E: 4
P: par 4/ alors il faut que je multiplie ici par? 4↑ alors c'est comme ça que je vais faire↑ par combien faut-il multiplier
e 3 pour trouver le 12? 4↑ alors ici je multiplie aussi par? (complète les fractions)
1/3 + 3/4 = 4/12 + 9/12 = 13/12
P: une fois 4? quatre/ c'est à dire/ 4 sur 12 c'est équivalent à? 1/3 / maintenant il faut faire avec l'autre/ par combien je
multiplie le 4 pour trouver le 12?
E: 3
P: 3 fois↑ 3 fois 3 cela fait? 9↑ maintenant les dénominateurs sont pareils/ n'est-ce pas? Maintenant je peux sommer↑
4 plus 9 c'est combien?
E: c'est// 14↑
P: 13↑
E: 13
P: 13↑ maintenant je peux sommer↑ avant de copier attendez↑ attendez↑ je vais ajouter une autre chose ici↑ ne copiez
pas sinon après je ne pourrai pas attendre tout le monde↑ je vais laisser ça sur le tableau/ et je vais vous donner du
temps pour copier/ d'accord? (écrit un autre exemple)
c) 3/4 - 1/2 =
P: celle ci comment je vais faire? Les dénominateurs sont différents/ que faut il arriver? Je doit récrire cette fraction/
de façon à avoir des dénominateurs qui soient? Pareils↑ comment je fais pour trouver le nouveau dénominateur?
Qu'est-ce que j'avais fait ici? Le ppcd↑ qui est le ppcd entre le 2 et le 4? c'est le? 12↑ entre le 2 et le 4/ qui sera le
ppcd?
E: le deux
P: le deux est multiple de 2?
E: oui
P: et du 4? le deux est multiple de 4?
E: oui
P: non↑ alors voyons↑ ça serait le 4/ mais pour en être sûr↑comme je n'ai pas réussi à voir que le 4 est le multiple
commun entre le deux et le quatre/ je vais calculer/ 2 divisé par 2? un/ 4 divisé par 2? un↑ je peux diviser encore une
fois par? 2/ deux fois deux? Quatre↑ (écrit le calcul du ppdc) maintenant je regarde/ par combien je multiplie le 4
pour trouver le 4?
E: (Jonas) deux
E: un↑
P: alors ici fois un cela fait? Deux fois un ça fait? 3↑ Lucas↑par combien il faut multiplier le 2 pour trouver le 4?
E (Jonas): par combien je dois multiplier le deux pour trouver le 4?
P: deux↑ une fois deux? Deux↑ maintenant que les dénominateurs sont pareils/ il suffit de diminuer↑ 3 moins 2↑
un↑d'accord? Copiez ces deux là vite/ je vais en écrire d'autres↑
E: (Maira) c'est trop compliqué ce calcul/ maîtresse↑
P: copiez vite↑
E (Lucas): la maîtresse va vouloir qu'on fasse ça
P: comment?
(L'enseignante efface le tableau et écrit)
c) 1/2 + 4/5 =
d) 3/4 + 5/6 – 1/6 =
P: ça y est? Natalia↑ Michele↑ je veux effacer ici↑ (...) Lucas↑ ça suffit de tailler ce crayon↑ // il faut copier aussi le
ppcd/ d'accord?
E: il faut copier le ppcd?
P: il faut copier le ppcd/ pour savoir d'où vient ce numéro là↑ faut il copier tout ce qui est sur le tableau↑
(attend que les élèves copient)
P: ça y est? Natalia↑ tu n'as toujours pas copié? C'est bon? (...) Natalia/ j'attends↑
E:j'ai copié un coté↑
E: explique moi encore?
P: (à tous) je vais expliquer↑ j'attends que tout le monde copie↑ (...) c'est bon? Regardez↑ je vais expliquer encore ces
deux/ vous terminez de copier après/ d'accord? Cristiano↑ aide-moi↑ que faut il faire quand les dénominateurs sont
différents? Que faut il faire? (Cristino ne répond pas) si les dénominateurs ne sont pas pareils/ quelle est la première
chose qu'il faut que je fasse? Les rendre?
E: pareils
P: pareils↑ comment je les rends pareils?
E (Lucas): on écrit deux rectangles
P: deux traits de fractions/ (écrit ..... = ..../.... + ..../.....) qu'est-ce que on va trouver ici?
E: (Lucas) maintenant on prend
P: maintenant? Comment je fais pour trouver les dénominateurs?
E (Lucas): met le 2 et le 5
P: le 2 et le 5
E: le 2 et le 5/ et passe le trait à coté
296
P: qui sait qu'est-ce que je vais faire ici? Avec le 2 et le 5?
E: le calcul
P: mais quel calcul? Comment ça s'appelle? Ça sera le nouveau? Dénominateur↑ mais ici je fais? Le plus petit
multiple commun↑ je vais diviser par les numéros? Premiers↑ je peux diviser par deux? Deux/ c'est un/ le cinq je
descend/
un/
un/
deux
fois
cinq?
E: (Michele et Maira) dix↑
P: dix↑ alors ici je vais multiplier par? Deux↑ 4 fois 2? 8↑ maintenant que faut il faire?
E: sommer
P: sommer↑ cela fait/ 5 fois 8?
E (Lucas): en bas cela fait dix↑
P: c'est combien 5 plus 8?
E: 13
P: 13↑ ne copiez pas encore↑ je vais demander à Maira↑ les dénominateurs sont tous différents ici↑ que faut il faire/ (
c'est l'exercice 3/4+ 5/6 – 1/6 = ...)
E: (Maira) on prend le 4 et on fait ce calcul
P: oui/ trouver le nouveau dénominateur/ par le calcul du ppcd↑ il faut mettre aussi le six↑ celle ci/ on a trois
dénominateurs
E (Jonas): c'est très facile/ maîtresse↑
P; alors je commence à diviser↑ je peux diviser par deux ici?
E: je peux
P: cela fait 2/ 4 divisé par 2/ 2/ 2 divisé par 2/ 1/ 6 divisé par 2? 3/ je divise encore par 2/ maintenant je ne peut
diviser que par? 3↑ cela fait 1/ 1/ maintenant je ne peux diviser que par? 3↑ 1/ 1/ et 1/ deux fois deux/ quatre/ quatre
fois 3? douze↑ maintenant regardez↑ je vais faire d'abord le trait de fraction que est équivalente à celle là/ après
encore un/ un trait de fraction/ moins/ égal↑ le nouveau dénominateur sera le?
E: deux
P: il faut faire attention à l'ordre ici↑ la première fraction/ plus la seconde fractions/ moins/ la troisième fraction↑ on
ne peut pas changer l'ordre/ on va travailler seulement avec les fractions équivalentes↑ alors ici sera le douze/ Rafael
va m'aider↑ Rafael↑ par combien j'ai multiplié le 4 pour arriver au 12? (Rafael ne répond pas)
E: 3
P: 3↑ alors je vais multiplier ici par 3↑ 3 fois 3? neuf↑ Natalia↑ par combien j'ai multiplié le 2 pour trouver le six?
E: le douze?
P: oui/ j'ai dit la réponse↑ par combien je multiplie le 2 pour trouver le 12? six/ alors je multiplie ici par six↑ cinq fois
six? Trente↑ par combien je multiplie le six pour trouver le 12?
E (Natalia) deux
P: deux/ alors je multiplie 1 fois 2↑ deux↑ maintenant je? Somme↑ 9 plus 30 cela fait? 39↑ et 39 moins 2?
E: 27
P: 37↑ bien↑ maintenant vous pouvez copiez les deux↑ je vais vous en proposer une pour essayer de faire/ d'accord?
(écrit au tableau)
Exercices
d) 5/3 + 1/2 =
(l'enseignante attend que les élèves copient et passe par la classe pour les aider à résoudre)
P: voyons qui a compris↑
(...)
P: ce que tu peux copier/ tu copies↑(l'enseignante parle à Juarez, le nouvel élève) il faut essayer de faire pour
apprendre↑
E: (Juarez) mais je n'arrive même pas à faire le trait↑
P: non↑ c'est bien comme ça↑ personne le fait avec perfection↑
(Liliam vient montrer son cahier)
E: maîtresse/ je ne sais même pas faire le calcul en bas↑
E (Michelle) la séance va se terminer↑
P: regardez↑ qui n'a pas terminé/ il faudra terminer à la maison↑
Séances 10 et 11 (séances doubles)
19/08/2005
P: c'est bon? Allez↑ tournez vous↑ (l'enseignante organise la classe) (...) on ouvre le cahier↑ allons-y↑ Mateus/ ton
cahier↑ cahier ouvert↑ (...) on copie↑ je vais vous rappeler ce que nous avons fait hier↑ nous allons prendre des
exercices du manuel après/ d'accord? D'abord ceux-ci
E (Shaiane): c'est une correction?
P: non↑ on va commencer l'exercice/ vous vous rappeler? Que je vous avais laissé des exercices? Je vais commencer
les exercices↑
E: non↑ il y en avait encore↑
P: oui/ mais je n'avais pas terminé de les faire↑
E: non↑
E: la maîtresse n'avait pas terminé la correction↑
P: ah↑ / il y avait encore un (...) je vais le corriger maintenant↑ (...) (l'enseignante écrit)
5/3 + 1/2 =
297
P: allons corriger celui ci↑ (organise encore la classe, attend) regardez bien↑ pour pouvoir sommer// Mateus↑
regarde↑ tu n'étais pas hier/ n'est-ce pas? Alors tu n'as pas encore appris cella/ voyons↑ pour sommer/ qu'est-ce que
nous avions appris? Que faut il avoir ici? Les dénominateurs doivent être? pareils↑ ils ne sont pas pareils/ alors je
vais les modifier de façon à ce qu'ils soient pareils↑ pour trouver le nouveau dénominateur/ la première chose que je
vais faire c'est trouver le plus petit commun dénominateur entre le 3 et le 2↑
E (Lucas): alors↑ met 3 virgule 2
P: je peux diviser/ commencer à diviser par 2↑ le 2 divisé par 2/ c'est 1/ le 3 en bas/ on peut diviser par 3 maintenant/
c'est
1
(Lucas
suit
le
calcul
de
l'enseignante)
deux
fois
trois?
E(Lucas): six
P: alors maintenant ici/ d'abord le trait de fraction de la fraction équivalente à celle ci/ encore l'autre équivalente à la
seconde/ avec le dénominateur?
E: six
E (Lucas) en haut c'est le 10↑
P: six↑ par combien je multiplie le 3 pour trouver le 6?
E: (Liliam) deux
P: deux↑ alors ici je multiplie par? Deux/ deux fois cinq?
E (Lucas): dix
P; dix↑ par combien je multiplie le 2 pour trouver le 6?
E: trois
P: trois↑ et maintenant que les dénominateurs sont pareils/ je fais? 10 plus 3?
E: égal à 13
E: maîtresse↑ je n'ai pas fait le...
P: il n'y a pas de problème/ comme vous avez fait c'est correct aussi↑ maintenant je vais vous proposer des exercices/
d'accord?
E: il faut copier?
P: oui/ il faut copier↑
(écrit au tableau)
Exercices
1) Calcule:
a) 3/2 – 2/3 =
b) 3/4 + 1/2 =
c) 3/5 + 1/2 + 7/10 =
P: le premier cours on va travailler individuellement/ le deuxième en pairs↑
E (Natany): il faut laisser combien de lignes?
P: vous copiez une au dessous de l'autre/ et ensuite vous laisser un peu de place à coté↑
(...)
(un élève pose une question – inaudible)
P: oui↑ complètement différent↑ parce que// 3/5 tu divises en 5 parts et tu prend 3/ 5/3 veut dire que tu divise en 3
parts et en prend? 5↑ d'accord? Complètement différent↑
(l'enseignante fait l'appel, ensuite passe pour expliquer individuellement)
(...)
P: il faut trouver le plus petit commun dénominateur/ entre le 2 et le 3/ par deux/ c'est 1/ deux fois 3? six↑ alors le
nouveau dénominateur sera?
E: six
P: alors je regarde↑ par combien je multiplie le 2 pour trouver le 6? ce sont des fractions équivalentes↑
E: trois
P: par combien je multiplie le 2 pour trouver le 6? 3↑ deux fois trois six/ alors je multiplie par 3↑ 3 fois 3? 9↑ par
combien je multiplie le 3 pour trouver le 6? alors ici c'est deux↑ deux fois deux? Quatre↑ 9 plus 4?
E: 13
(à tous)
P; voulez vous que vous rappelle un peu/ encore une?
(plusieurs parlent au même temps)
P: voulez vous encore un exemple?
E (tous) non↑
P: je fais résoudre une ici↑ le 'a'/ pour se souvenir↑ je vais résoudre et expliquer au tableau// d'accord? regardez↑ je
peux sommer directement? Diminuer? non↑ pour quoi? Mateus↑ parce que les dénominateurs sont? différents↑ alors
pour soustraire/ d'abord il faut rendre les dénominateurs pareils↑ alors je fais une fraction équivalente à celle ci/ et
une autre équivalente à la seconde/ pour trouver le nouveau dénominateur/ qu'est-ce que je fais?
E(Lucas): le plus petit commun dénominateur↑
P: tu as compris/ Luan? Jonas↑ je dois écrire des fractions équivalentes/ parce que les dénominateurs sont différents↑
pour trouver ce nouveau dénominateur/ il faut faire?
E (Lucas): le e plus petit commun dénominateur↑
P; entre qui?
E: (Lucas) deux et trois plus petit commun dénominateur↑
P; alors je vais faire le plus petit commun dénominateur entre le 2 et le 3/ que j'avais déjà calculé ici/ alors ici je vais
écrire ici par tout le numéro 6/ vous vous rappeler des fractions équivalentes? Je multiplie le deux par le même
numéro/ ou bien? Je divise↑alors regardez↑par combien je dois multiplier le deux pour trouver six? Trois/ alors ici je
298
multiplie par 3/ 3 fois 3? 9↑ il faut suivre l'ordre↑ la première↑ici je multiplie par 3 aussi↑ mais si je multiplie le
dénominateur par 3/ il faut que je multiplie aussi le? Numérateur↑ 2 fois 2?
E (Lucas): quatre
P: maintenant il suffit de diminuer↑ 9 moins 4? 5↑
E (Mateus): je n'ai pas compris↑
P: allez↑ maintenant c'est à vous de résoudre↑
E (Mateus): je n'arrive pas↑
P: qu'est-ce que tu ne sais pas faire? Ce que j'ai fait là? (l'enseignante va expliquer à Mateus, Lucas vient aider)
E (Lucas): il faut voir quel numéro est là/ alors tu prends/ ce n'est pas pareil/ tu prends un à coté de l'autre/ alors tu
fais ce que j'ai fait/ tu divises / par deux/ par 3/ jusqu'au 1/ tu as compris?
P: ici il a fait le ppcd/ entre le 3 et le 2/ tu divises jusqu'à ce que tu arrives au 1/ tu as compris?
E: (Mateus) entre ce numéro là/ le 5 et le 1?
P: non↑ entre les dénominateurs↑
E (Mateus): ah/ d'accord↑
E (Lucas): jusqu'au 1/ alors il faut écrire le numéro
P: non/ alors tu// tu fais jusqu'au 1/ et quand tu arrives au 1/ tu multiplie ici↑ je vais écrire là pour montrer/ d'accord?
Tu viens là et multiplie/ le 2 et le 3↑ 2 fois 3? 6↑ et tu écris le 6 en bas/ et celui ci/ les numérateurs tu ne sais pas
encore/ il faut les découvrir↑comment on fait pour les découvrir? Lucas? Ça sera quel numéro en haut? Tu te
souviens?
E (Lucas): on multiplie/ n'est-ce pas?
P: oui↑ on pense comme ça/ par combien je dois multiplier le 3 pour arriver au 6?
E (Mateus): deux
P: oui↑ alors tu as multiplié ici par 2/ il faut multiplier par 2↑
E (Lucas): multiplie par 2
P: non↑ attend↑il y a un autre numéro ici/ un autre calcul↑ ce n'est pas le même calcul du tableau↑ tu n'as pas copié
correctement↑ c'est 3/2↑ d'accord Lucas? C'est// 3 fois 2 qui fait 6/ tu multiplie par 2/ 5 fois 2? dix↑ par combien je
multiplie le 2 pour arriver au 6?
E (Mateus): 3
P: alors tu multiplie par 3↑ une fois 3? trois/ 10 plus 3? 13↑ maintenant essaye de faire↑ mets toi à coté de lui↑
(les élèves travaillent, plusieurs se sont mis ensemble)
(...)
P: tu veux trouver le nouveau dénominateur/ n'est-ce pas? Alors il faut faire le ppcd entre le 4 et le 4/ le 2/ et le 6↑
E: comment?
P: tu veux trouver des nouveaux dénominateurs/ n'est-ce pas? Alors tu vas calculer le plus petit commun
dénominateur de qui? Du 4/ du 2/ et du 6/ comment j'avais fait ici? Pour sommer/ les dénominateurs doivent être
égaux/ alors la première chose à faire c'est de trouver les nouveaux dénominateurs/ alors on doit calculer le ppcd entre
le 4/ le 2/ et le 6/ alors le numéro que tu vas trouver/ sera le nouveau dénominateur↑alors tu vas regarder/ 4 fois
combien a donné ce résultat? Par combien j'ai multiplié? Je vais multiplier par le? Numérateur↑alors le premier pas
c'est de trouver le nouveau dénominateur↑ alors tu prends les dénominateurs/ d'accord?
(...)
P: tu as une question? Quelle est la première chose à faire? Rafael↑
E: trouver le numéro
P: non/ tu ne sais pas quel est le dénominateur↑ regarde↑ les dénominateurs sont tous différents/ alors tu devras
trouver qui sera le nouveau? Dénominateur↑ pour ça il faut faire le ppcd entre le 4/ le 2/ le 6↑
(...)
P: quelqu'un peut prêter un crayon à Lucas?
E: ici/ maîtresse↑ c'est correct?
P: tu as fait la somme? Montre moi↑non↑ combien de fois 10 fait 10? 1/ n'est-ce pas? Alors tu multiplies pas 1↑ 1 fois
7? 7↑
E: c'est 7 ici?
P: non/ là↑ je sais ce qui n'est pas correct↑ c'est là↑ parce que regarde↑ combien de fois 4 fait 12? 3↑ n'est-ce pas?
Alors ici tu multiplie par 3↑ 3 fois 3? 9↑ et non 42↑ combien de fois 2 fait 12? 6↑
(...)
(quelqu'un appelle l'enseignante dehors. Elle sort, les élèves commencent à parler. L'enseignante revient)
P; allez↑ je vais faire le 'b'// je vais corriger le 'b'/ qui n'as pas compris/ pose des questions↑ comme les dénominateurs
sont différents/ la première chose à faire c'est/ trouver le nouveau dénominateur/ de façon à ce que tous soient
pareils↑ alors on va voir qui sera↑ comment je trouve le nouveau dénominateur? Natalia↑ tu te souviens? Comment
on fait? Pour trouver le nouveau dénominateur?
E: douze?
P: oui/ tu l'as trouvé? Comment Natalia a fait pour le trouver? Lucas? Vinicius? Natalia a dit qu'elle a trouvé le 12↑
comment elle l'a fait?
E (Lucas): le 3 et le 5↑
P: non↑ ela a calculé le plus petit dénominateur entre le 4/ le 2/ le 6/ alors// (écrit le calcul du ppcd) ce sont des
numéros pairs↑
E (Lucas): divise par 2↑
P: je divise par 2↑ 2 divisé par 2/ 1/ 6 divisé par 2/ 3/ Cristiano↑
E: (Lucas) on descend le 1
299
P: attention↑maintenant je peux diviser par? 2↑ maintenant par? 3↑ 2 fois 2? 4/ 4 fois 3 ? Rafael↑ (...) 12↑ alors ici
sera le numéro? 12↑ alors je regarde/ combien de fois 4 fait 12?
E (Shaiane): 3↑
P: quel est le numéro qui/ multiplié par 4/ fait 12? Lucas↑
E: 3
P: 3↑ alors je multiplie par le numéro?
E (Shaiane): 3↑
P: 3↑ 3 fois 3? 9↑ combien de fois deux/ quel est le numéro que je multiplie par 2 et qui fait 12? quel est le numéro
que je multiplie par 2 pour trouver le 12?
E: 6
P: six↑ maintenant je regarde↑ quel est le numéro que je multiplie par 6 qui fait 12?
E: 2
P: deux↑ si j'ai multiplié ici par 2/ il faut multiplier ici aussi par? 2↑ 5 fois 2? dix↑9 plus 6? 15/ plus 10? 25↑ allons↑
(l'enseignante vérifie ce que les élèves sont en train de faire)
P: après je devrai appeler ta mère↑ tu ne fais rien↑ (...) j'ai corrigé le 'a'/ j'ai corrigé le 'b'/ et tu n'as rien fait↑ tu n'as
même pas copié le 'c'/ ni le 'd'/ Cristiano↑
E: j'étais en train d'effacer↑
P: non↑ tu n'étais pas en train d'effacer↑tu étais en train de jouer↑ Lucas↑ montre moi ton travail↑
P: le 'e' ↑ (écrit encore des exercices au tableau, les élèves se plaignent)
d) 1/2+ 1/3 + 5/6 =
e) 5/6 – 1/2 + 1/3 =
(la première séance se termine)
E: maîtresse↑ on a deux cours?
P: oui/ mais je vous permets de vous asseoir en pairs/ mais s'il y a du bruit/ je vous sépare↑
(...)
P: mon cher/ tu as déjà copié?
E: (Juarez) non/ pas encore
P: fais comme tu veux/ si ce n'est pas droit/ il n'y a pas de problème/ personne écrit très droit// c'est bien↑ c'est
correct↑
(les élèves changent de place pour s'asseoir en petits groupes)
P: Andressa↑ tu as réussi à faire l'exercice? Je vais t'expliquer maintenant↑ il faut prendre ici/ le dénominateur/ et
calculer le ppcd↑ (...) regarde↑ il faut calculer le ppcd entre 5/ 2/ et 10/ alors tu divises par 2/ 2 divisé par 2? 1↑ 10
divisé par 2? 5/ 5 divisé par 5? 1/ 10 divisé par 5? 2↑ alors je regarde/ tu as compris? Tu regardes/ combien de fois 5
fait 10? quel est le numéro par lequel je multiplie?
E: (Andressa): deux
(il y a beaucoup de bruit dans la classe, l'enseignante organise)
P: avec tout ce bruit/ on ne peut pas travailler↑ je veux que Mateus travaille↑les exercices↑
E (Mateus): je suis en train de faire/ maîtresse↑
P: non↑ tu es en train de copier↑ Rafael↑ combien en as tu fait? Allons y↑ prend le stylo↑ allez↑
(...) Natalia↑ tu réussis à les résoudre?
(...)
E (Jonas) je ne sais pas faire ces calculs↑ je ne sais pas↑ je n'étais pas quand tu as expliqué↑
P; d'accord/ je vais t'expliquer↑ (...) regarde↑ laisse moi t'expliquer↑ je peux diviser par deux/ 6 divisé par 2/ c'est 3/
le 3 on ne peux pas diviser/ tu le descends/ le 6 divisé par 2? 3/ encore par 2/ 1 et 1
(...)
P: Mariel↑ combien tu as déjà fait? Mariel↑ tu as terminé? (...) Cristiano↑ assis toi↑ Juarez↑ (...) combien de fois deux
fait 6?
E: (Mariel) deux
P: 3↑ une fois 3? 3/ combien de fois 3 fais 6? deux↑ combien de fois 6 fait 3? une fois cinq/ cinq/ maintenant il suffit
de sommer↑
(...)
E: (Lucas) ça peut être cinq? Le cinq divisé par deux?
P: non↑ ici c'est 1/ par deux on ne peut pas/ descends-le↑ 10 divisé par 5 c'est 2↑
E: ah↑ j'allais dire deux/ tu as dit que c'était cinq
P: ici/ tu divises par 2/ ça fait 1 par tout/ alors c'est fini↑on fait deux fois cinq↑
(...)
P: Shaiane↑ elle peut travailler avec toi/ n'est-ce pas? Ou tu veux travailler seule? Allons↑ (explique à Andressa) celle
ci tu peux essayer seule↑ 5 fois 2 n'est pas 13↑ il faut corriger↑ une fois 3/ 3/ une fois 2/ c'est? 2↑ tu n'as pas
multiplié↑
(à tous)
P: je vais corriger le 'c' et le 'd'/ d'accord? (...) ça y est↑ Aline↑Natany↑c'est la dernière fois que je vous demande
d'arrêter↑ les garçons↑ arrêtez de jouer↑ il n'importe qui a commencé↑ c'est fini↑ je vais corriger le 'c' et le 'd'/ vous
attendez en silence↑ Cristiano↑ assis toi bien↑ (...) Mariel↑ ouvre ton cahier↑(...) quelle est la première chose qu'il
faut faire? (...) c'est calculer le ppcd entre le 5/ le 2/ et le 10/ je veux que Lucas et Vinicius soient attentifs↑Mariel/
Rafael↑ Rafael↑ quelle est la première chose à faire?
E: (Rafael) c'est/ diviser par cinq↑
300
P: quand je calcule le plus petit commun dénominateur/ Jonas↑ s'il te plaît↑ (...) par quel numéro je divise?
E (Aline): par deux
P: deux divisé par deux?
E: un
P: dix par deux?
E: cinq
P: Rafael et Cristiano↑ vous n'avez rien fait jusqu'à présent↑ et vous n'écoutez pas pendant que j'explique↑ maintenant
je peux diviser par quel numéro? Rafael↑ regarde le tableau↑
E (Rafael): deux↑
E (Aline et Liliam): cinq↑
P: cinq↑ ça fait 1/ 1/ maintenant je vais multiplier/ deux fois cinq? Dix↑ maintenant là/ je vais écrire deux fractions
équivalentes aux deux autres/ plus/ plus/ égal (écrit les traits de fraction et le signal d'égalité) et mon nouveau
dénominateur sera? Dix↑ Jonas↑ j'ai déjà demandé plusieurs fois↑
E (Jonas): c'est elle/ maîtresse↑
P: mais maintenant je suis en train d'expliquer↑ // combien de fois 5 fait 10? quel est le numéro par lequel je multiplie
le 5 pour arriver au 10?
E: deux
P: deux/ alors ici je multiplie aussi par? 2↑ 3 fois 2? 6↑ combien de fois 2 fait 10?
E: 5↑
P: cinq↑ alors je multiplie par cinq/ par cinq/ une fois cinq? Cinq↑ combien de fois dix fait dix?
E: une
P: une↑ alors je divise par 1/ 7 fois 1? sept↑ maintenant je somme↑ 6 plus cinq? 6 plus cinq? Onze↑ onze plus 7?
E: 18
P: 18↑ voyons le 'd'↑ le 'd'/ je dois calculer le plus petit commun multiple entre le 5 et le? 3↑ d'accord↑ alors c'est 5
et? 3↑ le 5 et le 3/ Rafael↑ par quel numéro je divise? Le 5 et le 3 sont impaires↑ on ne peut pas diviser par 2↑
E (Aline e Lilian): par 3↑
P; par 3↑ c'est 1/ le 5 je descend/ par cinq/ 1 et 1/ 3 fois 5? 15↑ alors ici je vais écrire le numéro? 15↑ Rafael↑ je ne
veux pas que tu les corrige/ aucune↑ après je vais te dire ce qu'il faut faire/ d'accord? (...) combien de fois 5 fait 15?
E (Aline et Lilian): 3
P: 3↑ 6 fois 3? 18↑ combien de fois 3? 5↑ une fois cinq? C'est? 5↑ 18 moins 5 sera? 13↑ (l'enseignante va parler à
Rafael) ce que tu vas faire? Tu ne vas pas corriger en classe/ tu vas les terminer à la maison/ et la prochaine fois je
vais regarder ton cahier↑ tu n'as rien fait↑ je l'ai dit à ta mère↑ (demande l'heure et dit qu'elle va écrire encore des
exercices)
2.Pour faire un travail à l'école, Daniel a utilisé 2/3 d'une feuille et sa soeur en a utilisé Quelle fraction les deux ont
utilisé ensemble?
E: encore?
P: encore une↑ une seule↑
2) Une personne dépense 1/4 de son salaire pour payer son loyer et 2/5 pour les activités de loisir. Répondez:
a) quel fraction du elle dépense avec le loyer et le loisir?
b) si son salaire est de 800,00, combien il y en reste?
P: c'est bon↑ fini↑ deux exercices encore/ si vous continuez le bruit je vais vous proposer encore des exercices↑
(l'enseignante attend que les élèves copient)
P: allez↑ on va commencer l'exercice↑ (...)
(la séance se termine)
301
TRANSCRIPTION ORIGINALE
ENSEIGNANT NOVICE
Aula 1
13/06/2005
P: vamos lá/ pessoal/ abram o caderno e vamos acompanhar a matéria↑
(o professor conversa com os alunos, organiza a classe e espera todos se acomodarem)
P: vamos lá pessoal/ lembrando/ da semana passada// lembrando/ a gente tá trabalhando com comparação de fração/
lembra? A gente viu o que que era fração/ numerador/ o denominador/ viu do que se tratava/ o denominador/ o
numerador/ vimos exemplos/ vocês fizeram lá/ lembra? desde a quarta série/ vocês faziam↓ quando tinha a figura/
vocês conseguem escrever a fração que representa aquela figura↑ até aí tava tudo fácil/ certo? começou a complicar
por que? Quando a gente fez/ a fração/ eu queria comparar duas frações/ duas frações com o mesmo denominador/ a
gente viu que era fácil// lembra?
A: não/ eu não tava na aula...
P: então presta atenção/ quem faltou/ principalmente// vamos ver aqui/ eu escrevo duas frações que tem o mesmo
denominador/ por exemplo (...)(escreve as frações no quadro) 2 sobre 5/ 2/5 e 3 sobre cinco/ 3/5/ eu quero comparar
essas duas frações/ eu quero saber// quem é maior e quem é menor// como é que a gente viu? Eu consigo fazer o
desenho que representa essa fração?
A*: sim!
P: então eu pego o inteiro...
(vários alunos respondem ao mesmo tempo)
A: e divide em cinco partes. Bruna
P: isso↑ / que inteiro ? qualquer inteiro/ lembra que eu fiz desenhos para vocês/ com a folha de papel/ olha ↑ pode ser
uma folha de papel/ vou pegar a folha de papel que é o inteiro/ e vou dividir em cinco partes (pega a folha e dobra
para dividir) lembrando/ essas partes são?
(alunos não respondem)
P: iguais/ né? Lembra?esse pedacinho é igual a esse/ eu divido em cinco partes iguais/ tá↑dividi em cinco partes e
peguei ?
A: dois
P: dois↑ naquela outra ali eu peguei o mesmo inteiro/ no caso a mesma folha/ dividi no mesmo cinco pedaços/ olha/
peguei outra filha do mesmo tamanho (mostra a folha) dividi nos mesmos cinco pedaços/ só que agora em vez de
pegar dois/ eu peguei quantos ?
A: três↑
P: três↑bom/ então para mim aqui é fácil/ comparar essas duas por que ?
porque os denominadores são iguais/ esse pedaço é igual a esse pedaço/ né/ certo ?
A : (Manuela? *) certo !
P: se aqui eu dividi em cinco e peguei dois/ aqui eu dividi em cinco e peguei três/ aonde que eu peguei mais ? aonde
que é maior a quantidade? (mostra colocando as folhas dobradas no quadro).
A: três.
P: neste caso↑ então quando os denominadores são iguais/ na verdade/ basta eu olhar quem?
A* O maior !
P: O numerador↑ o que tiver maior numerador/ certo/ o que tiver maior numerador vai ser a maior fração/ porque os
denominadores são iguais// eu dividi na mesma quantidade de partes/ peguei três e peguei dois/ três é maior do que
dois/ logo/ 3/5 é maior que 2/5/ isso vocês fizeram/ a gente viu/ isso é fácil de fazer/ certo? qual foi nosso problema ?
Se eu quisesse comparar duas frações que não são/ que não tem o mesmo denominador/ aí vai ficar difícil/ o desenho
não vai me ajudar/ lembra que eu fiz para vocês ? por exemplo/ se eu quisesse comparar aqui// agora↑ ¾ e 5/6
(escreve no quadro, uma ao lado da outra)// quero comparar ¾ com 5/6 / então a situação é↑ eu poderia tentar fazer
do mesmo jeito que eu fiz essa/ eu tenho um inteiro↓ por exemplo/ uma folha de papel/ um chocolate/ seja o que for/
peguei o inteiro e dividi em quatro partes/ olha↑ um dois três quarto /(faz o desenho de um retângulo e divide em
quatro partes, a última parte é bem maior que as outras)
A: não tá igual
P: tá vendo como o desenho não é muito bom ? não tá igual↑ realmente↑ como eu não tenho nem régua/ esse
pedação tá maior/ né ? ( tenta corrigir o desenho no quadro,
vários alunos comentam ao mesmo tempo que ainda não está igual)
P: mais ou menos/ né / mais ou menos? peguei quantos aqui ?
A* três!
P: aí eu peguei o mesmo inteiro/ do mesmo tamanho/ (desenha outro retângulo, longe do primeiro e tenta
aproximar o tamanho)
A* dividi em cinco!
P: dividi em?
A: seis !
P: seis. Um dois três quatro cinco/ seis/ e agora peguei ?
A: cinco!
302
P:cinco partes/ (vai contando as partes) mesmo que eu colocasse um embaixo do outro aqui/ como a gente tava
acostumado a fazer/ ia ser difícil de eu decidir onde eu tenho mais e onde eu tenho menos// por que vai ficar difícil?
A: porque o desenho (a aluna tenta explicar)
P: é/ além do meu desenho não ser perfeito/ os tamanhos eu sei que não são os mesmos/ Ademir/ ó/ eu tenho um
pedaço de papel aqui/ se eu dividir ele em quatro pedaços/ ó/ dividi ele no meio/ dois/ dividi em quatro/ cada
pedacinho é desse tamanho/ (vai dividindo e mostrando a folha de papel) eu tinha um inteiro/ dividi em quatro/ cada
pedacinho ficou assim/ se eu pego o mesmo inteiro/ e divido em seis partes/ e divido em seis partes/ cada pedacinho
vai ficar de que tamanho? vai ficar menor/ vai ficar menor/ confere ? Vou pegar outra folha do mesmo tamanho aqui/
vou dividir em seis/ (tenta dividir na mão)/olha/ dividi em seis↑
(interrompe para chamar atenção de alguns alunos, pede silêncio)
P:dividi em seis partes↑ cada pedacinho é menor do que aquele ali/ claro/ né? em quanto mais pedaços eu dividir/
menor vai ficar / se eu dividir em vinte pedaços/ vai ser assim (mostra com a mão)/ se eu dividir em cem/ vai ser
assim/ bem pequenininho (mostra com a mão)/ quanto mais pedaços eu dividir o mesmo inteiro/ menor vai ser cada
pedaço/ então qual que é minha dificuldade/ aqui? Ademir↑ se fosse um pedacinho só/ se fosse um pedaço só/ esse
pedaço aqui (...)
P: voltando aqui//eu quero comparar essas duas frações/ não estou conseguindo/
A: o maior é o três/ seis↑
P: não sei↑não estou conseguindo/ porque os pedaços são diferentes/ tá vendo/ ó/ olha o tamanho desse daqui/ é
maior do que um desses/ um desses daqui/ claro↑ aqui eu dividi em quatro/ aqui eu dividi em seis/ novamente↑
quanto mais eu dividir/ menor o pedaço/ qual que é minha dúvida? minha dúvida é: será que esses três pedaços aqui
é maior/ menor ou igual a esses cinco pedaços aqui ? (mostra no desenho do quadro)
A: Maior
A: É menor.
P: A resposta é não sei↑(vários alunos falam ao mesmo tempo, discutem entre si)o desenho não é bom/ a gente vai
descobrir uma maneira/ eu não to conseguindo descobrir por que? por que o desenho não serve para isso↑ o meu
desenho não é perfeito↓ esse tamanho não é exatamente igual aqui/ então fica difícil/ por isso a gente aprendeu o
que ? o que que a gente aprendeu na semana passada ? frações o que?
A: Fração....
A: Fração
A: equivalente↑
P: fração equivalente! então a fração equivalente vai me ajudar aqui a resolver esse problema/ o que que era uma
fração equivalente ? Bruna ? O que que era uma fração equivalente?
P: lembra ? tem no caderno de vocês↑ o que que significa? (alguns alunos procuram no caderno).
A: não sei
(o professor espera um pouco)
P: lembra que eu fiz um desenho para vocês/ mostrei com a folha↑ ó lá↑tenho um inteiro (...) dividi em dois pedaços/
(mostra a folha) tem uma folha aqui/ dividi ela em dois pedaços/ dividi ela no meio/ fiz esse desenho para vocês/
peguei a mesma e dividi agora em quatro pedaços/ olha os quatro pedacinhos aqui/ a mesma folha/ lembra?
A* o outro é maior porque a folha é maior
P: não/ vamos ver ó/ nessa daqui peguei dois/ reparem no seguinte/ Ademir↑esses dois pedacinhos de folha que eu
peguei/ esses dois pedacinhos que eu peguei aqui/ esses dois pedaços/ se eu juntar esses dois pedaços/ vai dar
exatamente/ essa é uma metade aqui/ olha a metade aqui/ tá vendo a metade aqui ? (coloca as duas folhas sobre o
quadro para mostrar) cinco minutos↑pessoal/ eu já passo exercícios para vocês fazerem/ por favor/ presta atenção/
dividi em dois pedaços e peguei um.
(interrompe, chama a atenção dos alunos, volta a pedir por favor)
P: ó/ esse um pedaço e esses dois aqui/ a hora que eu junto esses dois pedaços / dão exatamente esse um pedaço/ ou
seja/ eles são? eqivalentes↑ é a mesma coisa eu pedir para vocês/ me dá metade de um pedaço só/ me dá a metade de
um chocolate ou me dá dois quartos/ vou ganhar que quantidade? a mesma quantidade↑
A* mas o outro é menor↑
P: não/ cada pedacinho aqui é menor/ mas esses dois pedaços juntos são iguais a esses daqui/ lembram ? (mostra de
novo) esses dois pedaços aqui juntos/ é igual a esse um pedaço daqui// eles equivalem/ eles representam a mesma
quantidade.
(chama a atenção de vários alunos, pede a colaboração da classe, pede silêncio)
P: frações equivalentes representam a mesma quantidade/ só existem essas duas? Não↑ a gente fez um monte/
lembra? Existem quantas aqui?
A:* várias↑
P: quantas eu quiser/ infinitas/ correto ?
A* correto.
P: bom/ o desenho aqui não é muito bom aqui para mim conseguir / eu fiz uma conta/ que conta eu fiz para conseguir
descobrir as frações/ hein? que conta que eu fiz para conseguir as frações equivalentes?
A: aquela continha lá que tem que fazer/ vezes 1/ vezes 2/ vezes 3/ vezes 4.. .Emanuela
P: isso/ então ao invés de eu fazer o desenho/ o que que eu faço ?
A: multiplica!
P: multiplica em cima e embaixo pelo mesmo numero/ lembra ? eu tinha um sobre dois (escreve a fração no
quadro)/ eu vi que é igual a quanto ali?
A: a um/ dois/ três/ quatro
P: ó↑ por quanto eu multipliquei o um para chegar no dois ?
303
A: por um ?
P: dois↑ó/ multipliquei o de cima por dois/ tenho que multiplicar o debaixo por quanto ?
A* dois !
P: precisa ser o dois ?
A* não !
P: eu posso escolher qualquer numero/ correto? Qual é a vantagem de eu fazer numa ordem ? olha quem vai
aparecer aqui em cima/ ó/ pessoal↑ eu multipliquei pelo dois/ e se eu multiplicasse pelo 3?/1 vezes 3 ?
A: 3
P: duas vezes 3? (escreve vezes 2 no quadro, acrescenta vezes 3 e aguarda o resultado)
A: oito↑
A: seis↑
A: oito↑
(o professor anota o seis)
P: pelo quatro? (escreve o oito no quadro e coloca três pontos para indicar que poderia continuar a lista de frações)
P: e assim vai/ olha a vantagem↑ aparece a tabuada aqui// dois vezes dois/ quatro/ vezes 3/ vezes 4/ vezes 5/ quem
seria o próximo aqui ? Olha/ 2/ 4/ 6/ 8/.....
A: nove↑
P: oito ?
A: dez!
P : tabuada do dois/ Emanuel↑ 2/ 4/ 6/ 8?
A: (vários em coro) dez↑ doze/ quatorze
P: um dois três quatro/ então ó/ eu tô conseguindo fazer uma lista de frações equivalentes/ eu vou fazer a mesma
coisa em relação às frações/ não foi o que eu pedi para vocês? O que eu pedi para vocês fazerem é a lista das frações/
A: eu fiz↑
A: vocês fizeram quantas ? três de cada uma ?
A: uma
A: eu fiz três
P: lembra que eu pedi para vocês acharem três frações equivalentes de cada uma/ dessas duas aqui/ achou Ademir?
A : o que?
A: frações equivalentes/ eu pedi para vocês acharem três frações equivalentes (...)
A: eu fiz /professor↑
(vários falam ao mesmo tempo, o professor caminha pela classe para olhar os cadernos).
P: eu quero fazer com essas aqui/ ó/ então/ ó// qual que é a primeira aqui ? (vai mostrando no quadro)
A: Dois↑
A: a próxima?
A: 3/ 6/ 9/ 12 Bruna
P: a próxima?
A: professor↑o senhor tá explicando coisa que eu não to captando
P: eu multipliquei a primeira por dois/ a outra por três/ tô seguindo uma ordem/ a outra por quanto? Por 4// de novo↑
precisa ser essa ordem?
A : não! (em coro)
P : eu só faço essa ordem porque é mais fácil/ por dois/ por três/ por 4/ olha quem aparece em cima↑a tabuada do
3 // 3/ 6/ 9/ 12/ 15/ tá vendo? e assim continua/ quem vai aparecer em baixo?
A*: vinte/
P: 4/ 8/ 12/ 16/ 20/ e assim vai/ pode ser qualquer numero// poderia ser qualquer numero↑
(interrompe e vai até a carteira falar com dois alunos)
P: fiz uma lista de frações equivalentes a 3/4/ vou fazer a mesma coisa com cinco sobre seis/ (anota a fração no
quadro) qual que vai ser a primeira aqui ? Vou multiplicar por dois/ cinco vezes dois?
A : dez↑
P: Ademir/ seis vezes dois?
A: doze↑
P: agora multiplica por 3/ 5 vezes 3 ?
A : 15
P : 6 vezes 3 ?
A : 18
A : A próxima ?
A : 15/
A: é a tabuada/ 5/ 10/ 15/ 20/ 25/(vai completando os numeradores da lista) / 6/ 12/ 18 (aponta o denominador e vai
completando)/ e assim continua// correto? eu poderia achar várias aí/ pra que que eu fiz isso ?
A: para ter o denominador comum (Bruna)
P: isso↑ eu só si resolver quando o denominador é igual/ por que ? Porque daí eles tem o mesmo tamanho/ correto?
por que que eu estou tendo dificuldade aqui ? por que o tamanho é ?// diferente ↑ Eu gostaria que eu que eu achasse
duas outras frações que tivessem o que?
A: o denominador...
P: o denominador o que ?
A: igual
304
P: igual ↑porque daí eu sei comparar/ dai é fácil/ bom↑ ¾ ‘e igual a todas essas/ / olha/ Felipe/ tanto faz escrever ¾/
6 sobre 8/ 9 sobre 12/ tanto faz// tudo bem ? vamos ver/ (se dirige a um aluno, o Felipe) você entende isso? frações
equivalentes representam a mesma quantidade/ Felipe/ eu tinha um inteiro/ dividi em seis partes e peguei 5/ eu posso
pegar o mesmo inteiro/ dividir em 12/ e pegar dez/ que vai ser a mesma quantidade/ no final das contas/ vai ser a
mesma quantidade/
P: Felipe/ já vamos ver ali/ tudo bem aqui? Equivalente/ equivalente/ ou seja/ eu quero comparar essas duas, não
quero?/ eu tó conseguindo comparar? (ninguém responde) to conseguindo comparar as duas ?
P- não/ por que? porque o denominador é ???
A: diferente↑
A: então eu vou procurar nesta lista outras duas que tenham o mesmo denominador / correto ?
A: 0 12↑
P- O 12↑ o 12 é uma↑ tem o 12 aqui e tem o 12 aqui // olha a vantagem↑3 sobre 4 é igual a o que? 9 sobre 12 / então
3 sobre 4 é igual a 9 sobre 12
A- mas pode pegar qualquer coisa porque vai dar no mesmo↓ (Emanuela)
P- Não↑ qualquer coisa não↑ se eu pegasse esse e esse/ eu ia conseguir comparar? se eu pegasse essas duas/ essa e
essa/ ia me ajudar ? (aponta duas no quadro, uma em cada lista de frações equivalentes)
A: não
P: por que ?
A: por que é diferente?
P: porque o denominador é diferente↑eu até posso pegar qualquer uma/ mas não é qualquer uma que vai me ajudar/
vai me ajudar aquela que tiver o mesmo denominador/ por isso que eu procuro ela/ essa e essa (marca as duas que
têm denominador 12)
A : e se demorar muito?
P: é/ a gente vai aprender um outro jeito mais rápido/ então eu achei ali/ 10 sobre 12/ olha a vantagem↑ essas duas eu
não conseguia comparar porque é diferente/ agora essas duas eu consigo comparar? dividi em 12 e peguei 9/ dividi
em 12 e peguei 10/ qual que é a maior quantidade?
A : é 12
A: doze é maior
P: Como esse é maior do que esse e esses dois são iguais/ cinco sobre seis é maior que três sobre quatro/ agora
reparem↑ não é porque cinco é maior que três/ ou porque 6 é maior do que 4/ não é isso↑ eu tive que procurar numa
lista/ denominadores iguais para comparar o numerador/ então tem que fazer isso// vocês acharam os três pelo
menos ali que eu tinha pedido ?
A: achei 4
P: achou/ Bru ? A Ana eu vi que achou/ tu fez/ Marina ?
A : eu não fiz nada (Ademir)
A: eu fiz/ professor
A : eu também fiz, professor↑
P: o que a gente vai ver na próxima aula/ talvez não dê tempo agora/ é// uma outra maneira de achar essas frações/
porque não tá demorado aqui?
A- Não↑
P- eu to fazendo uma lista↓ outra lista↓ para procurar/ será que não tem outro jeito de achar// essas duas frações
aqui / sem fazer essa lista?
A: acho que tem
P: alguém tem alguma idéia ? tem alguma idéia/ Leonardo?
A: não
A : o professor sabe↓
A: tabuada
P: tabuada? tabuada de que ?
P: aqui eu fiz a tabuada para me ajudar a achar as frações equivalentes/ minha duvida/ é / minha dúvida é/ será que
tem outro jeito de eu achar essa fração e essa fração sem fazer uma lista enorme aqui//e ficar procurando↓↓
A : tem
P : esse é um jeito/ funciona? funciona/ só não é muito prático/ mas funciona/ vou conseguir comparar essas
frações ? vou↑ eu gostaria de achar um jeito que fosse mais rápido/ mais pratico// a gente vai ver↑ tem a ver com o
que a gente aprendeu lá na outra aula/ lembra que a gente aprendeu divisores/ divisor comum/ lembra? múltiplo/
múltiplo comum/ lembra?a gente vai utilizar aquele conhecimento lá/ para achar um jeito mais fácil de resolver essas
duas frações (...)
P: pessoal↑ eu vou colocar outras duas frações / eu quero que vocês tentem fazer/ pelo menos uma vez/ desse jeito/
Jair/ Ademir/ copia aqui duas frações↑
A: já copiei↑
P: não↑eu vou colocar outra/ ó/ exercícios/ para vocês fazerem amanhã/ faz primeiro uma vez desse jeito/ depois eu
vou ensinar outro jeito que é mais fácil (...)
P: olha lá/ Felipe↑ essas duas por exemplo/ um sobre dois/ e dois sobre três/ (escreve no quadro) eu quero saber
quem é maior// novamente// pelo desenho não me ajuda/ por que ? por que eu dividi em partes diferentes/ o que que
eu tenho que fazer ? Até já tem feito/ olha/ pega a primeira fração/ um sobre dois e acha algumas frações equivalentes
a ela/ pega a outra fração/ dois sobre três/ e acha algumas frações equivalentes a ela/ e daí vai procurar um
denominador igual/ que vai me facilitar a resolver a conta // certo ? (...) eu quero aqui e aqui/ sejam o mesmo número/
para eu poder comparar/ do jeito que está eu não sei comparar/ então escreve aqui a fração e acha as equivalentes a
305
ela/ escreve outra aqui/ acha frações equivalentes a ela/ e aí procura o denominador/ embaixo/ que seja igual
(escreve no quadro uma fração ao lado da outra e coloca os sinais de igual para cada uma delas, circula onde
deverão estar os denominadores)
A: vou fazer o desenho/ é mais fácil↑
P: pode até fazer o desenho/ mas o desenho não me ajuda/ quando o denominador for igual ajuda/ me ajuda/ mas
aqui é diferente/ o desenho não é perfeito/ eu vou ficar na duvida↑ pode ate fazer o desenho/ mas você vai ver que
não vai me ajudar muito/ eu tenho que ter certeza/ olha/ através da conta/ dos números/ eu tenho certeza↑
(o professor caminha pela classe, discute com alguns alunos, relembra as regras de convívio, alguns alunos vem
perguntar dúvidas, mostram o caderno)
Comentários após a aula:
O professor constata que os alunos ficaram muito agitados, percebe que eles ainda não compreenderam bem a noção
de equivalência, mesmo se o professor mostrou várias vezes com a folha. Conclui que talvez seja melhor voltar neste
conceito antes de avançar para o mmc entre as frações.
Aula 2
15/06/2008
P: boa tarde, pessoal↑hoje a gente vai fazer uma atividade diferente↑
A: matéria nova?
P: não/ não é matéria nova↑ a gente vai continuar com aquele assunto/ ali/ lembra que na aula passada a gente
conversou↑ quando a gente tava fazendo aquele exercício/ para achar as frações equivalentes↓então a gente percebeu
que algumas pessoas ainda estavam com dificuldade com aquilo ali/ então hoje a gente vai fazer uma atividade/ para
tentar reforçar essa idéia de fração equivalente/ que é o mais difícil/ que é o mais importante/ tanto para comparar as
frações como// na semana que vem/ que a gente vai começar a fazer operações/ a gente vai aprender a somar e a
subtrair/ a gente vai ter que usar/ essa idéia de fração equivalente/ essa idéia é que vai ajudar a gente a conseguir fazer
as contas/ então essa idéia que é importante agora// tá? Então eu ia pedir para vocês sentarem/ de dois em dois/ sem
arrastar muito a carteira
A: eu não quero
P: quem não quiser senta sozinho
(o professor organiza a classe, distribui os livros para os alunos e diz a página, p.151)
P: abre o livro ali na página 151 (...) deu? página 151?// então repara aí/ olha o que o livro traz↑vamos lá? o assunto
que o livro traz aí/ é exatamente comparação de fração/ ele quer comparar números fracionários// que é o que a gente
estava estudando// então ele traz exemplos/ o exemplo que ele traz/ o primeiro// é de um inteiro redondo/ eu posso
imaginar como se fosse uma// uma pizza/ acompanha em cima/ aqui (aponta no livro de um aluno) / o primeiro
desenho/ ele faz um desenho sem divisão nenhuma/ que é o próprio inteiro/ correto? então esse é o inteiro↑ então ele
mostra que esse inteiro// ele pode dividir/ em quantos pedaços ele a quiser/ ele começa a dividir em dois pedaços/
depois três/ depois quatro/ cinco/ em seis/ certo? acompanha aí↑O amarelo ele dividiu em quantos pedaços?
A: dois↑ (em coro)
P: depois dividiu em três/ depois dividiu em quatro/ em cinco/ em seis/ certo?
A: em oito e em dez
(o professor percebe que alguns alunos não estão acompanhando no livro)
P: tá vendo? do lado esquerdo tem até uma pizza ali de verdade/ mas eu tô do outro lado// ali em cima/ nos coloridos
aí/ ta vendo? em cima da página↑ então o que a gente repara nesse primeiro desenho é// eu posso fazer a divisão do
inteiro em quantas partes eu quiser/ e claro↑ cada vez que eu divido/ quanto mais partes eu divido o inteiro/ por
exemplo/ eu tenho esse inteiro/ dividiu em duas partes/ que é a figura amarela aí/ correto? Lembram? o denominador
é em quantas partes eu dividi// por isso o denominador é dois↑ eu dividi em duas partes/ se eu tivesse selecionado
uma// né?/ essa uma parte que eu selecionei seria o numerador// cada metade dessa é um meio/ por isso que ele
escreve aqui/ dentro da figura// aqui é um meio/ a metade/ aqui é outro meio/ a outra metade// certo? Depois ele vai
fazendo várias divisões/ eu não vou fazer todas/ vocês acompanham no livro/ vou fazer mais uma aqui/ em vez de
dois ele divide em quatro/ então novamente// aqui eu tenho um pedacinho/ dos quatro/ aqui eu tenho outro pedaço dos
quatro/ aqui outro/ (vai mostrando as figuras do livro para a classe) e aqui outro/ então claro↑ em quantos mais
pedaços eu dividir o inteiro/ menor vai ser// cada pedaço/ eu tinha um inteiro/ tenho o mesmo inteiro/ né? Certo? do
mesmo tamanho/ como se eu tivesse comido duas pizzas/ uma eu dividi na metade/ uma eu dividi na metade/ olha o
tamanho do pedaço aqui/ a outra/ eu dividi em quatro pedaços/ eu tinha um inteiro↓ dividi agora em quatro
pedaços// olha o tamanho do pedacinho aqui↑ olha o tamanho desse pedaço↑de um pedaço↑ menor do que esse aqui/
correto? Então o que a gente percebe é// quando ele foi divido em mais pedaços/ cada pedacinho ficou?
A: menor↑
P: menor↑ então os tamanhos são?
A: menores
P: são menores↑ são diferentes↑ correto? ó↑ esse tamanho/ é diferente de um tamanhinho desse/ que é diferente do
que ele dividiu em cinco/ que é diferente do de seis/ do de dez/ então quanto mais pedaços ele dividir/ menor o
pedaço/ correto?
A: correto↑
A: correto
P: a primeira coisa que ele vai comparar ali/ logo embaixo/ nas frações que ele mostra/ é exatamente isso↑ a
comparação entre cada um pedacinho desses/ isso o que é fácil/ né? ele queria saber// se eu tenho um inteiro// dividi
na metade// tenho esse pedaço// peguei o mesmo inteiro/ dividi em quatro quartos agora/ tenho esse pedacinho// esse
306
pedaço é maior do que esse/ certo? (...) tudo bem aqui? Esse pedaço é menor do que esse então/ então se eu quisesse
comparar as frações com um pedacinho de cada não seria tão difícil// né? porque é só ver↓ se eu dividir em poucos
pedaços/ o pedaço é maior↑ se eu dividir em muitos pedaços/ claro↑ o pedaço é menor/ quanto mais pedaços eu
dividir menor é/ qual que tava sendo minha dificuldade de comparar? era quando os denominadores eram diferentes/
lembra? E eu não pegava um pedacinho de cada↑ eu pegava //tamanhos diferentes/ dividi em quatro e peguei três/
dividi em cinco e peguei dois/ aí começava a complicar para mim/ porque um pedacinho eu conseguia comparar/
certo?
A: professor↑
P: fala↑
A: tem que fazer as frações equivalentes até achar o denominador igual/ né?
P: é/ isso a gente vai ver↑ isso a gente vai perceber↑ porque quando o denominador é diferente/ se eu quero comparar
um pedacinho só não é difícil/ um pedaço desse com um pedaço desse/ eu sei quem é maior/ esse daqui/ né?/ um
pedacinho// a minha dificuldade é// quando eu começo a pegar mais de um pedaço/ dois/ três pedaços/ quatro/ cinco
pedaços/ aí começa a ficar difícil decidir/ quem é maior quem é menor// pela figura// aí é como se dividisse/ vai
começar a entrar//a questão das frações equivalentes/ olha/ então virem a página/ página 152/ lá em cima/
novamente/ ele tem ali a pizza/ ele faz o redondinho/ olha em cima/ ele pegou o primeiro/ dividiu na metade/ tá
vendo? fez o amarelo/ então ele dividiu em dois e pegou um pedaço/ um sobre dois/ na outra/ ele dividiu em quatro/
só que ele pegou dois pedaços/ então ele tem dois quartos/ na outra/ ele dividiu em seis/ e pegou três/ na outra ele
dividiu em quatro/ pegou oito/ e assim vai/ ou seja// ele tá dividindo esse inteiro em pedaços diferentes/ mas em
compensação/ ele está pegando quantidades diferentes também/ ó/ no primeiro ele pegou um pedaço/ no outro dois/
no outro três/ no outro quatro/ no outro cinco/ olhando a figura/ vocês reparam o que? No final das contas/ né? tem
alguma diferença/ desta primeira para a última? do amarelo para o cinza/ na quantidade total que ele pegou?
A: tem↑
P: Na quantidade total?
A: ele dividiu em mais pedacinhos e pegou mais pedaços
P: isso↑ na última lá/ são pequenos pedacinhos/ então com certeza um pedacinho daqueles / é menor do que um
pedação do primeiro/ agora// eu não peguei um pedaço do último/ quantos pedaços eu peguei do último?
A: cinco↑
P: cinco↑ esses cinco pedaços que eu peguei do último/ não são equivalentes ao primeiro pedaço que eu peguei ali?
A: sim↑
P: todos eles são/ tá vendo?/ todos eles representam/ a mesma quantidade do inteiro/ né/ certo? Então lembrando o
que eu escrevi aqui para vocês/ já vamos passar para uma atividade/ lê alguém para mim/ na página 153↑
A: Eu↑
P: pode ler↑ Felipe/ essa parte que está em amarelo/ ta vendo? pessoal/ presta atenção na fala do Felipe/
A: (lendo) “as partes que representam a mesma parte são chamadas de frações equivalentes”
P: tá vendo? aí ele dá dando uma definição que eu já tinha passado para vocês com outras palavras/ mas resumindo é
o que ele tá dizendo/ duas ou mais frações é o que ele mostra na figura aqui na página 152 em cima↑ ele mostra cinco
frações que representam a mesma fração do inteiro/ tanto um meio quanto dois quartos/ três sextos/ quatro oitavos/
cinco décimos/ representam a mesma quantidade do inteiro/ então essas frações são? Equivalentes↑ é o que ele está
dizendo ali de frações equivalentes// o que a gente vai fazer é o seguinte// na página 153 tem dois casos aqui que eles
estão mostrando/ eles estão mostrando aqui novamente frações equivalentes// então a gente vai observar aqui/ e aí eu
vou passar uns papéis aqui que eu preparei para vocês/ e o que eu vou querer que vocês façam vai ser/ o seguinte/
presta atenção// eu fiz uns papeizinhos aqui/ ó pessoal/ presta atenção/ eu dividi aqui um pedaço em dois/ tem um
pedaço aqui e um pedaço aqui/ que são iguais/ esse pedaço é igual a esse
A*: na mesma folha?
(mostra para a classe uma folha com dois retângulos iguais, um ao lado do outro porque identifica que os alunos
não identificam os dois inteiros)
P: olha/ esse pedaço é igual a esse/ eu to dizendo do inteiro↑ o papelzinho ta pequeno/ eu vou fazer aqui no quadro/
para vocês visualizarem/ eu tenho aqui/ eu tinha/ é que eu deixei um coladinho no outro/ mas é como se fossem dois
inteiros/ eu dividi aqui/ não é um inteiro dividido em dois↑ é que ele tá juntinho↑
A: é que são dois↑
P: eu até podia ter feito separado/ é como se eu tivesse feito assim (desenha os dois retângulos no quadro) um aqui//
e outro aqui// ó/ esse é um inteiro e esse é outro inteiro/ ok? Só que no meu desenho/ para economizar/ o lápis/ aqui /
eu fiz olha/ esse é um inteiro e esse é um outro inteiro/ o que que vai acontecer? Eu dividi eles diferente/ por
exemplo/ esse aqui eu dividi ele aqui na metade/ e esse aqui eu dividi assim ó/ uma duas três quatro partes/ o
papelzinho que vocês vão receber vai ser o seguinte// de um lado eu preenchi/ de um lado eu fiz/ por exemplo/
cheguei aqui/ peguei esse aqui/ esse eu fiz/ e escrevi a fração ali/ um sobre dois/
(o professor discute com alguns alunos que têm dúvida; alguém entra na sala para fazer a chamada, enquanto isso o
professor distribui os papeizinhos)
P: ó/ pessoal/ vamos tentar entender a atividade↑cada um de vocês recebeu/ eles são diferentes/ tá? Vocês receberam
papeizinhos diferentes/ então de novo↑ voltando↑ eu tenho dois inteiros aqui/ um do lado do outro/ correto? De um
dos dois lados/ ou desse ou desse (mostra o seu papelzinho) eu fiz a fração↑
A: o meu tá diferente
P: diferente do que? Sim↑ eu to dando só um exemplo/ pessoal↑ pode ser que algum aí seja parecido ou igual ao
meu/ mas a maioria é diferente/ cada um ganhou um diferente/ ó/ então aqui eu dividi em dois/ dividi em dois/ e
peguei um/ o que que eu quero que vocês façam? Eu quero que vocês façam isso// do outro lado aqui/ vocês vão fazer
a fração que seja equivalente à fração que eu dei/ ou seja/ vocês tem que ver em quantas partes foi dividido aqui /e
307
quantas partes eu vou ter que pegar desse daqui para ser a mesma coisa ali/ para ser a mesma quantidade do inteiro/
vamos supor que fosse essas bolinhas aqui/
(vários alunos falam ao mesmo tempo, o professor passa pelas duplas, explica, chama a atenção de alguns que
conversam)
P: pessoal/ aqui/ dois minutinhos/ de novo/ presta atenção/ eu vou explicar aqui↑ eu dei um inteiro/ dividi em dois
pedaços/ peguei um aqui/ então esse/ essa fração que eu peguei corresponde a um sobre dois/ mas aí vocês têm um
outro inteiro/ do outro lado/ ta vendo?/ que eu já dividi num número x de partes/ pode ser dois/ quatro/ oito/ doze/
não sei↑ o que eu quero que vocês tentem fazer é isso// quantos pedaços desse daqui eu vou ter que pegar para ser
equivalente a esse?
A: um↑
P: será que se eu pegar um pedacinho desse daqui/ vai ser equivalente?
A: não↑
P: ou seja/ um pedacinho desse daqui/ corresponde à mesma quantidade desse inteiro aqui?
A: não↑
P: se eu pegasse três pedaços desse daqui/ ia corresponder à mesma coisa?
A: não
P: então eu quero que vocês descubram quantos pedaços eu tenho que pegar/ no caso aqui/eu tenho que pegar
quantos?
A: dois
P: dois↑ se eu pegar dois pedaços aqui/ vai ser equivalente/ então vocês risquem nos papeizinhos de vocês e
escrevam a fração do lado/ é para riscar quantos tiver que riscar/ eu quero que elas sejam iguais↑ se eu riscar um
aqui / vai ser igual?
A: não↑
P: se eu riscar dois?
A: vai ↑
P: se eu riscasse três?
A: não↑
P: quatro?
A: não↑
P: não↑então vai ter uma quantidade// que se eu vir aqui e riscar/ vai ficar igual/ correto? Então vocês têm que olhar
no seu aí e verificar/ eu não sei se tem que riscar um/ dois/ três/ você que tem que ver/ através do desenho/ eu quero
que um lado fique igual ao outro/ eu quero que os dois lados representem a mesma quantidade do inteiro
(o professor passa pelos alunos, vai explicando individualmente: em quantos está dividido e quanto tem que pegar
para ser igual)
P: Então/ cada um já fez o seu?
(o professor continua explicando individualmente)
P: Já fizeram? Agora troca/ troca com o seu vizinho
P: Trocaram?
A: trocamos↑
P: agora confere/ Vê se o seu colega fez certo/ o que que vocês acham? eu vou deixar vocês ficarem com isso daí/
pode ficar/ eu só quero que vocês passem para o colega e vejam se o colega fez certo
(os alunos conversam, o professor organiza a atividade, explica novamente)
P: fizeram/ pessoal? trocaram? viram? O colega fez certo?
(o professor passa pela classe, verificando se todos fizeram e trocaram)
P: então guardem o papelzinho/ quem quer colar no caderno/ pode colar (...) vamo lá? (...)voltando (...)
pessoal↑continuando// eu pedi para vocês sentarem do lado para fazer a atividade/ vocês vão ficar conversando/ não
vai dar certo (...) pessoal↑ continuando// então a gente viu / que a gente consegue descobrir as frações equivalentes aí/
olhando/ quando eu coloco a figura uma ao lado da outra/ ou uma embaixo da outra/ se eu pegar a mesma quantidade
ali/ eu acabo descobrindo uma fração equivalente/ só que aí vai aparecer um problema/ ó/ vamos supor que eu tenho
um inteiro aqui (desenha um retângulo no quadro) (...) vou dividir num número aqui de partes/ por exemplo/ cinco/
dividi em cinco partes/ correto? como eu já falei/ vocês têm o exemplo do livro aí/ meu desenho no quadro não é
perfeito/ eu não tô fazendo com régua/ mas vamos supor/ eu dividi em cinco partes/ aí peguei uma parte aqui/ olha o
tamanho que ela é↑ é essa daqui↑ eu dividi em cinco/ peguei uma↑ um sobre cinco↑
(chama a atenção de alguns alunos)
P: agora↑se eu fizesse aqui/ se eu começasse a mexer nesse desenho/ se eu vou começar a dividir esse pedaço em
outros tamanhos/ eu vou conseguir achar outras frações equivalentes/ é o que ele faz ali nos dois casos/ volta ali/ na
página 153/ esses dois primeiros casos/ acompanhem no livro por favor↑ eu estou fazendo um exemplo diferente↑
(uma aluna cai da cadeira, todos riem, o professor aguarda)
P: vamos lá↑ se eu pegasse aqui e dividisse no meio/ no meio aqui(...) eu tinha cinco pedaços antes/ olha/ um dois
três quatro cinco/ agora eu tenho?
A: dez↑
P: dez pedaços/ né↑ um dois três quatro cinco seis sete oito nove dez/ tenho dez pedaços/ dividi em dez pedaços/
esse um pedaço que eu tinha antes/ quantos pedaços ficaram agora?
A: dois↑
A: dez
P: dois↑(corrigindo o aluno) está vendo? Dois sobre dez↑ tá vendo? eu não deixei na figura/ eu dividi em partes
diferentes e eu continuei com a mesma quantidade do inteiro que eu tinha/
308
(interrompe para discutir com um aluno)
P: não está dando certo essas duplas (...) por favor↑então eu dividi em dois e consegui/ correto? Se eu não tivesse
dividido em dois/ tivesse dividido em três agora/ aqui ó/ em vez de cinco pedaços que eu tinha/ agora eu tenho
quinze/ olha/ (vai apontando cada pedaço e contando) um dois três quatro cinco seis sete oito nove dez onze doze
treze quatorze quinze/ agora eu tenho quinze pedaços/ eu to fazendo assim/ ó/ eu comecei com cinco pedaços e tinha
um aqui/ correto? Um quinto↑eu estou dizendo que// se eu começar a mexer nessa figura/ se eu começar a dividir ela
em pedaços diferentes/ eu vou começar a achar outras frações/ tinha cinco/ eu dividi no meio/ eu fiquei com dez/
aquele um pedaço que eu tinha/ eu fiquei com dois/ agora eu dividi em três/ Felipe↑ três/ ó/ então eu fiquei com
quinze pedaços/ aquele um pedaço que eu tinha/ agora são quantos pedaços?
A: três/ professor↑
P: um dois três/ olha/ viraram três↑e assim eu poderia continuar↑é o que o exemplo faz aí/ na página 153/ ta vendo?
olha o quadro dois↑ o quadro dois/↑ olha de baixo para cima↑ acompanhando aí por favor/ Monique↑
A: um meio/ dois quartos
P: tinha um meio/ está vendo? Aí ele dividiu no meio/ passou uma linha/ passou a ter quatro pedaços/ aquele um
pedaço que ele tinha/ viraram?
A: dois↑
P: dois↑ depois em vez de passar uma linha/ ele passou duas linhas/ dividiu em? seis pedaços↑ só que aquele pedaço
que ele pegou/ agora/ que era um/ ficaram quantos?
A: três↑
P: três↑ mas no final das contas/ pelo desenho do livro/ que é mais bonito// olha a quantidade que ele continua/ ele
continua com a mesma/?
A: quantidade↑
P: com a mesma quantidade↑ então estas frações são frações?
A: equivalentes
P: equivalentes↑elas representam a mesma quantidade do inteiro/ o que eu tava trabalhando com vocês na aula
passada é isso daqui/ ó/ na página 153 embaixo/ ta aí//uma propriedade importante↑ lê para mim aí de novo/ por
favor/ Felipe↑embaixo/ página 153/embaixo
A: eu quero ler/ professor↑
P: então lê, Stefani↑
A: (lendo do livro) ‘uma propriedade importante
P: tá vendo o que ele ta fazendo? Ele primeiro fez o desenho/ que a gente mostrou/ a gente viu que funciona/ só que
daí ele mostra uma propriedade/ que é qual? eu consigo achar essas frações equivalentes sem ter que fazer o desenho/
porque vamos supor que eu quisesse continuar aqui/ eu quero continuar↑ vai ter que chegar uma hora/ que eu vou ter
que dividir isso daqui/ em pedaços muito pequenos/ né/ ó/
A Felipe: eu não lembrava disso/ que falava avos/ eu não lembrava mais
P: avos↑depois do dez/ é ‘avos’/ onze avos/ doze avos/ né? então a propriedade vem para ajudar a gente/ a achar
frações equivalentes/ sem ter que fazer o desenho/ correto? Então o que que eu pedi para vocês na última aula? eu
dava uma fração// e vocês tinham que achar? outras frações equivalentes a ela/ só que vocês não faziam desenhos/
faziam desenhos?
A: não↑
P: não↑ vocês usavam uma técnica que é essa propriedade aqui/ que eu consigo achar as frações equivalentes sem
ter que fazer o desenho/ então como é que era? eu escolhia um número/ qualquer número/ menos o zero e o um/
normalmente eu começava do dois/ e ia multipicar em cima e embaixo pelo mesmo numero/ é assim que ele fez// ele
pegou o três quartos/ multiplicou o de cima por dois/ multiplicou o de baixo por dois/ e conseguiu que fração? seis
oitavos/ que é equivalente/ a figura me mostra que é equivalente/ tão acompanhando aí? O primeiro quadro/
vermelhinho? Tinha três quartos/ multiplicou em cima e em baixo por dois/ conseguiu? Seis oitavos↑ aí ele quer
outra fração equivalente/ em vez de multiplicar por dois/ multiplicou por quanto? Multiplicou por quanto? Por três↑
três vezes três nove/ quatro vezes três doze/ conseguiu outra fração equivalente↑ que é a terceira figura de baixo/
estão vendo? nove sobre doze/ então a vantagem dessa técnica é// eu consigo achar várias frações equivalentes/ sem
ter que estar fazendo desenho/ porque meu desenho às vezes não é perfeito↓ eu posso me confundir↓ e às vezes fica
difícil↑ se eu quero dividir em muitas partes/ o inteiro/ fica difícil// então por isso é que a gente aprende essa técnica/
agora o ideal é que vocês lembrem/ o que que ela representa/ eu tô achando frações equivalentes/ eu tô achando
frações que representam a mesma quantidade do inteiro/ tanto faz eu escrever três quartos/ ou seis oitavos/ ou nove
doze avos/ tá? Ela representa a mesma coisa/ ta? então a gente viu tudo isso para que? Voltando↓ para conseguir
comparar frações de denominador?
A: diferente↑
P: diferente↑então eu pedi para vocês qual? Olha no caderno aí↑ qual que eu tinha pedido para vocês?
(espera que os alunos indiquem que frações estavam escritas no caderno, da aula anterior)
A: cinco sextos/ três quartos???
P: cinco sextos e três quartos? (anota no quadro) então vamos voltar aqui/ eu quero comparar frações/ certo? (...)
então a gente viu que quando as frações têm o mesmo denominador é fácil/ porque aí o tamanho é o mesmo/ eu
consigo comparar/ que era o caso/ três quartos e um quarto (faz o desenho de um retângulo no canto do quadro, vai
dividindo em partes) eu dividi na mesma quantidade/ eu tinha um inteiro/ dividi em quatro partes/ peguei três/ tenho o
mesmo inteiro/ do mesmo tamanho/ dividi nas mesmas quatro partes/ só que agora eu peguei um só
(interrompe para chamar a atenção de alguns alunos)
P: então aqui fica fácil comparar/ por que? porque esse pedaço é o mesmo desse/ ta vendo? ó/ vocês enxergam isso?
dividi em quatro/ cada pedaço é desse tamanho/ dividi nos mesmos quatro/ o pedaço é do mesmo tamanho/ se aqui
309
eu peguei três e aqui eu peguei um/ onde eu peguei mais? Aqui↑então esses são fáceis↑ quando o denominador é
igual/ basta olhar o numerador/ quando o numerador for maior/ a fração é maior/ é o que eu tava fazendo/ a
dificuldade é quando é diferente/ o denominador (...) eu queria comparar qual das duas? Cinco sobre seis e três
quartos? (...) agora (...) aqui eu dividi em quantos pedaços? (se refere á fração cinco sextos e faz o desenho)
A: seis↑
P: a outra fração eu dividi o mesmo inteiro em quantos pedaços?
A: quatro↑
P: eles são do mesmo tamanho?
A: são↑
P: um pedacinho daqui é do mesmo tamanho que esse daqui?
A: não↑
P: não↑então aqui está minha dificuldade↑como os pedaços daqui não são iguais/ se eu pegar o mesmo inteiro e
dividir em seis e pegar o mesmo inteiro e dividir em quatro/ os tamanhos vão ser diferentes
(toca o sinal)
P: então/ rapidinho↑ então eu não consigo fazer essa comparação/ por isso eu tinha que procurar/ várias frações
equivalentes/ que é aquela lista que vocês faziam/ usando a propriedade/ para achar o que? para achar um
denominador comum/ eu quero que o cara debaixo aqui/ o denominador/ seja igual/ porque daí eu sei
comparar↑quando eles são iguais/ é fácil↑ eles não são iguais↓ então eu quero achar uma outra fração aqui e uma
outra fração aqui que tenham o mesmo denominador/ então por enquanto a técnica que a gente sabe/ é essa
propriedade aí/ multiplica por dois/ multiplica por três/ multiplica por quatro/ por cinco/ acha algumas frações
equivalentes de uma/ acha algumas frações equivalentes de outra/ e depois procura o mesmo denominador/ e aí você
vai comparar essas duas frações// então só para encerrar/ tentem fazer essa daqui/ para a próxima aula/ eu vou ensinar
outros métodos/ que são mais fáceis/ agora vocês tem que saber fazer esse daqui também/ escreve a fração aqui/ acha
algumas frações equivalentes e procura o mesmo denominador
(Questiono por que a insistência nas listas de frações equivalentes, já que o objetivo é identificar os múltiplos, o
professor justifica que é porque espera que, através das classes de equivalência, eles vão perceber que aí aparecem os
múltiplos, esse é o caminho que ele acha que deve seguir para chegar na solução da comparação pelo mínimo
múltiplo comum).
Aula 3
16/06/2008
P: pessoal/ vamos lá/ abre o caderno/ por favor/ aquele exercício que eu pedi para fazer/ a gente vai ver como é que
resolve ali
(o professor aguarda que os alunos se organizem, distribui os livros, explica para alguns alunos que vem na frente e
mostram o caderno) (3’21)
P: vamos lá/ pessoal/ rapidinho/ primeiro vamos corrigir aquele exercício que eu pedi para vocês tentarem fazer ali/ e
aí depois eu vou dar um outro exemplo aqui/ e aí a gente vai acompanhar o livro/ então por enquanto eu quero que
vocês prestem atenção no quadro/ daqui a pouco a gente vai acompanhar o livro (...) qual que eram as duas frações
que eu tinha pedido para vocês tentarem comparar?
A: é/ um sobre dois e dois sobre três (alguns alunos falam outras frações)
P: um sobre dois e dois sobre três/ não é isso?
(o professor chama atenção de vários alunos)
(5’9)
P: a gente tá comparando frações/ correto?
A: correto↑
P: o que eu pedi para vocês foi isso daqui↑(o professor escreve as duas frações, uma ao lado da outra) um meio e
dois terços↑ foi essa? Eu pedi para vocês compararem essas duas/ bom/ a gente verificou o que? Se eu fosse fazer os
desenhos/ uma representação dessas duas frações / é para prestar atenção↑
A: é matéria nova?
P: é continuação da matéria↑ o que a gente tava fazendo (...) não é esse exercício que a gente tá fazendo? de maior e
menor? Não é isso? (...) eu peguei um inteiro/ dividi na metade/ correto? (faz os desenhos) Peguei o mesmo inteiro/
do mesmo tamanho/ dividi em três partes/// nessa primeira aqui eu peguei? Um pedaço desse/ na outra/ eu peguei?
A*: dois↑
P: dois pedaços desse↑a minha dificuldade aqui tá// quando a gente comparava frações de mesmo denominador/ esses
tamanhos aqui/ eles eram? Iguais↑então eu dividi esses na mesma quantidade/ e o tamanho ficava igual ao outro/ e aí
simplesmente eu verificava/ qual que eu peguei mais/ para saber qual maior/ aqui eu tô tendo dificuldade/ por que?
Porque os denominadores são?
A: diferentes↑
P: diferentes↑ ou seja// esse tamanho aqui é diferente desse um tamanho aqui né?/ lembra que a gente comparou com
a pizza ontem? Em quanto mais partes eu divido/ menor fica o pedaço/ então como os pedaços aqui são diferentes/ eu
estou tendo dificuldade/ aí vai ter que entrar/ a idéia/ da fração equivalente para me ajudar/ o que que vai acontecer se
a gente começa a achar algumas frações equivalentes// a essas aqui/ que a gente viu? Fração equivalente é o que?
Bruna↑
A: equivalentes são// é /// elas representam///
P: representam a mesma quantidade↑lembra/ ontem o Felipe leu para a gente/// frações equivalentes/ página 151 lá
em cima↑ lembra que a gente viu? aquele desenhinho da// página 152/ aliás↓ lá em cima↑ aquelas são equivalentes↑ o
que eu pedi para vocês foi o seguinte↑ na página 153/ lá em baixo↓ a gente viu que tem uma propriedade/ que diz o
310
que? Para mim conseguir essas frações equivalentes/ eu multiplico a fração em cima e em baixo por um mesmo
número/ correto?
A: sim↑
P: aí eu consigo/ ao invés de ficar fazendo o desenho/ eu consigo/ através dessa conta/ vamos reparar o que que vai
acontecer// com o desenho quando eu faço esse tipo de/ de procedimento/ Jair↑ eu pego uma fração então/ a que eu
tenho/ eu quero comparar essas duas/ eu não to conseguindo decidir se é maior ou menor/ porque os denominadores
são diferentes↑ correto? Eu tô com dificuldade↑ então eu vou fazer uma lista de frações equivalentes desta e uma lista
desta/ para eu ver o que está acontecendo/ eu chego aqui// um sobre dois↑ igual// eu vou querer uma fração
equivalente a essa daqui/ então ele sugere aqui no livro/ ele diz/ se eu escolher um número// qualquer número/
diferente de zero/ claro↑e diferente de um/ porque se for o um/ se eu multiplicar por um/ vai continuar exatamente
essa/ então também não vai me adiantar// então um número diferente de zero e de um/ qualquer numero que eu
escolher/ se eu multiplicar em cima e em baixo por esse número que eu escolhi/ eu vou conseguir uma fração
equivalente/ seja qual for o número/ dois três quatro cinco/ eu posso escolher qualquer número/ a vantagem que eu
disse para vocês de pegar uma seqüência de números e achar varias/ varias frações aqui/ ó↑ qual vai ser a vantagem/ a
primeira então/ no caso/ você escolheu?
A: dois// dois quartos
P: o dois↑ escolheu o número dois↑multiplicou em cima por dois /multiplicou em baixo/ por dois/ uma vezes dois?
A: dois↑
P: dois vezes dois?
A: quatro↑
P: quatro↑se eu quisesse mais uma/ eu teria que escolher um outro número/ diferente do dois/ então escolheria o
próximo numero/ no caso// o três↑
(alguém entra na sala e interrompe a aula, perguntando sobre uma aluna ausente)
(10’55)
P: escolhi o três↑multipliquei em cima por três e embaixo por três/ Paloma↑ se eu quisesse mais uma/ escolheria
outro número/ não precisa ser nessa seqüência↑só to fazendo na seqüência para vocês enxergarem o que que vai
aparecer aí
A*: por que é dois três?
P: olha/ eu escolhi o dois/ multipliquei em cima e em baixo pelo dois/ uma vezes dois/ dois/ dois vezes dois/ quatro//
pronto↑achei uma fração equivalente↑ escolhe outro número// três↑multipliquei em cima por três/ embaixo por três/
achei outra fração equivalente/ e assim vai↑e assim eu poderia continuar/ né?
A: agora o quatro↑
P: agora o quatro↑
A: quatro e oito↑
P: e aí eu poderia continuar↑Já achei essas três aí/ poderia achar quantas eu quiser/ para cada número que eu
escolher/ eu vou achar uma nova fração equivalente// vamos ver o que ta acontecendo aqui↑ vamos ver o que ta
acontecendo aqui/ quando eu to fazendo essas multiplicações/ como é que ficaria esse desenho aqui// um sobre dois é
esse daqui/ vou desenhar ele de novo aqui (vai fazendo o desenho de um retângulo) tenho um inteiro/ dividi na
metade/ e peguei um pedaço (...) bom↑ dois quartos é equivalente a esse/ ou seja// tem que representar a mesma
quantidade/ tem que representar essa mesma quantidade aqui/ essa é a quantidade que representa um sobre dois// eu
peguei o inteiro/ dividi em dois/ e peguei um/ então essa fração tem que representar a mesma quantidade/ bom↑ aqui
eu dividi em dois peguei um/ aqui eu to dividindo em quatro/ é como se eu pegasse essa figura/ o mesmo inteiro/
tava dividido em dois/ eu tinha pego esse mesmo tamanho aqui / olha lá// Marina↑agora em vez de dividir em dois/ eu
vou dividir em quatro pedaços↑olha aqui/ ó/ Manuela↑ dividi em dois/// dividi em?
A: quatro↑Jair
P: quatro pedaços↑ ó/ um dois três quatro/
A: cinco seis sete oito↑ Jair
P: peguei esse inteiro/ que é o mesmo desse/ aqui eu tinha dividido em dois/ tinha pego um/ aqui eu dividi em
quatro/ ó/ um dois três quatro/ e peguei?
A: e peguei dois↑Jair
P: dois↑um// dois// mas que é exatamente a mesma quantidade desse/ a quantidade não mudou/ o que que mudou
aqui?
A: a divisão aí (Jair)
P: isso↑mudou em quantas partes eu dividi o inteiro e mudou também em quantos pedaços eu peguei/ aqui eu dividi
em dois/ peguei um/ aqui eu dividi em quatro e peguei dois/ mas/ no final das contas↑ eu to verificando que eu tenho
exatamente?
A: o mesmo tamanho!
P: a mesma quantidade↑esse tamanho é igualzinho a esse↑essa área dessa figurinha é igual a área dessas duas juntas/
ó↑eu dividi em outras partes// a próxima ali↑ o mesmo inteiro/ olha/ o mesmo inteiro/ só que agora eu vou dividir
em?
A: seis↑
P: agora eu vou dividir em seis
Af: professor/ mas não pode dividir assim?
P: poderia dividir assim/ poderia dividir assim/ eu posso dividir de varias maneiras/ essa maneira que eu to dividindo
é só para ficar mais fácil de vocês enxergarem/ que realmente esse pedaço/ é igual a esse/ que é igual a esse/ eu
poderia muito bem ter pegado esse inteiro e em vez de dividir assim em quatro quadradinhos/ eu podia ter feito
quatro compridinhos assim// mas aí talvez não fosse tão/// tão fácil de perceber que é o mesmo tamanho/ mas poderia
311
fazer/ e daria o mesmo tamanho também/ claro↑tanto faz↑ o importante é ver isso↑ ó Felipe↑ ó/ esse pedacinho é
igual a esse/ que é igual a esse/
A f: mas esse é melhor?
A: entendeu agora?
P: (esclarece qual está sendo a dúvida do aluno) ele ta dizendo para dividir assim// (mostra no quadro a divisão por
linhas horizontais) poderia↑ aí eu dividi em quatro/ peguei dois// continua igual/ esse tamanho é igual a esse/ que é
igual a esse/ continua tudo igual/ eu posso dividir assim também↑
A: mas qual desses é melhor?
P: não↑não é que é melhor↑ eu preferi assim porque eu acho que é mais fácil para vocês enxergarem que é igual↑ mas
pode ser assim também/ ta certo↑ também dá o mesmo tamanho (...) vamos lá↑ o próximo↑vou dividir em?
A: seis↑
P: seis↑
Af: ???????? (o aluno insiste na sua dúvida)
P: não ele tem que dividir os pedaços no mesmo tamanho/ uma pizza assim/ vai ser difícil de dividir a pizza e
conseguir que esse pedacinho aqui que é da borda/ que fique igual esse pedaço aqui/ que é do meio/ depois que eu
fizer esse exemplo/ a gente vai ver um exemplo no livro/ olha aqui a pizza/ a gente vai ver um exemplo no livro que
tem a pizza/ olha como ele divide a pizza↑
Af: e assim também..
P: é/ tanto assim/ como assim/ vai ser difícil/ é mais fácil assim/ normalmente assim/ como a gente divide a pizza
mesmo
Af: meia lua?triângulos?
P: é/ quase triângulos↑ porque a borda aqui é redondinha///
P: então vamos pegar a próxima↑a próxima↑três sobre seis/ novamente↑
A; vou pegar três↑
P: dividi em seis pedaços/ e peguei três/ um/dois/três/ peguei três pedaços↑ que continua sendo/ do mesmo tamanho
desse/ do mesmo tamanho desse↑(...) e assim vai/ eu poderia fazer o desenho desse/ poderia continuar fazendo o
desenho/ ia continuar do mesmo tamanho/ tudo bem?
A*: sim↑
P: então ó/ peguei uma fração ali/ a primeira/ achei frações equivalentes/ to fazendo o que? o desenho vocês não
precisam fazer/ eu tô fazendo para vocês enxergarem/ porque é mais fácil de enxergar/ o que ta acontecendo com as
frações/ um meio/ três quartos/ três sextos/
A: agora você vai fazer o/// o oito???? jair
P: é/ eu poderia continuar↑ eu não vou continuar/ eu tô percebendo que vai continuar do mesmo tamanho/ eu não vou
continuar↑ eu vou fazer só essas três aqui como exemplo/ agora eu vou fazer essa mesma coisa com essa daqui ↑
A: mais ainda vai
P: aqui/ né? Claro↑ eu tenho um inteiro e dividi em dois/ eu tenho o mesmo inteiro e dividi em três/ esse mesmo
pedaço aqui/ é maior do que esse um pedaço aqui/ agora minha dúvida é/ será que esses dois pedaços aqui/ são
maiores que esse um pedaço aqui?
A: são↑
A: não↑
P: ta vendo como aqui a gente fica na dúvida?
A: (discutem entre si)
P: calma↑ calma/ calma↑pode ser/ pode até ser que está certo/ a gente já vai confirmar isso/ o eu to dizendo aqui é
que/ desse jeito/ com essas figuras/ fica difícil decidir/ fica difícil/ não tá difícil? um achou que é / o outro achou que
não é/ por que?
A: porque um divide em dois e....
P: é↑porque os tamanhos aqui são diferentes/ vamos ver se utilizando as frações equivalentes fica mais fácil de
decidir isso/ será que vai ficar mais fácil? Eu tenho as frações equivalentes de um sobre dois/ verifiquei o que está
acontecendo/ vou fazer as frações equivalentes a dois sobre três/ qual que é a primeira fração equivalente aqui que eu
acharia?
A: dois/ quatro
A: quatro/ seis
P: quatro/ seis↑escolheu dois/ eu vou multiplicar por dois aqui em cima/ e vou multiplicar por dois aqui embaixo/
dois vezes dois?
A: quatro↑/ seis↑
P: mais uma/ né↑ por três↑// duas vezes três seis/ três vezes três nove/ e assim vai// eu poderia achar um monte aqui/
quantas eu quiser/ conforme eu vou mudando o número/ eu vou achando frações equivalentes/
A: (faz uma pergunta) inaudivel
P: eu to aqui /duas vezes dois quatro/ duas vezes três seis/ três vezes tres nove
A*: duas vezes um dois/ duas vezes dois quatro↑
P: não↑olha/ Manuela↑ eu to aqui↑ eu saí dessa↑ um vezes dois dois/ uma vezes três três/ uma vezes quatro quatro/
A: dois vezes um
P: lá embaixo? é/ dois/ olha↑ o de cima eu multipliquei por dois/ o de baixo eu multipliquei por dois/// é que ali o
dois tava embaixo/ aqui o dois ta em cima/ agora quem ta embaixo é o tres↑
A: quatro vezes dois/ quatro vezes três
P: é↑ se eu for fazer a próxima↑seria↑vezes quatro/ mas eu não to fazendo/ eu poderia continuar// ta certo↑ é que eu
resolvi fazer só essas duas aqui (...) vamos la↑ vamos ver o que esta acontecendo com os desenhos aqui/ desse lado/
312
tinha dois terços// tenho um inteiro// que é o mesmo inteiro desse aqui/ esse inteiro é igual a esse inteiro↑ lembra que
eu falei pra vocês/ os inteiros são iguais↑esse inteiro é igual a esse inteiro aqui/ eu vou dividir agora// em?
A: três↑
P: três partes↑(faz a figura e divide horizontalmente) Ò? Felipe↑fiz deitado/ agora/ eu posso fazer de pé/ posso fazer
deitado↑eu dividi em três partes iguais/ essa/ é igual a esse/ que é igual a esse/ eu vou pegar quantos?
A: dois
A: vai dividir ali em quatro? Jair
P: eu poderia até fazer/ mas eu mas eu resolvi fazer só essas duas aqui↑
A: pegar dois
P: mas tudo bem↑ se a gente for fazer do outro jeito de fazer/ a gente não vai ter que fazer essa lista toda↑ oito↑ doze↑
assim vai
(O professor atende uma aluna que tem dúvida lá na frente)
P: vamos lá↑ dividi aqui em três pedaços e peguei quanto?
A: dois↑
P: dois↑ peguei dois pedaços↑então o meu inteiro está aqui/// dividi em três e peguei dois// na próxima/ o que que eu
vou fazer? Eu tenho o mesmo inteiro/ só que eu vou dividir por seis/ agora/ um dois três quatro cinco seis/ dividi em
seis/
A: pega quantos?
P: vou pegar?
A: Quatro↑
P: Quatro↑ posso pegar qualquer quatro aqui/ né?
A: os alunos concordam
A: pode pegar separado também/ um aqui um aqui///
P: pode↑ posso pegar assim/ ó/ um dois (vai pegando quatro pedaços na vertical)
A: pode pegar assim?
P: pode↑
P: poderia ter pego assim/ ó/ um dois três quatro
Aula 4
17/06/2005
(discussão sobre a avaliação)
O professor havia dito que haveria avaliação, mas mudou de idéia e decidiu retomar o conceito de equivalência. Os
alunos discutem a respeito da avaliação, querem saber por que não vai mais acontecer. O professor justifica.
P: pessoal/ presta atenção↑eu tinha dito ontem para vocês que eu ia fazer uma avaliação/ mas eu não acho que seja tão
justo assim/ quem entendeu/ quem sabe fazer/ que bom↑confirma quem já sabe/ ta preparado / esses não tem
problema nenhum/ eu me preocupo exatamente com aqueles que não tão entendendo↑ então eu me preocupo com
quem não esta entendendo/ com quem não aprendendo/ e tem gente que ainda não esta entendendo a matéria (...) eu
combinei com vocês na aula passada// eu explicava assim/ e vocês continuavam conversando/ a partir do momento
que eu consigo explicar/ dou o exercício/ e todo o mundo sabe fazer/ eu dou avaliação/ eu não quero chegar aqui/
fazer avaliação/ metade sabe/ e metade não sabe
A: se for assim vai demorar muito
P: é/ vai demorar um ano↑mas se eu pensar assim/ se eu fizer minha parte/ vai melhorar? se eu pensar assim/ se eu
prestar atenção/ se todo o mundo pensar assim/ não vai demorar um ano// o problema é que vocês sempre ficam se
preocupando com o outro (...) se eu conseguir explicar e vocês entenderem/ eu faço a prova na próxima aula/ na
quinta feira/ amanha não vai ter aula/ correto? vocês aproveitem hoje/ eu vou deixar exercício/ vocês tentem fazer/ já
que quarta feira não tem aula/ vocês tentam fazer o exercício/ e aí na quinta feira vem todo o mundo preparado para
fazer/ pode ser?
A: Pode↑(vários alunos falam ao mesmo tempo)
8’20
P: mais alguém tem alguma dúvida? Da matéria↑vamos aproveitar para tirar as duvidas hoje↑(...) pessoal↑deu↑vamos
tentar entender/ vamos começar pelo exercício anterior/ vamos ver quem conseguiu fazer/ vamos tentar entender
como é o exercício/ então ó/ eu tinha deixado para vocês aqui/ tinha feito isso// um terço↑// tinha colocado um igual
aqui// tinha passado um traço/ e tinha colocado um seis aqui/ correto?
(vai escrevendo no quadro)
1 = __
3 6
(chama atenção de vários alunos)
P: a outra era como? (o professor havia deixado duas frações como exercício)
A: era cinco e quatro (vários falam ao mesmo tempo)
(o professor escreve as outras frações)
P: só um pouquinho↑ levanta o braço quem fez o exercicio↑independente se fez certo ou não↑
(vai chamando um a um pelo nome e pergunta se fez o exercício)
P: vamos ver que número colocar ali/
A: (vários) dois↑
P: colocaram o dois aqui// a minha pergunta é// vamos ver/ um de cada vez aqui↑por que dois? você Bruna↑
B: porque três vezes dois é igual a seis/ tem que fazer vezes dois o um também///
A: a explicação da Bruna foi a seguinte// aqui eu tinha três/ e aqui eu tenho seis/ então eu multipliquei aqui três por
dois para dar o seis/ fração equivalente↑lembra de fração equivalente? fração equivalente eu multiplicava em cima e
313
embaixo a fração pelo mesmo numero↑então o que ela está dizendo é// se ela multiplicou por dois embaixo// para
transformar o três em seis/ ela teria que multiplicar por três também em cima/ então um vezes dois / por isso que
apareceu o dois↑ ta vendo como ela conseguiu descobrir que era o dois? alguém encontrou o segundo?
A: não dá certo↑
P: não dá certo como? por exemplo aqui/↑que numero vocês colocaram aqui?
A: três↑ (em coro)
P: todo o mundo colocou o três? // pelo mesmo motivo? Por que você colocou o três aqui/ Felipe?
A: `(Felipe) porque aqui tem o cinco/ e cinco vezes três dá quinze///
P: ta vendo? ó/ isso não está escrito na fração↑ eu tive que olhar os dois denominadores e verifiquei que tem essa
relação entre eles/ era cinco/ eu verifiquei que se eu escrevi quinze aqui/ eu devo ter multiplicado ele aqui três/ se eu
multipliquei embaixo por três/ eu tenho que multiplicar em cima por três/ duas vezes três/ seis
A: desse jeito é mais fácil↑(a aluna se refere à lista de frações equivalentes)
P: esse jeito é mais fácil/// mas um outro jeito que vocês teriam para descobrir aqui ó/ Felipe↑(...) daquele outro jeito
que a gente tava fazendo/ daquele outro jeito/ eu pegava uma fração aqui/ um sobre três/ e ficava fazendo por todos
os números/ lembra que você queria/ lembra que você falou? se não tivesse o dois era mais fácil/ era mais fácil por
que? Porque poderia ser qualquer número/ não é? se não tivesse o numero aqui/ eu poderia multiplicar por qualquer
número/ mas como tem um numero aqui/ eu não posso escolher nada/ voce me perguntou isso na aula passada↑voce
me perguntou por que? Qual que era minha dúvida ali? Lembra? // Eu to trabalhando com frações equivalentes por
que? Minha dúvida ainda continua sendo// eu quero comparar duas frações// só que as frações tem denominadores
diferentes↑e aí eu tenho dificuldade em comparar elas/ correto?
15’07
A: (inaudível)
P: não/ aqui esse é igual a esse e esse é igual a esse/ simplesmente// eu não to comparando essa com essa/ até
poderia↑ eu quero achar uma fração equivalente aqui/ igual↑ equivalente↑// vamos voltar um pouquinho aqui/ antes
de ver o outro método aqui/ o pessoal tava na duvida/ do mmc/ não é? Estava na dúvida do mmc/ então voltando/ esse
exercício// tudo bem esse exercício agora? Viu como é que achou esse número aqui em cima?// Tudo bem? // Meu
problema agora é esse/ ó/ eu quero comparar essas duas frações↑quatro sobre seis e cinco sobre oito// por exemplo/
agora eu quero comparar/ é outro exercício↑então↑vamos ver o que que tem a ver? vamos entender o exercício↑
A: é para fazer?
P: não, eu vou fazer esse
[Felipe faz uma pergunta]
A: Emanuela : como vai saber qual que é maior?
Af: eu não sei/ você sabe?
A: o cinco e o oito↑
P: e por que que é? Por que que você acha que é?
A: porque um número é maior que o outro↑
P: Quem disse? 1714
P: porque o cinco é maior do que o quatro?
A: É↑
P: não↑ Emanuela↑aqui diz que eu peguei o inteiro/ e reparti em seis pedaços/ e peguei quatro/ aqui diz que eu peguei
mesmo inteiro e dividi em oito pedaços/ não em seis/ em oito/ então cada um pedacinho desses é menor do que esse/
cada um pedacinho desse/ é menor do que esse/ porque eu dividi em mais vezes/ correto? Em quanto mais eu dividir
menor o pedaço/
A: mas ali é maior
P: mas aqui eu peguei 4 e aqui eu peguei 5↑ então eu não sei↑
(uma aluna faz uma pergunta na frente Aline)
P: pessoal↑ vamos entender↑ esse é outro exercício que vai ser cobrado (se refere à avaliação que ocorrerá em
seguida) Emanuela↑ se eu quero comprar as frações/ eu só sei comparar frações que tem o mesmo denominador↑(...)
essa daqui↑ (escreve as frações 2/7 e 4/7 no quadro) se eu quero comparar essas duas aqui// dois sobre sete e quatro
sobre sete↑ eu sei quem é maior? Qual tem mais?
(vários alunos concordam)
P: qual que é?
A: Felipe: quatro sobre sete
P: então eu já sei↑ quatro é maior que dois/ eu só pude fazer isso porque embaixo é igual/ o denominador é o mesmo/
eu divido em pedaços do mesmo tamanho↑o pedaço é do mesmo tamanho/ aqui eu peguei dois/ aqui eu peguei
quatro↑claro que aqui eu peguei mais/ aqui eu não tenho dúvida↑porque eles são do mesmo tamanho↑ aqui eles são
do mesmo tamanho?
A: são↑
P: aqui eu peguei dois/ aqui eu peguei um// então essa eu não tenho dúvida/ essa foi fácil/ essa eu consigo decidir↑
aqui eu não consigo decidir porque eles são diferentes (se refere as frações em questão)// tá↑ então não da para fazer
o exercício? Ou dá para fazer?
A: dá↑
P: dá// então dá para fazer↑como é que eu vou fazer? Bruna↑
A: frações equivalentes↑
P: frações equivalentes↑ exatamente/ Bruna↑Felipe↑ eu vou usar frações equivalentes para resolver meu problema↑
então eu vou pegar uma fração equivalente a essa// agora que vem sua dúvida↑Felipe↑(...) a Bruna disse frações
equivalentes↑
(o Felipe tem dúvidas, faz várias perguntas – inaudível- o professor dá atenção para ele, os outros conversam)
314
P: (retoma para todos) a Bruna disse que eu tenho que usar frações equivalentes↑ para que?
A: (Bruna) : tem que fazer o mmc para///
P: (interrompe a aluna) Para dar o resultado igual↑mmc do de baixo/ eu faço o mmc para achar o de baixo/ Felipe↑
(Os alunos percebem que o professor está dando atenção especial ao Felipe. O professor chama atenção dos alunos
novamente e pede silencio. Uma aluna (Emanuela) reclama que o Felipe pode falar. O professor justifica)
P: ‘ o Felipe está falando porque ele está falando uma dúvida↑
(o professor aguarda o silêncio. O Felipe insiste nas perguntas)
P: deixa eu explicar uma vez aí voce pergunta↑ quero comparar essas duas frações↑quero comparar essas duas
frações↑ não sei decidir se essa é maior ou essa/
A*: essa
P: vamos ver↑ tudo bem/ Manuela/ pode até ser↑ se for/ parabéns↑ (...) eu quero achar uma fração equivalente a essa/
e uma fração equivalente a essa/ eu quero achar outras duas frações equivalentes// Qualquer outras duas? Bruna↑
A: o que / professor? (Bruna está distraída)
P: eu posso escolher qualquer fração equivalente aqui? (...) Minha pergunta é// eu posso escrever qualquer fração
equivalente aqui?
A: (Felipe faz novamente uma pergunta sobre o numero de cima- inaudível)
A: embaixo↑ em cima faz isso, Felipe↑em cima faz isso/ ó↑ como é que vai ser o de cima? Eu tenho que descobrir o
de debaixo↑// você não vai descobrir o de baixo/ Felipe? Você não vai descobrir o de baixo? // Qual que é o debaixo
aqui/ Felipe? Quem que eu vou escrever em baixo/ Emanuela? (...)
(Emanuela não responde, vários falam ao mesmo tempo)
P: um de cada vez/ por favor↑// se eu fizesse aqui uma lista de frações equivalentes a essa/ e uma lista a essa/ e
procurasse o denominador igual/ eu ia achar// só que esse jeito demora muito/ tem um outro jeito/ o outro jeito/
Leonardo↑o outro jeito é o mmc↑ se eu fizer o mmc desses dois debaixo/ ó/ mmc entre seis e oito (vai escrevendo no
quadro o calculo do mmc) calcula↑qual que é o primeiro que vocês sabem? dá por dois aqui?
A: dá↑
P: dá por dois de novo?
A: por três↑
(os alunos vão respondendo)
P: chegou no um acabou// qual que é o mmc?
A: Amado: (vai somando os números)
P: multiplicar↑tem que multiplicar↑duas vezes dois quatro vezes dois oito/ oito vezes três? oito vezes três? (alguns
tem dúvida) dezoito/ vinte e um/ vinte e quatro↑agora como é que eu vou descobrir o de cima? o debaixo eu descobri/
que é o mmc↑ agora o de cima?
P: Amado: Tem que dividir por 24 /// (Felipe conversa/ atrapalha o colega)
P: Felipe↑fica quieto↑//quando você pergunta eu te explico/ ele está perguntando/ você tem que ter respeito pelo
colega↑(os alunos aprovam)
(pede silencio novamente)
32’02
P: pessoal↑eu sei que é ultima aula/ vocês estão agitados/ todo o mundo esta cansado↑ estou pedindo por favor um
esforço de vocês/ quinta feira vai ter uma avaliação/ isso vai cair na avaliação/ a avaliação vai ser da seguinte
maneira// eu vou entregar uma folha para vocês/ vocês vão sentar e fazer o exercício// eu não vou explicar no dia da
avaliação/ vocês escutaram? todo o mundo escutou? Escutaram o que eu disse? (...)
A: Aline: a avaliação vai cair?
P: sobre isso// fração equivalente// comparação de fração//
A (Aline): o mmc?
P: não↑ se eu quero comparar algumas frações que têm denominadores diferentes/ uma das maneiras que eu tenho de
resolver/ é utilizando o mmc↑voce prefere fazer uma lista e procurar?
A: (concorda)
P: é↑depende do numero que eu der para vocês/ né/ eu posso dar um número aqui que é demais sem o mmc.o ideal é
assim↑ o ideal é a gente saber várias maneiras // dependendo do exercício/ a gente usa o denominador diferente/ se o
número for baixinho/ e eu quiser fazer a lista/ pode fazer? pode↑se o número for grande e eu quiser fazer o mmc/
pode? Pode↑ então o ideal é isso/ eu saber várias maneiras/ eu saber várias maneiras/ para poder decidir/ de que
maneira que eu vou decidir fazer o exercício↑(...) Aline↑ você entendeu por que que eu calculei o mmc?
A: sim
P: o outro jeito que eu fazia era esse/ ó/// que é o jeito que a Monique disse que prefere↑/ ó↑faz uma lista aqui uma
lista aqui/ quando eu fazia a lista// eu multipliquei por dois por três por quatro/ então eu percebi/ que os números que
apareceram aqui embaixo/ são os múltiplos do número/ Multiplica por dois↑ por três↑ por quatro↑ ta vendo? É a
tabuada↑seis/ doze/ dezoito/ vinte e quatro/ trinta/ são os múltiplos de seis↑os números que vão aparecer aqui
debaixo são os múltiplos de oito↑oito/ dezesseis/ vinte e quatro
A: quatro/ oito/ doze
P: também↑ vai aparecer/ doze é um número↑ mas a minha preocupação primeira é com o de baixo↑porque eu
consigo comparar quando eles são iguais/ eu vou achar o de cima por aquele outro jeito que eu tava achando/ por isso
eu fiz o exercício anterior/ para vocês conseguirem achar o número de cima//
A: tenho que fazer quatro um três///
P: é/ depende do número/ depende do número (...) então eu percebi que o número que está aparecendo embaixo são
os múltiplos↑múltiplos de seis↑(...) múltiplos de seis↑é a tabuada↑seis/ doze/ dezoito/
A: vinte e quatro↑
P: e assim vai↑continua///
315
A: vinte e quatro/ vinte e cinco//
P: múltiplos de oito↑ // oito///
A: continua até morrer///
P: agora eu procuro o múltiplo comum↑/ o múltiplo que aparece aqui e aqui ao mesmo tempo↑/// quem que é/ Aline?
A: Jair: vinte e quatro↑
P: então o vinte e quatro é múltiplo de seis e o vinte e quatro é múltiplo de oito↑é o múltiplo comum↑é o mínimo
múltiplo comum↑ então ó/ eu faço o mínimo múltiplo para não ter que procurar na lista↑ porque eu vou achar
exatamente o vinte e quatro↑
(aline diz que não sabe o mmc porque entrou depois na escola)
P: Calcular o mmc? Você nunca calculou o mmc? Porque a gente já viu essa matéria antes// consegue fazer pela lista?
Você escrever uma fração e fazer uma lista? Consegue? Consegue fazer daquele jeito/ faz daquele jeito↑depois a
gente vai voltar/ não vai dar tempo de eu te explicar como é que faz isso/ tem que ter um pouco mais de tempo/ eu
vou dar uns exercícios para você/ tem que fazer em separado/ eu já tinha explicado para a turma quando vocês
chegaram/ lembra que vocês chegaram depois↑então é natural que você tenha dificuldade/ você não ta entendendo o
que que eu to falando aqui// eu to dividindo↑ eu to dividindo por dois/ mas eu não vou dividir por qualquer numero/
eu vou dividir só pelos números primos↑
A; que é dois/ três///sete
P: que é dois/ três// aqui/ só pelos números primos/ agora qual que é e qual eu não é? quem são os primos?
A: (Bruna) é ///
P; só tem dois divisores/ o um e ele mesmo↑ mas é difícil explicar assim em cinco minutos// mas você consegue fazer
por aquele outro jeito? (...) pessoal↑ para fechar aqui/ rapidinho↑ como é que eu vou descobrir o que vai aqui em
cima então?
(vários falam ao mesmo tempo)
P: que numero que vai aparecer aqui?
A: dezesseis↑Amado
P: olha/ Manuela↑ agora eu vou conseguir descobrir quem que é maior/ quem que é menor↑quatro sobre seis é
equivalente a dezeseis sobre vinte e quatro/ essa fração representa a mesma quantidade do inteiro do que essa/ e essa
dessa/ essas duas são diferentes/ eu não sabia/ agora eu achei outras duas/ que são iguais/ agora eu sei/ agora é fácil↑/
dividi em vinte e quatro pedacinhos/ peguei cinco/ dividi em vinte e quatro pedacinhos e peguei seis↑ qual que é
maior?
A: o seis
P: Ah↑ quatro sobre seis é maior↑ mas cinco não é maior que quatro? Oito não é maior que seis? Ta vendo? Eu me
confundo↑fração é complicado por isso↑ ta vendo? tem que achar as frações equivalentes para comparar com o
mesmo denominador↑
(explica a dúvida de uma aluna que vai na frente perguntar - Monique)
P: pessoal↑ copia rapidinho aqui↑exercício para amanha/ que não tem aula↑ para vocês treinarem para a
prova↑rapidinho// mais um daqueles para achar// exercício de comparar// comparar essas duas frações aqui// vou
botar aqui em cima/ (vai escrevendo no quadro) para decidir// quem é maior e quem é menor/ dessas duas// tem que
achar uma fração equivalente aqui/ para você decidir↑se vocês conseguirem fazer esse/ vão conseguir fazer o da
avaliação// (...) amanha não tem aula mas eu passei exercício// abre o caderno/ lê a matéria///
Aula 5
18/06/2005
(avaliação)
Aula 6
22//0/2005
A: professor↑vai entregar a prova?
P: vou↑ vou entregar a prova/
(vários alunos perguntam sobre as provas, o professor pede ajuda para distribuir os livros)
P: pessoal↑todo o mundo está com o livro? (...) abre na pagina 149↑(...) na 149 começam os exercícios↑vou por um
problema aqui que eu quero que vocês tentem fazer↑(o professor discute com os alunos que estão sem livro) eu quero
que vocês tentem fazer os exercícios/ quinze minutos/ eu vou pegar aqui umas provas aqui/ eu vou chamar umas
pessoas para me explicar como é que fez os exercícios/ ali ó/ enquanto isso/ eu quero que vocês tentem fazer/ pagina
150/ o exercício sete/ que é parecido com aquele do desafio que vocês fizeram na prova/ depois de quinze minutos
quem conseguiu vai me mostrar/
A: Precisa copiar?
P: Não/ não precisa copiar/ depois eu vou perguntar para vocês como é que vocês fizeram/ o página 150/ exercício 7/
por favor↑
( o professor organiza a classe, alguns se colocam em duplas por causa da falta do livro)
Bruna 9’56
P: aqui/ Bruna/ a primeira↑eu pedi para escrever na forma de fração//você escreveu/ e aqui era para marcar a que era
equivalente/ certo? Aí você marcou essa daqui (aponta 4/12)/ você acha que essa daqui é equivalente a essa/ foi isso?
Como você descobriu que essa é equivalente a essa?
A: [fiz uma conta...fui multiplicando]
P: Fez uma conta?
A: [confirma]
316
P: Pegou esse aqui de cima multiplicou por algum número/ e descobriu que era esse aqui ? / é isso? Por exemplo por
dois?
A: é [explica a conta]
P: duas vezes dois quatro/ duas vezes seis doze/ daí deu certo// essa daqui/ essa daqui não é equivalente? (aponta a
fração 2/4) por que que não é equivalente?
A: [não conseguiu multiplicar]
P: Não consigo multiplicar por nada?
A: [confirma]
P: E essa ultima aqui (a fração 1/3) / será que é essa última é equivalente a essa aqui?
A: [tenta explicar que não é equivalente devido ao fato dos números das frações serem menores]
P: Mas olha aqui ↑(aponta o exercício de baixo, 2/3 e 6/9, que a aluna acertou) / esse é equivalente/ se eu olhar daqui
para cá/ esse é maior/ mas se eu olhar daqui para cá/ não é menor? // então na verdade tanto faz↑// ele pode ser maior/
como pode ser menor/ tanto esse é igual a esse quanto esse e igual a esse↑ (...) esse aqui (volta para o 1/3)/ será que/
você não conseguiu sair desse (se refere ao 2/6) / para chegar nesse (1/3)// e se fosse o contrario? se fosse para sair
desse (1/3) e chegar nesse (2/6)/ será que eu ia conseguir?
A:[em dúvida]
P: não? Por quanto?
A: [faz a conta]
P: não↑ aqui é um e três/ ali é dois e seis/ se você multiplicar aqui por dois/ quanto que vai ficar?
A: faz a conta
P: então eu saí dessa (1/3) e conseguia chegar naquela ali(2/6)/ então essa aqui também seria equivalente/ mas você
não marcou porque achou que não era mesmo? É isso?
A: é
Emanuela
13’ 20
P: Por que que você acha que elas são equivalentes? Você marcou essa daqui porque você achou que era equivalente/
certo? Aqui é 2 sobre três/ aqui é quatro sobre doze/ por que que você acha que elas são equivalentes?
A: [não entendeu a pergunta]
P: você circulou essa/ porque você achou que essa daqui era equivalente a essa daqui/ como é que você sabe que essa
daqui é equivalente a essa? Lembra como é que você fez? Por que que você decidiu que é essa? E não é essa/ por
exemplo?
A: daí eu botei 2/6 // daí eu botei 5/6/ e quatro sobre doze
P: mas como é que você sabe que é a mesma quantidade? Como é que você sabe que representa a mesma quantidade?
Que se eu juntar esses quatro aqui vai ser a mesma quantidade desses dois?
A: [não responde]
P: por que que você circulou essa daqui?
A: porque...
P: e como é que você sabe que é equivalente?
A: porque dois sobre seis// dá doze
P: você multiplicou por dois?
(...)
P: aqui era dois e seis/ ficou quatro e doze// duas vezes quanto é quatro?
A: quatro
P: não/ duas vezes quatro é oito↑
A: seis vezes dois dá doze (aponta os números da fração 2/6)
P: Você multiplicou o de baixo pelo de cima? // `como é que se acha fração equivqlente? dois sobre seis/ se eu quiser
achar varias frações equivalentes/ como é que eu faria?
A: [vai multiplicando em seqüência]
P: então// você multiplicou em cima e em baixo por um mesmo número (aponta a fração e indica as multiplicações
por dois) aí voce marcou essa↑
A: [concorda]
P: por que que você acha que essa não é? (se refere à 1/3)
A: porque essa daqui não dá
P: não dá o que? Você acha que não dá para multiplicar por nada que chegue aqui?
A: [concorda]
P: se fosse o contrário? daqui para cá? (de 1/3 para o 2/6) (...) tem algum número que se eu multiplicar essa daqui
(aponta 1/3) chega nessa daqui (a 2/6)? Então se aqui dá de lá para cá/ dá daqui para lá também/ tanto faz/ do maior
para o menor/ ou do menor para o maior/ se eu conseguir sair daqui para cá //multiplicando por um mesmo número
em cima e em baixo/ é porque elas são equivalentes/ então você deveria ter marcado essa daqui também↑você marcou
uma mas esqueceu a outra (...) essa aqui como é que você fez? Como você achou esse vinte (se refere à segunda
questão)?
A: [tenta explicar]
P: mas como é que você sabe que ¼ é igual a 5 sobre vinte?
A: [diz que multiplicou por dois, por três]
P: tu achou um monte aqui? fez uma lista dessa e uma lista dessa e daí procurou embaixo/ /foi isso?
A: [concorda]
P: da próxima vez tem que deixar na prova
Felipe
19’22
317
P: Era para marcar as frações/ tu acertou/ aí era para marcar uma que fosse equivalente a essa /aí tu marcou essa
daqui/ por que que tu acha que essa era equivalente a essa?
A: [justifica pela
P: se juntar esses dois pedacinhos dá igual a uma essa daqui?
P: Como é que tu sabe? Só olhando assim?
P: E essa daqui? Por que você não marcou essa ( se refere à 1/3)? Você acha que é equivalente? Você acha que esse
pedação é igual a esses dois aqui (o 2/6)? Você acha que é?
A: [concorda]
P: Mas se ele é igual por que que você não marcou ela?
A: [justifica que não pode ser por causa da quantidade de quadrados]
P: Mas esse um pedaço não pode ser do mesmo tamanho desses dois? Tu achou que não podia ser porque aqui tinha
dois e aqui tem um? é isso? Quando é mais pedaços e menos pedaços não dá certo?
A: concorda
P: [questiona a respeito da fração 2/4]
A: [diz que não podia ser]
P: Mas você olhou? só olhou? Esses dois aqui se juntar não dá esse? Por isso que você não marcou?
A: [diz que não]
(questão 2)
P: E essa por que que você escreveu essa fração? Como é que foi a idéia? Cadê as contas? Por que que você acha que
essa daqui é maior que aquela ali?
A: [procura justificar comparando os numeradores]
P: dividiu em cinco e pegou dois/ dividi em quatro e peguei um/ como é que você sabe que esse um pedaço aqui é
menor que aqueles dois pedaços?
A: [ tenta explicar]
P: Não tem conta nenhuma? Como é que você compara duas frações?
A: [tenta justificar pelos números]
P: Não, não ta certo/ eu vou corrigir e a gente vai ver como é que faz↑mas não era assim não↑
Marina 24’05
P: Essa primeira aqui/ era para escrever/ as frações aqui/ aqui era para///
A: Não sei [ a aluna entende que a pergunta se refere à segunda questão]
P: Não sabe o que? Como é que você escreveu as frações?
A: não sei↑
P: Você não consegue ler e entender o que está pedindo?
A: não
P: Mas espera/ eu estou no primeiro exercício/ você escreveu as frações aqui do lado (vai mostrando as frações) / e
aqui eu pedi/ circule as frações que são equivalentes/ equivalentes a essa (mostra o 2/6)/ daí você circulou essa/ por
que você acha que é essa? (se refere à 2/4)?
A: [tenta justificar pela presença do numero dois em ambas as frações]
P: Por que aqui tem dois e aqui tem dois/ É isso? mas não interessa o tamanho? tá vendo que o tamanho é diferente?
Era para ver qual desses aqui/ qual desses aqui/ um só não é igual (se refere à fração 4/12)/ mas se eu juntar esses
quatro aqui/ eles vão ficar do mesmo tamanho desses dois aqui/ era isso que era para ver/ isso que é equivalente/
quando elas representam a mesma quantidade do inteiro/ então eu tenho que ver/ esses quatro pedacinhos(o 4/12) /
será que é igual a esse (2/6)? Esse um pedacinho (o 1/3) / será que é igual a esse (2/6)? Esses dois pedaços aqui (0
2/4, o que foi marcado pela aluna) / se eu juntar/ será que vai ser igual a aquilo? Não vai? Então isso aqui está errado/
P: E essa aqui você não fez porque não entendeu a pergunta/ é isso?
A: [concorda]
26’30
P: pessoal↑antes de entregar/vamos corrigir o exercício que eu pedi para vocês tentarem fazer/ alguém lê para mim o
exercício/ começa a ler/
( a aluna lê o enunciado)
P: vamos ver↑ o premio é de 600 reais↑diz que o primeiro colocado vai receber um meio/ o segundo colocado vai
receber?
A: 1/3/
P: e o terceiro colocado vai receber?
A: .......
P: o resto? Então o primeiro colocado vai receber um meio do prêmio/ quantos reais? quantos vocês acham que ele
vai receber? (...)
P: quantos vocês acharam no primeiro colocado?
A: (vários) 300
P: 300? alguém achou alguma coisa diferente?
A: Não↑
A: Trezentos depois duzentos depois cem (Emanuela)
P: Por que que você acha que o primeiro é 300/ Emanuela?
A*: é porque é a metade/
P: metade? um meio é metade↑
A: porque metade de 600 é 300↑
P: então o primeiro era fácil / um meio/ metade// e um terço?
318
A: é/// duzentos↑ Bruna
P: mas por que que vocês acham que é duzentos?
A: duzentos para cada ////
P: duzentos para cada? como é que vocês acham ?
A: a primeira é 300/ a segunda é 200
P: ta/ e como é que vocês acham ali/ um terço? por que que você acha que o segundo colocado ganha 200? /// o
primeiro colocado todo o mundo falou que era 300/ ta certo↑/ vocês me falaram// bom// um meio é metade/ metade
de 600 é 300↑tá certo/ agora eu to na duvida aqui/ aqui é um terço↑
A: Metade↑
P: metade de quanto?
A: de 300↑
P: metade de 300 É 150↑ não é duzentos↑
A: Metade de quatrocentos!
P: metade de quatrocentos é duzentos↑ onde é que tem quatrocentos aqui? Como é que você achou quatrocentos? Ó↑
pessoal↑ o importante aqui/ alem de acertar o resultado/ é saber como é que a gente ta fazendo↑não é para vocês
chutarem o número e// tomara que esteja certo↑ eu tenho que saber como é que eu fiz↑ como é que eu pensei para
decidir isso? (...) Eu to querendo saber como é que vocês acharam a resposta↑
A: todos falam ao mesmo tempo
A: cada ganhador ganha 200 reais↑
P: não↑ vamos lá↑ cada ganhadior ganharia 200/ 200 200 200/ se ele tivesse dito // (...) seria 200 200 200 // se ele
tivesse dito/ o premio é de 600 e os três primeiros vão ganhar a mesma quatidade// aí eu dividiria em três/ daria 200
200 200/ mas ele não diz isso/ ele diz que o primeiro vai ganhar metade/ um meio/ metade de 600↑ então o primeio
vai ganhar 300/ o outro vai ganhar um terço/ e outro vai ganhar o resto↑então não é duzentos para cada um↑
A: todos falam ao mesmo tempo
A: 160↑ o segundo é 160↑Amado
P: 160? Aqui você acha que é 160? Por que?
A: é porque/// é como // um terço é como se/// fosse 1/5
A: ta errado↑(Jair)
P: não entendi↑ como foi? você acha que 1/3 é igual a?
A: a um quinto↑
P: a um quinto? Não↑ um quinto é isso↑ eu divido em cinco e pego um/ um terço eu divido em três e pego um/ um
terço é diferente de um quinto↑
A: seissentos por um virgula tres↑Amado
P: não/ um terço/ eu peguei um inteiro dividi em três e peguei um pedaço/ não é 1 vírgula três/ um virgula três é outra
coisa/ a gente vai ver números decimais em seguida/ aqui não é 1 virgula dois/ um virgula 3/ como é que eu poderia
pensar isso daqui? Qual que é o inteiro? Qual que é o prêmio total? Quanto é que eu tenho para distribuir?
A: 600↑`
P: esses 600 eu posso pensar que é o meu inteiro aqui ( vai desenhando um retângulo) metade / ó/ é dividir em dois/
ou seja/ seria 300 aqui e trezentos aqui/ eu dividi em dois e peguei um/ trezentos/ um terço eu poderia pensar como?
Eu tenho um inteiro/ que é 600 e eu vou dividir em três partes// cada parte dessa/ vai ficar com quantos reais?
A: duzentos↑
P: então na verdade eu dividi por três↑por três/ 200 aqui/ 200 aqui/ e 200 aqui/ (vai escrevendo os 200 em cada uma
das três partes do retângulo) / e peguei um pedaço desse/ então 1/3 de 600/ ele ganhou 200↑e o restante?
A: todos falam ao mesmo tempo
P: pessoal↑eu tinha 300/ gastei 300/ gastei 200/ 500/ 600 menos 500? 100↑(...) eu quero corrigir a prova com vocês/
já vai bater o sinal/ eu não consegui fazer o que eu queria↑
Aula 6
O professor organiza a classe, anuncia que é matéria nova. Faltaram Felipe e Emanuela, a classe está bem tranqüila.
O professor desenha três retângulos, um ao lado do outro, três círculos logo abaixo. Retoma que estão estudando as
frações. Reparte ao meio um dos retângulos e pergunta:
P: reparti em duas partes/ quem é que vem aqui? Se refere ao numerador da fração /2.
A (Jair): Um↑ bota o um↑
O professor pega outra parte, e daí questiona, se pegar os dois, como ficará a fração? Alunos respondem o 2, 2/2.
P: se eu tivesse outro inteiro (divide outro retângulo em três partes), e pegar as três partes? A: (Jair) : 3 por 3↑
P: vou dividir agora esse ( se refere ao círculo), divide em quatro partes, pinta as quatro e questiona como ficará a
fração? Todos concordam com 4/4.
O professor quer dividir a outra e questiona em quantas partes. O aluno dá uma sugestão:
A: (Jair): divide por seis↑
O professor não considera a sugestão do aluno e decide:
P: vou dividir em oito↑
Representa a fração 8/8
Explica: estou dividindo o inteiro em partes e representando através de uma fração↑
O professor vai anotando no quadro:
1 = 2/2 = 3/3
Conclui:
319
P: então eu posso representar o inteiro na forma fracionária, por exemplo///
O aluno (Jair) sugere novamente a divisão em seis. O professor agora concorda e faz a divisão em seis partes, conclui
sobre o 6/6.
O professor organiza o quadro de modo a separar as partes anotadas para que os alunos acompanhem melhor a
explicação. Anuncia:
P: vou fazer dois quadrados↑
Desenha dois retângulos, um embaixo do outro. Divide os dois ao meio . Pergunta, neste caso, quantos pedaços ele
pegou. Prepara a fração com denominador dois: 4/2
P: o ultimo/ se eu fosse dividir em três pedaços (desenha dois retângulos e os divide em três pedaços cada um, anota
a fração correspondente: 6/3
Conclui: então neste caso o dois (vai escrevendo e questionando) e se eu dividir por quatro? para os alunos irem
completando os numeradores
2 = 4 = 6 = 8 = .......
2 3 4
(...)
Anuncia: vamos começar com a adição (coloca o título no quadro: ADIÇÂO). Escreve as frações e questiona quando
dá o resultado:
2/5 +1/5 =
A (Aline): tem que fazer 5 + 5
A: (Amado): o de baixo fica igual
O professor desenha dois retângulos, um embaixo do outro, e pinta as partes correspondentes em cada um:
O professor faz outro retângulo embaixo, divide novamente em cinco e questiona qual será o resultado da adição. Os
alunos mencionam o dez, se referindo às dez partes consideradas em ambos os retângulos. O professor faz outro
retângulo e pretende "passar" as partes pintadas nos dois anteriores para esse:
Mostra que teria as mesmas cinco partes, e agora considera 3 dessas 5.
Conclui:
P: então quando o denominador é igual, é só somar o numero de cima.
Monique questiona por que não seriam 10 partes.
O professor explica pela negação: se fosse 3/10 ficaria muito pequeno cada pedaço, eles devem ter sempre o mesmo
tamanho.
Coloca uma adição e vai fazendo com os alunos:
3/7 + 2/7 = 3 + 2 = 5
7 7
P: vou deixar umas contas aqui↑
a. 3/9 + 5/9 =
b. 6/8 - 2/8 =
[Faz um desenho no círculo, divide em oito para mostrar a subtração.
O professor questiona:
P: e se eu quisesse fazer a conta com um inteiro?
Coloca no quadro]
1+2 =
3
Aula 8
24/06/2005
(o professor organiza a classe)
P: vamos sentar/ pessoal↑ abre o caderno por favor↑ (...) eu vou recolher as provas/ coloca em cima da carteira/ eu
vou passar para pegar/ (vários alunos justificam que não trouxeram)/ quem não trouxe/ amanhã traz/ pode ser?
(o professor passa pela classe para recolher as provas)
P: a gente vai continuar com aquelas operações de frações/ lembra que eu tava explicando para vocês? que/ quem
faltou por favor presta atenção que é bem importante/ abre o caderno para copiar/ eu vou retomar o conteúdo e
corrigir aqueles três exercícios com vocês (...) (vários alunos vem mostrar os cadernos e fazem perguntas)
P: vamos lá/ pessoal/ abre o caderno/ copia ali↑ eu vou fazer o item a/ como exemplo/ quem faltou por favor/ presta
atenção// a gente vai começar a fazer operações com frações/
(escreve grande, como título no quadro: operações com frações – adição – subtração)
então a gente vai primeiro ver adição e subtração↑ copia ali/ é importante isso↑ abre o caderno↑ A fração que eu tinha
deixado para vocês era/ 3 sobre 9 e 5 sobre 9 (escreve as frações, com giz colorido nos denominadores)
320
3 + 5
9
9
A: (Aline): dá 8 sobre 9/// o professor fez colorido↑ (a aluna repara no giz colorido)
P: vocês não precisam fazer o desenho↑tenho um inteiro/ e vou dividir em nove partes/ nove partes↑(desenha um
retângulo no quadro e divide em nove partes) (...) um dois três quatro cinco seis sete oito nove/ dividi em nove partes
iguais↑ // dividi o inteiro em nove partes/ vou fazer com uma outra cor aqui /// nesse daqui↑ dividi em nove e peguei
quantos?
A: três/ professor↑
P: essa foi a primeira que eu deixei para vocês↑ eu to corrigindo já/ acompanha aqui↑ peguei três (vai pintando três) /
na outra peguei quantos? Nove pedaços também/ e cinco↑ um dois três quatro cinco/ no total/ no total/ a dúvida que
aparecia para a gente era/ esse debaixo aqui/ eu mostrei para vocês na aula passada/ que ele não muda/ o
denominador/ eu não faço conta com ele↑ eu não vou fazer mais ou menos com ele/ eu vou fazer mais ou menos
com o numerador↑o denominador/ ó/ se eram nove pedaços/ continua sendo nove pedaços↑eu vou fazer conta com o
de cima↑ eu peguei três aqui/ com cinco aqui///
A: dá oito↑ (vários)
P: o três mais o cinco (vai escrevendo a operação como numerador) então aí deu quanto?
= 3+5
9
A: oito↑
P: oito↑então ficou igual a / eu fiz conta com o de cima/ ficou oito sobre nove (completa o resultado, 8/9) (...) então o
que eu percebi/ quando eu vou fazer conta/ adição e subtração/ com essas frações aqui/ quando o denominador/
debaixo aqui/ o denominador/ que é o de baixo/ é igual/ eu sei fazer/ é fácil fazer↑ ó/ Marina↑se era nove e dava
nove/ continua nove/ na verdade eu vou fazer a operação com o de cima/ com o numerador/ três mais cinco oito/
tinha três pedacinhos aqui/ três mais cinco oito/ tranqüilo↑então vocês podem fazer aqui direto/ sem ter que fazer o
desenho/ eu só fiz para mostrar para vocês/ correto? Eu vou fazer aqui a de menos agora↑a de menos que eu tinha
deixado para vocês/ qual que era? seis sobre oito// já estou corrigindo/ acompanha↑copia como exemplo↑seis sobre
oito?
(vai escrevendo as frações)
A: (Aline) dois sobre oito↑
6 - 2=
8 8
A: (Aline) dá quatro sobre oito↑
P: então novamente/ eu podia fazer o desenho aqui para mostrar para vocês mas/ (não faz o desenho) se aqui eu dividi
em oito e dividi em oito/ eu continuo dividindo em oito/ e eu faço a conta com o numerador/ seis menos dois? / seis
menos dois?
A (Aline e Jair) quatro↑
P: quatro sobre oito↑(completa com o resultado, 4/8) // então eu também sei fazer a conta/ então quando a conta é de
mais ou de menos aqui/ somar ou subtrair/ e os denominadores são iguais/ eu descobri que fica fácil fazer↑ ó/ repete
o de baixo e faz a conta com o de cima/ vocês tiveram dificuldade/ já me perguntaram/ como é que é o
terceiro↑vamos tentar lembrar como é que é o terceiro↑ o terceiro exercício que eu deixei para vocês era um pouco
mais difícil/ então antes da gente partir para o terceiro/ posso apagar isso aqui?
(apaga o quadro)
A: (Aline): eu não entendi↑
P: um desses dois/ ou o terceiro?
A: o terceiro↑
P: tá/ já vamos ver aqui↑antes disso copiem aqui/ isso aqui é importante↑o que eu vou escrever aqui (o professor
pensa no que escrever no quadro e decide escrever: ‘só posso fazer adição (+) e subtração (-) entre frações, quando
eles possuem o mesmo denominador’)(...)
P: copiem ali↑para lembrar↑ a gente fez essa conta de mais e de menos/ e eu consegui fazer ela/ e achei ela fácil/
porque o denominador era igual/ então essa eu sei fazer↑ denominador igual/ repete o denominador/ faz a conta do
numerador/ seja ela de mais ou de menos/ daí eu consegui fazer// já no terceiro↑ já no terceiro↑ vai ter um problema/
porque? eu coloquei um inteiro ali/ não coloquei uma fração↑ a gente vai ter que lembrar de uma outra coisa para
conseguir resolver aquele exercício/ o terceiro↑item c/ copiem aqui para mim resolver o terceiro↑posso apagar a
conta? Copiem aqui por favor↑(apaga o quadro) (...)
P: qual era a conta ali?
A (Monique): era um mais dois e embaixo era///
P: era o item c/ como é que era? um?
A (Monique) (ditando) mais dois
(o professor vai escrevendo as frações no quadro)
1+2
3
P: vamos ver↑ vamos ver se é↑(...) já copiaram? Vamos ver como é que faz essa conta? Eu vou explicar/ depois eu
vou deixar outra conta para vocês fazerem↑(...) pessoal↑ vamos lembrar↑ o que que eu preciso lembrar para conseguir
resolver essa conta?
A: (Monique) do inteiro?
P: é/ do inteiro↑ lembra que na aula passada eu escrevi para vocês? Como é que eu representava um inteiro através de
frações? Lembra que eu fiz/ ó↑vou lembrar aqui para vocês↑ vou escrever aqui de novo↑ quem já tem não precisa
321
copiar/ quem não tem copia↑ eu tinha feito isso daqui para vocês/ ó↑vou fazer aqui em baixo↑ eu quero resolver essa
conta (divide o quadro e desenha um retângulo) não estou conseguindo/ vamos ver se a gente consegue↑
A: (Aline) eu acho que é três debaixo do um↑
P: vamos ver se é/// presta atenção↑ quem já tem só presta atenção/ quem não tem copia↑esse aqui é o inteiro/ ta
vendo? O inteiro aqui/ ó/ não dividi ele em parte nenhuma/ está aqui/ ta inteiro↑se eu chegar/ pegar esse inteiro/ e
dividir ele no meio/ dividir ele em dois↑(divide o inteiro em duas partes) minha pergunta é// tenho um inteiro dividi
em dois/ quantos pedaços eu tenho que pegar para continuar sendo o inteiro?
A (Ademir): dois
A (Monique): dois↑
P: O dois↑ se eu pegar só um eu vou ter um inteiro?
A (vários): não
P: não↑ se eu dividir o inteiro em dois e pegar os dois pedaços/ eu continuo tendo um inteiro/ claro↑olha↑se eu pegar
os dois pedaços aqui/ eu continuo tendo o inteiro↑esse inteiro é igual a esse/ (se refere ao inteiro e ao mesmo já
dividido) eu dividi por dois e eu peguei os dois/ e assim vai// (...) (chama atenção de vários alunos)
P: vamos lá / voltando↑ e aqui vale para outros/ ó↑ poderia ter pego o inteiro e dividido em três? Posso dividir em três
o inteiro?
A: (vários) pode↑
P: pode↑ dividi em três↑
(desenha outro retângulo mais ou menos de mesmo tamanho e na mesma posição que o anterior)
P: minha pergunta continua sendo/ quantos pedaços eu tenho que pegar para continuar sendo o inteiro?
A: (Emanuela) dois
A (Aline): três↑ (bem forte)
P: dois/ Emanuela? Se eu pegar esses dois aqui/ eu tenho o inteiro?
A: não
A: (Aline) tem que ser três↑
P: eu dividi o inteiro em três/ peguei dois/ eu tenho um inteiro todo? Eu tenho todos os pedaços?
A: vários// não↑
P: não/ ó↑para mim continuar tendo o inteiro eu tenho que pegar todos os pedaços↑se eu dividi em três/ tem que
pegar três/ e assim continua↑ e assim continua↑podia dividir o inteiro em quatro?
A: (Aline) podia↑
P: aí quantos eu tenho que pegar?
A: quatro↑
P: podia dividir o inteiro em treze? Quantos////
A: treze↑
P: ou seja/ eu posso dividir em quantos pedaços eu quiser/ desde que eu pegue todos os pedaços↑
A (Felipe): pode dividir mais?
P: pode↑ eu posso dividir em quantos pedaços eu quiser/ desde que eu pegue todos↑aqui continua então↑eu mostrei
para vocês isso/ lembra? Aí eu escrevi/ um igual a dois sobre dois/ três sobre três/ quatro sobre quatro/ cinco sobre
cinco/ seis sobre seis/ sete sobre sete/ oito sobre oito/ nove sobre nove/ tanto faz↑se o debaixo for igual ao de cima/ se
o denominador for igual ao numerador/ eu vou ter um inteiro de novo↑agora voltando à tua pergunta/ tu falou que
achava que aqui ia aparecer um três/ correto? Bom↑como é que eu sei fazer conta/ quando que eu sei fazer conta de
mais e de menos com fração?
A (Bruna): quando os denominadores são iguais
P: quando os denominadores são iguais↑tem alguém aqui? Debaixo do um/ tem alguém aqui?
A: não
P: Não↑será que eu posso escrever esse inteiro de outro jeito/ de modo que apareça alguém embaixo?
A: (Emanuela) sim↑
P: posso↑posso escrever como dois sobre dois/ três sobre três/ quatro sobre quatro/ cinco sobre cinco/ bom↑ tem uns
que vão me ajudar/ outros não↑se eu chegasse aqui e no lugar desse um eu escrevesse isso daqui/ ó/ escrevesse cinco
sobre cinco↑cinco sobre cinco é um inteiro?
A (vários): é
P: é um inteiro↑me ajudou a fazer a conta?
A: não
P: por que?
A: porque ///(vários falam ao mesmo tempo)
P: porque eles são diferentes↑então não é qualquer uma dessa representação que vai me ajudar↑qual que vai me
ajudar?
A: (Aline e Bruna): o três sobre três↑
P: o denominador três↑como é que eu descobri que tem que ser três?
A: (Bruna) porque tem que pegar o inteiro/ daí//
P: então eu vou escrever esse inteiro nessa representação (completa a conta colocando o 3/3) porque eu quero que
embaixo seja igual/ então realmente embaixo vai mesmo aparecer o três/ só que ó↑olha o erro/ ó/ erro comum/ (passa
um traço embaixo do um e coloca o três, fica 1/3) aí eu não posso/ eu não posso passar o traço e colocar o três/
porque daí não é um inteiro/ dividi em três e peguei um↑é inteiro isso?
A: é um↑
P: não↑então eu não posso fazer isso↑(apaga o denominador 3) eu vou escrever ele como sendo?
A: três↑
322
P: então eu vou fazer outra conta↑essa conta é a mesma dessa que eu vou escrever aqui/ só que essa eu vou saber
resolver/ olha/ tinha esse um/ no lugar desse um eu vou escrever?
A: (Jair) três
P: três sobre três↑que é o inteiro/ ó↑dividi em três partes/ aqui peguei três/ continua sendo o inteiro↑e esse outro
número fica igual/ ele não mudou (copia o 2/3 na conta) qual que é a diferença entre escrever assim e assim? A
diferença é que desse jeito eu sei fazer a conta↑porque agora os denominadores são iguais↑tá vendo?
Emanuela↑Leonardo↑
A (Emanuela): eu to olhando/ professor↑
P: Leonardo↑aqui tinha alguém embaixo do um?
A: não↑(vários)
P: por isso eu estava na dúvida↑ por isso eu não conseguia fazer a conta↑eu tive que escrever o um como sendo três
sobre três (passa por cima do 1 e do 3 sobre 3 a mesma cor do giz)// para eles ficaram iguais/ e agora/ como é que
fica a conta? Qual que é o resultado da conta?
A (Aline): seis sobre três↑
P: como é que vai ficar aqui embaixo?
A: três
P: é igual/ repete
(vai completando a conta)
= 3+2 =
3
P: e em cima?
A: seis
A (Bruna, se virando para Aline): cinco↑
P: três mais? Três mais dois↑cinco↑cinco sobre tres↑então a conta que eu tinha deixado para vocês é essa/ 1 mais 2/3/
eu não conseguia fazer a conta porque/ Emanuela? porque não tem ninguém aqui embaixo/ ó↑ aqueles dois exemplos
que eu fiz/ eles não eram iguais aqui embaixo? Eu repetia e fazia a conta em cima/ tava fácil↑ por que que esse ficou
mais difícil? Porque não tem ninguém aqui em baixo↑ então antes de fazer a conta/ eu tive que transformar/ eu tive
que transformar esse inteiro numa fração↑ olha/ Manuela↑eu tive que transformar esse inteiro/ numa fração/ ó↑ para
que fique igual↑para que eu saiba fazer a conta/
A: (Leonardo) o três/ da onde que saiu?
P: pois é/ da onde eu tirei o que? Esse?
(o aluno indica o denominador)
P: pois é ↑da onde eu tirei? por que que eu escrevi 3 sobre 3 e não escrevi outra coisa?
(vários respondem ao mesmo tempo)
P: poderia ter escrito dois sobre dois?
A: poderia
P: ia continuar sendo o inteiro?
A ia
P: ia↑só que ia me ajudar? Aqui ia ser um dois e aqui ia ser um três/ sei fazer quando é diferente? sei fazer conta
quando o denominador é diferente? // então eu escrevi esse três porque eu quero que eles sejam iguais/ porque eu
queria que fosse igual a esse// como eu escrevi três embaixo/ eu tenho que escrever o três em cima/ como eu dividi
por três/ eu tenho que pegar as três partes/ para continuar sendo o inteiro// (...)vou botar outro exercício aqui// fala/
Felipe↑
A (Felipe): precisa colocar o três e o dois?
P: não/ pode fazer direto↑eu só fiz assim para mostrar a conta para vocês o que que está acontecendo/ mas pode fazer
direto// vamos tentar um outro aqui? Vou dar mais um/ vou dar mais dois/ eu dei a b e c/ vou dar c e d/ copia esse
aqui como exemplo↑ todo o mundo copiou aquilo ali? É importante↑vamos tentar mais esses dois/ item d/ item d/ (o
professor pensa nas frações para escrever e escreve 3/7 e 4/7)(...)
P: é para fazer aqui/ três sobre sete e quatro sobre sete/ item d/ agora eu vou botar uma de menos aqui envolvendo um
inteiro/ ó/ presta atenção↑um inteiro menos /// (vai escrevendo no quadro)/ três quintos/ copia ali/ vamos tentar fazer/
tem o exemplo no caderno/ tem que lembrar daquilo ali/
(passa pela classe olhando o que os alunos estão fazendo, Monique tem uma dúvida)
A: (Monique): tem que fazer o inteiro dividido em partes// três/ aí vai fazer///
P: não/ não precisa fazer o desenho↑ pode fazer direto/ se quiser fazer o desenho pode fazer/ mas
A: (Monique): faz aquilo lá/ daí vai dar a fração/ daí embaixo/ o denominador vai ser cinco/
P: esse aqui embaixo?
A: é
P: o denominador vai ser cinco
A: é/ vai ser cinco/ daí///eu tenho que///
P: o denominador repete↑era três/ continua três/ o denominador eu repito/ continua sempre o mesmo↑pessoal↑eu sei
fazer quando ele é igual/ por que? Se ele for igual/ eu repito ele/
(Felipe faz uma pergunta)
P: pessoal↑não é um menos três↑que número é esse? Felipe? Três quintos↑se não tivesse esse cinco seria um menos
três/ não é um menos três/ é um menos três quintos↑esse é o inteiro↑eu tenho que transformar esse inteiro numa
fração↑ que fração eu tenho que transformar? Será que é um sobre dois? Será que é três sobre três? Então pensa/ qual
que vai ser? Então faz/ faz aí↑vamos ver↑
323
(olha o caderno de vários alunos que vem mostrar, explica para o Leonardo, vários alunos chamam o professor. Ele
volta ao quadro para explicar a partir da dúvida da Marina)
P: a gente tem que entender isso↑eu tinha um inteiro aqui/ um/ um/ esse é um/ tá bom? (faz o retângulo no quadro)
Eu tenho a mesma figura/ eu dividi em duas partes/ e peguei as duas partes/ eu não continuo tendo um inteiro? Então
dois sobre dois é igual a um/ é um inteiro/ Marina↑três sobre três continua sendo um inteiro/ quatro sobre quatro/
cinco sobre cinco/ é sempre um inteiro/ como é que eu vou escrever um inteiro através de uma fração/ para poder
fazer a conta? Eu só posso fazer a conta quando os denominadores forem iguais↑
(o professor continua passando pela classe, explica para o Jair que não conseguiu fazer nem o primeiro, alguns
conseguem achar a nova fração, alguns confundem o sinal e adicionam)
P: todo o mundo já copiou aqui? Posso apagar? Copia aqui o outro exercício↑(vai apagando o quadro e acrescenta
itens f,g,h) eu vou colocar umas frações aqui/
(escreve o item f: ‘Diga quais dessas frações representam um inteiro: 2/3 7/5 6/6 4/2’
(pede para os alunos irem no quadro fazer os itens d e e)
P: circula ela/ e diga as que representam o inteiro↑(...)
(os alunos fazem os exercícios no quadro)
P: pessoal↑na aula que vem a gente vai começar a somar frações com denominadores diferentes↑a gente vai vendo
como é que vai fazer↑vocês estão entendendo esses aqui? (o professor espera os alunos terminarem no quadro)
pessoal↑tentem essa daqui↑copia essas duas aqui para amanhã↑
(o professor escreve item g: 7/13 +1, os alunos estranham)
A: (Aline) é ao contrario, só isso↑
P: é/ que que tem que é ao contrário? Não pode ser assim? Pode↑(...) um outro aqui/ esse não é tão fácil/ vamos
ver↑agora é dois↑procura no caderno de vocês/ tem a representação do dois também///
(um aluno pergunta novamente sobre a adição em outra ordem)
P: é/ a soma é comutativa↑ um mais dois é a mesma coisa que dois mais um (...) olha no caderno de vocês/ tem a
representação de um inteiro/ dois inteiros↑ pode ser três inteiros↑pode ser quatro inteiros/// como é que representa ali?
(os alunos vem perguntar se podem ir ao quadro)
P: pode marcar ali aquela ali (uma aluna vai no quadro marcar a fração 6/6) // mais dois aqui↑
(alunos reclamam, o professor justifica)
P: esse aqui não é para fazer conta/ é para vocês pensarem↑como representar como uma fração/ pelo menos uma
fração↑
(escreve no quadro)
f) 3 = ___
g) 4 = ___
P: eu quero saber/ que fração que eu vou colocar aqui/ que vai ser igual a três inteiros (...) já copiaram essas duas
aqui? (...) tem três inteiros↑eu quero que vocês escrevam uma fração aqui que represente três inteiros↑será que
consegue? Olha no caderno↑eu fiz para um e para dois/ tenta imaginar para três/ como é que seria?
A (Felipe): professor↑pode colocar qualquer um?
P: que número que eu vou colocar aqui embaixo?
A: (Monique) três e três
P: três e três é um inteiro/ três sobre três é um inteiro↑eu quero três inteiros↑
(Felipe repete a mesma pergunta, o professor responde)
P: desde que dê certo↑
A: (Felipe): vou colocar o quatro
P: vamos ver↑pode ser↑faz aí↑coloca aí↑
(o professor continua passando pela classe para explicar, vários tentam descobrir como representar três inteiros)
Aula 9
25/06/2005
(o professor organiza a classe e recolhe as provas)
P: então tem gente que conseguiu fazer a tarefa↑ vamos ver se todo o mundo acertou↑ (...) vamos ver os deveres que
eu tinha deixado para vocês ontem/ e vamos avançar na matéria↑vamos ver quem conseguiu fazer (...) o que que a
gente viu ate agora? / vamos voltar aqui↑ a gente ta fazendo// adição e subtração de frações/ correto? certo?/ certo
Emanuela? Qual foi os dois tipos de adição e subtração que a gente viu até agora? A gente tá somando e subtraindo
frações que tem o mesmo denominador/ não foi isso que a gente viu?
(organiza novamente a classe/ pede colaboração)
P: quem conseguiu fazer a tarefa? Emanuela/ Stephanie/ Paloma?// Monique/ conseguiu? Felipe? Tentou fazer a
tarefa de ontem? Não tentou? Tem que tentar↑ se tentar e não conseguir/ tudo bem↑não tem problema↑/ agora tem
que tentar↑se não tentar fazer não adianta↑
(o professor anota as frações no quadro. Chama os alunos para virem no quadro colocar os resultados)
P: vamos conferir↑vamos ver se é assim essa↑(...) vamos
ver se está certo ou não// vamos
acompanhar↑pessoal↑quem fez acompanha/ quem não fez/ copia aqui a correção// vamos prestar atenção↑quem fez
esse primeiro aqui?
A: (respondem em coro) o Amado↑
P: eu tinha deixado essa conta/ ó↑/ sete sobre treze mais um/ mais um o que? Um inteiro↑correto? Bom↑eu tinha
escrito para vocês na outra aula o que? Lembra que vocês copiaram? Eu só consigo fazer adição e subtração quando
acontece o que?
324
A (Bruna): quando os de baixo são iguais↑
P: quando o de baixo são iguais↑quando os denominadores são iguais↑bom↑aqui qual que é o denominador desse
daqui?
A: (Bruna) treze
P: treze↑então eu peguei esse inteiro aqui/ dividi em treze partes// e peguei sete/ esse aqui ta inteiro/ eu dividi ele em
alguma quantidade? (se refere só aos números, sem a representação pelo desenho) Não/ né, eu peguei o
inteiro↑(desenha um retângulo como o da aula anterior) esse ta inteiro/ eu não dividi em nada↑ e aí eu mostrei para
vocês/ eu mostrei para vocês o que? Eu mostrei para vocês o que? Que eu posso representar o inteiro através de varias
frações/ correto? Eu posso pegar esse inteiro e dividir/ em dois pedaços? Posso↑para mim continuar tendo o inteiro/
quantos pedaços eu tinha que pegar?
A (Ademir) pego dois
P: ou seja// a mesma quantidade↑e assim continuava/ lembra?/ podia dividir em três e pegar três/ podia dividir em
dez? pode?
A: (Aline) podia
P: desde que eu pegue quantos?
A: (Ademir) todos
P: dez↑todos↑posso dividir em quinze?
A: (Ademir) pode
P: desde que eu pegue os quinze↑ / posso dividir em cem?
A: (Ademir) pode
P: então eu posso dividir em quantos eu quiser/ desde que eu pegue todos↑tudo bem? Tudo bem/ Felipe? bom↑aqui
eu tenho um inteiro// ó/ ó o que aconteceu? eu não consigo fazer a conta do jeito que está porque aqui não tem
ninguém em baixo// ta vendo? eu só consigo fazer a conta quando aqui for igual/ mas aqui não tem ninguém↑ então
eu não sei fazer a conta// por enquanto// o que que a Michele fez? ( a Michele não havia feito a tarefa, mas ela copiou
da Bruna) ela escolheu esse um através de uma fração/ claro↑eu posso escrever um inteiro através de varias frações/
lembra que eu escrevi para vocês no caderno? aqui embaixo/ vocês copiaram/ vocês tem no caderno isso/ um é igual/
dois sobre dois/ três sobre três/// e continua/ certo? Vai embora// bom↑se eu substituir esse um inteiro/ por exemplo/
por dois sobre dois/ posso escrever no lugar do um dois sobre dois? Posso? // Posso↑vai me ajudar? a resolver a
conta?
A: (Aline) vai↑
P: Não↑por que? Porque esse é treze/ quem é que vai estar lá embaixo?
A: (Ademir) o dois↑
P: treze não igual a dois↑ poderia ter escrito aqui 5 sobre 5/ aqui? Poderia↑ mas vai me ajudar?
A: (Bruna) não
P: não/ porque treze é diferente de cinco/ ou seja// eu posso escrever várias frações aqui/ tem várias/ só que tem uma
que vai me ajudar/ qual que é?
A (Bruna): é treze sobre treze
P: e por que que eu escolhi essa?
A (Aline): porque é a única que serve↑
P: é/ mas como é que eu sei que ela serve/ e a outra não?
A (Bruna): por que que essa tem os denominadores iguais
P: isso↑porque eu quero que seja do mesmo denominador↑ e essa daqui já ta definida↑ essa já tem treze aqui↑ ó
Felipe↑ como essa já tem treze/ eu vou escolher exatamente o treze/ então eu estou dividindo o inteiro em treze
partes/ só que para continuar sendo o inteiro/ eu tenho que pegar quantas partes?
A (Bruna): todas
P: todas↑ treze↑então ó↑ olha o que ela fez aqui↑ no lugar deste um/ vou colocar de outra cor/ no lugar deste um/ ela
escreveu?
A (Emanuela) Treze↑
P: treze sobre treze/ que continua sendo o inteiro/ treze sobre treze é o inteiro ainda↑
A: aí no sete/ eu botei treze e treze
P: ta/ você trocou↑treze e treze e escreveu treze sobre treze e depois escreveu o 7 sobre treze/ ta trocado?
A: é (mas parece não concordar)
P: é/ tudo bem// pode ser// porque a soma é comutativa↑é a mesma coisa// mas o ideal é que siga a ordem↑essa que é
a primeira/ eu vou mexer nela?
A: não
P: nessa daqui?
A: não
P: então copia ela igual↑ eu vou mexer nessa/ ó/ essa eu vou mexer↑mudei↑fiz a mudança/ agora eu sei fazer a conta?
A: (Bruna) sabe
P: sei↑ porque agora é igual↑repete o de baixo e faz a conta com o de cima/ ó/ sete mais treze/ vinte↑então tá certo//
então tá certo↑ quem fez/ fez desse jeito? Essa daqui tudo bem?
A: (Jair): aquela ali tá errado/ professor↑
P: essa daqui tudo bem?
A: (Jair) sim
P: a próxima/ vamos ver↑mesma coisa/ só que agora são dois inteiros↑dois inteiros menos 6 sobre sete/ eu mostrei
para vocês/ que do mesmo jeito que eu mexi com esse inteiro aqui para escrever frações/ eu também consigo/ fazer a
325
mesma coisa/ com o que? Com dois inteiros↑eu não fiz frações de inteiros aqui? // Vou fazer de novo/ vocês devem
ter no caderno de vocês↑ posso apagar essa daqui/ ó?
A: pode
P: já verficaram?
A: (Aline) tá errado
P: vamos ver se está errado↑
A (Aline) : tá sim↑
P: com o dois inteiros↑lembra que eu fiz a mesma coisa? Eu peguei os dois inteiros/ (desenha os dois retângulos
como na aula passada) dividi agora em dois pedaços/ só que para continuar tendo os dois inteiros/ eu tive que pegar
quantos?
A (Ademir): os dois
P: um dois três quatro/ quatro↑e assim continua/ se eu tivesse dois inteiros/ e agora dividisse em três pedacinhos/ cada
um/ dividi em três/ só que agora/ para eu continuar com o inteiro/ eu tenho que pegar todos/ três daqui com três
daqui/ seis// o que que tá acontecendo? Alguém percebeu isso?
A: (Amado) dobra os denominadores↑
P: o numerador ta duplicando↑é isso? // vamos tentar enxergar a relação aqui do numerador com o
denominador↑quando eu tinha um inteiro/ o numerador o que que era do denominador? é?
A: (Bruna) igual
P: ó↑ela disse/ ó↑igual↑aqui eu tenho um inteiro/ dois dois/ três três/ quatro quatro/ é igual/ só que eu tenho dois
inteiros/ olha o numerador↑o que que ele é em relação a esse?
A: diferente
P: é diferente↑tudo bem↑aqui também é diferente/ mas vocês conseguem achar uma relação?
A: (Amado) sim↑sete embaixo e quatorze em cima↑
P: tudo bem↑você está dando a resposta deste↑tá certo o que você está dizendo/ eu estou perguntando neste caso aqui/
ó/ Amado↑qual a relação do de baixo com o de cima? o de cima é o que do de baixo?
A: o dobro
P: o dobro↑o de cima é o dobro do de baixo/ tá vendo? Meninas↑aqui é importante para a gente entender aqueles
últimos ali↑/// o de cima é o dobro do de baixo↑ ta vendo? Leonardo↑o de cima é o dobro do de baixo↑porque eu
tenho dois inteiros↑ qual que seria a próxima aqui? Se eu colocasse o 4 embaixo? Quantos teria que ser em cima para
ter dois inteiros? (não respondem) oito↑o dobro↑ tá vendo? Sempre vai ser assim? É↑E se eu fizesse isso para o três?
Qual seria a relação entre o de baixo com o de cima/ hein? (não respondem) o triplo↑se fosse o quatro? Quatro
vezes↑então ó↑para eu conseguir um inteiro/ tem que ser igual↑ para eu conseguir dois inteiros/ o de cima é o
dobro↑/ para eu conseguir três inteiros/ o de cima vai ser o que?
A (Amado): um terço↑
P: três vezes↑três vezes↑o triplo↑// o triplo do de baixo↑e assim vai↑assim eu consigo os inteiros↑isso vai me ajudar
a fazer aquela outra↑o que o Amado disse? Eu tenho dois inteiros aqui menos seis sobre sete/ eu sei fazer essa conta
do jeito que tá? Não↑porque aqui eu dividi em sete/ aqui eu dividi em alguma parte? Não↑os denominadores não são
iguais↑eu quero fazer a mesma coisa que eu fiz na primeira/ eu quero transformar este inteiro/ numa outra
fração↑quem fez essa conta aqui?
A: (varios) a Aline↑
A (Aline): fui eu/ professor↑
P: então vamos lá↑Aline↑olha o que você fez↑no lugar do dois você escreveu o que? Sete?
A (Aline): sete sobre sete↑
P: mas sete sobre sete/ o numerador é igual ao denominador/ eu tenho quantos inteiros nesse caso?
A: dois
A: um
P: um↑sete sobre sete é um inteiro↑ué↑ mas que número é esse aqui? Eu quero ter dois inteiros↑dois inteiros↑ então
na verdade o de cima tem que ser?
A: (Amado) quatorze↑
P: o dobro do de baixo↑quatorze↑
A: (Monique) eu coloco dois inteiros/ aí é como se eu fosse dividir em dois pedaços/ não é? Cada// sete/ só que nesse
caso///
P: eu tenho dois inteiros/ é isso? ta certo? Eu divido em sete esse e divido em sete esse/ tenho que pegar todos/ sete
desse mais sete desse/ deu quatorze↑ eu tenho que pegar quatorze para dar os dois inteiros/ ela só fez um/ aí só dava
um inteiro↑(...) então o primeiro eu tive que transformar esse dois numa fração↑como eram dois inteiros/ o de cima
tem que ser o dobro do de baixo/ por que que ela escolheu esse sete aqui? Por que que ela escreveu sete em baixo?
A: porque ela pensou///
P: por que que ela escreveu esse sete em baixo?
A (Bruna): porque tem que ser denominadores iguais↑
P: isso↑então eu não posso pôr qualquer número↑ela escreveu esse sete aqui por que? Porque o outro já tava o
sete↑(...) então esse sete/ ela escreveu/ porque já tinha o sete aqui/ teve que decidir qual que ia em cima/ ó↑agora eles
são iguais Amado? Agora os de baixo são iguais?
A: (Amado) são
P: então agora faz a conta↑ repete os de baixo e faz a conta com o de cima↑quatorze menos seis?
A: sete
P: quatorze menos seis?
A: (Amado) oito
326
P: oito↑deu oito↑oito sobre sete↑fez certo essa? Ana? Viu como é que é agora? Bruna/ acertou essa? quem acertou
essa daqui?
(vários falam ao mesmo tempo, Emanuela faz um comentário)
P: Mas você fez igual a ela/ Emanuela↑ se eu boto sete sobre sete/ eu tenho um inteiro↑olha quanto que eu tenho
aqui↑eu tenho dois↑eu não tenho um↑ aqui/ eu quero ter dois inteiros↑Quem acertou essa daqui?
(vários alunos vem mostrar o caderno)
P: ó/ pessoal↑vocês estão com dificuldade nessa daqui porque vocês não entenderam direito isso↑ó↑vamos prestar
atenção nesse daqui↑ isso é importante/ certo? (...) o que eu pedi para vocês fazerem aqui/ ó? (...) eu tenho três
inteiros/ eu quero escrever esses três inteiros como uma fração↑/// só tem essa fração? Eu poderia ter escrito outra
coisa aqui em baixo? hein/ Emanuela? Leonardo? Poderia ter escrito alguma outra coisa lá em baixo?
(chama atenção de vários alunos, pede para sentar)
P: ele escreveu três aqui em baixo e nove aqui em cima/ será que realmente é três inteiros aqui? Qual que é a relação
desse com esse? O de cima é três vezes o de baixo?
A: não
A: sim↑
P: sim↑três vezes três não é nove?
A: sim
P: Então eu tenho três inteiros/ tá certo esse↑// agora minha pergunta é/ só pode ser o três? poderia ser outro número
aqui em baixo? // se fosse o dois/ que número seria aqui em cima? Leonardo↑ Se fosse o dois/ que número seria aqui
em cima?
(respondem vários números diferentes)
P: seis↑é o triplo↑porque eu quero três inteiros↑ depende de quantos inteiros eu quero↑
(...) então tem várias respostas aqui↑ poderia ser seis também/ aqui a mesma coisa↑ eu escolho o de baixo// escolhe
um número embaixo (pede para um aluno, o Amado)
A: um// não↑dois↑
P: dois↑ então para eu ter quatro inteiros/ que número eu tenho que ter aqui em cima?
A: (Amado) oito↑
P: oito↑ claro↑quatro vezes dois↑ oito↑ se fosse o três embaixo? Que número teria que ser em cima?
A: quatro
A: dezoito
A: (Amado) doze
P: Doze↑quatro vezes tres/ doze↑ nove dava três inteiros/ eu quero quatro inteiros↑doze↑tem várias respostas/ né?
(...)vamos ver agora um outro↑a gente já viu quando o denominador é igual/ e quando tem inteiro/ e se eu for somar
duas frações com o denominador diferente? Como é que eu vou fazer? Alguém tem idéia?
(vários falam "não sei")
P: se eu quisesse fazer essa soma↑ e agora/ pessoal? (escreve no quadro a soma, Amado levanta a mão mas o
professor não atende)
P: e agora/ pessoal? por favor↑tomo o mundo olha para o quadro↑(pede silêncio) ó/ tenho duas frações/ o
denominador é diferente↑ eu só sei somar quando eles são iguais↑ bom↑não posso somar aqui em baixo↑eu somava
antes? Quando eles eram iguais? (...)
(Monique chama o professor várias vezes)
A: (Monique) professor↑por que não pode ser/ um mais dois/ aí coloca o resultado/ /
P: mas aqui nesse/ quando eram iguais// eu somei o de cima↑ o de baixo eu fiz o que? Eu somei o de baixo?
A: (em coro) não↑
P: Não↑eu repeti o debaixo↑ o que que está acontecendo aqui? lembra? Eu tinha um inteiro/ dividi em cinco// aqui eu
peguei dois/ aqui eu peguei um/ peguei dois aqui/ um aqui/ peguei quantos? Três↑de quantos? De cinco↑eu só posso
somar pedaços iguais↑ aqui o inteiro está dividido em dois/ é um tamanho/ aqui o inteiro está dividido em três/ é
outro tamanho↑os tamanhos são diferentes↑eu não consigo somar/ eu não posso fazer dois mais três cinco/
A (Emanuela): eu posso fazer dois mais três///
P: Não↑ // olha↑vamos lembrar uma coisa/ quando a gente queria comparar frações/ o que que precisou?
A: (Amado): o mmc↑
P: o mmc↑quando eu queria comparar as frações/ eu sabia comparar duas frações de denominador diferente?
A: não
P: não↑ o que que eu fazia? Eu achava duas frações equivalentes/ com o mesmo denominador↑então Emanuela↑ a
gente vai resolver essa do mesmo jeito↑pessoal↑importante↑(...) eu vou achar outras duas frações equivalentes a essas
daqui/ só que eu quero o mesmo denominador↑(...) eu quero que aqui e aqui (desenha dois retângulos no lugar dos
dois denominadores) apareça que número? O mesmo número/ não é? Eu só sei somar quando eles são iguais↑
(chama atenção de vários alunos e pede silêncio outra vez
P: eu estou explicando↑depois eu dou exercício e vocês não sabem fazer/ por que será?por que que vocês não
conseguem fazer o exercício?
A: (Emanuela) por que são burros↑
P: não↑voces não são burros↑voces só aprendem quando querem↑o problema é que vocês não querem↑ (...) eu quero
que aqui e aqui apareça o mesmo número↑ que número que vai ser?
A (Amado levanta o braço): seis↑
P: por que seis?
A: porque eles são números primos/// então///
327
P: eu vou fazer o mmc/ lembra? Quando eu queria comparar essas duas frações/ eu não conseguia comparar/ eu tive
que achar frações equivalentes↑a gente vai voltar com frações equivalentes↑(...)
A: (Monique) eu não to entendendo mais nada↑
P: frações equivalentes/ quando é que uma fração é equivalente a outra? Bruna? quando é que uma fração é
equivalente a outra?
(não respondem)
P: quando é que uma fração é equivalente a outra?
A: (Emanuela) não sei↑ tem que fazer a conta/ né/ professor?
P: bom↑ tem que fazer a conta↑ mas quando elas representam a mesma parte do inteiro↑não é isso?
(chama atenção de alunos outra vez)
P: eu quero achar uma fração equivalente a aquela ali/ já conseguiram achar? Que fração é equivalente a aquela ali?
Uma fração equivalente a essa/ alguém consegue achar? Como é que eu faço para achar fração equivalente? (Ana
levanta o braço) fala/ Ana↑
A; vai multiplicando
P: multiplica↑ porque número?
A: (Ana) por dois/ por três/
P: isso↑eu não quero fazer aquela lista de novo/ lembra que a gente ia fazendo aquela lista? Lembra? Aline? Lembra
que a gente fazia aquela lista enorme de frações equivalentes? Para ficar procurando um denominador igual? Só que
eu não preciso fazer aquilo / para achar o mesmo denominador o que que eu faço? Calcula?
A: (Bruna) o mmc
P: então eu vou calcular o mmc↑ entre o que aqui?
A; (Bruna) dois e três
P: dois e tres↑ entre os denominadores↑ eles são diferentes/ ó ↑ dois e três↑então calcula o mmc aqui↑
(aguarda que os alunos calculem)
A: (Amado) vai virar seis (repete várias vezes)
P: como é que faz aqui? Como é que acha o mmc aqui?
A: (Amado) por dois
P: Dá por dois? Dá por dois ainda? Qual que é o próximo?
A: tres↑
P: Acabou?
A: não
P: chegou no um acabou↑quanto deu? O mmc entre dois e três é? /// Seis↑ Então que número que eu vou colocar aqui
em baixo?
A: Seis↑
P: seis↑
A: é três/ professor↑
P: não/ agora não sei↑ minha dúvida é essa↑pensem um pouquinho↑que número que vocês acham que eu vou colocar
aqui em cima? Eu não fiz a conta ainda↑que numero que eu vou colocar ali em cima? (...) que número que eu vou
colocar ali em cima?
A: cinco
A: (Amado) é três e cinco/ professor↑
P: vamos ver↑ali/ ó↑tinha um sobre dois/ eu tirei o dois e escrevei seis/ porque eu quero que eles fiquem com o
mesmo denominador/ que é o mmc entre eles/ embaixo eu coloquei o seis/ quem que eu vou ter que colocar em cima?
(vários falam ao mesmo tempo)
P: aqui tinha dois/ não tinha? No lugar do dois eu coloquei quanto?
A: (vários) seis↑
P: que conta que eu fiz para transformar o dois no seis? Duas vezes três↑ eu peguei o dois e multipliquei por?
A: (Bruna) três
P: se eu multipliquei esse aqui debaixo por três/ por quanto eu tenho que multiplicar o de cima? por tres↑ para dar
fração equivalente↑se eu multiplicar o de baixo por três/ eu tenho que multiplicar o de cima por?//
A: (Bruna) três
P: então que número vai aparecer em cima? Eu não to fazendo a conta ainda↑eu transformei/ no lugar do tres/ eu
escrevi quanto? Por quanto eu multipliquei o dois para chegar no seis? (...) quanto? (...) se eu multipliquei o de baixo
por dois/ eu tenho que multiplicar o de cima por quanto? olha o numero que apareceu ali em cima↑ por que ?
Emanuela/ vamos ver? Três vezes quanto é seis? /// três vezes quanto é seis?
A (Bruna): dois
P: o/ para transformar o dois em seis eu multipliquei por? Três↑ para multiplicar o três em seis eu fiz o que? Dois↑ se
eu multipliquei em baixo aqui por três/ eu tenho que multiplicar aqui em cima por três também↑uma vezes três/ três/
frações equivalentes↑eu tenho que multiplicar em cima e em baixo pelo mesmo numero/ lembra? Olha/ Emanuela/
agora↑Se eu multipliquei o três por dois/ três vezes dois seis/ eu tenho que multiplicar em cima por quanto de novo?
Por dois↑por isso deu quatro/ porque dois vezes dois é quatro↑não é qualquer número que eu vou colocar lá em cima↑
eu quero o que? o eu que eu quero que aconteça aqui? Eu quero que essa fração aqui seja equivalente a essa↑ eu
quero que essa conta seja igual a essa↑só que qual que é a diferença? A diferença é/ aqui os denominadores são
iguais↑ aqui não↑aonde eu sei fazer a conta? Eu sei fazer aqui/ quando elas são diferentes? Emanuela/ eu sei fazer a
conta quando eles são diferentes?
A: (Emanuela) sei
A (Bruna): não
328
P: não↑ eu sei fazer quando eles são iguais?
A: (Bruna) sim
P: então para que que eu fiz tudo isso?
A (Bruna): para ficar igual///
P: Para ficar igual↑porque eu só sei fazer a conta de mais ou de menos quando eles são iguais/ então eu transformo
essa fração em outra/ transforma essa em outra/ mas não é qualquer uma↑eu quero que os denominadores sejam
iguais/ porque daí eu posso fazer/ seis é iguais a seis/ repete o de baixo/ e faz a conta com o de cima/ três mais quatro/
sete/ então realmente/ Emanuela↑ apareceu o sete/ mas eu só pude fazer a conta aqui/ que eles são iguais/ aqui eu não
posso fazer/ Monique↑eu não somo o de baixo/ eu repito o de baixo↑mas eu só posso repetir se eles forem iguais↑ se
ele for diferente/ como é que eu vou repetir? O dois ou o três? Hein/ Monique? Dois não é igual a três/ então o que
que eu vou escrever ali? Dois/ três/ vinte e três? Não dá/ né? Tem que ser igual↑por isso é que eu tive que fazer
fração equivalente/ achar esse de baixo através do mmc/ achar esse aqui de cima/ para depois fazer a conta↑se não eu
não consigo fazer a conta↑(...) vou deixar uma aqui para vocês tentarem fazer↑(apaga o quadro e escreve a soma)
(...) tem que lembrar disso↑denominadores diferentes/ eu tenho que achar duas outras frações aqui/ antes de fazer a
conta/ eu só sei fazer a conta quando eles são iguais↑eles são iguais ali?
(perguntam sobre a prova)
P: vai cair de tudo/ mas eu tenho que saber esse aqui também↑eu fiz conta quando eles são iguais↑é fácil? eu fiz conta
com o inteiro/ é fácil? Agora eu tenho que saber fazer quando são diferentes↑eu tenho que fazer os três tipos de
conta↑(...) (o professor nota que alguns alunos ainda não abriram o caderno)
P: eu vou começar a olhar o caderno de vocês/ para ver se vocês copiam↑toda a quinta feira eu vou começar a olhar o
caderno de vocês↑tá combinado assim?
(o professor passa pela classe para olhar se os alunos estão fazendo o exercício, a maioria conversa e sai do lugar, o
professor explica para vários alunos que têm dúvida)
Aula 10
28/06/2005
P: boa tarde/ pessoal↑(...) vamos abrir o caderno/ e vamos escrever ali/ eu vou deixar um recado/ (...) pessoal↑ presta
atenção↑ eu vou escrever um recado aqui/ eu quero que vocês copiem no caderno para não esquecer/ hoje a gente vai
acabar a matéria referente à última prova do semestre/ então a gente vai/ eu vou retomar a aula passada ali/ vou
acabar de explicar// quem não entendeu a aula passada/ ou quem faltou a aula passada/ presta bastante atenção/ para
entender↑ amanhã/ quinta feira// anotem aqui/ quinta feira/ amanhã// dia sete do sete/ vai ser aula de exercício↑a
gente só vai fazer exercício↑ é bom para a gente treinar/ por que são exercícios bem parecidos com os que vão cair na
prova/ claro/ né↑então se eu sei fazer alguns/ provavelmente eu vou conseguir fazer os outros↑ então quinta feira/ dia
27 do sete/ aula de exercícios↑(...)
(escreve: quinta feira 27/6 sexta feira- prova)
P: então hoje eu acabo a matéria/ amanhã a gente vai ter aula de exercício/ eu vou entregar o livro para vocês
amanhã/ para vocês poderem levar/ para poder estudar em casa/ e segunda feita é a prova/ ta combinado assim? todo
o mundo olhou aqui/ anotaram para não acontecer/ / chegar aqui/ ah/ eu não sabia que tinha prova↑(...)
A: prova/ professor?
P: é↑não é prova↑a gente vai fazer uns exercícios/ e vão me entregar/ eu vou atribuir uma nota↑uma avaliação↑
A: é um trabalho?
P: é↑prova/ trabalho/ teste/// pode chamar do que quiser//
A: qual é a matéria?
P: é o assunto que a gente ta vendo aqui↑eu vou// eu vou passar↑ na aula de exercício vocês vão ter a possibilidade de
ver o que que vai cair na prova/ por isso que é importante vocês virem para fazer o exercício↑(...) então vamos
lá↑principalmente para quem faltou↑ o que que a gente ta vendo? (...) então a gente tá vendo adição e subtração de
frações/ tá?
(escreve no quadro "Adição e Subtração de frações")
P: essa é que é a matéria/ olha↑na última aula/ o último exercício que eu passei para vocês/ para vocês tentarem fazer/
era um de que? Era uma adição de duas frações/ só que elas tinham os denominadores?
A (Bruna): diferentes
P: diferentes↑lembra? então eu vou fazer aquele exercício que eu deixei para vocês tentarem/ como exemplo↑então
presta atenção↑vou explicar de novo/ vocês vão tentar fazer um↑até agora o que a gente fez? eu sei somar e subtrair
frações que tenham o mesmo denominador/ quando tem o mesmo denominador eu sei fazer↑como é que faz/ quando
tem o mesmo denominador?
A: (Bruna) é só colocar o/// numerador↑/ né?
P: por exemplo// se tem o mesmo denominador/ eu sei fazer/ então eu repito aqui o denominador/ e eu vou fazer a
operação com o numerador/ seja de mais ou de menos/ dois mais três?
A: cinco
P: cinco↑ então essa eu sei fazer↑essa é fácil/ né? Quando é o mesmo denominador↑Aí a gente começou a fazer/ a
outra que a gente fez/ foi envolvendo um inteiro com uma fração// por exemplo aquela do um/ vocês fizeram já
ontem também/ quando eu dei ali (escreve no quadro a mesma soma da aula anterior) // quando eu dei esse tipo aqui/
aqui tem// o denominador é treze/ aqui não tem ninguém/ então o que que eu tive que fazer? Já não pude fazer direto
que nem essa↑porque aqui os denominadores são iguais/ aqui eles não são iguais↑eles tem que ser iguais para eu
poder somar/ então do jeito que ta eu não sei fazer a conta/ eu não posso↑ presta atenção/ tem gente que vai fazer
isso↑ eu não posso pegar aqui sete mais um/ e escrever aqui oito/ oito sobre treze/ não↑seria oito sobre treze/ se aqui
329
em baixo/ tivesse um treze/ mas não tem↑é um inteiro↑ esse aqui é um inteiro↑ então eu quero dividir esse daqui/
porque eu quero que ele fique com as mesmas partes desse/ então/ esse primeiro eu não vou mexer/ eu vou repetir ele
aqui/ agora esse segundo eu vou trocar↑ no lugar desse um/ eu vou escrever o que? uma fração↑agora/ vai ser
qualquer fração?
A: não
P: não↑poderia ser dois sobre dois/ três sobre três/ quatro sobre quatro/ tudo dá um inteiro/ só que tem umas que vão
me ajudar/ e outras não/ qual que vai me ajudar?
A: o treze↑
P: o treze↑então eu quero que aqui embaixo seja treze↑bom↑se eu quero um inteiro/ quantas partes eu tenho que
pegar?
A: treze
A: todas
P: se eu dividi em treze e quero um inteiro/ tenho que pegar todas/ treze↑ah↑agora eu sei fazer a conta↑essa conta é
igual a essa/ porque essa fração é igual a essa/ e essa/ esse inteiro é igual a esse/ um inteiro/ é treze sobre treze
também↑só que essa conta eu não sabia fazer/ essa eu sei fazer/ porque os denominadores são iguais↑
A: (Monique) professor↑mas sempre quando não tem embaixo/ tem que sempre comparar os inteiros?
P: não↑// é↑se eu tenho um inteiro/ o de baixo tem que ser igual ao de cima/ seja o que for↑pode ser quinze/ quinze/
vinte/ vinte/ aí eu escolho/
A: (Monique) mas se fosse dois inteiros?
P: se fosse dois inteiros/ eu não poderia ser treze/ teria que ser o dobro em cima/ porque eu quero dois inteiros
A: (Monique) vai ser quatorze/ ao invés de sete vai ser quatorze/ aí eu///
P: vamos ver um desse jeito↑esse daqui por enquanto esse tá assim// eu transformei um inteiro numa fração/ por que
que eu escolhi treze aqui? porque eu quero que seja igual aqui
A: sempre os dois tem que ser igual? (Monique)
P: se for um inteiro/ os dois tem que ser igual/ se não não é um inteiro↑
A: (Monique) dois inteiros/ não/ né?
P: dois inteiros não↑ o de cima tem que ser o que? O dobro do de baixo↑ lembra que eu expliquei para vocês? Agora
é fácil/ repete o de baixo/ faz a conta com o de cima/
A: (Felipe) professor↑quando for três inteiros?
P: o triplo↑como eu mostrei para vocês na aula passada↑vou escrever de novo aqui/ quem não tem copia↑(mas o
professor não escreve) essa relação do inteiro e das frações/ eu tenho que saber fazer↑ eu tenho que saber transformar
o inteiro em uma fração/ para eu conseguir fazer as contas↑(...)
(chegam alguns alunos atrasados)
P: quem chegou agora↑Amado↑ amanhã vai ter aula de exercícios/ segunda feira é prova↑ então anotem aí para não
esquecer/ que eu vou apagar↑(apaga o quadro) bom↑esses dois/ vocês conseguiram fazer/ a maioria fez e acertou/
lembra? Na última aula eu expliquei para vocês um diferente↑agora eu vou somar duas frações/ só que eles não vão
ter o mesmo denominador↑o denominador vai ser diferente↑então eu vou ter que mudar↑ vamos ver↑qual que eu
tinha deixado para vocês fazerem? /// Bruna?
A: dois sobre cinco mais um sobre quatro
P: dois sobre cinco mais um sobre quatro↑ posso apagar o recado aqui? Segunda feira/ prova? (...) dois quintos mais?
A: um quarto
(escreve a soma no quadro)
P: teve gente que conseguiu fazer aqui↑vamos prestar atenção↑todo o mundo tem que conseguir fazer isso daqui↑
(...) posso apagar essa aqui? (...)
(Felipe vem perguntar uma dúvida no caderno. O professor explica para ele)
P: o de baixo ficou igual e o de cima mudou? Como é que pode ser? Era dois e virou dez? por que? Seria o dobro se
fosse dois inteiros↑isso estaria certo↑não é dois inteiros/ é dois quintos↑você está confundindo↑vamos ver↑
(o professor vê o caderno de vários alunos, muitos somaram os denominadores, dando nove, o professor explica
para uma aluna, Michele)
P: por que que você achou nove em baixo?
A: é mais fácil/ né? Cinco mais quatro nove↑
P: não/ mas eu não posso somar↑ não é assim que eu fiz↑eu fiz aqui sete mais sete quatorze? Eu fiz treze mais treze/